Introducci n a las distribuciones flexibles y sus aplicaciones

PreliminaresDistribuciones Flexibles

Una clasificación simple de distribuciones flexiblesDouble two–piece distributions

Propiedades inferencialesCómo generar nuevas distribuciones?

Ejemplos

Introducción a las distribuciones flexibles ysus aplicaciones

Francisco Javier Rubio

University of WarwickDepartment of Statistics

XII Escuela de Probabilidad y Estadística,CIMAT, 2014.




Ejemplos

Table of contents

1 Preliminares

2 Distribuciones FlexiblesCambios de variables paramétricosTransformaciones de distribuciónOtros tipos de distribuciones flexibles

3 Una clasificación simple de distribuciones flexibles

4 Double two–piece distributionsSubfamilias de 4 parámetros: TPSC and TPSH

5 Propiedades inferencialesInferencia ClásicaInferencia Bayesiana

6 Cómo generar nuevas distribuciones?

7 Ejemplos




Ejemplos

(Hogg and Craig, 1987; Shao, 2003)

La función de distribución (CDF), F : R → [0, 1], de una variablealeatoria X con valores reales se define como:

F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R.




Ejemplos



F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R.

La función de densidad (PDF), f : R → R+, se define como laderivada de F (asumiendo que ésta existe)

f (x) = F ′(x), x ∈ R.

Entonces, F (x) =∫ x−∞

f (t)dt .




Ejemplos



F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R.

La función de densidad (PDF), f : R → R+, se define como laderivada de F (asumiendo que ésta existe)

f (x) = F ′(x), x ∈ R.

Entonces, F (x) =∫ x−∞

f (t)dt .

F puede ser una función paramétrica. En tal caso denotaremosF (·; θ), donde θ ∈ Θ.




Ejemplos

El parámetro µ ∈ R se denomina de “localización” siF (x ;µ) = F (x − µ; 0).




Ejemplos


El parámetro σ ∈ R+ se denomina de “escala” siF (x ;σ) = F (x/σ; 1).




Ejemplos



El parámetro δ ∈ ∆ ⊂ R se denomina de “forma” si no es ni delocalización ni de escala.




Ejemplos



El parámetro δ ∈ ∆ ⊂ R se denomina de “forma” si no es ni delocalización ni de escala.

La familia de distribuciones univariadas de localización y escalaestá conformada por las distribuciones con parámetros delocalización y de escala.




Ejemplos

El momento n–ésimo de una variable aleatoria real X se definecomo

E[Xn] =

∫

R

xndF (x) =∫

R

xnf (x)dx .




Ejemplos

El momento n–ésimo de una variable aleatoria real X se definecomo

E[Xn] =

∫

R

xndF (x) =∫

R

xnf (x)dx .

Cuando E [|X |n] = ∞ se dice que el n–ésimo momento de X noexiste.




Ejemplos

Inferencia.

Supongamos que tenemos una muestra independiente de f ,

x = (x1, . . . , xn). Esto es, xjind.∼ F (·; θ).




Ejemplos

Inferencia.



Inferencia clásica (Sprott, 2000). Está basada en la “función deverosimilitud”:

L(θ; x) =n∏

j=1

f (xj ; θ).




Ejemplos

Inferencia.



Inferencia clásica (Sprott, 2000). Está basada en la “función deverosimilitud”:

L(θ; x) =n∏

j=1

f (xj ; θ).

Estimación Máximo Verosímil:

θ̂ = argmaxθ∈ΘL(θ; x)




Ejemplos

Descargo de responsabilidad: Hay definiciones más formalesque cubren el caso de observaciones censuradas, lo cualestudiaremos con un ejemplo.




Ejemplos

Descargo de responsabilidad: Hay definiciones más formalesque cubren el caso de observaciones censuradas, lo cualestudiaremos con un ejemplo. COMERCIAL : Esto lo aprendesen la maestría de CIMAT.




Ejemplos

Descargo de responsabilidad: Hay definiciones más formalesque cubren el caso de observaciones censuradas, lo cualestudiaremos con un ejemplo. COMERCIAL : Esto lo aprendesen la maestría de CIMAT.

Una definición más formal es L(θ;Evento) = P(Evento|θ)




Ejemplos

Inferencia Bayesiana (Robert, 2007). Está basada en ladistribución (densidad) posterior de θ, definida como

π(θ|x) = f (x|θ)π(θ)π(x)

∝ L(θ; x)π(θ).




Ejemplos

Inferencia Bayesiana (Robert, 2007). Está basada en ladistribución (densidad) posterior de θ, definida como

π(θ|x) = f (x|θ)π(θ)π(x)

∝ L(θ; x)π(θ).

π(θ) es llamada la distribución previa (a priori) de θ y es elegidapor el usuario.




Ejemplos

Cambios de variables paramétricosTransformaciones de distribuciónOtros tipos de distribuciones flexibles

Notación.

Sea f (·;µ, σ, δ) una densidad simétrica con soporte en R,parámetro de localización µ ∈ R, parámetro de escala σ ∈ R+, yparámetro de forma δ ∈ ∆ ⊂ R.




Ejemplos


Notación.


Además usaremos la expresión alternativa siguiente:

f (x ;µ, σ, δ) =1σ

f(

x − µ

σ; 0, 1, δ

)≡ 1

σf(

x − µ

σ; δ

).




Ejemplos


Notación.


Además usaremos la expresión alternativa siguiente:

f (x ;µ, σ, δ) =1σ

f(

x − µ

σ; 0, 1, δ

)≡ 1

σf(

x − µ

σ; δ

).

En general, CDFs serán denotadas con mayúsculas y PDFs conlas correspondientes letras minúsculas.




Ejemplos


En la modelación estadística de datos uno de los supuestosdistribucionales más comunes es el de normalidad. Es decirxj

ind.∼ Normal(µ, σ).




Ejemplos




Recuerde que la densidad normal se define como:

φ(x ;µ, σ) =1√2πσ

exp[− (x − µ)2

2σ2

], x ∈ R.

La cual es una densidad simétrica alrededor de µ, es decirf (µ − x) = f (µ+ x) para toda x ∈ R.




Ejemplos





φ(x ;µ, σ) =1√2πσ

exp[− (x − µ)2

2σ2

], x ∈ R.


En muchos casos este supuesto es razonable, sin embargo esmuy común encontrarse datos para los cuales el supuesto denormalidad no es apropiado.




Ejemplos





φ(x ;µ, σ) =1√2πσ

exp[− (x − µ)2

2σ2

], x ∈ R.


En muchos casos este supuesto es razonable, sin embargo esmuy común encontrarse datos para los cuales el supuesto denormalidad no es apropiado.

Ejemplos como éste aparecen en diversas áreas como finanzas,biología, ecología, medicina, entre muchas otras.




Ejemplos


Ejemplo: Datos de IMC. De acuerdo a la Organización Mundialde la Salud, el índice de masa corporal (IMC) es un índicesimple de “peso por altura” que es comúnmente utilizado paraclasificar a adultos con bajo peso, sobrepreso, y obesidad. Ésteíndice se define simplemente como el peso en kilogramosdividido por el cuadrado de la altura en metros.




Ejemplos



La importancia de la modelación apropiada del IMC tambiénradica en que algunos países basan sus campañas contra laobesidad basados en la distribución del IMC en sus poblaciones.




Ejemplos



La importancia de la modelación apropiada del IMC tambiénradica en que algunos países basan sus campañas contra laobesidad basados en la distribución del IMC en sus poblaciones.

La siguiente gráfica muestra el histograma de los datospublicados en Heinz et al. (2003) que contienen 260observaciones del IMC medido en mujeres físicamente activascuyas edades varían en los 20s y 30s.




Ejemplos


IMC

Den

sity

20 25 30 35 40

0.00

0.05

0.10

0.15

Figura : Datos del IMC




Ejemplos


Existen muchas (infinitas) formas en la que nuestros datospueden presentar desviaciones al supuesto de normalidad.




Ejemplos


Existen muchas (infinitas) formas en la que nuestros datospueden presentar desviaciones al supuesto de normalidad.En este mini curso nos enfocaremos en aquellos que pueden sercapturados a través de dos cantidades/conceptos: skewness ykurtosis.




Ejemplos


Existen muchas (infinitas) formas en la que nuestros datospueden presentar desviaciones al supuesto de normalidad.En este mini curso nos enfocaremos en aquellos que pueden sercapturados a través de dos cantidades/conceptos: skewness ykurtosis.Skewness esta relacionado al grado de asimetría de unadistribución, mientras que la kurtosis está relacionada a “que tanpicuda” es la densidad cerca de la moda y “que tan pesadas sonlas colas”.




Ejemplos


Existen muchas (infinitas) formas en la que nuestros datospueden presentar desviaciones al supuesto de normalidad.En este mini curso nos enfocaremos en aquellos que pueden sercapturados a través de dos cantidades/conceptos: skewness ykurtosis.Skewness esta relacionado al grado de asimetría de unadistribución, mientras que la kurtosis está relacionada a “que tanpicuda” es la densidad cerca de la moda y “que tan pesadas sonlas colas”.A pesar de que se han propuesto varias medidas de skewness ykurtosis, la convención actual es que éstos deben ser tomadascomo “conceptos vagos”, que pueden ser formalizados de variasmaneras (Balanda and MacGillivray, 1988).




Ejemplos


Existen muchas (infinitas) formas en la que nuestros datospueden presentar desviaciones al supuesto de normalidad.En este mini curso nos enfocaremos en aquellos que pueden sercapturados a través de dos cantidades/conceptos: skewness ykurtosis.Skewness esta relacionado al grado de asimetría de unadistribución, mientras que la kurtosis está relacionada a “que tanpicuda” es la densidad cerca de la moda y “que tan pesadas sonlas colas”.A pesar de que se han propuesto varias medidas de skewness ykurtosis, la convención actual es que éstos deben ser tomadascomo “conceptos vagos”, que pueden ser formalizados de variasmaneras (Balanda and MacGillivray, 1988).Esto es porque lo que funciona para unas distribuciones, nonecesariamente funciona para otras. Otra convención es quesólo es de interés analizar éstas cantidades en distribucionesunimodales.




Ejemplos


Dos medidas de skewness populares de una variable aleatoriaX ∼ F son:

R1 =E[(X − EX)3]

E[(X − EX)2]32

R2 = 1 − 2F (Moda).




Ejemplos


Dos medidas de skewness populares de una variable aleatoriaX ∼ F son:

R1 =E[(X − EX)3]

E[(X − EX)2]32

R2 = 1 − 2F (Moda).

R1 fue propuesta por Pearson (1895) y la segunda por Arnoldand Groeneveld (1995). R1 ∈ [−∞,∞] y R2 ∈ [−1, 1]. La primeraestá basada en los momentos de la variable aleatoria X ,mientras que la segunda está basada en la masa acumulada acada lado de la moda. Ambas son 0 para distribucionessimétricas ... Cuando existen.




Ejemplos


Ejemplo: Densidad Cauchy.

f (x) =1π

11 + x2 .

Para esta distribución R1 no está definido, mientras que R2 = 0.




Ejemplos



f (x) =1π

11 + x2 .

Para esta distribución R1 no está definido, mientras que R2 = 0.Sin embargo existen densidades que no son simétricas en elsentido matemático básico que producen R2 = 0.




Ejemplos



f (x) =1π

11 + x2 .


Definiciones más generales (que caen más allá de la línea deésta plática) de skewness y kurtosis fueron presentadas en vanZwet (1964).




Ejemplos



f (x) =1π

11 + x2 .


Definiciones más generales (que caen más allá de la línea deésta plática) de skewness y kurtosis fueron presentadas en vanZwet (1964).

Motivados por la tarea de modelar datos para los que elsupuesto de normalidad (o simetría) no es adecuado, variasclases de distribuciones han sido propuestas.




Ejemplos


El primer tipo de distribuciones que estudiaremos son aquellasobtenidas por medio de un cambio de variable paramétrico.




Ejemplos



La idea es que si tenemos una muestra x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

xjind.∼ G, G desconocida.




Ejemplos




xjind.∼ G, G desconocida. T : D ⊂ R → R.




Ejemplos




xjind.∼ G, G desconocida. T : D ⊂ R → R. T (xj)

ind.∼ F , Fconocida.




Ejemplos






La transformación más popular en ésta línea es la de Box–Cox:

T (xj ;λ) =

xλj − 1

λif λ 6= 0

log(yj) if λ = 0.




Ejemplos






La transformación más popular en ésta línea es la de Box–Cox:

T (xj ;λ) =

xλj − 1

λif λ 6= 0

log(yj) if λ = 0.

F es típicamente la distribución normal or la t de Student conδ > 0 grados de libertad.




Ejemplos


Pros :

1 λ induce flexibilidad en F para capturar asimetría.




Ejemplos


Pros :

1 λ induce flexibilidad en F para capturar asimetría.2 Es fácil de usar.




Ejemplos


Pros :


Contras :

1 Sólo puede ser usada ser usada en datos positivos ó se tienen queincluir parámetros adicionales (shift).




Ejemplos


Pros :


Contras :

1 Sólo puede ser usada ser usada en datos positivos ó se tienen queincluir parámetros adicionales (shift).

2 λ controla tanto la asimetría como las colas. No tiene unainterpretación inmediata.




Ejemplos


Transformaciones de Tukey

Son las transformaciones que producen las distribuciones deltipo g–y–h (populares en los 70s).

T−1g,h (Z ) =

1g{exp(gZ )− 1}exp

(12

hZ 2),

donde Z ∼ Normal(µ, σ), g 6= 0, and h ∈ R.




Ejemplos




T−1g,h (Z ) =


(12

hZ 2),


Los parámetros g and h controlan conjuntamente la asimetría ylas colas de la distribución de Tg,h(Z ).




Ejemplos




T−1g,h (Z ) =


(12

hZ 2),


Los parámetros g and h controlan conjuntamente la asimetría ylas colas de la distribución de Tg,h(Z ).

Existen otros tipos de distribuciones de éste tipo pero son muy(muy) similares.




Ejemplos


Pros :

1 Pueden controlar skewness y kurtosis a través de los parámetros gy h.




Ejemplos


Pros :


Contras :

1 La densidad correspondiente no existe en forma cerrada.




Ejemplos


Pros :


Contras :

1 La densidad correspondiente no existe en forma cerrada.2 Inferencia en éstos modelos era considerado intratable antes de la

década de los 2000s.




Ejemplos


Pros :


Contras :

1 La densidad correspondiente no existe en forma cerrada.2 Inferencia en éstos modelos era considerado intratable antes de la

década de los 2000s.3 g y h tienen roles conjuntos, la interpretación de sus estimadores

es más complicada.




Ejemplos


Jones y Pewsey (2009) propusieron la siguiente transformación:

T (Z ; δ, ǫ) = sinh[δ arcsinh(Z )− ǫ],

donde δ ∈ R+, ǫ ∈ R, y Z ∼ F .




Ejemplos





Jones and Pewsey (2009) proponen usar F = Φ, dado que éstaelección produce densidades flexibles y unimodales.




Ejemplos





Jones and Pewsey (2009) proponen usar F = Φ, dado que éstaelección produce densidades flexibles y unimodales.

Las PDF y CDF pueden ser expresadas en forma cerrada.

S(x ; δ, ǫ) = Φ[sinh[δ arcsinh(x)− ǫ]],

s(x ; δ, ǫ) =δ cosh[δ arcsinh(x)− ǫ]√

1 + x2φ[sinh[δ arcsinh(x)− ǫ]].




Ejemplos


-4 -2 0 2 40.0

0.5

1.0

1.5

Figura : Densidad sinh-arcsinh: ǫ = 0, δ = 0,5, 0,75,1, 2, 4.




Ejemplos


-10 -5 0 5 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura : Densidad sinh-arcsinh: ǫ = −2,−1,0, 1,2, δ = 1.




Ejemplos


Pros :

1 Ésta transformación puede producir densidades tanto con colasmás pesadas que la normal, como más ligeras.




Ejemplos


Pros :


2 Tienen buenas propiedades inferenciales.




Ejemplos


Pros :


2 Tienen buenas propiedades inferenciales.3 Es fácil de usar. Todos sus momentos existen para cualesquier

valor de los parámetros.




Ejemplos


Pros :




Contras :

1 δ y ǫ tienen rol conjunto. Dificulta su interpretación.




Ejemplos


Pros :




Contras :

1 δ y ǫ tienen rol conjunto. Dificulta su interpretación.2 No puede cubrir todo el rango de sesgo de R2 al variar los valores

de los parámetros. Esto representa una restricción en suflexibilidad.




Ejemplos


Distribuciones de dos piezas (two–piecedistributions)

Las distribuciones de dos piezas tienen una historia bastantepeculiar, dado que han sido reinventadas varias veces bajodiferentes niveles de generalidad.




Ejemplos




La referencia más antigua sobre una distribución de éste tipo esFechner (1897), quien propuso construir una distribución normalde dos piezas pegando dos normales truncadas con diferentesparámetros de escala:




Ejemplos




La referencia más antigua sobre una distribución de éste tipo esFechner (1897), quien propuso construir una distribución normalde dos piezas pegando dos normales truncadas con diferentesparámetros de escala:

s(x |µ, σ1, σ2) =2

σ1 + σ2

[φ

(x − µ

σ1

)I(x < µ) + φ

(x − µ

σ2

)I(x ≥ µ)

].




Ejemplos


-10 -5 0 5 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura : Two–piece normal: µ = 0, (σ1, σ2) = {(1,1), (3, 1), (1, 3)}.




Ejemplos


Este modelo fue propuesto posteriormente (o mejor dicho,reinventado) por:

Gibbons and Mylroie (1973) [joined half-Gaussian]




Ejemplos




John (1982) [two-piece normal].




Ejemplos





Mudholkar and Huston (2000) [ǫ-skew normal]. {σ1 = σ(1 + γ)σ2 = σ(1 − γ), γ ∈ (−1, 1)}




Ejemplos






Wallis (2013) presenta una compilación de reinvenciones de lanormal de dos piezas.




Ejemplos






Wallis (2013) presenta una compilación de reinvenciones de lanormal de dos piezas.

Una idea similar fue usada por Hansen (1994) para producir unadistribución t de Student de doz piezas, la cual es obtenidadsimplemente usando una t de Student en lugar de la densidadnormal.




Ejemplos


Fernández and Steel (1998a) propusieron una generalización deéste método para construir distribuciones asimétricas [Factoresde Escala Inversos]:

s(x |µ, σ, γ) = 2σ(γ + 1/γ)

[f(

x − µ

σ/γ

)I(x < µ) + f

(x − µ

σγ

)I(x ≥ µ)

],

donde γ > 0 y f es una densidad simétrica respecto al valorx = 0.




Ejemplos


Fernández and Steel (1998a) propusieron una generalización deéste método para construir distribuciones asimétricas [Factoresde Escala Inversos]:

s(x |µ, σ, γ) = 2σ(γ + 1/γ)

[f(

x − µ

σ/γ

)I(x < µ) + f

(x − µ

σγ

)I(x ≥ µ)

],

donde γ > 0 y f es una densidad simétrica respecto al valorx = 0.

Arellano-Valle et al. (2005) propusieron una unificación de todaséstas distribuciones como se muestra a continuación:

s(x |µ, σ, γ) = 2σ[a(γ) + b(γ)]

[f(

x − µ

σb(γ)

)I(x < µ) + f

(x − µ

σa(γ)

)I(x ≥ µ)

].




Ejemplos


Es fácil (aunque fue ignorado por muchos años en la literatura)ver que todos estos modelos son equivalentes a Rubio and Steel(2014)

s(x |µ, σ1, σ2) =2

σ1 + σ2

[f(

x − µ

σ1

)I(x < µ) + f

(x − µ

σ2

)I(x ≥ µ)

],

usando la reparametrización σ1 = σb(γ) and σ2 = σa(γ).




Ejemplos


Distribuciones Skew–simétricas

Azzalini (1985) propuso la llamada skew-normal (o normalasimétrica) a través de la PDF:

s(x |µ, σ, λ) = 2σφ

(x − µ

σ

)Φ

(λ

x − µ

σ

),

donde λ ∈ R, φ es la PDF normal estándar, y Φ es la CDFnormal estándar.




Ejemplos


Distribuciones Skew–simétricas

Azzalini (1985) propuso la llamada skew-normal (o normalasimétrica) a través de la PDF:

s(x |µ, σ, λ) = 2σφ

(x − µ

σ

)Φ

(λ

x − µ

σ

),

donde λ ∈ R, φ es la PDF normal estándar, y Φ es la CDFnormal estándar.

Ésta densidad coincide con la densidad normal para λ = 0, esasímetrica para λ 6= 0, y converge a una normal truncada (haciala derecha/izquierda) cuando λ → ±∞.




Ejemplos


-4 -2 0 2 40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Figura : Skew normal: µ = 0, σ = 1, λ = 0,−3,3.




Ejemplos


Azzalini and Capitanio (2003) posteriormente propusieron ladistribución skew–t a través de la PDF:

s(x ;µ, σ, ν, λ) =2σ

f(

x − µ

σ; δ

)F(λ

x − µ

σ; δ

),

donde f y F representan la PDF y CDF, respectivamente, de unat−Student con δ > 0 grados de libertad.




Ejemplos


Azzalini and Capitanio (2003) posteriormente propusieron ladistribución skew–t a través de la PDF:

s(x ;µ, σ, ν, λ) =2σ

f(

x − µ

σ; δ

)F(λ

x − µ

σ; δ

),

donde f y F representan la PDF y CDF, respectivamente, de unat−Student con δ > 0 grados de libertad.

Wang et al. (2004) muestran que éste método puede sergeneralizado a cualquier densidad simétrica f a través de latransformación:

s(x |µ, σ, λ) = 2σ

f(

x − µ

σ

)π

(λ

x − µ

σ

),

donde λ ∈ R, y π es una función de asimetría que sastisface0 ≤ π(x) ≤ 1, y π(−x) = 1 − π(x).




Ejemplos


Entonces cualquier CDF puede ser usada como π.




Ejemplos


Entonces cualquier CDF puede ser usada como π.

Esto ha generado una horda de papers explorando diversascombinaciones de: Normal, Exponential power, Student–t ,logística, secante hiperbólica, entre muchas otras.




Ejemplos


(I) Distribución hiperbólica generalizada (Barndorff–Nielsen, 1977).




Ejemplos



Requieren muestras muy grandes para poder obtener EMV“confiables”. La convergencia es lenta (Fonseca et al., 2012).Los parámetros tienen roles conjuntos. Los parámetros de formainducen una flexibilidad más bien modesta.




Ejemplos




(II) Distribuciones α−estables.




Ejemplos




(II) Distribuciones α−estables.Su densidad es muy difícil de evaluar en su mayoría, lo cualcomplica su uso en todos los niveles.




Ejemplos





(III) Distribución de valores extremos generalizada.




Ejemplos





(III) Distribución de valores extremos generalizada.

(IV) Entre muchas muchas muchas otras.




Ejemplos

Los modelos que hemos discutido hasta ahora contienenparámetros de localización, de escala, y de forma, los cualescontrolan skewness y kurtosis.




Ejemplos


Con excepción de las distribuciones de dos piezas, estosmodelos tienen diferentes formas y diferente comportamiento delas colas en cada dirección. Ésto da pie a la siguienteclasificación de distribuciones flexibles unimodales.




Ejemplos



Clase 1: Asimétricas, mismo comportamiento de las colas encada dirección.




Ejemplos




Clase 2: Asimétrica, pero donde la asimetría es introducida através del cambio del comportamiento de las colas en cadadirección.




Ejemplos




Clase 2: Asimétrica, pero donde la asimetría es introducida através del cambio del comportamiento de las colas en cadadirección.

Es claro que éstas dos clases son disjuntas. Entonces, seríainteresante producir una nueva familia de distribuciones quepudiera capturar ambos tipos de asimetría.




Ejemplos

Subfamilias de 4 parámetros: TPSC and TPSH

Rubio and Steel (2013b)Defina la PDF construída con f (x ;µ, σ1, δ1) truncada en (−∞, µ)y f (x ;µ, σ2, δ2) truncada en [µ,∞):




Ejemplos



s(x ;µ, σ1, σ2, δ1, δ2) =2εσ1

f(

x − µ

σ1; δ1

)I(x < µ)

+2(1 − ε)

σ2f(

x − µ

σ2; δ2

)I(x ≥ µ), (1)




Ejemplos



s(x ;µ, σ1, σ2, δ1, δ2) =2εσ1

f(

x − µ

σ1; δ1

)I(x < µ)

+2(1 − ε)

σ2f(

x − µ

σ2; δ2

)I(x ≥ µ), (1)

Con el propósito de obtener una PDF continua, se requierehacer el siguiente supuesto adicional

ε =σ1f (0; δ2)

σ1f (0; δ2) + σ2f (0; δ1). (2)




Ejemplos



s(x ;µ, σ1, σ2, δ1, δ2) =2εσ1

f(

x − µ

σ1; δ1

)I(x < µ)

+2(1 − ε)

σ2f(

x − µ

σ2; δ2

)I(x ≥ µ), (1)

Con el propósito de obtener una PDF continua, se requierehacer el siguiente supuesto adicional

ε =σ1f (0; δ2)

σ1f (0; δ2) + σ2f (0; δ1). (2)

La familia de densidades definida por (1) y (2) será denotadacomo la familia de distribuciones DTP (Double Two-Piece).




Ejemplos


Algunas propiedades.

La CDF correspondiente está dada por

S(x ;µ, σ1, σ2, δ1, δ2) = 2εF(

x − µ

σ1; δ1

)I(x < µ)

+

{ε+ (1 − ε)

[2F

(x − µ

σ2; δ2

)− 1

]}I(x ≥ µ). (3)




Ejemplos




S(x ;µ, σ1, σ2, δ1, δ2) = 2εF(

x − µ

σ1; δ1

)I(x < µ)

+

{ε+ (1 − ε)

[2F

(x − µ

σ2; δ2

)− 1

]}I(x ≥ µ). (3)

La función cuantil se puede obtener fácilmente tomando lainversa de (3).




Ejemplos




S(x ;µ, σ1, σ2, δ1, δ2) = 2εF(

x − µ

σ1; δ1

)I(x < µ)

+

{ε+ (1 − ε)

[2F

(x − µ

σ2; δ2

)− 1

]}I(x ≥ µ). (3)

La función cuantil se puede obtener fácilmente tomando lainversa de (3).

Éste método para obtener distribuciones flexibles preservan laexistencia de momentos de f , así como su facilidad de uso.




Ejemplos


Interpretación de parámetros.

µ es la moda de la densidad así como un parámetro de escala.




Ejemplos




(σ1, σ2) controlan la escala y la masa acumulada a cada lado deµ.




Ejemplos





(δ1, δ2) controlan la forma (comportamiento de cola) en cadadirección.




Ejemplos





(δ1, δ2) controlan la forma (comportamiento de cola) en cadadirección.

Los parámetros tienen roles claros y separados.




Ejemplos


“con cuatro parámetros puedo ajustar un elefante, y con cincopuedo lograr que mueva su trompa”. John Von Neumann




Ejemplos



No exactamente. La familia de distribuciones hiperbólicageneralizada también tiene 5 parámetros pero sólo puedecapturar asimetría del tipo II.




Ejemplos



No exactamente. La familia de distribuciones hiperbólicageneralizada también tiene 5 parámetros pero sólo puedecapturar asimetría del tipo II.

Las distribuciones DTP pueden capturar ambos tipos deasimetría?




Ejemplos


TPSC

La familia de distribuciones DTP incluye naturalmente la familiade distribuciones de dos piezas. Esto se puede ver simplementeimponiendo la condición δ1 = δ2 = δ en (1), lo cual lleva a lasiguiente expresión:

s(x ;µ, σ1, σ2, δ) =2

σ1 + σ2

[

f(

x − µ

σ1; δ

)

I(x < µ) + f(

x − µ

σ2; δ

)

I(x ≥ µ)

]

. (4)




Ejemplos


TPSC


s(x ;µ, σ1, σ2, δ) =2

σ1 + σ2

[

f(

x − µ

σ1; δ

)

I(x < µ) + f(

x − µ

σ2; δ

)

I(x ≥ µ)

]

. (4)

De ahora en adelante denotaremos esta familia como TPSC(two–piece scale).




Ejemplos


TPSC


s(x ;µ, σ1, σ2, δ) =2

σ1 + σ2

[

f(

x − µ

σ1; δ

)

I(x < µ) + f(

x − µ

σ2; δ

)

I(x ≥ µ)

]

. (4)

De ahora en adelante denotaremos esta familia como TPSC(two–piece scale).

Si usamos la reparametrización σ1 = σb(γ), y σ2 = σa(γ), dondea() and b() son funciones positivas del parámetro γ, entoncesobtemos la expresión de la familia de dos piezas propuesta porArellano-Valle et al. (2005) y que ya discutimos anteriormente.




Ejemplos


TPSH

Una subfamilia alternativa de distribuciones puede ser obtenidasi fijamos los parámetros de escala en lugar de los parámetrosde forma, esto es σ1 = σ2 = σ en (1), implicando el siguientemodelo:

s(x ;µ, σ, δ1, δ2) =2εσ

f(

x − µ

σ; δ1

)I(x < µ)

+2(1 − ε)

σf(

x − µ

σ; δ2

)I(x ≥ µ), (5)

donde ε =f (0; δ2)

f (0; δ1) + f (0; δ2).




Ejemplos


TPSH

Una subfamilia alternativa de distribuciones puede ser obtenidasi fijamos los parámetros de escala en lugar de los parámetrosde forma, esto es σ1 = σ2 = σ en (1), implicando el siguientemodelo:

s(x ;µ, σ, δ1, δ2) =2εσ

f(

x − µ

σ; δ1

)I(x < µ)

+2(1 − ε)

σf(

x − µ

σ; δ2

)I(x ≥ µ), (5)

donde ε =f (0; δ2)

f (0; δ1) + f (0; δ2).

Ésta subfamilia será denotada como TPSH (two–piece shape).




Ejemplos


Esta subfamilia contiene modelos asimétricos con diferenteforma y comportamiento de colas en cada dirección.




Ejemplos



ε, la masa acumulada a la izquierda de la moda, difiere de 1/2 sif (0; δ1) 6= f (0; δ2).




Ejemplos



ε, la masa acumulada a la izquierda de la moda, difiere de 1/2 sif (0; δ1) 6= f (0; δ2).

En la subclase TPSH, la asimetría sólo puede ser inducida si seutilizan diferentes parámetros de forma.




Ejemplos

Inferencia ClásicaInferencia Bayesiana

La introducción de nuevos parámetros en modelos simétricos, apesar de inducir cierta flexibilidad, puede producir un modelocon propiedades inferenciales muy diferentes a las del modelooriginal.




Ejemplos



Más aún, dado que las propiedades asintónticas de varios tiposde estimadores (e.g. la tasa de convergencia de los EMV) sondependientes de la dimensión, la adición de nuevos parámetrosno debe verse como una tarea automática y es recomendablerealizar una comparación de diferentes métodos.




Ejemplos



Más aún, dado que las propiedades asintónticas de varios tiposde estimadores (e.g. la tasa de convergencia de los EMV) sondependientes de la dimensión, la adición de nuevos parámetrosno debe verse como una tarea automática y es recomendablerealizar una comparación de diferentes métodos.

En seguida veremos algunas propiedades específicasinferenciales (desde el punto de vista clásico) de algunasfamilias de distribuciones.




Ejemplos


Distribuciones skew–simétricas

El EMV de el parámetro de skewness (λ) puede ser ∞ conprobabilidad positiva.




Ejemplos




La matriz de información de Fisher es singular para variosmodelos de éste tipo (Hallin and Ley, 2012).




Ejemplos





Esto induce la presencia de regiones planas en la verosimilitud(Pewsey, 2000) lo cual dificulta su optimización.




Ejemplos






La verosimilitud perfil de λ usualmente decae lentamente a 0 óincluso no decae. Esto depende principalmente del tamaño demuestra.




Ejemplos






La verosimilitud perfil de λ usualmente decae lentamente a 0 óincluso no decae. Esto depende principalmente del tamaño demuestra. Una explicación intuitiva es que λ controla tanto laasimetría como las colas de la distribución y es más difícilobtener información sobre las colas en muestras pequeñas.




Ejemplos






La verosimilitud perfil de λ usualmente decae lentamente a 0 óincluso no decae. Esto depende principalmente del tamaño demuestra. Una explicación intuitiva es que λ controla tanto laasimetría como las colas de la distribución y es más difícilobtener información sobre las colas en muestras pequeñas.

La perfil de λ tiene un punto de inflexión en λ = 0 para todamuestra (Ley and Paindaveine, 2010b).




Ejemplos


Distribuciones de dos piezas

Este tipo de distribuciones han recibido varias críticas injustasdebido a que algunos autores usan su falta de diferenciabilidaden la moda como un argumento en contra de su uso.




Ejemplos




Si bien, la diferenciabilidad en todas partes de una densidadrepresenta una condición suficiente en varios resultadosasintóticos de los EMV (como la consistencia de estos), éstacondición no es necesaria para obtener estos mismos resultadosasintóticos.




Ejemplos





Arellano-Valle et al. (2005) probaron la normalidad asintótica delos EMV para una normal y una Laplace de dos piezas.




Ejemplos





Arellano-Valle et al. (2005) probaron la normalidad asintótica delos EMV para una normal y una Laplace de dos piezas.

¡Son necesarios resultados más generales!




Ejemplos


La existencia de la posterior de estos modelos está bien definidamientras se usen a prioris propias (distribuciones).




Ejemplos



La falta de roles claros en muchas de estas distribuciones, talescomo las skew–simétricas, complica la elección de una a priori.




Ejemplos




Aparentemente es muy complicado (si es que es posible)obtener a prioris conjugadas. Usualmente es necesario emplearmétodos MCMC para muestrear de las posteriores.




Ejemplos





Dado que estos modelos son mas complicados que los modelossimétricos originales, el uso de Markov Chain Monte Carlo(MCMC) se complica.




Ejemplos





Dado que estos modelos son mas complicados que los modelossimétricos originales, el uso de Markov Chain Monte Carlo(MCMC) se complica.

En particular para modelos skew–simétricos, el uso de a prioriscon colas pesadas, combinado con el mal comportamiento de laverosimilitud, conlleva a dificultades en la implementación demétodos MCMC (Jarner and Roberts, 2007).




Ejemplos


En el caso de modelos de dos piezas la elección de la a priori esmenos complicada debido a la separación de roles de losparámetros.




Ejemplos


En el caso de modelos de dos piezas la elección de la a priori esmenos complicada debido a la separación de roles de losparámetros.En la práctica muchos Bayesianos optan por el uso de a priorisque muchas veces se denominan “no informativas”.




Ejemplos


En el caso de modelos de dos piezas la elección de la a priori esmenos complicada debido a la separación de roles de losparámetros.En la práctica muchos Bayesianos optan por el uso de a priorisque muchas veces se denominan “no informativas”.Aunque no hay un acuerdo sobre qué es una a priori noinformativa, usualmente se interpretan como funciones de losparámetros que producen distribuciones posteriores con buenaspropiedades frecuentistas (e.g. buena cobertura de los intervalosde credibilidad).




Ejemplos


En el caso de modelos de dos piezas la elección de la a priori esmenos complicada debido a la separación de roles de losparámetros.En la práctica muchos Bayesianos optan por el uso de a priorisque muchas veces se denominan “no informativas”.Aunque no hay un acuerdo sobre qué es una a priori noinformativa, usualmente se interpretan como funciones de losparámetros que producen distribuciones posteriores con buenaspropiedades frecuentistas (e.g. buena cobertura de los intervalosde credibilidad).El uso de a prioris no informativas puede herir los sentimientosde muchos Bayesianos.




Ejemplos


En el caso de modelos de dos piezas la elección de la a priori esmenos complicada debido a la separación de roles de losparámetros.En la práctica muchos Bayesianos optan por el uso de a priorisque muchas veces se denominan “no informativas”.Aunque no hay un acuerdo sobre qué es una a priori noinformativa, usualmente se interpretan como funciones de losparámetros que producen distribuciones posteriores con buenaspropiedades frecuentistas (e.g. buena cobertura de los intervalosde credibilidad).El uso de a prioris no informativas puede herir los sentimientosde muchos Bayesianos.Debido a que no hay definición única de qué es una a priori noinformativa, han surgido muchas formas de construirlas: previasde Jeffreys, previas de Jeffreys independientes, previas dereferencia, previas de Haar, entre otras.




Ejemplos


Una crítica frecuente a éstas a prioris es que no siempre sonpropias (densidades).




Ejemplos



Si se decide usar una a priori no informativa impropia, se tieneque ser cuidadoso en checar que la posterior es propia, es decirque Verosimilitud × Previa es integrable.




Ejemplos




Para modelos skew–simétricos, la a prioris de referencia y e

independiente de Jeffreys tienen la forma π(µ, σ, λ) ∝ p(λ)σ

.




Ejemplos




Para modelos skew–simétricos, la a prioris de referencia y e

independiente de Jeffreys tienen la forma π(µ, σ, λ) ∝ p(λ)σ

.

Para modelos de dos piezas, la a prioris de referencia y e

independiente de Jeffreys tienen la forma π(µ, σ, γ) ∝ p(γ)σ

.




Ejemplos


Una distribución se dice que es una mezcla de escala denormales si su densidad puede escribirse como:

f (x ; δ) =∫ ∞

0τ1/2φ(τ1/2x)dPτ |δ,

donde Pτ |δ se llama distribución de mezcla.




Ejemplos


Una distribución se dice que es una mezcla de escala denormales si su densidad puede escribirse como:

f (x ; δ) =∫ ∞

0τ1/2φ(τ1/2x)dPτ |δ,

donde Pτ |δ se llama distribución de mezcla.

Esta clase de distribuciones es muy amplia y contienedistribuciones simétricas de interés en la práctica como ladistribución logística, la distribución t de Student, la distribuciónnormal, la distribución de Laplace, entre muchas otras.




Ejemplos


Suponga que x = (x1, . . . , xn) es una muestra ya sea de unadistribución de dos piezas ó una distribución skew–simétrica.




Ejemplos



Suponga también que f , el modelo simétrico subyacente,pertenece a la familia de mezcla de escala de normales.




Ejemplos




Suponga además que p(·) es propia (densidad).




Ejemplos




Suponga además que p(·) es propia (densidad).

Entonces la posterior de los parámetros es propia si n ≥ 2 ytodas las observaciones son diferentes.




Ejemplos


Si la muestra contiene observaciones repetidas, entonces setienen que checar ciertas condiciones adicionales (Rubio andSteel, 2014; Rubio and Liseo, 2014). La presencia deobservaciones repetidas puede destruir la existencia de ladistribución posterior.




Ejemplos


Si la muestra contiene observaciones repetidas, entonces setienen que checar ciertas condiciones adicionales (Rubio andSteel, 2014; Rubio and Liseo, 2014). La presencia deobservaciones repetidas puede destruir la existencia de ladistribución posterior.

Moraleja: Se debe ser cuidadoso al utilizar a prioris impropias.Pero también se tiene que ser cuidadoso al utilizar modeloscontinuos si la muestra tiene observaciones repetidas(Fernández and Steel, 1998b), ya que éste fenómeno tambiénaparece en modelos con previas propias.




Ejemplos

Cómo le hace la gente para generar nuevas distribuciones?




Ejemplos


La inspiración cuenta, por supuesto, pero hay métodos formalespara generar distribuciones a partir de algunas ya conocidas.




Ejemplos


La inspiración cuenta, por supuesto, pero hay métodos formalespara generar distribuciones a partir de algunas ya conocidas.

Hay dos representaciones populares que se utilizan paragenerar distribuciones flexibles. Las veremos en el casounivariado, pero se pueden extender al caso multivariado.




Ejemplos

Método 1:Transformación de la distribución.

(Ferreira and Steel, 2006) Sean F y G dos CDF absolutamentecontinuas con soporte en R. Entonces, existe una distribuciónP : [0, 1] → [0, 1] tal que:




Ejemplos



G(x) = P[F (x)], ∀x ∈ R.




Ejemplos



G(x) = P[F (x)], ∀x ∈ R.

Entonces, si fijamos F (e.g. normal) podemos generar unanueva (cualquier) distribución eligiendo P.




Ejemplos



G(x) = P[F (x)], ∀x ∈ R.


Además si P contiene un parámetro de forma, éstarepresentación se puede usar para agregar nuevos parámetros aF .




Ejemplos



G(x) = P[F (x)], ∀x ∈ R.


Además si P contiene un parámetro de forma, éstarepresentación se puede usar para agregar nuevos parámetros aF .

La densidad correspondiente está dada por g(x) = p[F (x)]f (x).




Ejemplos

Si P es la distribución uniforme sobre [0, 1], entonces F = G.




Ejemplos


Si P es simétrica alredor de 1/2, entonces G es simétrica paracualquier F simétrica.




Ejemplos



Ejemplo 1: P[F (x); δ] = F (x)δ, δ > 0. Conocida como la“transformación potencia” (Lehmann, 1953). En realidad noinduce mucha flexibilidad.




Ejemplos




Ejemplo 2: p[F (x);α, β] =F (x)α−1(1 − F (x))β−1

Beta(α, β). Induce

asimetría y controla las colas. (Jones, 2004)




Ejemplos




Ejemplo 2: p[F (x);α, β] =F (x)α−1(1 − F (x))β−1

Beta(α, β). Induce

asimetría y controla las colas. (Jones, 2004)

Ejemplo 3: Construcción de skew-simétricas.p(F (x);λ) = 2F (λx).




Ejemplos

Método 2:

Cambio de variable.

(Ley and Paindaveine, 2010a) Sean F y G dos CDFabsolutamente continuas con soporte en R. Entonces, existe un(único) difeomorfismo creciente (función diferenciable coninversa diferenciable) H : R → R tal que:

G(x) = F [H(x)], ∀x ∈ R.




Ejemplos

Método 2:

Cambio de variable.


G(x) = F [H(x)], ∀x ∈ R.

Entonces, si fijamos F (e.g. normal) podemos generar unanueva (cualquier) distribución eligiendo H.




Ejemplos

Método 2:

Cambio de variable.


G(x) = F [H(x)], ∀x ∈ R.

Entonces, si fijamos F (e.g. normal) podemos generar unanueva (cualquier) distribución eligiendo H.

Además si H contiene un parámetro de forma, éstarepresentación se puede usar para agregar nuevos parámetros aF .




Ejemplos

La densidad correspondiente está dada por g(x) = f [H(x)]H ′(x).




Ejemplos


Si H impar, entonces G es simétrica para cualquier F simétrica.




Ejemplos


Si H impar, entonces G es simétrica para cualquier F simétrica.

Ejemplos: transformación sinh–arcsinh, transformaciones deTukey.




Ejemplos

Ejemplo 1:

Ajuste de datos.

En el contexto de modelación del tamaño de partículas se hanpropuesto varios tipos de distribuciones flexibles (véase Rubioand Steel, 2011 para una compilación de éstos) siendo,probablemente, la distribución hiperbólica generalizada y laskew–Laplace (Laplace de dos piezas) los modelos máspopulares.




Ejemplos

Ejemplo 1:

Ajuste de datos.


En el contexto de datos microbiológicos obtenidos por“citometría de flujo”, la distribución más popular es la TPSCLaplace (Julià and Vives-Rego, 2005).




Ejemplos

Ejemplo 1:

Ajuste de datos.


En el contexto de datos microbiológicos obtenidos por“citometría de flujo”, la distribución más popular es la TPSCLaplace (Julià and Vives-Rego, 2005).

En éste ejemplo estudiaremos qué tan apropiado es éstemodelo. El estudio lo realizaremos a través de unageneralización de éste modelo en varias líneas.




Ejemplos

En primer lugar utilizaremos como modelo simétrico subyacentela distribución "power exponential", cuya densidad está dada por

f (x ;µ, σ, δ) =δ

2σΓ(1/δ)exp

[−( |x − µ|

σ

)δ].




Ejemplos


f (x ;µ, σ, δ) =δ

2σΓ(1/δ)exp

[−( |x − µ|

σ

)δ].

Note que éste modelo contiene a la normal para δ = 2 y ladistribución de Laplace para δ = 1.




Ejemplos


f (x ;µ, σ, δ) =δ

2σΓ(1/δ)exp

[−( |x − µ|

σ

)δ].

Note que éste modelo contiene a la normal para δ = 2 y ladistribución de Laplace para δ = 1.

Entonces, evaluaremos el uso de extensiones de éste modelo através de las transformaciones DTP, TPSC, y TPSH.




Ejemplos

Para la comparación de éstos modelos utilizaremos un conjuntode datos reales. Éste conjunto de datos consiste en n = 9109observaciones, redondeados al entero más cercano,produciendo k = 182 valores enteros diferentes, que van desde4 hasta 227, con frecuencias de aparición entre 1 y 227.




Ejemplos


Los datos fueron obtenidos por un proceso de “Sonicación” parala bacteria Escherichia Coli (E. Coli). Éstas observaciones soninterpretadas cómo las medidas de las bacterias, óproporcionales a éstas, dependiendo del contexto.




Ejemplos


Los datos fueron obtenidos por un proceso de “Sonicación” parala bacteria Escherichia Coli (E. Coli). Éstas observaciones soninterpretadas cómo las medidas de las bacterias, óproporcionales a éstas, dependiendo del contexto.

En éste caso sólo nos preocuparemos por ajustar los datosoriginales.




Ejemplos

Modelo µ̂ σ̂ γ̂ δ̂1 δ̂2

DTP 139.50 21.39 -0.06 0.96 2.27TPSC 150.06 20.62 0.48 1.25 –TPSH 140.76 21.23 – 1.00 2.15

TPSC Laplace 149.44 15.79 0.46 – –

Cuadro : Datos de E. Coli (S): EMV.




Ejemplos

0 50 100 150 200

0.00

00.

010

0.02

00.

030

Figura : Datos de E. Coli (S), densidades ajustadas: DTP (línea negra),TPSC (línea roja), TPSH (línea azul), TP Laplace (línea verde).




Ejemplos

Para comparar los modelos utilizaremos los criterios AIC(Criterio de Información de Akaike) y el BIC (Criterio deInformación Bayesiano). Estos se definen como:

AIC = 2(No. parametros)− 2 log(L(θ̂)),BIC = log(n)(No. parametros)− 2 log(L(θ̂))




Ejemplos



Los cuales favorecen a modelos con el menor valor (de AIC oBIC).




Ejemplos



Los cuales favorecen a modelos con el menor valor (de AIC oBIC).

BIC penaliza más fuertemente el número de parámetros.




Ejemplos

Modelo AIC BICDTP 80899.11 80934.69

TPSC 80991.34 81019.80TPSH 80898.48 80926.95

TPSC Laplace 81127.18 81148.53

Cuadro : Datos de E. Coli (S): AIC y BIC.




Ejemplos

Los modelos DTP producen una flexibilidad mayor, porconstrucción, que ayuda a ajustar mejor los datos.




Ejemplos


Sus parámetros (estimadores) son fáciles de interpretar.




Ejemplos


Sus parámetros (estimadores) son fáciles de interpretar.

Realizar una selección de modelos entre estos modelos no sólote dice cuál modelo ajusta mejor los datos, sino que además tedice algo sobre el mecanismo que genera la asimetría de losdatos.




Ejemplos

Ejemplo 2:

Regresión lineal flexible.




Ejemplos

Ejemplo 2:


La regresión lineal es una herramienta estadística muy utilizadapara modelar la relación entre un conjunto de variables derespuesta yj ∈ R, j = 1, . . . , n, y un conjunto de variablesdependientes x j = (xj,1, . . . , xj,p) ∈ R

p mediante la ecuación:




Ejemplos

Ejemplo 2:




yj = x⊤j β + ǫj ,




Ejemplos

Ejemplo 2:




yj = x⊤j β + ǫj ,

donde β = (β1, . . . , βp) ∈ Rp son los parámetros de regresión y

ǫj ∼ F son los errores de la regresión (producidos por azar yvariables no incluídas).




Ejemplos

El supuesto más común es el de normalidad de los errores, es

decir ǫjind.∼ Normal(0, σ).




Ejemplos



Sin embargo, en la práctica, este supuesto puede representaruna limitación, ya sea por la presencia de observacionesextremas (outliers) o por la asimetría de los errores.




Ejemplos




Con el propósito de producir modelos que sean robustos anteéstos desvíos al supuesto de normalidad, una alternativa esutilizar supuestos distribucionales más flexibles.




Ejemplos




Con el propósito de producir modelos que sean robustos anteéstos desvíos al supuesto de normalidad, una alternativa esutilizar supuestos distribucionales más flexibles.

En este caso utilizaremos la distribución normal de dos piezas ylo compararemos con el supuesto de errores normales.




Ejemplos

Utilizaremos un conjunto de datos donde como variablerespuesta tomaremos los IMC medidos en 102 atletasaustralianos del sexo masculino. Como variable dependientetomaremos LBM (masa magra, músculo sin grasa).




Ejemplos


Equivaléntemente podríamos estar interesados en la relaciónopuesta, tal vez con propósitos de predicción.




Ejemplos


Equivaléntemente podríamos estar interesados en la relaciónopuesta, tal vez con propósitos de predicción.

Consideraremos el modelo yj = β1 + β2xj + ǫj .




Ejemplos

Modelo β̂1 β̂2 σ̂ γ̂TP Normal 9.57 0.18 1.68 -0.48

Normal 7.96 0.21 1.78 –

Cuadro : Datos de IMC: EMV.




Ejemplos

Modelo AIC BICTP Normal 403.56 413.15

Normal 414.06 421.03

Cuadro : Datos de IMC: AIC y BIC.




Ejemplos

40 60 80 100 120

010

2030

40

LBM

BM

I

Figura : Rectas ajustadas, datos IMC: Normal de dos piezas (línea roja) yNormal (línea negra).




Ejemplos

En la gráfica anterior se hizo un ajuste del interceptoβ̃1 = β̂1 + E(ǫ̂j ) para hacer una comparación visual adecuada.




Ejemplos


La prueba de normalidad de Shapiro–Wilks da un p-valor de0,0008 para los residuos rj = yj − x j β̂. Ésta es una herramientainformal para determinar la bondad de ajuste de éste modelo.




Ejemplos



Por supuesto, hay otras pruebas que se podrían hacer.




Ejemplos



Por supuesto, hay otras pruebas que se podrían hacer.

En general podemos concluir que el uso de errores flexibles esnecesario en algunos contextos de regresión lineal.




Ejemplos

Ejemplo 3: Regresión binaria.

El uso de Modelos Lineales Generalizados es una técnicapopular para modelar la relación entre una variable binomialY ∼ Binomial(N, p) y un conjunto de covariables x ∈ R

q

mediante:




Ejemplos



q

mediante:

p = P(Y = y ;β, θ) =(

Ny

)F(x⊤β; θ

)y [1 − F

(x⊤β; θ

)]N−y, (6)




Ejemplos



q

mediante:

p = P(Y = y ;β, θ) =(

Ny

)F(x⊤β; θ

)y [1 − F

(x⊤β; θ

)]N−y, (6)

donde y ∈ {0, 1, . . . ,N}, β es un vector q × 1 de parámetros deregresión, F es una CDF, usualmente denotada (o su inversa)como función liga, y θ es un parámetro de forma.




Ejemplos

Las elecciónes más comunes para F son la distribucióN Normal(probit link) y la distribución Logística (logit link).




Ejemplos


Sin embargo, varios autores han mostrado que la malaespecificación puede afectar tanto las conclusiones como lasinferencias en los parámetros de la regresión (Aranda-Ordaz,1981; Czado and Santner, 1992).




Ejemplos


Sin embargo, varios autores han mostrado que la malaespecificación puede afectar tanto las conclusiones como lasinferencias en los parámetros de la regresión (Aranda-Ordaz,1981; Czado and Santner, 1992).

Esto representa nuevamente una ventana de oportunidadespara el uso de distribuciones flexibles. En este contexto puedenser usadas como función liga para evitar errores en laespecificación de ésta.




Ejemplos

Sin embargo, hay que ser cuidadosos ya que en el contexto deobservaciones binarias (binomiales) es difícil obtenerinformación sobre las colas de la función liga, a menos que serealice un diseño cuidadoso del experimento.




Ejemplos

Sin embargo, hay que ser cuidadosos ya que en el contexto deobservaciones binarias (binomiales) es difícil obtenerinformación sobre las colas de la función liga, a menos que serealice un diseño cuidadoso del experimento.

En este caso compararemos el uso del link probit con un linkobtenido usando una distribución normal de dos piezas, unaskew–normal Azzalini (1985).




Ejemplos

Para esto utilizaremos un conjunto de datos clásico sobre latoxicidad del Sulfuro de carbono gaseoso cuando es aplicado en“Escarabajo Confundido de la Harina”.




Ejemplos

Para esto utilizaremos un conjunto de datos clásico sobre latoxicidad del Sulfuro de carbono gaseoso cuando es aplicado en“Escarabajo Confundido de la Harina”.El conjunto de datos contiene el número de escarabajos muertosdespués de 5 horas de exposición al fumigante a 8 diferentesconcentraciones.




Ejemplos

Para esto utilizaremos un conjunto de datos clásico sobre latoxicidad del Sulfuro de carbono gaseoso cuando es aplicado en“Escarabajo Confundido de la Harina”.El conjunto de datos contiene el número de escarabajos muertosdespués de 5 horas de exposición al fumigante a 8 diferentesconcentraciones.Aquí Yj corresponde al número de escarabajos muertosdespués de la exposición al fumigante en dosis dj . EntoncesYj ∼ Binom(Nj , pj), j = 1, . . . , 8, donde Nj es el número deescarabajos expuestos a la dosis dj y pj es la probabilidad deéxito (muerte).




Ejemplos

Para esto utilizaremos un conjunto de datos clásico sobre latoxicidad del Sulfuro de carbono gaseoso cuando es aplicado en“Escarabajo Confundido de la Harina”.El conjunto de datos contiene el número de escarabajos muertosdespués de 5 horas de exposición al fumigante a 8 diferentesconcentraciones.Aquí Yj corresponde al número de escarabajos muertosdespués de la exposición al fumigante en dosis dj . EntoncesYj ∼ Binom(Nj , pj), j = 1, . . . , 8, donde Nj es el número deescarabajos expuestos a la dosis dj y pj es la probabilidad deéxito (muerte).La probabilidad pj será modelada a través del MLG (6) conβ = (β0, β1)

⊤, x j = (1, dj)⊤, y 3 tipos de link: Normal,

skew–normal y Normal de dos piezas.




Ejemplos

Para esto utilizaremos un conjunto de datos clásico sobre latoxicidad del Sulfuro de carbono gaseoso cuando es aplicado en“Escarabajo Confundido de la Harina”.El conjunto de datos contiene el número de escarabajos muertosdespués de 5 horas de exposición al fumigante a 8 diferentesconcentraciones.Aquí Yj corresponde al número de escarabajos muertosdespués de la exposición al fumigante en dosis dj . EntoncesYj ∼ Binom(Nj , pj), j = 1, . . . , 8, donde Nj es el número deescarabajos expuestos a la dosis dj y pj es la probabilidad deéxito (muerte).La probabilidad pj será modelada a través del MLG (6) conβ = (β0, β1)

⊤, x j = (1, dj)⊤, y 3 tipos de link: Normal,

skew–normal y Normal de dos piezas.Estos modelos son usualmente llamados “Modelos dedosis-respuesta”.




Ejemplos

Model β̂0 β̂1 γ̂ AICTPN -35.14 19.44 0.46 371.54SN -21.45 11.68 -3.62 371.04

Normal -34.95 19.74 – 375.36

Cuadro : Datos de escarabajos: EMV y comparación de modelos.




Ejemplos

1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Dose

Res

pons

e

Figura : Datos de escarabajos, curvas de ajuste: Normal de dos piezas(curva negra), skew-normal (curva roja) y Normal (curva azul).




Ejemplos

Conclusiones generales.

Se presentó un resumen de las principales clases dedistribuciones utilizadas para modelar skewness y kurtosis.




Ejemplos



También se vieron los métodos utilizados para generar talesdistribuciones.




Ejemplos




Se discutieron pros y contras de éstas familias de distribuciones:No hay Panacea.




Ejemplos





Se caracterizaron las familias de distribuciones asimétricas endos clases disjuntas.




Ejemplos





Se caracterizaron las familias de distribuciones asimétricas endos clases disjuntas.

Se introdujo una familia que puede capturar ambos tipos deasimetría (DTP).




Ejemplos

Se ilustró por medio de ejemplos la utilidad de éstasdistribuciones flexibles, así como algunos pormenores en lapráctica.




Ejemplos


Los ejemplos dan lugar a una pregunta general: cómoseleccionar una distribución del enorme catálogo dedistribuciones flexibles?




Ejemplos



Por supuesto, hay herramientas formales para la selección demodelos, pero también se deben tomar en cuenta otros aspectoscomo la tratabilidad de el modelo de interés, sus propiedadesinferenciales, la interpretabilidad de sus parámetros, entre otros.




Ejemplos



Por supuesto, hay herramientas formales para la selección demodelos, pero también se deben tomar en cuenta otros aspectoscomo la tratabilidad de el modelo de interés, sus propiedadesinferenciales, la interpretabilidad de sus parámetros, entre otros.

Llevar a cabo una selección de modelos entre distribucionesDTP, TPSC y TPSH no sólo nos dice cuál modelo ajusta mejor,sino que además indica el tipo de asimetría que favorecen losdatos.




Ejemplos

El uso de distribuciones flexibles puede ser necesario yjustificado en muchos casos. Su uso es más bien reducido entrelos usuarios de la estadística debido a varias razones:




Ejemplos


(I) Son más difíciles de usar: EMV no existen en forma cerrada ni lasposteriores.




Ejemplos



(II) Miedo a lo desconocido: no hay muchas referencias sobre su usoni sus propiedades inferenciales. Esto es una oportunidad parahacer investigación y/o aplicaciones.




Ejemplos



(II) Miedo a lo desconocido: no hay muchas referencias sobre su usoni sus propiedades inferenciales. Esto es una oportunidad parahacer investigación y/o aplicaciones.

(III) Política: en muchas áreas prefieren apegarse a lo clásico “Másvale malo por conocido que bueno por conocer”.




Ejemplos

Gracias por su atención.

Introducci n a las distribuciones flexibles y sus aplicaciones

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