Interes Simple

INTERS SIMPLE HUACHO-2015-I

Lic. CARLOS GOY AMERI

1

Inters Simple

Definicin. Inters es el alquiler que se conviene pagar, por una cantidad de

dinero tomado en prstamo. Las leyes de cada pas rigen los contratos y relaciones entre prestatarios y prestamistas. Por el dinero tomado en prstamo, es necesario pagar un precio se expresa por una suma a pagar por cada unidad de dinero prestada, en una unidad de tiempo convencionalmente estipulada.

1.Clculo del inters simple

El capital que genera los intereses permanece constante durante el tiempo de vigencia de la transaccin.

Frmula general Para deducir la frmula que se pueda calcular el inters simple vamos a considerar un prstamo de S/.1000 cobrando una tasa de inters simple de 24% anual (24/100= 0.24) aplicado exclusivamente al capital original. Podemos observar que:

Al final del primer ao el inters generado por el capital inicial ser:

Al final del segundo ao el inters generado por el capital inicial ser:

Al final del tercer ao el inters generado por el capital inicial ser:

Al final del ao el inters generado por el capital inicial ser:

De la deduccin podemos generalizar la frmula del inters simple de la siguiente:

Frmula del inters simple: Simbologa I Inters. P Principal, capital o stock inicial de efectivo, valor presente. i Tasa de inters simple por unidad de tiempo, expresado en tanto por uno. n Nmero de perodos de tiempo (das, meses, bimestre, trimestre, etc).

Nota: Una tasa de inters simple se considera una tasa nominal(TN).

En esta frmula (1), es la tasa de inters de una unidad de tiempo y



2

es el nmero de unidades de tiempo. Debe entenderse que si es una tasa anual, es el nmero de aos,del mismo modo si es una tasa mensual, es el nmero de meses y as sucesivamente para otras unidades de tiempo.De la frmula(1) podemos obtener:

Ejemplo 1.- Una entidad financiera otorg a una empresa un prstamo de S/.6000 para devolver dentro de 4 aos, cobrando una tasa de inters simple del 16% anual (TNA). Cul ser el inters que pagar la empresa al vencimiento del plazo?

Solucin:

Supongamos que si la tasa y el tiempo de la operacin estn enunciados en diferentes unidades de tiempo, como por ejemplo la tasa anual y el

tiempo en meses, entonces debemos homogenizar ambas variables para

expresarlas en aos o en meses respectivamente.

Ejemplo 2.- Cul ser el inters acumulado en 720 das por un depsito de ahorro de S/.8000 percibiendo una tasa de inters simple del 36% anual(TNA)? Solucin: Podemos resolverlo de dos maneras.

a) Homogenizando y a das (tasa de inters y tiempo diarios)

b) Homogenizando y a aos (tasa de inters y tiempo anuales

Ejemplo 3.-Una persona deposita S/.10000 en una institucin financiera ganando una tasa de inters simple de 5% mensual (TNM). Qu inters

habr acumulado en seis meses?

Solucin:

Ejemplo 4.-Una persona deposita S/.15000 en una institucin financiera ganando una tasa de inters simple de 28% cuatrimestral (TNC). Qu inters habr acumulado en 16 meses?

Solucin:



3

1.1 Periodo de tiempo comprendido entre dos fechas. De acuerdo al sistema legal vigente, si una persona deposita y retira de su cuenta en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo da, no habr ganado inters alguno. Lo contrario supondra percibir inters por horas, minutos, segundos, etc. Para percibir inters es necesario que el dinero permanezca en la institucin financiera como mnimo un da, transcurrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las cuales se excluye y la ltima se incluye, operacin conocida como el mtodo de los das terminales. Por ejemplo un depsito efectuado el 15 de mayo y retirado el 17 del mismo mes habr percibido inters correspondiente a dos das contando del 15 al 17.

Tabla para el clculo del tiempo

Nmero exacto de das entre dos fechas (aos no bisiestos)

Nota: no incluye el da inicial.

Los nmeros de las lneas horizontales indican los das transcurridos, desde cierto da del mes inicial y el mismo da del mes terminal; por ejemplo, desde el 3 de mayo de un ao, al 3 de octubre del mismo ao hay 153 das. Esto es igual al nmero anotado en la interseccin de la horizontal correspondiente al mes inicial, mayo, con la vertical del mes terminal, octubre. Si el da del mes inicial es diferente al da del mes terminal, para el clculo se presentan dos casos:

Desde el da del mes inicial

Al mismo da del mes terminal

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Set. Oct. Nov. Dic.

Ene. 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

Feb. 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

Mar. 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

Abr. 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

May. 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

Jun. 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

Jul. 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

Ago. 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

Set. 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

Oct. 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

Nov. 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

Dic. 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

15/05 16/05 17/05

2 das



4

a) El da del mes terminal es MAYOR que el da del mes inicial: en este caso se suma la diferencia de los das, al nmero definido por el inicial y el mes terminal.

Ejemplo. Calcular los das transcurridos desde el 15 de mayo de un ao y el 20 de marzo del ao siguiente. Diferencia entre los nmeros de das = Nmero correspondiente a la interseccin mayo-marzo = Entre las dos fechas propuestas, hay =..

b) El da del mes terminal es MENOR que el da del mes inicial: en este caso la diferencia entre el da terminal y el inicial es negativa; entonces, se procede a restar la diferencia al nmero interseccin de los meses.

Ejemplo. Calcular los das transcurridos desde el 20 de marzo y el 15 de mayo del mismo ao.

Diferencia entre los nmeros de das =.. Nmero correspondiente a la interseccin marzo-mayo =.. Entre las dos fechas propuestas, hay =..

La tabla es de gran utilidad para determinar la fecha terminal conocida, la fecha inicial y el nmero de das, el clculo se hace con gran rapidez, sin necesidad de contar los das en un calendario.

Ejemplo 4.- Cuntos das de inters se habr acumulado entre el 6 de julio y el 22 de octubre del mismo ao, fechas de depsito y cancelacin de un importe ahorrado en una entidad financiera? Solucin:

Respuesta:..

Aplicando la tabla Diferencia entre los nmeros de das = .. Nmero correspondiente a la interseccin julio-octubre =.. Entre las dos fechas propuestas, hay =..

Mes Das Das transcurridos

Julio

excluye el 6 de julio (31-6=)

Agosto

incluye los das

Setiembre

incluye los das

Octubre

incluye los das



5

1.2 Ao bancario segn BCRP De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Per, el ao bancario es un perodo de 360 das. En el presente el adjetivo anual y el trmino ao cuando no estn asociados a fechas especficas, harn referencia a un ao bancario. En general los siguientes trminos harn referencia a los siguientes perodos de tiempo.

Nmero de unidades de tiempo en un ao bancario

Ejemplo 5.- El inters simple de un capital inicial de s/. 1000 colocado durante un ao a una tasa de inters del 36% anual puede calcularse alternativamente con diferentes tiempos y tasas proporcionales. Solucin:

Trmino Perodo en

das

Ao

Semestre Cuatrimestre Trimestre Bimestre Mes Quincena Semana Da

Unidad Nmero Ao

Semestre Cuatrimestre Trimestre Bimestre Mes Quincena Da

Perodo Tasa de inters Inters

Anual (36/100) (1/ 1)= I=1000 0.36 1=360

Semestre (36/100) (1/2)= I=1000 0.18 2=360

Cuatrimestre (36/100) (1/3)= I=1000 0.12 3=360 Trimestre (36/100) (1/4)= I=1000 0.09 4=360 Bimestre (36/100) (1/6)= I=1000 0.06 6=360 Mes (36/100) (1/12)= I=1000 0.03 12=360 Quincena (36/100) (1/24)= I=1000 0.015 24=360 Da (36/100) (1/360)= I=1000 0.001 360=360



6

Ejemplo 6.-Convertir la tasa de inters simpledel 72% anual (TNA), a das, semanal, quincenal,mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral y semestral. Solucin:

Ejemplo 7.- Convertir la tasa de inters simple del 6% trimestral (TNT), a das, semanal, quincenal, mensual, bimestral, cuatrimestral y semestral, anual. Solucin:

Ejemplo 8.- Convertir la tasa de inters simple del 4.8% cuatrimestral (TNC), a das, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral y semestral. Solucin:



7

Ejemplo 9.-Calcule el inters simple de un capital de S/.2000 colocado en una institucin financiera desde el 4 de junio al 25 de noviembre del mismo

ao, a una tasa del 2% mensual (TNM). Solucin: Aplicando la frmula: I = P i n

I=? P= i = n = Ejemplo 10.- Qu capital colocado a una tasa anual del 24% (TNA) producir un inters de S/.3000 en el perodo comprendido entre el 18 de enero y 26 de febrero. Solucin: Aplicando la frmula: P = I / ( i n ) P=? I= i = n = Ejemplo 11.-Cul ser la tasa mensual de inters simple (TNM) de un

ahorro de S/.6000 a 55 das generando un inters de S/.300? Solucin: Aplicando la frmula: i =I / ( P n )

i =? P= n =

Ejemplo 12.- En qu tiempo podre triplicar un capital a una tasa mensual de inters simple del 4%(TNM)? Solucin: Aplicando la frmula: n = I / ( P i ) n = ? i = P= I=

Ejemplo13.-En qu tiempo (en meses) podre quintuplicar un capital a una tasa de inters simple del 18% trimestral(TNT)? Solucin: Aplicando la frmula: n = I / ( P i ) n = ? i = P = I = Ejemplo 14.-Cul ser la tasa mensual de inters simple (TNM) de un ahorro de S/.5000 a 135 das generando un inters de S/.480? Solucin: Aplicando la frmula: i =I / ( P n ) i = ? I = P = n =



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Problemas propuestos

Ejemplo 1.- Se deposita en un banco S/.2500 a una TNQ de 0,6%. Qu inters habr producido en 5 quincenas? Rpta:S/. 75 Ejemplo 2.- Hallar el inters cuatrimestral que produce un capital de S/.1 590 impuesto al 20%. Rpta: S/. 106 Ejemplo 3.- Calcular el inters que produce S/. 9 000 al 12% TNA en 20 das.

Rpta: S/. 60 Ejemplo 4.- Francis Pea deposit S/. 4 500 en el Banco Latino, a una tasa del 18% TNS. Cunto ha ganado en 1 bimestre? Rpta:S/. 270

Ejemplo 5.- El 20 de marzo se abri en el Banco del Oriente una cuenta con S/. 8 000 sujeto a una tasa nominal anual de 0,18. Cul es el inters

simple que gener la cuenta hasta el 15 de abril del mismo ao? Rpta:S/.104



9

Ejemplo 6.-Qu capital se debe depositar al 9% TNA para que nos genere un inters simple de S/. 1 035 dentro de 2 aos? Rpta: S/. 5 750

Ejemplo 7.- Yo quiero tener cada mes una ganancia de S/. 300. Qu cantidad de dinero colocar en el banco al 48% TNA? Rpta: S/. 7 500 Ejemplo 8.-Cul es el capital que durante 260 das, prestado al 3% TNB, genera un inters de S/.156?

Rpta: S/.1200 Ejemplo 9.-Qu inters producir un principal de S/.5 200 prestado al 3,5% TNB durante 7 aos y 5 meses? Rpta: S/.8 099

Ejemplo 10.- Hallar el inters que se obtiene al prestar un capital de S/. 10 800 al 13% TNT durante 2 aos, 3 meses y 20 das.

Rpta: S/. 12 948 Ejemplo 11.- Si en 10 meses el inters producido, por un capital de $900, es igual a $450; entonces cul es la tasa trimestral establecida en esta operacin? Rpta: TNT 15%



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Ejemplo 12.-Cul es el tiempo que estuvo impuesto un capital de S/. 144 000 al 25% anual, si ha producido un inters de S/. 200? Rpta: 2 das

Ejemplo 13.-En cunto tiempo podr duplicarse un determinado capital a una TNT de 15%? Rpta: 10bimestres Ejemplo 14.-Durante cuntos bimestres estuvo depositado un capital a una tasa nominal trimestral de 1,25% si el inters producido es el 60% del

valor del capital? Rpta: 72bimestres Ejemplo 15.-En la tienda MUNDO HOGAR, el precio al contado de un televisor es de S/.1 270. Alicia acude a esta tienda comercial y para adquirir el artefacto cancela S/.278 como cuota inicial; si el resto lo paga en 9 meses con un recargo de S/.186. Qu tasa nominal anual se aplic en dicho crdito? Rpta: TNA 25%



11

2 13/08

0 11/08

1 12/08

P=s/.2000

i=3%%

i=4%

1.3 Inclusin y exclusin de das cuando se produce

variaciones de tasas de inters Cmo debe de calcularse el inters cuando se produce variaciones de

tasas? Supongamos que una persona deposit en su cuenta de ahorros S/. 2000 el 11 de agostola tasa de 3% (TNM) y subi el 12 de agosto la tasa de 4% (TNM), y los retir el 13 de agosto, Qu tasa de inters debe aplicarse al depsito? En el diagrama observamos que del 11 al 12 de agosto la persona gan un da de inters a la tasa del 3%. La percepcin de la tasa del 4% corresponder a un slo da efectuado a partir del da 12 de agosto.

1.4 Variaciones en la tasa de inters Cuando en el mercado se produce variaciones de tasas, la frmula (1) debe modificarse para incluir dichas variaciones durante los perodos de tiempo de vigencia de la tasa.

Siendo las tasas de inters vigentes durante periodos respectivamente y observamos el siguiente diagrama: Para hallar el inters total tenemos que sumar el inters de cada perodo y tenemos:

Factorizando el principal la frmula de monto quedara de la siguiente: La frmula (5) calcula el inters simple con variaciones de tasa.

[ ]

i1n1

i2n1

i3n1

imn1

. . .

I 2 I 3 I m . . . I 1

P I=?

0 . . . n2n1

n1n1

n3n1

nmn1

. . .



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Ejemplo 15.- Calcular el inters simple de un depsito de ahorro de S/.2000 colocado en el Banco de la Nacin del 1 de julio al 1 de octubre del mismo ao ganando una tasa anual de inters simple del 24%(TNA). La

tasa bajo al 20% a partir del 18 de julio, al 24% a partir del 6 de agosto y sube al 28% a partir del 21 de setiembre. Solucin: Haciendo el anlisis mediante una lnea de tiempo tenemos: Calculando el inters simple del 1 de julio al 1 de octubre aplicando la frmula (5)


Ejemplo1.- Qu inters habr ganado una inversionista de S/.7200 colocado del 4 de mayo al 31 de agosto del mismo ao a una tasa mensual (TNM) de 2% la cual vari el 28 de mayo al 3%, el 15 de junio al 2.5% y por ltimo el 10 de agosto al 3.5%? Cul es la tasa acumulada? Solucin:

[ ]

01/07 06/08 18/07 21/09 01/10

i1= i2= i3= i4=

P= S/. I=?

n1 = n2= n3= n4 =



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Ejemplo 2.-Se ha suscrito un contrato de crdito por S/.10000 para pagarlo dentro de 12 meses con inters simple, a una tasa del 36% anual (TNA) y sujeta a las variaciones del mercado. Si al vencimiento de dicho contrato las

tasas anuales fueron: 36% durante 3 meses, 35% durante 2,5 meses, 34% durante 3,5 meses, 38% durante 2 meses y 36,5% el ltimo mes. Qu inters deber cancelarse al vencimiento del contrato? Solucin:

Ejemplo 3.-Una deuda de S/.4000 contrada el 18 de enero para ser

cancelada el 25 de febrero y pactada originalmente a una (TNA) del 36%, sufre las siguientes variaciones a partir de las siguientes fechas: da 25 de enero 3.5% (TNM), da 2 de febrero 10% (TNT), da 11 de febrero 24% (TNS) y 15 de febrero 14% (TNC). Qu inters se pagar al vencimiento? Ejemplo 4.-Cerrar el 30 de junio una cuenta corriente con intereses del 24% (TNA), que ha tenido el siguiente movimiento. Hallar el inters acumulado el 30 de junio

Movimiento Importe

1 de enero saldo dbito $15000

19 de febrero abono $12000

20 de febrero cargo $8000

18 de marzo abono $20000

30 de abril cargo $10000

20 de mayo cargo $8000

6 de junio abono $3000



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Solucin:

PROBLEMAS PARA LA CASA

Ejemplo 1.- Una deuda de S/. 2 000 contrada el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio y pactada originalmente a una (TNA) del 24%, sufre variaciones a partir de las siguientes fechas:

Da 12 de junio: 2,5% (TNM)

Da 24 de junio: 9% (TNT)

Da 03 de julio : 21%(TNS) Qu inters se pagar al vencimiento? Rpta: S/. 55

Ejemplo 2.-Qu inters simple habr generado una inversin de S/.2000 colocado del 3 de marzo al 28 de junio, del mismo ao, a una tasa mensual del 3%; la cual vari el 16 de abril al 2,8% y posteriormente al 2,6% el 16 de junio? Rpta: S/.222,67 Ejemplo 3.- Calcular el inters simple que habr producido un capital de S/. 5 000, si al ser colocado durante 5 meses, la tasa mensual fue del 3% durante los dos primeros meses y del 3,5% durante los 3 meses restantes. Rpta: S/. 825 Ejemplo 4.- El 26 de mayo una empresa coloc en un banco un principal de S/.1 000, a un plazo fijo de 90 das. Al trmino del plazo se conoce que

las tasas de inters fueron las siguientes:

Tasa Nominal

24% anual

6,5% trimestral

2,1% Mensual

A partir del 26/05 30/06 31/07

Calcular el inters simple acumulado al 24 de agosto. Rpta:S/.62,52



15

1.5 Variaciones en el principal (Numerales) Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc. Cambia continuamente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (abonos y cargos), el clculo del inters simple se verifica usando Numerales, es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y los nmeros de das de permanencia de ese saldo en movimiento. A una fecha determinada (fin de mes, bimestral, etc.) se obtiene el inters simple multiplicando la sumatoria de los Numerales por la tasa diaria. El siguiente diagrama muestra el movimiento de una cuenta de ahorros durante un perodo de tiempo.

Para hallar el inters total tenemos que sumar el inters de cada perodo y tenemos: Cada sumando de la expresin anterior representa una operacin de inters simple.

son saldos del capital original.

son los das de permanencia de los saldos De Factorizando la tasa de inters tenemos:

Cada sumando de la expresin entre los corchetes es un Numeral.

[ ]

P1

n1

P2

n1

P3

n1

Pm

n1

. . .

I 2 I 3 I m . . . I 1

0 n2

n1

n1

n1

n3

n1

nm

n1

. . .

i I=?



16

La frmula (6) calcula el inters simple aplicando numerales. Ejemplo 16.-Una persona abre una libreta de ahorros el 1 de mayo con S/.2500 y efecta a partir de esa fecha durante todo el mes de mayo las

siguientes operaciones detalladas en el cuadro siguiente. Qu inters habr acumulado al 1 de junio, si la tasa mensual de inters simple fue 2%(TNM)? Cunto ser el saldo?

Solucin:

Calculando el inters simple del 1 de mayo al 1 de junio aplicando la frmula (6)

Depsito Retiros

01 de mayo S/.2500 05 de mayo S/.470

09 de mayo S/.350 16 de mayo S/.280



25 de mayo S/.780

27 de mayo S/.100

Fecha del movimiento Saldo Das

de mayo D = P1 = n1 =

de mayo R = P2 = n2 =








de mayo D = P10 = n10 =



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Procedimiento bancario de clculo del inters simple a travs

de Numerales

1. Registramos los depsitos o retiros de ahorros, abonado o cargando respectivamente en la columna movimiento y establecemos los saldos acreedores de acuerdo a las fechas en que hayan efectuado estos movimientos.

2. Registramos los das de permanencia de la cuenta con el ltimo movimiento. Por ejemplo, el saldo inicial acreedor es de S/. 2500 ha permanecido 4 das con dicho importe, desde el 1 de mayo al 5 de mayo inclusive, ya que a partir del da 5 la cuenta registra un nuevo saldo acreedor de S/.2030.

3. Calculamos los Numerales multiplicado los saldos acreedores Pk por los das nkque la cuenta ha permanecido con ese saldo, y obtenemos la sumatoria de las operaciones acumuladas durante el mes, incluyendo el ltimo da del mes, esta cantidad as obtenida de S/.. viene a representar los numerales que servirn para el clculo del inters.

4. Hallamos el inters del mes, multiplicando la tasa diaria por los numerales acreedores.

Inters = (0.02/30) . = S/. El importe de S/. es el inters ganado por el ahorrista durante el mes de mayo y est disponible a partir del primer da til del mes siguiente. Cuando la institucin financiera abona los intereses del mes en la libreta de ahorro como el desarrollo en el presente ejemplo, est produciendo el proceso de capitalizacin, combinndose el inters simple con el inters compuesto.

Clculo del inters simple a travs Numerales

Fecha del D/R/I Importe

Movimiento Saldo Das Numerales

movimiento Debe Haber acreedor

-may

-may -may -may -may -may -may -may -may -may -jun

Totales

Multiplicador fijo:

-jun



18

1.6 Numerales con variaciones de tasa de inters Cuando existen variaciones de tasa de inters, el clculo del inters simple a travs de numerales debe efectuarse por tamos durante los perodos de tiempo que la tasa tuvo vigencia. Se muestra su aplicacin a travs del siguiente ejemplo. Ejemplo 17.- El 1 de noviembre cuando la tasa mensual (TNM) era de 3%, una persona abri una libreta de ahorros con un importe de S/.2000 y a partir de esa fecha efectu los siguientes depsitos: S/.500, 300 y 400 el 6, 9 y 20de noviembre; asimismo retir: S/.600 y 200 el 6 y 25 del mismo mes. Si la tasa bajo al 2% a partir del 16 de noviembre y la entidad financiera abona los intereses simples a la cuenta de ahorros el primer da del mes siguiente, Cul es el importe disponible del cliente el 1 de diciembre? Solucin:

Fecha del D R I

Importe Movimiento Saldo Das Numerales Tasa

diaria Inters

movimiento Debe Haber acreedor

-nov

-nov

-nov

-nov

-nov

-nov

-nov

-dic

Totales

-dic



19

Problemas propuestos Ejemplo 1 El 5 de mayo se abre una cuenta de ahorros con S/.2000 y se efectan depsitos de S/.700 y S/.450 los das 12 y 18 y un retiro de S/.385 el da 22 de mayo. La tasa

anual(TNA) pactada fue del 24% la cual subi al 29% a partir del 17 de mayo. Cul fue el inters simple acumulado y cul es el saldo disponible al 8 de junio? Solucin:

Ejemplo 2 El 1 de julio se abre una cuenta de ahorros con S/.15000 y se efectan

depsitos de S/.3000, S/.4850, S/.1000 los das 11, 15 y 25 de julio y un retiro de S/.9850 el da 20 de julio. La tasa anual(TNA) pactada fue del 48% la cual subi al 50% a partir del 18 de julio. Cul fue el inters simple acumulado y cul es el saldo disponible al 1 de

agosto? Solucin:



20

2. Monto, capital o stock final, valor futuro (S) El monto o importe capitalizado constituye la suma del capital inicial e inters, analizando el siguiente diagrama obtendremos el monto.

Pero sabemos que reemplazando en la frmula(7) tenemos:

Factorizando el principal la frmula de monto quedara de la siguiente:

En esta frmula la tasa de inters y el tiempo se refieren a una misma

unidad de tiempo y es el factor simple de capitalizacin a inters simple. De la formula (8) despejaremos i y n:

Ejemplo 18.- Qu monto habr acumulado una persona en una cuenta de

ahorros, del 15 de enero al 26 de febrero del mismo ao, percibiendo una (TNM) del 2%, si el depsito inicial fue de S/.4600? Solucin: S=? P= i = n= Aplicando la frmula: S= P (1 + in)

P

S

I

1 m 2 0



21

Ejemplo 19.- Un equipo electrodomstico cuyo precio al contado es deS/.7500 fue obtenido con un cuota inicial de S/.4000, entonces para pagar la diferencia lo financia con una letra a 55 das por el importe de

S/.7700. Cul fue la tasa mensual de inters simple (TNM)? Solucin:

i = ? P = S= n= Aplicando la frmula:

Ejemplo 20.- En que tiempo un capital de S/.5000 se habr convertido en un monto de S/. 2600 a una (TNM) del 3% de inters simple. Solucin:

n = ? P = S = i = Aplicando la frmula:


Ejemplo 1.- Habiendo colocado en una cuenta de ahorros de S/.3000 a una (TNA) del 24% Cunto se habr acumulado? a) al cabo de 46 das. b) al cabo de 46 das abonado los intereses al principal cada 30 das. Ejemplo 2.- Un electrodomstico tiene un precio al contado de S/.5000 pero

quiere adquirirse a crdito con una cuota inicial de S/.1000 y aceptando una letra de S/.2000 a 60 das Cul es la (TNA) cargada en este financiamiento?

Ejemplo 3.- En cuntos das una inversin de S/.7000 se convertir en un monto simple se S/. 7993,34 percibiendo una tasa de rentabilidad anual del 24%? Ejemplo 4.- Un capital colocado durante un cierto plazo al 4% (TNA) originara un monto de S/.14400. Colocado al 5% (TNA) y durante un ao menos el mismo capital dara un inters de S/.2400. Calcular el capital inicial.



22

2.1 Monto con variaciones de tasa

Cuando se produce variaciones de tasa analizamos el siguiente diagrama:

Aplicando:

Factorizando el principal obtenemos la siguiente frmula:

Ejemplo 21.- Un prstamo de S/.3700 fue pactado para ser devuelto dentro de 7 meses conjuntamente con los intereses generados por el principal original y calculados con la (TNA) del 2% el primer mes, 2.5% el segundo y tercer mes, 3% para los ltimos cuatro meses. Calcule el monto de esa operacin.

Solucin:

S = ? P =

i1 = n1= i2 = n2= i3 = n3=

Aplicando la frmula:

[ ]

[ ]

0

I 2 I 3 I m . . . I 1 I 4

i1n1

i2n1

i3n1

i4n1

imn1

. . .

P S=P+I

. . . n2n1

n3n1

n4n1

nmn1

n1n1

0 3 1 7

S=? P= S/.

i2= i3= i1=

n1 = n2 = n3 =



23

3. Principal, capital inicial, valor presente El valor presente P, de un importe con vencimiento en una fecha futura es aquel principal que a una tasa dada alcanzar en el periodo de tiempo contado hasta la fecha de vencimiento, un importe igual a su valor futuro. Se obtiene despejando P de la frmula (8)

En esta frmula (12) la tasa de inters y el tiempo estn expresados en la

misma unidad de tiempo y

es el factor simple de actualizacin a

inters simple. Ejemplo 22.- Encontrar el capital que impuesto a una tasa de una(TNM) del 2.5% durante 65 das, ha producido un monto de S/.1000. Solucin:

P = ? i = n = S = Aplicando la frmula:

Problemas propuestos Ejemplo 1.-Qu importe debe ser invertido a una (TNA) del 36% anual para capitalizar S/.5000 dentro de 105 das?

Ejemplo 2.- Un departamento ubicado en la Av. Mariscal Castilla es ofertado para su venta con las siguientes condiciones alternativas: a) S/.17500 al contado. b) S/.10000 cuota inicial y el saldo a 60 das con una letra de S/7700. c) S/.8000 cuota inicial y el saldo con dos letras, una de S/.6000 a 30 das y

otra de S/.3680 a 60 das. d) S/.6000 al contado y el saldo con tres letras e S/.4000 con vencimientos

a 30, 60, y 90 das cada una respectivamente. Si un cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede percibir una (TNA) del 20% Cul es la oferta ms conveniente? Explique.

i

P=? S=

0 n_periodos



24

4. Ecuaciones de valor equivalente a inters simple Dos o ms importes de dinero ubicados en diferentes momentos de tiempo son equivalentes cuando sus valores presentes calculados con una misma tasa de inters simple, son iguales. Si dichos importes coinciden cronolgicamente y estn expresados en la misma unidad monetaria, entonces, en ese punto del tiempo podr sumarse o restarse. En el inters simple, si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en otro momento, tal como s ocurre con el inters compuesto que se aclarara en el siguiente captulo. Ejemplo 23.- Determinar si los importes de S/. 530 yS/.570 al final de los meses 3 y 7 respectivamente son equivalentes en el presente. Utilice una (TNA) de 24%. Solucin:

S1 y S2 son equivalentes en el momento 0 porque sus valores futuros descontados a la (TNA) del 24% originan un mismo valor presente de S/.500. En las operaciones mercantiles, suelen presentarse situaciones en las cuales deudores y acreedores por convenir a sus intereses se ponen de acuerdo en cambiar las condiciones pactadas originalmente, generando nuevas relaciones contractuales, tal como sucede en:

- Refinanciacin de deudas. - Sustitucin de varias deudas que vencen en fechas diferentes, por un

slo pago. - Pagos adelantados en relacin a una o varias fechas de vencimiento. - Prorrogas de vencimiento de plazos pactados, etc.

Para el clculo de equivalencia de capitales a inters simple es necesario fijar una fecha focal (fecha de evaluacin) y plantear una ecuacin de equivalencia donde se ponga en igualdad las condiciones originales y las nuevas condiciones, luego despejar la incgnita planteada.

0 1 2 3 4 5 6 7

P = ? Fecha focal

S1=S/.530 S2=S/.570



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Ejemplo 24.-Mathias tom en prstamo S/.10000 para devolverlos dentro de 180 das pagando una tasa de (TNM) del 2.4%. Si durante dicho perodo paga S/.4000 el da 35 y S/.2000 el da 98. Cunto deber pagar el da

180 para cancelar su deuda? Tomando como fecha focal el da 180. Solucin: Ecuacin de valor equivalente tomando como fecha focal el da 180.

Establecemos una ecuacin de valor equivalente en el da 180, capitalizando la deuda original e igualndola con la suma de los pagos

parciales capitalizados y el importe a calcular. Total de pagos efectuados:.. Puede notarse la diferencia entre el mtodo a) que arroja un pago total de S/..y el mtodo b) que arroja el importe de S/..

Ejemplo 25.- En la fecha, la empresa AGROCASAtiene 3 deudas con el Banco Continental por S/.5000, 8000, y 9000 las cuales vencen dentro de 20, 45 y 60 das respectivamente. Si la empresa negocia con el Banco Continental efectuar un pago nico de S/.22000. En qu fecha debe efectuarlo considerando una (TNA) de 20%? Solucin: Para el desarrollo del presente problema es necesario efectuar la equivalencia en la fecha del ltimo vencimiento. Con los presentes datos la equivalenciaen el da 60.Para hallar la fecha que debe efectuar el pago nico analizaremos en el siguiente diagrama:

P= S/.

98 180 35 0

S/. S/. S/.X



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Con el pago deS/.22000 la deuda total quedar cancelada.das antes del da 60.

Problemas propuestos Ejemplo 1.-Una empresa contrae una deuda de S/.50000 para pagarla dentro de 6 meses al 80% (TNA). Pero una vez transcurridos 3 meses decide adelantar S/.30000 para disminuir la carga al final del plazo hallar la cantidad necesaria para cancelar la deuda al final.

45 20 60 0

S/. S/.



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Ejemplo 2.- El da de hoy una empresa tiene una deuda de S/.8000 la misma que vencer dentro de 36 das y otra deuda de S/.12000 con vencimiento dentro de 58 das. Propone a su acreedor cancelarlas con dos

pagos iguales dentro de 45 y 90 das respectivamente. Cul ser el importe de cada pago si el acreedor requiere una (TNA) del 24% y la evaluacin debe efectuarse tomando como fecha focal el da 90? Ejemplo 3.- Desarrolle el ejemplo 2 tomando como fecha focal el da 45.

Ejemplo 4.- El 26 de mayo la empresa Karitos solicito un prstamo de S/. 5000 para cancelarlo dentro de 90 das a una (TNA) del 24%. El 16 de junio amortiz S/.2000 y el 11 de julio amortiz S/.1500 Cul es la fecha de vencimiento y que importe deber cancelar al vencimiento del plazo?



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Ejemplo 5.-Fiorella tiene las siguientes obligaciones: S/.100000 dentro de 50 das al 60% (TNA); S/. 200000 dentro de 3 meses al 58% (TNA) y S/.500000 a pagarse dentro de 6 meses al 56% (TNA). Sin embargo, ella

pacta con su acreedor para cancelar sus deudas en 2 pagos iguales, el primero dentro de 4 meses y el segundo dentro de 8 meses. Hallar el importe de los pagos, si el acreedor espera un rendimiento del 65%. Ejemplo 6.-Resolver el ejemplo 5 anterior para tres pagos iguales que realizarn al final del 3er, 6to y 9nomes. Hallar el importe de cada pago.

Ejemplo 8.-Una persona debe S/.20000 con vencimiento a 3 meses y S/.16000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un ao, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagars con el 8% de rendimiento. (Tome como fecha focal la fecha dentro de un ao)

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