Interferencia aplicada: AHORA QUE SABEMOS DIRECCIONAR LA LUZ (O LA RADIO) COMO DIRIGIR ESE HAZ EN...

Interferencia aplicada:

AHORA QUE SABEMOS DIRECCIONAR LA LUZ (O LA RADIO) COMO DIRIGIR ESE HAZ EN UNA BANDA ANGOSTA?

VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?


Resolvimos un problema para agregar otro. El máximo es mas angosto, pero hay (como hubiésemos podido predecir), mas máximos…

Como resolverlo?


Dos hechos que merecen una pausa:1) En que difiere esta solución de las anteriores.

2) Además de para emitir como una quiere, lo que constituye un problema no menor. Para que sirve saber todo esto?

Interferencia aplicada:

AHORA QUE SABEMOS COMO SE SUMA LA LUZ, PODEMOS CALCULAR LOS SUMANDOS (LAS MOLECULAS QUE

CONFORMAN UNA MUESTRA) A PARTIR DEL PATRON DE INTERFERENCIA?

El problema inverso y el problema directo. Como siempre. Si uno sabe como emite algo en función de su forma, viendo un espectro de emisión se puede conocer la forma de algo desconocido. Muy resumidamente, ahí vamos…

Calcular el campo de varias fuentes, equiespaciadas a

quien sabe que distancia, con algún ángulo y fase relativa y

bla bla bla.es un asunto olvidable, pero, visto al revés,

de que se trata?

Interferencia aplicada: Difracción, o la suma de muchas fuentes.

La versión mas sencilla ( a modo de ejemplo y ablande para el que le verse) de una de las formas mas efectivas de entender la

estructura de aquello que ocupa porciones mas pequeñas que la luz.

Luz monocromática (w fijo) con alguna dirección que impacta sobre un medio de muchas rendijas ( o con una rendija de un ancho finito,

no nulo, en cuyo caso pasamos este problema al continuo)

Es un problema de interferencia de muchas fuentes, para calcular la intensidad en algún punto hay que resolver un problema bastante

mas complejo que el anterior…

cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) cos( 4 ) cos( 5 ) ...R A wt wt wt wt wt

Y luego, calcular el desfasaje en función de la geometría del problema.


Como sumar esto? 1) Abrir todos los cosenos, anular mil términos y enfermarse.

2) Pasarlo a números complejos, donde los cosenos se vuelven exponenciales y la suma se resuelve muy fácil … si uno sabe complejos.

3) Geométricamente.

12 R

RA

1 22 cos2rA A

1 2cos cosA wt A wt

La suma (superposición) de dos funciones trigonometriítas de igual frecuencia resultan en una tercera, de la misma frecuencia y de amplitud determinada por la relacion de

fase entre ambas. Cuando la diferencia de fase es de medio ciclo, se anulan.


El vector resultante de sumar la suma de arriba, con seis términos donde el desfasaje es de 20 grados

2

A

1 22 cos2rA A

Hasta aqui, terreno conocido.


Por el teorema de la pizza.

2

Por el teorema de que de cada 10 argentinos, 5

son la mitad (generalizado)

A

( )2 22 ( )2

AA r sen rsen

r

A/2


A

2 ( )2

Ar

sen

r 2

n Siempre por el teorema de la pizzajunto al de las mitades

( )2 2

nR r sen

( )2

( )2

nsen

R Asen


( )2

( )2

nsen

R Asen

Primer parada: Resolvimos una parte significativa de la matemática de la difracción. Faltan dos cosas:

1) Entender de que se trata la formula que esta a la izquierda y

2) Entender la relación geométrica entre las distancias, el punto en la pantalla y el desfasaje, el equivalente a:

1 22 cos2

R A

( )

2d sen


2

2( )2

( )2

nsen

I Asen




Recordar que habíamos empezado por esto. Muchas fuentes solo eran coherentes en el centro por lo que los máximos laterales de interferencia amanaiban. Es el caso?


2

2( )2

( )2

nsen

I Asen

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

N=100( )sen

2 2 2( )2

( )2

n

I A A N

Cuando la diferencia de fase es cero, todo se

suma constructivamente

N=100


2

2( )2

( )2

nsen

I Asen

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

N=100( )sen

Donde ocurre el mínimo?

02

nI

2

n

2 2 2...2 ...m

n n n

Y los demas en

4

n

6

n


2

2( )2

( )2

nsen

I Asen

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

N=100( )sen

2

n

4

n

6

n

Cual es el sentido “geometrico”?

Si cada “porcion”es 2pi/n, n porciones suman?

2

n


2

2( )2

( )2

nsen

I Asen

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

N=100( )sen

2

n

4

n

6

n

3

n

5

n

0

02

40.05

3

II I

2

22 1 2

3 3( )2

AnI A

senn

Para n suficientemente grande, la intensidad del segundo maximo es un 5% del valor del pico central.

Esto es independiente de N


2

2( )2

( )2

nsen

I Asen

N=100( )sen

2

n

4

n

6

n

3

n

5

n

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0

500

1000

1500

2000

2500

N=502N

A=1

2 0.05N


( )2

( )2

nsen

R Asen




1 22 cos2

R A

( )

2d sen

( )2

( )2

nsen

R Asen

Maximo

(sin cuentas)

( )nd sen

( )d sen d

( ) 2 ( )d

kd sen sen

2

n

Minimo en:

22 ( )

dsen

n

( )sennd

1) La geometria invisible.

2) Que sacamos de esta

marania?

( )send

( )senD

( )sennd D

Lo mejor de los dos mundos … un máximo central angosto sin máximos laterales.

Nuevamente una estrategia de borrado constructiva. Para eliminar los máximos laterales, agregar mas fuentes.

En términos del problema inverso, de adivinar la fuente que emite (o la textura del material que difracta la luz) a partir del espectro. Hay algún problema?

Dos últimos comentarios difractantes. 1) En una rendija de ancho D sobre la que incide luz

Cuantas fuentes hay?

2

2( )2

( )2

nsen

I Asen

2 ( )d

sen

limn lim 0d

n d cte

lim 0A n A cte

D1

Dos últimos comentarios difractantes. 2) Un problema de composiciones arbitrariamente complicado. El penúltimo ejemplo: dos rendijas de difracción que interfieren.

2

2( )2

( )2

nsen

I Asen

12 ( )

Dsen

( )

1sen

D

D2

D1

24 cos2

I A

22 ( )

Dsen

( )

2 2sen

D

D1

Dos últimos comentarios difractantes. Un problema de composiciones arbitrariamente complicado.

El penúltimo ejemplo: dos rendijas de difracción que interfieren.

D2

D1

Difraccion Interferencia

2 21 2 1 2 1 22 osI A A A A c w w t

Aprendimos a sumar cosenos de distintas frecuencias (batidos) Aprendimos a sumar cosenos de igual

frecuencia correspondiente a ondas que recorren caminos distintos (interferencia)

1 1 2 2cos cosA wt A wt

2 21 2 1 2 2 12 osI A A A A c

cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) cos( 4 )...wt wt wt wtR A

Y esto?

http://www.geology.um.maine.edu/geodynamics/AnalogWebsite/Projects2005/Naus_Thijssen_2005/html/background1.html

Un puchito de polarizacion

+ =

Usando la conocidisima suma de vectores. Sin embargo, no estamos sumando vectores sino oscilaciones y en cada problema que encontramos hasta ahora, el

juez de esta suma era la fase. Ahora no es la excepción.

Lo mas intuitivo es sencillamente que:

Noten que la componente azul (E) y la componente verde (B) hacen el mismo movimiento (una

oscilacion con frecuencia w). Lo unico que cambia es la relacion de fase entre ellas que hace que:

1) La onda se propague de manera lineal en la suma vectorial de ambas componentes si la diferencia de

fase es cero.2) Que la onda se propague haciendo un circulo,

alternando su proyección sobre ambas componentes si la diferencia de fase es un cuarto

de ciclo.

La fase cambia cualitativamente el resultado de la suma

0

/ 2

Polarizacion circular vista en 3D con el circulopolarizograma.

La fase cambia cualitativamente el resultado de la suma

Y si la diferencia de fase es pequeña? Es decir, es mayor que cero pero mucho menor que un cuarto de ciclo.

0

/ 8

2 2,n v

1 1,n v

Porque la luz parece viajar a

distintas velocidades en

distintos medios?

Porque mas rápido en el

vacío?

Estas cuentas están en Feynman I (31)

E(x,t)

El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre un Electrón en el medio (puede

ser gas, liquido, sólido…

Cual es el resultado de esta fuerza

E(t)=E0cos(wt)

El modelo mas sencillo (y muy explicativo) del

electrón en un átomo. Es … un resorte con frecuencia natural w0

0

2 20

eq EAm w w

2

2 20 0

12

eNqn

e m w w

La cuenta no hecha. Al moverse

las cargas del medio generan un

campo que interfiere con el de

la fuente.

Polarizador, un artilugio que convierte luz de una

superposición de estados de polarizacion en un estado definido (digamos lineal)..

Dos polarizadores perpendiculares, del otro

lado no se ve nada.

Polarizadores – proyectando la luz sobre un eje

Etienne-Louis Malus

Una ley a la que tener nombre (y categoria de ley) le queda grande.

20 cos ( )I I

Otra paradoja de tapas, luces y filtros.

Cuanto vale la intensidad?

Y ahora???

0 El ultimo pucho: Un batido polarizado y la actividad optica.

Luz en el vacio (o en un material isotropo) Luego de un rato la fase sigue siendo igual, la polarizaion lineal …

La luz entra en un medio donde la velocidad de

propagación en x es distinta de y. Si w es el mismo esto

quiere decir que kx es distinto de ky.

Supongamos, solo como ejemplo que la velocidad en

y es muy rapido (ky pequenio)

Que sucede?

wv

k T

x yk k

Polarización lineal (o circular, o eliptica). La

relacion de fase se mantiene en un medio en el que las distintas componentes de la luz

viajan a igual velocidad.

x yk k

La relacion de fase cambia (exactamente igual que lo que sucedia en batidos), con uina

componente adelatnadose a la otra, cuando propagan a

velocidades distintas. Según la diferencia de estas velocidades, cada tanta distancia, le saca una

vuelta entera. Asi se puede calcular que distancia, dado kx y ky tiene que recorrer la luz (cual

es el ancho del celofan!) para que la luz pase de linear a

circular o viceversa.

2 21 2 1 2 1 22 osI A A A A c w w t

Aprendimos a sumar cosenos de distintas frecuencias (batidos) Aprendimos a sumar cosenos de igual

frecuencia correspondiente a ondas que recorren caminos distintos (interferencia)

1 1 2 2cos cosA wt A wt

2 21 2 1 2 2 12 osI A A A A c

cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) cos( 4 )...wt wt wt wtR A

x yk k

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