INTRODUCCIÓN ALOS NÚMEROS

REALES

UNEXPO

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALESSECCIÓN DE MATEMÁTICA

CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas, E. (2014)

MATEMÁTICA I

UNIDAD

11. VALOR ABSOLUTO,

2. PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO.

3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.

4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES

CLASE 5

TEMAS

En esta sección se desarrollará la noción de valor absoluto o módulo de un número real, el cual está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y normas en diferentes contextos matemáticos y físicos.

Igualmente, abordaremos sus propiedades y la resolución de ecuaciones e inecuaciones que tengan valor absoluto.

INTRODUCCIÓN AL TEMA

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

COMPETENCIAS A LOGRAR:

• Identifica el valor absoluto como operación básica de los números

reales.

• Conoce y resuelve ecuaciones e inecuaciones con VALOR ABSOLUTO

utilizando los axiomas de cuerpo, axiomas de orden y las propiedades

de las desigualdades.

• PREREQUISITOS:

• Conoce las operaciones básicas definidas en el conjunto de los

NÚMEROS REALES y sus propiedades.

• Conoce la axiomática de orden y las propiedades de las desigualdades.

(Q)

MATEMÁTICA I

MATERIALES:

• Guías recomendadas por el profesor.

• Lápiz y papel.

• Apuntes personales

• Textos

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

1. VALOR ABSOLUTO,

2. PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO.

3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.

4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

ÍNDICE:

NOTA: Selecciona el tema que deseas repasar o continua adelante si quieres revisar toda la presentación.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REALT

EM A1

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

MATEMÁTICA I

El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por el símbolo , se define por la siguiente regla:

• Si x es positivo, su valor absoluto es el mismo número x.

• Si x es negativo, su valor absoluto es el opuesto de x (-x).

• Si x es cero, su valor absoluto es cero.

Desde el punto de vista geométrico el valor absoluto de un número real es la distancia de dicho número al cero. Veamos algunos

ejemplos

Ejemplo:

EN PALABRAS, SERÍA: ESTÁ A LA MISMA DISTANCIA A LA

IZQUIERDA DE QUE A LA DERECHA DE 0.GEOMÉTRICAMENTE ESTO ES:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

0 1 2 3 4 5 6 7−6 −5 -4 -3 -2 -1

−7 8

La distancia del al es

Es por esta razón que decimos

Valor absoluto de -7 es igual a

7

La distancia del al es

RECTA NUMÉRICA

De igual maneraValor absoluto de 7

es igual a 7

Nota: es negativo, es positivo. Esto es, si , entonces, ;

Podemos resumir lo anterior en la siguiente definición:Si x es un número real, su valor absoluto es:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

VOLVER AL ÍNDICE

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. VER DEMOSTRACIÓN

8. 9.

10. 11.12.

o

13. 14. VER DEMOSTRACIÓN

Las siguientes propiedades son consecuencia directa de la definición anterior: sean e números reales cualesquiera.

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTOT

EM A2

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

MATEMÁTICA I

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOT

EM A3

Las ecuaciones con valor absoluto se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo.Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones:

1.

2.

3.

4.

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

MATEMÁTICA I

Solución:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

Ejemplo 1: |𝟑 𝒙+𝟓|=𝟒

Aplicando la propiedad 11 de valor absoluto:

c con :

Formamos dos

EcuacionesECUACIÓN 1

ECUACIÓN 2Resolvamos estas

Ecuaciones

copia en tu cuaderno y resuelve las dos ecuaciones lineales antes planteadas

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

Resolviendo cada una de estas ecuaciones se obtiene:

Verifiquemos aplicando la sustitución en la ecuación dada:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

Para reemplazamos este valor de en la ecuación

y se tiene

Lo cual es una proposición verdadera, esto nos dice que el

valor de encontrado es correcto.

Ahora verificamos para la otra solución de la ecuación:

Para

luego se tiene

En conclusión: el conjunto solución de la ecuación es:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

Ejemplo 2: Solución:Aplicamos la propiedad 3 de valor absoluto

: se tiene:

Al extraer raíz cuadrada en ambos miembros:

Por la propiedad 7 de valor absoluto se obtiene la ecuación:

Cuya solución es:

Por lo tanto el conjunto solución es:

Al comprobar:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

Ejemplo 3: Solución:La solución de la ecuación dada es el conjunto , ya que el miembro de la izquierda: para cualquier en R y el miembro de la derecha es -1 es negativo, por lo que dicha igualdad no es cierta cualquiera sea el valor de x.

Ejemplo 4: Solución: Como , entonces se debe cumplir lo cual equivale a . Luego, se aplica la propiedad 11 de valor absoluto, obteniéndose: (i) ó (ii) 

La solución de la ecuación (i) es: y la de (ii) es . Los números -1 y 1 no satisfacen la condición entonces, el conjunto no es la solución de la ecuación . Esto es, la ecuación no tiene solución.

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

VOLVER AL ÍNDICE

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOT

EM A4

Las inecuaciones se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo.  Ejemplo 1:

Solución: Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto

resulta:

De allí que: . Luego la solución de la inecuación es:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

MATEMÁTICA I

Ejemplo 2: Solución:Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto, se tiene:

además

Lo cual equivale a:

Al resolver estas dos inecuaciones se obtiene:

Luego la solución de la inecuación es:

Se podría usar otro método alternativo de solución como la definición de valor absoluto, lo cual nos deberá dar el mismo resultado, veamos:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

Dado que:

Aplicando la definición de valor absoluto, nos queda que:

o

Al resolver estas cuatro inecuaciones resulta:

Luego,

Recuerde que ,

Así, la solución de la inecuación dada es:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

Ejemplo 3:

Solución:Aplicando la propiedad 13 de valor absoluto se tiene:

De aquí se obtienen dos inecuaciones:i)

ii)

Resolviendo (i) se obtiene la cual es verdadera por lo que su solución es Resolviendo (ii) se obtiene se obtiene la solución

Luego la solución de la inecuación es:

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

VOLVER AL ÍNDICE

Para verificar los conocimientos adquiridos realiza la actividad de evaluación sugerida para el reforzamiento de esta clase

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I

•Gutiérrez, Y. (2005). Introducción a los Números Reales. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz.

•Morales, E. (2004). Números Reales y Geometría Analítica con estrategias heurísticas y algorítmicas de resolución de problemas. Trabajo de ascenso. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz.

•Morales, E. (2014). Uso del diagrama V de Gowin y la Trilogía CRP como estrategias heurísticas de solución de problemas. Notas didácticas para el curso de matemáticas I: Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre”. Trabajo de ascenso. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz.

•Núñez, L. (2007). Números Reales. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz.

•Sobel, Max. (1998). Pre-cálculo. (Quinta edición). México. Prentice Hall.

FIN DE LA CLASE 5

UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1)

Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

UNEXPO

MATEMÁTICA I