Introducción a la sintaxis y la semántica de lenguajes El ...

Introducción a la sintaxis y la semántica de lenguajesEl problema de dar significado a la recursión e iteración

Un Lenguaje Imperativo

Estructura de la materia a grandes rasgos:

Primera Parte: Lenguaje imperativo

Segunda Parte: Lenguaje aplicativo puro, y lenguajeaplicativo con referencias y asignación

Lenguajes y Compiladores



Ejes de Contenidos de la primera parte

1 Introducción a la sintaxis y la semántica de lenguajes

2 El problema de dar significado a la recursión e iteración

3 Un Lenguaje Imperativo




¿Cómo se otorga significado a un lenguaje?

El establecer el significado de las frases de un lenguaje deprogramación es un problema de múltiples aristas en tantopuede tener variados objetivos, que van desde la comprensiónhumana hasta la necesidad de que una máquina los puedainterpretar o trauducir a una secuencia de instruccionesejecutables.

Del significado trata un manual de usuario, en tanto provee unadescripción intuitiva de una acción o una denotación, y tambiénun intérprete, un compilador, o un herramienta teóricadestinada a desentrañar principios básicos de diseño.




Primera aproximación

Maneras diferentes de dar significado a un lenguaje:

informal, intuitiva:

explica el funcionamiento de los programas a través defrases comprensibles en el lenguaje natural (ejemplo:manuales, documentación tipo javadoc)






informal, intuitivaaxiomática:

explica el sentido dinámico de manera implícita,estableciendo en el marco de una lógica qué propiedadesson asignables a una determinada frase del lenguaje,estableciendo así una manera de razonar sobreprogramas (ejemplo: {P/v ← e} v := e {P})






informal, intuitivaaxiomáticaoperacional :

explica el sentido dinámico de manera explícita, diciendode que manera se ejecuta un programa (ejemplo:intérprete)






informal, intuitivaaxiomáticaoperacionaldenotacional :

Asigna a cada programa un significado estático en ununiverso semántico especialmente definido pararepresentar los fenómenos que el lenguaje describe .






informal, intuitivaaxiomáticaoperacionaldenotacional :

Asigna a cada programa un significado estático en ununiverso semántico especialmente definido pararepresentar los fenómenos que el lenguaje describe .Este universo podría ser un universo matemático conestructura, o el universo de las frases de otro lenguaje, porejemplo un compilador.




Semántica Denotacional

Requiere definir:

Domino semánticoFunción semámtica

L = conjunto de frases del lenguajeD = dominio semántico formado por objetos abstractos[[ _ ]] = función semántica

[[ _ ]]L −→ D

e −→ [[e]]




Dominio semántico, función semántica

BIN = secuencias finitas de ceros y unos

BIN = {α0...αn−1 : n ≥ 1 y αi ∈ {0,1}}

D = los naturales con el cero

[[ _ ]] : BIN → D

[[α0...αn−1]]=

n∑i=1

αi−12n−i




Problemas que requieren nuevas herramientas

El problema de dar la sintaxis del lenguaje, es decir unadeterminación del conjunto de frases que seránconsideradas programas válidosEl problema de la buena definición del dominio semánticoy la función semánticaEl manejo de variables, la ligadura y los problemas decapturaEl problema del significado de la recursión




Gramáticas

Para el estudio de los lenguajes en general, las gramáticasconvencionales no son una herramienta adecuada porquesufren del problema de la ambiguedad.

〈intexp〉 ::= 0 | 1 | 2 | ...−〈intexp〉 |〈intexp〉+ 〈intexp〉 |〈intexp〉 ∗ 〈intexp〉

Observemos ejemplos de frases generadas por esta gramática:

-15-15+32*-4




Ambiguedad

La gramátíca es ambigua en el siguiente sentido: algunasfrases admiten diferentes maneras de generarse. Tal es elcaso de 2+3*4:

(1)〈intexp〉

→ 〈intexp〉 ∗ 〈intexp〉→ 〈intexp〉 ∗ 4→ 〈intexp〉+ 〈intexp〉 ∗ 4→ 〈intexp〉+ 3 ∗ 4→ 2 + 3 ∗ 4

(2)〈intexp〉

→ 〈intexp〉+ 〈intexp〉→ 2 + 〈intexp〉→ 2 + 〈intexp〉 ∗ 〈intexp〉→ 2 + 3 ∗ 〈intexp〉→ 2 + 3 ∗ 4




Solución que proveen los lenguajes usuales

Paréntesis y convenciones de precedencia: la gramáticadice cómo se escriben concretamente las frases del lenguaje.

〈intexp〉 ::= 〈intexp〉+ 〈termexp〉|〈intexp〉 ∗ 〈termexp〉 | 〈termexp〉

〈termexp〉 ::= 〈groundexp〉| − 〈termexp〉〈groundexp〉 ::= 0|1|2|....|(〈intexp〉)

Aquí queda claro que el + asocia a izquierda y que el menostiene mayor precedencia. Podríamos llamarla gramáticaconcreta, y a las frases que genera, frases concretas.Podríamos decir que define la sintaxis concreta del lenguaje.




La gramática concreta no es apropiada

La gramática concreta resulta más complicada que la quedimos anteriormente.Nos obliga a fijar detalles de la sintaxis del lenguaje queson irrelevantes para nuestros propósitos, y que de hechocada lenguaje de programación lo resuelve de una maneradistinta

Nos interesa describir sólo la estructura de las frases, decircuáles son las construcciones que hay en el lenguaje.

No interesa cómo se escriben las frases sino qué frases hay.




Gramáticas abstractas

Utilizamos la forma de definición de las gramáticasconvencionales:

〈intexp〉 ::= 0 | 1 | 2 | ...−〈intexp〉 |〈intexp〉+ 〈intexp〉 |〈intexp〉 ∗ 〈intexp〉

Para nosotros será una gramática abstracta, que expresa quéconstrucciones tiene el lenguaje, cuál es la estructura de lasfrases que hay, y cuáles son las subfrases.




Estructura de las frases abstractas

Estructuras abstractas diferentes se ponen de manifiesto alrepresentar cada derivación a través de un árbol sintáctico:

(1)〈intexp〉↙ ↓ ↘

〈intexp〉 ∗ 〈intexp〉↙ ↓ ↘ ↓

〈intexp〉+ 〈intexp〉 4↓ ↓2 3

(2)〈intexp〉↙ ↓ ↘

〈intexp〉 + 〈intexp〉↓ ↙ ↓ ↘4 〈intexp〉 ∗ 〈intexp〉

↓ ↓2 3




Trabajaremos con gramáticas abstractas

Problema: ¿qué notación que utilizaremos para referirnos auna producción particular de tal gramática?

En las ocasiones en que nos resulte necesario precisarnotación específica resolveremos los problemas deambigüedad mencionados estableciendo precedencias,"stopping symbols" y utilizando los paréntesis que seannecesarios.

Tales símbolos no serán parte de la gramática en cuestión,sino sólo convenciones de notación que nos permitiránentender de qué producción de la gramática abstracta estamoshablando.




Semántica denotacional

Es necesario recurrir a herramientas matemáticas para laconstrucción de los dominios semánticos y para la definiciónmisma de la función.

La semántica denotacional debe ser una herramienta queaporte claridad conceptual, y no que sea un instrumentode traducir algo poco comprensible en otra cosaincomprensible,la semántica denotacional debe ser útil para compararotras posibles semánticas,se deben poder utilizar resultados típicos de la teoría delenguajes para estudiar las características del lenguaje encuestión.




Función semántica y Ecuaciones semánticas

Función semántica:

[[ _ ]] : 〈intexp〉 → Z

Ecuaciones semánticas:[[0]] = 0[[1]] = 1

...[[−e]] = −[[e]][[e + e′]] = [[e]] + [[e′]][[e ∗ e′]] = [[e]] ∗ [[e′]]




Aspectos destacables de la definición

Los mismos símbolos aparecen con dos sentidos distintos.El 0 de la derecha es una frase del lenguaje de lasexpresiones enteras, y el de la izquierda es el objeto ceroperteneciente a los números enteros. Esta aparentecircularidad tiene un nombre: metacircularidad.Cada una de las tres últimas ecuaciones representa, enrealidad, infinitas ecuaciones. Por ejemplo, [[−e]] = −[[e]]establece una propiedad que vale cualquiera sea laexpresión e. Aquí e NO es una expresión, sólo es unobjeto que representa cualquier expresión del lenguaje. Esuna variable del metalenguaje, o sea una metavariable.




Ecuaciones semánticas

¿Todo conjunto de ecuaciones semánticas define una función?

[[0]] = 0[[e + e′]] = [[e]] + [[e′]][[e ∗ 0]] = 0[[e ∗ (e′ + e′′)]] = [[e ∗ e′]] + [[e ∗ e′′]][[(e + e′) ∗ e′′)]] = [[e ∗ e′′]] + [[e′ ∗ e′′]]

[[1 ∗ 1]] = ?





Matemáticamente lo resolveríamos agregando una ecuación:

[[0]] = 0[[e + e′]] = [[e]] + [[e′]][[e ∗ 0]] = 0[[1 ∗ 1]] = 1[[e ∗ (e′ + e′′)]] = [[e ∗ e′]] + [[e ∗ e′′]][[(e + e′) ∗ e′′)]] = [[e ∗ e′′]] + [[e′ ∗ e′′]]

[[2 ∗ 2]] = [[2 ∗ (1 + 1)]] = [[2 ∗ 1]] + [[2 ∗ 1]] =

[[((1 + 1) ∗ 1]] + [[(1 + 1) ∗ 1]] = ...





Dado un conjunto de ecuaciones semánticas es en generalmuy difícil determinar si el conjunto define realmente una(única) función en el conjunto de expresiones del lenguaje.

A la hora de definir la semántica de un lenguaje deprogramación tenemos que poder garantizar que lasecuaciones semánticas dadas definen una semántica.




Dirección por sintaxis

Un conjunto de ecuaciones es dirigido por sintaxis cuando sesatisfacen las siguientes condiciones:

hay 1 ecuación por cada producción de la gramáticaabstractacada ecuación que expresa el significado de una frasecompuesta, lo hace puramente en función de lossignificados de sus subfrases inmediatas




Composicionalidad

La dirección por sintaxis garantiza existencia y unicidad delsignificado, pero además garantiza la propiedad decomposicionalidad de una función.

Se dice que una semántica es composicional, cuando elsignificado de una frase no depende de ninguna propiedad desus subfrases, salvo de sus significados.

Efectos de la composicionalidad: podemos reemplazar unasubfrase e0 de e por otra de igual significado que e0 sin alterarel significado de la frase e.




Los conceptos de variable y ligadura

Gramática abstracta para el lenguaje de los predicados

〈intexp〉 ::= 0 | 1 | 2 | ... 〈assert〉 ::= true | false〈var〉〈intexp〉 = 〈intexp〉− 〈intexp〉〈intexp〉 < 〈intexp〉〈intexp〉+ 〈intexp〉〈intexp〉 ≤ 〈intexp〉〈intexp〉 ∗ 〈intexp〉〈intexp〉 > 〈intexp〉〈intexp〉 − 〈intexp〉〈intexp〉 ≥ 〈intexp〉〈intexp〉 / 〈intexp〉 ¬ 〈assert〉〈intexp〉% 〈intexp〉〈assert〉 ∨ 〈assert〉

〈assert〉 ∧ 〈assert〉∃ 〈var〉 . 〈assert〉∀ 〈var〉 . 〈assert〉




Particularidades de la sintaxis

Disponemos ahora de 3 tipos de frases, las cuales porsupuesto tendrán 3 dominios distintos de significado.〈var〉 carece de producciones. No especificaremos qué esel conjunto de frases 〈var〉, pero asumimos que es unconjunto infinito de símbolos. Usualmente utilizaremos lasmetavariables u, v ,w , z para referirnos a elementos de〈var〉. (Este es otro aspecto que contribuye a la condiciónde ”abstracta“ de la gramática. )Aparecen construcciones (para todo, existe) que poseensubfrases de distinto tipo.




Convenciones para la representación de la estructuraabstracta de las frases:

Utilizaremos las convenciones usuales de precedencia deoperadores aritméticos, sumadas a la convención de que elalcance de un cuantificador ∀ o ∃ se extiende hasta el final dela frase, o hasta la aparición de un paréntesis que cierra cuyoalcance contiene al cuantificador.




Estados y Función semántica

Σ será el conjunto de todos los estados posibles. Definimos elconjunto de estados posibles como la familia de todas lasfunciones totales de 〈var〉 en Z:

Σ = 〈var〉 → Z

Función Semántica

[[ _ ]]intexp : 〈intexp〉 → Σ→ Z[[e]]intexp : Σ→ Z (para cualquier expresión e)

[[e]]intexpσ ∈ Z (para cualquier expresión e)




Operaciones auxiliares sobre los estados

Sea σ ∈ Σ un estado, v una variable y n un entero.

[σ|v : n] será el estado que coincide con σ en todas lasvariables salvo posiblemente en v , donde este nuevo estadotiene asignado n.

[σ|v : n]w = si (w = v) entonces n sino σw




Función semántica de las exp. booleanas

[[_]]assert : 〈assert〉 → Σ→ {V ,F}[[p]]assert : Σ→ {V ,F} (para cualquier predicado p)

Notar que son dos funciones, una para expresiones enteras[[_]]intexp y otra para predicados [[_]]assert , pero para no recargarla notación usaremos indistintamente la notación [[_]] paraambas.




Ecuaciones semánticas de las exp. booleanas

[[true]]σ = V[[false]]σ = F[[e = e′]]σ = ([[e]]σ = [[e′]]σ)

...[[p ∧ q]]σ = ([[p]]σ ∧ [[q]]σ)

...[[∀v .p]]σ = (∀n ∈ Z. [[p]][σ|v : n])

[[∃v .p]]σ = (∃n ∈ Z. [[p]][σ|v : n])




¿Cuál es el significado de 1/0?

Acá debemos cuidarnos de no trasladar al lenguaje los viciosdel metalenguaje, por ejemplo los problemas relacionados conla división por 0.En esta primera aproximación a la semántica denotacionalvamos a asumir que todas las funciones son totales. Enparticular, la división está siempre definida (como función deldominio semántico), incluso si el divisor es 0.Más adelante abordaremos la manera en que los lenguajesgestionan situaciones de error o no definición.




Variables y metavariables

Noción de metavariable: es una variable del metalenguaje.

Ejemplos e y e′ (corren sobre expresiones enteras), p y q(corren sobre los predicados), n (corre sobre enteros) y σ(corre sobre estados), v ,u,w (corre sobre las variables dellenguaje)

Usaremos u, v ,w para metavariables y x, y, z para variables dellenguaje




Ligadura

Ocurrencia ligadora: una ocurrencia ligadora de unavariable es la que se encuentra inmediatamente despuésde un cuantificador (∀ o ∃).Alcance de una ocurrencia ligadora: En ∀v . p o ∃v . p, elpredicado p es el alcance de la ocurrencia ligadora de v .Ocurrencia ligada: cualquier ocurrencia de v en elalcance de una ocurrencia ligadora de v es una ocurrencialigada de v (se toma la de menor alcance).Ocurrencia libre: una ocurrencia de una variable que noes ligadora ni ligada es una ocurrencia libre.Variable libre: una variable que tiene ocurrencias libres esuna variable libre.Expresión cerrada: no tiene variables libres.




Variables libres

FV bnc = ∅ FV true = ∅FV v = {v} FV false = ∅FV (−e) = FV e FV (e = e′) = FV e ∪ FV e′

FV (e + e′) = FV e ∪ FV e′...

... FV (¬p) = FV pFV (p ∧ q) = FV p ∪ FV q

...FV (∀v . p) = (FV p)− {v}FV (∃v . p) = (FV p)− {v}




Operador Sustitución

Las expresiones con variables libres pueden instanciarsesustituyendo sus variables libres por términos.

Conjunto de sustituciones:

∆ = 〈var〉 → 〈intexp〉

El operador sustitución "opera" sobre expresiones enteras(términos) y expresiones booleanas (predicados).

_/_ ∈ 〈intexp〉 ×∆→ 〈intexp〉

_/_ ∈ 〈assert〉 ×∆→ 〈assert〉




Operador Sustitución

0/δ = 0...v/δ = δv

(−e)/δ = −(e/δ)(e + f )/δ = (e/δ) + (f/δ)...

(e = f )/δ = (e/δ) = (f/δ)(¬p)/δ = ¬(p/δ)...

(p ∨ q)/δ = (p/δ) ∨ (q/δ)...




El problema de la captura

Aplicación "ingenua" de la sustitución:

si e = δy entonces

(∃x. x > y)/δ = ∃x. x > e

Pero si e es x, quedaría ∃x. x > x que es falsa, a diferencia de∃x. x > y que es verdadera.




El problema de la captura

Visto de otra manera:∃x. x > y∃z. z > y

sólo se diferencian en el nombre de la variable ligada, demanera que al sustituir en uno u otro me debería darresultados equivalentes. Pero para δy = x + 1 obtenemospredicados no equivalentes.

Problema: se está "capturando" x, que era libre, y ahora pasaa ser ligada.




Solución al problema de la captura

Renombramos la variable ligadora y ligada antes de efectuaruna susutitución que producirá una captura.

Renombramos eligiendo una variable "nueva", que llamaremosvnew . Esto es, una variable no "capturable". Las variables"capturables" son las que pueden aparecer al aplicar lasustitución.

(∀v . b)/δ = ∀vnew . (b/[δ|v : vnew ])(∃v . b)/δ = ∃vnew . (b/[δ|v : vnew ])

donde

vnew 6∈⋃

w∈FV (b)−{v}

FV (δ w)




Propiedades de la semántica

Hay dos propiedades de la semántica que resultan relevantespara los lenguajes de programación.

Teorema de Coincidencia (TC)Si dos estados σ y σ′ coinciden en las variables libres de p,entonces da lo mismo evaluar p en σ o σ′. En símbolos:

(∀w ∈ FV (p) . σ w = σ′ w) =⇒ [[p]]σ = [[p]]σ′.

Teorema de Renombre (TR)Los nombres de la variables ligadas no tienen importancia. Ensímbolos,

u /∈ FV (q)− {v} ⇒ [[∀u . q/v → u]] = [[∀v . q]]




Teorema de Sustitución

Si aplico la sustitución δ a p y luego evalúo en el estado σ,puedo obtener el mismo resultado a partir de p sin sustituir, sievalúo en un estado que hace el trabajo de δ y de σ (en lasvariables libres de p).En símbolos:

(∀w ∈ FV (p) . [[δ w ]]σ = σ′ w) =⇒ [[p/δ]]σ = [[p]]σ′.




Un lenguaje imperativo simple (sin iteración)

〈comm〉 ::= skip〈var〉 := 〈intexp〉〈comm〉 ; 〈comm〉if 〈boolexp〉 then 〈comm〉 else 〈comm〉newvar 〈var〉 := 〈intexp〉 in 〈comm〉




〈intexp〉 ::= 〈natconst〉〈boolexp〉 ::= 〈boolconst〉〈var〉〈intexp〉 = 〈intexp〉〈intexp〉+ 〈intexp〉〈intexp〉 < 〈intexp〉〈intexp〉 ∗ 〈intexp〉〈intexp〉 ≤ 〈intexp〉〈intexp〉 − 〈intexp〉〈intexp〉 > 〈intexp〉〈intexp〉 / 〈intexp〉〈intexp〉 ≥ 〈intexp〉〈intexp〉% 〈intexp〉 ¬ 〈boolexp〉− 〈intexp〉〈boolexp〉 ∨ 〈boolexp〉

〈boolexp〉 ∧ 〈boolexp〉

〈natconst〉 ::= 0 | 1 | 2 |....〈boolconst〉 ::= true | false




Características de LIS

Hay sólo dos tipos de expresiones: enteras y booleanas





Hay sólo dos tipos de expresiones: enteras y booleanasLas expresiones enteras siempre se pueden evaluar, y suresultado es un entero.Todas las funciones primitivas(incluida la división) son funciones totales.





Hay sólo dos tipos de expresiones: enteras y booleanasLas expresiones enteras siempre se pueden evaluar, y suresultado es un entero.Todas las funciones primitivas(incluida la división) son funciones totales.Sólo posee variables que adoptan valores enteros. Luegola noción de estado se refleja en la siguiente definición:

Conjunto de estados: Σ = 〈var〉 → Z

(la memoria posee infinitos lugares que siempre alojan unnúmero entero).




Significado de los comandos de LIS (sin iteración)

Funciones semánticas:

[[_]]intexp ∈ 〈intexp〉 → Σ→ Z[[_]]boolexp ∈ 〈boolexp〉 → Σ→ {V ,F}[[_]]comm ∈ 〈comm〉 → Σ→ Σ⊥




Primeras ecuaciones semánticas

[[skip]]σ = σ





[[skip]]σ = σ

[[v := e]]σ = [σ|v : [[e]]σ]





[[skip]]σ = σ

[[v := e]]σ = [σ|v : [[e]]σ]

[[if e then c else c′]]σ = if [[e]]σ then [[c]]σ else [[c′]]σ





[[skip]]σ = σ

[[v := e]]σ = [σ|v : [[e]]σ]


Ejemplo:

[[x := x − 1]]σ = [σ|x : [[x − 1]]σ]





[[skip]]σ = σ

[[v := e]]σ = [σ|v : [[e]]σ]


Ejemplo:

[[x := x − 1]]σ = [σ|x : [[x − 1]]σ]= [σ|x : [[x ]]σ − [[1]]σ]





[[skip]]σ = σ

[[v := e]]σ = [σ|v : [[e]]σ]


Ejemplo:

[[x := x − 1]]σ = [σ|x : [[x − 1]]σ]= [σ|x : [[x ]]σ − [[1]]σ]= [σ|x : σ x − 1]




Semántica de la composición de comandos

La ecuación [[c0; c1]]σ = [[c1]]([[c0]]σ) no está bien tipada.

Esto se soluciona acudiendo a funciones auxiliares detransferencia de control.







Si f ∈ Σ→ Σ⊥, entonces definimos una nueva funciónf⊥⊥ ∈ Σ⊥ → Σ⊥ de la siguiente manera:








f⊥⊥σ = f σ f⊥⊥ ⊥ = ⊥








f⊥⊥σ = f σ f⊥⊥ ⊥ = ⊥

Ecuación semántica para la composición:

[[c0; c1]]σ = [[c1]]⊥⊥([[c0]]σ)




Semántica de newvar

Función “restauración de v según σ”:

fv ,σσ′ = [σ′|v : σv ]






fv ,σσ′ = [σ′|v : σv ]

[[newvar v := e in c]]σ = (fv ,σ)⊥⊥([[c]][σ|v : [[e]]σ])




Un lenguaje imperativo simple (sin iteración)

〈comm〉 ::= skip〈var〉 := 〈intexp〉〈comm〉 ; 〈comm〉if 〈boolexp〉 then 〈comm〉 else 〈comm〉newvar 〈var〉 := 〈intexp〉 in 〈comm〉




〈intexp〉 ::= 〈natconst〉〈boolexp〉 ::= 〈boolconst〉〈var〉〈intexp〉 = 〈intexp〉〈intexp〉+ 〈intexp〉〈intexp〉 < 〈intexp〉〈intexp〉 ∗ 〈intexp〉〈intexp〉 ≤ 〈intexp〉〈intexp〉 − 〈intexp〉〈intexp〉 > 〈intexp〉〈intexp〉 / 〈intexp〉〈intexp〉 ≥ 〈intexp〉〈intexp〉% 〈intexp〉 ¬ 〈boolexp〉− 〈intexp〉〈boolexp〉 ∨ 〈boolexp〉

〈boolexp〉 ∧ 〈boolexp〉

〈natconst〉 ::= 0 | 1 | 2 |....〈boolconst〉 ::= true | false





Hay sólo dos tipos de expresiones: enteras y booleanasLas expresiones enteras siempre se pueden evaluar, y suresultado es un entero.Todas las funciones primitivas(incluida la división) son funciones totales.Sólo posee variables que adoptan valores enteros. Luegola noción de estado se refleja en la siguiente definición:

Conjunto de estados: Σ = 〈var〉 → Z

(la memoria posee infinitos lugares que siempre alojan unnúmero entero).




Significado de los comandos de LIS (sin iteración)

Funciones semánticas:

[[_]]intexp ∈ 〈intexp〉 → Σ→ Z[[_]]boolexp ∈ 〈boolexp〉 → Σ→ {V ,F}[[_]]comm ∈ 〈comm〉 → Σ→ Σ⊥





[[skip]]σ = σ

[[v := e]]σ = [σ|v : [[e]]σ]

[[if e then c else c′]]σ = if [[e]]σ then [[c]]σ else [[c′]]σ[[c0; c1]]σ = [[c1]]([[c0]]σ)




Ejemplo:

[[x := x − 1; x := 0]]σ = [[x := 0]]([[x := x − 1]]σ)

= [[x := 0]]([σ|x : [[x − 1]]σ])

= [[x := 0]]([σ|x : [[x ]]σ − [[1]]σ])

= [[x := 0]]([σ|x : σ x − 1])

= [[σ|x : σ x − 1]|x : 0]

= [σ|x : 0]




Dificultades para dar significado a la iteración

El comandowhile b do c

debe satisfacer la propiedad:

[[while b do c]]σ = if [[b]]σ then [[c; while b do c]]σ else [[skip]]σ

=

{[[while b do c]]([[c]]σ) si [[b]]σ

σ si ¬[[b]]σ





Dificultad principal:

[[while b do c]]σ =

{[[while b do c]]([[c]]σ) si [[b]]σ

σ si ¬[[b]]σ (W )

no es dirigida por sintaxis





La propiedad del while no puede ser tomada como definición.

Sea ω = [[while b do c]]. Debe notarse la similitud entre laecuación

ωσ =

{ω([[c]]σ) si [[b]]σ

σ si ¬[[b]]σ(W )

y las definiciones usuales de funciones utilizando recursión,como por ejemplo

f n =

0 si n = 0 (ER)

1 si n = 1f (n − 2) caso contrario (c.c.)


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