Integracin en variable compleja

M. Fernndez Guasti

19 de junio de 2015

Lab. de ptica Cuntica, Depto. de Fsica,Universidad A. Metropolitana - Iztapalapa,09340 Mxico D.F., Ap. postal. 55-534, MEXICOe-mail: mfg@xanum.uam.mx, url: http://luz.izt.uam.mx

1. Integracin compleja

Diferencial de longitud de arco definida como [1]

ds =

1 +

(df

dx

)2dx.

Define la integral de contorno como un proceso lmiteC

f (z) dz = lmP0nk=1

f (zk)4zk.

Si f (zk) = u (zk) + iv (zk) y 4zk = 4xk + i4yk,C

f (z) dz =C

(u+ iv) (dx+ idy) =C

(udx vdy) + iC

(vdx+ udy) .

Si se define una curva en el plano complejo en trminos de un parmetro real

f (t) = f1 (t) + f2 (t) i,

la integral compleja es ba

f (t) dt = ba

f1 (t) dt+ ba

f2 (t) dt i,

1

y la integral de contornoC

f (z) dz = ba

f (z (t))(dz

dt

)dt.

Si la longitud de un contorno suave es L y f es continua en el contorno y suvalor mximo es

f (z) M , entoncesC

f (z) dz ML.

Teorema 1.1. Teorema de Cauchy: Si f es analtica en un dominio simplemen-te conexo D y (f continua en D - sta condicin la elimina Goursat). Entoncespara todo contorno cerrado simple C en D,

Cf (z) dz = 0. [1, p.231]

Demostracin. Se invoca teorema de GreenC

(Pdx+Qdy) =R

(Q

x Py

)dA

y condiciones de CRC

(udx+ (v) dy) =R

(vx uy

)dA = 0

C

(vdx+ udy) =R

(u

x vy

)dA = 0

C

f (z) dz =C

(udx vdy) + iC

(vdx+ udy) = 0

Deformacin de contornos

Teorema 1.2. Teorema de Cauchy: Si f es analtica en dominio multiplementeconexo D. Entonces para un contorno cerrado C con Ck contornos interiorescon orientacin positiva sin puntos en comn,

C

f (z) dz =nk=1

Ck

f (z) dz.

Independencia de trayectoria

Teorema 1.3. Independencia de trayectoria: Si f es analtica en un dominiosimplemente conexo D y C es cualquier contorno (no necesariamente cerrado)en D. Entonces

Cf (z) dz es independiente de la trayectoria C.

dicho de manera sucinta

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Teorema 1.4. La integral de una funcin holomorfa es independiente de latrayectoria

Demostracin. tomar dos tramos de una trayectoria cerrada, modificar un tra-mo mientras el otro se mantiene constante.

Antiderivada o integral indefinida F , tal que F (z) = f (z) para cada z en D.

Teorema 1.5. Formula integral de Cauchy: f holomorfa

f (z0) =1

2pii

C

f (z)z z0 dz

Demostracin. sumo y resto f (z0) en la integral,Cf(z0)zz0 dz = 2piif (z0) evala

la integralCf(z)f(z0)

zz0 dz para un crculo pequeo y concluye que es cero.

Teorema 1.6. Formula integral de Cauchy para derivadas de funciones:

f (n) (z0) =n!

2pii

C

f (z)(z z0)n+1

dz

Demostracin. Para n = 1, de la definicin de derivada

f (z0) = lm4z0f (z0 +4z) f (z0)

4z dz,

cada parte la escribo como una integral

f (z0) = lm4z01

2pii4z(

C

f (z)z (z0 +4z)dz

C

f (z)z z0 dz

).

Evaluar la suma con comn denominador

f (z)z (z0 +4z) +

f (z)z z0 =

f (z)(z (z0 +4z)) (z z0) ,

y se toma el lmite

f (z0) =1

2pii

(C

f (z)(z z0)2

dz

).

Corolario 1.1. La derivada de una funcin analtica es analtica.

desigualdades

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Teorema 1.7. Desigualdad de Cauchy Si |f (z)| M para todos los puntos zen C, entonces f (n) (z) n!M

rn.

Demostracin. Dividir la desigualdad de la premisa entre rn+1, |f(z)|rn+1 Mrn+1 .Se toma la magnitud de la formula integral de Cauchy para derivadas

f (n) (z0) = n!2pii

C

f (z)(z z0)n+1

dz

n!2pi Mrn+1 2pirdonde se utiliz la desigualdad ML con L = 2pir.

El resultado involucra la circunferencia r, excepto para n = 0 que es cierto paracualquier circunferencia.

Teorema 1.8. Teorema de Liouville: Las nicas funciones enteras acotadasson las constantes

Demostracin. Si f est acotada en todo el plano complejo, |f (z)| M , demanera que

f (z) Mr . Pero para r muy grande la derivada tiende a cero.Teorema 1.9. Teorema fundamental del lgebra Si p (z) es un polinomio degrado n no constante, entonces la ecuacin p (z) = 0 tiene al menos una raiz{tiene n raices}

Demostracin. Se considera el inverso del polinomio y se supone entero (sinsingularidades). Esto conduce a la contradiccin de que es constante, por lo quese deduce que debe tener al menos una raz.

Teorema 1.10. Teorema de Morera: SiCf (z) dz = 0 con C en D, entonces

f es holomorfa en D.

Referencias

[1] D. G. Zill and P. D. Shanahan. Cengage, 2nda edition, 2009.

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Integracin compleja