Interactuantes 06

8/12/2019 Interactuantes 06

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Sistemas Interactuantes

Los procesos de ordenes superiores son clasificados en no ineractuantes e

interactuantes.Nivel (No interactuantes)

Donde, f(t) = flujo a travs de la vlvula, m3/sC v = coeficiente de la vlvula, m3/s-Pa1/2P(t) = cada de presin a travs de la vlvula , PaG f = gravedad especifica del liquido, sin dimensiones


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Como los tanques estn abiertos a la atmosfera y las vlvulas descargan a

presin atmosfrica, la cada de presin a travs de la vlvula es:

dondeP,(t) = presin aguas arriba de la vlvula, Pa

P d = presin aguas abajo de la vlvula, PaP a = presin atmosfrica, Pa = densidad del liquido, kg/m3 g = aceleracin de la gravedad, 9.8 m/s2h(t) = nivel del liquido en el tanque, m

La ecuacin de la vlvula es:


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Se desea conocer como el nivel en el segundo tanque, h 2 (t) , es afectado por el

flujo de entrada en el primer tanque, f i (t), y el flujo de la bomba f o (t).Un balance de masa en estado no estacionario para el primer tanque da:

Velocidad de entrada - Velocidad de salida = Velocidad de acumulacin

de masa al tanque de masa al tanque de masa en el tanqueEn ecuacin:

Donde, mi(t), es la masa de liquido acumulada en el tanque, kg. La cuapor:

Donde,A 1 = rea transversal del primer tanque , mh 1 (t) = nivel del liquido en el primer tanque, m


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Proceso Trmico

Un balance en estado no estacionario del contenido del tanque, volumcontrol, da la relacin deseada entre las temperaturas de entrada y salida.

Velocidad de entrada - Velocidad de salida = Velocidad de acumulacinde energa al tanque de energa del tanque de energa en el tanque

En forma de ecuacin,

donde, f = flujo de volumtrico, m3/s i , = densidades de entrada y salida del lquido, kg/m3V = Volumen de lquido en el tanque, m3h i (t), h(t) = entalpias de entrada y salida del lquido, J/kgu(t) = Energa interna de lquido en el tanque, J/kg


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Proceso Trmico

Para temperaturas, utilizando como estado de referencia para u(t) and h(t) elcomponente liquido en estado liquido a 0 F y la presin del sistema, la eanterior se puede escribir como:

Donde, C pi , C pi = Capacidad calorfica de entrada y salida del lquido a presconstante, J/kg- C

C v = Capacidad calorfica del lquido a volumen constante J/kg- CT i ,(t), T(t) = Temperaturas de entrada y salida, C

Si consideramos las densidades y capacidades calorficas constantes dentrango de operacin de las temperaturas la ecuacin anterior se puede escomo:

(1) 1 ec. 1 incog. [ T(t) ]

Esta ecuacin es diferencial lineal ordinaria de primer orden que relacio

temperaturas de entrada y salida.


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Proceso Trmico

En la ecuacin anterior hay solo una incgnita, T(t). La temperatura de entrada

es una variable de entrada que hace que la temperatura de salida cambieeste proceso, se quiere conocer como T i ,(t) afecta T(t) , nosotros como cambila temperatura de entrada, por lo cual no es una incgnita.

La ecuacin anterior es el modelo matemtico de este proceso. Su soproduce la respuesta de la temperatura en funcin del tiempo. La tempea la entrada es la variable de entrada y se referencia como funcin de fuporque es la variable que forz la temperatura de salida a cambiartemperatura de salida es la variable de salida y se referencia como variabrespuesta porque es la variable que responde a la funcin de fuerza.

Para resolver esta ecuacin se efecta un cambio de variable para faciliobtencin de la funcin de transferencia .

Haciendo un balance de energa del contenido del tanque en estado estabcondiciones inciales, tenemos:

(2)


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Proceso Trmico

Reemplazando :

(3)Esta es la ecuacin diferencial del proceso en variables de desviacin.

Las variables de desviacin son muy utilizadas en la teora de control. Y

importantes en el diseo de sistemas de control de procesos. Su valor ingrado de desviacin del estado estable inicial (puede ser el valor deseaeste estado se elige como cero, simplifica la solucin de las ecuadiferenciales por la transformada de Laplace.

La ecuacin (3) puede arreglarse as:

Si definimos


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Proceso Trmico

Reemplazando :

(4)tiene unidades de tiempo.

Aplicando la transformada de la place a la ecuacin (4):

El valor inicial de la temperatura T(0) es a , as(0) = 0. Por lo tanto:(5)o

(6)Esta es la transformada deseada, es de primer orden ( Atraso de primer o


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Proceso Trmico

El nombre de funcin de transferencia proviene de que la solucin de la

traslada o transfiere la entrada i(t) a la salida (t) .Si suponemos que la temperatura Ti(t) se incrementa por M C. Es temperatura de entrada tiene un cambio escaln de M grados de maMatemticamente esto es:

En variables de desviacin

Donde u(t) , representa un cambio escaln de magnitud la unidad

En transformada de Laplace, se tiene:


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Proceso Trmico

Substituyendo la expresin anterior en ecuacin (5),

Utilizando el mtodo de fracciones parciales se tiene:

Los valores de A y B por fracciones parciales y se invierte para hallar la sen funcin del tiempo.

O


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Proceso Trmico

Al comienzo se da la mayor pendiente de la curva de respuesta, lo cual een la respuesta de un sistema de primer orden a un cambio escaln en la eComo K es la unidad, el cambio total en la salida es M C.

Si t = ,

Para un cambio escaln en la variable de entrada, la constante de tiemindica el tiempo necesario para que la variable de salida alcance el 63.2%cambio total. En cinco constantes de tiempo se alcanza el 99.7 % del total. Depende delas propiedades fsicas y las condiciones de operadems esta relacionado con la velocidad de respuesta del proceso.


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Proceso Trmico

En ejemplo anterior se consideraba que el tanque estaba bien aisladoperdidas de calor con los alrededores eran despreciables. Por tantoapareca el calor perdido en el balance de calor. Si quitamos esta conside y desarrollamos el modelo matemtico y las funciones de transferencrelacionan las temperatura de salida, T(t) , con la temperatura de entrada ,T i (t) , y la temperatura de los alrededores, T s (t) ; tenemos:

Utilizamos los mismos estados de referencia para entalpias y energas intEl balance de energa en estado no estacionario es:

O

(7) 1 ec. 1 incog. [T(t) ]Donde, q(t) = Velocidad de transferencia de calor a los alrededores, J/s

U = coeficiente global de transferencia de calor , J/ m2 -K-sA = rea de transferencia de calor, m2

T s (t) = temperatura de los alrededores, C, una variable de entrada

P T i


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Proceso Trmico

El coeficiente de transferencia de calor, U , depende de muchas cosas una dellas la temperatura, en este ejemplo se supone constante.Debido a que la masa de liquido en el tanque y su densidad se suconstantes la altura del liquido es constante, en consecuencia el retransferencia de calor, A, tambin es constante.

La ecuacin (7) es el modelo matemtico del proceso , restando de eecuacin de balance de energa en estado estable , como en el ejemplo anse tiene:

(8)

Definiendo una nueva variable de desviacin:

Remplazando en la ecuacin (8):

Ecuacin diferencial lineal ordinaria de primer orden.


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Proceso Trmico

En este ejemplo, tambin hay una ecuacin y una incgnita T(t), lavariable la temperatura de los alrededores T s (t) , la cual es otra entrada. Loscambios en esta temperatura afectan las perdidas de calor y en consecuentemperatura del liquido.La ecuacin (8) se puede reorganizarse as:

o

(9)

donde,

sin dimensiones y sin dimensione

+

+


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Proceso Trmico

El lado derecho de la ecuacin (9), muestra que las dos variables de enT i (t) y T s (t) actan sobre la variable de salida T(t) . Tomando la transformadasde Laplace, se obtiene:La ecuacin (8) se puede reorganizarse as:

El valor inicial de la temperatura T(0) es a , as( 0) = 0 , Por lo tanto:

Si la temperatura de los alrededores es constante, T s (t) = , as s (t) = 0 , yla funcin de transferencia que relaciona la temperatura del proceso y laentrada es:

Si la temperatura del liquido es constante, T i (t) = , as i (t) = 0 , y la funcinde transferencia que relaciona las temperaturas del proceso y los alrededes:


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Proceso Trmico

El valor inicial de la temperatura T(0) es a , as( 0) = 0 , Por lo tanto:Aqu, las ganancias de estado estacionario (ganancias de proceso) K1 y K2, noson la unidad. Si suponemos que la temperatura T i(t) se incrementa por M C,As:

La respuesta de la temperatura a esta funcin de fuerza es dada por :

De lo cual:

O

El cambio total en T(t) es dado por K1M. La ganancia que tanto cambia la salpor unidad de entrada, o en que proporcin la entrada afecta la salida. Es

la ganancia define la sensibilidad relativa de la salida a las variables de en


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Proceso Trmico

La ganancia tambin puede definirse matemticamente como:

La ganancia es otro parmetro que describe las caractersticas del procesolo tanto, K , depende de las propiedades fsicas y delas condiciones de operdel proceso. En este ejemplo hay dos ganancias, K1 relaciona la temperasalida con la temperatura de entrada y K2 relaciona la temperatura de sal

la temperatura de los alrededores.


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Resumen

El procedimiento para desarrollar las funciones de transferencia .

1. Escriba un conjunto de ecuaciones en estado no estacionario que descproceso. Modelamiento.

2. Escriba un conjunto de ecuaciones en estado estable a las condicinciales.3. Reste los dos conjuntos de ecuaciones y defina las variables de desviac

4. Obtenga las transformadas de Laplace del modelo en variables de desv5. Obtenga las funciones de transferencia resolviendo explcitamente

transformadas de Laplace para las transformadas de las funciones de sal


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Gas en un Tanque

Un ventilador sopla aire dentro de un tanque, y del tanque el aire fluye ade una vlvula. Se considera que el flujo de aire que proviene es dado por

(10)Donde, f i (t) = flujo de gas en pies3/min a condiciones estndar de 60 F y 1 a

m i (t) = seal al ventilador, %

El flujo a travs de la vlvula es dado por: (11)Donde, f o (t) = flujo de gas en pies3/min a condiciones estndar (scf/min)

m o (t) = seal a la vlvula, % p(t) .= presin en el tanque, psia p 1 (t) = presin aguas abajo de la vlvula, psia


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Gas en un Tanque

El volumen del tanque es 20 pies3, y se supone isotrmico 60 F. Las condicioinciales de estado estable son:

Desarrollar el modelo matemtico, la funcin de transferencia y el diagrbloques que relacionan la presin en el tanque con los cambios a la ventilador, m i (t) ; la seal a la vlvula, m o (t) y la presin agua abajo, p 1 (t).

El balance molar en estado no estacionario alrededor del volumen de contventilador, tanque y vlvula de salida, es:

Velocidad de entrada - Velocidad de salida = Velocidad de acumulacin

de moles al Vol. Crtl de moles al Vol. Crtl de moles al Vol. CO (12) 1 ec. 3 incog. [f i (t), f o (t), n(t) ]

Donde , = densidad molar del gas a condiciones estndar , 0.00263 lbmn(t) = moles de gas en el tanque, lbmoles


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Gas en un Tanque

De la ecuacin (10) tenemos, 2 ec. 3 incog. Y De la ecuacin (11) teec. 4 incog. [ p(t) ]. Como m i (t) y m o (t) son seales de entrada, que podemdefinir como cambian , no se consideran incgnitas.

Como la presin en el tanque es baja , podemos utilizar la ecuacin de gpara relacionar el numero de moles en el tanque con la presin :

(13) 4 ec. 4 incog.

Las ecuaciones (10) a (13) son el modelo matemtico para este proceecuacin (11) no es lineal, y la transformada de Laplace se aplicaecuaciones lineales; por lo tanto se deben linealizar todos los trmin

lineales utilizando expansiones en series de Taylor.Because f o (t) = f o [m o (t) ,p(t) , p 1 (t) ], su linealizacin se hace con respectom o (t) , p(t) y p 1 (t) cerca de sus valores de estado estable.


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Gas en un Tanque

O (14)

Donde, (15)

(16)

(17)

y (18)

Las ecuaciones (10), (12), (13) y (14) son ecuaciones lineales y descproceso, cerca de los valores de linealizacin.

Despejando n(t) en la ecuacin (13) y reemplazando en la ecuacin (12) :

(19)


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Gas en un Tanque

El sistema se redujo a las ecuaciones (10), (14) y (19) con las incgnit f i (t),f o (t) y p(t).

El balance molar en estado estable alrededor del tanque es:

Restando esta expresin de la ecuacin (19):

(20)

Las variables de desviacin son :

Sustituyendo en (20) las variables de desviacion:

(21)


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Gas en un Tanque

Escribiendo la ecuacin de estado estable del ventilador y restndola de (1(22)

Donde,

Restando a los dos lados de la ecuacin (14) :

(23)Donde,

Reemplazando (22) y (23) en (21), y tomando transformadas de Laplace:

Donde,


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Gas en un Tanque

Se obtiene las funciones de transferencia deseadas:

,

Reemplazando los valores de estado estable:


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Resumen

El procedimiento para desarrollar las funciones de transferencia .

1. Escriba un conjunto de ecuaciones en estado no estacionario que descproceso. Modelamiento.

2. Lenalizar el modelo si es necesario.3. Escriba un conjunto de ecuaciones en estado estable a las condicinciales.4. Reste los dos conjuntos de ecuaciones y defina las variables de desviac5. Obtenga las transformadas de Laplace del modelo en variables de desv6. Obtenga las funciones de transferencia resolviendo explcitamente

transformadas de Laplace para las transformadas de las funciones de sa


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Efecto de las no linealidades del proceso

El comportamiento lineal o no lineal es una de las caractersticasimportantes del proceso. Para entender su significado recordemos el prtrmico presentado anteriormente, en el cual dado que el flujo, F, es conslas ganancias K1 y K2, son constantes en todo el rango de operacin.

y

Es decir, sus valores numricos no cambian sin importar las condiciooperacin. La constante de tiempo, , tambin es constante. Si los parmetros que describen las caractersticas del proceso son constantes, el comportamiento del proceso tambin es constante. Es decir, el proceso responder de la mismmanera, sensibilidad y velocidad en cualquier punto de operacin. Un proestas caractersticas se denomina lineal.

Como el controlador debe ser sintonizado o adaptado al proceso para obtener el desempeo de control adecuado, si el comportamiento del proceso es lineal, al hallar los parmetros ptimos de sintonizacin en un punto, estos sern ptimos en todo el rango de operacin.

+


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Para el ejemplo del gas en un recipiente, las ganancias K 1 , K 2 y K 3 dependen deC

1 , C

2 y C

3 ; cuyos valores numricos dependen de alrededor de los cu

la funcin,f 0 (t), fue linealizada.

La constante de tiempo, , depende de C 2.. Lo cual, significa que los valoreslos trminos que describen las caractersticas del proceso, su prcomportamiento dependen de las condiciones de operacin. proceso cocaractersticas se denomina no lineal , (la mayora de los procesos qumicos).


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(a) (b)

(c) (d)

Si la presin en el tanque varia entre 25 y 75 psia, manteniendo elconstante, variando la seal a la vlvula de salida y conservando lacondiciones del proceso en su estado estable . Esto sucede cuando el pdebe operar a diferentes presiones. En la figura (a) K 1 cambia por un factor de 4en la figura (b) K 2 cambia por un factor de 10, en la figura (c) K 3 cambia muy poco y en la figura (d) cambia por un factor de 5.


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El comportamiento no lineal de un proceso es muy perjudicial para su coel comportamiento del proceso cambia con las condiciones de operacontrolador debe ser resintonizado o adaptado, para mantener un odesempeo. Con frecuencia lo mejor que podemos hacer es sintonizar el controlador para lograr el mejor desempeo a las condiciones de diseo y un desempeo aceptable dentro de un cierto rango de condiciones de operacin.

El tiempo muerto tambin depende de las condiciones de operacin.

En la ecuacin si q (m3/s) varia, el tiempo muerto tambin lo hace.

Por todo lo anterior, todos los trminos que describen el comportamienproceso son funcin de las condiciones de operacin.

Las caractersticas de no linealidad no son deseables en proceso, pero

desafortunadamente son muy comunes en la realidad

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