POR Mª ÁNGELES PAJUELO

Diferencial de una función: concepto, interpretación geométricay reglas de diferenciación, Ejemplos.

Nueva expresión de la derivada

Primitiva de una función

Integral indefinida de una función

Propiedades de linealidad

Integrales inmediatas

Métodos elementales de integración

Integración de funciones racionales, trigonométricase irracionales

Sea f(x) una función que posee derivada en todos los puntosdel intervalo (a,b). Sea x un elemento de (a,b).“Llamamos diferencial de la función f(x), correspondiente aun incremento h de la variable independiente x, al producto:

dy=df(x)=f´(x).h h=xComo, basándonos en la definición dada, dx=1.h=h, podemosescribir la definición anterior de la forma:

dy=df(x)=f´(x).dxLa dx representa el incremento de la variable independiente x,pero veamos, mediante una interpretación geométrica, qué re-presenta la dy.

Veamos qué representa elsegmento RS:SR=tgP.x= f´(x).dx== por definición=df(x)=dyVemos que el segmento SR representa la dy, es de-cir, el incremento de larecta tangente en el punto (x,x+h)

En definitiva, dx coincide con el incremento de x, pero dy nocoincide con el incremento de y. Pero la recta tangente en Pes la recta que mejor se aproxima a la curva en las proximida-des de P, lo cual quiere decir que si h es muy pequeño, ydy.En algunos ejemplos veremos como a veces nos piden calcular el incremento de la función, y sin embargo, calcularemos porcomodidad, la diferencial (que será un valor muy próximo).

REGLAS DE DIFERENCIACIÓN

Las reglas de diferenciación son las mismas que las de deriva-ción. Se deducen de la definición de diferencial y del cálculode derivadas:

•y=u+v+w dy=(u+v+w)´.dx = (u´+v´+w´)dx= = u´dx+v´dy+w´dx = du+dv+dw

•y=u.v dy=(u.v)´.dx =(u.v´+u´.v)dx= u.v´.dx+v.u´.dx= =u.dv+v.du

•y=u/v dy=(u/v)´.dx= {(v.u´-u.v´)/v2}.dx=(vu´dx-uv´dx)/v2= =(vdu-udv)/v2

De igual forma se deducen las diferenciales de todas las demásfunciones.

Ejemplos sobre diferenciales

Calcula la diferencial de y=(x2-x+2) si x=2 y dx=0,1

dy=f´(x)dx={(2x-1)/2(x2-x+2)}x=2.0.1=0,3/4=0,075

Calcula el incremento y la diferencial de la funciónf(x)=x2-5x+8 cuando x pasa del valor 1 al 1,5.

f=f(x+h)-f(x)=f(1,5)-f(1)=1,52-5.1,5+8-(12-5.1+8)= =-1,25df=f´(x).dx=(2x-5)x=1.0,5=-1,5Calcula el incremento y la diferencial de la funciónf(x)=x3+x2 cuando x pasa del valor 2 al 2,2.

f=f(2,2)-f(2)=3,488df=f´(x)dx=(3x2+2x)x=2.0,2=3,2

¿Qué aumento experimenta el volumen de un cubo de 1 cm de lado, cuando por dilatación, éste experimentaun aumento de 1 mm.?

V=l3

dV=3l2.dl=3.12.0,001=0,003 m3

V=1,0013-13=1,003003001-1=0,003003001

Observemos que VdV

Hallar el volumen de la chapa que forma una esfera de 30 cm de diámetro exterior y espesor 0,15 cm.

V=4/3..r3

dV=4/3.3.r2.dr=4..152.0,15=424,11 cm3

El volumen exacto de la chapa no es dV, sino V, es decir, la diferencia entre los volúmenes de las dos esferas,la de r=15 y la de r=15-0,15.

V=4/3..153-4/3..14,853=419,88 cm3

Comprobando los dos valores hallados, vemos que laaproximación es buena.

Un cuadrado de perímetro 4 m., aumenta su lado en1 mm. Calcula el incremento de superficie y el error que se comete cuando en vez de usar incremento se utiliza diferencial.

S=Sahora-Santes=(1+0,001)2-12=1,002001-1==0,002001 m2

dS=d(l2)=2l.dl=2.1.0,001=0,002 m2

El error cometido será:=S-dS=0,002001-0,002=0,000001=10-6 m2

Veamos una nueva expresión de las derivadas:dy=f´(x).dx f´(x)=dy/dx

EJEMPLOS

Calcula la primera y la segunda derivada de la siguientefunción dada en paramétricas:

x=f(t)y=g(t)

y´=dy/dx=(g´(t).dt)/(f´(t).dt)=g´(t)/f´(t)y´´=d2y/dx2=(f´(t).g´´(t)-g´(t).f´´(t))/(f´(t))2

Halla la derivada de la siguiente función:x=a.costy=a.sent

y´=dy/dx=(a.cost.dt)/(-a.sent.dt)=-cotgt

Halla la derivada segunda de la siguiente función:x=a.costy=b.sent

y´=dy/dx=(b.cost.dt)/(-a.sent.dt)=(-b/a).(cost/sent)y´´=-b/a.((-sen2t-cos2t)/sen2t)=(b/a).(1/sen2t)

Dada una función f(x):F(x) es primitiva de f(x) F´(x)=f(x)

Por ejemplo:Si f(x)= cosx F(x)=senxSi f(x)= x2 F(x)=x3/3Si f(x)= ex F(x)=ex

Observemos que el problema de calcular la primitiva de una función es indeterminado, ya que existen infinitas primitivas de una misma función.Así, D(senx)=D(senx+1)=D(senx+k)=cosx.Todas estas primitivas se diferencian en una constante. O sea:“ Si F(x) es una primitiva de f(x) F(x)+k también lo es.”

Llamamos integral indefinida de la función f(x), al conjuntode todas las primitivas de la función.Se representa con la notación:

f(x)dx = F(x)+k

A veces nos pedirán una primitiva determinada, para lo cualhemos de hallar k, cosa que podemos hacer si nos dan unascondiciones iniciales. Por ejemplo:

Hallar la primitiva de la función f(x)=x2+2x, sabiendo que toma el valor cero para x=1.F(x)+k=(x2+2x)dx= x3/3 +x2 +k ; F(1)=1/3 +1+k=-4/3Luego: F(x)=x3/3 + x2 - 4/3

Las propiedades de linealidad de las integrales, son dos, y sedemuestran sin mas que tener en cuenta la definición de inte-gral y las propiedades de las derivadas de funciones:

(f(x)+g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx

k.f(x)dx = k.f(x)dx ,, donde k es una constante.

Son las que se deducen inmediatamente de la definición de integral indefinida:

Continuación de integrales inmediatas

Ejemplos de integrales inmediatas.

kx

kx

dxxdxx

3

3

4

4 31

31

kxx

kxkx

kx

dxxdxx

75

75

57

152

5 2

5 75

71

5

2

5

25 2

kx

kx

dxxdxx

3

13

33 1

2

2

kxxxx

dxxxx 42

23

65

)426(235

24

kx

dxxx 4sen

.cos.sen4

3

kxx

kx

kx

dxxx

31)1(2

3

)1(2

121

)1(.13

23

3312

13

23

kxdxxx

cos1lncos1

sen

kxxdxxx

xdx

xxx

)42ln(21

42)1(2

21

421 2

22

kxdxxxdxxx 222 cos21

.2.sen21

..sen

xdxxx

cos2

sen

kxxxx

kxxkxx

dxxxxdxxxx

32)2(

)2(31

121

)2(.

21

)1(2.)2(21

)1(2

22

2

32

12

12

2

122

kxdxxx

dxxx

])12(1ln[41

)12(12).12(2

41

)12(112 2

22

Se recomienda hacer los siguientes ejercicios:

dxx5 2

dxx 2

3

dxx3 2

1

dxxxx

x )sen1

2(

De entre todos los métodos elementales de integración, vamosa estudiar detenidamente los siguientes:

•Integración por descomposición

•Integración por sustitución o cambio de variable

•Integración por partes.

Se basa exclusivamente en la linealidad de la integración.En ejercicios anteriores, ya hemos usado este método.Veamos algunos otros ejemplos:

tg2x.dx : esta integral no figura en el cuadro de las

inmediatas, pero si aparece (1+tg2x)dx. Hagamos entonces lo siguiente:

tg2x.dx= (-1+1+tg2x)dx=-dx +(1+tg2x)dx= = -x+tgx+k

kxxdxx

dxxx

5ln5)5

51(

5

Al encontrarnos con una integral de la forma f(x)dx, a vecesinteresa un cambio de variable de la forma:

x=g(t) dx=g´(t)dtque proporcione una integral más sencilla. La elección de x=g(t) depende de cada función particular.

A continuación veremos unos ejemplos

Ejemplos de integración por cambio de variables

kx

ktdtt

dxx

)43cos(31

-

cambio el odeshaciend y

cos31

.sen31

dt)3dxt43x :cambio()43sen(

12318

123x

cambio el odeshaciend

181

2312

1121

12t

)12123x t:cambio(.123

4

4

23

21

3443

kx

kttkt

dttdt

dxxdtdxxx

Sean u(x) y v(x) dos funciones que dependen de x:d(u.v)=u.dv+v.duu.dv=d(u.v)-v.du

integrando los dos miembros:

u.dv=u.v-v.duque es la fórmula de integración por partes

Este método se emplea, principalmente, cuando el integrandoes producto de dos expresiones, una algebraica y otra transcen-dente (logarítmicas, exponenciales o trigonométricas), o las dos transcendentes.En este último caso suele aparecer de nuevo la integral que se pretende calcular: método de iteración.

Ejemplos de integración por partes

x.e2xdx= ( el integrando es el producto de una expresiónalgebraica y una exponencial. Se ve claroque aplicamos la integración por partes:cambio: u=xdu=dx dv=e2xdxv=(1/2).e2x)

la fórmula de la integración por partes nos da:

=x.(1/2).e2x-e2x/2.dx=(x.e2x)/2-e4x/4+k

lnx.dx= (cambio: u=lnx.............dv=dx du=1/xdx..........v=x )

=x.lnx-x.1/x.dx=x.lnx- x +k

cosx.dx dv y eu haciendo(.cos. xdxxe x

fórmula)la aplicando y senx,dx y v.edu x

dx.cosecosesenedx.cos.e

:que tenemosdefinitiva en que lopor

integralmisma la repetir a ha vuelto se que observemos

dx.e.coscosesene

dx).e.coscose(sene

)-cosx dx y v.edu

senx.dxdv y e(u dx.senx.esenx.e

xxxx

xxx

xxx

x

xxx

xxxx

xxx

xxx

Pasando la integral del 2º miembro, al primero:

2excosxdx=exsenx+excosx

excosxdx=1/2(exsenx+excosx) + k

La integración de expresiones racionales, trigonométricas eirracionales, lo dejamos para el año que viene.Ahora hay que hacer un montón de integrales, y practicartodo lo visto en este tema.