Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos.pdf

download Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos.pdf

of 39

description

analisis estadistico

Transcript of Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos.pdf

  • 7.- Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste

    Ejercicios Resueltos

    Estimacin por Intervalos

    Pruebas de Hipotesis

    Muestras Pareadas

    Bondad de ajuste de distribuciones discretas y continuas

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 134 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    1. La Oficina de Planificacin Familiar de la Municipalidad A desea determinar la proporcin de

    familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000. En una muestra aleatoria de 90 familias 18

    presentaron un ingreso familiar inferior a $ 200.000.

    1.1) Estime con 98% de confianza la proporcin de familias con un ingreso familiar inferior a

    $ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) Qu tamao muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el error

    en la estimacin de la proporcin de familias con ingreso inferior a $200.000 no exceder

    de 0,05?

    1.1) Solucin: Sean:

    = Cantidad de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A

    ~ (; 2)

    Debido a que el problema habla de proporcin, debemos utilizar la siguiente frmula para determinar

    el intervalo confidencial:

    ()1 = ( 1 2

    )

    Con: 1 = 0,98 ; = 90 ; =18

    90= 0,2 ; = 0,8

    Nota: El valor de se calcula dividiendo la nmero de datos de la muestra que cumplen la caracterstica

    que nos da el problema, en este caso, las familias con ingreso familiar inferior a $200.000, dividido por

    el tamao de la muestra.

    Reemplazando, obtenemos:

    ()0,98 = (0,2 0,990,2 0,8

    90) ; 0,99 = 2,33

    ()0,98 = 0,2 2,330,2 0,8

    90

    Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

    ()0,98 = [0,102; 0,298]

    Respuesta: El intervalo [0,102; 0,298] tiene un 98% de contener a la proporcin de familias con un

    ingreso familiar inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A.

    1.2) Solucin: El ejercicio nos otorga los siguientes datos:

    1 = 0,95; 0,05; = 90; =18

    90= 0,2; = 0,8

    Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la frmula de error est dada por:

    = 1 2

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 135

    Reemplazando:

    0,05 0,9750,2 0,8

    1,96

    0,05 0,2 0,8 245,86 246

    Respuesta: Para asegurar que el error en la estimacin de la proporcin de familias con ingreso inferior

    a $200.000, no exceda a 0,05, el tamao de la muestra debe ser igual a 246, considerando una

    confianza del 95%.

    2.- Se realizan estudios sobre la contaminacin producida por descargas de aguas residuales,

    en cuerpos fluviales cordilleranos, para medir si estos cumplen con la norma establecida por el

    decreto 90/2000, que establece niveles de concentracin de Plomo de a lo ms 0.02 mg/l. En una

    muestra aleatoria de tamao 20, de volmenes de agua de 50 ml. cada uno, obtenidas en das

    distintos, se encontr un nivel medio de concentracin de plomo de 0,28 mg/l, con una

    desviacin estndar de 0,01 mg/l.

    Bajo el supuesto de que las observaciones provienen de una poblacin normal, estime el nivel

    medio de concentracin de plomo en estas aguas, con una confianza del 90%. Analice los

    valores estimados en funcin de la norma.

    2) Solucin: Sea: = Concentracin de Plomo en cuerpos fluviales cordilleranos, en mg/l;

    ~ ( ; 2)

    Del enunciado del ejercicio se desprenden los siguientes datos:

    = 20 = 0,28 = 0,01 1 = 0,90

    Debido a que desconocemos la varianza de la distribucin, utilizaremos la siguiente frmula para

    obtener el intervalo de confianza:

    ()1 = ( ( 1;1 2

    )

    )

    Reemplazando:

    ()0,90 = (0,28 (19; 0,95) 0,01

    20) ; (19; 0,95) = 1,7291

    ()0,90 = (0,28 1,7291 0,01

    20)

    Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

    ()0,90 = [0,2761; 0,2839]

    Respuesta: El intervalo [0,2761; 0,2839] tiene un 90% de contener el nivel medio de concentracin de

    plomo en las aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos.

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 136 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    3.- Se est estudiando la duracin de ciertos procesos productivos y se toma una muestra

    aleatoria, de tamao 10. Se define como "Proceso Corto cuando su duracin es menor que 5

    minutos, los datos obtenidos, en minutos, fueron:

    3.1) Se pide estimar por intervalo de confianza del 98% la proporcin de Procesos Cortos.

    3.2) Cul debera ser el tamao de la muestra si la proporcin estimada disminuyen en un

    10% y utilizamos un 95% de confianza manteniendo el mismo error probable antes de la

    modificacin?

    3.3) Estimar la varianza de dichos tiempos con un nivel de confianza del 99%.

    3.4) Si se realiza un ajuste tecnolgico en el proceso de fabricacin, el que reduce los tiempos

    en un 15% Cul sera la estimacin de la varianza con un 97% de confianza?

    3.1) Solucin: Sea: = Tiempo de duracin de ciertos procesos productivos, en minutos

    ~ (; 2)

    Debido a que el problema nos habla de proporcin, debemos utilizar la siguiente frmula para

    determinar el intervalo confidencial:

    ()1 = ( 1 2

    )

    Con: 1 = 0,98 ; = 10 ; =5

    10= 0,5 ; = 0,5

    Reemplazando, obtenemos:

    ()0,98 = (0,5 0,990,5 0,5

    10) ; 0,99 = 2,33

    ()0,98 = 0,5 2,330,5 0,5

    10

    Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

    ()0,98 = [0,1316; 0,86848]

    Respuesta: Este intervalo tiene un 98% de contener a la verdadera proporcin de Procesos cortos

    3.2) Solucin: Lo primero que debemos hacer en este tem es determinar una nueva variable, como se

    ve a continuacin: = "Proporcin con Procesos Cortos disminuida en un 10%

    = 0,9 = 0,9 0,5 = 0,45

    En seguida, calculamos el error probable de p que se mantiene, con la siguiente frmula:

    = 1 2

    = 0,99

    0,5 0,5

    10= 2,33

    0,5 0,5

    10= 0,3684

    3 5 8 6 10 5,5 4 4,2 4,5 2

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 137

    Luego de esto, ya tenemos lo necesario para determinar el tamao de la muestra, lo que se realiza

    despejando la frmula que sigue:

    = 1 2

    0,3684 = 1,96

    0,45 0,55

    =

    (1,96)2 (0,45)(0,55)

    (0,3684)2= 7,005 8

    : 1 = 0,95; = 0,3684 ; = 0,45; = 0,55; 0,975 = 1,96

    Respuesta: El tamao de la muestra debe ser 8, si la proporcin disminuye en un 10% y se mantiene

    el error probable antes de la modificacin, con un 95% de confianza.

    3.3) Solucin: Para empezar calculamos la varianza muestral, la que determina con la siguiente frmula:

    =

    2

    ( )2

    1=

    322,14 (52,2)2

    10

    9= 2,3489

    Debido a que el problema hace referencia a la varianza, el intervalo confidencial est dado de la

    siguiente forma:

    (2)1 = (( 1)

    2

    2

    (1; 1

    2)

    ,( 1)

    2

    2

    (1;

    2)

    )

    Con: = 10; = 2,3489; 1 = 0,99

    Reemplazando:

    (2)0,99 = (9 (2,3489)2

    2(9; 0,995)

    ,9 (2,3489)2

    2(9; 0,005)

    ) = (9 (2,3489)2

    23,589 ,

    9 (2,3489)2

    1,735)

    (2)0,99 = [2,1050; 28,6202]

    Respuesta: Existe un 99% de que el intervalo [2,1050; 28,6202] contenga a la varianza poblacional de

    los procesos productivos.

    3.4) Solucin: Sea: = Muestra reducida en un 15% = 0,85

    Por propiedades determinamos el valor de la desviacin estndar de y, la que se encuentra dada por:

    = 0,85 = 0,85 2,3489 = 1,9966

    Despus procedemos a definir el intervalo confidencial como se ve a continuacin:

    (2)1 = (( 1)

    2

    2

    (1; 1

    2)

    ,( 1)

    2

    2

    (1;

    2)

    )

    Con: = 10; = 1,9966; 1 = 0,97

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 138 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Ya que no poseemos los valores de la distribucin 2, tenemos que interpolar para poder determinarlos:

    0,99 0,975

    0,985 0,975=

    21,666 19,023

    19,023

    0,015

    0,01=

    2,643

    19,023

    =2,643 0,01

    0,015+ 19,023

    = 20,785 2

    (9; 0,985) = 20,785

    0,025 0,01

    0,015 0,01=

    2,700 2,088

    2,088

    0,015

    0,005=

    0,612

    2,088

    =0,612 0,005

    0,015+ 2,088

    = 2,292 2

    (9; 0,015) = 2,292

    Finalmente, reemplazando obtenemos el intervalo confidencial:

    (2)0,97 = (9 (1,9966)2

    2(9; 0,985)

    ,9 (1,9966)2

    2(9; 0,015)

    ) = (9 (1,9966)2

    20,785 ,

    9 (1,9966)2

    2,292)

    (2)0,97 = [1,7261; 15,6534]

    Respuesta: Existe una probabilidad del 97% de que el intervalo [1,7261; 15,6534] contenga a la

    varianza poblacional de los procesos productivos luego de reducir sus tiempos en un 15%.

    4.- En cualquier proceso de enlatado, el fabricante pierde dinero si las latas contienen ms o

    menos de la cantidad que se especifica en la etiqueta. Por esta razn se vigila constantemente

    la cantidad de producto enlatado. Considere una compaa que produce un cemento de hule de

    secado rpido en latas de aluminio etiquetadas con un peso de 32 onzas.

    Se toma una muestra de 34 latas, las cuales se pesan, obteniendo un peso promedio de 31,18

    onzas y una desviacin estndar de 0,645 onzas.

    Considere que el peso de las latas se distribuye normal.

    4.1) A un inspector de control de calidad le interesa probar si la varianza del peso de las latas

    es superior a 0,4 (onzas)2. Utilice una significacin de 5%.

    4.2) Cul debe ser el mnimo tamao de muestra que se debe utilizar si se desea estimar el

    peso real promedio de las latas de cemento de hule? Se est dispuesto a cometer un

    error mximo de 0,2 onzas con una confianza del 95%. Sabiendo por estudios anteriores

    que la varianza del peso de las latas es 0,4096 (onzas)2

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 139

    4.1) Solucin: Sea: = Cantidad de cemento en una lata, en onzas

    ~ (; 2)

    Con: = 34; = 0,645; = 0,05; 1

    Las hiptesis que nos interesan contrastar son:

    0: 2 = 0,4

    1: 2 > 0,4

    Entonces, el estadstico de prueba es:

    =( 1)2

    02 =

    (34 1)(0,645)2

    0,4= 34,3221

    El Punto Crtico, se determina de la siguiente forma:

    2(1; 1 ) =

    2(33; 0,95) = 47,400

    La Regin Crtica:

    = { | > 2(1; 1 )} = { | > 47,400}

    Respuesta: Como , no se rechaza la hiptesis nula, es decir, la varianza de la cantidad de

    cemento en una lata no es superior a 0,4 (onzas)2.

    4.2) Solucin: El problema nos otorga la siguiente informacin:

    = 0,2; 1 = 0,95; 2 = 0,4096 ; = 0,4096 = 0,64

    Debido a que estamos trabajando con el peso real promedio de las latas de cemento de hule, y que

    conocemos la varianza (2), la frmula del error est dada por:

    = = 1 2

    Reemplazando:

    0,2 1 0,25 0,64

    1,96 0,64

    0,2 39,33 40

    Respuesta: El mnimo tamao de la muestra que se debe utilizar si se desea estimar el peso real

    promedio de las latas de cemento de hule, es igual a 40.

    5.- Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea menos de 150 psi. Se sabe que la

    desviacin estndar de la resistencia a la ruptura es 3 psi. En una muestra aleatoria de 25 trozos

    de fibra se obtiene una resistencia media a la ruptura de 148 psi y una desviacin estndar de

    2,8 psi.

    5.1) Puede considerarse aceptable este tipo de fibra? Use = 0,05.

    5.2) Determine el tamao de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este

    tipo de fibra con un nivel de confianza del 95% y un error de estimacin de 0,5 psi.

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 140 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    5.1) Solucin: Sea: = Resistencia a la ruptura de una fibra

    ~ (; 2 = 32)

    Con: = 25; = 3; = 148; = 2,8; = 0,05; 0 = 150

    Las hiptesis que nos interesan contrastar son:

    0: = 150

    1: < 150

    Entonces, como conocemos la varianza, el estadstico de prueba es:

    = 0

    =148 150

    3

    25

    = 3, 33

    El Punto Crtico, se determina de la siguiente forma:

    (1 ) = 0,95 = 1,645

    La Regin Crtica:

    = { | < (1 )} = { | < 1,645}

    Respuesta: Debido a que , hay suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es decir,

    es aceptable este tipo de fibra, con un 5% de significacin.

    5.2) Solucin: El ejercicio proporciona los siguientes datos:

    = 0,5; 1 = 0,95; = 3

    Como consecuencia que estamos trabajando con la resistencia media de este tipo de fibra, y que

    conocemos la varianza (2), la frmula del error est dada por:

    = = (1

    2)

    Reemplazando:

    0,5 = (0,975) 3

    =

    1,96 3

    0,5 = 138,3 139

    Respuesta: El tamao de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este tipo de fibra

    con un nivel de confianza del 95% y un error de estimacin de 0,5 psi, es 139.

    6.- La velocidad de transmisin de un modem se mide en baudios que se define como el nmero

    de bits por segundo que puede transmitir. Debido a factores tcnicos, la rapidez de transmisin

    real vara de un archivo a otro. Una empresa est en proceso de adquirir un modem, el cual fue

    ofrecido por dos proveedores (A y B). Para decidir la compra se transmiten seis archivos, elegidos

    al azar, utilizando ambos modem y registrando las velocidades de transmisin (en miles de

    baudios)

    Suponiendo que la velocidad de transmisin se distribuye Normal

    Archivo 1 2 3 4 5 6

    Proveedor A 10,75 10,86 11,18 10,47 11,36 10,47

    Proveedor B 10,31 10,95 10,33 9,20 11,36 9,74

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 141

    6.1.- La revista PC Reports, afirma que en pruebas hechas por su equipo se ha encontrado que

    el modem del proveedor A es significativamente ms rpido que el del proveedor B, Con = 0,01,

    Los resultados obtenidos por la empresa confirman lo planteado por la revista?

    6.2.- Pruebe si la varianza de la velocidad de transmisin del modem del proveedor A es de 0,52

    (miles de baudios)2 con nivel de significacin 0,05.

    6.1) Solucin: Sea: = ~ (; 2)

    = 6 = 0,5333 = 0,5221

    Las hiptesis que nos interesan contrastar son:

    0: = 0

    1: > 0

    Entonces, como desconocemos la varianza, el estadstico de prueba es:

    = 0

    =0,5333 0

    0,5221

    6

    = 2,502

    La Regin Crtica ( = 0,01)

    = { | > (1; 1 )} = { | > (5; 0,99)} = { | > 3,3649}

    Respuesta: Debido a que , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es

    decir, los resultados obtenidos por empresa no confirman lo planteado por la revista, con = 0,01.

    6.2) Solucin: Las hiptesis que nos interesa contrastar son:

    H0: 2 = 0,52

    1: 2 0,52

    Con: = 6 = 0,3654

    Entonces como conocemos la desviacin estndar, el estadstico de prueba es:

    =( 1)

    2

    2 =

    (6 1) 0,36542

    0,52= 1,2838

    Regin crtica ( = 0,05):

    = { | < 2(1;

    2) > 2

    (1; 1

    2)} = { | < 2(5; 0,025) >

    2(5; 0,975)

    }

    = { | < 0,830 > 12,833}

    Archivo 1 2 3 4 5 6

    Proveedor A 10,75 10,86 11,18 10,47 11,36 10,47

    Proveedor B 10,31 10,95 10,33 9,20 11,36 9,74

    D 0,44 -0,09 0,85 1,27 0 0,73

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 142 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Respuesta: Debido a que , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es

    decir, la varianza de la velocidad de transmisin del modem del proveedor A es de 0,52 (miles de

    baudios)2, con un 5% de significacin.

    7.- En un estudio realizado en el Departamento de Silvicultura y Fauna de una universidad del

    extremo sur del pas, se examin la influencia de un frmaco sobre los niveles de andrgenos

    en la sangre de huemules salvajes. Se capturaron 15 ejemplares y se les inyect el frmaco,

    extrayndoles una muestra de sangre cinco minutos despus de la captura, y luego se les

    extrajo una segunda muestra despus de 30 minutos, posteriormente se liberaron los

    ejemplares. Se midieron los niveles de andrgenos en la sangre de cada muestra y los datos

    aparecen en la siguiente tabla (Suponga distribucin normal)

    7.1) Se pide ensayar con 6% de significacin si el nivel de andrgenos se altera despus de 30

    minutos de encierro.

    7.2) Ensayar con un 5% de significacin si la proporcin de animales que presentaron nivel de

    andrgenos superior a 15,00 despus del encierro, supera al 25%

    7.1) Solucin: Lo primero ser definir la variable a utilizar, la cual se muestra a continuacin:

    = Diferencia entre el Nivel Primero y Nivel Segundo ~ (; 2)

    Ya que nos preguntan si el nivel de andrgenos se altera, nuestras hiptesis a contrastar son:

    0: = 01: 0

    En seguida calculamos , como se muestra a continuacin:

    Nmero de ejemplares

    Nivel Primero (5 minutos)

    Nivel Segundo (30 minutos)

    1 2,76 7,02

    2 5,18 3,10

    3 2,68 5,44

    4 3,05 3,99

    5 4,10 5,21

    6 7,05 10,26

    7 6,60 13,91

    8 4,79 18,53

    9 7,39 7,91

    10 7,30 4,85

    11 11,78 11,10

    12 3,90 3,74

    13 26,00 94,03

    14 67,48 94,03

    15 17,04 41,70

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 143

    Luego, de la cuarta columna se calcula la media y desviacin estndar de :

    = 9,848

    = 18,4736

    En seguida, como desconocemos la varianza, el estadstico de prueba es:

    = 0

    Reemplazando:

    =9,848 0

    18,4736

    15

    = 2,065

    El punto crtico est dado por: (1;1

    2)

    = (14;0,97)

    Ya que este valor no se encuentra explcitamente en la tabla, tenemos que interpolar:

    0,975 0,95

    0,97 0,95=

    2,1448 1,7613

    1,7613

    0,025

    0,02=

    0,3835

    1,7613

    =0,3835 0,02

    0,025+ 1,7613

    = 2,068

    (14;0,97) = 2,068

    La Regin Crtica:

    = { | < (14;0,97) > (14;0,97)} = { | < 2,068 > 2,068}

    Nmero de ejemplares Nivel Primero (5 minutos) Nivel Segundo (30 minutos) (Diferencia)

    1 2,76 7,02 - 4,26

    2 5,18 3,10 2,08

    3 2,68 5,44 - 2,76

    4 3,05 3,99 - 0,94

    5 4,10 5,21 - 1,11

    6 7,05 10,26 - 3,21

    7 6,60 13,91 - 7,31

    8 4,79 18,53 - 13,74

    9 7,39 7,91 - 0,52

    10 7,30 4,85 2,45

    11 11,78 11,10 0,68

    12 3,90 3,74 0,16

    13 26,00 94,03 - 68,03

    14 67,48 94,03 - 26,55

    15 17,04 41,70 - 24,66

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 144 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Respuesta: Debido a que , no hay suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es

    decir, el nivel de andrgenos no se altera despus de 30 minutos de encierro, con un 6% de

    significacin.

    7.2) Solucin: De la muestra que nos expone el ejercicio, podemos calcular el estimador , ya que

    cuatro de los quince ejemplares presentan niveles de andrgenos superiores a 15,00 despus del

    encierro.

    Las hiptesis que interesan contraponer son:

    0: = 0,251: > 0,25

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    = 0

    0 0

    =

    4

    15 0,25

    0,250,75

    15

    = 0,1491

    La Regin Crtica (Con = 0,05):

    = { | > 1 } = { | > 0,95} = { | > 1,645}

    Respuesta: Debido a que , no hay suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es

    decir, la proporcin de animales que presentaron nivel de andrgenos superior a 15,00 despus de

    encierro, no supera al 25%, con un 5% de significacin.

    8.- En la manufactura de semiconductores, es comn el uso de un proceso de grabado por

    remojo qumico para eliminar el silicio de la parte posterior de las obleas antes de la

    metalizacin. La rapidez de grabado es una caracterstica importante en este proceso y se sabe

    que es una variable aleatoria con distribucin normal. Se compararon dos soluciones de

    grabado diferentes, usando dos muestras aleatorias de obleas, una para cada solucin. La

    rapidez de grabado (milipulgadas/minuto), observada fue la siguiente:

    Solucin 1 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1

    Solucin 2 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,2 10,7 10,4 10,3

    8.1) Apoyan los datos la afirmacin de que la rapidez media de grabados es la misma para

    ambas soluciones, use = 0,05

    8.2) Estime con un nivel de confianza del 90% la rapidez media de grabado para la solucin

    1.

    8.1) Solucin: Sea: = Rapidez de grabado de la Solucin 1, en milipulgadas/minuto; ~ (; 2)

    = Rapidez de grabado de la Solucin 2, en milipulgadas/minuto; ~ (; 2)

    Lo primero ser determinar el tamao de la muestra, la media y desviacin estndar de ambas

    muestras:

    = 10 = 9,97 = 0,4218

    = 10 = 10,4 = 0,2309

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 145

    En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen

    varianzas poblacionales iguales o diferentes:

    0: 2 =

    2

    1: 2

    2

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    2

    2 =

    0,42182

    0,23092= 3,3371

    Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):

    ( 1; 1;

    2)

    = (9; 9; 0,05) =1

    (9; 9; 0,975)=

    1

    4,026= 0,248

    (1; 1; 1

    2)

    = (9; 9; 0,975) = 4,026

    La Regin Crtica:

    = { | < (9; 9; 0,05) > (9; 9; 0,95) } = { | < 0,248 > 4,026 }

    Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,

    las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.

    Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hiptesis:

    0: = 1:

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    1

    +

    1

    = ( 1)

    2 + ( 1)2

    + 2

    Reemplazando, obtenemos:

    = (10 1) 0,42182 + (10 1) 0,23092

    10 + 10 2= 0,34

    =10,4 9,97

    0,34 1

    10+

    1

    10

    = 2,83

    Finalmente, la Regin Crtica:

    = { | < (; 1

    2) >

    (; 1

    2)} = + 2

    = { | < (18; 0,975) > (18; 0,975)} = { | < 2,1009 > 2,1009}

    Respuesta: Como , en conclusin hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es

    decir, la rapidez media de grabado es la misma, con = 0,05.

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 146 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    8.2) Solucin: Debido a que el problema nos pregunta por la media de grabado para la Solucin 1,

    debemos utilizar la siguiente frmula para determinar el intervalo confidencial:

    ()1 = ( (1; 1 2

    )

    )

    Con: 1 = 0,90; = 10 ; = 0,4218 ; = 9,97

    Reemplazando, obtenemos:

    ()0,90 = (9,97 (9; 0,95) 0,4218

    10) ; (9; 0,95) = 1,8331

    ()0,90 = (9,97 (9; 0,95) 0,4218

    10)

    Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

    ()0,90 = [9,7255; 10,2145]

    Respuesta: El intervalo [9,7255; 10,2145] tiene un 90% de contener la rapidez media de grabado para

    la solucin 1.

    9.- La resistencia mnima especificada, transcurridos 28 das, de un hormign para pavimento

    de 20 cm de espesor es de 250 kg/cm. En dosificaciones con materiales provenientes de la

    cantera A y B, las resistencias se distribuyen aproximadamente normal.

    Se realizan 16 ensayos con materiales de la cantera A y 32 ensayos de la cantera B, obteniendo

    al trmino del tiempo especificado, en pruebas de roturas a la compresin, las siguientes

    resistencias:

    Resistencia Cantera A 200 - 218 218 - 236 236 - 254 254 - 272 272 - 290

    2 4 5 4 1

    Resistencias Cantera B 218 220 225 230 235 237 241 245 269 270 270 272 272 274 276 278

    250 254 255 258 260 262 264 268 280 285 289 290 290 290 295 300

    Ayuda: = ; =

    9.1) El ingeniero sospecha que la resistencia media de las dosificaciones proveniente de la

    cantera A est muy por debajo de la resistencia media de aquellas dosificaciones

    provenientes de la cantera B. Qu concluira usted respecto a la sospecha del Ingeniero,

    con = 0,01?

    9.2) Con nivel de significacin del 2,5%, Puede usted afirmar que las dosificaciones cuyo

    material proviene de la cantera B que est bajo la resistencia mnima especificada es de

    un 20%?

    9.1) Solucin: Sea: = Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera A, kg/cm; ~ ( ; 2)

    = Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera B, kg/cm; ~ ( ; 2)

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 147

    Lo primero ser determinar el tamao de la muestra, la media y desviacin estndar de ambas

    muestras:

    Para A: Para B:

    En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen

    varianzas poblacionales iguales o diferentes:

    0: 2 =

    2

    1: 2

    2

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    2

    2 =

    22,63942

    20,65432= 1,2015

    Los puntos crticos estn dados por ( = 0,01):

    ( 1; 1;

    2)

    = (31; 15; 0,005) =1

    (15; 31; 0,995)

    1

    (15; 30; 0,995)=

    1

    3,0057= 0,3327

    ( 1; 1; 1

    2)

    = (31; 15; 0,995) (30; 15; 0,995) = 3,6867

    La Regin Crtica:

    = { | < (31; 15; 0,005) > (31; 15; 0,995) } = { | < 0,3327 > 3,6867 }

    Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,

    las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.

    Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hiptesis:

    0: = 1: <

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    1

    +

    1

    = ( 1)

    2 + ( 1)2

    + 2

    Reemplazando, obtenemos:

    = (16 1) 20,65432 + (32 1) 22,63942

    16 + 32 2= 22,0118

    [1 ]

    [200 218] 209 2

    [218 236] 227 4

    [236 254] 245 5

    [254 272] 263 4

    [272 290] 281 1

    = 16

    = 242,75 ; = 20,6543

    =

    =

    8422

    32= 263,1875

    =

    2 2

    1=

    2

    ( )2

    1

    =2232454

    84222

    32

    31= 22,6394

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 148 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    =242,75 263,1875

    22,0118 1

    16+

    1

    32

    = 3,0324

    Finalmente, la Regin Crtica ( = 0,01):

    = { | < (; 1 )} = + 2 = 46

    = { | < (46; 0,99)} = { | < 2,4102}

    Respuesta: Como , en conclusin hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es

    decir, se concluye que lo sospechado por el Ingeniero es real, o sea, la resistencia media de A est

    muy debajo de la resistencia media de B.

    9.2) Solucin: Sabemos que la resistencia mnima especificada es 250 kg/cm, por ende, podemos

    calcular el estimador , o sea, la proporcin de la muestra de los materiales provenientes de la cantera

    B, que cumplen la condicin de ser inferiores a la resistencia mnima especificada. Lo que llevndolo a

    nmeros es igual a = 8/32

    Las hiptesis a contrastar son:

    0: = 0,201: 0,20

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    = 0

    0 0

    : =8

    32= 0,25; = 32 =

    0,25 0,20

    0,200,80

    32

    = 0,7071

    La Regin Crtica (Con = 0,025):

    = { | < 1 2 > 1

    2} = { | < 0,9875 > 0,9875}

    = { | < 2,24 > 2,24}

    Respuesta: Debido a que , no hay suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es

    decir, las dosificaciones que estn bajo la resistencia mnima, en la cantera B, representan el 20%.

    10.- La utilizacin de materiales sintticos tales como nylon, polister y ltex en la produccin

    de telas, ha provocado debates acerca de la calidad y resistencia de estas fibras comparadas

    con las fibras naturales.

    Un fabricante de una nueva fibra sinttica asegura que en promedio su producto (Y) posee una

    mayor resistencia a la traccin que las fibras naturales (X). Para tal efecto se seleccionan al azar

    10 fibras sintticas y 12 fibras naturales, a cada una de las cuales se les midi la resistencia a

    la traccin. Los resultados muestrales obtenidos se dan a continuacin:

    = ; = ; = ;

    =

    Confirman estos datos lo asegurado por el fabricante? Fundamente adecuadamente su

    respuesta y use = ,

    10) Solucin: Sean: = Resistencia a la traccin de las fibras naturales, en Kg; = 12

    = Resistencia a la traccin de la nueva fibra sinttica, en Kg; = 10

    ~ ( ; 2) ~ ( ; 2)

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 149

    En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen

    varianzas poblacionales iguales o diferentes:

    0: 2 =

    2

    1: 2

    2

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    2

    2 =

    1892

    1636= 1,1565

    Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):

    ( 1; 1;

    2)

    = (9; 11; 0,025) =1

    (11; 9; 0,975)=

    1

    3,9117= 0,255

    ( 1; 1; 1

    2)

    = (9; 11; 0,975) = 3,9639

    La Regin Crtica:

    = { | < (9; 11; 0,025) > (9; 11; 0,975) } = { | < 0,255 > 3,9639 }

    Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,

    las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.

    Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hiptesis:

    0: = 1: <

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos la siguiente expresin:

    =

    1

    +

    1

    = ( 1)

    2 + ( 1)2

    + 2

    Reemplazando, obtenemos:

    = (12 1) 1636 + (10 1) 1892

    12 + 10 2= 41,8473

    =272 335

    41,8473 1

    12+

    1

    10

    = 3,5460

    Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,05):

    = { | < (; 1 )} = + 2 = 20

    = { | < (20; 0,95)} = { | < 1,7247}

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 150 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Respuesta: Como , en conclusin existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula

    con un 10% de significacin, es decir, podramos concluir que el fabricante estara en lo cierto, ya que

    la nueva fibra sinttica posee mayor resistencia a la traccin que las fibras naturales.

    11.- En una planta industrial se quiere determinar cul de dos tipos de fuentes de energa, gas o

    electricidad, produce ms energa til a menor costo. Una medida de la produccin econmica

    de energa, llamada inversin de planta por quad suministrado, se calcula dividiendo la

    cantidad de dinero (en dlares) invertida por la planta en la fuente de energa en cuestin y la

    cantidad suministrada de energa (en quads, miles de billones de unidades trmicas britnicas

    [BTU]). Cuanto menor sea este cuociente, menos pagar una planta industrial por la energa

    suministrada. Se seleccionaron muestras aleatorias de 11 plantas que utilizan electricidad y 16

    plantas que utilizan gas y se calcul la inversin de la planta por quad para cada una. Los datos

    se presentan en la tabla:

    Asumiendo normalidad en la inversin por quad suministrado

    11.1) Se podra afirmar que existe diferencia significativa entre los promedios de inversin de

    planta por quad suministrado para estos dos tipos de fuentes de energa, con un nivel de

    significacin de 0,10?

    11.2) Estime con una confianza del 99% la proporcin de plantas de gas que invierten ms de

    10 [BTU].

    11.1) Solucin: Sean:

    = Inversin de una planta elctrica por quad suministrado, en dlares; ~ (; 2)

    = Inversin de una planta a gas por quad suministrado en dlares; ~ (; 2)

    Lo primero ser determinar el tamao de la muestra, la media y desviacin estndar de cada muestra:

    = 11 = 9,289 = 3,616

    = 16 = 11,602 = 3,112

    En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen

    varianzas poblacionales iguales o diferentes:

    0: 2 =

    2

    1: 2

    2

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    2

    2 =

    3,6162

    3,1122= 1,35

    ELECTRICIDAD 14,15 9,57 7,76 9,72 5,35 8,46 7,78 4,38

    9,28 8,60 17,13

    GAS 16,66 10,14 9,18 10,11 8,45 7,91 11,03 10,70

    15,05 18,22 12,50 9,40 9,67 9,21 15,3 12,1

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 151

    Los puntos crticos estn dados por ( = 0,10):

    (1; 1;

    2)

    = (10; 15; 0,05) =1

    (15; 10; 0,95)=

    1

    2,8450= 0,351

    (1; 1; 1

    2)

    = (10; 15; 0,95) = 2,5437

    La Regin Crtica:

    = { | < (10; 15; 0,05) > (10; 15; 0,95) } = { | < 0,351 > 2,5437 }

    Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,

    las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.

    Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hiptesis:

    0: = 1:

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos la siguiente expresin:

    =

    1

    +

    1

    = ( 1)

    2 + ( 1)2

    + 2

    Reemplazando, obtenemos:

    = (11 1) 3,6162 + (16 1) 3,1122

    11 + 16 2= 3,323

    =9,289 11,602

    3,323 1

    11+

    1

    16

    = 1,777

    Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,10):

    = { | < (; 1

    2)} = + 2 = 25

    = { | < (25; 0,95)} = { | < 1,7081}

    Respuesta: Como , en conclusin existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula

    con un 10% de significacin, es decir, se puede afirmar que existe una diferencia significativa en el

    promedio de inversin de planta por quad suministrado por estos dos tipos de energa.

    11.2) Solucin: Lo primero, ser determinar el estimador , el que corresponde al nmero de plantas a

    gas que invierten ms de 10 quad, en la muestra, dividido en el tamao de la muestra, que llevado a

    los nmeros es igual a 10 16 .

    Luego, el intervalo confidencial est dado por:

    ()1 = ( 1 2

    )

    Con: 1 = 0,99; = 16 ; =10

    16= 0,625; = 0,375

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 152 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Reemplazando, obtenemos:

    ()0,99 = (0,625 0,995 0,625 0,375

    16) ; 0,995 = 2,575

    ()0,99 = (0,625 2,575 0,625 0,375

    16)

    Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

    ()0,90 = [0,313; 0,937]

    Respuesta: El intervalo [0,313; 0,937] tiene un 90% de probabilidad de contener a la proporcin de

    plantas de gas que invierten ms de 10 [BTU].

    12.- El PM10 (material particulado respirable), son partculas de dimetro menor o igual a 10

    micrones. Por su tamao, el PM10 es capaz de ingresar al sistema respiratorio del ser humano;

    mientras menor es el dimetro de estas partculas mayor es el potencial dao en la salud; es por

    esta razn, que diariamente se monitorea la calidad del aire,

    calculando un ndice de calidad de Aire (AQI por sus siglas en

    Ingls). Un AQI de 100 para PM10, corresponde a un nivel de 150

    PM10 en microgramos por metro cbico (promediado en 24

    horas).

    Se toman muestras aleatorias independientes del AQI, de tamao

    40, correspondientes a dos comunas C y M, del Gran Santiago, en

    meses de invierno, obteniendo la siguiente informacin:

    Suponiendo vlidos los supuestos necesarios:

    12.1) Estime el mnimo tamao de muestra que se debe considerar para estimar el AQI

    promedio en la comuna M, considerando un error de estimacin de a lo ms 18 g/m3

    y

    una confianza de 95%, si de estudios previos se sabe que la desviacin estndar del AQI

    es de 110 g/m3

    .

    12.2) Es posible asegurar que el porcentaje de episodios en que el AQI es de al menos 200

    (episodio daino para la salud) es superior al 4% en la comuna C, con 5% nivel de

    significacin?

    12.3) Es posible, afirmar que no existen diferencias significativas en el ndice de calidad

    medio del aire en ambas comunas en estudio, con un nivel de significacin del 1%?

    12.1) Solucin: Sean: = Cantidad de material particulado en la comuna C; ~ (; 2)

    = Cantidad de material particulado en la comuna M; ~ (; 2)

    El enunciado del problema nos otorga la siguiente informacin:

    18; 1 = 0,95; = 110

    AQI (g/m3

    ) C M

    0 50 2 5

    50 100 9 5

    100 150 11 11

    150 200 15 13

    200 300 3 4

    300 550 0 2

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 153

    Ya que el conocemos la varianza, y estamos estimando el AQI promedio en la comuna, la frmula del

    error est dada por:

    = 1 2

    Reemplazando:

    18 0,975 110

    1,96

    110

    18 143,46 144

    Respuesta: El tamao de la muestra debe ser como mnimo de 144.

    12.2) Solucin: Con los datos entregados por la tabla, podemos determinar el estimador , que

    corresponde a la cantidad de episodios de la muestra, en que el AQI es de al menos 200, dividido en

    el tamao de la muestra, lo que llevado a los nmeros es igual a 3 40 .

    Luego, las hiptesis a contrastar son:

    0: = 0,04

    1: > 0,04

    El estimador de prueba a utilizar es:

    = 0

    0 0

    : =3

    40= 0,075; = 40 =

    0,075 0,04

    0,040,96

    40

    = 1,1296

    La Regin Crtica (Con = 0,05):

    = { | > 1 } = { | > 0,95} = { | > 1,645}

    Respuesta: Como , en conclusin no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis

    nula con un 5% de significacin, es decir, se puede afirmar que el porcentaje o proporcin de episodios

    en que el AQI es de al menos 200, es equivalente o menor al 4% en la Comuna C.

    12.3) Solucin: Para este tem lo primero que debemos hacer es calcular el tamao de la muestra, la

    media y desviacin estndar, de cada muestra:

    = 40

    = 136,875

    = 55,7546

    = 40

    = 150

    = 89,5144

    En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen

    varianzas poblacionales iguales o diferentes:

    0: 2 =

    2

    1: 2

    2

    AQI (g/m3) C M

    0 50 25 2 5

    50 100 75 9 5

    100 150 125 11 11

    150 200 175 15 13

    200 300 250 3 4

    300 550 425 0 2

    = 40 = 40

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 154 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    2

    2 =

    89,51442

    55,75462= 2,5777

    Los puntos crticos estn dados por ( = 0,01):

    ( 1; 1;

    2)

    = (39; 39; 0,005) =1

    (39; 39; 0,995)

    1

    (40; 40; 0,995)=

    1

    2,2958= 0,435

    ( 1; 1; 1

    2)

    = (39; 39; 0,995) (40; 40; 0,995) = 2,2958

    La Regin Crtica:

    = { | < (39; 39; 0,005) > (39; 39; 0,995) } = { | < 0,435 > 2,2958 }

    Resultado: Debido a que , hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,

    las varianzas poblacionales de ambas soluciones son diferentes.

    Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hiptesis:

    0: = 1:

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos la siguiente expresin:

    =

    2

    +

    2

    =150 136,875

    55,75462

    40+

    89,51442

    40

    = 0,7871

    Despus para calcular los grados de libertad tenemos la siguiente frmula:

    =(

    2

    +

    2

    )

    2

    (

    2

    )

    2

    1+

    (

    2

    )

    2

    1

    =(

    55,75462

    40+

    89,51442

    40)

    2

    (55,75462

    40)

    2

    401+

    (89,51442

    40)

    2

    401

    = 65,3016 65

    Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,01):

    = { | < (; 1

    2) >

    (; 1

    2)} = { | < (65; 0,995) > (65; 0,995)}

    = { | < 2,6536 > 2,6536}

    Respuesta: Como , en conclusin no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis

    nula con un 1% de significacin, es decir, se puede afirmar que no existen diferencias significativas en

    el ndice de calidad medio del aire en ambas comunas en estudio.

    13.- Para comparar la capacidad de produccin de calor del carbn proveniente de dos minas,

    se obtuvo una muestra aleatoria de 35 especmenes de carbn de la mina 1 y otra muestra de 25

    especmenes de carbn de la mina 2, obteniendo los siguientes resultados de la capacidad de

    produccin de calor, en miles de millones de caloras por tonelada:

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 155

    = ,

    =

    = ,

    =

    Mina 1 Mina 2

    Capacidad calrica promedio 8,23

    Desviacin estndar capacidad calrica 0,1255

    Especmenes con capacidad mayor a 8,3 mM de cal/ton.

    10 5

    Suponiendo que las poblaciones muestreadas tienen distribucin normal:

    13.1) Estime con 95% de confianza la proporcin de carbn con capacidad calrica de a lo ms

    8,3 miles de millones de caloras en la mina 1.

    13.2) Que tamao de muestra sera necesario para estimar la capacidad calrica promedio del

    carbn de la mina 2 con 98% de confianza y un error en la estimacin que no supere los

    0,1 miles de millones de caloras por tonelada, si en estudios anteriores se obtuvo una

    varianza de la capacidad calrica igual a 0,09 (miles de millones de caloras por

    tonelada)2?

    13.3) Verifique, con 5% de significacin, si la capacidad calrica promedio del carbn de la

    mina 1 es superior a la capacidad calrica promedio del carbn de la mina 2.

    13.4) Se afirma que la capacidad calrica del carbn de la mina 1 es de a lo menos 8,3 miles de

    millones de caloras por tonelada. Qu opina usted con 5% nivel de significacin?

    13.1) Solucin: Sea:

    = Capacidad de produccin de calor del carbn proveniente de la mina 1; ~ (; 2)

    = Capacidad de produccin de calor del carbn proveniente de la mina 2; ~ (; 2)

    Ya que el problema habla de proporcin, debemos utilizar la siguiente frmula para determinar el

    intervalo confidencial:

    ()1 = ( 1 2

    )

    Con: 1 = 0,95 ; = 35 ; =25

    35 ; =

    10

    35

    Reemplazando, obtenemos:

    ()0,95 = (25

    35 0,975

    25

    35

    10

    35

    35) ; 0,975 = 1,96

    ()0,95 = (25

    35 1,96

    25

    35

    10

    35

    35)

    Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

    ()0,98 = [0,5846; 0,840]

    Respuesta: El intervalo [0,5846; 0,840] tiene un 98% de probabilidad de contener a la proporcin de

    carbn con capacidad calrica de a lo ms 8,3 miles de millones de caloras en la mina 1.

    13.2) Solucin: El problema nos proporciona la siguiente informacin:

    1 = 0,98; 0,1; 2 = 0,09; = 0,3

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 156 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la frmula de error est dada por:

    = 1 2

    Reemplazando, tenemos:

    0,1 0,99 0,3

    2,33

    0,3

    0,1 48,86 49

    Respuesta: El tamao necesario para el problema es como mnimo 49.

    13.3) Solucin: Procedemos a determinar el tamao de la muestra, la media y desviacin estndar de

    ambas muestras:

    Para Mina I: = 35; = 8,23 ; = 0,12553

    Para Mina II: = 25; =

    =

    204,85

    25= 8,194

    =

    2 2

    1=

    2

    ( )2

    1=

    1680,76 204,852

    25

    24= 0,304

    En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen

    varianzas poblacionales iguales o diferentes:

    0: 2 =

    2

    1: 2

    2

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    2

    2 =

    0,3042

    0,125532= 5,8648

    Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):

    ( 1; 1;

    2)

    = (24; 34; 0,025) =1

    (34; 24; 0,975)

    1

    (30; 24; 0,975)=

    1

    2,2090= 0,452

    ( 1; 1; 1

    2)

    = (24; 34; 0,975) (24; 30; 0,975) = 2,1359

    La Regin Crtica:

    = { | < (24; 34; 0,025) > (24; 34; 0,975) } = { | < 0,452 > 2,1359 }

    Resultado: Debido a que , hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,

    las varianzas poblacionales de ambas muestras son diferentes.

    Continuando con el desarrollo del ejercicio, contrastamos las siguientes hiptesis:

    0: = 1: >

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 157

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    = ( )

    2

    +

    2

    =8,23 8,194 0

    0,125532

    35+

    0,3042

    25

    = 0,5590

    Despus para calcular los grados de libertad tenemos la siguiente frmula:

    =(

    2

    +

    2

    )

    2

    (

    2

    )

    2

    1+

    (

    2

    )

    2

    1

    =(

    0,125532

    35+

    0,3042

    25)

    2

    (0,125532

    35)

    2

    351+

    (0,3042

    25)

    2

    251

    = 29,89 29

    Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,05):

    = { | > (; 1 )} = { | > (29; 0,95)} = { | > 1,6991}

    Respuesta: Como , en conclusin no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis

    nula con un 5% de significacin, es decir, se puede afirmar que la capacidad calrica del carbn de la

    mina 1 no supera a la capacidad calrica del carbn de la mina 2.

    13.4) Solucin: Las hiptesis a contrastar son:

    0: 8,31: < 8,3

    Luego, como desconocemos la varianza el estadstico de prueba se determina de la siguiente forma:

    = 0

    : = 35; = 8,23 ; = 0,12553 =8,23 8,3

    0,1255

    35

    = 3,3

    La Regin Crtica (Con = 0,05):

    = { | < (1; 1 )} = { | < (34; 0,95)} = { | < 1,6909}

    Respuesta: Debido a que , existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, con un

    5% de significacin, es decir, la capacidad calrica del carbn de la mina 1 es inferior a 8,3 mil millones

    de caloras por tonelada.

    14.- Una empresa de telecomunicaciones realiz un estudio a fin de comparar el trfico mensual

    de los clientes que han tomado los planes A B y conocer la opinin de stos respecto de los

    servicios prestados por la empresa.

    Para este efecto, tom de cada plan, una muestra aleatoria de 121 clientes. La informacin

    recolectada, se presenta a continuacin:

    Plan A

    Tiempo (min) 60 a 100 100 a 140 140 a 180 180 a 220 220 a 260

    N de clientes 13 32 30 27 19

    Plan B

    Tiempo (min) 120 a 156 156 a 192 192 a 228 228 a 264 264 a 300

    N de clientes 20 26 33 30 12

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 158 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Adems 98 clientes del plan A y 80 del plan B evaluaron satisfactoriamente los servicios

    prestados por la empresa.

    14.1) Estime, con un nivel de confianza del 95% el tiempo medio de trfico de los clientes del

    plan B.

    14.2) Con un nivel de significacin del 5%, Aceptara Ud. La hiptesis que la diferencia de los

    tiempos medios de trfico, de los clientes del plan B con respecto a los clientes del plan

    A, supere los 30 minutos?

    14.3) Si el Gerente de la empresa se plante la hiptesis: el porcentaje de clientes que evala

    satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa es igual en ambos planes,

    Qu concluye, si utiliz un nivel de significacin del 1%?

    14.4) Docime la hiptesis de que el tiempo de trfico de los clientes del plan A, es una v.a. con

    distribucin normal de varianza 2500 (min2).

    14.1) Solucin:

    Sea: = Tiempo trfico mensual de los clientes que han tomado el plan A, en minutos; ~ (; 2)

    = Tiempo trfico mensual de los clientes que han tomado el plan B, en minutos; ~ (; 2)

    Lo primero ser calcular el tamao, media y desviacin estndar de cada muestra dada:

    Para A Para B

    = 162,3140 = 49,8792 = 206,4296 = 44,4336

    Dado que el problema nos pide estimar el tiempo medio de trfico de los clientes del plan B, utilizaremos

    la siguiente frmula para poder determinarlo

    ()1 = ( (1;1

    2)

    ) : 1 = 0,95

    Evaluando:

    ()0,95 = (206,4296 (120;0,975) 44,4336

    121) : (120;0,975) = 1,9799

    ()0,95 = (206,4296 1,9799 44,4336

    121)

    ()0,95 = [198,4319; 214,4272]

    Respuesta: El intervalo [198,4319; 214,4272] tiene un 95% de probabilidad de contener el tiempo

    medio de trfico de los clientes del plan B.

    60 100 80 13 120 156 138 20 100 140 120 32 156 192 174 26

    140 180 160 30 192 228 210 33

    180 220 200 27 228 264 246 30 220 260 240 19 264 300 282 12

    = 121 = 121

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 159

    14.2) Solucin: En seguida, debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas

    muestras poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:

    0: 2 =

    2

    1: 2

    2

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    2

    2 =

    49,87922

    44,43362= 1,2601

    Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):

    (1; 1;

    2)

    = (120; 120; 0,025) =1

    (120; 120; 0,975)=

    1

    1,4327= 0,697

    (1; 1; 1

    2)

    = (120; 120; 0,975) = 1,4327

    La Regin Crtica:

    = { | < (120; 120; 0,025) > (120; 120; 0,975) } = { | < 0,697 > 1,4327 }

    Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,

    las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.

    Continuando con el desarrollo del ejercicio, contrastamos las siguientes hiptesis:

    0: 301: > 30

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos la siguiente expresin:

    = ( )

    1

    +

    1

    = ( 1)

    2 + ( 1)2

    + 2

    Reemplazando, obtenemos:

    = (120) 44,43362 + (120) 49,87922

    121 + 121 2= 47,235

    =206,4296 162,3140 30

    47,2351

    121+

    1

    121

    = 2,3244

    Finalmente, la Regin Crtica (Con = 0,05):

    = { | > (; 1 )} = + 2 = 240

    = { | > (240; 0,95)}

    Ya que este valor no se encuentra explcitamente en la tabla, tenemos que interpolar:

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 160 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    1,6499 1,6525

    300 200=

    1,6525

    240 200

    0,0026

    100=

    1,6525

    40

    =0,0026 40

    100+ 1,6525

    = 1,6515

    (240; 0,95) = 1,6515

    = { | > (240; 0,95)} = { | > 1,6515}

    Respuesta: Como , en conclusin existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula

    con un 5% de significacin, es decir, se puede afirmar que la diferencia media de los tiempos de trfico

    de los clientes del plan B con respecto a los clientes del plan A, supera los 30 minutos.

    14.3) Solucin: Ya que el ejercicio nos entrega la cantidad de clientes, de cada plan, que evala

    satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa, podemos determinar las proporciones

    respectivas de las muestras:

    =98

    121 =

    80

    121 =

    98 + 80

    121 + 121=

    178

    242= 0,7355

    Definimos las hiptesis a contrastar

    0: = 1:

    El estadstico de prueba est dado por:

    =

    (1

    +

    1

    )

    =

    98

    121

    80

    121

    (0,7355)(0,2645) (1

    121+

    1

    121)

    = 2,6234

    El Punto Crtico corresponde a: 1 2

    = 0,995 = 2,575

    La Regin Crtica (Con = 0,01):

    = { | < 1 2 > 1

    2 } = { | < 2,575 > 2,575}

    Respuesta: Como , se llega a la conclusin que existe suficiente informacin para rechazar la

    hiptesis nula con un 1% de significacin, o sea, el gerente de la empresa no se encontraba en lo

    correcto cuando planteaba que el porcentaje de clientes que evala satisfactoriamente los servicios

    prestados por la empresa es igual en ambos casos.

    14.4) Solucin: Sea: = Tiempo trfico mensual de los clientes que han tomado el plan A, en min.

    Con: = 162,31 ; 2 = 2500; = 50

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 161

    Las hiptesis a contrastar son: 0: ~ (; 2 = 2500)

    1: ~ (; 2 = 2500)

    Nota: Debido a que el ejercicio no nos entrega los grados de libertad se = 0,05

    Luego, se crea una tabla con los intervalos que abarcan todos los nmeros del conjutno de los reales,

    es decir, desde el al +, donde tambin se adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de

    cada uno de ellos:

    En seguida, como se debe cumplir que > 5, se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo

    sumando las dos primeras filas y las dos ltimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:

    () = () 13 0,3062 12,77 32 0,2208 26,72 30 0,3104 37,56 27 0,2381 28,81 19 0,1251 15,14

    = 121 () = 1 = 121

    Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

    2

    = ( )

    2

    =

    (13 12,77)2

    12,77+

    (32 26,72)2

    26,72+

    (30 37,56)2

    37,56+

    (27 28,81)2

    28,81+

    (19 15,14)2

    15,14

    2

    = 3,667

    Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:

    = { |2 > 1;

    2 } Con: = 1 = =

    Debido a que ocupamos el estimador de la media, el valor de es igual a uno y el nmero de filas

    despus de la modificacin es cinco, por lo tanto, reemplazando tenemos:

    = { |2 > 1 ; 3

    2 }

    1

    1 () = ()

    60 < 60162,31

    50 < 2,05

    f(2,05) = 0,0202

    0,0202 2,44

    60 100 13 60 162,31

    50;

    100 162,31

    50 2,05; 1,25

    f(1,25) f(2,05) = 0,1056 0,0202

    0,0854 10,33

    100 140 32 100 162,31

    50;

    140 162,31

    50 1,25; 0,45

    f(0,45) f(1,25) = 0,3264 0,1056

    0,2208 26,72

    140 180 30 140 162,31

    50;

    180 162,31

    50 0,45; 0,35

    f(0,35) f(0,45) = 0,6368 0,3264

    0,3104 37,56

    180 220 27 180 162,31

    50;

    220 162,31

    50 0,35; 1,15

    f(1,15) f(0,35) = 0,8749 0,6368

    0,2381 28,81

    220 260 19 220 162,31

    50;

    260 162,31

    50 1,15; 1,95

    f(1,95) f(1,15) = 0,9744 0,8749

    0,0995 12,04

    260 >260162,31

    50 > 1,95

    1 f(1,95) = 1 0,9744

    0,0256 3,1

    = 121 1 121

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 162 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Ya que el valor del nivel de confianza no es entregado por el ejercicio, tenemos que interpolar para

    determinarlo:

    0,75 0,25

    0,25=

    4,108 1,213

    3,667 1,213

    0,50

    0,25=

    2,895

    2,454

    =0,50 2,454

    2,895+ 0,25

    = 0,69

    1 = 0,69

    Resultados:

    Caso 1: La hipotesis nula se rechaza si 2 1 < 0,69 > 0,31

    Caso 2: La hipotesis nula no se rechaza si 2 1 > 0,69 < 0,31

    Considerando que el nivel de significacin debe ser el menor posible para que la estimacin sea

    adecuada, por lo que es correcto elegir el caso 2, ya que as se cumple lo antes expuesto.

    Respuesta: Ya que 2 1 > 0,69, es decir, no existe informacin suficiente para

    rechazar la hipotesis nula, por lo tanto, el tiempo de trfico de los clientes del plan A se distribuye

    normalmente con varianza igual a 2500 min2.

    15.- En el mercado existen dos tipos de plsticos (A y B), los que son utilizados en la fabricacin

    de diversos artculos. Una variable importante que se maneja es su tensin de ruptura (en psi)

    y por lo tanto se ha diseado un experimento para medir la variable en ambos tipos. Los

    resultados en 41 ensayos de plstico A fueron los siguientes:

    Tensin de Ruptura 144 a 150 150 a 156 156 a 162 162 a 168

    5 12 16 8

    Por otro lado, en 25 ensayos realizados para registrar la tensin a la ruptura en el plstico B, se

    obtuvo un promedio de 154 psi con desviacin estndar de 5,2 psi.

    15.1) Considerando un nivel de significacin del 5% y la informacin que entregan los datos.

    Hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, quin seala

    que el valor medio de la tensin a la ruptura del plstico A es de 155,5 psi?

    15.2) El ingeniero de procesos tiene la sospecha que el plstico A tiene una tensin media a la

    ruptura ms alta de lo que se observa para el plstico B. Admitiendo como vlidos los

    supuestos de normalidad de las variables en estudio y considerando un niel de

    significacin del 5% Qu puede concluir usted respecto de la sospecha del ingeniero de

    procesos?

    15.3) Con un nivel de significacin del 2,5% Muestran los datos la evidencia suficiente para

    corroborar que efectivamente la distribucin de probabilidad de la tensin a la ruptura

    del plstico tipo A es de tipo normal con media 155,5 psi y varianza 25 (psi)2.

    15.4) Con un 5% de nivel de significacin, es posible corroborar que ms de un 30% de las

    unidades del plstico A presentan una tensin a la ruptura superior a 160 psi?

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 163

    15.1) Solucin: Sea: = Tensin de ruptura del tipo de plsticos A, en psi; ~ (; 2)

    = Tensin de ruptura del tipo de plsticos B, en psi; ~ (; 2)

    Para :

    = 156,95 = 5,63 = 41

    Para :

    = 154 = 5,2 = 25

    Las hiptesis a contrastar son:

    0: = 155,51: 155,5

    Luego, como desconocemos la varianza el estadstico de prueba se determina de la siguiente forma:

    = 0

    : = 41; = 156,95 ; = 5,63 =156,95 155,5

    5,63

    41

    = 1,65

    La Regin Crtica (Con = 0,05):

    = { | < (1; 1

    2)} = { | < (40; 0,975)} = { | < 2,0211}

    Respuesta: Debido a que , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, es

    decir, no hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, el que seal que

    el valor medio de la tensin a la ruptura del plstico A es de 155,5 psi, con un 5% de significacin.

    15.2) Solucin: Debemos contrastar las siguientes hiptesis, para determinar si estas muestras poseen

    varianzas poblacionales iguales o diferentes:

    0: 2 =

    2

    1: 2

    2

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    2

    2 =

    5,632

    5,22= 1,1722

    Los puntos crticos estn dados por ( = 0,05):

    (1; 1;

    2)

    = (40; 24; 0,025) =1

    (24; 40; 0,975)=

    1

    2,0069= 0,4928

    (1; 1; 1

    2)

    = (40; 24; 0,975) = 2,1460

    La Regin Crtica:

    = { | < (40; 24; 0,025) > (40; 24; 0,975) } = { | < 0,4928 > 2,1460 }

    Resultado: Debido a que , no hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es decir,

    las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.

    1 144 150 147 5 150 156 153 12 156 162 159 16 162 168 165 8

    = 41

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 164 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hiptesis:

    0: = 1: >

    Luego, para determinar el estadstico de prueba, tenemos:

    =

    1

    +

    1

    = ( 1)

    2 + ( 1)2

    + 2

    Reemplazando, obtenemos:

    = (41 1) 5,632 + (25 1) 5,22

    41 + 25 2= 5,4727 ; =

    156,95 154

    5,4727 1

    41+

    1

    25

    = 2,1243

    Finalmente, la Regin Crtica:

    = { | > (; 1 )} = + 2 = 64

    = { | > (64; 0,95)} = { | > 1,6690}

    Respuesta: Como , en conclusin hay informacin suficiente para rechazar la hiptesis nula, es

    decir, las sospechas del ingeniero de proceso estn en lo correcto, ya que por los resultados obtenidos

    el plstico A tiene una tensin media a la ruptura ms alta de lo que se observa para el plstico B.

    15.3) Solucin: Las hiptesis a contrastar son (Con = 0,025):

    0: ~ ( = 155,5; 2 = 25)

    1: ~ ( = 155,5; 2 = 25)

    Luego, como queremos probar que se distribuye normalmente, se crea una tabla con los intervalos que

    abarcan todos los nmeros del conjunto de los reales, es decir, desde el al +, donde tambin se

    adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de cada uno de ellos:

    1

    1 () = ()

    144 < 144 155,5

    5 < 2,3

    f(2,3) = 0,0107

    0,011 0,45

    144 150 5 144 155,5

    5;

    150 155,5

    5 2,3; 1,1

    f(1,1) f(2,3) = 0,1357 0,0107

    0,125 5,13

    150 156 12 150 155,5

    5;

    156 155,5

    5 1,1; 0,1

    f(0,1) f(1,1) = 0,5398 0,1357

    0,404 16,56

    156 162 16 156 155,5

    5;

    162 155,5

    5 0,1; 1,3

    f(1,3) f(0,1) = 0,9032 0,5398

    0,363 14,88

    162 168 8 162 155,5

    5;

    168 155,5

    5 1,3; 2,5

    f(2,5) f(1,3) = 0,9938 0,9032

    0,091 3,73

    168 >168 155,5

    5 > 2,5

    1 f(2,5) = 1 0,9938

    0,006 0,25

    = 41 1 41

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 165

    En seguida, se sabe que cuando estamos haciendo bondad de ajuste se debe cumplir que > 5, por

    lo tanto, se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo sumando las dos primeras filas y las

    tres ltimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:

    () = () 5 0,136 5,58

    12 0,368 16,56 24 0,496 18,86

    = 41 () = 1 = 41

    Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

    2

    = ( )

    2

    =

    (5 5,58)2

    5,58+

    (12 16,56)2

    16,56+

    (24 18,86)2

    18,86= 2,717

    Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:

    = { |2

    > 1;2 } Con: = 1

    = =

    Debido a que no se utiliza ningn estimador, el valor de es igual a cero y el nmero de filas despus

    de la modificacin corresponde a tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:

    = { |2

    > 0,975;22 } = { |

    2

    > 7,378}

    Respuesta: Como 2

    , se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que la

    tensin a la ruptura del plstico tipo A se distribuye normalmente con una media de 155,5 psi y una

    varianza de 25 psi2, con un nivel de significacin de 0,025.

    15.4) Solucin: Sea: = Proporcin de las unidades del plstico A que presentan una tensin a la

    ruptura superior a 160 psi

    Estimaremos el valor de , lo que lo llevamos a cabo por medio de frmula de percentil, como se ve a

    continuacin:

    = 1 + (

    100 1

    )

    160 = 156 + 6 (

    41

    100 17

    16) = 67,48%

    =100 67,48

    100= 0,3252

    Luego, las hiptesis a contrastar son:

    0: = 0,31: > 0,3

    1 144 150 5 5 150 156 12 17 156 162 16 33 162 168 8 41

    = 41

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 166 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    El estadstico de prueba est dado por:

    = 0

    0 0

    =0,3252 0,3

    0,30,7

    41

    = 0,7266

    La Regin Crtica (Con = 0,05):

    = { | > 1 } = { | > 0,95} = { | > 1,645}

    Respuesta: Como , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula con un 5%

    de significacin, es decir, no se puede corroborar que ms de un 30% de las unidades del plstico tipo

    A presentan una tensin a la ruptura superior a 160 psi.

    16.- En un hospital, el nmero de nacimientos observados para cada mes de cierto ao, fueron

    los siguientes:

    Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

    95 105 95 105 90 95

    Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

    105 110 105 100 95 100

    Si = , , Existe alguna razn para creer que el nmero de nacimietnos no se encuentra

    distribuido en forma uniforme durante todo los meses del ao?

    16) Solucin: Sea: = Mes en que ocurre el nacimiento en un hospital

    Las hipotesis a contrastar son: 0: ~ [1; 12]1: ~ [1; 12]

    La frecuencia esperada se calcula con la siguiente frmula:

    = = 1200 ; =1

    =

    1

    12 = 100

    Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

    2

    = ( )

    2

    =

    (95 100)2

    100+

    (105 100)2

    100+

    (95 100)2

    100+

    (105 100)2

    100+

    (90 100)2

    100+

    (95 100)2

    100

    +(105 100)2

    100+

    (110 100)2

    100+

    (105 100)2

    100+

    (100 100)2

    100+

    (95 100)2

    100+

    (100 100)2

    100= 4

    Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:

    = { |2 > 1;

    2 }

    Con: 1 = 0,99; = 1 = =

    Debido a que no ocupamos algn estimador, el valor de es igual a cero, por lo tanto, reemplazando

    tenemos:

    = { |2 > 0,99; 11

    2 } = { |2 > 24,725}

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 167

    Respuesta: Como 2 , por lo tanto no existe evidencia suficiente para rechazar la hipotesis nula,

    es decir, se concluye que no existe razn para rechazar que el nmero de nacimientos se encuentra

    distribuido en forma uniforme durante todo los meses del ao.

    17.- El encargado de control de calidad de una empresa exportadora revis al azar un conjunto

    de 700 cajas, registrando el nmero de unidades defectuosas encontradas en cada caja,

    obteniendo la siguiente informacin:

    N de defectuosos 0 1 2 3

    N de cajas 542 140 10 8

    Si histricamente la cantidad de defectuosos por caja, se ha comportado de acuerdo a un

    modelo binomial de parmetros = y = , . Evale usted si la evidencia muestral permite

    corroborar que la variable en cuestin persiste en comportarse de acuerdo al modelo histrico,

    con nivel de significacin igual a 0,05.

    17) Solucin: Sea: = Nmero de unidades defectuosas por caja

    Las hiptesis que nos interesan contrastar son:

    0: ~ ( = 3; = 0,08)

    1: ~ ( = 3; = 0,08) Con = 0,05

    Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si se distribuye

    de forma binomial, como se ve a continuacin:

    () = {(

    ) ; = 0,1,2,3

    0 () = {

    (3

    ) (0,08) (0,92)3 ; = 0,1,2,3

    0

    () = ()

    0 542 (30

    ) (0,08)0 (0,92)3 = 0,7787 545,09

    1 140 (31

    ) (0,08)1 (0,92)2 = 0,2031 142,17

    2 10 (32

    ) (0,08)2 (0,92)1 = 0,0177 12,39

    3 8 (33

    ) (0,08)3 (0,92)0 = 0,0005 0,35

    = 700 1 700

    En seguida, como se debe cumplir que > 5, se procede a modificar la tabla, lo que se hace sumando

    las dos ltimas filas, como se muestra ahora:

    () = ()

    542 0,7787 545,09 140 0,2031 142,17 18 0,0182 12,74

    = 700 () = 1 = 700

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 168 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

    2 =

    ( )2

    =

    (542 545,09)2

    545,09+

    (140 142,17)2

    142,17+

    (18 12,74)2

    12,74= 2,2223

    Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:

    = { |2 > 1;

    2 }

    Con: 1 = 0,95; = 1 = =

    Debido a que no ocupamos ningn estimador, el valor de es igual a cero, y el nmero de filas despus

    de la modificacin es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:

    = { |2 > 0,95;2

    2 } = { |2 > 5,991}

    Respuesta: Como 2 , en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar que la

    cantidad de defectuosos por caja sigue el modelo histrico, o sea, distribucin binomial con tamao de

    la muestra 3, y probabilidad de xito igual a 0,08, con un nivel de significacin de 0,05.

    18.- En una empresa de acuicultura se quiere hacer un estudio sobre el nivel de parsitos en la

    produccin de doradas. Para ello, se tom una muestra de 5 individuos cada da, repitiendo el

    experimento durante 550 das. De cada muestra se analizaron los peces determinando cuantos

    de ellos contenan parsitos. Se ajusta a un modelo de distribucin Binomial con 5% de

    significacin?

    = N de individuos con parsitos 0 1 2 3 4 5 Frecuencia Observada 17 81 152 180 104 16

    18) Solucin: Sea: = Nmero de individuos con parsitos

    Luego, como el ejercicio no nos entrega el valor de , procedemos estimar el valor:

    =

    =

    0 27 + 1 81 + 2 152 + 3 180 + 4 104 + 5 16

    550=

    1421

    550= 2,584

    Adems, de la tabla de distribuciones discretas sabemos que la media de la distribucin binomial est

    dada por la siguiente frmula, teniendo cuidado con el es el nmero de veces que se repite el

    experimento, es decir, en este caso toma el valor de 5:

    = =

    =

    2,584

    5= 0,517

    Las hiptesis que nos interesan contrastar son:

    0: ~ ( = 5; = 0,517)

    1: ~ ( = 5; = 0,517)

    Con = 0,05

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 169

    Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si se distribuye

    de forma binomial, como se ve a continuacin:

    () = {(

    ) ; = 0,1,2, ,5

    0 () = {

    (5

    ) (0,517) (0,483)5 ; = 0,1,2, ,5

    0

    () = ()

    0 17 (50

    ) (0,517)0 (0,483)5 = 0,026 14,3

    1 81 (51

    ) (0,517)1 (0,483)4 = 0,141 77,55

    2 152 (52

    ) (0,517)2 (0,483)3 = 0,301 165,55

    3 180 (53

    ) (0,517)3 (0,483)2 = 0,322 177,1

    4 104 (54

    ) (0,517)4 (0,483)1 = 0,173 95,15

    5 16 (55

    ) (0,517)5 (0,483)0 = 0,037 20,35

    = 550 () = 1 = 550

    Ya que todos los sucesos cumplen con > 5, la tabla no se modifica.

    Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

    2

    = ( )

    2

    =

    (17 14,3)2

    14,3+

    (81 77,55)2

    77,55+

    (152 165,55)2

    165,55+

    (180 177,1)2

    177,1+

    (104 95,15)2

    95,15+

    (16 20,35)2

    20,35

    2

    = 3,573

    Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:

    = { |2 > 1;

    2 }

    Con: 1 = 0,95; = 1 = =

    Debido a que utilizamos el estimador de , el valor de es igual a uno, y el nmero de filas es seis,

    por lo tanto, reemplazando tenemos:

    = { |2 > 0,95; 4

    2 } = { |2 > 9,488}

    Respuesta: Como 2 , en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar la

    hipotesis nula, es decir, el nmero de individuos con parsitos se distribuye en forma binomial, con un

    nivel de significacin de 0,05.

    19.- Se propone que el nmero de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una

    distribucin Poisson. Se rene una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se

    observa el nmero de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:

    = Nmero de defectos Frecuencias observadas 0 32

    1 15

    2 9

    3 o ms 4

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 170 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Evale si estos datos muestran suficiente evidencia para decir que provienen de una

    distribucin Poisson, con un nivel de significacin igual a 0,05.

    19) Solucin: Sea: = Nmero de defectos en las tarjetas de circuito impreso

    Las hiptesis a contrastar son: 0: ~ ()

    1: ~ ()

    Ya que el ejercicio no nos entrega el valor de lambda, procedemos a estimarlo a partir de los datos

    tabulados:

    = =

    =

    0 32 + 1 15 + 2 9 + 3 4

    60=

    3

    4= 0,75

    Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si tiene una

    distribucin Poisson, como se ve a continuacin:

    () = {

    ! ; = 0,1,2,

    0

    () = {0,75 (0,75)

    ! ; = 0,1,2,

    0

    () = ()

    0 32 0,75 (0,75)0

    0!= 0,4724 28,344

    1 15 0,75 (0,75)1

    1!= 0,3543 21,258

    2 9 0,75 (0,75)2

    2!= 0,1329 7,974

    3 4 1 ( < 3) = 0,0404 2,424

    = 60 () = 1 = 60

    Puesto que la frecuencia esperada en la ltima celda es menor que 5, se combinan las dos ltimas

    filas.

    = ()

    0 32 28,344 1 15 21,258

    2 13 10,398 = 60 = 60

    Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

    2 =

    ( )2

    =

    (32 28,344)2

    28,344+

    (15 21,258)2

    21,258+

    (13 10,398)2

    10,398= 2,965

    Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:

    = { |2 > 1;

    2 }

  • 7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 171

    Con: 1 = 0,95; = 1 = =

    Debido a que ocupamos el estimador , el valor de es igual a uno, y el nmero de filas despus de

    la modificacin es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:

    = { |2 > 0,95;1

    2 } = { |2 > 3,841}

    Respuesta: Como 2 , se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que el

    nmero de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribucin Poisson.

    20.- El duracin (X) en meses, de cierto dispositivo se considera una variable aleatoria. En una

    muestra elegida al azar de 80 dispositivos, se obtuvo la siguiente informacin:

    Duracin (X) < 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 n de dispositivos 34 20 14 8 3 1

    Los datos de la muestra dan evidencia suficiente para concluir que la duracin mensual de los

    dispositivos se distribuye exponencial, con parmetro = 0,3 con un 5% de confianza

    20) Sea: = Duracin de cierto dispositivo, en meses

    Las hiptesis a contrastar son: 0: ~ ( = 0,3)

    1: ~ ( = 0,3)

    Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si tiene una

    distribucin exponencial, como se ve a continuacin:

    () = {1 0,3 ; > 0

    0

    () = () < 2 34 1 0,3 2 = 0,4512 36,096

    2 4 20 1 0,3 4 [1 0,3 2] = 0,2476 19,808

    4 6 14 1 0,3 6 [1 0,3 4] = 0,1359 10,872 6 8 8 1 0,3 8 [1 0,3 6] = 0,0746 5,968

    8 10 3 4

    1 0,3 10 [1 0,3 8] = 0,0409 3,272 7,256

    10 1 1 [1 0,3 10] = 0,0498 3,984 = 80 () = 1 = 80

    Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

    2 =

    ()2

    =

    (3436,096)2

    36,096+

    (2019,808)2

    19,808+

    (1410,872)2

    10,872+

    (85,968)2

    5,968+

    (47,256)2

    7,256= 3,1765

    Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma: ( = 1 ; = 0,05)

    = { |

    2> 1;

    2} = { |

    2> 0,95;501

    2} = { |

    2> 9,488}

    Respuesta: Como 2

    , se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipotesis

    nula, por esto se asume que la duracin mensual de los dispositivos se distribuye exponencial, con

    parmetro = 0,3 y = 0,05.