Integración Numérica - Métodos del Trapezoide y Simpson

En esta lección comenzamos el estudio de métodos numéricos para el cálculo numérico de integrales de la forma

Un método común para aproximar I(f) es reemplazando f(x) con un polinomio de interpolación. Este procedimiento se conoce como las reglas de Cuadratura de Newton. Examinamos los primeros dos casos de este método donde se usan polinomios de interpolación lineales y cuadráticos.

Método del trapezoide: Sea p1(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b, i.e.,

Usando la fórmula para el área de un trapezoide o integrando p1(x) directamente se obtiene que

Asi que podemos escribir la aproximación:

(*)

Más adelante analizamos en detalles el error en esta aproximación. Por el momento basta observar que la aproximación es buena siempre que f sea aproximadamente lineal. En el caso general, dividimos el intervalo [a,b] en subintervalos más pequeños y aplicamos la fórmula anterior en cada subintervalo. Si los subintervalos son suficientemente pequeños, entonces f es aproximadamente lineal en cada subintervalo y la aproximación es buena. Definimos el largo de los subintervalos por:

El j-esimo subintervalo esta dado por [xj-1,xj] donde

Podemos escribir ahora que:

Usando la aproximación (*) podemos escribir

Usando esto en la fórmula anterior, obtenemos que

Esto se conoce como la regla (compuesta) del trapezoide para aproximar I(f).

Ejemplo 1: Usando la regla del trapezoide con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que

Estos cálculos los podemos realizar también utilizando la función trapz de MATLAB. En el siguiente programa no solo calculamos los dos resultados de arriba sino que generamos una tabla de errores (exactos) para varios valores de n aprovechando que en este ejemplo tenemos el valor exacto del integral:

iexacto=log(2);n=2;error1=0;for i=1:10x=linspace(1,2,n+1);y=1./x;iaprox=trapz(x,y);

error=iexacto-iaprox;ratio=error1/error;disp(['n=' num2str(n) ', iaprox=' num2str(iaprox,6) ',error=' num2str(error,6) ',ratio=' num2str(ratio,6)])n=2*n;error1=error;end

Los resultados fueron como sigue:

n Tn(f) en=I(f)- Tn(f) en/ e2n 2 0.708333 -0.0151862 ----- 4 0.697024 -0.00387663 3.91736 8 0.694122 -0.00097467 3.97738 16 0.693391 -0.000244022 3.99419 32 0.693208 -0.0000610277 3.99854 64 0.693162 -0.0000152583 3.99963 128 0.693151 -3.81467e-006 3.99991 256 0.693148 -9.53672e-007 3.99998 512 0.693147 -2.38418e-007 3.99999 1024 0.693147 -5.96046e-008 4.00000

Estos resultados confirman claramente la convergencia del método del trapezoide en este ejemplo particular. Podemos ver que cada ves que se duplica la n, lo cual equivale a dividir la h entre dos, el error disminuye por un factor de cuatro aproximadamente (última columna de la tabla) esto es característico de convergencia O(h2) lo cual confirmaremos teóricamente más adelante.

Regla de Simpson: Utilizamos ahora un polinomio de interpolación cuadrático. Sea p2(x) el polinomio de grado (a lo más) dos que interpola a f(x) en x=a, x=(a+b)/2, x=b. Este polinomio se puede escribir como:

Tenemos ahora que

Pero con h=(b-a)/2 y u=x-a tenemos que

En forma similar se obtiene que

Tenemos pues que

(**)

Argumentando en forma similar a en método del trapezoide, tenemos que si n es un entero par (¿por qué?) entonces

Usando la fórmula (**) podemos aproximar

Ahora

Esta fórmula se conoce como la regla (compuesta) de Simpson para aproximar a I(f).

Ejemplo 2: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que

MATLAB no tiene una rutina simp equivalente a trapz. ¡Tiene una mejor llamada quad! La subrutina quad utiliza una regla de Simpson adaptativa donde el valor de h se ajusta para que el error en la aproximación satisfaga una tolerancia especificada por el usuario. También MATLAB tiene la subrutina quad8 que al igual que quad usa un método adaptativo pero con una fórmula de aproximación de grado mayor. En lugar de usar estas rutinas que hacen las comparaciones un tanto complicadas, implementamos nuestra versión de simp equivalente a trapz:

function q=simp(x,y);n=length(x)-1;if (n/2)~=floor(n/2)disp('n tiene que ser par');break;endh=x(2)-x(1);v=2*ones(n+1,1);v2=2*ones(n/2,1);v(2:2:n)=v(2:2:n)+v2;v(1)=1;v(n+1)=1;q=(h/3)*y*v;

Esta subrutina implementa una forma vectorizada del método de Simpson que ejecuta eficientemente en MATLAB. Note que se requiere que n sea par. Recuerde también que en MATLAB los indices de los arreglos corren empezando en uno. El mismo programa del Ejemplo 1 lo podemos usar aqui ahora reemplazando la llamada a trapz por simp. Obtuvimos los siguientes resultados:

n Sn(f) en=I(f)- Sn(f) en/ e2n 2 0.694444 -0.00129726 ----- 4 0.693254 -0.000106788 12.1481 8 0.693155 -7.35009e-006 14.5288 16 0.693148 -7.35009e-006 14.5288 32 0.693147 -2.97299e-008 15.885 64 0.693147 -1.86151e-009 15.9708 128 0.693147 -1.16398e-010 15.9927

256 0.693147 -7.27562e-012 15.9983512 0.693147 -4.54747e-013 15.9993

1024 0.693147 -2.84217e-014 16.0000

Estos resultados confirman claramente la convergencia de la regla de Simpson en este ejemplo particular. Podemos ver que cada ves que se duplica la n, lo cual equivale a dividir la h entre dos, el error disminuye por un factor de 16 aproximadamente (última columna de la tabla) esto es característico de convergencia O(h4) lo cual confirmaremos teóricamente más adelante.

Ejercicios:

1. Usando las reglas del trapezoide y de Simpson y los programas descritos en esta lección, aproxime el siguiente integral:

El valor exacto de este integral es /4. Use esto para generar una tabla con las aproximaciones y los errores (exactos) y estime el orden de convergencia.

2. La regla del punto medio se puede usar para obtener la siguiente aproximación de I(f):

Usando esta fórmula diseñe una fórmula compuesta llamada la regla (compuesta) del punto medio. Use esta fórmula en el ejercicio anterior y estime el orden de convergencia de la misma.

3. Utilizando un polinomio cúbico de Hermite para interpolar a f(x) en [a,b], desarrolle una fórmula para aproximar a I(f). Obtenga la fórmula compuesta correspondiente.

REGLA DE SIMPSON

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.

REGLA DE SIMPSON 1/3

La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:

(Xi , Yi)(Xi+1, Yi+1)(Xi+2, Yi+2)

 

Fig. 2Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación.

La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es:

   (7)

La integración de la ec. (7) desde - hasta  proporciona el área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:

   (8)

 

Fig. 3La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:

   (9)

Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos , (0, Yi + 1 ), y deben satisfacer la ec. (7). La

sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:

   (10)

La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a:

   (11)

La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:

   (12)

que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Y i+1, Y i+2 y el ancho  de una faja.

Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho.

Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ec. (12) muestra que:

   (13)

Sumando estas áreas, podemos escribir:

 

(14)

o bien

  

(15)

en donde n es par.

La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de ancho .

Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f ' a , el error que resulta de aproximar el área verdadera de dos fajas bajo la curva f(X) comprendida entre Xi-1 y Xi+1 mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra que es:

   (16)

Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson, para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin embargo, se puede obtener una buena estimación de su valor para cada intervalo de dos fajas suponiendo que  es suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y valuando  para . La estimación del error por truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones correspondientes a cada dos fajas. Si la estimación del error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se deben utilizar intervalos de dos fajas menores. Considerando el error por redondeo que también aparece, existe un ancho óptimo de la faja

para obtener un error total mínimo en la integración.

REGLA DE SIMPSON 3/8

La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es:

   (17)

 

Fig. 4En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo de integración es de - a

, lo que produce:

  (18)

que es la regla de los tres octavos de Simpson.

La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:

  (19)

Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.