Instructivo las coincidencias de los Sombreros de Euler ... · ¿Cuál es la probabilidad de que...

Instructivo las coincidencias de los Sombreros de Euler con n = 4

Por: Jesús Evenson Pérez Arenas

Indicador: Introducir el concepto de probabilidad realizando un número de n ensayos

calculando las frecuencias absolutas , las frecuencias relativas y su grafico de frecuencia

relativa del experimento aleatorio las coincidencias de los sombreros de Euler,

comprobando como se aproximan estos ultimos a los valores de la probabilidad tal como

lo explica la ley de los grandes números.

Situación Problema

Cuatro señores, cada uno con su sombrero, van a la ópera y al entrar dejan los sombreros en

el guardarropa.

A la salida cada uno toma al azar un sombrero.

¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los señores reciba su sombrero?

Figura 1: Diseño final Applet en Geogebra las coincidencias de los Sombreros de Euler

con n = 4

Es conveniente tener activados en Geogebra la vista algebraica, vista grafica y la barra de

entrada. Dejar la vista grafica sin ejes con el clic derecho desmarcamos ejes.

Paso 1: Abrir Geogebra escoges la opción del menú Archivo Guarda y le das el nombre de:

Las coincidencias de los sombreros de Euler con n=4

Paso 2: Configurar la vista grafica:

Debemos ubicar los ejes principales X e Y en el centro de la pantalla:

Seleccionar la herramienta desplaza vista grafica con clic sostenido

ubica los ejes en el centro de la vista gráfica.

Clic derecho en vista grafica selecciona la opción vista grafica en la ventana

que sale configurar: en Básico x Min = -16.5 y x Max = 10.28, en y Min = -

0.046 e

y Max = 0.38, en el Eje X selecciona solo la rama positiva y distancia 0.5,

luego Eje Y selecciona solo la rama positiva y distancia 0.02 , en cuadricula

x=0.5 e y=0.02

Figura 2: Ventana escala vista graficaApplet en Geogebra las coincidencias de los

Sombreros de Euler con n = 4

Observación: Verifique que la configuración si tiene la presentación adecuada debe ser

similar a los ejes del grafico diseño final. También puede organizar su propio pantallazo. Es

conveniente volver a desactivar solo la rama positiva del eje de x con el propósito de

ubicar mejor los objetos.

Paso 3: Introducir texto

Seleccionamos la casilla insertar texto hacemos clic vista grafica donde

queramos introducir el texto en este caso parte central superior de la

pantalla y escribimos en la ventana que se despliega :

Los Sombreros de Euler n=4

Selecciona la casilla elige y mueve dar clic derecho al texto escoges la

opción del menú propiedades y en preferencias de texto Sans Serif:

Mediano

Color: Azul o cualquier otro color según su preferencia.

Paso 4: Construir un deslizador con las siguientes propiedades:

Debes seleccionar la opción de barra de herramientas la opcion deslizador

luego dar clic en la parte grafica donde va ubicar el deslizador en la

ventana que se despliega introduces:

nombre: nLanzamientos

Deslizador/intervalo: Min: 0 Máx: 50000 Incremento: 1

En la pestaña deslizador escogemos Horizontal , Ancho: 200

Pulsar Aplica. (ver figura 85)

Figura 3: Ventana propiedades deslizador Applet en Geogebra las coincidencias de los


Paso 5: Crear listas con los valores aleatorios obtenidos.

Crear dos listas con los valores aleatorios obtenidos al lanzar los dos dados

en los n lanzamientos, para esto utilizaremos la función Secuencia.

Introducimos en el campo de entrada:

OrdenarSombreros = Secuencia[ElementoAleatorio[{1234, 1243, 1324,

1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214,

3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321}], n, 1,

nLanzamientos]

contiene los elementos del espacio muestral asignando a cada señor un

número de sombrero en orden.

Crear lista con el primer elemento de OrdenarSombreros

Listaprimerelemento= {Cociente[Elemento[OrdenarSombreros, 1],

1000], Cociente[Resto[Elemento[OrdenarSombreros, 1], 1000], 100],

Cociente[Resto[Elemento[OrdenarSombreros, 1], 100], 10],

Resto[Elemento[OrdenarSombreros, 1], 10]}

Separa en una lista cada uno de los digitos del primer elemento de la lista

OrdenarSombreros.

Crear una lista con los valores de la frecuencia obtenida por los resultados

de las coincidencias es decir de un número n de lanzamientos indica cuantos

resultados salieron de cada elemento del espacio muestral guardados en la

lista anterior.

OrdenarSombreros . Escribimos en la hoja de calculo o en el campo de

entrada:

En la columna A los números que indican el orden de los sombreros

A1="Números" , A2="1234" , A3="1243" , A4="1324" , A5="1342" ,

A6="1423 ", A7="1432" , A8="2134" , A9="2143" , A10="2314" ,

A11="2341" , A12="2413" , A13="2431" , A14="3124" , A15="3142" ,

A16="3214" , A17="3241" , A18="3412" , A19="3421" , A20="4123" ,

A21="4132" , A22="4213" , A23="4231" , A24="4312" , A25="4321" ,

A26="Total" .

en la columna B Las frecuencias absolutas, indicando los elementos del

espacio muestral es decir cuantos salen aleatoriamente de cada uno.

B1= "Frecuencia Absoluta" ,

B2 = CuentaSi[x ==1234, OrdenarSombreros] …. Continua hasta B25

relacionando cada número de la columna A para contar cuantos elementos se

obtienen de cada uno.

B25 = CuentaSi[x ==4321, OrdenarSombreros]

B26 = nLanzamientos

Paso 6: Ahora vamos a resolver el número de coinicidencias de acuerdo a la situación

problema de Euler.

Introducimos en el campo de entrada o en las celdas correspondientes a la hoja de calculo:

D1="Nro. Coincidencias" , D2="0" D3="1" , D4="2" , D5="3" , D6="4" ,

D7 ="Total" E1="F. Absoluta" ,

E2=B9 + B11 + B12 + B15 + B18 + B19 + B20 + B24 + B25 : Indica el número

coincidencias = 0

E3= B5 + B6 + B10 + B13 + B14 + B17 + B21 + B22 : Indica el número coincidencias = 1

E4= B3 + B4 + B7 + B8 + B16 + B23: Indica el número coincidencias = 2

E5= 0 / nLanzamientos: Indica el número coincidencias = 3

E6= B2 : Indica el número coincidencias = 4

Redondear a 4 cifras decimales Para ver las frecuencias relativas con 4

decimales selecciona las celdad C2 hasta C7 con clic sostenido luego

escoges la opción del menú: opciones/redondeo/4 cifras decimales. Esto para

que los estudiantes puedan inferir la aproximación de los resultados cuando

el número n de lanzamientos es muy alto por ejemplo 30.000.

Figura 4: Ventana opción redondeo Applet en Geogebra las coincidencias de los


Crear lista de frecuencia relativa de coincidencias para graficar ingresar en

el campo de entrada:

Frcoincidencias={F2, F3, F4, F5, F6}

Nrocoincidencias={0,1,2,3,4}

Fabscoincidencias={E2,E3,E4,E5,E6}

Observación: Las listas anteriores son fundamentales para el objetivo final de la actividad.

Es bueno que verifiques si estas obteniendo los resultados correctos verificando con un

número pequeño de lanzamientos.

Paso 7: Insertar imágenes.

Para esto es importante que se tengan las imágenes de cada elemento del espacio muestral

en un archivo es conveniente que la imagen tenga el orden del sombrero. (Ver figura 87)

Figura 5: Imágenes Applet en Geogebra las coincidencias de los Sombreros de Euler con n

= 4

Construir 12 puntos A, B, C,D,E,F,G,H,I ,J,K,L donde vamos ubicar las

imágenes de los sombreros. Seleccionar la opción de herramienta punto

luego clic en la vista grafica.

Figura 6 : Ventana insertar puntos Applet en Geogebra las coincidencias de los Sombreros

de Euler con n = 4

Seleccionar el icono “insertar imagen” y hacemos clic en vista grafica,

en la ventana que sale buscamos el archivo que contiene las imágenes la

seleccionamos y pulsamos abre (escoger la imagen con el número 1). Luego

clic derecho sobre la imagen en propiedades/posición seleccionamos las

esquinas donde vamos a ubicar la imagen

Esquina 1: A

Esquina 2: B

Esquina 3: C

Observación: Verifique que la imagen si quede en el plano conveniente.

Continuamos en la pestaña avanzado.

Condición para mostrar el objeto escribimos:

Elemento[Listaprimerelemento, 1] ==1 para mostrar el sombrero 1 en la

posicion 1

Figura 7: Ventana propiedades de imágenes Applet en Geogebra las coincidencias de los


Hacemos lo mismo para las imágenes 2 , 3 y 4 colocando en la pestaña avanzado.

Condición para mostrar el objeto escribimos:

Elemento[Listaprimerelemento, 1] ==2 para mostrar el sombrero 2 en la posicion 1.



Insertar imagen en las esquinas con los puntos D,E,F: Realizamos los pasos

anteriores para ubicar las imagenes :

Esquina 1: D

Esquina 2:E

Esquina 3: F



Condición para mostrar el objeto en posición 2 escribimos:



Elemento[Listaprimerelemento , 2] ==3 para mostrar el sombrero 3 en la posicion 2.

Elemento[Listaprimerelemento , 2] ==4 para mostrar el sombrero 4 en la posicion 2

Insertar imagen en las esquinas con los puntos G,H,I: Realizamos los pasos


Esquina 1: G

Esquina 2:H

Esquina 3: I








Insertar imagen en las esquinas con los puntos J,K,L: Realizamos los pasos


Esquina 1: J

Esquina 2:K

Esquina 3: L








Observación: Las imagenes anteriores son fundamentales para el objetivo final de la

actividad. Es bueno que verifiques si estas obteniendo los resultados correctos en las

imágenes de los sombreros con el deslizador en nLanzamientos = 1, y tecleando f9.

Paso 8: Inserta casilla de entrada seguido del deslizador y en la ventana que aparece

coloca el titulo de: Escriba el número de ensayos luego enter. clic en aplica (Hemos

construido la casilla de entrada). Debemos organizar lo siguiente:

clic derecho sobre la casilla de entrada en propiedades/basico/definición escribe:

CasillaDeEntrada[nLanzamientos], en la misma ventana en la opción

estilo/longitud de la caja de entrada escribe el número: 6 , cerrar ventana.

Observa que el deslizador y la casilla de entrada estan relacionadas con la misma

variable. La casilla de entrada puede ser muy util cuando necesitemos realizar la

simulación de un número exacto de lanzamientos porque el deslizador es mas

sensible.

Figura 8: Ventana propiedades caja de entrada Applet en Geogebra las coincidencias de los


Paso 9: Inserta texto encima del deslizador nLanzamientos escribe: Mueva

nlanzamientos para tomar el # de ensayos o escriba el número en la caja de entrada .

Paso 10: Inserta texto Debajo de la casilla de entrada escribe: Tecla F9 si va a repetir

el experimento el mismo número de veces

Paso 11: Insertar texto al lado de la imagen posición 4 para ver el primer resultado

aleatorio del ensayo.

Seleccionar texto clic parte grafica al lado de los dados. En la ventana que

sale escoge el objeto: listaprimerelemento luego ok

Clic derecho al texto en propiedades. Texto Grande y Negrilla,

Color: Azul,

Observación: Verificar los resultados del ensayo esten en la misma posición.

Paso 12: Insertar texto seleccionando formula latex. Para las probabilidades clasicas

Introducir el texto debajo de la imagen dados: Probabilidad= \frac {casos\;

favorables}{casos\;posibles}

Recuerde seleccionar la opción formula latex.

Figura 9: Ventana propiedades texto Applet en Geogebra las coincidencias de los


Insertar texto debajo del texto anterior.

NC: No coincidencias, # coincidencias cero.

1C: Una coincidencia

2C: Dos Coincidencias

TC: Todos coincidens, # coincidencias 3

Insertar texto seleccionando formula latex. Debajo del texto anterior

P(NC)=\frac{9}{24}= 0.375

Insertar texto seleccionando formula latex. al lado del texto anterior.

P(1C)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}= 0.33...

Insertar texto seleccionando formula latex, debajo del texto P(NC)

P(2C)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}=0.25

Insertar texto seleccionando formula latex. al lado del texto anterior.

P(3C)=\frac{0}{24}=0

Insertar texto seleccionando formula latex. debajo del texto P(2C).

P(4C)=\frac{1}{24}=0.0416...

Insertar texto debajo de las barras en:

Debajo de 0: NC , Debajo de 1: 1C , Debajo de 2: 2C , Debajo de 3: 3C ,

Debajo de 4: TC .

Paso 13: Construir la tabla de frecuencias de los resultados aleatorios de cada uno de los

elementos del experimento aleatorio.

Insertar texto propiedades texto: negrilla, mediano. (ver figura 92)

Figura 10: Ventana tabla de frecuencias Applet en Geogebra las coincidencias de los


Recuerde: Para los resultados de las frecuencias absolutas y frecuencias relativas debes

elegir la opción objetos correspondientes a cada número (elemento del espacio muestral).

Por Ejemplo:

El objeto se refiere a la celda de la hoja de calculo que contiene el vlalor de la

frecuencia absoluta de número de coincidencias 0 al realizar n ensayos.

Observación: Puedes darle el diseño a la vista grafica como lo quieras. Mover el texto,

fondo de los textos.

Ejemplo: en opcion vista grafica: clic derecho vista grafica en la ventana que sale vista

grafica/basico y en miscelaneas color de fondo y escoges el color que desees.

Paso 14: Insertar grafico de barras

BarrasSombreros=Barras[Nrocoincidencias, Frcoincidencias, 0.7]

Paso 15: Insertar semirrectas

NC=Semirrecta[(-0.2, 9/24), (5, 9/24)]

UnaC=Semirrecta[(-0.2, 1/3), (5, 1/3)]

DosC=Semirrecta[(-0.2, 1/4), (5, 1/4)]

TC=Semirrecta[(-0.2, 1/24), (5, 1/24)]

Paso 16: Insertar texto para las coincidencias.

Figura 11: Ventana texto coincidencia Applet en Geogebra las coincidencias de los


Insertar texto debajo de la imagen uno escribe: Coincidencia luego clic derecho en el texto

Coincidencia escoge la opción propiedades en texto la opción pequeño en la opción

color azul y en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe:

Elemento[Listaprimerelemento, 1] = 1 , Realiza lo mismo para insertar el texto

Coincidencia de los sombreros en la posición 2 , 3, 4. Recuerde en la pestaña avanzado

condición para mostrar el objeto escribe:

Elemento[Listaprimerelemento, 2] = 2



Insertar texto al lado de la imagen 4 escribe: Coinciden luego clic derecho en el texto

Coinciden escoge la opción propiedades en texto la opción pequeño en la opción color

azul y en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe:

Elemento[OrdenarSombreros, 1] = 1234

Insertar texto al lado de la imagen 3 escribe: No coincidencias luego clic derecho en el

texto No coincidencias escoge la opción propiedades en texto la opción pequeño en la

opción color azul y en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe:

Elemento[OrdenarSombreros, 1] = 2143, realiza la misma instrucción anterior de

insertar texto No coincidencias cuando los resultados aleatorios son: 2341, 2413, 3142,

3412, 3421, 4123, 4312, 4321.

En condición para mostrar objeto escribe: Elemento[OrdenarSombreros, 1] ==4321

Paso 17: Insertar elipses para señalar cuando hay una coincidencia

Inserta 4 elipses de tal manera que encierren las imágenes de los sombreros y en

propiedades del objeto en la pestaña avanzado en condición para mostrar objeto escribe:

Elemento[OrdenarSombreros, 1] ==1 muestra la elipse si imagen de la posición uno es

uno

Elemento[OrdenarSombreros, 2] ==2



Guía para estudiantes experimento aleatorio las coincidencias de los sombreros de Euler

n=4

Applet creado en Geogebra, dirección de internet:

http://tube.geogebra.org/student/m299055

http://tube.geogebra.org/student/m299055

Recuerde utilizar f9 para repetir el mismo número de lanzamientos.

P1: ¿De cuántas maneras posibles se pueden permutar los cuatro sombreros?

P2: ¿En cuántas de ellas hay una coincidencia? ¿ Dos? ¿Y tres?

P3: ¿En cuántas de ellas no hay ninguna coincidencia?

P4: ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los señores reciba su sombrero?

P5: El espacio muestral asociado a las coincidencias de los sombreros de Euler es:

P6: Escriba las probabilidades asociadas al experimento aleatorio.

Observación: Si hay una diferencia muy notable entre las barras de cada uno de los eventos

y muy separadas por encima o por debajo de las semirrectas asociadas a cada probabilidad

se dice que hay mucha variabilidad de los resultados y si las barras son muy próximas a las

semirrectas asociadas a cada probabilidad se dice que se presenta estabilidad de los

resultados obtenidos de las frecuencias relativas.

P7: haz la simulación con 10 lanzamientos en 5 repeticiones. Escriba los resultados en una

tabla de frecuencias. Hay estabilidad o variabilidad de los resultados. Explique

P8: haz la simulación con 100 lanzamientos en 5 repeticiones observa la tabla de

frecuencias y el grafico de barras en cada simulación. Hay estabilidad o variabilidad de los

resultados. Explique










P12: con 50000 lanzamientos como son las frecuencias relativas y las frecuencias absolutas

de los resultados. Las frecuencias relativas se aproximan a la probabilidad (Explique)

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