Introducción a la Lógica Matemática

7/29/2019 Introduccin a la Lgica Matemtica

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Apuntes de Curso

Introduccion a la Logica Matematica

Juan Mayorga-Zambrano, Ph.D.Universidad Tecnologica Israel

[email protected]

Septiembre 2012

Resumen

Se haceun breve introduccionalCalculo Proposicional conocido comoDeduccionNatural. A partir de los Principios de la Logicay de las Reglas de Inferencia basicas seconstruyen las Reglas Derivadas, el concepto de Equivalencia Logica y se presentanlos Metodos de Demostracion.

Topicos

1. Introduccion 21.1. Principios de la Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Conectores y operadores logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Condicion necesaria. Condicion suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. La conjuncion 62.1. Introduccion de la conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Eliminacion de la conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Tablas de verdad de la conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. La disyuncion 73.1. Introduccion de la disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2. Eliminacion de la disyuncion (Dilema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3. Tablas de verdad de la disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Condicional 94.1. Introduccion del condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2. Eliminacion del condicional (Modus Ponens) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3. Tablas de verdad del condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Negacion 115.1. Introduccion de la negacion (Reduccion al Absurdo) . . . . . . . . . . . . . 115.2. Eliminacion de la Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3. Tablas de verdad de la negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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6. Conectores logicos derivados 136.1. Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2. Disyuncion Exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.3. Conjuncion Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7. Reglas de Inferencia Derivadas 147.1. Silogismo Hipotetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.2. Mutacion de las Premisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.3. Conmutatividad de la Conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.4. Principio del Tercer Excluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.5. Modus Tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.6. Contrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.7. Introduccion de la Doble Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.8. Principio de Contradiccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.9. Carga de Premisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.10. Inferencia Alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.11. Silogismo Disyuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.12. Dilema Destructivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.13. Conmutatividad de la Disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.14. Ley Asociativa de la Disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.15. Definicion del Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8. Falacias 188.1. Falacia de la Afirmacion del Antecedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.2. Falacia de la Negacion del Consecuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9. Equivalencia e Implicacion Logicas 189.1. Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9.2. Leyes de Absorcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.3. Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.4. Leyes de Reemplazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10. Metodos de Demostracion 2010.1. Metodo Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010.2. Contrarrecproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.3. Reduccion al Absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

11. Ejercicios adicionales 22

1. Introduccion

Presentamos a continuacion una introduccion breve a los rudimentos de la LogicaMatematica, desde la perspectiva del Calculo Proposicional de Gentzen y Jaskowski,mejor conocido como Deduccion Natural ([4], [7], [5]). El lector encontrara en [3] y [2]una exposicion muy entretenida y didactica a la materia; en tanto que en [1] se tieneun manual practico de referencia. Para una resena historica sobre la Deduccion Naturalvease e.g. [6].

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1.1. Principios de la Logica

Definicion 1.1. [Proposicion]Una proposicion es una expresion verbal o escrita de la que se puede verificar si es verdadera(denotada por V o 1) o falsa (denotada F o 0).

Una proposiciones simple cuandoesta formada por un unico enunciado. Las proposi-ciones simples son usualmente representadas por letras. Por otro lado, una proposicioncompuesta esta formada por dos o mas simples vinculadas entre s por conectoreslogicos como la conjuncion, y, la disyuncion,o, condicional, si ... entonces, etc.

Ejemplo 1.1. Representemos algunas proposiciones:

P: El pizarron es negro.

P S: El pizarron es negro y rosado.Q: Mi nombre es Pedro.

W

Q: Mi nombre es Juan o Pedro.

U: 3+6 = 9.

U U: 3+6 = 9 y 3+6 9.L M: Si llueve entonces el patio se moja.Es claro que las proposiciones P, Q, W, L, M y U son proposiciones simples.

Definicion 1.2. [Razonamiento]Un razonamiento consiste en pasar de un conjunto de proposiciones - llamadas premisas, a una

proposicion - llamada conclusion.

1 P1

2 P2

3 P3

4 P4

5 C

En este esquema, a partir de las premi-sas Pi, i = 1,2,3,4, se obtiene la conclusionC. En un razonamiento es habitual sacar

conclusiones parciales antes de obtener laconclusion final.

A base de razonamientos, validos o equivocados, nuestra mente toma decisiones; portanto, es fundamental conocer bajo que condiciones o principios un razonamiento es ono valido,1 es decir debemos contestar a la siguiente pregunta: bajo que condicionespodemos asegurar que las conclusiones obtenidas estan sustentadas por las premisas?

No olvide que una premisa puede ser verdadera o falsa.

Establezcamos entonces los principios que deberan guiarnos para que las conclusio-nes que obtengamos sean verdaderas.

Principio 1. Un razonamiento que usa alguna premisa falsa no es valido.

Por tanto, para que no perdamos el tiempo con un razonamiento, es una costumbre sanaverificar primero que las premisas sean todas verdaderas.

1No se deben confundir los terminos verdadero y falso - que se aplica a una proposicion - con los terminosvalido y no valido - que se aplican a un razonamiento.

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Para establecer el siguiente principio de la Logica, establezcamos primero el conceptode consistencia.

Definicion 1.3. [Consistencia]Un conjunto de premisas es inconsistente si de ellas se puede sacar como conclusion una propo-sicion as como su negacion.

Principio 2. Un razonamiento que usa un conjunto inconsistente de premisas no es valido.

En otras palabras, un razonamiento no puede ser valido cuando sus premisas provocancontradicciones.

Ejercicio 1.1. Trate de sustentar la validez del Principio 2 a partir del Principio 1.

Ahora bien, podra lo falso estar contenido en lo verdadero? Es decir, es validoobtener una conclusion falsa a partir de premisas verdaderas? Esto nos lleva a un nuevoprincipio de la Logica.

Principio 3. Si a partir de premisas verdaderas un razonamiento produce una conclusion falsa,entonces ese razonamiento no es valido.

Asimismo necesitamos una herramienta que nos permita establecer la no-validez deun razonamiento que partiendo de premisas verdaderas lleva a una conclusion verda-dera. Los dos principios que se enuncian a continuacion salvan esta situacion.

Principio 4. La validez o no-validez de un razonamiento depende de su estructura (la forma enque se lo enuncia), independiente de los contenidos.

Al principio anterior se le conoce como Principio de Validez.

Principio 5. Si (la estructura de) un razonamiento admite un cambio de contenidos que provocaque las premisas sean verdaderas y la conclusion sea falsa, entonces este razonamiento no es

valido.

Por tanto, si intuimos que un razonamiento no es valido y queremos probar que esa esefectivamente la situacion, deberamos extraer su estructura y buscar un contraejemplo,es decir una situacion en que las premisas sean verdaderas y la conclusion falsa. Alprincipio anterior se le conoce como el Principio del Contraejemplo.

Finalmente, el siguiente principio enuncia las herramientas que permiten administrarun conjunto de premisas verdaderas y consistentes para obtener - de una forma valida- conclusiones verdaderas.

Principio 6. La validez de un razonamiento se puede establecer con la ayuda de las Reglas deInferencia.

1.2. Conectores y operadores logicosA partir de la Seccion 2 abordamos las Reglas de Inferencia. En el Cuadro 1 se

presentan los conectores logicos basicos y los operadores que los representan.Con respecto al orden o jerarqua de los operadores se deben tener en cuenta los

siguientes puntos.

1) Cuando hay parentesis la ubicacion de estos indicara cual es el operador domi-nante.

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Cuadro 1: Conectores logicos

Conector Operador Aplicacion InterpretacionConjuncion P Q P y QDisyuncion P Q P o QCondicional P Q Si P entonces Q

Negacion P No P (Es falso P)

2) Cuando hay signos de puntuacion se los puede reemplazar por signos de agrupa-cion.

3) Cuando no hay puntuaciones ni parentesis se mantiene el siguiente orden dejerarqua:

a) ;b) ;c) , , , ;d) .

4) Si la proposicion tiene el mismo tipo de operador o de igual fuerza se colocan losparentesis de izquierda a derecha.

Ejemplo 1.2. La proposicionP S Q R

se puede escribir como[(P S) Q] R

Ejemplo 1.3. La proposicion

P

Q

R

S

se puede escribir como[(P Q) R] S

1.3. Condicion necesaria. Condicion suficiente

Consideremos las proposiciones R y S.

Se dice que S es condicion suficiente para R si cada vez que S ocurre inmedia-tamente sabemos que tambien ocurre R. Como veremos mas adelante esto quieredecir que la proposicion

S Res verdadera.

Se dice que S es condicion necesaria para R si cada vez que R ocurre inmedia-tamente sabemos que tambien ocurre S. Como veremos mas adelante esto quieredecir que la proposicion

R Ses verdadera.

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2. La conjuncion

En la Seccion 1.1 mencionamos que existen Reglas de Inferencia que permiten anuestra mente realizar razonamientos validos, es decir sacar (de una forma logicamentevalida) conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas y consistentes. Lasreglas que presentaremos a partir de esta seccion constituyen la base de la DeduccionNatural ([4], [7], [5]).

Empezamos nuestro estudio con el conector logico llamado conjuncion. Es represen-tado por el operador de manera que la proposicion compuesta P Q se interpretacomo P y Q. Es importante entender bajo que circunstancias se puede introducir unaconjuncion y, de la misma manera, saber cuando se pueden separar las proposicionessimples que componen una conjuncion.

2.1. Introduccion de la conjuncion

Ejemplo 2.1. Es verdad que

P: 5 es un numero entero

y tambien que

Q: 5 es un numero real positivo

por tanto

P Q: 5 es un numero entero y 5 es un numero real positivoy tambien es cierto que

Q P: 5 es un numero real positivo y 5 es un numero enteroLa estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 2.1 es valida, independiente

de sus contenidos, y se esquematiza de la siguiente manera:

1 P

2 Q

3 P Q I, 1, 2(2.1)

Tambien es valido el razonamiento

1 P

2 Q3 Q P I, 1, 2

(2.2)

Mas adelante veremos que las proposiciones P Q y QP son equivalentes.

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2.2. Eliminacion de la conjuncion

Ejemplo 2.2. Sabemos que

P Q : es un numero irracional y positivopor tanto es cierto que

P: es un numero irracional

y tambien es cierto que

Q: es un numero positivo

La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 2.2 es valida, independientede sus contenidos, y se esquematiza de la siguiente manera:

1 P Q2 P E, 1

(2.3)

Tambien es valido el esquema

1 P Q2 Q E, 1

(2.4)

2.3. Tablas de verdad de la conjuncion

Por lo visto en las Secciones 2.1 y 2.2, para que P Q sea verdadera es condicionnecesaria y suficiente que tanto P como Q sean verdaderas. Observe las tablas de verdadpresentes en los Cuadros 2 y 3.

Cuadro 2: La veracidad de P y Q es suficiente para establecer la veracidad de P

Q.

P Q P Q0 0 00 1 01 0 01 1 1

Cuadro 3: La veracidad de P y Q es necesaria para establecer la veracidad de P Q.P Q P Q

1 1 1

3. La disyuncion

El conector logico llamado disyuncion es representado por el operador . La propo-sicion compuesta P Q se interpreta como P o Q. Es importante entender bajo quecircunstancias se puede introducir una disyuncion y, de la misma manera, saber cuandose puede eliminarla.

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3.1. Introduccion de la disyuncion

Ejemplo 3.1. Es cierto que

P: El autor de estas notas se llama Juan

por tanto

P Q: El autor de estas notas se llama Juan o Arturoy tambien es cierto que

R P: El autor de estas notas se llama Carlos o JuanLa estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 3.1 es valida, independiente


1 P

2 P Q I, 11 Q

2 PQ I, 1

Como se vera mas adelante, las proposiciones P Q y Q P son equivalentes.

3.2. Eliminacion de la disyuncion (Dilema)


P Q : Carlos es patateno o pillare no

Asimismo sabemos queP T: Si alguien es patateno entonces es tungurahuense

y que

Q T: Si alguien es pillareno entonces es tungurahuensepor tanto

R : Carlos es tungurahuense


1 P Q2 P R3 Q R4 R E, 13

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Cuadro 4: La falsedad de P y Q es suficiente para establecer la falsedad de PQP Q P

Q

0 0 00 1 11 0 11 1 1

Cuadro 5: La falsedad de P y Q es necesaria para establecer la falsedad de P QP Q P Q

0 0 0

3.3. Tablas de verdad de la disyuncionPara que P Q sea falsa es condicion necesaria y suficiente que tanto P como Q sean

falsas. Observe las tablas de verdad presentes en los Cuadros 4 y 5.

4. Condicional

El conector logico llamado condicional es representado por el operador . La propo-sicion compuesta P Q se interpreta como si P entonces Q. Es importante entender

bajo que circunstancias se puede introducir un condicional y, de la misma manera, sabercuando se lo puede eliminar.

4.1. Introduccion del condicionalEjemplo 4.1. Recordemos que, por definicion, un numero es natural si es entero y positivo.

Ahora bien, supongamos que

N: n es un numero natural

esto quiere decir que

E P : n es un numero entero y n es un n umero positivopor tanto, por eliminacion de la Conjuncion, se tiene que

P : n es un numero positivo

Por tanto hemos probado que

N P : Si n es un numero natural, entonces n es un positivoLa estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.1 es valida, independiente


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1 P

.

.

.

.

.

.

n Q

n+1 P Q I, 1n

(4.5)

Metodo de Demostracion Directo

Puesto que la estructura de un Teorema2 es

P Q,la Introduccion del Condicional establece el Metodo de Demostracion Directo de unTeorema. En efecto, en (4.5) P representa la conjuncion de todas las hipotesis o condicio-

nes del Teorema, los puntos verticales representan todos los resultados o conclusionesparciales en el proceso de demostracion de la tesis Q.

4.2. Eliminacion del condicional (Modus Ponens)


P Q : Si llueve en mi barrio, entonces mi jardn se moja.Ahora bien, miro que

P : Llueve en mi barrio

por lo que puedo concluir, con toda seguridad, que

Q : Mi jardn se esta mojando


1 P Q2 P

3 Q E, 1, 2

El Modus Ponens es utilizado cada vez que aplicamos un Teorema. Por tanto, para aplicar un Teore-

ma a la resolucion de un problema, deben verificarse todas las hipotesis o condiciones establecidas en su

enunciado.

4.3. Tablas de verdad del condicional

Para que P Q sea falsa es condicion necesaria y suficiente que el antecedente, P,sea verdadero y que el consecuente, Q, sea falso. Observe las tablas de verdad presentesen los Cuadros 6 y 7.

2Que es la misma estructura de los Lemas, Corolarios y Proposiciones.

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Cuadro 6: La veracidad del antecedente y la falsedad del consecuente son condicionsuficiente para la falsedad del condicional.

P Q P Q0 0 10 1 11 0 01 1 1

Cuadro 7: La veracidad del antecedente y la falsedad del consecuente son condicionnecesaria para la falsedad del condicional.

P Q P Q0 1 0

5. Negacion

Elconectorlogicollamado negacion es representadopor el operador.Laproposicioncompuesta P se interpreta como no P o lo contrario de P o no es cierto P. Esimportante entender bajo que circunstancias se puede introducir una negacion y, de lamisma manera, saber cuando se la puede eliminar.

5.1. Introduccion de la negacion (Reduccion al Absurdo)

Ejemplo 5.1. Supongamos que

C : El rey de Ecuador es tolerante.

Ahora bien, es claro que

C E : Si el rey de Ecuador es tolerante, el rey existe.Pero entonces, por el Modus Ponens,

E : El rey de Ecuador existe.

Pero, puesto que Ecuador es una Republica,

E : El rey de Ecuador no existe.Entonces tenemos que

E E : El rey de Ecuador existe y el rey de Ecuador no existeque es una contradiccion. Estamos entonces autorizados a concluir que

C : No es cierto que el rey de Ecuador es tolerante.La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 5.1 es valida, independiente


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1 P

.

.

.

.

.

.

n EEn+1 P I, 1n

La Reduccion al Absurdo establece que si se parte de una suposicion y se llega a unacontradiccion, entonces podemos negar tal suposicion. Como vermos adelante la Reduc-cion al Absurdo es una herramienta para la demostracion de teoremas, proposiciones,etc.

5.2. Eliminacion de la Negacion

Ejemplo 5.2. Leemos en una enciclopedia queM : Es falso que el terreno de Marte no tiene nutrientes.

Entonces estamos en condiciones de concluir que

M : El terreno de Marte tiene nutrientes.


1 P2 P E, 1

5.3. Tablas de verdad de la negacion

Es clara la validez de las tablas de verdad presentes en los Cuadros 8 y 9.

Cuadro 8: Tabla de verdad de la NegacionP P0 11 0

Cuadro 9:

P P0 11 0

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6. Conectores logicos derivados

Los conectores logicos junto con las correspondientes reglas de inferencia presentadosen las Secciones 2-5 constituyen la base del Calculo Proposicional que consideramos, laDeduccion Natural. Por comodidad suelen considerarse, adicionalmente, tres conectoreslogicos derivados; esa es la materia de esta seccion.

6.1. Bicondicional

Dadas las proposiciones P y Q se escribe

P Qpara abreviar la proposicion

(P Q) (Q P)

En este caso, se suele utilizar alguna de las frases siguientesP ocurre cuando y solo cuando Q ocurre;

P es condicion necesaria y suficiente de Q (y viceversa);

P ocurre si y solo si Q ocurre. Esto suele abreviarse P ssi Q.

Para que P Q sea verdadera es condicion necesaria y suficiente que P y Q tenganel mismo valor de verdad. Observe las tabla de verdad presente en el Cuadro 10.

Cuadro 10: El bicondicional P Q establece que P es condicion necesaria y suficientepara Q y viceversa.

P Q P Q0 0 10 1 01 0 01 1 1

6.2. Disyuncion Exclusiva


PQ

para abreviar la proposicion

(P

Q)

En este caso, se suele utilizar alguna de las frases siguientes

o bien P ocurre o bien Q ocurre;

ocurre P o Q ocurre;

ocurre P o Q, pero no las dos.

Para que PQ sea verdadera es condicion necesaria y suficiente que P y Q tengandiferente valor de verdad. Observe las tabla de verdad presente en el Cuadro 11.

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Cuadro 11: Tabla de verdad de la Disyuncion ExclusivaP Q PQ

0 0 00 1 11 0 11 1 0

6.3. Conjuncion Negativa


P Qpara abreviar la proposicion

P

Q

Para que P Q sea verdadera es condicion necesaria y suficiente que tanto P como Qsean falsas. Observe las tablas de verdad presentes en los Cuadros 12 y 13.

Cuadro 12: Tabla de verdad de la Conjuncion NegativaP Q P Q0 0 10 1 01 0 01 1 0

Cuadro 13:P Q P Q

1 0 0

7. Reglas de Inferencia Derivadas

A partir de las Reglas de Inferencia Fundamentales que fueron presentadas anterior-mente se derivan una serie de reglas que son muy utiles y que le permiten a nuestramente alcanzar las conclusiones de una manera mas rapida.

7.1. Silogismo Hipotetico

1 P Q2 Q R3 P R SIL, 1, 2

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Demostracion.

1 P

Q

2 Q R3 P Suposicion,

4 Q E, 1, 35 R E, 2, 46 P R I, 35

7.2. Mutacion de las Premisas

1 P (Q R)2 Q (P R) MUT, 1

Ejercicio 7.1. Demuestre la validez de la Mutacion de las Premisas.

7.3. Conmutatividad de la Conjuncion

1 P Q2 Q P CC, 1

Ejercicio 7.2. Demuestre la validez de la Conmutatividad de la Conjuncion.

7.4. Principio del Tercer Excluido

1 PP TE,

Ejercicio 7.3. Demuestre la validez del Principio del Tercer Excluido.

7.5. Modus Tollens

1 P Q2 Q3 P MT, 1, 2

Ejercicio 7.4. Demuestre la validez del Modus Tollens.

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7.6. Contrapositiva

1 P Q2 Q

3 P Cp, 1, 2

Ejercicio 7.5. Demuestre la validez de la Contrapositiva.

7.7. Introduccion de la Doble Negacion

1 P

2

P IDN, 1

Ejercicio 7.6. Demuestre la validez de la Introduccion de la Doble Negacion.

7.8. Principio de Contradiccion

1 (PP) PC,

Ejercicio 7.7. Demuestre la validez del Principio de Contradiccion.

7.9. Carga de Premisa

1 P

2 Q P CP, 1Ejercicio 7.8. Demuestre la validez de la Introduccion de la Carga de Premisa.

7.10. Inferencia Alternativa

1 P Q2 P3 Q IA, 1, 2

1 P Q2 Q3 P IA, 1, 2

Ejercicio 7.9. Demuestre la validez de la Inferencia Alternativa.

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7.11. Silogismo Disyuntivo

1 PQ2 P R3 Q S4 R S SILD, 13

Ejercicio 7.10. Demuestre la validez del Silogismo Disyuntivo.

7.12. Dilema Destructivo

1

P

Q

2 R P3 R Q4 R DILD, 13

Ejercicio 7.11. Demuestre la validez del Dilema Destructivo.

7.13. Conmutatividad de la Disyuncion

1 P Q2 Q

P CD, 1

Ejercicio 7.12. Demuestre la validez de la Conmutatividad de la Disyuncion.

7.14. Ley Asociativa de la Disyuncion

1 P (Q R)2 (P Q) R AD, 1

Ejercicio 7.13. Demuestre la validez de la Ley Asociativa de la Disyuncion.

7.15. Definicion del Condicional

1 P Q2 (PQ) DC, 1

1 (P Q)2 P Q DC, 1

Ejercicio 7.14. Demuestre la validez de la Definicion del Condicional.

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8. Falacias

Las dos falacias que presentamos a continuacion son muy comunes y es importantereconocerlas y evitar caer en ellas.

8.1. Falacia de la Afirmacion del Antecedente

1 P Q2 Q

3 P AA, 1, 2

8.2. Falacia de la Negacion del Consecuente

1 P Q2 P3 Q NC, 1, 2

9. Equivalencia e Implicacion Logicas

Definicion 9.1. [Equivalencia logica]Existe equivalencia logica entre dos proposiciones (posiblemente compuestas) P y Q, denotadoP Q, si es verdadera la proposicion P Q.

En este caso se pueden utilizar como reglas de inferencia

1 P

2 Q EQ, 1(9.6)

y

1 Q

2 P EQ, 1(9.7)

Definicion 9.2. [Implicacion logica]Se dice que la proposicion Q es una implicacion logica de P si la proposicion P Q es verdadera.En este caso se puede utilizar como regla de inferencia (9.6).

Observacion 9.1. Antes de intentar demostrar una equivalencia logica (o una implicacionlogica) es apropiado verificar mediante la tabla de verdad que P Q (respectivamente P Q)es una tautolog a, es decir que la columna final correspondiente contiene solo valores 1. Perorecuerde que esto no es una demostracion!

Ejemplo 9.1. Consideramos las proposiciones P y P Q. Sospechamos que P Q es una impli-cacion logica de P por lo que construimos la tabla de verdad de P (P Q):

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Cuadro 14: Tabla de verdad de P (P Q)P Q P

Q P

(P

Q)

0 0 0 10 1 1 11 0 1 11 1 1 1

Puesto que la tabla de verdad de P (P Q) es una tautologa procedemos a probar queefectivamente PQ es una implicacion logica de P:

1 P Suposici on,

2 P

Q

I, 1

3 P (P Q) I, 12

9.1. Leyes Distributivas

La conjuncion es distributiva respecto de la disyuncion:

P (Q R) (P Q) (P R) (9.8)

La disyuncion es distributiva respecto de la conjuncion:

P (Q R) (P Q) (P R) (9.9)

Ejercicio 9.1. Pruebe la validez de las Leyes Distributivas 9.8 y 9.9. Construya las tablas deverdad correspondientes.

9.2. Leyes de Absorcion

Se cumplen las siguientes equivalencias

P P (P Q) (9.10)

P P (P Q) (9.11)Ejercicio 9.2. Pruebe la validez de las Leyes de Absorcion 9.10 y 9.11. Construya las tablas deverdad correspondientes.

9.3. Leyes de De Morgan

Se cumplen las siguientes equivalencias

DM1: (P Q) PQDM2: (P Q) PQDM3: (P Q) PQDM4: (P Q) P Q

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Ejercicio 9.3. Pruebe la validez de las Leyes de De Morgan. Construya las tablas de verdadcorrespondientes. Para probar DM3 pruebe primero que

P Q P Q (9.12)

9.4. Leyes de Reemplazo

CuandoP Q,

son validas las siguientes reglas de reemplazo por equivalencia:

1 P R2 Q R RE, 1

1 P

R

2 Q R RE, 1

1 P R2 Q R RE, 1

1 R P2 R Q RE, 1

Ejercicio 9.4. Pruebe la validez de las Leyes de Reemplazo. Construya las tablas de verdadcorrespondientes.

10. Metodos de DemostracionRecordemos que todo Teorema (o Lema o Corolario o Proposicion) tiene la estructura

P Q (10.13)donde P representa la conjuncion de las hipotesis y Q representa la tesis.

10.1. Metodo Directo

Se trata de aplicar la regla de Introduccion del Condicional visto en la Seccion 4.1. Sesupone P y mediante argumentos validos se obtiene Q.

Teorema 10.1. Sea n Z impar. Entonces n2 es impar.Demostracion. Supongamos que n Z es impar. Entonces, por definicion de numeroimpar, existe un kZ tal que

n = 2k+1.

Se tiene entonces que

n2 = 2m+1,

donde m = 2k2+2kZ. Por tanto, por definicion de numero impar, se sigue que n2 Zes impar.

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10.2. Contrarrecproca

La siguiente equivalencia establece un metodo indirecto de demostracion de Teore-mas, Lemas, etc.

P Q Q PTeorema 10.2. Sea a Z tal que a2 es impar. Entonces a Z es impar.Demostracion. Equivalentemente, probemos que si a Z es par, entonces a2 es par.

Supongamos entonces que a Z es par. Por definicion de numero par, existe un kZtal que

a = 2k.


a2 = 2m,

donde m = 2k2

Z. Por tanto, por definicion de numero par, se sigue que a2

Z es

par.

10.3. Reduccion al Absurdo

Se aplica la regla de Introduccion de la Negacion que fue presentada en la Seccion5.1. Se suponen P y Q y mediante argumentos validos se llega a una contradiccion,probandose entonces que Q es verdadera.

Teorema 10.3. El numero

2 es irracional.

Demostracion. Supongamos que

2 es un numero racional. Por la defincion de numeroracional, existen a Z y b Z\ {0}, enteros primos entre s tales que

2 = ab .


a2 = 2b2, (10.14)

de manera que a2 es par y, por tanto, a tambien es par. Entonces existe un kZ tal que

a = 2k,

de manera que, por (10.14), se tiene que

4k2 = 2b2,

es decirb2 = 2k2,

as que b2 es par y b tambien lo es. Tenemos una contradiccion pues si a y b son numerospares, no pueden ser primos entre s.

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11. Ejercicios adicionales

11.1. Pruebe las siguientes equivalencias logicasP (QP) P Q

(P R) (Q R) (PQ) R[(R S) R] T R T

11.2. Pruebe la validez de los siguientes razonamientos. Justifique los pasos.

1 Q S

2 P Q

3 P R

4 S R

5 S

1 P (Q R)

2 P(Q R)

3 P

1 M (E N)

2 M E

3 M N

4 M

11.3. Pruebe la validez de los siguientes razonamientos. Justifique los pasos.

1 TA

2 A E

3 U E

4 U T

1 (LM) P

2 I P

3 M I

4 L

1 A B2 A C

3 D B

4 C D11.4. Pruebe la validez de los siguientes razonamientos. Justifique los pasos.

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1 T (R T)2 T S

3 S (R T)

1 P (S Q)

2 Q T

3 T

4 (P Q) (S Q)

1 P Q

2 (S (P Q)) Q

3 S (P Q)

1

R

P

2 T S

3 P

4 (R S) T

1

(S

Q)

T

2 P T

3 S

4 S Q

5 P

1 R T

2 TQ

3 Q R

1 R Q

2 R T

3 Q S

4 T S

5 S

1 P

(R

T)

2 (S B) P

3 B S

4 T R

11.5. Verifique si los siguientes razonamientos son validos

1 T (R T)2 T S

3 S (R T)

1 P (S Q)

2 Q T3 T

4 (P Q) (S Q)

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1 P Q

2 (S (P Q)) Q

3 S (P Q)

1

R

P

2 T S

3 P

4 (R S) T

11.6. Verifique si los siguientes razonamientos son validos

1 (S Q) T

2 P T

3 S

4 S Q

5 P

1 R T

2 TQ

3 Q R

1 R Q

2 R T

3 Q S

4 T S5 S

1 P(R T)

2 (S B) P

3 B S4 T R

Referencias

[1] D. Clemente-Laboreo, Introduction to natural deduction, Universitat Politecnica deCatalunya, (2005).

[2] I.Cobacango, El toro salvaje,Coleccion Descubre lasMatematicas, Escuela PolitecnicaNacional, Ecuador, 1999.

[3] I. Cuenca, Que puedes concluir?, Coleccion Descubre las Matematicas, Escuela Po-litecnica Nacional, Ecuador, 1998.

[4] G. Gentzen, Untersuchungen uber das logische Schliessen (Investigations into LogicalDeduction), Mathematische Zeitschrift, 39 (1934).

[5] S. Jaskowski, On the Rules of Suppositions in Formal Logic, Studia Logica, 1 (1934).

[6] F. Pelletier, A history of natural deduction and elementary logic textbooks, Simon FraserUniversity, (2004).

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[7] M. Szabo, The Collected Papers of Gerhard Gentzen, North-Holland Publishing Com-pany, Amsterdam, first ed., 1969.

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Introducción a la Lógica Matemática

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