Integracion de Fracciones Parciales
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Integración de Funciones Racionales por Fracciones
Parciales
Lic. MUNAYCO SOTO, José Carlos.
UNIVERSIDAD LOS ANGELES DE CHIMBOTESede Cañete
Conceptos Previos:
De acuerdo con la definición de una función racional, H es racional cunado , siendo P(x) y Q(x) polinomios.
)(
)()(
xQ
xPxH
Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces a la fracción se le llama propia.
Es impropia cuando el grado del numerador es de igual o mayor grado que el denominador.
42 x
x23
12 xx
122
3
xx
x
65
22
2
xx
x
Cuando se tiene una fracción impropia, podemos dividir el numerador entre denominador hasta obtener una función propia.
4
13102
24
x
xxx4
2336
22
x
xx
De manera que si queremos integrar:
dxx
xxx
4
13102
24
El problema se reduce a integrar:
dxx
xx
4
2336
22
En general, entonces , nos interesa la integración de expresiones de la forma , donde el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).
dxxQ
xP
)(
)(
Para hacer esto, suele ser necesario escribir P(x)/Q(x) como una suma de fracciones parciales. Los denominadores de tales fracciones se obtienen al factorizar Q(x) como producto de factores lineales y cuadráticos.
Consideramos varios casos por separado. Los resultados del algebra avanzada, que no demostramos aquí, nos proporcionan la forma de las fracciones parciales en cada caso:
Integración por Fracciones Integración por Fracciones Parciales.Parciales.
Caso1:
Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite, es decir:
))...()(()( 2211 nn bxabxabxaxQ
nn
n
bxaA
bxaA
bxaA
xQxP
...
)()(
22
2
11
1
En este caso escribimos:
Ejemplo:Ejemplo:
Calcular: 162x
dx
Solución:Solución:
En este ejemplo: Q(x) = x2 – 16 = (x – 4) ( x + 4)
4416
12
x
B
x
A
x
En la que bastara determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral.
)4)(4(
)44()(
)4)(4(
)4()4(
16
12
xx
ABBAx
xx
xBxA
x
Como las expresiones tienen el mismo denominador entonces podemos decir:
)44()(10 ABBAxx
Donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
0 BA
144 AB
Resolviendo tenemos: A = 1/8 y B = -1/8
Una vez obtenidas nuestras constantes A y B, la sustituimos en la descomposición inicial:
48
1
48
1
4416
12
xxx
B
x
A
x
Quedando finalmente la integración:
dx
xdx
xx
dx
4
8/1
4
8/1
162
/4ln/8
1/4ln/
8
1
4
8/1
4
8/1
xxdxx
dxx
Utilizando las propiedades de los logaritmos:
Cxx
xdx
44
ln81
162