INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL...interacción magnética con elementos superconductivos y realizar...
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL CULHUACAN MODELO TEÓRICO EXPERIMENTAL DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE ELEMENTOS SUPERCONDUCTIVOS T E S I S QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: INGENIERO MECÁNICO PRESENTA: EDGAR ISAAC RIVAS HERNÁNDEZ ASESORES: M. en C. IRYNA PONOMARYOVA M. en C. SAMUEL CARMAN AVENDAÑO MÉXICO, D.F. 2010
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INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL CULHUACAN
MODELO TEÓRICO EXPERIMENTAL DE
INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE ELEMENTOS
SUPERCONDUCTIVOS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:
INGENIERO MECÁNICO
PRESENTA:
EDGAR ISAAC RIVAS HERNÁNDEZ
ASESORES: M. en C. IRYNA PONOMARYOVA
M. en C. SAMUEL CARMAN AVENDAÑO
MÉXICO, D.F. 2010
I
AGRADECIMEINTOS.
Gracias al coraje.
Gracias a la entrega.
Gracias a la fuerza.
Gracias a la hermandad.
Gracias a la sabiduría.
Gracias a la paciencia.
Gracias a la ambición.
Gracias al orgullo.
Gracias a estas cualidades sin las cuales jamás podría ser
capaz de concretar todos mis sueños, gracias a estas virtudes sin
las cuales no hubiese sido capaz de soportar la soledad y
finalmente gracias a mis carencias y defectos sin los cuales no
hubiese sido capaz de perfeccionar mi persona.
Gracias al grupo CRYO-INFRA y en especial al Ing.
Gerardo García Fonseca por habernos apoyado en la realización
del experimento.
Gracias a ti por recordarme lo que soy sin ti, por
recordarme el equilibrio entre la fe y la razón, por no estar y aun
así compartir conmigo la soledad y gracias ti por mostrarme tu
amor insinuando el camino que me lleve hasta ti.
II
INDICE.
INTRODUCCIÓN. IV
JUSTIFICACIÓN. V
OBJETIVO. VI
CAPITULO I. EL FENOMENO DE LA
SUPERCONDUCTIVIDAD
1.1.- Resumen histórico. 1
1.2.- ¿Qué es superconductividad? 2
1.2.1.- Resistencia cero. Temperatura de transición
superconductora, TC. 4
1.2.2.- Diamagnetismo perfecto (Efecto Meissner). Campos
dentro de un superconductor. Corrientes de apantallamiento. 9
1.2.3.- Campo crítico y corriente crítica. 11
1.3.- Clasificación de los materiales superconductores. 12
1.3.1.- Superconductores tipo I y superconductores tipo II. 12
1.3.1.2.- Superconductores de alta temperatura (HTSC). 18
1.4.- Diversos tipos de materiales superconductores. 19
1.5.- Teorías principales. 21
- Teoría de London.
- Teoría de Ginzburg-Landau.
- Teoría BCS (Barden, Cooper, Schieffer).
1.6.- Aplicaciones. 23
III
CAPITULO II. DESARROLLO DEL MODELO DE
INTERACCIÓN MAGNÉTICA DE ELEMENTOS
SUPERCONDUCTIVOS.
2.1.- Introducción. 26
2.2.- Interacción magnética de dos anillos superconductivos. 29
2.3.- Interacción magnética anillo-dipolo. 35
2.4.- Determinación de regiones estables. 39
CAPITULO III. EXPERIMIENTO.
3.1.- Introducción. 47
3.2.- Consideraciones de seguridad y precauciones de manejo. 47
3.3.- Desarrollo. 48
3.4.- Graficas y tablas. 51
CONCLUSIONES. 57
BIBLIOGRAFIA. 59
ANEXO.
IV
INTRODUCCIÓN.
En el presente trabajo se distribuye en tres capítulos los
cuales están estructurados a tal modo que dependiendo del nivel
de conocimientos o del tipo de información que se requiera, el
lector puede realizar su consulta en cualquiera de ellos.
En el capitulo primero, donde se presentan las principales
causas y características del Fenómeno de la Superconductividad
se requieren conocimientos básicos de química, física clásica,
ciencia e ingeniería de materiales y calculo vectorial, lo que hace
un material de fácil comprensión para estudiantes de los primeros
semestres en carreras de ciencias físico-matemáticas y en donde
se puede obtener una idea clara y concreta de la superconducción.
El capitulo dos concentra las principales herramientas y
resultados de recién electrodinámica clásica y la física cuántica,
de las cuales se erige la galardona Teoría BCS (Bardeen, Cooper,
Schieffer), para poder realizar el estudio de dos sistemas de
interacción magnética con elementos superconductivos y realizar
observaciones sobre las condiciones de estabilidad en el sistema.
El tercer capítulo culmina con una recreación de lo que los
científicos alemanes Meissner y Ochsenfeld presentaron en 1933,
y que se conoce como el “Efecto Meissner-Ochsenfeld” pudiendo
visualizar el momento de mayor estabilidad y el comportamiento
de las sus fuerzas magnéticas.
V
JUSTIFICACION.
Ante nuestro inminente deterioro de nuestras de nuestras
fuentes de energía, expertos en diversas aéreas se ven obligados a
emprender una nueva búsqueda de técnicas, teorías, procesos, etc
que sean mucho más eficientes y en un dado caso mucho más
económicas. Lo anterior a lo largo de la historia ha motivado a
propios y extraños a desarrollar estos avances.
La incursión en la teoría de superconductores abrió desde
sus orígenes un amplio horizonte de oportunidades y aplicaciones,
pero por su costo excesivo y sus muy peculiares características la
dejaron de lado a lo largo de la historia. Hoy a más de 100 años de
su descubrimiento y hasta de sus aplicaciones busco retomar un
tema de vanguardia que con amplias expectativas para desarrollar
complejos energéticos en base a elementos superconductivos.
VI
OBJETIVO.
Describir la relación entre la energía potencial mínima
producida por la interacción magnética y la relación entre la
estabilidad del sistema estático con la interacción magnética.
Realizar un análisis de las regiones de estabilidad de
levitación magnética del dipolo magnético en presencia de un
campo magnético de un anillo superconductor tipo II.
1
CAPITULO I. EL FENOMENO DE LA
SUPERCONDUCTIVIDAD
1.1.- Resumen histórico.
En 1911 el físico holandés Heike Kamerlingh Onnes,
descubrió el fenómeno de superconductividad. Onnes tomaba
lecturas de la resistencia eléctrica del mercurio a bajas
temperaturas. Sus estudios perseguían determinar que tan nula
podría llegar a ser la resistencia a una corriente eléctrica si la
sustancia es pura y la temperatura (temperatura critica Tc) es
disminuida tanto como fuese posible.
El resultado de esta investigación fue inesperado y
ciertamente muy interesante, ya que a una temperatura por debajo
de los 4.5 K (-268.65 °C), la resistencia eléctrica desaparecía
abruptamente. El comportamiento de la resistencia como una
función de la temperatura se muestra esquemáticamente en la
Figura 1.1.
Figura 1.1.- Información de uno de los primeros trabajos de Onnes en relación a
superconductividad. La resistencia desaparece completamente a 4.2K (4.2 grados por encima
del cero absoluto).
2
Si bien el fenómeno de la superconductividad es un tema
abierto en física, en la actualidad hay dos enfoques
fundamentales: el microscópico o mecano cuántico (basado en la
teoría BCS) y el macroscópico o fenomenológico (en el cual se
centra la teoría Ginzburg-Landau).
1.2.- ¿Qué es superconductividad?
Muchos metales a temperaturas próximas al cero absoluto
pasan a un estado especial cuya propiedad más notable es la
llamada superconductividad. Esto es la capacidad intrínseca que
poseen ciertos materiales para conducir corriente eléctrica con
resistencia y pérdida de energía nulas en determinadas
condiciones. La aparición del estado de superconductividad se
produce a una temperatura determinada a cada material, a saber,
en el llamado punto de transición a la superconductividad.
Un superconductor no es simplemente un conductor normal
perfecto.
Al contrario de lo que se podría pensar en principio, un
superconductor se comporta de un modo muy distinto a los
conductores normales: no se trata de un conductor cuya
resistencia es cercana a cero, sino que la resistencia es
exactamente igual a cero. Esto no se puede explicar mediante los
modelos empleados para los conductores habituales, como por
ejemplo el modelo de Drude.
Para demostrar esto vamos a suponer la hipótesis opuesta:
imaginemos por un momento que un superconductor se comporta
como un conductor normal. En tal caso, tendríamos que los
electrones son esparcidos de alguna manera y su ecuación del
movimiento sería:
(1.1)
3
donde es la velocidad media de los electrones, su masa,
su carga y el campo eléctrico en el que se mueven. Suponiendo
que dicho campo varía suavemente, al resolverla llegaríamos a la
ley de Ohm:
(1.2)
donde es la densidad de corriente, la conductividad eléctrica,
el tiempo entre colisiones, y la densidad de electrones.
Ahora bien, si suponemos que la resistencia tiende a cero,
tendríamos que la conductividad tiende a infinito y por lo tanto el
tiempo entre colisiones, τ, tendería a infinito. Dicho de otra
manera, no habría colisiones en absoluto. Esta es la idea de cómo
se comportaría un conductor normal que tuviera resistencia nula.
Sin embargo, esto significaría que, puesto que la densidad de
corriente no puede ser infinita, la única posibilidad es que el
campo eléctrico sea nulo:
No obstante, teniendo en cuenta la ley de Faraday, un
campo eléctrico nulo implica que el campo magnético ha de ser
constante:
(1.3)
pero esto entra en contradicción con el efecto Meissner, de
modo que la superconductividad es un fenómeno muy diferente a
la que implicaría una "conductividad perfecta", y requiere una
teoría diferente que los explique.
4
1.2.1.- Resistencia cero. Temperatura de transición
superconductora, TC.
La ausencia de resistencia eléctrica, sin embargo, no es en
realidad una propiedad fundamental de un superconductor. Los
cambios más profundos al pasar al estado superconductor se
producen en las propiedades magnéticas del material; las
variaciones en las propiedades eléctricas son consecuencias
inevitables de estos cambios.
Las propiedades magnéticas de un material
superconductor se pueden describir de la siguiente manera. Un
campo magnético nunca penetra en su interior; dado que la
intensidad promedio del campo magnético en el medio es, por
definición, la inducción magnética , se puede decir también que en el interior de un superconductor se tiene siempre
Esta propiedad se presenta independientemente de en qué
condiciones tuvo lugar, de hecho, la transición al estado
superconductor. Así, si al momento de disponer la muestra a un
baño térmico a bajas temperaturas se produce en un campo
magnético, en el momento de la transición las líneas de fuerza
magnéticas “son expulsadas” del cuerpo (figura 1.2).
Figura 1.2.- (a) Caso I. La muestra primero se enfría por debajo de su temperatura de
transición y luego se coloca en un campo magnético. (b) Caso II. La muestra se coloca en un
campo magnético, encontrándose en su estado normal, y posteriormente se enfría por debajo
de su temperatura de transición. (c) Si el campo magnético se aplica cuando la muestra está
en su estado normal, el campo es expelido al enfriarla.
5
Hay que subrayar, sin embargo, que la igualdad no corresponde a una fina capa superficial del cuerpo. Muestra la
experiencia que el campo magnético penetra en el superconductor
hasta una determinada profundidad.
Conforme sabemos, sobre la frontera común a dos medios
cualesquiera la componente normal de la inducción debe ser
continua (esta condición es consecuencia de la ecuación , que siempre se cumple).
Dado que dentro de un superconductor se tiene , sobre su superficie la componente normal del campo exterior debe
ser también igual a cero, es decir, el campo fuera de un
superconductor es siempre tangente a su superficie; las líneas de
fuerza magnéticas ciñen al superconductor.
Teniendo en cuenta esta circunstancia es fácil hallar las
fuerzas que actúan sobre un superconductor que se encuentra en
un campo magnético. Calcularemos la fuerza como se calcularía
en un conductor ordinario en un campo eléctrico mediante la
expresión , donde
(1.3)
es el tensor de Maxwell de tenciones para el campo magnético
vacío. Dado que, en el presente caso, ( es el campo
fuera del cuerpo en su superficie), obtendremos
(1.4)
es decir, sobre la superficie del cuerpo actúa una presión cuyo
valor es igual a la densidad de energía del campo
6
De la ecuación
y de la igualdad se
sigue que dentro del superconductor la densidad media de
corriente es también igual a cero en cualquier punto. En otras
palabras, en un superconductor es imposible que existan
corrientes macroscópicas volumétricas.
La diferencia principal entre los cuerpos superconductores
y los ordinarios se pone de manifiesto, sin embargo, al considerar
la corriente total que atraviesa una sección transversal del cuerpo.
En un cuerpo no superconductor las corrientes superficiales se
compensan siempre entre sí, de modo que la corriente total es
nula. Esta condición queda asegurada por la ecuación
(1.5)
que liga la densidad de corriente con la inducción magnética
dentro del cuerpo y, mediante ella, las corrientes en diferentes
puntos de la superficie. En los superconductores la condición pierde su sentido. En efecto, el paso de un cuerpo ordinario con
una permeabilidad magnética a un superconductor significa,
formalmente, que hay que hacer a la vez y . Pero en estas condiciones el segundo miembro de la ecuación (1.5) se
indetermina con lo cual no existe en esencia ninguna condición
que limite los valores posibles de la corriente.
Llegamos así al importante resultado de que las corrientes
que fluyen por la superficie de un superconductor pueden dar
lugar a una corriente total no nula que circule por la misma.
Naturalmente, esto es sólo posible en cuerpos múltiplemente
conexos (por ejemplo, en un anillo) o bien en un superconductor
simplemente conexo que es parte de un circuito cerrado con la
fuente de fuerza electromotriz necesaria para mantener la
corriente en las partes no superconductores del circuito.
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Es muy importante que la circulación estacionaria de una
corriente total por un superconductor resulte ser posible sin que
exista campo eléctrico. Esto significa que no va acompañada de
disipación de energía para compensar, para la cual sería necesario
el trabajo de un campo exterior. Esta propiedad de un
superconductor puede describirse también diciendo que no existe
en él resistencia eléctrica, que resulta ser, por consiguiente, una
consecuencia necesaria de sus propiedades magnéticas.
La consecuencia de estas propiedades magnéticas de los
elementos superconductores como ya vimos es la llamada cero
resistencia a la corriente eléctrica y que es una de las
características principales de los elementos superconductores, Las
propiedades superconductoras se manifiestan abruptamente a una
temperatura propia de cada material que se le conoce como
temperatura de transición .
Figura 1.3.- Esquema de una transición superconductora muestra la temperatura como
función de la resistencia, para el ejemplo 1 (“puro”) y el ejemplo 2 (“impuro”). La
temperatura crítica indica la mitad de la transición, en la cual la resistencia es la mitad
que en su estado normal. es el principio y es el final de la caída de resistencia.
Un análisis cuidadoso muestra que la transición ocurre en
cierto rango de temperaturas (figura 1.3). En la figura 1.4
podremos ver la mayoría de los elementos que son
superconductores con sus temperaturas críticas, siendo el Niobio
8
quien tiene la mayor temperatura crítica aunque esta no excede los
10 K.
Figura 1.4.- La tabla periódica muestra la mayoría de los elementos que son
superconductores. Aquellos elementos que se muestran en negrita son superconductores a
presión atmosférica. La temperatura critica se encuentra debajo del símbolo químico. El
campo critico dado en Gauss ( Tesla) en el cero absoluto se muestra debajo de la
temperatura critica. Aquellos elementos que solamente llegan a ser superconductores bajo
altas presiones se muestran sombreados.
Onnes no solamente fue quien descubrió la
superconductividad del mercurio ( ), antimonio ( ) y el plomo
( ) sino también fue el primero en encontrar la superconductividad en aleaciones (mercurio-oro y mercurio-
antimonio). La búsqueda de otros materiales superconductores ha
tenido lugar desde entonces y ahora se han encontrado y creado
otros compuestos incrementando la clase de los superconductores.
9
1.2.2.- Diamagnetismo perfecto (Efecto Meissner-Ochsenfeld).
Campos dentro de un superconductor. Corrientes de
apantallamiento.
Incluso en ausencia de una explicación microscópica del
fenómeno de superconductividad, es razonable asumir que la
desaparición de la inducción magnética en el interior de un
superconductor es debido a las corrientes superficiales inducidas.
En presencia de un campo magnético externo la magnitud y la
distribución de estas corrientes están solamente creando un
campo interior opuesto cancelando el aplicado. Una descripción
formal macroscópica de un superconductor en presencia de un
campo externo es de la siguiente forma:
En el interior: , donde es la
magnetización por unidad de volumen;
En la superficie: , donde es la densidad de corriente en
la superficie; y
En el exterior: , donde es el campo
producido por las corrientes superficiales.
Este es su campo el cual provoca la distorsión en la
distribución del campo cerca de un superconductor como en la
figura 1.2.- a). y 1.2.- c).
A pesar de que esta descripción es formalmente correcta,
es más conveniente sustituirla por una equivalente la cual estudie
el superconductor en la presencia de un campo externo como un
cuerpo magnético con un campo interior y la magnetización
como:
En el interior: ;
En la superficie: ; y
En el exterior: , donde ahora es el
campo producido por la magnetización del ejemplo.
10
Como , esta descripción es equivalente con los atributos para los superconductores con magnetización por
unidad de volumen
(1.6)
lo que significa que el superconductor posee una susceptibilidad
diamagnética ideal de
La representación o la aplicación de estas propiedades
magnéticas fueron visualizadas gracias al descubrimiento de un
comportamiento en los superconductores conocido como el
“Efecto Meissner-Ochsenfeld” presentado por dos físicos
alemanes en 1933, Walter Meissner y Robert Ochsenfeld.
Este efecto que no permite la penetración del campo al
interior del superconductor y además es capaz de distinguir dos
tipos de superconductores: los de tipo I, que no permiten en
absoluto que penetre un campo magnético externo (lo cual
conlleva un esfuerzo energético alto, e implica la ruptura brusca
del estado superconductor si se supera la temperatura crítica ), y
los de tipo II, que son superconductores imperfectos, en el sentido
en que el campo realmente penetra a través de pequeñas
canalizaciones denominadas vórtices de Abrikosov, o fluxones.
Para expulsar el campo del interior del material, el
superconductor crea unas corrientes en la superficie denominadas
corrientes de apantallamiento. Únicamente aparecen cuando hay
un campo magnético externo al material, y su misión es crear otro
campo opuestos al exterior, de forma que el resultado de estos dos
campos propicie un campo nulo en el interior.
Como no puede existir en el interior, y una corriente es
una fuente de campo magnético (Ley de Bort-Savart), las
corrientes de apantallamiento no pueden pasar a través del
11
superconductor, porque se crearía campo, sino que fluyen
exclusivamente por la superficie. Su distribución es muy
complicada, y hasta el momento, desconocida para una
configuración genérica.
1.2.3.- Campo crítico y corriente crítica.
El valor de la intensidad de campo magnético longitudinal
para el cual desaparece la superconductividad en un cuerpo
depende del metal de que se trate y también de su temperatura (y
de su presión) es lo que conocemos como campo critico ( ) y resulta además ser una de las características más importantes de
un superconductor.
La transición brusca del estado superconductor al normal
tiene lugar solamente en superconductores puros (tipo I). E la
aleaciones, en cambio, la desaparición de la superconductividad y
la penetración del campo magnético en la muestra se produce de
manera gradual en todo un intervalo de intensidades del campo
relativamente amplio, de modo que el campo critico, en el sentido
que se describe, no existe en ellos.
Existe otro parámetro crítico que imposibilita la transición
al estado superconductor, esta es la corriente crítica. Ya que el
número de electrones superconductores es finito, la cantidad de
corriente que puede soportar el material está limitada al tamaño de
la muestra. Por esto es más conveniente hablar de una densidad de
corriente crítica, es decir, la corriente conducida a través de una
sección del superconductor. Este valor denotado esta dado en
, también como
u otras unidades.
12
1.3.- Clasificación de los materiales superconductores.
Los superconductores se suelen clasificar atendiendo a
distintos criterios:
Por su comportamiento físico; Con relación al tipo de
transición del estado normal al estado superconductor.
Por la teoría que los explica; Diversificado por dos puntos
de vista básicamente, por su estudio desde una perspectiva
microscópica y desde el punto de vista macroscópico.
Por su temperatura critica; Como aquellos que son de baja
temperatura o del alta temperatura.
Por el material; Los clasifica como Puros, aleaciones,
orgánicos, cerámicos, etc.
1.3.1.- Superconductores tipo I y superconductores tipo II.
En 1956 el físico norteamericano H. W. Lewis descubrió
que, para un conjunto de sustancias, algunas de ellas siendo
metales con bajo punto de fusión y otras que tengan propiedades
electrónicas semejantes a dichos metales, existe una relación
común que vincula el campo crítico a la temperatura cero, con la
temperatura de transición. En general, estos superconductores,
llamados suaves, y todos los demás metales de transición que son
superconductores, tienen otras propiedades en común, por
ejemplo la misma longitud de penetración del campo magnético.
Y aunque sólo los primeros, esto es los suaves, muestran la
relación empírica entre el campo crítico y la temperatura de
transición por la similitud de otras propiedades se les conoce
como superconductores de tipo I.
Pero existen otros tipos de superconductores cuyas
características y propiedades son muy técnicas o bien son aún
desconocidas para listar aquí. Y, curiosamente, estos
13
superconductores son los que tienen la mayor aplicación en la
práctica. Entre ellos están los llamados superconductores del tipo
II que pueden formarse haciendo aleaciones de películas delgadas,
formando compuestos con estos superconductores y de otras
maneras diferentes.
La característica esencial de este tipo de superconductores
puede entenderse si recurrimos de nuevo al modelo simple de la
conductividad metálica que hemos expresado con base en el
movimiento de los electrones no localizados por la malla
metálica. Cuando un electrón no localizado viaja por dicha latiz,
choca con los núcleos metálicos fijos en los sitios de la malla. Si
medimos cuál es la distancia promedio que recorre el electrón
entre dos colisiones sucesivas, después de numerosas colisiones,
se obtiene lo que se conoce como la trayectoria libre media.
Claramente, esta cantidad tiene dimensiones de longitud, al igual
que la longitud por la cual penetra el campo magnético en el
experimento de Meissner-Ochsenfeld. Una característica común a
todos los superconductores del tipo I es que la longitud de
penetración del campo magnético (que es del orden de 10-6 cm)
es mucho menor que la trayectoria libre media (que es del orden
de 10-4 cm).
En los superconductores del tipo II ocurre lo contrario y
esto tiene como consecuencia que la forma en que ocurre la
transición superconductiva, cuando un campo magnético está
presente, difiere radicalmente del comportamiento que obedecen
los superconductores del tipo I.
En un superconductor del tipo II existe toda una gama de
valores del campo magnético para los cuales el material es
simultáneamente superconductor y metal normal (Figura 1.5). En
esta región, llamada fase mixta, el material puede ser portador de
una corriente eléctrica sin resistencia y, además, permanecer
como tal aun si se trata de campos magnéticos grandes. Así se han
construido superconductores que, una vez que se establece en
14
ellos una corriente de 20 a 30 amperios, pueden generar campos
magnéticos enormes sin requerir para ello de energía alguna.
Figura 1.5.- El comportamiento del campo magnético crítico para un superconductor I como
función de la temperatura.
Pero retrocedamos un poco para preguntarnos la causa del
fenómeno de la superconductividad. La idea básica al respecto fue
propuesta en 1950 por H. Fröhlich en Inglaterra y John Bardeen
en EUA. De acuerdo con nuestro modelo de un conductor
metálico, los electrones que no están firmemente ligados a los
átomos encuentran una resistencia proveniente de estos últimos en
su desplazamiento a través del metal. La razón es que, en realidad,
estos átomos no están completamente en reposo. Vibran a lo largo
de tres direcciones perpendiculares entre sí, alrededor de sus
posiciones de equilibrio, como si fuesen resortes. Este
movimiento es producido por la resultante de todas las fuerzas
que sobre cada átomo individual ejerce el resto de los átomos que
componen el metal. Y son precisamente estas vibraciones las que
impiden el paso libre de los electrones. Sin embargo, Fröhlich y
Bardeen argumentaron que, a medida que la temperatura
disminuye, las vibraciones dejan de obstruir el flujo de electrones
conduciéndolos como lo hace con un bote un oleaje regular. En
otras palabras, las mismas vibraciones de los átomos se convierten
en el agente que hace que un metal sea superconductor. Y, de
acuerdo al principio de incertidumbre de Heisenberg, esta
15
vibración jamás puede desvanecerse aun en el cero absoluto. Así
pues, a temperaturas muy bajas las vibraciones de los átomos y el
movimiento de los electrones se sincronizan. Al hacerlo, los
electrones viajan suaves y alegremente junto con las vibraciones
como un buen surfer lo hace con la cresta de una ola (Figura 1.6).
Figura 1.6.- El comportamiento del campo magnético crítico para un superconductor del tipo
II como función de la temperatura.
¿Por qué entonces, puede uno preguntar, los metales que
son comparativamente malos conductores a temperaturas
normales son los más aptos para ser buenos superconductores? El
argumento de Fröhlich y Bardeen se basa en que dichos metales
tienen un fuerte efecto dispersor sobre los electrones a
temperaturas altas. Así que al enfriarlos deben tener un fuerte
efecto sobre los electrones a bajas temperaturas cuando las
vibraciones de los átomos y el movimiento de los electrones se
coordinan entre sí. Por lo tanto, entre más pesado sea un
elemento, menor es su posibilidad de convertirse en un
superconductor pues las vibraciones de sus átomos a bajas
temperaturas serán comparativamente más lentas que para un
metal ligero. Así pues, los isótopos más ligeros de un elemento
dado serán superconductores a temperaturas más elevadas que los
pesados. Este efecto fue previsto por Fröhlich y comprobado
experimentalmente.
16
Aun cuando la hipótesis del efecto fuera puesta dentro de un
modelo más riguroso en 1957 por Bardeen, Cooper y Schrieffer
en EUA y por N. N. Bogoliubov en la URSS, las correspondientes
teorías no ofrecían entonces una forma confiable de predecir qué
sustancias son candidatos viables a convertirse en
superconductores ni la temperatura en que se daría el fenómeno.
La solución al problema fue encontrada, también en 1950, por B.
T. Matthias y John K. Hulm, en EUA, quienes con gran paciencia
probaron un compuesto tras otro hasta que, paulatinamente, fue
emergiendo la regla deseada. El factor decisivo para determinar
qué tan fácilmente un compuesto se convertía en superconductor a
bajas temperaturas es el número de electrones de valencia. Éstos
son los que se encuentran menos ligados al núcleo atómico y
determinan la afinidad química del compuesto. Los únicos
compuestos o elementos que se transforman en superconductores
son aquellos que, en promedio, tienen entre dos y ocho electrones
de valencia por átomo. Y en este intervalo, los materiales con
número impar de electrones de valencia por átomo, tres, cinco o
siete, son los que se convierten en superconductores con mayor
facilidad.
Figura 1.7.- Electrones superconductores (líneas onduladas en la parte izquierda de la figura)
interaccionan en forma ordenada con los átomos de un cristal (círculos negros). Los
electrones ordinarios son desviados por los átomos (parte derecha de la figura).
Así que hoy en día se cuenta con una guía muy específica
para sintetizar superconductores. Desde luego esta condición no
es única, existen otros factores que también son determinantes.
Por ejemplo, se sabe que la superconductividad es favorecida por
17
ciertas estructuras cristalinas, por el espacio del cristal no ocupado
por átomos, etc. Esto ha dado lugar a innumerables compuestos
formados por elementos que por sí mismos no son
superconductores pero cuya combinación sí lo es. El silicio y el
cobalto constituyen un caso típico. El silicio no es metal, ni
siquiera es un buen conductor de la electricidad. El cobalto tiene
dos peculiaridades que lo descalifican completamente como
superconductor: nueve electrones de valencia y es fuertemente
magnético, como el hierro. Sin embargo, si ambos se combinan
para formar una estructura cúbica simple se convierten en un
superconductor, pues el silicio neutraliza el poder magnético del
cobalto y reduce el número promedio de electrones de valencia
por átomo hasta caer en el intervalo apropiado.
Hasta hace poco, digamos los últimos cinco años, la
tendencia en la investigación científica en este campo se ha
polarizado fuertemente hacia la búsqueda de materiales
superconductores que sean interesantes desde el punto de vista
científico y tecnológico. Y el descubrimiento más interesante a lo
largo de estas líneas lo constituyen los llamados superconductores
exóticos, esto es, superconductores que muestran propiedades
inesperadas y que hasta hoy exhiben un comportamiento que no
ha sido posible interpretar teóricamente. Así, los investigadores
intentan sintetizar este tipo de compuestos pues cada nuevo
miembro de esta clase de materiales arroja nueva evidencia sobre
el comportamiento de tales materiales a bajas temperaturas.
De entre todas estas clases de materiales, quizás lo más
impactante sean los superconductores orgánicos, descubiertos por
investigadores de la compañía Dupont a principios de la década
de los años sesenta, con los que el vasto campo de la química
orgánica se abrió al campo de la física de los metales. La
temperatura de transición más alta reportada hasta 1984 en los
superconductores orgánicos es de 2.3 K, así que la búsqueda de
este tipo de compuestos con temperaturas de transición mayores
continúa.
18
No obstante estos adelantos, el impacto más sorprendente
en el campo de la superconductividad se produjo cuando en el
mes de enero de 1986 Karl A. Müller y Johannes G. Bednorz, de
los laboratorios de investigación de la IBM en Zurich, Suiza,
anunciaron que un óxido de bario, lantano y cobre exhibía
propiedades superconductoras a 35 K. El descubrimiento, por el
cual Müller y Bednorz fueron galardonados con el premio Nobel
de Física en 1987, desató una verdadera oleada de trabajos
experimentales y teóricos conocidos ahora con el nombre de
superconductividad a temperaturas altas. En unos cuantos meses,
varios grupos de investigadores, entre ellos S. Tanaka de Tokio,
P.W.C. Chu de Houston, B. Battogg de la compañía Bell
Telephone, informaron sobre diferentes compuestos
superconductores cuya temperatura crítica era de hasta 90 K.
Según Paul Chu, de la Universidad de Houston, Texas, con un
poco de suerte será posible llegar a obtener superconductores con
temperaturas hasta de 240 K.
Pero la euforia inicial se ha visto un poco ensombrecida por
un sinnúmero de dificultades y hasta ahora sólo ha sido posible
fabricar tales compuestos, por cierto de estructura un tanto
complicada, en el laboratorio. Alrededor de estos materiales se
concibieron fabulosas aplicaciones tecnológicas que no nos
detendremos aquí a enumerar. Las expectativas, aunque
promisorias y atractivas, todavía están muy lejos de poderse
alcanzar a nivel tecnológico.
1.3.1.2.- Superconductores de alta temperatura (HTSC).
Tras algunos años de relativo estancamiento, en 1986
Bednorz y Müller descubrieron que una familia de materiales
cerámicos, los óxidos de cobre con estructura de perovsquita, eran
superconductores con temperaturas críticas superiores a 90 K.
Estos materiales, conocidos como superconductores de alta
temperatura, estimularon un renovado interés en la investigación
19
de la superconductividad. Como tema de la investigación pura,
estos materiales constituyen un nuevo fenómeno que no se explica
por las teorías actuales. Y, debido a que el estado superconductor
persiste hasta temperaturas más manejables, superiores al punto
de ebullición del nitrógeno líquido, muchas aplicaciones
comerciales serían viables, sobre todo si se descubrieran
materiales con temperaturas críticas aún mayores.
1.4.- Diversos tipos de materiales superconductores.
La propiedad que encontró Onnes en el mercurio se ha
logrado verificar hasta hoy en día en más de la mitad de los
metales conocidos. Estos incluyen los llamados metales simples,
aluminio, galio, indio, talio, estaño, plomo y, también, un grupo
grande de los llamados metales de transición, que incluyen al
titanio, vanadio, circonio, niobio, molibdeno y otros conocidos
como tierras raras.
Curiosamente, no existen metales superconductores
monovalentes ni tampoco hexavalentes. Para cada uno de los
metales señalados existe una temperatura característica a la cual el
valor residual de la resistencia eléctrica se hace cero. Para el
mercurio es de 4.15 K. El niobio exhibe la más alta entre los
metales puros, 9.46 K. A esta temperatura característica de cada
metal se le conoce como temperatura de transición. La transición
superconductiva ocurre dentro de un intervalo de .001 K alrededor
de la temperatura de transición, razón por la cual se puede medir
con mucha precisión.
Pero la superconductividad no es sólo una propiedad
característica de algunos metales. Hoy en día se conocen más de
mil aleaciones y otros compuestos que exhiben esta propiedad.
En la siguiente tabla (tabla 1.1) podremos ver una serie de
elementos, compuestos y aleaciones conocidos como
superconductores con sus respectivas temperaturas críticas .
20
Tabla 1.1.- Algunos materiales superconductores.
Elemento,
Compuesto o
Aleación
Temperatura critica ,
Aluminio (Al) 1.19
Cadmio (Cd) 0.56
Galio (Ga) 1.09
Indio (In) 4.404
Iridio (Ir) 0.14
Lantano- (La) 5
Lantano- (La) 6
Plomo (Pb) 7.18
Mercurio- 4.153
Mercurio- 3.95
Niobio (Nb) 9.46
Osmio (Os) 0.66
Protactinio (Pa) 1.4
Renio (Re) 1.698
Rutenio (Ru) 0.49
Tántalo (Ta) 4.482
Tecnecio (Tc) 7.75
Talio (Tl) 2.39
Torio (Th) 1.37
Estaño (Sn) 3.72
Titanio (Ti) 0.39
Tungsteno (W) 0.012
Uranio- (U) 0.68
Uranio- (U) 1.8
Vanadio (V) 5.144
Cinc (Zn) 0.875
Circonio (Zr) 0.546
N -Ge 23.3
N Sn 18.07
21
N Al 18.0
Nb-Sn 17.91
Si 16.3
Ga 15.3
Nb-N 16
YB C O 92
BiSrCaCuO 125
Curiosamente, existen también aleaciones que exhiben la
transición superconductora sin que ninguno de los elementos
integrantes sea un superconductor. Ejemplos de ellos son el -Sr
con una temperatura de transición de 5.62 K y una aleación de
platino antimonio (Pt-Sb), cuya temperatura de transición es de 21
K.
1.5.- Teorías principales.
La superconductividad fue descubierta en 1911, veinte y
tres años después (1933) el “Efecto Meissner-Ochsenfeld” y dos
años más tarde (1935) los hermanos London propusieron una
teoría simple para poder explicar el efecto Meissner-Ochsenfeld.
En 1950 Ginzburg y Landau publicaron una avanzada
teoría macroscópica que describe la superconductividad en
términos de un parámetro de orden, y además dieron una
generalización de las ecuaciones de London.
En ese mismo año Fröhlich predijo el efecto isótopo (que
vinculó la superconductividad con la red cristalina) donde la
temperatura de transición de un superconductor decrece cuando su
masa atómica disminuye, esta fue una predicción confirmada por
Maxwell y Reynolds en 1950.
En 1957 Bardeen, Cooper y Schieffer propusieron una
teoría microscópica que hoy en día presenta una comprensión
22
teórica de la naturaleza de la superconductividad. La teoría se
basa en el hecho de que los portadores de carga no son los
electrones sino parejas de electrones mejor conocidos como
“pares de Cooper”
- Teoría de London.
Plantea dos ecuaciones, las cuales describen los campos
eléctrico y magnético dentro de un superconductor para la
densidad de corriente :
(1.7)
(1.8)
La constante de proporcionalidad en esta expresión es la
profundidad de penetración de London .
- Teoría de Ginzburg-Landau.
Por su carácter macroscópico (fenomenológico) esta teoría
no fue muy aceptada por los científicos de la época. Esta teoría
proporciona una buena descripción de muchas de las propiedades
de ambos tipos de superconductores, los convencionales y los de
altas temperaturas. Esta teoría asume que en estado
superconductor la corriente es llevada por súper-electrones de
masa , carga , y densidad .
- Teoría BCS (Barden, Cooper, Schieffer).
Provee de una teoría general microscópica que
cuantitativamente predice varias propiedades de los
superconductores. Valiéndoles lo necesario para ganar el premio
nobel de física en 1972 ya que explica satisfactoriamente el
fenómeno de superconductividad. Esta teoría se pudo desarrollar
gracias a dos pistas fundamentales ofrecidas por físicos
23
experimentales a principios de los años cincuenta: el
descubrimiento del efecto isotópico, y el descubrimiento de Lars
Onsager en 1953 de que los portadores de carga son en realidad
parejas de electrones.
1.6.- Aplicaciones.
Los imanes superconductores son algunos de los
electroimanes más poderosos conocidos. Se utilizan en los trenes
maglev:
Figura 1.8.- Esquema de funcionamiento por levitación magnética en el tren maglev.
En máquinas para la resonancia magnética nuclear en
hospitales y en el direccionamiento del haz de un acelerador de
partículas:
24
Figura 1.9.- Imagen obtenida de una resonancia magnética.
También pueden utilizarse para la separación magnética, en
donde partículas magnéticas débiles se extraen de un fondo de
partículas menos o no magnéticas, como en las industrias de
pigmentos.
Los superconductores se han utilizado también para hacer
circuitos digitales y filtros de radiofrecuencia y microondas para
estaciones base de telefonía móvil.
Los superconductores se usan para construir uniones
Josephson, que son los bloques de construcción de los SQUIDs
(dispositivos superconductores de interferencia cuántica), los
magnetómetros conocidos más sensibles. Una serie de
dispositivos Josephson se han utilizado para definir el voltio en el
sistema internacional (SI). En función de la modalidad de
funcionamiento, un cruce de Josephson se puede utilizar como
detector de fotones o como mezclador. El gran cambio en la
resistencia a la transición del estado normal al estado
superconductor se utiliza para construir termómetros en detectores
de fotones criogénicos.
25
Están apareciendo nuevos mercados donde la relativa
eficiencia, el tamaño y el peso de los dispositivos basados en los
superconductores de alta temperatura son superiores a los gastos
adicionales que ellos suponen.
Aplicaciones futuras prometedoras incluyen
transformadores de alto rendimiento, dispositivos de
almacenamiento de energía, la transmisión de energía eléctrica,
motores eléctricos (por ejemplo, para la propulsión de vehículos,
como en vactrains o trenes maglev) y dispositivos de levitación
magnética. Sin embargo la superconductividad es sensible a los
campos magnéticos en movimiento de modo que las aplicaciones
que usan corriente alterna (por ejemplo, los transformadores)
serán más difíciles de elaborar que las que dependen de corriente
directa.
26
CAPITULO II. DESARROLLO DEL MODELO DE
INTERACCIÓN MAGNÉTICA ELEMENTOS
SUPERCONDUCTIVOS.
2.1.- Introducción.
Un anillo ideal fino, sin resistencia eléctrica, tiene una
propiedad común de conservar el flujo magnético en su interior,
que se pasa a través de una superficie limitada por este mismo
anillo[6] y con una corriente se puede considerar como un magneto permanente, cuya resistencia eléctrica no es mayor que
Dm-cm [10]. Un superconductor es, además de un
conductor ideal, un diamagnético ideal, efecto conocido como de
Meissner-Oxenfeld. Desde el punto de vista de la electrodinámica
tecnológica de superconductores [11] la inducción magnética
dentro de un volumen del superconductor siempre es igual a cero
( ). Esta propiedad no depende de las condiciones de
transmisión del cuerpo en estado superconductivo. Como
consecuencia de la ecuación de Maxwell en la frontera
de dos cuerpos, la componente normal de inducción de campo
magnético debe ser igual a cero. Debido a que dentro del
superconductor , sobre la superficie de la componente normal del campo magnético externo también es igual a cero.
Esto significa que el campo magnético en cualquier punto fuera
del superconductor es siempre tangente a la superficie de él. Las
líneas magnéticas son curveadas en relación al cuerpo
superconductivo.
De acuerdo con la ecuación de Maxwell, el campo
magnético permanente en un material. El con la
condición de que , de esto se sigue que dentro de un
superconductor la densidad de corriente media también es igual a
cero. En otras palabras, en cualquier cuerpo superconductivo
ninguna corriente volumétrica es imposible.
27
Cualquier corriente eléctrica en un superconductor, es una
corriente superficial. Tanto el campo magnético como la corriente
eléctrica penetran a una profundidad de London del superconductor que está aproximadamente dentro del intervalo de
[4,6] m, por esta razón, se pueden encontrar diferentes
ecuaciones de inductancia propia en un superconductor. Por
ejemplo, el campo magnético con variación de la profundidad se
determina por la formula .
Dentro del conductor la energía magnética es
( es el elemento de volumen), que puede
representarse para un superconductor fino como
,
donde es la corriente eléctrica y es la inductancia interna. De estos datos podemos encontrar una relación para la inductancia
interna en un superconductor de longitud unitaria.
(2.1)
donde es diámetro del conductor.
Entonces el anillo ideal y el anillo superconductivo tienen
una diferencia en la inductancia interna , que necesita sumarse a la inductancia propia del anillo ideal para tomar en cuenta el
campo magnético externo. Para simplificar el análisis se emplea el
concepto de corriente ideal.
Si un superconductor se representa por un alambre
entonces, en caso de ausencia de campo magnético externo, es
posible esperar una circulación de las corrientes superficiales
estacionarias.
En el caso de superconductores no finos. Las corrientes
eléctricas superficiales pueden pasar estacionariamente sin fuerza
electromotriz. El flujo magnético a través de la superficie limitada
por un anillo superconductivo se determina por la relación:
28
(2.2)
donde es la corriente eléctrica y es la inductancia del anillo. Si
el anillo superconductivo está dentro de un campo magnético
externo, entonces el flujo magnético total a través de dicha
superficie consta del flujo propio del superconductor y del
flujo del campo magnético externo.
La propiedad más importante en cualquier anillo
superconductivo es que cualquier variación, tanto del campo
magnético externo como de la corriente en el anillo, el flujo
magnético total a través de la superficie limitada por el anillo
mismo siempre permanece constante:
(2.3)
Esta propiedad sigue directamente de la forma integral de
Maxwell escrita para un área fuera del superconductor:
(2.4)
Debido a que la componente tangencial del campo
eléctrico sobre la superficie es igual a cero, entonces
, de aquí se sigue que .
Este resultado es muy importante debido a que la
permanencia del flujo magnético a través de cualquier anillo
superconductivo se conserva no sólo en el caso de la variación del
campo magnético externo, sino también en el caso de una
variación en la forma del anillo, por ejemplo, el desplazamiento
del anillo en el espacio.
29
2.2.- Interacción magnética de dos anillos superconductivos.
Se considera un sistema dinámico formado por dos
contornos cerrados finos en los que circulan las corrientes , en cada uno de ellos y se tiene una interacción magnética. En el
caso general tal sistema está caracterizado por un número de
variables generalizadas , para el caso considerado,
éstas son:
Variables eléctricas:
Variables mecánicas:
donde es la coordenada generalizada, es la velocidad
generalizada, es la fuerza generalizada que sólo
depende de la posición es el impulso generalizado con
La energía potencial y cinética de éste sistema está
determinado por:
(2.5)
(2.6)
Desde el punto de vista de la electrodinámica clásica la
fuerza de interacción magnética de dos anillos con las corrientes
e se determinan de la ley experimental de Ampere.
ó
(2.7)
30
Para dicho sistema las corrientes son:
(2.8)
Entonces podemos volver a escribir esta ecuación (2.7)
como:
(2.9)
La fuerza magnética está expresada a través de los flujos
magnéticos por la ecuación (2.9) y una coordenada en el caso
lineal [13]. Como una primera definición se puede dar el siguiente
lema.
LEMA: Si las relaciones entre los parámetros del sistema
están determinadas como:
(2.10)
Entonces se aseguran las condiciones necesarias y
suficientes para el cambio de signo de la fuerza magnética entre
anillos finos, duros e ideales en el punto 1< ∞, donde 1 es una distancia más grande que las distancia
entre dos anillos.
Considerando que es una función monótona de ,
continuamente diferenciable y siempre disminuye.
Por lo tanto la derivada parcial
entre la distancia
es negativa y nunca puede ser igual a cero. Entre tanto el
producto siempre es mayor que de la ecuación (2.10).
31
Por esta causa el denominador de la ecuación: (2.9) no puede ser
igual a cero.
Así de la ecuación (2.9) podemos encontrar las siguientes
dos condiciones:
(2.11)
(2.12)
Cuando la fuerza magnética es igual a cero, las ecuaciones
(2.11) y (2.12) reflejan las condiciones necesarias de igualdad a
cero de la fuerza magnética, para que podamos asegurar las
condiciones (2.11) y (2.12) los flujos y deben tener el mismo signo.
Pero también se puede demostrar que cualquiera de las dos
ecuaciones no solamente representan las condiciones necesarias,
si no, también suficientes.
Suponiendo que y se aplica la condición necesaria
para la ecuación (2.11) utilizando las ecuaciones , utilizando y se determina la
derivada de la fuerza magnética con respecto a , en el punto
, entonces;
(2.13)
En el caso de asegurar la condición de la ecuación (2.11) y
cuando , el numerador de la ecuación (2.13)
es positivo, el flujo permanente y el resto de los miembros de
la ecuación (2.13) son positivos, esto significa que
.
Entonces las derivada parcial de la fuerza magnética con
respecto a las distancia , en el punto donde esta asegurada la
32
condición necesaria para la ecuación (2.11) es negativa, esto
mismo se relaciona sobre la ecuación (2.12).
El signo negativo del miembro derecho de la ecuación
(2.13) nos dice que la derivada parcial de segundo orden de
energía magnética potencial con respecto a en el punto es positiva, donde se asegura la condición necesaria de un mínimo
de energía potencial. Por lo tanto como una segunda definición
podemos dar el siguiente teorema:
TEOREMA: La energía potencial de interacción
magnética entre dos anillos ideales , que
se representan por una función continuamente diferenciable sobre
un intervalo de distancia tiene un mínimo en el punto
∞ con las condiciones determinadas por el lema.
La energía potencial de interacción magnética de dos
anillos ideales se determina a través de los flujos magnéticos
permanentes y las coordenadas mecánicas
como:
(2.14)
Es conocido [12] que la energía de un campo magnético
expresada a través de los flujos magnéticos y las coordenadas es
la energía potencial. Por esta causa la fuerza magnética puede
ser determinada como la derivada parcial de la energía potencial
de la ecuación (2.14) con signo negativo, es decir:
(2.15)
33
En caso de que o
según
la ecuación (2.10) el numerador del primer miembro del producto
de la ecuación (2.15) puede ser igual a cero.
La derivada parcial de energía de la ecuación (2.14) de
segundo orden en el caso anterior es:
(2.16)
El segundo término de la ecuación (2.16) es igual a cero
en virtud de que la ecuación (2.10),
. Por esta causa el
signo de
se determina por el signo de
, es decir, por la
expresión:
(2.17)
Por lo tanto la derivada parcial de segundo orden con
respecto a es positiva . Esto significa que
se está asegurando la condición de existencia del mínimo de .
Con la condición de que
. Entonces como una tercera
definición podemos usar la siguiente consecuencia:
CONSECUENCIA: La energía magnética potencial entre
dos anillos finos, duros e ideales axialmente colocados con las
corrientes eléctricas por una coordenada mecánica , tiene un mínimo en el punto en el caso de asegurar la condición de flujos magnéticos permanentes de las
superficies limitadas por los mismos anillos, esto es,
En el caso particular de dos anillos coaxiales y paralelos
con una distancia entre los planos es , es el radio y es el
34
diámetro del anillo podemos hacer los siguientes cálculos:
1.- La energía potencial adimensional.
(2.18)
2. – La fuerza magnética adimensional.
21+ 22122 ,2 2 (2.19)
3. – La dureza de interacción magnética.
2 2 4 ,2 2 4 2+11+ 2 4 1+ 2 + 2 2 2 +1+4 34 21+ 2 2 ,2 2 2 (2.20)
Donde:
La energía magnética, la fuerza y la dureza con
dimensiones son representadas por y respectivamente,
es el flujo magnético permanente de anillos;
;
; ; ;
son las integrales elípticas de primero y segundo orden de los módulos:
es módulo adicional.
y son las inductancias propias y mutuas, determinadas por las siguientes fórmulas:
35
Desde el punto de vista de aplicación de este simple modelo, se
puede utilizar como un elemento en un sistema de control.
2.3.- Interacción magnética anillo-dipolo.
Se considera un sistema simple de dos anillos
superconductores finos arbitrariamente colocados en el espacio
figura 2.1. En el caso especial un anillo es el superconductor y el
otro es una corriente normal energizando al primero. Así, para el
anillo superconductor el flujo magnético es permanente y para el
anillo normal el flujo de corriente es a través del segundo.
La ubicación y orientación de cada anillo en el espacio son
determinadas por la posición del centro de la circunferencia, el
vector normal sobre el plano de la circunferencia y el radio.
Los parámetros , , , y , son las normales, los
vectores de radio y los radios de primer y segundo anillos
respectivamente. El vector relaciona los centros de los anillos:
36
Figura 2.1.- Esquema de dipolo P-M y anillo fino de SC.
El sistema de energía depende de variables mecánicas que
especifican la ubicación del anillo, velocidad y corriente que
fluyen a través de estos, considerando y como un conjunto de variables de LaGrange asociadas con el movimiento mecánico del
anillo (no con la interacción magnética); es una carga que fluye
a través de una sección del contorno superconductivo fijo, i.e.
; es un valor análogo para la corriente del anillo,
i.e. .
El método de Rauth [15] para la eliminación de la
coordenada cilíndrica transfiere el resultado de la ecuación
dinámica del sistema en un sistema modificado equivalente.
Entonces la función de Lagrange es definida fuera del sistema
modificado de Rauth. Con esta transformación se transfiere una
parte de energía cinética en energía potencial en el sistema
modificado de Rauth. Debido a este hecho H. Hertz [16] concibió
para la energía potencial del origen cinético. Para una descripción
matemática formal, se muestra que la interacción magnética entre
el imán permanente y el anillo superconductor, están en rigurosa
concordancia con el principio de Hertz.
37
Definiendo y como coordenadas eléctricas del sistema
de interacción del anillo y , son velocidades correspondientes
a estas coordenadas. Para el sistema de coordenadas escogido, la
energía del sistema se encuentra dada por:
(2.21)
donde es la energía cinética del movimiento mecánico del
anillo que depende de y , la expresión de es:
(2.22)
Entonces, de acuerdo al principio de Hertz toda la energía
del sistema es cinética. Considerando las condiciones de
estabilidad de corriente en el segundo contorno como una relación
dependiente del tiempo.
(2.23)
En conjunto con la ecuación (2.23), el sistema de
coordenadas generalizadas son coordenadas mecánicas y , y
coordenadas eléctricas . La función de LaGrange está dada por:
(2.24)
Con la velocidad generalizada la función de Lagrange no
es cuadrada. Entonces no depende de , la coordenada es
cíclica. Y se puede obtener el impulso del sistema generalizado
correspondiente a , i.e.
(2.25)
38
Entonces:
(2.26)
La función de Rauth es:
(2.27)
De la ecuación (2.26) y ecuación (2.27) se puede obtener la
siguiente expresión de la función de Rauth.
(2.28)
Dado que la coordenada es cíclica, todos los resultados del movimiento del sistema tienen un impulso
(2.29)
La ecuación (2.25) denota que y refleja
un flujo muy bien atrapado a través de la superficie limitada por el
contorno con perfecta conductividad. De acuerdo con el método
de Rauth, después de la eliminación de la coordenada cíclica los
resultados del movimiento del sistema están completamente
definidos a través de la solución de la ecuación de LaGrange para
algunos sistemas modificados la función LaGrange estará dada
como
(2.30)
En este caso, la coordenada mecánica generalizada x se
vuelve un sistema modificado de coordenada generalizada. La
energía cinética del sistema modificado es:
(2.31)
39
y la energía potencial es dada por:
(2.32)
El último miembro constante en la ecuación (2.28) puede
ser despreciado para la expresión de la energía potencial.
Entonces, la fuerza magnética entre dos anillos es:
(2.33)
que es la verdadera expresión de la verdadera fuerza magnética
física. La ecuación (2.33) muestra que la fuerza magnética cambia
de signo en el punto donde i.e.
. Que es el
mismo punto del sistema modificado donde la energía potencial
es mínima [13].
2.4.- Determinación de regiones estables.
Para obtener las condiciones de levitación analíticamente, se
escoge la geometría más simple del anillo superconductivo y un
anillo fino con conductividad perfecta. Para el propósito de estas
pruebas, el tamaño del magneto permanente fue mucho más
pequeño que el diámetro del anillo superconductivo. Esto
permitió considerar al magneto permanente como un dipolo
magnético. El centro del anillo con conductividad perfecta
coincide con la coordenada cilíndrica del sistema inicial. El plano
del anillo es perpendicular a la dirección de la dureza de
gravitacional. La ubicación del dipolo es descrita a través de las
variables del sistema de coordenadas cilíndricas . La
orientación del dipolo es controlada por los ángulos que definen la dirección del vector de momento magnético en el
40
sistema de coordenadas esféricas para la misma preferencia del
eje z. La fuerza gravitacional tiene dirección opuesta al eje z.
Para el campo gravitacional uniforme, la energía potencial
del sistema es dada por:
(2.34)
Donde de acuerdo a la ecuación (2.26) –
es
el flujo magnético a través del plano del anillo superconductivo:
es la inductancia mutua del dipolo y el anillo-Sc.
La inductancia mutua del dipolo y el anillo-Sc pueden ser
expresadas por [17]
(2.35)
donde es el campo magnético del anillo-Sc creado por la
corriente es la superficie de contorno cerrado que describe
el dipolo; es la superficie normal. Entonces, La normal
define la dirección dipolar infinitamente pequeña.
La ecuación (2.35) puede rescribirse como:
(2.36)
donde es un campo magnético del contorno del anillo que lleva
una sola corriente. Caso similar a , es expresada a través de
integrales elípticas completas en el sistema de coordinas
cilíndricas. Además, la energía potencial del sistema también
puede ser expresada a través de integrales elípticas completas.
41
Sin embargo, para la investigación de la estabilidad del
sistema, basta con tener la energía potencial desintegrada a través
de una serie de parámetros pequeños de hasta el segundo orden
de evaluación. Entonces, con respecto a , se tiene que
(2.37)
donde es un momento del dipolo magnético, y ,
son componentes de campo magnético en la coordenadas
cilíndricas del sistema. Las expresiones son:
(2.38)
donde a es el radio del anillo con corriente que crea el campo .
Por lo tanto, con la exactitud requerida, la energía potencial
se expresa a través de las funciones elementales. El sistema
presentado posee una simetría geométrica al eje . Por eso la
coordenada no está en la expresión de la energía potencial (2.34). Por esta razón, el mínimo de energía potencial puede estar
solo en el eje . De las ecuaciones (2.26) y (2.33) se puede
obtener la expresión de la componente de la fuerza magnética.
(2.39)
donde .
Las componentes de fuerza comienzan en cero sobre
la marca del eje con o . En la prueba realizada
42
donde se hicieron cambios de de 0 a se observa que es
equivalente físicamente al momento magnético con cambio de
signo. Con la fuerza de peso, el punto de equilibrio puede no
coincidir con el cero de la fuerza magnética, por consiguiente,
todos los componentes de la fuerza magnética, excluyendo , automáticamente se convierten a cero por el sistema de
coordenadas simétrico. La fuerza del peso puede equilibrar el
componente de la fuerza magnética. Con la suma de la fuerza
magnética y el peso, igual a cero, se puede obtener cualquier
punto en el eje debido a los parámetros magnéticos y la correlación de masa magnética bajo la condición que la fuerza
magnética se dirija hacia arriba. Así, para la condición de
estabilidad del sistema de equilibrio basta con investigar la
energía potencial (2.32) en el segundo orden de pequeñas
desviaciones de coordenadas alrededor del punto de equilibrio. Se
puede observar que la energía potencial del campo de peso
uniforme es el eje lineado.
Por eso el parámetro puede ser descartado en las
condiciones de estabilidad del sistema. Para conveniencia del caso
estudiado, con las suficientes condiciones de un sistema mínimo
de energía potencial las siguientes variables a dimensionales son
introducidas:
(2.40)
Definiendo la dirección del dipolo y las variables
excluyen la incertidumbre del parámetro en el orden a la
orientación dipolar paralelo al eje . Finalmente, la energía potencial del sistema es estimada como:
43
(2.41)
donde
La condición suficiente del mínimo de energía potencial es
que la matriz debe ser definida positiva en el punto de equilibrio.
(2.42)
donde
Componentes de Hessiano vuelven a deferir de cero.
De acuerdo al criterio de Silvestre para que las condiciones
sean definas positivamente deben de cumplir las siguientes
desigualdades:
;
; (2.43)
;
.
La fuerza magnética en el eje es:
(2.44)
44
donde:
(2.45)
3 .
Finalmente hay tres condiciones estables [18]:
(2.46)
Entonces las condiciones suficientes estarán dadas por , y
las condiciones necesarias por , entonces puede esto permitir
solo localizar la suspensión del imán. Esto significa que el
equilibrio del dipolo magnético puede ser realizado si es puesto
bajo el anillo superconductor.
Las condiciones resultan en una solución existente desde
. En este caso los valores y siempre tienen
signo similar. Las variaciones tienen un amplio rango de
∞
Los resultados de los experimentos numéricos para la
determinación de regiones estables de levitación en anillos
superconductores libres en el campo de gravitación son mostradas
en la figuras 2.2, 2.3 y en la figuras 2.4, 2.5. Las curvas limite
corresponden a las tres condiciones de estabilidad:
Los cálculos están realizados con valores diferentes para los
parámetros
y
.
donde:
.
45
( ) – las inductancias internas y mutuas,
–los flujos magnéticos extinguidos en los anillos.
Figura 2.2.- Región de estabilidad en 1.0;1.0 p
Figura 2.3.- Región de estabilidad en 1.0;2.0 p
Las curvas 1,2,3 se construyeron para los valores (а)
1.0,1.0 p (b) 1.0,2.0 p como se muestra en las figuras 2.2
y 2.3.
46
Figura 2.4.- Región de estabilidad en 4.0;2.0 p
En la figura 2.4 y 2.5 la región de estabilidad está representada por los
siguientes parámetros: (a) 4,0;2,0 p (b) 6,0;2,0 p
Figura 2.5.- Región de estabilidad en 6.0;2.0 p .
Como uno puede ver en las graficas la región de estabilidad depende de las
relaciones entre los radios de los anillos y de la relación de los flujos
magnéticos los cuales penetran las superficies limitadas por los contornos
superconductivos.
47
CAPITULO III. EXPERIMIENTO.
3.1.- Introducción.
En este experimento investigaremos algunas de las
propiedades de un superconductor que alcanza sus propiedades en
nitrógeno líquido.
Como un problema práctico, 77°k, el punto de ebullición
del nitrógeno líquido, es un importante suceso porque el nitrógeno
liquido es relativamente barato y fácilmente disponible. Así de
este modo la posibilidad de un uso a gran escala de dispositivos
superconductivos puede ser prevista. Sin embargo, los materiales
de altas temperaturas encontrados son todos duros y cerámicos
frágiles, y esto dificulta su fabricación.
3.2.- Consideraciones de seguridad y precauciones de manejo.
El nitrógeno líquido puede causar serios daños en los ojos
o en la piel. Siempre se deben usar lentes o gogles de seguridad
cuando se está trabajando con él. Si los lentes de protección no
vienen en el kit hay que comprarlos o solicitarlos al proveedor.
Siempre se deben manejar los superconductores con las pinzas
incluidas en el kit (figura 3.1).
48
Figura 3.1.- Muestra el equipo de protección para el experimento: Guantes y notas de
carnaza, cubre bocas, goles, careta y bata de trabajo.
Muchos de los compuestos de metales pasados son
venenosos; esto incluye, en particular, el bismuto usado en
algunos de los superconductores. Hay que lavarse las manos
después de terminar.
Los ejemplos de superconductores son fácilmente dañados
por humedad. Cuando culmine el día, debe secar cuidadosamente
y a fondo con una secadora de cabello. Entonces hay que
envolverlos muy apretados en una bolsa de plástico.
3.3.- Desarrollo.
Para facilitar las lecturas y el análisis de los datos en la
experimentación del llamado “efecto Meissner-Ochsenfeld” y
conforme a lo previsto en la sección 1.2.1 realizamos lecturas de
la inducción magnética de un superconductor (YBCO y BSCCO)
en función de la distancia entre la punta del dinamómetro y la
superficie del superconductor.
Del mismo modo en un ejercicio posterior realizamos
lecturas de la fuerza magnética en función de la distancia entre el
disco superconductor y el imán.
En este experimento utilizamos un “kit” producido por
Colorado Superconductor Inc. (CSI) que contiene:
1 disco superconductivo (YBCO o BSCCO) de 1”
de diámetro.
49
Figura 3.2.- Discos superconductores utilizados en el experimento
1 contenedor.
Figura 3.3.- Contenedor de aluminio utilizado para colocar los superconductores, los
magnetos y el nitrógeno.
1 par de tenazas no magnéticas.
50
Figura 3.4.- Pinzas no magnéticas, con las cuales se realizaron los movimientos tanto de los
superconductores como de los magnetos.
2 Magnitos de tierras raras.
Figura 3.5.- Imanes con los cuales se realizaron las pruebas.
En la figura 3.6 veremos un esquema del acomodo del
instrumental para efectos de la realización de las pruebas.
Figura 3.6.- Muestra el dinamómetro para la medición de la fuerza magnética, el teslómetro
para medición de la inducción magnética, la báscula y el contenedor.
51
3.4.- Graficas y tablas.
Para los compuestos superconductores YBCO y BSCCO
se coloco la muestra en el recipiente como se muestra en la figura
3.7. En este momento en superconductor se encontraba en su
estado normal (no superconductor) se procedió a enfriar la
muestra con nitrógeno liquido cuya temperatura de ebullición es
de ( ) para llevarlos hasta su temperatura de
transición a ( ) y ( ) respectivamente
en eventos independientes.
Figura 3.7.- La muestra se lleva a temperaturas por debajo de su temperatura de transición
para luego aplicarle un campo magnético (imán) y comenzar a ver el efecto.
Las lecturas se comenzaron a tomar con se muestra en la
figura 3.8. con el teslómetro, la altura la variábamos con el
manubrio del dinamómetro.
52
Figura 3.8.- Lecturas tomadas cada 5 milímetros, colocando la sonda en el camino de la las
líneas de flujo magnético.
Una vez que el propio recipiente de aluminio alcanzo su
equilibrio térmico, a partir de ahí se obtuvieron la siguientes
lecturas.
Tabla 3.1.- Se realizaron dos lecturas y se tomó la media como referencia para elaborar la
grafica. Distancia en milímetros, inducción magnética en mili teslas.
Para el caso del óxido BSCCO se obtuvieron los
resultados que muestra la tabla 3.2.
Tabla 3.2.- Se realizaron dos pruebas y se tomó la media como medida de referencia.
YBCO Prueba 1 Prueba 2 Media
Iman pequeño mT mT mT83 -0.45 -0.33 -0.39
78 -0.43 -0.35 -0.39
73 -0.38 -0.35 -0.365
68 -0.4 -0.3 -0.35
63 -0.43 -0.3 -0.365
58 -0.44 -0.36 -0.4
53 -0.37 -0.33 -0.35
48 -0.38 -0.32 -0.35
43 -0.36 -0.34 -0.35
38 -0.35 -0.34 -0.345
33 -0.32 -0.32 -0.32
28 -0.25 -0.27 -0.26
23 0 -0.1 -0.05
18 0.92 0.33 0.625
17 0.92 0.72 0.82
16 1.03 0.92 0.975
15 1.12 1.65 1.385
14 3.5 2.56 3.03
13 8.75 4.12 6.435
53
En la tabla 3.3 presentamos un ejercicio para los
compuestos YBCO y BSCCO con un imán más grande de unos
obteniéndose las siguientes lecturas:
Tabla 3.3.- Distancia en milímetros, inducción magnética en mili teslas
YBCO Imán grande Imán grande
BSCCO mT mT
115 -0.56 -0.16
110 -0.54 -0.22
105 -0.59 -0.3
100 -0.57 -0.34
95 -0.52 -0.38
90 -0.56 -0.38
85 -0.52 -0.39
80 -0.56 -0.4
BSCCO Prueba 1 Prueba 2 Promedio
Iman pequeño mT mT mT100 -0.24 -0.18 -0.21
95 -0.27 -0.2 -0.235
90 -0.3 -0.25 -0.275
85 -0.31 -0.27 -0.29
80 -0.35 -0.28 -0.315
75 -0.37 -0.33 -0.35
70 -0.36 -0.33 -0.345
65 -0.38 -0.34 -0.36
60 -0.39 -0.37 -0.38
55 -0.4 -0.37 -0.385
50 -0.41 -0.36 -0.385
45 -0.4 -0.36 -0.38
40 -0.38 -0.36 -0.37
35 -0.36 -0.36 -0.36
30 -0.33 -0.31 -0.32
25 -0.23 -0.24 -0.235
20 0.05 -0.15 -0.05
19 0.16 -0.1 0.03
18 0.43 0.03 0.23
17 0.64 0.22 0.43
16 0.97 0.28 0.625
15 1.45
54
75 -0.54 -0.4
70 -0.56 -0.43
65 -0.52 -0.43
60 -0.5 -0.45
55 -0.47 -0.46
50 -0.45 -0.46
45 -0.41 -0.45
40 -0.34 -0.41
35 -0.14 -0.4
34 0.01 -0.4
33 0.07 -0.39
32 0.18 -0.38
31 0.3 -0.37
30 0.55 -0.37
29 0.6 -0.34
28 1.01 -0.31
27 1.27 -0.29
26 1.74 -0.26
25 2.4 -0.22
20 0.08
18 0.6
En la figura 3.9 presentamos las curvas generadas por los datos
en las tablas 3.1, 3.2 y 3.3 para los óxidos BSCCO y YBCO.
55
Figura 3.9.- BSCCO con imán pequeño.
YBCO con imán pequeño.
YBCO con imán grande.
BSCCO con imán grande.
En un segundo proceso nos dimos a la tarea de tomar las
siguientes lecturas para la fuerza magnética en función de la
distancia entre la superficie del disco superconductor y la
superficie inferior del imán.
Tabla 3.4.- Lecturas para el óxido BSCCO con un imán pequeño.
BSCCO Imán pequeño
mm N
20 -0.05
19 -0.05
18 -0.05
17 -0.03
16 -0.02
Repetimos el ejercicio con el óxido BSCCO pero ahora
con un imán grande y obtuvimos las siguientes lecturas:
Tabla 3.5.- Fuerza magnética entre un imán grande y el disco de BSCCO. Se tomaron 3
lecturas diferentes y tomamos la media de estas como valor de referencia.
-0.6
-0.4
-0.2
-1E-15
0.2
0.4
0.6
0.8
1
15 35 55 75 95 115
56
Para el óxido YBCO obtuvimos las siguientes lecturas:
Tabla 3.6.- Se presentan las lecturas conjuntas para un imán pequeño y el otro grande.
En la figura 3.10 presentamos las curvas generadas por la
tablas 3.4, 3.5 y 3.6.
Figura 3.10.- BSCCO con imán grande.
BSCCO con imán pequeño.
YBCO con imán grande.
BSCCO con imán pequeño.
BSCCO Imán grande MEDIA
mm N N N N
38 -0.06 -0.05 -0.04 -0.05
36 -0.05 -0.04 -0.03 -0.04
24 -0.04 -0.03 -0.03 -0.033333333
22 -0.03 -0.03 -0.02 -0.026666667
YBCO Imán grande Imán pequeño
mm N T
34 -0.08 -0.04
36 -0.07 -0.04
30 -0.06 -0.03
28 -0.05 -0.03
26 -0.02
-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
15 20 25 30 35 40
57
CONCLUSIONES.
El análisis del comportamiento de las principales
características de un sistema de anillos ideales, tales como la
energía potencial, la fuerza magnética, tienen las siguientes
propiedades específicas.
1) La fuerza magnética de interacción de dos anillos ideales,
finos y duros en caso específico cambia su signo,
transformando la fuerza repulsiva a la atractiva y, en caso
contrario, la fuerza atractiva a la repulsiva, pasando a
través del punto cero., Este resorte magnético tiene una
acción análoga a la de un resorte mecánico en relación al
punto de equilibrio.
2) La inducción magnética también cambia su signo, pasando
a través del punto cero y, alrededor de este mismo punto la
función puede ser aproximada como una función lineal.
3) La energía potencial de interacción magnética de dos
anillos ideales, finos y, coaxiales tienen un mínimo en el
mismo punto, en que la fuerza magnética tiene un valor de
cero.
4) La experiencia muestra que tal sistema superconductivo
puede ser estable en un determinado intervalo estrecho de
variación de las características tanto electromagnéticas
como geométricas. Las variaciones de corrientes eléctricas
en cada anillo nos permite controlar el comportamiento de
las características del sistema en forma directa.
58
Por medio del principio de Hertz y el método de Rauth, se
resolvió el problema de estabilidad de equilibrio de la levitación
de Dipolo-PM bajo un anillo Sc. Se obtuvieron analíticamente y
se mostraron experimentalmente las regiones de estabilidad para
este sistema. Por lo cual se pueden concluir dos resultados
principales:
Al igual que en el sistema de dos anillos superconductores, existe un mínimo de energía potencial
de interacción magnética de anillos superconductores y
dipolo PM. La fuerza magnética pasa a través de cero y
puede ser atractiva o repulsiva.
Hay un sistema de interacción magnética de contornos
superconductivos con parámetros auto-estables
determinados por el equilibrio de estado estático. Esta
conclusión contradice el teorema de Earnshaw sobre la
imposibilidad de tener estabilización estática en la
interacción magnética y eléctrica.
Los resultados obtenidos también pueden ser aplicados para la
explicación de algunos mecanismos de interacción magnética de
superconductores de alta temperatura. Los resultados están en
concordancia con el hecho de que dice “....anillos de volumen con
fuerte fijación pueden ser usados para la realización de levitación
estable, en la cual la posición del objeto puede ser estabilizado por
vértices fijos (puntos de anclaje). En el caso de efecto Meissner-
Ochsenfeld o el estado de diamagnetismo perfecto la levitación es
no auto estable, caso que es similar al teorema Earnshaw.
59
BIBLIOGRAFIA.
1. Poole Jr. C.P., Farach H.A. and Creswich R.J.,
Superconductivity, Academic Press Inc, San Diego CA,
1995.
2. Tinkham M., Introduction to Superconductivity, 2nd
. Ed.
McGraw-Hill, NY, 1995.
3. V.L. Ginzburg and E.A. Andryushin., Superconductivity,
Singapure,Word Scientific, 2004.
4. P.J. Ford, G.A. Saunders., The Rise of the
Superconductivity, CRC, Boca Raton, FL, 2005.
5. Miguel Angel Alario y José Luis Vincent.,
Superconductividad, Eudema, Madrid, 1991.
6. E.A. Lynton., Superconductivity, Chapman and Hall,
London, 1971.
7. Poole Jr. C.P., Handbook of superconductivity, Academic,
San Diego CA, 1999.
8. N.P. Butch, M.C. de Andrade and M.B. Maple., Resource
letter Scy-3: Superconductivity, American Association of
Physics Teachers, 2008.
9. Askeland, Donald R. y Phulé, Pradeep P., Ciencia e
Ingeniería de los Materiales, Cuarta Edición, 2004.
10. Buckel B. Superconductividad.-M.: Miz, 1975.
11. Landan L. D; Liftshits E. M. Electrodinamica clasica de
medio continuo.- M.: Fismatguiz, 1959.
12. Wait D. Wudson G. Transformada electromecánica de
enrgía.- M.; L.: Energía, 1964.
13. Mikhalevich V. S; Kozorez V. V., Rashkovan V.M.,
Khusinov D. Ya. CheBozín D.G. Magnetic potential well.-
Kiev, Naukova dumka, 1991.
14. Earnshaw, Trans. Cambrige Philos. Soc., vol. 7, 1842.
60
15. F. P. Hantmakher, Lectures of Analytical mechanics, M,
1960.
16. H. Hertz., Principles of Mechanics, presented in mew link,
M., 1959.
17. Garret, M., Calculation of Fields, Forces Mutual and
Inductances of Current Systems by Elliptic Integrals,
Journal of Applied Physics:May 15 th, vol. 34, 1963.
18. V.M. Rashkovan and S. S. Zub, Static Stable Equilibrium
in the Systems of the Magnetic Interactions Rings,
Braunshwieg, 1997.
19. A. D. Ibarra Velázquez, F. A. Sanginés Lezama, E. I.
Rivas Hernández and I. Ponomaryova., Magnetic
Interaction in Superconducting Systems Modelling, 6 th
International Conference on Electrical Engineering,
Computing Science and Automatic Control, Library of
congress: 2009904789. Mexico city, 2009.
20. W. M. Tiernan, A Superconducting persistent current
experiment for an undergraduate laboratory, Am. J.
phys., Vol. 65. No. 8 August, 1997.
21. M. Tajmar, K. Hense, K. Marhold and C. de Matos,
Weight Measurements of High-Temperature
Superconductors during Phase Transition in Stationary,
Non-Stationary Conduction and under ELF Radiation.
22. Martin D. Simon, Lee O. Heflinger and S.L. Rigway, Spin
Stabilized Magnetic Levitation, Am. J. phys., Vol. 65. No.
4 April, 1997.
23. J.R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Addison-
Wesley Publishing Company, 1983.
24. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd
edition, John
Wiley and Sons, Inc. 1998.
61
ANEXO
