INTEGRACION COMPLEJA

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 1

Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación.Ampliación de Matemáticas.

Lección 8.

INTEGRACIÓN COMPLEJA.

Curso 2010-11

Un aspecto esencial de la teoría de las funciones analíticas es la forma en que la integral complejainterviene en ella. Como ya hemos comentado, fueron C. F. Gauss, que no publicó sus resultados,y A. L. Cauchy quienes, a comienzos del siglo XIX, desarrollaron la teoría de la integracióncompleja y la utilizaron para demostrar que la analiticidad de una función en un dominio implicala existencia de todas las derivadas superiores en un entorno de dicho dominio.

Definiremos la integral de una función compleja continua sobre una curva del plano, mostrandosu relación con las integrales de línea en R2 estudiadas en la asignatura “Cálculo” del curso ante-rior. En este contexto y haciendo uso del teorema de Green probaremos el resultado fundamentalde esta lección: el Teorema de la Integral de Cauchy para funciones analíticas que nos dice quesi f es analítica en un dominio Ω simplemente conexo, entonces la integral de f sobre una curvacerrada contenida en Ω es cero. El resto de los resultados de esta lección serán, esencialmente,consecuencias de éste.

Esta lección es muy teórica, pero los resultados que presentaremos son esenciales en lasaplicaciones que estudiaremos en las siguientes lecciones.

1 Integrales de funciones de variable compleja.

Si Ω es un dominio en el plano complejo y f : Ω→ C es una función de variable compleja, ¿cómopodríamos definir la integral de f entre dos puntos z1 y z2 de Ω, digamos

R z2z1

f(z) dz?

Cuando se define la integralR x2x1

f(x) dx de una función de variable real, nos valemos de lanoción intuitiva de área construyendo aproximaciones cada vez mejores del área de la regióncomprendida entre la curva de ecuación y = f(x) y el intervalo [x1, x2] del eje OX mediantesumas finitas de la forma

Pn f(xn)∆xn cada una de las cuales corresponde a una partición del

intervalo [x1, x2]. Para extender este proceso a integrales de funciones complejas nos encontramoscon dos dificultades. La primera es que ahora no tenemos la noción intuitiva de integral comoárea y la segunda es que para ir de z1 a z2 podemos seguir muchas curvas (sin salirnos del dominioΩ) y cada curva podría proporcionar (tras el proceso de hacer particiones, construir las sumas ytomar límites) un valor diferente de la integral.

2 Lección 8. Integración Compleja

Sabemos que la integral de línea de un campo vectorial real plano F (x, y) entre dos puntos(x1, y1) y (x2, y2) no depende del camino utilizado para ir desde el primer punto hasta el segundocuando el campo es conservativo. En consecuencia, podremos definir integrales de funciones devariable compleja que sólo dependan de los puntos entre los que integremos, y no del caminousado para ir de uno a otro, cuando, al realizar la identificación de una función de variablecompleja con un par de funciones reales de dos variables, el campo vectorial que aparezca en laintegral de línea sea conservativo. Fueron C. F. Gauss y A. L. Cauchy quienes descubrieron quelas funciones de variable compleja que cumplen esta condición son, precisamente, las funcionesanalíticas.

Curvas en el plano complejo. Una curva parametrizada en el plano complejo C es la imagende una función continua con valores complejos z(t) = x(t) + jy(t) definida para los puntos t deun intervalo [t1, t2] ⊂ R. La variable independiente t de la función z(t) se llama parámetro dela curva y la propia función z(t) recibe el nombre de parametrización de la curva. Los puntosz1 = z(t1) y z2 = z(t2) se llaman extremos de la curva; z1 es el extremo de partida y z2 es elextremo de llegada (por eso en algunos textos no se habla de curvas en el plano complejo, sinode caminos). Naturalmente, una curva z(t) en el plano complejo C se identifica con la curva(x(t), y(t)) en el plano real, lo que nos permite trasladar de manera obvia a curvas complejasalgunos conceptos dados para curvas planas como los de curva simple (la que no se cruza consigomisma salvo, quizás, en los extremos), curva cerrada (cuando sus extremos coinciden), curvaregular o suave (cuando las funciones x(t) e y(t) son derivables con derivada continua en [t1, t2],en cuyo caso se define z0(t) = x0(t)+ jy0(t)), curva regular o suave a trozos (cuando las funcionesx(t) e y(t) son derivables con derivada continua en [t1, t2] salvo en un número finito de valoresdel parámetro que corresponden a esquinas de la curva) o curva de Jordan (una curva regular atrozos, cerrada y simple).

Definición. Sea Ω un dominio en el plano complejo y sea f : Ω → C una función continua.Sea C una curva regular a trozos contenida en Ω y parametrizada por z(t) = x(t) + jy(t) parat1 ≤ t ≤ t2. Se define la integral de f sobre C comoZ

C

f(z) dz =

Z t2

t1

f (z(t)) z0(t) dt.

Cuando la curva C es cerrada entonces habitualmente se escribeHCf(z) dz.

Una propiedad importante que utilizaremos a menudo es la siguiente.

Proposición. Sea Ω un dominio en el plano complejo y sea f : Ω → C una función continua.Sea C una curva regular a trozos de longitud L contenida en Ω. Sea M > 0 tal que |f(z)| ≤Mpara todo z ∈ C. Entonces ¯Z

C

f(z) dz

¯≤ML.

Observación. Si no imponemos condiciones adicionales a la función f , entonces la integraldefinida anteriormente sí puede depender del camino C que hayamos fijado; en otras palabras,si denotamos por z1 y z2 los extremos de la curva C, entonces

RCf(z) dz no sirve para definir la

integral de f entre z1 y z2 porque puede cambiar de valor si cambiamos el camino elegido parair desde z1 hasta z2. Por ejemplo, sean z1 = 0, z2 = 1 y f(z) = z. Si C1 es el segmento z(t) = t


para 0 ≤ t ≤ 1 que une z1 con z2, entonces

ZC1

f(z) dz =

Z 1

0

f (z(t)) z0(t) dt =

Z 1

0

t dt =1

2,

Mientras que si C2 es el arco de circunferencia z(t) =1

2(1 + ejt) para −π ≤ t ≤ 0 que también

une z1 con z2, entonces

ZC2

f(z) dz =

Z 0

−πf (z(t) z0(t) dt =

Z 0

−π

1

2

¡1 + e−jt

¢ j2ejt dt =

1

2+ j

π

4.

Independencia del camino. Sea Ω un dominio en el plano complejo. Se dice que las integralesde una función continua f : Ω → C son independientes del camino seguido en Ω si dados dospuntos cualesquiera z1 y z2 del dominio y dadas dos curvas regulares a trozos C1 y C2 contenidasen Ω y tales que ambas empiezan en z1 y terminan en z2 entonces

RC1f(z) dz =

RC2f(z) dz. En

ese caso dicha integral se escribeR z2z1

f(z) dz, notación que pone el énfasis en el hecho de que laintegral sólo depende de los puntos z1 y z2 y no del camino usado para ir de uno a otro dentrode Ω.

Es fácil ver que las integrales de una función continua f son independientes del camino seguidoen Ω si, y sólo si, la integral de f sobre cualquier curva de Jordan contenida en Ω es cero.

Primitivas. Se sabe que la condición necesaria y suficiente para que las integrales de línea deun campo vectorial real sean independientes del camino es que dicho campo admita una funciónpotencial. En el caso de las funciones de variable compleja, esto se traduce en el concepto másfamiliar de función primitiva. Se dice que F es una función primitiva de f en un dominio Ω siF es analítica en Ω y F 0(z) = f(z) para cada z ∈ Ω.

La Regla de Barrow para integrales complejas. Sea Ω un dominio en C y sea f : Ω→ Cuna función continua que tiene una función primitiva F en Ω. Entonces las integrales de f sonindependientes del camino seguido en Ω y se tiene

R z2z1

f(z) dz = F (z2)−F (z1) para cualesquieraz1, z2 ∈ Ω.

El Teorema Fundamental del Cálculo para integrales complejas. Sea Ω un dominio enC y sea f : Ω→ C una función continua cuyas integrales son independientes del camino seguidoen Ω. Entonces f tiene una función primitiva F en Ω.

2 El Teorema de la Integral de Cauchy.

Si escribimos f(x + jy) = u(x, y) + jv(x, y) y z0(t) = x0(t) + jy0(t), entonces podemos obtenerla expresión de la integral de f sobre una curva C como un par de integrales de línea en R2 (las


parte real e imaginaria del númeroRCf(z) dz):Z

C

f(z) dz =

Z t2

t1

f (z(t)) z0(t) dt

=

Z t2

t1

[u (x(t), y(t)) + jv (x(t), y(t))] [x0(t) + jy0(t)] dt

=

Z t2

t1

[u (x(t), y(t))x0(t)− v (x(t), y(t)) y0(t)] dt+

+j

Z t2

t1

[u (x(t), y(t)) y0(t) + v (x(t), y(t))x0(t)] dt

=

ZC

u(x, y) dx − v(x, y) dy + j

ZC

v(x, y) dx + u(x, y) dy.

En resumen, usando la notación habitual para integrales de línea de campos vectoriales, si r(t) =(x(t), y(t)) denota una parametrización de la curva C como curva en R2, entonces tenemos

Re

µZC

f(z) dz

¶=

ZC

(u,−v) · d−→r ,

Im

µZC

f(z) dz

¶=

ZC

(v, u) · d−→r .

Ahora, usando el Teorema de Green, estudiado en la asignatura “Cálculo”, y las ecuacionesde Cauchy-Riemann obtenemos el resultado fundamental de esta lección.

Teorema de la Integral de Cauchy. Sea Ω un dominio en C y sea f : Ω → C una funciónanalítica en Ω tal que f 0 es continua en Ω. Sea C una curva de Jordan tal que ella y su regióninterior están contenidas en Ω. EntoncesI

C

f(z) dz = 0.

Corolario 1. Sean Ω un dominio simplemente conexo y f una función analítica en Ω tal que f 0

es continua en Ω. Entonces las integrales de f son independientes del camino seguido en Ω.

Corolario 2. Sean Ω un dominio simplemente conexo y f una función analítica en Ω tal que f 0

es continua en Ω. Entonces f tiene funciones primitivas en Ω.

La hipótesis de que la derivada de la función f sea continua en Ω, que se usa para poderaplicar el Teorema de Green, no es realmente necesaria; basta con que f 0 exista para que latesis del teorema se mantenga (y entonces se conoce como Teorema de Cauchy-Goursat, cuyademostración es mucho más complicada).

La hipótesis de que la región interior a la curva C esté contenida en Ω sí es esencial. Enprincipio, para calcular

HCf(z) dz sólo necesitamos que f esté definida y sea continua en C, por

lo que los valores de f en la región interior a C no desempeñan un papel visible; éste se ponede manifiesto cuando, al usar el Teorema de Green, escribimos las integrales de línea reales queaparecen como integrales dobles sobre dicha región. Veamos un ejemplo de que dicha hipótesisno puede eliminarse.


Ejemplo. La función f(z) = 1/z es analítica en Ω = Cr 0. Para calcular su integral sobre lacircunferencia unidad C usamos la parametrización z(t) = ejt con 0 ≤ t ≤ 2π, que la recorre enel sentido positivo, obteniendoI

C

f(z) dz =

Z 2π

0

1

z(t)z0(t) dt =

Z 2π

0

e−jtjejt dt = j

Z 2π

0

1 dt = 2πj.

Sin embargo, el que la región interior a la curva C no esté contenida en Ω no tiene por quéimplicar que las integrales sean distintas de cero; veamos un ejemplo de esta situación.

Ejemplo. Para n = 2, 3, 4, . . . , la función f(z) = 1/zn es analítica en Ω = Cr0. Para calcularsu integral sobre la circunferencia unidad C usamos otra vez la parametrización z(t) = ejt con0 ≤ t ≤ 2π obteniendoI

C

f(z) dz =

Z 2π

0

(z(t))−n z0(t) dt =

Z 2π

0

e−jntjejt dt

= j

Z 2π

0

ej(1−n)t dt =1

1− n

¡ej(n−1)2π − e0

¢= 0.

Observación. El dominio Ω = C r 0 de f(z) = 1/z, visto en el ejemplo anterior, no essimplemente conexo. Podemos restringir el dominio de definición dando un corte a lo largo,por ejemplo, del eje real negativo. De esa manera f(z) = 1/z es una función analítica enC r eje real negativo que sí es simplemente conexo y, por tanto, en este dominio sí podemosdefinir

Z z2

z1

1

zdz, obteniendo

Z z2

z1

1

zdz = Log(z2)− Log(z1).

Esto nos muestra, entonces, que la elección del dominio en el que vayamos a trabajar es esenciala la hora de aplicar los teoremas sobre funciones de variable compleja.

Teorema de la Integral de Cauchy para Dominios Múltiplemente Conexos. Sea Ω undominio en el plano complejo y sea f : Ω→ C una función analítica en Ω tal que f 0 es continuaen Ω. Sean C0, C1, . . . , Cn una familia de curvas de Jordan contenidas en Ω tales que

1. las curvas C1, C2, . . . , Cn son todas interiores a C0,

2. las curvas C1, C2, . . . , Cn son todas exteriores entre sí,

3. la región que es interior a C0 y exterior a todas las curvas C1, C2, . . . , Cn está contenida enΩ.

Entonces se verifica IC0

f(z) dz =nX

k=1

ICk

f(z) dz

cuando todas las curvas se recorren en el mismo sentido.


Ejemplo. Combinando el caso en que f(z) = zn es entera (n = 0, 1, 2, . . . ) y los ejemplosanteriores con este corolario, obtenemos la siguiente conclusión, que aplicaremos algunas veces.Sea C una curva de Jordan que no pasa por el origen y recorremos en el sentido positivo. EntoncesI

C

zn dz = 0

para todo n = 0,±1,±2, . . . , salvo que C rodee al origen y n = −1, en cuyo casoIC

z−1 dz = 2πj.

3 Las Fórmulas Integrales de Cauchy.

La Fórmula Integral de Cauchy para una función analítica muestra que el valor de dicha funciónen una región está determinada en toda ella por los valores sobre su frontera.

La Fórmula Integral de Cauchy. Sea Ω un dominio en el plano complejo y sea f : Ω → Cuna función analítica en Ω. Sean z0 un punto de Ω y C una curva de Jordan que rodea a z0 ytal que ella y su región interior están contenidas en Ω. Entonces

f(z0) =1

2πj

IC

f(z)

z − z0dz,

cuando la curva C se recorre en sentido positivo. En particular, si C es una circunferenciacon centro z0 y radio r parametrizada por z(t) = z0 + rejt para 0 ≤ t ≤ 2π, de forma quez0(t) = jrejt = j (z(t)− z0), entonces

f(z0) =1

2πj

I|z−z0|=r

f(z)

z − z0dz =

1

2π

Z 2π

0

f(z0 + rejt) dt

fórmula que se conoce como Teorema del Valor Medio de Gauss.

La integral de la fórmula anterior

f(z0) =1

2πj

IC

f(z)

z − z0dz,

podemos interpretarla como una integral que depende de un parámetro z0. Puesto que el inte-grando es derivable con respecto a z0 en la curva C, ya que z0 no está en C, entonces podemosderivar con respecto a z0, obteniendo

f 0(z0) =1

2πj

IC

f(z)

(z − z0)2dz,

f 00(z0) =1

2πj

IC

2f(z)

(z − z0)3dz,

f 000(z0) =1

2πj

IC

6f(z)

(z − z0)4dz,


y así sucesivamente. Esto garantiza que f es derivable de todos los órdenes y nos proporcionafórmulas para calcular sus derivadas seucesivas en z0.

La Fórmula Integral de Cauchy para las Derivadas. SeaΩ un dominio en el plano complejoy sea f : Ω → C una función analítica en Ω. Entonces f admite derivadas de todos los órdenesen Ω que, a su vez, serán funciones analíticas. Además, sean z0 un punto de Ω y C una curvade Jordan que rodea a z0 y tal que ella y su región interior están contenidas en Ω. Entonces laderivada de orden n de f en z0 viene dada por

f (n)(z0) =n!

2πj

IC

f(z)

(z − z0)n+1dz,

cuando la curva C se recorre en sentido positivo.

Del teorema anterior se deduce que el crecimiento de las derivadas de f en un punto z0 estácontrolado por el crecimiento de la propia f .

4 Funciones analíticas y funciones armónicas.

Ya sabemos que si una función f es analítica en un dominio Ω, entonces su derivada f 0 tambiénes analítica en Ω. En particular, esto implica que f 00 existe y es analítica en Ω o, en otrostérminos, que u(x, y) y v(x, y) son dos veces diferenciables en Ω. Derivando en las ecuacionesde Cauchy-Riemann y usando el teorema de Schwarz de igualdad de las derivadas cruzadas,obtenemos

∂2u

∂x2=

∂2v

∂x∂y,

∂2u

∂x∂y= −∂

2v

∂x2

∂2u

∂x∂y=

∂2v

∂y2,

∂2u

∂y2= − ∂2v

∂x∂y

con lo cual∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0 y

∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2= 0;

es decir, u y v son funciones armónicas en Ω. Como hemos comentado antes, este hecho pro-porciona una conexión muy importante entre el estudio de las funciones de variable complejay la resolución de la ecuación de Laplace. Naturalmente, en coordenadas polares f(rejθ) =u(r, θ) + jv(r, θ), las funciones u y v verifican la ecuación de Laplace en coordenadas polares

∂2u

∂r2+1

r2∂2u

∂θ2+1

r

∂u

∂r= 0

e igual para v.

Esto muestra que hay una relación estrecha entre las partes real e imaginaria de una funciónanalítica f(x + jy) = u(x, y) + jv(x, y) y se dice que v es la función armónica conjugada de u.Dos advertencias: primera, la palabra conjugada no tiene relación con la conjugación de númeroscomplejos; segunda, que v sea armónica conjugada de u no quiere decir que u sea armónica


conjugada de v porque las ecuaciones de Cauchy-Riemann no son simétricas; de hecho lo que secumple es que −u es armónica conjugada de v porque la función definida por −jf(x + jy) =v(x, y)− ju(x, y) es analítica.

Dada una función armónica u, para encontrar una función v que sea armónica conjugada deu basta con resolver el sistema planteado por las ecuaciones de Cauchy-Riemann: Integrando∂u

∂x=

∂v

∂ycon respecto a y obtenemos

v(x, y) =

Z∂u

∂xdy + φ(x)

donde φ(x) es una constante de la integración con respecto a y que puede depender de x. Para

hallar φ(x) usamos la otra ecuación∂u

∂y= −∂v

∂x, a partir de la cual obtenemos una ecuación

diferencial de primer orden para φ(x) que debemos resolver. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. La función u(x, y) = y3− 3x2y es armónica en todo el plano. Para hallar la armónicaconjugada de u integramos la ecuación

∂v

∂y=

∂u

∂x= −6xy con respecto a y

v(x, y) =

Z(−6xy) dy = −3xy2 + φ(x).

Como debe cumplirse∂u

∂y= −∂v

∂x, tenemos

3y2 − 3x2 = −¡−3y2 + φ0(x)

¢luego φ0(x) = 3x2 y φ(x) = x3 + c donde c ∈ R es una constante de integración. En definitivav(x, y) = −3xy2 + x3 + c es la armónica conjugada de u y

f(z) = f(x+ jy) = y3 − 3x2y + j(−3xy2x3 + c) = j(x+ jy)3 + jc = jz3 + jc

es la función analítica compleja correspondiente.

Resolución del problema de Dirichlet en el círculo unidad mediante la teoría defunciones analíticas. Vamos a empezar construyendo la Fórmula Integral de Poisson parafunciones analíticas en el disco unidad. Esta fórmula es una extensión de la que vimos en laLección 6, en el sentido de que la fórmula para funciones armónicas se obtendrá tomando partereal en la versión para funciones analíticas, y se deduce a partir de la Fórmula Integral de Cauchy.

Si f es una función analítica en un dominio que contiene al círculo unidad, entonces la FórmulaIntegral de Cauchy nos dice que para un punto de dicho círculo z0 6= 0 se tiene

f(z0) =1

2πj

ZC

f(z)

z − z0dz.

Sea r = |z0| y consideremos el punto z1 = 1/z0 = z0/r2 exterior al círculo unidad. El Teorema

de la Integral de Cauchy nos dice que

1

2πj

ZC

f(z)

z − z1dz = 0.


Restando estas expresiones obtenemos

f(z0) =1

2πj

ZC

µ1

z − z0− 1

z − z1

¶f(z) dz.

Ahora parametrizamos C mediante z(t) = ejt con 0 ≤ t ≤ 2π, con lo que obtenemos

f(z0) =1

2π

Z 2π

0

µejt

ejt − z0− ejt

ejt − z1

¶f(ejt) dt.

Ahora, escribiendo z0 = rejθ, z1 = r−1ejθ y operando, nos queda

f(rejθ) =1

2π

Z 2π

0

(1− r2)f(ejt)

|ejt − rejθ|2dt,

fórmula que también es válida para r = 0 (que es el Teorema del Valor Medio de Gauss). Final-mente, separando en partes real e imaginaria obtenemos, como hemos dicho antes, la FórmulaIntegral de Poisson para funciones armónicas que vimos antes

u(r, θ) =1

2π

Z 2π

0

(1− r2)u(1, t)

1− 2r cos(θ − t) + r2dt.

5 Transformaciones de regiones.

Otra propiedad de las funciones analíticas es que cuando son transformaciones conformes, esdecir, con derivada no nula, conservan la ecuación de Laplace. Concretamente, supongamos quew = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) es una función analítica en un dominio Ω1 que se transformamediante f de manera conforme y biyectiva sobre el dominio Ω2. Si φ(u, v) es una funciónarmónica en Ω2, entonces la composición ψ(x, y) = φ (u(x, y), v(x, y)) es también una funciónarmónica en Ω1. En efecto, usando la regla de la cadena y las ecuaciones de Cauchy-Riemann,o bien pasando a las correspondientes funciones analíticas y tomando parte real, es fácil probarque

∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂y2=

µ∂2φ

∂u2+

∂2φ

∂v2

¶|f 0(z)|2 = 0,

de manera que ψ es armónica en Ω2.

En la práctica, esto nos dice que si tenemos el problema de Dirichlet planteado en un dominioΩ1 y podemos transformar conformemente este dominio en un dominio Ω2 en el que sí sabemosresolver el problema de Dirichlet, entonces la solución obtenida en Ω2 se convierte, mediante latransformación conforme, en una solución del problema original.

Ejemplo. La circunferencia C1 de ecuación |z − 1/4| = 1/4 se mantiene a 100 mientras quela circunferencia C2 de ecuación |z − 1/2| = 1/2 se mantiene a cero grados. Para hallar ladistribución estacionaria de temperaturas en la región comprendida entre ambas circunferencias,debemos calcular una función armónica φ(x, y) tal que φ = 100 en C1 y φ = 0 en C2. Si

usamos la transformación conforme bilineal w =1− z

z, podemos comprobar que transforma


la circunferencia C1 en la recta Re(w) = 1 y la circunferencia C2 en la recta Re(w) = 0, conlo cual el problema ahora es hallar una función armónica ψ(u, v) en la banda comprendidaentre estas dos rectas tal que ψ = 0 en Re(w) = 0 y ψ = 100 en Re(w) = 1. Es fácil ver que

ψ(u, v) = 100u = Re(100w) es la solución. Haciendo los cálculos en la transformación w =1− z

z,

obtenemos

u =x

x2 + y2− 1 y v =

−yx2 + y2

con lo que la solución del problema buscado es φ(x, y) = 100µ

x

x2 + y2− 1¶.

El problema de Dirichlet en el semiplano superior. La función bilineal w =j − z

j + ztransforma el eje real Im(z) = 0 en la circunferencia unidad |w| = 1 de forma que el semiplanosuperior del plano z se transforma de manera conforme en el interior del círculo unidad del planow. Si queremos hallar una función u(x, y) armónica en el semiplano superior a partir de susvalores u(x, 0) en el eje real, podemos usar la transformación bilineal para llevarnos el problemaal círculo unidad, usar ahí la fórmula de Poisson y deshacer la transformación. Haciendo lasoperaciones con cuidado se obtiene la solución, que además es acotada,

u(x, y) =y

π

Z ∞

−∞

u(s, 0)

(x− s)2 + y2ds,

expresión que se conoce como Fórmula Integral de Schwartz.

Aplicaciones a la Electrostática. Cuando tenemos un dominio plano Ω simplemente conexo(sin agujeros) en el que no existen cargas eléctricas, las ecuaciones del campo eléctrico

−→E =

(Ex, Ey) se reducen a

div³−→E´= ∇ ·−→E = 0 y rot

³−→E´= ∇∧−→E = 0

de las que se deduce que−→E admite un potencial escalar Φ en Ω, es decir grad(Φ) = ∇Φ = −→E ,

que es armónico, o sea ∆(Φ) = 0. Sea Ψ la función armónica conjugada de Φ en Ω. La funciónanalítica W (z) = Φ(x, y) + jΨ(x, y) se llama potencial complejo de

−→E . Observemos que de las

ecuaciones de Cauchy-Riemann se deduce que la función Ψ, que se llama función de Stokes,verifica grad(Ψ) = (−Ey, Ex).

Las curvas de nivel Φ(x, y) = c se llaman líneas equipotenciales y forman una familia uni-paramétrica de curvas cuya familia ortogonal viene dada, según hemos visto, por las curvas denivel Ψ(x, y) = c de la función de Stokes. Puesto que el campo

−→E es tangente a estas curvas,

reciben el nombre de líneas de corriente del campo eléctrico.

Según lo que acabamos de describir, los problemas de cálculo de potenciales y campos eléc-tricos planos se reducen a la determinación del potencial complejo, lo que exige conocer lascomponentes Ex y Ey del campo o bien una cualquiera de las funciones Φ y Ψ. Veamos un parde casos interesantes que pueden usarse, mediante el principio de superposición y las transfor-maciones conformes, para estudiar casos más generales.


Ejemplo. El potencial de un campo uniforme−→E 0 que forma un ángulo α con el eje de abscisas,

o sea−→E 0 = (−E0 cos(α),−E0sen (α)), viene dado, imponiendo W (0) = 0, por

W (z) = E0ej(π−α)z

así que las líneas de corriente son la familia de rectas de pendiente tan(α) y las líneas equipoten-ciales son la familia de rectas de pendiente −1/ tan(α).Ejemplo. Para calcular el potencial de una línea cargada perpendicular al plano en el origense observa que las líneas equipotenciales sólo dependen de la distancia r de un punto z = rejθ

al origen, es decir Φ = Φ(r). Como Φ debe ser armónica, se cumple ∆(Φ) = 0, con lo qued

dr(rΦ0(r)) = 0. Con lo cual obtenemos

Φ(r) = k log(r)

para alguna constante k. Entonces, usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann en polares, lafunción de Stokes es, en este caso,

Ψ(rejθ) = kθ

con lo que el potencial complejo es

W (rejθ) = k log(r) + jkθ ≡ W (z) = kLog(z),

o sea, la rama principal de la función logaritmo (salvo la constante de proporcionalidad k que,como puede probarse es k =

q

2πε0, siendo q la densidad lineal de carga y ε0 la constante dieléctrica

del medio). Las líneas de corriente son la familia de rectas que pasan por el origen y las líneasequipotenciales son la familia de las circunferencias con centro en el origen.

Ejemplo. Si tenemos una línea cargada, con densidad lineal de carga q, perpendicular al planoen el punto x = a del eje real y otra, con densidad lineal de carga −q perpendicular al plano enel punto x = −a del eje real, entonces los potenciales debidos a estas líneas son, respectivamente,

W1(z) =q

2πε0Log(z − a) y W2(z) = −

q

2πε0Log(z + a),

así que el potencial complejo total es

W (z) =W1(z) +W2(z) = −q

2πε0Log

µz + a

z − a

¶(±2πj) .

En este caso, las líneas de corriente son arcos de circunferencias que tienen su centro en el eje deordenadas y pasan por los puntos (a, 0) y (−a, 0).

6 Ejercicios.

Notación. En lo que sigue, denotaremos por [z1, z2] el segmento rectilíneo que une z1 con z2 ypor C(z0, r) la circunferencia con centro en el punto z0 del plano complejo y radio r > 0.


Ejercicio 1. Calcula las integralesRC1z dz y

RC2z dz, donde C1 es el segmento [1, j] y C2 es la

quebrada que une estos dos puntos pasando por 1 + j.

Ejercicio 2. Calcula las integrales de las funciones z(z− 1) y Re(z) a lo largo de los segmentos[0, 1 + j], [0, 1] y [1, 1 + j].

Ejercicio 3. Calcula la integralRCz dz, a lo largo de las siguientes curvas:

1. La semicircunferencia de radio uno, desde −1 a 1, en el semiplano superior.

2. La semicircunferencia de radio uno, desde −1 a 1, en el semiplano inferior.

3. La circunferencia C(0, 1), recorrida en sentido positivo.

Ejercicio 4. Calcula la integralRCz2 dz, a lo largo de los siguientes caminos:

1. El segmento [0, 2 + j].

2. La quebrada que pasa por los puntos 0, 2 y 2 + j.

3. El perímetro del triángulo formado por los vértices de la quebrada anterior.

Ejercicio 5. Calcula las integralesZC

dz

z2,

ZC

Log(z) dz yZC

√z dz

para las semicircunferencias C1 y C2 parametrizadas, respectivamente, por z1(t) = ejt y z2(t) =e−jt, con 0 ≤ t ≤ π en ambos casos.

Ejercicio 6. CalculaHCLog(z) dz, siendo C la circunferencia unidad.

Ejercicio 7. Sea α un número real no nulo. Tomando la rama principal del integrando, calculaIC(z0,r)

(z − z0)α dz.

Ejercicio 8. Calcula las siguientes integrales para un camino arbitrario entre los límites deintegración: Z j/2

j

eπz dz,

Z π+2j

0

cos(z/2) dz,

Z 3

1

(z − 2)3 dz.

Ejercicio 9. En los siguientes casos, comprueba la igualdad, e indica qué hipótesis del Teoremade la Integral de Cauchy no se verifica:I

C(0,r)

dz

z= 2πj,

IC(0,r)

Re(z) dz = r2πj.


Ejercicio 10. Calcula las siguientes integrales usando, en cada caso, alguno de los teoremassobre integrales de funciones analíticas:I

C(0,1)

ez

z2 + 4dz,

IC(0,3)

ezt

z2 + 1dz,

IC(0,1/2)

ez

z(1− z)3dz,I

C(1,1/2)

ez

z(1− z)3dz,

IC(0,1/3)

cos(z)

z2(z − 1) dz,IC(1,2)

z(ez − 1)(z − a)2

dz,IC(0,1)

ez

zdz,

IC(0,2)

dz

z2 + 1,

IC(0,r)

z

z4 − 1 dz (r > 0),IC(0,2r)

ez

z2 + r2dz (r > 0),

Ix2+4y2=1

dz

z2 + 1,

IC(1,2)

cos(z)

z − 1 dz,IC(1,2)

sen (z)

z2 + 1dz,

IC(1,2)

sen (z)

z2 − zdz,

IC(π,π)

sen (z)

z − πdz,I

C(1,2)

ez

z2dz,

IC(1,2)

sen (z)

(z − 1)3 dz,IC(0,1)

sen (z)

z2dz,I

|x|+|y|=2

ez

1 + z2dz,

IC(0,4)

Log(z + 6) dz,

IC(j,2)

1

(z2 + 4)3dz.

Ejercicio 11. Integra la función exp(−z2) en la frontera del rectángulo dado por las desigual-dades |Re(z)| ≤ a y 0 ≤ Im(z) ≤ b y toma límite cuando a→∞ para deducirZ ∞

−∞e−x

2

cos(2bx)dx =√πe−b

2

.

Ejercicio 12. Integrando la función f(z) =R+ z

z(R− z)sobre la circunferencia C(0, r), siendo

0 < r < R, deduce que Z 2π

0

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ) + r2dθ = 2π.

Ejercicio 13. Sea√z una rama de la función raíz cuadrada analítica en el semiplano superior

Im(z) ≥ 0 (salvo en z = 0).

1. Calcula IC

√z

z2 + 1dz

sobre la curva C que es la frontera del semianillo contenido en el semiplano superior dadopor 0 < r < |z| < R.

2. Usa el resultado anterior para, tomando límites cuando r → 0 y R→∞, calcular el valorde Z ∞

0

√x

x2 + 1dx.


Ejercicio 14. Calcula, según los valores de a, la integralIC(1,2)

z(ez − 1)(z − a)2

dz.

Ejercicio 15. Demuestra la Desigualdad de Cauchy, que afirma lo siguiente: Sea f una funciónanalítica en un dominio que contiene el círculo D con centro z0 y radio r. Sea M tal que|f(z)| ≤M para cada z ∈ D. Entonces

|f 0(z0)| ≤M

r.

(Indicación: Usa la Fórmula Integral de Cauchy para la derivada primera.)

Ejercicio 16. Demuestra el Teorema de Liouville, que afirma lo siguiente: Si f es una funciónentera y acotada, entonces f es constante. (Indicación: Usa la Desigualdad de Cauchy.)

Ejercicio 17. Demuestra el Teorema Fundamental del Álgebra, que afirma lo siguiente: Todopolinomio complejo p(z) de grado n se anula en n puntos del plano complejo z1, z2, . . . , zn, con-tados tantas veces como indica su multiplicidad. (Indicación: Supón que p(z) no se anula enningún punto y aplica el Teorema de Liouville a 1/p(z).)

Ejercicio 18. Sea u(x, y) una función armónica y acotada en todo el plano R2. Prueba que udebe ser constante.

Ejercicio 19. Dada u(x, y) = e−x (xsen (y)− y cos(y)) prueba que es armónica y encuentra suarmónica conjugada.

Ejercicio 20. Sea f(z) la función entera tal que Im (f 0(z)) = 6x(2y − 1), f(0) = 3 − 2j yf(1) = 6− 5j. Calcula f(1 + j).

Ejercicio 21. Halla la función analítica f(z) = u(x, y) + jv(x, y) cuya parte imaginaria esv(x, y) = log(x2 + y2) + x− 2y y verifica f(1) = 3 + j.

Ejercicio 22. (1) Resuelve el problema de Dirichlet siguiente:

la ecuación de Laplace :∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0 para 0 ≤ x ≤ 4 y 0 ≤ y ≤ 2,

con las condiciones de contorno :

u(x, 0) = 0 para 0 ≤ x ≤ 4u(x, 2) = 0 para 0 ≤ x ≤ 4u(0, y) = 0 para 0 ≤ y ≤ 2u(4, y) = sen (πy) para 0 ≤ y ≤ 2.

(2) Halla la función entera f(z) cuya parte real es la solución u(x, y) del problema de Dirichletanterior y tal que I

C

f(z)

zdz = 0,

siendo C la circunferencia unidad del plano complejo.

(3) Para dicha función calcula IR

f(z)

(z − 2− j)2dz,


siendo R la frontera del rectángulo del apartado (1) recorrida en sentido positivo.

Ejercicio 23. Resuelve el problema de Dirichlet en el semiplano superior para la función dadaen el eje real por φ(x) = 1 si |x| < 1 y φ(x) = 0 si |x| > 1.Ejercicio 24. Sea Ω el dominio formado por los puntos z del semiplano superior que sonexteriores al círculo unidad.

(1) Prueba que la función f(z) = z + z−1 transforma Ω en el semiplano superior de formabiyectiva, halla su inversa y estudia si dicha función inversa es analítica.

(2) Usa la transformación dada y la Fórmula Integral de Schwartz para resolver el problemade Dirichlet en Ω si los valores de la función armónica u que se busca están dados en la fronterapor u = 0 sobre el eje real y u(ejθ) = cos(θ) para 0 ≤ θ ≤ π.

Ejercicio 25. La función w = Log(z) transforma el primer cuadrante en la banda definida por0 < Im(w) < π/2. Utiliza esta transformación para resolver el problema de Dirichlet en el primercuadrante para la función dada que vale 0 en el eje real y 1 en el eje imaginario.

Ejercicio 26. (1) Determina la correspondiente fórmula de Schwartz que resuelve el problema

de Dirichlet en el semiplano derecho Re(z) > 0 usando la transformación w =z − 1z + 1

.

(2) Usa esta fórmula para resolver el problema de Dirichlet en dicho semiplano para los valoresinciales u(0, y) = 1 si y > 0 y u(y, 0) = −1 si y < 0.Ejercicio 27. Resuelve el problema de Dirichlet en el primer cuadrante para la función dadaen la frontera por φ(0, y) = −sen (y2) y φ(x, 0) = sen (x2). Indicación: utiliza la transformaciónw = z2 que lleva el primer cuadrante de forma biyectiva sobre el semiplano superior.

Ejercicio 28. Resuelve el problema de Dirichlet en la semibanda dada por |x| < π/2 e y > 0para la función dada en la frontera por

φ(−π/2, y) = φ(π/2, y) = 0 (y > 0); φ(x, 0) = 1, (|x| < π/2

).

Para ello utiliza la transformación w = sen (z) que lleva dicha semibanda de forma biyectivasobre el semiplano superior.

Ejercicio 29. La función w = ez transforma la banda log(r) < Re(z) < log(R) en el anillor < |z| < R. Utiliza esto para resolver el problema de Dirichlet en este anillo para la función φque vale αr en la circunferencia interior y αR en la circunferencia exterior.

Ejercicios y cuestiones de exámenes de cursos anteriores.

Ejercicio 30. Enuncia y demuestra el Teorema de la Integral de Cauchy.

Ejercicio 31. Enuncia y demuestra la Fórmula Integral de Cauchy.

Ejercicio 32. CalculaI

C

1

(z2 + 4)2dz siendo C la circunferencia con centro en el punto j y

radio igual a 2.

Ejercicio 33. Prueba que si f = u + jv es una función analítica en un dominio Ω, entonces la


función u verifica∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0 en Ω.

Ejercicio 34. Determina la función entera f = u+ jv cuya parte real viene dada por u(x, y) =y2 − x2 + 2x− y y cumple f(j) = j.

Ejercicio 35. Dada la función armónica v(x, y) = x3 − 3xy2, halla una función analítica f demanera que v = Im(f).

Ejercicio 36. Encuentra la función f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (con z = x + iy) sabiendo que esuna función entera tal que u = v2 y f(i) = 4− 2i.Ejercicio 37. Halla la función analítica f = u+ jv cuya parte real es

u(x, y) = ex (x cos(y)− ysen (y))

y satisface f(0) = j. Utiliza esto para resolver el problema de Dirichlet en la banda 0 < y < πde R2 con condiciones de contorno 0 en la frontera inferior y ex en la frontera superior.

Ejercicio 38. Sea Ω la semibanda del plano definida por

Ω :=©(x, y) ∈ R2 : x > 0 y 0 < y < π

ª.

1. Aplica el método de separación de variables para hallar la función u que es armónica en Ωy verifica las siguientes condiciones:

u(x, 0) = 0 para x > 0,

u(x, π) = 0 para x > 0,

u(0, y) = sen (y) + sen (2y) para 0 < y < π,

limx→∞

u(x, y) = 0 para 0 < y < π.

2. Halla la función v que es armónica conjugada de u en Ω y cumple v(0, 0) = 2.

3. Haz un dibujo aproximado de la imagen del dominio Ω por la función f = u+ jv.

Ejercicio 39. (1) Halla la función u(r, θ) que es armónica en el interior del círculo unidad r < 1(donde r y θ denotan las coordenadas polares) y cuyos valores en la circunferencia unidad r = 1son

u(1, θ) = 2 cos(2θ)− sen (3θ), para 0 ≤ θ ≤ 2π.

(2) Halla la función f que es analítica en el círculo unidad, cuya parte real es u y tal quef(0) = j.


7 Bibliografía

Para desarrollar esta lección pueden consultarse los siguientes textos, principalmente el de Churchilly Brown que, además, es un libro excelente para complementar las explicaciones teóricas.

[517.5/2-CHU] R.V. Churchill, J.W. Brown, Variable compleja y aplicaciones, Cap. 4, 9 y 11.

[51:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Cap. 1.

[517.5/WUN] W.A. Wunsch, Variable compleja con aplicaciones, Cap. 4 y 8.

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