Integrales Con Funciones Trigonometricas

Calculo Integral Tema: Integrales con Funciones trigonomtricas

Ing. Victor Yujra Ccuno 1

INTEGRACIN DE EXPRESIONES QUE CONTIENEN FUNCIONESTRIGONOMTRICAS

En esta parte daremos solucin a problemas en las que la funcin integrando contienefunciones trigonomtricas. Identificaremos diferentes tipos de problemas e indicaremos laspautas para su posible solucin.

1 INTEGRALES DEL TIPO ( ) dxxxR cos,senSea R una funcin racional que contenga la funcin seno y coseno. Haremos uso de la

Sustitucin Trigonomtrica Universal (S.T.U.). Esta consiste en hacer la sustitucin txtg =2

,

despejando tenemos que ( ) xtarctg =.2 derivando obtenemos dxt

dt=

+ 212

La funcin seno de ngulo x (senx) expresada en funcin de seno y coseno de ngulo mitad(x/2) que finalmente estara expresado en funcin de los resultados de la S.T.U., estarexpresado como sigue :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) 22

2

22

2

22 12

2/12/2

2/cos2/cos2/

2/cos2/cos.2/2

2/cos.2/2/cos.2/2

t

t

xtgxtg

x

xxsen

x

xxsen

xxsen

xxsensenx

+=

+=

+=

+=

Lo mismo hacemos con la funcin coseno de ngulo x:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )( ) 2

2

2

2

2

2

22

2

22

22

22

11

2/12/cos2/1

2/cos2/cos2/

2/cos2/2/cos

2/cos.2/2/2/cos

cost

t

xtgx

xsen

x

xxsen

x

xsenx

xxsen

xsenxx

+

=

+

=

+

=

+

=

Resumiendo: S.T.U.: txtg =2

; 212

t

dtdx+

= ; 212

t

tsenx

+= ; 2

2

11

cost

tx

+

=

1.1 PROBLEMAS DESARROLLADOS

1. Resolver + xxsen dx 44 cosSolucin:

( )

=

+=

+=

221cos.2coscos

22222244 xsen

dxxxsenxxsen

dxxxsen

dxI

+=+=

=

=

x

dxx

dxx

dxxsen

dxI4cos3

44cos14

4

24cos12

222

22

Para visualizar mejor el problema, hacemos cambio de variable: =x4 += cos3 dI . Para resolver usamos STU dtdttarctgttg =+== 21222



De aqu resulta quet

t

+

=

11

cos2

+=++=+

+

+=

+= 222

2

2

2

242

1332

113

12

cos3 tdt

tt

dt

t

tt

dtdI

( ) ( ) +=+=+= Ct

arctgtt

dtt

dtI22

1

22 222 . Como

=

2

tgt

Ctg

arctgI +

=

22

21

. Como x4=

CxtgarctgC

xtg

arctgI +

=+

=

22

21

22

4

21

2. Resolver 5xcos3senx2

dx

Solucin:Trabajamos con la STU y reemplazamos en la integral:

+

=

+=

+

+

+=

=

4t2tdt

8t4t2dt2

5t1t33

t1t4

t1dt2

5xcos3senx2dxI 22

2

2

2

2

( ) C31

2x

tgarctg

31

31tdt

22+

=

+=

3. Resolver + xcos3senx4 dxSolucin:Trabajamos con la STU y reemplazamos en la integral:

=

++=

+

++

+=

+= 222

2

2

2

2

35

34

t

dt23

13t8t3

dt2

t1t33

t1t8

t1dt2

xcos3senx4dxI

C

31

2x

tg

32x

tgLn

101C

35

34

t

35

34

tLn

352

131I +

+

=++

=



1. Resolver + xcos53 dxSolucin:Trabajamos con la STU y reemplazamos en la integral:

++

=

+

+

+=

+= 22

2

2

2

t55t33dt2

t1t553

t1dt2

xcos53dxI

C2

2x

tan

22x

tanLn

41

t2dt

4tdtI 222 +

+

=

=

+=

2. Resolver + xcossenxdxSolucin:Trabajamos con la STU y reemplazamos en la integral:

+

=

+

++

+=

+= 2

2

2

2

2

t1t2dt2

t1t1

t1t2

t1dt2

xcossenx

dxI

( ) C212x

tg

212x

tgLn

21C

212x

tg

212x

tgLn

21

21tdt2I

22+

+

=+

+

=

=

3. Resolver + xsenx

dxcos1

Solucin:

Trabajamos con la STU: txtg =2

; 212

t

dtdx+

= ; 212

t

tsenx

+= ; 2

2

11

cost

tx

+

= y

reemplazamos en la integral:

( ) +=+=+++=+

++

+

+=

+ 122

222

1212

11

121

12

cos1 222

2

2

2

t

dtt

dtttt

dt

tt

tt

tdt

xsenx

dx

++=++=+= CxtgLnCtLntdt 12114. Resolver + senxdx45

Solucin:




; 212

t

dtdx+

= ; 212

t

tsenx

+= ; 2

2

11

cost

tx

+

= y

reemplazamos en la integral:

+

+

=

++=

+

+++

=

+ 222

2

2

2

53

545

2585

2

1855

12

45t

dttt

dt

t

ttt

dt

senx

dx

C

x

Ct +

+

=+

+=

3

42

tan5arctan

32

345

arctan

531

.

52

5. Resolver ( ) ( ) ++ xxdx cos3cos2Solucin:


; 212

t

dtdx+

= ; 212

t

tsenx

+= ; 2

2

11

cost

tx

+

= y

reemplazamos en la integral. Antes multiplicamos trmino a trmino en el denominador:

( )( ) ++

++=

+

+

+

+

+

+=

+

+=

++ 2222

2

2

2

2

2

2

1332

1222

113

12

112

12

cos3cos2cos3cos2 ttdt

tt

dt

t

tt

dt

t

tt

dt

x

dxx

dxxx

dx

C

xx

t

dtt

dt+

=

+

+= 22

tanarctan

21

32

tanarctan

32

222

32

2222

6. Resolver ++ 32cos senxx dxSolucin:


; 212

t

dtdx+

= ; 212

t

tsenx

+= ; 2

2

11

cost

tx

+

= y

reemplazamos en la integral.

++=+++=+

++

+

+=

++ 4822

33812

31

811

12

34cos 22222

2

2

tt

dtttt

dt

t

t

t

tt

dt

senxx

dx

( ) Cxx

t

dt+

++

+

=

+

222

tan

222

tanln

221

22 22

7. Resolver ++ 32cos senxx dxSolucin:


; 212

t

dtdx+

= ; 212

t

tsenx

+= ; 2

2

11

cost

tx

+

= y reemplazamos

en la integral.



( ) ( ) ( ) =++=++=+

++

+

+=

++ 222

22

2

2

112222

31

2211

12

32cos tdt

tt

dt

t

t

t

tt

dt

senxx

dx

( ) CxtgarctgCtarctg +=++= )2

(1

8. Resolver + xsenxdx cos748Solucin:


; 212

t

dtdx+

= ; 212

t

tsenx

+= ; 2

2

11

cost

tx

+

= y reemplazamos

en la integral.

+=++=+

++

+=

+ 1582

778882

177

188

12

cos748 2222

2

2

2

tt

dtttt

dt

t

t

t

tt

dt

xsenx

dx

( ) Cxx

Lnt

dt+

=

= 3

2tan

52

tan

142 2

9. Resolver xsenx

dxcos34

Solucin:


; 212

t

dtdx+

= ; 212

t

tsenx

+= ; 2

2

11

cost

tx

+

= y reemplazamos

en la integral.

Cx

x

t

dttt

dt

t

t

t

tt

dt

xsenx

dx+

+

=

+

=

+=

+

+

+=

3

2tan

31

2tan

ln51

925

343

2338

2

133

18

12

cos34 222

2

2

2

10. Resolver ++ 5cos34 xxsenx dxSolucin:

Trabajamos con la STU: zxtg =2

; 212

z

dzdx+

= ; 212

z

zsenx

+= ; 2

2

11

cosz

zx

+

= y reemplazamos

en la integral.

++=+

++++

=

+

+

+

+

+=

++ 8822

155338

12

5113

124

12

5cos34 22

22

2

2

2

2

2

zz

dz

z

zzz

z

dz

z

z

z

z

z

dz

xsenx

dx

+

=

+

=+=+

22

12

1)2()2(2

2 22 xTgz

dzzz

dz



1.2 PROBLEMAS:

1. ( ) ( ) + xbaba dx cos22222. ++ xsenxdx cos3533. senxdx4. xdxcos

2 PARA CASOS EN QUE LA S.T.U. NO ES EFECTIVAConsideraremos segn la forma que tiene.

2.1 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA ( ) dxxsenxR .cos.Aqu se hace la sustitucin dtdxxtsenx == .cos , luego reemplazamos en laintegral, obteniendo una expresin en trminos de t y ya no de funciones seno nicoseno.

2.1.1 PROBLEMA APLICACION:

1. Resolver ( ) ++ dxxsenxsen xx .coscos 4253

Solucin:( ) ( )

( )( )( )

( ) dtttttdt

tt

ttdxxxsenxsen

xxdxxsenxsen

xx + +=+ +=++=++ 2424

22

22

22

22

42

53 231

111cos

1cos1cos

.

coscos

dxt

DCxt

Bt

Atdt

tt

tdtdttt

t ++++=+=

+

=

12122241 2224

2

24

2

Hallamos los valores para A, B, C y D mediante polinomios equivalentes:

2.2 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA ( ) dxsenxxR ..cosHacemos la sustitucin dtdxsenxtx == .cos y reemplazamos en la integral.

2.2.1 PROBLEMAS DESARROLLADOS:

1. Resolver: + dxxxsen .cos23

Solucin:Hacemos la sustitucin indicada: dtdxsenxtx == .cos . Adems, consideramos que

22222 1cos1cos txsenxtx ===

( ) ( ) ( ) +=+=+=+ dtttx dxsenxtxdxsenxxsendxxxsen 21cos2cos1cos2.cos22223



++=++= ++=+

= CtLnttdtt

dttdtdtt

tdtt

t 3222

322

3221 22

CxLnxx ++= cos3cos22

cos 2

2. Resolver dxx

xsensenx.

2cos

3 +Solucin:Hacemos la sustitucin indicada: dtdxsenxtx == .cos . Adems, consideramos que

22222 1cos1cos txsenxtx ===

( )( )

+

=

+

=

+

121

121cos21cos2.

2cos 22

22

2

2

3

t

dttt

dtx

dxsenxxsendxx

senxdxx

xsensenx

( )( )

+

=

+

=

211

21

2121

121

12 22

22

2

2 t

t

t

dtt

dttt

dt

( ) ++=

++

=

2141

24141

21211

21

4141

4121

21

22 t

dttt

tLndt

tt

tLn

( ) Ctt

Lntt

tLnC

t

tLnt

t

tLn +

+

++

=++

++

=

4141

21

24141

4141

4121

41

24141

Cxx

xLnCt

t

tLn ++

+

=+++

=

2cos

41cos41cos

23

24141

23

O tambin puede ser desarrollado como sigue:( ) ( )

=

+=

+=

+ dtt

tdtt

t

x

dxxsensenxdxx

xsensenx

412

21

1211

1cos21

.

2cos 22

2

2

2

23

( ) Cxx

LnxCt

tLntdt

t+

+

=++

=

= 41cos 41cos232cos41 41412 14322123121 22.3 SI LA INTEGRAL SOLO ES FUNCIN DE TANGENTE DE XAqu sustituiremos ( ) 21. t

dtdxtarctgxtxtg+

=== en la integral para encontrar una

solucin. Si queremos expresarlo en seno y coseno, consideraremos las siguientes

equivalencias:21 t

tsenx

+= ; 2

22

1 tt

xsen+

= ;21

1cos

tx

+= ; 2

2

11

cost

x+

= . Aqu

conviene usar este mtodo cuando observamos a la funcin seno o coseno elevado alcuadrado en el integrando.

2.3.1 Problemas desarrollados:

1. Resolver: xsen

dx22

Solucin:

Haciendo las sustituciones txtg =. ; ( )tarctgx = ; 21 tdtdx+

= en la integral obtenemos:



( ) +=+=+=+

+=

22222

2

2

2

2 222121

2

12 t

dttt

dttt

dt

t

tt

dt

xsen

dx

CtgxarctgCtarctg +

=+

=

221

221

2. Resolver: + xxsenxxsen

dx22 coscos.2

Solucin:

Haciendo las sustituciones txtg =. ; ( )tarctgx = ; 21 tdtdx+

= en la integral obtenemos:

+

=

+

+++

+

+=

+ 121

11

11

21

1coscos.2 2

2222

2

2

22 tt

dt

ttt

t

t

tt

dt

xxsenxxsen

dx

( ) ( ) CtgxtgxLnC

t

tLnt

dt+

++

+=+

++

+=

+ 21 2122121 2122121 222.3.2 PROBLEMAS:

1. x

dx4cos

2. + xsenxdx 22 5cos342.4 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA ( )dxxsenxR .cos,donde las potencias de seno y coseno son exclusivamente pares, usaremos la sustitucin

( ) txtg =2.5 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA ( ) dxxxsenR nm .cos.En este caso, el integrando debe contener las funciones seno y coseno donde los valores dem y n son nmeros enteros. Aqu consideramos tres casos:

1. Cuando al menos uno de los valores de m y n es impar2. Si coseno tiene potencia impar, aplicar tsenx =3. Si seno tiene potencia impar, aplicar tx =cos

2.5.1 Problemas desarrollados:

1. Calcular: xdxsen5Solucin:La funcin seno tiene potencia impar:

( ) ( ) == dxsenxxdxsenxxsendxxsen 22225 cos1 .Hacemos cambio de variable senxdxdtxt == cos . Reemplazando en la integral:



( ) ( ) ( ) ( ) ++=+=+=== Ctttdttdttdtdtttdttdtt 3252211135

24242222

Cxxx ++=3

cos2cos

5cos 35

2. Resolver dxx

x2sen

cos

Solucin:La funcin coseno tiene potencia impar, entonces haremos el cambio de variable

xdxdtsenxt cos== y reemplazamos en la integral:

+=+=== CsenxCttdtxsen dxxdxxsen x 11coscos 2223. Resolver dxxxsen .cos. 54

Solucin:La funcin coseno tiene potencia impar, entonces haremos el cambio de variable

xdxdtsenxt cos== y reemplazamos en la integral:

( ) ( ) ( ) +=== dttttdtttdxxxsenxsendxxxsen 42422422454 211.cos1.cos.( ) ++=++=+= CxsenxsenxsenCtttdtttt 972697262

976976865

4. Resolver dxxx

xsen.

cos.cos 3

3Solucin:La funcin seno tiene potencia impar, entonces haremos el cambio de variable

dxsenxdtxt == cos y reemplazamos en la integral:

( )( )

( )( )( )

( )( ) ==== 3423423423423

3 11cos

cos1cos

.

cos.cos t

dttt

dttx

dxsenxxx

dxsenxxsendxxx

xsen

Cx

xCt

tdttdttt

dtt

dtt++=++=== 3

3 5

31

353432

3434

2

cos

35

cos335

3

2.5.2 Cuando ambos exponentes m y n son nmeros positivos paresConsideraremos las siguientes equivalencias trigonomtricas:

a) xsenxsenx 221

cos. = b) ( )xx 2cos121

cos 2 += c) ( )xxsen 2cos1212

=

2.5.2.1 Problemas desarrollados:

1. Resolver ( ) dxxx + 22cos2cosSolucin:

( ) ++=++= dxxxdxxdxdxxxxxI 2cos42cos.cos4cos2cos42coscos4cos 2222( ) dxxdxxsenxxdxxI ++++= 2 4cos14coscos42 2cos1 22



++++= xdxdxxdxsenxxdxxdxdxI 4cos22.cos4cos422cos2 23

+++++= CxsenxxdxxsenxdxxsenxI 242cos.4cos4422 23( ) ( ) CxsensenxdxsenxsenxsenxI ++++= 3414244225

32

( ) ( ) ++++= CxsensenxdxsensenxdxsenxsenxI 34442422253

2

CxsenxsensenxxsenxsenxI ++++=3

43

4424

22

25 33

CxsensenxxsenxsenxI ++++=3

8424

22

25 3

2.5.2.2 PROBLEMAS:

a) dxxxsen .cos. 42a) dxxxsen .cos. 22a) dxx.cos 6a) dxxsen .4

2.5.3 Cuando ambos exponentes son pares pero uno de ellos es negativoAqu es conveniente hacer la sustitucin ( ) txtg = o su reciproco.2.5.3.1 PROBLEMAS:

dxx

xsen.

cos 6

2

2.6 SI LA INTEGRAL TIENE LA FORMA

a) dxnxmx .cos.cos b) dxnxsenmx .cos. c) dxsennxsenmx ..donde m y n son constantes; nos ayudaremos de las siguientes equivalenciastrigonomtricas:

( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx ++= coscos21

cos.cos

( ) ( )[ ]xnmsenxnmsennxsenmx ++=21

cos.

( ) ( )[ ]xnmxnmsennxsenmx ++= coscos21

.

2.6.1 Problemas resueltos

1. Resolver sen(3x)dx(8x)sen



Solucin:

Como [ ] [ ]cos(11x)-cos(5x)213)xcos(8-3)x-cos(8

21

sen(3x)sen(8x) =+=

Reemplazamos en la integral:

[ ] [ ] C11

)x11(sen5

)x5(sen21dxcos(11x)-cos(5x)

21dxsen(3x)(8x)senI +

==== C

22x11sen

10x5senI +=

2. Resolver (5x)dxcos(4x)cosSolucin:

Como [ ] [ ]cos(x)-cos(9x)21

os(-x)ccos(9x)21

cos(5x)cos(4x) =+=

[ ] C9

)x9(sensen(x)-

21dxcos(x)-cos(9x)

21(5x)dxcos(4x)cosI +

+=== C

18)x9(sen

2)x(senI ++=

3. Resolver dx)x7cos()x4(senSolucin:

Como [ ] [ ]sen(3x)-sen(11x)21

sen(-3x)sen(11x)21)x7cos()x4(sen =+=

Reemplazando: [ ] == dxsen(3x)-sen(11x)21dx)x7cos()x4(senI21 C

3)x3cos(

11)x11cos(

21I +

+=

4. Resolver dx)x(sen)x5(senSolucin:

Como: [ ])x4cos()x6cos(21)x(sen)x5(sen +=

Reemplazando [ ] +== dx)x4cos()x6cos(21dx)x(sen)x5(senIC

6sen(6x)

-

4sen(4x)

21I +

=

5. Resolver dx2x3cos2xsenSolucin:

Como

+

+=

x

23

21

senx23

21

sen21

2x3

cos2x

sen

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xsenx2sen21

xsenx2sen21

2x3

cos2x

sen =+=



Reemplazando: ( ) ( )[ ] == dxxsenx2sen21dx2x3cos2xsenICxcos

2x2cos

21I +

+

=

2.6.2 PROBLEMAS:

a) dxxx .3sen.senb) dxxx .4sen.2cosc) dxxx .7cos.4cosd) dxxxsen .5cos.2e) dxxx .

43

cos.4

1sen

f) dxxx

.

4cos.

2cos

g) dxxsenxsen .3.5h) dxxsenx .2.4cos

2.7 PROBLEMAS DIVERSOS:

1. + dxxsenxxsen x .cos.4cos22

2. + dxsenxxsen x .cos23

3.

dxxsenx

xsen.

1cos2

23

4.

+ dxxsenx

xsenx22

44

cos

cos

2.8 DESARROLLO DE PROBLEMAS VARIADOS CON FUNCIONESTRIGONOMTRICAS

1. Resolver dxx)3(cos4Solucin:

dxxCosdxxxdxxI +===2

224

2)6(1)3(cos)3(cos)3(cos

dx

xCosxCos

dxxxCosI

+++

=

++

=

42

)12(1)6(214

)6(cos)6(21 2



( ) +++= dxxdxxxI )12cos(181)6cos(214+++= dxxxxsenxI )12cos(81812 )6(4

CxsenxsenxI +++=96

)12(12

)6(83

2. Resolver dx)x2(gcot 4Solucin:

( ) == dx)x2(gcot)x2(gcotdx)x2(gcotI 224( )( ) = dx1)x2(eccos)x2(gcotI 22

( ) = dx)x2(gcotdx)x2(eccos)x2(gcotI 222( ) +== dxdx)x2(eccos6 )x2(gcotdx1)x2(eccos6 )x2(gcotI 2

32

3

=

Cx2

)x2(gcot6

)x2(gcotI3

+++=

3. Resolver dx)x3(tg 5Solucin:

( ) === dx1)x3(sec)x3(tgdx)x3(tg)x3(tgdx)x3(tgI 23235 = dx)x3(tgdx)x3(sec)x3(tgI 323( ) = dx1)x3(sec)x3(tg)x3(tg121I 24

+= dx)x3(tgdx)x3(sec)x3(tg)x3(tg121I 24C)x3cos(Ln

31)x3(Tg

61)x3(tg

121I 24 +=


( ) dxxCscxCtg 1)2()2( 2 = + dxxCtgxCscxCtg )2()2()2( 2C

xSenxCtg++

2)2(ln

2)2(2

5. Resolver dx)x(tg 5Solucin:

( ) == dx1)x(sec)x(tgdx)x(tgI 235dx)x(tgdx)x(sec)x(tgI 323 =

( ) += dx1)x(sec)x(tg)x(tg41I 24



+= dx)x(tgdx)x(sec)x(tg)x(tg41I 24C)xcos(Ln)x(tg

21)x(tg

41I 24 +++=

6. Resolver dx)x(tg 3Solucin:

( ) dx)x(tg1)x(secdx)x(tg)x(tgdx)x(tg 223 ==CxcosLn

2)x(tgdx)x(tgdx)x(tg)x(sec

22 +=


( ) === dx)x2(gcot1)x2(eccosdx)x2(gcot)x2(gcotdx)x2(gcotI 223C

2)x2(senLn

4)x2(gcotdx)x2(gcotdx)x2(gcot)x2(eccos

22 +=

8. Resolver dx)x(cos)x(sen 33Solucin:

== dx)x(sen)x(cos)x(sendx)x(cos)x(senI 3233( ) dx)x(sen)x(cos)x(cos1 32

dx)x(sen)x(cos)x(cosdx)x(sen)x(cos 323 C

6)x(sen

4)x(senI

64

+=

9. Resolver dxx3cosx3sen 53Solucin:

== dxx3senx3cosx3sendxx3cosx3senI 5253( ) dxx3senx3cosx3cos1 52

xdx3senx3Cosdxx3senx3cos 75C

24x3sen

18x3senI

86

+=

3 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOMTRICAEste mtodo consiste en reemplazar el elemento de integracin ( )dxxf . por otro elemento deintegracin que estar expresado en trminos de las funciones trigonomtricas como seno,coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.Cuando la integral tenga una expresin como los tipos siguientes:

I) ( ) + dxxaf .22 II) ( ) dxxaf .22 III) ( ) dxaxf .22



Hacer las sustituciones trigonomtricas como a continuacin indicamos:

Para 22 xa + hacer tax tg= de tal manera que dttadx .sec. 2=

Para 22 xa hacer tax sen= de tal manera que dttadx .cos.=

Para 22 ax hacer tax sec= de tal manera que dtttadx .tg.sec.=Para comenzar a resolver los problemas, es necesario recordar las siguientes propiedadestrigonomtricas:

1cos22 =+ ttsen xxx cos.sen22sen =tt 22 tg1sec += 1cos2sen212cos 22 == xxx

tctec 22 tg1cos +=Adems recordemos que:

( ) dtttsend cos=( ) dtsenttd =cos( ) dttttgd 2sec=( ) dttectcd 2costg =( ) dttttd tgsecsec =( ) dttgecttecd cotcoscos =

3.1 PROBLEMAS RESUELTOSA continuacin algunos problemas de ejemplo:

1. Resolver 5x3

dxx2

3

Solucin:

=

=

35

.3

.

53 23

2

3

x

dxxx

dxxI

Aqu vemos estamos en el tercer caso, entonces hacemos:

tx sec.35

= derivando ambos miembros tenemos que dtttdx .tg.sec35

=

Hacemos estas sustituciones en la integral:

=

=

1sec353

.tg.sec.35

.sec3355

35sec3

5.3

.tg.sec35

.sec35

2

3

22

3

t

dtttt

t

dttttI

Simplificamos considerando que tt 22 tg1sec = (propiedad trigonomtrica):

( ) +=== dtttdttdtt ttI .sec.tg1355.sec355.tg tg.sec355 2244

como ( )tddtt tg.sec 2 = , entonces:



[ ] ( ) ( )[ ] +=+= tdttddtttdttI tg.tgtg355.sec.tg.sec355 2222CttI +

+=3

tgtg

355 3

Finalmente volvemos a la variable antigua x, considerando que5

53tg

2

=

xt :

( ) ( )C

xxCxxI +

+

=+

+

=

953

3535

55.353

553

355

322322

2. Resolver ++ 522

3

xx

dxx

Solucin:

( ) ++=++= 223

2

3

2152 xdxx

xx

dxxI

Hacemos cambio de variable: dtdxtx ==+1( )

+

=

++=

22

3

2

3

21

52 tdtt

xx

dxxI

Hacemos sustitucin trigonomtrica: tgt 2= ddt 2sec2=( ) ( )

+

=

+

=

44sec2.12

21

2

23

22

3

tg

dtgt

dttI

( ) ( ) dtgtgtgdtg

tgtgtgI sec16128sec1

16128 2322

23 +=+

+=

+= ddtgdtgdtgI secsec6sec12sec8 23 += ddtgdtgtgdtgtgI secsec.6sec.12sec..8 2

( ) ( ) ( ) ( ) += dddtgdI secsec6sec12sec1sec8 2( ) ( ) ( ) += ddddI secsec6sec1sec12sec8secsec8 22

( ) += ddI secsec1sec12sec6sec83sec8 23

( ) = ddI secsec1sec12sec23sec8 23

CtguuLnuuLnuuI ++++= sec1secsec2

121sec2

sec12sec23

sec8 223

CtguuLntguuLntguuI ++++= secsec6.sec6sec23

sec8 3

CtguuLntguuI +++= sec5.sec6sec23

sec8 3

u

t

2

42 +t



Como tgut =2

Entonces, del triangulo obtenemos que2

4sec

2 +=

tu

CttLnttt

t

I ++++++

+

=

2245

2.

246

242

32

48222

32

Como tx =+1

( )( ) ( ) ( )

Cxx

Lnxxx

x

I +++++

++++

++

++

=

21

241

52

1.

241

62

412

3

241

8222

32

( ) ( ) CxxxLnxxxxxxxI +++++++++++++=2

15255212352

352 222

32

3. Resolver 4xx

dx22

Solucin:Reemplazamos por: dxdTgSec2xsec2 == tenemos : ( ) ===

=

d

sec

141d

sec4sec

Tg2sec2dTgsec2

4xxdxI 2222

Cx4

4x4

sendcos41I

2

+

===

4. Resolver dxx x9 22

Solucin:Reemplazamos por: dxdcos3xsen3 == Tenemos: ==== dctgdsencossen9 dcos3.cos3dxx x9I 22

2

22

2

C3x

arcsenx

x9ctgI

2

+

==

5. Resolver dxx xa 222

Solucin:Reemplazamos por: dxdcosaxasen ==



===== ctgdctgdsencossena dcosacosadxx xaI 222

222

22

Ca

xarcsen

x

xaI22

+

=

6. Resolver dxx

16x 2 Solucin:Reemplazamos por: dtgsec4dxsec4x ==Tenemos: === dtg4sec4 dtgsec4tg4dxx 16xI 2

2

( ) C4x

secarc416xtg4I 2 +

+==

7. Resolver

+2x9dx)1x(

Solucin:

+=

+=

222 x3dx)1x(

x9dx)1x(I

Por sustitucin trigonomtrica: dcos3dxsen3x == , Adems:3x

arcsen=

Reemplazamos: Ccos3ddsen3dcos3

cos3)1sen3(I ++=+=+= C

3x

arcsenx9C3x

arcsen3

x93I 22

+

+=+

+

=

8. Resolver dxx

x92

1

Solucin:

= dxx

x9I 21

Haciendo sustitucin trigonomtrica: dcos3dxsen3x ==

Adems:

=

3x

arcsen ; 223cos3 x=

== 221

sen9dcos3cos3dx

x

x9I

Ctgdtagdsen

cosI 222

+===

3

223 x

x

3

223 x

x



1x 2 +x

1

C3x

arcsenx9

xI2

+

=

9. Resolver ( )( )6

23

22

x

dxx34 Solucin:

Hacemos la sustitucin: dcos34dxxsen

34

==

Adems:4x3

sen = ; ( )22 x34cos4 =Reemplazando

==

=

dsen

cos

43

sen4.3dcos4.cos4.3

sen34

dcos34cos4

I 64

2

5

66

335

66

33

C5gcot

16243deccos.gcot

16243 524 +=

( )C

x

x91680243I 5

59

+

=

10. Resolver +

++ dx)1x(

1x1

23

2

2

Solucin:Haciendo la sustitucin: dsecdxxtag 2==Adems: 1xsec 2 +=

+

++=

+

++=

32

2

23

2

2

)1x(1x1

)1x(

1x1I

( ) ++=+=+= CsenddSec1Sec dSecSec1I 32

Carctagx1x

xI2

+++

=

11. Resolver ( ) + dx5xdx

232

Solucin:

( ) ( ) +=+= 3222 5xdx

5x

dxI2

3

Haciendo la sustitucion: dsec5dxxtg5 2==Adems: 22 5xsec5 +=

3x

( )22 34 x

4



( ) C5sendcos

51

sec

d51

sec55dsec5

sec5

dsec5I

3

2

3

2

+=====

C5x5

xI2

++

=

12. Resolver ( ) dxxadxx

2322

2

Solucin:

( ) dx)xa(dxxdx

xa

dxxI322

2

2322

2

=

=

Hacemos la sustitucin: dcos.adxxsen.a == . Adems:a

xarcsen=

Reemplazamos en la ecuacin I:( ) Ctagdtagdcosa

cosa

senaI 233

22

+=== C

a

xarcsen

xa

xI22

+

=

13. Resolver

2

3

x4dxx

Solucin:Hacemos la sustitucin: dcos2dxxsen2 ==Adems

=

2x

asrsen y 22 x2cos2 =Reemplazamos:

dsen)cos1(8

cos2dcos2sen8

x4dxxI 2

3

2

3 ==

=

( ) C3

cos8cos8dsencos8dsen8I3

2 ++=+= ( ) ( )

3x4x48x412

3x4x48x44I

222222

=

+=

C)20x8(3

x43

)x83212(x4I 2222

+

=

+=

14. Resolver

2/52

2

)x4(dxx

Solucin:Hacemos la sustitucin: dcos2dxxsen2 ==Adems:

2x

ascen= y 22 x2cos2 =

x

2

222 x

2

x

222 x



5

Reemplazamos en I:

==

=

d

cos

sen

41

cos32dcos2sen4

)x4(dxxI 4

2

5

2

52

2

322

3322

)x2(x

121

3tag

41dsectag

41I

=== 15. Resolver dxx )25x( 6

232

Solucin:Hacemos la sustitucin: dtagsec5dxxsec5 ==Adems:

=

5x

secarc y 22 5xtg5 =

Reemplazamos: == 6633

6

322

sec5dtagsec5tag5dx

x

)5x(I

C5

sen

251dcossen

251d

cos

1cos

sen

251d

sec

tag251I

54

5

4

4

5

4

+====

( )C

x

5x125

1I 5

522

+

=

16. Resolver ( ) + 32 2 5x2xdx

Solucin:

( ) ( )( ) +=+= 2/32232 2 21xdx

5x2x

dxI

Haciendo la sustitucin: dsec2dx1xtg2 2==Adems:

=

21x

arctgReemplazando:

C2)1x(

1x41Csen

41dcos

41

sec

d41

sec8dsec2

I223

2

++

=+====

17. Resolver dxx

x25 2 Solucin:Haciendo la sustitucin: dcos5dxsen5x ==Reemplazando la sustitucin en la integral I:

( ) == dcos5sen5 sen2525dxx x25I2

122

225 x

5x

1x

2

( ) 22 21 +x

x

5

22 5x



( ) +==== Ccos52tgLn5dsensen5send5sen dcos5dcos5sen5cos5I222

Cx25x

x255Ln5I 22

++

=

18. Resolver dxx

x +12Solucin:Hacemos la sustitucin: ddxtgx 2sec==Adems:

1x

tg = ; 1sec 2 += x

( ) ==

dsen

tg1dsec

cos

sencos

1

dsectg

sec2

22

( ) +=== 222

cos

cosddcscdcos

sendcscsen

dtgsen

dI

Cx

1xx1xLnCsecgcoteccosLnI

22 +

++=+=

19. Resolver + 5xx

dx22

Solucin:Haciendo la sustitucin y reemplazando:

dxdxtg == 2sec55Adems:

5x

tg =

( ) ===

22

2

22

2

tgdsec

51

sec.tgdsec

51

sec5tg5

dsec5I

( ) Cx5

5xCeccos51

sen

send51d

sen

cos

51I

2

22 ++

=+=== 20. Resolver

2

2

x1dxx

Solucin:Reemplazamos por: dcosdxsenx ==Tenemos: C

42sen

2dsendcos

cos

sen

x1dxxI 2

2

2

2

+===

= ( ) Cx1xarcsenx

21

2cossen

2I 2 +==

21. Resolver + 22 x1x

dx

Solucin:

5

( )22 5+xx

1

12 +xx



Reemplazamos por: dxdsecxtg 2 == Tenemos : ===

+=

d

sen

cosdtgsec

sectgdsec

x1xdxI 222

2

22

( ) Cx

x1Ceccossen

sendI2

2 ++

=+== 22. Resolver

1xxdx

23

Solucin:Hacemos la sustitucin dxtgsecxsec == Reemplazando tenemos:

++====

= C42sen

2dcos

sec

ddtgsec

tgsec

1xxdxI 22323

Cx

1xsecarc

21I

2

+

+=

23. Resolver dxx

x42

2

Solucin:Hacemos la sustitucin: dxdcos2xsen2 == Reemplazando tenemos:

==== dctgdsencossen4 dcos2cos2dxx x4I 222

22

2

C2x

arcsenx

x4CctgI2

+

=+=

24. Resolver + 22 916 xx

dx

Solucin:

Reemplazamos dxdxtg == 2sec34

34

Tenemos: ===+

=

d

send

tgtg

d

xx

dxI 222

2

22

cos

163sec

163

sec49

16

sec34

916

( ) ++=+== Cx xCsensensendI 3 91616311632

2

3.2 PROBLEMAS:

1) + 24 xdx 2)

+ 22 4 xxdx

24 x

2x

4

169 2 +x3x



3)

22 4 xxdx

4) 42

2

x

dxx

5) + 249 xxdx

6)

2

2

2 xdxx

7) + 22 9 xx

dx

8) 2522 xx

dx

9) 5

22xx

dx

10) 12

3

x

dxx

11)

2

3

2 xdxx

12) +122 xx

dx

13)

22 1 xxdx

14)

22

2

1 xxdxx

15)

2

2

4 xdxx

16) dxx x224

17) dxx x249

18) dxx ax22

19) dxxx 92

20) dxxx 522

21) dxx 22522) dxx 2123) dxxx 22 424) ( ) + 322 ax

dx

Integrales Con Funciones Trigonometricas

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