INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL -...
55
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN EL MERCADO DE DERIVADOS Y SU IMPACTO EN LA POLÍTICA MONETARIA: UM MODELO DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRÍA EN CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÍA FINANCIERA) PRESENTA: MARÍA DE LOS ANGELES SILVA CORREA MÉXICO, D.F. NOVIEMBRE, 2013
Transcript of INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL -...
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
EL MERCADO DE DERIVADOS Y SU IMPACTO
EN LA POLÍTICA MONETARIA: UM MODELO DE
VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRÍA EN CIENCIAS ECONÓMICAS
(ECONOMÍA FINANCIERA)
PRESENTA:
MARÍA DE LOS ANGELES SILVA CORREA
MÉXICO, D.F. NOVIEMBRE, 2013
Dedicatoria Esta tesis la dedico a mi mayor inspiración en la vida, mi
pequeña hermana Edith Silva Correa cuyo ejemplo de
superación y fortaleza han inspirado no solo el presente trabajo,
sino toda mi vida
Agradecimientos
Agradezco a mis padres (Jaime y Reina) por brindarme las herramientas y el carácter
necesarios para llevar a buen fin cualquier meta y por apoyar mis decisiones otorgándome el
respeto y la libertad adecuada.
Agradezco a mis pequeñas hermanas por darme las lecciones más grandes que un ser humano
pueda ofrecer a su prójimo. Y por acompañarme a lo largo de todo un camino aún en
construcción. Agradezco su sola presencia en mi vida.
Agradezco a mis abuelos por enseñarme el valor de la libertad y la dignidad y por mostrarme
su infinito amor así como trasmitirme su sabiduría
Finalmente agradezco al Dr. Francisco Venegas por su apoyo académico y personal. Por ser
un gran académico y un gran ser humano.
ÍNDICE
GLOSARIO ............................................................................................................................................ I
RESUMEN ............................................................................................................................................ V
ABSTRACT .......................................................................................................................................... VI
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................ VII
CAPÍTULO 1. IMPLICACIONES DE LA EXISTENCIA DE LOS PRODUCTOS DERIVADOS EN LA
ECONOMÍA .......................................................................................................................................... 1
1.1. Funciones de los productos derivados.................................................................................... 1
1.2. Comportamiento de los agentes económicos dado un mercado de derivados .................... 3
1.3. Impacto sobre el mercado financiero ..................................................................................... 4
1.4. Impactos sobre los mecanismos de trasmisión monetaria .................................................... 5
1.4.1. Efecto directo sobre la tasa de interés ............................................................................ 6
1.4.2. Canal de activos ................................................................................................................ 7
1.4.3. Canal del tipo de cambio .................................................................................................. 7
1.4.4. Expectativas de los agentes ............................................................................................. 8
1.4.5. Canal de la tasa de interés ............................................................................................... 8
CAPÍTULO 2. ESTRUCTURA DE LA ECONOMÍA ................................................................................. 10
2.1. Variables de la economía y activos de los consumidores. ................................................... 10
2.2. El problema del consumidor ................................................................................................. 13
2.2.1. Ecuación de la evolución de la riqueza .......................................................................... 13
2.2.1. Rendimiento de los activos ............................................................................................ 14
2.3. Decisiones óptimas de los consumidores ............................................................................. 15
2.2.3. El problema de maximización de los consumidores ..................................................... 16
CAPÍTULO 3. EL EQUILIBRIO DE LA ECONOMÍA ............................................................................... 18
3.1. Requisitos del equilibrio ........................................................................................................ 18
3.2. Decisiones óptimas de consumo ........................................................................................... 18
3.2.1. Evolución de la riqueza real ........................................................................................... 19
3.2.2. Ecuación Hamilton-Jacobi-Bellman con volatilidad estocástica. .................................. 19
3.2.3. Tasa de inflación de equilibrio ....................................................................................... 24
CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 27
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................... 28
APÉNDICE 1 ....................................................................................................................................... 31
APÉNDICE 2 ....................................................................................................................................... 35
APÉNDICE 3 ....................................................................................................................................... 39
I
GLOSARIO
Agentes económicos: Se refiere a la clasificación de las unidades administrativas,
productivas o consumidoras que participan en la economía; en Cuentas Nacionales se
consideran agentes económicos a las familias, empresas, gobierno y el exterior. En el caso
de las transferencias, los agentes económicos son: Empresas Públicas, Empresas Privadas,
Organismos Descentralizados, Productores de Mercancías, Instituciones de Seguridad
Social, Organismos Descentralizados Productores de Servicios Sociales y Comunales,
Instituciones Privadas sin fines de lucro, Particulares, Estados y Municipios, y el Exterior.
Ahorro: Es la cantidad monetaria excedente de las personas e instituciones sobre sus gastos.
También se denomina así a la parte de la renta que después de impuestos no se consume, en
el caso de las personas físicas; ni se distribuye en el caso de la sociedad.
Es el ingreso no consumido, es decir la diferencia entre el ingreso y el consumo. En una
economía abierta debe considerarse el agregado de las transferencias netas del exterior o la
sustracción de las transferencias netas al exterior.
Banca: Se denomina con este término a la actividad que realizan los bancos comerciales y
de desarrollo en sus diferentes modalidades que conforman el sistema bancario y constituyen
instituciones de intermediación financiera. Esto es que admiten dinero en forma de depósito,
otorgando por ello un interés (tasa pasiva), para posteriormente, en unión de recursos propios,
conceder créditos, descuentos y otras operaciones financieras por las cuales cobra un interés
(tasa activa), comisiones y gastos en su caso.
Banco: Intermediario financiero que cuenta con autorización específica para realizar
captación de recursos del público en general para su posterior colocación en el público o los
mercados financieros, mediante créditos o inversiones.
Base monetaria: Por el lado de sus usos, se define como la suma de billetes y monedas en
circulación más el saldo neto acreedor de las cuentas corrientes que el Banco de México lleva
a las instituciones de crédito; por el lado de sus fuentes, como la suma de los activos
internacionales netos en moneda nacional y el crédito interno neto.
Bienes de consumo: Son todas aquellas mercancías producidas por la sociedad en el
territorio del país o importadas para satisfacer directamente una necesidad como: alimentos,
bebidas, habitación, servicios personales, mobiliario, vestido, ornato, etc.
Cualquier mercancía que satisface una necesidad del público consumidor. Estos bienes
constituyen lo opuesto a bienes de producción o de capital, que son los que se utilizan para
producir otros bienes, como la maquinaria de una fábrica.
II
Bono: Es un instrumento emitido por un prestatario que lo obliga a realizar pagos específicos
al tenedor a lo largo de un periodo específico de tiempo. Los bonos pueden tener diversas
características y el emisor puede ser desde un gobierno soberano hasta un corporativo. Los
bonos más comunes son aquellos que obligan al emisor a realizar pagos, llamados cupones,
durante el periodo de vigencia del bono y a repagar su valor nominal al vencimiento.
Bonos cupón cero: Títulos de crédito emitidos por el Departamento del Tesoro
Norteamericano (1988), a plazo de 20 años, con una tasa de descuento capitalizable que al
vencimiento hace que su valor sea equivalente al pago de la deuda pública reestructurada del
Gobierno Mexicano por este concepto.
Son bonos del Tesoro de los Estados Unidos de América y otros países industrializados que
adquirió México, constituyendo con estos documentos, un activo de su propiedad que
reinvertirá durante 30 años a una tasa fija; al final del periodo pagará totalmente el principal
de los nuevos bonos, creando paralelamente otro fondo, también de su propiedad, que
garantiza 18 meses de pago de intereses sobre dichos bonos y reduce el costo de operación
para México.
Estos títulos se conocen también como "bonos garantizados", siendo un mecanismo de
"extinción" de deuda externa. Por este medio se ofrece un activo que se mantiene en una
cuenta de fideicomiso, como colateral al monto del principal.
El valor y el plazo de vencimiento del instrumento colateral o "bono cupón cero" están
determinados de manera que sean iguales a los de la deuda sujeta a transformación. De esta
manera, los rendimientos del instrumento colateral en su fecha de vencimiento pueden ser
utilizados para amortizar el principal en un sólo pago. La tasa de interés se fija al momento
de su compra y no varía durante la tenencia del título, gozando de confiabilidad para el
inversionista.
Consumidor: Individuo que hace uso final de los bienes y servicios que produce la economía
de un país para la satisfacción de sus necesidades.
Consumo: Comprende las adquisiciones de bienes y servicios de la administración pública
y del sector privado, destinadas a la satisfacción de sus necesidades inmediatas.
Es el proceso económico, consistente en la compra o gasto que se hace en los bienes y
servicios para satisfacer las necesidades de las familias, las empresas y el gobierno.
Demanda de dinero: Se refiere a la cantidad de billetes y monedas que las personas o
empresas requieren por motivos de transacción (para llevar a cabo pagos), de precaución
(para pagos imprevistos) y especulación (para no enfrentar una posible caída en el valor de
otros activos). Por ejemplo, un aumento en la demanda de dinero por parte del público se
puede ver reflejado en un incremento en el monto de billetes que el público retira de los
cajeros automáticos de los bancos, los cuales a su vez, satisfacen esa demanda con recursos
provistos por el banco central.
III
Derivado: Son instrumentos financieros que generan pagos u obligaciones las cuales
dependen del valor de algún otro activo como materias primas, divisas, bonos y precios de
acciones o índices de mercado. Los futuros y las opciones son ejemplos de instrumentos
derivados.
Forwards: Es un contrato derivado en el que se establece un acuerdo de voluntades por virtud
del cual una persona llamada vendedor se obliga a transmitir un cierto bien a otra llamada
comprador, en una fecha futura y a un precio determinado en el presente. A diferencia de los
futuros, los cuales tienen características similares a los forwards, éstos se pactan directamente
entre las partes y no a través de una bolsa organizada, lo cual hace que los forwards sean
contratos no estandarizados.
Futuros: Es un contrato derivado en el que se establece un acuerdo de voluntades por virtud
del cual una persona llamada vendedor se obliga a transmitir un cierto bien a otra llamada
comprador, en una fecha futura y a un precio determinado en el presente. A diferencia de los
forwards, los cuales tienen características similares a los futuros, estos son contratos
estandarizados, es decir se venden y compran por cantidades de activos específicos –o activos
subyacentes- con características estandarizadas previamente establecidas en los mercados,
calidad, cantidad etc.
Gasto: Es toda aquella erogación que llevan a cabo los entes económicos para adquirir los
medios necesarios en la realización de sus actividades de producción de bienes o servicios,
ya sean públicos o privados.
Liquidez: Representa la cualidad de los activos para ser convertidos en dinero efectivo de
forma inmediata sin pérdida significativa de su valor. De tal manera que, cuanto más fácil es
convertir un activo en dinero se dice que es más líquido.
Por otro lado, utilizándolo en el contexto de la instrumentación de la política monetaria, el
término liquidez se refiere a los excesos o faltantes en los agregados de las cuentas de los
bancos dentro del banco central (las cuales son conocidas como cuentas corrientes o cuentas
únicas). Por ejemplo, si un banco comercial necesita dinero del banco central y se sobregira
en su cuenta única con éste, se dice que el banco central provee liquidez.
Mercado financiero: Es aquél en que se lleva a cabo la compra-venta de valores (inversiones
financieras). Normalmente se integra por varios mercados subsidiarios: un mercado de
capitales (para inversión a largo plazo); un mercado de dinero (para inversiones a corto
plazo); un mercado primario (para la nueva emisión de valores); y un mercado secundario
(para la compra-venta de valores ya emitidos).
Política monetaria: Son las acciones que instrumenta el Banco de México con la finalidad
de promover la estabilidad del poder adquisitivo de la moneda del país.
IV
Riesgo: La palabra riesgo proviene del latín "risicare" que significa "atreverse". En finanzas,
el concepto de riesgo está relacionado con la posibilidad de que ocurra un evento que se
traduzca en pérdidas para los participantes en los mercados financieros, como pueden ser
inversionistas, deudores o entidades financieras. El riesgo es producto de la incertidumbre
que existe sobre el valor de los activos financieros, ante movimientos adversos de los factores
que determinan su precio; a mayor incertidumbre mayor riesgo.
Riesgo de mercado: El riesgo de mercado es la pérdida potencial en el valor de los activos
financieros debido a movimientos adversos en los factores que determinan su precio, también
conocidos como factores de riesgo; por ejemplo: las tasas de interés o el tipo de cambio.
Sector financiero: Conjunto de entidades o instituciones públicas y/o privadas dedicadas a
la actividad crediticia, bursátil y de seguros y fianzas.
Sistema financiero: El sistema financiero mexicano está constituido por un conjunto de
instituciones que captan, administran y canalizan a la inversión, el ahorro tanto de nacionales
como de extranjeros, y se integra por: Grupos Financieros, Banca Comercial, Banca de
Desarrollo, Casas de Bolsa, Sociedades de Inversión, Aseguradoras, Arrendadoras
Financieras, Afianzadoras, Almacenes Generales de Depósito, Uniones de Crédito, Casas de
Cambio y Empresas de Factoraje.
Tasa de interés: Rédito, tasa de utilidad o ganancia del capital, que generalmente se causa o
se devenga sobre la base de un tanto por ciento del capital y en relación al tiempo que de éste
se disponga. Llanamente es el precio que se paga por el uso de fondos.
Porcentaje que sobre el monto de un capital, paga periódicamente al dueño del mismo la
persona física o moral que toma en préstamo o en depósito dicho capital.
V
RESUMEN
En este trabajo se analiza el impacto que pueden tener los productos derivados sobre los
objetivos de política monetariamente, más concretamente, sobre la tasa de inflación, que para
fines prácticos se supone el único objetivo de la política monetaria. Para ello, se desarrolla
un modelo de equilibrio general con volatilidad estocástica, en tiempo continuo, de una
economía monetaria en donde el agente representativo se encuentra expuesto al riesgo de
mercado y el cual obtiene satisfacción tanto por el consumo como por la tenencia de saldos
monetarios reales.
Antes de determinar los valores de las variables en el equilibrio, se determina la evolución
de la riqueza real y se resuelve el problema de optimización del agente representativo a través
de la programación dinámica estocástica para obtener la ecuación HJB (Hamilton-Jacobi-
Bellman), con la cual es posible determinar las principales variables de interés, saldos
monetarios reales, consumo e inversión en el activo físico. Dentro de la ecuación HJB se
introduce la función que representa la varianza de la oferta monetaria, indicando que la
volatilidad de la oferta monetaria es una variable estocástica
Por último se determina el equilibrio de la economía, con lo que se obtienen los valores de
las variables más sobresalientes y la de más relevancia, la tasa de inflación de equilibrio. Los
principales resultados obtenidos son:
1) La existencia de productos derivados en el mercado financiero y su creciente
utilización, tienen un impacto en la tasa de inflación, por tanto en la política monetaria
y
2) La volatilidad de la oferta monetaria es un parámetro que afecta la inflación.
VI
ABSTRACT
This work analyzes the potential impact of derivatives products on monetary policy
objectives, in particular, on the rate of inflation, which for practical purposes means the sole
objective of monetary policy. To do this, develop a general equilibrium model with stochastic
volatility in continuous time of a monetary economy where the representative agent is
exposed to market risk and which gets satisfaction both consumption and from holding
money balances real.
Before determining the values of the variables in the balance, it´s determined the evolution
of real wealth and solve the optimization problem of the representative agent through
stochastic dynamic programming equation for HJB (Hamilton-Jacobi-Bellman), with which
it is possible to determine the main variables of interest, real money balances, consumption
and investment in physical assets. Within the HJB equation introduces the function
representing the variance of the money supply, indicating that the volatility of the money
supply is a stochastic variable.
The latter is determined by the equilibrium of economy, which are obtained the values of the
most significant variables and more important, the inflation rate of equilibrium. The main
results are:
1) the existence of derivatives in the financial market and its increasing use, have an
impact on the rate of inflation, so monetary policy, and
2) the volatility of the money supply is a parameter that affects inflation.
VII
INTRODUCCIÓN
Es inevitable, al día de hoy, negar que los productos derivados han adquirido una gran
relevancia y que han cambiado las formas tradicionales por las que se hace, conduce y
comunica la política monetaria; además de las decisiones de consumo e inversión de los
diferentes agentes. Sin embargo hasta el día de hoy es difícil determinar el grado de relación
entre el mercado de derivados y la política monetaria. El objetivo principal del presente
trabajo es responder a las interrogantes: ¿Cómo afecta el uso de productos derivados a los
objetivos de política económica?; ¿Bajo qué condiciones se puede afectar la política
económica por el uso de productos derivados?; ¿Es significativa la relación entre los
objetivos de la política monetaria y el uso de productos derivados? y ¿Qué tipo de relación
existe entre la tasa de inflación y la volatilidad de los derivados?
Hay, en la actualidad, distintos puntos de vista de los impactos sobre la política monetaria
por la existencia de un mercado de derivados. Hay quienes afirman que dependiendo del
tamaño de los mercados de financieros es la afectación sobre la política económica. Para
fines de esta investigación se supondrá que si existe un impacto y se plantea como hipótesis
principal que la tasa de inflación es afectada por la volatilidad de instrumentos derivados de
tal forma que el incremento en el uso de productos derivados impacta sobre los objetivos de
política monetaria (un supuesto implícito es que los objetivos de política monetaria solo están
encaminados a influir sobre las tasas de inflación). Para tratar de comprobar dicha hipótesis
se hace uso de un modelo de volatilidad estocástica. Es justo la introducción de ese modelo
lo que diferencia a este trabajo, de trabajos antes realizados, específicamente en el de Bernal
y Venegas (2011), en el que se suponen constantes todas las volatilidades asociadas a las
variables.
El trabajo está divido en tres secciones. La primera de ellas es una revisión del estado del
arte, en la que se da una introducción sobre el mercado de derivados, sus usos e implicaciones
para la economía desde la perspectiva de diversos autores y se hace un repaso general de los
canales por los que se trasmite la política monetaria, señalando los objetivos y mecanismos
de ésta. En general el primer capítulo es una introducción al mercado de derivados en su
composición teórica. En la segunda sección se establecen las principales variables que
componen a esta economía y los activos a los que tiene acceso el agente representativo
(consumidor), dado que formaran parte de la ecuación de la riqueza real, ecuación que se
determina mediante una ecuación diferencial estocástica. Se determinan, también, los
rendimientos de los activos, que no son más que las mismas variables planteadas en términos
reales mediante el lema de Itô para un cociente. Es necesario hacer uso de esta técnica para
determinar la riqueza en términos reales. La ecuación de la evolución de la riqueza real se
introduce en esta sección para completar las variables que determinaran el problema de
optimización al que se enfrenta el agente representativo inmerso en esta economía que será
VIII
determinante para obtener el valor de las principales variables de interés y de la tasa de
inflación de equilibrio.
Para finalizar el trabajo, el ultimo capitulo propone la caracterización del equilibrio para
determinar la tasa de inflación y el valor de las demás variables de interés (consumo, saldos
monetarios reales, la inversión en el activo físico y la tenencia de un producto derivado). Se
plantean los tres principales supuestos que ponen en equilibrio a esta economía y que
completan el esquema bajo el cual es posible obtener una solución al problema de
maximización que para este punto del trabajo consiste en resolver la ecuación HJB y verificar
las decisiones óptimas del agente representativo.
1
CAPÍTULO 1. IMPLICACIONES DE LA EXISTENCIA DE
LOS PRODUCTOS DERIVADOS EN LA ECONOMÍA
Los cambios que presenta la economía actualmente, se han tratado de explicar desde
diferentes enfoques y teorías. Los movimientos que se presentan en las variables económicas,
son hoy, más inciertos de lo que lo fueron en ningún otro momento, por lo que es necesario
mirar el panorama completo y tomar un punto de apoyo para explicar dichos cambios. Para
ejemplificar los cambios que presentan las economías, es necesario hacer una pequeña
mención al importante crecimiento de los mercados financieros, dado que es en estos donde
podemos estudiar los impactos a las variables económicas. Hoy en día los mercados
financieros, no son solo más grande (en el sentido de la cantidad de participantes), sino más
complejos, por lo tanto más difíciles de ser sujetos a regularizaciones. Es relativamente corto
el periodo en el que podemos ubicar la gran expansión de los mercados financieros; sobre
todo a partir de la década de los noventas en la cual los mercados de derivados, comenzaron
a tener un crecimiento exponencial en productos como: futuros, opciones y swaps. Es así
como se establece una ruptura de los límites existentes hasta ese momento, para permitir que
las operaciones de mercado cambien de rumbo y la banca tradicional se modifique (Lioui y
Poncet: 2005).
La tendencia hacia la globalización de los mercados de dinero y capitales, ha incrementado
el interés en la utilización de instrumentos derivados. Según un estudio realizado por Bank
for International Settlements en la década de 1990 las desventajas sobre la forma tradicional
de obtención de recursos impulsaron a la utilización masiva de instrumentos derivados,
conectando los procesos económicos de un país con el resto del mundo, de manera más
directa. De tal suerte que hoy los acontecimientos financieros y monetarios de una nación
industrializada o en desarrollo inciden de inmediato en las demás, asimismo, ha aumentado
en gran medida el volumen y la volatilidad de los mercados financieros, por lo que el
crecimiento espectacular del mercado de derivados es un hecho indiscutible en la fase de
desregulación financiera.
1.1. Funciones de los productos derivados
La expansión del mercado financiero (específicamente el mercado de derivados) se convierte
en una fuente primaria de utilidades y una nueva forma de cubrirse contra los riesgos
presentados por el mercado. Por lo que estas nuevas formas de concebir al mercado
financiero, provocan reacciones dentro de la economía, que impactan a todos los agentes
participantes. Incluso impactan a las políticas económicas, dado que las decisiones de los
agentes económicos se modifican, también se modifican los objetivos de las políticas
2
económicas. Y como el mercado financiero presenta procesos de corto plazo, la política en
la que debemos centrarnos, es la política monetaria; ya que los efectos de esta son vistos en
el corto plazo.
En los años recientes, las operaciones en mercados fuera del mostrador (Over the Counter,
OTC) y la negociación de derivados cambiarios para cubrir y tomar riesgos de tasas han
tenido un amplio crecimiento. Su utilización ha contribuido a reducir el uso de las líneas
interbancarias utilizadas comúnmente como fuentes tradicionales de obtención de recursos,
por el empleo de instrumentos derivados, entre los que se puede señalar como ampliamente
utilizados los swaps de tasas de interés seguidos de los futuros de tasas y más recientemente
de las opciones, extendiéndose en un principio de banco a banco, a través de operaciones
interbancarias para llegar a inversionistas institucionales de compañías de seguros o fondos
de pensiones. Pero al adquirir tal importancia en el mercado financiero, los productos
derivados, su utilización se extiende no solo para cubrirse contra el riesgo que presentan los
mercados sino para otro tipo de operaciones tales como las oportunidades de comercio, para
hacer más eficientes a los precios y para sustituir activos.
Tomando en consideración el efecto de trasmisión de la política monetaria a través de los
mercados financieros es posible analizar los impactos sobre los mercados spot. Es importante
analizar los efectos sobre el mercado spot ya que son los precios del mercado spot los que
afectan las decisiones económicas reales como la inversión y el consumo. Los precios al
contado también constituyen la base de los precios de los productos derivados. Por definición,
el precio de un derivado depende de los precios del activo subyacente. Teóricamente, existe
una relación unidireccional al formar el precio de un derivado. Esto es más evidente para las
opciones, cuyo valor teórico es determinado a través de una fórmula como Black y Scholes.
Estos métodos tienen implícito el supuesto de que el subyacente es independiente del precio
del derivado.
Sin embargo, en la realidad los derivados tienen algún efecto sobre los precios al contado.
Los productos derivados son valuados tanto por la oferta como por la demanda del mercado
de derivados secundarios lo que conduce a un desequilibrio entre el precio teórico del
derivado, según lo determinado por la fórmula, y el precio de mercado de los derivados.
Aquellos que operan mediante el arbitraje aprovechan esta situación mediante la adopción
de posiciones opuestas en el mercado de derivados y el mercado subyacente. Por ejemplo,
una cartera puede consistir en una posición larga (o viceversa) en el derivado, y una posición
corta en cobertura dinámica del derivado, es decir, en el activo subyacente. Por lo tanto, el
precio tanto del derivado y del activo subyacente son conducidos de nuevo al equilibrio
teórico, con un desequilibrio posterior en el mercado de derivados que causa un movimiento
de precios en el mercado spot o subyacente.
3
Se han llevado a cabo una serie de estudios para estimar el impacto de los movimientos de
precios derivados sobre el mercado subyacente, particularmente en términos de aumento de
la volatilidad del activo subyacente. Los movimientos de precios se correlacionan en teoría,
sin embargo, las relaciones causales son difíciles de estimar empíricamente. En cuanto a
mercados de futuros y forwards, los estudios generalmente no encuentran aumento de la
volatilidad, aunque para mercados con opciones, los resultados no son concluyentes. Un
aumento de la volatilidad puede indicar la incorporación más rápida de la nueva información
de los precios al contado, sino que también puede indicar una menor liquidez.
1.2. Comportamiento de los agentes económicos dado un mercado
de derivados
Los derivados tienen algunas propiedades que afectan directa o indirectamente a la tasa de
interés en los mercados de dinero. Desde la introducción de los productos derivados al
mercado financieros los agentes pueden decidir combinaciones de riesgo y retornos que
maximicen sus recursos, de manera que pueden tener un portafolio en el que se invierta en
bonos y productos derivados. Así obtienen una combinación que otro tipo de portafolio no
podrían garantizar. Si bien algunos estudios muestran que el total de estas acciones no
modifica el riesgo en el sistema financiero, si modifica la visión y acción de los agentes que
participan en él (Zea: 2005).
Cuando los agentes deciden modificar sus portafolios, pueden modificar los impactos de
las acciones de la política monetaria: si estos agentes son sensibles a fluctuaciones en las
tasas de interés, se cubren con productos derivados en contra del riesgo en las tasas. Así los
resultados de política monetaria pueden ser distintos a los esperados. En particular los efectos
sobre la riqueza y los ingresos pueden cambiar porque los inversionistas reaccionan, en el
corto plazo, ante variaciones en las tasas de interés (Savona: 2002).
Los derivados son instrumente con los que le es posible trabajar a los bancos centrales,
para hacer política económica. La gran liquidez que poseen los derivados permite a los
bancos centrales invertir en el mercado de derivados sin influir en los precios gracias al gran
riesgo de posibilidades para cubrirse contra los riesgos.
La gran liquidez y el efecto sobre la formación de precios puede modificar la trasmisión
de la tasa de interés por cambios en la curva de rendimiento.
4
1.3. Impacto sobre el mercado financiero
Los productos derivados pueden afectar la trasmisión de la política monetaria de diferentes
maneras. Primero, el mercado de derivados esta liado al mercado de activos subyacentes,
irrevocablemente. Segundo, los derivados incrementan la seguridad de los mercados, ya
que, proporcionan más información sobre los precios. Y tercero, los productos derivados
pueden alterar de manera substancial la trasmisión a nivel internacional, porque hace menos
costoso y más sencillo el arbitraje (Vrojlik, 1997).
Además de los usos, del mercado de derivados, para cubrirse contra los riesgos del
mercado, los derivados ofrecen a los inversionistas un alto nivel de apalancamiento, por
encima de los mercados de subyacentes. Por esta razón las transacciones en el mercado de
derivados son menos acaras que en el mercado de subyacentes. Es un hecho que el spread
entre la oferta y la demanda es más pequeño que en los mercados spot, lo que sugiere un
gran nivel de liquidez de los productos derivados. Así que la gran liquidez que poseen
altera más rápido los precios de los productos financieros (Vrojlik, 1997).
Desde la década de los 70’s el paso y carácter de la innovación financiera ha cambiado
dramáticamente. La gran volatilidad de las tasas de interés, la experiencia con los tipos de
cambio flotantes, el crecimiento en los niveles de endeudamiento y la desregulación
financiera, además de la liberalización de los capitales, han creado una demanda de
innovaciones financieras. El rápido avance en la computación y las tecnologías de la
comunicación, aunado a un desarrollo de las teorías financieras e incremento del comercio
ha hecho posible una demanda natural de ciertos productos financieros. Los productos
derivados son un ejemplo de las innovaciones que han alterado el comportamiento de los
mercados financieros.
Entonces puede decirse que el uso creciente de los productos derivados ha implicado: en
el largo plazo una eficiencia de los mercados financieros; y en el corto plazo un dinamismo
de los precios, tanto para el mercado mismo de derivados como para el de activos
subyacentes.
En el largo plazo, los derivados pueden afectar la eficiencia de los mercados financieros
en cuatro formas (Bank for International Settlements: 1994):
1. Permiten cubrirse contra el riesgo que puede surgir, por ejemplo, de la especulación.
Facilitan la transferencia del riesgo
2. Expanden la posibilidad de comercio al generar inversiones cubiertas en el mercado
financiero.
3. Facilitan el proceso de formación de precios
5
4. Facilitan la inversión y el arbitraje al incrementar la sustituibilidad de activos tanto
en la
Solo con las consideraciones anteriores, podemos decir que los derivados son probablemente
los instrumentos que dotan de mayor eficiencia al mercado financiero. Para proveer de
eficiencia a los mercados financieros, los derivados hacen que los precios de los activos
respondan más rápidamente ante cambios en los factores que afectan a la oferta y la demanda.
Los productos derivados deberían también, bajo condiciones normales, hacer a los mercados
financieros más resistentes a los shocks, ya que aumentan la liquidez de estos.
Durante los periodos de crisis, los productos derivados pueden, en el corto plazo, exacerbar
la volatilidad de los precios en el mercado financiero. Existen pequeñas evidencias de que el
mercado de derivados es la causa de las turbulencias en el mercado financiero.
Aunque no hay evidencia formal de las implicaciones de los productos derivados sobre la
política monetaria, sabemos que las condiciones de los mercados de activos pueden influir
sobre los objetivos de política monetaria. La contribución más efectiva que los bancos
centrales pueden hacer durante los periodos de crisis es generar una estrategia que sea
predecible y que sea bien comunicada a los agentes.
1.4. Impactos sobre los mecanismos de trasmisión monetaria
Los objetivos de la banca central están orientados a mantener la estabilidad de los precios y
la inflación para tener bajo control las tasas de expansión monetaria. Para lo cual, los bancos
centrales usan instrumentos tales como la base monetaria y las tasas de interés, de manera
que les sea posible controlar la liquidez de los mercados. Las acciones de la política
monetaria impactan directamente a los mercados financieros cambiando el precio de los
activos financieros. Y como los precios se ajustan, los agentes económicos cambian sus
decisiones de consumo y ahorro, lo que a su vez termina por afectar los indicadores
macroeconómicos (Vrojlik, 1997).
Los productos derivados tienen la capacidad de alterar el lugar que ocupan los mercados
financieros en la economía, no solo porque ofrecen oportunidades alternas para la inversión
y el ahorro, sino porque posibilita la trasmisión de las políticas monetarias en la economía
real. Los productos derivados ofrecen nuevos canales de trasmisión en la economía y
cambian los mecanismos de trasmisión tradicionales. Por otro lado, el mercado de derivados
es afectado por las políticas monetarias de la misma forma que los otros mercados
financieros; de manera que, si los mercados financieros son un canal de trasmisión de las
políticas, el mercado de derivados se convierte en un nuevo canal (aunque estos canales
pueden o no afectara a las variables reales). Pero la presencia de productos derivados, en la
economía, puede alterar la estructura financiera causando cambios significativos en los
canales de trasmisión, sobre todo si se toma en cuenta su rápido crecimiento durante las
pasadas decadas (Vrojlik, 1997).
6
Las expectativas de los hacedores de política monetaria son una variable esencial para
entender la forma en la que los derivados cambian la trasmisión de las políticas monetarias.
Par lo cual seria necesario analizar el ambiente en el que los productos derivados pueden
cambiar la sensibilidad de la demanda agregada. Desafortunadamente existen muy pocas
investigaciones al respecto (Vrojlik, 1997).
1.4.1. Efecto directo sobre la tasa de interés
Este es el mecanismo más conocido y tratado y se usa para representar el efecto que tienen en
conjunto todos los canales de trasmisión. Y nos habla simplemente de que los bancos centrales
inciden en los cambios en la tasa de interés nominal, mediante ciertas variaciones en la cantidad
de dinero, que finalmente incide en el consumo y la inversión, por lo tanto en el nivel general de
precios. Y en este caso, la efectividad de la política monetaria depende de su capacidad de afectar
a la tasa de interés real y por tanto la sensibilidad del consumo y la inversión frente a esta variable.
De la sensibilidad que tenga la demanda frente a la tasa de interés real, es que depende la
velocidad e intensidad de la política monetaria sobre la economía. De tal forma que un aumento
en las tasa de interés provocara una reacción negativa sobre el consumo y la inversión, además
de efectos sobre la riqueza que dependen de que posición asúmanlos agentes, o sea si están en
una posición deudora o acreedora (Venegas 2005).
Para el canal de tasas de interés, la existencia de instrumentos derivados no significa un
impedimento para las autoridades, hacedoras de política monetaria. La existencia de un
mercado de productos derivados puede afectar el canal de las tasas de interés de diferentes
formas, (Savona, Maccario y Oldani: 2002):
1. Los derivados pueden incrementar la velocidad con la que las acciones de política
monetaria afectan a las tasas de interés. Los derivados incrementan la sustituibilidad
de activos financieros.
2. Los derivados pueden llegar a afectar la relación entre las tasas de interés y el gasto
agregado porque le riesgo comercial y las características de los rendimientos pueden
cambiar la forma en la que las acciones de política monetaria influyen sobre la
distribución de los ingresos y la riqueza. La forma en la que esa relación se ve afectada
depende de la aversión al riesgo que tengan las diferentes contrapartes de un contrato
derivado. Si aquellos que soportan el riesgo en un contrato derivado tienen menos
propensión a gastar que aquellos que se cubren del riesgo, los productos derivados
pueden retrasar el efecto de las tasas de interés.
7
1.4.2. Canal de activos
En este canal se incluye un conjunto de activos más diverso que los bonos y el dinero. Visto
de una manera general, puede afirmarse que la política monetaria tiene un impacto no solo
sobre las tasas de interés, sino sobre un conjunto de precios de activos, más amplio y diverso.
Por lo que se genera una riqueza adicional al caso anterior, que viene a fortalecer el efecto
directo que se presenta sobre la inversión, el consumo y el trabajo causado por el movimiento
en la tasa de interés que corresponde a la política monetaria. De manera que los movimientos
en la política monetaria, incluso los movimientos pequeños, pueden incidir
significativamente sobre el valor de los activos (Lioui y Poncet: 2004).
Es válido suponer que el valor de los activos puede caer como resultado de una contracción
monetaria. El precio de un activo se moverá en mayor o menor medida dependiendo de las
expectativas de sus flujos futuros y de cómo los afecte el comportamiento de la política
monetaria esperada. Y como en el canal de trasmisión anterior, la estructura del mercado
financiero es la que determinará como se moverá la demanda de un activo y la sensibilidad
de su precio.
1.4.3. Canal del tipo de cambio
Siendo estrictos, este canal es solo un caso más particular del canal de activos, pues podemos
ver al tipo de cambio como el precio de un activo financiero: el dinero de otro país. Pero
adquiere importancia por su uso como precio relativo, así que podemos tomarlo como un
canal de crédito.
Si partimos del hecho de que el tipo de cambio no está fijo, entonces su comportamiento
debe depender de la tasa de interés. El impacto que tiene un cambio en la tasa de política no
se puede confirmar de manera certera ya que depende de que se cumplan las expectativas que
hay la tasa de interés e inflación, tanto interna como externa. Pero si todo lo demás permanece
constante, un incremento inesperado en la tasa de interés debiera apreciar la moneda local.
La apreciación de la moneda local incremente, a su vez, el precio de los bienes locales con
relación a los bienes extranjeros, por lo que se genera una caída de las exportaciones netas y
de la demanda agregada. Y sumado a esto, el tipo de cambio afecta de manera directa a la
inflación a través de las importaciones. Una política monetaria de tipo contractivo, conduce
a que se aprecie la moneda y disminuye el componente que se importa de la inflación.
Un segundo elemento del mecanismo del tipo de cambio depende, nuevamente, de las
características que presente el mercado financiero y por supuesto de las alternativas de
cobertura que ofrezca. Si hay ausencia de instrumentos que sean adecuados, los movimientos
8
en el tipo de cambio pueden ser significativos. En economías emergentes, la apreciación del
tipo de cambio puede conducir a una expansión significativa de la demanda interna.
Y claro que al analizar este mecanismo de trasmisión podemos observar que hay diversas
respuestas por parte de los diferentes sectores de la economía. Y aquellos sectores que están
dedicados a la producción de bienes serán mucho más sensibles a los efectos de los precios
relativos de las variaciones en el tipo de cambio.
1.4.4. Expectativas de los agentes
Es difícil pensar que las expectativas de los agentes sean un canal, dado que se presentan en
todos los canales anteriores. Pero los modelos deben definir la forma en que los agentes dan
valor a su utilidad futura y se debe definir cómo es que los agentes generan sus expectativas
del futuro, además de la importancia que esto tiene para la generación de políticas.
Pero las expectativas deben adaptarse a las necesidades que presenten los problemas
económicos. Ya que es difícil pensar en procesos que se apeguen a un proceso determinista,
cuando se trate a las expectativas, estas también deben considerar procesos aleatorios. Estos
fenómenos, de tipo anormal o que no se conducen de la forma tradicional, pueden llegar a
tener implicaciones relevantes, que alteren los canales de trasmisión, particularmente
aquellos que alteren al sistema financiero. Si la política monetaria es capaz de generar
respuestas no lineales frente a sus acciones, el análisis de la política monetaria se hace aún
más complejo, ya que en ausencia de un modelo claro de expectativas, la influencia y
dinámica entre la política monetaria y las expectativas quedan sujetas a un alto grado de
incertidumbre.
1.4.5. Canal de la tasa de interés
El último canal de trasmisión es el que habla de las tasas de interés. Este canal de trasmisión
de la política monetaria no es, necesariamente, para la economía doméstica. Existen dos
efectos asociados con este canal: 1) El efecto sobre las exportaciones netas y 2) El efecto de
la paridad de las tasas de interés (Vrojlik, 1997).
En cuanto al efecto en las exportaciones netas, es necesario mencionar que, cuando hay una
contracción en una tasa de interés incrementa el atractivo para el capital extranjero, por lo
que, se aprecia el tipo de cambio. Con lo que los productos domésticos se hacen,
relativamente, más caros que los productos extranjeros, lo cual, a su vez, hará que se reduzcan
las exportaciones netas con lo que se generan dos efectos: un cambio en el tipo de cambio
nominal y un cambio en el tipo de cambio real. Los productos derivados pueden impactar el
efecto de las exportaciones, dado el tamaño de los mercados OTC en cuanto a divisas y el
9
alto grado de transacciones que se realizan en él, para cubrirse contra los tipos de cambio
nominales, se puede reducir el impacto sobre este canal de trasmisión (Vrojlik, 1997).
10
CAPÍTULO 2. ESTRUCTURA DE LA ECONOMÍA
En este capítulo se presenta la estructura de la economía, tal como la descrita en Venegas-
Martínez (2011), y el problema que enfrenta el consumidor. Es necesario especificar la
dinámica de cada una de las variables que integran la estructura económica y, en particular,
aquellas que afectan las decisiones de los consumidores. El equilibrio en la economía se
determinara a través de un modelo de volatilidad estocástica, lo que hace necesario establecer
algunos supuestos extras. Los principales supuestos que están implícitos en esta estructura
económica son: hay individuos homogéneos (en cuanto a sus gustos y dotaciones), por lo
tanto cualquier consumidor será un agente representativo; la economía solo produce un bien
y es decisión del agente representativo destinarlo a su consumo o a la inversión, por lo cual
podrá ser visto como un activo físico.
Se supone, además, que el agente representativo conoce la dinámica de las variables que
conforman esta economía y maximiza su satisfacción en cada momento. Dicho en otras
palabras, es un agente racional, que se enfrenta a un problema de maximización sujeto a la
ecuación de su riqueza. Y obtiene satisfacción tanto por el consumo como por la tenencia de
saldos monetarios reales.
2.1. Variables de la economía y activos de los consumidores.
En esta economía existe un agente representativo. Se supone que en la economía se produce
un único bien y el agente puede destinarlo al consumo o a la inversión1. La producción es
denotada por ty y está definida por una ecuación diferencial estocástica de la siguiente
forma:
d ( d d ),t t y y yty y t W (1)
donde:
:y tasa de rendimiento media esperada por la inversión en el activo físico
:y volatilidad asociada (se supone constante)
:ytW movimiento geométrico browniano.
Es necesario suponer, también, que el banco central es encargado de emitir dinero y decide
arbitrariamente establecer la tasa de rendimiento nominal igual a cero. Así que los
consumidores pueden tener en posesión saldos monetarios. Además la política monetaria es
1 Este bien único, que es producido en esta economía, podrá verse como un activo físico debido a que puede ser destinado a la inversión y por tanto puede ser visto como un bien destinado a producir más bienes.
11
conducida de forma tal que la oferta monetaria, denotada por tM , es conducida por la
siguiente ecuación diferencial estocástica:
d d d ,t t M M MtM M t W (2)
donde:
:M tasa de crecimiento media esperada de la oferta monetaria
:M volatilidad de la oferta monetaria (se supone estocástica).
Se supone que la volatilidad de la oferta monetaria es estocástica que por simplicidad se
denotará en términos de la varianza, tV , como 2
M tV , la cual también es conducida por un
movimiento geométrico browniano:
d d ,t t V V VtV V t dW (3)
donde:
:V tendencia de la varianza
:V volatilidad de la varianza.
Dado que los movimientos geométricos brownianos, de las ecuaciones anteriores, se verán
relacionados posteriormente es necesario establecer los siguientes supuestos:
1. Los movimiento brownianos d ytW y d MtW están correlacionados de tal forma que:
1d ,d d .yt MtCov W W t
2. La correlación entre d ytW y d VtW es igual a cero, debido a que en la teoría ortodoxa las
variables monetarias no afectan a las variables reales2:
d ,d 0.yt VtCov W W
3. Los movimientos brownianos d MtW y d VtW están correlacionados de la siguiente forma:
2Cov d ,d d ,Mt VtW W t
donde i es un coeficiente de correlación entre los movimientos brownianos.
2 Para la teoría heterodoxa la relación Cov d , d
yt VtW W podría no ser igual a cero. Sin embargo, este modelo
se delimita dentro de los supuestos de la teoría neoclásica.
12
Además, se supone que los agentes perciben el nivel general de precios3, denotado por tP ,
como una ecuación estocástica, la cual, es afectada tanto por choques reales como
monetarios:
d d d d ,t t t Py yt PM MtP P t W W (4)
dónde:
:t inflación media esperada al tiempo t
0PM : la volatilidad instantánea asociada a los choques monetarios
0Py : la volatilidad instantánea asociada a los coques reales.
Es preciso, además, suponer que existe un bono cupón cero libre de riesgo de
incumplimiento, también conocido como título de deuda pública, que es emitido por el
Gobierno Federal, con un precio tB que satisface:
d d ,t t tB i B t (5)
dónde:
:ti tasa de interés nominal.
Como se puede observar, esta economía presenta dos factores de riesgo, dados por ytW y
MtW y existe, hasta el momento, un único activo financiero al que los agentes tienen acceso,
por lo que los mercados son incompletos. Para lo cual es posible definir un activo subyacente
tX que contiene fluctuaciones aleatorias de ty y tM ; y está definido por una ecuación
diferencial estocástica, representado como:
d d d d ,t t X Xy yt XM MtX X t W W (6)
donde:
:X tendencia del precio activo
0Xy : la volatilidad asociada con las fluctuaciones de las variables reales
0XM : la volatilidad asociada con las fluctuaciones de las variables reales.
3 Se supone que los precios siguen esa dinámica, en la que dependen de choques reales y monetarios debido a la demanda de saldos reales de Cagan que dice:
13
Dado que se mencionó que tX es un activo subyacente, es posible definir un derivado
sobre el mismo, que es denotado por tS y es guiado por una dinámica estocástica de la forma:
d d d d ,t t S Sy yt SM MtS S t W W (7)
donde:
:S tendencia del derivado
0Sy : la volatilidad asocia a las fluctuaciones reales
0SM : la volatilidad asociada a las fluctuaciones monetarias.
Con las variables anteriores es posible observar que los individuos tienen acceso a la
tenencia de saldos monetarios, un bono libre de riesgos de incumplimiento y el derivado
sobre un activo subyacente.
2.2. El problema del consumidor
El agente representativo es racional y tiene como objetivo principal maximizar su utilidad y
tiene conocimiento de los procesos estocásticos de la oferta monetaria y de los precios de los
activos financieros.
2.2.1. Ecuación de la evolución de la riqueza
El agente representativo puede asignar proporciones de su riqueza total a la tenencia de
activos, y , otra porción es destinada a la tenencia de saldos monetarios reales, m , una
tercera proporción se asigna a la tenencia de un producto derivado, s , así mismo, asigna
una parte a la tenencia de un bono libre de riesgo, 1b y m s , y la porción restante
la destina a su consumo, tc . Por lo anterior, se especifica a la ecuación de la riqueza en
términos reales como:
,tt t t t
t
ya s m b
P (8)
dónde:
t
t
y
P: la ganancia real por la inversión en el activo físico,
14
tt
t
Ss
P : el precio real del derivado,
tt
t
Mm
P : saldos monetarios en términos reales,
tt
t
Bb
P : precio del bono en términos reales.
La ecuación de la evolución de la riqueza real es, también, conducida por una ecuación
diferencial estocástica de la siguiente forma:
d d d d 1 d d ,t t y y s s m m y s m b ta a R R R R c t
(9)
dónde:
d yR : la tasa de rendimiento sobre el activo físico
d sR : la tasa de rendimiento sobre el derivado
d mR : el rendimiento estocástico por la tenencia de saldos reales
d bR : la tasa de rendimiento por la tenencia de un bono libre de riesgo
2.2.1. Rendimiento de los activos
En esta sección se determina la dinámica del rendimiento estocástico de los activos a los que
el individuo tiene acceso. Para resolver la ecuación de la evolución de la riqueza en términos
reales es necesario establecer las variables en términos reales, para lo cual se divide entre los
precios, tP , y se aplica el lema de Itô para un cociente, para obtener las tasas estocásticas de
rendimiento que se incluyen en la ecuación de la evolución de la riqueza.
Se definió a la tasa de rendimiento que paga el derivado sobre un subyacente, tS , como
d SR y se obtiene de:
d .
t t
S
t t
S PR
S P
Una vez que se aplica el lema de Itô, la ecuación puede reescribirse como4:
4 El desarrollo completo de las ecuaciones de los rendimientos de los activos se encuentra en el apéndice 1
15
2 2
1 1d 2 d
d d .
s S t Py Py PM PM Sy Py SM Py SM PM
Sy Py yt SM PM Mt
R t
W W
(10)
Así mismo, se define al rendimiento estocástico por la tenencia de saldos reales, o dicho
de otra forma, el cambio porcentual en el precio del dinero en términos de bienes, como:
dd ,
t t
m
t t
M PR
M P
cuyo resultado está dado por el lema de Itô y es:
2 2
1 1d 2 d
d d .
m M t Py PM SM Py Py M PM M
M PM Mt Py yt
R t
W W
(11)
El individuo también tiene acceso a un activo físico, cuya tasa de rendimiento por la
inversión esta denotada por d yR y sigue una ecuación de la forma:
dd ,
t t
y
t t
y PR
y P
de la cual, aplicando el lema de Itô, se tiene la solución siguiente.
2 2
1 1d 2 2 d
d d
y y t Py Py PM PM Py y
y Py yt PM Mt
R t
W W
(12)
Por último, se sabe que el consumidor tiene acceso a un bono libre de riesgo emitido por
el Gobierno. Cuya tasa de rendimiento está dada por d bR y persigue la ecuación:
dd ,
t t
b
t t
B PR
B P
Y la solución después de la aplicación del lema de Itô es:
2 2
1d 2 d d d .b t t Py Py PM PM Py yt PM MtR i t W W (12)
2.3. Decisiones óptimas de los consumidores
El objetivo de los consumidores, dentro de esta economía, es maximizar en cada momento
su satisfacción de forma tal que las proporciones de su riqueza que asigna a la tenencia de
saldos monetarios reales, el producto derivado y la inversión en el activo físico son óptimas
en cada momento. Así el individuo se enfrenta al problema de tener que maximizar su
16
utilidad. Por lo que en esta sección se determinan la forma funcional de la función de utilidad
que hará máxima, en cada momento, la satisfacción de los consumidores y la ecuación de la
evolución de la riqueza real a la que está sujeta la función de utilidad
2.2.3. El problema de maximización del consumidor
Ya que el agente representativo desea maximizar su satisfacción en cada momento del tiempo
es necesario definir la función de utilidad propia de los individuos de esta sociedad. Se debe,
primero, mencionar que cada individuo obtiene satisfacción de dos fuentes: el consumo, tc ,
del único bien que es producido en la economía y por la tenencia de saldos monetarios reales
tm (Venegas-Martínez, 2008). Adicionalmente se supone que su función de utilidad (con la
que concuerdan todos los consumidores) está dada por la siguiente forma funcional:
1 11 2 22, , 0, 0, 0, 0,t tu u c m u u u u (8)
que corresponde a una función de utilidad logarítmica. En la que los individuos son
totalmente adversos al riesgo, pero con la cual es posible asegurarse de que maximicen su
satisfacción. Por tanto el agente representativo se enfrentan a la siguiente función de utilidad:
, , ln 1 lnt t
t t t tU c m t c e m e (9)
dónde:
: es la tasa subjetiva de descuento, o sea, la tasa a la que los individuos descuentan la
utilidad generada por el consumo futuro, es decir refleja el grado de impaciencia del agente
representativo. Una elevada tasa de descuento representa a un agente impaciente por el
consumo presente (Arango y Ramírez, 2007).
: es un parámetro que oscila entre 0 y 1 y mide la importancia relativa entre el consumo
del bien que se produce en la economía y la tenencia de saldos monetarios reales.
Los consumidores en esta economía enfrentan el problema de maximización:
0, , ,
0
Maximizar E ln 1 ln d ,t m s y
t t
s tc
c e m e s
(10)
donde 0 representa la información disponible al tiempo 0t . La ecuación (10) estará
sujeta a la evolución de la riqueza real de del individuo representativo, la cual satisface5:
5 Se sustituye a las tasas de rendimiento de los diferentes activos en la ecuación estocástica de la evolución de la riqueza real
17
2 2
1 1
2 2
1
1 1
2
d 2 2 d
d 2
d d
d 2
t t y y t Py Py PM PM Py y PM y
y Py yt s s t Py Py PM PM Sy Py
SM Py Sy PM SM PM Sy Py yt SM
PM Mt m M t Py SM
a a t
W
t W
W
2
1 1
2 2
1
d d d 1
2 d d d d
Py PM Py M
PM M M PM Mt Py yt y s m
t t Py Py PM PM Py yt PM Mt t
t W W
i t W W c t
(11)
Por conveniencia la ecuación (11) se puede reescribir como:
d d d
d d ,
t t y y b s s b m m b y y s Sy Py yt
ts SM m M PM Mt
t
a a r r r t W
cW t
a
(12)
dónde:
2 2
1 12 2 ,y y t Py Py PM PM Py y PM y
2 2
1 1 12 ,s s t Py Py PM PM Sy Py SM Py Sy PM SM PM
2 2
1 12 ,m M t Py SM Py PM Py M PM M
2 2
12 .b t t Py Py PM PMr i
Para simplificar el análisis la ecuación (12) queda de la siguiente forma:
d d d d ,t t a ay yt aM Mta a t W W (13)
dónde:
,ta y y b s s b m m b
t
cr r r
a
,ay y y s Sy Py
.aM s SM m M PM
Ahora que los consumidores han establecido su función de utilidad y su restricción, pueden
resolver el problema de maximización al que se enfrentan, a través de la programación
dinámica estocástica.
18
CAPÍTULO 3. EL EQUILIBRIO DE LA ECONOMÍA
El objetivo principal de este apartado es obtener los valores de la dinámica de las variables
que son relevantes para la estructura de la economía y que afectan las decisiones de
consumo. Para lo cual es necesario suponer que la economía se encuentra en condiciones
de equilibrio y establecer los supuestos que la mantienen en ese estado.
3.1. Requisitos del equilibrio
Ya que el modelo planteo como objetivo principal la resolución de la tasa de inflación de
equilibrio, se deben plantear supuestos que permitan a esta economía arrojar una tasa de
inflación de equilibrio. O dicho en otros términos, supuestos, bajo los cuales, la economía
puede operar en condiciones de equilibrio. De forma que se plantea:
i. Una vez descritas la dinámica de las variables de la estructura de la economía y los
activos a los que tiene acceso el agente representativo, se supone que tanto las
proporciones destinadas al activo físico, y , a la tenencia de saldos monetarios
reales, m , la tenencia de un producto derivado, s , y la tenencia de un bono libre
de riesgo, b ; así como, el consumo, tc , son cantidades óptimas y se denotan como:
*
y , *
m , *
s y *
tc . Las que a su vez aseguran que el agente representativo maximiza
su satisfacción.
ii. El mercado de activos se vacía, lo que quiere decir que * 0t sa
iii. La oferta monetaria es igual a la demanda de saldos reales *tt t m
t
Mm a
P
3.2. Decisiones óptimas de consumo
El objetivo del agente representativo es elegir en cada momento las proporciones de su
riqueza, destinadas a los activos y al consumo, que maximicen su satisfacción. Así que se
plantea la función de utilidad indirecta:
0, , ,
0
, , , max E ln 1 ln dt m s y
s s
t t t t tc
J a P V t c e m e s
(14)
19
La función , , ,t t tJ a P V t proporciona una medida del bienestar económico del agente
representativo ya que es el nivel máximo de satisfacción que puede alcanzar. Así que la
ecuación original , ,t tU c m t será vista como la función de utilidad directa para hacer la
diferencia con J .
3.2.1. Evolución de la riqueza real
Una vez que se han determinado la dinámica de las variables que integran a la ecuación de
la evolución de la riqueza, el objetivo del agente representativo y sus funciones de utilidad
(directa e indirecta), se debe definir la técnica con la que el consumidor determinara los
valores óptimos de las variables que afectan sus decisiones de consumo. Para resolver el
problema del agente representativo de esta economía se hará uso de la programación
dinámica estocástica6. Dada la función de utilidad indirecta del agente representativo y con
el propósito de obtener la solución óptima del problema de maximización, la ecuación (14)
conduce a:
d
, , ,
0
d
, , , max ln 1 ln d
ln 1 ln d ,
t m s y
t t
s s
t t t t tc
t
s s
t t
t t
J a P V t E c e m e s
c e m e s
(16)
La ecuación anterior es equivalente a la ecuación (15), pero es la base para el análisis con
programación dinámica estocástica.
3.2.2. Ecuación Hamilton-Jacobi-Bellman con volatilidad estocástica.
Es posible observar que la función de utilidad directa dependía únicamente del consumo, los
saldos monetarios reales y del tiempo, mientras que la función de utilidad indirecta depende,
también, de la varianza de la oferta monetaria (la cual tiene una dinámica estocástica. Es esta
la principal contribución de la presente investigación, ya que en trabajos precedentes se
considera constante a la volatilidad de la oferta monetaria. Así la función de utilidad indirecta
depende de cuatro variables. Para determinar a la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellma se
determinan primero las ecuaciones recursivas de la programación dinámica7, que arrojan
como resultado:
6 La programación dinámica es muy útil en la solución de problemas de optimización en donde se toman decisiones en varias etapas. Dicho método se basa en el principio de optimalidad, el cual establece que dada una política óptima, cualquiera de sus subpolíticas es también óptima (Venegas-Martínez, 2008). 7 Todas las ecuaciones recursivas se presentan en el Apéndice 2
20
2
1 1 2 2
2 2 2 2 2
1 1
0 ln 1 ln
1 1 1 1
2 2 2 2
t t
t t t a t a P t t V t V aP t t Py ay
Py aM PM ay PM aM aV t t aM V PV t t PM V aa t
ay ay aM aM PP t Py Py PM PM
c e m e J J a J P J V J a P
J a V J PV J a
J P
2 21.
2VV t VJ V
(17)
Para determinar la solución de la ecuación se propone un candidato de solución de la
forma:
, , , , , ,t
t t t t t tJ a P V t F a P V e (18)
del cual se puede deducir: , , , , t
t t t t i i in inJ F a P V e J F J F . Por lo que la
ecuación (17) puede ser vista como:
, , ,
1 1 2
2 2
2 1
0 max ln 1 ln , ,
1 1
2 2
t m s y
t
t t t t t a t a P t t V t Vc
aP t t Py ay Py aM PM ay PM aM aV t t aM V
PV t t PM V aa t ay ay aM a
c m F a P V e F a F P F V
F a P F a V
F PV F a
2 2 2
2 2 2
1
1
2
1 1 .
2 2
M PP t Py
Py PM PM VV t V
F P
F V
(19)
Ahora de asigna una forma funcional a , ,t t tF a P V . Se propone:
0 1, , ln ln ln ,t t t t t tF a P V a P V (20)
de donde se sabe:
1 1
2
1 1
2
1 1
2
; 0; ;
; 0; ;
; 0; ;
a aP aa
t t
P aV PP
t t
V PV VV
t t
F F Fa a
F F FP P
F F FV V
por lo que se sustituyen las derivadas parciales de F en la ecuación (19) para obtener:
0 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2
1
0 ln 1 ln ln ln ln
1 1 1 1
2 2 2 2
1 ,
2
t t t t t a t
V ay ay aM aM Py Py PM PM
V
c m a P V
(21)
21
dado que, son conocidos los valores de a , ay y aM , se sustituyen en la ecuación anterior,
por lo que:
0 1 1
2
1 1 1
2
1
1
0 ln 1 ln ln ln ln
1
2
1
2
.
t t t t t y y b
t
s s b m s b t V y y s Sy Py
t
y y s Sy Py s SM m M PM s SM m M PM
c m c P V r
cr r
a
(22)
La ecuación (22) puede reexpresarse como:
0 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1
0 ln 1 ln ln ln ln
1 2
2
2 2
t t t t t y y b
t
s s b m m b t V y y s y y Sy
t
y y Py s Sy s Sy Py Py s y y SM s SM Sy s Py SM
m y M y
c m a P V r
cr r
a
2 2 2 2 2 2
1
2 2
1 1 1 1
1 1 2 2 2
2 2
1 1 .
2 2
m s M Sy m M Py y PM y s PM Sy PM Py
s SM m s M SM s PM SM m M m M PM PM Py
Py PM PM V
(23)
Con la ecuación anterior es posible comenzar con la solución de las variables de interés.
3.2.2. Valores de las variables en el equilibrio
Para determinar el valor del consumo, tc , la proporción de la riqueza destinada a la tenencia
de saldos reales, m , la proporción destinada a la inversión en el activo físico, y , y la
proporción destinada a la tenencia de un producto derivado, s , se debe retomar la ecuación
(23), con la consideración del tercer supuesto de equilibrio, que establece que t t mm a . En
cuyo caso la ecuación (23) se reescribe como:
22
0 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1
0 ln 1 ln ln ln ln
1 2
2
2 2
t t m t t t y y b
t
s s b m m b t V y y s y y Sy
t
y y Py s Sy s Sy Py Py s y y SM s SM Sy s Py SM
m y M
c a a P V r
cr r
a
2 2 2 2 2 2
1
2 2
1 1 1 1
1 1 2 2 2
2 2
1 1 ,
2 2
y m s M Sy m M Py y PM y s PM Sy PM Py
s SM m s M SM s PM SM m M m M PM PM Py
Py PM PM V
(24)
y se deriva con respecto a las variables de interés. Y para poder reducir la ecuación a su
mínima expresión se sustituyen los valores de y , s , m y br , para obtener:
0 1 1 1 1
2 2121 1 1 1 1 1 1
2 2 2121 1 1 1 1 1 1
12 1
0 ln 1 ln ln ln ln
t t m t t t y y
ts S m M t V y y s y y Sy
t
y SM s Sy SM Sy SM m y M y m s M Sy
M SM
c a a P V i
ci i
a
2 2 2 2121m M PM Py
(25)
En primer lugar se deriva a la ecuación (25) con respecto de tc . Con lo que se obtiene:
1
1
0 c .tt
t t
a
c a
(26)
De manera que es posible observar que el consumo no depende de variables financieras,
mientras que si depende de la riqueza del agente representativo y del parámetro que mide
la importancia relativa que este agente asigna al consumo y a la tenencia de saldos monetarios
reales. Además la relación que se presenta entre el consumo, la riqueza y el parámetro que
asigna la importancia, es directa, lo cual demuestra que si la riqueza aumenta, lo hará también
el consumo y de la misma forma con el parámetro . Dicho resultado es bastante lógico si
se piensa en cualquier consumidor inmerso en cualquier economía, cuanto mayor será su
ingreso mayor será su consumo. Y lo mismo sucede con la importancia que él asigna al
consumo, si su preferencia se inclina hacia el consumo (cuanto más se acerque a 1) su
consumo ira en aumento
Para determinar los saldos monetarios reales y la inversión en el activo físico se deriva la
ecuación (25) con respecto de m y y . Cuando se deriva con respecto de m se obtiene:
2
1 1 1 1 1 1
10 .M y M y s M Sy M SM m M
m
i
23
Por la primera y segunda condición de equilibrio * 0s s , de forma que la ecuación
anterior queda como:
2
1 1 1 1
10 ,M y M y m M
m
i
(27)
por el momento no se determinara el valor de los saldos monetarios reales , m , dado que en
la ecuación también se encuentra la proporción destinada al activo físico. Ahora se deriva la
ecuación (25) con respecto de y :
2
1 1 1 1 1 10 y y y s y Sy y SM m M yi
y por la segunda condición de equilibrio la ecuación se reescribe como:
2
1 1 1 10 .y y y m M yi (28)
Como se puede observar con las ecuaciones (27) y (28) se puede formar un sistema de
ecuaciones de dos funciones con dos incógnitas, m y y , cuyo resultado está dado por8:
1 21
3
m
(29a)
1 22
3
m
(29b)
Si se rastrean las variables que conforman a m es posible observar que cuando aumenta la
tasa de interés disminuye la demanda de saldos reales. Lo cual se puede interpretar como que
un aumento de la tasa de interés nominal hace que el agente representativo sustituya su dinero
por bonos, lo que reduciría la tenencia de saldos monetarios reales. Dicho resultado está
inscrito en la teoría económica, pues cuando las tasa de interés son elevadas es mucho más
atractivo para los consumidores invertir que consumir, mientras que cuando las tasas de
interés son bajas preferirán consumir.
1 21 5 6
3
y
(30a)
1 22 5 6
3
y
(30b)
A su vez las ecuaciones (30a) y (30b) nos indican el valor de la tenencia del activo físico
depende directamente de su prima de riesgo ( y i ) y depende, de forma inversa, de la
8 El proceso de resolución de este sistema de ecuaciones se encuentra en el Apéndice 3
24
volatilidad del derivado, Sy . La relación inversa con la prima de riesgo del activo físico
indica que si disminuye la prima de riesgo del activo físico será más atractivo para el agente
representativo invertir en otra clase de productos que en el activo físico. Dado que el otro
producto financiero al que tiene acceso es consumidor es un producto derivado, puede decirse
que cuando la prima de riesgo del activo físico aumenta, el agente representativo disminuirá
su inversión en el activo físico y decidirá invertir una mayor cantidad de su riqueza en
productos derivados.
3.2.3. Tasa de inflación de equilibrio
Para determinar la tasa de inflación de equilibrio es necesario hacer mención de la tercera
condición de equilibrio que establece:
tt t m
t
Mm a
P
y se puede re expresar como:
1tt
t m
MP
a (31)
Si se aplica el lema de Itô para un cociente a la ecuación anterior se obtiene:
2 21 12 21 1
dd
d d
t t
M a M ay M aM ay ay aM aM
t t
M aM Mt ay yt
M at
M a
W W
(32)
Ahora, si se emplean las condiciones de equilibrio y se toma en cuenta la ecuación (32) y el
proceso de la tasa de inflación tal y como lo describe la ecuación (4) se observa que la tasa
de inflación está compuesta por:
1) la tendencia de la inflación media esperada
2 21 12 21 1
1t M a M ay M aM ay ay aM aM
m
(33)
2) y por sus volatilidades
M aMPM
m
(34)
25
.ay
Py
m
(35)
Al mismo tiempo es posible recordar que el crecimiento medio esperado de la riqueza
satisface:
1 12 ta y y t Py y PM y m M t Py M PM M
t
ci i
a (36)
y las volatilidades de la riqueza real son:
ay y y Py (37)
aM m M PM (38)
Para obtener el valor de la tasa de inflación de equilibrio y sus respectivas volatilidades se
resuelve el sistema de ecuaciones de seis ecuaciones con seis incógnitas de (33)-(38). Con lo
que se obtiene que la inflación media esperada de equilibrio es:
2 2
1 1 1 1 2
5
tt M y y t y y
t
ii
i
(39)
donde:
1 1Py M PM M
2 12 .Py y PM y
La ecuación (39) indica que:
1. La inflación es una variable que dependo de shocks monetarios y reales. Lo cual dice
que es afectada tanto por variables monetarias como reales.
2. La oferta monetaria junto con su volatilidad se relacionan de manera positiva con la
tasa de inflación. O sea que un incremento en la oferta monetaria o en su volatilidad
traería como consecuencia un incremento en la tasa de inflación o sea en el nivel
general de precios
26
3. Si las volatilidades de los activos financieros afectan a la tasa de inflación, se puede
verificar la relación existente entre el mercado financiero y los objetivos de la política
monetaria
27
CONCLUSIONES
En este trabajo se desarrollado un modelo de volatilidad estocástica de equilibrio general de
una economía monetaria, con el objetivo de verificar que hay una relación entre el mercado
de derivados y los objetivos de la política monetaria. El resultado fundamental de esta
investigación es que la tasa de inflación tiene una relación con el mercado financiero y por
tanto con los productos derivados.
Como se puede observar en la tasa de inflación depende de factores tanto reales como
monetarios. La tasa de inflación es función creciente de la tasa de crecimiento media esperada
de la oferta monetaria en cuyo caso sería lo que hace evidente a la teoría económica que
establece que los choques monetarios afectan los niveles de la tasa de inflación, lo que
conduciría a un incremento en el nivel de precios.
Se observa también que la tasa de inflación es función de la tenencia del activo físico, la
que, a su vez, es función de la prima al riesgo del derivado, así como de sus respectivas
volatilidades. Este resultado es consistente con la literatura que documenta que la volatilidad
de los mercados financieros tiene importantes implicaciones sobre la inflación,
Se ha encontrado que tanto la tendencia como la volatilidad del mercado de instrumentos
derivados afecta a la tasa de inflación. Por lo tanto se verifica la hipótesis planteada para este
trabajo de investigación y se da respuesta a la pregunta de si existe una relación significativa
entre los mercados de derivados y los objetivos de la política monetaria.
28
BIBLIOGRAFÍA
Bakshi, G.S. y Z. Chen. (1996). “Inflation, Asset Prices, and the Term Structure of Interest
Rate in Monetary Economies”. The Review of Financial Studies.
Suiza. Bank for International Settlements. (1994). Macroeconomic and Monetary Policy
Issues Raised by the Growth of Derivatives Markets. Hannoun Report. CGFS Publications.
Beltratti, A. y C. Morana. (2006). “Breaks and Persistency: Macroeconomic Causes of Stock
Market Volatility”. Journal of Econometrics.
Black, F. y M. Scholes. (1973). “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. The
Journal of Political Economy.
Cox, J.C., J.E. Ingersoll y S.A. Ross. (1985). “An Intertemporal General Equilibrium Model
of Asset Prices”. Econometrica.
Fender, I. (2000a). “Corporative Heding: The Impact of Financial Derivatives on the Broad
Credit Chanel of Monetary Policy”. BIS Working Paper.
Fender, I. (2000b). “The Impact of Corporate Risk Management on Monetary Policy
Transmission: Some Empirical Evidence”. BIS Working Paper.
Colombia. Banco de la Republica. Gomez, E., D. Vasquez y C. Zea. (2005). Derivative
Markets Impact on Colombian Monetary Policy. Borradores de Economía.
Hunter, W.C. y S.D. Smith. (2002). “Risk Management in the Global Economy: A Review
Essay”. Journal of Banking and Finance.
Karatzas, I., J.P. Lehoczky, S. Shreves y G.L. Xu. (1991). “Martingale and Duality Methods
for Utility Maximization in an Incomplete Market”. SIAM Journal on Control and
Optimization.
Lewis, A. L. (2000). “Option Valuation Under Sthocastic Volatility: with mathematica
code”. finance press. U. K.
Lioui, A. y P. Poncet. (2004). “General equilibrium real and nominal interest rate”. Journal
of Banking and Finance.
29
Lioui, A. y P. Poncet. (2005). “General Equilibrium Pricing of CPI Derivatives”. Journal of
Banking and Finance.
Chile. Banco Central. Mies, V., F. Morandé y M. Tapia. (2002). “Política monetaria y
mecanismos de transmisión: nuevos elementos para una vieja discusión”.
Morales, A. (2001). “Monetary Implications of Cross-Border Derivatives for Emerging
Economies”. IMF Working Papers.
Savona, P., A. Maccario y C. Oldani. (2002). “On MonetaryAnalysis of Derivatives”. Open
Economies Review, Special Issue.
Semmler, W. y W. Zhang. (2007). “Asset Price Volatility and Monetary Policy Rules: A
Dynamic Model and Empirical Evidence”. Economic Modelling.
Sidrauski, M. (1967). “Rational Choice and Patterns of Growth in a Monetary Economy”.
American Economic Review.
Spiegel, M. (2008). “Financial Globalization and Monetary Policy Discipline”. Federal
Reserve Bank of San Francisco. Working Paper Series.
Tytell, I. y S. Wei. (2004). “Does Financial Globalization Induce Better Macroeconomic
Policies”. IMF Working Papers.
Upper, C. (2006). “Derivatives Activity and Monetary Policy”. BIS Quarterly Review,
September.
Venegas-Martínez, F. (2004). “Maximización de la utilidad y valuación de derivados con
volatilidad estocástica”. Revista mexicana de economía y finanzas, REMEF.
Venegas-Martínez, F. (2006). “Stochastic Temporary Stabilization: Undiversifiable
Devaluation and Income Risks”. Economic Modelling.
Venegas-Martínez, F. (2008). Riesgos financieros y económicos. Productos derivados y
decisiones económicas bajo incertidumbre. México. Cengage Learning
Venegas-Martínez, F. (2009). “Un modelo estocástico de equilibrio macroeconómico:
acumulación de capital, inflación y política fiscal”. Investigación Económica.
30
Vickery, J. (2008). “How and Why do Small Firms Manage Interest Rate Risk?” Journal of
Financial Economics.
Vrolijk, C. (1997). “Derivatives Effect on Monetary Policy Transmission”. IMF Working
Papers.
Wagner, H. y W. Berger. (2005). “Globalization, Financial Volatility and Monetary Policy”.
Empirica.
31
APÉNDICE 1
Ya que la ecuación de la evolución de la riqueza presenta las tasas de rendimiento de los
distintos activos a los que tienen acceso los individuos, estas se deben determinar mediante
el uso de la ecuación de Itô para un cociente.
La tasa de rendimiento por la inversión en el activo físico está determinada por d sR , que
surge de:
dd ,
t t
s
t t
S PR
S P (A1.1)
de donde se sabe que ts
t
SR
P . Si se aplican derivadas parciales se obtiene:
2 2 2
2 2 2 3 2
1 1; 0; ; 2 ; ,s s s t S t s
t t t t t t t t t t
R R R S R S R
S P S P P P P S P P
si se aplica el lema de Itô a la ecuación ,s t tR f S P queda como:
2 2 22 2
2 2
d 1d d d dP 2 d dP
2
s s s s s st t t t t t
t t t t t t t t
R R R R R RS P S S
S P S P S P S P
, (A1.2)
se debe sustituir a 2 2
d , dt tS P y d dt tS P en la ecuación (A1.2). Y se obtiene:
2 2 2
2 2 2 2 2
12 2 2
2
2
ddt+ d d d d
1 d d d d
2
1
2
s s s s s st S t Sy yt t SM Mt t t t Py yt
t t t t t t t
s s s st PM Mt t Sy t Sy SM t SM
t t t t
s
t
R R R R R RS S W S W P t P W
S P S S S P P
R R R RP W S t S t S t
P S S S
R
P
2 2 22 2 2 2 2
12 2
2 2 2
1 1
1d d d d
2
d d
s s st Py t Py PM t PM t t Sy Py
t t t t
s s st t SM Py t t Sy PM t t SM PM
t t t t t t
R R RP t P t P t S P t
P P S P
R R RS P t S P S P t
S P S P S P
ya que, se conocen las derivadas parciales, se sustituyen y se divide la ecuación entre t tS P
, para obtener:
2
1
2
1 1
d d d d d d d d +2 d
d d d d d
s S Sy yt SM Mt t Py yt PM Mt Py Py PM
PM Sy Py SM Py Sy PM SM PM
R t W W t W W t t
t t t t t
(A1.3)
y se factoriza a la ecuación (A1.3) para reducirla a:
32
2 2
1 1d 2 d
d d .
s S t Py PM Py PM Sy Py SM Py SM PM Sy PM
Sy Py yt SM PM Mt
R t
W W
(A1.4)
El rendimiento estocástico por la tenencia de saldos reales está representado por d mR , que
persigue una ecuación de la forma:
dd ,
t t
m
t t
M PR
M P (A1.5)
se conoce que tm
t
MR
P . Por lo que, se pueden aplicar derivadas parciales, que dan como
resultado:
2 2 2
2 2 2 3 2
1 1; ; 0; 2 ; ;m m t m m t m
t t t t t t t t t t
R R M R R M R
M P P P M P P M P P
si la ecuación a la que nos enfrentamos es ,m t tR F M P . Al aplicar el lema de Itô para un
cociente, se obtiene:
2 22 2
2 2
2
d 1d d d d
2
2 d d ,
m m m m mt t t t
t t t t t t
mt t
t t
R R R R RM P M P
M P M P M P
RM P
M P
(A1.6)
ya que, se conoce d tM y d tP , es posible despejarlas en la ecuación anterior y reescribirla
como:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
12 2 2 2
2
dd d d d d
1 1 1 d d d d
2 2 2
m m m m m mt M t M Mt t t t Py yt t PM Mt
t t t t t t t
m m m mt M Py SM Py t PM
t t t t
m
t t
R R R R R RM t M W P t P W P W
M P M M P P P
R R R RM t t t P t
M P P P
R
M P
2
1d d ,mt t Py M t t PM M
t t
RM P t M P t
M P
ahora se sustituyen las derivadas parciales y se divide la ecuación entre t tM P , para
obtener el resultado:
2 2
1 1d 2 d
d d .
m M t Py PM SM Py Py M PM M
M PM Mt Py yt
R t
W W
(A1.7)
33
En los mismos términos, es posible obtener el rendimiento por la inversión en el activo
físico d yR , estableciendo una ecuación de la forma:
dd ,
t t
y
t t
y PR
y P (A1.8)
de donde se sabe que ty
t
yR
P , por lo que se puede derivar a
yR de la siguiente forma:
2 2 2
2 2 2 3 2
1 1; ; 0; 2 ; ;
y y y y yt t
t t t t t t t t t t
R R R R Ry y
y P P P y P P y P P
y se sabe que la ecuación es ,y t tR f y P , por lo que, aplicando el lema de Itô para un
cociente se obtiene:
2 2 22 2
2 2
d 1d d d d 2 dy d .
2
y y y y y y
t t t t t t
t t t t t t t t
R R R R R Ry P y P P
y P y P y P y P
(A1.9)
Son conocidas d ty y d tP , así que es posible sustituirlas en la ecuación (A1.9), pudiendo
reescribirla como:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
12 2 2 2
2
dd dW d d d
1 1 1 d d d d
2 2 2
y y y y y y
t y t y yt t t t Py yt t PM Mt
t t t t t t t
y y y y
t y t Py t Py PM t PM
t t t t
y
R R R R R Ry t y P t P W P W
y P y y P P P
R R R Ry t P t P t P t
y P P P
R
y
2
1d d ,y
t t Py y t t PM y
t t t t
Ry P t y P t
P y P
es posible sustituir a las derivadas parciales en la ecuación anterior y dividirla entre t ty P
, por lo que:
2
1
2
1
d d d d d d d 2 d
d 2 d d .
y y y yt t Py yt PM Mt Py Py PM
PM Py y PM y
R t W t W W t t
t t t
(A1.10)
Para reducir a la ecuación (A1.10) se factorizan los términos y queda como:
2 2
1 1d 2 2 d
d d .
y y t Py Py PM PM Py y PM y
y Py yt PM Mt
R t
W W
(A1.11)
34
El último activo financiero, al que el consumidor destina parte de su riqueza es un bono
libre de riesgo. El cual, tiene un rendimiento estocástico, denotado por d bR y está dado por
la ecuación:
dd ,
t t
b
t t
B PR
B P (A1.12)
si , tb t t
t
BR F B P
P , entonces sus derivadas parciales son:
2 2 2
2 2 2 3 2
1 1; ; 0; 2 ; ;b b t b b t b
t t t t t t t t t t
R R B R R B R
B P P P B P P B P P
y cuando se aplica el lema de Itô para un cociente a bR se obtiene:
2 2 22 2
2 2
d 1d d d 2 d d ,
2
b b b b b bt t t t t
t t t t t t t t
R R R R R RB B P B P
B P P P B P B P
(A1.13)
se sustituye a d tB y d tP en la ecuación anterior:
22 2
2
2 22 2 2
12 2
d 1d d d d d
2
1 d d .
2
b b b b b bt t t t t Py yt t PM Mt t Py
t t t t t t t
b bt Py PM t PM
t t
R R R R R RB i t P t P W P W P t
B P B P P P P
R RP t P t
P P
Se sustituyen las derivadas parciales que se determinaron para esta ecuación y se divide entre
t tB P , de forma que:
2 2
1d d d d d d 2 d d ,b t t Py yt PM Mt Py Py PM PMR i t t W W t t t (A1.14)
ecuación que es posible factorizar y reducir a:
2 2
1d 2 d d d .b t t Py Py PM PM Py yt PM MtR i t W W (A1.15)
35
APÉNDICE 2
A continuación se obtiene la ecuación Hamilton-Jacobi-Bellma asociada al problema de
maximización:
0, , ,
0
Maximizar E ln 1 ln d ,t m s y
t t
s tc
c e m e s
(A2.1)
con el propósito de caracterizar una solución del problema planteado se definió:
0, , ,
0
, , , max E ln 1 ln d ,t m s y
s s
t t t t tc
J a P V t c e m e s
(A2.2)
ecuación que puede ser vista como:
d
, , ,
0
d
, , , max ln 1 ln d
ln 1 ln d ,
t m s y
t t
s s
t t t t tc
t
s s
t t
t t
J a P V t E c e m e s
c e m e s
(A2.3)
y para expresarla en términos de , , ,t t tJ a P V t se reescribe de la siguiente forma:
d
, , ,
d
, , , max E ln 1 ln d
d , d , d , d d ,
t m s y
t t
t t
t t t t tc
t
t t t t t t t
t t
J a P V t c e m e t
J a a P P V V t t t
(A2.4)
Se separa a la función J :
d
, , ,, , , max E ln 1 ln d d
, , , d d ,d ,d ,d .
t m s y
t t
t t
t t t t tc
t
t t t t t t t
J a P V t c e m e t o t
J a P V t J a P V t
(A2.5)
Es posible trasladar a J del lado izquierdo de la ecuación y aplicar la integral para obtener:
, , ,
0 max E ln 1 ln d d
d d ,d ,d ,d ,
t m s y
t t
t tc
t t t t
c e m e t o t
J a P V t
(A2.6)
36
para continuar con el problema se resuelve dJ mediante el lema de Itô. Hay que recordar
que , , ,t t tJ a P V t , por lo tanto
2 2 2
2
1d d d d d d d d
2
d 2 d d 2 d d 2 d d
2 d d 2 d d 2 d d ,
a t P t V t t aa t PP t VV t
tt aP t t aV t t at t
PV t t Pt t Vt t
J J a J P J V J t J a J P J V
J t J a P J a V J a t
J P V J P t J V t
(A2.7)
dónde:
iJ : primera derivada parcial con respecto de i
iiJ : segunda derivada parcial con respecto de i y luego de i
2 2 2 2
1d d 2 d dt t ay ay aM aMa a t t t
2 2 2d dt t VV V t
1 1d d d d d dt t t t Py ay Py aM PM ay PM aMa P a P t t t t
2d d dt t t t aM Va V aV t
2d d dt t t t PM VP V PV t
2
d 0; d d 0; d d 0; d d 0;t t tt a t P t V t
si se sustituyen las diferenciales en la ecuación (A2.7):
2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
1
d d d d d d d
1 d d d d d
2
1 1 1 d d d
2 2 2
a t a a t ay yt a t aM Mt P t t P t Py yt P t PM Mt
V t V V t V Vt t aa t ay aa t ay aM
aa t aM PP t Py PP t Py PM PP t PM
J J a t J a W J a W J P t J P W J P W
J V t J V W J t J a t J a t
J a t J P t J P t J P
2
2 2
1 1
2 2
d
1 d d d d
2
d d d
VV t V aP t t Py ay aP t t Py aM aP t t PM ay
aP t t PM aM aV t t aM V PV t t PM V
t
J V t J a P t J a P t J a P t
J a P t J a V t J PV t
(A2.8)
y se factoriza la ecuación (A2.8)
37
2 2 2
1
2 2 2 2 2
1
1 1 2
1 1d
2 2
1 1 1
2 2 2
a t a P t t V t V t aa t ay ay aM aM
PP t Py Py PM PM VV t V aP t t Py ay
Py aM PM ay PM aM aV t t aM V
PV t t PM
J J a J P J V J J a
J P J V J a P
J a V
J PV
2 d d d
d .
V a t ay P t Py yt V t V Vt
a t aM P t PM Mt
t J a J P W J V W
J a J P W
(A2.9)
Ahora se sustituye a la ecuación (A2.9) en la ecuación (A2.6):
, , ,
2 2 2 2 2
1
2 2 2
0 max ln 1 ln d d
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
t m s y
t t
t t a t a P t tc
V t V t aa t ay ay aM aM PP t Py
PM VV t V aP t t Py
E c e m e t o t J a J P
J V J J a J P
J V J a P
1 1
2 2 d
d d d
ay Py aM PM ay
PM aM aV t t aM V PV t t PM V a t ay
P t Py yt a t aM P t PM Mt V t Vt t
J a V J PV t J a
J P W J a J P W J V W
(A2.10)
ahora se sacan esperanza9s y se divide entre dt considerando el teorema del valor medio10
, , ,
2 2 2 2 2
1 1
2 2 2
0 max ln 1 ln
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
t m s y
t t
t t a t a P t t V t V tc
aa t ay ay aM aM PP t Py Py PM
PM VV t V aP t t Py ay Py aM
c e m e J a J P J V J
J a J P
J V J a P
1 1
2 2 ,
PM ay
PM aM aV t t aM V PV t t PM VJ a V J PV
(A2.11)
se reordenan los términos y si tc y tm son óptimos se satisface que:
9 Los términos estocásticos desaparecerán debido a que los movimientos brownianos se distribuyen de
forma normal con media cero varianza dt de forma que: d ~ 0,dW t
10 El teorema del valor medio del cálculo integral dice que si se tiene d
b
a
f x x f a b a o b a y
00 si 0
hh
h , por ejemplo
2
0 si 0o h h
h hh h
38
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
0 ln 1 ln
1 1 1 1 .
2 2 2 2
t t
t t t a t a P t t V t V aP t t Py ay
Py aM PM ay PM aM aV t t aM V PV t t PM V
aa t ay ay aM aM PP t Py Py PM PM
c e m e J J a J P J V J a P
J a V J PV
J a J P
2 21
2VV t VJ V
(A2.12)
La ecuación anterior es la ecuación Hamilton-Jacobi-Bellman.
39
APÉNDICE 3
En este apartado se obtendrán los valores de m y y con un sistema de dos ecuaciones que
se presentan a continuación:
2
1 1 1 1
10 M y M y m M
m
i
(A3.1)
1
2,
y My m
y y
i
(A3.2)
que para simplificarse puede ser reescrito como:
12 3 40 y m
m
(A3.3)
5 6y m (A3.4)
donde:
1 5 2
12 1 6
3 1 1
2
4 1
1
.
y
y
MM
y
M y
M
i
i
Para comenzar con la resolución del sistema se sustituye a (A3.4) en (A3.3) para obtener:
12 3 5 4 3 60 m
m
(A3.5)
y se multiplica por m para ajustar la ecuación a:
2
4 3 6 2 3 5 1,m m (A3.6)
con lo que es posible aplicar la formula general para obtener los valores de m . Una vez
aplicada la formula general se obtiene:
2
2 3 5 2 3 5 4 3 6 1
4 3 6
4.
2m
40
Ecuación que puede ser vista como:
1 2
3
,m
(A3.7)
donde:
1 2 3 5
2
2 2 3 5 4 3 6 1
3 4 3 6
4
2
de forma que existen dos posibles valores de m :
1 21
3
m
y 1 2
2
3
.m
Para encontrar el valor de y se sustituyen los valores de m en la ecuación (A3.4), para
obtener:
1 21 5 6
3
y
y 1 2
2 5 6
3
y
