Introduccion a la teor´ ´ıa de circuitos - hijosdeeva.net · Introducci´on El origen de esta...

Introduccion a la teorıa de circuitos

Parte 1

Circuitos de corriente continua

Ricardo Juan Palma Duran

Copyright (c) 2008 Ricardo Palma. Se otorga permiso para copiar, distribuir y/o modificareste documento bajo los terminos de la Licencia de Documentacion Libre de GNU, Version

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Indice general

Introduccion V

1. Conceptos fundamentales 1

1.1. Corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Elementos fundamentales 9

2.1. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Fuente de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5. Fuente de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6. Principio de conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Leyes de Kirchhoff 21

3.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Ley de los nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Ley de las mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Asociaciones de elementos 31

4.1. Concepto de asociacion de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Asociaciones en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1. Resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.2. Bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.3. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.4. Fuentes de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.5. Fuentes de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3. Asociaciones en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1. Resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.2. Bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.3. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.4. Fuentes de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.5. Fuentes de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4. Mas acerca de asociaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

iii

iv INDICE GENERAL

5. Resolucion de circuitos en DC 615.1. Pistas para la resolucion de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2. Metodo de los nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.1. Metodo de los nudos, ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3. Metodo de las mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3.1. Metodo de las mallas con fuentes de corriente . . . . . . . . . . . . . . . 985.3.2. Metodo de las mallas, ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6. Terminologıa, simbologıa y divisor de tension 1196.1. Terminologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2. Simbologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.3. Divisor de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7. Teoremas 1277.1. Principio de superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2. Teorema de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.3. Teorema de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.4. Relacion Thevenin-Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.5. Teoremas, ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Introduccion

El origen de esta coleccion se remonta al verano del 2004, cuando unos amigos que, comoyo, estudiaban (y todavıa estudian) Ingenierıa Informatica en la Escuela Tecnica Superior deIngenierıa Informatica y Telecomunicaciones (ETSIIT) de la Universidad de Granada (UGR),se vieron obligados a estudiar la asignatura de Fundamentos Fısicos de la Informatica (FFI)para la convocatoria de setiembre. Para ser sincero, no se en que momento se me paso por lacabeza decidir ayudarlos, pero ası fue.

Al igual que muchos de mis companeros, algunos de los cuales todavıa la tienen pendiente,sufrı bastante para aprobar la asignatura de FFI. Cuando la aprobe, sin embargo, lo hice conbastante buena nota, y siendo consciente de que, a diferencia de muchas otras asignaturas quese han perdido en el baul de los recuerdos, a esta la dominaba. Ası pues, llegado el verano de2004, decidı ayudar a estos amigos. Dado que por motivos de transporte quedar con ellos eraalgo complicado, decidı tomar otra opcion mas complicada aun: hacerles unos apuntes para queası ellos autoaprendieran todo lo necesario para aprobar la asignatura.

Fue ası que decidı hacer los apuntes. He de reconocer que, si bien supusieron muchas horas detrabajo, la idea de ayudar a mis amigos me mantuvo firme, ası que, a pesar de pasar un veranoun tanto peculiar, al final los acabe. Una vez aprobaron mis amigos, me pregunte que harıacon los casi 500 folios de apuntes que habıa escrito. Fue entonces cuando pense que quizas losapuntes podrıan ser utiles a generaciones venideras. Cuando uno estudiaba FFI, era frustrantever que, ni contaba con buenos apuntes, ni contaba con buenos ejemplos para poner en practicalos conocimientos teoricos. Ası pues, me decante por la opcion de escanearlos 1, encuadernarlosy subirlos a la pagina http://www.hijosdeeva.net, y he ahı que nacieron los famosos apuntesde Ricardo Palma2.

En el momento en el que hice publicos los apuntes, varios amigos sugirieron la idea de queintentara sacar algun beneficio por ello. No se como habrıa salido la idea, pero lo que sı es ciertoes que al final no me he arrepentido de distribuirlos libremente. Quizas la parte mas satisfactoriade todas es la de recibir correos de gente de diversas regiones de Espana, e incluso America delSur, agradeciendote el trabajo. Momentos como esos hacen que te sientas realmente bien. Aellos, gracias.

Pasaron los anos, y la voz de otro amigo de la facultad no dejaba de sonar dentro de micabeza: ¿por que no pasas los apuntes a ordenador? Aunque tener unos apuntes que sabıa quetanta gente usaba era algo muy satisfactorio, el formato en el que se presentaban distaba de serbueno. Ciertamente, era bastante cutre, ası que, ya hara un ano, decidı hacer caso de mi amigoy comence a pasar los apuntes a ordenador. En un principio opte por escribir los apuntes enla famosa suite ofimatica OpenOffice3, la cual inicialmente me proporciono resultados bastanteaceptables. Por desgracia, mantener un archivo con tantas imagenes insertadas, y en un formato

1El escaneo fue posible gracias a un super escaner del que disponıa el departamento de Electronica y Tec-nologıa de los Computadores, y gracias, sobre todo, al que fue mi profesor en FFI, que me dejo usar la susodichamaquina.

2La primera vez que oı esa frase fue dos cursos mas tarde, cuando un amigo me presento a un amigo suyoque, literalmente, me dijo ehh, ¿¡tu eres el de los famosos apuntes!?. Disculpad el pegote.

3http://www.openoffice.org/ .

v

vi INTRODUCCION

no reconocido directamente por OpenOffice (el formato PostScript), hicieron del archivo delmanual de corriente continua una bestia incontrolable que conseguıa, en incontables ocasiones,sacarme de mis casillas. Apunto de acabar la primera parte de esta coleccion, decidı probarLATEX

4, del cual no habıan dejado de hablarme a lo largo de la carrera. Con LATEX, no soloobtuve unos resultados bastante mejores que con OpenOffice, sino que, ademas, los archivos queconformaban el documento eran simples ficheros de texto plano que apenas requerıan recursospara ser procesados. En resumen, mas rapido y mejor. Ası pues, tuve que repasar los apuntesque tenıa escritos en OpenOffice a LATEX (cuando comence a usar LATEX tenıa casi finalizado ellibro de corriente continua), lo cual hizo que este libro se retrasase en su salida mas de un mes.

Esta coleccion es una introduccion a la teorıa de circuitos. Si bien el temario de la asignaturade FFI era bastante mas amplio, el nucleo de la asignatura trataba de teorıa de circuitos basica,y de ahı que me centrara en ello. Este libro, concretamente, comienza las andanzas por el mundode la teorıa de circuitos, e introduce al lector al analisis de circuitos en condiciones de corrientecontinua. Los circuitos de corriente continua son la base de la teorıa de circuitos, ya que lasleyes y metodos empleados al trabajar con ellos mantienen su validez en circuitos de mayorcomplejidad. Este, por tanto, es el primer paso en nuestra carrera hacia el aprobado. Suerte.

Notas de la edicion

Antes de que el lector pusiera el ojo en el contenido de este libro, me gustarıa incitarle a queme informara de cualquier errata que en el hallase: faltas de ortografıa, errores matematicos, osimplemente burradas de las que no me haya dado cuenta... todo vale. A ser posible, que estassugerencias se envıen por correo electronico a la direccion [email protected] hace falta decir que, cualquier otro tipo de sugerencia, sera gratamente recibida.

He de dejar constancia del hecho de que este libro se ha escrito un tanto deprisa y corriendo,de modo que soy consciente de que en el ha de haber bastantes erratas fruto de la trascripcionhecha a partir de los apuntes escritos a mano. De nuevo ruego al lector de que me informe decualquier tipo de error, para poder mejorar el contenido del libro (a ser posible, en tiempo real).

4Para quien no lo sepa, LaTeX es un sistema de escritura de documentos que discrepta de los editoresnormales tipo OpenOffice o Microsoft Office. Estos editores se conocen como editores WYSIWYG, es decir,editores en los que lo que ves es lo que obtienes. Con LATEX, a diferencia, los documentos se escriben comoarchivos de texto plano que son compilados, obteniendo unos resultados absolutamente profesionales.

Capıtulo 1

Conceptos fundamentales

En este capıtulo se definen varios conceptos que seran fundamentales a lo largo de todonuestro trabajo. Son los conceptos de corriente continua, tension, corriente, potencia y Ley deOhm.

1.1. Corriente continua

Se dice que un circuito es de corriente continua si todas las tensiones y corrientes que en elhay son constantes en el tiempo.

Este va a ser el tipo de circuito mas sencillo que se resolvera en estos libros, pero, a suvez, el mas importante, ya que el analisis de otros circuitos mas complejos (con dispositivoselectronicos, con senales variables en el tiempo, . . . ) usara una metodologıa muy similar, si noidentica, a la que ahora nos disponemos a emplear (fundamentalmente las Leyes de Kirchoff).

El termino corriente continua suele abreviarse mediante sus siglas inglesas, a saber, DC 1.

1.2. Tension

El concepto de tension o diferencia de potencial (ddp) nos deberıa resultar familiar, ya quese estudia en la primera parte de la asignatura de Fundamentos Fısicos de la Informatica, quees la asignatura a la que esta dirigida este libro. No pretendemos hacer hincapie en el conceptode tension tal y como ya se habra hecho, sino destacar dos propiedades muy importantes y quecobran especial relevancia en el analisis de circuitos.

Por un lado, una tension no es mas que una diferencia del potencial electrico presente en dospuntos. Por ejemplo, si en un punto A hay un potencial Va, y en un punto B hay un potencialVb, entonces entre A y B se dice que hay una tension de:

Vab = Va − Vb (1.1)

Desde el comienzo de este libro me gustarıa remarcar algo referente a la formula (1.1). Laformula (1.1) dice que uve sub a,b es igual a uve sub a menos uve sub b. Es importante deciresto, ya que mucha gente suele confundirse con el orden en el que se escriben los factores queintervienen en la diferencia. Si estamos hallando V sub algo, otro algo, entonces en la diferenciaaparece primero V sub algo y despues V sub otro algo.

Surge aquı un problema que el lector habra tratado anteriormente, y es la imposibilidadde conocer el potencial electrico en un punto determinado. Si bien en la formula anterior seha escrito con cierta despreocupacion tanto Va como Vb, no es posible conocer ninguno

1Del ingles direct current.

1

2 CAPITULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.1: tomas de tierra

de esos valores. El lector sabra que, en la realidad, solo se puede conocer una diferencia depotencial entre dos puntos, pero nunca el potencial en alguno de ellos por separado. Entonces,parece que la formula arriba expuesta no tiene sentido, ya que ni Va ni Vb pueden conocerse.

Ahora bien, debemos rememorar tambien que, si bien eso es cierto, tambien es cierto que,por convenio (es decir, porque-nos-sale-de-las-pelotas), y para facilitarnos las cosas, era comunfijar un punto del espacio arbitrario con potencial 0. Insistimos, eso es un convenio, ya que no sepuede conocer el potencial en un punto del espacio. Establecido ese punto de potencial 0, resultaque las formulas matematicas comienzan a cobrar algo mas de sentido, de modo que ahora sı esposible conocer los valores de potencial en cualquier punto del espacio. Debemos tener en cuentaque lo que realmente importa, lo que realmente existe, son diferencias de potencial. Por tanto,la eleccion de ese punto de potencial 0 no debe repercutir (y de hecho no repercute) en lasdiferencias de potencial entre cualesquiera puntos del espacio.

A modo de ejemplo, supongamos que tenemos una pila normal de 1,5 voltios. Lo que vienea significar que una pila sea de 1,5 voltios es que la tension o diferencia de potencial que hayentre su polo positivo y su polo negativo es de 1,5 voltios. Eso, simplemente eso y nada mas,es decir:

V+ − V− = 1,5V

Dependiendo de el punto que se fijase con potencial 0, se podrıa llegar a conclusiones tandispares como que V+ = 17V y que V− = 1V , o que V+ = 1V y que V− = −0,5V , o queV+ = 1,5V y que V− = 0V (en este ultimo caso el punto de potencial 0 coincide con el polonegativo de la pila). Ahora bien, en todos esos casos, es facil ver que la diferencia sigue siendoconstante, e igual a 1,5V . Como se habıa dicho, si bien los valores de potencial de un puntopueden variar dependiendo del punto que se fije como punto de potencial 0, las diferenciasde potencial no cambian.

En el caso particular de los circuitos, ese punto de potencial 0 se denomina toma de tierra, osimplemente, tierra. Hay diversos sımbolos usados para representar la toma de tierra, de entrelos cuales destacamos dos, representados en la Figura 1.1.

La toma de la izquierda es el sımbolo mas comun, y el que nosotros usaremos mayoritaria-mente a lo largo del libro.

Hay que destacar tambien que al potencial electrico en un punto del espacio tambien sele conoce como tension, sı, como tension. Esta nomenclatura puede dar lugar a confusiones.Anteriormente, nosotros habıamos definido tension como una diferencia de potencial. Ahoraestamos diciendo que esos potenciales tambien son conocidos como tension. Para ser sincero,el termino potencial no se usa demasiado. Digamos que, en teorıa de circuitos, no se utilizaa penas. En cambio, cuando no hay posibilidad de ambiguedad, el termino tension se refiereal potencial en un punto (lo cual solo tiene sentido, como hemos dicho antes, si hay toma detierra establecida). La conclusion entonces es que, dependiendo del contexto, la palabra tensionpuede referirse a una diferencia de potencial entre dos puntos, o bien al potencial en alguno deesos puntos. En este contexto, muchas personas se refieren a la diferencia de potencial comodiferencia de tension. De este modo ya no habrıa posibilidad de confusion, ya que diferenciade tension harıa referencia a la magnitud que es diferencia de potenciales, y tension harıareferencia a cada uno de los respectivos potenciales. Es responsabilidad del que habla no darlugar a ambiguedades.

La otra propiedad que querıamos senalar de la tension o diferencia de potencial es que,

1.3. CORRIENTE 3

cuando una carga q se desplaza a traves de una diferencia de potencial ∆V = Vfinal − Vinicial

entonces su energıa potencial electrica varıa tanto como:

∆U = q∆V

Ahora bien, si esa cantidad de carga es infinitamente pequena, es decir, es un diferencial decarga dq, entonces la variacion de energıa ∆U tambien se hace infinitamente pequena, pasandoa ser dU , de modo que la formula anterior queda como:

dU = dq∆V (1.2)

Expresion que usaremos para obtener la formula de la potencia en muy variadas situaciones.

1.3. Corriente

Se define la corriente electrica como la cantidad de carga que atraviesa una determinadasuperficie por unidad de tiempo, es decir:

I =dq

dt

La corriente electrica se mide en Amperios (A). Un Amperio equivale a un Culombio porsegundo (C/s).

Hay que destacar que, en pocas palabras, una corriente electrica no es mas que un flujode cargas, ya sean positivas o negativas, que se mueven por el espacio. Siendo estrictos, sitomamos un objeto cargado positivamente, por ejemplo un bistec al que se le han inyectadocargas positivas, y lo lanzamos por el aire, eso, ese bistec junto con sus cargas vendrıa a formaruna corriente electrica. Dejando las discusiones carnicas para otro momento, es necesario que ellector se de cuenta de que, si bien una corriente esta formada por cargas positivas o negativas,una corriente formada por cargas positivas no significa lo mismo que una corriente formada porcargas negativas.

Por convenio (nuevamente), se establece una corriente electrica tiene el sentido de movimien-to de las cargas positivas y opuesto al de las cargas negativas. De este modo, un flujo de cargaspositivas que se mueve de A a B representa una corriente electrica de A a B, pero si dichascargas fuesen negativas, representarıa una corriente que se mueve de B a A. La Figura 1.2 lorepresenta graficamente.

1.4. Potencia

La potencia de un sistema fısico puede definirse como la rapidez con la que varıa su energıapor unidad de tiempo (dicho de otro modo, la cantidad de energıa que gana o pierde por unidadde tiempo). Entonces es evidente que su expresion matematica es:

P (t) =dU

dt

Donde la potencia es una magnitud que se mide en Vatios (W ). Un Vatio equivale a un Juliopor segundo (J/s).

Si la potencia es positiva, P > 0, el sistema gana energıa, que absorbe; en los sencilloselementos que estudiaremos, esa energıa, o bien podra ser devuelta al resto del circuito, o biense disipara en forma de calor. En cualquier caso, la idea clave es que, si P > 0, el sistemaesta absorbiendo energıa, que por tanto se considera que consume de otro lugar.


Figura 1.2: corriente creada por cargas positivas y negativas

Si la potencia es negativa, P < 0, el sistema pierde energıa, que devuelve a otro lugar;en nuestros circuitos, ese fenomeno se traduce en que un elemento devuelve energıa a otroselementos, que podran utilizar.

En el analisis de circuitos la variaciones de energıa se deben al desplazamiento de cargasa traves de diferencias de potencial (tensiones), por tanto, usando la formula (1.2), se deduceque:

P (t) =dU

dt=

dq

dt∆V (t) = I(t)∆V (t)

Se concluye pues que la potencia generada o consumida de por una corriente I(t) que atraviesauna diferencia de potencial ∆V (t) no es mas que el producto de dicha corriente por dichadiferencia de potencial.

Es de vital importancia preservar el criterio de signos, teniendo en cuenta que ∆V (t) es ladiferencia de potencial que se mide en el sentido de circulacion de I(t), es decir, si I(t) se muevede un punto A a un punto B, la diferencia de potencialque requerimos para hallar P (t) es:

∆V (t) = VAB(t) = VA(t)− VB(t)

Esto quizas parezca una idiotez, y es por ello que vamos a insistir un poco mas.

Ejercicio 1.1: Suponiendo que una corriente I = 1mA se mueve como indica la Figura 1.3(de A hacia B), y que ademas VA = 5V y que VB = 10V , se pide hallar la potencia generada oconsumida por dicha corriente.

Figura 1.3: Ejemplo 1.1

Solucion

P = I∆V y ∆V es la diferencia de potencial, o tension, VAB = 5 − 10 = −5V , por tanto,la potencia es:

P = 1 · 10−3(−5V ) = −5 · 10−3W

1.4. POTENCIA 5

Es decir, como P < 0, el sistema pierde energıa. Recuerdese que la unidad del Vatio (W ),representa la rapidez con que varıa la energıa del sistema; concretamente se mide en Julios (J )por segundo, es decir, en este caso la potencia es de −5mJ/s, lo que significa que el sistemapierde 5 julios de energıa cada segundo.

Ejercicio 1.2: Se pide resolver el ejercicio anterior, pero tomando Va = 10V y Vb = 5V .

Solucion

P = I∆V y ∆V es la diferencia de potencial, o tension, VAB = 10− 5 = 5V , por tanto, lapotencia es:

P = 1 · 10−3(5V ) = 5 · 10−3W

Obteniendose un resultado opuesto al anterior, es decir, en este caso P > 0, por tanto el sistemagana energıa y a una razon de 5 julios por segundo.

Viene ahora un pequeno problema, que no es culpa mıa, sino de la falta de criterio comunentre aquellos que decidieron inventar todo esto de los circuitos. Tampoco es algo grave, peroa mas de uno le puede proporcionar un dolor de cabeza si no se da cuenta de ello.

El problema viene en la definicion que hemos dado de potencia:

P (t) = I(t)∆V (t)

En primer lugar, hay que destacar que en vez de escribir ∆V (t) escribiremos V (t), obviando elhecho de que se trata de una diferencia de potencial.

A parte de ello, que no tiene la menor importancia, el problema radica en que en otrostextos esa diferencia de potencial ∆V (t) o V (t) (P (t) = I(t)V (t)) no es exactamente la mismaque nosotros hemos tomado, sino justo la contraria; es decir, con este criterio, si la corrienteI(t) circula de A hacia B, entonces ∆V (t) o V (t) es:

P (t) = VBA(t) = VB(t)− VA(t)

que es, como hemos dicho, la contraria a la que nosotros tomabamos. O lo que es lo mismo, esla misma, pero cambiada de signo.

Evidentemente, si hacemos este cambio, el criterio de signos antes usado para determinarsi una potencia era consumida o generada es invertido. Las potencias que antes eran positivas,ahora seran negativas, y las que antes eran negativas, ahora seran positivas. Por tanto, paraseguir distinguiendo entre lo que es potencia consumida o generada hay que, como hemos dicho,invertir el criterio: ahora las potencias positiva representan potencia generada (la energıa saledel sistema), y la potencia negativa es potencia consumida (la energıa entra al sistema).

El lector deberıa ser capaz de ver que el criterio de signos es un mero convenio sin impor-tancia, ya que al fin y al cabo lo que nos interesa es determinar si una potencia es generada oconsumida.

Por ejemplo, supongamos la corriente de la Figura 1.4. Si usamos el primer criterio de signosque hemos explicado para hallar la potencia del sistema, tendremos que usar esta expresion:

P = IVAB = I(VA − VB) = 5 · 10−3(3− 1) = 10 · 10−3W

En este caso, como nos basamos en el primer criterio, al ser P > 0, se tratarıa de potencia


Figura 1.4: una corriente cualquiera

consumida, es decir, el sistema gana energıa.Si por contra usamos el segundo criterio de signos, deberıamos emplear esta expresion:

P = IVBA = I(VB − VA) = 5 · 10−3(1− 3) = −10 · 10−3W

Ahora bien, aunque la potencia ahora tenga signo negativo, al tratarse del segundo criterio designos, esta se tratara de energıa tambien consumida, es decir, que entra en el sistema.

Vemos por tanto que el criterio usado no importa, pues lo realmente util es determinar, enbase a cualquiera de los dos criterios, si la energıa es absorbida por el sistema o generada porel.

Para concluir la charla acerca del criterio de signos, nosotros, a lo largo de estetexto, vamos a utilizar el criterio de signos que establece:

P (t) = IdeAaB(t)VAB(t) (1.3)

Con lo cual, si P < 0 la potencia sera generada (el sistema pierde energıa), y si P > 0la potencia sera consumida (el sistema gana energıa). Elegimos este criterio porque esmas intuitivo (va acorde con la idea clasica de potencia) y ademas no genera problemas designos a la hora de tratar las formulas de potencias y energıas.

La variacion de energıa de un determinado sistema esta ıntimamente relacionada con lapotencia. De hecho, de la definicion:

P (t) =dU

dtSe puede despejar la variacion de energıa entre dos instantes t0 y t1 (es decir, podemos despejar∆U = U(t1)−U(t0)). De este modo se puede obtener cuanta energıa gana o pierde un sistemaen un intervalo de tiempo. En nuestro caso concreto, hablamos de la energıa ganada o perdidadebido al paso de una corriente electrica por una diferencia de potencial.

Para ello basta integrar la expresion anterior:

∆U = U(t1)− U(t0) =

∫ t1

t0

P (t)dt =

∫ t1

t0

I(t)V (t)dt (1.4)

En corriente continua las corrientes y tensiones son constantes en el tiempo. Por tanto, lapotencia consumida o generada como consecuencia del movimiento de una corriente a travesde una tension o diferencia de potencial, tambien sera constante, de modo que la integral de laexpresion (1.4) se simplifica, obteniendo:

∆U = P

∫ t1

t0

dt = IV (t1 − t0) (1.5)

La expresion (1.4) se usa en circuitos en los que las corrientes y tensiones varıan en el tiempo. Enese caso, si queremos obtener la energıa consumida por cierta corriente I(t) habra que hallar laintegral que dicha formula expresa, lo cual se deberıa reducir a la clasica formula de la integralpor partes. Mas adelante se haran ejemplos al respecto.

La formula (1.5) representa la formula de la energıa consumida o generada si las corrientesy tensiones del circuito son constantes en el tiempo, que es justamente lo que ocurre en loscircuitos de corriente continua. En ese caso, la expresion de la energıa se simplifica bastante: nohay que resolver ninguna integral, y se reduce a calcular el producto de la corriente en cuestionpor la tension que atraviesa y por la duracion del intervalo de tiempo.

1.5. LEY DE OHM 7

ba R

Figura 1.5: una resistencia

ba R

I

Figura 1.6: resistencia por la que circula una corriente de valor I

1.5. Ley de Ohm

¿Que es la Ley de Ohm? La ley de Ohm es la ley mas basica dentro de la teorıa de circuitos.Forma el pan nuestro de cada dıa, y no habra circuito en el que no deba tenerse en cuenta.

La ley en cuestion dice:

Supongamos que a un material conductor se le aplica una diferencia de potencial(tension), V , entre sus extremos. Entonces, se cumple que a traves de el circula unacorriente I proporcional a la tension aplicada, siguiendo la formula:

I =V

R

Donde R es una constante propia de cada material conductor, conocida como resistencia.La resistencia de un material se mide en Ohmios (Ω).

Habıamos establecido por convenio que la corriente tiene un sentido de movimiento igualal de las cargas que la componen, en caso de ser positivas, y opuesto, en caso de ser negativas.Supongamos ahora que tenemos un material conductor de resistencia R, tal y como muestra laFigura 1.5.

Supongamos ahora que aplicamos a esta resistencia una tension Vab tal que Va > Vb. Lacuestion es, ¿hacia donde se dirige la corriente? Pensemos un poco al respecto. Si la corrienteestuviera formada por electrones (que tienen carga negativa), podemos deducir cual es el sentidode movimiento de los electrones en ese material resistivo. Concretamente, sabemos que loselectrones, y cualquier partıcula en general, tiende a tener el mınimo de energıa posible. En esesentido son como nosotros. Pues bien, como los electrones son cargas negativas, estos pierdenenergıa conforme se mueven hacia potenciales mayores. Por tanto, si Va > Vb, entonces loselectrones se moveran hacia el punto a por estar este a mayor potencial, buscando ası tenerla menor energıa posible. ¿Que ocurre entonces? Pues que, dado que los electrones se muevenhacia la izquierda (de b a a), y la corriente electrica tiene un sentido opuesto al del movimientode las cargas negativas, la corriente que se genera va de a a b, tal y como indica la Figura 1.6.

Si las cargas hubieran sido positivas, estas habrıan ido hacia el punto b, ya que las cargaspositivas pierden energıa cuando se mueven a potenciales menores. Ası, la corriente electricagenerada tambien habrıa circulado de a a b, ya que las corrientes electricas tienen el sentido demovimiento de las cargas positivas.

En cualquier caso, el valor de la corriente I habrıa sido el dado por la Ley de Ohm:

I =Vab

R=

Va − Vb

R

En la practica, la Ley de Ohm se aplica considerando el sentido de la corriente queatraviesa la resistencia, de modo que, si la corriente se mueve del punto A al punto


B, su valor esta dado por la expresion:

Iab =Vab

R=

Va − Vb

R

Donde es muy importante remarcar que la tension medida es Vab, y no Vba, ya que lacorriente se esta moviendo de A a B. Si la corriente se moviera de B a A, entoncesesa tension sı serıa Vba.

Referente a la Ley de Ohm, no vamos a decir mucho mas por ahora. Si bien hay incognitasque surgiran a medida que avancemos, estas seran resueltas llegado el momento. Hasta esemomento, mejor que el lector viva en el feliz mundo del “V igual a I por R”, sin preguntarseque quizas la ley expuesta no es tan simple como aparenta.

Capıtulo 2

Elementos fundamentales

En esta seccion se van a describir los 5 elementos mas basicos de la teorıa de circuitos, quenos acompanaran largo y tendido por este divertido tour a traves del mundo de los voltios ylos amperios. Son la resistencia, el condensador, la bobina, la fuente de tension y la fuente decorriente.

2.1. Resistencia

Una resistencia es un elemento electronico tal que si se le aplica una tension a sus extremos,por ella circula una corriente proporcional a dicha tension siguiendo la ley de Ohm:

V = IR

Donde R es un parametro propio de cada resistencia, cuya unidad es el Ohmio (Ω). Todomaterial conductor tiene asociado un valor de resistencia. Sin embargo, en teorıa de circuitosno se suele trabajar con objetos de la calle para montar circuitos. No serıa de mucha utilidad usarla pata de una mesa o un filete de ternera como material conductor para las practicas (aunquetodavıa no lo he probado. Quizas funcione). Por ello se usan resistencias. Una resistencia vienea ser entonces un elemento pequenito que se comporta como un material conductor con unacierta resistencia R. El valor de la resistencia viene a representar cuanta oposicion muestra laresistencia al paso de la corriente. A mayor resistencia, menos corriente circula por ella, y a lainversa.

La resistencia R tiene un valor positivo, que va desde 0 hasta infinito teoricamente. Enla practica no hay ni resistencias completamente nulas ni resistencias infinitas, si bien en elpapel, en los ejercicios, sı se puede dar el caso. Es por ello que vamos a analizar estos doscasos extremos. Una resistencia nula, R → 0, es una resistencia que no opone ningunaresistencia al paso de la corriente por ella. Este tipo de resistencias se llaman cortocircuitos,y su comportamiento puede ser descrito segun la Ley de Ohm. Sabemos que V = IR; siahora suponemos que R = 0, se deduce que V = 0, es decir, la diferencia de tension quehay entre los extremos de la resistencia es nula. ¿Que quiere decir esto? Pues significa que ladiferencia entre las tensiones (o potenciales) es nula, lo cual solo es posible si ambas tensionesson iguales. Es decir, el potencial electrico no varıa en los extremos de la resistencia, todo elloindependientemente de la corriente que por el circule. En la realidad, los cables que usamosen el laboratorio (u otros), representan cortocircuitos, elementos conductores de resistencianula. Cuando se une con un cable dos puntos de un circuito, se dice que dichos puntos estancortocircuitados, y como consecuencia estan a la misma tension.

Una resistencia infinita, R → ∞, es la que opone tanta resistencia al paso de corrienteque no deja pasar nada de corriente a traves de ella, como se deduce de la ecuacion de la

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10 CAPITULO 2. ELEMENTOS FUNDAMENTALES

R

Resistencia Cortocircuito Circuito abierto

Figura 2.1: casos lımites de resistencias

ba R

I

Figura 2.2: resistencia por la que circula una corriente de valor I

resistencia:

I = lımR→∞

V

R= 0

Lo que viene a decirnos que por la resistencia no circula nada de corriente. Ello tiene sentido sitenemos en cuenta que resistencia significa oposicion al paso de corriente. A mayor resistencia,mayor oposicion. Si la resistencia es infinita, la oposicion es infinita, y por tanto no pasa nadade corriente. Todo ello es independiente de la diferencia de tension que soporta la resistencia.No importa cuan grande es, pues la resistencia es tan grande que nunca podra circular corrientepor ella. Este tipo de resistencia se conoce como circuito abierto. Su nombre deja bien claro sunaturaleza real: un circuito abierto se comporta exactamente igual que un cable que ha sidocortado por la mitad, y cuyas mitades no estan en contacto y lo suficientemente alejadas: lascargas electricas no podran saltar de un trozo del cable al otro, y por tanto no podra habercorriente electrica a traves de el.

Sus respectivos sımbolos son los que representa la Figura 2.1.A nivel energetico, ¿que ocurre en una resistencia? Vamos a pensar un poco. Sabemos que

la ecuacion que rige el comportamiento de una resistencia viene dado por la ley de Ohm:

Iab(t) =Vab(t)

R

Supongamos la resistencia de la Figura 2.2.La expresion de la potencia generada o consumida por la resistencia, siguiendo la formula

(1.3) es:

P (t) = Iab(t)Vab(t) =Vab(t)

RVab(t) =

Vab(t)2

R(2.1)

Donde se ha tenido en cuenta que, segun la Ley de Ohm, Iab(t) = Vab(t)/R. Si nos damoscuenta, la ecuacion (2.1) siempre va a tomar un valor positivo. Ello se debe a que R es positiva,y Vab(t)

2 es positivo. Por tanto, el cociente sera siempre un valor positivo. Como por tanto lapotencia de la resistencia adopta siempre un valor positivo, se deduce que la resistencia siempreabsorbe energıa del medio, en este caso el circuito. La resistencia se comporta por tanto comoun elemento pasivo, ya que no aporta nada de energıa al resto del sistema. Siempre la extraede el. ¿Que ocurre con esa energıa que absorbe la resistencia? La resistencia, en ese sentido,es un elemento especial. A diferencia de otros elementos electronicos que pueden devolver laenergıa que han tomado de nuevo al circuito, la resistencia, la energıa que consume, la disipa enforma de calor. La potencia que la resistencia consume del circuito, por tanto, es igual al calorque disipa. Otra expresion para la potencia en una resistencia se obtiene de (2.1) aplicando laLey de Ohm, V = IR.

P (t) =Vab(t)

2

R= Iab(t)

2R (2.2)

2.2. BOBINA 11

La b

Figura 2.3: una bobina

Que es igualmente un valor siempre positivo, con lo cual la conclusion de que la resistencia esun elemento pasivo no se ve alterada para nada.

Obtenida la expresion de la potencia, la expresion de la energıa consumida por la resistenciaen un intervalo de tiempo [t0,t1] se puede expresar segun la ecuacion (1.4):

∆U =

∫ t1

t0

Iab(t)2Rdt =

∫ t1

t0

Vab(t)2

Rdt (2.3)

Recuerdese que la ecuacion (2.3) representa la variacion de la energıa en el sistema (en estecaso la resistencia), entre los instantes t0 y t1, es decir, ∆U = U(t1)−U(t0). Por tanto, el hechode que el signo de la ecuacion (2.3) sea siempre positivo (ya que es la integral de una funcionsiempre positiva) indica que la energıa en el instante t1 es mayor que la energıa en el instantet0 (∆U > 0 ⇒ U(t1) − U(t0) > 0 ⇒ U(t1) > U(t0)), y por tanto el sistema, la resistencia, haganado energıa durante ese intervalo de tiempo.

2.2. Bobina

Una bobina es un elemento formado por un conjunto de espiras muy proximas entre sı, detal modo que se cumple que la relacion que existe entre la corriente que la atraviesa y la tensionque soporta es:

Vab(t) = LdIabdt

(2.4)

Donde de nuevo es necesario hacer resaltar que Vab(t) es la tension que se mide del punto A alpunto B de la bobina (cada uno de ellos es un extremo), es decir, Va(t) − Vb(t), e Iab(t) es lacorriente que circula desde el punto A al punto B. Su sımbolo es el representado en la Figura2.3.

La formula (2.4) es bastante mas compleja que la formula que rige el comportamiento deuna resistencia. Ambas incluyen una constante de proporcionalidad. En las resistencias es elvalor R, y en la bobinas, es el valor L. L se conoce como inductancia de una bobina, y suunidad es el Henrio (H). La inductancia de una bobina es una constante propia de cada, y rigeel comportamiento a modo de constante multiplicativa como indica la formula (2.4).

Dado que la formula (2.4) se basa en una derivada de la corriente respecto al tiempo, esinteresante estudiar que ocurre en algunos casos especiales.

Si la corriente que atraviesa la bobina varıa en el tiempo, la tension que esta soporta tambienvarıa. Ahora bien, si nos encontramos el condiciones de corriente continua, donde las tensionesy corrientes son constantes en el tiempo, ¿a que se reduce la formula (2.4)?

Vab(t) = LdIabdt

= Ldconstante

dt= L0 = 0 ⇒ Va(t)− Vb(t) = 0 ⇒ Va(t) = Vb(t)

Es decir, al ser constante la corriente que atraviesa la bobina, su derivada respecto al tiempoes nula, y por tanto obtenemos que la diferencia de tension que soporta la bobina es 0, o loque es lo mismo, la tension en ambos extremos de la bobina es la misma, independientementede cuan grande es la corriente que circule (siempre que sea constante). ¿No nos suena esto deantes? En efecto, lo que acabamos describir es el comportamiento de un cortocircuito, es decir,


La b ba

Figura 2.4: bobina en condiciones de corriente continua

en condiciones de corriente continua, una bobina equivale a un cortocircuito, y sonintercambiables. La bobina puede ser ası sustituida por un cortocircuito que une los puntosque antes se conectaban a la bobina, tal y como muestra la Figura 2.4.

Referente a la potencia en una bobina, el comportamiento de esta es, en mucho, mas ricoque el de una simple resistencia. La resistencia, como vimos, era un elemento pasivo: solo eracapaz de tomar energıa del medio (del circuito), pero no era capaz de devolverla. Esa energıa,ademas, se disipaba en forma de calor. Este comportamiento caracterıstico de la resistencia es,ademas, independiente del hecho de que se esten tratando tanto circuitos con senales variablesen el tiempo como circuitos de corriente continua: una resistencia siempre consume energıa,sean o no variables las senales medibles en el circuito.

La bobina muestra un comportamiento bastante distinto al de una resistencia. Si tomamosla definicion de potencia dada en la ecuacion (1.3), obtenemos que la potencia generada oconsumida por una bobina es:

P (t) = Iab(t)Vab(t) = Iab(t)LdIabdt

= LIab(t)dIabdt

(2.5)

Lo que viene a decirnos que, para obtener la expresion de la potencia consumida o generada poruna bobina, habra que obtener primero la derivada de la corriente que la atraviesa, multiplicarladespues por la misma corriente, y despues por la inductancia de la bobina. Parece complejo,pero en la realidad no lo es. Observese ademas que, en caso de corriente continua, la expresionde la potencia es igual a 0 (ya que incluye la derivada de una constante), lo cual tiene sentido sipensamos que en corriente continua equivale a un cortocircuito y un cortocircuito no consumeenergıa (es una resistencia nula).

Es importante darse cuenta que la expresion de la potencia no nos da pistas acerca desi la bobina es un elemento pasivo o un elemento activo. Los elementos pasivos, como lasresistencias, solo pueden absorber energıa del medio. Ahora bien, en una bobina, vemos quela expresion P (t) depende de una derivada y del producto de una funcion Iab(t), que dependedel tiempo. Esa expresion, por tanto, podra tomar tanto valores positivos como negativosdependiendo del resultado de la derivada y de la expresion de I(t), y por tanto, una bobina,dependiendo de la situacion, puede comportarse como un elemento pasivo (P > 0, absorbeenergıa), o activo (P < 0, desprende energıa). De hecho, veremos algun ejemplo en el que labobina se comporta de forma periodica como elemento activo y pasivo, alternando entre uno yotro.

¿Como varıa la energıa en una bobina? Obtenida la expresion de la potencia, la ecuacion(2.5), se puede usar la ecuacion (1.4) para obtener cual es la variacion de la energıa en unabobina en un intervalo [t0,t1], es decir, ∆U = U(t1)− U(t0):

∆U = U(t1)− U(t0) =

∫ t1

t0

P (t)dt =

∫ t1

t0

LIab(t)dIabdt

dt

= L

∫ t1

t0

Iab(t)dIab = L

[

Iab(t)2

2

]t1

t0

=L

2

(

Iab(t1)2 − Iab(t0)

2) (2.6)

2.3. CONDENSADOR 13

Ca b

Figura 2.5: un condensador

Esta ecuacion representa la variacion de la energıa en la bobina entre los instantes t0 y t1. Sepuede apreciar que la bobina puede ganar o perder energıa dependiendo de si la corriente quepor ella circula aumenta o disminuye. Si la corriente que la atraviesa aumenta en el tiempo,es decir, Iab(t1) > Iab(t0), entonces la expresion anterior toma un valor positivo, con lo cualla energıa en la bobina ha aumentado. Ahora bien, si la corriente disminuye, Iab(t1) < Iab(t0),entonces la ecuacion (2.6) toma un valor negativo, que significa que la bobina ha perdidoenergıa, que devuelve al resto del circuito en el que esta.

2.3. Condensador

Un condensador es un elemento electronico constituido por dos placas conductoras, paralelasy muy proximas entre sı. Entre las placas se introduce un aislante que impide el movimientode cargas electricas de una placa a la otra.

No vamos a profundizar mas acerca del condensador a nivel teorico, ya que es un elementoque, a este nivel, deberıa haberse estudiado ya.

La relacion que existe entre la tension que soporta un condensador y la corriente que por elcircula viene dada por la ecuacion (2.7). Dicha ecuacion, si bien distinta a la de las resistencias,tiene similitudes que van mas alla de lo que por ahora vamos a estudiar. Ya profundizaremosen ello mas tarde.

Iab(t) = CdVab

dt(2.7)

En la ecuacion (2.7), Iab(t) es la corriente que circula desde el punto a al punto b del condensador(a y b son los extremos del condensador), y Vab(t) es la tension que se mide entre el punto a yb del condensador, es decir, Va(t)− Vb(t).

Su sımbolo es el de la Figura 2.5.La formula del condensador es tambien mas compleja que la de la resistencia, y nos recuerda

a la de la bobina. Al igual que en los dos anteriores, hay una constante propia del condensador,C, llamada Capacidad, cuyas unidades se miden en Faradios (F ). ¿Como se genera la corrienteque atraviesa a un condensador? Es mas, ¿existe realmente una corriente que atraviesa alcondensador?

Sabemos que las placas de un condensador, formadas por material conductor, almacenancargas electricas. Concretamente, si a un condensador se le aplica una diferencia de tension V(o tension a secas), entre sus extremos, cada placa almacenara una cantidad de carga Q iguala:

Q = CV

Concretamente, cada placa del condensador almacena la misma cantidad de carga, pero cam-biada de signo. Por tanto, una de las placas almacenara una cantidad de carga +Q, y la otra,−Q.

Por tanto, si la cantidad de carga de cada placa depende de forma proporcional de la tensionque soporta el condensador, es obvio que si dicha tension varıa en el tiempo, entonces la cargade las placas tambien variara en el tiempo. Por tanto, se puede escribir:

Q(t) = CV (t) (2.8)


Figura 2.6: generacion de una corriente en un condensador

De tal modo que la carga de cada placa es igual al de la otra, pero de signo opuesto. Ahoradebemos pensar lo siguiente: si la tension varıa, varıa la carga que almacena cada placa. Esosera posible si llegan cargas a cada placa, o salen cargas de cada placa. Ese movimiento decargas provoca una corriente electrica que se puede obtener derivando la ecuacion (2.8), ya quela corriente es precisamente eso: cuanta carga atraviesa una superficie (seccion de los conectoresdel condensador) por unidad de tiempo, lo cual se obtiene derivando la ecuacion citada:

I(t) =dQ(t)

dt= C

dV (t)

dt

Que es precisamente la ecuacion (2.7) antes mencionada.

El problema del condensador es que no existe, como tal, una corriente I(t) que lo atraviesa.Debemos recordar que entre las placas del condensador hay un material aislante que impideque las cargas se muevan de una placa a otra. Existe una corriente generada en los terminalesde cada placa, pero esa corriente no llega a atravesar el condensador. En la practica, eso no nossupondra problema: simplemente consideraremos que la corriente sı atraviesa al condensador.En la Figura 2.6 se ve una representacion grafica de lo que ocurre cuando la tension en elcondensador aumenta:

Por un lado, a la placa positiva del condensador (la que almacena la carga positiva), lellegaran mas cargas positivas. Ese movimiento de cargas genera una corriente en el sentidoindicado, es decir, el del movimiento de las cargas positivas (hacia el condensador), y cuyovalor viene dado por la ecuacion del condensador. Por otro lado, la placa negativa atraera amas cargas negativas, de modo que las cargas negativas generaran otra corriente. Ahora bien,como la corriente tiene el sentido opuesto al del movimiento de cargas negativas, la corrienteque se genera tiene el mismo sentido que el de la corriente generada por las cargas de la placapositiva. Su valor es el mismo, ya que la cantidad de carga en ambas placas es la misma.Ası se explica lo que antes mencionabamos. Aunque a efectos practicos, fuera del condensador,parece que hay una corriente que lo atraviesa, en la realidad lo unico que se produce es unaacumulacion de cargas que simulan una corriente electrica que atraviesa el condensador, peroque, en efecto, no lo hace.

Acabada la discusion de como se genera la corriente en un condensador, vamos a estudiarlo que con el ocurre al igual que con la bobina. La corriente que atraviesa un condensadorsigue la expresion (2.7). Esa expresion depende, nuevamente, de una derivada, la derivada dela tension que soporta el condensador entre sus extremos. Si dicha tension varıa en el tiempo,habra corriente, pero, si no varıa en el tiempo, como ocurre en condiciones de corrientecontinua, la formula se reduce a:

Iab(t) = CdVab

dt= C

dconstante

dt= C0 = 0

2.4. FUENTE DE TENSION 15

a b baC

Figura 2.7: condensador en condiciones de corriente continua

Es decir, si la tension no varıa en los extremos del condensador, como en corriente continua,la corriente que lo atraviesa es nula, independientemente de cuanta tension soporta el conden-sador (siempre que sea constante). De nuevo, vemos que esta definicion ya la hemos visto conanterioridad: se trata de un circuito abierto. El condensador, en corriente continua, sepuede sustituir por un circuito abierto, ya que son equivalentes, como se representaen la Figura 2.7.

La potencia en un condensador muestra un comportamiento simular al de una bobina: uncondensador puede comportarse como elemento activo o pasivo, ya que puede tanto absorbercomo devolver energıa. Esto es facilmente deducible de la ecuacion (1.3):

P (t) = Iab(t)Vab(t) = CdVab

dtVab(t) (2.9)

Ya que P (t) depende de la derivada de Vab respecto del tiempo y de Vab(t), es evidente queP (t) podra tomar tanto valores positivos como negativos, comportandose como elemento activoo pasivo dependiendo del caso. Ademas, si estamos en condiciones de corriente continua, P (t)vale 0, ya que la derivada de Vab serıa 0, y por tanto el consumo de energıa serıa nulo. Esto eslo que cabrıa de esperar, ya que en corriente continua, el condensador se comporta como uncircuito abierto, en el cual no se produce consumo de energıa.

¿Como varıa la energıa en un condensador? Pues de un modo similar al de una bobina.Supongamos que queremos hallar la variacion de la energıa de un condensador en un intervalo detiempo. Basta usar las ecuaciones (1.4) y (2.9) para obtener dicha variacion,∆U = U(t1)−U(t0):

∆U = U(t1)− U(t0) =

∫ t1

t0

P (t)dt =

∫ t1

t0

CdVab

dtVab(t)dt

= C

∫ t1

t0

Vab(t)dVab = C

[

Vab(t)2

2

]t1

t0

=C

2

(

Vab(t1)2 − Vab(t0)

2) (2.10)

Esta ecuacion representa la variacion de la energıa en el condensador entre los instantes t0y t1. Se puede apreciar que el condensador puede ganar o perder energıa dependiendo de sila tension que soporta aumenta o disminuye con el paso del tiempo. Si la tension aumenta,entonces Vab(t1)

2 > Vab(t0)2, con lo cual la ecuacion (2.10) toma un valor positivo, es decir, el

condensador tendrıa mas energıa (se comporta como elemento pasivo). Por contra si la tensiondisminuye, Vab(t1)

2 > Vab(t0)2, y por tanto la ecuacion (2.10) adopta un valor negativo: el

condensador pierde energıa, que entrega al resto del circuito, y se comporta como un elementoactivo. Que quede claro, ya que suele considerarse al condensador solamente como elementopasivo, pero, vemos, depende de la situacion.

2.4. Fuente de tension

Una fuente de tension, a nivel teorico, es un elemento electronico capaz de imponer entre susextremos (terminales), una tension determinada, independientemente de la corriente que por


+

-+−

+

-

Figura 2.8: fuente de tension continua, constante en el tiempo (izquierda); fuente de tensiongenerica, constante o no en el tiempo (centro); fuente de tension armonica (derecha)

+− AVV +

− ArI

Figura 2.9: fuentes de tension dependientes

ella circule. Una fuente de tension puede imponer entre sus terminales una tension constanteo una tension variable en el tiempo. Durante el analisis de circuitos en corriente continuaestudiaremos las fuentes constantes en el tiempo, si bien posteriormente entraremos de llenoen el concepto de fuentes de tension variables. Hay diversos modos de representar fuentes detension. Algunos de ellos se recogen en la Figura 2.8.

Una fuente de tension se dice que es dependiente si su valor de tension es proporcional aalguna tension o corriente presente en el circuito donde se situa. El sımbolo de una fuente detension dependiente puede ser igual al de una fuente normal, con la salvedad de que su valorconsiste en una expresion dependiente de alguna tension o corriente del circuito. Por ejemplo,en un circuito podrıan aparecer las fuentes de tension de la Figura 2.9.

La fuente de la izquierda es una fuente de tension dependiente de tension, lo que significa quesu valor de tension es proporcional a otra tension del circuito, siendo en su caso V . La constantede proporcionalidad es Av, ası que la tension que impone la fuente entre sus terminales es AvV .

La fuente de la derecha es una fuente de tension dependiente de corriente, lo que significaque su valor de tension es proporcional a alguna corriente que hay en el circuito, siendo en sucaso I. La constante de proporcionalidad es Ar, ası que la tension que impone la fuente entresus terminales es ArI.

Las fuentes de tension son elementos muy importantes dentro de los circuitos. Ya hemoshablado previamente de elementos activos y elementos pasivos. Los activos aportan energıa, dela que se desprenden. Los pasivos absorben energıa. ¿Que es una fuente de tension? Una fuentede tension, dentro de un circuito, puede comportarse como elemento activo o como elementopasivo. La diferencia fundamental con los elementos anteriormente estudiados, es que las fuentesactuan como autenticos generadores de energıa. Expliquemos esto con mas detalle.

Las resistencias son elementos pasivos: consumen energıa que extraen del circuito. Por otrolado, las bobinas y condensadores pueden actuar tanto como elementos pasivos como elementosactivos, en el sentido de que pueden o bien absorber energıa o bien desprender energıa. Lacuestion fundamental al respecto es que las bobinas y condensadores no generan energıa porsı mismos. Cuando un condensador, por ejemplo, libera energıa, es porque previamente la haabsorbido del resto del circuito. Si bien formalmente las bobinas y condensadores se puedenabsorber y emitir energıa, el termino emitir se entiende en el sentido de emitir la energıa quepreviamente han absorbido, pero sin crearla.

Visto ası, cabrıa cuestionarse: si las resistencias absorben energıa, y los condensadores ybobinas solo pueden liberar energıa al resto del circuito si la han absorbido previamente: ¿dedonde cono sale la energıa? La respuesta es que la energıa sale de las fuentes de tension y delas fuentes de corriente (estas ultimas las estudiaremos en la siguiente seccion). Si bien en un

2.4. FUENTE DE TENSION 17

+

-5V 5mA

Figura 2.10: fuente de tension con corriente que la atraviesa

a

b

V+

-

Figura 2.11: fuente de tension con su polaridad senalada

circuito una fuente de tension puede actuar como elemento pasivo o activo, estas son las queaportan la energıa al circuito y que permiten que todo funcione debidamente.

Si queremos hallar la potencia consumida o generada por una fuente de tension, bastaaplicar la clasica formula (1.3), considerando cual es la corriente que atraviesa a la fuente detension, y por otro lado la tension que esta soporta entre sus extremos (coincidiendo esta ultimaexactamente con el valor de la fuente de tension, con lo cual parte del trabajo ya lo tenemoshecho sin necesidad de mucho esfuerzo). Supongamos la situacion, por ejemplo, de la Figura2.10:

Entonces, la potencia consumida o generada por la fuente es, siguiendo la ecuacion (1.3):

P = 5 · 10−3(−5) = 25 · 10−3W

Donde se ha puesto −5V debido a que la tension, como sabemos, se toma en el sentido decirculacion de la corriente. Como en este caso la corriente se mueve del polo negativo al positivode la baterıa, la tension que hay que medir es V− − V+, que es −5V , como explicaremos acontinuacion. Dado que la potencia es negativa, se deduce que la fuente esta actuando comoun elemento activo, es decir, esta suministrando energıa al resto del circuito.

Por ultimo hay que hacer referencia a los signos + y − de las fuentes de tension. Dichossignos representan la polaridad de la fuente. Al extremo con el signo + se le llama polo positivo, yal extremo con el signo − se le llama polo negativo. La presencia de los polos es muy importantepara saber como funciona exactamente una fuente de tension, ya que indica como es exactamentela tension que soporta la fuente. Supongamos que tenemos una fuente de tension de valor V ,como indica la Figura 2.11.

El que la polaridad de la fuente sea la dibujada implica que Va − Vb = V , es decir, lapolaridad de la fuente nos dice que la diferencia de tension entre el polo positivo y elpolo negativo es igual al valor de la fuente de tension. Es decir,

V+ − V− = V alor de la fuente

Esto ultimo es de vital importancia. Lo pondrıa a letra de tamano 100 para expresar la im-portancia de tal hecho, pero estropearıa la estetica del documento, ası que me conformo con lanegrita. Pero no se olvide: es muy importante.

Es de ahı de donde, en el ejemplo de antes, obtuvimos el valor de tension de −5V . En elejemplo anterior quisimos medir la diferencia de tension V− − V+. En principio, la fuente de


a

b

V

Figura 2.12: fuente de tension sin polaridad senalada

I

Figura 2.13: fuente de corriente

tension nos decıa que V+ − V− = 5V , ası que, ¿cuanto valıa V− − V+? Muy facil:

V− − V+ = −(V+ − V−) = −5V

De ahı el valor de tension de −5V antes utilizado.Notemos ademas que en las fuentes de tension como la representada en la Figura 2.12 se

cumple la lınea grande representa el polo positivo y la lınea pequena el polo negativo. Por tanto,en la figura, sin necesidad de especificar con signos + y − cuales el polo positivo y el negativo,deberıamos ser capaces de deducir que. Este tipo de representacion es mas comun que la querepresenta de forma implıcita el polo positivo y el polo negativo de la fuente de tension, enfuentes de tension continuas. En las fuentes de tension variables en el tiempo la polaridad deberepresentarse siempre. En suma, la polaridad de una fuente debe estar representada sin ninguntipo de ambiguedad, ya que la esta determina el comportamiento de la fuente. Por ejemplo, elcircuito donde se situase la fuente de la Figura 2.12 tendrıa un comportamiento completamentedistinto si la polaridad fuera la contraria a la mostrada en la figura. A pesar de ello, muchasveces el lector podra ver que en un circuito no se representa la polaridad de una fuente. Eso,salvo en fuentes de tension continua como la de la Figura 2.12 donde la polaridad se puedededucir del dibujo, es un error, y deberıa evitarse a toda costa.

2.5. Fuente de corriente

Una fuente de corriente, a nivel teorico, es un elemento electronico capaz de hacer quepor ella circule una corriente determinada independientemente de la tension que soporte. Unafuente de corriente generar una corriente constante en el tiempo o variable. Durante el analisisde circuitos en corriente continua estudiaremos las fuentes constantes en el tiempo, si bienposteriormente entraremos de lleno en el concepto de fuentes de corriente variables. Una fuentede corriente se representa generalmente como aparece en la Figura 2.13.

Donde es importante destacar que la corriente que la fuente genera tiene elsentido indicado por la flecha de la fuente, y el valor de la fuente (I).

Una fuente de tension se dice que es dependiente si su valor de corriente es proporcionala alguna tension o corriente presente en el circuito donde se situa. Una fuente de corrientedependiente tiene un sımbolo algo distinto al de una fuente normal: en vez de ser redonda,tiene forma de rombo, si bien tambien es normal verlas dibujadas como fuentes de corriente

2.6. PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA 19

AgV AiI

Figura 2.14: fuentes de corriente dependientes

normales en las que su valor de corriente tiene forma de expresion dependiente. La Figura 2.14representa dos fuentes dependientes, una de tension, y otra de corriente.

La fuente de la izquierda es una fuente de corriente dependiente de tension, lo que significaque su valor de corriente es proporcional a otra tension del circuito, siendo en su caso V . Laconstante de proporcionalidad es Ag, ası que la corriente que por ella fluye es AgV .

La fuente de la derecha es una fuente de corriente dependiente de corriente, lo que significaque su valor de corriente es proporcional a alguna corriente que hay en el circuito, siendo en sucaso I. La constante de proporcionalidad es Ai, ası que la tension que impone la fuente entresus terminales es AiI.

Al igual que en el caso de las fuentes de tension, una fuente de corriente puede actuar comoelemento pasivo o activo. Ahora bien, al igual que con las fuentes de tension, las fuentes decorriente tienen la capacidad de generar energıa por ellas solas. No la deben recibir previamentede algun otro medio, como en el caso de las bobinas o condensadores.

La expresion de la potencia consumida o generada por una fuente de corriente se obtienedirectamente aplicando la formula (1.3), considerando que en este caso, el valor de la corrienteque hay que utilizar ya lo conocemos de forma anticipada, puesto que es el que indica la mismafuente de corriente.

2.6. Principio de conservacion de la energıa

En cualquier circuito, si se desprecian fenomenos de radiacion, se cumple el principio deconservacion de la energıa: la energıa consumida por todos los elementos pasivos en un deter-minado periodo de tiempo debe ser igual a la energıa que suministran los elementos activos enel mismo periodo de tiempo.

Ello equivale a decir que, en cualquier instante de tiempo, la potencia que generan loselementos activos es igual a la potencia consumida por los pasivos.

Capıtulo 3

Leyes de Kirchhoff

He aquı todo el meollo de la cuestion. Dos son los lemas o leyes de Kirchoff y, en base aellos, y en base a su validez en todo lo que estudiaremos de ellas, podremos analizar mas omenos eficientemente un circuito y conocer ası sus parametros mas caracterısticos: tension ycorriente.

Primeramente, antes de explicar cada una de las Leyes de Kirchoff, es necesario dar unaserie de conceptos que aparecen dentro de las Leyes de Kirchoff, y en general, dentro del mundode la teorıa de circuitos.

3.1. Conceptos previos

Un circuito es un conjunto de elementos electronicos (ya sean los que hemos estudiado uotros distintos), que estan conectados entre sı mediante conductores adecuados. Seguramente sepodrıa discutir acerca de esta definicion de circuito. Es mas, posiblemente sea la mas imprecisae inexacta del universo, pero para lo que nos compete, es suficiente como para salir adelante.

Un nudo o nodo es aquel punto de un circuito donde confluyen, al menos, dos terminales(extremos), de dos elementos distintos.

Es importante hacer hincapie en que han de confluir dos terminales o mas, es decir, dos yason suficientes para dar lugar a un nudo. La Figura 3.1 representa un circuito con varios nudos.

En el circuito de la Figura 3.1 se hay 6 nudos, los puntos A, B, C, D, E y F. El nudo Aes el nudo en el que se juntan los extremos de la fuente de tension V y de la resistencia R1.En el nudo B se juntan tres terminales: uno de los de la resistencia R1, otro del condensadorC1 y otro terminal de la resistencia R2. En el nudo C confluyen tres terminales: un terminalde la bobina L1, otro del condensador C2 y otro de la resistencia R2. En el nudo D se juntandos terminales: uno del condensador C2 y otro de la bobina L2. En el nudo E se juntan tresterminales: uno de la fuente de tension V , otro del condensador C1, y otro del cortocircuito queconecta E y F1. En el nudo F se jutan tres terminales: uno de la bobina L1, otro de la bobinaL2, y otro del cortocircuito que conecta E y F.

Se dice que un nudo es un nudo principal si en el confluyen 3 o mas terminales de elementosdel circuito. En el ejemplo anterior los nudos principales son B, C, E y F.

Un tema especialmente delicado a la hora de trabajar con circuitos es la posibilidad deredibujar ciertas de sus partes. La idea es poder redibujar algunas zonas del circuito, de modoque su comportamiento no varıe. Si bien esto nos puede parecer una idea poco intuitiva (sicambiamos el circuito, ¿no deberıa comportarse de un modo distinto?), puede hacerse en grancantidad de ocasiones. Un claro ejemplo de esta idea es la posibilidad de redibujar los cables delcircuito (todo lo que sea cortocircuito), siempre que las conexiones entre elementos (distintos

1Recuerdese que un cortocircuito es un caso extremo de una resistencia (una resistencia de valor 0) y portanto es un elemento electronico tan legıtimo como otro cualquiera.

21

22 CAPITULO 3. LEYES DE KIRCHHOFF

A

B

C

D

E

FL1

L2

R1

R2

C1

C2

V

Figura 3.1: un circuito con diversosnudos

A

B

C

D

L1

L2

R1

R2

C1

C2

V

G

Figura 3.2: el circuito de la Figura3.1, redibujado

de cortocircuitos) no varıen, es decir, que ni se creen nuevas conexiones ni se destruyanconexiones existentes. Notese que el termino redibujar usado anteriormente significa redibujarde cualquier modo, siempre que, repetimos, no se alteren las conexiones entre elementos.

Por ejemplo, el circuito de la Figura 3.1 serıa equivalente al de la Figura 3.2. En dicha figurapuede apreciarse que el circuito se ha redibujado. Es mas, el cortocircuito situado entre E y Fse ha eliminado completamente. Lo importante es darse cuenta de que, en efecto, las conexionesentre componentes (distintas de cortocircuitos) se mantienen inalteradas: el terminal derecho dela fuente V , del condensador C1, de la bobina L1 y de la bobina L2, siguen estando conectadosentre sı (es decir, estan cortocircuitadas).

Puede que esto parezca una idea algo estupida, pero debe quedar clara, ya que hay cir-cunstancias en las que se redibujan circuitos para intentar facilitar su compresion, o bien paradestacar alguna cualidad que tiene. Que nadie se sienta asustado por redibujar un circuito deotra manera a la original siempre que las conexiones entre componentes se mantengan inalter-adas.

Una rama es cualquier camino del circuito comprendido entre dos nudos principales con-secutivos. En el ejemplo anterior, son ramas los siguientes caminos:

• B-A-E.

• B-C.

• B-E.

• C-D-F.

• C-F.

• E-F.

En cambio, no son ramas, por ejemplo, los caminos B-C-D, A-B-E o E-F-D.Una propiedad muy importante de cualquier rama es que, independientemente de los ele-

mentos que haya en ella, por todos sus puntos circula la misma corriente.En el circuito de la Figura 3.3 hemos considerado las corrientes I1 e I2. La corriente I1 es

la que circula por la rama A-C-D, y la corriente I2 es la que circula por la rama B-D. En larama A-C-D se da una situacion a la que nos enfrentaremos en muchas situaciones: en ella hay

3.1. CONCEPTOS PREVIOS 23

A

B

C

D

I1

I2

Figura 3.3: un circuito con corrientes en sus ramas

un circuito abierto. Como sabemos que por los circuitos abiertos no puede circular nada decorriente, entonces se puede deducir que la corriente que circula por el circuito abierto es nula.Ahora bien, como hemos dicho que por todos los puntos de una misma rama circula la mismacorriente, y el circuito abierto esta en la rama A-C-D, tambien se deduce que la corriente I1 esnula (por tanto tampoco circula corriente por la resistencia que hay entre los puntos A y C). Porotro lado, la corriente I2 es la corriente de la rama B-C. Como en esa rama hay dos elementos,un condensador y una bobina, se deduce que la corriente que circula por el condensador esigual a la corriente que circula por la bobina. Esta caracterıstica es muy importante ya que nospermite establecer ecuaciones del estilo:

Corriente en bobina = Corriente en condensador

Una malla es cualquier sucesion de ramas que forman un camino cerrado, y sin pasar porningun nodo dos veces, a excepcion del primero y el ultimo, que son los que abren y cierran lamalla. La Figura 3.4 representa un circuito con un total de 6 mallas.

En dicho circuito, son mallas las siguientes:

• Malla 1: B-C-H-A-B.

• Malla 2: C-F-G-H-C.

• Malla 3: D-E-F-C-D.

• Malla 4: B-C-F-G-H-A-B.

• Malla 5: H-C-D-E-F-G-H.

• Malla 6: A-B-C-D-E-F-G-H-A.

Si bien se aprecia una importante cantidad de mallas, no todas son de utilidad. Una mallaes de interes si esta no contiene a otras mallas. Por ejemplo, las mallas 1, 2 y 3 son mallas deinteres, pero las mallas 4, 5 y 6 no son de interes, porque engloban a otras mallas (por ejemplo,la malla 4 engloba a la malla 1 y a la malla 2).

Hecha esta pequena revision de conceptos necesarios para comprender las Leyes de Kirchoff,pasamos a enunciarlas.


A

B C

D E

F

GH

Figura 3.4: un circuito con diversas mallas

I1

I2

I3

I4

Figura 3.5: un nudo al que llegan y del que salen diversas corrientes

3.2. Ley de los nudos

La ley de los nudos dice:

La suma de todas las corrientes que entran en un nudo es igual a la suma detodas las corrientes que salen de ese nudo.

Pongamos un ejemplo para entender mejor el funcionamiento de esta ley. Supongamos elnudo de la Figura 3.5:

En este nudo, las corrientes que entran son I1, I2 e I4, y la unica corriente que sale es I2.Apliquemos ahora, al nudo la ley de los nudos. Esta ley se aplica de forma directa: no hay quepensar demasiado. Simplemente se suman las corrientes que entran, y se igualan a la suma delas corrientes que salen. Si en algun caso no entra o no sale ninguna corriente, la suma es iguala cero. La ecuacion asociada al nudo es:

I1 + I3 + I4 = I2

Supongamos ahora un circuito pequeno, como el de la Figura 3.6.Vamos a pensar lo que ocurre en este circuito. Sabemos que la corriente circula de donde hay

mas tension a donde hay menos tension. Sabemos ademas que en este circuito hay una rama,o malla. Sı, ya se que no hay nudos principales, por tanto no se puede aplicar la definicionde rama antes dada, pero lo cierto es que este es un caso especial: lo que hay ahı arriba sepuede entender como una unica rama o como una malla. Por tanto, sabemos que por todaella circula la misma corriente. ¿En que sentido circula esa corriente? Como sabemos que lacorriente, a traves de resistencias, va de donde hay mas tension a donde hay menos tension,la corriente de esa rama se debe mover en el sentido de la corriente I3 (segun la fuente detension,Va − Vc = 5V RightarrowVa > Vc). Por tanto podemos pensar que, en el nudo B, lascorrientes que haya van a tener el sentido de circulacion de la corriente I3. Esas corrientes son

3.2. LEY DE LOS NUDOS 25

5V

R1

R2

I1

I2

A

C

B I3

Figura 3.6: un ejemplo de la ley de los nudos

V1

V2

R1

R2

R3

R4

R5

R6

B

E

A

D

C

Figura 3.7: un circuito mas complejo al que aplicar la ley de los nudos

I1 e I2. Por tanto, aplicando la ley de los nudos, y considerando que I1 es la corriente que salee I2 es la que entra, se deduce que:

I1 = I2

Lo cual nos tranquiliza, pues sabemos, como habıamos dicho anteriormente, que al haber usasola rama, la corriente por todos sus puntos deberıa ser la misma, y por tanto la igualdadI1 = I2 era necesaria.

Hasta ahora somos felices, pero, ¿que ocurre en circuitos mas complejos? Vamos a suponerun circuito bastante mas complejo que el de antes, por ejemplo, el de la Figura 3.7.

Hasta aquı ha llegado nuestra felicidad. Intentemos aplicar la ley de los nudos al nudo A.Uf. Joder. Mierda. Tras estas tres cortas palabras, pensamos un poco. Para poder aplicar laley de los nudos, necesitamos saber cuales son los sentidos de las corrientes del nudo que seesta analizando, para ası poder determinar cuales son las que entran y cuales son las que salen.En el ejemplo anterior fue relativamente facil deducir cuales eran los sentidos de movimiento delas corrientes que circulaban por el nudo A. Pero, en este ejemplo eso no es una tarea trivial.En el nudo A va a haber tres corrientes: la que va por B-A, la que va por C-A, y la que va porD-A. Pero, ¿que sentidos de movimiento tienen dichas corrientes? Ahora no podemos deducirde forma inmediata que en B va a haber mas tension que en A, o que en A va a haber menostension que en C, etc., ya que la estructura del circuito es sensiblemente mas compleja que ladel circuito del ejemplo anterior. Ası pues, ¿es que acaso no vamos a poder aplicar la ley de losnudos a circuitos moderadamente complejos? La respuesta es que sı, que sı vamos a poder (sino, entre otras cosas, no habrıa explicado la ley de los nudos). La pregunta es, como.

Pues bien, existe una verdad absoluta en teorıa de circuitos, que no se va ademostrar (aunque tampoco es muy complejo de probar), que nos dice que, a lahora de resolver un circuito, podemos suponer que las corrientes que por sus ramas


V1

V2

R1

R2

R3 R4

R5

R6

B

E

A

D

C

I1I2

I3

Figura 3.8: al final no resulto ser tan complicado...

circulan tiene un sentido arbitrario, o lo que es lo mismo, que circulan con el sentidoque nos da la gana. Nosotros elegimos sus sentidos de circulacion. Eso sı, una vezque se ha fijado un sentido para cada corriente, hay que ser consecuente a el, y nomodificarlo conforme nos de la gana.

Lo de ser consecuente se refiere a situaciones como la siguiente. Si hemos decidido suponerque una corriente circula de un punto D a un punto F a traves de una resistencia R, segun laley de Ohm su expresion serıa:

IDF =VDF

R=

VD − VF

R

Pero no serıa:

IDF =VFD

R=

VF − VD

R

Es decir, tal y como explicamos con anterioridad, la diferencia de tension esta determinadapor el sentido de circulacion de la corriente, y es igual a la tension en el punto de origen dela corriente menos la tension en el punto de destino de la corriente. Lo mismo ocurre con lasformulas de la bobina y del condensador, como ya se explico en su momento.

Ası pues, en nuestro ejemplo podrıamos suponer que las corrientes que van por las re-sistencias tiene los sentidos dibujados en la siguiente Figura 3.8 (pero, hay que insistir en ello,podrıamos haber elegido otros sentidos completamente distintos).

Establecidos los sentidos de circulacion para las corrientes relativas al nudo A, se puedeescribir, segun la ley de los nudos, que:

I1 + I2 + I3 = 0

Ya que todas las corrientes entran al nudo, pero ninguna sale de el (por tanto su suma es cero).Si ahora se aplica la Ley de Ohm para cada corriente, obtenemos:

I1 =VBA

R1=

VB − VA

R1

I2 =VCA

R5=

VC − VA

R5

I3 =VDA

R3=

VD − VA

R3

Con lo que la ecuacion del nudo A, sustituyendo los valores de corriente hallados, serıa:

VB − VA

R1+

VC − VA

R5+

VD − VA

R3= 0

Obtenida esta ecuacion serıan todavıa necesarias otras tantas para poder resolver el circuitoque tenemos entre manos. Entraremos en detalle en las seccion 5.2, mas adelante.

3.3. LEY DE LAS MALLAS 27

Como ultimo detalle, y se trata de algo que no tiene que ver con la ley de los nudos, vamosa fijarnos en la toma de tierra que hay colocada en el circuito. La toma de tierra esta conectadaal lado del punto E. Sabemos que el punto E esta a la misma tension que el polo negativo dela fuente de tension, ya que estan unidos por un cortocircuito (un cable pelado y mondado, sinningun elemento entre medias), y que el punto E esta unido, tambien mediante un cortocircuito,a la toma de tierra. Es por ello que tanto el punto E como el polo negativo de la fuente detension estan a 0 voltios: la toma de tierra dicta que allı hay 0 voltios, y por tanto todos lospuntos que esten cortocircuitados a ella estaran a 0 voltios. Tambien sabemos que la fuente detension establece que V+ − V− = V1, o lo que es lo mismo, VB − VE = V1. Como VE = 0, tal ycomo hemos deducido, entonces obtenemos que VB = V1. Dicho de otro modo, ya conocerıamosla tension en el punto B (polo positivo de la fuente de tension). En muchos circuitos, engeneral, hay que plantear las ecuaciones que imponen las fuentes de tension parapoder resolverlos.

El mismo razonamiento no se podrıa hacer con la fuente de tension de V2 voltios, ya que elpunto D (polo negativo de esa fuente), no esta cortocircuitado a la toma de tierra, puesto quehay una resistencia entre medias. Es por ello que no se puede asegurar que en D haya 0 voltios,y por ende no se pueda deducir, del mismo modo que con la fuente de V1 voltios, que en el polopositivo haya V2 voltios.

3.3. Ley de las mallas

Dice ası la ley de las mallas:

La suma algebraica de todas las tensiones (diferencias de tension) a lo largo deuna malla, que se recorre en un determinado sentido, es igual a cero.

Esta ley es, en una primera impresion, mas complicada que la ley de los nudos, si bien ambasson equivalentes y valen de igual modo para resolver circuitos.

¿Que significa el termino algebraica que aparece en el enunciado de la ley de las mallas? Eltermino algebraica viene a decirnos que, cuando se escriban las ecuaciones correspondientes acada malla, las tensiones que en ellas aparecen deberan estar precedidas de un signo + o −. Enprimer lugar, se deben determinar corrientes de rama, es decir, al igual que con la ley de losnudos, se deben definir las corrientes que circulan por las ramas del circuito, con los sentidos decirculacion que se quiera. Definir una corriente con un sentido determinado implica determinarsi una tension, en la ley de las mallas, sera considerada positiva o negativa. Concretamente,establecidas las corrientes para cada rama, hay que recorrer todas las mallas (preferiblementemallas indivisibles, es decir, las que definıamos como aquellas que no contenıan a otras mallasmas pequenas). Para cada malla, se debe definir un sentido de recorrido, horario o anti-horario. Establecido el sentido de recorrido de la malla, se obtiene una ecuacion de malla,resultado de aplicar la ley de las mallas. En cada malla habra una serie de diferencias detension que debera de tener en cuenta la ley de las mallas. Cada diferencia de tension vienedeterminada por un elemento electronico, es decir, allı donde haya un elemento electronico,ya sea una resistencia, un condensador, o una fuente de tension por poner algunos ejemplos,habra una diferencia de tension que la ecuacion de la malla debera de incorporar. Ademas, esasdiferencias de tension iran acompanadas por un signo + o − dependiendo de:

• Si el elemento es una resistencia, condensador o bobina, entonces el signo es − si lacorriente que atraviesa dicho elemento (la que nosotros presumimos previamente) coincidecon el sentido de recorrido de la malla. En caso contrario, el signo es +.


+−

+ −

+−Vg1

Vg3

Vg2

R1 R2

R3

R4

R5

R6

Figura 3.9: un sencillo circuito al que aplicar la ley de las mallas

+−

+ −

+−Vg1

Vg3

Vg2

R1 R2

R3

R4 R5

R6

I1I2

I3

I4 I5I6

A B C

DE

F

G

Figura 3.10: metodo para aplicar la ley de las mallas al circuito de la Figura 3.9

• Si el elemento es una fuente (ya sea de tension o de corriente), entonces el signo es − si elsentido de recorrido nos lleva de su polo + a su polo −, y positivo si el sentido de recorridonos lleva de su polo − a su polo +. Referente a la polaridad (signo + y −) de una fuentede corriente, este aspecto lo explicaremos mas adelante en mayor detalle (seccion 5.3).

Consideremos entonces el circuito de la Figura 3.9.Segun lo explicado, en primer lugar hay que definir corrientes en cada una de las ramas. Cor-

rientes con los sentidos de circulacion que nos de la gana. En nuestro caso, son los representadosen la Figura 3.10.

Establecidas las corrientes de la figura anterior, ahora podrıamos aplicar la ley de las mallasa cada una de las tres mallas pequenas del circuito.

En la malla de arriba a la izquierda, malla A-B-E-D-A, establecerıamos un sentido derecorrido de la malla. El sentido, en este caso, va a ser anti-horario. Fijado el sentido anti-horario, vemos que la ecuacion de malla serıa la siguiente:

−Vg1 + VR4 − VR3 − VR1 = 0

Donde cada VRi representa la diferencia de tension en cada resistencia segun las corrientesdibujadas. Si aplicamos ahora la Ley de Ohm, la ecuacion anterior se transformarıa en:

− Vg1 + I4R4 + I3R3 − I1R1 = 0 (3.1)

3.3. LEY DE LAS MALLAS 29

Y es necesario recalcar otra vez la concordancia que tiene que haber entre los sentidos decirculacion de las corrientes y las diferencias de tension a la hora de aplicar la Ley de Ohm. Eneste caso ello implica que:

VR4 = VE − VD = I4R4

VR3 = VB − VE = I2R3

VR1 = VA − VB = I1R1

En la malla de arriba a la derecha, malla B-C-F-E-B, establecerıamos otro sentido de recorridoaleatorio, en este caso, horario. Fijado el sentido horario, la ecuacion de malla que se obtendrıaserıa la siguiente:

− VR2 − Vg2 + VR5 + VR3 = 0 (3.2)

Donde nuevamente, aplicando la Ley de Ohm a cada resistencia:

I3R2 − Vg2 + I5R5 + I2R3 = 0

Y nuevamente, segun los sentidos de las corrientes dibujadas, las diferencias de tension serıan:

VR2 = VB − VC = I3R2

VR5 = VE − VF = I5R5

VR3 = VB − VE = I2R3

En la malla de abajo, la malla D-F-G-D, establecerıamos un sentido de recorrido, por ejemploanti-horario, obteniendo ası la siguiente ecuacion de malla:

−Vg3 + VR6 + VR5 − VR4 = 0

Que se transformarıa, segun la Ley de Ohm, en:

− Vg3 + I6R6 + I5R5 − I4R4 = 0 (3.3)

De nuevo, segun los sentidos de las corrientes dibujadas, esas diferencias de tension serıan:

VR6 = VF − VG = I6

VR5 = VE − VF = I5

VR4 = VF − VD = I4R4

El problema tras aplicar la ley de las mallas es que, como resultado, obtenemos tres ecua-ciones, (3.1), (3.2) y (3.3), con 6 incognitas,I1, . . . , I6. Es obvio que algo nos falta para poderobtener nuestras incognitas, concretamente tres ecuaciones en las que aparezcan las variablesI1, . . . , I6. Esas ecuaciones se podrıan obtener del mismo circuito al aplicar la ley de los nudos,y ası obtener, por ejemplo:

I1 + I2 + I3 = 0 (3.4)

I2 = I4 + I5 (3.5)

I3 + I5 = I6 (3.6)

Con estas ecuaciones se tendrıa un sistema de 6 ecuaciones ((3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), (3.6))y 6 incognitas, que nos darıa la solucion a nuestro problema, las variables I1, . . . ,I6.

El problema hasta el momento parece evidente: si para un circuito tan simple ya tenemosun sistema de 6 ecuaciones con 6 incognitas, es probable que prefiramos pudrirnos de asco antesque continuar con circuitos mas complejos. Concretamente, este metodo para resolver circuitosconsistente en mezclar las ecuaciones de la ley de las mallas y la ley de los nudos es un metodoque apenas se utiliza. Dirıa que solo los masocas lo hacen.

Existen otros dos metodos que, aun basandose igualmente en las leyes de Kirchoff, sonmucho mas eficientes, pero antes de entrar en su analisis, nos fijaremos en otro concepto quenos puede simplificar el analisis de circuitos, las asociaciones de elementos.

Capıtulo 4

Asociaciones de elementos

4.1. Concepto de asociacion de elementos

El problema de las asociaciones de elementos consiste en intentar simplificar determinadasdistribuciones de elementos en un circuito, sustituyendolas por equivalentes que faciliten eltrabajo.

Para entendernos, pretendemos sustituir determinados elementos por uno que se dice equiv-alente, en el sentido de que el circuito externo a dichos elementos muestra el mismo compor-tamiento tanto si se toma el circuito original como si se toma el circuito en el que esos elementoshan sido sustituidos por el elemento equivalente.

Por ejemplo, supongamos el circuito de la Figura 4.1. Si en dicho circuito a nosotros nosinteresase hallar la corriente que circula por R, llamada I, en principio parece ser que lasresistenciasserıan un poco liosas y que nos dificultarıan la labor que tenemos entre manos.

Pues bien, existe una resistencia equivalente a todas ellas, que llamaremos Req, tal que, sitodas las resistencias entre los puntos A y B (y hacia la derecha), es decir, R1, . . . , R4, sonsustituidas por esa Req, entonces el circuito externo a todas ellas, en este caso la resistencia Ry la fuente de tension V , muestra un comportamiento identico al circuito que contiene todas lasresistencias. Como el comportamiento es el mismo, entonces la corriente I que circula a travesde R serıa igual a la que hay en el circuito original, y por tanto, tanto nos darıa hallar a Iusando la resistencia equivalente o usando el circuito original. Dicho de otro modo, tendrıamosdos circuitos a partir de los cuales hallar I, tal y como muestra la Figura 4.2, donde pareceobvio que es mas facil hallar I siguiendo el circuito (2) que el circuito (1).

Vemos, pues, que el concepto de asociaciones de elementos no es algo que haya nacido paramolestarnos, sino para simplificarnos el analisis de circuitos. Cuando se coge experiencia en ello,es difıcil encontrar un circuito en el que no se lleven a cabo asociaciones de elementos con lasque simplificar el analisis.

A

B

V

R R1

R2 R3

R4

I

Figura 4.1: un circuito que simplificar

31

32 CAPITULO 4. ASOCIACIONES DE ELEMENTOS

A

B

V

R R1

R2 R3

R4

I

A

B

V

R

I

Req

Estructuras equivalentes

(1) (2)

Figura 4.2: relacion entre el circuito original y el circuito simplificado

A

B

R1

R2 R3

R4

Figura 4.3: resistencias que asociar

Ahora toca responder a la pregunta del millon, a saber, como se obtienen elementos equiv-alentes a un conjunto de elementos. ¿De donde tetas sacarıamos la resistencia Req antes men-cionada, por citar un ejemplo?

Vamos a replantear mas formalmente el problema de los elementos equivalentes. Nuestroproposito es el de obtener un elemento equivalente a otra serie de elementos mas compleja.Partiremos de la base de que la parte compleja de la que obtener el equivalente tiene dosterminales externos que la conectan al resto del circuito. Por ejemplo, en el ejemploanterior, la parte de la que obtener el equivalente, y que tiene dos terminales externos, es larepresentada en la Figura 4.3.

Esa es la parte que anteriormente sustituimos por una resistencia equivalente. Como vemos,esta serie de elementos tiene dos terminales externos, que lo conectan al resto del circuito. Esosterminales estan senalados como los puntos A y B.

El elemento equivalente, a su vez, tambien tiene dos terminales externos, siendo el repre-sentado en la Figura 4.4.

Ahora queda plantear de forma mas formal cuando ambos modelos son equivalentes. ¿Existerealmente una condicion que los haga equivalentes a efectos practicos, en el sentido de que sise sustituye uno por otro, el resto del circuito no altera su funcionamiento? Pensemos un poco.Sabemos que el modelo original tendra un comportamiento determinado por su estructura, yque se puede resumir en que, si se le aplica una tension a sus terminales de entrada y de salida,habra una corriente de entrada y de salida por dichos terminales, es decir, habra una corrienteque entre por un terminal y salga por el otro. Esa corriente estara determinada por la tensionaplicada y por la configuracion de resistencias que forman el circuito del que se quiere hallar elequivalente, de modo que habra una ecuacion que relacione la tension aplicada y la corriente

4.1. CONCEPTO DE ASOCIACION DE ELEMENTOS 33

A

B

Req

Figura 4.4: resistencia equivalente

de entrada y de salida. Si fueramos capaces de conseguir que el modelo equivalente, en nuestroejemplo la resistencia Req, tuviera la misma relacion entre la tension en sus terminales y lascorrientes de entrada y de salida, entonces podrıamos decir que es equivalente al modelooriginal. En efecto, todo lo situado fuera del modelo equivalente no notara diferencia algunaentre el modelo equivalente y el original, ya que aquello que rige su comportamiento (el delmodelo equivalente), a saber, la relacion entre la tension entre sus terminales y las corrientesde entrada y de salida, serıa igual al del modelo original.

Por tanto, en terminos menos filosoficos y mas sencillos, se puede decir que dos circuitos,cada uno con dos terminales externos, seran equivalentes si la relacion existenteentre la tension en los terminales y las corrientes de entrada y salida son la mismapara ambos circuitos. Esta es una condicion necesaria y suficiente para que dos circuitossean equivalentes. Todos los circuitos equivalentes la cumplen, y si dos circuitos cualesquiera lacumplen, entonce son equivalentes.

Este modo de enunciar la condicion de equivalencia entre dos circuitos nos permite deducirun metodo sencillo con el cual poder obtener el valor de un elemento equivalente a un con-junto de elementos que se quieren simplificar, como la resistencia Req del ejemplo que estamostratando. El metodo consta de tres pasos fundamentales:

• Suponer que a ambos circuitos se les aplica una misma tension entre sus terminales ex-ternas, digamos V .

• Supuestas las tensiones de entrada iguales, se obtener las expresiones de las corrientesde entrada o de salida de ambos circuitos, que seran de la forma Iin(V ) o Iout(V ). Enel circuito equivalente, ademas, esa expresion contendra el valor del elemento equivalentecomo parametro. Notese que estas expresiones representan la relacion existente entre latension que soportan las terminales de los circuitos y sus corrientes de entrada y de salida.

• Como las corrientes de entrada y de salida de ambos circuitos deben ser iguales para quesean equivalentes, entonces se puede plantear la igualdad Iin1(V ) = Iin2(V ), es decir, lacorriente de entrada de uno de los circuitos es igual a la corriente de entrada del otro.Esta ecuacion tiene la peculiaridad de que, al contener el valor del elemento equivalentecomo parametro, y al ser todo lo demas valores conocidos, nos permite despejar de ella elvalor del elemento equivalente buscado.

Existe otro metodo simetrico que nos permite obtener el valor del elemento equivalentebuscado: se hallan las expresiones la tension externa (tension entre los terminales externos) enambos circuitos. Esas expresiones seran de la forma V (Iin) o V (Iout). Luego se igualan dichasexpresiones, teniendo en cuenta que las corrientes de entrada y de salida en ambos circuitosdeben ser iguales, y finalmente se despeja, de dicha ecuacion, el valor del elemento equivalente.

Por ejemplo, en el caso de nuestra resistencia equivalente, basta suponer que al circuito orig-inal se le aplica una tension determinada entre sus terminales, digamos V , obtener la expresion


A

B

R1

R2 R3

R4

A

B

ReqV V

+

-

+

-

Iin1 Iin2

Iout1 Iout2

Figura 4.5: metodo de obtencion de la resistencia equivalente

de la corriente de entrada o de salida (la corriente de entrada tiene el mismo valor que la desalida, ası que da lo mismo), e igualar dicha expresion a la de la corriente de entrada (o desalida) del circuito equivalente al aplicarsele a este la misma tension V . Esa ecuacion deberıapermitirnos despejar el valor del elemento equivalente, en nuestro ejemplo la resistencia Req.

Aplicando el procedimiento antes explicado, tendrıamos primero que suponer que a cadacircuito se le aplica una diferencia de tension V , con una polaridad determinada. Dicho procesose presenta en la Figura 4.5.

En este caso las polaridades asignadas implican que Va−Vb = V . Obtenidas las expresionesde Iin o Iout en funcion de V , es decir, expresiones de la forma Iin1(V ) o Iout1(V ), que nos danla ecuacion que relaciona la tension en los terminales externos, V , con las corrientes de entraday de salida, ası como las expresiones de Iin2(V ) o Iout2(V ), bastarıa imponer la condicion:

Iin1(V ) = Iin2(V )

U otras similares, considerando que las corrientes de entrada son iguales a las de salida en cadacircuito, para obtener la expresion de Req que hace que ambos circuitos sean equivalentes.

Vamos ahora a estudiar los dos tipos de asociaciones que aparecen la mayor parte del tiempoen circuitos convencionales, las asociaciones en serie y en paralelo.

4.2. Asociaciones en serie

Se dice que dos o mas elementos estan conectados en serie si estan situados enla misma rama. Hasta ahı llega la definicion, ni mas, ni menos. Digo esto, porque a lo largode mi experiencia he podido constatar que hay gente que, tras haber estado estudiando teorıade circuitos mas de un ano, no eran capaces de distinguir cuando habıa elementos electronicossituados en serie. Si los elementos estan en la misma rama, estan en serie. En cualquier otrocaso, no.

Supongamos el circuito de la Figura 4.6, donde hay un buen monton de elementos elec-tronicos de los ya explicados. En el circuito, los elementos L1, C1, R1, V y L2 estan en serie,ya que se situan sobre la misma rama, la rama A-E-C. Los elementos I2 y C2 tambien estanen serie, ya que se situan sobre la misma rama, la A-D. Por contra, los elementos C1, L1 e I2no estan en serie, ya que los dos primeros estan en la rama A-E-C y el segundo en la ramaA-D. Los elementos I4 y C4 tampoco estan en serie, ya que el primero esta en la rama A-B yel segundo en la rama B-C.

En esta seccion vamos a analizar que ocurre cuando se situan series de elementos del mismotipo conectados en serie (resistencias o condensadores o bobinas o fuentes de tension o decorriente, pero no una combinacion de ellos), y los elementos equivalentes que los puedensustituir.

4.2. ASOCIACIONES EN SERIE 35

R1

R2

R3

L1C1

C2

C3

I1

I2

V

L2

C4

A

B

C

D

E

Figura 4.6: un circuito con varias conexiones en serie

. . .R1 R2 Rn

A B

Figura 4.7: n resistencias conectadas en serie

4.2.1. Resistencias

Supongamos el conjunto de resistencias asociadas en serie de la Figura 4.7.

Nos preguntamos si existe una resistencia equivalente a todas ellas, es decir, si existe unaresistencia de valor Req (Figura 4.8) tal que, al ponerla entre los puntos A y B en lugar de laserie de resistencias, el circuito externo a ella muestra el mismo comportamiento que cuandoestaban las resistencias originales.

Para hallar el valor de la resistencia equivalente Req, aplicaremos el metodo explicado alprincipio de este tema, en la seccion 4.1.

En primer lugar, vamos a suponer que a ambos circuitos, entre sus terminales A y B se lesaplica una misma tension V (t), como se muestra en la Figura 4.9.

En estas circunstancias, podemos hallar facilmente las expresiones de las corrientes de en-trada y de salida de ambos circuitos, aplicando las Leyes de Kirchoff explicadas en el capıtuloanterior. Los puntos A y B del circuito de la derecha se han renombrado a P1 y Pn+1, parafacilitar el analisis matematico, si bien siguen siendo los mismos.

Vayamos al circuito de la derecha, el que contiene todas las resistencias sin simplificar. Comoen ese circuito solo hay una rama, sabemos que la corriente que circula por todos sus puntos esla misma, es decir, la corriente que atraviesa todas las resistencias es la misma. Llamemos a esacorriente I(t) (que coincide ademas con Iin(t) e Iout(t)). Si aplicamos la ley de Ohm a cada unade las resistencias del circuito, podemos obtener la diferencia de tension existente entre cada

Req

A B



Req

A B

+ −

. . .R1 R2 Rn

+ −

Iin1 Iout1 Iin2 Iout2

P1 P2 Pn Pn+1

V(t) V(t)


una de ellas. Recuerdese que la corriente que atraviesa a todas las resistencias es la misma, I(t):

VP1(t)− VP2

(t) = I(t)R1

VP2(t)− VP3

(t) = I(t)R2

...

VPn(t)− VPn+1

(t) = I(t)Rn

Si nos damos cuenta, a excepcion de la primera y la ultima ecuacion, en cada ecuacion i apareceun termino de tension Vi(t) que en la ecuacion anterior aparece con signo opuesto. Por tanto,si se suman todas las ecuaciones, se deduce que:

VP1(t)− VPn+1

(t) = V (t)

= I(t)R1 + IR2 + . . .+ IRn

= I(t)(R1 +R2 + . . .+Rn) ⇒

I(t) = Iin1(t) = Iout1(t) =V (t)

R1 +R2 + . . .+Rn

Donde se ha tenido en cuenta que VP1(t)−VPn+1

(t) = V (t) segun la fuente de tension, ya que ladiferencia de tension entre su polo positivo y su polo negativo es igual al valor de la fuente. Estaes la expresion que relaciona las corrientes de entrada y de salida con la tension que soportanlos terminales del circuito, tal y como ya se explico en la seccion 4.1.

Si ahora nos centramos en el circuito que contiene a la hipotetica resistencia equivalente yhallamos la relacion que existe entre la tension aplicada a sus terminales y las corrientes deentrada y de salida, no es difıcil deducir, aplicado simplemente la Ley de Ohm, que:

Iin2(t) = Iout2(t) =VA(t)− VB(t)

Req

=V (t)

Req

Sigamos con el procedimiento que explicamos en la seccion 4.1. Ambos circuitos se suponenequivalentes si, al aplicarseles la misma tension a sus terminales externos, sus corrientes deentrada y de salida son iguales. La condicion de aplicarseles la misma tension a sus terminalesexternos ya ha sido impuesta (dicha tension esta representada por la fuente V (t)). Quedasatisfacer la segunda condicion, es decir, imponer que las corrientes de entrada o de salida de


. . .A B

L1 L2 Ln

Figura 4.10: n bobinas conectadas en serie

A BLeq

Figura 4.11: bobina equivalente

ambos circuitos sean iguales. Si imponemos esa condicion, se tiene:

Iin1(t) = Iin2(t) ⇔V (t)

R1 +R2 + . . .+Rn

=V (t)

Req

⇔

1

R1 +R2 + . . .+Rn

=1

Req

⇔

Req = R1 +R2 + . . .+Rn (4.1)

¡Eureka! Nuestra primera formula que muestra el valor equivalente de una asociacion de elemen-tos. Esta formula nos dice que la resistencia equivalente a una serie de resistenciascolocadas en serie es igual a la suma de las resistencias. Por tanto, cualquier suce-sion de resistencias en serie se podrıa sustituir por una unica resistencia con valorigual a la suma de las resistencias, segun se muestra en la ecuacion (4.1).

4.2.2. Bobinas

Supongamos un conjunto de bobinas conectadas en serie, como muestra la Figura 4.10.Queremos ver si existe una bobinar equivalente a todas ellas, es decir, si existe una bobina

de valor Leq (Figura 4.11) tal que, si se conecta a las terminales A y B en lugar de la sucesionde n bobinas, entonces el comportamiento del circuito externo a las terminales A y B siguesiendo el mismo que con las n bobinas.

Sigamos el procedimiento explicado en la seccion 4.1 para obtener el valor de esa inductanciaequivalente Leq.

En primer lugar, apliquemos a cada circuito una misma tension V (t) entre las terminales Ay B, y obtengamos las corrientes de entrada y de salida para cada circuito (Figura 4.12).

Ademas, los puntos A y B del circuito de la derecha han sido renombrados a P1 y Pn+1,para facilitar el analisis matematico, si bien siguen siendo los mismos.

El circuito de la derecha contiene una sola rama y tambien una sola malla. Pensemos enramas mas que en mallas. Como hay una sola rama, la corriente que circula por todos sus

. . .A B

+ − + −

Iin1 Iin2Iout1 Iout2

V(t) V(t)

P1 P2 Pn Pn+1Leq L1 L2 Ln

Figura 4.12: metodo de obtencion de la bobina equivalente


puntos es la misma, y ası la corriente en cada bobina es la misma que en las demas. Llamemosa esa corriente I(t), y supongamos que tiene un sentido igual al de las corrientes de entrada yde salida. Entonces, en cada bobina podemos usar su ecuacion caracterıstica, (2.4), y obtenerlas siguientes ecuaciones:

VP1(t)− VP2

(t) = L1dI(t)

dt

VP2(t)− VP3

(t) = L2dI(t)

dt...

VPn(t)− VPn+1

(t) = Ln

dI(t)

dt

Si ahora sumamos toda esa ristra de ecuaciones entre sı, al igual que antes, todas las tensionesa excepcion de VP1

(t) y VPn+1(t) desaparecen:

VP1(t)− VPn+1

(t) = V (t)

= L1dI(t)

dt+ L2

dI(t)

dt+ . . .+ Ln

dI(t)

dt

=dIin1(t)

dt(L1 + L2 + . . .+ Ln)

Donde se ha tenido en cuenta que VP1(t)− VPn+1

(t) = V (t) segun la fuente de tension, ya quela diferencia de tension entre su polo positivo y su polo negativo es igual al valor de la fuente.Tambien se ha renombrado a I(t) como Iin(t), ya que coinciden (al igual que con Iout(t), perono se ha escrito ası). Esta es la expresion que relaciona las corrientes de entrada y de salida conla tension que soportan los terminales del circuito, tal y como ya se explico en la seccion 4.1.

En el circuito de la izquierda, el que contiene la hipotetica bobina equivalente, la ecuacionque caracteriza su corriente de entrada y de salida es inmediata, y coincide con la propia deuna bobina:

V (t) = Leq

dIin2(t)

dt

¿Que hay que hacer ahora para obtener el valor de Leq? A diferencia de como hemos hechohasta ahora al basarnos en igualar las expresiones de las corrientes de entrada o de salida decada circuito, en este caso ese metodo serıa mas complicado, puesto que requerirıa despejarIin(t), para lo cual habrıa que resolver una integral. Sı, es muy sencillo de plantear, pero es queel metodo de igualar las tensiones aplicadas a los terminales de los circuitos (que tambien senombro al final de la seccion 4.1) nos va a ser mucho mas facil en este caso, ası que aplicaremosel procedimiento alternativo de igualar la expresiones de las tensiones externas. Si igualamosambos valores de V (t), considerando que las corrientes Iin1(t) e Iin2(t) han de ser iguales paraque ambos circuitos sean equivalentes:

dIin1(t)

dt(L1 + L2 + . . .+ Ln) = Leq

dIin2(t)

dt⇔

Leq = L1 + L2 + . . .+ Ln (4.2)

Es decir, la inductancia equivalente a una serie de bobinas conectadas en serie, esigual a la suma de las inductancias de cada bobina. Por tanto, una sucesion debobinas en serie se puede sustituir por una bobina con valor igual a la suma delos valores de cada bobina, como se indica en la ecuacion (4.2). En este sentido, lasbobinas se comportan igual que las resistencias.


. . .A B

C1 C2 Cn

Figura 4.13: n condensadores conectados en serie

Ceq

A B

Figura 4.14: condensador equivalente

4.2.3. Condensadores

Supongamos un conjunto de condensadores conectados en serie, como muestra la Figura4.13.

Queremos ver si existe un condensador equivalente a todos ellos, es decir, si existe uncondensador de valor Ceq (Figura 4.14) tal que, si se conecta a las terminales A y B en lugar dela sucesion de n condensadores, entonces el comportamiento del circuito externo a las terminalesA y B sigue siendo el mismo que con los n condensadores.

Sigamos el procedimiento explicado en la seccion 4.1 para obtener el valor de esa capacidadequivalente Ceq.

En primer lugar, apliquemos a cada circuito una misma tension V (t) entre los terminales Ay B, y obtengamos las corrientes de entrada y de salida para cada circuito (Figura 4.15).

Ademas, los puntos A y B del circuito de la derecha han sido renombrados a P1 y Pn+1,para facilitar el analisis matematico, si bien siguen siendo los mismos.

El circuito de la derecha contiene una sola rama y tambien una sola malla. Pensemos enramas mas que en mallas. Como hay una sola rama, la corriente que circula por todos sus puntoses la misma, y ası la corriente en cada condensador es la misma que en los demas. Llamemosa esa corriente I(t), y supongamos que tiene un sentido igual al de las corrientes de entraday de salida. Entonces, en cada condensador podemos usar su ecuacion caracterıstica, (2.7), yobtener las siguientes ecuaciones:

I(t) = C1d(VP1

(t)− VP2(t))

dt

I(t) = C2d(VP2

(t)− VP3(t))

dt...

I(t) = Cn

d(VPn(t)− VPn+1

(t))

dt

Si en cada ecuacion pasamos la capacidad Ci dividiendo al otro miembro de la igualdad, y

. . .C1 C2 Cn

A B

+ − + −

Ceq


V(t) V(t)

P1 P2 Pn Pn+1

Figura 4.15: metodo de obtencion de la capacidad equivalente


desarrollamos la derivada, tenemos:

I(t)

C1=

dVP1(t)

dt− dVP2

(t)

dtI(t)

C2=

dVP2(t)

dt− dVP3

(t)

dt...

I(t)

Cn

=dVPn

(t)

dt− dVPn+1

(t)

dt

Si ahora sumamos toda esa ristra de ecuaciones entre sı, al igual que antes, hay una serie determinos que desaparecen, y quedan solo las tensiones en los puntos P1 y Pn+1:

I(t)

C1+

I(t)

C2+ . . .+

I(t)

Cn

= I(t)

(

1

C1+

1

C2+ . . .+

1

Cn

)

=d(VP1

(t)− VPn+1(t)

dt⇒

I(t) = Iin1(t) = Iout1(t) =dV (t)

dt

(

1

C1+

1

C2+ . . .+

1

Cn

)

−1

Donde se ha tenido en cuenta que VP1(t)−VPn+1

(t) = V (t) segun la fuente de tension, ya que ladiferencia de tension entre su polo positivo y su polo negativo es igual al valor de la fuente. Estaes la expresion que relaciona las corrientes de entrada y de salida con la tension que soportanlos terminales del circuito, tal y como ya se explico en la seccion 4.1.

En el circuito de la izquierda, el que contiene la hipotetica capacidad equivalente, la ecuacionque caracteriza su corriente de entrada y de salida es inmediata, y coincide con la propia de uncondensador:

Iin2(t) = Iout2(t) = Ceq

dV (t)

dt

Si ahora imponemos la condicion de que las corrientes de entrada o de salida sean iguales enambos circuitos, obtenemos una ecuacion de la que obtener el valor de Ceq:

Iin1(t) = Iin2(t) ⇔dV (t)

dt

(

1

C1

+1

C2

+ . . .+1

Cn

)

−1

= Ceq

dV (t)

dt⇔

1

Ceq

=1

C1+

1

C2+ . . .+

1

Cn

(4.3)

Es decir, el inverso de la capacidad equivalente de una serie de condensadoresconectados en serie, es igual a la suma de los inversos de las capacidades de cadauno de los condensadores. Ası pues, cualquier sucesion de condensadores conec-tados en serie se puede sustituir por un condensador equivalente de capacidadcorrespondiente a la mostrada en la ecuacion (4.3).

4.2.4. Fuentes de tension

La asociacion de fuentes, ya sean de tension o de corriente, son quizas un caso algo especial,que puede ser atacado de un modo distinto, y mas sencillo, al de resolver un circuito complejo.Debemos pensar que una fuente de tension no es mas que un elemento que fija entre susterminales una determinada tension, independientemente de la corriente que por ella circule.


. . .A B+ − + − + −

V1(t) V2(t) Vn(t)

P1 P2 P3 Pn Pn+1

Figura 4.16: n fuentes de tension conectadas en serie

+ −A B

Veq(t)=V1(t) +...+ Vn(t)

Figura 4.17: fuente de tension equivalente

La diferencia entre el valor de la tension en el polo positivo y el polo negativo es igual al valorde la fuente.

¿Que es un conjunto de fuentes de tension conectadas en serie? Una cosa mas rara, masgrande, y posiblemente con un pene mas luengo, pero que hace lo mismo que una unica fuentede tension, es decir, imponer una determinada tension entre los terminales externos de todaesa serie de fuentes de tension. Supongamos un conjunto de fuentes de tension en serie, comomuestra la Figura 4.16.

Ese conjunto de fuentes de tension seran muy bonitas, muy redondas, muy numerosas, perose comportan como una unica fuente de tension cuyo valor de tension es el que hay entre A yB. Pensemos un poco: si entre A y B esta serie de fuentes imponen una determinada tension,¿no serıa lo mismo poner una unica fuente cuyo valor fuera el que imponen todas esas fuentesentre A y B? Sı, en efecto. ¿Cual es la tension que hay, pues, entre A y B? Apliquemos unpoco el sentido comun. Sabemos que, para cada fuente, la diferencia entre la tension en su polopositivo y su polo negativo es igual al valor de la fuente. Si aplicamos este concepto a cada unade las fuentes, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

VP1(t)− VP2

(t) = V1(t)

VP2(t)− VP3

(t) = V2(t)

...

VPn(t)− VPn+1

(t) = Vn(t)

Con lo cual, si sumamos todas las ecuaciones, deducimos que:

VP1(t)− VPn+1

(t) = V1(t) + V2(t) + . . .+ Vn(t)

Y dado que los puntos P1 y Pn+1 coinciden con A y B respectivamente,

Veq(t) = V1(t) + V2(t) + . . .+ Vn(t) (4.4)

Es decir, la diferencia de tension entre A y B es igual a la suma de las tensiones de cada unade las fuentes de tension situadas entre A y B. Podrıamos sustituir por tanto toda la serie defuentes de tension por una equivalente (Figura 4.17) de valor Veq(t) igual a la tension entre Ay B.

El problema es que no siempre las fuentes de tension de la que obtener la fuente equivalenteestan tan ricamente distribuidas como se planteo inicialmente. Las polaridades podrıan ser delo mas variopinto. La Figura 4.18 es un ejemplo mas realista de lo que podrıamos encontrarnosen un circuito.


A B

5V 6V 1V 1,4V 0,5V

Figura 4.18: fuentes de tension conectadas en serie, ahora no tan bonitas como antes

A B

5V 6V 1V 1,4V 0,5V

C D E F

Figura 4.19: metodo de obtencion de la fuente de tension equivalente

En el primer ejemplo las polaridades en todas las fuentes tenıan la misma orientacion: polopositivo a la izquierda y polo negativo a la derecha. En ese caso, la tension entre A y B, queserıa el valor de nuestra fuente de tension equivalente, seguıa la formula (4.4). En este nuevocaso, las polaridades de las fuentes no son las mismas, y por ende no se puede aplicar la formula(4.4). No por ello el problema se hace mas complejo. Simplemente hay que obtener, nuevamente,la tension entre A y B, que sera el valor de la fuente de tension equivalente. Pensemos un pocoen como hallar la tension que hay entre A y B. Dijimos alla por el primer tema, seccion 1.2,que colocar la toma de tierra en cualquier punto del circuito nos permite conocer las tensionesen cada uno de los puntos del circuito, y sin variar las diferencias de tension entre cualesquierapuntos del circuito (que eran lo que realmente tenıan sentido fısico). Si queremos entonceshallar la diferencia de tension entre A y B, podrıamos colocar la tierra en alguno de esos dospuntos, hallar la tension en el otro, y despues obtener la diferencia. Por ejemplo, supongamosque colocamos la toma de tierra en A (Figura 4.19).

Colocada la toma de tierra en A, hallemos cual es la tension en B. Repetimos que, al colocara toma de tierra en un punto cualquiera, las diferencias de tension entre cualesquiera puntosdel circuito no varıan, de modo que la diferencia de tension entre el punto A y el punto Bsera la misma que en el circuito sin toma de tierra (de hecho se deja como ejercicio al lectorque pruebe a colocar la tierra en otro punto cualquiera, que halle el valor de la tension en A yen B, y que compruebe que la diferencia de tension es la misma que obtendremos aquı). Comola tierra esta cortocircuitada con A, se cumple que VA = 0.

Tomando la fuente de 5V , tenemos que VA − VC = 5V ⇒ VC = −5V . La fuente de 6V diceque VD − VC = 6V ⇒ VD = 1V . La fuente de 1V dice que VE − VD = 1V ⇒ VE = 2V . Lafuente de 1,4V impone la condicion VE − VF = 1,4V ⇒ VF = 0,6V . Por ultimo, la fuente de0,5V nos dice que VB − VF = 0,5V ⇒ VB = 1,1V .

Hemos encontrado pues el valor de VB, que es 1,1V . Como el valor de VA es 0V , se deduceque la diferencia de tension entre el punto A y el punto B es:

VAB = VA − VB = 0− 1,1 = −1,1V

Tenemos que la tension entre A y B es de −1,1V . Por tanto, la hipotetica fuente de tensionequivalente que deberıa colocarse entre los terminales A y B debe ser una fuente que haga ciertala igualdad VAB = VA − VB = 0− 1,1 = −1,1V . Con respecto a esto, hay varias posibilidades.Buscamos una fuente que haya que la diferencia de tension entre A y B sea de −1,1V . Unaposibilidad serıa la fuente de la Figura 4.20, ya que, segun esta fuente, la diferencia de tensionentre su polo positivo (A) y su polo negativo (B) es −1,1V , que es justamente la condicionVAB = VA − VB = 0− 1,1 = −1,1V que imponıa la serie de fuentes de tension original.


A B

-1,1V

Figura 4.20: una de las posibles fuentes de tension equivalentes

A B

1,1V

Figura 4.21: la otra posible fuente de tension equivalente

Ahora bien, hay otra fuente de tension que ofrece el mismo comportamiento. ¿Cual? Puesmuy facil, la de la Figura 4.21.

Esta fuente de tension impone que la diferencia de tension entre su polo positivo y su polonegativo es igual al valor de la fuente, es decir, VB − VA = 1,1V . Si nos damos cuenta, estacondicion es exactamente igual a la que debıa de cumplir la fuente de tension equivalente, esdecir, VB − VA = 1,1V ⇒ −(VB − VA) = −1,1V ⇒ VA − VB = −1,1V , y por tanto esta fuentetambien cumple que la tension que impone entre A y B es igual a la tension que imponen lasfuentes originales.

Vemos pues que obtener la expresion de la fuente tension equivalente a una serie de fuentesde tension asociadas en serie no es un gran problema: basta hallar la tension que impone todala serie de fuentes en sus extremos. Obtenida ese valor de tension, habra que tener en cuentaque la fuente de tension equivalente ha de ser tal que la diferencia de tension entre sus extremossea igual a la obtenida del circuito original. A este respecto, hemos visto que hay dos posiblesfuentes equivalentes, que se diferencian en que tienen la polaridad invertida y sus valores tienensignos opuestos. ¿Por que esto es ası? Si existe un elemento equivalente, realmente deberıaexistir solo uno, ¿no? La respuesta es que sı: existe solo uno. Y a pesar de ello tambien es ciertoque las fuentes de tension antes representadas eran equivalentes, pues realmente imponıan lamisma diferencia de tension entre sus terminales. Es por ello que se puede considerar que ambaseran realmente, la misma fuente de tension.

De forma mas general, dada una fuente de tension generica como la de la Figura 4.22, dichafuente puede ser sustituida por una fuente equivalente como la de la Figura 4.23.

Es decir, a cualquier fuente se le puede invertir la polaridad, y cambiar el signo de sutension sin que el resto del circuito aprecie la diferencia. La explicacion es muy sencilla. Lafuente original, la de arriba, impone la ecuacion VA(t) − VB(t) = V (t); por otro lado, la deabajo impone VB(t)− VA(t) = −V (t). Aunque parezcan ecuaciones distintas, son realmente lamisma ecuacion, y basta trabajar un poco la segunda para llegar a la conclusion de que es la

+ −A B

V(t)

Figura 4.22: fuente de tension generica


+−

A B

-V(t)

Figura 4.23: fuente de tension equivalente

. . .A B

I1(t) I2(t) In(t)

Figura 4.24: n fuentes de corriente conectadas en serie

misma que la primera. En efecto,

VB(t)− VA(t) = −V (t) ⇔−(VB(t)− VA(t)) = −(−V (t)) ⇔

VA(t)− VB(t) = V (t)

Y por tanto la segunda fuente de tension impone entre las terminales A y B la misma tensionque la fuente original, lo cual las hace a ambas equivalentes. Es precisamente por esto queen el ejemplo anterior habıa dos posibles fuentes de tension equivalentes, porque las dos eranrealmente, a su vez, equivalentes entre sı (una era igual a la otra, con la polaridad cambiada ycon el signo de la tension invertido).

4.2.5. Fuentes de corriente

Una fuente de corriente, tal y como se explico en la seccion 2.5 no es mas que un elementoelectronico que hace que por ella circule una determinada corriente de valor igual al valor de lafuente, con el sentido indicado por la flecha de la fuente, y que es independiente de la tensionque soporta entre sus terminales.

Es importante notar que, dado que en todos los puntos de una rama de uncircuito circula la misma corriente, entonces toda fuente de corriente hace que porla rama en que se situa circule una corriente igual a la que genera la fuente en sı.

Ahora supongamos que tenemos una serie de fuentes de corriente conectadas en serie (sobreuna misma rama) como muestra la Figura 4.24. Podrıamos preguntarnos si existe una fuentede corriente equivalente a todas ellas, una que, situada entre las terminales A y B, juegue elmismo papel que todas las fuentes iniciales. Podrıamos, en efecto, preguntarnos esa cuestion.La pregunta es si, en efecto, esa cuestion tiene sentido.

Pensemos un poco acerca de la asociacion de fuentes de corriente en serie. Por definicion,si las fuentes estan conectadas en serie, estan situadas en la misma rama. Ahora bien, si todasellas estan en la misma rama, ¿cual es la corriente que hay en dicha rama? Sabemos que, pordefinicion, una fuente de corriente impone en toda la rama en la que se situa una corrientedeterminada igual al su valor de corriente. ¿Que ocurre en este caso? Que hay varias fuentes decorriente en la misma rama, por tanto, todas ellas estan intentando imponer en la misma ramasu corriente propia. La primera fuente de la figura de arriba intentarıa imponer una corrienteen la rama A-B que circulase hacia la izquierda, y con un valor I1(t). Esa corriente deberıa serla que tambien circulase por las otras fuentes, ya que estan en la misma rama que la primerafuente. Pero por otro lado, la segunda fuente intenta imponer en la rama A-B otra corriente,hacia la izquierda, y de valor I2(t). Lo mismo ocurre con todas las demas fuentes de corriente:cada una intenta imponer en la rama una corriente distinta a la de las otras fuentes, entrandoen conflicto con ellas. ¿El resultado?: Fuego, dolor, explosiones y, sobre todo, suspensos todos.

4.3. ASOCIACIONES EN PARALELO 45

+−

+−

A

B

C

V1

V2

L1

L2

L3

C1

C2

C3R1

R2

C4D

Figura 4.25: circuito con diversas conexiones en paralelo

Llegamos pues a la conclusion de que no se pueden poner fuentes de corriente en la mismarama, y por tanto no pueden asociarse en serie.

En la vida real, si en un circuito se colocasen fuentes de corriente en serie, yo me alejarıa lomas rapidamente posible, y saltarıa por la ventana mas proxima. Posiblemente alguna fuentese quemarıa.

4.3. Asociaciones en paralelo

Se dice que dos o mas elementos electronicos estan conectados en paralelo sisus dos terminales externas estan conectadas, una a una (cortocircuitadas, o sonla misma).

Por ejemplo, supongamos el circuito de la Figura 4.25.Seamos mas cuidadosos en este ejemplo. Generalmente, es mas complicado determinar

que elementos estan conectados en paralelo que determinar cuales estan en serie.

Segun nuestra definicion, todos los elementos que tengan sus terminales conectadas (corto-circuitadas), una a una, estaran conectados en paralelo. La fuente de tension V2 y el condensadorC4 estan conectados en paralelo, ya que por un lado, una de las terminales de la fuente esta cor-tocircuitada con una de las terminales del condensador, y se juntan en el punto D, y la otraterminal de la fuente tambien esta cortocircuitada con la otra terminal del condensador (ambasestan cortocircuitadas, por ejemplo, con el punto C, y por ende estan cortocircuitadas entre sı).Los condensadores C1 y C2 tambien estan conectados en paralelo, ya que las terminales derechasde ambos condensadores estan cortocircuitadas en el punto C, y las terminales izquierdas estantambien cortocircuitadas (ambas, por ejemplo, se juntan en el punto llamado A y por tantoestan cortocircuitadas). Por ultimo, la fuente V1, la bobina L1 y la resistencia R1 tambien estanconectadas en paralelo: las terminales de arriba de cada elemento se cortocircuitan en el puntoA, y las de abajo en el punto B. Todos los demas elementos del circuito no estan conectados enparalelo. Por ejemplo, R1 y R2 no estan conectadas en paralelo: si bien tienen dos terminalescortocircuitados, los que su vez cortocircuitan con el punto B, los otros dos terminales no loestan: uno conecta con el punto C, y el de la otra resistencia con el punto A. No hay ninguncortocircuito que conecte ambos terminales, ya que lo impiden los demas elementos del circuito.Por tanto, R1 y R2 no estan conectadas en paralelo.

En esta seccion estudiaremos que ocurre cuando se situan series de elementos del mismotipo conectados en paralelo (resistencias o condensadores o bobinas o fuentes de tension o


...

R1

R2

RnA B

Figura 4.26: n resistencias conectadas en paralelo

A BReq


de corriente, pero no una combinacion de ellos), y los elementos equivalentes que los puedensustituir.

4.3.1. Resistencias

Supongamos un conjunto de resistencias conectadas en paralelo (Figura 4.26).En este circuito tenemos una sucesion de n resistencias cuyos terminales estan cortocircuita-

dos con los puntos A y B. Queremos obtener una resistencia equivalente a todas ellas (Figura4.27), tal que, si se sustituye el conjunto de resistencias original por esa resistencia equivalente,entonces el circuito externo a las terminales A y B muestre el mismo comportamiento que contodas las resistencias.

Para obtener el valor de la resistencia equivalente, Req, aplicaremos el procedimiento expli-cado en la seccion 4.1.

Supongamos que a ambos circuitos aplicamos una misma tension V (t), y analicemos cual esla ecuacion que relaciona las corrientes de entrada y de salida de ambos circuitos con la tensionV (t) (Figura 4.28).

Para resolver el circuito de la izquierda vamos a redibujarlo. Sı, tal y como se comento en

...

R1

R2

Rn

A B+ −

V(t)

B

+ −

Req

A

V(t)




...

R1

R2

Rn

A B

+ −V(t)

B

+ −

Req

A

V(t)


I1I2

In

Figura 4.29: circuito de la Figura 4.28, redibujado

la seccion 3.1, cuando se explico el concepto de nodo, uno puede modificar la geometrıa de lasconexiones entre los elementos del circuito siempre que, tras ello, las conexiones se mantenganinalteradas. En el circuito de la derecha hay que tener en cuenta pues que todos los terminalesizquierdos de las resistencias estan conectados (cortocircuitados) entre sı, ası como los terminalesderechos tambien lo estan. Por tanto, si se redibujase el circuito manteniendo esas conexiones,esos cortocircuitos, el circuito obtenido mostrarıa el mismo comportamiento. Ası pues, podemosredibujarlo como aparece en la Figura 4.29.

Donde se aprecia que el circuito de la izquierda ha sido redibujado de modo que lasconexiones del circuito original se mantienen inalteradas. El haberlo redibujado ası nos per-mitira analizar el circuito mas facilmente, si bien sobre el circuito original se puede llevar acabo un analisis similar al siguiente y por tanto llegar a la misma expresion para Req.

En el circuito de la izquierda podemos aplicar la ley de los nudos al nudo A. Se ha supuestoque las corrientes entrantes y salientes del nudo son las de la figura, si bien suponer otras habrıasupuesto llegar al mismo resultado. La ley de los nudos nos dice que la suma de las corrientesque entran al nudo es igual a la suma de las que salen. Como solo entra una corriente, Iin1(t),y las demas salen, la ecuacion del nudo A es:

Iin1(t) = I1(t) + I2(t) + . . .+ In(t)

Si aplicamos la Ley de Ohm a cada corriente, tenemos:

Iin1(t) =VA(t)− VB(t)

R1+

VA(t)− VB(t)

R2+ . . .+

VA(t)− VB(t)

Rn

Y como VA(t)− VB(t) = V (t) (ecuacion de la fuente de tension), entonces:

Iin1(t) = Iout(t) =V (t)

R1+

V (t)

R2+ . . .+

V (t)

Rn

Por otro lado, en el circuito equivalente la expresion de la corriente es inmediata y esta dadapor la Ley de Ohm:

Iin2(t) = Iout2(t) =VA(t)− VB(t)

Req

=V (t)

Req


A B

...

L1

L2

Ln

Figura 4.30: n bobinas conectadas en paralelo

A BLeq

Figura 4.31: bobina equivalente

Obtenidas las expresiones de las corrientes de entrada y de salida a cada circuito, para hacerque sean equivalentes hay que imponer la condicion de que las expresiones que relacionan suscorrientes de entrada o de salida en funcion de la tension aplicada a sus terminales externos(V (t)) sean iguales cuando la tension aplicada es la misma. Como la tension aplicada ha sido lamisma en ambos circuitos, resta igualar las expresiones de las corrientes de entrada o de salida(o las expresiones de V (t)) de ambos circuitos. Se obtiene:

Iin1(t) = Iin2(t) ⇔V (t)

R1

+V (t)

R2

+ . . .+V (t)

Rn

=V (t)

Req

⇔

1

Req

=V (t)

R1+

V (t)

R2+ . . .+

V (t)

Rn

(4.5)

Es decir, la el inverso de la resistencia equivalente a una serie de resistencias aso-ciadas en paralelo es igual a la suma de los inversos de los valores de cada una delas resistencias que estan en paralelo. Por tanto, cualquier conjunto de resistenciasconectadas en paralelo se puede sustituir por una resistencia equivalente de valordado por la ecuacion (4.5).

4.3.2. Bobinas

Supongamos que tenemos el conjunto de bobinas conectadas en paralelo de la Figura 4.30.Nuestro objetivo es obtener una bobina equivalente (Figura 4.31), tal que, si se coloca entre

los terminales externos A y B sustituyendo a las n bobinas, entonces el comportamiento delresto del circuito externo a los terminales A y B es el mismo que el mostrado en el circuito conlas n bobinas.

Para obtener el valor de la bobina equivalente Leq vamos a aplicar el procedimiento explicadoen la seccion 4.1: imponer que ambos circuitos sean equivalentes, lo cual significa que, si se lesaplica la misma tension entre sus terminales externos A y B, entonces las expresiones querelacionan sus corrientes de entrada y de salida con el voltaje aplicado entre A y B deben seriguales. Supongamos que a ambos circuitos se les aplica el mismo voltaje V (t) entre A y B(Figura 4.32). Esperemos que el circuito de la izquierda no resulte traumatico. A diferenciade lo que hicimos en la seccion 4.3.1 y de lo que haremos en la seccion 4.3.3, en esta ocasion


A

B

L1L2Ln Ln-1 Ln-2

+−V(t)

Iin1

Iout1

n n-1 n-2 2 1

In In-1 In-2 I2 I1

A

B

+−V(t) Leq

Iin2

Iout2

In’ In-1’ In-2’ I2’I3’. . .

. . .

Figura 4.32: metodo de obtencion de la bobina equivalente, ahora, mas complicado

no vamos a redibujar el circuito que contiene los elementos conectados en paralelo. Con ellopretendemos demostrar que lo que hicimos antes, redibujar los circuitos para obtener masfacilmente el valor del elemento equivalente, no era ninguna triquinuela sucia, sino que erarealmente un procedimiento valido.

Entendamos en primer lugar lo que tenemos entre manos. En el circuito de la izquierdase han senalado n nodos crıticos, numerados como n, n − 1, ..., 2, 1. La corriente que circulapor cada bobina Li se ha denominado Ii(t). Cuando la corriente Iin(t) llega al nodo n, estase bifurca en otras dos (los sentidos de circulacion los hemos supuesto nosotros, tal y como yahemos explicado varias veces). Una de las corrientes en las que se bifurca es In(t), pues es laque circula por la bobina Ln. La otra corriente en la que se bifurca es la corriente I ′n(t). De estemodo, para el nodo n podemos escribir:

Iin1(t) = In(t) + I ′n(t) (Nodo n)

En el nodo n− 1 ocurre mas de lo mismo: la corriente I ′n(t) se bifurca en otras dos, y segun laley de los nudos podremos escribir:

I ′n(t) = In−1(t) + I ′n−1(t) (Nodo n-1)

Para el nodo n− 2 se podrıa escribir:

I ′n−1(t) = In−2(t) + I ′n−2(t) (Nodo n-2)

En general, exceptuando el nodo n y el nodo 1, para cualquier nodo i se cumple que:

I ′i+1(t) = Ii(t) + I ′i(t) (4.6)

En el nodo numero 1 se cumple:I ′2(t) = I1(t)

Ya que las corrientes I ′2(t) e I1(t) circulan realmente por la misma rama. Ahora pensemos unpoco. Si consideramos que I ′2(t) = I1(t), en la ecuacion del nodo 2 podrıamos escribir:

I ′3(t) = I2(t) + I ′2(t)

= I2(t) + I1(t)

Pero es que, obtenido el valor de I ′3(t), se puede reescribir la ecuacion del nudo 3 del siguientemodo:

I ′4(t) = I3(t) + I ′3(t)

= I3(t) + I2(t) + I1(t)


Ahora el valor de I ′4(t) lo podrıamos usar para reescribir la ecuacion del nudo 4, y obtener que:

I ′5(t) = I4(t) + I ′4(t)

= I4(t) + I3(t) + I2(t) + I1(t)

Y ası sucesivamente, llegando finalmente a la conclusion de que, en el nodo n, se cumple que:

Iin1(t) = In(t) + In−1(t) + . . .+ I1(t)

Sabemos ademas que la ecuacion de cada bobina nos dice que:


= Li

dIi(t)

dt(i=1,. . . ,n)

Donde se ha considerado que, segun la fuente de tension, VA(t)− VB(t) = V (t). Si pasamos lasinductancias al miembro izquierdo de la ecuacion:

V (t)

Li

=dIi(t)

dt(i=1,. . . ,n)

Si sumamos el conjunto de ecuaciones definidos por la expresion anterior, y usamos la ecuaciondel nudo n:

V (t)

L1+

V (t)

L2+ . . .+

V (t)

Ln

=dI1(t)

dt+

dI2(t)

dt+ . . .+

dIn(t)

dt⇔

V (t)

(

1

L1+

1

L2+ . . .+

1

Ln

+

)

=d(I1(t) + I2(t) + . . .+ In(t))

dt⇔

V (t)

(

1

L1+

1

L2+ . . .+

1

Ln

+

)

=dIin1(t)

dt⇔

V (t) =dIin1(t)

dt

(

1

L1+

1

L2+ . . .+

1

Ln

+

)

−1

Ya tenemos, al fin, la expresion que relaciona la tension externa y la corriente de entrada (o desalida) del circuito con las bobinas asociadas en paralelo. Obtener la expresion del circuito dela derecha, el del modelo equivalente, es inmediato:


= Leq

dIin2(t)

dtPara que ambos circuitos sean equivalentes, las expresiones que relacionan la tension externaaplicada, V (t), con las corrientes de entrada y de salida, han de ser iguales en ambos circuitos.Por tanto, basta ahora igualar las expresiones de V (t) en ambos circuitos para obtener el valor deLeq, considerando que Iin1 e Iin2 han de ser iguales para que ambos circuitos sean equivalentes:

dIin1(t)

dt

(

1

L1+

1

L2+ . . .+

1

Ln

)

−1

= Leq

dIin2(t)

dt⇔

Leq =

(

1

L1+

1

L2+ . . .+

1

Ln

)

−1

⇔

1

Leq

=1

L1+

1

L2+ . . .+

1

Ln

(4.7)

Es decir, la el inverso de la inductancia equivalente a una serie de bobinas asociadasen paralelo es igual a la suma de los inversos de los valores de cada una de lasbobinas que estan en paralelo. Por tanto, cualquier conjunto de bobinas conectadasen paralelo se puede sustituir por una bobina equivalente de valor dado por laecuacion (4.7).


A B

C1

C2

Cn

...

Figura 4.33: n condensadores conectados en paralelo

Ceq

A B

Figura 4.34: condensador equivalente

4.3.3. Condensadores

Supongamos una serie de condensadores conectados en paralelo tal y como muestra la Figura4.33.

Los n condensadores estan conectados de forma directa a los terminales externos, A y B.El objetivo es encontrar un condensador equivalente (Figura 4.34) a todos ellos de modo que,si se sustituye todo el conjunto de condensadores entre A y B por ese condensador equivalente,entonces el circuito externo a A y B se comporte de la misma manera que con el conjunto decondensadores.

Al igual que hicimos en la seccion 4.3.1, redibujaremos el conjunto de condensadores aso-ciados en paralelo para que sea mas facil el analisis del circuito. Basta retorcer las terminalesde los condensadores manteniendo los mismos puntos de contacto que en el circuito original, locual viene a significar que todos los terminales derechos sigan cortocircuitados, que todos losterminales izquierdos sigan cortocircuitados, y que no se cree ninguna nueva conexion (Figura4.35).

Apliquemos ahora el procedimiento explicado en la seccion 4.1. para obtener el valor de lacapacidad equivalente, Ceq.

...

A B

C1

C2

Cn

Figura 4.35: los n condensadores en paralelo, redibujados


...

A B

C1

C2

Cn

+ −V(t)

+ −

V(t)

Ceq

BA

I1 I2

In

Iin1 Iout1 Iin2 Iout2

Figura 4.36: metodo de obtencion de la capacidad equivalente

Supongamos ahora que a ambos circuitos (el del condensador equivalente y el de los con-densadores en paralelo) se les aplica una misma tension entre sus terminales A y B, digamosV (t), y analicemos cual es la ecuacion que relaciona la tension V (t) y las corrientes de entraday de salida en ambos circuitos (Figura 4.36).

En el circuito de la izquierda podemos aplicar la ley de los nudos al nudo que cortocircuitacon el nodo A, aquel al que entra Iin1(t) y del que salen I1(t),I2(t), . . . ,In(t). La ley de los nudosnos dice:

Iin1(t) = I1(t) + I2(t) + . . .+ In(t)

Si consideramos que cada corriente Ii(t) se puede obtener segun la ecuacion del condensadorpor el que circula, tenemos:

I1(t) = C1d(VA(t)− VB(t))

dt= C1

dV (t)

dt

I2(t) = C2d(VA(t)− VB(t))

dt= C2

dV (t)

dt...

In(t) = Cn

d(VA(t)− VB(t))

dt= Cn

dV (t)

dt

Donde se ha considerado que VA(t) − VB(t) = V (t) segun la fuente de tension. Si sumamostodas las ecuaciones anteriores, se tiene:

I1(t) + I2(t) + . . .+ In(t) = C1dV (t)

dt+ C2

dV (t)

dt+ . . .+ Cn

dV (t)

dt

Y considerando que la ecuacion del nudo:

Iin1(t) = Iout(t) = C1dV (t)

dt+ C2

dV (t)

dt+ . . .+ Cn

dV (t)

dt

Por otro lado, en el circuito de la derecha, la corriente de entrada (o de salida) se puede hallardirectamente mediante la ecuacion del condensador:

Iin2(t) = Iout2(t) = Ceq

d(VA(t)− VB(t))

dt

= Ceq

dV (t)

dt


+−

+−

+−V1(t) V2(t) Vn(t)

. . .

A

B

Figura 4.37: n fuentes de tension conectadas en serie

Como queremos que ambos circuitos sean equivalentes, las expresiones de las corrientes deentrada o de salida de ambos circuitos ante tensiones iguales en las terminales A y B deben seriguales. La tension ha sido supuesta la misma, y por tanto solo queda imponer la condicion deque ambas corrientes sean iguales. De esa ecuacion se deduce el valor de la capacidad equivalente:

Iin1(t) = Iin2(t) ⇔

C1dV (t)

dt+ C2

dV (t)

dt+ . . .+ Cn

dV (t)

dt= Ceq

dV (t)

dt⇔

Ceq = C1 + C2 + . . .+ Cn (4.8)

Es decir, la capacidad equivalente de una serie de condensadores asociados enparalelo es igual a la suma de las capacidades de cada uno de los condensadores.Por tanto, cualquier conjunto de condensadores conectados en paralelo puedensustituirse por un unico condensador cuya capacidad es igual a la suma de lascapacidades de los condensadores, tal y como indica la ecuacion (4.8).

4.3.4. Fuentes de tension

Supongamos que tenemos un conjunto de fuentes de tension asociadas en paralelo, comomuestra la Figura 4.37.

Queremos comprobar si existe una determinada fuente de tension que, colocada entre losterminales A y B en sustitucion de las n fuentes, muestre el mismo comportamiento que las nfuentes juntas.

El problema de la asociacion de fuentes de tension en paralelo es igual al de la asociacionde fuentes de corriente en serie, en el sentido de que es algo que no tiene sentido, y no deberıadarse en ningun circuito bajo pena de que arda por completo.

Es facil ver que no es posible asociar fuentes de tension en paralelo. Pensemos un poco.Fijemonos en la fuente de tension V (t). Esa fuente, tal y como esta dibujada, impone la ecuacionVA(t) − VB(t) = V1(t). Por otro lado, la segunda fuente de tension, V2(t), impone la ecuacionVA(t)− VB(t) = V2(t). En general, cada fuente de tension esta imponiendo entre el punto A yel punto B una determinada diferencia de tension. ¿Cual es la tension que, entonces, hay entrelos puntos A y B? Mejor no pensarlo: todas las fuentes intentaran imponer su tension, conconsecuencias presumiblemente catastroficas para el circuito, motivo por el cual no es posibleasociar fuentes de tension en paralelo.


. . .

A

B

I1(t) I2(t) In(t)

Figura 4.38: n fuentes de corriente conectadas en paralelo

. . .

A

B

I1(t) I2(t) In(t)

I2(t)

In(t)I1(t)

Iout(t)

Iin(t)

C

Figura 4.39: las n fuentes de corriente en paralelo, redibujadas

4.3.5. Fuentes de corriente

Supongamos un conjunto de fuentes de corriente conectadas en paralelo, tal y como muestrala Figura 4.38.

Queremos ver si existe una determinara fuente de corriente equivalente a todas ellas, esdecir, una fuente de corriente que, colocada entre los terminales A y B, haga el mismo trabajoque las n fuentes en paralelo, de tal modo que el circuito externo a todas ellas no vea modificadosu comportamiento.

A diferencia de las fuentes de tension, las fuentes de corriente sı se pueden asociar en paralelo.El conjunto de fuentes en paralelo, a efectos practicos, lo unico que hace es generar una corrientede entrada y de salida por los terminales A y B. Esa corriente puede ser facilmente halladamediante la ley de los nudos. Si redibujamos el circuito original de una forma equivalente (Figura4.39), podremos hallar facilmente cual es la corriente de entrada y de salida que el conjunto defuentes impone a las terminales A y B.

Si aplicamos la ley de los nudos al nudo C, podemos obtener la expresion de la corrienteIout(t), y que coincide con Iin(t):

Iout(t) = I1(t) + I2(t) + . . .+ In(t) (4.9)

Ya que, segun los sentidos supuesto para cada corriente, la unica que sale es Iout(t), mientrasque todas las demas entran. La corriente Iout(t) es igual que la corriente Iin(t), y por tanto


A

B

Ieq(t)=I1(t)+I2(t)+...+In(t)

Figura 4.40: fuente de corriente equivalente

2mA 5mA 4mA3mA

A

B

C

D

2mA

3mA5mA

4mA

Iout

Iin

Figura 4.41: un conjunto de fuentes de corriente en paralelo, mas terrenal

se puede decir que lo unico que hacen todas las fuentes en paralelo no es mas que imponeruna corriente entre los puntos A y B, a saber, Iout(t) o Iin(t). Por tanto, todo ese conjunto defuentes se podrıa sustituir por una unica fuente que inyectase corriente de A a B, y con el valorequivalente hallado (Figura 4.40).

El problema de la formula (4.9), al igual que ocurrıa con la asociacion de fuentes de tension enparalelo, radica en que no siempre las fuentes de corriente estan tan exquisitamente colocadas,orientadas todas en un mismo sentido. Supongamos un conjunto de fuentes mas mundano, comoel de la Figura 4.41.

Las corrientes que circulan por cada una de las ramas que conectan los nodos C y D estandeterminadas por las fuentes de corriente. Si aplicamos la ley de los nudos al nudo C, suponiendoque la corriente que circula por la rama C-A tiene el sentido dibujado (Iout), entonces la ecuacionque se obtiene es:

2 · 10−3 + 3 · 10−3 + 4 · 10−3 + Iout = 5 · 10−3

Ya que la unica corriente que entra al nudo es es la de 5mA. De la ecuacion se puede deducirel valor de Iout:

Iout = −4mA

¿Que es esto? ¿Una corriente negativa? ¿Donde esta Wally? Nos hemos encontrado con algo queno nos esperabamos. Hasta ahora solo habıamos visto corrientes positivas, pero ahora parece quetambien existen corrientes negativas. ¿Que es una corriente negativa? Una corriente negativa


A

B

-4mA

Figura 4.42: fuente de corriente equivalente

A

B

I(t)

Figura 4.43: una fuente de corriente

no es mas que una corriente negativa. Punto y final. Bueno, lo cierto es que si solo tuviera quedecir esto de las corrientes negativas, no estarıa haciendo tanto el capullo, ası que entremos enel meollo de la cuestion.

Hemos deducido que las corrientes Iin e Iout son corrientes de valor negativo. Como esascorrientes circulan entrando a traves de B y saliendo desde A, entonces la fuente de corrienteequivalente que podrıa sustituir al conjunto de fuentes en paralelo es la representada en laFigura 4.42.

Ya que el conjunto de fuentes inicial hacıa exactamente eso, inyectar una corriente desde elpunto B al punto A de −4mA.

Sin embargo, volviendo al tema de la corriente de valor negativo, de nuevo surge la pregunta:¿que significa? Las corrientes de valor negativo son algo comun en teorıa de circuitos. De hecho,con el paso del tiempo, nos familiarizaremos de tal modo que nos resulten iguales a las corrientesde valor positivo. Es mas, no es que nos acabaran resultando iguales; es que, de hecho, en ciertomodo, son equivalentes. Uf, respirar, respirar, respirar. Esto puede que nos resulte impactante.Que las corrientes positivas sean equivalentes, de algun modo, a las corrientes negativas,significa que para toda corriente negativa existe una corriente positiva, y equivalente, que lapuede sustituir. Esto es parecido a lo que ocurrıa con las fuentes de tension. En la seccion 4.2.4,donde explicabamos la asociacion de fuentes de tension en serie, se demostro que toda fuentede tension se podıa sustituir por una fuente con la polaridad cambiada y de valor de tensionopuesto (cambiado de signo). Con las fuentes de corriente ocurre algo similar: toda fuentede corriente de valor I(t) se puede sustituir por otra fuente de valor −I(t) y con elsentido de circulacion opuesto.

Dicho de otro modo, una fuente de corriente generica, como la de la Figura 4.43, se puedesustituir por otra equivalente, como la de la Figura 4.44.

Explicado el que, restarıa explicar el por que. Pensemos un poco mas acerca de la ley de losnudos. En general, dijimos que en un circuito se podıa suponer que cada corriente del circuitocirculaba con un sentido impuesto por nosotros de forma totalmente arbitraria. Aunque sepueda hacer, es logico que, a la hora de resolver un circuito, haya diferencias si se suponen unossentidos u otros. Fijemonos en el ejemplo de la asociacion de fuentes de corriente en paralelo.Si hubieramos supuesto que la corriente Iout tenıa un sentido de circulacion opuesto al que

4.4. MAS ACERCA DE ASOCIACIONES 57

A

B

-I(t)

Figura 4.44: la fuente de corriente equivalente

A

B

4mA

Figura 4.45: la otra fuente de corriente equivalente

pensamos, entonces se habrıa obtenido la siguiente ecuacion en el nudo C:

2 · 10−3 + 3 · 10−3 + 4 · 10−3 = 5 · 10−3 + Iout ⇔ Iout = 4mA

Es decir, ¡la corriente Iout habrıa sido igual, pero de signo opuesto! Si consideramos esta nuevasituacion, la fuente de corriente que habrıa sustituido al conjunto de fuentes en serie habrıasido la fuente representada en la Figura 4.45, donde el sentido esta opuesto al de antes dadoque las corrientes Iout e Iin supuestas ahora tenıan el sentido entrando por A y saliendo desdeB. Pero si nos fijamos, esta es una fuente de corriente justamente equivalente a la original,que apuntaba de B a A y de valor −4mA, ya que, como hemos dicho, ambas tienen sentidosopuestos y el mismo valor pero con signo cambiado.

La conclusion que se puede extrapolar de este pequeno ejemplo, es que cuando en un cir-cuito se suponen sentidos arbitrarios para las corrientes, el resultado de las corrientes que seobtienen no se ven alterados. Simplemente, si un circuito se resuelve suponiendo queuna corriente circula de un punto A a un punto B, y en otro momento se resuelvesuponiendo que la corriente circula de B a A, entonces los valores obtenidos decorriente serıan los mismos, pero cambiados de signo.

La conclusion a la que se puede llegar analizando el problema mas formalmente, es lasiguiente.

Toda corriente que circula de un punto A a un punto B es equivalente a otracorriente que circula del punto B al A y que tiene el mismo valor pero cambiadode signo. Por tanto, toda corriente se puede sustituir por otra de sentido opuestoy de mismo valor pero cambiado de signo. Ası pues, a efectos practicos, cuando seresuelve un circuito, el sentido que se le asigna a una corriente solo determina elsigno que tendra su valor.

4.4. Mas acerca de asociaciones

Cuando se hacen asociaciones de elementos, ya sean en serie o en paralelo, se pretendesimplificar ciertas zonas del circuito no relevantes para el calculo que se pretende realizar.Es lo que comentabamos en la seccion 4.1: si por ejemplo queremos hallar la corriente que


R1

R2

R4R3

R5 R6

V1 V2

A

B

IR6

IR3

C

D

E

F

Figura 4.46: un circuito donde nos planteamos si asociar

R1

R2

R4R3

R5 R6

B

IR6

IR3

C

D

E

F

Veq=V1-V2

Figura 4.47: el circuito de la Figura 4.46, donde se han asociado las dos fuentes de tension enserie

atraviesa una determinada resistencia, todo lo ajeno a ella nos resulta molesto, en cierto modoinnecesario. Por tanto, si dichas partes del circuito ajenas se pudieran simplificar al maximo,la labor de obtener el parametro en el que estamos interesados, la corriente en la resistencia, sepodrıa simplificar en gran medida.

A pesar de la tentacion que puede suponer asociar elementos en un circuito sin pensaren ello, solo con el proposito de reducir su tamano, hay que tener vista a la hora de realizaruna asociacion. Cuando se hace una asociacion de elementos, hay que tener en cuenta que sepierde informacion del circuito original. No todo podıan ser ventajas, claro. Supongamosque tenemos un sencillo circuito, como el de la Figura 4.46.

En este circuito hay numerosos elementos que pueden ser asociados. Por ejemplo, las fuentesV1 y V2 pueden ser asociadas en serie, las resistencias R3 y R4 pueden ser asociadas en serie,las resistencias R1 y R2 pueden ser asociadas en serie, y las resistencias R5 y R6pueden serasociadas en paralelo. A pesar de todo lo que se podrıa simplificar el circuito si asociaramostantos elementos, hay que ser consciente en todo momento de que es lo que se pretende obtenerdel circuito. Si, por ejemplo, el problema consistiera en obtener la tension en el punto A, asociaren serie las fuentes de tension nos darıa problemas, dado que, al asociarlas en serie, los puntosde conexion intermedios entre elementos desaparecen. Por ejemplo, tras asociarlas, el circuitoque quedarıa serıa el de la Figura 4.47.

En el circuito asociado es importante observar que los puntos intermedios a las fuentes

4.4. MAS ACERCA DE ASOCIACIONES 59

R1

R2

R4R3

V1 V2

A

B

IR3

C

D

E

F

IReq Req=R5+R6

Figura 4.48: el circuito de la Figura 4.46, donde se han asociado las resistencias en paralelo

asociadas desaparecen tras ser asociadas. Por contra, los puntos extremos, E y C, siguen man-teniendose inalterados. Es por ello que en este nuevo circuito no se podrıa hallar la tension enel punto A, ya que dicho punto, tras la asociacion, habrıa desaparecido.

Es el mismo problema que existe con las resistencias R3 y R4. Si dichas resistencias se asocianen serie, si bien los puntos extremos, D y F siguen existiendo en el circuito simplificado (y portanto se podrıa hallar en el los parametros de tension en F y en D), el punto B desaparecerıa,y ası la tension en el punto no podrıa hallarse en el modelo con la resistencia equivalente.

Por contra, cuando se asocian elementos en serie, la corriente que atraviesa el modelo sim-plificado sigue siendo la misma que la corriente que atraviesa el modelo original. Es decir, sipor ejemplo asociaramos las resistencias R3 y R4, la corriente que circularıa por la resistenciaequivalente (R3+R4) seguirıa siendo igual a IR3, la corriente del circuito original. Tiene sentidoque sea ası, ya que, cuando se asocian elementos en serie, la rama en la que se situan dichoselementos sigue existiendo, y sigue siendo la misma que habıa en el modelo sin simplificar.Por tanto, la corriente que circula por ella debe ser la misma que en circuito sin los elementossimplificados.

Por tanto, cuando se asocian elementos en serie, ya no se puede calcular la tensionde los puntos intermedios existentes entre los elementos asociados, ya que dichospuntos desaparecen en el modelo simplificado, pero por contra, la corriente que cir-cula por el elemento equivalente es igual a la que circula por todos los elementos sinasociar, y por tanto esta sı se puede obtener directamente del modelo equivalente.

Las asociaciones en paralelo plantean un problema simetrico. Cuando se asocian elementosen paralelo, hay ramas del circuito que desaparecen. Si bien los puntos extremos de los elementosconectados en paralelo se mantienen inalterados, las ramas que conformaban la asociacion enparalelo desaparecen, aglutinandose en una sola. Ello genera una perdida de informacion, asaber, las corrientes que circulaban por cada una de las ramas de los elementos asociados enparalelo (esto es parecido a la incapacidad de no poder calcular la tension en nodos intermediosen las asociaciones en serie). Supongamos, por ejemplo, que en el ejemplo que estamos tratando,las resistencias R5 y R6 se asocian en paralelo, generando el circuito de la Figura 4.48.

En el circuito actual, como se puede apreciar, los puntos extremos de los elementos asociadosen paralelo, C y D, se mantienen inalterados. Por tanto, cualquier tension referente a C o a Den el circuito original podrıa hallarse en el modelo simplificado. Ahora bien, ¿y si se quisierahallar, por ejemplo, la corriente IR6 del circuito original? Esa corriente era la que circulabapor la rama de la resistencia R6, pero dicha rama, en el modelo simplificado, ha desaparecido.Ası pues, en el modelo equivalente, las corrientes que circulaban por cada una de las ramas delos elementos asociados en paralelo dejan de tener sentido, y no pueden calcularse de forma


directa.En resumen, cuando se asocian elementos en paralelo, ya no se puede calcular las

corrientes que circulaban por las ramas de cada uno de los elementos asociados enel modelo original, ya que dichas ramas, en el modelo equivalente, dejan de existir,pero por contra, la tension presente entre los extremos de los elementos asociadossigue siendo la misma, ya que los puntos extremos de los elementos asociados nodesaparecen tras la asociacion, y por tanto esta sı se puede obtener del modeloequivalente.

Capıtulo 5

Resolucion de circuitos encondiciones de corriente continua

Este capıtulo tiene como proposito el de proporcionar al lector dos metodos con los quepueda resolver cualquier circuito de corriente continua. Uno de ellos, el metodo de los nudos.El otro, el metodo de las mallas. Ademas, se daran una serie de pistas fundamentales quees conveniente tener en cuenta siempre que se resuelven circuitos, sean del tipo que sean. Parafinalizar, tras las explicacion de cada metodo, hay una considerable lista de ejercicios resueltospara que se ponga en practica todo lo que se ha explicado hasta el momento.

5.1. Pistas para la resolucion de circuitos

Cuando se resuelven circuitos, ya sean de corriente continua o no, hay una serie de ideasque hay que tener en la cabeza permanentemente si no queremos quedarnos a medias sin sabercomo acabar un circuito. Esas ideas, que deberan ser puestas en practica conforme se hagan masy mas circuitos, ya han sido expuestas, pero no se les suele dar la importancia que requieren.Esto es por lo que pasamos a repetirlas, y a incentivar que se tengan siempre en cuenta.

• Si una corriente circula de un punto A a un punto B a traves de una resistencia R, suexpresion, segun la Ley de Ohm, es:

IAB =VA − VB

R

• Acerca de las fuentes de tension, hay que tener en cuenta que una fuente impone unaecuacion de la forma V+−V− = V alor de la fuente. Estas ecuaciones, en muchas circun-stancias, hay que tenerlas en cuenta para poder resolver un circuito, ya que hay ciertassituaciones en las que nos faltaran ecuaciones para resolver un sistema, y seran las fuentesde tension las que nos las proporcionen.

• Referente a las fuentes de corriente, hay que tener en cuenta que estas tambien nos daninformacion muy util a la hora de resolver un circuito. Recordemos que una fuente decorriente impone en la rama en la que se situa una corriente cuyo sentido es el indicadopor la flecha de la fuente, y cuyo valor es igual al de la fuente. Por todos los elementos dela rama en la que esta esa fuente circula esa corriente.

• A la hora de resolver un circuito, las corrientes se pueden suponer en cualquier sentido.La unica diferencia entre haber supuesto un sentido u otro para una corriente es el signoque esta tendra. Positivo, si va en un sentido, y negativo, si va en el otro.

61

62 CAPITULO 5. RESOLUCION DE CIRCUITOS EN DC

• Toda fuente de tension puede sustituirse por otra que tiene la polaridad invertida respectoa la original, y cuyo valor de tension es el mismo, pero cambiado de signo.

• Toda corriente de un circuito es equivalente a otra corriente con el sentido de circulacionopuesto y con el mismo valor, pero cambiado de signo. Como consecuencia, toda fuentede corriente se puede sustituir por otra cuya corriente es inyectada en el sentido opuestoal de la original, y cuyo valor es el de la original, pero cambiado de signo.

• La toma de tierra de un circuito representa el punto donde la tension es cero. Este datosera necesario tenerlo en cuenta en muchas circunstancias para poder resolver el circuito.

• Todos los puntos de un circuito que estan cortocircuitados entre sı, estan a la misma ten-sion. Esto es de vital importancia, ya que hay muchos extremos de elementos electronicoscortocircuitados, y por tanto la tension que en ellos hay es la misma, permitiendo consid-erar la existencia de una sola incognita, y no varias.

• En un circuito de corriente continua, un condensador puede sustituirse por un circuitoabierto, y una bobina, por un cortocircuito.

5.2. Metodo de los nudos

El metodo de los nudos para la resolucion de circuitos de corriente continua se basa, sim-plemente, en la aplicacion de la ley de los nudos (seccion 3.2) a los nudos del circuito quese pretende resolver. Concretamente, se puede demostrar que para resolver un circuito con nnudos, se requiere aplicar la ley de los nudos a n − 1 nudos del circuito. Si bien esto no es deforma exacta cierto, en general se cumple. Cuando no se cumpla, veremos el por que, y tambienveremos que no tiene real importancia. Los pasos a seguir son:

• Suponer que por cada rama circula una corriente cuyo sentido de circulacion esta definidopor nosotros.

• Aplicar la ley de los nudos a los nudos del circuito.

• Sustituir la expresion de cada corriente del circuito por su valor dado por la Ley de Ohm,teniendo en cuenta el sentido de circulacion de las corrientes.

• Considerar la presencia de fuentes de corriente, de tension, y la toma de tierra, y obtenerlas ecuaciones que imponen.

• Resolver el sistema de ecuaciones obtenido. Debe ser un sistema cuyas incognitas sontensiones en el circuito.

5.2.1. Metodo de los nudos, ejercicios

En esta seccion se realizara una serie de ejercicios de circuitos de corriente continua medianteel metodo de los nudos. Es de especial importancia que el lector adquiera soltura con estemetodo, ya que es uno de los pilares fundamentales de la resolucion de todo tipo de circuitos,no solo de circuitos de corriente continua.

Ejercicio 5.1: Para el circuito de la Figura 5.1 se pide calcular:

a) Tension en el nudo B.

5.2. METODO DE LOS NUDOS 63

b) Potencia disipada por la resistencia de 5Ω.

c) Potencia generada o consumida por la fuente de corriente dependiente, e indicar si se tratade potencia generada o consumida.

2Ω

2Ω 5Ω10A 9A

2,5Ib

Ib

A B


Solucion

El circuito mostrado presenta tres fuentes de corriente, dos normales, y una dependiente.Ademas, el circuito contiene 3 resistencias. Como detalle especial, notar que el valor de la fuentede corriente dependiente depende de la corriente Ib dibujada, que es la corriente que circula porla resistencia de 5Ω, y hacia abajo.

Para resolver el circuito por el metodo de los nudos, primero debemos definir las corrientesque circulan por las ramas del circuito. En el caso de las ramas de las fuentes de corriente,dichas corrientes no son ni siquiera incognitas, ya que estan definidas por las mismas fuentes.La Figura 5.2 muestra el circuito original, al que se le han asignado corrientes aleatorias en susramas.

Como curiosidad, si la corriente I3 se hubiera supuesto circulando en sentido contrario aldibujado, su valor habrıa tenido que ser de −10A: la corriente I3 habrıa sido equivalente a lacorriente que hay en la rama, que es de 10A hacia arriba. Como I3 habıa sido supuesta haciaabajo, el unico modo de ser equivalente a la de 10A hacia arriba es haciendo que su valor decorriente tenga signo opuesto, tal y como se explico en la seccion 4.3.5.

2Ω

2Ω 5Ω10A 9AIb

A B

C

I2

I3=10A

I5=9A

I1

I4=2,5Ib

Figura 5.2: Ejemplo 5.1 con corrientes aleatorias asignadas a cada rama


Ahora, si simplemente aplicamos la ley de los nudos a los nudos A y B, obtenemos lassiguientes ecuaciones:

I2 + I3 + I4 = I1 (Nudo A)

I5 + I1 = Ib + I4 (Nudo B)

Ya que en el nudo A, solo la corriente I1 sale, mientras que las demas entran, y en el nudo Blas corrientes I5 e I1 entran mientras que las corrientes Ib e I4 salen.

Teniendo en cuenta ademas que, segun las fuentes de corriente del circuito:

I3 = 10

I5 = 9

I4 = 2,5Ib

Se tiene que las ecuaciones de los nudos A y B quedan como:

I2 + 10 + 2,5Ib = I1 (Nudo A)

9 + I1 = Ib + 2,5Ib (Nudo B)

Aplicando ahora la Ley de Ohm para obtener el valor de cada corriente, y considerando que elpunto C, al ser la toma de tierra, implica que VC = 0, las ecuaciones de los nudos quedan en:

I1 =VA − VB

2

I2 =VC − VA

2

Ib =VB − VC

5VC = 0

⇒

VA

2+ 10 + 2,5

(

VB

5

)

=VA − VB

2

9 +VA − VB

2=

VB

5+ 2,5

(

VB

5

)

Sistema de ecuaciones que depende de las incognitas VA y VB, cuya solucion es:

VA = 30V, VB = 20V

Por tanto, la tension en el nodo B es de 20V .¿Cual es la potencia disipada en la resistencia de 5Ω? Recordemos que el valor de la potencia

disipada por una resistencia se puede obtener mediante la ecuacion (1.3). Dicha ecuacion decıaque la potencia consumida o emitida por una corriente que se desplaza del punto A al punto Bes igual a:

P (t) = IAB(t)VAB(t)

En este caso queremos conocer el valor de la potencia consumida por la resistencia de 5Ω, conlo cual necesitamos conocer tanto el valor de la diferencia de tension que soporta la resistenciacomo el valor de la corriente que la atraviesa. El valor de la diferencia de tension que soportala resistencia ya lo conocemos, ya que la tension que soporta en un punto, C, es 0V , y el valorde tension en el otro punto, B, es de 20V . Queda por tanto obtener el valor de la corriente quelo atraviesa, la corriente Ib. Sabemos que, segun la Ley de Ohm:

Ib =VB − VC

5=

VB − 0

5= 4A

Como la corriente Ib circula desde el punto B al C, hay que considerar que la diferencia detension que hay que usar en la formula de la potencia es VBC = VB − VC = 20− 0 = 20V . Portanto, la potencia de la resistencia queda:

P = IBCVBC = IbVBC = 4 · 20 = 80W


Como la potencia es positiva, se deduce, como era de esperar, que la potencia es consumida,es decir, la resistencia absorbe energıa del resto del circuito, que en su caso particular, por serresistencia, emite en forma de calor.

En el caso de la fuente dependiente de corriente, para obtener su valor de potencia generadao consumida, basta aplicar la expresion (1.3), considerando la corriente que atraviesa la fuentede corriente y la tension que soporta entre sus terminales.

La corriente que la atraviesa es 2,5Ib, y la diferencia de tension a tener en cuenta, segunel sentido de circulacion de la corriente 2,5Ib, es VAB = VA − VB. Por tanto, la expresion (1.3)queda en:

P = 2,5Ib(VA − VB) = 2,5 · 4(30− 20) = 100W

Es decir, la potencia de la fuente de corriente es de 100W , positiva, y por tanto actua como unelemento pasivo, consumiendo energıa del resto del circuito.

Ejercicio 5.2: Para el circuito de la Figura 5.3 se pide:

a) Determinar el valor y el sentido de la corriente que circula por la resistencia de 5Ω.

b) Verificar que se cumple el principio de conservacion de la energıa.

10A

6V

6A10V 2Ω 4Ω

5Ω

2Ω +−


Solucion

Inicialmente, y como debe hacerse siempre que se resuelve un circuito por el metodo de losnudos, se debe suponer que por cada rama del circuito circula una corriente con un sentidodeterminado (y elegido aleatoriamente por nosotros). En el ejemplo actual, el resultado es elmostrado en la Figura 5.4. Ademas, para simplificar, los extremos de la rama donde esta laresistencia de 5Ω se han movido y juntado con los nodos que hay inmediatamente debajo. Sino se hubiera hecho ası, la resolucion no habrıa sido mas compleja.

Ahora debemos aplicar la ley de los nudos a cada uno de los nudos del circuito. En general,recordemos, la ley se aplica a todos los nudos del circuito menos a uno. En este caso, hay 4


10A

6V

6A10V 2Ω 4Ω

5Ω

2Ω +−

AB

C

D

I8

I7

I6I5I4

I3

I2I1

Figura 5.4: Ejemplo 5.2; corrientes asignadas a cada rama

nudos, el A, B, C y D, ası que se aplicara la ley a los tres primeros, siendo el D el nodo que noutilizaremos.

I1 = I2 + I7 + I8 (Nudo A)

I2 + I4 = I3 + I5 (Nudo B)

I5 + I6 + I7 + I8 = 0 (Nudo C)

Ahora se debe sustituir cada una de las corrientes utilizadas en esa ecuacion, por la expresionque indica la Ley de Ohm, obteniendo un conjunto de ecuaciones con demasiadas incognitas,y que sera simplificado analizando las ecuaciones asociadas a las fuentes de corriente y fuentesde tension.

I2 =VA − VB

2

I3 =VB − VD

2

I6 =VD − VC

4

I7 =VA − VC

5

⇒

I1 =VA − VB

2+

VA − VC

5+ I8

VA − VB

2+ I4 =

VB − VD

2+ I5

I5 +VD − VC

4+

VA − VC

5+ I8 = 0

Claro que, como se puede apreciar, el conjunto actual de ecuaciones tiene demasiadas incognitaspara el numero de ecuaciones existentes. Debemos buscar mas ecuaciones que nos permitanresolver el sistema.

Tal y como se explico en la introduccion de la seccion 5.2, el siguiente paso a la hora deresolver el circuito es tener en cuenta tanto a las fuentes de tension como de corriente, juntocon la toma de tierra, y ver que ecuaciones imponen.

Fijemonos primero en las fuentes de corriente.La fuente de corriente de 10A, la de arriba, impone por su rama una corriente de 10A

que circula hacia la derecha. Si nos fijamos, esa corriente coincide con la que nosotros hemosllamado I8, y por tanto,I8 = 10. Por supuesto, si la corriente I8 la hubieramos supuesto circularen un sentido contrario al dibujado, es decir, hacia la izquierda, su valor habrıa sido de −10A:la fuente de corriente se podrıa haber sustituido por una de igual valor y cambiado de signo(−10A), pero que circulase hacia la izquierda. En ese caso la corriente de esa fuente coincidirıacon la nueva I8 (la que circula hacia la izquierda), y por tanto, I8 habrıa valido −10A.


La fuente de corriente de 6A impone una corriente de valor 6A que circula hacia arriba enla rama en la que se situa. Esa corriente coincide con la corriente que hemos llamado I4, quees la que circula por la rama de esa fuente de corriente. Por tanto, I4 = 6.

Las fuentes de tension, por otro lado, nos proporcionan otras dos ecuaciones necesarias pararesolver el circuito. Consideremos, ademas, que el punto D, por ser tierra, cumple que VD = 0.Es importante recordar que no solo el punto exacto como D va a estar a 0 voltios, sino que todoslos puntos que esten cortocircuitados a D, vease, todos los extremos inferiores de: la fuente detension de 10V , la fuente de corriente de 6A, la resistencia de 4Ω y la resistencia de 2Ω situadaen paralelo con la fuente de 6A. Dicho de otro modo, la tension en todos esos puntos es iguala VD, que a su vez es igual a 0 voltios.

La fuente de tension de 10V impone la ecuacion VA − VD = 10 por definicion, es decir, ladiferencia de tension entre el polo positivo (en su polo positivo hay VA voltios) y el negativo(VD) es igual al valor de la fuente, 10V . Como ademas VD = 0, la ecuacion se reduce a VA = 10

La fuente de tension de 6V impone la ecuacion VC−VB = 6, es decir, la diferencia de tensionentre el polo positivo (VC) y el negativo (VB) es igual al valor de la fuente, 6V .

Las ultimas ecuaciones obtenidas son:

I8 = 10, I4 = 6, VA = 10, VC − VB = 6, VD = 0

Ahora resta juntar esas ecuaciones con las ya obtenidas para cada nudo. Si hacemos lo propionos queda:

I1 =10− VB

2+

10− VC

5+ 10

10− VB

2+ 6 =

VB

2+ I5

I5 +− VC

4+

10− VC

5+ 10 = 0

VC − VB = 6

Sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas de cuya resolucion resultan los valores:

VB = 14V, VC = 20V, I1 = 6A, I5 = −3A

Nos pedıan el valor y el sentido de circulacion de la corriente que circula por la resistencia de5Ω. En nuestro caso hemos supuesto que dicha corriente, I7, circula hacia la derecha. Por tanto,si aplicamos la Ley de Ohm para obtener su valor, tenemos que:

I7 =VA − VC

5=

10− 20

5= −2A

Por tanto, puede decirse que la corriente que atraviesa la resistencia de 5Ω es una corriente devalor −2A, y que circula hacia la derecha. Si tenemos en cuenta que toda corriente es equivalentea otra del mismo valor pero cambiado de signo, y de sentido de circulacion opuesto, se puededecir que, equivalentemente, la corriente es de 2A (mismo valor pero cambiado de signo), y quecircula hacia la izquierda (sentido de circulacion opuesto).

Para verificar que se cumple el principio de conservacion de la energıa, basta comprobar,como se explico en la seccion 2.6, que las potencias consumidas en cada instante de tiempo soniguales a las potencias generadas, en cada uno de los elementos del circuito.

Recordemos que la potencia generada o consumida por cada elemento del circuito viene dadapor la expresion (1.3), y en el caso de las resistencias, mas particularmente, por la expresion(2.2).

Para el calculo de la potencia en las resistencias usaremos la expresion que emplea la corri-ente.


• En la resistencia de 5Ω, la corriente que circula es I7, de modo que:

P = I72R = (−2)25 = 20W

• En la resistencia de 2Ω situada en la rama A-B, la corriente que circula es I2, de modoque:

P = I22R =

(

VA − VB

2

)2

2 =

(

10− 14

2

)2

2 = 8W

Si bien en este ejemplo no tiene importancia la expresion de I2 al estar elevada al cuadrado,es importante recalcar que, dado que I2 se ha supuesto circulando del nodo A al nodo B,su expresion es (VA − VB)/2.

• En la resistencia de 2Ω situada en la rama D-B, la corriente que circula es I3, de modoque:

P = I32R =

(

VB − VD

2

)2

2 =

(

14− 0

2

)2

2 = 98W

Si bien en este ejemplo no tiene importancia la expresion de I3 al estar elevada al cuadrado,es importante recalcar que, dado que I3 se ha supuesto circulando del nodo B al nodo D,su expresion es (VB − VD)/2. Ademas, dado que D coincide con la tierra, la tension en Des 0 (VD = 0).

• En la resistencia de 4Ω, la corriente que circula es I6, de modo que:

P = I62R =

(

VD − VC

4

)2

4 =

(

0− 20

4

)2

4 = 100W

Para el calculo de las potencias en las fuentes de tension y de corriente, la cual podra sergenerada o consumida, usaremos la ecuacion (1.3).

• En la fuente de corriente de 10A, la potencia es:

P = I8VAC = I8(VA − VC) = 10(10− 20) = −100W

Como la potencia es negativa, se trata de energıa que la fuente de corriente genera, es decir,energıa que pierde para ser aprovechada por el resto del circuito. Es importante recordarque la corriente que aparece en la expresion de la potencia tiene el mismo sentido quela diferencia de tension que tambien aparece, es decir, si la corriente circula de A a B,entonces la diferencia de tension es VAB = VA − VB (en nuestro caso de A a C).

• En la fuente de corriente de 6A, la potencia es:

P = I4VDB = I4(VD − VB) = 6(0− 14) = −84W

Como la potencia es negativa, se trata de energıa que la fuente de corriente genera, es decir,energıa que pierde para ser aprovechada por el resto del circuito. Es importante recordarque la corriente que aparece en la expresion de la potencia tiene el mismo sentido quela diferencia de tension que tambien aparece, es decir, si la corriente circula de A a B,entonces la diferencia de tension es VAB = VA − VB (en nuestro caso de D a B).


• En la fuente de tension de 10V , la potencia es:

P = I5VDA = I5(VD − VA) = 6(0− 10) = −60W

Como la potencia es negativa, se trata de energıa que la fuente de tension genera, es decir,energıa que pierde para ser aprovechada por el resto del circuito. Es importante recordarque la corriente que aparece en la expresion de la potencia tiene el mismo sentido quela diferencia de tension que tambien aparece, es decir, si la corriente circula de A a B,entonces la diferencia de tension es VAB = VA − VB (en nuestro caso de D a A).

• En la fuente de tension de 6V, la potencia es:

P = I5VBC = I5(VB − VC) = (−3)(14− 20) = 18W

Como la potencia es positiva, se trata de energıa que la fuente de tension consume, es decir,energıa que absorbe del resto del circuito. Es importante recordar que la corriente queaparece en la expresion de la potencia tiene el mismo sentido que la diferencia de tensionque tambien aparece, es decir, si la corriente circula de A a B, entonces la diferencia detension es VAB = VA − VB (en nuestro caso de B a C).

Las potencias consumidas (las positivas) son 20W , 8W , 98W , 100W y 18W , que suman entotal 244W . Las potencias generadas (las negativas) son 100W , 84W y 60W , que suman entotal 244W . Se puede apreciar que la potencia consumida por los elementos pasivos del circuitoes igual a la potencia generada a su vez por los elementos activos, es decir, se cumple el principiode conservacion de la energıa.

Ejercicio 5.3: Para el circuito de la Figura 5.5 se pide obtener la tension en el nodo A.

+−

+−10V

10V

10mA

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩA


Solucion

En este ejemplo se va a aplicar el metodo de los nudos tal y como se ha explicado conanterioridad. En primer lugar, debemos asignar corrientes a cada una de las ramas del circuito.Recordemos que los sentidos de circulacion de esas corrientes los asignamos de forma aleatoria.Por ejemplo, podemos suponer que las corrientes presentes en las ramas del circuito son lasmostradas en la Figura 5.6.

Asignadas las corrientes a cada rama del circuito, basta aplicar la ley de los nudos a aquellosnudos que sean de interes. Recordemos que el proceso de resolucion de un circuito es bastante


+−

+−10V

10V

10mA

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩA

I1

I2

I3 I4I5

B

D

C

E

F

Figura 5.6: Ejemplo 5.3 con corrientes asignadas a cada rama

mecanico: de un modo u otro tenemos que obtener suficientes ecuaciones para poder resolverun sistema con las incognitas buscadas. En el fondo, no importa el como se obtienen esas ecua-ciones, siempre y cuando sean validas. El metodo de los nudos no es mas que un procedimientosistematico para obtener las ecuaciones necesarias.

Tal y como se hizo en las secciones donde se analizaban las asociaciones en paralelo de loselementos fundamentales, el circuito podrıa haberse redibujado de modo que el nodo A y elnodo B se juntaran: tal y como se dijo, siempre que no se creen y se destruyan conexionesen un circuito, este puede redibujarse como parezca mas conveniente. En nuestro ejemplo, sinembargo, se ha optado por el camino mas complicado. Ası pues, si aplicamos la ley de los nudosa los nudos A y B, obtenemos:

I1 + I2 = I3 (Nudo A)

I3 + I4 = I5 (Nudo B)

Ahora aplicamos la Ley de Ohm para cada una de las corrientes, teniendo en cuenta el sentidode circulacion de estas:

I1 =VC − VA

1000

I2 =0− VA

1000

I5 =VB − VD

1000

⇒

VC − VA

1000+

0− VA

1000= I3

I3 + I4 =VB − VD

1000

El 0 presente en la expresion de I2 se debe a la presencia de la toma de tierra, donde la tension escero. Ademas, a I3 no se le puede aplicar la expresion de la Ley de Ohm, dado que la resistenciapresente entre el nudo A y el B es cero. Realmente, si nos fijamos con detalle, lo que hay entreA y B es un cortocircuito. En un cortocircuito no tiene sentido aplicar la Ley de Ohm, ya que,no solo ocurre que la resistencia es nula, sino que la diferencia de tension tambien es nula. Enefecto, en nuestro ejemplo, al estar A y B cortocircuitados la tension en A serıa la misma queen B, y la expresion de I3 se reducirıa a (VA − VB)/R = 0/0, indeterminacion que debemosrehuir a toda costa, y debido a la cual I3 se queda tal cual en las ecuaciones.

I4 sı podrıa expresarse en terminos de la Ley de Ohm. Ahora bien, si nos damos cuenta,podemos ver que I4 coincide justamente con la corriente que inyecta la fuente de corriente de10mA: la fuente impone una corriente de 10mA, y hacia arriba, en toda la rama en la que sesitua. Por tanto, al ser I4 una corriente con el mismo sentido que la de la fuente, su valor vienedeterminado directamente por esta, y es de 10mA. De este modo I4 desaparece del sistema.


Si, por ultimo, consideramos que los nodos A y B estan cortocircuitados, y que por tantoVA = VB, las ecuaciones de los nudos se reducen a:

VC − VA

1000+

0− VA

1000= I3 (Nudo A)

I3 + 10 · 10−3 =VA − VD

1000(Nudo B)

A pesar de todo lo hecho, todavıa tenemos demasiadas incognitas para resolver este sistema deecuaciones. Para obtener las ecuaciones que nos faltan, podemos analizar las fuentes de tensionpresentes en el circuito, y ver que ecuaciones imponen (recuerdese que una fuente de tensionnos dice que la diferencia de tension entre el polo positivo y el negativo es igual al valor de lafuente):

VC − VE = 10

VD − VF = 10

La primera ecuacion se corresponde con la fuente de la izquierda, mientras que la segunda secorresponde con la fuente de la derecha. Estas ecuaciones se pueden simplificar considerandoque los puntos E y F estan cortocircuitados con la toma de tierra, y por tanto VE = VF = 0.Las ecuaciones quedan, por tanto:

VC = 10

VD = 10

Las cuales, si las sustituimos en las ecuaciones del nudo A y del nudo B:

10− VA

1000+

0− VA

1000= I3

I3 + 10 · 10−3 =VA − 10

1000

Sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, tras cuya resolucion se obtiene.

VA = 10V, I3 = −0,01A

Es decir, la tension en el nudo A es de 10V .

Ejercicio 5.4: Para el circuito de la Figura 5.7, se pide hallar la resistencia equivalente medidaentre los terminales A y B.

Solucion

En los ejercicios resueltos hasta ahora no se ha realizado ningun tipo de asociacion deelementos. En este ejemplo se nos esta pidiendo que obtengamos la resistencia equivalente,medida entre las terminales A y B, al conjunto de resistencias (que por cierto es bien feo), dela Figura 5.7. El problema al que nos enfrentamos es que, en este circuito, no se puede llevar acabo asociaciones en serie o asociaciones en paralelo. Por ejemplo, las dos resistencias de 2KΩno pueden asociarse en serie, dado que en el nodo que las conecta confluye una resistencia de1KΩ, y por tanto no se consideran en la misma rama. En general, como se ha dicho, no se


A

B

1KΩ

1KΩ

1KΩ

2KΩ

2KΩ


A

B

1KΩ

1KΩ

1KΩ

2KΩ

2KΩ

Req

A

B

Figura 5.8: el conjunto de resistencias original debe ser equivalente a una cierta Req

pueden asociar las resistencias de este circuito, ni en serie ni en paralelo. Entonces, ¿como seobtiene la resistencia equivalente medida entre A y B?

Recordemos que el proceso de obtener un elemento equivalente a otros dados es algo masgeneral, no limitado a asociaciones en serie o en paralelo. Si bien en la mayorıa de las ocasioneslos elementos pueden ser asociados en serie o en paralelo, hay casos especiales en los quehay que recurrir al metodo general para obtener un elemento equivalente a otros dados. Eseprocedimiento se explico en la seccion 4.1, y de hecho fue aplicado para obtener las ecuacionesde las asociaciones en serie y en paralelo de las secciones 4.2 y 4.3.

Se dice que dos subcircuitos con dos terminales externos cada uno son equivalentes, si cuandoa ambos se les aplica la misma tension entre los dos terminales externos, entonces las corrientesde entrada y de salida son iguales en ambos circuitos (es decir, las relaciones entre la tensionaplicada a las terminales y la corriente de entrada o salida son iguales en ambos circuitos).Tal y como se explico en la seccion 4.1, si tal condicion se cumple, ambos circuitos muestranun comportamiento equivalente, y por tanto uno puede sustituirse por el otro, de modo que elresto del circuito (aquel al que se conecta el subcircuito) mostrara el mismo comportamientoque con el circuito original.

Concretamente, nosotros buscamos que el circuito de la Figura 5.7, sea equivalente a unaresistencia de valor, a hallar, tal y como se muestra en la Figura 5.8.

Tenemos por tanto dos circuitos que queremos que sean equivalentes, los mostrados enla Figura 5.8. Impondremos, por tanto, la condicion de equivalencia antes mencionada, paraası obtener el valor de Req que hace que ambos circuitos sean en efecto equivalentes.

Si ambos circuitos son equivalentes debe cumplirse que, ante la misma tension de entrada,las corrientes de entrada y de salida sean la misma en ambos circuitos (Figura 5.9).

La Figura 5.9 representa a ambos circuitos, a los que se les ha conectado, en sus terminalesde entrada, una misma tension. Ello simula la parte de bajo la misma tension de entrada.


A

B

1KΩ

1KΩ

1KΩ

2KΩ

2KΩ

Req

A

B

+−

+−

I1

I1

I2

I2

V V

Figura 5.9: procedimiento para obtener el valor de Req

A

B

1KΩ

1KΩ

1KΩ

2KΩ

2KΩ

+−V

I

I

I1 I2

I3I4

I5

CD

Figura 5.10: circuito original, para obtener su corriente de entrada

Hecho esto, para imponer la equivalencia hay que forzar que la corriente de entrada del circuitooriginal, I1, sea igual a la corriente de entrada del circuito equivalente, I2. Si bien se ha habladode corriente de entrada, se podrıa haber hablado igualmente de corriente de salida. Obviamente,para cada uno de los circuitos se cumple que la corriente de entrada es igual a la de salida (todala corriente que entra por una de las terminales de un circuito debe ser igual a la que sale porel otro terminal), y de ahı que se hayan dibujado repetidas en la Figura 5.9.

Ası pues, pasemos a obtener, en el circuito original, cual es el valor de la corriente de entradaI1 bajo la accion de una fuente de tension de valor V (Figura 5.10). Para mayor simplicidad ala hora de resolver el circuito, se ha renombrado la corriente I1(corriente de entrada o de salida)a I. Para evitar confusiones, considerese que los nombres de las corrientes de este circuito notienen nada que ver con los nombres de las corrientes de los circuitos antes mostrados.

Para resolver el circuito y obtener el valor de la incognita I se empleara el metodo de losnudos. El metodo de los nudos va a aplicarse a 3 nudos de interes (el circuito tiene 4, ası quese aplica a 3, todos menos uno):

I = I1 + I2 (Nudo A)

I = I3 + I5 (Nudo B)

I2 + I4 = I5 (Nudo C)


Consideremos ahora la Ley de Ohm para cada una de las corrientes (menos para I, para la cualno tiene sentido aplicar la Ley de Ohm al no haber resistencia en la rama por la que circula).

I1 =VA − VD

1000

I2 =VA − VC

1000

I3 =VD − VB

1000

I4 =VD − VC

2000

I5 =VC − VB

2000

⇒

I =VA − VD

1000+

VA − VC

1000

I =VD − VB

1000+

VC − VB

2000VA − VC

1000+

VD − VC

2000=

VC − VB

2000

Queda por considerar las ecuaciones impuestas por la toma de tierra y la fuente de tension. Latoma de tierra impone VB = 0, y la fuente de tension VA − VB = V , que por ser VB = 0 quedaen VA = V . Si se aplica a las ecuaciones de los tres nudos, se tiene:

VB = 0VA = V

⇒

I =V − VD

1000+

V − VC

1000

I =VD

1000+

VC

2000V − VC

1000+

VD − VC

2000=

VC

2000

Sistema de tres ecuaciones con tres incognitas, que, sin que sirva de precedente, va a ser resuelto.Las ecuaciones del nudo A y B pueden igualarse (ambas son iguales a I). De este modo nos

liberamos de una de las incognitas, quedando:

V − VD

1000+

V − VC

1000=

VD

1000+

VC

2000V − VC

1000+

VD − VC

2000=

VC

2000

De la primera ecuacion es facil deducir que:

VC =4

3(V − VD) (5.1)

La segunda ecuacion puede simplificarse, quitando los denominadores, y agrupando terminos:

2V − 2VC + VD + VC = VC ⇔2V + VD = 4VC (5.2)

Si ahora se sustituye la ecuacion (5.1) en la ecuacion (5.2), queda:

2V + VD =16

3(V − VD)

De donde se obtiene:

VD =10

19V

Usando (5.1) y la expresion de VD se deduce:

VC =12

19V


Req

A

B

+−V

I

I

Figura 5.11: circuito simplificado, para obtener su corriente de entrada

Usando VD y VC , junto con la ecuacion del nudo B:

I =VD

1000+

VC

2000⇔

2000I = 2VD + VC ⇔

2000I =20

19V +

12

19V ⇔

I =2

2375V

Este valor de I se corresponde con el valor de la corriente de entrada I1 en el circuito original.Nos queda por obtener el valor de la corriente de entrada en el circuito con el modelo equivalente.La Figura 5.11 representa el circuito simplificado, con la resistencia equivalente.

En el circuito simplificado es trivial obtener la corriente de entrada. Se deduce de formadirecta de la Ley de Ohm:

I =V

Req

Este valor de I se corresponde con la corriente de entrada I2 del circuito simplificado.Obtenidas las corrientes de entrada de cada uno de los circuitos, queda imponer la condicion

de que sean iguales, de donde se obtiene el valor de la resistencia equivalente buscada:

I1 = I2 ⇔2

2375V =

V

Req

⇔

Req = 1187,5Ω

Ejercicio 5.5: Para el circuito de la Figura 5.12, se pide obtener las tensiones en los puntosA y B.

Solucion

El circuito se resolvera mediante el metodo de los nudos. En primer lugar, definimos unacorriente para cada rama del circuito. Recordemos que a las corrientes definidas se les asignansentidos aleatorios, sin influir esto en el resultado final. Un ejemplo de corrientes serıa el de laFigura 5.13.


A B

10V

20V20mA

1000Ω 1000Ω

1000Ω

1000Ω


A B

10V

20V20mA

1000Ω 1000Ω

1000Ω

1000Ω

I1

I2

I3 I4I5

C

D

E

Figura 5.13: Ejemplo 5.5, corrientes asignadas a cada rama

Asignadas las corrientes a cada rama, se aplica el metodo de los nudos a todos los nudos deinteres. En este caso, los nudos de interes son A y B:

I1 + I2 + I3 = 0 (Nudo A)

I3 = I4 + I5 (Nudo B)

Ahora aplicamos la Ley de Ohm para obtener las expresiones de cada una de las corrientesdibujadas.

I1 =VA − VD

1000

I3 =VA − VB

1000

I4 =VB − VE

1000

I5 =VB − VC

1000

⇒

VA − VD

1000+ I2 +

VA − VB

1000= 0

VA − VB

1000=

VB − VE

1000+

VB − VC

1000

Actualmente el sistema de ecuaciones no puede resolverse, pues tiene demasiadas incognitas.Para simplificarlo, analizaremos las fuentes de tension y de corriente presentes en el circuito.

La fuente de corriente de 20mA inyecta en la rama en la que se situa una corriente de 20mA,hacia arriba. Nosotros, sin embargo, hemos supuesto que la corriente que circula por la rama dela fuente de corriente, I2, va hacia abajo. Por tanto, ambas corrientes no coinciden, de modo queno puede decirse que I2 = 20 · 10−3. Sin embargo, sabemos que la fuente de corriente de 20mApuede sustituirse por otra fuente equivalente (seccion 4.3.5), con el mismo valor de corrientepero cambiado de signo, y con el sentido de circulacion opuesto. Si hacemos eso, entonces lafuente de corriente original puede sustituirse por otra de −20mA, y que apunta hacia abajo.Ası, tendrıamos que la corriente inyectada por esta fuente equivalente ya sı coincide con la


corriente I2, y por tanto se puede decir que I2 = 20 ·10−3. Existen otras alternativas para llegara esta conclusion. Tal y como se explico en la seccion 4.3.5, toda corriente es equivalente a otrade sentido de circulacion contrario y de valor cambiado de signo. Sabemos que en una rama solopuede existir una unica corriente. En el caso de la rama de la fuente de corriente, esa corrientees de 20mA y hacia arriba. La corriente I2, al estar en la rama de la fuente de corriente, ha deser una corriente equivalente a la corriente que inyecta la fuente de corriente (ya que en unarama solo puede haber una corriente). Al tener I2 un sentido de circulacion opuesto al de lacorriente inyectada por la fuente, para ser equivalente a esta ha de tener un valor de corrientede signo opuesto al de la fuente, es decir, I2 = −20 · 10−3.

Otra alternativa para resolver el circuito habrıa sido la de suponer, desde el principio, queI2 circula hacia arriba, de modo que directamente I2 = 20 · 10−3. Sin embargo, en este caso, laecuacion del nudo A habrıa sido distinta.

De la fuente de corriente de 10V se deduce que VD − VC = 10; de la de 20V , se deduceque VE − VC = 20, y de la toma de tierra se deduce que VC = 0. Las dos primeras ecuaciones,por tanto, quedan en VD = 10, VE = 20. Juntando todas las ecuaciones hasta el momento, lasecuaciones del nudo A y del nudo B se simplifican:

I2 = −20 · 10−3

VD = 10VE = 20VC = 0

⇒

VA − 10

1000+ 20 · 10−3 +

VA − VB

1000= 0

VA − VB

1000=

VB − 20

1000+

VB − 0

1000

Sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, de cuya resolucion se obtiene:

VA = 22V, VB = 14V

Ejercicio 5.6: En el circuito de la Figura 5.14, obtener la relacion que debe existir entre lasresistencias para que por la resistencia R5 no circule corriente alguna.

V

R1

R2 R3

R4

R5

R6


Solucion

Este es un ejercicio bastante largo y bastante feo. Que tenga que decirlo me revuelve elestomago, pero la gente suele equivocarse mucho en este ejercicio por la falta de practica en elmanejo de ecuaciones simples, como las que aquı veremos. Hay bastantes operaciones, de modoque cualquier fallo en una fase temprana provoca un resultado erroneo. Ası pues, se recomiendaproceder con cuidado.


V

R1

R2 R3

R4

R5

R6

A

B

C D

I1I2 I3

I4 I5I6

I1

E


Antes de comenzar el ejercicio, debemos fijarnos en que no nos han dado ninguna tomade tierra. En general, la toma de tierra forma parte del enunciado del ejercicio, pero haysituaciones, como en la actual, en la que nos encontramos con un circuito sin tierra. De todosmodos, no se trata de un gran problema. Recordemos que el donde colocar la toma de tierrano influye en el comportamiento del circuito, sino que simplemente nos daba la capacidadpara poder obtener tensiones puntuales, y no limitarnos a diferencias de tension. Como en esteejemplo no se nos pide ninguna tension, o algo similar, la localizacion de la toma de tierra notendra importancia alguna, de modo que la colocaremos, pues por ejemplo, abajo. La Figura5.15 muestra el circuito con la toma de tierra ası como con las corrientes asignadas para suresolucion mediante el metodo de los nudos.

¿Que buscamos en este circuito? El enunciado nos pide hallar la relacion que debe haberentre las resistencias para que la corriente I6 (la que circula por R5) sea nula. Ası pues, nuestroobjetivo es, partiendo de la hipotesis de que I6 = 0, obtener una ecuacion en la que intervengansolamente resistencias, y que relacione sus valores. Quizas sea difıcil proceder como estamosacostumbrados, ya que no tenemos una incognita conocida que despejar, y por tanto no sabemosmuy bien como movernos. A pesar de ello si mantenemos en mente la idea de obtener unaecuacion donde solo aparezcan resistencias, ası como que I6 = 0, sera facil llegar al resultadoesperado.

Para resolver el problema aplicaremos la Ley de Ohm a tres nudos del circuito, a saber, losnudos C, B y D.

Las ecuaciones de dichos nudos son:

I2 = I6 + I4 (Nudo C)

I1 = I4 + I5 (Nudo B)

I3 + I6 = I5 (Nudo D)


Ahora podemos aplicar la Ley de Ohm para obtener la expresion de cada una de las corrientesde esas ecuaciones:

I1 =VE − VA

R1

I2 =VA − VC

R2

I3 =VA − VD

R3

I4 =VC − VB

R4

I5 =VD − VB

R6

⇒

VA − VC

R2= I6 +

VC − VB

R4

VE − VA

R1=

VC − VB

R4+

VD − VB

R6

VA − VD

R3+ I6 =

VD − VB

R6

La expresion de I6 no se ha desarrollado, pues por hipotesis es nula. Ademas, dado que I6 =(VC − VD)/R5 = 0, y ademas R5 no es una resistencia infinita, se deduce que necesariamenteVC − VD = 0, es decir, VC = VD. Como la toma de tierra es el punto B, tambien se puede haceruso de la ecuacion VB = 0. Por ultimo, la fuente de tension impone la ecuacion VE − VB = V ,que haciendo uso de VB = 0 queda en VE = V . Se tiene pues que el sistema de ecuaciones puedesimplificarse todavıa mas:

I6 = 0VC = VD

VB = 0VE = V

⇒

VA − VD

R2=

VD

R4

V − VA

R1

=VD

R4

+VD

R6

VA − VD

R3=

VD

R6

En lo que respecta al sistema, parece no ser tan complejo como inicialmente creıamos. Vayamosahora poco a poco.

De la tercera ecuacion se deduce:

VD = VA

R6

R3 +R6

(5.3)

Si esta expresion se sustituye en la segunda ecuacion del sistema:

V − VA

R1

= VD

R4 +R6

R4R6

= VA

(

R6

R3 +R6

)(

R4 +R6

R4R6

)

⇔

V = VA

((

R1

R3 +R6

)(

R4 +R6

R4

)

+ 1

)

=

VA

(

R4(R3 +R6)

R1(R4 +R6) +R4(R3 +R6)

)

⇔

VA = V

(

R4(R3 +R6)

R1(R4 +R6) +R4(R3 +R6)

)

La expresion de VA obtenida puede sustituirse en la ecuacion (5.3), para obtener ası una expre-sion de VD en la que no intervengan otras variables.

VD = V

(

R4R6

R1(R4 +R6) +R4(R3 +R6)

)


Ahora simplifiquemos un poco la primera ecuacion del sistema de ecuaciones original:

VA − VD

R2=

VD

R4⇔

VA

R2= VD

(

R2 +R4

R2R4

)

⇔

VA = VD

(

R2 +R4

R4

)

Si ahora sustituimos las expresiones de VA y VD en esta ultima ecuacion, se obtiene:

V

(

R4(R3 +R6)

R1(R4 +R6) +R4(R3 +R6)

)

=

(

R2 +R4

R4

)

V

(

R4R6

R1(R4 +R6) +R4(R3 +R6)

)

⇔

R3 +R6 =R6(R2 +R4)

R4⇔

R3R4 +R6R4 = R6R2 +R6R4 ⇔R3R4 = R6R2

Que es la relacion buscada, la cual deben cumplir las resistencias del circuito para que lacorriente que circula por la resistencia R5 sea nula (¡uf!).

Ejercicio 5.7: Se pide hallar el valor de la corriente que circula a traves de la resistencia Rdel circuito de la Figura 5.16 (R = 2000Ω).

12V

2000Ω

R

2V

2000Ω


Solucion

Se nos pide hallar la corriente que circula por la resistencia R. Como no nos han dadoninguna toma de tierra en el enunciado, fijaremos una a nuestra conveniencia.

Otro detalle a tener en cuenta a la hora de resolver el ejercicio tiene que ver con el hechode que nos esten pidiendo obtener una corriente, la que circula por R. Para especificar unacorriente no basta dar su valor, sino tambien su sentido de circulacion. Recordemos que, cuandoresolvemos un circuito, suponemos sentidos aleatorios para las corrientes de cada rama del


12V

2000Ω

R

2V

2000Ω

I1

I2I3

A

B

C

D

Figura 5.17: Ejemplo 5.7, corrientes asignadas a cada rama y toma de tierra emplazada

circuito. Los sentidos elegidos, como ya dijimos en su dıa, no influyen en el resultado general,mas que en el signo de las corrientes obtenidas. Si una corriente se supone que circula de A aB, y se resuelve el circuito, se obtiene un determinado valor de corriente I. Por contra, si sesupone que circula de B a A, y se resuelve el circuito, se obtendrıa el valor −I. Por supuesto,como es de esperar, ambas corrientes son la misma, pues tienen sentidos de circulacion opuestosy el mismo valor pero cambiado de signo; es decir, como habıamos dicho con anterioridad, lossentidos supuestos no influyen en la resolucion del circuito. Ası pues, cuando se de el resultado,sera importante especificar el sentido de circulacion de la corriente. No es lo mismo decir unacorriente que circula hacia arriba, de 1A, que una corriente que circula hacia abajo, de 1A.

La Figura 5.17 muestra las corrientes supuestas y la toma de tierra colocada en un puntoelegido a nuestro gusto. Notar que la corriente que circula por la resistencia R, I2, se ha supuestoque circula hacia abajo.

Apliquemos el metodo de los nudos al nudo A, unico nudo de interes del circuito:

I1 + I3 = I2 (Nudo A)

Tras aplicar la Ley de Ohm a las corrientes presentes en la ecuacion del nudo A, se obtiene:

I1 =VC − VA

2000

I2 =VD − VB

2000

I3 =VB − VA

2000

⇒

VC − VA

2000+

VB − VA

2000=

VD − VB

2000

Por otro lado, la toma de tierra impone VA = 0. La fuente de tension de 12V nos dice queVC − VB = 12; la fuente de tension de 2V nos dice que VA − VD = 2, que debido a la tomade tierra se reduce en VD = −2. Si agrupamos estas ecuaciones con la ecuacion del nudo A, setiene:

VA = 0VD = −2VC − VB = 12

⇒

12 + VB

2000+

VB

2000=

− 2− VB

2000

De donde se obtiene VB = −14/3.La corriente I2, la corriente que circula por R, se puede obtener mediante la expresion de

la Ley de Ohm:

I2 =VD − VB

2000=

−2 + 14/3

2000= 1,3mA

Por tanto, por la resistencia R circula una corriente hacia abajo de 1,3mA. Equivalentemente,se puede decir que por la resistencia R circula una corriente hacia arriba de −1,3mA.


Ejercicio 5.8: Se pide hallar la resistencia equivalente, medida entre los terminales A y B,del conjunto de resistencias de la Figura 5.18.

A

B

R8=3KΩ

R1=1KΩ

R2=2KΩ

R3=1KΩR4=1KΩ

R5=1KΩR6=2KΩ

R7=2KΩ

R9=2KΩ


Solucion

No se trata este de un ejercicio difıcil. Lo importante de el son los detalles que se vana recalcar, a los que ya se ha hecho referencia con anterioridad, pero que es posible que noquedaran claros.

En primer lugar vamos a introducir una notacion que simplifica la escritura de asociaciones.Numericamente, sabemos que la asociacion en paralelo de dos resistencias, digamos R1 y R2,viene dada por la formula:

1

Req

=1

R1

+1

R2

De donde es facil deducir que:

Req =R1R2

R1 +R2

Pues bien, la asociacion en paralelo puede expresarse tambien como:

Req = R1||R2

Por supuesto, esto es una soberana tonterıa, sin mas utilidad que la de simplificar la escritura delconcepto dos resistencias asociadas en paralelo. Ası pues, si quisieramos hablar de la asociacionde dos resistencias Ri y Rj en paralelo, podrıamos simplemente escribir Ri||Rj en vez de laformula que expresa el calculo real del valor de Req.

Analogamente, nos podrıamos preguntar si para las asociaciones en serie existe una manerasimplificada de representarlas. Lo cierto es que la formula de la resistencia equivalente de dosresistencias asociadas en serie es tan elemental (suma de las resistencias), que para representardos resistencias R1 y R2 asociadas en serie, se suele usar la misma formula asociada al valornumerico de la resistencia equivalente:

Req = R1 +R2

Resolvamos el ejercicio poco a poco. Por suerte en este ejemplo, todas las resistencias puedenasociarse en serie y/o en paralelo entre sı, de modo que todas las asociaciones pueden resol-verse de forma trivial. Por tanto, nos limitaremos a localizar las asociaciones de tipo serie y


A

B

R8=3KΩ

R1=1KΩ

R2=2KΩ

R3=1KΩR4=1KΩ

R5=1KΩR6=2KΩ

R7=2KΩ

R9=2KΩ

F

D

G C

E H

Figura 5.19: Ejemplo 5.8 con ciertos puntos remarcados

A

B

F

G C

E H

Req1=1200Ω

Req2=3000Ω Req3=2000/3Ω

2000Ω

1000Ω 1000Ω

Figura 5.20: Ejemplo 5.8 con algunas resistencias ya asociadas

paralelo existentes, para ir ası simplificando el circuito poco a poco, hasta llegar a la resistenciaequivalente buscada. Es importante no olvidar que nos estan pidiendo la resistencia equivalentemedida entre los puntos A y B, y por tanto, dichos puntos no pueden ser eliminados durantelos procesos de asociacion (recuerdese en este sentido, tal y como se explico en la seccion 4.4,como asociar en serie o en paralelo suponıa la eliminacion de nodos y ramas respectivamete).

La Figura 5.19 muestra el circuito con ciertos puntos de interes remarcados.Las primeras asociaciones que vamos a llevar a cabo son:

• R1||R2: R1 y R2 estan conectadas en paralelo, ya que sus terminales son comunes (puntosE y H del circuito).

• R8||R7: R8 y R7 estan conectadas en paralelo, ya que sus terminales estan conectadosentre sı (puntos F y G del circuito).

• R6 +R5: R6 y R5 estan conectadas en serie, dado que se situan en la misma rama (ramaF-D-E).

Tras asociar todas esas resistencias, el circuito se simplifica y queda como se muestra en laFigura 5.20.

Los valores obtenidos de resistencias equivalentes se obtienen aplicando directamente lasformulas de las asociaciones en serie y en paralelo:

Req1 = R8||R7 =R8R7

R8 +R7

=3000 · 20003000 + 2000

= 1200Ω

Req2 = R6 +R5 = 2000 + 1000 = 3000Ω

Req3 = R1||R2 =R1R2

R1 +R2=

1000 · 20001000 + 2000

=2000

3Ω


A

BC

E HReq3=2000/3Ω

1000Ω 1000ΩReq4=6200Ω

Figura 5.21: Ejemplo 5.8, todavıa mas simplificado

A

BC

E HReq3=2000/3Ω

1000ΩReq5=7750/9Ω

Figura 5.22: Ejemplo 5.8, todavıa mas simplificado

En la Figura 5.20 se ha dibujado una flecha en trazo discontinuo, que engloba a tres re-sistencias, Req1 , Req2 y la de 2000Ω, que se encuentran conectadas en serie, ya que las tresse situan en la misma rama. Por tanto, pueden asociarse en serie, quedando el circuito de laFigura 5.21.

La resistencia R4 se ha obtenido como asociacion en serie de las resistencias Req1, Req2 y dela de 2000Ω, dando lugar a:

Req4 = 1200 + 3000 + 2000 = 6200Ω

Las dos resistencias que son abarcadas por la flecha a trazos, a su vez, estan asociadas enparalelo, ya que sus terminales son comunes (puntos E y C). Por tanto, pueden asociarse enparalelo, quedando el circuito de la Figura 5.22.

En la Figura 5.22 se puede apreciar la resistencia equivalente (Req5) resultado de asociar enparalelo las resistencias Req4 y la de 1000Ω:

Req5 = Req4||1000 =6200 · 10006200 + 1000

=7750

9Ω

En el circuito de la Figura 5.22 se puede apreciar que las resistencias Req5 y Req3 estan conec-tadas en serie, ya que se situan sobre la misma rama. Por tanto, se pueden asociar en serie,quedando el circuito de la Figura 5.23.

A

B

1000ΩReq6=13750/9Ω

Figura 5.23: Ejemplo 5.8. Ya queda poco...


A

B

Req=55000/91Ω

Figura 5.24: resistencia equivalente buscada

Donde la resistencia Req6 se obtiene como el serie de las resistencias Req5 y Req3:

Req6 = Req5 +Req3 =7750

9+

2000

3=

13750

9Ω

Por ultimo, queda asociar en paralelo las dos resistencias restantes, Req6 y la resistencia de1000Ω. La resistencia equivalente es la mostrada en la Figura 5.24.

Es decir, el valor de la resistencia equivalente entre los terminales A y B del circuito originales de:

Req =55000

91Ω ≈ 604,4Ω

Por tanto, todo el conjunto de resistencias mostrado en la Figura 5.18 puede sustituirse poruna resistencia de aproximadamente 604,4Ω, la cual muestra un comportamiento equivalentetodo el conjunto (es decir, cualquier circuito externo que se acoplase al conjunto original deresistencias se comportarıa de igual modo tanto con todas las resistencias como con la resistenciaequivalente).

En este ejercicio tiene especial importancia el procedimiento seguido a la hora de obtenerla resistencia equivalente que se nos pedıa. A la hora de asociar elementos, ya no solamenteresistencias, puede resultar tentador asociar como se nos pase por la cabeza, por ejemplo,buscando hacer pocos calculos. Sin embargo, es aconsejable mantener siempre en mente que sequiere realmente, y si las asociaciones que se estan realizando son siquiera posibles.

Tal y como se comento en la seccion 4.4, las asociaciones en serie suponen la destruccionde los nodos intermedios a los elementos asociados. Por ejemplo, al asociar las resistencias R5

y R6, el nudo D dejo de existir (ver como en la Figura 5.20 dicho punto ya no aparece). Portanto, a partir de entonces, cualquier dato referente al nodo D no podrıa haberse calculado (latension en el nodo D no tendrıa sentido ya que el nodo D habrıa dejado de existir. Por tanto, esemodelo simplificado de la Figura 5.20 y subsiguientes no podrıa usarse para calcular la tensionen D).

Este detalle es muy importante, dado que durante el proceso de asociacion de resistencias,podrıamos haber eliminado a los puntos A y B, lo cual habrıa sido un error, ya que se nos pedıaconcretamente la resistencia equivalente entre los puntos A y B. Por ejemplo, en el circuito dela Figura 5.22 nos habrıamos podido sentir tentados asociar en serie las resistencias Req3 y lade 1000Ω, lo cual habrıa supuesto la desaparicion del punto A, y por tanto no se podrıa haberobtenido la resistencia equivalente buscada.

Ejercicio 5.9: Calcular el valor de la tension en el nudo A en el circuito de la Figura 5.25.Suponer que R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1000Ω, que L1 = L2 = 1,5mH y que C = 4nF .

Solucion

El circuito de la Figura 5.25 presenta tanto condensadores como bobinas. Sabemos que encondiciones de corriente continua (en las cuales estamos, dado que la unica fuente presente en


10V

L1 L2

CR1 R2 R3

R4 R5

A


10V

R1 R2 R3

R4 R5

AB

C D

E

I1 I2

Figura 5.26: Ejemplo 5.9, sin bobinas ni condensadores, y con corrientes asignadas

el circuito es una fuente de tension continua), ambos se simplifican. Concretamente, un con-densador, en corriente continua, se transforma en un circuito abierto; una bobina, en corrientecontinua, muestra un comportamiento equivalente al de un cortocircuito, y por tanto puedesustituirse por tal. De este modo, antes de ir mas lejos, sustituiremos dichos elementos porsus respectivos equivalentes en corriente continua. El resultado es el circuito de la Figura 5.26,donde ademas se han supuesto las corrientes necesarias en cada rama para la obtencion de latension en A segun el metodo de los nudos (recuerdese que los sentidos de circulacion de cadacorriente son asignados a gusto de uno mismo).

En la Figura 5.26 se puede apreciar como el condensador ha sido sustituido por un circuitoabierto, y las dos bobinas, por un cortocircuito cada una. Puede que resulte raro como se hansupuesto las corrientes en cada rama de este circuito. La corriente de la rama A-B-C-D, I1,sigue dentro de lo normal. Por contra, en la rama de la resistencia R4 se ha supuesto circular lamisma corriente, I2, que en la rama D-E-A. ¿No deberıamos haber supuesto que en la rama deR4 circula otra corriente distinta, digamos I3? La respuesta es que sı, que podrıamos haberlohecho. Sin embargo, y por suerte para nosotros, millones de anos de evolucion dieron a la especiehumana la capacidad de pensar, no con el ojo del culo, sino con la cabeza que tienen encimade los hombros (en el caso de los varones, susodicha capacidad se reparte a partes iguales entrelo que hay encima de los hombros y lo que hay debajo del ombligo). Pensemos un poco.

Sabemos que en la rama A-B-C-D hay un circuito abierto (el dejado por el condensador).Sabemos que por un circuito abierto no puede circular corriente alguna (seccion 2.1). Por tanto,la corriente I1, que es la que circula a traves de dicho circuito abierto (y a su vez a traves detoda la rama A-B-C-D; recordemos que en una rama existe una unica corriente), ha de ser nula,es decir, I1 = 0.

Sabiendo que I1 = 0, es evidente que toda la corriente que llega al nudo A a traves de R3

(rama D-E-A), I2, ha de desviarse hacia abajo, por la resistencia R4, y de ahı que la corrienteI2 se haya dibujado abarcando R3, R4 y R5. Analıticamente se podrıa haber llegado a la mismaconclusion. Si hubieramos supuesto que al nudo A entra una corriente I2,(corriente que viene de


R3), y que salen dos corrientes, I1 e I3 (esta ultima serıa la que circularıa por R4), podrıamoshaber planteado la ecuacion:

I2 = I1 + I3

Que al ser I1 = 0 se habrıa quedado en I2 = I3, tal y como hemos reflejado en la Figura 5.26.Digamos que, de algun modo, nos podemos olvidar de toda la zona izquierda del circuito

(aquella zona abarcada por I1). Podemos aplicar la ley de los nudos a los nudos A, E y D. Encada uno de esos nudos, existe una unica corriente que entra y una unica que sale, I2, ya queson nudos situados en la misma rama. Aplicar en este caso la ley de los nudos no viene a serotra cosa que igualar las distintas expresiones que, segun la Ley de Ohm, puede adoptar I2.Segun la Ley de Ohm:

I2 =VE − VA

R3

I2 =VA − VD

R4

I2 =VD − VE

R5

Sabiendo que, ademas, todas las resistencias tienen el mismo valor:

VE − VA = VA − VD = VD − VE

Como ademas la toma de tierra esta cortocircuitada con el punto D, la ecuacion anterior sesimplifica todavıa mas:

VE − VA = VA = −VE

La igualdad anterior conforma un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas:

VE − VA = VA

VA = −VE

De donde es facil obtener que:VA = VE = 0V

Ejercicio 5.10: Determinar las potencias generadas o consumidas por los generadores delcircuito de la Figura 5.27.

+−

+−

+ −

10V

20V

30V1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ 1KΩ


Solucion


+−

+−

+ −

10V

20V

30V1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ 1KΩ

I1I2

I3 I4I5

C A

E

D B

FGH


Para resolver el circuito, en primer lugar, supondremos la presencia de una toma de tierra enun lugar fijado por nosotros. Como de costumbre, fijaremos la toma de tierra abajo. Ademas,supondremos corrientes de sentidos aleatorios en cada rama del circuito para ası resolverlomediante el metodo de los nudos (Figura 5.28).

Apliquemos el metodo de los nudos a los nudos A y B:

I1 + I3 = I2 (Nudo A)

I5 = I3 + I4 (Nudo B)

Apliquemos ahora la ley de Ohm para sustituir cada corriente por expresiones que englobensolamente a tensiones.

I1 =VC − VA

1000

I2 =VA − VE

1000

I3 =VD − VA

1000

I4 =VB − VF

1000

I5 =VF − VB

1000

⇒

VC − VA

1000+

VD − VA

1000=

VA − VE

1000VF − VB

1000=

VD − VA

1000+

VB − VF

1000

Consideremos ahora la informacion aportada por las fuentes de tension ası como por la toma detierra. La toma de tierra nos dice que VG = VH = VF = 0, ya que G, H y F son puntos que estancortocircuitados con la toma de tierra. La fuente de tension de 10V implica que VC − VH = 10,la de 20V , VE − VG = 20, y la de 30V , VD − VB = 30. Si consideramos la toma de tierra,esas ecuaciones se reducen a VC = 10, VE = 20 y VD − VB = 30 (la ultima ecuacion no se vealterada).

El sistema de ecuaciones original puede simplificarse aplicando estas ultimas ecuaciones:

VC = 10VE = 20VD − VB = 30VF = 0

⇒

10− VA

1000+

VD − VA

1000=

VA − 20

10000− VD + 30

1000=

VD − VA

1000+

VD − 30− 0

1000

Sistema de dos ecuaciones con dos incognitas del que se deduce facilmente:

VA = 18,75V, VD = 26,25V

Para obtener las potencias generadas o consumidas por las fuentes de tension, se hara uso dela ecuacion ((1.3)), y por tanto habra que obtener los valores de las corrientes que atraviesan a


dichas fuentes de tension, I1, I2 e I3.

I1 =VC − VA

1000=

10− 18,75

1000= −8,75 · 10−3

I2 =VA − VE

1000=

18,75− 20

1000= −1,25 · 10−3

I3 =VD − VA

1000=

26,25− 18,75

1000= 7,5 · 10−3

La ecuacion ((1.3)) nos dice que si una corriente IAB que circula de un punto A a otro punto Batraviesa una diferencia de tension VAB, entonces la potencia generada o consumida es IABVAB.Apliquemoslo a cada una de las fuentes del circuito:

• Fuente de tension de 10V : la corriente I1 atraviesa a la fuente desde su polo negativo a supolo positivo (desde H a C). Por tanto, la diferencia de tension que se debe tomar es VHC .Segun la misma fuente de tension, VC − VH = 10, y por tanto VHC = VH − VC = −10. Setiene que la potencia en esa fuente es de:

P10V = −8,75 · 10−3(−10) = 0,0875W

Que al ser potencia positiva, se considera potencia consumida, es decir, la fuente de tensionde 10V absorbe energıa del resto del circuito.

• Fuente de tension de 20V : la corriente I2 atraviesa a la fuente desde su polo positivo asu polo negativo (desde E a G). Por tanto, la diferencia de tension que se debe tomar esVEG. Segun la misma fuente de tension, VEG = VE − VG = 20. Se tiene que la potencia enesa fuente es de:

P20V = −1,25 · 10−3 · 20 = −0,025W

Que al ser potencia negativa, se considera potencia generada, es decir, la fuente de tensionde 20V genera energıa que es utilizada (consumida) por otros elementos del circuito.

• Fuente de tension de 30V : la corriente I3 atraviesa a la fuente desde su polo negativo a supolo positivo (desde B a D). Por tanto, la diferencia de tension que se debe tomar es VBD.Segun la misma fuente de tension, VD − VB = 30, y por tanto VBD = VB − VD = −30. Setiene que la potencia en esa fuente es de:

P30V = 7,5 · 10−3(−30) = −0,225W

Que al ser potencia negativa, se considera potencia generada, es decir, la fuente de tensionde 30V genera energıa que es utilizada (consumida) por otros elementos del circuito.

Ejercicio 5.11: Para el circuito de la Figura 5.29, se pide obtener el valor de la constante a,sabiendo que la maxima corriente que puede circular por la bobina es de 2A. Tomar L = 2H.

Suponer que la tension que impone la fuente de tension sigue la funcion:

V (t) =

0 si t < 0

t si 0 ≤ t < a

0 si t ≥ a

Solucion


V(t)L


V(t)L

A

B

I(t)


Este ejercicio tiene que ver realmente poco con el metodo de los nudos. Se trata de unsencillo ejercicio en el que no basta aplicar el mecanico procedimiento de resolucion de ejerci-cios mediante la ley de los nudos, sino que requiere pensar un poco mas de a lo que estamosacostumbrados.

El circuito de la Figura 5.29 consta de una fuente de tension variable en el tiempo y de unabobina de valor L. La forma de la tension que impone la fuente de tension viene dada por lafuncion V (t), que es fundamentalmente la funcion identidad, pero acotada a un cierto intervalo:antes del instante 0, la funcion vale 0. De 0 al instante a, la funcion es la identidad. De a enadelante, la funcion vale igualmente 0.

Debemos recordar la ecuacion que rige el comportamiento de una bobina. Si una bobinade inductancia L es atravesada por una corriente IAB(t) desde su extremo A a su extremo B,entonces la diferencia de tension VAB(t) que hay entre sus extremos viene dada por la ecuacion(2.4), a saber:

VAB(t) = LdIAB(t)

dt

En nuestro ejemplo, tal y como se representa en la Figura 5.30, se ha supuesto que la corrienteque atraviesa a la bobina circula de A a B (como siempre, podrıa haberse supuesto que lacorriente circulaba justamente en el otro sentido, de B a A). Dicha corriente se ha denominadoI(t). Dado ese sentido de circulacion de la corriente, se tiene que la diferencia de tension queaparece en la ecuacion (2.4) es justamente VAB(t), que coincide con la tension impuesta por lafuente de tension, V (t).

La ecuacion que rige el circuito actual vendra dada, por tanto, por:

V (t) = LdI

dt

¿Que hacer con esta ecuacion? Pensando un poco, debemos ser capaces de darnos cuenta deque podemos obtener el valor de I(t) de esa ecuacion diferencial, ya que se conoce el valor dela funcion V (t).


Operemos un poco:

V (t) = LdI

dt⇔

1

LV (t)dt = dI ⇔

1

L

∫ t

0

V (τ)dτ =

∫ I(t)

I(0)

dI ⇔

1

L

∫ t

0

V (τ)dτ = I(t)− I(0)

En este ejemplo, I(0) = 0 por hipotesis. Esto es ası ya que hasta el instante 0 (es decir, desde−∞ hasta 0 inclusive) la fuente de tension no inyecta tension alguna (su valor es 0), y portanto no puede haber corriente alguna hasta el instante 0, incluido este. Como ademas V (τ) esuna recta de pendiente 1 desde 0 hasta el instante a, la ecuacion anterior puede desarrollarsepara valores de tiempo entre 0 y a del siguiente modo:

1

L

∫ t

0

V (τ)dτ = I(t)− I(0) ⇔

1

L

∫ t

0

τdτ = I(t) ⇔

I(t) =t2

2L

Expresion valida solo para instantes de tiempo t comprendidos entre 0 y a.Como esta corriente depende de forma directa del instante de tiempo t (es directamente

proporcional al cuadrado de t), su valor maximo se alcanzara justamente en el instante a, yaque dicho instante es el ultimo en el que es valida la ecuacion obtenida. Por tanto, en t = adebe cumplirse que I(t) sea igual a 2A, que es lo que nos decıa el enunciado:

I(a) = 2 ⇔a2

2L= 2 ⇔

a =√8

Donde se ha usado que el valor de L es de 2H .

Ejercicio 5.12: Se pide hallar la resistencia equivalente, medida entre las terminales A y B,del circuito de la Figura 5.31.

Solucion

El conjunto de resistencias del que se nos pide hallar la resistencia equivalente muestra unaconfiguracion que no puede ser simplificada mediante simples asociaciones en serie y en paralelo.Si bien hay un par de resistencias (las dos de 1KΩ de arriba a la derecha) que inicialmentepueden asociarse en serie, a partir de ahı no se puede realizar mas asociaciones en serie oen paralelo. Para obtener la resistencia equivalente entre A y B, por tanto, se debe recurrir


A

B

3KΩ

2KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ

2KΩ


A

B

3KΩ

2KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ

A

B

Req

2KΩ

Figura 5.32: equivalencia buscada

al metodo generico para la obtencion de elementos equivalentes, tal y como se explico en laseccion 4.4.

Se procedera del siguiente modo: se aplicara al conjunto de resistencias una determinadatension entre los terminales A y B; se obtendra, aplicada esa tension, la corriente de entrada (ode salida, pues son la misma), del conjunto de resistencias, digamos Iin1. Despues se aplicara elmismo procedimiento al supuesto circuito equivalente, para obtener ası la corriente de entrada(o de salida) en tal, digamos Iin2. La equivalencia buscada se representa en la Figura 5.32.

Para resolver el ejercicio se va a proceder inicialmente a obtener la expresion de la corrientede entrada en el conjunto de resistencias original, aplicada una tension V a los terminales Ay B. Como el circuito se va a resolver mediante el metodo de los nudos, tambien se van asuponer corrientes en cada una de las ramas; ademas, para agilizar la resolucion del circuito,se colocara una toma de tierra (abajo, como estamos acostumbrados), y se senalaran una seriede puntos de interes. Todo ello se representa en la Figura 5.33.

Apliquemos el metodo de los nudos a los nudos C, D y E:

Iin1 = I1 + I2 (Nudo C)

I1 + I5 = I3 (Nudo D)

I2 = I5 + I4 (Nudo E)


A

B

3KΩ

2KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ

+−V

C

D E

Iin1

I1

I2

I3 I4

I5

2KΩ

F

Figura 5.33: obtencion de la corriente de entrada, modelo original

Si hacemos uso de la Ley de Ohm, las ecuaciones se reducen a:

Iin1 =VA−VC

3000

I1 =VC − VD

1000

I2 =VC − VE

2000

I3 =VD − VF

1000

I4 =VE − VF

1000

I5 =VE − VD

2000

⇒

VA − VC

3000=

VC − VD

1000+

VC − VE

2000VC − VD

1000+

VE − VD

2000=

VD − VF

1000VC − VE

2000=

VE − VD

2000+

VE − VF

1000

La toma de tierra nos dice que VB = VF = 0; ademas, segun la fuente de tension, VA−VB = V ,lo que junto con la ecuacion de la toma de tierra nos lleva a VA = V . Con estas ecuaciones elsistema puede simplificarse:

VF = 0VA = V

⇒

V − VC

3000=

VC − VD

1000+

VC − VE

2000VC − VD

1000+

VE − VD

2000=

VD − 0

1000VC − VE

2000=

VE − VD

2000+

VE − 0

1000

Sistema de ecuaciones del cual se obtiene:

VC =19

67V, VE =

7

67V, VD =

9

67V

Y por tanto, la corriente de entrada Iin1 del circuito original ante una entrada V es:

Iin1 =VA − VC

3000=

(

V − 19

67V

)

· 1

3000=

2

8375V

En el modelo equivalente es trivial seguir este procedimiento para la obtencion de la corrientede entrada Iin2 ante una tension de entrada V . La figura 5.34 muestra el escenario en cuestion.En ese circuito es evidente que la corriente de entrada Iin2 toma el valor:

Iin2 =VA − VB

Req

=V

Req


Req

A

B

V

Iin2

Figura 5.34: obtencion de la corriente de entrada, modelo simplificado

Dado directamente por la Ley de Ohm.Para que ambos modelos sean equivalentes, ante una misma tension de entrada (V ), las

corrientes de entrada (Iin1 e Iin2) deben ser iguales. Por tanto, nos resta imponer la igualdadentre ambas corrientes de entrada para obtener el valor de la resistencia equivalente:

Iin1 = Iin2 ⇔2

8375V =

1

Req

V ⇔

Req = 4187,5Ω

Que es el valor de la resistencia equivalente buscada: el conjunto original de resistencias, vistodesde los terminales A y B, muestra el mismo comportamiento que una resistencia de 4187,5Ω.

5.3. Metodo de las mallas

El metodo de las mallas es el otro gran metodo de resolucion de circuitos que estudiaremos.Junto con el metodo de los nudos, forman el gran pilar de la resolucion de circuitos de todotipo, ya sean de corriente continua o no.

El metodo de las mallas esta basado directamente en la ley de las mallas (seccion 3.3), peroempleada de un modo que aumenta la eficiencia del metodo en gran medida. Los pasos basicosdel metodo son los siguientes:

• Definicion de las corrientes de malla: dado un circuito, se deben definir corrientes demalla. Una corriente de malla se define para cada malla del circuito que sea indivisibleen otras, de tal modo que se le asigna un valor en forma de incognita (Ii), ası como unsentido de circulacion, horario o antihorario. Una corriente de malla es, por tanto, unacorriente que esta asociada a una malla del circuito, y que consta de un valor y un sentidode circulacion. Realmente no es necesario elegir mallas indivisibles en otras a la hora deaplicar el metodo; sin embargo, se recomienda que ası se haga, pues redunda en una mayorfacilidad de resolucion. Notese tambien que, como de costumbre, el sentido de circulacionsupuesto a cada corriente de malla depende totalmente de nosotros, pudiendose elegir deforma indistinta tanto el sentido horario como el antihorario. Supongamos el circuito dela Figura 5.35, sobre el que se han definido corrientes de malla. Las corrientes de malladefinidas en este ejemplo son I1, I2, I3 e I4. La corriente I1 es la corriente asignada ala malla A-C-D-B, y tiene sentido horario; la corriente I2 es la asignada a la malla C-E-F-D, y tiene sentido antihorario; la corriente I3 es la asignada a la malla E-I-J-F, ytiene sentido antihorario; la corriente I4 es la asignada a la malla G-H-I-E, y tiene sentidohorario. Notar como cada corriente se dibuja recorriendo todo el perımetro de la malla ala que esta asignada.

5.3. METODO DE LAS MALLAS 95

+−

+ −

V1

V2

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7I1 I2I3

I4A

B

C

D

E

F

G H

I

J

Figura 5.35: un circuito al que aplicar el metodo de las mallas

• Obtencion de las ecuaciones de malla : el siguiente paso consiste en obtener tantasecuaciones de malla como mallas con corrientes de malla se hayan definido. En el ejemplode la Figura 5.35 deberıamos definir 4 ecuaciones de malla, ya que hay 4 mallas concorrientes de malla definidas. Cada ecuacion de malla tiene dos miembros:

1. Corriente de la malla en cuestion, multiplicada por la suma de todas las resistenciaspresentes en la malla. Si hay alguna rama que contiene resistencias y que es colindantea otra malla (en nuestro ejemplo, la rama de R1,la de R4 y la de R5), se anaden massumandos a este miembro de la ecuacion:

a) Si la rama comun a las dos mallas es una tal que la corriente de la malla vecina(no la de la malla que estamos tratando) tiene un sentido que coincide con elde nuestra corriente de malla en la resistencia comun a ambas mallas, entoncesse suma el producto de la corriente de malla vecina por la resistencia comun.Un ejemplo de esta situacion serıa la rama de R1, donde I1 e I2 coinciden enla resistencia R1 con un mismo sentido, hacia abajo. Otro ejemplo de estasituacion serıa la rama de R5, donde I3 e I4 coinciden en la resistenciacon unmismo sentido, hacia la izquierda. Por supuesto, si la rama comun tuvieramas de una resistencia, este procedimiento se aplicarıa a todas las resistenciasde la rama.

b) Si por contra, la rama comun a las dos mallas es una tal que la corriente de lamalla vecina (no la de la malla que estamos tratando) tiene un sentido opuesto alde nuestra corriente de malla en la resistencia comun a ambas mallas, entoncesse resta el producto de la corriente de malla vecina por la resistencia comun. Unejemplo de esta situacion serıa la rama de R4, donde I2 llega a la resistencia consentido hacia arriba, mientras que I3 llega a la resistencia con sentido haciaabajo. Por supuesto, si la rama comun tuviera mas de una resistencia, esteprocedimiento se aplicarıa a todas las resistencias de la rama.

2. El otro miembro de la ecuacion es la suma de todos los generadores de tensionpresentes en la malla que se esta analizando, de modo que suman (es decir, su valorno se ve alterado en el signo) si y solo si la corriente de malla atraviesa al generadordesde su polo negativo a su polo positivo, y restan (es decir, su valor se ve cambiadode signo) si y solo si la corriente de malla atraviesa al generador de su polo positivoa su polo negativo. Si no hay ninguna fuente de tension, la suma valdrıa 0.

En el ejemplo que nos traemos entre manos habrıa cuatro ecuaciones de malla, asaber:


• Malla A-C-D-B: I1R1 + I2R1 = V1. Notese como en esta malla el valor de lafuente de tension no esta cambiado de signo (suma). Esto se debe a que lacorriente de malla actual, I1, atraviesa la fuente de tension de su polo negativoa su polo positivo. Notese ademas la presencia de una rama compartida (ramade R1), que introduce un termino mas a la ecuacion.

• Malla C-E-F-D: I2(R1+R2+R3+R4)+ I1R1− I3R4 = 0. Notese como en estamalla hay dos ramas que estan compartidas con otras mallas (las ramas de R1

y R4), y por tanto debe tenerse en consideracion a ambas. Como en la rama deR1 la corriente de malla vecina (I1) coincide en sentido de circulacion con lacorriente de malla actual (I2), entonces I1 suma. En cambio, en la rama de R4

la corriente de malla vecina (I3) tiene sentido opuesto de circulacion al de lacorriente de malla actual (I2), y de ahı que I3 reste. Notese tambien como, alno haber ningun generador de tension en la malla actual, uno de los miembrosde la ecuacion es 0.

• Malla E-I-J-F: I3(R4+R5+R7)− I2R4+ I4R5 = 0. Notese como en esta mallahay dos ramas que estan compartidas con otras mallas (las ramas de R4 y R5),y por tanto debe tenerse en consideracion a ambas. Como en la rama de R4

la corriente de malla vecina (I2) tiene sentido opuesto de circulacion al de lacorriente de malla actual (I3), entonces I2 resta. En cambio, en la rama deR5 la corriente de malla vecina (I4) coincide en sentido de circulacion con lacorriente de malla actual (I3), y de ahı que I4 sume. Notese tambien como, alno haber ningun generador de tension en la malla actual, uno de los miembrosde la ecuacion es 0.

• Malla E-G-H-I: I4(R6 +R5) + I3R5 = −V2. Notese como en esta malla el valorde la fuente de tension esta cambiado de signo (resta). Esto se debe a que lacorriente de malla actual, I4, atraviesa la fuente de tension de su polo positivoa su polo negativo. Notese ademas la presencia de una rama compartida (ramade R5), que introduce un termino mas a la ecuacion.

• Resolucion: finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las ecuacionesde malla obtenidas en el paso anterior. Las ecuaciones de malla son ecuaciones cuyasincognitas son las llamadas corrientes de malla. En nuestro ejemplo, esas corrientes sonI1, I2, I3 e I4. Las corrientes de malla, como antes se dijo, son corrientes asociadas a mallasdel circuito. La cuestion es, ¿que representan realmente esas corrientes? Las corrientes demalla son corrientes secundarias que nos permiten obtener las corrientes que realmentecirculan por cada una de las ramas del circuito. Se podrıa decir que las corrientes demalla no existen realmente como tales, sino que son un formalismo inventado para poderobtener, en base a ellas, las corrientes reales que circulan por las distintas ramas delcircuito. Necesitamos pues un metodo para, dadas las corrientes de malla, obtener lascorrientes reales del circuito. El metodo que vamos a proponer consta de dos posiblescasos:

1. El caso simple se da cuando se desea hallar la corriente que circula por una rama delcircuito, y la cual no es compartida por varias mallas. Por ejemplo, las ramas C-E yD-F (ramas de las resistencias R2 y R3 respectivamente) no son ramas compartidas.En este caso, la corriente que circula por dicha rama coincide con la unica corrientede malla que la barre. Ası, en la resistencias R2 y R3 circularıa una corriente iguala I2, ya que dicha corriente de malla es la unica que logra barrer esas resistencias.Por tanto, por I2 circularıa una corriente de valor I2 y hacia la izquierda, mientrasque por R3 circularıa una corriente de valor I2 y hacia la derecha. Igualmente, por


R7 circularıa una corriente de valor I3 y hacia arriba, ya que la rama donde sesitua R7 no es compartida, y la unica corriente de malla que logra alcanzar a dicharesistencia es I3. Por ultimo, por R6 circularıa una corriente de valor I4 y hacia laderecha, ya que la rama de R6 no es una rama compartida por varias mallas, y launica corriente de malla que logra barrerla es I4. Notese como en todos estos casos sepodrıa haber supuesto que la corriente que circula por cada resistencia tiene un valorde signo opuesto y de sentido de circulacion contrario al de la corriente de malla.Por ejemplo, se podrıa haber dicho igualmente que por R6 circula una corriente devalor −I4 y hacia la izquierda, en vez de otra de valor I4 y hacia la derecha (ambascorrientes son equivalentes, luego usar una u otra alternativa serıa indiferente).

2. El caso no tan simple se da cuando se desea hallar la corriente que circula por unarama del circuito que es comun a varias de las mallas para las que se han definidocorrientes de malla. En el ejemplo actual, este caso se da, por ejemplo, en la ramaC-D (corriente que circula por R1) y en la rama E-F (corriente que circula por R4).El metodo consiste en suponer que por la rama compartida circula una determinadacorriente, de valor I desconocido y de sentido de circulacion elegido aleatoriamentepor nosotros. La corriente que circula por dicha rama es una corriente cuyo sentidode circulacion es el elegido por nosotros y cuyo valor, I, es igual a la suma de todaslas corrientes de malla que atraviesan la rama con sentido coincidente con el de I,menos cada corriente de malla que atraviesa la rama con sentido opuesto al de I.Tomemos como ejemplo la rama E-F, la de R4. Podemos suponer que la corrienteque circula por dicha rama circula hacia abajo. En ese caso, el valor de la corrienteIR4, es igual a IR4 = I3− I2: I3 suma (no se le cambia el signo), porque su sentido decirculacion al llegar a R4 es hacia abajo, coincidiendo ası con el sentido supuestoa la corriente IR4. Sin embargo, I2 resta (se le cambia el signo), porque su sentidode circulacion al llegar a R4 es hacia arriba, no coincidiendo ası con el sentidosupuesto a la corriente IR4. Si hubieramos supuesto que IR4 circulase hacia arriba,entonces su valor numerico habrıa sido IR4 = I2 − I3, ya que en ese caso I2 habrıacoincidido con el sentido supuesto para IR4, mientras que I3 no (esta corriente, detodos modos, es equivalente a la otra, ya que sus valores numericos son iguales perocon signos contrarios, y sus sentidos de circulacion son opuestos). Supongamos queen nuestro ejemplo, los valores de todas las resistencias son de 1000Ω, y que ademasV1 = 5V y V2 = 7V . El sistema de las ecuaciones de malla queda en:

1000I1 + 1000I2 = 5

1000I1 + 4000I2 − 1000I3 = 0

−1000I2 + 3000I3 + 1000I4 = 0

1000I3 + 2000I4 = −7


I1 =83

13000,I2 =

−9

6500,I3 =

11

13000,I4 =

−51

13000

Que son los valores de las corrientes de malla. Usando estos valores se puede obtenerlos valores de las corrientes que circulan por las ramas del circuito, empleando paraello el metodo explicado.

• IR1: si suponemos que la corriente que circula por la rama de la resistencia R1

(rama compartida) circula hacia arriba, entonces su valor es:

IR1 = −I1 − I2 =−83

13000+

9

6500= −5 · 10−3A



(rama compartida) circula hacia abajo, entonces su valor es:

IR4 = I3 − I2 =11

13000+

9

6500=

29

13000≈ 2,23 · 10−3A


(rama compartida) circula hacia la izquierda, entonces su valor es:

IR5 = I4 + I3 =−51

13000+

11

13000=

−1

325≈ −3,08 · 10−3A

• IR2: la corriente que atraviesa la rama de la resistencia IR2 (rama no compar-tida) coincide con la corriente de malla I2, y por tanto puede verse como unacorriente que circula hacia la izquierda y de valor:

IR2 = I2 =−9

6500≈ −1,38 · 10−3A

• IR3: la corriente que atraviesa la rama de la resistencia R3 (rama no compartida)coincide con la corriente de malla I2, y por tanto puede verse como una corrienteque circula hacia la derecha y de valor:

IR3 = I2 =−9

6500≈ −1,38 · 10−3A

• IR7: la corriente que atraviesa la rama de la resistencia IR7 (rama no compar-tida) coincide con la corriente de malla I3, y por tanto puede verse como unacorriente que circula hacia arriba y de valor:

IR7 = I3 =11

13000≈ 8,46 · 10−3A

• IR6: la corriente que atraviesa la rama de la resistencia R6 (rama no compartida)coincide con la corriente de malla I4, y por tanto puede verse como una corrienteque circula hacia la derecha y de valor:

IR6 = I4 =−51

13000≈ −3,92 · 10−3A

5.3.1. Metodo de las mallas con fuentes de corriente

Cuando se intenta resolver un circuito que contiene fuentes de corriente mediante el metodode las mallas, surge un problema. En una fuente de corriente existe una determinada tensionentre sus bornes, que viene impuesta por el resto del circuito: es el caso analogo de una fuentede tension, que es atravesada por una determinada corriente impuesta por el resto del circuito.La tension que soporta una fuente de corriente es desconocida para nosotros, de modo que estase transforma en una nueva incognita que debe ser tenida en cuenta. El metodo de las mallasconsidera las diferencias de tension presentes a lo largo de una malla determinada, y por tanto,la diferencia de tension presente entre los terminales de una fuente de corriente tambien deberıaser tenida en cuenta. Ası pues, la diferencia de tension existente entre los terminales de unafuente de corriente se convierte en otra incognita del sistema de ecuaciones de malla del metodode las mallas.

Para cada fuente de corriente, por tanto, se le debe asignar una incognita, digamos Vg,que representa la diferencia de tension existente entre sus extremos. Ademas, para que dichatension Vg tenga sentido, a la fuente de corriente se le debe asignar una polaridad (polo positivo


+−5mA 5V

10mA

1KΩ

1KΩ1KΩ

Figura 5.36: ejemplo del metodo de las mallas con fuentes de corriente

+−5mA 5V

10mA

1KΩ

1KΩ1KΩ

+

- -

+

V1

V2

A

B

C

D

I1 I2

Figura 5.37: ejemplo del metodo de las mallas con fuentes de corriente

y negativo), tal y como si fuera una fuente de tension. Esa polaridad puede ser asignada deforma aleatoria (¿por que todo se puede asignar de forma aleatoria en Teorıa de Circuitos?), demodo que, en base a esa polaridad asignada, la fuente de corriente mostrara un comportamientoanalogo al de una fuente de tension: la diferencia de tension entre el polo positivo (elegido pornosotros) y el negativo (tambien elegido por nosotros), es igual al valor de tension supuesto, laincognita Vg.

A la hora de obtener las ecuaciones de malla, las fuentes de corriente se comportaran comofuentes de tension de valor incognita desconocida (Vg) y cuya polaridad es la que les hayamosasignado. El problema en este tipo de situaciones es que, para resolver el sistema de ecuaciones,las ecuaciones de malla se vuelven insuficientes: cada fuente de corriente introduce una nuevaincognita, pero el numero de ecuaciones de malla se mantiene constante, de modo que hay masincognitas que ecuaciones, y el sistema no parece poder resolverse.

Sin embargo, los generadores de corriente nos aportan informacion util: si bien cada unointroduce una nueva incognita en el sistema de ecuaciones de malla, tambien es cierto quecada uno introduce una nueva ecuacion en el sistema. Al final se obtiene un sistema facilmenteresoluble (dentro de lo que cabe). La cuestion ahora es, ¿que ecuacion introduce una fuente decorriente? Supongamos el ejemplo de la Figura 5.36 para explicar el procedimiento de formamas detallada.

En el ejemplo de la Figura 5.36 se nos pide hallar la corriente que circula por la fuente detension de 10V .

Para resolver el circuito por el metodo de las mallas, hay que definir inicialmente corrientesde malla, que como haremos a lo largo de todo este texto, se asignaran siempre a mallasindivisibles. Ademas, dado que hay dos generadores de corriente, hay que asignarle, a cadauno, tanto un valor de tension (desconocido; sera una incognita) como una polaridad a gustodel consumidor (polo positivo y negativo). La Figura 5.37 muestra el circuito con las corrientesde malla apropiadas ası como con las fuentes de corriente polarizadas.

Analicemos con detalle la Figura 5.37. Se han asignado corrientes de malla las dos mallasdel circuito (mallas indivisibles), I1 e I2, ambas con sentido antihorario. Como hay fuentes de


corriente, a cada una se le debe asignar una polaridad y un valor de tension. La idea es que cadafuente de corriente se comporte, a nivel practico, como una fuente de tension. A la fuente de5mA se le ha asignado el polo positivo al extremo de abajo, y el negativo al extremo de arriba.Recordemos que el modo de llevar a cabo esta asignacion no tiene relevancia, y podrıa habersehecho justo al reves. Ademas, el valor de tension desconocido que soportan los extremos deesta fuente se ha denominado V1. Segun la polaridad asignada y el valor de tension, se cumpleque VD − VC = V1 (diferencia de tension entre el polo positivo y el negativo es igual al valorde la fuente). A la fuente de corriente de 10mA se le ha asignado el polo positivo al extremode arriba, mientras que el negativo se le ha asignado al extremo de abajo. Nuevamente, lapolaridad podrıa haber sido la contraria (polo positivo abajo y negativo arriba). El valor detension que hay entre los extremos de esta fuente se ha denominado V2, de modo que, segun lapolaridad asignada a la fuente, se cumple que VA−VB = V2 (diferencia de tension entre el polopositivo y el negativo es igual al valor de la fuente).

Hecho esto, se obtienen las ecuaciones de malla, considerando la presencia de las fuentes decorriente, que a efectos practicos se comportan como fuentes de tension:

V1 + V2 = 2000I1 (Malla de I1)

−V2 + 5 = 1000I2 (Malla de I2)

Analicemos en detalle estas ecuaciones. La ecuacion de la malla de I1 consta de 2 generadoresde corriente, que se comportan como fuentes de tension a la hora de obtener la ecuacion demalla. Como la corriente I1 atraviesa a ambas fuentes desde su polo negativo a su polo positivo(recordemos que estas polaridades habıan sido definidas por nosotros), entonces sus valores detension, V1 y V2, suman. Por otro lado, aunque una de las ramas sea compartida, por las dosmallas (la rama de la fuente de corriente de 10mA), al no haber resistencias en ella, no influyeen las ecuaciones.

La ecuacion de la malla de I2 consta de dos generadores, uno de tension y otro de corriente.El valor del generador de tension suma, ya que la corriente de malla I2 lo atraviesa desde su polonegativo a su polo positivo. Por contra, el valor de tension asignado a la fuente de corriente,V2, resta, ya que la corriente de malla I2 lo atraviesa desde su polo positivo a su polo negativo.

Para nuestra desgracia, tenemos un sistema de dos ecuaciones con cuatro incognitas. Nece-sitamos dos ecuaciones mas para poder resolverlo; las ecuaciones buscadas provienen de lasfuentes de corriente, una ecuacion por cada fuente. Pensemos en la fuente de corriente de 5mA.Segun esa fuente de corriente, por la rama A-C-D-B del circuito de la Figura 5.37 circula unacorriente de 5mA, con sentido A-C-D-B. ¿Que relacion puede tener esa corriente con las corri-entes de malla? Cuando explicabamos el metodo de las mallas al principio de esta seccion, enel ultimo paso (paso de resolucion), explicamos como se relacionan las corrientes de malla conlas corrientes que hay en cada rama del circuito. Segun esa relacion, la corriente de malla I1 delcircuito coincide exactamente con la corriente que circula por la rama A-D-B, y que coincide asu vez con la corriente que impone la fuente de corriente de 5mA. La ecuacion por tanto queimpone la fuente de corriente de 5mA es:

I1 = 5 · 10−3

Notese que si la corriente de malla I1 se hubiera supuesto circular en sentido horario, en vez deantihorario, su valor habrıa sido de −5mA.

Fijemonos ahora en la fuente de corriente de 10mA. Esa fuente de corriente esta situadaen una rama compartida por varias mallas. La corriente que circula por esa rama, segun seexplico anteriormente en el paso de resolucion del metodo de las mallas, se puede obtenersuponiendole un sentido de circulacion aleatorio, y en base a dicho sentido, obtenerse comocombinacion de las corrientes de malla que a ella contribuyen. Si suponemos que la corriente


que circula por la rama de la fuente de corriente de 10mA circula hacia arriba, y la llamamosI10mA, entonces se tiene que:

I10mA = I1 − I2

Ya que la corriente I1 llega a la rama con sentido hacia arriba (coincide con el supuesto a lacorriente de la rama, y por tanto suma), y la corriente I2 llega a la rama con sentido haciaabajo (no coincide con el supuesto a la corriente de la rama, y por tanto resta). Pero es que,ademas, sabemos que la fuente de corriente inyecta en esa rama una corriente de 10mA y haciaarriba, y por tanto la corriente que hemos llamado I10mA vale necesariamente 10mA, es decir:

I1 − I2 = 10 · 10−3

La corriente que circula por la rama de la fuente de 10mA se podrıa haber supuesto circulandohacia abajo. En ese caso, el valor de I10mA habrıa sido de −10mA, y la ecuacion asociada,I2 − I1 = −10 · 10−3, lo que vendrıa a haber sido una ecuacion equivalente a la anterior (comosiempre, no importa el sentido de circulacion que se supone para una corriente).

Tras todo esto, el sistema de ecuaciones que tenemos es el siguiente:

V1 + V2 = 2000I1

−V2 + 5 = 1000I2

I1 = 5 · 10−3

I1 − I2 = 10 · 10−3

De donde se obtiene, trivialmente:

I1 = 5mA, I2 = −5mA, V1 = 0V, V2 = 10V

La corriente que circula por la fuente de tension coincide con la corriente de malla I2. Portanto, la corriente que circula por la fuente de tension es de valor −5mA, y circula hacia arriba.Equivalentemente, se puede decir que la corriente que atraviesa la fuente de tension es de 5mA,y circula hacia abajo.

5.3.2. Metodo de las mallas, ejercicios

En esta seccion pasamos a resolver una serie de ejercicios de circuitos de corriente continuamediante el metodo de las mallas.

Ejercicio 5.13: Se pide, para el circuito de la Figura 5.38, calcular la tension Vo (suponerβ = 100).

80KΩ

20KΩ 1KΩ5KΩ

βI

5V

5V

0,6V

I

Vo



80KΩ

20KΩ 1KΩ5KΩ

βI

5V

5V

0,6V

I

Vo

I1 I2 I3

Vg+ -

A

B

Figura 5.39: Ejemplo 5.13, corrientes de malla asignadas

Solucion Para resolver un circuito por el metodo de las mallas, se debe comenzar siempre

definiendo las corrientes de malla en cada una de las mallas de interes. Como ademas hay unafuente de corriente (que es dependiente, para mas inri), a esta hay que asignarle tanto unapolaridad como un valor de tension desconocido, digamos Vg. Recuerdese que los sentidos delas corrientes de malla son elegidos por nosotros, ası como la polaridad asociada a la fuente decorriente. Nuestra eleccion se muestra en la Figura 5.39.

Ahora debemos obtener las ecuaciones de malla asociadas a las tres mallas. Recuerdese que,dado que hay una fuente de corriente, las ecuaciones de malla no seran suficientes para resolverel circuito, necesitandose una mas en este caso, y la cual es proporcionada por la fuente decorriente dependiente. Las ecuaciones de malla son:

5 = I1(80000 + 20000)− 20000I2 (Malla de I1)

−0,6 = I2(20000 + 1000)− 20000I1 − 1000I3 (Malla de I2)

−Vg − 5 = I3(1000 + 5000)− 1000I2 (Malla de I3)

Como hemos dicho, nos queda ver que informacion nos aporta la fuente de corriente. ¿Que e-cuacion es la que nos da, y que nos permite resolver el sistema?

Si nos fijamos en la fuente de corriente, esta inyecta una corriente de valor βI, hacia laizquierda, en la rama donde se situa. Ahora bien, la corriente I3 resulta ser la corriente que hayen esa misma rama (en esa rama no confluyen mas corrientes de malla, y por tanto la corrienteque hay es I3). El problema que hay es que el sentido de la corriente que inyecta la fuente esopuesto (hacia la izquierda), que el de la corriente de malla I3 en esa rama (hacia la derecha).Para solventar este problema, recordamos que una corriente es equivalente a otra de sentido decirculacion opuesto y de valor cambiado de signo. Por tanto, la corriente que inyecta la fuentees equivalente a otra que circula hacia la derecha y de valor −βI, corriente que coincidirıa conI3, ya que esta circula hacia la derecha en la rama de la fuente de corriente. Se tiene por tantoque:

I3 = −βI = −100I

Otro modo de llegar a esa conclusion consiste en sustituir la fuente de corriente por una equiv-alente, cuyo sentido de circulacion es hacia la derecha, y cuyo valor es el opuesto (cambiado designo) de la original. En ese caso es evidente que I3 coincide directamente con la corriente dela fuente, obteniendose la ecuacion anterior.

Ademas, I2 coincide con la corriente que se ha llamado I, es decir:

I2 = I


El sistema de ecuaciones de malla queda en:

5 = 100000I1 − 20000I

−0,6 = 21000I − 20000I1 + 100000I

−Vg − 5 = −600000I − 1000I


I1 = 5,068 · 10−5A, I = 3,419 · 10−6A, Vg = −2,945V

De aquı se puede deducir el valor de I3:

I3 = −100I = −3,419 · 10−4A

Pero justamente I3 coincide con la corriente que atraviesa la rama de la resistencia de 5KΩ,con sentido de A a B, y por tanto se puede escribir:

I3 =VA − VB

5000⇔

−3,419 · 10−4 =VA − 5

5000⇔ VA = 3,290V

Donde se ha hecho uso de VB = 5, tal y como impone la fuente de tension de 5V de la derecha.Por otro lado, justamente VA coincide con Vo, pues ambos puntos estan cortocircuitados, es

decir:Vo = 3,290V

Ejercicio 5.14: Para el circuito de la Figura 5.40 se pide calcular las potencias generadas oconsumidas por todas las fuentes.

+−10V 10mA

1KΩ

1KΩ

2KΩ

2KΩ


Solucion

El primer paso para la resolucion del circuito por el metodo de las mallas es la definicionde las corrientes de malla. Ademas, dado que el circuito presenta una fuente de corriente, esnecesario definirle una polaridad ası como un valor de tension desconocido, digamos Vg. LaFigura muestra el circuito con las corrientes de malla definidas y con una polaridad y valor detension asignados a la fuente de corriente.

Del circuito de la Figura 5.41 se pueden deducir las siguientes ecuaciones de malla:

10 = I1(1000 + 1000)− 1000I2 (Malla de I1)

0 = I2(1000 + 2000 + 2000)− 1000I1 + 2000I3 (Malla de I2)

Vg = 2000I3 + 2000I2 (Malla de I3)


+−10V 10mA

1KΩ

1KΩ

2KΩ

2KΩ

I1 I2 I3

Vg+

-


Las ecuaciones de malla, por sı solas, no son suficientes para resolver el circuito, debido a lapresencia de la fuente de corriente. Para poder resolverlo necesitamos una ecuacion mas, queproviene precisamente de la fuente de corriente.

Si nos fijamos con detalle en la corriente de malla I3, esta coincide con la corriente de larama donde se encuentra la fuente de corriente. Por otro lado, la fuente de corriente imponeen esa rama una corriente con el mismo sentido de circulacion de la corriente de malla I3, y devalor 10mA. Se deduce, por tanto, que:

I3 = 10 · 10−3

Si se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de malla junto con esta ultima ecuacion,se obtiene:

I1 =1

300A,I2 =

−1

300A,I3 = 10 · 10−3A, Vg =

40

3V

Para obtener las potencias generadas o consumidas en cada uno de los generadores, es necesariosaber tanto la corriente que atraviesa al generador como la tension que soporta entre susextremos (ecuacion (1.3)). La corriente que atraviesa a la fuente de tension coincide con lacorriente de malla I1, y la tension que soporta la fuente de corriente es Vg. Recuerdese que laecuacion (1.3) obliga a que, si la corriente considerada circula de A a B, entonces la tensionque se mida sea VAB.

• Fuente de tension: la corriente que la atraviesa desde el polo negativo al polo positivo esjustamente I1. La diferencia de tension que debe usarse es, por tanto, la que hay entre elpolo negativo y el polo positivo. Como segun la fuente V+−V− = 10 ⇒ V−+ = V−−V+ =−10, y la potencia es:

P1 = I1V−+ =1

300(−10) =

−1

30W ≈ −0,033W

Al ser potencia negativa, se trata de potencia generada, es decir, potencia que la fuentelibera para poder ser usada por el resto del circuito.

• Fuente de corriente: la corriente que la atraviesa desde el polo negativo que le hemosasignado al polo positivo que le hemos asignado es justamente la corriente de la fuente,es decir, 10mA. Por otro lado, la diferencia de tension que debe usarse es la que se mideentre el polo negativo y el polo positivo. Segun la polaridad asignada y el valor de tensionasignado (Vg), tenemos que V+−V− = Vg ⇒ V−+ = V−−V+ = −Vg = −40/3. La potenciaes, por tanto:

P2 = I1V−+ =1

300(−10) =

−1

30W ≈ −0,033W

Como se trata de potencia negativa, es potencia que la fuente genera, es decir, potenciaque la fuente libera y que es consumida por otros elementos del circuito.


10V

20V

1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ

10mA

B

30V


10V

20V

1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ

10mA

B

I1 I2 I3

Vg

+

-C

30V


Ejercicio 5.15: Determinar la tension en el nudo B en el circuito de la Figura 5.42.

Solucion

Para resolver el circuito mediante el metodo de las mallas es necesario definir corrientesde malla adecuadas. La presencia de una fuente de corriente nos obliga, ademas, a definirle aesta una polaridad ası como un valor de tension desconocido, el cual llamaremos Vg. La Figura5.43 muestra las corrientes de malla consideradas ası como la polaridad asignada a la fuente decorriente.

Segun las corrientes de malla consideradas, se obtienen las siguientes ecuaciones de malla:

10 + Vg = 1000I1 (Malla de I1)

−Vg − 20 = I2(1000 + 1000)− 1000I3 (Malla de I2)

20− 30 = I3(1000 + 1000)− 1000I2 (Malla de I3)

Como el circuito presenta una fuente de corriente, las ecuaciones de malla no son suficientespara poder resolverlo, ası que necesitamos la ecuacion que impone la fuente de corriente.

Segun las ecuaciones de malla definidas, si consideramos que la corriente que circula por larama de la fuente de corriente (Ig) se dirige hacia arriba, entonces su expresion, en funcion delas corrientes de malla, es:

Ig = I2 − I1

Por otro lado sabemos que la fuente de corriente impone en la rama en la que se situa unacorriente hacia arriba de valor 10mA. Como esa corriente coincide con la que hemos llamado


Ig, se deduce que Ig = 10 · 10−3. Se tiene por tanto que:

10 · 10−3 = I2 − I1

Usando el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de malla junto con la ecuacion queimpone la fuente de corriente se puede resolver el sistema, y se obtiene:

I1 = −0,012A, I2 = −2 · 10−3A, I3 = −6 · 10−3A, Vg = −22V

Debemos hallar la tension en el nodo B. La fuente de tension de 20V dicta V+−V− = 20, y comoel polo negativo esta cortocircuitado con la toma de tierra (V− = 0), y el polo positivo coincidecon C (V+ = VC), se tiene que VC = 20. Para obtener la tension en el nodo B necesitamos saberque corriente circula por la resistencia de 1KΩ que hay entre los puntos B y C. Si suponemosque dicha corriente circula hacia abajo, su valor, segun las corrientes de malla, es:

IBC = I2 − I3 = −2 · 10−3 + 6 · 10−3 = 4 · 10−3

Si ahora usamos la expresion de la corriente IBC segun la Ley de Ohm, se obtiene el valor deVB:

IBC =VB − VC

1000⇔

4 · 10−3 =VB − 20

1000⇔

VB = 24V

Ejercicio 5.16: Obtener la corriente que circula por la resistencia de 1,5KΩ en el circuito dela Figura 5.44.

10V10mA

1KΩ 1,5KΩ1KΩ

1KΩ


Solucion

Para resolver el circuito por el metodo de las mallas, se procedera como siempre. En primerlugar, se definen corrientes de malla. Ademas, como el circuito consta de una fuente de corriente,a esta se le debe asignar una polaridad ası como un valor de tension entre sus terminales, quellamaremos Vg. La Figura 5.45 muestra el circuito con las corrientes de malla definidas ası comocon una polaridad asignada a la fuente de corriente.

Las ecuaciones de malla que se obtienen del circuito de la Figura 5.45 son las siguientes:

10 = I1(1000 + 1000) + 1000I2 (Malla de I1)

−Vg = I2(1000 + 1000) + 1000I1 (Malla de I2)

−Vg = 1500I3 (Malla de I3)


10V10mA

1KΩ 1,5KΩ1KΩ

1KΩ

I1 I2 I3

Vg

+

-

Figura 5.45: Ejemplo 5.16, corrientes de malla definidas

Como en el circuito hay una fuente de corriente, no se puede resolver el sistema de ecuacionessolamente con las ecuaciones de malla. Es necesario obtener otra ecuacion de la fuente decorriente. Fijemonos en que, si suponemos que la corriente que circula por la rama de la fuente decorriente (I10mA) tiene un sentido de circulacion hacia arriba, entonces su expresion algebraicaen base a las corrientes de malla es:

I10mA = I1 + I2

Pero es que ademas la fuente de corriente impone en su rama una corriente que circula haciaarriba y de valor 10mA, corriente que coincide con la que nosotros hemos llamado I10mA, esdecir, I10mA = 10 · 10−3, y por tanto:

10 · 10−3 = I1 + I2

Si resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de malla junto con estaultima ecuacion, se obtiene:

I1 =1

300A, I2 =

1

300A, I3 =

1

150A, Vg = −10V

Se nos pide hallar la corriente que circula por la resistencia de 1,5KΩ. Esa corriente coincidecon la corriente de malla I3, es decir, la corriente que circula por la resistencia de 1,5KΩ tieneel sentido de circulacion de I3 y su valor es:

I1,5KΩ =1

150A ≈ 6,67 · 10−3A

Ejercicio 5.17: En el circuito de la Figura 5.46 se pide obtener la tension Vo.

Solucion

Antes de comenzar a resolver este circuito, podemos intentar simplificarlo. Fijemonos en quelas dos resistencias verticales de la derecha estan conectadas en paralelo, y como tales puedenasociarse. Cabrıa preguntarse si en efecto tal asociacion nos conviene. Recuerdese (seccion4.4) que cuando se asocian elementos en un circuito, hay informacion que se pierde, de modoque hay parametros del circuito original que no pueden obtenerse directamente en el circuitosimplificado. Por suerte, no es este nuestro caso; en el ejemplo actual, se nos esta pidiendoobtener la tension Vo. Al asociar en paralelo, los terminales de los elementos asociados semantienen inalterados, y siguen existiendo en el circuito original (ver Figura 4.48, puntos C yD). Por tanto, si asociamos las dos resistencias, los dos extremos, uno de ellos el de Vo, sigue


1KΩ

10V

10mA

1KΩ

1KΩ1KΩ 1KΩ

Vo


1KΩ

10V

10mA

1KΩ

1KΩ

Vo

500KΩ

Figura 5.47: Ejemplo 5.17, resistencias asociadas en paralelo

existiendo en el circuito simplificado, y por tanto la tension Vo puede calcularse en el circuitode la Figura 5.47, que muestra las dos resistencias asociadas en paralelo.

Simplificado el circuito (simplificacion que nos ha permitido eliminar una malla del circuito),aplicamos el metodo de las mallas para su resolucion. En primer lugar, definimos corrientes demalla apropiadas. Como ademas el circuito tiene una fuente de corriente, a esta se le debeasociar tanto una polaridad como un valor de tension, el cual designaremos como Vg. La Figura5.48 muestra el circuito con las corrientes de malla supuestas ası como con la polaridad asociadaa la fuente de corriente.

Del circuito de la Figura 5.48 se obtienen las siguientes ecuaciones de malla:

Vg − 10 = I1(1000 + 1000) + 1000I2 (Malla de I1)

Vg = I2(1000 + 1000 + 500) + 1000I1 (Malla de I2)

Es necesario, ademas, obtener una ecuacion de la fuente de corriente para poder resolver elsistema. Si suponemos que la corriente que circula por la rama de la fuente de corriente (I10mA)

1KΩ

10V

10mA

1KΩ

1KΩ

Vo

500KΩ

BI1 I2

Vg+

-



circula hacia arriba, entonces su expresion algebraica en funcion de las corrientes de malla es:

I10mA = I1 + I2

Ademas, justamente la corriente que impone la fuente de corriente en su rama es una corrienteque circula hacia arriba, y de valor 10mA. Esta corriente coincide con la que nosotros hemosllamado I10mA, es decir, I10mA = 10 · 10−3, teniendose:

10 · 10−3 = I1 + I2

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de malla y la ecuacion de la fuente decorriente, se obtiene:

I1 = 2 · 10−3A, I2 = 8 · 10−3A, Vg = 22V

Ahora bien, usando un poco la cabeza, nos podemos dar cuenta de que la corriente I2 coincidecon la que atraviesa a la resistencia de 500Ω, y por tanto puede escribirse, segun la Ley deOhm, como:

I2 =Vo − VB

500

Usando el valor de I2 hallado y teniendo en cuenta que VB = 0 dado que B esta cortocircuitadocon la toma de tierra, se obtiene:

8 · 10−3 =Vo − 0

500⇔

Vo = 4V

Ejercicio 5.18: Se pide determinar la corriente que circula por la resistencia R del circuitode la Figura 5.49.

10V

20V

2KΩ R=1KΩ1KΩ

1KΩ1KΩ


Solucion

Vamos a pensar un poco antes de comenzar a resolver este circuito por el metodo de lasmallas. Para algo tenemos cerebro y culo, ambos organos con los que piensan la mayorıa de laspersonas. El circuito actual podrıa resolverse suponiendo tres corrientes de malla, planteandoel sistema de ecuaciones, y resolviendolo. Si llamasemos I3 a la corriente de malla de la mallade la derecha, esa serıa la corriente buscada, la que circula por la resistencia R. Sin embargo,se tratarıa de un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas, y dado que somos perrısimosen extremo, intentaremos reducirlo en la medida de lo posible.


10V

20V

2KΩ R=1KΩ1KΩ

1KΩ1KΩ

A

B

Figura 5.50: Ejemplo 5.18, ¿se pueden asociar las dos resistencias entre A y B?

Fijemonos en la Figura 5.50. No hay que ser un genio para darse cuenta de que la resistenciallamada R ası como la otra resistencia de 1KΩ situada entre los puntos marcados como A yB estan conectadas en paralelo. Si asociaramos ambas resistencias en paralelo, sin embargo, seperderıa la rama de la resistencia R (tal y como se explicaba en la seccion 4.4), y por tantoen el circuito simplificado no serıa posible obtener de forma directa el valor de la corriente quecirculaba por la resistencia R en el circuito original. Ahora bien, al asociarse ambas resistencias,los puntos A y B, extremos de las dos resistencias asociadas, siguen existiendo en el circuitosimplificado. Por tanto, en dicho circuito se podrıa obtener el valor de la diferencia de tensionVAB = VA − VB, ya que dichos puntos, insistimos, siguen existiendo en el circuito simplificado.Obtenido el valor de VAB es trivial obtener el valor de la corriente que circula por la resistenciaR en el circuito original, ya que dicha corriente, supuesta circulando hacia la derecha a travesde la resistencia R, tomarıa el siguiente valor segun la Ley de Ohm:

IAB =VAB

R=

VA − VB

R

El procedimiento que seguiremos sera, pues, el siguiente:

• Asociar las dos resistencias de 1KΩ cuyos terminales son los puntos A y B.

• En el circuito obtenido, obtener el valor de la diferencia de tension VAB.

• Mediante dicho valor de tension, obtener el valor de la corriente que circula por la re-sistencia R del circuito original, mediante la expresion IR = VAB/R.

Ademas, para obtener la diferencia de tension VAB, colocaremos una toma de tierra corto-circuitada con el punto B. Recuerdese que colocar una toma de tierra en un circuito no varıalas diferencias de tension existentes entre cualesquiera dos puntos de un circuito (seccion 1.2).Es decir, aun colocando la toma de tierra en B, la diferencia de tension VAB del circuito con latoma de tierra sera la misma. La ventaja en nuestro caso es que, al colocar la toma de tierraen B, se tendra que VB = 0, y por tanto VAB = VA −VB = VA, es decir, la diferencia de tensionbuscada coincidira con la tension en el punto A.

La Figura 5.51 muestra el circuito con las dos resistencias asociadas en paralelo, ası comocon las corrientes de malla asignadas a cada una de las mallas del circuito. Observese que nohay fuentes de corriente (al fin, ¡un circuito sin fuentes de corriente!), y por tanto se puederesolver por mallas sin necesidad de obtener ecuaciones extras.

Las ecuaciones de malla que se obtienen del circuito son las siguientes:

10− 20 = I1(1000 + 1000)− 1000I2 (Malla de I1)

20 = I2(1000 + 2000 + 500)− 1000I1 (Malla de I2)


10V

20V

2KΩ1KΩ

1KΩ

A

500KΩ

I2I1


De donde se obtiene:I1 = −2,5 · 10−3A, I2 = 5 · 10−3A

Justamente I2 coincide con la corriente que atraviesa la resistencia de 500Ω, de arriba a abajo,y por tanto, segun la Ley de Ohm, su expresion es:

I2 =VA

500

De donde:

5 · 10−3 =VA

500⇔

VA = 2,5V

Este valor de tension coincide, tal y como hemos explicado, con la diferencia de tension VAB

del circuito original, y por tanto, la corriente IR que atraviesa la resistencia R, con sentido deA a B, es:

IR =VAB

R=

2,5

1000= 2,5 · 10−3A

Ejercicio 5.19: Determinar la tension Vo en el circuito de la Figura 5.52.

10mA

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ Vo

10mA

10V


Solucion

Para resolver el circuito, haremos uso del metodo de las mallas. Definimos tres corrientesde malla, I1, I2 e I3. Ademas, como hay dos generadores de corriente, a cada uno se le debe


10mA

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ Vo

10mA

10V

I1 I2 I3

I

Vg1

Vg2+

-

+

-

A


asignar tanto una polaridad como un valor de tension desconocido (Vg1 para el generador dela izquierda y Vg2 para el generador de la derecha). La Figura 5.53 muestra el circuito con lascorrientes de malla asignadas y las fuentes de corriente con polaridad asignada.

Es importante fijarse en un detalle. La resistencia situada en el extremo derecho del circuito,la de Vo, es una resistencia por la que no circula corriente alguna. Fijemonos en que la resistenciaacaba en un circuito abierto, y por tanto por ella no puede circular corriente (¿a donde irıa lacorriente que por ella circulase? ¿Saltarıa al vacıo?). Se deduce por tanto que la corriente quese ha denominado I en el circuito de la Figura 5.53, es nula, y por tanto:

I =VA − Vo

1000= 0 ⇔

VA = Vo

Es decir, la tension Vo buscada es igual a la tension que hay en el punto A, detalle que setendra en cuenta a la hora de resolver el circuito.

Las ecuaciones de malla que se obtienen son las siguientes:

Vg1 − Vg2 = I1(1000 + 1000)− 1000I2 (Malla de I1)

Vg2 − 10 = I2(1000 + 1000)− 1000I1 (Malla de I2)

10 = I3(1000 + 1000) (Malla de I3)

Del generador de corriente de la izquierda se deduce que:

I1 = 10 · 10−3

ya que la corriente que este inyecta coincide con la corriente de malla I1.Referente al generador de corriente de la derecha. Supongamos que la corriente que circula

por la rama de dicho generador (Ig), circula hacia arriba. Entonces, su expresion segun lascorrientes de malla es:

Ig = I2 − I1

Pero justamente Ig es la corriente que el generador de corriente inyecta en su rama, es decir,Ig = 10 · 10−3, y se tiene:

10 · 10−3 = I2 − I1

Resolviendo el sistema de las tres ecuaciones de malla ası como de las dos ecuaciones de losgeneradores de corriente,

Vg1 − Vg2 = I1(1000 + 1000)− 1000I2

Vg2 − 10 = I2(1000 + 1000)− 1000I1

10 = I3(1000 + 1000)

I1 = 10 · 10−3

10 · 10−3 = I2 − I1


se obtiene:

I1 = 10 · 10−3A, I2 = 20 · 10−3A, I3 = 5 · 10−3A, Vg1 = 40V, Vg2 = 40V

Ademas, segun la Ley de Ohm, I3, corriente que circula por la rama vertical cuyo extremosuperior esta conectado al punto A, es:

I3 =VA

1000

de donde:

5 · 10−3 =VA

1000⇔

VA = Vo = 5V

Notese como, para resolver el circuito, no era necesario resolver todo el sistema de ecuaciones.De la ecuacion de malla deI3 ya se podıa obtener el valor de I3, a partir del cual obtener VA. Sibien en este texto queremos llegar al maximo nivel de detalle en la resolucion de los circuitos,echemos un poco de cabeza: normalmente no se perderıa el tiempo resolviendo todo el sistema.

Ejercicio 5.20: Se pide determinar la potencia consumida por la resistencia R del circuito dela Figura 5.54.

5V

6KΩ 10V 20V R=2KΩ6KΩ 1KΩ

1KΩ


Solucion

Resolver este circuito es bastante sencillo mediante mallas. Simplemente basta definir lascorrientes de malla adecuadas, y resolver el sistema de ecuaciones de malla obtenido. Al no haberfuentes de corriente, el sistema se puede resolver sin necesidad de aportar mas ecuaciones.

La Figura 5.55 muestra el circuito con las corrientes de malla definidas para cada mallaindivisible.

En base a esas corrientes de malla, las ecuaciones de malla que se obtienen son:

−10 = I1(6000 + 6000)− 6000I2 (Malla de I1)

10− 5− 20 = I2(6000 + 1000)− 6000I1 − 1000I3 (Malla de I2)

20 = I3(1000 + 1000 + 2000)− 1000I2 (Malla de I3)


I1 =−17

6000A, I2 = −4 · 10−3A, I3 = 4 · 10−3A


5V

6KΩ 10V 20V R=2KΩ6KΩ 1KΩ

1KΩ

I1 I2 I3


Para obtener la potencia consumida por la resistencia R, podemos hacer uso de la ecuacion(2.2), que nos dice que la potencia consumida por una resistencia es igual al producto de lacorriente que la atraviesa, al cuadrado, y el valor de la resistencia. Como la corriente I3 coincidecon la corriente que atraviesa la resistencia R, dicha potencia sera:

PR = I32R = (4 · 10−3)2 · 2000 = 0,032W

Ejercicio 5.21: Se pide determinar la resistencia equivalente, medida entre los terminales Ay B, del sistema de la Figura 5.56.

2KΩ

1KΩ

1KΩ 1KΩ 1KΩ

A

B


Solucion

El presente se trata de un ejercicio de asociaciones, mas que de aplicar el metodo de lasmallas. Digo de asociaciones, porque el circuito puede resolverse mediante cutre asociacionesserie y paralelo. Cuando en su dıa plantee este ejercicio por primera vez, creıa que la resistenciaequivalente de este circuito solo podıa obtenerse mediante el metodo generico (seccion 4.1).Cinco segundos de un no intenso analisis del circuito, lleva a cualquier ser con algo mas deinteligencia que la de un Platano de Canarias, a la conclusion de que la resistencia equivalentese puede obtener mediante simples asociaciones en serie y paralelo. El unico consuelo que mequeda, es saber que ahora soy intelectualmente tan capaz como un Platano de Canarias.

Ası pues, resolveremos el circuito mediante simples asociaciones. Se deja al lector, como ejer-cicio, comprobar que mediante el metodo generico se obtiene el mismo valor para la resistenciaequivalente. Eso sı, que el lector vaya a aceptar esta sugerencia, es algo que no me creo ni yo, niel lector, ni nadie en su sano juicio... ¿alguien ha seguido alguna vez este tipo de sugerencias?

La Figura 5.57 muestra las dos primeras resistencias que van a ser asociadas, rodeadas porun globo. Las dos resistencias marcadas estan conectadas en serie, ya que ambas estan situadasen la misma rama del circuito, la rama D-F-E.


2KΩ

1KΩ

1KΩ 1KΩ 1KΩ

A

B

C D

E F

Figura 5.57: Ejemplo 5.21, las primeras resistencias que asociar

1KΩ

1KΩ 1KΩ

A

B

C D

E

3KΩ

Figura 5.58: Ejemplo 5.21, siguientes resistencias que asociar

Dado que esas resistencias se van a asociar en serie, el valor de la resistencia equivalente esigual a la suma de los valores de cada una de las resistencias, es decir:

Req1 = 2000 + 1000 = 3000Ω

La Figura 5.58 muestra tanto la resistencia asociada Req1, de 3000Ω, como las dos nuevasresistencias que van a asociarse (las rodeadas por un globo). Observese como, tras la asociacionde las dos resistencias en serie, el punto F del circuito original desaparece, pero los puntos D yE se mantienen. Las resistencias que se van a asociar en el siguiente paso estan conectadas enparalelo, ya que sus terminales son comunes (puntos D y E). El valor de esta nueva resistenciaequivalente es:

Req2 =1000 · 30001000 + 3000

= 750Ω

La Figura 5.59 muestra tanto la resistencia asociada Req2, la de 750Ω, como las dos nuevasresistencias que van a ser asociadas (las rodeadas por un globo). Observese como, tras laasociacion de las dos resistencias anteriores, los puntos D y E, extremos de las resistenciasasociadas en paralelo, siguen existiendo. Las dos resistencias que ahora van a asociarse estanconectadas en serie, ası que el valor de la resistencia equivalente a ellas dos es:

Req3 = 1000 + 750 = 1750Ω

La Figura 5.60 muestra tanto la resistencia asociada, la de, como las dos nuevas, y ultimas,resistencias que van a ser asociadas (las rodeadas en un globo). Notese como, tras asociar lasdos resistencias en serie, el punto intermedio a ellas, D, ha desaparecido. Las nuevas resistenciasa asociar estan conectadas en paralelo, ya que sus terminales son comunes (puntos C y E), ycomo tales seran asociadas. El valor de la resistencia equivalente a ellas es:

Req4 =1000 · 17501000 + 1750

=7000

11Ω

Ahora bien, tras llevar a cabo esta asociacion, tenemos la resistencia equivalente medida entrelos terminales A y B del circuito, es decir:

Req = Req4 =7000

11Ω ≈ 636,36Ω


1KΩ

1KΩ

A

B

C D

E

750Ω

Figura 5.59: Ejemplo 5.21, siguientes resistencias que asociar

1KΩ

A

B

C

E

1750Ω

Figura 5.60: Ejemplo 5.21, ultimas resistencias que asociar

Es importante fijarse, en este sentido, como a lo largo de todo el proceso de asociaciones se haprocurado mantener los puntos A y B existiendo. Dado que se nos pedıa la resistencia equiv-alente entre dichos terminales, no se podıa llevar a cabo ninguna asociacion que los eliminase.La Figura 5.61 muestra la resistencia equivalente buscada.

Ejercicio 5.22: Obtener el valor de la tension Vo en el circuito de la Figura 5.62.

Solucion

El actual se trata de un circuito con dos mallas indivisibles, a las que asociaremos corrientesde malla para su resolucion por el metodo de las mallas. Al no haber fuentes de corriente,estas ecuaciones seran las necesarias para poder resolver el circuito. La Figura 5.63 muestra elcircuito con las corrientes de malla asignadas a cada malla.

Las ecuaciones de malla que se obtienen del circuito de la Figura 5.63 son:

25 = I1(5000 + 20000)− 5000I2 (Malla de I1)

0 = I2(5000 + 8000 + 12000)− 5000I1 (Malla de I2)

A

B

Req=7000/11Ω

Figura 5.61: Ejemplo 5.21, resistencia equivalente buscada


+−25V

12KΩ

5KΩ

20KΩ

8KΩVo


+−25V

12KΩ

5KΩ

20KΩ

8KΩVo

A

I1

I2



I1 =1

960A, I2 =

1

4800A

Fijemonos que I2 coincide con la corriente que atraviesa la resistencia de 12KΩ, y por tanto,segun la Ley de Ohm, puede ser escrita como:

I2 =VA − Vo

12000

El valor de VA se puede obtener directamente de la fuente de tension: segun la fuente de tension,la diferencia de tension entre su polo positivo (A) y su polo negativo (toma de tierra), es iguala 25V , y por tanto la tension en A ha de ser de 25V necesariamente. De ahı se deduce que:

I2 =VA − Vo

12000⇔

1

4800=

25− Vo

12000⇔

Vo = 22,5V

Capıtulo 6

Terminologıa, simbologıa ydivisor de tension

En este capıtulo se van a tratar tres aspectos de la teorıa de circuitos que no han tenidocabida en ningun otro tema de este libro. Se trata de tres apartados sencillos sin ningun tipo decomplejidad, y sin embargo, conceptos muy empleados en el analisis de todo tipo de circuitos.

6.1. Terminologıa

En muchas ocasiones se puede oır que un circuito es un sistema que, ante una entrada deter-minada, proporciona una salida determinada. En este sentido, un circuito, ya sea de corrientecontinua o no, puede entenderse como una funcion matematica de variable real, que ante unaentrada determinada proporciona una salida determinada.

Es necesario pues preguntarse cual es la entrada de un circuito, ası como cual es su salida.Para entender los conceptos de entrada y de salida de un circuito es preferible basarse en unejemplo.

Supongamos el circuito de la Figura 6.1. En tal circuito se nos podrıa preguntar cual es elvalor de la corriente Io si el valor de la fuente de tension Vi es de 5V . Si pensamos detenidamentenos daremos cuenta de que el valor de la corriente Io depende de forma directa del valor de latension Vi, de tal modo que para cada valor de Vi, tenemos un distinto valor de corriente Io(Io = Vi/R). En este sentido podemos decir que la corriente Io es la salida del sistema, y Vi laentrada, ya que el valor de Vi determina el valor de Io. En teorıa de circuitos lo mas comun esque la entrada del circuito sea una tension o corriente (fuente de tension o fuente de corriente),y que la salida sea una tension o corriente, en un punto o rama del circuito respectivamente.

Que es considerado entrada o salida de un circuito no depende del circuito en sı, sino masbien de uno mismo y del significado que se le quiera dar al circuito. Podemos considerar que la

Vi

Vo

Io R

Figura 6.1: circuito con entradas y salidas

119

120 CAPITULO 6. TERMINOLOGIA, SIMBOLOGIA Y DIVISOR DE TENSION

Vi

Io R

Figura 6.2: ¿cual es la salida del circuito ante una entrada de 5,6V ?

entrada de un circuito es una fuente determinada (ya sea de tension o de corriente) elegida pornosotros, y que la salida es cierta tension o corriente del circuito, tambien elegida por nosotros;la idea es que la entrada y salida elegidas tengan algun sentido y sean utiles a la hora deanalizar el circuito tanto cualitativa como cuantitativamente. En general, si en un enunciado deun problema se nos pide algo parecido a hallar el valor X de tension o corriente del circuito sila fuente Y (de tension o corriente) tiene un valor determinado, entonces la entrada del circuitoes la fuente Y, y la salida, la tension o corriente X.

Insistimos, sin embargo, en que el que es considerado entrada o salida en un circuito dependeexclusivamente de que decidimos nosotros que queremos que sea entrada o salida. Ası porejemplo, en el mismo circuito de la Figura 6.1, podrıamos haber supuesto que la salida delcircuito, en vez de ser la corriente Io, fuese la tension Vo. En ese caso, la salida entrada delcircuito serıa Vi y la salida Vo. Observese como, formalmente, en este caso tambien puedeconsiderarse que el circuito es un sistema que ante una entrada determinada (valor de Vi), nosda un valor de salida determinado (Vo); esto se debe a que el valor de la tension Vo depende delvalor de tension Vi de la fuente de tension(Vo = Vi).

Existe una notacion especial, que ya ha sido usada en algunos ejemplos de este libro, quenos senala que es entrada y que es salida en un circuito. Aquel elemento de un circuito que esconsiderado entrada, tiene un valor cuyo nombre acaba en un subındice i1. Ası por ejemplo,una fuente de tension de valor Vi es una fuente de tension considerada la entrada del circuito,debido al subındice i. A su vez, todo aquel valor cuyo nombre consta de un subındice o2 esconsiderado salida del circuito. Por ejemplo, una tension del circuito nombrada como Vo serıaconsiderada la salida del circuito.

Con este tipo de terminologıa, el enunciado de un ejercicio podrıa ser, por ejemplo: obtenerla salida del circuito de la Figura 6.2 ante una entrada de 5,6V .

En el circuito de la Figura 6.2, la entrada ha de ser la fuente de tension de valor senaladocomo Vi (notese el subındice i), y la salida, el valor de corriente marcado como Io (notese elsubındice o). En el enunciado, por tanto, se nos estarıa pidiendo obtener el valor de la corrienteIo si el valor de la fuente de tension es Vi = 5,6V , que viene a ser Io = 5,6/R, medida enamperios.

Al igual que se ha hablado de la entrada de un circuito, es lıcito hablar de las entradasde un circuito. En un circuito en el que hay presentes mas de una fuente (ya sean de tension,de corriente, o de ambos tipos), se puede decir que cada una de esas fuentes constituyen unaentrada para el circuito, y el conjunto de todas ellas, todas las entradas. Cuando estudiemos elprincipio de superposicion, esta forma de entender las entradas de un circuito sera necesaria,ya que dicho principio se aplica cuando varias fuentes actuan sobre un mismo circuito.

1Del ingles input (entrada).2Del ingles output (salida).

6.2. SIMBOLOGIA 121

V R1

R2

A

Figura 6.3: un circuito cualquiera

V

R1

R2

Figura 6.4: circuito equivalente al de la Figura 6.3

6.2. Simbologıa

Hasta ahora hemos dibujado todos los circuitos de un modo completo. Cada resistenciadibujada, representa una resistencia real; cada fuente de tension, una fuente de tension real; loselementos, a su vez, estaban todos conectados por lineas rectas (cortocircuitos), representandocables de toda la vida de Dios, etc..

Hay, sin embargo, un modo simplificado de representar un circuito determinado. Este metodono nos va a librar de dibujar resistencias o fuentes, pero sı de dibujar muchas lineas del circuito.

Supongamos el circuito de la Figura 6.3. En este circuito, esta claro que en el punto A,extremo superior de la resistencia R1, hay exactamente V voltios.

Pues bien, el circuito de la Figura 6.3 puede redibujarse, de forma equivalente, como elcircuito de la Figura 6.4.

En este nuevo circuito parece haber desaparecido la unica malla que hubiera. Es mas, estenuevo circuito parece ser un sinsentido, ya que aparenta ser, sin mas, una rama, en circuitoabierto, y por la que, en principio, no parece que podrıa circular corriente. Eso es lo quepodrıamos pensar en principio; la verdad es bien distinta: el circuito de la Figura 6.4 es, comose ha dicho, equivalente al circuito de la Figura 6.3. Ası pues, al ver un circuito con el aspectodel del la Figura 6.4, deberıamos ser conscientes de que lo que se esta representando es uncircuito en el que, dada la toma de tierra situada en el extremo inferior de la resistencia R2, enel extremo superior de la resistencia R1 hay una tension de V voltios (lo cual esta se representacon el circulito hueco y de valor V ); ¿como se puede conseguir un circuito como el de la Figura6.4, en el que en el extremo superior haya V voltios, y en extremo inferior este la toma detierra? En efecto, si colocamos una fuente de tension de valor V entre extremo superior de laresistencia R1 y la toma de tierra, se tiene un circuito equivalente. El metodo general paraobtener el circuito original de un modelo simplificado, es colocar una fuente de tension de talmodo que en el punto marcado con el circulito hueco haya tantos voltios como se especifique.

A la hora de resolver el circuito, evidentemente, es preferible tener en mente que el circuito


15V

R1

R2

RC

RE

RB

βIB

IB0,7V

A

Figura 6.5: un circuito del que, llegado el momento, estaremos hasta los huevecillos

15V

R1

R2

RC

RE

RB

βIB

IB0,7V

A

Figura 6.6: circuito equivalente al de la Figura 6.5

que realmente se esta resolviendo es el no simplificado, en este caso, el de la Figura 6.3.

Supongamos un ejemplo mas complejo, como el circuito mostrado en la Figura 6.5.

Obviemos el conjunto moderadamente complejo de resistencias y de fuentes de corriente yde tension que hay en el circuito. El circuito de la Figura 6.5 es ciertamente mas complejo queel de la Figura 6.4. Para obtener su modelo normal, y equivalente, basta que dibujemos unafuente de tension que haga que, en el punto marcado como A, haya 15V (que es justamentelo que representa el circuito de la Figura 6.5). Esto se puede conseguir dibujando una fuentede tension de valor 15V , cuyo polo positivo este cortocircuitado con A, y cuyo polo negativoeste cortocircuitado con la toma de tierra. Es importante notar ademas que, en un circuitodibujado de esta forma simplificada, todas las tomas de tierra dibujadas se consideranun punto comun del circuito, es decir, todas las tomas de tierra estan cortocircuitadasentre sı (lo cual se debe tener en cuenta a la hora de dibujar el modelo equivalente). Realmenteen un circuito solo existe una unica toma de tierra, y de ahı que, aunque se dibujen repetidasveces, estas sean consideradas el mismo punto del circuito. La Figura 6.6 muestra el circuitoequivalente.

Tal y como se ha explicado, el modelo equivalente no simplificado se construye colocandouna fuente de tension de tal modo que en el punto A siga habiendo 15V (que eran los voltioshabidos en el circuito simplificado), lo cual se consigue mediante una fuente de tension de 15Vcuyo polo positivo esta cortocircuitado con el punto A, y cuyo polo negativo esta cortocircuitado

6.2. SIMBOLOGIA 123

Vi Vo

R1

R2 R3 R4

Figura 6.7: ¿cual es el circuito real correspondiente?

Vi Vo

R1

R2 R3 R4

A

Figura 6.8: el circuito de la Figura 6.7, tomas de tierra unidas

con la toma de tierra, justamente como muestra la Figura 6.6. Notese en el detalle de comotodas las tomas de tierra del modelo simplificado se han conectado, dando lugar a una unicatoma de tierra comun. Al igual que antes, si se pretendiera resolver este circuito, se optarıa poremplear el modelo no simplificado, es decir, el de la Figura 6.6.

Veamos otro ejemplo. El circuito de la Figura 6.7 consta de una entrada Vi, y una salida,Vo.

Notese como en el circuito se han senalado varias tomas de tierra. Tal y como se ha explicadocon anterioridad, las tomas de tierra pueden unirse para formar una tierra comun, tal y comose muestra en la Figura 6.8.

El siguiente paso es sustituir la entrada Vi por lo que serıa su representacion tıpica: unafuente de tension que impone en el punto A Vi voltios; esto se consigue mediante una fuentede tension de valor Vi cuyo polo positivo esta conectado al punto A, y cuyo polo negativoesta conectado a la toma de tierra. La Figura 6.9 muestra el circuito equivalente final.

Se preguntara el lector para que se introduce este tipo de notacion simplificada, si en ultimainstancia hay que plantear el circuito real representado y resolverlo como tal. Visto desde esaperspectiva, esta nueva notacion introducida es mas inutil que el papel higienico mojado. Sinembargo, cuando se trabaja mucho con esta notacion, uno acaba acostumbrandose a resolverlos circuitos sin necesidad de dibujar el circuito real equivalente, con el consiguiente ahorroen escritura. Se trata simplemente de un modo de intentar simplificar nuestra vida, y que conun poco de practica se acaba volviendo como esas tostadas de mantequilla de la cafeterıa dela ETSIIT: indispensable. Bromas a parte, esta notacion es ampliamente usada en toda laliteratura de teorıa de circuitos, y como tal se recomienda encarecidamente su aprendizaje.

Vi

Vo

R1

R2 R3 R4

A

+−

Figura 6.9: circuito real equivalente al de la Figura 6.7


+− +

− +−V1 V2 V3

R1

R2

R4

R3C

A

B

V1

V3

R1

R2

R4

R3A

B

-V2

Figura 6.10: un par de circuitos equivalentes

+−

R1

R2

Vi Vo

R1

R2

Vo

Vi

Figura 6.11: el clasico divisor de tension

El ultimo ejemplo de equivalencia entre modelos simplificados y no simplificados es el mostra-do en la Figura 6.10.

Es de especial importancia notar como, en el circuito de la izquierda, la fuente de tensionde valor voltios impone en el punto C −V2 voltios. Esto se debe a que la polaridad de la fuentees tal que el polo positivo esta conectado con tierra y el negativo con el punto C (V+ − V− =V2 ⇔ 0− VC = V2).

Por tanto, a la hora de obtener el modelo simplificado, se debe tener en cuenta que en elpunto C debe haber −V2 voltios, y de ahı que el valor que aparece en el circuito de la derechaes −V2. Notar tambien que los dos puntos A y B no representan realmente fuentes de tensionde ningun tipo, sino puntos de interes del circuito de los cuales, posiblemente, se nos pedirıaalgun valor (tension, por ejemplo).

6.3. Divisor de tension

Un divisor de tension es como Dios: esta en todas partes.

No le faltaba nada de razon a la persona que, hace ya cinco anos, me dijo esas palabras.Un divisor de tension es un tipo de circuito que aparece en gran cantidad de ocasiones. Suestructura es tan sencilla y comun dentro de los circuitos que generalmente se resuelven, quebien merece la pena estudiarlo detenidamente.

La Figura 6.11 represente el clasico divisor de tension. En esa figura se ha representado aldivisor de tension de dos formas equivalentes, segun la notacion simplificada introducida en laseccion 6.2 anterior.

6.3. DIVISOR DE TENSION 125

+−

R1

R2

Vi Vo

R1

R2

Vo

Vi

I I

Figura 6.12: aplicando el metodo de las mallas al divisor de tension

El divisor de tension es un circuito que consta de una tension de entrada Vi, dos resistenciasR1 y R2 conectadas en serie a la fuente, y una salida Vo, tension existente entre las dos resisten-cias, considerando que la toma de tierra esta conectada a R2 como se muestra en la figura. Nospreguntamos cual es el valor de la tension de salida Vo.

El circuito se pude resolver aplicando el metodo de las mallas a la unica malla existente enel circuito, como se muestra en la Figura 6.12.

La ecuacion de malla que se obtiene es:

Vi = I(R1 +R2) ⇔

I =Vi

R1 +R2(6.1)

Ademas, segun la Ley de Ohm:

I =Vo

R2(6.2)

Si igualamos ambas expresiones de I, (6.1) y (6.2), se tiene:

Vi

R1 +R2=

Vo

R2⇔

Vo = Vi ·R2

R1 +R2(6.3)

La ecuacion (6.3) es la ecuacion que describe el comportamiento de un divisor de tension. Comoel lector comprendera, esa ecuacion no es ningun logro. Es mas, a diferencia de otras ecuacionesimportantes, esta no es fundamental. Sin embargo, insistimos en que un divisor de tension esun circuito que aparece en una gran cantidad de ocasiones, y por tanto, el conocer esta formulapuede ahorrarnos algo de tiempo en el analisis de circuitos.

Existen versiones mas avanzadas de un divisor de tension, que no estudiaremos. A lo largode mi experiencia en teorıa de circuitos, este es el que sin duda aparece en mayor cantidad deocasiones; de ahı que vayamos a obviar los otros tipos de divisores de tension.

Capıtulo 7

Teoremas

Con este tema se concluira este libro dedicado al analisis de circuitos en condiciones decorriente continua.

En las siguientes paginas se van a introducir tres herramientas muy utiles a la hora deresolver un circuito. Las asociaciones de elementos suelen simplificar el analisis de un circuito,si bien hasta ahora hemos hecho un escaso uso de ellas. En este tema se explicaran tres pro-cedimientos que serviran, al igual que las asociaciones de elementos, como herramientas desimplificacion del analisis de circuitos: principio de superposicion, teorema de Thevenin y teo-rema de Norton.

7.1. Principio de superposicion

El principio de superposicion se encuentra presente en muchos ambitos de la fısica. Si bieneste puede aplicar a un sin fin de situaciones, su enunciado viene a ser el mismo: que un sistemalineal puede ser descompuesto en subsistemas mas pequenos, de modo que el comportamientoo salida del sistema original puede ser obtenido como suma de los comportamientos o salidasde cada uno de los sistemas reducidos.

El principio de superposicion esta ıntimamente relacionado con el concepto matematico delinealidad.

Un operador lineal es una funcion matematica f entre dos espacios vectoriales U y V(espacios vectoriales sobre un cuerpo K (K sera para nosotros el conjunto de los numerosreales,R)),f : U → V , que cumple las siguientes dos propiedades:

• f(x+ y) = f(x) + f(y) ∀x,y ∈ U

• f(kx) = kf(x) ∀k ∈ K, ∀x ∈ U

Estas dos propiedades se suelen compactar en una unica y equivalente:

• f(k1x1 + . . .+ knxn) = k1f(x1) + . . .+ knf(xn) ∀k1, . . . , kn ∈ K, ∀x1, . . . ,xn ∈ U

Que el lector no se asuste si nunca ha estudiado estos conceptos. No vamos a ir mucho masalla de lo que acabamos de explicar.

Intentemos aclarar este concepto mediante dos clasicos ejemplos de operadores lineales:derivacion e integracion de funciones de variable real.

La derivacion de funciones de variable real es un operador lineal: se trata de una funcionque asocia a cada funcion derivable de variable real, otra funcion de variable real, su derivada,cumpliendo ademas las dos propiedades de linealidad. En este sentido, se puede decir que lafuncion de derivacion tiene la forma der : U → V donde U es el espacio vectorial de todaslas funciones derivables de variable real, y V es el espacio vectorial de todas las funciones de

127

128 CAPITULO 7. TEOREMAS

variable real. El cuerpo K sobre el que se definen ambos espacios U y V es el cuerpo de losnumeros reales, R, dado que estamos trabajando con funciones de variable real.

¿Cumple la funcion der las propiedades de linealidad? En efecto: supongamos dos funcionesf y g ambas de variable real y derivables (pertenecientes, por tanto, a U). Supongamos unnumero real k, y por tanto perteneciente al conjunto de escalares K sobre el que se definen losdos espacios U y V .

• der(f + g) = der(f) + der(g). Cuando estabamos en el colegio nos explicaron que laderivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de ambas funcion.Aquı no ofreceremos la demostracion. Aclaremos esta propiedad mediante un ejemplo:f(x) = 3x2, g(x) = 2x ⇒ der(f + g) = der(3x2 + 2x) = 6x + 2 = der(3x2) + der(2x) =der(f) + der(g).

• der(kf) = k ·der(f). Igualmente, sabemos que la derivada de un numero real multiplicadopor una funcion, es igual al numero real multiplicado por la derivada de la funcion. Porejemplo: f(x) = 5x3, k = 6,2 ⇒ der(kf) = der(6,2 · 5x3) = 6,2 · 15x2 = 6,2 · der(5x3) =k · der(f).

El operador de derivacion es, por tanto, un operador lineal.El proceso de integracion de funciones de variable real en un cierto intervalo real, es un

operador lineal: se trata de una funcion que asocia a cada funcion integrable en el intervalo deintegracion, un cierto escalar real, la integral definida de la funcion en el intervalo de integracion,cumpliendo ademas las dos propiedades de linealidad. Supongamos, por ejemplo, el intervalode integracion [3,5], las funciones f(x) = 3x2, g(x) = −4x, ambas integrables en todo R, y elescalar k = 3,3. Es facil ver que las dos propiedades de linealidad se verifican en este caso:

•∫ 5

3

(f(x) + g(x))dx =

∫ 5

3

(3x2 + (−4x))dx = 66 = 98 − 32 =

∫ 5

3

3x2dx +

∫ 5

3

−4xdx =∫ 5

3

f(x)dx+

∫ 5

3

g(x)dx.

•∫ 5

3

(kf(x))dx =

∫ 5

3

(3,3 · 3x2)dx = 323,4 = 3,3 · 98 = 3,3

∫ 5

3

3x2dx = k

∫ 5

3

f(x)dx.

En general, es facil demostrar que estas dos propiedades se cumplen para cualesquiera funcionesf y g integrables, y para cualquier escalar k.

¿Como se comportan los elementos fundamentales constituyentes de nuestros circuitos, asaber, resistencias, bobinas y condensadores? ¿Muestran dichos elementos un comportamientolineal, como el que acaba de definirse?

Una resistencia es un elemento electronico que cumple que relacion que existe entre lacorriente que la atraviesa desde su extremo a hacia su extremo b esta relacionada con la tensionentre a y b del siguiente modo:

I =V

R

Donde se sobreentiende que la diferencia de tension V se mide en el sentido de circulacionde I. Mas formalmente se puede decir que la resistencia, a cada valor de tension V entre susterminales, le asocia una corriente, segun la funcion I : R → R:

I(V ) =V

R

Es facil demostrar que esta funcion cumple las dos propiedades que hacen que una funcion seaconsiderada lineal:

7.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION 129

• I(V1 + V2) =V1 + V2

R=

V1

R+

V2

R= I(V1) + I(V2) ∀V1,V2 ∈ R, que es en efecto la primera

propiedad.

• I(kV ) =kV

R= k

V

R= kI(V ) ∀V, k ∈ R, que es justamente la segunda propiedad.

Se deduce pues que la funcion matematica que rige el comportamiento de la resistencia muestraun comportamiento lineal. Por abuso del lenguaje se dice que la resistencia es un elemento lineal.Notese como el mismo razonamiento puede ser llevado a cabo considerando que la ecuacion querige el comportamiento de la resistencia es V (I) = IR. Ambas ecuaciones son equivalentes, yel resultado de linealidad, por tanto, no se ve alterado.

¿Que le ocurre a un condensador? Recuerdese que la relacion que existe entre la corrienteque atraviesa al condensador desde su extremo a a su extremo b (recuerdese que estrictamentela corriente no atraviesa al condensador) y la diferencia de tension existente entre a y b es:

I = CdV

dt

Donde nuevamente la diferencia de tension V se ha medido en el sentido de circulacion de lacorriente I. De un modo mas formal se puede decir que el condensador asocia a cada funcionV (t), tension entre sus terminales, una corriente electrica I(t), siguiendo el esquema de unafuncion I : F → G, donde F es el conjunto de las funciones derivables de variable real (funcionesque en nuestro caso representan la diferencia de tension entre los extremos del condensador), yG el conjunto de las funciones de variable real:

I(V ) = CdV

dt

¿Cumple la funcion f que rige el comportamiento de un condensador las propiedades de lin-ealidad? Al igual que con el ejemplo de la resistencia, es facil llegar a la conclusion de que elcondensador es un elemento lineal:

• I(V1+V2) = Cd(V1 + V2)

dt= C

(

dV1

dt+

dV2

dt

)

= CdV1

dt+C

dV2

dt= I(V1)+I(V2) ∀V1, V2 ∈ F ,

que es justamente la primera propiedad.

• I(kV ) = Cd(kV )

dt= kC

dV

dt= kI(V ) ∀V ∈ F, ∀ ∈ R, que es la segunda propiedad.

Se deduce pues que el condensador es tambien un elemento lineal, ya que la funcion que rige sucomportamiento (funcion de derivacion), cumple las dos condiciones de linealidad. Este mismorazonamiento se podrıa haber seguido desde la perspectiva, no de una funcion que asocia acada V (t) un I(t) dado, sino a la inversa: de la ecuacion del condensador se puede obtener unaecuacion equivalente que nos da el valor de la tension que soporta el condensador en funcion dela corriente que lo atraviesa (serıa una funcion en la que aparecerıa una integral, en vez de unaderivada). Esta ecuacion, igualmente, posee las propiedades de linealidad, ya que es equivalentea la ecuacion que contiene la derivada.

Por ultimo analicemos el comportamiento de una bobina. La tension que soporta una bobinaentre sus terminales a y b, esta relacionada mediante la corriente que la atraviesa desde suterminal a hasta su terminal b, por la ecuacion:

V = LdI

dt


Donde la diferencia de tension V se mide en el sentido de circulacion de la corriente I. De unamanera mas formal, se puede decir que la ecuacion que rige el comportamiento de una bobinaesta dado por una funcion V : F → G,donde F es el conjunto de las funciones derivables devariable real (funciones que en nuestro caso representan la corriente que atraviesa a la bobinade un extremo a otro), y G el conjunto de las funciones de variable real:

V (I) = LdI

dt

Esta funcion muestra un comportamiento lineal, ya que cumple los dos requisitos para que unafuncion lo sea:

• V (I1 + I2) = Ld(I1 + I2)

dt= L

(

dI1

dt+

dI2

dt

)

= LdI1

dt+ L

dI2

dt= V (I1) + V (I2) ∀I1,I2 ∈ F ,

que es la primera condicion de linealidad.

• V (kI) = Ld(kI)

dt= kL

dI

dt= kV (I) ∀I ∈ F, ∀k ∈ R, que es la segunda condicion de

linealidad.

Se deduce pues que la bobina se comporta tambien como un elemento lineal, ya que la funcionque rige su comportamiento es una funcion lineal.

Se puede demostrar facilmente que un circuito formado por resistencias, conden-sadores, bobinas y fuentes de tension y corriente, se comporta como un sistemalineal, consecuencia inmediata del hecho de que los elementos electronicos estudiados en estaseccion muestran un comportamiento tambien lineal. Se dice entonces que el circuito es uncircuito lineal.

Pues bien, en teorıa de circuitos, el principio de superposicion establece que, si en un circuitolineal actuan diversas entradas (diversas fuentes, ya sean de tension o de corriente), entoncesla salida de circuito (tension o corriente) es igual a la suma de las salidas que se obtendrıanconsiderando la accion de cada entrada por separado (y anulando todas las demas).

Es interesante aclarar algunos aspectos del principio de superposicion.

• La linealidad de los elementos estudiados, y por tanto la de un circuito lineal, se aplicasolamente a tensiones o corrientes. El principio de superposicion no se puede aplicar,por ejemplo, a la potencia consumida por una resistencia: la potencia consumida por unaresistencia sobre la que se aplican 6V de tension no es la suma de las potencias consumidaspor dos fuentes de 3V , por ejemplo.

• En el contexto del principio de superposicion, el termino entrada hace referencia a cual-quier fuente presente en el circuito.

• En el enunciado del principio se habla de la necesidad de anular entradas. Dependiendode si la entrada es una fuente de corriente o una fuente de tension, se aplican las siguientesreglas:

1. Si la entrada es una fuente de corriente, esta se sustituye por un circuito abierto.

2. Si la entrada es una fuente de tension, esta se sustituye por un cortocircuito.

• Tambien se hace referencia a considerar la accion de cada entrada (fuente) por separado,anulando todas las demas. El resultado es entonces igual a la suma de cada uno de losresultados parciales obtenidos considerando la accion de cada fuente por separado. Porejemplo, si en un circuito se tienen tres entradas, consistentes en dos fuentes de tension,V1 y V2, y una de corriente, I, una salida cualquiera del circuito, por ejemplo la tension


Vo existente en un determinado punto A, se podrıa obtener como la suma de la diferentessalidas Voi obtenidas en los siguientes circuitos:

1. Uno en el que solo se mantiene la fuente V1 y se anulan tanto a V2 como a I. Seobtendrıa un valor de tension parcial Vo1 en el punto A.

2. Otro en el que se mantiene solamente a la fuente de tension V2, anulando a las fuentesV1 e I. Se obtendrıa un valor de tension parcial Vo2 en el punto A.

3. Un ultimo circuito en el que se mantiene la fuente de corriente I y se anulan las dosfuentes de tension, V1 y V2. Se obtendrıa un ultimo valor de tension parcial Vo3 en elpunto A.

El valor de tension Vo buscado en el circuito original, la salida, se obtendrıa entonces comola suma de cada una de las salidas parciales obtenidas, es decir:

Vo = Vo1 + Vo2 + Vo3

Cuando se aplica el principio de superposicion no es estrictamente necesario considerarque actua cada una de las distintas fuentes (entradas) por separado, como acabamos dehacer nosotros. En cada uno de los sistemas parciales que se resuelven se pueden anulartantas fuentes como se quieran, no siendo necesario anularlas todas menos a una. El unicorequisito es que, de entre todos los sistemas resueltos, no se hayan repetido fuentes enninguno de ellos, es decir, que no haya ninguna fuente que haya permanecido activa enmas de un subsistema. Al final, cada fuente debe haber contribuido una y solo una vez(es decir, al menos una vez, pero no mas de una).

De este modo, el ejemplo de antes se podrıa haber resuelto de muchos modos. Uno deellos, considerando la resolucion de cada uno de los siguientes subcircuitos:

1. Uno en el que estan activas las dos fuentes de tension V1 y V2, anulando a la fuentede corriente I. Se obtendrıa un valor parcial de tension Vo1.

2. Otro en el que esta activa la fuente de corriente I, anulando ambas fuentes de tensionV1 y V2. Se obtendrıa un valor parcial de tension Vo2.

Es importante notar que todas las fuentes se encuentran activas en un solo circuito, yninguno mas. El valor de tension final serıa la suma de los valores de tension parcialeshallados:

Vo = Vo1 + Vo2

Otra posible alternativa para obtener el valor de tension Vo mediante el principio desuperposicion serıa:

1. Obtener un subcircuito en que se anula la fuente de tension V2 y se dejan activastanto a la fuente de tension V1 como a la fuente de corriente I. Se obtendrıa un valorde tension parcial Vo1.

2. Obtener un subcircuito en que se anulan las fuentes V1 e I, dejando activa solo a lafuente de tension V2. Se obtendrıa un valor de tension parcial Vo2.

El valor de tension Vo se obtendrıa como la suma de los diferentes valores de tensionparciales obtenidos:

Vo = Vo1 + Vo2

Es importante hacer ver, nuevamente, que cada fuente solo ha contribuido una unica vezal resultado: toda fuente aparece activa en un y solo un circuito. Ni uno mas, ni unomenos.


V1=10V V2=20V

Ig=10mA

1KΩ1KΩ

1KΩ 1KΩVo

Figura 7.1: un ejemplo a resolver mediante el principio de superposicion

Para comprender mejor el principio de superposicion ası como su utilidad en la resolucionde circuitos, vamos a resolver un circuito de principio a fin.

Supongamos el circuito de la Figura 7.1. Para dicho circuito, se pide obtener el valor de latension Vo mediante el principio de superposicion.

El circuito de la Figura 7.1 consta de tres fuentes o entradas, dos de tension y una decorriente. El principio de superposicion puede aplicarse de muy diversas maneras para resolverel circuito. Se podrıa seguir, por ejemplo, alguno de los tres caminos siguientes (si bien existenmas):

• Camino 1:

1. Hallar Vo anulando V1 e Ig.


3. Hallar Vo anulando V1 y V2.

4. El valor de Vo del circuito original serıa igual a la suma de estos tres valores parcialesde Vo.

• Camino 2:

1. Hallar Vo anulando V1.


3. El valor de Vo del circuito original serıa igual a la suma de estos dos valores parcialesde Vo.

• Camino 3:

1. Hallar Vo anulando Ig.

2. Hallar Vo anulando V1 y V2.

3. El valor de Vo del circuito original serıa igual a la suma de estos dos valores parcialesde Vo.

Que camino elegir para resolver el circuito es una decision que se debe tomar pensando encual va a permitirnos mayores facilidades. Nosotros, por ejemplo, vamos a elegir el camino 3.

Supongamos que anulamos las dos fuentes de tension V1 y V2, y que solo dejamos activa ala fuente de corriente Ig. Recuerdese que una fuente de tension se anula sustituyendola por uncortocircuito, obteniendose el circuito de la Figura 7.2.


Ig=10mA

1KΩ1KΩ

1KΩ 1KΩVo1

Figura 7.2: las fuentes de tension son anuladas sustituyendolas por cortocircuitos

Ig=10mA

1KΩ1KΩ

1KΩ 1KΩVo1

I1 I2 I3

Vg+

A

-

Figura 7.3: corrientes de malla asignadas al circuito

Tras anular las fuentes de tension, vamos a obtener el valor de tension Vo para este circuito,al cual hemos llamado Vo1. Usaremos el metodo de las mallas para resolver el circuito. Se tratade un circuito con una fuente de corriente; por tanto, a esta se le debe asignar un valor detension (Vg) y una polaridad. La Figura 7.3 muestra el circuito con las corrientes de mallaasignadas ası como con la fuente de corriente con la polaridad asignada.

Las ecuaciones de malla que se obtienen del circuito de la Figura 7.3 son las siguientes:

Vg = 1000I1 − 1000I2 (Malla de I1)

−Vg = I2(1000 + 1000 + 1000)− 1000I1 − 1000I3 (Malla de I2)

0 = I3(1000 + 1000) (Malla de I3)

Ademas, de la fuente de corriente necesitamos obtener otra ecuacion para resolver el sistema.Si suponemos que la corriente I, que circula por la rama de la fuente de corriente, circula haciaarriba, entonces su expresion segun las corrientes de malla es:

I = I1 − I2

Pero es que, ademas, esa corriente I coincide con la corriente que inyecta la fuente de corriente,es decir, se tiene:

I1 − I2 = 10 · 10−3

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de malla y esta ultima ecuacion,se tiene:

I1 = 10 · 10−3A, I2 = 0A, I3 = 0A, Vg = 10V

Notese que I2 es la corriente que cruza la resistencia de 1KΩ comprendida entre los puntos Ay el punto de Vo. Se tiene por tanto que:

I2 =Vo − VA

1000


V1=10V V2=20V1KΩ1KΩ

1KΩ 1KΩVo2

Figura 7.4: las fuente de corriente se anula sustituyendola por un circuito abierto

V1=10V V2=20V1KΩ

1KΩ 1KΩVo2

Figura 7.5: la rama de la fuente de corriente se transforma en un circuito abierto

Como justamente I2 = 0, obtenemos:

0 =VA − Vo1

1000⇔

VA = Vo1

Como ademas, el punto A esta cortocircuitado con la toma de tierra, se obtiene que:

Vo1 = 0V

Notese como se podrıan haber asociado en paralelo las dos resistencias de la derecha parasimplificar la resolucion del circuito (eso nos habrıa eliminado una malla).

Ahora supongamos que anulamos la fuente de corriente Ig y que dejamos activas a las dosfuentes de tension V1 y V2. El circuito que resulta tras sustituir la fuente de corriente por uncircuito abierto es el de la Figura 7.4.

Ahora pensemos un poco en lo que a este circuito respecta. La rama donde se situaba lafuente de corriente contiene ahora un circuito abierto (resistencia de valor infinito), conectadoen serie con una resistencia de 1KΩ. Podemos asociar ambas resistencias en serie, obteniendouna resistencia de valor, obviamente, infinito, es decir, otro circuito abierto. Se obtiene entoncesel circuito de la Figura 7.5.

La rama donde se situaba la fuente de corriente, por tanto, se transforma en un circuitoabierto. A efectos practicos, la presencia de una rama con un circuito abierto puede ser ignoradaen el analisis del circuito, ya que por dicha rama no va a circular ninguna corriente. Por tanto,la rama es omitida, quedando un circuito como el de la Figura 7.6.

El circuito resultante lo resolveremos mediante el metodo de las mallas. El circuito constade dos mallas, a las que les asignamos corrientes de malla tal y como indica la Figura 7.7.

Las ecuaciones de malla que se obtienen del circuito son las siguientes:

10 = I1(1000 + 1000)− 1000I2 (Malla de I1)

−20 = I2(1000 + 1000)− 1000I1 (Malla de I2)


V1=10V V2=20V1KΩ

1KΩ 1KΩVo2

Figura 7.6: el circuito resultante tras anular la fuente de corriente

V1=10V V2=20V1KΩ

1KΩ 1KΩVo2

I1 I2

A

Figura 7.7: circuito con las corrientes de malla asignadas

De la resolucion del sistema de ecuaciones se obtiene:

I1 = 0A, I2 = −0,01A

Ahora bien, I1 es la corriente que atraviesa la resistencia que hay entre el punto A y el puntode Vo2, y por tanto puede reescribirse, segun la Ley de Ohm, como:

I1 =VA − Vo2

1000

Como I1 = 0:

VA − Vo2

1000= 0 ⇔

VA = Vo2

Como justamente VA = 10V segun dicta la fuente de tension de la izquierda, se deduce:

Vo2 = 10V

Ya tenemos los resultados parciales de Vo para cada circuito. Para obtener el valor de Vo delcircuito original, basta sumar ambos valores parciales de Vo, es decir:

Vo = Vo1 + Vo2 = 0 + 10 = 10V

Se deja al lector, como ejercicio, comprobar que este valor de Vo es el que se obtiene resolviendoel circuito original.

El principio de superposicion hay que aplicarlo con inteligencia. En el ejemplo que hemosresuelto, no ha supuesto un menor esfuerzo. Sin embargo, cuando se elige un camino para laresolucion de un circuito mediante el principio de superposicion, se busca que los subcircuitos


A

BCircuito lineal +

−

A

B

Vt

Rt

Figura 7.8: teorema de Thevenin

obtenidos sean de una resolucion mas sencilla que la del circuito original. Por ejemplo, cuandohemos anulado la fuente de corriente dejando activas las dos de tension, hemos obtenido uncircuito con una rama menos, que nos ha simplificado el analisis. En general, antes de aplicar elprincipio de superposicion a lo loco, se recomienda analizar los subcircuitos que se obtendrıan,para ver si estos son mas sencillos que el original (bien por la desaparicion de alguna ramaen la que habıa una fuente de corriente, bien porque al sustituir una fuente de tension por uncortocircuito se pueden llevar a cabo asociaciones de elementos que antes no se podıa, etc.).

7.2. Teorema de Thevenin

El fundamento de las asociaciones (seccion 4.1) era el de intentar simplificar distribucionesde elementos por otros equivalentes, de modo que se simplificase el analisis del circuito dondese situasen dichos elementos.

El problema de las asociaciones, tal y como fueron concebidas, es que solo permitıan asociarelementos de un mismo tipo entre sı: resistencias con resistencias, fuentes de tension con fuentesde tension, condensadores con condensadores, etc.. Desde este punto de vista, las asociacionesde elementos son una herramienta bastante limitada a la suerte que se pueda tener a la horade resolver un circuito: si el circuito permite asociaciones, pues se asocia, y si no, pues nosaguantamos.

El teorema de Thevenin viene a resolvernos este gran problema. Thevenin, a diferencia de losmetodos de asociaciones clasicos, permite condensar cualquier subcircuito en otro equivalente.Nosotros vamos a enunciar el teorema de Thevenin dentro del analisis de circuitos de corrientecontinua, donde bobinas y condensadores se transforman en cortocircuitos y circuitos abiertosrespectivamente (los cuales son casos extremos de resistencias, como se explico en la seccion2.1). El teorema de Thevenin puede generalizarse para circuitos con bobinas y condensadoresfuera del marco de los circuitos de corriente continua; en dichos circuitos, condensadores ybobinas no se transforman en casos extremos de resistencias, sino que se mantienen vivitosy coleando. A pesar de ello, nosotros restringiremos el teorema, por ahora, a los circuitos decorriente continua, donde se puede decir que todo se reduce a resistencias, fuentes de tensiony fuentes de corriente. En un futuro no muy lejano (en la siguiente entrega de esta magnıficacoleccion titulada Introduccion a la teorıa de circuitos), ampliaremos el teorema, contemplandootros dominios a parte del de la corriente continua.

El teorema de Thevenin dice ası:

Todo circuito lineal con dos terminales puede sustituirse por un modelo equiv-alente, formado por una fuente de tension de valor Vt conectada en serie a unaresistencia de valor Rt.

Chachi. El teorema de Thevenin nos esta diciendo que no importa cuan complicado puedaser un circuito con dos terminales externos, pues este es equivalente a un modelo formado poruna fuente de tension y una resistencia en serie. Concretamente, se tiene una equivalencia comola de la Figura 7.8.

Donde los tan ansiados valores de Vt y Rt se obtienen del siguiente modo:

7.2. TEOREMA DE THEVENIN 137

10V

1KΩ

5KΩ

1KΩ

3KΩ

A

B

Figura 7.9: circuito que resolveremos usando el teorema de Thevenin

• Vt, tension Thevenin, es la tension que se mide entre A y B en el circuito original,cuando ambos terminales se dejan en circuito abierto. Es decir, Vt = VAB = VA − VB.

• Rt, resistencia Thevenin, es la resistencia equivalente que se mide entre A y B cuandotodas las fuentes del circuito original han sido anuladas (las de tension se sustituyen porun cortocircuito, y las de corriente, por un circuito abierto). Si la resistencia no se puedeobtener por los metodos convencionales de asociaciones en serie y en paralelo, se recurrirıaal metodo general.

Es de especial interes destacar dos aspectos de la Figura 7.8. El primero es que la resistenciaThevenin puede colocarse tanto conectada al polo positivo de la fuente de tension Thevenin,como se muestra en la Figura 7.8, como al polo negativo; nosotros, por costumbre, la colocare-mos conectada al polo positivo de la fuente de tension Thevenin. El segundo esta relacionadoen el modo en el que se coloca la polaridad de la fuente de tension Thevenin. Siempre se puedenobtener dos tensiones Thevenin. Supongamos que tenemos un circuito con dos terminales ex-ternos, que decidimos denominar M y Z (prefiero rehuir a los clasicos A y B). En este casose podrıa obtener tanto la tension Thevenin Vt = VMZ = VM − VZ como la tension TheveninVt = VZM = VZ − VM . El detalle importante es que el polo positivo de la fuente de tensionThevenin debe estar orientado hacia el primer punto sobre el que se mide la diferencia de ten-sion, y el polo negativo, hacia el segundo punto sobre el que se mide la diferencia de tension. Enel caso de, por ejemplo, de haber medido la tension Thevenin VZM = VZ − VM , el polo positivodeberıa colocarse mas cerca del terminal Z que del terminal M, y el polo negativo, mas cercadel terminal M que del terminal Z. En el caso de la Figura 7.8, la tension Thevenin medida esla tension entre A y B, dado que el polo positivo de la fuente de tension Thevenin esta mascerca de A que de B, y el negativo esta mas cerca de B que de A.

Otro aspecto muy importante a tener en cuenta es que, tras sustituir el circuito original porsu equivalente Thevenin, los terminales externos, los puntos A y B, siguen existiendo, de modoque cualquier parametro asociado a dichos puntos podrıa seguir midiendose en el circuito conel modelo Thevenin.

Supongamos por ejemplo el circuito de la Figura 7.9, en el que se nos pide obtener ladiferencia de tension que existe entre los puntos A y B, es decir, VAB = VA − VB.

¿Como podemos sacar partido del teorema de Thevenin a la hora de resolver este circuito?Se nos esta pidiendo la tension que existe entre los puntos A y B. Podrıamos intentar simplificarel circuito que se ve desde los puntos A y B, y hacia la izquierda. Obteniendo el equivalenteThevenin de ese circuito, el analisis del circuito se simplificarıa bastante. Notese como, ademas,si se sustituye ese subcircuito por su equivalente Thevenin, los terminales A y B seguirıan ex-istiendo en el modelo simplificado, y por tanto la tension entre A y B podrıa medirse igualmenteen el modelo simplificado con Thevenin que en el circuito original.

El subcircuito del que se quiere obtener el equivalente Thevenin es el circuito representadoen la Figura 7.10.


10V

1KΩ

5KΩ

1KΩ A

B

I1

I2

I3

C D

Figura 7.10: ¡se busca el Thevenin!

Para hallar el equivalente Thevenin del circuito de la Figura 7.10, hay que obtener tanto latension Thevenin como la resistencia Thevenin.

La tension Thevenin es la tension que se mide entre los puntos A y B (podrıa medirse la quehay entre los terminales B y A, pero optamos por medir la que hay entre A y B). Para simplificarel analisis, se ha colocado la toma de tierra conectada a B, para que ası la tension Theveninsea simplemente la tension en el punto A: Vt = VAB = VA − VB = VA − 0 = VA. Recuerdeseque colocar una toma de tierra no hace que varıen las diferencias de tension existentes entrecualesquiera puntos del circuito.

En el circuito de la Figura 7.10 podemos aplicar el metodo de los nudos para su resolucion.Observese, sin embargo, que la corriente I3 ha de ser una corriente nula, dado que la rama de I3es una rama acabada en un circuito abierto (no esta conectada a nada), y por ella, por tanto,no puede circular corriente. Se tiene que, por tanto que I3 = 0. Se puede usar la expresion dela Ley de Ohm de I3 para deducir, ademas, que:

I3 =VD − VA

1000= 0 ⇔

VD = VA

Del nudo D se puede deducir facilmente que I1 = I2, ya que I3 = 0. Sustituyendo las corrientespor sus expresiones segun la Ley de Ohm, y considerando que VB = 0 por estar conectado atierra y que VC = 10 segun la fuente de tension:

I1 = I2 ⇔VC − VD

1000=

VD − VB

5000⇔

10− VD

1000=

VD

5000⇔

VD =25

3V

Como la tension en D coincide con la tension en A, se tiene por tanto que:

Vt = VAB =25

3V

Notese que este circuito se comporta como un divisor de tension. En efecto, al no circularcorriente por la rama de I3, es como si esta no existiera, y se tiene que la tension en D es:

VD = VC ·(

5000

5000 + 6000

)

= 10 ·(

5000

5000 + 6000

)

=25

3V

Que es justamente la que obtuvimos anteriormente, pero sin tanta complicacion. Observese,insisto, en como este circuito se ha reducido a un simple divisor de tension.

7.2. TEOREMA DE THEVENIN 139

1KΩ

5KΩ

A

B

1KΩ

Figura 7.11: conjunto de resistencias tras anular las fuentes del circuito

B

A

Req=5500/3Ω

Figura 7.12: resistencia Thevenin

Nos queda obtener la resistencia Thevenin Rt, que es la resistencia equivalente que se mideentre A y B cuando se anulan todas las fuentes del circuito.

Al anular las fuentes internas del circuito, la fuente de tension se transforma en un corto-circuito, de modo que nos queda el conjunto de resistencias de la Figura 7.11.

La resistencia equivalente medida entre los terminales A y B del circuito es trivial. Fijemonosen que las dos resistencias de la izquierda, la de 1KΩ y la de 5KΩ estan conectadas en paralelo.Tras asociarlas, queda una resistencia de 2500/3Ω, que se asocia en serie con la resistencia enserie restante para dar una resistencia equivalente medida entre A y B de 5500/3Ω(Figura 7.12),es decir:

Rt =5500

3Ω

Obtenidas la tension Thevenin y la resistencia Thevenin, podemos construir el equivalenteThevenin (Figura 7.13) del circuito de la Figura 7.10. Es de especial interes notar que latension Thevenin medida fue la existente entre los terminales A y B. Por tanto, el polo positivode la fuente de tension Thevenin va orientado al terminal A, mientras que el polo negativova orientado al terminal B. La resistencia podrıa haberse colocado conectada a uno u otroterminal, pero optamos por conectarla al terminal A.

Recuerdese que el problema que se nos planteaba era medir la tension entre A y B en elcircuito original, el de la Figura 7.9. Nosotros hemos decidido simplificar el circuito obteniendoel equivalente Thevenin del subcircuito que se ve desde los puntos A y B, y hacia la izquierda. Si

A

B

Vt=25/3V

Rt=5500/3Ω

Figura 7.13: el equivalente Thevenin buscado


B

ARt=5500/3Ω

Vt=25/3V3KΩ

Figura 7.14: circuito original, simplificado tras sustituir una de sus partes por el equivalenteThevenin

10V

1KΩ

5KΩ

1KΩ

3KΩ

Vo

I1 I2

Figura 7.15: el circuito original, resuelto por mallas

ahora sustituimos ese subcircuito por su equivalente Thevenin, el circuito original simplificadose reduce en gran medida, como se muestra en la Figura 7.14.

Del circuito de la Figura 7.14 se puede obtener la tension entre A y B colocando una tomade tierra conectada al punto B. En ese caso, la diferencia de tension entre A y B coincide con latension que hay en el punto A. Notese que el circuito de la Figura 7.14 es un divisor de tension,donde buscamos la tension en el punto A. Esa tension se puede obtener mediante el uso directode la formula del divisor de tension:

VA = VAB =25

3·(

3000

3000 + 5500/3

)

=150

29V

Que es la tension entre los puntos A y B buscada en el circuito original. Observese como alemplear el equivalente Thevenin para simplificar el circuito original, la resolucion del circuitose ha reducido a dos divisores de tension.

Podemos comprobar que la resolucion directa del circuito de la Figura 7.9 nos habrıa lle-vado al mismo resultado que al usar el equivalente Thevenin. Supongamos que resolvemos elcircuito aplicando mallas, como se muestra en la Figura 7.15. Se ha colocado una toma de tierraconectada al punto B, para que la tension VAB coincida con la tension Vo senalada en el circuitode la figura.

Aplicando el metodo de las mallas, se obtienen las dos siguientes ecuaciones:

10 = I1(1000 + 5000)− 5000I2 (Malla de I1)

0 = I2(5000 + 1000 + 3000)− 5000I1 (Malla de I2)

Del sistema de ecuaciones de malla se obtiene, trivialmente:

I1 =9

2900A, I2 =

1

580A

Observemos que la corriente de malla I2 coincide con la que circula por la resistencia de 3KΩ,

7.3. TEOREMA DE NORTON 141

A

BCircuito lineal

A

B

In Rn

Figura 7.16: teorema de Norton

y se puede reescribir, segun la Ley de Ohm:

I2 =Vo

3000⇔

1

580=

Vo

3000⇔

Vo = VAB =150

29V

Que es justamente el mismo valor de tension VAB obtenido simplificando el circuito originalmediante Thevenin.

7.3. Teorema de Norton

El teorema de Norton es un teorema analogo al de Thevenin, en el sentido de que nos permitesimplificar cualquier circuito lineal, sustituyendolo por un modelo equivalente formado por unafuente y una resistencia. La diferencia es que, en teorema de Norton, la fuente empleada es unafuente de corriente, y la resistencia se coloca en paralelo a la fuente de corriente. Concretamente,el teorema de Norton dice ası:

Todo circuito lineal con dos terminales puede sustituirse por un modelo equiv-alente, formado por una fuente de corriente de valor In conectada en paralelo a unaresistencia de valor Rn.

El teorema de Norton nos esta diciendo que no importa cuan complicado pueda ser uncircuito con dos terminales externos, pues este es equivalente a un modelo formado por unafuente de corriente y una resistencia en paralelo. Concretamente, se tiene una equivalencia comola de la Figura 7.16.

Donde los tan ansiados valores de In y Rn se obtienen del siguiente modo:

• In, corriente Norton, es la corriente que circula por el cortocircuito del terminal Aal terminal B, cuando estos han sido cortocircuitados.

• Rn, resistencia Norton, es una resistencia de valor igual a la resistencia Thevenin, es decir,Rn = Rt.

Respecto a la corriente Norton, esta se obtiene como la corriente que circula por el corto-circuito creado entre los terminales A y B del circuito original. Es importante notar que, si lacorriente Norton medida es la que circula de A a B, entonces la fuente de corriente del modeloNorton equivalente (Figura 7.16) apunta, de algun modo, de B a A, tal y como se muestra enla Figura 7.16. En cambio, si la corriente Norton que se mide como la corriente que circula deB a A, entonces la fuente de corriente Norton del modelo equivalente debe colocarse orientadade A a B


10V

1KΩ

5KΩ

1KΩ A

B

I1

I2

I3

C D

Figura 7.17: terminales A y B cortocircuitados para obtener la corriente Norton

Supongamos que se nos pide obtener el equivalente Norton del circuito de la Figura 7.10, quees el circuito del que anteriormente obtuvimos el equivalente Thevenin. El valor de la resistenciaNorton ya lo conocemos, pues el mismo valor que el de la resistencia Thevenin, y por tanto:

Rn =5500

3Ω

La corriente Norton es la corriente que circula del terminal A al terminal B cuando ambosterminales estan cortocircuitados (podrıa haberse decidido medir la corriente que circula deB a A, pero hemos optado por medir la corriente que va de A a B). La Figura 7.17 muestrael circuito con los terminales A y B cortocircuitados. Para resolver el circuito se empleara elmetodo de los nudos. La Figura 7.17 muestra corrientes asignadas a cada rama para aplicar elmetodo de los nudos, que sera empleado en el nudo D. Observese como la corriente I3 coincidecon la corriente que circula de A a B, los terminales del circuito cortocircuitados. Por tanto, lacorriente I3 coincide con la corriente Norton buscada.

La ecuacion del nudo D es la siguiente:

I1 = I2 + I3

Si sustituimos cada corriente pro su expresion segun la Ley de Ohm:

VC − VD

1000=

VD − VB

5000+

VD − VA

1000

Ademas, VC = 10, VB = VA = 0, y por tanto:

10− VD

1000=

VD

5000+

VD

1000

De donde

VD =50

11V

Y por tanto:

In = I3 =VD

1000=

1

220A

Y por tanto el circuito equivalente Norton es el de la Figura 7.18.Podemos usar ahora este equivalente Norton para, en efecto, ver que el valor de tension

existente entre los puntos A y B del circuito de la Figura 7.9 es el mismo que el obtenidocuando se uso el equivalente Thevenin, como serıa de esperar. La Figura 7.19 muestra el circuitooriginal (el de la Figura 7.9), donde se ha sustituido todo el subcircuito visto desde los puntosA y B, y hacia la izquierda, por su respectivo equivalente Norton. Usando el metodo de losnudos para resolverlo, se deduce, del nudo C, que:

7.4. RELACION THEVENIN-NORTON 143

A

B

In=1/220A Rn=5500/3Ω

Figura 7.18: equivalente Norton buscado

A

B

In=1/220A Rn=5500/3Ω 3KΩI1 I2

I3

C

Figura 7.19: como obtener la tension entre A y B en el circuito original

I1 = I2 + I3

Teniendo en cuenta que la corriente I1 coincide con la corriente que inyecta la fuente de corriente,y sustituyendo las otras corrientes por sus expresiones segun la Ley de Ohm:

1

220=

VAB

5500/3+

VAB

3000

Notese como, a diferencia de como solemos aplicar la Ley de Ohm, en este caso podemos usarla incognita VAB en vez de VA − VB para cada corriente, y ası resolver directamente el circuitosin necesidad de colocar una toma de tierra. El valor de VAB obtenido de la ecuacion anteriores:

VAB =150

29V

Que es justamente la tension VAB que obtuvimos cuando empleamos el equivalente Thevenin.

7.4. Relacion Thevenin-Norton

Cuando se pretende simplificar un circuito mediante el teorema de Thevenin o el teoremade Norton, podemos encontrarnos en el dilema de cual de ellos emplear. Esta cuestion, sinembargo, no tiene demasiada importancia, como ahora veremos.

Hemos visto como Thevenin y Norton permiten obtener un modelo equivalente asociadoa cualquier circuito lineal con dos terminales externos. El que ambos teoremas sean univer-salmente aplicables nos conduce a la siguiente pregunta: ¿por que no aplicar el mismo teoremade Norton a un circuito equivalente de Thevenin para obtener ası el equivalente de Nortonasociado a un circuito equivalente de Thevenin? O a la inversa, ¿por que no aplicar el teoremade Thevenin a un circuito equivalente de Norton para ası obtener el equivalente de Theveninasociado a un circuito equivalente de Norton?

La idea que hay detras de estas preguntas es la misma: dado un equivalente de Thevenin ode Norton, obtener el equivalente de Norton y de Thevenin asociado respectivamente. ¿Existealguna relacion matematica, a ser posible sencilla, que nos permita transformar un equivalenteThevenin en un equivalente Norton, y a la inversa? La respuesta es sı, y se puede deducirfacilmente aplicando el mismo teorema de Norton a un circuito equivalente de Thevenin generico


+−

A

B

Vt

Rt

Figura 7.20: equivalente Thevenin generico

+−

A

B

Vt

Rt

In

Figura 7.21: hallando el equivalente Norton de un Thevenin generico

(podrıa hacerse al reves: aplicar el teorema de Thevenin a un equivalente de Norton generico).La idea es obtener el equivalente Norton de un circuito equivalente Thevenin general, de modoque podamos transformar uno en otro rapidamente, sin necesidad de tener que obtenerlo delcircuito original (lo cual puede ser complicado). Supongamos el circuito equivalente de Theveningenerico de la Figura 7.20.

¿Cual es equivalente Norton asociado a ese equivalente Thevenin generico? Para obtenerlo,podemos proceder tal y como se explico en la seccion 7.3.

La corriente Norton es la corriente que circula del terminal A al terminal B cuando ambosterminales han sido cortocircuitados (Figura 7.21).

Del circuito de la Figura 7.21 se deduce que la corriente Norton del equivalente Theveningenerico toma la expresion:

In =Vt

Rt

¿Como obtener la resistencia Norton asociada? Recuerdese que la resistencia Norton se obtienedel mismo modo que la resistencia Thevenin: se anulan las fuentes internas y se obtiene laresistencia medida entre los dos terminales externos. Si anulamos la unica fuente interna, quees la fuente de la resistencia Thevenin, sustituyendola por un cortocircuito, el circuito quenos queda consiste en una unica resistencia de valor Rt, cuyos terminales coinciden con losterminales externos A y B. La resistencia Norton asociada, por tanto, es igual a Rt:

Rn = Rt

Se deduce pues que el equivalente Norton asociado a uno Thevenin de tension Thevenin Vt

y resistencia Thevenin Rt es uno formado por una fuente de corriente de valor Vt/Rt, y deresistencia Norton igual a la resistencia Thevenin Rt. Tenemos una equivalencia, por tanto,como la de la Figura 7.22.

Todo circuito lineal es equivalente a un modelo Thevenin y a un modelo Norton,y a su vez, estos son equivalentes entre sı, siendo la relacion existiente entre ellos

A

BCircuito lineal +

−

A

B

Vt

Rt

In Rn

In=Vt/Rt

Rn=RtA

B

Figura 7.22: relacion existente entre los modelos de Thevenin y de Norton

7.4. RELACION THEVENIN-NORTON 145

la dada por las ecuaciones:

Rn = Rt (7.1)

In =Vt

Rt

(7.2)

Podemos comprobar que esta relacion, en efecto, se cumple en los equivalentes Thevenin yNorton que obtuvimos anteriormente. El equivalente Thevenin obtenido en la seccion 7.2 tenıa,como parametros caracterısticos, los siguientes:

Vt =25

3V

Rt =5500

3Ω

A su vez, el equivalente Norton obtenido en la seccion 7.3, obtenido del mismo circuito que elde la seccion 7.2, tenıa, como parametros caracterısticos:

In =1

220A

Rn =5500

3Ω

Se puede comprobar facilmente que la relacion existente entre el equivalente de Thevenin y deNorton de ambos circuitos es la que justamente acabamos de hallar (ecuaciones (7.1) y (7.2)):

In =Vt

Rt

Ya que:1

220=

25/3

5500/3

Ademas, las resistencias de Thevenin y de Norton son iguales.Se aprecia pues que, dado un equivalente Thevenin o un equivalente Norton, obtener el

equivalente simetrico (Norton y Thevenin respectivamente) es una tarea trivial, pues la relacionexistente entre los modelos Thevenin y Norton de un circuito dado viene dada por las dosecuaciones Rn = Rt y In = Vt/Rt. Ası por ejemplo, sabiendo las relaciones existentes entreel equivalente Norton y el equivalente Thevenin, el Norton de la seccion 7.3 se podrıa haberobtenido directamente del Thevenin de la seccion 7.2 haciendo uso de las ecuaciones In =Vt/Rt = (25/3)/(5500/3) = 1/220A ası como Rn = Rt = 5500/3Ω.

En general, se puede decir que una fuente de tension de valor V conectada a una resistenciaen serie de valor R, se puede sustituir por una fuente de corriente de valor V/R conectada a unaresistencia en paralelo de valor R. A la inversa, una fuente de corriente de valor I conectada auna resistencia en paralelo de valor R, puede sustituirse por una fuente de tension de valor IR,conectada a una resistencia en serie de valor R. Todo esto se resume en la Figura 7.22. Cuandouna fuente de corriente se transforma en una de tension, o a la inversa, tal y como se muestraen la Figura 7.22, es importante preservar la orientacion de las fuentes: si la fuente de tensiontiene su polo positivo apuntando hacia un extremo, digamos A, entonces la fuente de corrientepor la que se sustituye tambien debe apuntar hacia A.

Es importante mantener en mente esta ultima equivalencia: en muchos circuitos hay pre-sentes fuentes de tension conectadas a resistencias en serie, ası como fuentes de corriente conec-tadas a resistencias en paralelo. Puede convenirnos, en ciertas circunstancias, transformar unmodelo en otro, y viceversa.


7.5. Teoremas, ejercicios

Ejercicio 7.1: Para el circuito de la Figura 7.23, se pide determinar el equivalente Theveninmedido entre los terminales A y B.

18mA

-18V

2KΩ

1KΩ 6KΩ

1KΩ

A B


Solucion

Antes de comenzar propiamente dicho con este ejemplo, quizas sea conveniente remarcarun pequeno detalle. Quizas resulte extrano que se nos pida el equivalente Thevenin del circuitode la Figura 7.23. El equivalente Thevenin puede hallarse de todo circuito lineal con dosterminales externos, tal y como se explico convenientemente en la seccion 7.2. La preguntaes si en eso de la Figura 7.23, los terminales A y B son, en efecto, terminales externos. Cuandose habla de terminales externos en el teorema de Thevenin, no nos referimos mas que a dospuntos cualesquiera del circuito. Cualesquiera dos puntos del circuito pueden ser consideradoslos terminales externos de los que habla el teorema, y por tanto A y B pueden ser consideradoscomo tales, a pesar de que no tengan el aspecto de un terminal externo sano y alegre como losde la Figura 7.8. Esta pequena parrafadilla no es mas que una tonterıa si se entiende la esenciadel teorema de Thevenin; aun ası, prefiero dejar claro este detalle, para que no nos llevemossorpresas a la hora de hallar ningun Thevenin.

Para obtener el circuito equivalente Thevenin del circuito de la Figura 7.23, debemos hallartanto la tension Thevenin como la resistencia Thevenin. La tension Thevenin es la que se mideentre los terminales A y B, es decir, VAB = VA−VB (aunque tambien se podrıa haber optado pormedir la tension VBA = VB −VA, si bien optamos por medir VAB. Recuerdese que, dependiendode la tension medida, la fuente de tension Thevenin del equivalente estara orientada hacia unlado u otro (en lo que a polaridad se refiere). La resistencia Thevenin es la que se mide entrelos puntos A y B, tras anular todas las fuentes internas.

Comencemos por la resistencia Thevenin. Tras anular las fuentes del circuito (las de corrientese sustituyen por circuitos abiertos y las de tension por cortocircuitos), nos queda un conjuntode resistencias como el de la Figura 7.24.

Es importante fijarse en el detalle de como la rama de la fuente de corriente ha sido direc-tamente suprimida, ya que esta se transforma en un circuito abierto, y en general, en cualquiercalculo relacionado con el calculo de resistencias equivalentes, las ramas donde hay presentescircuitos abiertos pueden omitirse sin influir en el resultado de la resistencia equivalente bus-cada.

Comenzamos asociando en paralelo el cortocircuto que esta conectado en paralelo a laresistencia de 1KΩ. El resultado es el de la Figura 7.25.

7.5. TEOREMAS, EJERCICIOS 147

2KΩ

1KΩ 6KΩ

1KΩ

A B

Figura 7.24: tras anular las fuentes internas

2KΩ

6KΩ

1KΩ

A B

Figura 7.25: obteniendo la resistencia Thevenin

El siguiente paso es el de asociar las resistencias de arriba, de 2KΩ y 1KΩ, en serie,obteniendose otra equivalente de 3KΩ, como se aprecia en la Figura 7.26.

A continuacion, y por ultimo, se asocian en paralelo las resistencias de 3KΩ y 6KΩ,obteniendose la resistencia Thevenin buscada, de 2000Ω, tal y como se muestra en la Figu-ra 7.27. Observese que la resistencia Thevenin es la medida entre las terminales A y B, y portanto, las asociaciones llevadas a cabo durante el proceso de su obtencion no pueden eliminara ninguno de esos dos puntos.

Tenemos pues que:

Rt = 2000Ω

Para obtener la tension Thevenin, calculamos la diferencia de tension entre A y B en el circuitooriginal (Figura 7.23). La Figura 7.28 muestra las corrientes asignadas a las ramas del circuitopara su resolucion mediante el metodo de los nudos. Las ecuaciones obtenidas son:

I1 + I2 = I3 (Nudo C)

I3 = I4 (Nudo B)

Observese como la ecuacion del nudo B es un tanto aplatanadamente estupida. La ecuaciondel nudo B nos dice que las corrientes I3 e I4 son iguales; obviamente es ası, dado que ambascorrientes circulan por la misma rama. Esa ecuacion viene a decirnos, pues, que dicha corrientepuede escribirse de dos modos, uno como la corriente que atraviesa la resistencia de 6KΩ yotro como la corriente que atraviesa la resistencia de 1KΩ.

Si sustituimos cada corriente por su valor dado por la Ley de Ohm, y consideramos que


6KΩ

A B

3KΩ


A

B

2000Ω

Figura 7.27: resistencia Thevenin

18mA

-18V

2KΩ

1KΩ 6KΩ

1KΩ

A B

I1

I2I3

I4

C

Figura 7.28: obteniendo la tension Thevenin


A

B

-30V

2KΩ


segun la fuente de tension VA = −18 y que segun la de corriente I1 = 18 · 10−3, obtenemos:

I1 = 18 · 10−3

I2 =VA − VC

2000

I3 =VC − VB

1000

I4 =VB

6000VA = −18

⇒

18 · 10−3 +− 18− VC

2000=

VC − VB

1000VC − VB

1000=

VB

6000

De donde:VB = 12V, VC = 14V

La tension Thevenin es la medida entre A y B, y por tanto:

Vt = VA − VB = −18− 12 = −30V

El equivalente Thevenin que se obtiene es, por tanto, el de la Figura 7.29. Observese como lafuente de tension Thevenin, de valor −30V , esta orientada con el polo positivo hacia el terminalA, y el negativo hacia el B. Esto se debe, recordemos, a que hemos hallado la tension TheveninVAB. Si hubieramos hallado la tension VBA, la polaridad de la fuente de tension deberıa estarinvertida.

Ejercicio 7.2: Calcular el circuito equivalente Thevenin del circuito de la Figura 7.30, medidoentre los terminales A y B. A partir de el, obtener el equivalente Norton.

A

B

1mA

5V

1KΩ 1KΩ

1KΩ 1KΩ


Solucion


A

B

1KΩ 1KΩ

1KΩ 1KΩ


A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ


En primer lugar obtenemos la resistencia Thevenin. La resistencia Thevenin es la resistenciaequivalente que se mide entre los terminales A y B, cuando se han anulado todas las fuentesinternas. Tras sustituir la fuente de corriente por un circuito abierto y la de tension por uncortocircuito, nos queda el conjunto de resistencias de la Figura 7.31.

El circuito abierto de la izquierda puede asociarse en serie con la resistencia de 1KΩ queesta situada en su misma rama, quedando como resultado otro circuito abierto, tal y como semuestra en la Figura 7.32.

Por ultimo, se puede asociar en paralelo el circuito abierto con la resistencia de 1KΩ a laque esta conectada, quedando el conjunto de resistencias de la Figura 7.33.

De la Figura 7.33 se puede apreciar que, tal y como se dijo en el ejemplo anterior, directa-mente se podrıa haber suprimido la rama en la que se situaba la fuente de corriente a la horade hallar la resistencia Thevenin: el resultado no se habrıa visto alterado.

A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ



A

B

5V

1KΩ 1KΩ

1KΩ 1KΩ

I1 I2


La resistencia equivalente medida entre los terminales A y B es trivial, y su valor es de:

Rt =2000

3Ω

La tension Thevenin es la tension que se mide entre los terminales A y B (VAB) del circuitooriginal. Para obtener la tension Thevenin vamos a aplicar el principio de superposicion. Si bienen este ejemplo no nos supone una gran ayuda, ası lo pondremos en practica.

Supongamos que solo actua la fuente de tension, anulando la de corriente. El circuito quenos queda es el de la Figura 7.34, en el que se aprecia que se ha sustituido la fuente de corrientepor un circuito abierto, y donde se ha colocado la toma de tierra conectada a B para que ası latension VAB coincida con VA. El circuito sera resuelto por mallas. Las ecuaciones de malla quese obtienen supuestas las corrientes de malla del circuito de la Figura 7.34, son las siguientes:

0 = I2(1000 + 1000 + 1000)− 1000I1 (Malla de I2)

Hemos obviado la ecuacion de la malla de I1, pues directamente sabemos que la corriente I1 esnula, dado que coincide con la que circula por la rama en la que se encuentra el circuito abierto.La ecuacion de la malla de I2, bajo la condicion I1 = 0, se simplifica hasta obtenerse I2 = 0.Ahora bien, segun la Ley de Ohm, I2, corriente que circula por la resistencia que hay entre losterminales A y B, es:

I2 =VAB0

1000=

VA0 − VB0

1000=

VA0

1000= 0 ⇔

VA0 = 0

Supongamos ahora que solo actua la fuente de corriente. Nos queda entonces el circuito de laFigura 7.35, en el que se aprecia que la fuente de tension ha sido sustituida por un cortocircuito.La tension VAB la obtendremos mediante el metodo de las mallas. Dado que hay un generadorde corriente, a este se le debe asignar una polaridad ası como un valor de tension (Vg), quesera otra incognita del sistema de ecuaciones a resolver. Suponiendo las corrientes de mallaasignadas en la Figura 7.35, las ecuaciones de malla que se obtienen son las siguientes:

Vg = I1(1000 + 1000)− 1000I2 (Malla de I1)

0 = I2(1000 + 1000 + 1000)− 1000I2 (Malla de I2)

Ademas, la fuente de corriente impone la ecuacion:

I1 = 10 · 10−3


A

B

1KΩ 1KΩ

1KΩ 1KΩ

I1 I2

1mA Vg

+

-


A

B

1/3V

2000/3Ω

Figura 7.36: equivalente Thevenin

Esto se debe a que la corriente de malla I1 coincide con la corriente que la fuente de corrienteimpone en su rama. Tras resolver el sistema de ecuaciones se obtiene:

I1 = 1 · 10−3A, I2 =1

3000A, Vg =

5

3V

Ademas, I2 se puede reescribir, segun la Ley de Ohm, como:

I2 =VA1 − VB1

1000=

VA1

1000=

1

3000⇔

VA1 =1

3V

Para obtener la tension total en el punto A, la cual coincide con la tension Thevenin al habercolocado la tierra en B, debemos sumar cada uno de los valores parciales obtenidos de tension,es decir:

Vt = VA0 + VA1 = 0 +1

3=

1

3V

El equivalente Thevenin es por tanto el de la Figura 7.36. El equivalente Norton se puede obtenerdirectamente del Thevenin, aplicando las formulas de la equivalencia entre estos, estudiadas enla seccion 7.4. La relacion entre el modelo Thevenin y el Norton para que estos sean equivalentesesta dada por las ecuaciones:

In =Vt

Rt

Rn = Rt

De las cuales se obtiene, trivialmente:

In =1/3

2000/3= 5 · 10−4A

Rn =2000

3Ω


A

B

2000/3Ω5•10-4A

Figura 7.37: equivalente Norton

Teniendose que el equivalente Norton buscado es el de la Figura 7.37.

Ejercicio 7.3: Determinar el equivalente Norton entre A y B del circuito de la Figura 7.38.

A

B

1mA

2V

1KΩ

1V

1KΩ

1KΩ1KΩ


Solucion

Para obtener el equivalente Norton del circuito de la Figura 7.38 hallaremos tanto la re-sistencia Norton como la corriente Norton.

Pasemos pues a obtener la resistencia Norton, es decir, la resistencia medida entre los termi-nales A y B cuando se han anulado todas las fuentes internas. Si anulamos las fuentes internasdel circuito, obtenemos el conjunto de resistencias de la Figura 7.39. Asociando en serie elcircuito abierto con la resistencia de 1KΩ, obtenemos el conjunto de resistencias de la Figura7.40.

Al asociar en paralelo la resistencia de 1KΩ con el circuito abierto, se obtiene el conjunto deresistencias de la Figura 7.41. Observese como, tal y como ya se ha comentado con anterioridad,la rama donde se situa un circuito abierto puede ser directamente omitida a la hora de considerar

A

B

1KΩ 1KΩ

1KΩ 1KΩ

Figura 7.39: obteniendo la resistencia Norton


A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ


A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ


el calculo de la resistencia Norton. La resistencia equivalente que se obtiene del circuito de laFigura 7.41 es trivial, y su valor es de:

Rn =2000

3Ω

La corriente Norton es la corriente que circula por el cortocircuito entre A y B, cuando dichosterminales han sido cortocircuitados en el circuito original. La Figura 7.42 muestra el circuitooriginal en el que se han cortocircuitado los terminales A y B. En dicho circuito se han senaladolas corrientes que entran y salen del nudo C. Dado que los puntos A y B estan cortocirucitados, laresistencia de la corriente IC soporta una diferencia de tension nula, y por ella no podra circularcorriente, es decir, IC = 0. Deducimos pues que la rama de la corriente IC es superflua en loque al calculo de la corriente Norton respecta. En la Figura 7.43 se muestra el circuito conla rama de IC omitida para el calculo de la corriente Norton. Las corrientes, ademas, se hanrenombrado, junto con el nodo C, que no representa el mismo nodo C que el del circuito de laFigura 7.42.

Resolvamos el circuito mediante el metodo de los nudos, para obtener I3, que coincide con

A

B

1mA

2V

1KΩ

1V

1KΩ

1KΩ1KΩ

IaIbIc

C

Figura 7.42: hallando la corriente Norton


A

B

1mA

2V

1KΩ

1V

1KΩ

1KΩI1

I2I3

C

Figura 7.43: hallando la corriente Norton

A

B

1mA 2000/3Ω

Figura 7.44: equivalente Norton

la corriente de Norton buscada. Si aplicamos la ley de los nudos al nudo C, se tiene:

I1 = I2 + I3

Y sustituyendo las corrientes por sus respectivas expresiones (segun la Ley de Ohm y segun losvalores impuestos por las fuentes del circuito), obtenemos:

10 · 10−3 =VC − 1

1000+

VC

1000

De donde se deduce facilmente que VC = 1, y la corriente I3 es:

I3 =VC

1000=

1

1000= 1 · 10−3A

Que coincide con la corriente Norton, como habıamos dicho, es decir:

In = 1 · 10−3A

El equivalente Norton que se obitiene es, por tanto, el de la Figura 7.44. Recuerdese que, dadoque la corriente Norton que se obtuvo del circuito original era la que circulaba de A a B,entonces la fuente de corriente Norton ha de aparecer orientada, en el equivalente Norton, deB a A, y su valor ha de ser justamente el de la corriente Norton hallada.

Ejercicio 7.4: Se pide obtener el valor de la tension Vo en el circuito de la Figura 7.45. Serecomienda, para su resolucion, hallar el equivalente Thevenin desde el punto A hasta tierra, yhacia la izquierda. Notese que β = 200.

Solucion


10V

82KΩ 4KΩ

18KΩ 1KΩ

βIB

IB

Vo

0,7VA


Este circuito representa el modelo lineal de un transistor bipolar de union npn en regionactiva. Por ahora, esto nos importa bien poco: para nosotros, este circuito no es mas que unomas. En un futuro no muy lejano nos familiarizaremos con el, mas a fondo.

Para resolver este circuito se nos sugiere que hagamos el Thevenin del subcircuito quese ve desde el punto A hacia tierra, y hacia la izquierda. Para poder apreciar que en efectopodemos obtener el Thevenin de esta parte del circuito, es conveniente redibujarlo. El cirucitode la Figura 7.46 es equivalente al de la Figura 7.45, dado que en los dos puntos a los que sesuministraba una tension de 10V (parte superior de las resistencias de 82KΩ y de 4KΩ) siguenteniendo una tension de 10V .

El Thevenin que se nos pide hacer para simplificar el circuito es el que marca la flecha quese extiende desde el punto A al punto B, y hacia la izquierda.

La Figura 7.47 muestra el subcircuito del que se obtendra el equivalente Thevenin.La resistencia Thevenin es trivial, y su valor es igual al paralelo de las resistencias de 18KΩ

y 82KΩ:

Rt = 82000||18000 = 14760Ω

Ademas, la tension Thevenin es la de un divisor de tension:

Vt = VAB = 10 ·(

18000

18000 + 82000

)

= 1,8V

Una vez sustituido en el circuito original el respetivo equivalente Thevenin, obtenemos uncircuito simplificado, como el de la Figura 7.48.

Resolvamos el circuito de la Figura 7.48 mediante el metodo de los nudos. Notese que lospuntos marcados como A y B en el circuito de la Figura 7.48 no estan relacionados con lospuntos A y B senalados en el circuito de la Figura 7.46.

De nudo E se deduce:

IB + IC = IE

Tengamos en cuenta que la corriente IC coincide con la corriente que la fuente dependiente decorriente inyecta en su rama, y por ende:

IC = βIB


10V

82KΩ 4KΩ

18KΩ 1KΩ

βIB

IB

Vo

0,7VA

B

10V

Figura 7.46: circuito de la Figura 7.45, redibujado

82KΩ

18KΩ

A

B

10V

Figura 7.47: subcircuito del que obtener el Thevenin

10V

4KΩ

1KΩ

βIB

IB

Vo

0,7VA B

1,8V

14760Ω

IC

IE

E

Figura 7.48: circuito original, simplificado


De donde:

IB + βIB = IE ⇔(β + 1)IB = IE

Si ahora se sustituye cada corriente por la expresion que las define segun la Ley de Ohm, seobtiene:

(β + 1)

(

VA − VB

14760

)

=VE

1000

Ahora bien, segun la fuente de tension de 1,8V , VA = 1,8; como ademas β = 200 y la fuentede tension de 0,7V implica que VB − VE = 0,7 ⇒ VE = VB − 0,7, si sustituimos todas estasecuaciones en la ecuacion del nudo E, tenemos:

201

(

1,8− VB

14760

)

=VB − 0,7

1000

De donde se obtiene:VB = 1,725V

Ası,

IB =1,8− 1,725

14760= 5,098 · 10−6A

Y por tanto, como IC = βIB, se tiene:

IC = 200IB = 1,0196 · 10−3A

Pero ademas:

IC =10− Vo

4000= 1,0196 · 10−3 ⇔

Vo = 5,921V

Ejercicio 7.5: Se pide calcular el equivalente Norton entre los terminales A y B del circuitode la Figura 7.49, y a partir de el, el equivalente Thevenin.

A

B

10V10mA

10mA

10V

1KΩ

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ


Solucion

Para obtener el equivalente Norton, debemos obtener tanto la resistencia Norton como lacorriente Norton.


A

B

1KΩ

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ

(1) (2)


A

B

1KΩ

1KΩ1KΩ


La resistencia Norton es la resistencia equivalente que se mide entre los terminales A y Bcuando las fuentes internas del circuito han sido anuladas. La Figura 7.50 muestra el circuitooriginal con las fuentes anuladas.

En la Figura 7.50, el conjunto englobado en lineas discontinuas denominado (1) se reducea una resistencia de 1KΩ, ya que la rama que contiene el circuito abierto puede ser omitidapara el calculo de la resistencia equivalente. A su vez, el conjunto denominado (2) se reduce aun circuito abierto. Al final, la resistencia de 1KΩ que se obtiene del conjunto (1) es asociadaen serie con el circuito abierto que se obtiene del conjunto (2), quedando, en efecto, un circuitoabierto, y simplificandose el conjunto de resistencias al que se muestra en la Figura 7.51.

Del conjunto de resistencias de la Figura 7.51 se obtiene que la resistencia equivalente medidaentre A y B, que coincide con la resistencia Norton, es:

Rn =2000

3Ω

La corriente Norton es la corriente que circula por el cortocircuito que se crea entre los puntosA y B. La Figura 7.52 muestra el circuito original con los terminales A y B cortocircuitados,ası como la corriente In, corriente Norton, que debemos calcular.

Respecto a este circuito, es importante hacer hincapie en dos aspectos.En primer lugar, la fuente de tension con la resistencia en serie (senalada en (1)) puede ser

sustituida por una fuente de corriente con resistencia en paralelo (ver seccion 7.4). El valor dedicha fuente de tension es igual a 10/1000A, que coincide con el cociente entre el valor de lafuente de tension y el de la resistencia en serie. La resistencia en paralelo es igual a la resistenciaque hay conectada en serie a la fuente de tension.

Por otro lado, hemos de ver que, dado que los puntos A y B estan cortocircuitados, lacorrienteque circula por la resistencia de 1KΩ que esta englobada en (2) es nula (consecuencia


A

B

10V10mA

10mA

10V

1KΩ

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ

IN

(1) (2)

IRC

D

Figura 7.52: obteniendo la corriente Norton

A

B

10mA

10mA

10V

1KΩ

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

InC

D

0,01A


directa de la Ley de Ohm). Por tanto, la rama de IR puede ser ignorada a la hora de resolverel circuito.

Teniendo en cuenta estos dos aspectos, el circuito de la Figura 7.52 se reduce al circuito dela Figura 7.53.

Se podrıa pensar ahora que haciendo estos cambios no hemos llegado a ninguna parte, perolo cierto es que, a partir de aquı, el calculo de la corriente Norton es trivial.

Si asociamos en paralelo las dos resistencias que se encuentran conectadas a los puntos C yD, obtendrıamos una resistencia de 500Ω situada entre los puntos C y D. Ahora bien, en esecaso, a partir del nudo C serıa trivial obtener la corriente que circularıa por dicha resistenciade 500Ω, y por tanto se podrıa obtener la diferencia de tension VCD, en base a la cual se puedeobtener la corriente In.

La Figura 7.54 muestra el circuito en el que se han asociado las dos resistencias de 1KΩ, yen el que se puede obtener, trivialmente, la tension VCD mediante el empleo de la ecuacion delnudo C:

I1 + I2 = I3

Sustituyendo los valores de I1 e I2 por los valores que imponen las fuentes de corriente, ysustituyendo I3 por su valor segun la Ley de Ohm, se tiene:

10 · 10−3 + 0,01 =VCD

500

De donde se obtiene:VCD = 10V

Si ahora volvemos al circuito de la Figura 7.53, tenemos que la corriente Norton es:

In =VCD

1000=

10

1000= 10 · 10−3A


10mA

10mA

10V

1KΩ

1KΩ

1KΩ

C

D

500Ω

I1

I2 I30,01A


A

B

10mA 2000/3Ω


Observese que, dado que la corriente Norton hallada es la que circula de A a B en la Figura7.52, la fuente de corriente Norton debe orientarse de B a A en el equivalente Norton. Se tieneque, por tanto, el equivalente Norton buscado es el de la Figura 7.55

Para obtener el equivalente Thevenin asociado, basta aplicar la equivalencia estudiada enla seccion 7.4. La relacion existente entre el equivalente Norton y el equivalente Thevenin deun circuito es:

Rt = Rn

Vt = InRn

De modo que la resistencia Thevenin es la misma que la resistencia Norton, y la tensionThevenin, la dada por:

Vt = InRn = 10 · 10−3 · 20003

=20

3V

Y por tanto, el equivalente Thevenin buscado es el que se muestra en la Figura 7.56.

Ejercicio 7.6: Se pide determinar la corriente Io mediante el principio de superposicion en elcircuito de la Figura 7.57.

A

B

20/3V

2000/3Ω



10V10mA

1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ1KΩIo


10mA

1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ1KΩ

Figura 7.58: circuito original con la fuente de tension anulada

Solucion

Para resolver este circuito mediante el principio de superposicion, supongamos primero quesolo actua la fuente de corriente (anulamos la fuente de tension). El circuito que queda es elque se muestra en la Figura 7.58.

En el circuito de la Figura 7.58 se ha senalado, mediante una flecha discontinua, un conjuntode resistencias que pueden ser asociadas para simplificar en analisis del circuito. Recuerdeseque se esta intentando obtener la corriente que circula por la resistencia de 1KΩ, vertical, quese situa en la rama inmediatamente a la derecha de la fuente de corriente. Por tanto, todo loenglobado por la flecha discontinua puede ser asociado para simplificar el analisis del circuito.La resistencia equivalente del conjunto de resistencias englobado por la flecha es 5000/3Ω. Sisustituimos dicho conjunto por su resistencia equivalente, obtenemos el circuito de la Figura7.59.

Del circuito de la Figura 7.59 es trivial obtener la corriente Io1, corriente que circula por

10mA

1KΩ

1KΩ 5000/3Ω

I1 I2

Io1

A

Figura 7.59: obteniendo la corriente Io1


10V

1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ1KΩ

Figura 7.60: circuito original con la fuente de corriente anulada

10V

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ1KΩ

I1 I2

Io2

Figura 7.61: obteniendo la corriente Io2

la resistencia vertical de 1KΩ (observese como se ha introducido una toma de tierra, cuyautilidad, realmente, es nula: podrıa haberse obtenido Io1 sin la necesidad de ella).

Aplicando el metodo de los nudos al nudo A del circuito de la Figura 7.59 se obtiene:

I1 = Io1 + I2

Si sustituimos cada corriente por su expresion por la Ley de Ohm, y en el caso de I1, por elvalor que impone la fuente de corriente, se tiene:

10 · 10−3 =VA

1000+

VA

5000/3

De donde se obtiene:VA = 6,25

Y por tanto:

Io1 =VA

1000= 6,25 · 10−3

Para seguir resolviendo el circuito mediante el principio de superposicion, supongamos que,ahora, solo actua la fuente de tension (anulamos la fuente de corriente). El circuito que seobtiene es el de la Figura 7.60.

En dicho circuito, una de las ramas contiene un circuito abierto, y por tanto por ella nopuede circular corriente, motivo por el cual puede ser omitida a la hora de resolver el circuito.La Figura 7.61 muestra el circuito de la Figura 7.60, pero con esa rama omitida.

La corriente que pretendemos obtener es la corriente Io2. Para resolver este circuito, usaremosel metodo de las mallas. Las ecuaciones de mallas que se obtienen, definidas las corrientes demalla de la Figura 7.61, son las siguientes:

10 = I1(1000 + 1000 + 1000)− 1000I2 (Malla de I1)

−10 = I2(1000 + 1000 + 1000)− 1000I1 (Malla de I2)



I1 = 2,5 · 10−3, I2 = −2,5 · 10−3

Como, ademas, I1 coincide con Io2, tenemos:

Io2 = 2,5 · 10−3

La corriente Io original buscada, del circuito de la Figura 7.57, aplicando el principio de super-posicion, es la suma de las dos corrientes parciales Io1 e Io2 obtenidas, es decir:

Io = Io1 + Io2 = 2,5 · 10−3 + 6,25 · 10−3 = 8,75 · 10−3A

Ejercicio 7.7: Se pide determinar el equivalente Norton, entre los terminales A y B, delcircuito de la Figura 7.62.

10V

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ

A

B


Solucion

Para obtener el equivalente Norton debemos obtener tanto la resistencia Norton como lacorriente Norton.

En primer lugar, obtengamos la resistencia Norton. La resistencia Norton es la resistenciaequivalente que se mide entre los terminales externos, A y B, cuando todas las fuentes inter-nas han sido anuladas. Si anulamos todas las fuentes del circuito nos queda el conjunto deresistencias de la Figura 7.63.

La resistencia equivalente del conjunto de resistencias de la Figura 7.63 es trivial, y su valores de 4000/7Ω, es decir:

Rn =4000

7Ω

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ

A

B



10V

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ

A

B

(1) (2)

In


10V

1KΩ 1KΩA

B

500Ω

I2I1

In


El siguiente paso es obtener la corriente Norton. La corriente Norton es la corriente que circulapor el cortocircuito que se crea entre los terminales externos A y B del circuito original. LaFigura 7.64 muestra el circuito original en el cual se han cortocircuitado los terminales A y B.

Observese que el conjunto de resistencias englobados en (1) estan conectadas en paralelo,ya que sus terminales externos son comunes; por tanto, las asociaremos. Ademas, la resistenciaenglobada en (2) puede ser omitida, debido a que sus terminales externos A y B estan corto-circuitados, y por tanto por ella no circula corriente. Si tenemos en cuenta estos dos detalles,el circuito de la Figura 7.64 puede simplificarse, obteniendo el circuito de la Figura 7.65.

El circuito de la Figura 7.65 puede resolverse facilmente mediante el metodo de las mallas.Si consideramos las corrientes de malla definidas en la Figura 7.65, obtenemos las siguientesecuaciones de malla:

10 = I1(1000 + 500)− 500I2 (Malla de I1)

0 = I2(1000 + 500)− 500I1 (Malla de I2)

De estas ecuaciones de malla se obtiene:

I1 = 7,5 · 10−3, I2 = 2,5 · 10−3

Como, ademas, la corriente I2 coincide con la corriente In, se tiene que la corriente Norton es:

In = 2,5 · 10−3A

El equivalente Norton buscado es, ası pues, el de la Figura 7.66.

Ejercicio 7.8: Determinar, mediante superposicion, la potencia consumida o generada por lafuente de corriente de valordel circuito de la Figura 7.67.


A

B

2,5•10-3A 4000/7Ω

Figura 7.66: el equivalente Norton buscado

10V

1KΩ

Is=10mA1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ


Solucion

Senalemos dos puntos de interes, A y B, y establezcamos una toma de tierra que nos ayudeen los calculos necesarios (Figura 7.68). Recuerdese que, al pedirnos la potencia consumida ogenerada por la fuente Is, necesitamos calcular la tension que dicha fuente de corriente soporta.Esa sera, de hecho, la incognita que obtendremos mediante el principio de superposicion. FijadosA, B y la toma de tierra, es evidente que la tension que soporta la fuente de corriente entresu extremo superior y su extremo inferior coincide con la tension en el punto A. Ası pues,obtendremos, mediante superposicion, la tension en A. Recuerdese, ademas, que el principio desuperposicion nos permite obtener tensiones o corrientes, pero no potencias, motivo por el cualdebemos obtener la tension que soporta la fuente, mas que obtener directamente su potencia.

Para resolver este circuito mediante el principio de superposicion, supongamos que, enprimer lugar, actua solamente la fuente de tension de 10V , de modo que la fuente de corri-ente es anulada. Cuando la fuente de corriente es anulada, esta es sustituida por un circuitoabierto, y por tanto la rama en la que se situa puede ser omitida para la resolucion del circuito.

En la Figura 7.69 se muestra el circuito original con la fuente de corriente anulada. Estecircuito sera resuelto mediante el metodo de las mallas. Las ecuaciones de malla que se obtienen,

10V

1KΩ

Is=10mA1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

A B

Figura 7.68: Ejemplo 7.8, con algunos puntos de interes y toma de tierra marcados


10V

1KΩ

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

I1 I2

A B

Figura 7.69: circuito original con la fuente de corriente anulada

supuestas las corrientes de malla de la Figura 7.69, son las siguientes:

10 = I1(1000 + 1000)− 1000I2 (Malla de I1)

0 = I2(1000 + 1000 + 1000 + 1000)− 1000I1 (Malla de I2)

De donde se obtiene, directamente:

I1 =1

175, I2 =

1

700

Ahora bien, I2, corriente que circula por la resistencia vertical de 1KΩ de la derecha, se puedeexpresar segun la Ley de Ohm, y obtener:

I2 =VB

1000=

1

700⇔

VB =10

7

Ademas, la corriente I2 tambien puede expresarse segun la expresion que impone la resistenciasituada entre los puntos A y B, como:

I2 =VA0 − VB

1000⇔

VA0 − 10/7

1000=

1

700⇔

VA0 =20

7V

Observese que la tension obtenida, VA0, coincide con la tension que soporta la fuente de corrienteentre su extremo superior y su extremo inferior, ya que la tension en su extremo inferior es ceropor estar conectada a la toma de tierra.

Obtengamos ahora la tension en el punto A cuando se anula la fuente de tension. Si se anulala fuente de tension, obtenemos el circuito de la Figura 7.70.

Es posible llevar a cabo una serie de simplificaciones en este circuito, que nos ayuden enla obtencion de la tension en A. Concretamente, las dos resistencias de 1KΩ de la izquierdapueden asociarse en paralelo, mientras que las dos resistencias de 1KΩ de la derecha, puedenasociarse en serie. El circuito resultante se muestra en la Figura 7.71.

El circuito de la Figura 7.71 se puede resolver facilmente aplicando el metodo de los nudosal nudo A. En dicho nudo, la ecuacion que se obtiene es:

I1 = I2 + I3


1KΩ

Is=10mA1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

A B

Figura 7.70: circuito original con la fuente de tension anulada

Is=10mA1500Ω 2000Ω

A

I1I2 I3

Figura 7.71: circuito de la Figura 7.70, simplificado

Si sustituimos cada corriente por la expresion que impone la Ley de Ohm o bien la fuente decorriente, se tiene:

10 · 10−3 =VA1

1500+

VA1

2000

De donde:

VA1 =60

7

La tension total que se mide en el punto A, aplicando el principio de superposicion, es la sumade cada una de las tensiones parciales obtenidas en A, es decir:

VA = VA0 + VA1 =20

7+

60

7=

80

7V

¿Cual es la potencia generada o consumida por la fuente de corriente? Para contestar a estapregunta, aplicaremos la expresion general de potencia (ecuacion (1.3)) a la fuente de corriente:dado que la corriente que consideraremos para la formula de la potencia atraviesa a la fuentehacia arriba (10 · 10−3), la tension que se debe tener en cuenta en la formula es la tension quese mide entre el extremo inferior y el extremo superior de la fuente, es decir, −VA. La potencia,por tanto, queda ası:

P = 10 · 10−3 ·(

−80

7

)

= − 4

35W

Como se trata de potencia negativa, se trata de potencia generada, es decir, potencia que lafuente de corriente pierde para que pueda ser aprovechada por el resto del circuito.

Ejercicio 7.9: Determinar el equivalente Thevenin del circuito de la Figura 7.72, visto desdelos terminales A y B.


A

B

1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

10mA


A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

10mA

2KΩ

Figura 7.73: Ejemplo 7.9, con algunas resistencias asociadas

Solucion

Antes de obtener el equivalente Thevenin, podemos asociar algunas resitencias para ası sim-plificar el analisis del circuito. Concretamente, las dos resistencias de 1KΩ que estan conectadasen serie pueden ser asociadas, obteniendose ası el circuito de la Figura 7.73.

Pasemos ahora a obtener la resistencia Thevenin. La resistencia Thevenin es la resistenciamedida entre los terminales A y B, anuladas las fuentes internas. Anuladas la fuente de corriente,obtenemos el conjunto de resistencias de la Figura 7.74. La resistencia equivalente medida entreA y B en l circuito de la Figura 7.74 es trivial, y su valor es de 1750Ω, es decir:

Rt = 1750Ω

La tension Thevenin es la tension medida entre los terminales A y B en el circuito original.Recuerdese que, como tension Thevenin, se puede medir tanto la diferencia de tension VAB comoVBA, siendo la unica diferencia la orientacion (en cuanto a polaridad) que tendra la fuente detension Thevenin en el equivalente; como de costumbre, nosotros mediremos la diferencia VAB.La Figura 7.75 muestra el circuito original, en el cual se ha colocado una toma de tierra y en elcual, ademas, se han definido una serie de corrientes para cada rama del circuito. Recuerdeseque por la rama de la resistencia de 1KΩ situada entre C y A no puede circular corriente, yaque termina en circuito abierto. Si aplicamos el metodo de los nudos considerando los nudos D

A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ2KΩ



A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

10mA

2KΩ CD

I1

I2 I3


A

B

2,5V

1750Ω

Figura 7.76: equivalente Thevenin buscado

y C, obtenemos las siguientes ecuaciones:

I1 = I2 + I3 (Nudo D)

I3 = I3 (Nudo C)

Aunque la ecuacion del nudo C pueda resultar un tanto evidente, lo que se pretende resaltares el hecho de que la corriente I3 puede escribirse de dos modos: como la corriente que entra alnudo C, es decir, como la corriente que atraviesa la resistencia de 2KΩ, y como la corriente quesale del nudo C, es decir, como la corriente que atraviesa la resistencia de 1KΩ situada entrelos puntos C y B.

Si ahora sustituimos cada corriente por su expresion segun la Ley de Ohm, y tenemos encuenta la presencia de fuentes de corriente y de tension, obtenemos:

I1 = 10 · 10−3

I2 =VD

1000

I3 =VD − VC

2000

I3 =VC

1000

⇒

10 · 10−3 =VD

1000+

VD − VC

2000VD − VC

2000=

VC

1000

Sistema de dos ecuaciones con dos incognitas del cual se obtiene:

VC = 2,5, VD = 7,5

Como, ademas, VC = VA al no circular corriente por la rama de la resistencia de 1KΩ que hayentre los puntos C y A, se tiene que la tension Thevenin es:

Vt = VAB = 2,5V

Y por tanto el equivalente Thevenin buscado es el de la Figura 7.76.


Ejercicio 7.10: Se pide determinar el equivalente Thevenin, y a partir de el, el Norton, delcircuito de la Figura 7.77, medido desde los terminales A y B. Se recomienda, para obtener latension Thevenin, aplicar el principio de superposicion.

A

B

10mA 10mA10V

1KΩ 1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ 1KΩ


Solucion

En primer lugar vamos a hallar la resistencia Thevenin. La resistencia Thevenin es la re-sistencia equivalente medida entre A y B cuando las fuentes internas han sido anuladas. Sianulamos las fuentes de corriente y las fuentes de tension, se obtiene el conjunto de resistenciasde la Figura 7.78.

La resistencia equivalente medida entre A y B en el conjunto de resistencias de la Figura7.78 es trivial, y su valor es de 7000/11Ω, es decir, la resistencia Thevenin es:

Rt =7000

11Ω

Para obtener la tension Thevenin, en efecto, vamos a aplicar el principio de superposicion.Supongamos que, en primer lugar, solo actua la fuente de tension (anulamos las de corriente).

Se obtiene entonces un circuito como el de la Figura 7.79. En dicho circuito, ademas, se hansenalado las corrientes de malla que usaremos para resolver el circuito. Las ecuaciones de mallaque se obtienen son las siguientes:

10 = 4000I1 − 1000I2 (Malla de I1)

0 = 3000I2 − 1000I1 (Malla de I2)


I1 =3

1100, I2 =

1

1100

A

B

1KΩ 1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ 1KΩ



A

B

10V

1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ 1KΩ

I1 I2


A

B

10mA 10mA

1KΩ 1KΩ 1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ 1KΩ

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

C D E


Teniendo en cuenta la expresion de I2 segun la Ley de Ohm, se deduce:

I2 =VA0

1000⇔

VA0 =10

11V

Y como VB0 = 0, entonces:

VAB0 =10

11V

Supongamos que ahora solo actuan las fuentes de corriente (anulamos la fuente de tension). Seobtiene entonces el circuito de la Figura 7.80.

Aplicando el metodo de los nudos al circuito de la Figura 7.80 se obtienen las siguientesecuaciones:

I1 = I2 + I3 (Nudo C)

I3 + I4 = I5 (Nudo D)

I5 = I6 + I7 (Nudo E)

I7 = I7 (Nudo A)

La ecuacion del nudo A debe resultarnos familiar, pues esta situacion ya la hemos tenido envarias ocasiones a lo largo de este libro. Esta ecuacion simplemente nos dice que la corrienteI7 puede escribirse de dos modos distintos: como corriente que entra al nudo A (corriente quecircula por la resistencia situada entre E y A), y como corriente que sale del nudo A (corrienteque circula por la resistencia situada entre A y B).

Si sustituimos cada corriente por la expresion que imponen tanto la Ley de Ohm como las


A

B

40/11V

7000/11Ω


fuente s de corriente, obtenemos:

I1 = 10 · 10−3

I2 =VC

1000

I3 =VC − VD

1000I4 = 10 · 10−3

I5 =VD − VE

1000

I6 =VE

1000

I7 =VE − VA

1000

I7 =VA

1000

⇒

10 · 10−3 =VC

1000+

VC − VD

1000VC − VD

1000+ 10 · 10−3 =

VD − VE

1000VD − VE

1000=

VE

1000+

VE − VA

1000VE − VA

1000=

VA

1000

Sistema del cual se obtiene:

VA1 =30

11V, VC =

130

11V, VD =

150

11V, VE =

60

11V

Y por tanto:

VAB1 =30

11V

Ya hemos obtenido los dos valores parciales de la diferencia de tension VAB, tension Thevenin.Para obtener la tension Thevenin real, basta aplicar el principio de superposicion, y sumarlos,obteniendo:

Vt = VAB = VAB0 + VAB1 =10

11+

30

11=

40

11V

Ası pues, el equivalente Thevenin serıa el de la Figura 7.81. El equivalente Norton se obtienedirectamente aplicando la relacion existente entre los equivalentes Thevenin y Norton (seccion7.4). Se obtiene que Rn = Rt = 7000/11Ω y que In = Vt/Rt = (40/11)/(7000/11) = 1/175A,obteniendose ası el equivalente Norton de la Figura 7.82.

Uno podrıa preguntarse por que carajo se recomendo, en el enunciado del ejercicio, hacer usodel principio de superposicion para resolver el circuito, si esta claro que no nos ha proporcionadoningun beneficio. La intencion, realmente, era la de incitar al lector a aplicar este principio.Hay que coger practica, nos resulte util aplicarlo o no. Ale, a aguantarse.

Ejercicio 7.11: Determinar el equivalente Thevenin del circuito de la Figura 7.83, medidodesde los terminales A y B.


A

B

1/175A 7000/11Ω


10V

10mA

1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ 1KΩ

A

B


Solucion

En primer lugar, obtengamos la resistencia Thevenin. La resistencia Thevenin es la resisten-cia que se mide entre los terminales A y B cuando se han anulado todas las fuentes internas.Tras anular la fuente de tension y la fuente de corriente, se obtiene el conjunto de resistenciasde la Figura 7.84.

La resistencia equivalente medida entre A y B del conjunto de la Figura 7.84 es trivial, ysu valor es de 400Ω. Por tanto:

Rt = 400Ω

La tension Thevenin es la tension medida entre A y B en el circuto original. Para simplificarel analisis del circuito, vamos a asociar en paralelo las dos resistencias verticales de 1KΩ dela derecha. Notese que, al asociarlas, los puntos marcados como A y B siguen existiendo, ypor tanto la tension VAB podra medirse en el circuito simplificado. Ademas, al asociar estasdos resistencias, habremos eliminado una malla del circuito, con lo cual el analisis se simpli-ficara bastante. El circuito resultante es el mostrado en la Figura 7.85. Se han senalado, endicha figura, las corrientes en las ramas del circuito, para resolverlo por el metodo de los nudos.

1KΩ 1KΩ

1KΩ1KΩ 1KΩ

A

B



10V

10mA

1KΩ 1KΩ

1KΩ

A

B

500Ω

I1

I2

I3

CD


A

B

4V

400Ω


Si se aplica el metodo de los nudos a los nudos C y A, se obtienen las siguientes ecuaciones:

I1 + I2 = I3 (Nudo C)

I3 = I3 (Nudo A)

La ecuacion del nudo A nos indica que la corriente I3 puede expresarse de dos modos: comocorriente que atraviesa la resistencia de 1KΩ situada entre C y A (corriente que entra en A),y como corriente que atraviesa la resistencia de 500Ω. Si sustituimos cada corriente por suexpresion impuesta por la Ley de Ohm, y tenemos en cuenta que VD = 10 segun la fuente detension, ası como que I2 = 10 · 10−3 debido a la fuente de corriente, se tiene:

I1 =10− VC

1000I2 = 10 · 10−3

I3 =VC − VA

1000

I3 =VA

500VA = −18

⇒

10− VC

1000+ 10 · 10−3 =

VC − VA

1000⇔

VC − VA

1000=

VA

500

Sistema de ecuaciones del cual se deduce:

VA = 4V, VC = 12V

Y por tanto la tension Thevenin, VAB, es:

Vt = VAB = 4V

Se tiene pues que el equivalente Thevenin buscado es el de la Figura 7.86.


A

B

5V

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ1KΩ


A

B

5V

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ1KΩI1

I2

I3

P


Ejercicio 7.12: Se pide calcular el equivalente Thevenin, medido entre los terminales A y B,del circuito de la Figura 7.87.

Solucion

En este ejemplo vamos a comenzar obteniendo la tension Thevenin, dado que su calculo essensiblemente mas sencillo que el de la resistencia Thevenin.

Supongamos la toma de tierra y corrientes de malla que se indican en el circuito de la Figura7.88. Las ecuaciones de malla que se obtienen son las siguientes:

5 = 3000I1 − 1000I2 − 1000I3 (Malla de I1)

0 = 3000I2 − 1000I1 − 1000I3 (Malla de I2)

0 = 3000I3 − 1000I1 − 1000I2 (Malla de I3)

Del cual se obtiene:

I1 = 2,5 · 10−3, I2 = 1,25 · 10−3, I3 = 1,25 · 10−3

I1 puede ser escrita como corriente que atraviesa la resistencia situada justo encima de la fuentede tension segun la Ley de Ohm:

I1 =VP − VA

1000Ahora bien, VP = 5 segun la fuente de tension, y por tanto:

I1 = 2,5 · 10−3 =5− VA

1000⇔

VA = 2,5


A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ1KΩ


A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ1KΩ

A

B

Req


Y por tanto, la tension Thevenin es:

Vt = VAB = 2,5V

Mas complicado es obtener la resistencia Thevenin. Tras anular las fuentes internas del circuito(la fuente de tension de 5V ), obtenemos el conjunto de resistencias que se muestra en la Figura7.89.

El problema de este conjunto de resistencias es el hecho de que, por desgracia, no puedesimplificarse mediante convencionales asociaciones en serie o en paralelo. Se trata de un conjuntode resistencias que, al igual que otros ya vistos a lo largo de este libro, requieren ser simplificadosmediante el procedimiento general que, en su dıa, se explico en la seccion 4.1, y que ha sidoaplicado a varios ejercicios a lo largo de este libro.

Recuerdese que dos circuitos con dos terminales externos son equivalentes si muestran lamisma relacion entre la tension aplicada a sus dos terminales externos y las corrientes de entraday de salida.

Al buscar la resistencia equivalente del conjunto de resistencias de la Figura 7.89, se esta in-tentando buscar una equivalencia como la de la Figura 7.90, en el sentido de que, ante unadeterminada tension aplicada a los terminales A y B, ambos circuitos produzcan la misma cor-riente de entrada o de salida (recuerdese que la corriente de entrada coincide con la de salida).En suma, lo que se busca es que la relacion existente entre la tension en los terminales A y By la corriente de entrada o salida sea igual en ambos circuitos.

Para obtener el valor de Req que consigue que, en efecto, ambos circuitos sean equivalentes,aplicaremos a ambos circuitos una misma tension V entre los terminales A y B, e igualaremos lasexpresiones de las corrientes de entrada (o de salida), para ası despejar el valor de la incognitaReq.

La Figura 7.91 muestra el conjunto de resistencia original, al que se le ha aplicado una


A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ

1KΩ

1KΩ1KΩ

+− VI1

I2

I3

I4

Iin1

Iout1


tension generica V a sus terminales A y B, y del cual se piensa obtener la corriente de entrada(o de salida) Iin1 (que es igual a Iout). Para obtener el valor de Iin se va a aplicar el metodode las mallas. En este caso, objetivamente hablando, el ejercicio es algo engorroso, ya que seobtiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incognitas, a saber:

−V = 2000I1 − 1000I4 − 1000I3 (Malla de I1)

0 = 3000I2 − 1000I4 − 1000I3 (Malla de I2)

0 = 3000I3 − 1000I2 − 1000I1 − 1000I4 (Malla de I3)

0 = 3000I4 − 1000I2 − 1000I3 − 1000I1 (Malla de I4)

Sistema de ecuaciones del cual se obtiene:

I1 = − V

500,I2 = − V

1000,I3 = − 3V

2000,I4 = − 3V

2000

La corriente I1 coincide con la corriente de entrada del circuito, y por tanto:

Iin1 = − V

500

Centremonos ahora en el circuito de la resistencia equivalente. Si a dicho circuito le aplicamosuna tension generica V , la corriente de entrada (o de salida) es trivial, y se obtiene directamenteaplicando la Ley de Ohm (Figura 7.92):

Iin2 =−V

Req

Recuerdese que, para que ambos circuitos sean equivalentes, las expresiones que relacionan latension aplicada y la corriente de entrada (o de salida), han de ser iguales. Por tanto, para queello sea cierto, debera cumplirse que las corrientes de entrada de ambos circuitos sean igualespara cualquier valor de tension V , es decir:

Iin1 = Iin2 ⇔−V

500=

−V

Req

⇔

Req = 500Ω

Por tanto, la resistencia Thevenin, que es la resistencia equivalente medida entre los terminalesA y B, es:

Rt = 500Ω

Quedando el equivalente Thevenin buscado como se representa en la Figura 7.93.


+− VReq

A

B

Iin2

Iout2


A

B

2,5V

500Ω


Ejercicio 7.13: Determinar el equivalente Norton del circuito de la Figura 7.94, medido entrelos terminales J y F.

J

F

10V

20V

1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ2KΩ


Solucion

En primer lugar hallemos la resistencia Norton. La resistencia Norton es la resistencia equiv-alente medida entre J y F cuando se han anulado todas las fuentes internas. Tras anular lasfuentes internas queda un circuito como el de la Figura 7.95.

La resistencia equivalente medida entre J y F de dicho circuito es trivial, y su valor es de12000/7Ω. Por tanto:

Rn =12000

7Ω

La corriente Norton es la corriente que circula por el cortocircuito creado entre los terminalesexternos (J y F) en el circuito original. Recuerdese que se pueden obtener dos corrientes Norton,la que circula de J a F o la que circula de F a J; el hallar una u otra nos indicara hacia donde


J

F

1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ2KΩ


J

F

10V

20V

1KΩ

1KΩ

1KΩ

1KΩ2KΩ

I1 I2 I3

In


debera de orientarse la fuente de corriente Norton en el equivalente Norton. Hallemos la corrienteNorton como la que circula de J a F.

La Figura 7.96 muestra el circuito original en el que se han cortocircuitado los terminalesexternos J y F. Ademas, en dicho circuito se han senalado las corrientes de malla que se usaranpara su resolucion. Tambien se ha detacado la corriente Norton In, la cual, observese, coincidecon la corriente de malla I3. Las ecuaciones de malla que se obtienen del circuito son lassiguientes:

−10 = 2000I1 − 1000I2 (Malla de I1)

20 = 4000I2 − 1000I1 − 1000I3 (Malla de I2)

0 = 2000I3 − 1000I2 (Malla de I3)


I1 = −2,5 · 10−3, I2 = 5 · 10−3, I3 = 2,5 · 10−3

Como I3 coincide con la corriente Norton, entonces:

In = 2,5 · 10−3A

De este modo se tiene que el equivalente Norton del circuito original es el de la Figura 7.97.Observese que, al haber calculado In como la corriente que circula de J a F, en el equivalente,la fuente de corriente Norton debe estar orientada de F a J.

Ejercicio 7.14: Obtener el equivalente Thevenin del circuito de la Figura 7.98, medido desdelos terminales A y B.


2,5mA 12000/7Ω

J

F


A

B

5V

1KΩ

1KΩ 1KΩ


Solucion

Comencemos obteniendo la resistencia Thevenin. La resistencia Thevenin es la resistenciamedida entre los terminales externos, A y B, cuando se han anulado las fuentes internas. Sianulamos la fuente de tension, nos queda el conjunto de resistencias de la Figura 7.99.

La resistencia equivalente medida entre A y B en dicho circuito es trivial, y su valor es de500Ω. Por tanto:

Rt = 500Ω

La tension Thevenin es la tension que se mide entre los terminales externos A y B en el circuitooriginal. La Figura 7.100 muestra el circuito original en el que se han senalado corrientes demalla para su resolucion mediante el metodo de las mallas.

Las ecuaciones de malla que se obtienen del circuito son:

5 = 1000I1 − 1000I2 (Malla de I1)

0 = I2(1000 + 1000 + 1000)− 1000I1 (Malla de I2)


I1 = 7,5 · 10−3, I2 = 2,5 · 10−3

Como I2 puede reescribirse en funcion de la tension VAB segun la Ley de Ohm, podemos obtener

A

B

1KΩ

1KΩ 1KΩ



A

B

5V

1KΩ

1KΩ 1KΩ

I1 I2


A

B

2,5V

500Ω


facilmente el valor de la tension Thevenin (VAB):

I2 =VAB

1000= 2,5 · 10−3 ⇔VAB = 2,5V

Por tanto, la tension Thevenin es:

Vt = VAB = 2,5V

Y el equivalente Thevenin el de la Figura 7.101.

Indice alfabetico

Asociacionesconcepto, 31en paralelo, 45de bobinas, 48de condensadores, 51de corriente, 54de resistencias, 46de tension, 53

en serie, 34de bobinas, 35de condensadores, 39de fuentes de corriente, 44de fuentes de tension, 40

perdida de informacion, 58

Bobina, 11

Circuito, 21Condensador, 13Corriente, 3

continua, 1

Diferencia de potencial, 1Divisor de tension, 124

Energıa, 3principio de conservacion de la, 19

Entrada de un circuito, 119Equivalencia

fuentes de corriente, 56fuentes de tension, 43

Fuente decorriente, 18tension, 15

Kirchhoffley de las mallas de, 27ley de los nudos de, 24leyes de, 21

Ley de las mallas, 27Ley de los nudos, 24Ley de Ohm, 7Leyes de Kirchhoff, 21

Linealidad, 127

Metodo de las mallas, 94Metodo de los nudos, 62Malla, 23

Nodo, 21Norton

relacion con Thevenin, 143teorema de, 141

Nudo, 21principal, 21

Operador lineal, 127

Potencia, 3Principio de superposicion, 127

Rama, 22Resistencia, 9

Salida de un circuito, 119Superposicion

principio de, 127

Tension, 1Teorema

de Norton, 141de Thevenin, 136

Theveninrelacion con Norton, 143teorema de, 136

Toma de tierra, 2

183

184 INDICE ALFABETICO

Bibliografıa

[1] Juan A. Lopez Villanueva, Juan A. Jimenez Tejada, Fundamentos de teorıa de circuitospara electronica, Departamento de Electronica y Tecnologıa de Computadores, Universidadde Granada, Granada, Espana.

[2] Juan A. Lopez Villanueva, Juan A. Jimenez Tejada, Problemas de electronica basica,Departamento de Electronica y Tecnologıa de Computadores, Universidad de Granada,Granada, Espana.

[3] Emilio Soria Olivas, Teorıa de circuitos, Serie Schaum.

[4] Luis Prat Vinas, Fundamentos de electronica - Circuitos y dispositivos electronicos, Edi-ciones UPC.

185

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