Introducci´on a la teor ´ıa de ciclos l´ımite

Introduccion a la teorıa de ciclos lımite

Salomon Rebollo [email protected]

Instituto de Matematica y Fısica

05-09 de enero, 2015. Talca, CL

S. Rebollo-Perdomo Introduccion a la teorıa de ciclos lımite

Contenido1 Introduccion

¿Que es un ciclo lımite?Campos vectoriales realesCiclos lımite de campos vectoriales

2 Ciclos lımite en el plano IResumen de primera presentacionImportancia de ciclos lımiteHerramientas para el estudio de ciclos lımite

3 Ciclos lımite en el plano IICiclos lımite de familias especialesCiclos lımite de campos vectoriales polinomiales

4 Ciclos lımite en el plano IIIBifurcacion de ciclos lımite

5 Ciclos lımite algebraicos6 Problemas abiertos

Resumen: conceptos basicos

Un campo vectorial es una funcion

X : R2car → R2

vec, (x, y) 7→ f(x, y) ∂∂x

+ g(x, y) ∂∂y

donde f(x, y) y g(x, y) son funciones reales.

Una trayectoria de X es una funcion

γ : (a, b)→ R2, t 7→ γ(t) = (x(t), y(t)),

cuyos vectores tangentes coinciden con los dados por X .

Una orbita de X es la imagen γ ⊂ R2 de una trayectoria de X .

Problema fundamental

(Poincare)Determinar el retrato fase de X : describir topologicamente elcomportamiento local y global de sus orbitas.

Un campo vectorial Hamiltoniano (en el plano) es de la forma:

XH = Hy∂

∂x−Hx

H = H(x, y) : R2 → R, Hx y Hy son sus derivadas parciales.

Una curva de nivel de H es el conjunto

f−1(c) := {(x, y) ∈ R2 | f(x, y) = c}.

Las trayectorias de XH estan contenidas en las curvas de nivelde H.

Curvas de nivel de una funcion

Grafica de H = x2 + y2 Curvas de nivel de H = x2 + y2

-2 -1 0 1 2

Ejemplo de un campo vectorial Hamiltoniano

EjemploH(x, y) = xy

XH = x ∂∂x − y

∂∂y

Las curvas de nivel, {(x, y) ∈ R2 |xy = c} de H sonhiperbolas cuyas asıntotas son los ejes coordenados.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Una orbita periodica es la imagen de una trayectoria periodica.

Un ciclo lımite de un campo vectorial X es una orbita γ quesatisface:

1 es periodica.2 es topologicamente aislada en el conjunto de orbitas periodicas

de X .

Si X tiene una familia continua de orbitas periodicas, ellasforman un anillo periodico.

Tipos de orbitas periodicas

Ejemplos de anillos periodicos

Ciclos lımite (estable/inestable/semi-estable)

-2 -1 1 2

Problema fundamental

Problema fundamental de un campo vectorial (Poincare)Determinar el retrato fase de X : describir topologicamente elcomportamiento local y global de sus orbitas.

Orbitas en el retrato fase de X

Sea X un campo vectorial en U ⊂ R2 y p ∈ U .

¿Existe una orbita de X que pase por p?¿Cuantas orbitas de X pasan por p?¿Cuantos tipos distintos de orbitas puede tener X ?

TeoremaSea U ⊂ R2 un abierto y X definido en U . Si X es de clase Ck, conk ≥ 1, entonces dado un punto p de U existe una y solo unatrayectoria γ : (−a, a) ⊂ R→ U de X tal que γ(0) = p.

Si X de clase C1 por p pasa una y solo una orbita.Si X no es de clase C1, entonces por un punto pueden pasarvarias orbitas.

¿Cuantos tipos distintos de orbitas puede tener X ?

Ejemplo

-4 -2 2 4

Tipos de orbitas de un campo vectorial

Conocemos tres tipo de orbitas

Solo existen tres tipo de orbitassingularidades orbitas periodicas curvas homeomorfas a (a, b)

¿Toda curva periodica es orbita de un campo X ?

Una curva periodica

γ : [0, 2]→ R2, t 7→( 2 cos(t)

sin2(t) + 1,2 cos(t) sin(t)

sin2(t) + 1

γ(t) no es trayectoria de ningun campo vectorial.

Ciclos lımite en el retrato fase de X

X =(y + x(1− x2 − y2)2) ∂

(−x+ y(1− x2 − y2)2) ∂

EjemploCampo vectorial X

-2 -1 1 2

Orbitas de X

-2 -1 1 2

Ciclos lımite a partir de la representacion de X

EjemploCampo vectorial X

-2 -1 1 2

Orbitas de X

-2 -1 1 2

y + x(11

10 − x2 − y2)2

(−x + y

( 910 − x2 − y2

Ciclos lımite en las aplicaciones

1 Un punto del plano puede representar el estado de un sistema.

EjemploEn un sistema depredador-presa un punto (x, y) representa:el numero de presas x y el numero de depredadores y.

EjemploEn un sistema de reaccion quımica de dos sustancias A y B elpunto (x, y) representa: la concentracion de A y B, respect.

2 X indica el cambio (velocidad y direccion) de los estados.

3 Todo fenomeno que relaciona dos cantidades y que cambia en eltiempo pude ser modelado por un campo vectorial en el plano.

Ejemplo 1: Reaccion quımica

Modelo BrusselatorUna reaccion quımica con dos sustancias involucradas.La variacion de las concentraciones, x y y esta dada por elcampo vectorial

XBru =(α− (β + 1)x+ x2y

(βx− x2y

Los parametros α, β > 0 dependen de la reaccion quımica.

Ejemplo 2: Ecologıa

Modelo depredador-presaPensemos en un tipo de depredador y un tipo de presa queconviven en un ecosistema.La evolucion del numero de presas, x, y de depredadores, y, estagobernada por el campo vectorial

XLV = x (a− bx− cy) ∂

∂x+ y (−d+ ex− fy) ∂

Los parametros a, b, c, d, e, f > 0 dependen del sistema.

Ejemplo 3: Electronica

Circuito electrico

Para determinar el estado del sistema, (iR, iL, ic, vR, vL, vC),basta conocer x = iL y y = vC .La variacion de x y y, esta dada por el campo vectorial

XCE = (y − f(x)) ∂

∂x− x ∂

donde f(x) es una funcion que depende del sistema.

Interpretacion de un ciclo lımite y su importancia practica

Significado de un ciclo lımite1 Un ciclo lımite es un atractor (positivo y/o negativo).

2 Un ciclo lımite es un movimiento periodico del sistema.

3 La estabilidad (estable, inestable, semi-estable) es fundamentalpara dar informacion acerca del comportamiento del sistema enel futuro.

Existencia de ciclos lımite

Teorema de la region anular (Poincare–Bendixon)Supongamos que

U es una region anular.

X esta definido en U .

X “entra” en U .

X no tiene singularidades en U .

Entonces X tiene al menos un CL en U .

No existencia de ciclos lımite

Teorema de BendixonSi

G ⊂ R2 una region simplemente conexa.X = (f, g) de clase C1 definido en G.La divergencia de X :

divX := fx + gy

no cambia de signo en G.divX no se anula identicamente en ninguna sub-region de G.

Entonces X no tiene orbitas periodicas en G.

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