INTEGRACIÓN NUMÉRICA REDUCIDA EN ANÁLISIS NO LINEALES DE ... · INTEGRACIÓN NUMÉRICA REDUCIDA...

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

INTEGRACIÓN NUMÉRICA REDUCIDA EN ANÁLISIS NO LINEALES DE ESTRUCTURAS CON

EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Héctor Rodrigo Amezcua Rivera1, Amado Gustavo Ayala Milián2 y Jaime Retama Velasco3

RESUMEN

El uso de integración numérica reducida en análisis no lineales de estructuras con el método de elementos finitos

es atractivo por su velocidad y presición. En este artículo, se discuten y validan estas ventajas mediante la

aplicación de una estrategia de reducción del costo computacional requerido para llevar a cabo un análisis

estructural no-lineal. Esta alternativa se basa en el uso de un esquema de integración numérica reducida para el

cálculo, estabilización y enriquecimiento de la matriz de rigidez de elementos finitos cuadriláteros de 4 nodos.

ABSTRACT

The use of reduced numerical integration in nonlinear finite element analysis of structures is attractive for its

speed and accuracy. In this paper, this advantages are discussed and validated through the application of a

strategy for reducing the computational cost required to carry out a nonlinear structural analysis. This alternative

is based on the use of reduced numerical integration in the calculation, stabilization and enrichment of the

stiffness matrix of 4-node quadrilateral elements.

INTRODUCCIÓN

El uso de computadoras en la ejecución de análisis no lineales de estructuras mediante el método de elementos

finitos, tanto para la creación de mallas, como para el análisis numérico, ha facilitado el desarrollo de modelos

constitutivos sofisticados que presentan una mejor aproximación del comportamiento real de los materiales y

de las estructuras. Sin embargo, la aplicación de estos modelos al campo práctico de la ingeniería estructural

presenta incovenientes, ya que, a pesar de que las computadoras son cada vez más capaces, el costo

computacional de llevar a cabo un análisis no-lineal de una estructura compleja es muy alto. Generalmente, esto

lleva a establecer hipótesis que simplifican el comportamiento de la estructura y, en consecuenica, el análisis

numérico, que puede, sin embargo, afectar la calidad de los resultados. Es por esto que el desarrollo de

estrategias que reduzcan este costo computacional, con en el método de elementos finitos, es atractivo para

ingenieros especialistas en estructuras e investigadores. Un ejemplo de estas estrategias son las basadas en el

uso de integración numérica reducida para la obtención de la matriz de rigidez.

El elemento cuadrilátero de 4 nodos, estudiado en este artículo, es ampliamente usado en la mecánica

computacional. Sin embargo, la elección de un esquema óptimo de integración numérica representa un dilema

difícil (Flanagan y Belytschko, 1981). Una regla de orden inferior es deseable por dos razones: (1) La reducción

del costo computacional en la obtención de la matriz de rigidez, debida a la disminución en el número de

evaluaciones de la matriz de compatibilidad (Belytschko et al.,1984). (2) La tendencia a ablandar el elemento,

a consecuencia de que algunos de los modos característicos de la matriz de rigidez ofrecen poca rigidez a

1 Estudiante de doctorado, Instituto de Ingeniería, UNAM, Apdo: 70-642. México D.F. 04510 Teléfono

(55)5665-9784; Fax (55)562-23468; [email protected].

2 Profesor e investigador, Instituto de Ingeniería, UNAM, Apdo: 70-642. México D.F. 04510 Teléfono

(55)5665-9784; Fax (55)562-23468; [email protected].

3 Profesor, Centro de Investigación Multidisciplinaria Aragón, Facultad de Estudios Superiores de Aragón,

UNAM, Av. Rancho Seco s/n, Col. Impulsora, Nezahualcoyotl, Edo. de México 57130;

[email protected]

XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.

2

deformación (Cook et al., 1989). Además de esto, fue demostrado por Wilson et al. (1973) que el empleo de un

elemento isoparamétrico, evaluado con una regla de integración completa, no representa con precisión la

deformación en los modos de deformación lineal o modos de flexión. Por estas razones, para análisis

estructurales de gran escala, el uso de una cuadratura numérica con un punto de integración, para elementos

cuadriláteros de 4 nodos, es atractivo por su bajo costo computacional y la precisión de los resultados obtenidos.

Sin embargo, la principal desventaja del uso de integración reducida estos elementos es la inestabilidad, debida

a la deficiencia de rango de la matriz de rigidez, que se presenta en algunos modos de deformación, comúnmente

llamado efecto hourglass (reloj de arena en español), requiriéndose para su correcto uso de un proceso de

estabilización (Amezcua, 2016). Este fenómeno apareció por primera vez en aplicaciones del método de

diferencias finitas (Belytschko et al., 2013) y, actualmente, en el método de elementos finitos los modos

hourglass son un inconveniente en códigos numéricos en los cuales la matriz de rigidez es obtenida con una

regla de integración reducida, por lo que se han desarrollado técnicas para su control (Belytschko et al., 1984).

Algunas de estas técnicas aparecieron por primera vez en el método de las diferencias finitas, donde Maenchen

y Sack (1963) añadieron una viscosidad artificial para inhibir el efecto; sin embargo, la viscosidad no era

independiente de los modos de deformación constante y de los movimientos de cuerpo rígido, lo cual puede

degradar la solución (Flanagan y Belytschko, 1981). Posteriormente, Wilkins et al. (1975) desarrollaron una

viscosidad triangular, pero resulto ser una técnica bastante compleja que involucra programación y tiempos de

cálculo considerables, además de ser dependiente de los modos de deformación y de los movimientos de cuerpo

rígido (Flanagan y Belytschko, 1981). Años más tarde, en el método de elementos finitos, Kosloff y Frazier

(1978) proponen un esquema simple para controlar el efecto hourglass mediante la adición de un término de

respuesta a la matriz de rigidez. Este esquema fue propuesto para el caso de un material isótropo elástico lineal

y, para la mayoría de los casos, es relativamente económico computacionalmente. Flanagan y Belytschko (1981)

presentaron una técnica precisa para aislar las formas modales ortogonales hourglass para elementos

cuadriláteros de geometría arbitraria. Esta técnica es estudiada en este artículo.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA EN EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Cuadratura es el nombre utilizado para evaluar una integral numéricamente, en lugar de analíticamente. Hay

varias reglas de cuadraturas, siendo las de Gauss-Legendre las más apropiadas para elementos cuadriláteros

(Cook et al., 1989). Para obtener la matriz de rigidez, K, de un elemento con espesor t y área A, se debe resolver

la integral de la ec. 1. Aquí, B es la matriz de compatibilidad del elemento y C es la matriz constitutiva que

depende de las propiedades del material y del tipo de problema a analizar: esfuerzo plano o deformación plana.

dAtA

T

BCBK (1)

Debido a la complejidad de resolver esta expresión de manera analítica, se recurre al uso de reglas de integración

numérica para evaluarla numéricamente. Ya que el costo computacional de esta evaluación es directamente

proporcional al número de puntos de integración utilizado, la selección de una regla óptima de integración es

altamente importante. Cuando la matriz de rigidez es evaluada con integración numérica, esta solo contiene

información que puede ser percibida en los puntos de muestreo de la cuadratura utilizada. Si ocurre que las

deformaciones, calculadas con ε = B d, son cero en todos los puntos de muestreo en cierto modo, d = φ, entonces

la energía de deformación, Ue, es nula para ese modo, en el sentido que Ue = (1/2) φT K φ es cero. Se espera

que esto ocurra cuando φ corresponda a un modo de cuerpo rígido. Si ocurre que Ue = 0 cuando φ no sea un

modo de cuerpo rígido, se presenta una inestabilidad numérica (Cook et al., 1989).

INTEGRACIÓN NUMÉRICA COMPLETA

Para elementos integrados numéricamente, se define como integración completa a la cuadratura suficiente para

obtener el valor exacto o suficientemente aproximado de las integrales de los términos en la matriz de rigidez

del elemento (Cook et al., 1989). En este caso, para un elemento cuadrilátero de 4 nodos, se necesita una

cuadratura de 2x2, como mínimo, para una integración completa. Considerando el elemento cuadrilátero de 4

nodos de la fig. 1 con un módulo de Young E = 2,000 MPa y una relación de Poisson ν = 0.20, y evaluando la

integral de la ec. 1 con una cuadratura de Gauss-Legendre de 2x2, se obtiene una matriz de rigidez integrada de

forma completa, K(4). A partir de aquí, el subíndice entre paréntesis indicará el número de puntos de integración

3


utilizados para la obtención de la matriz en cuestión. Los modos de deformación de este elemento,

completamente integrado, se obtienen resolviendo la ecuación característica de la matriz de rigidez, (K(4) – λ I)

Φ = 0, donde λ es la matriz de eigenvalores, I es la matriz identidad y Φ es la matriz de eigenvectores. En la

fig. 2 se observan los ocho modos de deformación de la matriz K(4).

Figura 1 Elemento cuadrilátero de 4 nodos

Figura 2 Modos de deformación de la matriz de rigidez con integración completa

Los tres primeros modos son de cuerpo rígido, para los cuales Ue = 0, como se esperaba. Los siguientes dos

modos son de deformación lineal o de flexión, con Ue > 0. Finalmente, los tres últimos modos son de

deformación constante, en los que Ue > 0 (Cook et al., 1989). Hay cinco modos que presentan deformación

(linealmente independientes) y tres modos de cuerpo rígido (linealmente dependientes). Por definición, el rango

de una matriz está dado por el número de filas o columnas que son linealmente independientes (Friedberg et

al., 1982). Por consiguiente, el rango de la matriz de rigidez integrada completamente es 5.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA REDUCIDA

Se llama integración reducida al uso de una cuadratura de orden inferior al necesario para una integración

completa. Como se describió anteriormente, este tipo de integración es atractivo por su bajo costo

computacional y la precisión de los resultados. Considerando el mismo elemento cuadrilátero de la fig. 1 con

las mismas propiedades mecánicas propuestas en la sección anterior, y resolviendo la integral de la ec. 1 con

una cuadratura de Gauss-Legendre de 1x1, se obtiene una matriz de rigidez sub-integrada, K(1). En la fig. 3 se

identifican los ocho modos de deformación de esta matriz.

Figura 3 Modos de deformación de la matriz de rigidez con integración reducida


4

Los tres últimos modos son de deformación constante, para los cuales Ue > 0, como se esperaba, sin importar

el orden de la cuadratura utilizada. Para los cinco primeros modos Ue = 0, pero no corresponden a un

comportamiento de cuerpo rígido. Por lo tanto, se presenta una inestabilidad numérica y estos modos son

llamados espurios o hourglass, por la forma semejante a un reloj de arena cuando se realiza un ensamble de

elementos. Por consiguiente, el rango de la matriz sub-integrada es 3 (Friedberg et al., 1982). Esta inestabilidad

debe ser eliminada con la finalidad de poder tomar ventaja de este esquema de integración.

A través de una comparación entre las figs. 2 y 3, se puede observar que los modos afectados por el efecto

hourglass son los de cuerpo rígido y los de deformación lineal, mientras que los modos de deformación

constante se mantienen. Esta observación es importante para el desarrollo del método de control de este efecto.

CONTROL DEL EFECTO HOURGLASS

Un método de control del efecto hourglass desarrollado por Belytschko et al. (1981; 1984; 1986; 1991; 2013)

fue estudiado e implementado computacionalmente por Amezcua (2016), para un elemento cuadrilátero de 4

nodos. Este método consiste en la adición de una matriz estabilizadora, Kstab, a la matriz de rigidez sub-integrada

(ec. 2). Esta matriz, de rango 2, contiene el efecto de fuerzas agregadas para controlar los modos hourglass.

Matemáticamente, el objetivo es aumentar el rango de la matriz de rigidez K(1) de 3 a 5.

stab

T

stab A KBCBKKK )1()1()1( (2)

Aquí, K representa la matriz de rigidez estabilizada. El efecto de las fuerzas, utilizadas para estabilizar el

elemento, se distribuye en la matriz de rigidez mediante el vector de forma hourglass, γ, calculado con la ec. 3:

T

y

TT

x

TTTbyΓbxΓΓγ

4

1 (3)

donde Γ es el vector base que contiene los coeficientes de las funciones de forma que dan lugar a los modos

hourglass. Para el elemento en cuestión ΓT = [1,-1,1,-1] (Flanagan y Belytschko, 1981). Los vectores x y y

contienen las coordenadas locales del elemento, además bx y by son vectores compuestos por términos de la

matriz de compatibilidad evaluada en un punto de integración, B(1), calculados con las ecs. 4a y 4b.

312413422

1yyyyyyyy

A

T

x b (4a)

13423124

2

1xxxxxxxx

A

T

y b (4b)

La matriz de rigidez estabilizadora se obtiene con la ec. 5. Se puede notar que cada término de esta matriz

corresponde a una sub-matriz de 4x4. Aquí, las constantes C1,1, C3,3 y C1,2, corresponden a los términos de la

matriz constitutiva, C, ya sea de esfuerzo plano o de deformación plana. Para incluir elementos de deformación

asumida, Belytschko y Bindeman (1991) propusieron diferentes valores para estas constantes.

T

xxyy

T

xy

T

xy

T

yyxx

stabHCHCHCC

HCCHCHC

γγγγ

γγγγK

)()(

)()(

3,31,13,32,1

3,32,13,31,1 (5)

Los términos Hxx, Hyy y Hxy se calculan con la ec. 6, donde h = ξ η. La evaluación numérica de estas integrales

debe realizarse con una cuadratura de Gauss-Legendre de 2x2, de otra manera los términos son nulos. El sufijo

coma denota diferenciación respecto del sistema coordenado global x o y, representado a su vez por los sufijos

i y j, respectivamente.

Ajiij dAhhH ,, (6)

5


Con el esquema de estabilización numérica presentado en las ecuaciones anteriores, se puede resolver la ec. 2

y obtener una matriz de rigidez sub-integrada y estabilizada, K, para el mismo elemento analizado, con

integración completa y reducida, anteriormente. En la fig. 4 se identifican los ocho modos de deformación de

esta matriz de rigidez.

Figura 4 Modos de deformación de la matriz de rigidez sub-integrada y estabilizada

Como en el caso de integración completa, los tres primeros modos son de cuerpo rígido, para los cuales Ue = 0.

Los siguientes dos modos son de deformación lineal, con Ue > 0. Finalmente, los tres últimos modos son de

deformación constante, en los que Ue > 0. Hay cinco modos que presentan deformación y tres modos de cuerpo

rígido, por lo tanto el rango de la matriz de rigidez de forma reducida y estabilizada es 5 (Friedberg et al., 1982).

El cálculo de las deformaciones, ε, en el elemento se realiza con la ec. 7 (Belytschko y Bindeman, 1991). Puede

notarse que las deformaciones son calculadas en cada punto de integración de una cuadratura de Gauss-

Legendre de 2x2.

stab

y

x

T

x

T

x

T

y

T

y

T

y

T

y

T

x

T

x

stab

hh

h

h

εεd

d

γbγb

γb0

0γb

ε

BB

)1(

,,

,

,

)1(

(7)

En esta ecuación, dx y dy son los vectores que contienen los desplazamientos en x y y respectivamente. Además,

el primer término de esta ecuación se compone por la suma de la matriz de compatibilidad, evaluada en un

punto de integración, más la matriz de compatibilidad estabilizadora, B(1) + Bstab . De esta manera las

deformaciones contienen las contribuciones en un punto de integración más la estabilización en cuatro puntos

de integración. Los esfuerzos, σ, se calculan dependiendo del modelo constitutivo empleado (ec. 8).

stabσσεCσ )1( (8)

El residuo se debe obtener considerando las fuerzas generadas por las contribuciones antes mencionadas (ec.

9).

A

stab

T

stab

T

stab dAA σBσBdKK )1()1()1( (9)

Aquí, d es el vector que contiene los desplazamientos. Esta formulación fue implementada dentro del programa

de elementos finitos FEAP (Taylor, 2014) por Amezcua (2016) para análisis lineales y no lineales de sólidos

en dos dimensiones.


6

EJEMPLOS DE VALIDACIÓN

Para fines de validación, se seleccionó el problema de la membrana de Cook (Cook, 1974), debido a que se

conoce su solución analítica para un caso lineal. La geometría y restricciones propuestas se muestran en la fig.

5.

Figura 5 Geometría propuesta de la membrana de Cook

MEMBRANA DE COOK (CASO LINEAL)

En el análisis lineal de la membrana se propusieron las siguientes propiedades mecánicas: un módulo de Young

E = 1,000 MPa, una relación de Poisson ν = 0.33 y una carga aplicada P = 1,000 N en el extremo libre. Esta

carga tiene una distribución parabólica, como se muestra en la fig. 5. Se realizaron cinco mallas con 2, 4, 8, 16

y 32 elementos cuadriláteros de 4 nodos en el extremo donde se aplica la carga. Un problema de esfuerzo plano

fue analizado con integración completa, reducida y con la formulación de estabilización descrita en la sección

anterior. Estos problemas se analizaron en el programa FEAP (Taylor, 2014) con la rutina implementada por

Amezcua (2016). La ecuación característica de la matriz de rigidez global, (K – λ I) Φ = 0, también fue resuelta,

con la finalidad de realizar una comparación de los modos de deformación obtenidos por los tres esquemas de

integración numérica utilizados. En las figs. 6, 7 y 8 se muestran los primeros tres modos de deformación de la

malla compuesta por 16 elementos.

(a)

(b)

(c)

Figura 6 Modo de deformación 1 de la membrana de Cook, analizado con integración: (a) completa,

(b) reducida y (c) reducida y estabilizada

Para efectos de comparación, en estas representaciones gráficas se usó el mismo factor de escala. Aquí, se puede

observar una notoria similitud en la configuración deformada y un claro control del efecto hourglass, el cual es

más evidente en el extremo libre de la membrana y a lo largo de las líneas verticales de la malla. Además de

validar el control del efecto hourglass, se llevó a cabo un análisis de convergencia. En la fig. 9 se muestra la

convergencia a la solución analítica en energía de deformación, para cada malla mencionada anteriormente. En

esta figura, MEF significa método el elemento finito, IC integración completa, IR integración reducida e IRE

integración reducida y estabilizado.

7


(a)

(b)

(c)



(a)

(b)

(c)



Se pueden realizar algunas observaciones a partir de la fig. 9. Primero, se puede apreciar un cambio en la

dirección de convergencia cuando se utiliza integración reducida sin ningún procedimiento de estabilización.

Por lo tanto, se puede concluir que mientas en integración completa a mayor número de elementos más flexible

es la membrana, en integración reducida ocurre lo contrario. Segundo, cuando se aplica el procedimiento de

estabilización, la dirección de convergencia es la misma que en integración completa. Tercero, se alcanza una

solución aceptable con un menor número de elementos en comparación con integración completa.

Figura 9 Convergencia a la solución analítica de energía de deformación de la membrana de Cook


8

Estas observaciones implican que el procedimiento de estabilización no solo es más rápido en términos de una

comparación malla a malla, además es más preciso y no se necesitan mallas finas para obtener el mismo grado

de aproximación que con integración completa; lo que significa una reducción de costo computacional aún

mayor. En vista de los resultados obtenidos, la formulación queda validada para análisis lineales. Las ventajas

estudiadas en este ejemplo son mayormente atractivas para análisis no lineales, especialmente cuando el

problema involucra volúmenes de cálculo demasiado grande. Por ejemplo en el estudio de estructuras masivas

de mampostería.

MEMBRANA DE COOK (CASO NO-LINEAL)

Para validar el funcionamiento de este esquema de integración reducida en análisis no lineales, se propuso un

problema con la misma membrana de Cook estudiada en la sección anterior. En lugar de cargas, se impusieron

desplazamientos en el extremo libre, con la finalidad de evitar problemas de convergencia. Se seleccionaron

dos mallas de las cinco empleadas en el ejemplo anterior, llamadas A y B. La malla A se compone de 64

elementos cuadriláteros de 4 nodos y la malla B por 1,024. Estas mallas se muestran en la fig. 10.

(a)

(b)

Figura 10 Membrana de Cook: (a) malla A y (b) malla B

Para el análisis del problema de esfuerzo plano, se consideraron las siguientes propiedades mecánicas del

material: un módulo de Young E = 2,000 MPa, una relación de Poisson ν = 0.20, un esfuerzo de falla Y0 = 50

MPa y una variable de endurecimiento H = 1. El comportamiento no-lineal del material fue simulado utilizando

el algoritmo propuesto por Simo y Taylor (1986). Este modelo de elasto-plasticidad para esfuerzo plano

considera endurecimiento no-lineal isótropo y el criterio de falla de Von Mises. El problema matemático no-

lineal fue aproximado mediante la aplicación del método de Newton-Raphson modificado, imponiendo un

desplazamiento de 5 mm en 200 pasos a todos los nodos del extremo libre. Ambas mallas fueron analizadas

con integración completa y reducida con el procedimiento de estabilización descrito anteriormente. La fig. 11

muestra las zonas en las que se alcanzó el esfuerzo de falla con el criterio de Von Mises. Se puede notar que las

distribuciones de esfuerzos de la membrana de Cook son similares para ambos casos de integración y ambas

mallas, especialmente en las zonas donde se alcanzó el esfuerzo de falla considerado.

(a)

(b)

9


(c)

(d)

Figura 11 Distribuciones de esfuerzo de Von Mises para la malla A con integración (a) reducida y (b)

completa; y para la malla B con integración (c) reducida y (d) completa

Con la finalidad de validar de una manera más representativa el comportamiento general de la membrana, en la

fig. 12 se muestran diagramas reacción-desplazamiento. Se pueden hacer algunas observaciones a partir de esta

figura. Primero, los resultados entre ambos esquemas de integración numérica son muy similares. Segundo, la

similitud en una comparación malla a malla es mejor cuando la malla está compuesta por un mayor número de

elementos. Tercero, el comportamiento aproximado con la malla A utilizando integración reducida es más

cercano a los alcanzados con la malla B. La diferencia más alta entre estos dos resultados es del 2.96 %.

Figura 12 Diagrama reacción-desplazamiento para la membrana de Cook

Esta última observación es la ventaja más atractiva del uso de integración numérica reducida en la aproximación

de problemas no lineales. Esto se debe a que el costo computacional de analizar este tipo de problemas es

proporcional al número de elementos que componen la malla, por lo tanto el análisis es sustancialmente más

rápido. En este ejemplo, la reducción en tiempo de cálculo es del 40.73 %. El principal impacto de esta

reducción de costo computacional, es la posibilidad de emplear modelos constitutivos más sofisticados para

aplicaciones en la ingeniería práctica y no solo en trabajos de investigación.

A pesar de que la solución real del problema no-lineal es desconocida, se sabe que una aproximación por el

método de elementos finitos es más cercana a la solución exacta cuando el número de elementos es más alto.


10

Por lo tanto, una comparación entre los resultados con ambos esquemas de integración numérica debe ser

suficiente para fines de validación.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Se seleccionaron dos ejemplos de aplicación para mostrar las ventajas del uso de integración numérica reducida

en análisis no lineales de estructuras. El primero corresponde a un muro de cortante con aberturas y el segundo

es una representación de una parte de la arcada del monasterio de San Vicente de Fora, ubicado en Lisboa,

Portugal. Ambos ejemplos fueron analizados con propiedades mecánicas de mampostería y con un

comportamiento no-lineal, mediante dos mallas con diferente nivel de refinamiento, i.e., el número de elementos

finitos se incrementa de una malla a la otra. Estos ejemplos se analizaron en el programa FEAP (Taylor, 2014)

con la rutina implementada por Amezcua (2016). En cada uno de ellos se compararon la distribución de

esfuerzos de Von Mises obtenidas y los diagramas de reacción-desplazamiento.

MURO DE CORTANTE CON ABERTURAS

Este muro de mampostería fue ensayado por Bono et al. (1998) y estudiado con Modelos de Bloques Rígidos

por Orduña (2003). El muro mide 5.80 m de largo y 3.60 m de altura. Presenta dos aberturas para puertas de

1.0x2.20 m. Para la mampostería, se propuso un módulo de Young E = 1,750 MPa, una relación de Poisson ν

= 0.20 y un esfuerzo de falla Y0 = 3.50 MPa. Estas propiedades mecánicas fueron propuestas de acuerdo a las

Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (G.D.F., 2004). Se

elaboraron dos mallas, llamadas A y B, con 1,284 y 5,140 elementos finitos cuadriláteros de 4 nodos

respectivamente (fig. 13). Se impuso un desplazamiento de 50 mm a todos los nodos de la parte superior del

muro.

(a)

(b)

Figura 13 Muro con aberturas: (a) malla A y (b) malla B

En la fig. 14 se incluyen los diagramas de reacción-desplazamiento para cada malla y para integración completa

y reducida. La máxima diferencia entre ambos casos de integración numérica para la malla A es de 1.57 % y

para la malla B es de 0.79 %. Como se esperaba, el tiempo de cálculo es menor con integración numérica

reducida. A pesar de que la curva de la malla A resuelta con integración reducida es ligeramente más cercana a

las obtenidas con la malla B, para este caso particular ambas mallas tienen comportamientos similares, sin

importar el tipo de integración utilizado.

Otro punto importante de analizar es que los modos de deformación lineal o de flexión no contribuyen

significativamente al comportamiento global del muro. Esta es la razón de la gran similitud entre ambos

esquemas de integración numérica. En otros casos, donde los modos de flexión son más participativos en la

configuración deformada de la estructura, los resultados con integración numérica reducida son mejores en

comparación con los de integración completa. Como en el caso de membrana de Cook descrita anteriormente.

En la fig. 15 se muestran la distribución de esfuerzos de Von Mises para todos los casos analizados. Se puede

apreciar una clara similitud en todos ellos. Sin embargo el costo computacional con integración reducida es

significativamente menor que con integración completa.

11


Figura 14 Diagrama reacción-desplazamiento del muro con aberturas

(a)

(b)

(c)

(d)



ARCADA DEL MONASTERIO DE SAN VICENTE DE FORA

Otro ejemplo de aplicación corresponde a una parte de la arcada del monasterio de San Vicente de Fora. Este

monasterio, fundado en 1147 por D. Alfonso Henriques, fue construido en una de las colinas del Este de la

ciudad de Lisboa, en Portugal. El terremoto de 1755 causó un daño severo a la iglesia y al monasterio (Correia

et al., 2007). Debido a la importancia histórica de este edificio y a su belleza arquitectónica, hay un alto interés

en preservarlo.

La estructura principal está conformada por columnas y arcos de bloques de piedra unidos con mortero. En el

Laboratorio ELSA, se han llevado a cabo varios experimentos en un modelo a escala real de una sección del


12

monasterio que incluye tres columnas, dos arcos y dos semi-arcos (Pegon et al., 2001; Correia et al., 2007). En

la fig. 16 se muestra una fotografía del modelo descrito.

Figura 16 Fotografía del modelo a escala real de una parte de la arcada del monasterio de San Vicente

de Fora (Pegon et al., 2001)

Varios investigadores han utilizado los resultados de estos experimentos para validar o aplicar modelos

constitutivos, propuestos para simular el comportamiento mecánico de la mampostería como material

estructural, por ejemplo Orduña et al. (2004) y Meza et al. (2008). En este trabajo, no se incluye una

comparación con resultados experimentales, debido a que el objetivo principal es validar el esquema de

integración numérica reducida y no el modelo constitutivo empleado.

La geometría propuesta para el análisis es consistente con el experimento (fig. 16). El modelo tiene una altura

de 7.45 m y una longitud de 10.80 m. Las tres columnas de 0.80 m de ancho están espaciadas a cada 3.60 m.

La mampostería tiene un módulo de Young E = 1,000 MPa, una relación de Poisson ν = 0.20 y un esfuerzo de

falla Y0 = 100 kPa. Estas propiedades mecánicas se seleccionaron de acuerdo a los reportes del experimento,

resumidos por Meza et al. (2008). Al igual que en los ejemplos anteriores, se emplearon dos mallas, llamadas

A y B, para mostrar las ventajas de utilizar el esquema de integración reducida estudiado. Ambas mallas fueron

elaboradas con elementos finitos de 4 nodos. Mientras que la malla A está compuesta por 1,323 elementos, la

malla B cuenta con 5,352 elementos (fig. 17).

(a)

(b)

Figura 17 Arcada del monasterio de San Vicente de Fora: (a) malla A y (b) malla B

Se impusieron desplazamientos de 50 mm en todos los nodos de la parte superior de la arcada. Los diagramas

de reacción-desplazamiento se muestran en la fig. 18 para amabas mallas y ambos esquemas de integración

numérica, i.e., completa y reducida. A partir de esta figura, se pueden hacer algunas observaciones. Primero,

los resultados entre ambos casos de integración numérica son muy similares. Segundo, la similitud en una

comparación malla a malla es mejor cuando la malla tiene mayor número de elementos. Tercero, el

comportamiento aproximado con la malla A, utilizando integración reducida, es más cercano a los alcanzados

con la malla B. La diferencia más alta entre estos dos resultados es del 3.04 %, y la diferencia promedio es de

0.80 %.

13


Figura 18 Diagrama reacción-desplazamiento de la arcada del monasterio de San Vicente

de Fora

Como se mencionó anteriormente, está ultima observación es la ventaja más atractiva de utilizar integración

reducida en el análisis de estructuras con comportamiento no-lineal. En este caso, la reducción de tiempo de

computo es del 73.65 %. Lo que significa que cuando el problema involucra un tiempo de cálculo mayor, la

reducción de tiempo es igualmente mayor, lo que lo hace más atractivo. En la fig. 19 se muestra la distribución

de esfuerzos de Von Mises obtenida para los cuatro casos analizados. Se aprecia una clara similitud entre los

estados de esfuerzos para ambos casos; especialmente en la zonas donde se alcanza el esfuerzo de falla.

(a)

(b)

(c)

(d)




14

CONCLUSIONES

En este artículo se validó un esquema de integración numérica reducida en elementos finitos cuadriláteros de 4

nodos para problemas lineales y no-lineales. Además, se aplicó a un problema de interés histórico como lo es

la Arcada del Monasterio de San Vicente de Fora. Este esquema de integración permitió reducir el costo

computacional requerido para llevar a cabo un análisis estructural no-lineal con el método de los elementos

finitos. Esta estrategia se basa en la obtención y enriquecimiento de la matriz de rigidez, restaurando su rango,

controlando los modos hourglass, y mejorando la representación de los modos de deformación lineal; dando

como resultado, un algoritmo óptimo computacionalmente.

Se mostró que con esta estrategia de integración, se posibilita el uso de mallas gruesas para problemas de análisis

no-lineal, ya que se obtienen resultados que convergen a la solución de manera más rápida que con un esquema

de integración completa, lo que implica una reducción significativa de tiempo de cómputo. A pesar de que el

uso de este tipo de mallas es sensible a su configuración, ya que la contribución de los modos de deformación

lineal, al comportamiento global de la estructura, debe ser significativa, el esquema de integración reducida es

más rápido que el de integración completa en una comparación malla a malla. Por esta razón la reducción de

costo computacional está garantizada, sin importar la configuración de malla empleada.

Con relación a los resultados presentados en este artículo, y a la reducción del costo computacional asociado a

la solución de problemas no-lineales, es importante hacer énfasis en la aplicación de este tipo de elementos

finitos, con integración reducida, a problemas de interés practico en la ingeniería práctica, particularmente de

estructuras continuas: estructuras históricas de mampostería, estructuras de concreto masivo, entre otras. La

consecuencia directa de esta reducción del tiempo de cómputo, es en la mejora y/o aplicación de modelos

constitutivos más aproximados al comportamiento real de este tipo de estructuras.

AGRADECIMIENTOS

El primer autor desea agradecer al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) la beca otorgada

para realizar sus estudios de maestría. También se agradece al Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional

Autónoma de México (IIUNAM) por financiar el proyecto de colaboración internacional titulado “Análisis

sísmico multi-escala de estructuras de concreto reforzado”.

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