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UNIDAD II Academia de Ciencias Básicas
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UNIDAD II
Academia de Ciencias Baacutesicas
INTEGRALES INDEFINIDAS Y METODOS DE INTEGRACION
INTRODUCCIOacuteN
En este capitulo trataremos el problema inverso de hallar la derivada de una funcioacuten
esto es calcular la primitiva de la misma Aunque se sabe existen muchas funciones
continuas cuya primitiva no es simple de encontrar abordaremos algunos meacutetodos para
calcular estas con exactitud
El objeto de este tema es exponer algunos meacutetodos importantes los cuales son uacutetiles para
diversos temas no solo del caacutelculo diferencial e integral sino que son herramientas
baacutesicas para temas como calculo de varias variables ecuaciones diferenciales ordinarias
ecuaciones diferenciales parciales transformadas de Laplace transformadas de Fourier
entre otras
La aplicacioacuten de la Integral definida se desarrollara en la unidad 4 en esta se estableceraacute
la relacioacuten que hay entre el aacuterea y la integral definida conexioacuten entre el Caacutelculo
Diferencial y el
Caacutelculo Integral
Calcularemos integrales indefinidas de todo tipo inmediatas o simples mediante cambio
de variable integracioacuten por partes integracioacuten de funciones racionales irracionales y
trigonomeacutetricas
OBJETIVOS
1 Conocer y emplear la concepcioacuten de primitiva de una funcioacuten
2 Distinguir la integral como la operacioacuten inversa de derivar
3 Calcular integrales simples aplicando las propiedades de las primitivas
4 Transformar una integral en otra maacutes inmediata haciendo un cambio de variable
5 Encontrar integrales por el meacutetodo de integracioacuten por partes
6 Saber utilizar las el meacutetodo algebraico de funciones racionales descomponiendo dichas
funciones en fracciones simples cuyas integrales son inmediatas
7 Calcular integrales irracionales y trigonomeacutetricas eligiendo el cambio de variable
adecuado
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Tener conocimientos baacutesicos sobre funciones de una variable derivacioacuten
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 DEFINICIOacuteN DE FUNCIOacuteN PRIMITIVA
Sea I(ab) un intervalo abierto y f una funcioacuten definida en dicho intervalo
La primitiva de f en I(ab) es una funcioacuten F continua en I la cual satisface que
F(x) = f(x) ( )x I a b Luego todas las primitivas de f son del tipo G(x) = F(x) + C
siendo C una constante cualquiera pues Grsquo(x) = F(x) + 0 = f(x)
22 DEFINICIOacuteN DE INTEGRAL INDEFINIDA
El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f y se
designa por int f(x) dx (se lee integral de f(x) diferencial de x)
Luego escribiremos int f(x)dx = F(x) + C
Ejemplos int 7x6 dx = x
7+c ya que si F(x) = x
7 entonces Frsquo(x) = 7x
6 =f(x)
Una primitiva de f(x) = 6 + senx es F(x) = 6x ndash cosx Si antildeadimos constantes
obtenemos maacutes primitivas comuacutenmente llamadas familia de funciones con caracteriacutesticas
similares pero muy particulares dependiendo del valor de la constante
23 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Veamos a continuacioacuten las propiedades que verifican las integrales indefinidas que son
consecuencia inmediata de la definicioacuten de primitiva y de las propiedades de las
derivadas
1 int ( f (x) g(x)) dx =int f (x)dx int g(x)dx
2 int k f (x)dx = k int f (x)dx k
3 int(k1 f (x) + k2g(x))dx = k1int f (x)dx + k2 int g(x)dx 1 2k k
24 CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS 241 DIRECTAS
A las primitivas que resultan aplicando en modo inverso las foacutermulas de derivacioacuten se les
llama integrales inmediatas
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de integracioacuten
La integracioacuten directa se aplica cuando identificamos la funcioacuten primitiva de manera
inmediata esto es cuando identificamos la regla de derivacioacuten que nos permite hallar el
integrando a partir de la funcioacuten primitiva
Las reglas comunes de derivacioacuten asiacute como las derivadas de funciones elementales nos
permitiraacuten generar mas faacutecilmente formulas que seraacuten imprescindibles para temas
posteriores enseguida te recordaremos algunas formulas de integracioacuten inmediata
2
1
1 )
1 11 )
11 ) ( )
1 )
1 )1
11 )
2
1 )
x x
nn
xx
a dx x c
b dx cx x
c dx ln x cx
d e dx e c
xe x dx c
n
f dx x cx
ag a dx c
lna
3 )
3 )
3 )
3 )
3 )
3 )
-1
2
-1
2
-1
2
-1
2
-1
2
-1
2
dua = sen u+c
1- u
dub - = cos u+c
1- u
duc tan u+c
1+u
dud - cot u+c
1+u
due sec u+c
u u -1
duf - csc u+c
u u -1
2 )
2 )
2 )
2 )
2 )
2 )
2 )
2
2
a senu du = cosu c
b cosu = senu c
c sec u du tanu c
d csc u du cotu c
e secu tanu du secu c
f cscu cotu du cscu c
-ln(cosu)+cg tanu du =
ln(secu)+c
4 ) cosh
4 )
4 )
2
2
a senhu du = u c
b coshu = senhu +c
4c) sech u du = tanhu +c
4d) csch u du = -cotu +c
4e) sechu tanhu du = -sechu +c
4f) cscu cotu du = -cschu +c
-ln(cosu)+cg tanhu du =
ln(secu)+c
Ejemplo 1
1 1 0 1 22 32 3 3
1 1 0 1x dx x x c x x c ya que
Ejemplo 2
2 2 2 1 1 1 3 2
3 2 2
5 7 5 75 7 5 7
2 1 1 1 3 2
5 75 7
3 2
x x dx x dx xdx x x c x x c
dya que x x c x x
dx
Ejemplo 3
5 6 2
5 6 2
= =5 6 2
5 6 2
x4 5 2x 4 5 2x
x4 5 2x
x x ex + x + e dx x dx+ x dx+ e dx c ya que
d x x ec x + x + e
dx
Ejemplo 4
(7 4cos 7) 7 4 cos 7 7cos 4 7
7cos 4 7 7 4cos 7
sen x x dx senxdx xdx dx x senx x c
dya que x sen x x c senx x
dx
Ejemplo 5 Calcular 4 3
3
8 6 10
2
x xdx
x
Esta es una integral impropia ya que el grado del polinomio del numerador es mayor que
el grado del denominador luego efectuaremos la divisioacuten termino a teacutermino
4 3 2 23 2
3 2
8 6 10 8 6 10 54 3 5 2 3
2 2 2 2 22 2
x x x xdx xdx dx x dx x x x c
x x
Ejemplo 6 Calcular 2 2(1 tan )cotx xdx
Solucioacuten
2 2 2 2 2 2 2(1+tan x)cot x cot x cot xtan x cot x 1= csc x
De tal modo que
2 2 2(1+tan x)cot xdx csc xdx -cotx c
Ejemplo 7 Calcular 22 7 3x x x dx
Solucioacuten
51 1
2 2 3 22 2 2
5 3 11 1 1 7 5 32 2 2
2 2 25 3 1
1 1 12 2 2
2 7 3 2 7 3 (2 7 3 )
4 142 7 3 2
7 5
x x x dx x x x dx x x x dx
x x xx x x c
Ejemplo 8
2 2
1 1 1
sec cos cos coscos 1coscot tan
cos coscos
cos
x x x xdx dx dx dxsenx x sen x xx x
x senx senx xsenx x
senxdx x c
242 POR CAMBIO DE VARIABLE
Una praacutectica para encontrar primitivas tiene como base la conocida regla de la cadena
Esta nos indica que si tenemos una funcioacuten f(u) que raacutepidamente podemos integrar y
en lugar de u sustituimos esta por alguna otra funcioacuten de x u = g(x) entonces
int f (g(x))g(x)dx = int f (u)du
Despueacutes integramos con respecto a u y posteriormente deshacemos el cambio para
escribir el resultado en teacuterminos de la variable inicial
Se trata de transformar una integral en otra maacutes sencilla haciendo un cambio de variable
adecuado
Ejemplo 1 Calcular 2
16 tan(4 3)
sec (4x - 3)dx
x
Solucioacuten
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable 16 tan(4 3)u x de donde
derivando tenemos 2 24sec (4 3) sec (4 3)4
dudu x dx de donde x dx
Substituyendo ambas expresiones en la integral original podemos escribir
2 1 1
ln( ) ln 16 tan(4 3)16 tan(4 3) 4 4 4
sec (4x - 3) du dudx u c x c
x u u
Ejemplo 2 Calcular 2
3 2
3 3 2
2 3 4
( x x )dx
x x x
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable
3 2 2 22 3 4 6 6 4 2(3 3 2)u x x x de donde du x x dx x x dx despejando
2(3 3 2)2
dux x dx Sustituyendo ambas expresiones en la integral original podemos
escribir
312 2 3 2
3 22
3 2
3 3 2 22 3 4
3 32 3 4 2
( x x ) du udx u du c x x x c
ux x x
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
73 (4 cos3 ) 4 cos3 3 3 33
dusen x x dx sea u x du sen xdx sen xdx
Sustituyendo en la integral inicial 8
7 7 7
87
1 13 (4 cos3 )
3 3 3 8
(4 cos3 )3 (4 cos3 )
24
du usen x x dx u u du c
xluego sen x x dx c
Ejemplo 7 1
2
2 2
2 2 2
1 322 1
22 2
323
22
3 31 1
5 2 5 2
3 15 3 3 21
5 25 5 5 2
5 3 5 51
36 2 5 6 62
3 10 5 31 1
5 2 18 9 5
dx dx
x x x x
dxSi u du dx dx de esta manera
x x x x
dx dx udu asi u du c
x x x
dxluego u c
x x x
Ejemplo 8
1 12
2 2
22 2
sec 3 2 13 2 3(2 ) 3(2 ) (2 )
22
3
32 2
sec 3 2 1 1 1sec sec tan tan3 2
3 3 3 32
tdt si u t t derivando se tiene du t dt de donde
t
dt dt dudu despejando para reacomodar el diferencial tenemos
t t
t dudt u u du u t c
t
243 INTEGRACIOacuteN POR PARTES
Se obtiene a partir de la foacutermula de diferenciacioacuten de un producto Sean u(x) y v(x) dos
funciones cualesquiera Entonces d(uv) = udv + vdu Integrando ambos miembros
queda lo siguiente vduudvuvd )( La integral del diferencial de una funcioacuten es
la misma funcioacuten por lo que queda vduudvuv Despejando queda
vduuvudv foacutermula que utilizaremos para calcular integrales donde se presenten
una funcioacuten simple de derivar y otra simple de integrar Si este proceso permite calcular
la integral mas faacutecilmente nos seraacute de utilidad caso contrario lo desechamos
Ejemplo 1
Calcular xxe dx
x xx
du dxu x
v e dx e cdv e dx
1 1 1 1 2
1 2 ( )
x x x x x
x x x
xe dx x e c e c dx xe xc e c x c
donde c c constantes arbitrarias las cuales de ahora en adelante
solo las consideraremos en el resultado al final de la solucion
xe dx xe e c
Ejemplo 2 Calcular dxxx sen
cossen
du dxu x
v senx dx xdv x dx
sen cos cos cos cos cos senx x dx x x x dx x x x dx x x x c
Ejemplo 3 Calcular xlnx dx
2
2
u lnx dv xdx
dx xdu v
x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
x x dx x x x xlnxdx lnx lnx dx lnx c
x
Ejemplo 4 Calcular dxex x2
dxedv
xu
x
2
xx edxev
xdxdu 2
2 2 2x x xx e dx x e xe dx asiacute 2 2 2
1
xx e dx x e I donde dxxeI x21
La cual es otra integral por partes hacemos nuevamente
dxedv
xu
x
2
xx edxev
dxdu 2
xxxx exedxexeI 22221
Y volviendo nuevamente a la expresioacuten obtenemos el resultado final 2 2 2 2 2x x xx e dx x e xe e C
Ejemplo 5 Calcular xdxx 3cos2
2u = x
dv = cos3xdx
2du xdx
1 1v cos3xdx = 3cos3xdx = sen3x
3 3
2 2cos31 2
x xdx x sen3x xsen3xdx3 3
Dado que la segunda integral es del mismo
tipo aplicamos nuevamente el meacutetodo de integracioacuten por partes 2
3
u x dv = sen3x dx
2
3
1 1du dx v = sen3xdx = 3sen3xdx = cos3x
3 3
2 2 2 2 2xsen3xdx = - xcos3x+ cos3xdx = xcos3x+ 3cos3xdx =
3 9 9 9 27
2 2= xcos3x+ sen3x
9 27
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
Este meacutetodo tambieacuten podemos reducirlo de la siguiente forma
El siguiente tipo de integral es tambieacuten por partes pero para su solucioacuten requerimos
establecer una ecuacioacuten denominada ecuacioacuten integral ya que esta integral se cicla al
resolverla
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
2
cos3
2 13
3
2 1cos3
9
10 3
27
x x
xsen x
x
sen x
Este meacutetodo puede emplearse de este modo en integrales
del tipo algebraico por exponencial trigonomeacutetrico en
donde las derivadas sucesivas de la funcioacuten algebraica
terminan en cero Este meacutetodo es llamado Meacutetodo del
Tablero o LIATE abreviaturas de la combinacioacuten de
funciones como son logariacutetmicas inversas algebraicas
trigonomeacutetricas y exponenciales
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
INTEGRALES INDEFINIDAS Y METODOS DE INTEGRACION
INTRODUCCIOacuteN
En este capitulo trataremos el problema inverso de hallar la derivada de una funcioacuten
esto es calcular la primitiva de la misma Aunque se sabe existen muchas funciones
continuas cuya primitiva no es simple de encontrar abordaremos algunos meacutetodos para
calcular estas con exactitud
El objeto de este tema es exponer algunos meacutetodos importantes los cuales son uacutetiles para
diversos temas no solo del caacutelculo diferencial e integral sino que son herramientas
baacutesicas para temas como calculo de varias variables ecuaciones diferenciales ordinarias
ecuaciones diferenciales parciales transformadas de Laplace transformadas de Fourier
entre otras
La aplicacioacuten de la Integral definida se desarrollara en la unidad 4 en esta se estableceraacute
la relacioacuten que hay entre el aacuterea y la integral definida conexioacuten entre el Caacutelculo
Diferencial y el
Caacutelculo Integral
Calcularemos integrales indefinidas de todo tipo inmediatas o simples mediante cambio
de variable integracioacuten por partes integracioacuten de funciones racionales irracionales y
trigonomeacutetricas
OBJETIVOS
1 Conocer y emplear la concepcioacuten de primitiva de una funcioacuten
2 Distinguir la integral como la operacioacuten inversa de derivar
3 Calcular integrales simples aplicando las propiedades de las primitivas
4 Transformar una integral en otra maacutes inmediata haciendo un cambio de variable
5 Encontrar integrales por el meacutetodo de integracioacuten por partes
6 Saber utilizar las el meacutetodo algebraico de funciones racionales descomponiendo dichas
funciones en fracciones simples cuyas integrales son inmediatas
7 Calcular integrales irracionales y trigonomeacutetricas eligiendo el cambio de variable
adecuado
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Tener conocimientos baacutesicos sobre funciones de una variable derivacioacuten
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 DEFINICIOacuteN DE FUNCIOacuteN PRIMITIVA
Sea I(ab) un intervalo abierto y f una funcioacuten definida en dicho intervalo
La primitiva de f en I(ab) es una funcioacuten F continua en I la cual satisface que
F(x) = f(x) ( )x I a b Luego todas las primitivas de f son del tipo G(x) = F(x) + C
siendo C una constante cualquiera pues Grsquo(x) = F(x) + 0 = f(x)
22 DEFINICIOacuteN DE INTEGRAL INDEFINIDA
El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f y se
designa por int f(x) dx (se lee integral de f(x) diferencial de x)
Luego escribiremos int f(x)dx = F(x) + C
Ejemplos int 7x6 dx = x
7+c ya que si F(x) = x
7 entonces Frsquo(x) = 7x
6 =f(x)
Una primitiva de f(x) = 6 + senx es F(x) = 6x ndash cosx Si antildeadimos constantes
obtenemos maacutes primitivas comuacutenmente llamadas familia de funciones con caracteriacutesticas
similares pero muy particulares dependiendo del valor de la constante
23 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Veamos a continuacioacuten las propiedades que verifican las integrales indefinidas que son
consecuencia inmediata de la definicioacuten de primitiva y de las propiedades de las
derivadas
1 int ( f (x) g(x)) dx =int f (x)dx int g(x)dx
2 int k f (x)dx = k int f (x)dx k
3 int(k1 f (x) + k2g(x))dx = k1int f (x)dx + k2 int g(x)dx 1 2k k
24 CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS 241 DIRECTAS
A las primitivas que resultan aplicando en modo inverso las foacutermulas de derivacioacuten se les
llama integrales inmediatas
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de integracioacuten
La integracioacuten directa se aplica cuando identificamos la funcioacuten primitiva de manera
inmediata esto es cuando identificamos la regla de derivacioacuten que nos permite hallar el
integrando a partir de la funcioacuten primitiva
Las reglas comunes de derivacioacuten asiacute como las derivadas de funciones elementales nos
permitiraacuten generar mas faacutecilmente formulas que seraacuten imprescindibles para temas
posteriores enseguida te recordaremos algunas formulas de integracioacuten inmediata
2
1
1 )
1 11 )
11 ) ( )
1 )
1 )1
11 )
2
1 )
x x
nn
xx
a dx x c
b dx cx x
c dx ln x cx
d e dx e c
xe x dx c
n
f dx x cx
ag a dx c
lna
3 )
3 )
3 )
3 )
3 )
3 )
-1
2
-1
2
-1
2
-1
2
-1
2
-1
2
dua = sen u+c
1- u
dub - = cos u+c
1- u
duc tan u+c
1+u
dud - cot u+c
1+u
due sec u+c
u u -1
duf - csc u+c
u u -1
2 )
2 )
2 )
2 )
2 )
2 )
2 )
2
2
a senu du = cosu c
b cosu = senu c
c sec u du tanu c
d csc u du cotu c
e secu tanu du secu c
f cscu cotu du cscu c
-ln(cosu)+cg tanu du =
ln(secu)+c
4 ) cosh
4 )
4 )
2
2
a senhu du = u c
b coshu = senhu +c
4c) sech u du = tanhu +c
4d) csch u du = -cotu +c
4e) sechu tanhu du = -sechu +c
4f) cscu cotu du = -cschu +c
-ln(cosu)+cg tanhu du =
ln(secu)+c
Ejemplo 1
1 1 0 1 22 32 3 3
1 1 0 1x dx x x c x x c ya que
Ejemplo 2
2 2 2 1 1 1 3 2
3 2 2
5 7 5 75 7 5 7
2 1 1 1 3 2
5 75 7
3 2
x x dx x dx xdx x x c x x c
dya que x x c x x
dx
Ejemplo 3
5 6 2
5 6 2
= =5 6 2
5 6 2
x4 5 2x 4 5 2x
x4 5 2x
x x ex + x + e dx x dx+ x dx+ e dx c ya que
d x x ec x + x + e
dx
Ejemplo 4
(7 4cos 7) 7 4 cos 7 7cos 4 7
7cos 4 7 7 4cos 7
sen x x dx senxdx xdx dx x senx x c
dya que x sen x x c senx x
dx
Ejemplo 5 Calcular 4 3
3
8 6 10
2
x xdx
x
Esta es una integral impropia ya que el grado del polinomio del numerador es mayor que
el grado del denominador luego efectuaremos la divisioacuten termino a teacutermino
4 3 2 23 2
3 2
8 6 10 8 6 10 54 3 5 2 3
2 2 2 2 22 2
x x x xdx xdx dx x dx x x x c
x x
Ejemplo 6 Calcular 2 2(1 tan )cotx xdx
Solucioacuten
2 2 2 2 2 2 2(1+tan x)cot x cot x cot xtan x cot x 1= csc x
De tal modo que
2 2 2(1+tan x)cot xdx csc xdx -cotx c
Ejemplo 7 Calcular 22 7 3x x x dx
Solucioacuten
51 1
2 2 3 22 2 2
5 3 11 1 1 7 5 32 2 2
2 2 25 3 1
1 1 12 2 2
2 7 3 2 7 3 (2 7 3 )
4 142 7 3 2
7 5
x x x dx x x x dx x x x dx
x x xx x x c
Ejemplo 8
2 2
1 1 1
sec cos cos coscos 1coscot tan
cos coscos
cos
x x x xdx dx dx dxsenx x sen x xx x
x senx senx xsenx x
senxdx x c
242 POR CAMBIO DE VARIABLE
Una praacutectica para encontrar primitivas tiene como base la conocida regla de la cadena
Esta nos indica que si tenemos una funcioacuten f(u) que raacutepidamente podemos integrar y
en lugar de u sustituimos esta por alguna otra funcioacuten de x u = g(x) entonces
int f (g(x))g(x)dx = int f (u)du
Despueacutes integramos con respecto a u y posteriormente deshacemos el cambio para
escribir el resultado en teacuterminos de la variable inicial
Se trata de transformar una integral en otra maacutes sencilla haciendo un cambio de variable
adecuado
Ejemplo 1 Calcular 2
16 tan(4 3)
sec (4x - 3)dx
x
Solucioacuten
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable 16 tan(4 3)u x de donde
derivando tenemos 2 24sec (4 3) sec (4 3)4
dudu x dx de donde x dx
Substituyendo ambas expresiones en la integral original podemos escribir
2 1 1
ln( ) ln 16 tan(4 3)16 tan(4 3) 4 4 4
sec (4x - 3) du dudx u c x c
x u u
Ejemplo 2 Calcular 2
3 2
3 3 2
2 3 4
( x x )dx
x x x
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable
3 2 2 22 3 4 6 6 4 2(3 3 2)u x x x de donde du x x dx x x dx despejando
2(3 3 2)2
dux x dx Sustituyendo ambas expresiones en la integral original podemos
escribir
312 2 3 2
3 22
3 2
3 3 2 22 3 4
3 32 3 4 2
( x x ) du udx u du c x x x c
ux x x
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
73 (4 cos3 ) 4 cos3 3 3 33
dusen x x dx sea u x du sen xdx sen xdx
Sustituyendo en la integral inicial 8
7 7 7
87
1 13 (4 cos3 )
3 3 3 8
(4 cos3 )3 (4 cos3 )
24
du usen x x dx u u du c
xluego sen x x dx c
Ejemplo 7 1
2
2 2
2 2 2
1 322 1
22 2
323
22
3 31 1
5 2 5 2
3 15 3 3 21
5 25 5 5 2
5 3 5 51
36 2 5 6 62
3 10 5 31 1
5 2 18 9 5
dx dx
x x x x
dxSi u du dx dx de esta manera
x x x x
dx dx udu asi u du c
x x x
dxluego u c
x x x
Ejemplo 8
1 12
2 2
22 2
sec 3 2 13 2 3(2 ) 3(2 ) (2 )
22
3
32 2
sec 3 2 1 1 1sec sec tan tan3 2
3 3 3 32
tdt si u t t derivando se tiene du t dt de donde
t
dt dt dudu despejando para reacomodar el diferencial tenemos
t t
t dudt u u du u t c
t
243 INTEGRACIOacuteN POR PARTES
Se obtiene a partir de la foacutermula de diferenciacioacuten de un producto Sean u(x) y v(x) dos
funciones cualesquiera Entonces d(uv) = udv + vdu Integrando ambos miembros
queda lo siguiente vduudvuvd )( La integral del diferencial de una funcioacuten es
la misma funcioacuten por lo que queda vduudvuv Despejando queda
vduuvudv foacutermula que utilizaremos para calcular integrales donde se presenten
una funcioacuten simple de derivar y otra simple de integrar Si este proceso permite calcular
la integral mas faacutecilmente nos seraacute de utilidad caso contrario lo desechamos
Ejemplo 1
Calcular xxe dx
x xx
du dxu x
v e dx e cdv e dx
1 1 1 1 2
1 2 ( )
x x x x x
x x x
xe dx x e c e c dx xe xc e c x c
donde c c constantes arbitrarias las cuales de ahora en adelante
solo las consideraremos en el resultado al final de la solucion
xe dx xe e c
Ejemplo 2 Calcular dxxx sen
cossen
du dxu x
v senx dx xdv x dx
sen cos cos cos cos cos senx x dx x x x dx x x x dx x x x c
Ejemplo 3 Calcular xlnx dx
2
2
u lnx dv xdx
dx xdu v
x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
x x dx x x x xlnxdx lnx lnx dx lnx c
x
Ejemplo 4 Calcular dxex x2
dxedv
xu
x
2
xx edxev
xdxdu 2
2 2 2x x xx e dx x e xe dx asiacute 2 2 2
1
xx e dx x e I donde dxxeI x21
La cual es otra integral por partes hacemos nuevamente
dxedv
xu
x
2
xx edxev
dxdu 2
xxxx exedxexeI 22221
Y volviendo nuevamente a la expresioacuten obtenemos el resultado final 2 2 2 2 2x x xx e dx x e xe e C
Ejemplo 5 Calcular xdxx 3cos2
2u = x
dv = cos3xdx
2du xdx
1 1v cos3xdx = 3cos3xdx = sen3x
3 3
2 2cos31 2
x xdx x sen3x xsen3xdx3 3
Dado que la segunda integral es del mismo
tipo aplicamos nuevamente el meacutetodo de integracioacuten por partes 2
3
u x dv = sen3x dx
2
3
1 1du dx v = sen3xdx = 3sen3xdx = cos3x
3 3
2 2 2 2 2xsen3xdx = - xcos3x+ cos3xdx = xcos3x+ 3cos3xdx =
3 9 9 9 27
2 2= xcos3x+ sen3x
9 27
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
Este meacutetodo tambieacuten podemos reducirlo de la siguiente forma
El siguiente tipo de integral es tambieacuten por partes pero para su solucioacuten requerimos
establecer una ecuacioacuten denominada ecuacioacuten integral ya que esta integral se cicla al
resolverla
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
2
cos3
2 13
3
2 1cos3
9
10 3
27
x x
xsen x
x
sen x
Este meacutetodo puede emplearse de este modo en integrales
del tipo algebraico por exponencial trigonomeacutetrico en
donde las derivadas sucesivas de la funcioacuten algebraica
terminan en cero Este meacutetodo es llamado Meacutetodo del
Tablero o LIATE abreviaturas de la combinacioacuten de
funciones como son logariacutetmicas inversas algebraicas
trigonomeacutetricas y exponenciales
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
22 DEFINICIOacuteN DE INTEGRAL INDEFINIDA
El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f y se
designa por int f(x) dx (se lee integral de f(x) diferencial de x)
Luego escribiremos int f(x)dx = F(x) + C
Ejemplos int 7x6 dx = x
7+c ya que si F(x) = x
7 entonces Frsquo(x) = 7x
6 =f(x)
Una primitiva de f(x) = 6 + senx es F(x) = 6x ndash cosx Si antildeadimos constantes
obtenemos maacutes primitivas comuacutenmente llamadas familia de funciones con caracteriacutesticas
similares pero muy particulares dependiendo del valor de la constante
23 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Veamos a continuacioacuten las propiedades que verifican las integrales indefinidas que son
consecuencia inmediata de la definicioacuten de primitiva y de las propiedades de las
derivadas
1 int ( f (x) g(x)) dx =int f (x)dx int g(x)dx
2 int k f (x)dx = k int f (x)dx k
3 int(k1 f (x) + k2g(x))dx = k1int f (x)dx + k2 int g(x)dx 1 2k k
24 CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS 241 DIRECTAS
A las primitivas que resultan aplicando en modo inverso las foacutermulas de derivacioacuten se les
llama integrales inmediatas
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de integracioacuten
La integracioacuten directa se aplica cuando identificamos la funcioacuten primitiva de manera
inmediata esto es cuando identificamos la regla de derivacioacuten que nos permite hallar el
integrando a partir de la funcioacuten primitiva
Las reglas comunes de derivacioacuten asiacute como las derivadas de funciones elementales nos
permitiraacuten generar mas faacutecilmente formulas que seraacuten imprescindibles para temas
posteriores enseguida te recordaremos algunas formulas de integracioacuten inmediata
2
1
1 )
1 11 )
11 ) ( )
1 )
1 )1
11 )
2
1 )
x x
nn
xx
a dx x c
b dx cx x
c dx ln x cx
d e dx e c
xe x dx c
n
f dx x cx
ag a dx c
lna
3 )
3 )
3 )
3 )
3 )
3 )
-1
2
-1
2
-1
2
-1
2
-1
2
-1
2
dua = sen u+c
1- u
dub - = cos u+c
1- u
duc tan u+c
1+u
dud - cot u+c
1+u
due sec u+c
u u -1
duf - csc u+c
u u -1
2 )
2 )
2 )
2 )
2 )
2 )
2 )
2
2
a senu du = cosu c
b cosu = senu c
c sec u du tanu c
d csc u du cotu c
e secu tanu du secu c
f cscu cotu du cscu c
-ln(cosu)+cg tanu du =
ln(secu)+c
4 ) cosh
4 )
4 )
2
2
a senhu du = u c
b coshu = senhu +c
4c) sech u du = tanhu +c
4d) csch u du = -cotu +c
4e) sechu tanhu du = -sechu +c
4f) cscu cotu du = -cschu +c
-ln(cosu)+cg tanhu du =
ln(secu)+c
Ejemplo 1
1 1 0 1 22 32 3 3
1 1 0 1x dx x x c x x c ya que
Ejemplo 2
2 2 2 1 1 1 3 2
3 2 2
5 7 5 75 7 5 7
2 1 1 1 3 2
5 75 7
3 2
x x dx x dx xdx x x c x x c
dya que x x c x x
dx
Ejemplo 3
5 6 2
5 6 2
= =5 6 2
5 6 2
x4 5 2x 4 5 2x
x4 5 2x
x x ex + x + e dx x dx+ x dx+ e dx c ya que
d x x ec x + x + e
dx
Ejemplo 4
(7 4cos 7) 7 4 cos 7 7cos 4 7
7cos 4 7 7 4cos 7
sen x x dx senxdx xdx dx x senx x c
dya que x sen x x c senx x
dx
Ejemplo 5 Calcular 4 3
3
8 6 10
2
x xdx
x
Esta es una integral impropia ya que el grado del polinomio del numerador es mayor que
el grado del denominador luego efectuaremos la divisioacuten termino a teacutermino
4 3 2 23 2
3 2
8 6 10 8 6 10 54 3 5 2 3
2 2 2 2 22 2
x x x xdx xdx dx x dx x x x c
x x
Ejemplo 6 Calcular 2 2(1 tan )cotx xdx
Solucioacuten
2 2 2 2 2 2 2(1+tan x)cot x cot x cot xtan x cot x 1= csc x
De tal modo que
2 2 2(1+tan x)cot xdx csc xdx -cotx c
Ejemplo 7 Calcular 22 7 3x x x dx
Solucioacuten
51 1
2 2 3 22 2 2
5 3 11 1 1 7 5 32 2 2
2 2 25 3 1
1 1 12 2 2
2 7 3 2 7 3 (2 7 3 )
4 142 7 3 2
7 5
x x x dx x x x dx x x x dx
x x xx x x c
Ejemplo 8
2 2
1 1 1
sec cos cos coscos 1coscot tan
cos coscos
cos
x x x xdx dx dx dxsenx x sen x xx x
x senx senx xsenx x
senxdx x c
242 POR CAMBIO DE VARIABLE
Una praacutectica para encontrar primitivas tiene como base la conocida regla de la cadena
Esta nos indica que si tenemos una funcioacuten f(u) que raacutepidamente podemos integrar y
en lugar de u sustituimos esta por alguna otra funcioacuten de x u = g(x) entonces
int f (g(x))g(x)dx = int f (u)du
Despueacutes integramos con respecto a u y posteriormente deshacemos el cambio para
escribir el resultado en teacuterminos de la variable inicial
Se trata de transformar una integral en otra maacutes sencilla haciendo un cambio de variable
adecuado
Ejemplo 1 Calcular 2
16 tan(4 3)
sec (4x - 3)dx
x
Solucioacuten
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable 16 tan(4 3)u x de donde
derivando tenemos 2 24sec (4 3) sec (4 3)4
dudu x dx de donde x dx
Substituyendo ambas expresiones en la integral original podemos escribir
2 1 1
ln( ) ln 16 tan(4 3)16 tan(4 3) 4 4 4
sec (4x - 3) du dudx u c x c
x u u
Ejemplo 2 Calcular 2
3 2
3 3 2
2 3 4
( x x )dx
x x x
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable
3 2 2 22 3 4 6 6 4 2(3 3 2)u x x x de donde du x x dx x x dx despejando
2(3 3 2)2
dux x dx Sustituyendo ambas expresiones en la integral original podemos
escribir
312 2 3 2
3 22
3 2
3 3 2 22 3 4
3 32 3 4 2
( x x ) du udx u du c x x x c
ux x x
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
73 (4 cos3 ) 4 cos3 3 3 33
dusen x x dx sea u x du sen xdx sen xdx
Sustituyendo en la integral inicial 8
7 7 7
87
1 13 (4 cos3 )
3 3 3 8
(4 cos3 )3 (4 cos3 )
24
du usen x x dx u u du c
xluego sen x x dx c
Ejemplo 7 1
2
2 2
2 2 2
1 322 1
22 2
323
22
3 31 1
5 2 5 2
3 15 3 3 21
5 25 5 5 2
5 3 5 51
36 2 5 6 62
3 10 5 31 1
5 2 18 9 5
dx dx
x x x x
dxSi u du dx dx de esta manera
x x x x
dx dx udu asi u du c
x x x
dxluego u c
x x x
Ejemplo 8
1 12
2 2
22 2
sec 3 2 13 2 3(2 ) 3(2 ) (2 )
22
3
32 2
sec 3 2 1 1 1sec sec tan tan3 2
3 3 3 32
tdt si u t t derivando se tiene du t dt de donde
t
dt dt dudu despejando para reacomodar el diferencial tenemos
t t
t dudt u u du u t c
t
243 INTEGRACIOacuteN POR PARTES
Se obtiene a partir de la foacutermula de diferenciacioacuten de un producto Sean u(x) y v(x) dos
funciones cualesquiera Entonces d(uv) = udv + vdu Integrando ambos miembros
queda lo siguiente vduudvuvd )( La integral del diferencial de una funcioacuten es
la misma funcioacuten por lo que queda vduudvuv Despejando queda
vduuvudv foacutermula que utilizaremos para calcular integrales donde se presenten
una funcioacuten simple de derivar y otra simple de integrar Si este proceso permite calcular
la integral mas faacutecilmente nos seraacute de utilidad caso contrario lo desechamos
Ejemplo 1
Calcular xxe dx
x xx
du dxu x
v e dx e cdv e dx
1 1 1 1 2
1 2 ( )
x x x x x
x x x
xe dx x e c e c dx xe xc e c x c
donde c c constantes arbitrarias las cuales de ahora en adelante
solo las consideraremos en el resultado al final de la solucion
xe dx xe e c
Ejemplo 2 Calcular dxxx sen
cossen
du dxu x
v senx dx xdv x dx
sen cos cos cos cos cos senx x dx x x x dx x x x dx x x x c
Ejemplo 3 Calcular xlnx dx
2
2
u lnx dv xdx
dx xdu v
x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
x x dx x x x xlnxdx lnx lnx dx lnx c
x
Ejemplo 4 Calcular dxex x2
dxedv
xu
x
2
xx edxev
xdxdu 2
2 2 2x x xx e dx x e xe dx asiacute 2 2 2
1
xx e dx x e I donde dxxeI x21
La cual es otra integral por partes hacemos nuevamente
dxedv
xu
x
2
xx edxev
dxdu 2
xxxx exedxexeI 22221
Y volviendo nuevamente a la expresioacuten obtenemos el resultado final 2 2 2 2 2x x xx e dx x e xe e C
Ejemplo 5 Calcular xdxx 3cos2
2u = x
dv = cos3xdx
2du xdx
1 1v cos3xdx = 3cos3xdx = sen3x
3 3
2 2cos31 2
x xdx x sen3x xsen3xdx3 3
Dado que la segunda integral es del mismo
tipo aplicamos nuevamente el meacutetodo de integracioacuten por partes 2
3
u x dv = sen3x dx
2
3
1 1du dx v = sen3xdx = 3sen3xdx = cos3x
3 3
2 2 2 2 2xsen3xdx = - xcos3x+ cos3xdx = xcos3x+ 3cos3xdx =
3 9 9 9 27
2 2= xcos3x+ sen3x
9 27
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
Este meacutetodo tambieacuten podemos reducirlo de la siguiente forma
El siguiente tipo de integral es tambieacuten por partes pero para su solucioacuten requerimos
establecer una ecuacioacuten denominada ecuacioacuten integral ya que esta integral se cicla al
resolverla
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
2
cos3
2 13
3
2 1cos3
9
10 3
27
x x
xsen x
x
sen x
Este meacutetodo puede emplearse de este modo en integrales
del tipo algebraico por exponencial trigonomeacutetrico en
donde las derivadas sucesivas de la funcioacuten algebraica
terminan en cero Este meacutetodo es llamado Meacutetodo del
Tablero o LIATE abreviaturas de la combinacioacuten de
funciones como son logariacutetmicas inversas algebraicas
trigonomeacutetricas y exponenciales
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
Ejemplo 1
1 1 0 1 22 32 3 3
1 1 0 1x dx x x c x x c ya que
Ejemplo 2
2 2 2 1 1 1 3 2
3 2 2
5 7 5 75 7 5 7
2 1 1 1 3 2
5 75 7
3 2
x x dx x dx xdx x x c x x c
dya que x x c x x
dx
Ejemplo 3
5 6 2
5 6 2
= =5 6 2
5 6 2
x4 5 2x 4 5 2x
x4 5 2x
x x ex + x + e dx x dx+ x dx+ e dx c ya que
d x x ec x + x + e
dx
Ejemplo 4
(7 4cos 7) 7 4 cos 7 7cos 4 7
7cos 4 7 7 4cos 7
sen x x dx senxdx xdx dx x senx x c
dya que x sen x x c senx x
dx
Ejemplo 5 Calcular 4 3
3
8 6 10
2
x xdx
x
Esta es una integral impropia ya que el grado del polinomio del numerador es mayor que
el grado del denominador luego efectuaremos la divisioacuten termino a teacutermino
4 3 2 23 2
3 2
8 6 10 8 6 10 54 3 5 2 3
2 2 2 2 22 2
x x x xdx xdx dx x dx x x x c
x x
Ejemplo 6 Calcular 2 2(1 tan )cotx xdx
Solucioacuten
2 2 2 2 2 2 2(1+tan x)cot x cot x cot xtan x cot x 1= csc x
De tal modo que
2 2 2(1+tan x)cot xdx csc xdx -cotx c
Ejemplo 7 Calcular 22 7 3x x x dx
Solucioacuten
51 1
2 2 3 22 2 2
5 3 11 1 1 7 5 32 2 2
2 2 25 3 1
1 1 12 2 2
2 7 3 2 7 3 (2 7 3 )
4 142 7 3 2
7 5
x x x dx x x x dx x x x dx
x x xx x x c
Ejemplo 8
2 2
1 1 1
sec cos cos coscos 1coscot tan
cos coscos
cos
x x x xdx dx dx dxsenx x sen x xx x
x senx senx xsenx x
senxdx x c
242 POR CAMBIO DE VARIABLE
Una praacutectica para encontrar primitivas tiene como base la conocida regla de la cadena
Esta nos indica que si tenemos una funcioacuten f(u) que raacutepidamente podemos integrar y
en lugar de u sustituimos esta por alguna otra funcioacuten de x u = g(x) entonces
int f (g(x))g(x)dx = int f (u)du
Despueacutes integramos con respecto a u y posteriormente deshacemos el cambio para
escribir el resultado en teacuterminos de la variable inicial
Se trata de transformar una integral en otra maacutes sencilla haciendo un cambio de variable
adecuado
Ejemplo 1 Calcular 2
16 tan(4 3)
sec (4x - 3)dx
x
Solucioacuten
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable 16 tan(4 3)u x de donde
derivando tenemos 2 24sec (4 3) sec (4 3)4
dudu x dx de donde x dx
Substituyendo ambas expresiones en la integral original podemos escribir
2 1 1
ln( ) ln 16 tan(4 3)16 tan(4 3) 4 4 4
sec (4x - 3) du dudx u c x c
x u u
Ejemplo 2 Calcular 2
3 2
3 3 2
2 3 4
( x x )dx
x x x
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable
3 2 2 22 3 4 6 6 4 2(3 3 2)u x x x de donde du x x dx x x dx despejando
2(3 3 2)2
dux x dx Sustituyendo ambas expresiones en la integral original podemos
escribir
312 2 3 2
3 22
3 2
3 3 2 22 3 4
3 32 3 4 2
( x x ) du udx u du c x x x c
ux x x
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
73 (4 cos3 ) 4 cos3 3 3 33
dusen x x dx sea u x du sen xdx sen xdx
Sustituyendo en la integral inicial 8
7 7 7
87
1 13 (4 cos3 )
3 3 3 8
(4 cos3 )3 (4 cos3 )
24
du usen x x dx u u du c
xluego sen x x dx c
Ejemplo 7 1
2
2 2
2 2 2
1 322 1
22 2
323
22
3 31 1
5 2 5 2
3 15 3 3 21
5 25 5 5 2
5 3 5 51
36 2 5 6 62
3 10 5 31 1
5 2 18 9 5
dx dx
x x x x
dxSi u du dx dx de esta manera
x x x x
dx dx udu asi u du c
x x x
dxluego u c
x x x
Ejemplo 8
1 12
2 2
22 2
sec 3 2 13 2 3(2 ) 3(2 ) (2 )
22
3
32 2
sec 3 2 1 1 1sec sec tan tan3 2
3 3 3 32
tdt si u t t derivando se tiene du t dt de donde
t
dt dt dudu despejando para reacomodar el diferencial tenemos
t t
t dudt u u du u t c
t
243 INTEGRACIOacuteN POR PARTES
Se obtiene a partir de la foacutermula de diferenciacioacuten de un producto Sean u(x) y v(x) dos
funciones cualesquiera Entonces d(uv) = udv + vdu Integrando ambos miembros
queda lo siguiente vduudvuvd )( La integral del diferencial de una funcioacuten es
la misma funcioacuten por lo que queda vduudvuv Despejando queda
vduuvudv foacutermula que utilizaremos para calcular integrales donde se presenten
una funcioacuten simple de derivar y otra simple de integrar Si este proceso permite calcular
la integral mas faacutecilmente nos seraacute de utilidad caso contrario lo desechamos
Ejemplo 1
Calcular xxe dx
x xx
du dxu x
v e dx e cdv e dx
1 1 1 1 2
1 2 ( )
x x x x x
x x x
xe dx x e c e c dx xe xc e c x c
donde c c constantes arbitrarias las cuales de ahora en adelante
solo las consideraremos en el resultado al final de la solucion
xe dx xe e c
Ejemplo 2 Calcular dxxx sen
cossen
du dxu x
v senx dx xdv x dx
sen cos cos cos cos cos senx x dx x x x dx x x x dx x x x c
Ejemplo 3 Calcular xlnx dx
2
2
u lnx dv xdx
dx xdu v
x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
x x dx x x x xlnxdx lnx lnx dx lnx c
x
Ejemplo 4 Calcular dxex x2
dxedv
xu
x
2
xx edxev
xdxdu 2
2 2 2x x xx e dx x e xe dx asiacute 2 2 2
1
xx e dx x e I donde dxxeI x21
La cual es otra integral por partes hacemos nuevamente
dxedv
xu
x
2
xx edxev
dxdu 2
xxxx exedxexeI 22221
Y volviendo nuevamente a la expresioacuten obtenemos el resultado final 2 2 2 2 2x x xx e dx x e xe e C
Ejemplo 5 Calcular xdxx 3cos2
2u = x
dv = cos3xdx
2du xdx
1 1v cos3xdx = 3cos3xdx = sen3x
3 3
2 2cos31 2
x xdx x sen3x xsen3xdx3 3
Dado que la segunda integral es del mismo
tipo aplicamos nuevamente el meacutetodo de integracioacuten por partes 2
3
u x dv = sen3x dx
2
3
1 1du dx v = sen3xdx = 3sen3xdx = cos3x
3 3
2 2 2 2 2xsen3xdx = - xcos3x+ cos3xdx = xcos3x+ 3cos3xdx =
3 9 9 9 27
2 2= xcos3x+ sen3x
9 27
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
Este meacutetodo tambieacuten podemos reducirlo de la siguiente forma
El siguiente tipo de integral es tambieacuten por partes pero para su solucioacuten requerimos
establecer una ecuacioacuten denominada ecuacioacuten integral ya que esta integral se cicla al
resolverla
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
2
cos3
2 13
3
2 1cos3
9
10 3
27
x x
xsen x
x
sen x
Este meacutetodo puede emplearse de este modo en integrales
del tipo algebraico por exponencial trigonomeacutetrico en
donde las derivadas sucesivas de la funcioacuten algebraica
terminan en cero Este meacutetodo es llamado Meacutetodo del
Tablero o LIATE abreviaturas de la combinacioacuten de
funciones como son logariacutetmicas inversas algebraicas
trigonomeacutetricas y exponenciales
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
2 2 2 2 2 2 2(1+tan x)cot x cot x cot xtan x cot x 1= csc x
De tal modo que
2 2 2(1+tan x)cot xdx csc xdx -cotx c
Ejemplo 7 Calcular 22 7 3x x x dx
Solucioacuten
51 1
2 2 3 22 2 2
5 3 11 1 1 7 5 32 2 2
2 2 25 3 1
1 1 12 2 2
2 7 3 2 7 3 (2 7 3 )
4 142 7 3 2
7 5
x x x dx x x x dx x x x dx
x x xx x x c
Ejemplo 8
2 2
1 1 1
sec cos cos coscos 1coscot tan
cos coscos
cos
x x x xdx dx dx dxsenx x sen x xx x
x senx senx xsenx x
senxdx x c
242 POR CAMBIO DE VARIABLE
Una praacutectica para encontrar primitivas tiene como base la conocida regla de la cadena
Esta nos indica que si tenemos una funcioacuten f(u) que raacutepidamente podemos integrar y
en lugar de u sustituimos esta por alguna otra funcioacuten de x u = g(x) entonces
int f (g(x))g(x)dx = int f (u)du
Despueacutes integramos con respecto a u y posteriormente deshacemos el cambio para
escribir el resultado en teacuterminos de la variable inicial
Se trata de transformar una integral en otra maacutes sencilla haciendo un cambio de variable
adecuado
Ejemplo 1 Calcular 2
16 tan(4 3)
sec (4x - 3)dx
x
Solucioacuten
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable 16 tan(4 3)u x de donde
derivando tenemos 2 24sec (4 3) sec (4 3)4
dudu x dx de donde x dx
Substituyendo ambas expresiones en la integral original podemos escribir
2 1 1
ln( ) ln 16 tan(4 3)16 tan(4 3) 4 4 4
sec (4x - 3) du dudx u c x c
x u u
Ejemplo 2 Calcular 2
3 2
3 3 2
2 3 4
( x x )dx
x x x
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable
3 2 2 22 3 4 6 6 4 2(3 3 2)u x x x de donde du x x dx x x dx despejando
2(3 3 2)2
dux x dx Sustituyendo ambas expresiones en la integral original podemos
escribir
312 2 3 2
3 22
3 2
3 3 2 22 3 4
3 32 3 4 2
( x x ) du udx u du c x x x c
ux x x
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
73 (4 cos3 ) 4 cos3 3 3 33
dusen x x dx sea u x du sen xdx sen xdx
Sustituyendo en la integral inicial 8
7 7 7
87
1 13 (4 cos3 )
3 3 3 8
(4 cos3 )3 (4 cos3 )
24
du usen x x dx u u du c
xluego sen x x dx c
Ejemplo 7 1
2
2 2
2 2 2
1 322 1
22 2
323
22
3 31 1
5 2 5 2
3 15 3 3 21
5 25 5 5 2
5 3 5 51
36 2 5 6 62
3 10 5 31 1
5 2 18 9 5
dx dx
x x x x
dxSi u du dx dx de esta manera
x x x x
dx dx udu asi u du c
x x x
dxluego u c
x x x
Ejemplo 8
1 12
2 2
22 2
sec 3 2 13 2 3(2 ) 3(2 ) (2 )
22
3
32 2
sec 3 2 1 1 1sec sec tan tan3 2
3 3 3 32
tdt si u t t derivando se tiene du t dt de donde
t
dt dt dudu despejando para reacomodar el diferencial tenemos
t t
t dudt u u du u t c
t
243 INTEGRACIOacuteN POR PARTES
Se obtiene a partir de la foacutermula de diferenciacioacuten de un producto Sean u(x) y v(x) dos
funciones cualesquiera Entonces d(uv) = udv + vdu Integrando ambos miembros
queda lo siguiente vduudvuvd )( La integral del diferencial de una funcioacuten es
la misma funcioacuten por lo que queda vduudvuv Despejando queda
vduuvudv foacutermula que utilizaremos para calcular integrales donde se presenten
una funcioacuten simple de derivar y otra simple de integrar Si este proceso permite calcular
la integral mas faacutecilmente nos seraacute de utilidad caso contrario lo desechamos
Ejemplo 1
Calcular xxe dx
x xx
du dxu x
v e dx e cdv e dx
1 1 1 1 2
1 2 ( )
x x x x x
x x x
xe dx x e c e c dx xe xc e c x c
donde c c constantes arbitrarias las cuales de ahora en adelante
solo las consideraremos en el resultado al final de la solucion
xe dx xe e c
Ejemplo 2 Calcular dxxx sen
cossen
du dxu x
v senx dx xdv x dx
sen cos cos cos cos cos senx x dx x x x dx x x x dx x x x c
Ejemplo 3 Calcular xlnx dx
2
2
u lnx dv xdx
dx xdu v
x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
x x dx x x x xlnxdx lnx lnx dx lnx c
x
Ejemplo 4 Calcular dxex x2
dxedv
xu
x
2
xx edxev
xdxdu 2
2 2 2x x xx e dx x e xe dx asiacute 2 2 2
1
xx e dx x e I donde dxxeI x21
La cual es otra integral por partes hacemos nuevamente
dxedv
xu
x
2
xx edxev
dxdu 2
xxxx exedxexeI 22221
Y volviendo nuevamente a la expresioacuten obtenemos el resultado final 2 2 2 2 2x x xx e dx x e xe e C
Ejemplo 5 Calcular xdxx 3cos2
2u = x
dv = cos3xdx
2du xdx
1 1v cos3xdx = 3cos3xdx = sen3x
3 3
2 2cos31 2
x xdx x sen3x xsen3xdx3 3
Dado que la segunda integral es del mismo
tipo aplicamos nuevamente el meacutetodo de integracioacuten por partes 2
3
u x dv = sen3x dx
2
3
1 1du dx v = sen3xdx = 3sen3xdx = cos3x
3 3
2 2 2 2 2xsen3xdx = - xcos3x+ cos3xdx = xcos3x+ 3cos3xdx =
3 9 9 9 27
2 2= xcos3x+ sen3x
9 27
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
Este meacutetodo tambieacuten podemos reducirlo de la siguiente forma
El siguiente tipo de integral es tambieacuten por partes pero para su solucioacuten requerimos
establecer una ecuacioacuten denominada ecuacioacuten integral ya que esta integral se cicla al
resolverla
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
2
cos3
2 13
3
2 1cos3
9
10 3
27
x x
xsen x
x
sen x
Este meacutetodo puede emplearse de este modo en integrales
del tipo algebraico por exponencial trigonomeacutetrico en
donde las derivadas sucesivas de la funcioacuten algebraica
terminan en cero Este meacutetodo es llamado Meacutetodo del
Tablero o LIATE abreviaturas de la combinacioacuten de
funciones como son logariacutetmicas inversas algebraicas
trigonomeacutetricas y exponenciales
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
Substituyendo ambas expresiones en la integral original podemos escribir
2 1 1
ln( ) ln 16 tan(4 3)16 tan(4 3) 4 4 4
sec (4x - 3) du dudx u c x c
x u u
Ejemplo 2 Calcular 2
3 2
3 3 2
2 3 4
( x x )dx
x x x
Podemos efectuar el siguiente cambio de variable
3 2 2 22 3 4 6 6 4 2(3 3 2)u x x x de donde du x x dx x x dx despejando
2(3 3 2)2
dux x dx Sustituyendo ambas expresiones en la integral original podemos
escribir
312 2 3 2
3 22
3 2
3 3 2 22 3 4
3 32 3 4 2
( x x ) du udx u du c x x x c
ux x x
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
73 (4 cos3 ) 4 cos3 3 3 33
dusen x x dx sea u x du sen xdx sen xdx
Sustituyendo en la integral inicial 8
7 7 7
87
1 13 (4 cos3 )
3 3 3 8
(4 cos3 )3 (4 cos3 )
24
du usen x x dx u u du c
xluego sen x x dx c
Ejemplo 7 1
2
2 2
2 2 2
1 322 1
22 2
323
22
3 31 1
5 2 5 2
3 15 3 3 21
5 25 5 5 2
5 3 5 51
36 2 5 6 62
3 10 5 31 1
5 2 18 9 5
dx dx
x x x x
dxSi u du dx dx de esta manera
x x x x
dx dx udu asi u du c
x x x
dxluego u c
x x x
Ejemplo 8
1 12
2 2
22 2
sec 3 2 13 2 3(2 ) 3(2 ) (2 )
22
3
32 2
sec 3 2 1 1 1sec sec tan tan3 2
3 3 3 32
tdt si u t t derivando se tiene du t dt de donde
t
dt dt dudu despejando para reacomodar el diferencial tenemos
t t
t dudt u u du u t c
t
243 INTEGRACIOacuteN POR PARTES
Se obtiene a partir de la foacutermula de diferenciacioacuten de un producto Sean u(x) y v(x) dos
funciones cualesquiera Entonces d(uv) = udv + vdu Integrando ambos miembros
queda lo siguiente vduudvuvd )( La integral del diferencial de una funcioacuten es
la misma funcioacuten por lo que queda vduudvuv Despejando queda
vduuvudv foacutermula que utilizaremos para calcular integrales donde se presenten
una funcioacuten simple de derivar y otra simple de integrar Si este proceso permite calcular
la integral mas faacutecilmente nos seraacute de utilidad caso contrario lo desechamos
Ejemplo 1
Calcular xxe dx
x xx
du dxu x
v e dx e cdv e dx
1 1 1 1 2
1 2 ( )
x x x x x
x x x
xe dx x e c e c dx xe xc e c x c
donde c c constantes arbitrarias las cuales de ahora en adelante
solo las consideraremos en el resultado al final de la solucion
xe dx xe e c
Ejemplo 2 Calcular dxxx sen
cossen
du dxu x
v senx dx xdv x dx
sen cos cos cos cos cos senx x dx x x x dx x x x dx x x x c
Ejemplo 3 Calcular xlnx dx
2
2
u lnx dv xdx
dx xdu v
x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
x x dx x x x xlnxdx lnx lnx dx lnx c
x
Ejemplo 4 Calcular dxex x2
dxedv
xu
x
2
xx edxev
xdxdu 2
2 2 2x x xx e dx x e xe dx asiacute 2 2 2
1
xx e dx x e I donde dxxeI x21
La cual es otra integral por partes hacemos nuevamente
dxedv
xu
x
2
xx edxev
dxdu 2
xxxx exedxexeI 22221
Y volviendo nuevamente a la expresioacuten obtenemos el resultado final 2 2 2 2 2x x xx e dx x e xe e C
Ejemplo 5 Calcular xdxx 3cos2
2u = x
dv = cos3xdx
2du xdx
1 1v cos3xdx = 3cos3xdx = sen3x
3 3
2 2cos31 2
x xdx x sen3x xsen3xdx3 3
Dado que la segunda integral es del mismo
tipo aplicamos nuevamente el meacutetodo de integracioacuten por partes 2
3
u x dv = sen3x dx
2
3
1 1du dx v = sen3xdx = 3sen3xdx = cos3x
3 3
2 2 2 2 2xsen3xdx = - xcos3x+ cos3xdx = xcos3x+ 3cos3xdx =
3 9 9 9 27
2 2= xcos3x+ sen3x
9 27
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
Este meacutetodo tambieacuten podemos reducirlo de la siguiente forma
El siguiente tipo de integral es tambieacuten por partes pero para su solucioacuten requerimos
establecer una ecuacioacuten denominada ecuacioacuten integral ya que esta integral se cicla al
resolverla
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
2
cos3
2 13
3
2 1cos3
9
10 3
27
x x
xsen x
x
sen x
Este meacutetodo puede emplearse de este modo en integrales
del tipo algebraico por exponencial trigonomeacutetrico en
donde las derivadas sucesivas de la funcioacuten algebraica
terminan en cero Este meacutetodo es llamado Meacutetodo del
Tablero o LIATE abreviaturas de la combinacioacuten de
funciones como son logariacutetmicas inversas algebraicas
trigonomeacutetricas y exponenciales
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
Ejemplo 6
73 (4 cos3 ) 4 cos3 3 3 33
dusen x x dx sea u x du sen xdx sen xdx
Sustituyendo en la integral inicial 8
7 7 7
87
1 13 (4 cos3 )
3 3 3 8
(4 cos3 )3 (4 cos3 )
24
du usen x x dx u u du c
xluego sen x x dx c
Ejemplo 7 1
2
2 2
2 2 2
1 322 1
22 2
323
22
3 31 1
5 2 5 2
3 15 3 3 21
5 25 5 5 2
5 3 5 51
36 2 5 6 62
3 10 5 31 1
5 2 18 9 5
dx dx
x x x x
dxSi u du dx dx de esta manera
x x x x
dx dx udu asi u du c
x x x
dxluego u c
x x x
Ejemplo 8
1 12
2 2
22 2
sec 3 2 13 2 3(2 ) 3(2 ) (2 )
22
3
32 2
sec 3 2 1 1 1sec sec tan tan3 2
3 3 3 32
tdt si u t t derivando se tiene du t dt de donde
t
dt dt dudu despejando para reacomodar el diferencial tenemos
t t
t dudt u u du u t c
t
243 INTEGRACIOacuteN POR PARTES
Se obtiene a partir de la foacutermula de diferenciacioacuten de un producto Sean u(x) y v(x) dos
funciones cualesquiera Entonces d(uv) = udv + vdu Integrando ambos miembros
queda lo siguiente vduudvuvd )( La integral del diferencial de una funcioacuten es
la misma funcioacuten por lo que queda vduudvuv Despejando queda
vduuvudv foacutermula que utilizaremos para calcular integrales donde se presenten
una funcioacuten simple de derivar y otra simple de integrar Si este proceso permite calcular
la integral mas faacutecilmente nos seraacute de utilidad caso contrario lo desechamos
Ejemplo 1
Calcular xxe dx
x xx
du dxu x
v e dx e cdv e dx
1 1 1 1 2
1 2 ( )
x x x x x
x x x
xe dx x e c e c dx xe xc e c x c
donde c c constantes arbitrarias las cuales de ahora en adelante
solo las consideraremos en el resultado al final de la solucion
xe dx xe e c
Ejemplo 2 Calcular dxxx sen
cossen
du dxu x
v senx dx xdv x dx
sen cos cos cos cos cos senx x dx x x x dx x x x dx x x x c
Ejemplo 3 Calcular xlnx dx
2
2
u lnx dv xdx
dx xdu v
x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
x x dx x x x xlnxdx lnx lnx dx lnx c
x
Ejemplo 4 Calcular dxex x2
dxedv
xu
x
2
xx edxev
xdxdu 2
2 2 2x x xx e dx x e xe dx asiacute 2 2 2
1
xx e dx x e I donde dxxeI x21
La cual es otra integral por partes hacemos nuevamente
dxedv
xu
x
2
xx edxev
dxdu 2
xxxx exedxexeI 22221
Y volviendo nuevamente a la expresioacuten obtenemos el resultado final 2 2 2 2 2x x xx e dx x e xe e C
Ejemplo 5 Calcular xdxx 3cos2
2u = x
dv = cos3xdx
2du xdx
1 1v cos3xdx = 3cos3xdx = sen3x
3 3
2 2cos31 2
x xdx x sen3x xsen3xdx3 3
Dado que la segunda integral es del mismo
tipo aplicamos nuevamente el meacutetodo de integracioacuten por partes 2
3
u x dv = sen3x dx
2
3
1 1du dx v = sen3xdx = 3sen3xdx = cos3x
3 3
2 2 2 2 2xsen3xdx = - xcos3x+ cos3xdx = xcos3x+ 3cos3xdx =
3 9 9 9 27
2 2= xcos3x+ sen3x
9 27
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
Este meacutetodo tambieacuten podemos reducirlo de la siguiente forma
El siguiente tipo de integral es tambieacuten por partes pero para su solucioacuten requerimos
establecer una ecuacioacuten denominada ecuacioacuten integral ya que esta integral se cicla al
resolverla
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
2
cos3
2 13
3
2 1cos3
9
10 3
27
x x
xsen x
x
sen x
Este meacutetodo puede emplearse de este modo en integrales
del tipo algebraico por exponencial trigonomeacutetrico en
donde las derivadas sucesivas de la funcioacuten algebraica
terminan en cero Este meacutetodo es llamado Meacutetodo del
Tablero o LIATE abreviaturas de la combinacioacuten de
funciones como son logariacutetmicas inversas algebraicas
trigonomeacutetricas y exponenciales
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
243 INTEGRACIOacuteN POR PARTES
Se obtiene a partir de la foacutermula de diferenciacioacuten de un producto Sean u(x) y v(x) dos
funciones cualesquiera Entonces d(uv) = udv + vdu Integrando ambos miembros
queda lo siguiente vduudvuvd )( La integral del diferencial de una funcioacuten es
la misma funcioacuten por lo que queda vduudvuv Despejando queda
vduuvudv foacutermula que utilizaremos para calcular integrales donde se presenten
una funcioacuten simple de derivar y otra simple de integrar Si este proceso permite calcular
la integral mas faacutecilmente nos seraacute de utilidad caso contrario lo desechamos
Ejemplo 1
Calcular xxe dx
x xx
du dxu x
v e dx e cdv e dx
1 1 1 1 2
1 2 ( )
x x x x x
x x x
xe dx x e c e c dx xe xc e c x c
donde c c constantes arbitrarias las cuales de ahora en adelante
solo las consideraremos en el resultado al final de la solucion
xe dx xe e c
Ejemplo 2 Calcular dxxx sen
cossen
du dxu x
v senx dx xdv x dx
sen cos cos cos cos cos senx x dx x x x dx x x x dx x x x c
Ejemplo 3 Calcular xlnx dx
2
2
u lnx dv xdx
dx xdu v
x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
x x dx x x x xlnxdx lnx lnx dx lnx c
x
Ejemplo 4 Calcular dxex x2
dxedv
xu
x
2
xx edxev
xdxdu 2
2 2 2x x xx e dx x e xe dx asiacute 2 2 2
1
xx e dx x e I donde dxxeI x21
La cual es otra integral por partes hacemos nuevamente
dxedv
xu
x
2
xx edxev
dxdu 2
xxxx exedxexeI 22221
Y volviendo nuevamente a la expresioacuten obtenemos el resultado final 2 2 2 2 2x x xx e dx x e xe e C
Ejemplo 5 Calcular xdxx 3cos2
2u = x
dv = cos3xdx
2du xdx
1 1v cos3xdx = 3cos3xdx = sen3x
3 3
2 2cos31 2
x xdx x sen3x xsen3xdx3 3
Dado que la segunda integral es del mismo
tipo aplicamos nuevamente el meacutetodo de integracioacuten por partes 2
3
u x dv = sen3x dx
2
3
1 1du dx v = sen3xdx = 3sen3xdx = cos3x
3 3
2 2 2 2 2xsen3xdx = - xcos3x+ cos3xdx = xcos3x+ 3cos3xdx =
3 9 9 9 27
2 2= xcos3x+ sen3x
9 27
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
Este meacutetodo tambieacuten podemos reducirlo de la siguiente forma
El siguiente tipo de integral es tambieacuten por partes pero para su solucioacuten requerimos
establecer una ecuacioacuten denominada ecuacioacuten integral ya que esta integral se cicla al
resolverla
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
2
cos3
2 13
3
2 1cos3
9
10 3
27
x x
xsen x
x
sen x
Este meacutetodo puede emplearse de este modo en integrales
del tipo algebraico por exponencial trigonomeacutetrico en
donde las derivadas sucesivas de la funcioacuten algebraica
terminan en cero Este meacutetodo es llamado Meacutetodo del
Tablero o LIATE abreviaturas de la combinacioacuten de
funciones como son logariacutetmicas inversas algebraicas
trigonomeacutetricas y exponenciales
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
dxedv
xu
x
2
xx edxev
dxdu 2
xxxx exedxexeI 22221
Y volviendo nuevamente a la expresioacuten obtenemos el resultado final 2 2 2 2 2x x xx e dx x e xe e C
Ejemplo 5 Calcular xdxx 3cos2
2u = x
dv = cos3xdx
2du xdx
1 1v cos3xdx = 3cos3xdx = sen3x
3 3
2 2cos31 2
x xdx x sen3x xsen3xdx3 3
Dado que la segunda integral es del mismo
tipo aplicamos nuevamente el meacutetodo de integracioacuten por partes 2
3
u x dv = sen3x dx
2
3
1 1du dx v = sen3xdx = 3sen3xdx = cos3x
3 3
2 2 2 2 2xsen3xdx = - xcos3x+ cos3xdx = xcos3x+ 3cos3xdx =
3 9 9 9 27
2 2= xcos3x+ sen3x
9 27
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
Este meacutetodo tambieacuten podemos reducirlo de la siguiente forma
El siguiente tipo de integral es tambieacuten por partes pero para su solucioacuten requerimos
establecer una ecuacioacuten denominada ecuacioacuten integral ya que esta integral se cicla al
resolverla
2 21 2 2x cos3xdx = x sen3x+ xcos3x sen3x+C
3 9 27
2
cos3
2 13
3
2 1cos3
9
10 3
27
x x
xsen x
x
sen x
Este meacutetodo puede emplearse de este modo en integrales
del tipo algebraico por exponencial trigonomeacutetrico en
donde las derivadas sucesivas de la funcioacuten algebraica
terminan en cero Este meacutetodo es llamado Meacutetodo del
Tablero o LIATE abreviaturas de la combinacioacuten de
funciones como son logariacutetmicas inversas algebraicas
trigonomeacutetricas y exponenciales
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
Ejemplo 6 Calcular 2 3xe sen x dx
22 2
cos3sen 3 3
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v sen x dx
1
2 2 2 2 2cos3 cos3 cos3 23 2 cos3
3 3 3 3
x x x x x
I
x x xe sen x dx e e dx e e xdx
La segunda integral es del mismo tipo integracioacuten por partes si
1
2 cos3x
I
e xdx
22 2
3cos3 cos3
3
xx du e dx
u esen x
dv x dx v x dx
2 2
1
1 33 2
3 3
x xsen xI e sen x e dx de esto se tiene lo siguiente
2 2 2 2
2 2 2
cos3 2 1 33 2
3 3 3 3
cos3 2 43 3
3 9 9
x x x x
x x x
x sen xe senx dx e e sen x e dx
xe e sen x e sen xdx
Esta uacuteltima integral es la misma que la que deseamos calcular es aquiacute donde se establece
la ecuacioacuten integral esto es
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 cos3 23 3 3
9 3 9
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x x
x x x
x x x
xe sen x dx e sen xdx e e sen x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
Aquiacute el meacutetodo del tablero puede utilizarse pero con una pequentildea variante
De donde obtenemos al multiplicar de esta manera
Para obtener el mismo resultado
2
2
2
s 3
2 1cos3
3
14 3
9
x
x
x
e en x
ex
e sen x
2 2 2 2cos3 2 43 3 3
3 9 9
x x x x
despejando
xe sen x dx e e sen x e sen xdx
2 2 2
2 2 2
4 cos3 21 3 3
9 3 9
9 cos3 23 3
13 3 9
x x x
x x x
xe sen x dx e e sen x de donde
xe sen x dx e e sen x c
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
244 TRIGONOMETRICAS
Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias
trigonomeacutetricas es decir funciones con alguna de las siguientes formas
n n m n n n n n m n m nsen u cos u sen ucos u tan u cot u sec u csc u tan u sec ucot u csc u
Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonomeacutetricas
Identidades trigonomeacutetricas
2 21 cossen u u 2 2cos 1u sen u 2 1 cos 2
2
usen u
2 1 cos 2
cos2
uu
2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u 2 2 cossen u senu u
1
sen mu cos nu = sen(m - n)u+sen m+n u2 cos cos cos
1mu cos nu = (m - n)u+ m+n u
2
Generalmente al efectuar las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando se
reduce a uno directo o bien a una integracioacuten por partes
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
12 Solucioacuten
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
245 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
A menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo
2 2 2 2 2 2 a u u a u a
Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformacioacuten a integrales del
tipo trigonomeacutetrico utilizando para esto la siguiente sustitucioacuten
2 2
2 2
2 2
2
Cuando aparece Sustituir Diferncial du
a u u a sen du acos d
a u u a tan du asec d
a u u a sec du asec tan d
Cabe aclarar que estas sustituciones surgen al igual que las sustituciones del tema de
integrales trigonomeacutetricas de observacioacuten y comparacioacuten de las propiedades
trigonomeacutetricas 2 2cos 1sen u u 2 2sec u = 1+tan u 2 2csc u = 1+cot u
A menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones haciendo la sustitucioacuten
pertinente logrando asiacute un integrando que nos sea familiar
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
246 POR FRACCIONES PARCIALES
La solucioacuten de las siguientes son simples de solucionar de alguna manera
Integra las siguientes funciones racionales
a)
dx
xx
x
6
122
b)
dx
xx
x
62
12
c)
dx
x
x21
21 d)
dx
x
x
1
12
Solucioacuten
a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del
denominador por tanto
2
2
2 16
6
xdx ln x x C
x x
b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador
2
2 2
1 1 2 2 12 6
2 6 2 2 6 2
x xdx dx ln x x C
x x x x
c) La tercera la descomponemos en dos integrales
2
2 2 2
1 2 1 2(1 )
1 1 1
x xdx dx dx arctgx ln x C
x x x
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
d) La cuarta se resuelve realizando previamente la divisioacuten Hecha la divisioacuten se obtiene
de cociente x+1 y de resto 2 2 21 2
( 1 ) 2 11 1 2
x xdx x dx x ln x C
x x
El tema a analizar en este caso va mas allaacute de este tipo de integrando y necesitaremos del
tema particular del algebra denominado FRACIONES PARCIALES
Si P(x) y Q(x) son polinomios entonces a la expresioacuten P(x)Q(x) se le denomina fraccioacuten
racional
Si el grado de P(x) ge grado de Q(x) a la expresioacuten P(x)Q(x) le llamamos fraccioacuten
racional impropia entonces se procede divididiendo P(x) entre Q(x) obteniendo
P(x) = C(x)Q(x) + R(x) siendo C(x) el cociente y R(x) el resto ademaacutes R(x) = 0 o bien
grado R(x) lt grado Q(x) Asiacute la primera integral es polinoacutemica luego inmediata La
segunda integral vale cero (si R(x) = 0) o si el grado R(x) ltgrado Q(x) en cuyo caso
Q(x) se puede descomponer en factores irreducibles
Cuando se requiere integrar una fraccioacuten racional propia de la forma
La fraccioacuten pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales
cuyos denominadores son los factores de la fraccioacuten dada y los numeradores no son
conocidos y solo bastariacutea investigar cual es el numerador de cada una de ellas
Por ejemplo la suma da como resultado
Asiacute
Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den
por resultado la expresioacuten de proveniencia
En el ejemplo anterior ambos factores del denominador son lineales (de primer grado) y
no estaacuten repetidos por lo tanto pertenecen al denominado CASO I factores lineales no
repetidos Entonces al factor x del denominador le corresponde una fraccioacuten de la forma
una constante A entre x+1 por su parte al denominador x -2 le corresponde una
fraccioacuten de la forma otra constante B entre x ndash 2
El meacutetodo de integracioacuten mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la fraccioacuten racional propia y a partir de ello obtener
la integral de cada una de dichas fracciones De esta manera se obtiene la integral de la
fraccioacuten racional
( )
( )
P xdx
Q x
3 4
1 2x x
2
3( 2) 4( 1) 7 2
( 1)( 2) 2
x x x
x x x x
2
7 2 3 4
2 1 2
xdx dx
x x x x
3 1 4 2ln x ln x c
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
La teoriacutea de las fracciones parciales considera cuatro casos atendiendo a los factores que
aparezcan en el denominador original los cuales se pueden clasificar en dos formas
factores lineales repetidos y no repetidos factores cuadraacuteticos repetidos y no repetidos
CASO 1 Si Q(x) contiene factores lineales o puede factorizarse con FACTORES
LINEALES NO REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para
poderse clasificar en el caso que le corresponda o lo que es lo mismo los casos atienden
a los factores que aparezcan en el denominador
Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original el procedimiento para
determinar las constantes seraacute el mismo para los 4 casos existentes
EJEMPLO 1 Calcular
Solucion
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( )( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
1 2
1 1 2 2
( )
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 2
solucion
121121
X
B
X
A
XX
X
11 AX
12
1
BX
121 XdX
XdX
CXLnXLn 12
2
11
EJEMPLO 3
103
722 XX
dXX
Solucion
2525
72
103
722
X
B
X
A
XX
X
XX
X
)5()2(72 XBXAX
7
32
7
175
BX
AX
)2(73
5717
XdX
XdX
CXLnXLn )2(7
3)5(
7
17
EJEMPLO 4
XX
dXXX
4
83
45
Solucion
XX
dXXX
XX
dXXXdXXX
4
81642
4
8
3
2
3
45
4
del segundo miembro la primera integral es igual a
1
23
423
CXXX
en la segunda integral
112 XBXAX
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
22)2)(2(
8164
4
8164 2
3
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XX
xx
entonces
)2)(()2)(()2)(2(8164 2 XXCXXBXXAXX
32
52
20
CX
BX
AX
23
252
XdX
XdX
XdX
de ambas integrales se tiene
CXLnXLnXLnXXX
)2(3)2(5)(2423
23
EJEMPLO 5
)5)(3)(1( XXXXdX
solucioacuten
531)5)(3)(1(
X
C
X
B
X
A
XXX
X
)3)(1()5)(1()5)(3( XXCXXBXXAX
12
55
8
33
24
11
CX
BX
AX
)5(125
)3(83
)1(24 XdX
XdX
XdX
2)2(3)2(5)(2 CXLnXLnXLn
1 3 5( 1) ( 3) ( 5 )
24 8 12ln X ln X ln X C
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 6
)4)(3)(1(
91412 2
XXX
dXXX
solucion
431)4)(3)(1(
91412 2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
)3)(1()4)(1()4)(3(91412 2 XXCXXBXXAXX
54
73
41
CX
BX
AX
45
37
14
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 7
)65)(1( 22 XXX
dX
solucion
2311)2)(3)(1)(1(
1
)65)(1(
122
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXXXXX
)3)(1)(1()2)(1)(1()2)(3)(1()2)(3)(1(1 XXXDXXXCXXXBXXXA
3
12
8
13
24
11
4
11
DX
CX
BX
AX
)65)(1( 22 XXX
dX
)2(3)3(8)1(24)1(4 X
dXXdX
XdX
XdX
)2(3
1)3(
8
1)1(
24
1)1(
4
1 XLnXLnXLnXLn
CXLnXLnXLn )4(5)3(7)1(4
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 8)
)15164)(12(
322 XXX
XdX
325212)32)(52)(12(
32
)15164)(12(
322
X
C
X
B
X
A
XXX
X
XXX
X
)52)(12()32)(12()32)(52(32 XXCXXBXXAX
122
3
102
5
22
1
CX
BX
AX
3212
5210
122
XdX
XdX
XdX
EJEMPLO 9
XXX
dXXX
2
8423
2
solucion
12)1)(2)((
84
2
84 2
23
2
X
C
X
B
X
A
XXX
XX
XXX
XX
)2)(()1)(()1)(2(84 2 XXCXXBXXAXX
11
12
40
CX
BX
AX
124
XdX
XdX
XdX
CXLnXLnXLn )32(6)52(5)12(
CXLnXLnXLn )1()2()(4
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 10
65
5224
2
XX
dXX
solucion
)2)(2)(3)(3(
52
)2)(3(
52
65
52 2
22
2
24
2
XXXX
X
XX
X
XX
X
22)3(3)2)(2)(3)(3(
52 2
X
D
X
C
X
B
X
A
XXXX
X
)2)(3)(3(
)2)(3)(3()2)(2)(3()2)(2)(3(52 2
XXXD
XXXCXXXBXXXAX
22
12
22
12
32
13
32
13
X
X
X
X
222
1
222
1
332
1
332
1
X
dX
X
dX
X
dX
X
dX
CXLnXLnXLnXLn
)2(22
1)2(
22
1)3(
32
1)3(
32
1
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
CASO II Si Q(x) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con
FACTORES LINEALES REPETIDOS a cada factor lineal de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai es una constante a determinar
EJEMPLO 11
3
1
12
X
dXX
solucion
323 )1()1()1()1(
12
X
C
X
B
X
A
X
X
CXBXAX )1()1(12 2
2
0
110
32
11
B
A
ENTONCES
BAX
BAX
CX
32 )1()1(
20X
dX
X
dX
3 2 4
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
P x P x
Q x a x b a x b a x b
3 51 2 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 3 2
4 4 3 2
( )
( )
n n n n n
n n n n n n n n n n
A AA A AP x
Q x a x b a x b a x b a x b a x b
A A A A A
a x b a x b a x b a x b a x b
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
1 22 3
2 3 2
1 int
1
2 2 12 2
1 2 1 2( 1)
Haciendo u X du dX para la primer egral
y v X du dX para la segunda
y efectuar para ambas integrales la sustitucion tenemos
du dv u vu du v dv
xu v x
quedando asiacute
CX
X
2)1(2
34
EJEMPLO 12
)12(
232
2
XXX
dXXX
solucion
22
2
2
2
)1()1()1(
23
)12(
23
X
C
X
B
X
A
XX
XX
XXX
XX
CXXBXXAXX )1()1(23 22
1
2401
61
20
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)1(
61
2
X
dXX
dXXdX
EJEMPLO 3
485 23
2
XXX
dXX
solucion
22
2
)2()2(1)2)(1(
X
C
X
B
X
A
XX
X
6( ) ( 1)
1ln X ln X C
X
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
)1()2)(1()2( 22 XCXXBXAX
0
2400
42
11
BENTONCES
CBAX
CX
AX
2)2(
41
0X
dXXdX
CASO III Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS NO REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
EJEMPLO 13
solucion
resolviendo
reemplazando en la integral
CX
XLn
2
4)1(
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 31 1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n
A x B A x BA x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
pero
haciendo cambio de variable
y haciendo que
EJEMPLO 14
Solucion
igualando tenemos que
resolviendo
reemplazando en la integral
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
pero
resolviendo
pero haciendo un cambo de
varia
resolviendo
haciendo que
resolviendo y devolviendo su valor a tenemos
entonces la respuesta seria
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 15
solucion
resolviendo
y ordenando tenemos
igualando
tenemos
resolviendo tenemos que
reemplazando en tenemos
haciendo que reemplazando tenemos
que
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 16
sabemos que
resolviendo
reemplazando en la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
igualando tenemos
resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
resolviendo el primer integral de la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
resolviendo do el segundo integral del la ecuacioacuten
reemplazando tenemos
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
reemplazando las 2 respuestas de las integrales ya halladas en tenemos la
respuesta final
EJEMPLO 17
solucion
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
resolviendo tenemos los valores de
EJEMPLO 18
solucion
dividiendo
tenemos
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
resolviendo y agrupando tenemos
resolviendo la
haciendo un cambio de variable
reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que
reemplazando en la ecuacioacuten () tenemos la respuesta
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 19
solucion
factorizando
resolviendo la integral de la ecuacioacuten
haciendo un cambio de variable
resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 20)
resolviendo las ecuaciones
reemplazando los valores en la ecuacioacuten tenemos
resolviendo la primera sub integral de la integral
operando tenemos
resolviendo el segundo sub integral de la ecuacioacuten
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
integrando por sustitucioacuten trigonomeacutetrica tenemos que
reemplazando en la integral tenemos la solucioacuten
entonces la respuesta seraacute
CASO IV Si Q(x) contiene factores cuadraacuteticos o puede factorizarse con FACTORES
CUADRATICOS REPETIDOS a cada factor cuadraacutetico de la expresioacuten
que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
donde Ai y Bi son constantes a determinar
2 3 2 2 2 4 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
n n n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
3 3 5 51 1 2 2 4 4
2 3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m k k
m m
n n n n n n n n n
A x B A x BA x B A x B A x BP x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
A x B A x B A x B
a x b x c a x b x c a x b x c
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 21
23 )1( X
dX
solucioacuten por el meacutetodo de ostrogradski
= 13
2
X
CBXAX
13
2
X
FEXDX
derivando
1
1
)1(
13
23
2
23
X
FEXDX
dX
X
CBXAXd
X
32
31
0
0
0
1
02
03
02
0
0
)2()3()2()(1 2345
F
B
C
E
A
FB
EA
DC
FB
EA
D
FBXEAXDCXFBXEADX
132
)1(3)1(
13323 X
dX
X
X
X
dX
del segundo miembro la integral es
1
)12(
1)1)(1(
1
1
1223
XX
CXB
X
A
XXXX
CBAXBCBAXBAA )2()2(1 2
23 )1( X
dX
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
21
61
31
1
02
02
C
B
A
ENTONCES
CBA
BCBA
BA
1
112
61
131
1 23 XX
dXX
XdX
X
dX
CX
ATANXXLnXLnX
X
ANTERIORINTEGRALLAENRESULTADOESTEDOREEMPLAZAN
CX
ATANXXLnXLn
))3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1(
3
2
)1(3
)3
12(
32
2)1(
6
1)1(
3
1
2
3
2
CX
X
XX
XLn
XATAN
)1(3)
1
)1((
9
1)
3
332(
9
3232
2
EJEMPLO 22
22
2
)136(
125
XX
dXX
solucion
22222
2
136
)62(
136
)62(
)136(
125
XX
DCX
XX
BAX
XX
X
DCXXXBAXXXX )62()136()136)(62(125 222
3 4 33 0 78 13 6 12
1 160 20 8 12 1 32 8 4 7
x B D Si x A B C D
x A B C D Si x A B C D
Que al resolver se tienen los siguientes valores
A=0 B=5 C=15 D=13
22222
136
13
136
)62(15
136
5
XX
dX
XX
dXX
XX
dX
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
22222 )4)3((
13
)136(
)62(15
4)3(
5
X
dX
XX
dXX
X
dX
136
)1(15)
2
3(
2
52 XX
XATAN 22 )4)3((
13
X
dX
dSECdX
SECSECTANX
XTANTANX
HACIENDO
2
4222222
2
164444)3(
2
323
2
)21(
816
2 2
4
2
dCOSdCOS
SEC
dSEC
16162
32
1
16
COSSENSEN
reemplazando la sustitucioacuten anterior se tiene
CXX
XXATAN
)136(8
15913)
2
3(
16
532
EJEMPLO 23
calcular la integral
4
21
dx
x
solucioacuten
haciendo 21tanx dx sen d x=tanx
reemplazando
326
4 42 2
3
sec 1 cos 2cos
21 sec
11 3 3
8
2
dxd d d
x
cos2 cos 2 cos 2 d
21 3 1 cos 42 3 1 2
8 2 2d cos2 d cos 2 sen d
31 5 3 4 3 2 2 2
8 2 8 2 2 6
sen sen sen senc
2 31
2 2 2 32
1 5 3 (1 ) 4 4tan
8 2 2(1 ) 1 3 1
x x x xx c
x x x
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 24 Calcular la integral
3
22
1
2
x xdx
x
Solucion
23
2 2 22 2 2 2
3 2
22
3 3 2
3
2 2 22 2 2 2
(2 ) 2 (2 )1 (2 ) (2 )
2 2 2 2
4 2 2 2
2
1 4 2 2 2
2 1 0 4 2 1 1
1 10 1
2 2
1 1
2 2 2 2
A x B x C x Dx x A x B C x D
x x x x
Ax B Ax Bx Cx D
x
x x Ax B Ax Bx Cx D
A B A C D
A B C D reemplazando
x x x xdx
x x x x
dx
1
32
2 2 22
22 tan21 1 1
ln( 2)2 82(2 ) 4(2 )2
xx x x
dx xx xx
EJEMPLO 25 Calcular
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
Solucion
2
2 2 22 2 2 2
2
3 2 2 2
( (4 1) ) 2 1 (4 1)3 5 (4 1) (4 1)
2 1 2 1 2 1 2 1
3 5 ( (4 1) ) 2 1 (4 1)
3 5 8 4 4 2 2 4
A x B x x C x Dx A x B C x D
x x x x x x x x
x A x B x x C x D
x Ax Ax Ax Ax Ax A Bx B Cx C D
x
8 0 4 2 0 4 4 3 5
0 0 3 4 17 4
A A B A C A B D
de donde A B C D
reemplazando en la integral
2 2 2 22 2 2 2
22 22
3 5 3 4(4 1) 17 4 3 (4 1) 17
4 42 1 2 1 2 1 2 1
3 17
164 2 11 7
4 4
x x x dxdx dx dx
x x x x x x x x
dx
x x
x
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
haciendo la sustitucioacuten
217 7 sec
4x tan dx d para la segunda integral tenemos
22 2
2
2 2 422
7 4 sec17 17 17 716 17 716 2cos
16 16 16 4 49 16 4 49 2 449 16 sec1 7
4 4
dx send d
x
Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos
2
2
3 5
2 1
xdx
x x
1
2 2
3 34 17 4 1 34tan (4 1)
494 2 1 7 2 17
xx c
x x x x
EJEMPLO 26
3
2 9
dx
x
solucioacuten
haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica ya que por fracciones parciales se llega a lo
mismo
3 3 3
2 2 3 69 9 9 9 92 2x 3tan dx 3sec d x tan sec sec
entonces la integral es
3
2 9
dx
x =
2
4
3 6 4
1 1 1 1 1 cos 2cos
9 243 243 243 2
23secd d d d
sec sec
1
22 2
1 1 cos 4 1 3 4 12cos 2 2
972 2 972 2 8 2
1 3 3 1 3 27 9tan
972 2 2 972 2 3 2 99 9
3
send d d sen
x x xsen cos sen cos
xx x
finalmente la integral queda asiacute
3
1
2 2
1 15tan
648 3 216( 9)
x x xc
x
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
EJEMPLO 27 Calcular la integral
5
221
xdx
x
solucioacuten
5 5 3 3
2 2 4 2 4 2 22
23
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 2 (1 )1
(2 ) 1 (2 )2 (2 ) (2 )
(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x x x xx x
x x x x xx
A x B x C x Dx x A x B C x Dpero
x x x x
3 2 3 22 (2 ) 1 (2 ) 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2
11 0 0
2
x x A x B x C x D Ax Ax B Bx Cx D
B D A C B A
luego A B C D
5 3
2 2 2 2 2 22
2 (2 )
(1 ) 1 (1 )1
x x x x xx x
x x xx
5 22
2 2 2 2 22
(2 ) 1ln(1 )
21 (1 ) 2(1 )1
x x x xdx x dx x c
x x xx
