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Introducción a la lógica digital. Sesión 01 sistemas numéricos.

Los sistemas analógicos tienen muchas desventajas que los sistemas digitales nos permiten

solventar, sólo hay un problema y es que éstos últimos tienen la gran desventaja que la

naturaleza es meramente analógica.

Sistemas numéricos

A lo largo de la historia se han utilizado diferentes símbolos para representar los números.

No todos los sistemas de numeración antiguos tenían un principio posicional. Por ejemplo:

Sistemas de numeración chinos: el trazado geométrico de los símbolos no es sencillo.

Una de sus características es que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque

en general se haya preferido una determinada disposición.

Sistemas mesopotámicos: constaban de muchos símbolos distintos (del orden de 60)

Tiene un sistema decimal interno y un subsistema base 60

Sistema romano: la manipulación algebraica es compleja. Como ya se conoce, es un sistema

sustractivo

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Sistema Decimal

El sistema es posicional, lo que quiere decir que la contribución de un dígito de un número

depende de la posición de ese dígito. Por ejemplo, el dígito 4 puede contribuir con la cantidad

de cuatro, cuarenta o cuatrocientos al total según donde esté situado:

324: contribuye en cuatro por estar en la posición cero

4 x 100 = 4

2456: el cuatro contribuye con 400 por estar en la posición 2 (donde 6 esta en la posición

cero y 5 en la uno):

4 x 102 =400

Los números se representan por cadenas de dígitos que pueden ser cualquiera de los

siguientes: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ó 9. El valor se determina con las siguientes reglas:

Cada dígito se multiplica por una potencia de 10. Al dígito del extremo derecho le

corresponde 100, al siguiente 101, etc.

El valor del número se obtiene al sumar los resultados anteriores.

Por ejemplo:

2634 = 4 x 100 + 3 x 101 + 6 x 102 + 2 x 103

Es posible la conversión de cualquier sistema numérico al sistema decimal aplicando la

fórmula:

Número Decimal =

Donde:

a = coeficiente del i - ésimo dígito.

i = posición relativa

r = base numérica

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por ejemplo, 453 y se quiere saber el valor del 5 en la cifra

a = 5, i = 1, r = 10. Entonces: 5 x 101 = 50. Que es el valor con que contribuye el 5 a la cifra.

b) Sistema binario

En el sistema binario se representa un número con una combinación lineal de las potencias

dos (2n). Únicamente utilizaremos los dígitos 1 y 0.

Por ejemplo, siguiendo la ecuación anterior:

(10011)2 = 1 x 20 + 1 x21 + 0 x 22 + 0 x 23 + 1 x 24 = (19)10

Para evitar ambigüedad respecto a la base utilizada, se representa un número, encerrado entre

paréntesis colocando como subíndice la base correspondiente.

Para convertir un número en sistema decimal a sistema binario, se divide sucesivamente el

número decimal entre 2. Por ejemplo:

Efectuar la conversión del número 35 decimal a su correspondiente representación binaria:

Como podemos observar, el primer dígito binario obtenido es el menos significativo hasta el

más significativo.

También es posible convertir la parte fraccionaria decimal en fracción binaria, aunque es

justo advertir que algunas fracciones que en decimal tienen un valor exacto, en binario

pueden ser infinitas, cuando esto suceda será uno mismo quien decida cuando la

aproximación sea satisfactoria. Para efectuar la conversión se toma el número, fraccionario

decimal y se multiplica por 2, pero ahora se toma la parte entera formada, ya sea '1'ó '0'. El

primer dígito binario obtenido es el que sigue al punto que marca la parte fraccionaria. Como

ejemplo tenemos:

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Convertir el número 0.6875 fraccionario decimal a binario:

Ejemplo: Convertir el siguiente número decimal a su equivalente en binario

258.75

Solución.

Parte entera

Num /2 resultado

258 0 lsb

129 1

64 0

32 0

16 0

8 0

4 0

2 0

1 1msb

0 0

Parte fraccionaria

Número x 2 Nuevo entero Nueva fracción

0.75 x 2 1 msb 0.5

0.5 x 2 1 lsb 0

Resultado fraccionario 112

Resultado: 100000010.112

Se llama MSB al digito o bit más significativo de la cadena y LSB a menos significativo

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Sistema Hexadecimal

Se requieren 16 dígitos, para los primeros 10 se utilizan los mismos que en la representación decimal

(0-9), los dígitos que representan los valores decimales 10, 11, 12, 13, 14, 15 serán sustituidos por

A, B, C, D, E y F respectivamente. Por ejemplo:

(3A27F)16 = F x 160 + 7 x 161 + 2 x 162 + A x 163 + 3 x 164 = (238207)10

(3A27F)16 = 15 x 160 + 7 x 161 + 2 x 162 + 10 x 163 + 3 x 164 = (238207)10

Para convertir un número decimal en hexadecimal se divide sucesivamente entre 16; los residuos

obtenidos son los dígitos en notación hexadecimal, comenzando por el menos significativo. Por

ejemplo:

Convertir el número 37532 en hexadecimal:

Sistema octal

El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.

Para convertir un número en base decimal a base octal se divide por 8 sucesivamente hasta llegar a

cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de

base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y

sumar el resultado. Ejemplo:

Num resto

67/8 3

8 0

0 1 resultado: 1038

El proceso por lo tanto es igual que con decimal, binario y hexadecimal

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Tabla de Conversión

Decimal Binary Octal Hexadecimal

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

Binario a hexadecimal

Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de

agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en

binario 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Número en

hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.

Ejemplos

110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso: 1010 = A

7

1011 = B

1 entonces agregue 0001 = 1

Agrupe de derecha a izquierda: 1BA

11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso: 0101 = 5

1111 = F

110 entonces agregue 0110 = 6

Agrupe de derecha a izquierda: 6F5

Operaciones aritméticas

Suma en binario

La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar

cuatro combinaciones posibles:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0 + 1

Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario

con dos cifras de acuerdo a las reglas de conversión (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra

una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:

010 + 101 = 111 en decimal 210 + 510 = 710

001101 + 100101 = 110010 en decimal 1310 + 3710 = 5010

1011011 + 1011010 = 10110101 en decimal 9110 + 9010 = 18110

110111011 + 100111011 = 1011110110 en decimal 44310 + 31510 = 75810

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Sustracción en binario

La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema

decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la

operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se

llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

- 0 1

0 0 1

1 1 + 1 0

Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de

la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse,

sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

111 – 101 = 010 en decimal 710 – 510 = 210

10001 – 01010 = 00111 en decimal 1710 – 1010 = 710

11011001 – 10101011 = 00101110 en decimal 21710 – 17110 = 4610

111101001 – 101101101 = 001111100 en decimal 48910 – 36510 = 12410

Recuerdese que en el sistema decimal a “pedir” una unidad prestada en realidad se pide una

unidad de base, es decir, se piden 10 de tal forma que en la resta

22 – 4 el 2 pide 10 al siguiente digito, quedando 12 – 4 = 8 y al pagar se resta esa unidad base

en el digito al cual se pidió el préstamo. Esto es: 22 – 4 = 18.

Lo mismo ocurre en binario y otros sistemas. Al pedir un préstamo, en este caso se piden 2

que es la unidad base.

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Ejercicio

Realiza las siguientes restas de números binarios y comprueba los resultados convirtiéndolos

al sistema decimal:

111011 - 110

111110111 - 111001

1010111 - 11011 – 10011

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es fácil confundirse. Tenemos

interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos

a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de

cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se

divide una resta larga en tres restas cortas:

100110011101 1001 1001 1101

010101110010 0101 0111 0010

010000101011 0100 0010 1011

Calculando el complemento a dos del sustraendo

i. Complemento a dos

Este es un sistema que nos permite representar números binarios de forma negativa, en donde

el MSB (Bit más Significativo) es el bit del signo.

Si este bit es 0 entonces el numero binario es positivo (+), si el bit del signo es 1, entonces el

número es negativo (-) los bits restantes del registro representan la magnitud del número

(1010110), este sistema que es bastante utilizado en los microprocesadores, ya que estos

manejan tanto números positivos como números negativos.

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Como se ve en la tabla, la suma de un número con su correspondiente valor negativo, da un

resultado de cero.

El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:

C2N = 2n – N

Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su

complemento a dos:

N = 4510 n = 6 (número de bits) 26 = 64 y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112

Ejercicio 3:

Calcula el complemento a dos de los siguientes números:

11001, 10001011, 110011010

ii. Complemento a uno

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El complemento a uno de un número N, compuesto por n bits es, por definición, una unidad

menor que el complemento a dos, es decir:

C1N = C2N - 1

y, por la misma razón:

C2N = C1N + 1

Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior:

siendo N = 101101, y su complemento a dos C2N = 010011

C1N = C2N – 1 = 010011 – 000001 = 010010

C1N = 010010

Da la sensación de que calcular el complemento a uno no es más que una forma elegante de

complicarse la vida, y que no va a ser más sencillo restar utilizando el complemento a dos,

porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es más difícil y laborioso que la

propia resta. Pero es mucho más sencillo de lo que parece.

En realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante de invertir

los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo, si:

N = 110100101

obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:

C1N = 001011010

y su complemento a dos es:

C2N = C1N + 1 = 001011011

¡es muy fácil!

Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea:

N = 0110110101

El complemento a uno es:

C1N = 1001001010

y el complemento a dos es:

C2N = 1001001011

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Restar en binario usando el complemento a dos

La resta binaria de dos números puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a

dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos:

Primer ejemplo:

Hagamos la siguiente resta, 91 – 46 = 45, en binario:

1011011 – 0101110 = 0101101

Tiene alguna dificultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente. Pero esta misma

resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo:

1011011 + 1010010 = 0101101

En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el

número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Segundo ejemplo:

Hagamos esta otra resta, 219 – 23 = 196, utilizando el complemento a dos:

21910 = 110110112,

2310 = 000101112

C223 = 11101001

El resultado de la resta será: 11011011 + 11101001 = 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto:

110001002 = 19610

¡Qué fácil!

Esto quiere decir que una resta puede manejarse como una suma haciendo uso de los

complementos.

Ejercicio

Haz las siguientes restas binarias utilizando la técnica del complemento a dos. Al terminar,

comprueba los resultados haciendo la resta en el sistema decimal:

11010001101 – 1000111101

10110011101 - 1110101

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Multiplicación binaria

La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como

los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede

ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy

fáciles de aprender:

x 0 1

0 0 0

1 0 1

En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas

repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS

origina un arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada

columna. Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego,

para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.

Veamos, por ejemplo, una multiplicación:

Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema

decimal:

3349 * 13 = 43537

¡correcto!

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Ejercicio 5:

Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo

las multiplicaciones en el sistema decimal:

10110101000101 x 1011

10100001111011 x 10011

División binaria

Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el

cociente otras cifras que UNOS y CEROS.

Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo

número de cifras (101 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la división

tomando un dígito más (1010 entre 100).

Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez en el

dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de

multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor

y bajamos la cifra siguiente.

El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal.

Ejercicio 6:

Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las

divisiones en el sistema decimal:

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10110101000101 : 1011

10100001111011 : 10011

Aritmética hexadecimal

a) Adición:

La regla práctica para sumar dígitos hexadecimales:

1) Calculamos la suma decimal de dígitos.

2) Si la suma es menor o igual que 15, coincide con la suma hexadecimal, teniendo en cuenta que :

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

3) Si la suma decimal es mayor que 15, restamos 16 y le agregamos un 1 adelante al resultado,

obteniendo así la suma hexadecimal.

Ejemplos:

8 3

+ 9 + 5

17 Suma decimal 8 Suma decimal

- 16 Modificación Sin Modificación

11 Suma en hexadecimal 8 Suma hexadecimal

Sea C86816 + 72D916

1 1 1

C 8 6 8

+ 7 2 D 9

19 11 20 17 Sumas decimales

-16 -16 -16 Modificaciones

1 3 B 4 1 Suma hexadecimal

Resultado 13B4116

b) Sustracción:

Se puede usar el método ya aplicado anteriormente de solicitar prestamos considerando que se

piden 16.

Ejemplo: C86816 - 72D916

16

C868

- 72D9

558F

Resultado 558F16

Ejercicios de tarea Debe entregarse en formato pdf con los resultados

resaltados en rojo

Realiza las siguientes sumas de números binarios:

111011 + 110

111110111 + 111001

10111 + 11011 + 10111

Realiza las siguientes restas de números binarios usando el complemento a dos

11010001101 – 1000111101

10110011101 - 1110101

Realiza las siguientes sumas de números octales:

365 + 23

2732 + 1265

65 + 1773

Suma los siguientes números hexadecimales:

17A + 3C

20F5 + 31B

2E70C + 1AA7F

Resta los siguientes números octales:

365 - 23

2732 - 1265

1773 – 65

Realiza las siguientes restas de números hexadecimales:

17A - 3C

20F5 - 31B

17

2E70C – 1AA7F