INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA PARA VALUACIÓN

1

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA PARA VALUACIÓN

VALORACIONES ADMINISTRATIVAS

FEBRERO 2013

2

CONCEPTOS FINANCIEROS Y VALUACIÓN

• El uso de conceptos financieros en valuación se justifican en la doctrina y en la práctica de la valuación por la variación tanto del dinero en el tiempo como del valor en el tiempo por diferentes motivos.

• En valuación, se da el caso de tomar en cuenta el valor en épocas diferentes, o de hacer ajustes tomando en cuenta el paso del tiempo.

• Un ejemplo se puede ver en la Directriz VA-03-2010:

3

Pág. 9, Directriz VA-03-2010: (1)

4.1. Métodos para la estimación de ajustes a partir de las referencias.

4.1.1. Ajustes por cambio en las condiciones del mercadoEl ajuste debe realizarse por los cambios en el mercado ocurridos desde la fecha de la referencia hasta la fecha efectiva del avalúo. Aunque se refiere corrientemente de los cambios en el valor por efecto del tiempo, el valuador debe tener presente que el tiempo por si mismo no explica los cambios en el valor, sino que los valores de un bien en dos momentos pueden ser diferentes porque los mercados son cambiantes.

4

Pág. 9, Directriz VA-03-2010: (2)

Los ajustes preferentes son aquellos que se obtienen del mismo mercado de inmuebles. Las ventas y reventas de un mismo inmueble son la mejor referencia para estimar las variaciones en el valor.

Cuando se realicen ajustes por el cambio en las condiciones de mercado, el valuador tiene que considerar las particularidades del sector, porque es corriente que los valores puedan presentar comportamientos muy distintos en el tiempo en mercados diferentes.

Se puede demostrar que entre dos fechas cercanas, una línea recta refleja con una precisión aceptable las variaciones en el precio de los bienes, por lo tanto para periodos cortos es aceptable asumir un comportamiento en línea recta.

Sin embargo para periodos largos lo recomendable es utilizar una tasa compuesta mensual.

5

Pág. 4 Directriz VA-03-2008.

•Algunos de los elementos que pueden tener alguna influencia en el valor, con frecuencia requieren procedimientos de ajuste que implican la aplicación de técnicas de análisis financiero o de costos, tal es el caso de los ajustes por los derechos de propiedad transados, por términos especiales de financiamiento o incluso ajustes por las condiciones de la venta.

6

• En la teoría de las matemáticas financieras se establecen tópicos básicos para poder realizar las operaciones financieras.

• Interés simple.• Descuentos y costos financieros.• Interés compuesto.• Anualidades, Rentas o series uniformes de pago.• Amortización de créditos y préstamos.• Bonos y Obligaciones, Acciones Preferentes y comunes.

• No todos son esencialmente necesarios para valoraciones, sin embargo las operaciones básicas financieras permiten incursionar más profundamente tanto en valoraciones como en la finanzas.

CONCEPTOS FINANCIEROS BÁSICOS

7

CONCEPTOS FINANCIEROS BÁSICOS

• La variabilidad y el nivel de las tasas de interés en la economía actual , hacen necesario tener un conocimiento ágil y práctico de los conceptos financieros básicos en las operaciones financieras. Así mismo, éstos se usan en ajustes de las variaciones de valor de los elementos de comparación en el método de la ventas comparables, en la determinación de la rentabilidad en el método de los ingresos así como en el método de los costos.

• Todos los bienes se pueden valorar, las técnicas involucradas en la valoración son muy variadas, pero las que involucran los conceptos financieros básicos están tomando relevancia hoy día por la variabilidad creciente de los valores en el mercado y por la racionalidad que las justifica.

8

UNIDADES ECONÓMICAS

9

La unidad económica es un concepto que se usa en el contexto de la Economía y las Finanzas Públicas. Las unidades económicas son los individuos y organizaciones en cuyo comportamiento se interesa la economía y que analíticamente pueden considerarse unidades de decisión. Las principales se generalizan como familia, empresa y gobierno. El interés de las valoraciones se centra en la interacción de tipo económico entre las unidades económicas, principalmente consumo e inversión.

UNIDADES ECONÓMICAS

La decisión principal de un agente económico en una interacción de tipo económico o transacción se basa en el conocimiento del valor de objeto de la transacción en el tiempo.

Le valor fluctúa en el mercado de acuerdo al comportamiento de la economía y las finanzas de un país y del entorno internacional.

10

Algunas causas del desequilibrio financiero que presionan las variables que conforman las operaciones financieras.

ALGUNAS CAUSAS DEL DESEQUILIBRIO FINANCIERO 1

La inflación se puede definir como el crecimiento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios existentes en una economía. (1)

La devaluación es la inflación del valor nominal de una moneda corriente frente a otras monedas extranjeras (1)

La inflación afecta los precios de los productos de exportación y por tanto hay menos exportaciones lo que causa un aumento en el tipo de cambio generando la devaluación de la moneda del país frente a una moneda fuerte como el dólar.

11

ALGUNAS CAUSAS DEL DESEQUILIBRIO FINANCIERO 2

Ante el desequilibrio generado por las dos causas mencionadas, los agentes económicos que actúan en las operaciones financieras tienen que modificar los parámetros de los mismos: capitales, tasas de interés, plazos. Pero el esquema del sistema financiero como un todo sigue igual para efecto de seguir generando productividad.

Unidades Económicas: Individuos y

organizaciones en cuyo comportamiento se

interesa la economía y que analíticamente

pueden considerarse unidades de decisión.

Superavitarias

Deficitarias

Sistema Financiero

Intermediarios financieros

Herramientas: OPERACIONES FINANCIERAS, que operan el dinero.

Oferta y demanda de dinero

12

ESQUEMA DEL SISTEMA FINANCIERO

13

Las operaciones financieras, toman en cuenta el fenómeno que ocurre con el dinero en el tiempo, la forma de medir este fenómeno es a través de una tasa. En toda operación financiera existen tres elementos que la caracterizan: • Elemento personal: ¿quién realiza la operación financiera? • Elemento material o real: ¿qué se intercambia en la operación financiera? • Elemento convencional o formal: ¿en qué contexto se realiza la operación financiera? http://www.ub.edu/mf/castellano/tema1/textos/descargas_pdf/1.pdf

Concepto de Ley Financiera:Es una función matemática que permite determinar el valor proyectado de un capital financiero cualquiera en un punto de referencia. Las leyes financieras más utilizadas en la práctica son: 1) La ley de capitalización simple o del interés simple; 2) La Ley de capitalización compuesta o del interés compuesto; 3) La ley de descuento simple comercial; 4) La ley de descuento simple racional y 5) La ley de descuento compuesto. http://www.definicion-de.es/ley-financiera/

OPERACIONES FINANCIERAS

14

TASAS

15

CONCEPTO DE TASAUna tasa es una relación entre dos magnitudes, en el caso de finanzas esta tasa mide el crecimiento o decrecimiento de la cantidad unitaria de dinero a través del tiempo.

Es la variación porcentual de la unidad monetaria durante un periodo de tiempo considerado como base, ejemplo 10% anual.

La tasa es entonces un coeficiente que expresa la relación existente entre una cantidad y la frecuencia de un fenómeno, en nuestro caso la frecuencia de cambio porcentual de una cantidad unitaria de dinero.

De esta forma, la tasa permite expresar la presencia de una situación que no puede ser medido o calculado de forma directa.

Basado en el sitio web http://definicion.de/tasa/

16

CONCEPTO DE TASA

En las matemáticas financieras, la tasa de interés se puede ver como la frecuencia en que una unidad monetaria se transforma en otra durante una unidad de tiempo.

Por ejemplo una frecuencia de transformación unitaria (en interés simple) del 5% anual significa que cada colón genera 5 céntimos en un año, la operación financiera que involucra la tasa de interés es llamada Interés o Rendimiento, y permite transformar 1 colón en 1.05 colones cada año.

Se representa con la letra i, r u otras dependiendo de la operación en que participe.

17

TIPOS DE TASAS

Tasas

Tasa activa: conocida como interés, alquiler o rédito que se ha convenido para pagar por un dinero tomado en préstamo. Es la que cobran los bancos por los préstamos a los clientes. Conocida como retorno, rendimiento o rentabilidad obtenido por una inversión efectuada.

Tasa de rendimiento para operaciones activas.

Tasa pasiva: es el costo financiero sobre un préstamo solicitado. Lo que paga el cliente de un banco por un préstamo.

Tasa de interés para operaciones pasivas.

El tipo de tasa enfocado según el

actor de la operación.

18

TIPOS DE TASASTasa de interés o rendimiento simple: cuando se usa el capital principal o inicial para la operación en cada periodo de capitalización. Se expresa en la fórmula (1+i)

Tasa de interés o rendimiento compuesto: Es la que participa cuando el capital para la operación en cada periodo de capitalización, se ve aumentado por el monto de interés ganado en el periodo inmediato anterior.

Ese aumento se ve expresado en la fórmula (1+i)n , o sea que cuando la operación se repite más de un periodo, matemáticamente la fórmula se convierte en una función exponencial que corresponde al factor que capitaliza o compone exponencialmente el Capital inicial o principal, el efecto que tiene este factor es que los intereses generados se suman al capital o sea se capitalizan.

TasasEl tipo de tasa

enfocado según el capital usado en cada periodo de capitalización.

19

TIPOS DE TASASTasa de interés nominal (j): no considera los periodos de capitalización al año (m) que existen dentro del periodo o unidad de tiempo a que se refiere la tasa (i). Se determina con la fórmula j=i x m. Ejemplo: una tasa nominal del 30% capitalizable semestralmente s, correspondería a i(s)=j/m=30%/2=15%.

Tasa de interés efectiva (i): es el rendimiento real o crecimiento expresado decimal o porcentualmente de una unidad monetaria o de cien después de un periodo determinado. Ejemplo: una tasa de interés de 42% capitalizable trimestralmente tendrá una tasa efectiva trimestral de i=j/m=42%/4=10,5%, entonces para una unidad monetaria de 1 para el caso de interés simple se tiene un Valor Futuro de 1+0,105 x 4= 1,42 o sea una tasa efectiva anual de 1,42-1= 0.42 y para interés compuesto tendría un Valor Futuro de VF=(1+0,105)4=1,4909 o sea una tasa efectiva anual 1,4909-1=0,4909 =49,09%.


enfocado según el periodo de

capitalización.

20

TIPOS DE TASASTasa nominal equivalente( j, j’, j’’): está asociada a diferentes periodos de capitalización (m), acumulan el mismo monto en un mismo plazo.



capitalización.

La base de tiempos es 1 año, en donde n (periodo de capitalización)=m x 1 (porque el número de capitalizaciones en todos los casos se refiere al año), n=m. La premisa sería la siguiente: PV(1+i)n=FV y los valores futuros con tasas nominales equivalentes serían FV=FV’=FV’’, implica que:

j(4) =28% = j(12) =27,37%, significa una tasa nominal anual de 28% capitalizable trimestralmente es equivalente a una tasa nominal anual de 27,37% capitalizable mensualmente.

FV=(1 x (1+j/m)m=

(1+j/m)m=

FV’=(1 x (1+j’/m’)m’=

(1+j/m’)m’=

FV’’=…(1 x (1+j’’/m’’)m’’= …

(1+j/m’’)m’’=…

21

TIPOS DE TASAS



capitalización.

j(4) =28% ≡ j(12) =27,37%, significa una tasa nominal anual de 28% capitalizable trimestralmente es equivalente a una tasa nominal anual de 27,37% capitalizable mensualmente.

FV=(1 x (1+j/m)m=

(1+j/m)m=

FV’=(1 x (1+j’/m’)m’=

(1+j/m’)m’=

(1+(0,(28/4))4 = (1+(j’(12)/12))12

(1+(0,28/4))1/3 = 1+(j’(12)/12)

1,022809122 = 1+(j’(12)/12)

1,022809122 -1= j’(12)/12

0,022809122 = j’(12)/12

0,022809122 x 12 = j’(12)

0,2737 = j’(12) = 27,37%

Fórmula: (1+j/m)m = (1+j’/m’)m’

22

TIPOS DE TASAS



capitalización.

Tasa de interés efectiva (i): es el rendimiento real o crecimiento de una unidad monetaria o de cien después de un periodo determinado.

La tarea básica del analista financiero es encontrar la verdadera tasa efectiva por año.Se puede expresa a partir de la tasa nominal.

Ej.: una tasa se convierte de un periodo a otro, se tiene por ejemplo una tasa de 32% que se convierte los intereses trimestralmente: j=32% m=4

Para saber la tasa de interés efectiva se tiene que recurrir a un capital supuesto que puede ser 1 o 100.

i = 32% / 4 = 8 % (trimestral)

23

TIPOS DE TASAS



capitalización.

j= 32% m = 4

Capital Supuesto = PV = 1 unidad monetaria. i = 8 % por periodo de capitalización (trimestre) n = 4 periodos al año.FV = PV (1 + i )n FV = 1 (1 + 0,08 )4 =1,3605La tasa efectiva anual será: i(a) = 1,3605 – 1 = 0,3605 = 36,05%.

i = 32% / 4 = 8 % (Tasa efectiva trimestral)

Fórmula: i (a) = (1 +j/m)m -1

24

TIPOS DE TASAS

La tasa de interés, es el precio del dinero y señala cuánto se debe pagar o cobrar para tomar un préstamo o ceder el dinero en una cierta situación.

En el caso que una persona solicite un crédito de 20.000 dólares con una tasa de interés del 25%, deberá devolver 25.000 dólares (los 20.000 dólares del préstamo más 5.000 dólares en concepto de intereses). Tomado de http://definicion.de/tasa/

Conclusión sobre tasa de interés.

http://definicion.de/tasa-de-interes/

http://definicion.de/dinero

25

INTERÉS

26

CONCEPTO DE INTERÉS

Se puede ver desde dos puntos de vista.• Como la cantidad pagada por el uso del dinero de terceras

personas.• Como la cantidad ganada por la inversión del dinero en

activos financieros o en préstamos a terceras personas.

• Para las unidades deficitarias se comporta como un gasto (un pasivo)

• Para las unidades superavitarias se comporta como una inversión (un activo)

27


Interés = cantidad pagada o ganada en una operación financiera(Tomado de: http://eco-finanzas.com/diccionario/U/UNIDAD_ECONOMICA.htm

Cuando el Interés es pagado por el uso del dinero, la cantidad se obtiene por la aplicación de una tasa de interés (pasiva) y el usuario del dinero paga por su uso dicho interés.

Cuando el Interés es pagado por la inversión del dinero, la cantidad se obtiene por la aplicación de una tasa de rendimiento (activa) y el usuario del dinero gana por su inversión con la tasa de rendimiento dicha.

Ej.: El interés pagado por el alquiler del dinero (₡4 500 000,00) fue de ₡45 000,00

Ej.: El interés ganado por la inversión del dinero (₡4 500 000,00) fue de ₡45 000,00

http://eco-finanzas.com/diccionario/U/UNIDAD_ECONOMICA.htm

http://eco-finanzas.com/diccionario/U/UNIDAD_ECONOMICA.htm

28


El INTERÉS es una operación realizada entre: EL CAPITAL,

LA TASA DE INTERÉS A UN PERIODO ESPECIFICADO Y EL TIEMPO.

CitI

La fórmula para calcular el Interés es:

29

FÓRMULAS DERIVADAS DEL INTERÉS

itIC

CtIi

CiIt

1. Fórmula para encontrar el Capital, principal, valor actual o valor presente.

2. Fórmula para encontrar la Tasa de interés o de rendimiento asociada a una determinada operación. El resultado viene dado en términos decimales, por convención se multiplica por 100 y se expresa en tanto por cien (ej. 0,02 x 100 = 2%)

3. Fórmula para encontrar el Tiempo, Duración o Plazo de la operación.

30

CRITERIOS PARA CALCULAR EL INTERÉS

El monto de Interés puede calcularse de dos formas.

1. Por medio de una tasa de rendimiento simple.

2. Por medio de una tasa de rendimiento compuesto.

31

INTERÉS O RENDIMIENTO SIMPLE

32

EL INTERÉS O RENDIMIENTO SIMPLE

Es la cantidad ganada en una inversión, que se obtiene aplicando una operación financiera a un capital o principal mediante una tasa de interés simple.

tiinicialValorvalor *_*__

Es el costo, ganancia, gasto, precio, del dinero que se genera sobre un capital o principal que permanece constante todo el plazo establecido en la operación financiera. En valoración correspondería al incremento o decremento de valor sobre algún ítem utilizado en el proceso de valoración, considerando el interés i como una tasa apropiada investigada con referencias del mercado del ítem en particular (que podría ser por ejemplo un elemento de comparación).

33


CARACTERÍSTICAS.

•Siempre se calcula sobre el capital inicial en cada periodo de capitalización.

• Los intereses generados no se capitalizan. Una consecuencia elemental es que los intereses generados en cada uno de los periodos iguales son también iguales. En definitiva, la Ley de Capitalización Simple no es Acumulativa.

• El monto de Interés se calcula con la siguiente fórmula básica:

CitI

34


I= Cantidad a pagar o recibir por concepto de interés.

C= Capital o Principal, es el valor presente o actual a solicitar en préstamo o a invertir.

i= Tasa de interés o de rendimiento devengado por unidad de tiempo (por convención el año). Si la unidad de tiempo no se específica, se considera que es un año. Se expresa porcentualmente en términos decimales ( ej. 2,5 %) o en tanto por uno (ej. 0,025)

t= Periodo de tiempo, duración o plazo de la transacción expresado en años, meses, días, etc., pero para la aplicación de la fórmula se debe referir a la unidad de tiempo de capitalización o de descuento de la tasa de interés o de rendimiento, ej. Una operación financiera se realizará por un periodo de 5 meses a una tasa de interés del 2,5%, lo que implica que t se convierta a 5/12 = 0.416667 años.

CitI

35

UNIDAD DE TIEMPO PARA EL PLAZO Y LA TASA DE INTERÉS

EN EL RENDIMIENTO SIMPLE

36

UNIDAD DE TIEMPO DEL PLAZO Y DE LA TASA DE INTERÉS

La unidad o periodo de tiempo para el plazo.

El plazo o periodo de tiempo se puede expresar en años, semestres, trimestres, bimestres, días.

La unidad o periodo de tiempo para la tasa de interés.

La tasa de interés o de descuento se puede expresar en diferentes unidades de tiempo. Pero la unidad de tiempo básica por convención para llevar a cabo la operación financiera es el año.

37

UNIDAD DE TIEMPO DEL PLAZO Y DE LA TASA DE INTERÉS

Para realizar la operación financiera debe existir una congruencia entre la unidad de tiempo del plazo y la unidad tiempo en la que se capitaliza la tasa de interés

En algunas ocasiones, las propuestas de las operaciones financieras tienen, para el plazo y para la tasa diferentes unidades de tiempo por lo que se tiene que recurrir a conversión o ajuste de las mismas para que queden en una misma unidad de tiempo:

El periodo de capitalización pertenece al concepto de tasa de interés ya que normalmente se dice por ejemplo que se va a usar una tasa de interés anual capitalizable por semestre, trimestre, etc.

38

CONVERSIÓN DE LA VARIABLE UNIDAD DE TIEMPO DEL PLAZO Y DE LA TASA

DE INTERÉS

Fórmulas para plazos t

añopréstamodelMesest

/12__

Para un periodo de capitalización igual a 1 año, ¿Cuál sería el plazo t de 1 mes en términos de la unidad del periodo de capitalización? Resp: 1/12= 0,08333 años.

• Plazo en años y la tasa de interés anual: no se hace conversión. El plazo (t) t=1.5 años, t=0.3 años

Periodo de capitalización o de descuento = 1 año.

•Plazo en meses y tasa de interés anual:

39


DE INTERÉS

El plazo puede darse en días, para lo cual se requiere conocer cómo se mide el tiempo. Cuando se necesite establecer el plazo en días entre se tienen dos formas:

Exacta: tomando en cuenta la cantidad de días exactos de los meses de los años correspondientes incluyendo los cambios en el mes de febrero por los años bisiestos. ejemplo de enero 2 hasta marzo 3 hay 29+28+3=60 días.

Aproximada: tomando los meses de 30 días, ejemplo de enero 2 hasta marzo 3 hay 28+30+3=61días.

Fórmulas para plazos t

40


DE INTERÉS

Ejemplo: Se tiene un capital de 1000 colones, que se quiere invertir durante 30 meses a una tasa de interés simple igual a 0.25. ¿Cuál es el interés ganado al final del plazo?

Unidad de tiempo para el plazo: año.Unidad de tiempo para la tasa de interés: año.Unidad dada en el problema: meses.Conversión: 38/12=2.5 años. I = Cit ----- I = ₡1000 x 0.25 x 2.5= ₡625,00

41

CONVERSIÓN DE LA VARIABLE UNIDAD DE TIEMPO DEL PLAZO Y DE LA TASA DE

INTERÉS

Si la unidad de tiempo del plazo (t) considerada como un 100% es el mes, y el periodo de capitalización o de descuento como un 100% en un año, se tiene que ajustar el valor de (t) según la unidad de tiempo establecida para la capitalización o el descuento,

Ejemplos. t=1.5 años, se convierten a meses o sea 1.5 x 12 = 18 meses. t=1.65 años corresponde a 1.65 x 12 = 19.8 meses.

mañosenplazotn __12

42


INTERÉS

En la nomenclatura financiera se tiene:

m = número de periodos de capitalización por año. n = (n = m x t en años) número de periodos de capitalización que existen en el plazo convenido.

i = tasa efectiva (ya sea de interés o de descuento) j = tasa de interés nominal anual, o de descuento. i = j/m

Periodos de capitalización (n)

m n con plazo = 1 año, (m x n) n con plazo = 2 años, (m x n)1 1 22 2 43 3 64 4 86 6 12

12 12 24

43


INTERÉS

En la nomenclatura financiera se tiene:

m = número de periodos de capitalización por año. n = (n = m x años) número de periodos de capitalización que existen en el plazo convenido.

i = tasa efectiva (ya sea de interés o de descuento) j = tasa de interés nominal anual, o de descuento. i = j/m

Plazos(m)

nm con capitalización anual,

(1/ n)m con capitalización mensual,

(12/ n)1 1 122 0,5 63 0,333333333 44 0,25 36 0,166666667 2

12 0,083333333 1

44


INTERÉS

j ( m ) = j (12 ) = 38 % significa una tasa de interés anual del 38% capitalizable mensualmente, lo que implica que se tiene que convertir a una tasa efectiva mensual ,38/12 = 3,167 % mensual.

j(2) = 38% significa una tasa de interés anual del 38% capitalizable semestralmente, lo que implica que se tiene que convertir a una tasa efectiva semestral 38/2 = 19 % semestral .

La tasa efectiva i está en función de la tasa nominal y del número de periodos de capitalización por año, i= f( j, m )

45

CONVERSIÓN DE LA VARIABLE UNIDAD DE TIEMPO DEL PLAZO A LA DE LA TASA DE

INTERÉS

Si la unidad de tiempo para el plazo t se considera como un 100% en el mes, y el periodo de capitalización o de descuento como un 100% en un año se tiene que ajustar el valor de t según la unidad de tiempo establecida para la capitalización o el descuento,

ej. Si se tiene un plazo de 19.8 meses, se tienen que convertir a años, el plazo en términos anuales se obtiene de dividir la cantidad de meses entre 12: 19.8 /12= 1.65 años.

1.65_años.12

8.1912

__ nmañosenplazot

46

Así un cálculo de un Interés para un capital de 2000 colones, colocado a un interés mensual de 0.03, durante 1.35 años se establece de la siguiente forma:

I = C x i x t, t=m x 12

I = ₡ 2000 x 0.03 x (1.35 x 12)= ₡ 972,00

CONVERSIÓN DE LA VARIABLE UNIDAD DE TIEMPO DEL PLAZO A LA DE LA TASA DE

INTERÉS

Los períodos de capitalización menores dan mejores rendimientos que los períodos mayores, por ej. Si se capitalizan los 2000 colones con una tasa de interés de 3% durante 1.35 años, se tiene:

I = C x i x t, t=m

I = ₡ 2000 x 0.03 x 1.35= ₡ 81,00

47

El interés simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor al interés compuesto, puesto que la base para su cálculo permanece constante en el tiempo, a diferencia del interés compuesto.

El interés simple es de poco o nulo uso en el sector financiero formal, pues éste opera bajo el interés compuesto.

El interés simple es utilizado por el sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y casas de empeño.

NOTA 1:

48

NOTA 2

•Cuando se necesite establecer el plazo en días entre dos fechas (de un año bisiesto) se tienen dos formas:

–Exacta: tomando en cuenta la cantidad de días exactos de los meses de los años correspondientes incluyendo los cambios en el mes de febrero por los años bisiestos. ejemplo de enero 2 hasta marzo 3 hay 29+28+3=60 días.

– Aproximada: tomando los meses de 30 días, ejemplo de enero 2 hasta marzo 3 hay 28+30+3=61días.

49

NOTA 3

•Para determinar el plazo t en las unidades de tiempo o periodo de la tasa se tienen 4 posibilidades:1.Interés simple corriente u ordinario (360/360) Plazo aproximado de la operación, días de año aproximados, se usa para operaciones informales.

2.Interés simple bancario o comercial (365/360) plazo exacto de la operación entre días del año aproximados. Para operaciones bancarias o comerciales. Es el de uso generalizado en el mundo de los negocios.

3.Interés simple exacto o verdadero o del tipo (365/365): plazo exacto de la operación entre días del año exacto. Se usa en operaciones muy formales.

4.Tipo 360/365: plazo aproximado de la operación entre días del año exactos, no tiene uso financiero.

50

EJEMPLOS PARA DESPEJAR CUALQUIERA DE LA INCÓGNITAS

DE LA FÓRMULA DEL INTERÉS

51

MANEJO DE LA FÓRMULA PARA DESPEJAR CUALQUIERA DE LA

INCÓGNITAS C, I, i, t.• Se requiere ahora calcular el Capital, para ello se tiene la

siguiente fórmula:• C = I / i t.

• De la fórmula general se pueden despejar las otras variables siempre que se tengan los valores de las otras.

• i = I / C t• t = I / C i

52

MANEJO DE LA FÓRMULA PARA DESPEJAR LA INCÓGNITA C, I.

• Calcular el interés de un capital presente C = ₡100 000,00 con una tasa de interés i=20% en un periodo de 8 meses.

• I = C x i x t, t=n/12• I = 100 000,00 x 0.2 x (8/12)• I = 13 333,00

Ejemplo No. 2 de Curso de Valuación, Programa de mejoramiento del Catastro Nacional, ILIS, febrero 1993, pág.4.

• Calcular el Capital o Valor Presente, si se conoce que una operación financiera que se realizó con una tasa de interés i=20% en un periodo de 8 meses obtuvo un Interés de ₡ 13 333,00.

• C= (i x t)/I, t=n/12• 100 000,00 = (0.2 x (8/12))/13 333,00

53

MANEJO DE LA FÓRMULA PARA DESPEJAR LA INCÓGNITA i.

• Calcular el interés al que se coloca un capital presente de C= ₡200 000,00 y que produce un Interés de I= ₡32 000,00 con aplicando una tasa de interés de i=36% anual.

• i = I/Ct• i = 32 000,00 / (200 000,00 x 1)• i = 0,16 = 16%.


54

MANEJO DE LA FÓRMULA PARA DESPEJAR LA INCÓGNITA t.

• Calcular el tiempo en que se generaría un interés de I= ₡32 000,00 con un capital presente de C= ₡200 000,00 aplicando una tasa de interés de i=36% anual.

• t=I/Ci• t = 32 000,00 / (200 000,00 x 0.36)• t = 0,44 años n =160 días.


55

MANEJO DE LA FÓRMULA PARA DESPEJAR LA INCÓGNITA t.

• Calcular la tasa de interés i que nos produce un capital presente de P = ₡ 80 000,00, el cual genera un interés de I= ₡ 12 000,00, en un tiempo de t=18 meses. (Suponemos que el periodo de capitalización es de 18/12=1.5 años)

• I = P x i x n.• i = I / (P x n)• i = ₡ 12 000,00 / (₡ 80 000,00 x 1.5)• i = 0,10• Por lo tanto i = 10 %.


56

INTERÉS COMPUESTO

INTERÉS O RENDIMIENTO COMPUESTO.

• Este interés funciona aumentando el capital en un monto de interés ganado en el periodo n-1 para calcular el Interés de un periodo n.

• Los Intereses de cada periodo de capitalización se capitalizan (se suman al capital que los originó) o convierten en capital o principal.

57

Capital para el periodo n-1= 100In (Interés del periodo n) = Capital n-1 X i X t.In= 100 X 0.05 X 1 = 5 por lo tanto el Capital para el periodo n (Cn)= 100 + 5 = 105.

• Este Interés es el que se gana o paga sobre un capital, el cual va aumentando al sumársele los Intereses ganados en los periodos anteriores.

58

INTERÉS O RENDIMIENTO COMPUESTO.

• Para más claridad se puede analizar desde un punto de vista matemático, en donde:

• El Interés para un periodo n (In) está en función del Capital obtenido en el periodo anterior n-1 (Cn-1), la tasa de interés i, y el plazo t.

),,( 1 tiCfI nn • A su vez, el Capital obtenido en el periodo anterior n-1 (Cn-1), está en función del

Interés para dicho periodo n-1 (In-1) y del Capital del periodo n-2 (Cn-2) que lo originó.

),( 211 nnn CIfC

59

FÓRMULA DE INTERÉS O RENDIMIENTO COMPUESTO.

• La fórmula se deduce después de hacer varios cálculos de Intereses, en este tipo de Interés se toma en cuenta la capitalización de cada periodo de capitalización.

.______),( iperiodoalientecorrespondcapitalelparaitCI ii

• Cada Capital sub i tiene sumado el interés del periodo anterior i-1.

))(()( 11 itCIitCI iiii

60

MANEJO DE LA FÓRMULA PARA DESPEJAR CUALQUIERA DE LA

INCÓGNITAS DEL INTERÉS COMPUESTOHay que tener presente que en el Interés Compuesto tiene una parte que corresponde a los Intereses sobre Intereses. Esto es lo que constituye la diferencia con el Interés Simple.

Para obtener los Intereses sobre Intereses se parte del Monto ganado con la operación con interés compuesto, se resta el principal, luego los intereses del principal con la operación hecha con interés simple, esto es así, siempre y cuando se mantenga el periodo de capitalización y el plazo.

61

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO I i I =C i t

Total de Interés por

periodo I i I = Ci i t

Total de Interés por

periodo

I1 = 100 000,00 x 0.25 x 1 año 25 000 I1 = 100 000,00 x 0.25 x 1 año 25 000

I2 = 100 000,00 x 0.25 x 1 año 25 000 I2 = 125 000,00 x 0.25 x 1 año 31 250

I3 = 100 000,00 x 0.25 x 1 año 25 000 I3 = 156 250,00 x 0.25 x 1 año 39 062.5

INTERÉS GANADO EN EL PLAZO 75 000 95 312.5

I i = INTERÉS GANADO POR PERIODO DE CAPITALIZACIÓN

EJEMPLO PARA LA FÓRMULA DE INTERÉS O RENDIMIENTO COMPUESTO.

Ejemplo: Se analiza el Interés que se obtiene de una inversión de 100 000,00 colones colocada al 25% de interés simple y 25% compuesto durante 3 años.

62

FÓRMULAS DERIVADAS DEL INTERÉS COMPUESTO

itIC

CtIi

CiIt

1. Fórmula para encontrar el Capital, principal, valor actual o valor presente.

2. Fórmula para encontrar la Tasa de interés o de rendimiento asociada a una determinada operación. El resultado viene dado en términos decimales, por convención se multiplica por 100 y se expresa en tanto por cien (ej. 0,02 x 100 = 2%.

3. Fórmula para encontrar el Tiempo o plazo de la operación.

Para encontrar las fórmulas derivadas del Interés compuesto en un periodo determinado se procede igual que para las derivadas del Interés simple.

63

MANEJO DE LA FÓRMULA PARA DESPEJAR CUALQUIERA DE LA INCÓGNITAS EN EL INTERÉS

COMPUESTO.

Ii=Ciit. (Fórmula General) ₡ 31 250,00 = 125 000,00 x 0.25 x 1 año

• Para el periodo sub i se pueden calcular cualquiera de las variables si se conocen las otras variables.

• Ci=it /I para el cálculo del capital del periodo i ₡ 125 000,00 = (0.25 x 1 año) / ₡ 31 250,00

• t=I/Cii para el cálculo de la unidad del periodo i 1 año= ₡31 250 / (₡ 125 000,00 x 0.25)

• i=I/Cit para el cálculo de la unidad del periodo i 0.25 = ₡31 250 / (₡ 125 000,00 x 1 año)

64

CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO

65

• Hasta aquí se ha visto el cálculo del Interés, pero

la operación financiera se completa con la

Capitalización que incluye el Capital + el Interés

durante el plazo de la operación, o con el

Descuento que incluye el Capital al vencimiento

de una operación (S) -Capital Descontado (D).

CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO

66

FENÓMENO DE LA CAPITALIZACIÓN Y EL DESCUENTO (1)

El fenómeno de la capitalización es la variación que produce un aumento del capital C. Mediante las Operaciones Financieras se calcula la variación del C en el tiempo, se realiza al final del plazo y el plazo es de forma continua.

La variación es siempre exponencial.

Las ecuaciones de valor que vinculan al capital con sus variaciones en el tiempo tienen formas algorítmicas que representan la continuidad de la variación en el tiempo.

El fenómeno inverso a la capitalización es el descuento que se le realiza a un Capital.

En la capitalización participa la tasa de interés y en el descuento la tasa de rendimiento.

CARACTERÍSTICAS DE LA CAPITALIZACIÓN.

67

DESCUENTO

68

DESCUENTO

C– S D

Descontar un documento financiero es negociar (ya sea pagar o ceder) en una fecha anterior a la de vencimiento. El plazo t del descuento se da entre la fecha de negociación de descuento y la fecha de vencimiento.

D= DescuentoS= Monto pactado al final de la capitalización.C= Cantidad descontada

69

DESCUENTO

Ejemplo: Se va a obtener un capital de 1625 colones (capitalizado) como producto de la inversión de 1000 colones colocada durante a 2.5 años a una tasa de interés de 0.25. ¿Cuál es el descuento que se aplica al capital futuro (Capital inicial + Interés ganado) si se negocia a los 2 años del plazo establecido? Considere S como el monto a la fecha de vencimiento del documento a descontar, C como Cantidad descontada, D como del descuento y las fórmulas C=S/(1+it) y D=S-C. Plazo restante= 0,5 años.C =₡1625,00 / (1+0,25 x 0.50)= ₡ 1444,44.D= S – C= ₡ 1625,00- ₡ 1444,44 = ₡ 180,55

70

Si por costos de la negociación la tasa de descuento es de 0,5¿Cuál es el descuento aplicado al capital Futuro?

C = ₡ 1625,00 / (1+0,5 x 0,50)= ₡ 1300,00.D= S – C= ₡ 1625,00- ₡ 1300,00 = ₡ 325,00

Respuesta: el monto del Descuento es ₡325,00

1000

1625

1300

325

DESCUENTO

71

USOS EN VALORACIÓN:

Lo que se aplica en valoración es el algoritmo cuando se quiere estimar el costo beneficio de realizar un descuento en relación a una oferta de venta que tiene una hipoteca, para analizar si el valor de la oferta es viable o no, con respecto a seguir pagando la hipoteca o por el contrario pagar la hipoteca y tener un saldo a pagar con un costo financiero más cómodo.

DESCUENTO

72

Capitalización

73

Capitalización con interés simple

74

• Luego de obtener el algoritmo para el cálculo del INTERES, el concepto que sigue es el de capitalización.

• La capitalización simple se obtiene de la acumulación de los intereses ganados cada periodo más el capital inicial que sirvió de generador de dichos Intereses. Dicha CAPITALIZACIÓN conocida como MONTO, nos lleva al concepto de VALOR FUTURO.

• La fórmula es la siguiente:• S=C+I, con I=Cit, siendo t igual a la unidad de tiempo de

capitalización, por ej. 1 año.

CAPITALIZACIÓN CON INTERÉS SIMPLE

75

• S=C + Cit + Cit + Cit = S=C + Ci1 + Ci1 + Ci1 = C + (Ci) x 3 = C + Ci3, el

factor Ci3 es el factor de acumulación de interés para un plazo de tres

periodos o el Interés acumulado en dicho periodo. O sea tres veces el Interés

que genera el capital o principal C: S=C + I1 + I2 + I3 = C + 3 x I.

• Así este monto S es el valor futuro de un capital C capitalizado a un interés simple i durante un plazo de n veces el periodo de capitalización t


76

• Ejemplo: Un Capital de ₡1 000,00 se invierte en un banco durante 3 años a una tasa de interés simple del 20%. Utilizando la fórmula se tiene que los términos son los siguientes.

• S= C + Cit • S= ₡1000,00 x 0.2 x 3 = ₡600,00

• El monto S es la capitalización que se obtuvo al invertir los ₡1000,00.


77

Capitalización con interés compuesto

78

• Luego de obtener el algoritmo para el cálculo del INTERES, el concepto que sigue es el de capitalización.

• La capitalización compuesto se obtiene de la acumulación de los intereses ganados cada periodo más el capital inicial que sirvió de generador de dichos Intereses. Dicha CAPITALIZACIÓN conocida como MONTO, nos lleva al concepto de VALOR FUTURO.

• La fórmula es la siguiente:• S=C+I• S=C + Cit • S=C(1+it), (1+it) es el factor de acumulación de interés compuesto para

el primer periodo.• S=C(1+it) (1+it) …(1+it), donde (1+it)n es el factor de acumulación de

interés compuesto para n periodos.

CAPITALIZACIÓN CON INTERÉS COMPUESTO

79

• S = C (1 + it)1 (1+it)2 … (1+it)n-1(1+it)n (1+it)n


Cn-1

C1

S = C (1 + it)1

I1

I2

80

• Primer año: S = ₡1000,00 x(1 + 0.20 x 1)= ₡ 1200,00


Ejemplo: Un Capital de ₡1 000,00 se invierte en un banco durante 3 años a una tasa de interés compuesto del 20%. Utilizando la fórmula se tiene que los términos son los siguientes.

• Segundo año: S = ₡1200,00 x(1 + 0.20 x 1)= ₡ 1440,00

• Primer año: S = ₡1440,00 x(1 + 0.20 x 1)= ₡1728,00 • Con la fórmula exponencial se tiene: S = 1000,00 x(1 + 0.20 x 1)3=

1000 x 1,728= 1728,00.

81

EJEMPLO DE DIAGRAMAS DE FLUJO O DE TIEMPO

C=100

VF=125

0 años 1 año

• Para qué sirven: son la representación gráfica del problema, para el estudio y una mejor comprensión de problemas. Tienen convenciones específicas tales como : flechas hacia arriba son ingresos, flechas hacia abajo inversiones y gastos, flechas con dirección hacia la derecha son valores futuros y con dirección hacia la izquierda son valores presentes. El mismo criterio llevan las cantidades ubicadas en cada indicación.

82

EJEMPLOS DE VALOR FUTURO CON INTERÉS SIMPLE

• ¿Cuál será el valor al vencimiento de un pagaré suscrito el día de hoy por 100 000,00 a una tasa de interés del 27,5% si el plazo de la operación es de 10 meses?

• En este ejemplo la tasa de interés sería mensual.

• C = ₡ 100 000,00, i = 0,275/12, t = 10 meses.

• S = ₡ 100 000,00 x (1 + 0,022917 x 10) = ₡ 122 917,00

83

Ejemplos de Valor Presente (Principal o capital)con interés simple (1)

• De la fórmula S=C(1+it) se deduce la fórmula de valor presente con interés simple, C=S x 1/ (1+it)

• 1/ (1+it) es el factor de actualización o descuento del interés simple.• Ejemplo 1.6 a. Su abogado le comunica la buena noticia de que ya

puede retirar del Banco YYY la suma de ¢ 4 575 000,00 que le dejó su abuelito como herencia hace 3 años y 2 meses (38 meses). ¿Cuánto exactamente le depositó su abuelito si el banco reconoció intereses del 31%? Nota: Si no se indica la unidad de tiempo de capitalización se entiende que es la del plazo. En este ejemplo la tasa de interés sería mensual.

• C=S x 1/ (1+it) = ¢ 4 575 000,00 /(1+0,31 x 38/12)• C = 2 308 662,74 que es la cantidad depositada hace 38 meses en el

Banco YYY.

84

Ejemplos de Valor Presente con interés simple (2)

• De forma análoga se pueden obtener otras incógnitas que plantee un problema específico, ya sea la tasa de interés i o el plazo de la operación t o el monto S en alguna fecha del plazo establecido (para este caso es posible tener que utilizar ecuaciones de equivalencia financiera), etc.

C=100

VF=125

0 años 1 año

85

Notas sobre el uso de ecuaciones de valor (3)

• Son un conjunto de fórmulas matemáticas que permiten cambios de los parámetros de las operaciones financieras de manera tal que dentro del plazo total de la operación se pueda tener equivalencia en las cantidades operadas en diferentes fechas dentro del plazo para cualquier combinación de parámetros escogidos.

C=100

VF=125

0 años 1 año

86

Ejemplo sobre el uso de ecuaciones de valor (4)

• Se tienen que realizar ajustes a los parámetros de la operación base para lograr la equivalencia en la fecha focal en la que se quiere dar los resultados de la Ecuación de valor.

• Los elementos básicos para realizar la ecuación de valor son los siguientes:• Dos opciones financieras como mínimo.

• Una tasa de interés o de rendimiento que sea la tasa de ajuste o de arreglo según los cambios u opciones que se requieran dar a la operación original.

• Una fecha focal o de referencia: punto en el tiempo escogido para el cálculo de la equivalencia de valores dados. En este punto del tiempo el dinero se hace homogéneo o con el mismo poder adquisitivo.

• El factor de acumulación del interés simple tiene la dirección de izquierda a derecha es (1+it) y el de descuento o actualización del interés simple de derecha a izquierda (1/(1+it)).

87


• Este mecanismo de establecer ecuaciones de valor también se aplica a las operaciones con interés compuesto.

88


• Este mecanismo de establecer ecuaciones de valor también se aplica a las operaciones con interés compuesto.

89

VALOR FUTURO CON INTERÉS COMPUESTO

90

VALOR FUTURO i nVPVF 1

Su origen está en el interés compuesto, donde los intereses generados se suman al capital o sea se capitalizan.

No. de periodos

PV al principio

I=Cit del periodo Fv=PV+I al final del período

PV al principio

del periodo

Tasa de

interés

Interés=I=Cit del periodo

Fv=PV+I al final del

período

Rédito

1 PV(1+i)0 PVi PV + PVi = PV (1+i) 40 0.10 4.000 44.00 0.10

2 PV (1+i) PV (1+i)i PV (1+i)+PV (1+i)i = PV (1+i)2 44 0.10 4.400 53.24 0.33

3 PV (1+i)2 PV (1+i)2i PV (1+i)2+PV (1+i)2i=PV (1+i)3 53.24 0.10 5.324 70.86 0.77

… … … … … … … …

n PV (1+i)n-1 PV (1+i)n-1i PV (1+i)n-1+PV (1+i)n-1i=PV (1+i)n

91

Ejemplo de uso para determinar la variación del alquiler en varios periodos futuros y para traer a valor presente cada uno de ellos. Para ello la tasa de interés tiene diferentes orígenes para cada uno de ellos.

Alquiler=Ai Ai MENSUAL Ai ANUAL =VF TCA TIP VP

1 10000 ₡120,000.00 0.1145 0.076 ₡120,000.00 2 ₡133,740.00 0.1145 0.076 ₡124,293.68 3 ₡149,053.23 0.1145 0.076 ₡128,740.99 … … … … …25 ₡1,618,463.81 0.1145 0.076 ₡279,002.75 26 ₡1,803,777.92 0.1145 0.076 ₡288,985.65

26.6 ₡2,010,310.49 0.1145 0.076 ₡179,595.45 ₡5,191,400.93

VALOR FUTURO i nVPVF 1

92

http://indicadoreseconomicos.bccr.fi.cr/indicadoreseconomicos/Cuadros/frmVerCatCuadro.aspx?idioma=1&CodCuadro=%201502

Sitio del BCCR para obtener la variación el Índice de crecimiento del costo de Alquiler



93

IPC: GruposBase: Julio 2006 = 100Niveles

Octubre/2011 Octubre/2012Alimentos y bebidas no alcohólicas 172.00 177.14Bebidas alcohólicas y cigarrillos 163.04 209.65Comidas y bebidas fuera del hogar 166.73 176.47Prendas de vestir y calzado 103.34 102.98Alquiler y servicios de la vivienda 161.55 178.69Artículos para la vivienda y servicio doméstico 144.19 148.18Salud 157.57 164.94Transporte 138.55 145.82Comunicaciones 97.48 96.74Entretenimiento y cultura 119.42 120.41Educación 168.27 180.23Bienes y Servicios diversos 144.27 148.23

%59.969.178

55.16169.178 TCA

VALOR FUTURO

94

VPVF i n

VPVF 1¿Para qué nos sirve en valoración?

Para ajustar el valor de una referencia de otra fecha, con la tasa de variación compuesta obtenida.

Se sabe que el valor de un inmueble es diferente en dos fechas separadas por un tiempo determinado por motivo de cambios en el mercado en general y del mercado específico del bien que se está valorando.

La tasa de cambio entre esos dos valores se puede medir a través de las fórmulas financieras. La tasa de variación de valores se puede obtener también de valores de referencias de inmuebles similares en dos fechas diferentes. Si es necesario se puede tomar una de esas fechas como origen común de tiempo y otra fecha para establecer la relación de variación entre esas dos fechas, una vez establecida esta relación (válido en lapsos cortos o donde se conoce que la variación es poca), se aplica la razón a otras por extrapolación.

¿Cuál sería el objetivo de tener esa tasa de variación del valor?

VALOR FUTURO

95

EL VALOR PRESENTE

• Otra fórmula financiera útil en valuación es la del Valor presente, cuya definición es la siguiente:

• El valor presente de una suma que se recibirá en una fecha futura es aquel Capital que a una tasa dada alcanzará en el período de Tiempo, contado hasta la fecha de su recepción, un monto igual a la suma a recibirse en la fecha convenida.

• Para ilustrar el concepto de Valor Presente, supongamos que se recibirán $ 1.000 después de un año. Si el Costo de oportunidad de los fondos es 8%, ¿qué suma de Dinero de hoy llegará a ser igual a $ 1.000 después de un año con un Interés de 8%?

• VP = 1000,00/(1+0,08)-1= 925,93

i nVFVP

1

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/C/CAPITAL.htm

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/T/TIEMPO.htm

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/V/VALOR_PRESENTE.htm

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/C/COSTO.htm

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/D/DINERO.htm

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/I/INTERES.htm

96

EL VALOR PRESENTE

• Para encontrar el valor presente (VP)se divide el valor final por la tasa de interés, la tasa en esta operación se conoce tasa de descuento.

• De manera similar, el valor presente de $ 1000,00 que se recibirán dentro de dos años es igual a: $1000 /(1.07)2 = $ 873,44.

• Generalizando la fórmula, el valor presente (VP) de un Capital K, que se recibirá al final del año n, a una tasa de interés r, es igual a: VP =VF/(1+i)n o VP =K/(1+r)n

• El concepto de valor presente permite apreciar las diferencias que existen por el hecho de poder disponer de un Capital en distintos momentos del Tiempo, actualizados con diferentes tasas de descuento.

• Es así que el valor presente varía en forma inversa el período de Tiempo en que se recibirán las sumas de Dinero, y también en forma inversa a la tasa de Interés, utilizada en el descuento.

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/C/CAPITAL.htm

97

FACTOR DE INTERÉS

TASA DE INTERÉS

TIEMPO

CAPITAL INVERTIDO

VALOR FINAL = CAPITAL + INTERÉSFACTOR DE

INTERÉS

VALOR PRESENTE

VALOR FUTURO

CAPITAL x FACTOR DE INTERÉS INTERÉS

DESCUENTO ES LA FUNCIÓN INVERSA DE LA CAPITALIZACIÓN

TIEMPO ES EL TIEMPO OCUPADO EN TODA LA OPERACIÓN FINANCIERA

COMPONENTES DE LA OPERACIÓN FINANCIERA EN GENERAL

98

EJEMPLO: •TASA DE INTERÉS MENSUAL 0.02 (2%)

•TIEMPO = 2 AÑOS, PERÍODO = MENSUAL

•TIEMPO = 2 X 2 = 4

•CAPITAL ₡1000,00

FÓRMULA DEL FACTOR DE INTERÉS (1 + TASA DE INTERÉS) TIEMPO

TIEMPO TIEMPO x PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN O DE DESCUENTO

(1 + 0.02) 4

FÓRMULA DEL FACTOR DE INTERÉS


99

CAPITAL x FACTOR DE INTERÉS INTERÉS

₡1000,00 / (1 + 0.02) 4 ₡1000,00 / 0.92384542602 ₡ 923.85

EN EL CASO DE TENER EL INTERÉS COMPUESTO DESCONTADO

₡1000,00 x (1 + 0.02) 4 ₡1000,00 x 1.08243216 ₡ 1 082.43

EN EL CASO DE TENER EL INTERÉS COMPUESTO CAPITALIZADO


ANUALIDAD

101

VARIACIONES DE LAS FÓRMULAS DE VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO CUANDO SE

TIENEN CAPITALES ADICIONALES PARA CADA PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

Cuando en las fórmulas VF y VP se usan nuevos capitales al inicio de cada período de capitalización, se obtiene un cálculo diferente que se llama anualidad.

ANUALIDAD• Es una promesa de pago anual de una cantidad determinada que se efectúa a

cambio de una suma dada en el presente.• También se denomina anualidad al pago anual que se da para amortizar

una Deuda.• El cálculo de las anualidades debe hacerse considerando la cantidad total

entregada inicialmente y una tasa de Interés dada.• El término usualmente es empleado para designar las pólizas de seguros que

otorgan al titular de ésta un pago anual después de que llega a determinada edad.

• http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/no%2010/anualidades.htm

http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/no%2010/anualidades.htm

102

• CARACTERÍSTICAS.

• Una anualidad indica un sistema de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en períodos regulares de tiempo, con interés compuesto.

• El término anualidad puede darse en términos anuales, semestrales, trimestrales o mensuales.

• Cuando en un país hay relativa estabilidad económica, es frecuente que se efectúen operaciones mercantiles a través de pagos periódicos, sea a interés simple o compuesto, como en las anualidades.

• Cuando las cuotas que se entregan se destinan para formar un capital, reciben el nombre de imposiciones o fondos; y si son entregadas para cancelar una deuda, se llaman amortizaciones.

ANUALIDAD

103

• En la vida diaria, las anualidades se usan como rentas, sueldos, cuotas, pagos de seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, primas de seguros de vida, pensiones, pagos para fondos de amortización, alquileres, jubilaciones y otros, con sus distintas modalidades y diferencias.

• Sin embargo, el tipo de anualidad al que se hace referencia es el de anualidad de inversión, que incluye interés compuesto, ya que en otras clases de anualidad no se involucra el interés.

• El concepto de Valor Futuro y Valor Presente de una anualidad se basa en una aplicación de los conceptos de Valor Futuro y Valor Presente.

ANUALIDAD

104

• Elementos de una anualidad• En una anualidad intervienen los siguientes elementos:• Renta: Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente.• Renta anual: Suma de los pagos hechos en un año.• Plazo: Es la duración de la anualidad. El número de veces que se

cobra o se paga la renta.• Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.

ANUALIDAD

105

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD

• VF= Valor futuro, anualidades, monto,… equivalente a una serie de PMT. Valor en términos absolutos, . ₡ Se simboliza a veces como F, S,…

• PMT= anualidad, renta, serie uniforme de pago o cobro, cuota, cantidad fija que se paga o se cobra en forma periódica, anualmente, semestralmente, mensualmente,… Valor en términos absolutos, ₡. Se simboliza a veces como R, A,….

• s= Símbolo que se utiliza para expresar el “factor de valor futuro o cantidad compuesta serie uniforme” (FCCSU).

• n= Número total de períodos de capitalización. Número de años Xm. En casos de las anualidades simples, ------”n” también será el la cantidad de PMTs.

• i= Tasa de interés o rendimiento efectivo devengado por el periodo de capitalización o periodo de pago. Valor en términos porcentuales, “. En las operaciones se expresa en términos decimales o de “tanto por uno” . Se define: i=j/m.

106

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD

SERIE UNIFORME

• Depósitos de:• ₡1 000.00, ₡1 000.00, ₡1 000.00, ₡1 000.00.• i = 3,167%; • n = plazo 60 meses.• FV= ₡173 446,18

1000,00 1000,00 1000,00 1000,00

iiPMTFVn 11

173 446,18

107

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD

• PV= Valor presente, actual, a hoy, equivalente a la serie de PMTfuturos. Valor en términos absolutos, . ₡ Se simboliza a veces como P, A,…

• PMT= anualidad, renta, serie uniforme de pago o cobro, cuota, cantidad fija que se paga o se cobra en forma periódica, anualmente, semestralmente, mensualmente,… Valor en términos absolutos, ₡. Se simboliza a veces como P, A,….

• a= Símbolo que se utiliza para expresar el “factor de valor presente serie uniforme” (FVPSU).

• n= Número total de períodos de capitalización. Número de años Xm. En casos de las anualidades simples, ------”n” también será el la cantidad de PMTs.

• i= Tasa de interés o rendimiento efectivo devengado por el periodo de capitalización o periodo de pago. Valor en términos porcentuales, “. En las operaciones se expresa en términos decimales o de “tanto por uno” . Se define: i=j/m.

• PMT, n, i deben referirse a un mismo periodo.

108

Ejemplo: Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años. Si este documento se cancela con un solo pago de A) Al principio o B) al final. Determinar $A y $S suponiendo un interés del 32% CT. SOLUCIÓN: El número de pagos es n= 4 X 6= 24, R= $80.000 A) i= 32/4= 8% efectivo trimestral A= 80.000 (P/A, 24, 8%) A= 80.000* (1 -(1 +0.08 )-24)/0.08 A= 842.301 B) S= 80.000 (F/A, 24, 8%) S= 80.000* ((1 +0.08 )24 -1)/ 0.08 S= 5.341.181

VALOR FUTURO Y PRESENTE DE UNA

ANUALIDAD

109

USO DE LA FUNCIÓN VALOR ACTUAL VA DE EXCEL PARA EL CÁLCULO DEL VALOR

PRESENTE DE UNA ANUALIDAD

110

Para el cálculo del Valor Presente de una anualidad usamos la función VA, que se refiere a al valor presente de una inversión o sea la suma total de una serie de pagos futuros.

Para el cálculo del Valor Presente de un capital en el futuro también usamos la función VA, que representaría al valor actual de un solo pago en el último período.

EN EXCEL = VA(tasa; nper;pago; VF; tipo)

VA(2,5 %; 36;-200000;0)

VA = 4 711 250,214

EN EXCEL = VA(tasa; nper;pago; VF; tipo)

VA(2,5 %; 36;;-200000)

VA = 82 218,74466

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DE UNA SERIE DE PAGOS Y DE UN SOLO PAGO AL FINAL

112

VALOR DE LA FUNCIÓN VA (VALOR ACTUAL) CON LOS

PARÁMETROS ESPECIFICADOS

FUNCIÓN DE EXCEL VALOR ACTUAL VA

113

CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES (1)

• Simple o general: si coinciden o no los períodos de cobro o pago PMT con los períodos de capitalización.

• Cierta o contingente: si se conocen (o no es factible conocer) o no todas las variables de la fórmula general, especialmente la “n”. Ejemplo: “n” en una póliza de vida, donde esta “n” no está totalmente definida.

• Constante o variable: si el PMT es constante o variable; sin embargo para que pueda calificarse cono anualidad variable, la variación debe ser uniforme, dándose dos posibles tipos de cambios: en progresión o gradiente aritmética y en progresión o gradiente geométrica.

114

• Temporal o perpetua: si tiene una “n” (número de PMT y de períodos de capitalización) finita o que tienda a infinito.

• Inmediata o diferida: si se inicia el PMT en el primer período de capitalización o posteriormente.

• Vencida o anticipada: si la cuota o PMT se ubica al final o al principio de cada período.

CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES (2)

115

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE ANUALIDADES

PERPETUAS O PERPETUIDADES

Es la anualidad cuyo número de pagos o PMT es infinito, ejemplo son las empresas que emiten títulos de renta fija llamados Acciones Preferentes que pagan dividendos a sus tenedores indefinidamente.

El valor futuro no se puede calcular por estar el último PMT en el infinito pero el valor presente PV si, las fórmulas básicas son:

•PMT= PV i

•PV = PMT / i

• i = PMT/ PV

116

VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDAD.

Ejemplo del valor presente de una perpetuidad:

Se conoce el rendimiento neto de un inmueble basado en sus rentas futuras que se estiman en ₡10 000 000,00 anuales. La renta investigada es del 10% anual, utilizando el valor presente de una perpetuidad se puede obtener la estimación del valor del inmueble.

00,1000000001.0

00,10000000 VP

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA PARA VALUACIÓN

Documents

Transcript of INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA PARA VALUACIÓN