INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA - Facultad de Ciencias...

1 Tecnicatura en Informática. Introducción a la Matemática- primer año-

Profesora a cargo Marcela Galindez

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA Y ESTADISTICA

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA

CARRERA: TECNICATURA EN INFORMÁTICA DOCENTE S RESPONSABLE: GALINDEZ, MARCELA

AUXILIARES: BIZZOTTO, ANDRES

CICLO ACADÉMICO: 2017



¡Bienvenido a la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales!

Desde nuestro lugar, queremos ayudarte en tu inserción a nuestras aulas. Para ello confeccionamos este documento que pretende brindarte algunos elementos, estrategias y actividades, que puedan orientar tu estudio personal y te sirvan para reflexionar y actuar durante la organización de tus actividades como estudiante universitario en el área matemática.

¿Qué supone estudiar matemática?

En general, los alumnos que ingresan a la Universidad estudian de manera independiente en muy escasos momentos, en general antes de una evaluación. Sus actividades se restringen al trabajo que se realiza en clase produciendo una fuerte dependencia hacia el profesor, no están acostumbrados a utilizar libros de matemática y las carpetas suelen estar llenas de respuestas a ejercicios que ni siquiera están enunciados. Pero, Estudiar, queridos estudiantes, significa mucho más que resolver ejercicios de la carpeta o similares, aunque esta actividad está incluida en el estudio. Estudiar un concepto involucra, entre otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué tipos de problemas se pueden resolver y cuáles no con esta herramienta, saber cuáles son los errores más comunes que se han cometido en la clase como parte de la producción y por qué. Cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene formas particulares de producir, de comunicar y validar conocimientos, y en matemática esto se hace mucho más evidente. Estas formas específicas que irás conociendo, siempre deben estar incluidas en el momento del estudio; es decir, no puedes estudiar desconociendo, por ejemplo, las maneras de establecer la verdad en matemática. Estas formas específicas de producir conocimiento, de validarlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el estudio y ello supone la utilización de estrategias de aprendizaje que te permitan buscar soluciones, no simplemente memorizar procedimientos; explorar patrones, no simplemente memorizar fórmulas; formular conjeturas, no simplemente resolver ejercicios.

Recuerda: Estudiar matemática supone, además de resolver ejercicios, resolver problemas, construir estrategias de validación, comunicar y confrontar con otros el trabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje. Bienvenidos!



FUNDAMENTOS: Los alumnos que ingresan a la universidad deberían poseer ciertas competencias, indispensables para asegurar su permanencia en ella y la consecución de sus aprendizajes. Sin embargo los comienzos en la Universidad no son fáciles y los estudiantes necesitan un periodo de adaptación hasta que consiguen integrarse plenamente. Si a esta situación además le añadimos que, en particular, el aprendizaje de la matemática depende, en gran medida, de lo que anteriormente haya aprendido, nos damos cuenta de que es necesario homogeneizar los diferentes conocimientos matemáticos que poseen los alumnos antes de que empiece el curso oficial. En esto consiste la finalidad de este curso de Ingreso de Matemática, puesto que está centrado en aportar a los alumnos ingresantes a primer año del profesorado y licenciatura en Matemática algunos complementos en formación matemática, mayor agilidad, destreza y entrenamiento en la resolución de problemas. Se pretende además que los alumnos adquieran un hábito de estudio adecuado a esta disciplina. El enfoque será teórico - práctico, centrado en la resolución de problemas, en la justificación, verificación, generalización y en la participación activa del alumno. OBJETIVOS:

Adquirir hábitos de estudio propios del aprendizaje de la Matemática en el nivel universitario.

Adquirir agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus propiedades.

Traducir problemas básicos a lenguaje algebraico y resolverlos.

Utilizar los diferentes registros de representación.

Lograr habilidades en trabajos grupales. METODOLOGIA: La resolución de problemas es el aspecto central de la propuesta porque es el adecuado para permitir que el alumno desarrolle actividad matemática de variado tipo y por aportar un cambio actitudinal. También se insistirá en la explicación y en la práctica de producir argumentos para validar un enunciado o una respuesta, para lo cual se requerirá la interacción entre pares, las puestas en común y la precisión en el lenguaje, natural y simbólico. CONTENIDOS MINIMOS: Operaciones básicas. Propiedades de las operaciones. Expresiones algebraicas. Ecuaciones e inecuaciones. Funciones elementales: Recta, función de proporcionalidad inversa, parábola, función cubica, función modulo. Trigonometría. Contenidos de las materias Elementos de Álgebra y Geometría e Introducción a la matemática: factorización de polinomios. Ecuaciones y funciones EVALUACION: Se tomara tres evaluaciones de los contenidos propuestos, con el fin de analizar los resultados del curso, y en total de acuerdo con la Resolución prevista para el Ingreso. Además se evaluará en forma continua y permanente. Las evaluaciones se realizarán en forma grupal e individual.



CRONOGRAMA

Semana 1,2,3y4: Propiedades de las operaciones básicas. Expresiones algebraicas. Ecuaciones, problemas de aplicación. Semana 5,: Ecuación y grafico de la recta Semana 6, 7:Ecuación y grafico de la parábola. Semana 8, 9, 10 y 11: funciones Semana 13, 14 y 15: Trigonometría.

PROGRAMA ANALITICO: Programa de Contenidos Teóricos

1. Unidad Nº 1: Operaciones en R. Conjuntos de números. Expresión simbólica. Relaciones de orden en los reales. Operaciones con números reales: propiedades. Notación científica. Valor absoluto. Logaritmos: propiedades. Uso de calculadora científica. 2. Unidad Nº 2: Expresiones Algebraicas Polinomios: valor numérico, grado, ceros, operaciones. Lenguaje simbólico. Divisibilidad. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factoreo. Expresiones algebraicas fraccionarias: operaciones, simplificación. 3. Unidad Nº 3: Funciones Función: concepto, dominio e imagen. Funciones polinómicas, lineal, cuadrática, de proporcionalidad, valor absoluto, racionales. Funciones exponencial y logarítmica. Expresiones simbólicas y gráficas de las funciones. Resolución de problemas.

4. Unidad Nº 4: Ecuaciones Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Ecuación de segundo grado. Ecuaciones fraccionarias, exponenciales y logarítmicas. Sistemas de dos ecuaciones o inecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución de problemas 5. Unidad Nº 5: Geometría Elemental Ángulos: clasificación. Circunferencia. Ángulos inscriptos y centrales. Sistemas de Medición angular. Triángulos: clasificación, propiedades de los lados y ángulos, teorema de Pitágoras. Congruencia y Semejanza de triángulos. Área y perímetro Cuadriláteros particulares. Área y perímetro. 6. Unidad Nº 6: Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Circunferencia trigonométrica. Representación gráfica de todas las funciones trigonométricas: Gráficas de las funciones f(x) = sen x y f(x) = cos x, variaciones. Programa de Contenidos Prácticos

1. Trabajo Práctico 1: Conjuntos Numéricos y sus Operaciones



2. Trabajo Práctico 2: Expresiones Algebraicas 3. Trabajo Práctico 3: Ecuaciones 4. Trabajo Práctico 4: Funciones 5. Trabajo Práctico 5: Geometría Elemental 6. Trabajo Práctico 6: Trigonometría

CONJUNTOS NUMÉRICOS: PROPIEDADES DELAS OPERACIONES

Conjuntos Numéricos.

Números Naturales: ℕ = {1, 2, 3, 4, … } Números Enteros: ℤ = {… − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

Números Racionales: ℚ = {𝑝

𝑞, 𝑝, 𝑞 𝜖 ℤ ⋀ 𝑞 ≠ 0}(es el conjunto de todos los

números que se pueden escribir como expresiones decimales finitas o infinitas periódicas).

Números Irracionales: , , 0,10100100 , 2,I e (es el conjunto de todos los

ϵnúmeros que no se pueden escribir como expresiones decimales infinitas no periódicas). Relación de orden en ℝ: El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, ya que, dados dos números reales distintos siempre se puede establecer cuál es el mayor. A la relación de orden definida en ℝ se la indica con “<” (a < b se lee: “a es menor que b”, o también “b es mayor que a”). En el conjunto de los números reales vale la ley de tricotomia: dados dos números reales a y b vale una y solo una de las siguientes expresiones: a b ó a b ó a b .

Los números y la recta numérica

1- a. En la siguiente recta numérica están ubicados los números 0; 1 y a:

¿Donde ubicamos los números 1; y 1a a a ?

0 1 a

Un poco de historia

La noción de número es tan antigua como el hombre mismo. Las tribus

más primitivas, tanto en el pasado como en la actualidad, disponen de

símbolos para distinguir entre uno, dos, tres,…

Es difícil analizar los caminos mentales que el hombre hubo de recorrer

hasta llegar a algún sistema de enumeración que le permitiera manejar,

con el pensamiento, la pluralidad. De hecho, sólo en unas pocas

civilizaciones avanzadas se llegó a la creación de sistemas de numeración

verdaderamente manejable y eficiente. Este hallazgo está profundamente

unido al progreso matemático y cultural de esos pueblos



b. En la siguiente recta están ubicados los números 0 y a.

¿Donde se ubica el número –a.?

Soluciones: Para encontrar la solución de estos y otros problemas se usan los distintos números: enteros, racionales, irracionales. En el primer problema hay que ubicar los números 1; y 1a a a en la siguiente

recta, conociendo la ubicación de 0,1 y :a

Como se conoce el lugar donde está el numero y del 0a , es posible determinar dónde

está el número a , pues la distancia entre 0 y a debe ser la misma que la distancia

entre y 0.a

El número 1a está ubicado a una unidad hacia la derecha del número a . Medir la distancia de una unidad es medir la distancia que hay entre 0 y 1 ó entre dos números enteros consecutivos cualesquiera. Para ubicar el numero 1a hay que tomar la medida que hay entre 0 y 1, y marcar un segmento con esa medida comenzando en a

hacia la derecha. De igual forma se puede ubicar el numero 1a , a una unidad hacia la derecha de .a En el ítem b del primer problema, hay que ubicar en la recta numérica el número .a

Analizando la gráfica podemos preguntarnos:

¿Por qué el número a está ubicado a la izquierda del cero? ¿Por qué no tiene el signo menos? A esto podemos responder diciendo que a es una letra que representa a cualquier número y puede estar ubicado en cualquier lugar. Como a está ubicado a la izquierda del cero es un número negativo. Saber esto hace que no sea necesario ponerle el signo menos adelante. De esta manera, el número a es el opuesto de a y se ubica a la misma distancia del 0 a la que se encuentra a , pero en el sentido contrario.

0 1 a

0 a

0 1 a -a

0 1 a -a -a+1 a+1

0 a

0 a -a



O sea, como el número a se encuentra a la izquierda del 0, es negativo, por lo que su opuesto, a , es positivo. Para ver este concepto más claramente analizamos estos ejemplos: Si 5, 5; si 6, 6a a a a

Los números racionales y la recta numérica En la siguiente recta numérica se encuentran representados los números 0, a y b.

¿Dónde se ubican los números: ; ;2 2 2

a a b ab

?

Solución: Para ubicar el punto 2

a es necesario conocer el punto medio entre 0 y a, ya

que 2

aes la mitad de a. Para marcar el punto

2

a b, se puede ubicar primero a b , y

luego dividir esa distancia, entre 0 y a b , en 2 partes iguales. También podemos

considerar que la expresión 2

a brepresenta el promedio entre a y b, o sea el punto

medio. La expresión 2

ab , está representada por el punto que esta ubicado a la

derecha de b, a un a distancia de 2

a; o bien a la derecha de

2

auna distancia de b.

A tener en cuenta:

Lo números a y –a se denominan inversos aditivos u opuestos y verifican que:

0a a .

Los números naturales, ℕ, sus opuestos y el cero forman el conjunto de los

números enterosℤ

Los racionales, ℚ, son números x que se pueden expresarse como fracción p

q,

en la cual p es un número entero que se denomina numerador q es entero distinto de cero que se denomina denominador.

Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como decimal.

Fracciones comunes:

Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.

Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador

Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.

0 a b

2

a

2

a b 2

ab

0 a b



Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si: a c

a d b cb d

La unión de los racionales (ℚ) y los Irracionales (𝕀) da como resultado el conjunto de los Números Reales ℝ

Operaciones Fundamentales enℝ:

El manejo fluido de las operaciones en los distintos conjuntosnuméricos y sus propiedades es fundamental para el estudio de prácticamente todas las ramas de la matemática. Es por esto que consideramos conveniente repasar estos conceptos. Para todo número real las cuatro operaciones fundamentales son: Adición o Suma: a b Multiplicación: .a b Sustracción o Resta: a b

División: : , con 0a

a b bb

Propiedades

a) La suma y el producto cumplen la propiedad conmutativa:

∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: a+b = b+a

∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ:a.b = b.a

b) La suma y el producto cumplen la propiedad asociativas:

∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: (𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐)

c) La multiplicación es distributiva respecto de la suma:

∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: (𝑎 + 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐

∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐

d) Existen elementos llamados neutros para la suma y el producto:

∃ 0 ϵℝ / ∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: a+0 =0+a = a El 0 es el neutro para la suma

∃ 1 ϵℝ / ∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: a .1 =1. a = a El 1 es el neutro para la multiplicación

e) Existencia del inverso aditivo (opuesto):

∀𝑎ϵℝ, ∃(−𝑎)/ 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0 (-a) es el opuesto de a y es único

f) Existencia del inverso multiplicativo (recíproco):

∀𝑎ϵℝ, ⋀𝑎 ≠ 0, ∃𝑎−1ϵℝ 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1. 𝑎 = 1

1 1a

a

se llama inverso o reciproco de a

g) propiedad uniforme:

∀𝑎, 𝑏, 𝑐ϵℝ {𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐

𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎 . 𝑐 = 𝑏 . 𝑐

de la segunda se desprende que Si , 0a b

a b cc c



A tener en cuenta

La propiedad uniforme es muy importante para la resolución de ecuaciones

Por ejemplo: Escriba aquí la ecuación.

2 10Si 2 10 o bien Si 4 5 4 ( 4) 5 ( 4)

2 2

5 1

xx x x

x x

Si cancelamos utilizando sumas y restas, el resultado es 0, el elemento neutro de la suma:

Ejemplo: 2x 3 2x 3; 3y y y x y 3 2y 3x

Si simplificamos utilizando productos y cocientes, el resultado el 1; el elemento neutro del producto. Por ejemplo:

4 . 𝑥

𝑥= 4.1 = 4conx≠0 o

2( 1)x

2( 1)x 1

Si aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma a la

siguiente expresión: 1 1 1. .a b c a b a c que es lo mismo que escribir:

b c b c

a a a

. Por lo que vale la propiedad de la división respecto a la suma a

derecha.

Esta propiedad que acabamos de ver no vale en el siguiente caso: a a a

b c b c

Es decir, no vale la propiedad distributiva de la división respecto a

la suma a izquierda

Potenciación de Números Reales

Potencia: Se define como potencia enésima de un número a, na , al producto de n factores iguales a a. El númeroa ϵ ℝes la base de la potencia, el númeron ϵ ℕ es el exponente.

veces

...n

n

a a a a a

También se define

∀𝑎𝜖ℝ⋀𝑎 ≠ 0: 𝒂𝟎 = 𝟏 ⋀ 𝒂𝟏 = 𝟏 ⋀ 𝒂−𝒏 =𝟏

𝒂𝒏

Ejemplo:



3 32

2 3

2

1

1

1

x a ax aby b y x y

b

Podemos observar que el signo menos del exponente produce en la expresión un cambio de numerador por denominador, quedando luego del cambio con el exponente positivo.

Propiedades de la Potenciación:

A tener en cuenta La potenciación no es distributiva respecto de la suma y de la resta. Observa atentamente:

2 2 2

2

4 3 4 3

7 16 9

49 25

3 3 3

3

5 3 5 3

2 125 27

8 98

Sean a y b números reales no nulos; m y n números enteros.

1. Producto y Cociente de Potencias de Igual Base:

, con 0n

n m n m n m

m

aa a a a a

a

2. Potencia de Otra Potencia:

m

n n ma a

3. Distributiva de la Potencia respecto del Producto y del Cociente:

n nn n n

n

a aa b a b

b b

4. Potencia de exponente fraccionario:

𝑎𝑚𝑛 = √𝑎𝑚𝑛



Radicación – Raíz n-ésima: Dado un número n natural y un número a real, se define la raíz n-ésima de a, y se

escribe n a , al único número real b, tal que nb a .

∀ 𝑎 𝜖 ℝ, 𝑛 𝜖 ℕ, 𝑛 > 1:

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟: √𝑎𝑛

= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟: √𝑎𝑛

= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≥ 0 Ejemplos:

𝑎) √1253

= 5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 53 = 125

𝑏) √−325

= −2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−2)5 = −32

𝑐) √814

= 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 34 = 81

𝑑) √−164

∉ ℝ porque no existe ningún número real que elevado a la cuarta potencia de por resultado -16. Esto ocurre con todos los cálculos de raíces de índice par de números negativos, es por eso que estos casos no son considerados en la definición de radicación en ℝ

Propiedades de la Radicación:

Sean a un número real no nulo; m y n números naturales.

1. Simplificación:Se puede simplificar cuando la base de la potencia es no

negativa, por lo tanto: Si 0, entonces n na a a

Si es impar Si es par n nn nn a a n a a

2. Propiedad Distributiva:

La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y división,

siempre que existen las raíces de los factores que intervienen

√𝑎. 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

. √𝑏𝑛

√𝑎

𝑏

𝑛= √𝑎𝑛

√𝑏𝑛 con b≠0

La radicación no es distributiva respecto de la adición y sustracción

3. Raíz de otra Raíz

√ √𝑎 𝑚𝑛

= √𝑎𝑛.𝑚

=

4. Potencia de una Raíz

( √𝑎𝑛

)𝑝

= √𝑎𝑝𝑛= 𝑎

𝑝𝑛



A tener en cuenta Ahora vamos a ver algunas reglas importantes para la operatoria con raíces:

Para simplificar exponentes e índices, se debe tener en cuenta que las operaciones estén bien definidas. Por ejemplo:

a. 4

4 3 , no se puede simplificar, ya que 4 44 3 81 3 , si hubiéramos

simplificado el resultado que se obtiene es 44 3 3 y sabemos por la

definición dada que si el índice de la raíz es par, la raíz es positiva

b. 6

12 3 , no se puede simplificar, si lo hacemos quedaría 3 , que no está

definida. Se puede simplificar cuando la base de la potencia es no negativa, por lo tanto:

Si 0, entonces n na a a



TRABAJO PRÁCTICO 1

1) Señala, entre los números siguientes, cuáles son naturales, cuáles enteros, cuáles racionales y cuáles irracionales:

2 1; 5; 0,7; ; 3; 2; 3, 4; ; 3; 2 ; 0;

3 7 2e

2) Dados los siguientes números: 20

29;

12

17;

13

12;

12

11

a) ¿Son mayores o menores que 1? b) Ordénalos de menor a mayor

3) Indica en la recta numérica los opuestos a los números ubicados en ella -b a 0 c a) ¿Es a un número positivo? ¿Por qué? b) ¿Es b un número positivo? ¿Por qué? c) Da un ejemplo numérico de los valores que pueden adoptar a y b d) ¿Dónde ubicarías el número a+1? ¿Qué consideras para ello? 4) Resuelve las siguientes operaciones y justifica escribiendo la/s propiedad/es

aplicada/s

5) Responde a las siguientes preguntas, justificando las respuestas.

¡¡Atención!!:

Para justificar

primero expresa, por

escrito, con tus

palabras la propiedad

en R que aplicas,

luego hazlo

formalmente, utiliza

lenguaje algebraico.

Elabora un glosario

que te ayude a seguir

trabajando.

(Si es necesario,

consulta el enunciado

de las propiedades de

las operaciones en R)

a)

22

3

b) 035 c)2(3.5) d)

2( 4 )

e) 3( 1) f) 2

1

9 g) 23

4 h)3 2( 3 )

i) 25 j)

25

9

k) 31

27

l) 8

73

ll)2

26 m)

5

35 n)

7

3.7 ñ)

3

5.32

o) 25

6

5

4 p)

4

9.

11

2 q)

2

15

8

5

r) 32.2

s) 1

23. 4 25 t) 1

23. 4 32

u) 23.72

v) 9 w) 3 8 x) 4 y) 0

2 z)

7

0



a) ¿Es conveniente simplificar el 2 del numerador con el 2 del denominador en el ejercicio ll? Porqué? ¿Y el 7 del numerador con el 7 del denominador en el ejercicio n?

b) ¿Es posible distribuir el exponente ½ respecto al producto del ejercicio s?, ¿y el 3? ¿y el exponente – ½ respecto a la suma del ejercicio t?, ¿y el 3?Justifica cada respuesta

c) ¿Será posible resolver el ejercicio s de una manera diferente a como la hicieron?

d) Observen los resultados desde el ejercicio ll hasta el q ¿Qué pueden concluir acerca de las simplificaciones?

e) Observen los resultados desde el ejercicio v hasta el x ¿Qué pueden concluir? 6) Clasifique cada igualdad como verdadera o falsa. Si no es correcta, modifique el

miembro derecho para obtener una igualdad verdadera.

a) 34 ∙ 32 = 38

b) 104

54 = 24

c) 34 + 34 = 38

d) 1

2−3 = −23

e) (22)3 = 28

f) (2

3)

4

=24

3

g) (𝑎2𝑏)3 = 𝑎2𝑏3

h) (2 + 𝜋)−2 =1

4+

1

𝜋2

i) 25 ∙ 22 = 47

j) (−27)0 = 1

k) (𝑎 + 𝑏)0 = 𝑎 + 1

l) 2−5

23 = 2−2

m) 93

93 = 1

n) (20)3 = 23

o) 𝑎2 + 𝑎2 = 2𝑎2

p) √16 + 25 = √16 + √25

q) (𝑎 + 𝑏)1

3⁄ = 𝑎1

3⁄ + 𝑏1

3⁄

r) √83

∙ √8 = √646

s) 2√(𝑥 + 1) = √4𝑥 + 4

t) √(𝑥 − 1)2 = 𝑥 − 1

u) √𝑥9 = 𝑥3

𝑎−12⁄ + 𝑏−1

2⁄ =1

√𝑎 + 𝑏



7) Calcule el valor numérico aplicando propiedades. Verifique con la calculadora:

a) −105

b) [(1

2)

3

]2

c) 20 + 21 + 22

d) (1

2)

4(−2)4

e) (−3)2(−2)3

f) 32

30

g) (2

3)

0

+ (2

3)

1

h) (−2)5

(−2)3

i) (−3

4)

3

j) 3−3

4−3

k) 23∙34∙45

22∙33∙44

l) (2

3)

−2

+ (2

3)

−1

m) 83

162

n) [(−7)2(−3)2]−1

o) 210

43

p) 81−12⁄

q) 64−23⁄

r) (−125)2

3⁄

s) √93

∙ √−33

t) √−3

3

√−243

u) √9

27−13⁄

v) √(−125)(−1000)3

w) √√625

x) √144 + 25

y) √144 + √25

z) (−125

8)

13⁄

− (1

64)

13⁄

8) Resuelve los siguientes problemas

a) Tres recipientes contienen agua, el primero 47

50 litros, el segundo

55

62 litros y el

tercero 30

33 litros. ¿Qué recipiente tiene menos agua y cuál más?

b) En el colegio, 3

1 de los alumnos estudia inglés y un 33% francés. ¿Cuál es la

lengua más elegida?

c) Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de zinc. ¿cuántos kilogramos de cada metal habrá en 348 kg de aleación?

d) Luís invita a sus amigos una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Luís come el resto. ¿cuánto come?

e) Dado un cordón Juan toma la mitad. De lo que queda Pedro toma la mitad; de lo que queda María toma la mitad; de lo que queda Carmen toma 2/5. Al final quedan 30 cm. ¿cuál era la longitud del cordón?

9) Analice la siguiente demostración y explique cuál fue el error cometido.

4 = √16 = √(−4) ∙ (−4) = √−4 ∙ √−4 = (√−4)2

= −4



10) Calcule el perímetros de las siguientes figuras:

a) b) 20 cm

2 5 cm 32 cm

cm 5 18 cm

c) 40 cm

d)

5 cm

7 cm cm10

11) Hallar el valor exacto del área de las siguientes figuras. Todas las medidas están dadas en centímetro.

1+ 27

a)

3

b) c)

3 2 12

2 3 4 22

12) Completar con, o según corresponda:

N Z Q I R

1

2/3 3 5

-3

8

4,4

3,5

3,89



Intervalo en la recta real

Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualquiera de sus elementos.

Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.

Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.

Sean a y b dos números reales tales que a b.

Intervalo cerrado

Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.

[a, b] = { x / a ≤ x ≤b}

Intervalo abierto

Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)

Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)

Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.

[a, b) = { x / a ≤ x < b}



Intervalos infinitos

[a, +∞) = { x / x ≥ a} (a, +∞) = { x / x >a}

-∞, b] ={ x / x ≤ b} -∞, b) = { x / x < b}

-∞, +∞ ) = R

Ejemplo. Interprete gráficamente los intervalos: a) [2, 3] b) (1, 4) c) (0, 5] d) [1, +∞) e) (-∞ , 3)

a) El intervalo comprende todos los números reales entre incluye los extremos. Su representación gráfica es:

b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:

c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha. Su gráfica es:

d) El intervalo [1, +∞) es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:

e) El intervalo (-∞, 3) es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su gráfica es:



A modo de resumen:

Nombre del intervalo

Notación conjuntista

Notación de

intervalos Representación gráfica

Abierto {x / a < x < b} (a, b)

Semicerrado a derecha

{x / a < x ≤ b} (a, b]

Semicerrado a izquierda

{ x / a ≤ x < b} [a, b)

Cerrado { x / a ≤ x ≤ b} [a, b]

Infinito abierto a izquierda

{ x / x > a} (a, +∞ )

Infinito cerrado a izquierda

{ x / x ≥ a} [a, +∞ )

Infinito abierto a derecha

{ x / x < b}

Infinito cerrado a derecha

{ x / x ≤ b} -∞ , b]

Infinito R -∞ ,

+∞ )

Módulo de un número real

Llamamos modulo o valor absoluto de un número real x a la distancia entre dicho numero y cero. Lo simbolizamos así: |𝑥|

Ejemplo1: los números 4 y-4 son opuestos ya que tienen distintos signos e igual módulo, porque están a la misma distancia de cero. Es decir que: |4| = |−4| = 4 Ejemplo 2: |−6| = 6 -4 0 4 Por otra parte, como la distancia desde el número cero hasta si cero es … , resulta: |0| =. ..



Es decir que tanto el modulo de 0 como el de un numero positivo es el mismo número, mientras que el modulo de un número negativo es el …………..de ese número.

Simbólicamente: |𝑥| = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

Existe otra forma de expresar el modulo de un número real, en la que interviene la raíz cuadrada de 𝑥2:

|𝑥| = √𝑥2

Esta expresión del módulo nos resultará útil cuando en una ecuación sea necesario despejar una incógnita que esté elevada a una potencia par. Notación científica

La notación científica es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de

base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o

muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

Siendo:

un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre

de coeficiente.

un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

Ejemplos: a) 12300000=1,23x108 b) 0.00000045=4,5x10−7

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero

http://es.wikipedia.org/wiki/Exponente

http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_magnitud



otros ejemplos:

Logaritmo de un número

El logaritmo en base b de un número a es el número c, si b elevado al exponente c da como resultado a.

En símbolos: 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 = 𝒄 ⇔ 𝒃𝒄 = 𝒂

b es la base del logaritmo y debe ser un numero real positivo y distinto de 1. a es el argumento del logaritmo y debe ser un numero real positivo. Ejemplos:

a) 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟗 = 𝟐 ⇔ 𝟑𝟐 = 𝟗 b) 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 = −𝟑 ⇔ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏

Propiedades de los logaritmos

Completen el siguiente cuadro:

Enunciado Expresión simbólica Ejemplo numérico

El logaritmo de 1 en cualquier base , es 0

log𝑏 1 = 0 log5 1 = 0 ⇔ 50 = 1

log𝑏 𝑏 = 1



El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores, si estos existen.

log𝑏(𝑥. 𝑦) = log𝑏 𝑥 + log𝑏 𝑦

El logaritmo de un cociente es igual a la resta entre los logaritmos del dividendo y el divisor, respectivamente, si estos existen.

log𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛. log𝑏 𝑎

Cambio de base log𝑐 𝑎 =

A tener en cuenta: Cuando la base es 10, los logaritmos se llaman decimales, en ellos no es necesario indicar la base. Es decir que:

log 𝑥 = log10 𝑥

Otros logaritmos que se utilizan con mucha frecuencia son los logaritmos naturales ( se escribe: ln). Estos logaritmos tienen como base un número especial: el numero e. en símbolos:

ln 𝑥 = log𝑒 𝑥



Trabajo practico N° 2

Intervalos en la recta real

1) Escriba como intervalo el conjunto definido sobre la recta real.

a) b)

c) d)

e) f)

2) Escriba, si es posible, como intervalo o unión de intervalos los siguientes conjuntos de números reales:

a)𝑨 = {𝟓 < 𝑥 < 9 }

b) B = { x / ≤ x < 3}

c)𝑪 = {𝒙 < 2 𝑜 𝑥 > 2} d) D = { x / -4 ≤ x ≤ 2 y x >

3) Escriba en notación conjuntista los siguientes intervalos de números reales:

a) b) , c)

d) e)

f) [4, 9]

4) escribe como potencia de base 10: a) un millon b) mil millones c) un billon 5) efectua a mano utilizando notacion cientifica y comprueba despues con la caluculadora: a) (3,74. 10−10). (1,8. 1018) b) (5,42. 108). (6,8. 1012) c) (1,2. 107) ÷ (5. 10−6)

d) (6. 10−7)2 e) (2,8. 10−5) ÷ (6,2. 10−12) f) (7,2. 10−6)3 ÷ (5,3. 109)

g) 7,86.105 − 1,4. 106 h) 3.10−10 + 7. 10−9 i) 4,310−5 + 1,2. 10−4 6) calcula en notacion cientifica sin usar la calculadora:

a) (800000 ÷ 0,0002). (0,5. 1012) b) 0,846.10−5 + 93. 10−9 − 6. 10−7



Logaritmación

1) Calcular los siguientes logaritmos: a) log2

4l b) log2

64 c) log2

128 d)log2

1

2 e) log

2

1

4

2) Calcular los siguientes logaritmos: a)log 1 b)log 10 c)log 100 d)log 1/10 e)log 1/1000

f)log 10 g)log 100

3) Hallar el valor de: a) log 1000-log0.001+log 1/1000 b) log 7 + log 1/7 .

4) Calcula el valor de "x" en las siguientes expresiones: a) log2

116 = 𝑥 ; b) log𝑥

125 = 3

c) log3

𝑥 = 4 . Usando definición de logaritmo.

5) Sabiendo que log a = 3 y log b = 5. Calcula: a) log (a·b ) b) log( a/b) c) log (𝑎 2) .

6) Utiliza las propiedades de los logaritmos para calcular el valor de las siguientes

expresiones, teniendo en cuenta que log k 1,2: a) 1000log4

𝑘, b) 3log100

𝑘

7) Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión utilizando las propiedades de

los logaritmos: ln 25+ ln 3 1 - ln 2 -16 ln 3

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA - Facultad de Ciencias...

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