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Matemática. Quinto año. Profesor: Ernesto Maqueda

UNIDAD Nº 3: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para trabajar con algunas actividades de esta unidad será conveniente descargar de

Internet (gratuitamente) el programa Geogebra, Graphmatica o cualquier otro programa

graficador.

Sistemas de medición de ángulosEl sistema de unidades de medida de ángulos más conocida es la de grados, minutos y

segundos (llamado sistema sexagesimal). Este tipo de medidas está basado en la

división en partes iguales de una circunferencia.

Observe:

un ángulo de 360º equivale a un giro completo alrededor de una circunferencia

un ángulo de 180º equivale a vuelta alrededor de una circunferencia

uno de 90º equivale a de vuelta

un ángulo de 1º equivale a de vuelta, etc.

En el sistema sexagesimal, la unidad es el grado sexagesimal (1º), los submúltiplos son

el minuto sexagesimal (1’) y el segundo sexagesimal (1”). Las equivalencias son las

siguientes: 1º = 60’ y 1’ = 60”.

También se puede utilizar otro sistema de medición angular: el sistema circular. La

unidad de medida en este sistema es el radián (rad). Se llama radián al ángulo que

abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Teniendo en cuenta que la longitud de una circunferencia de radio r se calcula mediante

la fórmula L = 2πr, entonces si tomamos una circunferencia de radio r = 1, su longitud

es L = 2 .1 = 2 . Entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en

radianes es 2 . Como además sabemos que este mismo ángulo, en grados mide 360º,

entonces podemos definir alguna de las siguientes equivalencias:

1


2 radianes = 360º ó también π rad = 180º. De estas equivalencias se puede deducir

que: 1 radián = 360º / 2 = 180º / π = 57,29º = 57º 17’ 45”, aproximadamente.

También podemos deducir las siguientes equivalencias:

Tenga en cuenta que los pasajes de un sistema de medición al otro se pueden hacer

mediante una regla de tres simple directa usando alguna de las equivalencias dadas.

Ejercicios sobre sistemas de medición de ángulosEJERCICIO 1: Complete el siguiente cuadro:

Sistema sexagesimal Sistema circular

270º

45º

EJERCICIO 2: Calcule, en grados sexagesimales, el valor de cada uno de los siguientes

ángulos:

a)

b) c)

d)

EJERCICIO 3: Exprese la medida de los siguientes ángulos en radianes, dando las

respuestas en función de :

a)

b)

c)

d)

2


EJERCICIO 4: Determine en cada caso el ángulo centrado para la siguiente

circunferencia sabiendo que el arco es:

Funciones trigonométricasFunciones seno y coseno

El triángulo OAB es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

Como en cualquier triángulo rectángulo se verifica el teorema de Pitágoras entonces, teniendo en cuenta que la hipotenusa mide 1 y los catetos miden: sen = y , cos = x, se verifica que: (sen )² + (cos )² = 1, cualquiera sea ángulo . Esta igualdad se

3

y

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa del triángulo mide 1, o sea

por lo que las relaciones quedan:

(ordenada del punto A) y

(abscisa del punto A)


conoce como IDENTIDAD PITAGÓRICA. También se puede escribir de la siguiente manera: sen2 α + cos2 α = 1.

EJERCICIO 5: a) Observe la siguiente construcción y deduzca el valor exacto de seno de 30º, sabiendo que

b) Utilizando todo lo conocido hasta aquí, calcule el valor del coseno de 30º

EJERCICIO 6: Calcule los valores de seno y coseno de 45º: Observe que la hipotenusa .

¿Qué tipo de triángulo es el ?

EJERCICIO 7: Observe el siguiente triángulo rectángulo: ¿cuánto suman los ángulos y ? Complete indicando las razones y compárelas: sen =……….. cos = ……… sen = ……… cos =

¿Vale esto para cualquier par de ángulos complementarios? Podemos decir que: sen (90º - ) = cos y cos (90º - ) = sen

EJERCICIO 8: Complete el siguiente cuadro con los valores exactos: Razón/ Ángulo 0º 30º 45º 60º

SenoCoseno

Función tangenteEn un triángulo rectángulo, la tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

4


EJERCICIO 9: Calcule, justificando:tan (0) = tan 0º = ……………………. tan ( /4) = tan (45º) = ……………

tan ( /3) = tan (60º) = ……………….. tan ( /6) = tan (30º) = ……………

Funciones secante, cosecante y cotangente

También se pueden definir las siguientes funciones trigonométricas:

Secante:

Cosecante:

Cotangente:

EJERCICIO 10: Utilizando la identidad pitagórica (sen2 t + cos2 t = 1) y la relación

entre seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente, calcule los valores de:

a) sen t, tan t, sec t, cosec t y cotg t sabiendo que cos t = 0,5 y .

b) cos t y tan t, sec t, cosec t y cotg t sabiendo que sen t = 0,3 y .

c) sen t y tan t, sec t, cosec t y cotg t sabiendo que cos t = -0,7 y

.

d) cos t y tan t, sec t, cosec t y cotg t sabiendo que sen t = 0,9 y .

Extendemos las definiciones de las funciones seno y coseno Podemos definir ahora el seno y el coseno de cualquier ángulo mayor que 90º: lo “abrimos” sobre la circunferencia trigonométrica, marcamos el punto de intersección de su lado con la circunferencia. La abscisa de dicho punto es el coseno del ángulo y la ordenada de dicho punto es el seno del ángulo.

5


EJERCICIO 11: a) ¿Cuánto valen el sen 0º y el cos 0º? Justifique.b) ¿Cuánto valen el cos 90º y el sen 90º? Justifique.

EJERCICIO 12:a) Sobre las tres circunferencias trigonométricas siguientes se han marcado un

ángulo de 120º, uno de 210º y otro de 315º. Determine los valores de seno y del coseno de los mismos (Puede ayudar la tabla del EJERCICIO 8, relacionando los de algún modo los ángulos dados con ángulos agudos).

b) Observe qué sucede con el signo de las funciones en cada uno de los cuadrantes. c) Explique cómo se relacionan las funciones de estos ángulos con las de los

ángulos del 1º cuadrante.

EJERCICIO 13: Represente gráficamente la función f(x) = sen(x), con Dom =

6


EJERCICIO14: Represente gráficamente la función f(x) = cos(x), con Dom =

EJERCICIO 15: Con algún programa graficador, represente gráficamente las siguientes

funciones en un mismo sistema de ejes (tenga en cuenta que para dar la función seno,

debe escribir sin. Además las variables y las fracciones se escriben entre paréntesis):

A) i) f(x) = sen x ii) g(x) = sen (x + pi/2) iii) h(x) = sen (x – pi/4)

B) i) f(x) = cos x ii) g(x) = cos (x + pi/2) iii) h(x) = cos (x – pi/4)

7


Escriba conclusiones sobre lo que observa en los gráficos tomando como base el de f(x),

relacionándolo con la modificación en la fórmula.


funciones en un mismo sistema de ejes:

A) i) f(x) = sen x ii) g(x) = sen x + 2 iii) h(x) = sen x – 1

B) i) f(x) = cos x ii) g(x) = cos x + 2 iii) h(x) = cos x – 1





A) i) f(x) = sen x ii) g(x) = sen (2x) iii) h(x) = sen ((1/2)x)

B) i) f(x) = cos x ii) g(x) = cos (2x) iii) h(x) = cos ((1/2)x)





A) i) f(x) = sen x ii) g(x) = 2sen x iii) h(x) = (1/2)sen x

B) i) f(x) = cos x ii) g(x) = 2cos x iii) h(x) = (1/2)cos x





A) i) f(x) = sen x ii) g(x) = sen (x + pi/2) iii) h(x) = sen (x – pi/4)

B) i) f(x) = cos x ii) g(x) = cos (x + pi/2) iii) h(x) = cos (x – pi/4)





A) i) f(x) = sen x ii) g(x) = -sen x

8


B) i) f(x) = cos x ii) g(x) = -cos x



EJERCICIO 21: En cada uno de los siguientes gráficos se han representado dos

funciones. La función representada en trazo grueso corresponde a f(x) = sen x, en

algunos gráficos, ó a f(x) = cos x, en otros gráficos. La otra función representada en

cada gráfico corresponde a otra función g(x) que se puede obtener a partir de la función

f(x) representada en el mismo gráfico. En cada caso, deberá describir qué modificación

(estiramiento, achicamiento, desplazamiento) observa en el gráfico de f(x) para obtener

el gráfico de g(x).

a)

b)

9


10


c)

d)

11


e)

f)

12


g)

h)

13


i)

EJERCICIO 22: Teniendo en cuenta lo que observó en el ejercicio anterior, describa lo que ocurre con el gráfico de f(x) = sen x, ó el gráfico de f(x) = cos x para obtener los gráficos de las funciones cuyas fórmulas son del tipo de las que se dan en los siguientes casos:

a) g(x) = sen (x + c) ó g(x) = cos (x + c), si c es un número positivo.b) g(x) = sen (x + c) ó g(x) = cos (x + c), si c es un número negativo.c) g(x) = sen (x) + d ó g(x) = cos (x) + d, si d es un número positivo.d) g(x) = sen (x) + d ó g(x) = cos (x) + d, si d es un número negativo.e) g(x) = sen (bx) ó g(x) = cos (bx), si b es un número mayor que 1.f) g(x) = sen (bx) ó g(x) = cos (bx), si b es un número menor que 1.g) g(x) = a.sen (x) ó g(x) = a.cos(x), si a es un número positivo mayor que 1.h) g(x) = a.sen (x) ó g(x) = a.cos(x), si a es un número positivo menor que 1.i) g(x) = a.sen (x) ó g(x) = a.cos(x), si a es un número negativo.

EJERCICIO 23: Teniendo en cuenta lo que trabajó y contestó en los ejercicios anteriores, indique la fórmula de la función representada en trazo grueso en cada uno de los siguientes gráficos. En cada gráfico, se da como base el gráfico de f(x) = sen x, ó el gráfico de f(x) = cos x.

14


a)

b)

15


c)

d)

EJERCICIO 24: En este ejercicio se muestra una secuencia de gráficos obtenidos uno a partir del anterior. El primer gráfico corresponde a f(x) = sen (x). Teniendo en cuenta lo que trabajó en los ejercicios anteriores respecto de las modificaciones en los gráficos y en las fórmulas, escriba la fórmula correspondiente a cada gráfico.

16


17


EJERCICIO 25: Represente gráficamente las siguientes funciones. Para eso, tenga en cuenta lo que trabajó en los ejercicios anteriores. En cada caso, comience a partir del gráfico de f(x) = sen x, ó el gráfico de f(x) = cos x, según corresponda.

a) g(x) = sen (x – /2) + 1b) g(x) = -2cos (x + )c) g(x) = 2sen (x + /2) – 1

d) g(x) = cos (2x) + 1e) g(x) = 3sen (1/2x)

EJERCICIO 26: Dado el gráfico de la función sen x:

18


a) Grafique sobre el anterior sistema de ejes cartesianos la función indicada en cada ítem:

i) f(x)= 3 sen x f: ii) f(x)= ½ sen x f:

b) Sobre el siguiente gráfico de la función sen x: , grafique las siguientes funciones:

iii) f(x)= – sen x f: iv) f(x)= –3.sen x f:

c) En base a lo graficado en a) complete el siguiente cuadrof(x) Dominio Imagen V. Máximo V. Mínimo Período 3 sen x½ sen x– sen x – 3.sen x sen x

d) Compare los valores obtenidos en las dos primeras filas de la tabla con los obtenidos en la última fila, para completar:

Si f(x) =A sen( x) ( ) entonces A indica .............................................................................y se lo llama AMPLITUD

d) Completef(x) Dominio Imagen V. Máximo V. Mínimo Período

A sen x

19



a) Grafique en el sistema de ejes cartesianos la función indicada en cada ítem: i) f(x) = sen (2x) f: ii) f(x)= sen (1/2 x) f:

b) En base a lo graficado en a) complete el siguiente cuadro, eligiendo un dominio adecuado, de manera tal que la función quede representada en un período completo.

f(x) Dominio Imagen V. Máximo V. Mínimo Períodosen(2 x)

sen(1/2 x)sen x

c) Compare los valores obtenidos en las dos primeras filas de la tabla con los obtenidos en la última fila, para completar:

Si f(x) = sen(B x) ( ) entonces B modifica...........................................................................

d) Compare las gráficas y observe. Luego complete:

En f(x)= sen (2x) ¿cuántas ondas completas caben en una onda completa de la función

sen x?

En f(x)= sen (1/2x) ¿cuántas ondas completas caben en una onda completa de la función

sen x?

En f(x)= sen(Bx) ¿cuántas ondas completas caben en una onda completa de la función

sen x?

e) Complete, eligiendo un dominio adecuado, de manera tal que la función quede representada en un período completo.f(x) Dominio Imagen V. Máximo V. Mínimo Período

sen(B x)

Al parámetro B se lo llama PULSACIÓN o FRECUENCIA

20



a) Grafique en el sistema de ejes cartesianos la función indicada en cada ítem:

i) f(x)= sen (x+ ) f:

ii) f(x)= sen (x- ) f:


f(x) Dominio Imagen V. Máximo V. Mínimo Período

sen (x+ )

sen (x- )

sen x

c) Compare los valores obtenidos en las dos primeras filas de la tabla con los

obtenidos en la última fila, para completar:

Si f(x) = sen( x+ C) ( ) entonces -C

indica .............................................................................y se lo denomina ÁNGULO DE

FASE

d) Complete

f(x) Dominio Imagen V. Máximo V. Mínimo Período

sen( x+ C)


21


a) Grafique en el sistema de ejes cartesianos la función indicada en cada ítem: i) f(x)= sen x + 2 f: ii) f(x)= sen x –1 f:


f(x) Dominio Imagen V. Máximo V. Mínimo Período sen(x)+ 2sen( x) – 1 sen x

c) Compare los valores obtenidos en las dos primeras filas de la tabla con los obtenidos en la última fila, para completar:

Si f(x) = sen( x) + D ( ) entonces D indica ......................................................................................................................................

d) Complete, eligiendo un dominio adecuado, de manera tal que la función quede representada en un período completo.f(x) Dominio Imagen V. Máximo V. Mínimo Períodosen( x) + D

EJERCICIO 30: Dado el gráfico de la función sen x:Grafique en el mismo sistema de ejes cartesianos la función cos x: y observar si se puede pensar a la función cos x como A sen (Bx + C) + D. De ser posible, exprese la equivalencia y saque conclusiones

22


EJERCICIO 31: Utilizando la circunferencia trigonométrica, la identidad pitagórica y los valores obtenidos en el EJERCICIO 8, complete la siguiente tabla:

x 0

sen x

22

cos x

23

EJERCICIO 32: Determine todos los valores de x [0; 2] que verifiquen las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c) cos x = -1

d)

e)

f) sen x = 1g) sen x = -1,5h) cos x = 0,3i) sen x = 0,92j) sen x = -0,55k) cos x = 0l) sen x = 0

EJERCICIO 33: Determine todos los valores de x R que verifiquen las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c) cos x = -1

d)

e)


EJERCICIO 34: Determine todos los valores de x [-2; 3] que verifiquen las siguientes ecuaciones:

23


a)

b)

c) cos x = -1

d)

e)


EJERCICIO 35: Para cada una de las siguientes funciones halle todos los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad en el intervalo indicado.

a) f(x) = 1 + 2sen x en [0; 2]b) f(x) = 1 – 2cos x en [-2; 2]c) f(x) = 3 – 4sen2 x en [-; 2]d) f(x) = sen x – 2sen2 x en [-; ]e) f(x) = cos x – 3 en [-3; 10]f) f(x) = cos x + cos2 x en [0; 2]

EJERCICIO 36: Resuelva las siguientes ecuaciones en [-3; 2].

a)

b)

c)

d)

e)

f)

EJERCICIO 37: Para cada una de las siguientes funciones halle todos los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad en el intervalo indicado.

a) en [0; 5]

b) en [0; 3]

c) f(x) = 1 – 2cos(4x + )en [-; ]

d) en [-; 6]

e) f(x) = 1 – 2sen (2x – ) en [-; ]

EJERCICIO 38: Si f(x) = 3.cos(2x) + 1, determine todos los valores de x [-; 2] tales que f(x) = -2.

EJERCICIO 39: Si , halle {x [0; 2] / g(x) = 1}.

EJERCICIO 40: Determine el valor de a R para que f(x) = a.sen (x + ) + 1 tenga un cero en /6. Para el valor de a hallado, encuentre los intervalos de positividad y de negatividad de f en el intervalo [-; ].

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AMPLITUD, PERÍODO, IMAGEN, MÁXIMO Y MÍNIMO DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

Las siguientes son las fórmulas completas de las funciones trigonométricas:

f(x) = a . sen (bx + c) + d

f(x) = a . cos (bx + c) + d

Vimos que las constantes a, b, c y d introducen modificaciones en los gráficos de

las funciones seno y coseno (ejercicios 15 a 24).

Vimos que la constante a “estira” o “comprime” verticalmente la gráfica de la

función original. Por lo tanto modifica la altura del gráfico en forma de onda de estas

funciones. Usando esa constante se mide lo que se llama amplitud de la función. Se

define de la siguiente manera: Amplitud =

Gráficamente, la amplitud mide la mitad de la altura de la onda.

Vimos que la constante b “estira” o “comprime” horizontalmente la gráfica de la

función original. Por lo tanto modifica el período. Como vimos en clase, el período se

calcula mediante la siguiente fórmula:

Vimos que la constante d desplaza el gráfico de la función original d unidades

hacia arriba o hacia abajo. Por lo tanto, junto con la constante a, determinan el conjunto

imagen de la función. Se puede definir el conjunto imagen para una función seno o

coseno de la siguiente manera:

Además, teniendo en cuenta el conjunto imagen, se puede determinar que el valor

mínimo de la función es y = ; el valor máximo es y = .

Ejemplo:

Si la fórmula de la función trigonométrica es ,

La amplitud es 3, ya que Amplitud =

El período es 4 , ya que Período =

25


El conjunto imagen es . Por lo tanto el valor

máximo de esta función es y = 1, el valor mínimo es y = -5.

Para hallar los valores de x en los que se produce el valor máximo de esta función

habrá que resolver la ecuación f(x) = 1 en el intervalo que se considere. En este

caso, será: .

Para hallar los valores de x en los que se produce el valor mínimo de esta función

habrá que resolver la ecuación f(x) = -5 en el intervalo que se considere. En este

caso, será: .

EJERCICIO 41: Para cada función, determine su conjunto imagen, su valor máximo y su valor mínimo, y en qué puntos se alcanzan dichos valores trabajando con x en el intervalo [-3; 3].

a)

b) f(x) = 2.cos(-x) + 1

c)

d)

e)

EJERCICIO 42: Halle la imagen, la amplitud y el período de las siguientes funciones:a) f(x) = cos (x + 1)b) f(x) = 5.sen (-3x) – 1c) f(x) = -cos (2x – ) + 2

d)

EJERCICIO 43: Determine los ceros, el conjunto de positividad y el de negatividad, el

conjunto imagen, los máximos y los mínimos de , trabajando

en el intervalo [-2; ]. Con la información obtenida, represente gráficamente la función f.

EJERCICIO 44: Determine el dominio y los ceros (si existen) de las siguientes funciones en el intervalo indicado en cada caso.

a) en [-3; 2]

b) en [-2; 3]

c) en [-; 3]

d) en [-; 2]

26


EJERCICIO 45: Si , determine todos los donde f

alcanza su valor máximo.

EJERCICIO 46: Si f: [5; 9] R / f(x) = 5 + cos (x + /2), halle todos los valores donde f alcanza su valor mínimo.

EJERCICIO 47: Si f(x) = -2sen (2x), halle todos los x [-; ] tales que f(x) = 2.

EJERCICIO 48: Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas, para x , reduciendo todas las funciones a sen x o a cos x. Mire el ejemplo:

Pista: Lleve todas las expresiones en función de seno o de coseno. Iguale a cero, factorice.

EJERCICIO 49: Continuamos con las ecuaciones, resolviendo siempre para x . Veamos el ejemplo:

OTRO EJEMPLO: Si la ecuación es , debemos realizar la siguiente sustitución: t = cos xNos queda:

es una ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula resolvente:

como cos x = t, entonces:

EJERCICIO 50: Considere y = sen con Dominio =

a) Resuelva la ecuación sen en dicho Dominio.

b) Indique los valores de los ceros. Justifique utilizando ecuaciones.

EJERCICIO 51: Halle los ceros de f(x) = en el intervalo .

27


EJERCICIO 52: a) Representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas,

con Dominio =

b) Indique el período, la amplitud y el conjunto Imagen de las funcionesc) Indique el conjunto de ceros y los conjuntos de positividad y negatividad las funciones.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una identidad trigonométrica es una igualdad en la cual aparecen razones trigonométricas y resulta verdadera para cualquier valor del ángulo involucrado en ella.

Son identidades trigonométricas, por ejemplo, las ya vistas y que repasamos a continuación:

a) b) c)

d) e) f) sen2 x + cos2 x = 1

Para demostrar o verificar una identidad trigonométrica se desarrollan uno o ambos miembros de la igualdad, tratando de obtener expresiones equivalentes hasta llegar a mostrar que ambos lados de la igualdad son iguales. Para ello se utilizan las relaciones o identidades dadas anteriormente. No se pueden hacer pasajes de un lado a otro de la igualdad.

A continuación se muestran algunos ejemplos de demostración de identidades trigonométricas, indicando que se realizó en cada paso:

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1) 1 + tg2 x = sec2 x

(se usó la relación d))

(se sumó sacando denominador común)

(se usó la relación f))

sec2 x = sec2 x (se usó la relación b))

2) (sen x + 1) (sen x – 1) = -cos2 xsen2 x – 1 = -cos2 x (se usó diferencia de cuadrados)sen2 x – (sen2 x + cos2 x) = -cos2 x (se usó la relación f))sen2 x – sen2 x – cos2 x = -cos2 x (se eliminó paréntesis)-cos2 x = -cos2 x (se usó propiedad cancelativa)

3) cosec x . tg x = sec x

(se usaron las relaciones a) y d))

(se simplificó sen x)

sec x = sec x (se usó la relación b))

4) (sen x + cos x)2 = 2 tg x . cos2 x + 1

(se elevó el binomio al

cuadrado y se usó la relación d))

1 + 2 sen x . cos x = 2 sen x . cos x + 1 (se usó la relación f) y se simplificó cos x)

En las demostraciones de las identidades trigonométricas dadas como ejemplo anteriormente se puede observar que en las 3 primeras solo se fue modificando el miembro izquierdo de la igualdad y en la cuarta se modificaron ambos miembros. Como queda dicho, en ningún caso se realizó algún pasaje de un miembro a otro de la igualdad. También se puede observar que la demostración termina cuando se logra mostrar que ambos miembros de la igualdad se pueden escribir de la misma manera.NOTA: El camino elegido para demostrar cada una de las identidades anteriores puede no ser el único posible.

EJERCICIO 53: Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente y los ejemplos, verifique siguientes identidades.

a) sen x . cotg x . sec x = 1b) 1 + cotg2 x = cosec2 xc) (sen x – cos x) . (cosec x + sec x) = tg x – cotg xd) sen2 x – sen2 x . cos2 x = sen4 xe) (sen x + cos x)2 – tg x . cos2 x = 1 + sen x . cos xf) (tg x – cotg x)2 = tg2 x + cotg2 x – 2g) tg x + cotg x = sec x . cosec x

h)

29


i)

j) cos x . (tg x + 1) – cos x = sen xk) cosec x – sen x = cotg x . cos xl) tg x . cotg x – cos2 x = sen2 x

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

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