IntroduccionProblemas de valores frontera

EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

Introduccion a las ecuaciones en derivadasparciales

Manuel Fernandez Garcıa-Hierro

Universidad de Extremadura, Badajoz

17 de enero de 2011

M. Fernandez Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales

IntroduccionProblemas de valores frontera

EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

I Hasta ahora las ecuaciones diferenciales estudiadas han sidorelaciones entre una o mas funciones de una variable y susderivadas. Se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias.

I Problemas importantes en matematicas aplicadas conducen aecuaciones en derivadas parciales.

I Una ecuacion en derivadas parciales es una relacion entre unao mas funciones de varias variables y sus derivadas parciales.

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

I Hasta ahora las ecuaciones diferenciales estudiadas han sidorelaciones entre una o mas funciones de una variable y susderivadas. Se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias.

I Problemas importantes en matematicas aplicadas conducen aecuaciones en derivadas parciales.

I Una ecuacion en derivadas parciales es una relacion entre unao mas funciones de varias variables y sus derivadas parciales.

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

I Hasta ahora las ecuaciones diferenciales estudiadas han sidorelaciones entre una o mas funciones de una variable y susderivadas. Se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias.

I Problemas importantes en matematicas aplicadas conducen aecuaciones en derivadas parciales.

I Una ecuacion en derivadas parciales es una relacion entre unao mas funciones de varias variables y sus derivadas parciales.

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

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Ejemplo

I La ecuacion∂3u

∂x3+

(∂u

∂t

)2

=∂2u

∂x

es una ecuacion en derivadas parciales para la funcion u(t, x).

I Las ecuaciones

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂y

son un sistema de ecuaciones en derivadas parciales para lasdos funciones u(x , y) y v(x , y).

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Ejemplo

I La ecuacion∂3u

∂x3+

(∂u

∂t

)2

=∂2u

∂x

es una ecuacion en derivadas parciales para la funcion u(t, x).

I Las ecuaciones

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂y

son un sistema de ecuaciones en derivadas parciales para lasdos funciones u(x , y) y v(x , y).

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

DefinicionEl orden de una ecuacion en derivadas parciales es el orden de laderivada parcial mas elevada que aparece en la ecuacion.

Hay tres ecuaciones diferenciales de orden 2 que aparecen conmucha frecuencia en las aplicaciones. Estas ecuaciones son:

I La ecuacion del calor

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2,

I La ecuacion de ondas

∂2u

∂t2= c2∂

2u

∂x2,

I La ecuacion de Laplace o del potencial

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

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DefinicionEl orden de una ecuacion en derivadas parciales es el orden de laderivada parcial mas elevada que aparece en la ecuacion.

Hay tres ecuaciones diferenciales de orden 2 que aparecen conmucha frecuencia en las aplicaciones. Estas ecuaciones son:

I La ecuacion del calor

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2,

I La ecuacion de ondas

∂2u

∂t2= c2∂

2u

∂x2,

I La ecuacion de Laplace o del potencial

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

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DefinicionEl orden de una ecuacion en derivadas parciales es el orden de laderivada parcial mas elevada que aparece en la ecuacion.

Hay tres ecuaciones diferenciales de orden 2 que aparecen conmucha frecuencia en las aplicaciones. Estas ecuaciones son:

I La ecuacion del calor

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2,

I La ecuacion de ondas

∂2u

∂t2= c2∂

2u

∂x2,

I La ecuacion de Laplace o del potencial

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

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DefinicionEl orden de una ecuacion en derivadas parciales es el orden de laderivada parcial mas elevada que aparece en la ecuacion.

Hay tres ecuaciones diferenciales de orden 2 que aparecen conmucha frecuencia en las aplicaciones. Estas ecuaciones son:

I La ecuacion del calor

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2,

I La ecuacion de ondas

∂2u

∂t2= c2∂

2u

∂x2,

I La ecuacion de Laplace o del potencial

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

Al resolver las ecuaciones anteriores por el metodo de separacionde variables surge el siguiente problema:

¿Para que valores de λ se pueden encontrar funciones no trivialesX (x) que cumplan

X ′′(x) +λX (x) = 0; aX (0) + bX ′(0) = 0, cX (l) + dX ′(l) = 0?

El problema anterior se llama problema de valores frontera, puestoque se suministra informacion sobre la solucion X (x) y su derivadaX ′(x) en la frontera del intervalo de extremos x = 0 y x = l ,mientras que en un problema de valor inicial se conoce el valor deX (x) y de su derivada en un punto x = x0.

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Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

Al resolver las ecuaciones anteriores por el metodo de separacionde variables surge el siguiente problema:¿Para que valores de λ se pueden encontrar funciones no trivialesX (x) que cumplan

X ′′(x) +λX (x) = 0; aX (0) + bX ′(0) = 0, cX (l) + dX ′(l) = 0?

El problema anterior se llama problema de valores frontera, puestoque se suministra informacion sobre la solucion X (x) y su derivadaX ′(x) en la frontera del intervalo de extremos x = 0 y x = l ,mientras que en un problema de valor inicial se conoce el valor deX (x) y de su derivada en un punto x = x0.

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Al resolver las ecuaciones anteriores por el metodo de separacionde variables surge el siguiente problema:¿Para que valores de λ se pueden encontrar funciones no trivialesX (x) que cumplan

X ′′(x) +λX (x) = 0; aX (0) + bX ′(0) = 0, cX (l) + dX ′(l) = 0?

El problema anterior se llama problema de valores frontera, puestoque se suministra informacion sobre la solucion X (x) y su derivadaX ′(x) en la frontera del intervalo de extremos x = 0 y x = l ,mientras que en un problema de valor inicial se conoce el valor deX (x) y de su derivada en un punto x = x0.

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El problema de valores frontera tiene soluciones no triviales solopara algunos valores de λ

Ejemplo

Resuelva el problema de valores frontera

X ′′(x) + λX (x) = 0; X (0) = 0, X (l) = 0.

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

Se cumple el siguiente teorema que establecemos sin demostracion

TeoremaEl problema de valores frontera

X ′′(x) + λX (x) = 0; aX (0) + bX ′(0) = 0, cX (l) + dX ′(l) = 0

tiene soluciones no triviales solo para un conjunto numerable devalores λ1 ≤ λ2, . . . tales que lımn→∞ λn =∞.

ComentarioLos valores λn se llaman autovectores del problema de valoresfrontera y las soluciones no triviales, Xn(x) se llaman autofuncionescorrespondientes al autovalor λn. En el ejemplo, los autovaloresson λn = n2π2/l2 y las autofunciones son Xn(x) = sin(nπx/l)

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Se cumple el siguiente teorema que establecemos sin demostracion

TeoremaEl problema de valores frontera

X ′′(x) + λX (x) = 0; aX (0) + bX ′(0) = 0, cX (l) + dX ′(l) = 0

tiene soluciones no triviales solo para un conjunto numerable devalores λ1 ≤ λ2, . . . tales que lımn→∞ λn =∞.

ComentarioLos valores λn se llaman autovectores del problema de valoresfrontera y las soluciones no triviales, Xn(x) se llaman autofuncionescorrespondientes al autovalor λn. En el ejemplo, los autovaloresson λn = n2π2/l2 y las autofunciones son Xn(x) = sin(nπx/l)

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Se cumple el siguiente teorema que establecemos sin demostracion

TeoremaEl problema de valores frontera

X ′′(x) + λX (x) = 0; aX (0) + bX ′(0) = 0, cX (l) + dX ′(l) = 0

tiene soluciones no triviales solo para un conjunto numerable devalores λ1 ≤ λ2, . . . tales que lımn→∞ λn =∞.

ComentarioLos valores λn se llaman autovectores del problema de valoresfrontera y las soluciones no triviales, Xn(x) se llaman autofuncionescorrespondientes al autovalor λn.

En el ejemplo, los autovaloresson λn = n2π2/l2 y las autofunciones son Xn(x) = sin(nπx/l)

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Se cumple el siguiente teorema que establecemos sin demostracion

TeoremaEl problema de valores frontera

X ′′(x) + λX (x) = 0; aX (0) + bX ′(0) = 0, cX (l) + dX ′(l) = 0

tiene soluciones no triviales solo para un conjunto numerable devalores λ1 ≤ λ2, . . . tales que lımn→∞ λn =∞.

ComentarioLos valores λn se llaman autovectores del problema de valoresfrontera y las soluciones no triviales, Xn(x) se llaman autofuncionescorrespondientes al autovalor λn. En el ejemplo, los autovaloresson λn = n2π2/l2 y las autofunciones son Xn(x) = sin(nπx/l)

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

Encuentre los autovalores y autofunciones de cada uno de lossiguientes problemas de valores frontera.

1. X ′′(x) + λX (x) = 0, X (0) + X ′(0) = 0, X (1) = 0.

2. X ′′(x) + λX (x) = 0, X (0) = 0, X ′(l) = 0.

3. X ′′(x) + λX (x) = 0, X ′(0) = 0, X ′(l) = 0.

4. X ′′(x)− λX (x) = 0, X ′(0) = 0, X ′(l) = 0.

5. X ′′(x) + λX (x) = 0, X ′(0) = 0, X (l) = 0.

6. X ′′(x) + λX (x) = 0, X (0) = 0, X (π)− X ′(π) = 0.

7. X ′′(x) + λX (x) = 0, X (0)− X ′(0) = 0, X (1) = 0.

8. X ′′(x) + λX (x) = 0, X (0)− X ′(0) = 0, X (π)− X ′(π) = 0.

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Separacion de variables

I Considerese una varilla de metal delgada de longitud l cuyasuperficie esta aislada.

I Sea u(t, x) la temperatura de la varilla en el tiempo t y elpunto x .

I Esta funcion cumple la ecuacion

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2, 0 < x < l .

I La constante α2 es el coeficiente de difusion termico de lavarilla que depende unicamente del material de la queesta construida.

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Separacion de variables

I Considerese una varilla de metal delgada de longitud l cuyasuperficie esta aislada.

I Sea u(t, x) la temperatura de la varilla en el tiempo t y elpunto x .

I Esta funcion cumple la ecuacion

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2, 0 < x < l .

I La constante α2 es el coeficiente de difusion termico de lavarilla que depende unicamente del material de la queesta construida.

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Separacion de variables

I Considerese una varilla de metal delgada de longitud l cuyasuperficie esta aislada.

I Sea u(t, x) la temperatura de la varilla en el tiempo t y elpunto x .

I Esta funcion cumple la ecuacion

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2, 0 < x < l .

I La constante α2 es el coeficiente de difusion termico de lavarilla que depende unicamente del material de la queesta construida.

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Separacion de variables

I Considerese una varilla de metal delgada de longitud l cuyasuperficie esta aislada.

I Sea u(t, x) la temperatura de la varilla en el tiempo t y elpunto x .

I Esta funcion cumple la ecuacion

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2, 0 < x < l .

I La constante α2 es el coeficiente de difusion termico de lavarilla que depende unicamente del material de la queesta construida.

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Separacion de variables

Para conocer la temperatura de la varilla en cualquier tiempo,u(t, x), se necesita conocer

I La distribucion inicial de temperatura, es decir, u(0, x).

I ¿Que sucede en los extremos de la varilla? Por ejemplo, estana la temperatura constante de cero grados, es decir,u(t, 0) = 0, u(t, l) = 0, o bien ambos extremos estan aislados,de modo que el calor no puede pasar a traves de ellos, esdecir, ux(t, 0) = ux(t, l) = 0.

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Separacion de variables

Sea el problema de valor inicial-frontera

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2; u(0, x) = f (x), 0 < x < l , u(t, 0) = u(t, l) = 0.

En primer lugar observese que si u1(t, x), . . . , un(t, x) sonsoluciones del problema de valores frontera

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2; u(t, 0) = u(t, l) = 0,

entonces c1u1(t, x) + · · ·+ cnun(t, x) donde c1, . . . , cn ∈ Rtambien es solucion del mismo problema de valores frontera.

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Separacion de variables

Sea el problema de valor inicial-frontera

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2; u(0, x) = f (x), 0 < x < l , u(t, 0) = u(t, l) = 0.

En primer lugar observese que si u1(t, x), . . . , un(t, x) sonsoluciones del problema de valores frontera

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2; u(t, 0) = u(t, l) = 0,

entonces c1u1(t, x) + · · ·+ cnun(t, x) donde c1, . . . , cn ∈ Rtambien es solucion del mismo problema de valores frontera.

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

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Separacion de variables

Ası que para resolver el problema de valor inicial-frontera seutilizara la siguiente estrategia:

I Encontraremos tantas soluciones u1(t, x), u2(t, x), . . . delproblema de valores frontera cuantas podamos.

I Determinaremos la solucion u(t, x) del problema de valorinicial-frontera tomando una apropiada combinacion lineal delas funciones un(t, x), n = 1, 2, . . . , es decir, de la forma

u(t, x) = c1u1(t, x) + c2u2(t, x) + . . . ,

con c1, c2, . . . elegidos apropiadamente.

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Separacion de variables

Ası que para resolver el problema de valor inicial-frontera seutilizara la siguiente estrategia:

I Encontraremos tantas soluciones u1(t, x), u2(t, x), . . . delproblema de valores frontera cuantas podamos.

I Determinaremos la solucion u(t, x) del problema de valorinicial-frontera tomando una apropiada combinacion lineal delas funciones un(t, x), n = 1, 2, . . . , es decir, de la forma

u(t, x) = c1u1(t, x) + c2u2(t, x) + . . . ,

con c1, c2, . . . elegidos apropiadamente.

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Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

Separacion de variables

Ası que para resolver el problema de valor inicial-frontera seutilizara la siguiente estrategia:

I Encontraremos tantas soluciones u1(t, x), u2(t, x), . . . delproblema de valores frontera cuantas podamos.

I Determinaremos la solucion u(t, x) del problema de valorinicial-frontera tomando una apropiada combinacion lineal delas funciones un(t, x), n = 1, 2, . . . , es decir, de la forma

u(t, x) = c1u1(t, x) + c2u2(t, x) + . . . ,

con c1, c2, . . . elegidos apropiadamente.

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

En 1807 el ingeniero Joseph Fourier anuncio a la Academia deCiencias Francesa que una funcion cualquiera admite un desarrolloinfinito en serie de senos y cosenos.

Concretamente, si f (x)esta definida en el intervalo (−l , l) y

an =1

l

∫ l

−lf (x) cos

nπx

ldx , n = 0, 1, 2, . . .

bn =1

l

∫ l

−lf (x) sin

nπx

ldx , n = 1, 2, . . .

Entonces, la serie infinita

a02

+a1 cosπx

l+b1 sin

πx

l+· · · =

a02

+∞∑n=1

(an cos

nπx

l+ bn sin

nπx

l

)converge a f (x).

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Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

En 1807 el ingeniero Joseph Fourier anuncio a la Academia deCiencias Francesa que una funcion cualquiera admite un desarrolloinfinito en serie de senos y cosenos. Concretamente, si f (x)esta definida en el intervalo (−l , l) y

an =1

l

∫ l

−lf (x) cos

nπx

ldx , n = 0, 1, 2, . . .

bn =1

l

∫ l

−lf (x) sin

nπx

ldx , n = 1, 2, . . .

Entonces, la serie infinita

a02

+a1 cosπx

l+b1 sin

πx

l+· · · =

a02

+∞∑n=1

(an cos

nπx

l+ bn sin

nπx

l

)converge a f (x).

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En 1807 el ingeniero Joseph Fourier anuncio a la Academia deCiencias Francesa que una funcion cualquiera admite un desarrolloinfinito en serie de senos y cosenos. Concretamente, si f (x)esta definida en el intervalo (−l , l) y

an =1

l

∫ l

−lf (x) cos

nπx

ldx , n = 0, 1, 2, . . .

bn =1

l

∫ l

−lf (x) sin

nπx

ldx , n = 1, 2, . . .

Entonces, la serie infinita

a02

+a1 cosπx

l+b1 sin

πx

l+· · · =

a02

+∞∑n=1

(an cos

nπx

l+ bn sin

nπx

l

)converge a f (x).

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

I El anuncio de Fourier causo un enorme rechazo. Muchos desus miembros mas importantes, incluido Lagrange, pensaronque el resultado de Fourier era falso.

I Este fue el inicio del Analisis de Fourier. A partir de estemomento, muchos matematicos se pusieron a la tarea dedemostrar el resultado de Fourier.

I En 1965, el matematico sueco Lennart Carleson demostro laconvergencia de la Serie de Fourier ( en casi todo punto delintervalo [−l , l ]) para funciones de cuadrado integrable en elsentido de Lebesgue.

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I El anuncio de Fourier causo un enorme rechazo. Muchos desus miembros mas importantes, incluido Lagrange, pensaronque el resultado de Fourier era falso.

I Este fue el inicio del Analisis de Fourier. A partir de estemomento, muchos matematicos se pusieron a la tarea dedemostrar el resultado de Fourier.

I En 1965, el matematico sueco Lennart Carleson demostro laconvergencia de la Serie de Fourier ( en casi todo punto delintervalo [−l , l ]) para funciones de cuadrado integrable en elsentido de Lebesgue.

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I El anuncio de Fourier causo un enorme rechazo. Muchos desus miembros mas importantes, incluido Lagrange, pensaronque el resultado de Fourier era falso.

I Este fue el inicio del Analisis de Fourier. A partir de estemomento, muchos matematicos se pusieron a la tarea dedemostrar el resultado de Fourier.

I En 1965, el matematico sueco Lennart Carleson demostro laconvergencia de la Serie de Fourier ( en casi todo punto delintervalo [−l , l ]) para funciones de cuadrado integrable en elsentido de Lebesgue.

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El siguiente teorema cubre la mayor parte de las situaciones queaparecen en las aplicaciones.

TeoremaSean f y f ′ funciones continuas a trozos en el intervalo [−l , l ].(Esto significa que f y f ′ tienen a lo sumo un numero finito dediscontinuidades en el intervalo, y ambas f y f ′ tienen lımiteslaterales por la derecha y por la izquierda en los puntos dediscontinuidad). La serie de Fourier de f ,

a02

+∞∑n=1

(an cos

nπx

l+ bn sin

nπx

l

),

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Teorema (Continuacion)

donde

an =1

l

∫ l

−lf (x) cos

nπx

ldx , n = 0, 1, 2, . . . ,

bn =1

l

∫ l

−lf (x) sin

nπx

ldx , n = 1, 2, . . . ,

converge a f (x), si f es continua en x ∈ (−l , l) y a(f (x + 0) + f (x − 0))/2, si f es discontinua en x ∈ (−l , l).

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ComentarioLa cantidad (f (x + 0) + f (x − 0))/2 es la media de los lımiteslaterales por la derecha y por la izquierda de f en x. Si se redefinef (x) = (f (x + 0) + f (x − 0))/2 en los puntos de discontinuidad delintervalo (−l , l), entonces la serie de Fourier converge a f (x) entodos los puntos del intervalo (−l , l).

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Supongase que se ha redefinido f tal como se indica en elcomentario anterior y que se cumple el teorema de convergencia.entonces

f (x) =a02

+∞∑n=1

(an cos

nπx

l+ bn sin

nπx

l

), −l < 0 < l .

Observese que las funciones cos nπxl y sin nπx

l son 2l- periodicas.Entonces la serie de Fourier converge para todo x a una funcion2l-periodica, llamada la extension periodica de f , definida por

F (x) = f (x), −l < x < l

F (x + 2l) = F (x).

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EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

DefinicionUna funcion f (x) es par si f (x) = f (−x). Una funcion f (x) esimpar si f (x) = −f (−x).

La funcion cos nπxl es par y la funcion sin nπx

l es impar.

M. Fernandez Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales

IntroduccionProblemas de valores frontera

EjerciciosLa ecuacion del calor. Separacion de variables

Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

I El producto de dos funciones pares es una funcion par.

I El producto de dos funciones impares es una funcion par.

I El producto de una funcion par por una impar es una funcionimpar.

I Si f (x) es impar, entonces∫ l−l f (x) dx = 0.

I Si f (x) es par, entonces∫ l−l f (x) dx = 2

∫ l0 f (x) dx .

M. Fernandez Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales

IntroduccionProblemas de valores frontera

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Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

LemaLa serie de Fourier de una funcion par no contiene terminos de laforma sin nπx

l . Es decir, es una serie solo de cosenos.La serie de Fourier de una funcion impar no contiene terminos dela forma cos nπx

l . Es decir, es una serie solo de senos.

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IntroduccionProblemas de valores frontera

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Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

Los resultados que siguen nos permiten resolver el problema devalor inicial-frontera para la ecuacion del calor.

TeoremaSean f y f ′ continuas a trozos en el intervalo [0, l ]. Supongase quef se ha redefinido de forma que f (x) = (f (x + 0) + f (x − 0))/2 enlos puntos de discontinuidad de (0, l).Entonces f admite un desarrollo en solo cosenos

a02

+∞∑n=1

an cosnπx

l, 0 < x < l ,

donde

an =2

l

∫ l

0f (x) cos

nπx

ldx , n = 0, 1, 2, . . . .

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IntroduccionProblemas de valores frontera

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Series de FourierDe nuevo la ecuacion del calor

TeoremaSean f y f ′ continuas a trozos en el intervalo [0, l ]. Supongase quef se ha redefinido de forma que f (x) = (f (x + 0) + f (x − 0))/2 enlos puntos de discontinuidad de (0, l).Entonces f admite un desarrollo en solo senos

∞∑n=1

bn sinnπx

l, 0 < x < l ,

donde

bn =2

l

∫ l

0f (x) sin

nπx

ldx , n = 1, 2, . . . .

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IntroduccionProblemas de valores frontera

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Otro problema de valor inicial-frontera para la ecuacion del calor

Sea el problema de valor inicial-frontera

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2; u(0, x) = f (x), 0 < x < l , u(t, 0) = u(t, l) = 0.

Se ha visto que la funcion

u(t, x) =∞∑n=1

cn sinnπx

le−α

2n2π2t/l2

es solucion del problema de valores frontera

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2; u(t, 0) = u(t, l) = 0.

cualesquiera que sean c1, c2, . . .

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Otro problema de valor inicial-frontera para la ecuacion del calor

Esto nos conduce a preguntarnos si existen constantes c1, c2, . . .tales que

u(0, x) =∞∑n=1

cn sinnπx

l= f (x), 0 < x < l .

Como ya hemos visto la respuesta es sı, siempre que f y f ′ seancontinuas en [−l , l ]. Tomando

cn =2

l

∫ l

0f (x) sin

nπx

ldx ,

la serie de Fourier∑∞

n=1 cn sin nπxl converge a la funcion f (x).

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Otro problema de valor inicial-frontera para la ecuacion del calor

La solucion buscada es

u(t, x) =∞∑n=1

(2

l

∫ l

0f (x) sin

nπx

ldx

)sin

nπx

le−α

2n2π2t/l2 .

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Otro problema de valor inicial-frontera para la ecuacion del calor

Considerese una varilla delgada de metal de longitud l y coeficientede difusion termal α2, cuya superficie lateral y extremos estanaislados de modo que no pasa calor a traves de ellos. Ladistribucion inicial de temperatura en la varilla es f (x). Encuentrela distribucion de temperatura en la varilla en cualquier tiempoposterior.Sea u(t, x) la temperatura de la varilla en el tiempo t y en elpunto x . Entonces esta funcion cumple

∂u

∂t= α2∂

2u

∂x2; u(0, x) = f (x), 0 < x < l , ux(t, 0) = ux(t, l) = 0.

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