Integrales sol
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SOLUCIONES
EJERCICIOS INTEGRALES Ejercicio nº 1.-
Sabiendo que la gráfica de f(x) es la siguiente:
4
6
8
2
6 82 4 4 2 8 6 2
4
6
Y
X
Calcula:
xf
6
0
Solución:
Vamos a distinguir dos recintos:
6,4 II ,4,0 I
El área del recinto I es:
3. altura y 4 base de triángulo un es que ya,u 62
34 2
El área del recinto II es:
3. altura y 2 base de triángulo un es que ya,u 32
32 2
Por tanto:
26
0u 3 3 6 II recinto área I recinto área xf
Ejercicio nº 2.-
:calcula ,32 función la Dada 2 xxxf
xf6
0 a)
xf
0
1 b)
Solución:
2
33
232
232 xx
xxxG
6
131;00;
2
93 GGG
29
029
03 a)3
0 GGf
6
136
13010 b)
0
1
GG
Ejercicio nº 3.-
4][0, intervalo
el en eje el y6 parábola la por limitado recinto del área el Halla 2 Xxxxf
Solución:
Puntos de corte con el eje X:
3
2
22411
x 0 62
12
x
xxx
En el intervalo [0, 4] solo está x2 = 3.
Hay dos recintos: I [0, 3]; II [3, 4]
xxx
xxxG 623
6 23
2
3
324;
2
273;00
GGG
2
2703 I recinto del Área GG
6
1734II recinto del Área GG
2u3
49
6
17
2
27 total Área
La gráfica no es necesaria, pero la incluimos para visualizar el resultado:
4
6
8
2
6 82 4 4 2 8 6 2
4
6
Y
X
f(x ) x x= 62
Ejercicio nº 4.-
Las siguientes gráficas corresponden a las funciones:
22
33 x
yexxy
y x x= 23
y= x 3
2
4
6
8
2
6 82 4 4 2 8 6 2
4
6
Y
X
Calcula el área del recinto limitada por ellas.
Solución:
xxx
xx 222
2 33
3
.2,0,20404022 321
233
xxxxxxxxx
Hay dos recintos: I [-2, 0]; II [0, 2]
243
82
2 x
xx
xxG
22;00;22 GGG
220 I recinto del Área GG
202 II recinto del Área GG
Área total 2 2 4u2
Ejercicio nº 5-
Dada la gráfica de la función f (x):
1
I
II
2 f x( )
2
1 2 1 2
Y
X
:calcula,u 2
19 es II recinto del área el que yu 2 es I recinto del área el que sabiendo 2 2
xf
2
2
Solución:
22
2u
2
15
2
192 II recinto área - I recinto área
xf
Ejercicio nº 6.-
:siendo ,Calcula2
0xf
21si2
10si12
x
xxxf
Solución:
Entre 0 y 1:
xx
xxG 31
32
1
00;3
41 11 GG
34
011 112
1
0 GGx
Entre 1 y 2:
xxG 222
21;42 22 GG
224122 22
2
1 GG
Por tanto:
3
102
342
0 xf
Ejercicio nº 7.-
.2 0, intervalo el en eje el y1 función la entre acomprendid área el Calcula 2 Xxy
Solución:
Puntos de corte con el eje X:
1,101 212 xxx
Solo nos sirve x 1 en el intervalo [0, 2].
Tenemos dos recintos:
I [0, 1]; II [1, 2]
xx
xxG3
1 3
2
3
22;
3
21;00
GGG
32
01 I recinto del Área GG
34
12 II recinto del Área GG
2u23
6
3
4
3
2 total Área
La gráfica no es necesaria; la incluimos para visualizar el resultado:
2
3
1
1
2 31 1 2
Y
X
y x= 12
I
II
Ejercicio nº 8.-
Halla el área comprendida entre la curva y = 2x2 + 2x - 1 y la recta y = 4x + 3.
Solución:
42234122 22 xxxxx
2
1
2
811020422
2
122
x
xxxxxx
xxx
xxxG 43
2422 2
32
3
202;
3
71
GG
2u 91G2G Área
Las gráficas no son necesarias, pero las incluimos para visualizar el resultado:
y x x= 2 + 2 12 y x= 4 + 3
4
6
8
1 0
2
6 82 4 4 2 8 6 2
Y
X
Ejercicio nº 9.-
La gráfica de una cierta función, f(x) , es la siguiente:
4
6
8
2
6 82 4 4 2 8 6 2
4
6
Y
X
A partir de esta gráfica, calcula:
xf4
0
Solución:
Vamos a distinguir dos recintos:
4,3 II ,3,0 I
El área del recinto I, que es un trapecio, es:
2u 2
15
2
323
El área del recinto II, que es un triángulo, es:
2u2
3
2
31
..Por tanto:
24
0u 6
2
12
2
3
2
15 II recinto del área I recinto del área xf
Ejercicio nº 10.-
Resuelve la siguiente integral:
32 23
1 x
Solución:
xx
xxG 33
232
32
3
111;273 GG
3
70
3
11271332 2
3
1 GGx
Ejercicio nº 11.-
. eje el y2 función la por limitada área el Halla 23 Xxxxy
Solución:
Puntos de corte con el eje X:
21
2
31
2
811
0
0202
3
2
1223
xx
x
x
xxxxxx
Hay, entonces, dos recintos:
10II02I ,;,
234
23
342 x
xxxxxxG
12
51;00;
3
82
GGG
3
820 I recinto del Área GG
12
501 II recinto del Área GG
2u 12
37
12
5
3
8 total Área
La gráfica no es necesaria, pero la incluimos para visualizar el resultado:
y x x x= + 23 2
2
4
2
2 4 2 4
Y
X
Ejercicio nº 12.-
.1 e 1 curvas las por limitado recinto del área el Calcula 22 xyxy
Solución:
2211 222 xxx
1,1022 212 xxx
xx
xxG 23
222
32
3
41;
3
41
GG
2u3
811 Área GG
Las gráficas no son necesarias, pero las incluimos para visualizar el resultado:
1
2
2
1
1 2 1 2
Y
X
y x= 12
y x= 1 2
Ejercicio nº 13-
. eje el y 4 función la por limitado recinto del área el Halla 3 Xxxxf
Solución:
Puntos de corte con el eje X:
2,0,20404 32123 xxxxxxx
20II02 I :recintos dos Hay ,;,
24
3 24
4 xx
xxxG
42;00;42 GGG
420 I recinto del Área GG
402 II recinto del Área GG
Área total 4 4 8 u2
La gráfica no es necesaria, pero la incluimos para visualizar el resultado:
f(x ) x x= 43
2
4
2
2 4 2 4
Y
X
Ejercicio nº 14.-
Calcula el área limitada por la parábola y = x2+1, la recta y = 4x -3 y el eje Y.
Solución:
44341 22 xxxx
20442 xxx
Hay un recinto [0, 2].
xxx
xxxG 423
44 23
2
00;3
82 GG
2u3
802 Área GG
Las gráficas no son necesarias, pero las incluimos para visualizar el resultado:
y x= + 12
y x= 4 3
4
6
8
1 0
2
6 82 4 4 2 8 6 2
Y
X
Ejercicio nº 15.-
Calcula:
2
41
02
3x
x
Solución:
3
2
152
3
352
4 xxx
xxG
00;5
31 GG
5
3012
3 2
41
0
GGx
x
Ejercicio nº 16.-
1. y1 rectas las y eje el 3,2 función la entre acomprendid área el Calcula 2 xxXxxy
Solución:
Puntos de corte con el eje X:
2
12420322
xxx
No corta al eje X.
xxx
xxxG 33
32 23
2
3
131;
3
71
GG
2u3
2011 Área GG
La gráfica no es necesaria, pero la incluimos para visualizar el resultado:
2
4
6
2 4 2 4
Y
X
f(x ) x x+= + 2 32
Ejercicio nº 17.-
.1y2,52 curvas las entre acomprendid área el Calcula 22 xxxyxxy
Solución:
xxxxxx 3252 222
3,003 212 xxxx
Hay dos recintos: I [-1, 0]; II [0, 3]
2
33
3 23
2 xxxxxG
2
93;00;
6
111
GGG
6
1110 I recinto del Área GG
2
903 II recinto del Área GG
2u3
19
2
9
6
11 total Área
Las gráficas no son necesarias, pero las incluimos para visualizar el resultado:
y x x= 22
y x x= 2 52
4
6
8
1 0
2
6 82 4 4 2 8 6 2
4
Y
X