Matemàtiques

INTRODUCCIÓ A LA

DERIVADA

Autora : Mònica Orpí i Mañé

DEFINICIÓ DE DERIVADA

INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA i

CÀLCUL DE DERIVADES

Si una funció la tenim expressada algebraicament, és a dir, y=f(x), podem conèixer:

• Domini

• Punts de tall de la gràfica amb l’eix OX i l’eix OY

• Asímptotes ( AV, AH i AO)

• Continuïtat i en els punts de discontinuïtats ( Càlcul a partir de límits

• El seu comportament a l’infinit i ( també gràcies als límits )

Però en canvi la fórmula de f(x) és poc útil quan vull conèixer :

• Intervals de creixement i de decreixement

• Situar els Màxims i Mínims relatius

Després dels límits, ve una de les operacions més importants de totes les matemàtiques i una

de les més potents eines de l’anàlisi i del càlcul per a les funcions : La derivadaNewton i Leibniz van començar l’estudi infinitesimal. Per a la seva difusió i ampliació van

col·laborar científiques com ara Émilie du Châtelet (1706-1749), que va traduir al francès tota

l’obra newtoniana Principia

http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-sobre-hombros-

gigantes-newton-leibnitz/

Els orígens de la derivada :

La clau per a l’estudi dels dos aspectes que ens proposem (màxims, mínims i

intervals de creixement i decreixement) són les rectes tangents:

La recta tangent és la recta que talla una corba per un únic punt

m=0

m=0

m<0

m>0m<0

En els punts de màxims o

mínims, la recta tangent és

horitzontal ( és a dir, el

pendent és 0)

En els trams de creixement, la

recta tangent té pendent

positiu, en els de

decreixement el té negatiu

Anomenem Derivada de la funció f en x=a al pendent de la

recta tangent a la gràfica de f en el punt d’abscissa a

y=-3/2x-24

y=-4

y=3

y=1,2x+1,5

y=-1,3x+13

La derivada de la funció f en a es denota amb el

símbol f’(a) que es llegeix “f prima d’a”

f’( -4,5)= -3/2 ja que la tangent en

el punt d’abscissa 4,5

té pendent -3/2.

f’(-2)= 0 f’(4)=0

f’(2)=1,2 f’(6)=-1,32-2 4 6-4’5

Si coneixem el valor de la derivada en el punt x=a, és a dir, f’(a) podem calcular

l’equació de la recta tangent mitjançant

y= m·x + n ( Equació de la recta)

m=f’(a) i imposant que passa pel punt de tangència A(a, f(a))

Així y= f’(a)·x + n i com que passa per A(a, f(a)) tenim que

f(a) = f’(a)·a + n n = f(a) - f’(a)·a

y = f’(a)·x + f(a) - f’(a)·a y - f(a) = f’(a)·x - f’(a)·a

y-f(a)=f’(a)·(x-a)Equació de la recta tangent en x=a

Coneguts dos punts de la recta

tangent puc calcular la seva equació

(1,-1)

(3,2) y=mx+nPassa per (1,-1)

-1=m+n

Passa per (3,2)2=m·3+n

Resolent el sistema:

y= 3/2 x-5/2

D’aquesta manera f’(3)=3/2

El que hem fet abans, és molt

llarg, doncs el que només ens

interessa saber és la “m”. Per

calcular-la hi ha una manera

molt més senzilla:

(1,-1) )=(x0,y0)

(3,2)=(x1,y1)

D’aquesta manera obtenim

igualment que f’(3)=3/2

1 0

1 0

2 ( 1) 3

3 1 2

y ym

x x

- - -= = =

- -

1 0

1 0

y ym

x x

-=

-

1 0

1 0

( ) ( )f x f xm

x x

-=

-

O el que és el mateix :

Però com calculem el pendent d’aquesta recta, és a dir la

derivada f’(a), si només coneixem el punt de tangència ?

A(a,f(a))

Recta t

Ens situem sobre l’eix OX en a, l’abscissa del punt A de tangència, i

ens desplacem cap a la dreta o cap a l’esquerra una distància h. Tenim

així el punt x = a+h sobre l’eix OX i el seu corresponent punt de la

gràfica P ((a+h), f(a+h))

A(a,f(a))

Recta t

a a+h

P(a+h,f(a+h))

A(a,f(a))

Recta t

a a+h

P(a+h,f(a+h))

Calculem el pendent de la recta secant AP amb les

coordenades dels dos punts A y P.

h

f(a+h)-f(a)

( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f am

a h a h

+ - + -= =

+ -

Si anomenem m el pendent de la

recta secant , tenim que m és :

Si h és molt petit, a+h està molt a prop d’a. D’aquesta forma, les

rectes secants és van apropant a ser la recta tangent

A

a a+h

P

h 0

A

a a+h

P

h 0

P està molt pròxim a A

La secant AP “gairebé ” es confon amb la tangent t

El pendent de la secant AP és “gairebé” el pendent de t

Ara bé, el valor d’ h no pot ser 0,

tot i que sí que pot ser tan petit

com es vulgui. I aquí intervé el

concepte de límit

A

a a+h

P

P està molt pròxim a A

La secant AP “gairebé ” es confon amb la tangent t

El pendent de la secant AP és “gairebé” el pendent de t i recordem que el pendent de les

rectes secants és m on

Així doncs la derivada és un número que s’obté mitjançant un límit

( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f am

a h a h

+ - + -= =

+ -

I... f’(a)= Pendent de la recta tangent en x = a

Exemple : Calcula la derivada de f(x)= x2/4 per a x=2

0

(2 ) (2)'(2) lim

h

f h ff

h®

+ -=

( )2

22

2 4 4(2 ) 1 0,25

4 4

(2) 1

h h hf h h h

f

ìï + + +ïï + = = = + +ïíïïï =ïî

* El pendent de la recta tangent a

la funció en el punt x=2 és 1. Per

tant, la recta tangent a la meva

funció en x=2 es:

'(2) 1f =f(x)=x2/4

( ) '( )( )y f a f a x a= + -

1 1( 2)y x= + -

1y x= -

* A més, com que la derivada és

+, això ens indica que al voltant

de x=2 la funció és creixent.

(x0,y0) y=y0+m(x-x0)y - f(a) = f’(a)·(x-a)

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/tvmderi/TVMDeripag.html

Caiguda lliure d’un cos : Velocitats mitjana i instantània. Introducció a la derivada en un punt

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/caiguda/Caigudapag.html

Taxa de Variació Mitjana Observeu la relació que hi ha entre la Taxa de Variació Mitjana (TVM), el pendent de la recta

secant i la tangent de l'angle que forma aquesta recta amb l'horitzontal.

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/tvm/TVMpag.html

Interpretació geomètrica de la derivada en un puntFixat el punt (a , 0), ( en el dibuix (1,0) ). Arrossegueu el punt (x , 0), en el gràfic (5,0) cap a (1,0) i

observeu que els pendents (taxes de variació mitjanes o TVM) de les successives rectes secants

tendeixen al pendent de la recta tangent per a x = a, que és f'(a). Així per x=1 tenim que el pendent de

la recta tangent serà f’(1) http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/tvmderi/TVMDeripag.html

Definició de funció derivada

Si desplaceu el punt lliscant b, es mou el punt A. Si activeu el traç del punt P, s'anirà dibuixant la funció derivada

a partir dels pendents de la recta tangent en cada punt de la corba. També podeu fer visible tota la funció

derivada activant la casella corresponent.

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/funderi/FuncDeripag.html

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/pujabaixa/BiciPujaBaixapag.html

Pujades i baixades: La relació entre la gràfica d'una funció i la de la seva derivada

No !! Hi ha una taula amb la que pots trobar la derivada

sense calcular límits, però aquestes expressions

provenen del pas al límit anterior

La funció La derivada

Regla del producte per

una constant

f(x)=kg(x) f’(x)=kg’(x)

Regla de la suma f(x)=g(x)+h(x) f’(x)=g’(x)+h’(x)

Regla del producte f(x)=g(x)·h(x) f’(x)=g’(x)·h(x)+g(x)·h’(x)

Regla del quocient

Regla de la cadena f(x)=g(h(x)) f’(x)=g’(h(x))·h’(x)

Exemples :

Exemples :

Exemple :

Exemple:

Exemple :

La regla de la cadena

Derivem f(x)=Ln(2x)

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/grafunderi/funcideripag.html

Gràfiques d'una funció i de la seva derivada

Funcions no derivables : No totes les funcions són derivables, almenys

no ho són en tots els seus punts. Un exemple típic és la funció valor absolut

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/noderi/noderivablepag.html

Els teus DESITJOS són

ordres per mi !!!

En càlcul, el Teorema de Taylor nom del matemàtic britànic Brook Taylor, qui el va enunciar

al 1712.

Aquest teorema permet aproximar una funció derivable en l'entorn reduït al voltant d'un punt a

mitjançant un polinomi els coeficients del qual depenen de les derivades de la funció en aquest

punt.

Com més gran és el valor de n, més bé aproximarà el polinomi de Taylor a la funció.

En termes matemàtics: Si n≥0 és un enter i f una funció que és derivable n vegades en l‘ interval

tancat [a, x] i n+1 en l'interval obert (a, x), llavors es compleix que:

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/taylor/Taylorpag.html

En un entorn petit del punt a, la funció f(x) es comporta com el polinomi de grau 1 següent, que serà la recta

tangent de la funció en x=a