UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MÉXICO

Campus (Roma)

Tema: Trabajo integrador

Nombre: Pérez Gutiérrez Emilio.

Matrícula: 020003836

Carrera: Licenciatura en Sistemas

de Computación Administrativa.

Salón: A-106

Cuatrimestre: Segundo.

Materia: Lógica secuencia y combinatoria.

Prof.: Fecha de entrega: 06 de enero de 2011.

México D.F, U V M 2011.

ÍNDICE.Campus (Roma)............................................................................................................................1

Tema: Trabajo integrador............................................................................................................1

Nombre: Pérez Gutiérrez Emilio....................................................................................................1

INTRODUCCION..................................................................................................................................2

OBJETIVOS..........................................................................................................................................3

MARCO TEÓRICO................................................................................................................................3

CONSTANTES Y VARIABLES BOOLEANAS............................................................................................3

COMPUERTA AND......................................................................................................................3

COMPUERTA NAND....................................................................................................................4

COMPUERTA OR.........................................................................................................................6

COMPUERTA NOR......................................................................................................................7

COMPUERTA NOT.......................................................................................................................8

COMPUERTA XOR.......................................................................................................................9

CIRCUITO XOR EQUIVALENTE...................................................................................................10

CIRCUITO NOR EQUIVALENTE..................................................................................................10

CIRCUITO NAND EQUIVALENTE................................................................................................12

DESARROLLO....................................................................................................................................13

Evaluación de la función...............................................................................................................13

Fotos del PROTOBOARD...............................................................................................................14

Foto de evaluación No. 2..........................................................................................................14

Foto de evaluación No. 5..........................................................................................................14

Foto de la evaluación No. 8......................................................................................................14

Foto de la evaluación No. 11....................................................................................................15

INTRODUCCION.Los circuitos digitales (lógicos) operan en modo binario donde cada voltaje de entrada y de salida es un 0 y un 1; las designaciones 0 y 1 representan intervalos predefinidos de voltaje. Esta característica de los circuitos lógicos nos permite utilizar el álgebra booleana como herramienta de para el análisis y diseño de sistemas digitales. En este proyecto estudiaremos las compuertas lógicas, que son los circuitos lógicos más fundamentales, y observaremos cómo puede describirse su operación mediante el uso del álgebra booleana.

OBJETIVOS Analizar el circuito inversor Describir la operación de las tablas de la verdad para las compuertas AND, NAND, OR, NOR

y construirlas. Escribir la expresión booleana para las compuertas lógicas y las combinaciones de

compuertas lógicas. Analizar los resultados experimentales. Formar una capacidad de análisis critica, para interpretar de una manera optima los

resultados obtenidos, de una forma lógica como analítica.

MARCO TEÓRICO

CONSTANTES Y VARIABLES BOOLEANASEl álgebra booleana difiere de manera importante del álgebra ordinaria en que las constantes y variables booleanas sólo pueden tener dos valores posibles, 0 ó 1. Una variable booleana es una cantidad que puede, en diferentes ocasiones, ser igual a ó a 1. Las variables booleanas se emplean con frecuencia para representar el nivel de voltaje presente en un alambre o en las terminales de entrada y de salida de un circuito.

Así pues, el 0 y el 1 booleanos no representan números sino que en su lugar representan el estado de una variable de voltaje o bien lo que se conoce como su nivel lógico. Se dice que un voltaje digital en un circuito digital de encuentra en nivel lógico 0 ó en el 1, según su valor numérico real. En el álgebra booleana no hay fracciones, decimales, números negativos, raíces cuadradas, logaritmos, números imaginarios, etc. De hecho en el álgebra booleana sólo existen tres operaciones básicas. OR, AND y NOT.

Estas operaciones básicas se llaman operaciones lógicas. Es posible construir digitales llamados compuertas lógicas que con diodos, transistores y resistencias conectados de cierta manera hacen que la salida del circuito sea el resultado de una operación lógica básica (AND, OR, NOT) sobre la entrada.

COMPUERTA AND

Si dos variables lógicas A y B se combinan mediante la expresión AND, el resultado x, se puede expresar como:

En esta expresión el signo " representa la operación bolean de AND, cuyas reglas se dan en la tabla de verdad mostrada anteriormente. Al observar la tabla, se advierte que la operación AND es exactamente igual que la multiplicación ordinaria. Siempre que A o B sean cero, su producto será cero; cuando A y B sean 1, su producto será 1. Por tanto, podemos decir que en la operación AND el resultado será 1 sólo si todas las entradas son 1; en los demás casos el resultado será 0.

La expresión se lee “x es igual a A AND B”. El signo de multiplicación por lo general se omite como en el álgebra ordinaria, de modo que la expresión se transforma en z=AB.

En la figura mostrada previamente, se muestra de manera simbólica, una compuerta AND de dos entradas. La salida de la compuerta AND es igual al producto AND de las entradas lógicas; es decir, Esta misma operación es característica de las compuertas AND con más de dos entradas.

COMPUERTA NAND

Una compuerta NAND (NO Y) de dos entradas, se puede implementar con la concatenación de una compuerta AND o "Y" de dos entradas y una compuerta NOT o "No" o inversora. Ver la siguiente figura.

Al igual que en el caso de la compuerta AND, ésta se puede encontrar en versiones de 2, 3 o más entradas.

Tablas de verdad de la compuerta NAND

Como se puede ver la salida X sólo será "0" cuando todas las entradas sean "1".

Nota: Un caso interesante de este tipo de compuerta, al igual que la compuerta NOR o "NO O", es que en la primera y última línea de la tabla de verdad, la salida X es tiene un valor opuesto al valor de las entradas.

En otras palabras: Con una compuerta NAND se puede obtener el comportamiento de una compuerta NOT o "NO". Aunque la compuerta NAND parece ser la combinación de 2 compuertas (1 AND y 1 NOT), ésta es más común que la compuerta AND a la hora de hacer diseños.

En la realidad este tipo de compuertas no se construyen como si combináramos los dos tipos de compuertas antes mencionadas, si no que tienen un diseño independiente.

En el diagrama se muestra la implementación de una compuerta NOT con una compuerta NAND. En la tabla de verdad se ve que sólo se dan dos casos a la entrada: cuando I = A = B = 0 ó cuando I = A = B = 1

COMPUERTA OR

Suponiendo que A y B representan dos variables lógicas independientes. Cuando A y B se combinan con la operación OR, el resultado, x, se puede expresar como:

A B Z=A+B0 0 00 1 11 0 11 1 1

En esta expresión el signo + no representa la adición ordinaria; en su lugar denota la operación OR cuyas reglas se dan en la tabla de la verdad mostrada previamente.

Al observar la tabla de la verdad se advertirá que excepto en el caso donde la operación OR es la misma que la suma ordinaria. Sin embargo, para la suma OR es 1 (no 2 como en la adición ordinaria). Esto resulta fácil de recordar si observamos que sólo 0 y 1 son los valores posibles en el álgebra booleana, de modo que el máximo valor que se puede obtener es 1.

En un circuito digital la compuerta OR es un circuito que tiene dos o más entradas y cuya salida es igual a la suma OR de las entradas, El símbolo correspondiente a una compuerta OR de dos entradas es el de la figura señalada anteriormente. Las entradas A y B son niveles de voltaje lógicos y la salida x es un valor de voltaje lógico cuyo valor es el resultado de la operación OR de A y B; esto es,

Esta misma idea puede ampliarse a más de dos entradas. El análisis de esta tabla muestra una vez más que la salida será 1 en cualquier caso donde una o más entradas sean 1. Este principio general es el mismo que rige para compuertas OR con n-número entradas.

COMPUERTA NORUna compuerta lógica NOR (No O) se puede implementar con la concatenación de una compuerta OR con una compuerta NOT, como se muestra en la siguiente figura.

Al igual que en el caso de la compuerta lógica OR, ésta se puede encontrar en versiones de 2, 3 o más entradas.

Las tablas de verdad de estos tipos de compuertas son las siguientes:

Como se puede ver la salida X sólo es "1", cuando todas las entradas son "0".

Compuerta lógica NOT creada con una compuerta lógica NOR

Un caso interesante de este tipo de compuerta, al igual que la compuerta lógica NAND, es que cuando las entradas A y B ó A, B y C (caso de una compuerta NOR de 3 entradas) se unen para formar una sola entrada, la salida (X) es exactamente lo opuesto a la entrada, Ver la primera y la última filas de la tabla de verdad.

En otras palabras: Con una compuerta lógica NOR se puede lograr el comportamiento de una compuerta lógica NOT. Ver el siguiente diagrama.

COMPUERTA NOTEn la electrónica digital, no se podrían lograr muchas cosas si no existiera la compuerta NOT, también llamada compuerta inversora.

La compuerta NOT como la compuerta AND y la compuerta OR es muy importante. Esta compuerta entrega en su salida el inverso (opuesto) de la entrada.

El símbolo y la tabla de verdad son los siguientes:

La salida de una compuerta NOT tiene el valor inverso al de su entrada. En el caso del gráfico anterior la salida X = A

Esto significa que:

- Si a la entrada tenemos un "1" lógico, a la salida hará un "0" lógico y.

- Si a la entrada tenemos un "0" lógico a la salida habrá un "1" lógico.

Nota: El apóstrofe en la siguiente expresión significa "negado". Entonces: X = A’ es lo mismo que X = Ᾱ

Las compuertas NOT se pueden conectar en cascada, logrando después de dos compuertas, la entrada original. Ver el siguiente gráfico y la tabla de verdad.

COMPUERTA XOR

En la electrónica digital hay unas compuertas que no son comunes. Una de ellas es la compuerta XOR ó compuerta O exclusiva ó compuerta O excluyente.

El siguiente diagrama muestra el símbolo de una compuerta XOR (O exclusiva) de 2 entradas:

Comprender el funcionamiento de esta compuerta digital es muy importante para después poder implementar lo que se llama un comparador digital.

La figura de la derecha muestra la tabla de verdad de una compuerta XOR de 2 entradas.

Y se representa con la siguiente función booleana

X = A.Ḃ + Ᾱ.B

A diferencia de la compuerta OR, la compuerta XOR tiene una salida igual a "0" cuando sus entradas son iguales a 1.

Si se comparan las tablas de verdad de la compuerta OR y la compuerta XOR se observa que la compuerta XOR tendrá un uno ("1") en su salida cuando la suma de los unos "1" en las entradas sea igual a un número impar.

La ecuación se puede escribir de dos maneras:

X = A.B + A.B ó X=AᶲB

La siguiente figura muestra la tabla de verdad de una compuerta XOR de 3 entradas

De la misma manera que el caso anterior se puede ver que se cumple que X = 1 sólo cuando la suma de las entradas en "1" sea impar

CIRCUITO XOR EQUIVALENTETambién se puede implementar la compuerta XOR con una combinación de otras compuertas más comunes.

En el siguiente diagrama se muestra una compuerta XOR de dos entradas implementada con compuertas básicas: la compuerta AND, la compuerta OR y la compuerta NOT.

CIRCUITO NOR EQUIVALENTE

La compuerta NOR equivalente es una forma alternativa de lograr el mismo resultado de una compuerta NOR (No "O") como la que ya se conoce.

Ver en el siguiente gráfico una compuerta NOR y su circuito equivalente implementado con una compuerta AND y dos compuertas NOT.

Comparando las tablas de verdad que se presentan a continuación, se puede ver que el valor de la salida (F) es igual.

Se puede ver también que la fórmula booleana utilizada para el circuito equivalente da un resultado (F) igual al resultado de la fórmula booleana de la compuerta NOR (F).

F = Ᾱ+ Ḃ

Teorema de Morgan

Comparando los diagramas superiores (la compuerta NOR y su circuito equivalente) se obtiene la siguiente igualdad:

A + B=AB

Esta última igualdad es llamada "El teorema de Morgan".

Este teorema es muy útil para simplificar circuitos combinacionales booleanos, especialmente cuando existen expresiones grandes y complejas que están negadas (que tienen una línea horizontal en la parte superior) una o más veces.

El circuito NOR equivalente se representa también de la siguiente manera:

Los pequeños círculos que están a la entrada de la compuerta NAND reemplazan a las compuertas NOT o compuertas inversoras (el circulo pequeño es un inversor).

CIRCUITO NAND EQUIVALENTE.El circuito NAND equivalente es una forma alternativa de lograr el mismo resultado de una compuerta NAND como la que ya se conoce.

Comparando las tablas de verdad que se presentan a continuación, se puede ver que el valor de la salida (F) es igual.

La primera tabla es la tabla de verdad de un circuito NAND equivalente y la segunda es la tabla de verdad de la compuerta NAND

Se puede ver también que la fórmula booleana utilizada para el circuito equivalente da un resultado (F) igual al resultado de la fórmula booleana de la compuerta NAND (F).

F = Ᾱ + Ḃ

F = A . B

Teorema de Morgan

Entonces (observando las 2 tablas anteriores): A.B = A + B

Esta última igualdad es llamada "El teorema de Morgan". Este teorema es muy útil para simplificar circuitos combinacionales booleanos.

Es especialmente útil cuando hay que simplificar expresiones booleanas grandes y complejas que están negadas (que tienen una línea horizontal en la parte superior) una o más veces.

El circuito NAND equivalente se representa también como se muestra en el gráfico siguiente:

Los pequeños círculos que están a la entrada de la compuerta OR reemplazan a las compuertas inversoras que se muestran en el primer gráfico de este artículo. (El círculo pequeño es un inversor).

DESARROLLOEn el siguiente ejercicio se mostrara el uso de las compuertas (AND, OR, NOT).

De acuerdo a la siguiente función:

Z= AB+CD+ᾹCEvaluación de la función.

No A B C D A B Z = AB C D Z = CD A C Z = AC Z = AB+CD+AC0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 02 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 13 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 14 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 05 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 06 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 17 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 18 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 19 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1

10 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 111 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 112 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 013 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 014 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 015 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1

Fotos del PROTOBOARD

Foto de evaluación No. 2

Foto de evaluación No. 5

Foto de la evaluación No. 8

Foto de la evaluación No. 11

ESQUEMA SIMBOLICO.