.integrals1

LA INTEGRAL

05

Com podem calcular rees o volums de gures que no tenen els costats rectes? O de gures que, a ms de no tenir els costats rectes, no podem relacionar amb un cercle o amb una esfera? Qu passa si sn gures o cossos irregulars que no podem descompondre en gures ms senzilles i conegudes, de les quals s que tenim la frmula per calcular-ne lrea o el volum?

BLOC 1

M2B_97884481_ud_05.indd 139 21/11/08 12:12:21

140 BLOC 1. FUNCIONS05

j 5.1 El problema de lreaEn la gura 5.1 hi ha representada una funci f (x) contnua en un interval tancat [a, b]. La gura limitada per la grca de la funci en aquest interval, les ordenades corres-ponents als extrems de linterval i el segment de leix OX corresponent a linterval, no s una gura geomtrica coneguda. Com sen calcula lrea?

Per calcular lrea A procedirem per aproximaci.

Posem condicions prvies:

1a: f (x) contnua i montona, creixent o decreixent, en tot linterval [a, b].

2a: f (x) no negativa per a tot x [a, b].

Considerem f (x) creixent en aquest cas. Valdria un rao-nament semblant al que fem a continuaci si f (x) fos decreixent.

Una primera aproximaci de lrea es pot obtenir se-guint el procediment segent:

Dividim linterval [a, b] en 4 parts iguals, o subin-tervals, i considerem cadascun daquests subintervals iguals com a base els rectangles i, com a altura, el va-lor ms petit de f (x) (g. 5.2). La suma de les rees daquests rectangles s una aproximaci per defecte de lrea A.

Aquesta suma drees lanomenem suma inferior i la representem per si. Aix:

s x x f x x x f x x x f x xi 1 0 0 2 1 1 3 2 2 44 3 3 x f x

De manera semblant podem considerar la suma de les rees dels rectangles que estan per sobre de la corba (g. 5.3). Tenen la mateixa base que els anteriors per laltura s el valor ms gran de f (x) en cada subinterval. La suma de les rees daquests rectangles s una aproximaci per excs de lrea A.

Fig. 5.3

Aquesta suma drees lanomenem suma superior i la representem per Ss. Aix:

S x x f x x x f x x x f x xs 1 0 1 2 1 2 3 2 3 44 3 4 x f x

Evidentment, lrea A que busquem es troba entre aquestes dues sumes:si A Ss

Fig. 5.1

Fig. 5.2

Lrea A indica lrea sota la grfi-ca de la corba f (x) entre a i b.

M2B_97884481_ud_05.indd 140 20/11/08 10:15:03

141LA INTEGRAL 05

Com podem millorar laproximaci de si i Ss a lrea A?

Si fem una partici ms na de linterval [a, b], obtindrem unes sumes drees de rectangles, per defecte i per excs, que seran una millor aproximaci al valor de lrea que es vol obtenir. Si observem la gura 5.4, podrem entendre aquest raonament.

Fig. 5.4

Com que augmenta el nombre de subdivisions de linterval, la suma de les rees dels rectangles corresponents consta de ms sumands. Una manera dexpressar aquestes sumes s la segent:

s x x f x S x x fi i ii

n

i s i ii

n

11

1 11

i xx x a x bi n on i0

Evidentment, lrea que estem buscant verica:

x x f x A x x f xi ii

n

i i ii

n

i

11

1 11

Si ara considerem que el nombre de divisions tendeix a innit, s a dir:

nl , aleshores xi xi1l 0 i a efectes de representaci ho escriurem com a dx.

Els valors de la funci f (xi 1) i f (xi) sn gaireb iguals, per la continutat de f (x). s a dir:

A x x f xn i i

i

n

i l lim 11

Aquest lmit se sol representar amb la notaci: f x xa

b d . Per tant,

A x x f x f x xn i i

i

n

i

b

l lim d1

1a

on a

b

indica el lmit de la suma amb els valors de x que varien des de x a ns a x b,a i b sn els extrems de linterval i dx ens indica la variable de la funci f (x).

En els grcs de les gures que hem considerat ns ara, f (x) era creixent en linterval [a, b]. Si f (x) s decreixent en aquest interval, tamb es verica que Ss si i lrea que cal calcular verica: si A Ss i els raonaments fets ns ara sn igualment vlids. Pots veure-ho en la gura 5.5.

Encara que la funci f (x) contnua a [a, b] no sigui montona en tot linterval (g. 5.6), es podria fer un raonament semblant al descrit anteriorment prenent els subintervals necessaris per tal que en cadascun dells es deneixi laltura mxima o mnima del rectangle considerat per obtenir les sumes superior i inferior.

Vegem tot seguit amb un exemple com es troba una aproximaci de lrea sota una corba com la que acabem de considerar.

Fig. 5.5

Fig. 5.6

La partici dun segment o inter-val s la divisi del segment en un nombre de subintervals o parts. Es diu que una partici s ms fina que una altra si est formada per un nombre ms gran de divisions.

i

n

1representa la suma de n

termes en els quals i varia de i 1, en el primer sumand, fins a i n en lltim.

M2B_97884481_ud_05.indd 141 20/11/08 10:15:07


EXEMPLE 1

Troba una aproximaci de lrea sota la corba

f xx

2

21 (fig. 5.7) en linterval [0, 3]

fent una partici de linterval en 6 subinter-vals.

Resoluci

La funci f xx

2

21 s creixent en lin-

terval [0, 3]. Lrea A verifica: si A Ss.

Calculem aquestes sumes tenint en compte que si dividim linterval en 6 subintervals iguals es verifica que:

x xi i

1

3 06

12

Aix:

s f f f fi

12

012

12

12

112

32

12

ff f212

52

12

1 1 125 1 5 2 125 3 4

, , , ,1125 6 4375

12

12

12

112

32

2

, u

S f f fs

12

212

52

12

3

12

1 125 1

f f f

, ,, , , , ,5 2 125 3 4 125 5 5 8 6875 2 u

Per tant, 6,4375 u2 A 8,6875 u2.

Podem fer una estimaci del valor de lrea tot calculant la mitjana aritmtica de si i Ss:

6 4375 8 68752

7 56252 2

2, , ,u u

u

Podem dir que A 7,5625 u2.Si la partici de linterval fos de 12 subintervals, per exemple, la diferncia entre les sumes superior i inferior seria ms petita i podrem afinar una mica ms en el valor de lrea A.

Fig. 5.7

1> Representa grficament la funci f (x) x2 8x en linterval [0, 4]. Calcula les sumes inferior i superior per estimar lrea sota la corba en aquest interval. Pots prendre n 8.

2> Calcula, en linterval [0, 4], lrea sota la grfica de la funci f (x) x 5. Fes-ne una grfica i justifica per qu pots calcular exactament aquesta rea.

3> Considera la funci:

f xx

2

21

de lexemple 1. Fes una partici de linterval [0, 3] en 12 subintervals. Calcula la suma de les rees inferior i superior.

Comprova que lestimaci feta abans s correcta.

ACTIVITATS

M2B_97884481_ud_05.indd 142 20/11/08 10:15:09

143LA INTEGRAL 05

j 5.2 La integral denidaEn lexpressi A f x x

a

b ( )d que hem obtingut en lapartat anterior, hem considerat f (x)

positiva.

Es tractava de calcular lrea, que s un nombre positiu, i per tant, si tots els termes de la suma sn positius, tamb ho s aquesta.

Podem generalitzar lexpressi anterior per una funci f (x) contnua en un interval tancat [a, b]. Aix denim el nombre:

I f x xa

b ( )d

on I sanomena la integral denida de la funci f (x) entre a i b.

El nombre I f x xa

b ( )d coincideix amb lrea si f (x) s no negativa en tot linterval [a, b] i

A I {I{ si f (x) s negativa en tot linterval [a, b].

j Propietats

a) f x x f x xa

b

b

a( ) ( ) d d

En linterval [b, a] es verica xi xi 1 (xi 1 xi ). s a dir, tots i cadascun dels sumands canvien de signe, per tant, la suma tamb.

b) f x x f x x f x x c a ba

b

a

c

c

b( ) ( ) , ; =d d sid

Observa la gura 5.8 per interpretar aquesta propietat.

c) k f x x k f x xa

b

a

b( ) ( ) d d on k s una constant.

d) f x g x x f x x g x xa

b

a

b

a

b( ) ( ) ( ) ( ); = d d d

Observa que les propietats c) i d) sn les propietats lineals que, de manera semblant, hem vist per a les derivades i les primitives.

e) g x xa

a( )d 0, ja que s una suma dun sol terme amb longitud de linterval zero.

Fig. 5.8

ACTIVITATS

4> Representa grficament la funci segent: f (x) ex. Expressa la integral definida de f (x) en linterval [0, 1].

Encara que no sabem calcular la integral e d ,x01

x

coincideix aquesta integral amb lrea entre la corba i leix OX en el mateix interval? Raona la teva resposta.

5> Utilitza les propietats lineals c) i d) de la integral

definida per expressar 35

232

0

3x

xx

d com a suma dintegrals.

6> Lexpressi dxx 1

1 no s una integral, encara que ho

sembli. Explica el perqu daquesta afirmaci.

7> Raona la certesa o no de cadascuna de les sumes segents:

a) x x x x x x x x22

2 2

3

3 2

4

4 2

2

4d d d d

b) x x x x x x x x22

2 2

2

3 2

3

4 2

2

4d d d d

M2B_97884481_ud_05.indd 143 20/11/08 10:15:14


j 5.3 La funci integralEn lapartat anterior hem denit la integral I f x

a

b com un nombre.

Considerem ara que lextrem b de linterval pren diferents valors. s a dir, considerem intervals amb lextrem inferior xat i laltre variable. Serien intervals del tipus [a, x]. En aquests intervals considerem la funci f (t) amb t [a, x] no negativa en tot linterval.

Observa la gura 5.9.

Per a cada valor de x tenim un valor de I.

Per exemple, per a x 3, I f t Fa

3

3dt .

Per a cada x [a, b] podem denir la funci:

F x f t dta

x que sanomena la funci integral.

F (x) s una funci contnua. s derivable?

Per veure-ho caldr aplicar la denici de derivada:

` l

F xF x h F x

hhlim

0

Si aquest lmit existeix, ser la derivada de F (x). Calculem-lo.

`

l lF x

F x h F x

h

f t t f t

h hlim lim

0 0

d dtt

ha

x

a

x h

Aplicant les propietats de la integral, tenim:

`

l

F x

f t t f t t f t t

h

a

x

x

x h

a

x

lim0

d d d

hh

f t t

hhx

x h

l

lim

0

d

Per calcular aquest lmit ens xem en la integral f t tx

x h d i la podem atar entre els valors mxim i mnim que pot prendre en linterval [x, x h], ja que hem considerat f (x) montona creixent (g. 5.10). Aix, podem escriure:

f x h f t t f x h hx

x h a a d

Dividint els tres termes daquestes desigualtats per h w 0, tenim:

f xf t t

hf x hx

x h

a

a

d

lim lim limh h

x

x h

hf x

f t t

hf x h

l l

l a

a

0 0 0

d

Per la continutat de la funci f (x), tenim: limh

f x h f xl

0

i, per tant:

`

l

F x

f t t

hf x

h

x

x h

lim0

d

s a dir, F (x) f (x).

Fig. 5.9

Fig. 5.10

M2B_97884481_ud_05.indd 144 20/11/08 10:15:19

145LA INTEGRAL 05

Acabem de demostrar el teorema fonamental del clcul, que podem enunciar aix:

Si F (x) f t ta

x d , la derivada F (x) f (x). O el que s el mateix, F (x) s una primitiva de f (x).

Per exemple, si F x t t , F x f x x F xxx ` 22 2

3

3 33

3d i xx C

Hem trobat una expressi de la funci integral F (x) tot calculant una primitiva de f (x).

j 5.4 La frmula de BarrowEn lapartat anterior hem vist que F x f t t

a

x( ) ( ) d s una primitiva de f (x) ja que

F (x) f (x). Per cal recordar que una mateixa funci t innites primitives, tals que la diferncia entre cada dues delles s una constant.

Aix, si G(x) s una primitiva qualsevol de f (x), es verica: F (x) G(x) C; per tant, podem escriure:

f t t G x Ca

x dSi fem x a f t t G a C

a

a , d i0 .

Per tant, f t t G x G aa

x d .

Si ara fem x b, tenim, f t t G b G aa

b d . Canviant el nom de la variable t per x, tenim, per acabar:

f x x G b G aa

b d , essent G(x) una primitiva de f (x)que sanomena la frmula de Barrow.

Acabem de trobar un procediment per calcular la integral. En la prctica, aquest clcul sexpressa de la manera segent:

f x x F x F b F aa

b

a

b ; = d on F (x) s una primitiva de f (x)La integral no depn de la primitiva triada, ja que si G(x) s una altra primitiva, s tal que

G x F x C G b F b C

G a F a C

l l

Restant membre a membre obtenim: G (b) G (a) F (b) F (a), que ens demostra que la integral no depn de la primitiva triada per fer-ne el clcul.

ACTIVITATS

8> Troba la derivada de cadascuna de les funcions segents:

F x t t t G x t t H x t t

x x 30 22 225 3d d dcosxx

xJ x

t

t d

2

3

1

M2B_97884481_ud_05.indd 145 20/11/08 10:15:22


j 5.5 El clcul integralEl clcul integral es redueix a trobar la primitiva de la funci que es vol integrar i restar dos valors numrics daquesta primitiva aplicant la frmula de Barrow. En la unitat anterior ja vam calcular fora primitives que ara ens serviran per calcular integrals.

Com hem vist, la primitiva que calculem pot ser una qualsevol de les possibles. Per facilitar el clcul integral, triarem la primitiva que t C 0.

Vegem amb uns exemples com es poden calcular diferents integrals.

Per calcular primitives ja hem

utilitzat el smbol f x x( ) d . Observa que es tracta duna integral sense lmits numrics. Sanomena integral indenida.

EXEMPLE 2

Calcula xx

x31

1

32

d

Resoluci

Comencem per buscar la primitiva de la funci:

f x xx 33

2, amb C 0.

Aquesta primitiva s:

F xx x

x 4

4 62

2

Apliquem la frmula de Barrow. El clcul el disposem de la manera segent:

xx

xx x

x

F

3

1

14 2

1

1

32

4 62

1

d

F 1

14

16

214

16

2 4

EXEMPLE 3

Calcula les integrals segents:

a) sin x xd0

P

b) 2

1 211

x xd c) dx

x124

Resoluci

a) sin cos cos cosx x xd0 0

0 1 1P P P ; = 2

b) 2

12 2 1 2 1

21

1

1

1

; =

x x xd arc tg arc tg arc tg

2

42

4 2 2P P P P

P

c) dx

xx

11 3 1 3

2

4

2

4

; = ln ln ln ln

M2B_97884481_ud_05.indd 146 20/11/08 10:15:26

147LA INTEGRAL 05

EXEMPLE 4

Calcula x xxe d

23

.

Resoluci

La primitiva de la funci que es vol integrar no s immediata. Com que s un pro-ducte de funcions, podem provar el procediment dintegraci per parts. Calculem la primitiva:

x x x e x x C x Cx x x x x xe d e d e e e 1Tenim ja la primitiva i procedim al clcul de la integral:

x x xx xe d e e e ee

23

2

3 3 2 31 2 3 2322

EXEMPLE 5

Calcula 1 20

1

x xd

Resoluci

La primitiva de la funci que es vol integrar no s immediata. Caldr fer un canvi de variable per trobar-la.

Fem el canvi: x sin t i, per tant, dx cos t dt.

1 11 2

22 2 2

x x t t t t t

td d d dsin cos cos

costt t

tC

12

22

sin

Cal tenir en compte que els valors 0 i 1 que figuren a la integral corresponen a valors de la x, i ara han de ser valors de la nova variable t que figura en la primitiva obtinguda. Veiem quins valors corresponen:

0 0 12

l l sin sint t t tP

La integral que sha de calcular s:

112

22

2 2

0

1

0

2

x x t t t

td dcos

sinP

0

2 12 2 4

P

P P

Tamb es pot desfer el canvi en la primitiva obtinguda i aplicar la frmula de Barrow per als valors de la x.

ACTIVITATS

9> Calcula les integrals segents:

a) x x 1 602

d b) dx

x221

c) x xx2

1

0e d

d) sin22

2 x x

PP

d

e) tg dx x0

4

P

f) x

xx

2 124

d g) x

xx

1 211

d h) xx x

3

2 124

d

R: a) 21867

b) ln 4 c) 25

e d) 0

e) 0,346 f) 0,8 g) 0 h) 6,8

M2B_97884481_ud_05.indd 147 20/11/08 10:15:32


j 5.6 El clcul dreesHem comenat la unitat plantejant el problema de calcular lrea sota una corba en un interval tancat. Ara el resoldrem.

Considerem la funci f xx

2

21 en linterval [0, 3] de lexemple 1. Com que la funci s posi-

tiva en tot aquest interval, lrea coincideix amb la integral. Aix, podem escriure i calcular

Ax

xx

x

2

0

33

0

3

2

21

692

3152

d u

Acabem de calcular lrea sota la corba limitada per la grca de la funci, leix OX i les orde-nades corresponents als punts x 0 i x 3, extrems de linterval.

j rea compresa entre la grca duna funci i leix OX

Vegem un cas ms general. Observa la gura 5.11. Es tracta de calcular lrea compresa entre la grca de la funci f (x) i leix OX en linterval [a, b].

En aquest interval, la funci no mant el mateix signe. En linterval [a, c1] la funci no s nega-tiva, igual que en el [c2, b]. En canvi, mant el signe negatiu al [c1, c2]. Lrea coincideix amb la integral si la funci s positiva. Si la funci s negativa, lrea ser el valor absolut de la integral. Tenint en compte aquestes consideracions, podem expressar lrea:

A f x x f x x f x xa

c

c

c

c

b 1

1

2

2

d d d

Lrea sexpressa com a suma de tantes integrals com intervals deneixi la funci en tallar leix OX i es considera el valor absolut de la integral en linterval en qu la funci s negativa.

Per tal de calcular lrea compresa entre f (x) i leix OX a linterval [a, b], cal esbrinar si en aquest interval f (x) canvia de signe i, per tant, els punts en qu la grca de la funci talla leix. Aquests punts deniran subintervals de [a, b]. Lrea sexpressa com a suma dintegrals o dels seus valors absoluts, segons el signe de f (x), en cadascun dels intervals obtinguts.

j rea compresa entre les grques de dues funcions

Per calcular lrea entre les grques de les funcions f (x) i g(x) de la gura 5.12 cal observar la grca detingudament.

Observem que a i b corresponen a les abscisses dels punts dintersecci de les dues funcions. s a dir, els valors de x que sobtenen en resoldre lequaci f (x) g(x).

Lrea que sha de calcular s la diferncia entre lrea corresponent a g(x) en linterval [a, b] i lrea corresponent a f (x) en el mateix interval: A Ag Af . Expressat en termes dintegrals:

A g x x f x xa

b

a

b d d

que, tenint en compte les propietats de la integral, podem escriure:

A g x f x xa

b ; = d

Fig. 5.11

Fig. 5.12

Hem posat u2 per indicar que es tracta duna rea i, per tant, es mesura en unitats quadrades.Observa que la mesura obtinguda no s gaire diferent de la que hem estimat en lexemple 1.

Cal resoldre lequaci f (x) 0 per trobar els punts de tall de la grfi-ca de la funci amb leix OX.

M2B_97884481_ud_05.indd 148 20/11/08 10:15:35

149LA INTEGRAL 05

Aquesta igualtat correspon a la grca de la gura 5.12, ja que g(x) f (x) en tot linterval i la diferncia s positiva i, per tant, la integral coincideix amb lrea. Si no fos aix, caldria calcular el valor absolut de la integral.

En general, si no es coneix la relaci dordre entre les dues funcions, expressarem lrea amb el valor absolut de la integral:

A f x g x xa

b ; = d

Es pot pensar que per calcular lrea de la gura 5.13 cal utilitzar un procediment diferent ja que hi ha part de lrea en la regi negativa de les funcions. Per si observes la gura 5.14, lrea que sha de calcular no varia si es traslladen les dues funcions de manera que les dues siguin positives en tot linterval. Les funcions serien:

f x h g x h ii la seva diferncia:

f x h g x h f x g x

Aquesta igualtat ens permet armar que lrea compresa entre els grcs de dues funcions s independent del signe que prenen aquestes en linterval considerat.

Vegem alguns exemples de com sefectua el clcul drees.

EXEMPLE 6

Calcula lrea entre la corba f (x) sin x i leix OX en linterval [0, 2P].

Resoluci

Si observem la representaci grfica de la funci f (x) sin x en linterval [0, 2P] (fig. 5.15), hi ha un punt dintersecci amb leix OX.

Aquest punt es troba resolent lequaci sin x 0. Aquesta equaci, en linterval considerat, t com a soluci x P.

En linterval [0, P] la funci no s negativa i en linterval [P, 2P] no s positiva.

Expressem i calculem lrea:

A x x x x x x ; = ; = sin sin cos cosd d02

0

2P

P

P P

P

P

cos cos cos cosP P P0 2 2 2 4 2u

Si, com passa en aquest cas, les dues rees que calculem sn iguals, sen pot calcular una i multiplicar per dos:

A x x x ; = 2 2 2 0 2 2 40 0sin cos cos cosdP P P uu2

Observa que si es calcula la integral sin x xd0

2P

, no sobt el mateix resultat. Fixat que sin x xd02

0P

.

Efectua els clculs per comprovar-ho.

Fig. 5.15

Fig. 5.13

Fig. 5.14

M2B_97884481_ud_05.indd 149 20/11/08 10:15:38


EXEMPLE 7

Calcula lrea compresa entre la corba f (x) x3 3x2 x 3 i leix OX en linterval [2, 1].

Resoluci

En primer lloc, cal veure si en aquest interval la funci talla en algun punt leix OX. Aix es pot saber buscant els punts de tall amb leix. s a dir, resolent lequaci:

x3 3x2 x 3 0

Aquesta equaci s de tercer grau. Busquem si existeix alguna soluci entre els divi-sors del terme independent 3; x 1 ho s. Per tant, el polinomi x3 3x2 x 3 s divisible per x 1. Podem fer la divisi pel mtode de Ruffini i tenim:

x3 3x2 x 3 (x 1) (x2 2x 3) 0

Queda per resoldre: x2 2x 3 0, que s una equaci de segon grau que t les solu-cions: x 1 i x 3.

En conclusi, la grfica de f (x) x3 3x2 x 3 talla leix de les abscisses en els punts x 1, x 1 i x 3; daquests, x 1 s interior a linterval [2, 1]. Per calcu-lar lrea, caldr considerar els dos intervals [2, 1] i [1, 1]. Lrea ser el resultat de la suma de dues integrals que expressarem en valor absolut, ja que no coneixem el signe de la funci en cadascun dels intervals.

Tenint en compte tot aix, lexpressi de lrea s:

A x x x x x x x x

3 2

2

1 3 2

1

13 3 3 3d d

x

xx

xx

xx

x4

32

2

1 43

2

4 23

4 23

1

1

294

474

94

414

u

EXEMPLE 8

Calcula lrea entre la grfica de les funcions

f xx

x 2

23 i g(x) x 3.

Resoluci

En la figura 5.16 hem representat les dues funcions i la regi de la qual cal calcular lrea.

Comenarem per trobar els punts dintersecci de les dues grfiques. Daquests ens interessa el valor de labscissa per determinar linterval on sha de calcular la integral. Nhi ha prou digualar les dues expressions i resoldre lequaci:

xx x

xx x x

2 2

1 223 3

22 0 0 4 l l i

Fig. 5.16

M2B_97884481_ud_05.indd 150 20/11/08 10:15:40

151LA INTEGRAL 05

Lexpressi de lrea lescriurem tenint en compte que la funci g(x) t valors ms grans que f (x) en aquest interval i, per tant, la seva diferncia s positiva. Si no fos aix, o no conegussim la posici de les dues funcions, caldria expressar la integral en valor absolut.

Lexpressi de lrea s:

A g x f x x ; =04

d

g x f x xx

xx

x

3

23

22

2 2

que substitum en la integral:

Ax

x xx

x

2

0

43

2

0

4

22

6323

1d 66163

2 u

ACTIVITATS

10> Calcula cos x xd0

P

i lrea sota la corba de la funci f (x) cos x en linterval [0, P]. Coincideixen els dos resultats? Raona la teva resposta.

11> Expressa i calcula lrea entre la grfica de la funci f (x) (x 1) (x2 x 6) i leix OX.

R: 25312

u2

12> Calcula lrea entre la grfica de la funci f (x) x3 3x i leix OX.

R: 92

u2

13> Calcula lrea de la regi compresa entre les grfiques de les funcions f (x) x2 i g(x) x2 8.

R: 643

u2

14> Representa grficament les funcions f (x) x2 4x i

g xx 32

. Calcula lrea de la regi compresa entre

les dues grfiques.

R: 12548

u2

15> Representa grficament la funci f (x) ln x en linterval [1, e]. Calcula lrea sota aquesta corba en aquest interval.

R: 1 u2

16> La funci f (x) x2 x4 presenta simetria parella en la seva grfica. Pots comprovar-ho. Calcula lrea sota aquesta corba i leix OX. Pots fer-ho calculant noms una integral? Fes-ho aix i testalviars clculs.

R: 415

u2

17> Calcula lrea ombrejada de la figura 5.17. Les fun-cions representades sn:

f xx

g x x x 22

22

2i

R: 2625

u2

Fig. 5.17

M2B_97884481_ud_05.indd 151 20/11/08 10:15:44


j 5.7 El clcul de volums de cossos de revoluci

Considera en la gura 5.18 el segment AB que gira 360 a lentorn de leix de les abscisses. En aquest gir genera un cilindre de radi r i altura b a. Com ja deus recordar, el volum daquest cilindre es calcula multiplicant lrea de la base per laltura:

V P r 2(b a)

Considerem una funci f (x) contnua, montona i derivable en un interval [a, b]. Si la grca daquesta funci gira 360 a lentorn de leix de les abscisses, genera un cos el volum del qual podem calcular si seguim un procediment semblant al que hem utilitzat per calcular rees.

Observa la gura 5.19.

Fig. 5.19

Cadascun dels rectangles que hem dibuixat, en dividir linterval en 4 subintervals, genera un ci-lindre. La suma dels volums daquests cilindres dna una aproximaci per defecte del volum que es vol calcular. Ho podem expressar aix:

V f x x x f x x x f xd P 02

1 0 1

2

2 1 2

22

3 2 3

2

4 3x x f x x x

Si considerem dividit linterval [a, b] en n subintervals iguals, podem escriure lexpressi del volum:

Vb a

nf x f x f x f xn n

P 02

1

2

2

2

1... - 2

El lmit de Vn quan tendeix n a innit ens donar el volum buscat.

Quan nb a

nl l, 0. Amb una notaci semblant a la que hem utilitzat per al clcul drees

podem expressar:

V f x x f x x f x xa

b

a

b

a

b ; = ; = ; = P P P2 2 2d d d

Aquesta integral permet calcular el volum generat per la grca duna funci en girar 360 entorn de leix de les abscisses en linterval [a, b].

Fig. 5.18

Es podria haver calculat el volum per excs, tal com hem fet per a les rees. Com que el raonament s fora semblant, no lhem repe-tit aqu.

M2B_97884481_ud_05.indd 152 20/11/08 10:15:46

153LA INTEGRAL 05

EXEMPLE 9

Demostra que el volum duna esfera de radi r (fig. 5.20) s: V r43

3P .

Fig. 5.20

Resoluci

Considerem una circumferncia centrada en lorigen de coordenades i de radi r.

La seva equaci s x2 y2 r2. Si considerem la funci y r x 2 2 en linterval [r, r] tenim una semicircumferncia que en girar a lentorn de leix OX genera una esfera de radi r.

Apliquem lexpressi del volum obtinguda anteriorment:

V r x x r xx

rr

r

r

P P

P

2 2 23

33

3

3

-r

rd

r

r rr3

3 33

343

43

P P

Utilitzem directament lexpressi de y2 tot i que cal tenir en compte que la funci s

y r x 2 2 , s a dir, noms es considera larrel positiva.

Acabem de demostrar que el volum duna esfera de radi r es pot calcular amb

lexpressi: V r43

3P .

ACTIVITATS

18> Calcula el volum que genera la parbola y x2 en girar a lentorn de leix OX en linterval [0, 3]. Fes-ne la representaci grfica.

R: 2435P u3

19> Dibuixa la grfica de la funci f (x) sin x en linterval [0, P]. Calcula el volum del cos que genera en girar a lentorn de leix de les abscisses.

R: P2

2u3

20> Considera la recta dequaci y 2x en linterval [0, 2]. Si gira a lentorn de leix de les abscisses, quin cos genera? I si consideres que ho fa en linterval [1, 3], de quin cos es tracta? Calcula el volum de cadascun daquests cossos.

R: 323

1043

P Pu u3 3;

21> Expressa i calcula el volum del cos generat per una circumferncia de centre (3, 0) i radi 5.

R: 500

3P

u3

M2B_97884481_ud_05.indd 153 20/11/08 10:15:49


Punt nal

Mtode numric per calcular una integralEl clcul duna integral implica sempre el clcul duna primitiva. Aix no sempre s fcil, o no sempre s possible.

Per poder calcular f x xa

b d cal trobar una primitiva de f (x), s a dir una funci F (x) tal que F (x) f (x). Quan F (x) no es pot trobar, cal recrrer a mtodes de clcul aproximat. En el primer apartat daquesta unitat ja hem vist el mtode dels rectangles per trobar una aproximaci de lrea sota una corba f (x). Veiem ara un nou mtode que utilitza trapezis rectangles per trobar un valor ms aproximat de lrea que cal calcular.

Una aproximaci de f x xa

b d , considerant f (x) 0, ser el resultat de la suma de les rees dels trapezis rectangles que podeu observar en la gura 5.21.

Lrea dun trapezi es pot calcular multiplicant laltura per la meitat de la suma de les bases. Laltura s la longitud de cadascun dels subintervals iguals en qu sha dividit linterval [a, b] i les bases sn els respectius valors de la funci en cadascun dels extrems del subinterval.

La suma de les rees dels 4 trapezis de la gura s:

Ab a f x f x f x f x f x f x

4 2 2

0 1 1 2 2 33 3 4

0 1

2 2

82 2

f x f x

b af x f x f x22 3 42 ; =f x f x

Amb aquest procediment, en augmentar el nombre de subintervals, sobt una aproximaci a lrea o la integral que es vol calcular.

Calculem sin x

xx

1

3

d . La funci f xx

x sin t per grca la de la gura 5.22. s una

funci que no est denida en el punt x 0, on presenta una discontinutat que no s

asimpttica, ja que limsin

x

xxl

01.

En linterval [1, 3] la funci s contnua i f (x) 0 en tot linterval. La integral que es vol calcular coincideix amb lrea sota la corba en aquest interval.

No podem trobar una primitiva de f xx

x sin , per s que podem aplicar el m-

tode dels trapezis per calcular la integral.

Dividim linterval [1, 3] en 4 subintervals i apliquem la frmula que hem obtingut en el cas general:

sin xx

x f f f f1

3 28

232

2 2 252 y

d 1 f 3 0 94, ...

Acabem daplicar un mtode numric per calcular una integral, de manera fora aproxi-mada, quan de la funci que es vol integrar no en coneixem una primitiva.

Amb un programa dordinador hem obtingut 0,9025 Aix vol dir que hem coms un error absolut de 0,94 0,90 0,04. Lerror relatiu que haurem coms seria 0,04: 0,90 0,044 o, el que s el mateix, 4,4 %.

Et proposem millorar laproximaci utilitzant 8 subintervals iguals, s a dir, n 8. Cal-cula lerror absolut i el relatiu pel resultat que has obtingut.

Fig. 5.21

Fig. 5.22

M2B_97884481_ud_05.indd 154 20/11/08 10:15:52

155LA INTEGRAL 05

Activitats nals

1> Calcula la derivada de F x t t t cos 213

d . R: 0

2> Calcula F9(1) si F t t tx

x cos 213 1

d .

R: 0

3> Tenim una funci y f (x) de la qual lnica cosa que sabem s que la seva grfica s aproximadament la que sindica a la figura 5.23. Fes un esquema senzill de la grfica de la funci: g x f t t

x 0 d Raona molt detalladament la resposta.

Fig. 5.23

4> Calcula les integrals segents:

a)

x

xx

21

1

1d b) 2 3

5

0

2

x xd

c) 312

4

x xd d) x

x1 401

dx

R: a) 0; b) 224; c) 3 ln 3; d) P8

5> Calcula: x xx22

1e d

. Per trobar una primitiva s neces-sari que apliquis el mtode dintegraci per parts dues vegades.

R: ee

10

2

6> Troba una primitiva de la funci f xx

x

3

2 i calcula

la integral daquesta funci en linterval [3, 5].

R: 1703

8 3 ln

7> Calcula 4 20

2

x xd utilitzant el canvi de variable:

x 2 sin t. R: P

8> Fent el canvi de variable u(x) ex, calcula la integral: e e dx x xsin

ln

ln

P

P

2

R: 1

9> Calcula lrea compresa entre la grfica de la funci f x

x 1 , leix de les abscisses i les ordenades corres-

ponents a x 1 i x 2. R: ln 2 u2

10> En una comarca un riu adopta la forma de la funci f x x x x 1

43 2 (fig. 5.24) i s tallat per un cam

que t la direcci positiva de leix OX. Prenent com a unitat el km, calcula el valor del camp comprs entre el riu i el cam si el preu s de 300 lhectrea.

Fig. 5.24

R: 10 000

11> Calcula lrea limitada per la grfica de la funci segent y x23x i leix OX.

R: 92

2u

12> Calcula lrea determinada per la funci f (x) x3 x i leix de les abscisses.

R: 12

2u

13> Troba els punts de tall amb leix de les abscisses de la funci f (x) x3 2x2 5x 6 i expressa i calcula lrea compresa entre la grfica de la funci i aquest eix.

R: 25312

u2

14> Representa grficament la funci f (x) (x 2) ex en linterval [2, 3]. Calcula lrea sota aquesta corba en aquest interval.

R: e2 u2

15> Fes la grfica de la funci f (x) sin x en linterval [0, 2P] i calcula lrea compresa entre aquesta grfica i

les ordenades corresponents a x x P P4

34

i .

R: 2 2u

16> Calcula lrea entre la corba f x xx

1 4

i les rectes

x x 012

, i leix OX.

R: . 0,122 u2

17> Considera la funci f (x) ln x. Calcula lrea sota aquesta corba en linterval [1, 2]. Pots fer el mateix en linterval [0, 2]? Raonan la resposta.

R: > 0,386 u2

M2B_97884481_ud_05.indd 155 20/11/08 10:16:00


18> Calcula lrea entre la grfica de la funci f (x) 2x ln x en linterval [a, 1]. Pot ser a un nombre negatiu? I a 0? Per qu?

19> Representa grficament la funci f (x) sin x en linter-

val ; =P P, . Raona quin s el valor de la integral sin x xd

PP

sense calcular-la.

20> Demostra que no s necessari calcular la primitiva de la

integral segent: x x xxe d2

2 01

1

sin Estudia la simetria que pot presentar la grfica de la

funci que sha dintegrar.

21> Demostra que lrea dun cercle de radi r s donada per A P r2. Per fer-ho considera una circumferncia centrada a lorigen de radi r de la qual noms tindrs en compte la semicircumferncia positiva. Calcula lrea sota aquesta corba i tindrs lrea del semicercle de radi r.

22> Determina els valors de a, b i c en el polinomi P(x) ax2 bx c si verifica P(1) 4, P(1) 8 i P(2) 15P(0) 0. Representa la funci i calcula lrea compresa entre la corba i leix OX.

R: a 3; b 2; c 1; 3227

2u

23> Troba lrea de la zona limitada per les funcions f (x) x3 i g(x) 2x. Fes-ne una grfica.

R: 2 u2

24> Troba lrea compresa entre les funcions y x y x 2 i .

R: 13

2u

25> Representa les funcions y sin x i y cos x en una

mateixa grfica en linterval 02

,P

. Calcula lrea

compresa entre les dues funcions en aquest interval.

R: 2 2 2 u

26> Representa les funcions y ex i y ex en una mateixa grfica. Calcula lrea limitada per les dues corbes i la recta x 1.

R: > 1,086 u2

27> Calcula lrea del recinte limitat per les dues parboles dequacions: y x2 2x i y x2 4x

Fig. 5.25

R: 9 u2

28> Troba el valor de a 0 si sabem que lrea entre la par-bola y x2 ax i la recta y x 0 s 36 u2.

R: a 5

29> Calcula lrea del recinte limitat pels grfics de les dues funcions segents (fig. 5.26): f (x) x3 2x, g(x) x2, quan considerem noms valors de x a 0.

Fig. 5.26

R: 512

2u

30> Considera un recinte tancat limitat per la parbola dequaci y x2 1 i la recta horitzontal dequaci y a (fig. 5.27), on a s un nmero ms petit que 1. Determina el valor de a per tal que lrea daquest

recinte valgui 8 2

32u .

Fig. 5.27

R: a 1

31> Calcula el volum de lellipsoide generat per lellipse

dequaci x y2 2

16 91 en girar a lentorn del seu eix

major. R: 48P u3

32> Calcula el volum generat per la funci f (x) x3 1 en girar a lentorn de leix OX en linterval [0, 2].

R: 1987P u3

33> Considera la corba dequaci 4x2 y2 1. Defineix la funci y f (x) associada a aquesta funci. Quin s el seu domini? En aquest domini, calcula el volum del cos que genera en girar a lentorn de leix OX.

R: V 23P u3

M2B_97884481_ud_05.indd 156 20/11/08 10:16:05

157LA INTEGRAL 05

1> Calcula 23

1

ln xx

xe

d

2> Considera la regi S del pla limitada per la parbola y 3x2 i la recta y 3 representada en lesquema segent:

Fig. 5.28

Siguin A i B els punts dintersecci de la recta i la parbola, i T el triangle que t per vrtexs A, B i lorigen de coordenades (0, 0). Calcula lrea de la regi que resulta quan es treu el triangle T a la regi S.

3> Considera la funci f (x) de la figura definida a linterval [0, 2].

Fig. 5.29

a) Calcula la funci derivada f (x) a linterval (0, 2)

b) Hi ha algun punt de (0, 2) en el qual f (x) no existeixi?

c) Calcula f x x( )d0

2

Raona totes les respostes.

4> Considera la funci f x x mx m( ) , q3 2 1 0.

a) Calcula el valor de m per tal que lrea del recinte limitat per la grfica de la funci, leix OX i les rectes x 0 i x 2 sigui de 10 u2.

b) Per a m 1, indica el punt o els punts on la recta tangent a la grfica de la funci forma un angle de 45 amb el semieix positiu de OX.

Avaluaci

M2B_97884481_ud_05.indd 157 20/11/08 10:16:07

.integrals1

Documents

Transcript of .integrals1