INTERES COMPUESTO

INTERES COMPUESTOEs aquel que se adiciona al capital inicial de forma tal que los intereses sucesivos se computan sobre el nuevo monto capitalizado.

El interés compuesto incorpora el concepto de interés simple. Trata de una sucesión de operaciones de este último en los que el capital inicial varia de periodo a periodo por el efecto de las continuas capitalizaciones

INTERES COMPUESTOPara el cálculo del interés compuesto se deben tener en consideración:

La tasa nominal anual: ……………………… j La tasa efectiva del periodo capitalizable:……. i El # de días del periodo capitalizable:………. fEl # de periodos de capitalización en el año:… m (se halla dividiendo el # de días del año bancario (f)El horizonte de tiempo:…………………........ H(# de días de la operación) El # de periodos capitalización en el tiempo:... n (esta dado por el cociente H/f)

DEDUCCION DE LA FORMULA DEL MONTOConsideremos el ejemplo que se utilizo para calcular el interés simple, Un fabricante de calzado ha adquirido un préstamo de S/. 1,000 del Bco. Financiero, la tasa de interés que le cobra dicho banco es de 10% anual y el préstamo será cancelado en un periodo de 3 años

N° de años (n)

Capital a inicio de año (P)

Interés ganado en el año (I)

Monto al final del año (S)

1 1,000.00 1,000 x 0.10 = 100 1,100.00

2 1,100.00 1,100 x 0.10 = 110 1, 210.00

3 1,210.00 1,210 x 0.10 = 121 1,331.00

Esta forma de calcular el monto es laboriosa

Sea P un capital invertido a una tasa de interés i por periodo de capitalización. Se desea obtener el monto S al cabo de n periodos de capitalización.

N° de periodo de capitaliza ción (n)

Capital al inicio del periodo (P)

Interés ganado en el periodo (I)

Monto al final del periodo(S)

1 P Pi S1 = P + Pi = P(1 + i)

2 P(1 + i)

P(1 + i).i

S2 = P(1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i)= P(1+i)

2 3 P(1+i) 2 P(1+i) 2 i S3= P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)2 (1+i)=

P(1+i)3

n P(1+i)n-

1P(1+i)n.1

.iSn= P(1+i)n-1+ P(1+i)n-1i = P(1+i)n-1 (1+i)= P(1+i)n

DEDUCCION DE LA FORMULA DEL MONTO

S = P (1 + i ) n

De la tabla anterior se deduce que la formula del monto es:

En esta formula, necesariamente (i) como (n) deben estar expresados en la mismas unidades de tiempo, es decir, si (i) se expresa en años, (n) también deberán ser en años, y así sucesivamente para otros periodos de tiempo.

DEDUCCION DE LA FORMULA DEL MONTO

FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACION - FSC

S = P. FSC i,n

Al término (1+i)n se le denomina FSC a interés compuesto y por tanto la formula se puede representar así:

La función del FSC es llevar al futuro cualquier importe del presente a traer al presente cualquier importe del pasado.

P = S(1+i) -n

De la ecuación del Monto se derivan las sgtes formulas:

i = (S/P) 1/n - 1

n = Log (S/P) Log (1+i)

Ejemplos:

1.- Calcule el monto de un capital inicial de S/. 2,000, colocado a 5 años a una tasa efectiva anual del 18%.

2.- A que tasa efectiva mensual un capital inicial de S/. 10,000, se convirtió en un monto de S/. 10,519.24, si se coloco en un banco desde el 05/08 al 15/11 del mismo año.

3.- En cuanto tiempo un capital de S/. 10,000, se habrá convertido en un monto de S/. 10,300, si dicho capital inicial se coloco en un banco y percibe una tasa efectiva anual de 8%.

Respuestas:

1.- El monto de la operación asciende a la suma de S/. 4,575.51.

2.- Se aplico la tasa efectiva mensual del 1.5 %

3.- El periodo de la operación es de 138 días.

MONTO: VARIACIONES DE TASAS

Cuando en el mercado se producen variaciones de tasas, la formula de Monto debe modificarse para incluir dichas variaciones durante el proceso de tiempo de vigencia de la tasa.

S = P ( (1 + i1) n1 (1 + i2) n2 (1 + i3) n3 .... (1 + in) nz )

Corresponde a la tasa de interes acumulada

m

S = P ╥ (1 + ik ) nk

k=1

La expresión también puede representarse como:

Ejemplo:Se requiere calcular el monto compuesto que origino un deposito de ahorro de S/. 8,000, colocado a plazo fijo en el banco sudamericano del 02/07 al 30/09 del mismo año, con una tasa efectiva anual de 24%. En ese plazo la tasa efectiva anual que originalmente era de 24% bajo a 22% el 15/07 y a 20% el 16/09.Solución:

S =? P = S/. 8,000

A partir de I anual dias

2/715/716/930/9

I1 = 24%I2 = 22%I3 = 20%cancelac

n1 = 13n2 = 63n3 = 14 90

S = P( (1 + i1)n1 (1 + i2)n2 (1 + i3)n3 )

S = 8,000( (1+0.24)13/360 (1+0.22)63/360 (1+0.20)14/360 )S = 8,000 (1.050910671)S = S/. 8,407.28

Respuesta: El monto de la operación asciende a S/.8,407.28

MONTO: VARIACIONES DE TASAS

Cuando una cuenta de ahorros se modifica por depósitos y retiros y devenga una tasa de interés variable, el cálculo del monto compuesto debe efectuarse por tramos, de acuerdo con las variaciones en el principal y en la tasa.

Ejemplos: El 11/07 se abrió una cuenta bancaria con un depósito de S/. 5,000, que devenga una TEA de 10% y a partir de esa fecha, se efectuaron los siguientes cambios:

Solución:

S 1 = 5,000 (1+0.10)21/360 – 2,000 = 5,027.88 – 2,000 = 3,027.88S 2 = 3,027.88 (1+0.10)46/360 = 3,064.98S 3 = 3,064.98 (1+0.12)45/360 = S/. 3,108.71

 Respuesta: El monto de la operación que se genero es de S/.3,108.71

fecha Operacion 1/8 16/9 31/10

RetiroCambio de tasacancelacion

2,000 12 %

Se requiere calcular el monto en la fecha de cancelación de la operación

------------------- TEA1 = 10% --------------------------------- --------------- TEA2 = 12% --------------------------

h1 = 21 d. h2 = 46 d. h3 = 45 d.

11/7 1/8 16/9 31/10

P0 = 5,000 P1 = 2,000

MONTO EN FUNCION DE LA TASA NOMINAL

Se calcula con la siguiente formula:

Si i = j / m, donde: i = tasa efectiva j = tasa nominal

m = # de periodos que capitaliza la tasa nominal en su respectivo plazo

y m= F/f, donde: F = plazo de la tasa nominal f = plazo del periodo capitalizable

1

S = P(1 + j/m) n

Ejemplo:Calcular el monto que rindió un capital de S/. 2,000, en el plazo de medio año, el mismo que se coloco a una TNM de 2% capitalizable cada quincena.

El monto que rindió la operación es la suma de S/. 2,253.65.

Respuesta:

CALCULO DEL CAPITAL INICIAL De la ecuación del Monto (S), despejamos P :

P = S (1 + i) -n

Al término (1+i) -n se le denomina FSA a interés compuesto y la formula se puede representar así:

P = S. FSA i,n

La función del FSA es traer al presente cualquier cantidad futura o llevar al pasado cualquier cantidad del presente

Ejemplos:

Cuanto debo depositar hoy día para que en al termino de 3 años, obtenga la cantidad de S/. 6,000, suponiendo que el Banco de Finanzas paga el 7% anual capitalizable cada 30 días

Respuesta:

Hoy debo depositar la cantidad de S/. 4,866.47

CAPITAL INICIAL: con variaciones de tasas

Cuando la tasa de interés por periodo varia, la formula del capital inicial (P) se modifica de la siguiente manera:

P = S . (1 + i1) n1 (1 + i2) n2 ….... (1 + in) nz

Ejemplo:Un pagare con valor nominal de S/. 5,000 y vencimiento dentro de 90 días es descontado automáticamente hoy, aplicando una TNA del 36% con capitalización mensual. ¿Cuál será el importe a cancelar al vencimiento , si la tasa anual bajo al 24% después de 45 días

Respuesta:

El importe a cancelar es de S/.

CALCULO DEL INTERES De la ecuación I y S , se despeja la siguiente formula:

I = P ( (1 + i) n - 1)

I = P (1 + i) n – 1

Y de la ecuación de (I) , despejamos P , i y n:

i = ((I / P)1/n + 1) - 1

n = log (I/ P + 1) log (1 + i)

Ejemplos:- Calcule el interés compuesto ganado en un

semestre por una inversión de S/. 6,000, colocado a una TNA del 18% con capitalización bimestral

- Cuanto debo colocar en una entidad financiera que paga una tasa efectiva anual del 10% , en un plazo de 36 días, para obtener un interés compuesto de S/. 1,000?

- Cual es la tasa efectiva mensual cargada en una compra de una maquinaria cuyo precio de contado es de S/. 2,000, la cual ha sido financiada con una letra a 60 días por un importe de S/. 2,250.

ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE:

En el interés compuesto dos capitales ubicados en diferentes momentos de un horizonte temporal son equivalentes si a una fecha determinada sus respectivos valores( capitalizados, actualizados, o uno capitalizado y otro actualizado, etc.), aplicando en todos los casos la misma tasa de interés son iguales.

Ejemplo:

Considerando una TEM del 5% y los capitales de S/. 1,050 y S/. 1,102.50 ubicados al final del mes 1 y final del mes 2, se puede demostrar las siguientes equivalencias financieras:

S1 = 1,157.63 S2=1,157.63 S1 = 1,050 S2= 1 ,102 .50

0 1 2 3 meses P= 1,000 P= 1,000

Equivalencia financiera descontando los flujos:

Los montos S1 y S2 son equivalentes en el momento 0 por que sus valores descontados con la tasa i, son iguales (S/. 1,000)

1,050 / 1.05 1 = 1,0001,102.50 / 1.05 2 = 1,000

Equivalencia financiera capitalizando los flujos:

Los montos S1 y S2 son equivalentes en el momento 3 por que sus valores capitalizados con la tasa i, son iguales (S/. 1,157.63)

1,050 (1.05 1 ) = 1,157.631,102.50 (1.05 2 ) = 1,157.63

Equivalencia financiera capitalizando P y descontando S3:

Los importes P y S3 son equivalentes en el momento 2 por que sus valores capitalizados y descontados respectivamente con la tasa i, son iguales (S/. 1,102.50)

1,000 (1.05 2 ) = 1,102.501,157.63 (1.05 -1 ) = 1,102.50

Equivalencia financiera descontando S! al momento 0:

El monto S1 es equivalente a P por que sus valor descontado a la tasa i, es igual a P (S/. 1,000)

1,050 (1.05 -1 ) = 1,000