INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL · Figura 3.22. Diagrama de flujo del procedimiento para resolver...
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IINNSSTTIITTUUTTOO PPOOLLIITTÉÉCCNNIICCOO NNAACCIIOONNAALL EESSCCUUEELLAA SSUUPPEERRIIOORR DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA YY EELLÉÉCCTTRRIICCAA
SSEECCCCIIÓÓNN DDEE EESSTTUUDDIIOOSS DDEE PPOOSSGGRRAADDOO EE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
DISEÑO DE MECANISMOS UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS CON APLICACIÓN EN PRÓTESIS PARA
MIEMBRO INFERIOR
TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
DOCTOR EN CIENCIAS CON LA ESPECIALIDAD EN
INGENIERÍA MECÁNICA
PPRREESSEENNTTAA::
MM.. EENN CC.. EESSTTHHEERR LLUUGGOO GGOONNZZÁÁLLEEZZ
DDIIRREECCTTOORR:: DDRR.. EEMMMMAANNUUEELL AALLEEJJAANNDDRROO MMEERRCCHHÁÁNN CCRRUUZZ
DDIIRREECCTTOORR:: DDRR.. LLUUIISS HHÉÉCCTTOORR HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ GGÓÓMMEEZZ
Agradecimientos
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
Agradecimientos Al:
Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología
A mis asesores y amigos Dr. Guillermo Urriolagoita Calderón Dr. Luis Hector Hernández Gómez Dr. Emmanuel A. Merchán Cruz Dr. Guillermo Urriolagoita Sosa
Dr. Alexander Balankin Dr. Samuel Alcántara Montes.
De manera específica, a los apoyos derivados del Programa Institucional de Formación de Investigadores (PIFI), como Becario del programa y tesista en los proyectos:
SIP-20071298 “Análisis y síntesis de un mecanismo antropomórfico sub-actuado para el
desarrollo de una prótesis robótica, diseño y construcción del prototipo”
SIP-20082296 “Caracterización de la dinámica del cuerpo humano mediante un sistema basado en acelerómetros micro-electro-mecánicos (MEMS)”.
En particular, se agradece el apoyo otorgado por medio de los proyectos
SEP/CONACyT:
2005/49701 “Robótica y Microtecnología aplicada en la Ingeniera Biomecánica para el Desarrollo de Prótesis y Equipo con Tecnología Nacional”
2007/1298 “Análisis y síntesis de un mecanismo antropomórfico subactuado para el desarrollo de prótesis robótica, diseño y construcción del prototipo”.
Apoyo para la formación de Doctores en Ciencias en su modalidad a Tesis
Doctoral del CONACYT como becario doctoral con número de registro 204151 y CVU 47822.
ÍNDICE
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ÍNDICE GENERAL Índice de figuras iiiÍndice de tablas viSimbología viiiObjetivo ixJustificación ixResumen xiAbstract xiiIntroducción xiii
I. Estado del arte. 11.1 Generalidades 21.2 Métodos para la síntesis de mecanismos. 21.3 Técnicas de computación inteligente. 41.3.1 Algoritmos genéticos. 51.3.2 Lógica difusa. 71.3.3 Redes neuronales. 81.4 Optimización en la síntesis de mecanismos. 91.5 Mecanismos utilizados en prótesis para miembro inferior. 101.5.1 Prótesis inteligentes. 141.6 Planteamiento del problema. 191.7 Objetivos del proyecto y organización de la tesis 211.8 Sumario 23
II. Fundamentos teóricos. 252.1 Generalidades. 262.2 Análisis y Síntesis de mecanismo 262.3 Clasificación de mecanismos 282.3.1 Mecanismos Planos 282.3.1.1 Mecanismo plano de 4 barras. 292.3.1.1.1 Grados de libertad 292.3.1.1.2 Ley de Grashof. 302.3.1.1.3 Análisis de posición, velocidad y aceleración 312.3.1.1.4 Espaciamiento de Chebychev 322.3.1.1.5 Síntesis de mecanismos manivela oscilador 332.3.1.1.6 Método de Newton Raphson para la solución de funciones no lineales. 342.3.1.1.7 Síntesis analítica con algebra compleja. 372.3.1.1.8 Centro Instantáneo de Rotación en un mecanismo policéntrico. 412.3.1.2 Implementación de los métodos en la síntesis de un mecanismo de 4 eslabones.
42
2.3.1.3 Mecanismos de seis barras. 442.3.2 Mecanismos espaciales. 452.4 Descripción de Algoritmo Genético. 472.5 Descripción de un sistema lógico difuso. 562.6 Sumario 58 III. Simulación y síntesis de mecanismos. 603.1 Generalidades de la síntesis de mecanismos 613.2 Síntesis de mecanismos con Algoritmos Genéticos. 62
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3.3 Análisis cinemático de un mecanismo plano para generación de trayectoria 723.3.1 Ejemplo de aplicación, mecanismo de 4 barras. 723.3.1.1 Trayectoria lineal 733.3.1.2 Trayectoria de la marcha. 78 3.3.2 Síntesis de mecanismos de seis barras. 823.3.2.1 Síntesis analítica para un mecanismo tipo Watt-1 823.3.2.2 Síntesis analítica para un mecanismo tipo Stephenson-III. 863.3.2.3 Ejemplos de aplicación, mecanismo tipo Watt-1. 883.3.2.4 Ejemplos de aplicación, mecanismo tipo Stephenson-III. 923.4 Sumario. 96
IV. Optimización de mecanismos. 984.1 Introducción a la optimización. 994.2 Optimización. 1004.3 Ajuste en el rendimiento de los parámetros del AG. 1014.4 Diseño óptimo en la síntesis de mecanismos. 1044.4.1 Optimización del mecanismo de cuatro eslabones. 1054.4.1.1 Trayectoria lineal con optimización de parámetros en el AG. 1064.4.1.2 Trayectoria elíptica con optimización de parámetros en el AG, 18 puntos de precisión
110
4.4.2 Optimización de un mecanismo de seis eslabones. 1134.4.2.1 Configuración tipo Watt-I 1144.4.1 Mecanismo de 6 eslabones para cubrir 18 puntos de precisión 1164.5 Sumario 120
V. Análisis de resultados. 1225.1Prótesis policéntricas 1235.2. Rangos de movimiento de la rodilla 1235.3 Características de mecanismos aplicados a prótesis policéntrica. 125
5.3.1 Centro Instantáneo de Rotación (CIR) en una prótesis policéntrica 1265.3.2 Línea de carga 1265.4 Mecanismo policéntrico de 4 barras 1285.4.1 Síntesis de mecanismos policéntricos para prótesis de 4 barras de control voluntario.
131
5.5 Mecanismo policéntrico de 6 barras 1325.6 Sumario 135
Conclusiones. 137 Trabajos futuros. 141 Referencias. 142 Anexos. 154 Publicaciones derivadas de este trabajo. 165
.
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ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1. Prótesis de eje simple. El TKO 1500 Ossur 11Figura 1.2. Prótesis de rodilla con mecanismo de 4 barras 12Figura 1.3. Mecanismo de 4 barras cruzado 12Figura 1.4. Mecanismo de 4 barras con 2 barras intermedias y 3 topes 13Figura 1.5. Mecanismo policéntricos de OTTO BOCK 3R60 13Figura 1.6. Centro instantáneo de rotación (CIR) y centro mecánico de rotación (CMR) o el eje anterodistal de la rodilla, con una fuerza de reacción F aplicada al suelo
13
Figura 1.7. Configuraciones de los mecanismos de 6 barras para prótesis de rodilla 14Figura 1.8. Prótesis magnetoreológica Rheo Knee 15Figura 1.9. Prótesis inteligente Plus 15Figura 1.10. OTTO BOCK 3R60 16Figura 1.11. Prótesis policéntrica GEOFLEX 16Figura 1.12. Total Knee® 2000 17Figura 1.13. Prótesis Entegra SV Knee 17Figura 1.14. Rodilla Hidráulica HOSMER 18Figura 1.15. Rodilla de Nylon 802 19Figura 1.16. Prótesis inteligente “da Vinci Award Nominee” 19 Figura 2.1. Partes de un mecanismo de 4 eslabones. 30Figura 2.2. Tres inversiones del cuadrilátero de Grashof 31Figura 2.3. Ejemplo de Espaciamiento de Chebychev de 5 puntos de precisión. 33Figura 2.4. Síntesis de un eslabonamiento de 4 barras 34Figura 2.5. Modelo general del Método de Newton Raphson. 34Figura 2.6. Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en la Síntesis de Mecanismos.
36
Figura 2.7. Mecanismo de cuatro barras. 37Figura 2.8. Centros instantáneos de rotación en un mecanismo de 4 barras. 42Figura 2.9. Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Watt y Tipo Stephenson 44Figura 2.10. Plataforma Stewart 46Figura 2.11. Representación de un cromosoma binario 47Figura 2.12. Diagrama de flujo de un algoritmo genético 48Figura 2.13. Representación de la población. 49Figura 2.14. Selección por ruleta. 52Figura 2.15. Cruzamiento y Mutación. 54 Figura 3.1. Diagrama de flujo para la síntesis de mecanismos con algoritmos genéticos.
64
Figura 3.2. Estructura del cromosoma 65Figura 3.3. Longitud del cromosoma 65Figura 3.4. Población de 1000 individuos generada aleatoriamente 66Figura 3.5. Codificación y decodificación 67Figura 3.6. Decodificación. 67Figura 3.7. Elitismo y herencia forzada 69Figura 3.8. Mecanismo de 4 eslabones siguiendo una trayectoria lineal. 73Figura 3.9 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en síntesis de mecanismo de 4 eslabones
75
Figura 3.10. Diagrama de flujo para síntesis de mecanismo de 4 eslabones trayectoria 76
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iv
lineal Figura. 3.11. Mecanismo de 4 barras obtenido por números complejos. 76Figura 3.12. Puntos de precisión en la marcha humana 78Figura 3.13. Trayectoria de la rodilla durante la marcha 78Figura 3.14. Estructura del cromosoma mecanismo de 4 eslabones 79Figura 3.15. Procedimiento para la síntesis del mecanismo de 4 eslabones para la trayectoria de la marcha humana
80
Figura 3.16. Seguimiento de trayectoria mecanismo cerrado con Algoritmos Genéticos
81
Figura 3.17. Mecanismo de seis barras tipo Watt-I 84Figura 3.18. Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en síntesis de mecanismo de 6eslabones tipo Watt-1
85
Figura 3.19. Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Stephenson-III 86Figura 3.20. Diagrama de flujo por el método de Newton Raphson para sintetizar un mecanismo de 6 eslabones tipo Stephenson III
88
Figura 3.21. Diagrama de flujo de un algoritmo genético para un mecanismo de 6 barras tipo watt-I
90
Figura 3.22. Diagrama de flujo del procedimiento para resolver un mecanismo de 6 barras tipo watt-I
90
Figura 3.23. Mecanismo de 6 barras tipo Watt-I para seguimiento de trayectoria especifica con Algoritmos Genéticos
91
Figura 3.24. Diagrama de flujo del algoritmo genético para un mecanismos de 6 barras tipo Stephenson III
93
Figura 3.25. Diagrama de flujo del procedimiento de análisis para un mecanismos de 6 barras tipo Stephenson III
93
Figura 3.26. Mecanismo de 6 barras tipo Stephenson-III para seguimiento de trayectoria específica con Algoritmos Genéticos.
94
Figura 4.1. Modificación de parámetros en una trayectoria lineal 107Figura 4.2. Evolución de un mecanismo de 4 eslabones. 109Figura 4.3. Trayectoria elíptica 110Figura 4.4. Modificación de parámetros en una trayectoria elíptica 112Figura 4.5. Ajuste de parámetros para una trayectoria curva 115Figura 4.6. Trayectoria de 20 puntos para un mecanismo de 6 eslabones tipo Watt-1 117Figura 4.7. Ajuste de parámetros para una trayectoria específica 118 Figura 5.1. Movimientos de la rodilla, traslación y rotación 124Figura 5.2 Movimientos de la rodilla 124Figura 5.3 Centro Instantáneo de Rotación (CIR) para distintas configuraciones 126Figura 5.4. Línea de carga y área para centros de la rodilla 127Figura 5.5. Trayectoria del CIR de una rodilla policéntrica d e4 barras 129Figura 5.6. Trayectoria del CIR de una prótesis de control voluntario para una rodilla de 4 barra
129
Figura 5.7. Diagrama de estabilidad para un mecanismo de 4 barras con CIR elevado 130Figura 5.8. Diagrama de estabilidad de un cuadrilátero articulado hiper-estabilizado 130Figura 5.9. Diagrama de estabilidad de prótesis control voluntario 131Figura 5.10. Trayectoria del mecanismo de 4 barras para prótesis policéntrica. 132Figura 5.11. Mecanismo policéntrico simulado por programación. 132Figura 5.12. Mecanismo creado en un programa de Simulación Dinámica 132
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Figura 5.13. Configuraciones de mecanismos de 6 barras tipo Watt para prótesis policéntricas
133
Figura 5.14. Posición de los CIR de la rodilla de la prótesis policéntrica con referencia a la línea de carga a través de la unión de la pantorrilla y el centro de contacto del pie con la tierra en las diferentes fases de la caminata
133
Figura 5.15. Mecanismo tipo Watt para prótesis policéntrica. 134Figura 5.16. Mecanismo tipo Stephenson para prótesis policéntrica 134
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ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1.1. Síntesis de mecanismos más comunes 3 Tabla 2.1. Clasificación de Grashof para mecanismos de 4 barras 31Tabla 2.2. Configuración de mecanismos 40 Tabla 3.1. Variables para mecanismo de 4 eslabones una posición 66Tabla 3.2. Restricciones para mecanismo plano, seguimiento de trayectoria lineal 74Tabla 3.3. Comparación de resultados por método numérico y aproximado 77Tabla 3.4. Restricciones para mecanismo de 4 barras trayectoria de la marcha 79Tabla 3.5. Resultados por distintos métodos de análisis mecanismo de 4 barras para 6 puntos de precisión
81
Tabla 3.6. Resultados del GA en la generación de trayectoria 82Tabla 3.7. Restricciones para un mecanismo de 6 barras. 89Tabla 3.8. Resultados por distintos métodos de análisis a un mecanismo tipo Watt-I para 5 puntos de precisión.
91
Tabla 3.9. Resultados del GA en la generación de trayectoria para mecanismo de 6 barras
92
Tabla 3.10. Resultados por distintos métodos de análisis a un mecanismo tipo Stephenson-III para 5 puntos de precisión
94
Tabla 3.11. Resultados del AG en la generación de trayectoria para un mecanismo tipo Stephenson-III.
95
Tabla 4.1. Parámetros básicos para desarrollar el algoritmo genético para un mecanismo de 4 eslabones.
106
Tabla 4.2. Parámetros de la Figura 4.1 trayectoria lineal 107Tabla 4.3. optimización de parámetros par a un mecanismo de 4 barras trayectoria lineal.
108
Tabla 4.1. Parámetros básicos para desarrollar el algoritmo genético para un mecanismo de 4 eslabones.
106
Tabla 4.2. Parámetros de la Figura 4.1 trayectoria lineal 107Tabla 4.3. optimización de parámetros par a un mecanismo de 4 barras trayectoria lineal.
108
Tabla 4.4. Puntos de precisión de la trayectoria elíptica deseada 110Tabla 4.5. Modificación de parámetros para una figura elíptica generada por un mecanismo de 4 eslabones
112
Tabla 4.6. Parámetros que definen dimensiones y ángulos para una trayectoria elíptica obtenida por varios autores.
113
Tabla4.7. Parámetros para síntesis de un mecanismo de 6 barras 114Tabla 4.8. Ajuste de parámetros mecanismo de 6 barras trayectoria curva 115Tabla 4.9. Comparación de longitudes y ángulos de un mecanismo de 4 eslabones trayectoria de la marcha
116
Tabla 4.10. Restricciones para un mecanismo de 6 barras. 116Tabla 4.11. Ajuste de parámetros mecanismo de 6 barras trayectoria específica. 118 Tabla 5.1. Parámetros para la construcción de una rodilla policéntrica 125Tabla 5.2. Restricciones para la síntesis de un mecanismo policéntrico de 4 131
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eslabones Tabla 5.3 Restricciones para un mecanismo policéntrico de 6 eslabones 135
SIMBOLOGÍA
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viii
SIMBOLOGÍA
AG Algoritmo genético
m Grados de libertad
n Número de eslabones
j1 Número de pares de un solo grado de libertad
j2 Número de pares con dos grados de libertad
s longitud del eslabón más corto
l longitud del eslabón más corto
p longitud del eslabón restante
q longitud del eslabón restante
Posición angular de cualquier eslabón
f Cualquier relación funcional deseada
xj Puntos de precisión
r Eslabones
longcr Longitud del cromosoma
nbits Número de bits
pi Población inicial
w Grado de adaptación para la probabilidad de cruce
Pc Probabilidad de cruce
Pm Probabilidad de mutación idC Conjunto de puntos específicos indicados por el diseñador
Ci Es una serie de posiciones de los acoplamientos
Puntos generados por el acoplador del mecanismo
x0 Puntos de origen en el eje x
y0 Puntos de origen en el eje y
xd Puntos deseados en el eje x
yd Puntos deseados en el eje y
θ2 Ángulo de transmisión
θ n Cada uno de los ángulos utilizados en la programación del AG
CIR Centro instantáneo de rotación
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ix
OBJETIVO.
El objetivo general de esta tesis, es desarrollar herramientas de computación evolutiva para la
síntesis de mecanismos policéntricos con aplicación en la biomecánica.
Derivados del objetivo general se plantean los siguientes objeticos específicos:
• Plantear una función objetivo que resuelva un problema de síntesis de optimización de
mecanismos necesarios para evaluar varias cantidades de puntos y trayectorias.
• Probar la viabilidad práctica de la estrategia planteada mediante la implementación de los
algoritmos genéticos capaz de resolver casos prácticos de síntesis.
• Diseñar un mecanismo que cubra las especificaciones impuestas para generar el
movimiento de una rodilla humana.
JUSTIFICACIÓN.
La síntesis de mecanismos es la base para la construcción de cualquier máquina. Sus
aplicaciones son numerosas y cada una de ellas responde a ciertos requisitos concretos y
específicos que hacen que no sea posible crear pautas de diseño generales en las posibles
soluciones para un mismo problema de síntesis de mecanismos, ya que existen diversas
tipologías que pueden cambiar según el caso. Esta falta de homogeneidad ha servido para la
creación de varios métodos para resolver problemas de síntesis, entre los que se encuentran los
métodos de optimización.
La etapa de síntesis dimensional es la más estudiada y existen numerosos métodos de
resolución, sin embargo y pese a que han existido varios planteamientos en los problemas,
ninguno ha sido concluyente porque todos presentan algún tipo de inconveniente. En el caso
de los métodos exactos, se tienen problemas como la exigencia de cumplir con los requisitos,
que pueden ser los puntos de precisión con total exactitud. Sin embargo, esta exigencia no es
tan práctica porque no es posible reproducir exactamente los modelos diseñados debido a
factores como las tolerancias de fabricación, holguras en los pares cinemáticos y
deformaciones de los elementos del mecanismo durante su funcionamiento. El número de
puntos de precisión es limitado y depende del tipo de mecanismo que se utilice.
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x
De aquí el surgimiento de los métodos de síntesis aproximados que tiene dos objetivos
principales, dar al planteamiento una orientación hacia la resolución mediante herramientas de
programación y plantear estrategias de búsqueda del óptimo global dentro del espacio de
diseño, también busca una solución que usualmente no es única y el número de requerimientos
de diseño no es una limitación.
Por otro lado, durante años se han diseñado diversas configuraciones de mecanismos como los
de eje simple y eje policéntrico para las prótesis para miembro inferior, pero han sido en su
mayoría para gente con características antropomórficas distintas a las de este país, lo que
motiva a diseñar una prótesis que asemeje los movimientos lo más posible al cuerpo humano y
cubra las necesidades de la población mexicana.
Por dicha problemática, se plantea el desarrollo de una herramienta de optimización basados
en computación inteligente y en la síntesis aproximada para realizar síntesis de mecanismos,
que consuman poco tiempo y empleen algún método numérico para la evaluación de la
función objetivo. En este trabajo se busca una solución adecuada para tener una eficiencia
cinemática en un mecanismo generador de trayectorias cumpliendo con las restricciones
impuestas y variables como la longitud de los eslabones, el ángulo de transmisión y los
ángulos que dan la movilidad al mecanismo para prótesis de miembro inferior, ya que
pequeñas diferencias en las longitudes de los eslabones y en la posición de las articulaciones
que los unen puede generar grandes cambios en el comportamiento cinemático de los
mecanismos.
Sintetizando un mecanismo, el objetivo es controlar el movimiento realizado durante el
balanceo y la fase de reposo para dar un movimiento de cadencia óptimo, además de ofrecer
una mayor estabilidad al caminar a través de un mecanismo policéntrico, el cual posee una
biomecánica de desplazamiento y cadencia de paso distinta de la marcha normal de un
individuo con sus extremidades naturales, pero que se tendrá que mejorar para conseguir la
comodidad y funcionalidad en dicha prótesis.
RESUMEN
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
xi
RESUMEN
Esta tesis presenta como herramienta principal, para el análisis y la síntesis de mecanismos
planos, la técnica de los algoritmos genéticos, que por sus características, han sido utilizados
como métodos de búsqueda y optimización, en el que basta con encontrar la representación
adecuada para las soluciones y la función principal a optimizar. El objetivo de la investigación
es encontrar las longitudes de los eslabones y la medida de los ángulos para un mecanismo
óptimo con el que se reproduzca el proceso de marcha humana como caso de aplicación, pero
que también se pueda generar cualquier trayectoria específica, indicando solo las restricciones
más significativas.
|
La metodología empleada comprende etapas como la cinemática, el análisis y la síntesis para
diversas configuraciones de mecanismos, mostrando los fundamentos teóricos, el desarrollo
de los algoritmos genéticos, la aplicación de estos en la síntesis y la simulación en algunos
programas especializados para desarrollar dicho fin.
Se presenta el diseño de un mecanismo policéntrico específico para cubrir la trayectoria
generada por el humano en la fase de postura y en la marcha. Para esto se tomó como base la
antropometría de la población mexicana y las características impuestas como las dimensiones
de los eslabones, los ángulos permitidos para el movimiento de los mecanismos y todas las
consideraciones de la marcha.
ABSTRACT
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
xii
ABSTRACT
This thesis presents such as main tool, for the analysis and the synthesis of planar
mechanisms, the genetic algorithms technique, that by their characteristics, have been used
like methods search and optimization, in which it is enough with finding the adapted
representation for the solutions and the fitness function to optimize. The objective of the
investigation is to find the lengths of the links and the measurement of the angles for an
optimal mechanism with which the process of human march reproduces as case of application,
but that also any trajectory can be generated specific, indicating single the most significant
restrictions.
The used methodology includes stages like the kinematics, the analysis and the synthesis for
diverse configurations of mechanisms, showing the theoretical foundations, the development
of the genetic algorithms, the application of these in the synthesis and the simulation in some
specialized programs to develop this aim.
The design of a specific polycentric mechanism appears to cover the trajectory generated by
the human in the phase with position and the march. For this it was taken as it bases the
anthropometry of the Mexican population and the characteristics imposed like the dimensions
of the links, the angles allowed for the movement of the mechanisms and all the
considerations of the march.
INTRODUCCIÓN
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
xiii
INTRODUCCIÓN
Se han aplicado varios métodos de optimización a la síntesis de mecanismos planares para la
generación de trayectorias. Algunas de las técnicas usadas fueron difíciles y
computacionalmente costosas de aplicar, pero pese a esta problemática, se ha demostrado con
un gran número de trabajos, que es posible sintetizar un mecanismo policéntrico de varios
eslabones, con acoplamiento cinemático, capaz de emular el movimiento de la rodilla,
teniendo como inconveniente no cubrir completamente las necesidades del usuario.
Este trabajo se enfoca al diseño de algoritmos computacionales, empleando herramientas
evolutivas, para resolver y optimizar la síntesis de mecanismos de cadena cinemática cerrada.
Estas son una combinación de técnicas y estrategias de programación capaz de ser integrados
para obtener la generación de trayectorias de acuerdo a ciertas restricciones que cubrirán
tareas específicas según la rama de la ingeniería en la que sean empleados. Para esta tesis, la
aplicación es enfocada a la robótica, utilizando el análisis cinemático, dinámico y estructural
de mecanismos para generar el movimiento en una prótesis inteligente que reemplazará el
miembro inferior perdido.
Se presenta la metodología empleada para la obtención de mecanismos generadores de
trayectorias con base en sus parámetros y restricciones, la aplicación de métodos numéricos
para la síntesis del mecanismo y la utilización de técnicas como la lógica difusa y las redes
neuronales, en combinación con los algoritmos genéticos, para diseñar nuevas técnicas de
programación y optimización, en donde se establecerá la minimización de una función
objetivo formulada como una expresión de la diferencia entre la trayectoria generada y la
deseada.
La necesidad de utilizar técnicas computacionales surge por la complejidad que se crea en la
síntesis de mecanismos debido al gran número de variables que describen un espacio de
diseño, problemas en las uniones, flexibilidad de los cuerpos, tolerancias y manejo de los
ángulos de transmisión. Las ventajas que ofrecen estas técnicas sobre los métodos clásicos, es
que se pueden corregir y simplificar los inconvenientes antes referidos, resaltando que los
requerimientos de diseño no son tan grandes y que el error mínimo que genere está en función
de ellos.
INTRODUCCIÓN
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
xiv
Los mecanismos sintetizados serán aplicados al diseño de una prótesis policéntrica, ya que
con base en la revisión del estado del arte, se ha identificado la existencia de problemas que
no permiten que se tenga un movimiento natural en la fase de marcha, esto debido a que solo
se estudia el movimiento en el plano sagital, que presenta un rango de movimiento mucho
mayor que en el resto de los planos, sin considerar que la rodilla tiene 6 grados de libertad que
incluyen movimientos de rotación y traslación. Otro punto importante a resolver es la
localización del centro instantáneo de rotación en extensión completa y en flexión.
Con base en los objetivos obtenidos por la revisión y análisis del estado del arte, este trabajo
se ha organizado de la siguiente manera:
En el Capítulo 1, Estado del Arte, se presentan los métodos para la síntesis de mecanismos
más utilizados durante los últimos años, las principales técnicas de computación inteligente,
entre las que destacan los algoritmos genéticos, la lógica difusa y las redes neuronales.
También se presenta la optimización en la síntesis de mecanismos utilizando estas técnicas
para ser aplicados en las prótesis robóticas inteligentes para miembro inferior, caso de
aplicación de este trabajo. Se describe el planteamiento del problema y los objetivos
propuestos para resolver la problemática existente en fase de marcha utilizando una prótesis.
En el Capitulo 2, Fundamentos Teóricos, se da una introducción a los aspectos teórico-
prácticos, se presentan los fundamentos teóricos para el análisis y la síntesis de mecanismos
indicando métodos numéricos y de optimización, para el caso de estudio se presenta el rango
de movimiento de la rodilla como base para la simulación.
En el Capitulo 3, Simulación y síntesis de mecanismos, se presenta la síntesis y el análisis de
mecanismos planares para generar trayectorias predefinidas de mecanismos de 4 y 6 barras.
Para la síntesis de mecanismos se emplean los algoritmos genéticos como métodos de
optimización y búsqueda para las dimensiones de los eslabones y los ángulos de movimiento.
En el Capítulo 4, Diseño de mecanismos, se presenta el análisis de varias configuraciones de
mecanismos optimizados con algoritmos genéticos y lógica difusa, y la aplicación de estos en
el diseño de una prótesis policéntrica.
INTRODUCCIÓN
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
xv
En el Capítulo 5, Análisis y discusión de resultados, se presentan los resultados obtenidos al
aplicar algoritmos genéticos a diversas configuraciones de mecanismos aplicados a una
prótesis para miembro inferior.
El aporte científico de este trabajo se ubica en la solución de mecanismos policéntricos de
cadena cerrada por medio de algoritmos genéticos para cualquier número de eslabones,
corrigiendo posibles errores con lógica difusa, además de aplicar esta síntesis a prótesis para
miembro inferior, diseñada específicamente para población mexicana.
Capítulo I
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
1
ESTADO DEL ARTE
En este capítulo se describe la evolución de la síntesis de mecanismos empleando técnicas de computación inteligente como métodos de optimización. También se presenta una breve descripción de la aplicación de estos en prótesis inteligentes.
Capítulo I
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
2
1.1 Generalidades.
La síntesis de mecanismos se refiere a la proyección y diseño de estos de acuerdo a
propiedades tales como la estructura cinemática y dinámica para desarrollar una serie de
movimientos predefinidos. Para cubrir las restricciones y necesidades impuestas por el
diseñador, se han desarrollado métodos numéricos y gráficos que han resuelto hasta
cierto punto la problemática de precisión y posición, pero tienen como inconveniente
restringir el número de puntos de posición para permitir la solución por el sistema
matemático, como consecuencia de esto, se han diseñado métodos para resolver la
síntesis de múltiples puntos de precisión y posición, incluyendo propiedades como las
longitudes de los eslabones y los ángulos de transmisión de movimientos. El avance de
estos métodos parte de los gráficos y numéricos, hasta llegar a los de optimización,
como los métodos heurísticos y las técnicas de computación inteligente o flexible, entre
las que se encuentran los algoritmos genéticos, la lógica difusa y las redes neuronales y
que han mejorado la precisión de los resultados, la respuesta de convergencia y el error
que se genera en la función objetivo al obtener la distancia entre la trayectoria generada
y la deseada.
1.2 Métodos para la síntesis de mecanismos.
La síntesis de mecanismos de acuerdo a Ruleaux en 1875 (Gómez-Cristóbal, 2003) es el
proceso de transformación de las exigencias en algunos mecanismos. Ésta abarca
problemas no estructurados de gran complejidad matemática, donde es preciso alcanzar
un cierto grado de equilibrio entre los distintos objetivos, que son por lo general de
naturaleza diversa, llegando a una solución que satisfaga suficientemente las exigencias
de diseño impuestas.
Por las condiciones requeridas en la síntesis de mecanismos, se han desarrollado
métodos gráficos y analíticos (Freudenstein, 1954, Hartenberg & Denavit, 1964) como
la matriz de aproximaciones (Suh & Radcliffe, 1967), los mínimos cuadrados en la
síntesis finita de los mecanismos espaciales de cuatro barras (Levitskii & Shakvazian,
1960) o el modelo matemático y de simulación para la síntesis exacta de mecanismos
(Mallik et al., 1994, Tzong-Mou & Cha'o-Kuang, 2005) que han cubierto hasta cierto
punto las necesidades por las cuales fueron diseñados los mecanismos, pero estos
métodos tienen como inconveniente que restringen el número de puntos de posición
para permitir la solución por el sistema matemático. Como consecuencia de esta
Capítulo I
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3
restricción, se han diseñado métodos para resolver la síntesis de múltiples puntos de
precisión y posición (Tabla 1.1), con técnicas como la optimización no lineal, la
optimización de la síntesis con diversos métodos (Sancibrian et al., 2004) y los
algoritmos genéticos (Roston & Sturges, 1996, Michalewicz, 1999, Cabrera et al., 2002,
Laribi et al., 2004, Quintero-R et al., 2004), redes neuronales(Walczak, 2006, Vasiliu &
Yannou, 2001, Starosta, 2006), métodos de Monte Carlo (Kalnas & Kota, 2001) o
método de desviación de control (R.-Bulatovic & S. R. Djordjevic, 2004). La mayor
parte de estos trabajos relacionados con la generación de trayectorias y de posición para
mecanismos de 4 eslabones.
Tabla 1.1. Síntesis de mecanismos más comunes. (Gómez-Cristóbal, 2003).
Tipo de síntesis Definición Gráfica Usa elementos puramente gráficos, está limitada a sistemas
simples, tiende a ser demasiado específico y difícil de usar. De tanteo gráfico Es una síntesis aproximada que se realiza por tanteo con la
ayuda de la superposición de gráficos. Como desventaja tiene que su convergencia es mala en la mayoría de las veces.
Por gráficos de diseño
Se obtiene a través de tablas o nomogramas a través del análisis de otros sistemas del mismo tipo
Analítica Son puramente analíticos, entre los más conocidos están los de Chebychev, el álgebra de números complejos, Grashof, de Bloch
Grafoanalítica Combinación de métodos analíticos y gráficos. Óptima Con base en técnicas de programación matemática, en la que se
trata de optimizar el valor de una función objetivo cuyas variables están sujetas a una determinada restricción.
Heurística Con base en algoritmos que pretenden alcanzar valores satisfactorios para una función objetivo.
Conceptual En una temprana fase de diseño establece el tipo de solución correspondiente a un problema en concreto a partir de un método sistemático de generación de conceptos
En (Dai & Kerr, 1991) se desarrolla una estrategia para minimizar los movimientos de
los centro instantáneos aplicados a los mecanismos de 6 barras de tipo Watt. Mc Largan
investigó un proceso analítico iterativo para la síntesis de mecanismos teniendo uniones
giratorias, para la generación de funciones (McLarnan, 1963). Dingrha y Mani
desarrollaron estrategias computacionales para resolver la función de precisión de
posición, trayectoria y generación de movimientos para mecanismos de 6 barras
(Dhingra & Mani, 1993). Subbían y Flugard investigaron el método de la síntesis de la
Capítulo I
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4
triada de 5 puntos para la generación de funciones de mecanismos de 6 barras (Subbian
& Flugrad Jr, 1993).
1.3 Técnicas de Computación Inteligente.
La computación inteligente tiene su origen en la teoría de la inteligencia artificial, esta
engloba un conjunto de técnicas que tienen en común la robustez en el manejo de
información imprecisa e incierta. En algunos casos estas técnicas pueden ser
combinadas para aprovechar sus ventajas individuales, entre estas se encuentran la
lógica difusa, las redes neuronales y los algoritmos genéticos.
En la década de los noventa aparecieron varios métodos de búsqueda como los
Algoritmos de Metrópoli, Templado Simulado (Simulated Annealing SA), Búsqueda
Tabú (TS), Colonia de Hormigas (ACO) y GRASP, Algoritmos Genéticos (AG), que se
describen en base al trabajo de (Hincapié-Isaza et al., 2004) como sigue:
• Algoritmo de Metrópolis.- Genera una secuencia de estados de un sólido, o sea,
dado un sólido en un estado i con energía Ei, se genera el estado siguiente j
mediante la aplicación de un mecanismo que transforma al estado siguiente a
través de un pequeño disturbio. La energía del próximo estado es Ej; si la
diferencia de energía (Ej - Ei) es menor o igual a cero, el estado j es aceptado.
Si ocurre lo contrario, el estado j se acepta con cierta probabilidad.
• Templado simulado.- La metodología de Templado simulado ( Simulated
Annealing SA ), fue definida al inicio de los años 80, como una nueva
herramienta para ser empleada en la solución de problemas combinatoriales de
gran complejidad. Surgió del campo de la termodinámica como consecuencia de
la comparación de los problemas formulados en este campo con los de la
investigación de operaciones. Es una metodología simple y de gran
potencialidad para ser aplicada a una gran variedad de problemas.
• Colonia de hormigas.- En este método, las actividades de búsqueda son
distribuidas entre “hormigas”, esto es, agentes con capacidades simples, que
son similares al comportamiento de las hormigas verdaderas. Uno de los
problemas estudiados por los entomólogos es el de entender cómo unos insectos
Capítulo I
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5
casi ciegos como las hormigas pueden establecer las rutas más cortas entre el
nido y una fuente de comida y viceversa.
• Búsqueda TABÚ (TS).- Es un procedimiento metaheurístico utilizado para
manejar un algoritmo heurístico de búsqueda local y así evitar que el proceso se
detenga en un óptimo local. Por lo tanto, TS realiza una exploración a través del
espacio de configuraciones delimitando adecuadamente los óptimos locales.
Para evitar que el proceso regrese a los óptimos locales y entre en un ciclo
repetitivo, la búsqueda tabú clasifica los movimientos más recientes como
“movimientos tabú”; estos prohíben que una configuración sea visitada
nuevamente.
• GRASP.- Es una evolución de los algoritmos heurísticos constructivos,
especialmente de aquellos que usan indicadores de sensibilidad. Con estos
indicadores se calcula la variación de la función objetivo con respecto a las
variables de interés del problema de optimización, y se usan para identificar los
tributos atractivos de tal problema. Emplea una propuesta intermedia entre
Simulated Annealing y Búsqueda Tabú para realizar la fase de exploración y ha
mostrado ser eficiente en la solución de problemas complejos de optimización.
• Algoritmos Genéticos.- Son herramientas matemáticas que imitan a la
naturaleza e intentan resolver problemas complejos empleando el concepto de la
evolución. El algoritmo ejecuta una búsqueda simultánea en diferentes regiones
del espacio factible, realiza una intensificación sobre algunas de ellas y explora
otros subespacios a través de un intercambio de información entre
configuraciones.
1.3.1 Algoritmos genéticos.
El término de algoritmo genético (AG) fue introducido por John Holland y sus
estudiantes (Holland, 1975), e implementado por (Goldberg, 1989), quién menciona que
los AG son diferentes métodos tradicionales de optimización por 6 cosas:
1. Trabajan con la codificación de un conjunto de parámetros, y no con los
parámetros mismos.
Capítulo I
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6
2. Trabajan con una población de puntos, no un simple punto.
3. Utilizan una función objetivo.
4. Usan reglas de transición probabilística, no deterministicos.
5. No necesitan conocimientos específicos sobre el problema a resolver.
6. Cuando se usan para problemas de optimización resultan menos afectados por
los máximos locales
Los AG usan una población en la que los miembros son creados aleatoriamente, el
individuo de la población tiene que desarrollarse buscando ser de los mejores
individuos, y esto se hace a través de una selección natural, reproducción, mutación y
otros operadores genéticos (Goldberg, 1989):
• Reproducción: Un individuo es copiado de acuerdo al valor de la función
objetivo, de tal forma que los individuos de mejor comportamiento o
funcionamiento tienen mayor probabilidad de pertenecer a la siguiente
generación.
• Cruzamiento: Algunos genes de un individuo de la nueva población son
intercambiados con el gen de otro, generalmente con el más fuerte. La
reciprocidad es aleatoria y el porcentaje de los genes intercambiados puede ser
un proceso aleatorio o fijo.
• Mutación: Es la variación del valor de los genes de forma aleatoria.
Generalmente se define una operación entre [-valor, valor] para cada gen con
una distribución normal y de media igual a cero.
Este tipo de algoritmos genéticos simples se caracteriza por tener un tamaño de
población fijo en todas las generaciones, una selección proporcional, mutación uniforme
y selección no elitista.
Dado que un AG actúa como un método de búsqueda multidireccional sobre una
población de posibles soluciones en cada generación las soluciones relativamente
buenas que cubren las necesidades de la función objetivo se reproducen y las
relativamente malas mueren. Para distinguir las posibles soluciones se emplea una
función evaluadora llamada función de ajuste o función de aptitud y en el campo de la
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7
optimización funcional, es la función objetivo del problema en cuestión; es decir, la
función a optimizar (Iglesias-Otero, 2005).
El algoritmo finaliza cuando se ha ejecutado un número determinado de iteraciones
prefijado de antemano, cuando se ha encontrado el valor óptimo o bien cuando se ha
obtenido en la población un nivel de aptitud medio superior a un cierto nivel de control
(Buckles et al., 1992).
Existen una serie de puntos comunes a todos los algoritmos genéticos que los
caracterizan (Iglesias-Otero, 2005):
• La existencia de una representación genética de las posibles soluciones del
problema.
• La creación de una población inicial de posibles soluciones.
• El uso de una función evaluadora que es la encargada de medir la “bondad” de
las soluciones en términos de su adaptación al medio y permite seleccionar a los
mejores individuos.
• El empleo de operadores genéticos, que alteran la composición de los
descendientes durante la reproducción, mediante cruces, mutaciones o
inversiones.
• La existencia de diversos parámetros como son el tamaño de la población o la
probabilidad de aplicar los operadores genéticos. 1.3.2 Lógica difusa. Fue Propuesto por Zadeh (1965) y utilizado por primera vez por Mamdani (1974), la
lógica difusa es una extensión de la lógica booleana que permite el proceso "de la
información vaga" o incierta (Merchán-Cruz, 2005). Los sistemas lógicos difusos son
sistemas basados en reglas que son expresadas como implicaciones lógicas, estas
reflejan la relación que guarda un hecho derivado de otro. Una lógica consta de lo
siguiente(Russell & Norving, 1996):
• Un sistema para describir lo que está sucediendo en un momento determinado y que
consta de:
• La sintaxis del lenguaje que explica cómo construir oraciones.
Capítulo I
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8
• La semántica del lenguaje a través de la cual cada oración expresa algo relacionado
con el mundo
• Una teoría de demostración que agrupe un conjunto de reglas para deducir las
implicaciones de un conjunto de oraciones y que especifique los pasos de
razonamiento.
Los sistemas lógicos difusos están en capacidad de simultáneamente manejar
información numérica y conocimiento lingüístico para efectuar una transformación no
lineal del vector de entrada (características) a una salida escalar (consecuencias). Las
especificaciones de la transformación no lineal las establece la teoría de subconjuntos
difusos y la lógica difusas(Mendel, 1995).
1.3.3 Redes neuronales. Las redes neuronales artificiales (RNA) son la implementación en hardware y/o
software de modelos matemáticos idealizados de las neuronas biológicas, estas son
interconectadas unas a otras y son distribuidas en capas de tal forma que emulan en
forma simple la estructura neuronal del cerebro. Cada modelo de neuronas es capaz de
realizar algún tipo de procesamiento a partir de estímulos de entrada y ofrecer una
respuesta por lo que las RNA en conjunto funcionan como redes de computación
paralelas y distribuidas similares a los sistemas cerebrales biológicos (Del Río &
Molina, 2002).
En términos generales una red neuronal es un procesador masivo, distribuido
paralelamente, constituido de unidades de procesamiento, las cuales tiene la capacidad
para almacenar conocimiento experimental y tenerlo disponible para su uso. Esta emula
al cerebro en los siguientes aspectos:
• El conocimiento es adquirido por la red desde su entorno a través de un
proceso de aprendizaje.
• Los pesos de las conexiones entre las neuronas, llamados pesos sinápticos,
son usados y modificados para almacenar conocimiento.
El poder de las redes neuronales radica básicamente en la capacidad de su estructura
para el procesamiento en paralelo (procesamiento de datos en masa) y al mismo tiempo,
Capítulo I
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9
en la habilidad de aprender y generalizar. Esto se refiere a que la red neuronal es capaz
de generalizar reglas aprendidas de los casos en los que ha sido entrenada y
posteriormente aplicarlas a casos no aprendidos. Estas habilidades permiten a las redes
neuronales artificiales resolver problemas complejos de gran escala que actualmente
son inatacables (Bautista-Camino, 2008).
Las aplicaciones más exitosas en la actualidad de las RNA son:
• Procesamiento de imágenes y voz.
• Reconocimiento de patrones.
• Planeación y estrategia.
• Predicción.
• Control y optimización.
• Procesamiento de señales.
Para la síntesis de mecanismos las redes neuronales se emplean como herramienta de
control que consisten en un conjunto estados de condición lingüística que se deriva de
operadores humanos y los cuales representan un conocimiento experto sobre el sistema
a ser controlado u optimizado.
1.4 Optimización en la síntesis de mecanismos
La síntesis de mecanismos con algoritmos genéticos se ha presentado en trabajos de
(Roston & Sturges, 1996), en los que se presentan técnicas numéricas para la síntesis de
mecanismos de 4 barras empleando algoritmos genéticos como método de búsqueda, en
donde estos sirvieron para eliminar las limitaciones para tener una exactitud en los
puntos de precisión delimitados por el diseñador. En (Kunjur & Krishnamurty, 1997) se
muestra una técnica en la que los algoritmos genéticos se utilizan para hacer una síntesis
dimensional de mecanismos, con esta, se obtuvo una reducción de tiempo
computacional y derivaciones de las ecuaciones obligatorias de la función objetivo.
(Cabrera et al., 2002) diseño un procedimiento en el cuál se aplican los AG como
técnicas evolutivas aplicadas a una función objetivo específica. Utilizaba números
reales, y en la función objetivo, modificó el uso de un factor de corrección y operadores
genéticos especiales para acelerar el proceso y mejorar la exactitud de la solución final.
En (Pucheta & Cardona, 2003) se desarrolló una herramienta computacional aplicada a
Capítulo I
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10
la metodología de síntesis de tipo y dimensional de mecanismos partiendo de partes
descritas por el usuario.
(Quintero-R et al., 2004) presentó un procedimiento para realizar la síntesis de un
mecanismo que siguiera una trayectoria predeterminada para múltiples puntos de
precisión, encontrando la aplicación para mecanismos de 4 y 6 barras. Por otro lado
(Laribi et al., 2004) diseñó una combinación de un algoritmo genético con un
controlador de lógica difusa. Este controlador tenía como principal función el
monitorear la variación de las variables de diseño durante el primer corrimiento de los
AG y modificar el límite inicial de los intervalos al iniciar el segundo corrimiento. Una
aproximación usando redes neuronales para la síntesis de mecanismos es la desarrollada
por (Vasiliu & Yannou, 2001, Walczak, 2006, Starosta, 2006), quienes utilizaron 9
variables para la síntesis de un mecanismos de 4 barras y entrenaron a la red neuronal
por medio de 3 etapas, en donde la primera consiste en la generación de un número
enorme de valores aleatorios propuestos para la simulaciones cinemáticas y obtener
valores al azar de las dimensiones y generar un proceso de aprendizaje de la red. En la
segunda etapa, la red obtuvo una solución aproximada del problema de la síntesis, que
es una interpolación de casos cercanos. Obteniendo con esto una buena calidad de las
soluciones sintetizadas, para un tamaño minúsculo de la red cuyas soluciones se pueden
utilizar como resultados iniciales para una optimización dimensional convencional.
1.5 Mecanismos utilizados en prótesis para miembro inferior.
Desde que se diseñaron las prótesis se han manejado dos tipos de mecanismos, las de un
solo eje y las policéntricas. En las de un solo eje de rotación se encuentran las de bisagra
sencilla, que son la opción más económica, duradera y ligera. Como limitaciones
presentan poca estabilidad mecánica no es posible tener buena postura, aquí debe
hacerse uso de la fuerza muscular para mantenerla lo más estable posible. Normalmente
se le agrega un control de fricción constante y un bloqueo manual, ya que la fricción no
permite que la pierna avance con rapidez al dar el siguiente paso. Se han utilizado desde
1970, pero los problemas con este diseño fueron: infección, aflojamiento, detritus
metálicos, rotura de vástagos femorales o tibiales, volumen excesivo de los implantes o
descementación, teniendo malos resultados del 80% a los 10 años de seguimiento (San
Juan-Cerveró et al., 2005). Las prótesis de un solo centro, o tipo bisagra (Fig.1.1) se
reemplazaron principalmente por el aflojamiento aséptico, debido a la falta de rotación
Capítulo I
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11
de estas. Para resolver los problemas mencionados anteriormente se desarrollaron las
rodillas policéntricas.
Fig.1.1. Prótesis de eje simple. El TKO 1500 Ossur (Dupes, 2004).
Las rodillas policéntricas poseen un centro de rotación que varía con el ángulo de
flexión de la rodilla (Oberg & Kamwendo, 1988). Pueden ser mecanismos de cuatro o
seis barras principalmente (Fig. 1.2). Son muy estables durante la fase de apoyo, al
momento de flexionar o al sentarse. Son ideales para los amputados que no pueden
andar de forma segura con otro tipo de rodillas, para los que tienen una desarticulación
de la rodilla, amputación bilateral o para los que tienen muñones largos. Como
limitaciones tiene que la amplitud de rodilla puede quedar limitada a un cierto grado.
El tipo de prótesis que emplea estos mecanismos cuenta con dos ventajas: mayor
estabilidad en la fase de postura (Radcliffe, 1970, Radcliffe, 1977, Radcliffe, 1994) y
flexión de rodilla(Greene, 1983, Oberg & Kamwendo, 1988, Blumentritt & Werner-
Scherer, 1997). Sin embargo, como desventaja tiene que el rango de movimiento sobre
la rodilla puede ser restringido a algunos grados, también el incremento en el peso
debido al mayor número de piezas y el mantenimiento de la misma, que es mayor si se
compara con un mecanismo de una barra.
En(Rovetta et al., 2001), los ligamentos cruzados son sustituidos por cuatro barras
(Fig.1.3) que están dirigidas a dos estructuras que simulan el fémur y la tibia. Este
mecanismo que sustituye a la rodilla consiste en un sistema articulado con un
cuadrilátero cruzado.
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Fig.1.2. Prótesis de rodilla con mecanismo de 4 barras (Gard et al., 1996).
Fig.1.3 Mecanismo de 4 barras cruzado(Rovetta et al., 2001).
Los proyectos de (Kazutoshi et al., 2004) presentan un mecanismo de 4 barras, con un
par de éstas intermedias, e incluye microprocesadores, sensores, cilindros neumáticos e
hidráulicos, como principales componentes para el control de la prótesis, que ayudan a
examinar los parámetros biomecánicos de su prototipo, tales como la duración de la
postura, el ángulo máximo de la flexión de la rodilla en postura y la oscilación, el
ángulo máximo de la flexión de la cadera y de los momentos máximos de la extensión
de la cadera, que permiten mantener a la rodilla en una posición cerrada y prevén que la
rodilla se colapse (Fig. 1.4).
En (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997) se analiza la prótesis OTTO BOCK 3R60®,
que es una rodilla policéntrica de cinco barras, con dos grados de libertad. Tiene dos
centros mecánicos de rotación: el centro instantáneo de rotación (ICR), que se presenta
durante fase de oscilación, y el eje anterodistal, que es el centro de la fase de la postura
en la rotación (Fig. 1.5 y 1.6).
Capítulo I
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Fig.1.4 Mecanismo de 4 barras con 2 barras intermedias y 3 topes (Kazutoshi et al., 2004).
Fig.1.5. Mecanismo policéntricos de OTTO BOCK 3R60 (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997).
Fig.1.6. Centro instantáneo de rotación (CIR) y centro mecánico de rotación (CMR) o el eje anterodistal
de la rodilla, con una fuerza de reacción F aplicada al suelo (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997).
Por otro lado los mecanismos de 6 barras (Fig. 1.7) también han sido utilizado en
uniones de rodillas, como la “Total Knee” y “3R60 Knee” fabricadas por Otto Bock
Company®(Patil & Chakraborty, 1991, Van de Veen, 1994). Chakraborty diseñó un
mecanismo pierna-rodilla de 6 barras para ofrecer un movimiento de coordinación entre
la unión de pierna rodilla durante la fase de avance y postura.
Capítulo I
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Fig.1.7. Configuraciones de los mecanismos de 6 barras para prótesis de rodilla. (Dewen et al., 2003).
1.5.1 Prótesis inteligentes.
Actualmente en el mercado existen varios diseños de prótesis inteligentes, siendo de las
más representativas en cuanto al diseño y fabricación de estas, de las empresas
Endolite's®, Intelligent Plus®, Otto Bock's C-Leg®, Ossur® y Seattle's Power Knee ®
entre otras.
Ossur® (Ossur, 1991) diseñó una de las prótesis comerciales de tipo magnetoreológicas
en 1991, la Rheo Knee (Fig.1.8). Ésta se creó en colaboración con el laboratorio del
Instituto de Tecnología de Massachussets (MIT). Utilizaba actuadores
magnetoreológicos (MR), además de una dinámica para aprender los movimientos del
humano a través de matrices de algoritmos (DLMA). Su función principal era dominar
los movimientos realizados durante el balanceo y la fase de reposo. Los ajustaba en la
prótesis para dar un movimiento de cadencia óptimo, además de mayor estabilidad al
caminar.
(Zahedi, 1993) menciona que las primeras prótesis inteligentes fueron las “Prótesis
Plus”, Fig. (1.9), fabricadas por Chas A. Blatchford en 1993. Éstas contaban con un
microprocesador que controlaba localmente los mecanismos. Se creó con el objetivo de
disminuir el esfuerzo realizado por el paciente al realizar cualquier actividad como
caminar, correr, saltar, etc. y tenía la ventaja de que no se limitaba a una sola velocidad
al caminar. Cuando ésta detectaba que había un cambio de velocidad, el pistón
neumático se ajustaba para controlar la rodilla, permitiendo a la pierna un movimiento
más libre al caminar.
Capítulo I
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15
Fig.1.8. Prótesis magnetoreológica Rheo Knee (Ossur, 1991).
Fig.1.9. Prótesis inteligente Plus (Zahedi, 1993).
En las publicaciones de (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997) se describe el diseño de
una prótesis inteligente creada en 1994. Ésta se llamó Otto Bock 3R60 (Fig.1.10), y
poseía estabilidad mecánica por el movimiento de los centros instantáneos de rotación.
Se consideró como una rodilla policéntrica de 5 barras con 2 grados de libertad, con dos
centros mecánicos de rotación. Se inventó para incrementar la estabilidad en la flexión
de la rodilla en la fase de postura previa (o inicio de la marcha), ya que permitía que la
persona caminara con un movimiento cinemático más normal.
Para 1999 se había creado la prótesis “GEOFLEX” (Fig.1.11), por Motion Technology
for Life™(White, 1999), con base en mecanismos policéntricos, su control era por
fricción. Su objetivo era evitar que algún tropiezo provocara una caída.
Capítulo I
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Fig.1.10. OTTO BOCK 3R60 (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997)
Fig.1.11. Prótesis policéntrica GEOFLEX (White, 1999)
Otro modelo creado en este año fue el “C-LEG” (Michael, 1999) en el que el uso de
microprocesadores combinados con cilindros hidráulicos, marcaron grandes avances
tecnológicos. También se agregaron sensores para adquirir datos como peso, cargas
verticales, movimientos en el plano sagital y movimientos en las uniones de la rodilla;
logrando así mejor control en la etapa de marcha. En el 2000 se creó la rodilla
policéntrica “Total Knee 2000” (Fig.1.12), de Ossur ® (Dupes, 2004), que tenía un
diseño de 7 ejes para un mejor movimiento; se componía de cojinetes de aguja, anillos
de retención, sistema de bloqueo geométrico, sistema hidráulico de 3 fases para cambios
de velocidad suave y flexión de apoyo. Para el 2002 Fillauer-Hosmer (Wiest, 2002)
ofrecía muchas rodillas de eje sencillo con diferentes características, incluyendo ajustes
de fricción y de estabilización, frenos activados mediante peso y ajustes por desgaste
(Fig.1.13).
Capítulo I
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Fig.1.12. Total Knee® 2000 (Dupes, 2004).
Fig.1.13. Prótesis Entegra SV Knee (Wiest, 2002).
En este mismo año, el Grupo de la Compañía Otto Bock® mejoró su articulación de
rodilla modular de eje sencillo “3R80”, que se controlaba mediante fluido y era activada
por peso, presentando más estabilidad en el apoyo. Por otra parte Jim Smith Sales, Inc.,
ofrecía la “Ultimate”, una rodilla hidráulica activada por peso que era ligera y durable, y
con mínimo entrenamiento, una persona amputada podía utilizarla como una de bloqueo
manual o una rodilla que cede a la fase de soporte. También en este contexto Blatchford
Endolite ® mostraba la unidad “Stance Flex ESK” de 4 barras, que tenía como
característica principal un alineamiento central con fricción para seguridad adicional
(Wiest, 2002). Ésta controlaba la fase de apoyo con una opción de bloqueo manual;
contaba con mecanismos activados por peso y una amplia variedad de opciones para el
control de la fase de oscilación.
Capítulo I
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Ossur® tenía la “TKO 1500”, una rodilla que permitía al usuario iniciar la flexión
mientras el pie estaba todavía sobre el terreno. Estos diseños se apoyaban en un diseño
geométrico, con un sistema de bloqueo, que simulaba el movimiento de éstas y tenía
una variedad de características para diferentes actividades y niveles de movilidad,
incluyendo una característica de posición en flexión. Posteriormente Lord Corp® (Corp,
2003) creó una rodilla policéntrica que podía girar casi en cualquier dirección
(Fig.1.14). Ésta supone la emulación natural de la pierna, también puede trabajar bien
con personas con amputaciones transfemorales o por encima de la rodilla. El sistema
hidráulico con el que cuenta este diseño es ajustable, para cuando las partes bajas de la
pierna se adelantan.
En el 2006, se diseñó la prótesis “802 Nylon Knee” (Aulie Devices, 2006) que usaba
una combinación de cilindros con mecanismos de tipo sujeción para el manejo de la
extensión y flexión de la pierna, así como un control de fricción (Fig.1.15).
Otro diseño de prótesis creado en este año fue el “da Vinci Award Nominee” (Fig.1.16),
por C-Leg® (Pahl & Sedlmeier, 2006), que tenía un control remoto para los cambios de
velocidad si se querían dar al momento de caminar o hasta correr, también podía
manipularse el momento de oscilación al empezar a dar el paso. Ésta manejaba sistemas
hidráulicos controlados electrónicamente. Los materiales de construcción eran aluminio
y carbón, haciéndola más ligera. Al microprocesador que gobierna la prótesis le llegan
las señales de todos los sensores utilizados para el control de velocidad, posición,
esfuerzos, etc.
Fig.1.14. Rodilla Hidráulica HOSMER (Corp, 2003).
Capítulo I
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19
Fig.1.15. Rodilla de Nylon 802 (Aulie Devices, 2006).
Fig.1.16. Prótesis inteligente “da Vinci Award Nominee” (Pahl & Sedlmeier, 2006).
Actualmente, en el ámbito nacional, se tienen propuestas de prótesis para miembro
inferior, como las desarrolladas por alumnos de la Unidad Profesional Interdisciplinaria
de Ingeniería y Tecnología Avanzada (UPIITA): “Construcción de un Mecanismo de
Rodilla tipo Policéntrica para personas con Amputación Femoral” (Moreno-Romero,
2003) y “Prótesis de rodilla con pistón magnetoreológico” (Alonso-Areguin, 2005),
entre otras; también hay diseños de prótesis para miembro superior, como el reportado
en “Caracterización cinemática e implementación de una mano robótica
multiarticulada“ (Velázquez-Sánchez, 2008). En la Universidad Autónoma de México
se han desarrollado trabajos como “Prótesis Inteligentes” (Dorador-González, 2005) y
“Diseño de un socket ajustable para prótesis de miembro inferior” (Farah-Simón et al.,
2006).
1.6 Planteamiento del problema.
La síntesis de mecanismos es la base para la construcción de cualquier máquina. Sus
aplicaciones son numerosas y cada una de ellas responde a ciertos requisitos concretos y
específicos que hacen que no sea posible crear pautas de diseño generales en las
posibles soluciones para un mismo problema de síntesis de mecanismos, ya que existen
Capítulo I
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
20
diversas tipologías que pueden cambiar según el caso. Esta falta de homogeneidad ha
servido para la creación de varios métodos para resolver problemas de síntesis, entre los
que se encuentran los métodos de optimización.
La etapa de síntesis dimensional es la más estudiada y existen numerosos métodos de
resolución, sin embargo y pese a que han existido varios planteamientos en los
problemas, ninguno ha sido concluyente porque todos presentan algún tipo de
inconveniente. En el caso de los métodos exactos, se tienen problemas como la
exigencia de cumplir con los requisitos, que pueden ser los puntos de precisión con total
exactitud. Sin embargo, esta exigencia no es tan práctica porque no es posible
reproducir exactamente los modelos diseñados debido a factores como las tolerancias de
fabricación, holguras en los pares cinemáticos y deformaciones de los elementos del
mecanismo durante su funcionamiento. El número de puntos de precisión es limitado y
depende del tipo de mecanismo que se utilice.
De aquí el surgimiento de los métodos de síntesis aproximados que tiene dos objetivos
principales: dar al planteamiento una orientación hacia la resolución mediante
herramientas de programación y plantear estrategias de búsqueda del óptimo global
dentro del espacio de diseño, también busca una solución que usualmente no es única y
el número de requerimientos de diseño no es una limitación.
Por otro lado, durante años se han diseñado diversas configuraciones de mecanismos
como los de eje simple y eje policéntrico para las prótesis para miembro inferior, pero
han sido en su mayoría para gente con características antropomórficas distintas a las de
este país, lo que motiva a diseñar una prótesis que asemeje los movimientos lo más
posible al cuerpo humano y cubra las necesidades de la población mexicana.
Por dicha problemática, se plantea el desarrollo de una herramienta de optimización
basada en computación inteligente y en la síntesis aproximada de mecanismos,
buscando consumir poco tiempo de cómputo y desarrollar la función objetivo óptima.
En este trabajo se busca una solución adecuada para tener una eficiencia cinemática en
un mecanismo generador de trayectorias cumpliendo con las restricciones impuestas y
variables como la longitud de los eslabones, el ángulo de transmisión y los ángulos que
dan la movilidad al mecanismo para prótesis de miembro inferior, ya que pequeñas
Capítulo I
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
21
diferencias en las longitudes de los eslabones y en la posición de las articulaciones que
los unen puede generar grandes cambios en el comportamiento cinemático de los
mecanismos.
Sintetizando un mecanismo, el objetivo es controlar el movimiento realizado durante el
balanceo y la fase de reposo para dar un movimiento de cadencia óptimo, además de
ofrecer una mayor estabilidad al caminar a través de un mecanismo policéntrico, el cual
posee una biomecánica de desplazamiento y cadencia de paso distinta de la marcha
normal de un individuo con sus extremidades naturales, pero que se tendrá que mejorar
para conseguir la comodidad y funcionalidad en dicha prótesis.
Este trabajo en conjunto con estudiantes de licenciatura, maestría y doctorado
participantes del proyecto CONACYT, proyecto 2005/49701 “Robótica y
Microtecnología aplicada en la Ingeniera Biomecánica para el Desarrollo de Prótesis y
Equipo con Tecnología Nacional” y los proyectos “Análisis y síntesis de un mecanismo
antropomórfico subactuado para el desarrollo de prótesis robótica, diseño y
construcción del prototipo” con número de registro 20071298 y “Caracterización de la
dinámica del cuerpo humano mediante un sistema basado en acelerómetros micro-
electro-mecánicos (MEMS)” con número de registro SIP20082296 , proyectos PIFI del
IPN, se creará una prótesis inteligente para miembro inferior, que tiene como principal
objetivo cubrir necesidades como flexión, extensión, control en el balance, y
seguimiento de trayectorias predefinidas por el movimiento natural de la pierna. El
diseño está dirigido para que sea fabricado con materiales de buena calidad y de más
fácil acceso en el mercado nacional, sencillo uso del dispositivo y sobre todo viable
económicamente, lo que permite considerar el impacto que habrá en la reducción de
costos al fabricar prótesis ortopédicas con tecnología nacional.
1.7 Objetivos del proyecto y organización de la tesis.
El objetivo general de esta tesis, es desarrollar herramientas de computación evolutiva
para la síntesis de mecanismos policéntricos con aplicación en la biomecánica.
Derivados del objetivo general y el análisis del estado del arte, se plantean los siguientes
objeticos específicos:
Capítulo I
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
22
• Plantear una función objetivo que resuelva un problema de síntesis de optimización
de mecanismos necesarios para evaluar varias cantidades de puntos y trayectorias.
• Diseñar un mecanismo que cubra las especificaciones impuestas para generar el
movimiento de una rodilla humana.
• Probar la viabilidad práctica de la estrategia planteada mediante la implementación
de los algoritmos genéticos capaz de resolver casos prácticos de síntesis.
Con base en los objetivos planteados, este trabajo se ha organizado de la siguiente
manera:
En el Capítulo 1, Estado del Arte, se presentan los métodos para la síntesis de
mecanismos más utilizados durante los últimos años, las principales técnicas de
computación inteligente, entre las que destacan los algoritmos genéticos, la lógica
difusa y las redes neuronales. También se presenta la optimización en la síntesis de
mecanismos utilizando estas técnicas para ser aplicados en las prótesis robóticas
inteligentes para miembro inferior, caso de aplicación de este trabajo. Se describe el
planteamiento del problema y los objetivos propuestos para resolver la problemática
existente en fase de marcha utilizando una prótesis.
En el Capitulo 2, Fundamentos Teóricos, se da una introducción a los aspectos teórico-
prácticos, se presentan los fundamentos teóricos para el análisis y la síntesis de
mecanismos indicando métodos numéricos y de optimización, para el caso de estudio se
presenta el rango de movimiento de la rodilla como base para la simulación.
En el Capitulo 3, Simulación y síntesis de mecanismos, se presenta la síntesis y el
análisis de mecanismos planares para generar trayectorias predefinidas de mecanismos
de 4 y 6 barras. Para la síntesis de mecanismos se emplean los algoritmos genéticos
como métodos de optimización y búsqueda para las dimensiones de los eslabones y los
ángulos de movimiento.
En el Capítulo 4, Diseño de mecanismos, se presenta el análisis de varias
configuraciones de mecanismos optimizados con algoritmos genéticos, y la aplicación
de estos en el diseño de una prótesis policéntrica.
Capítulo I
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
23
En el Capítulo 5, Análisis y discusión de resultados, se presentan los resultados
obtenidos al aplicar algoritmos genéticos a diversas configuraciones de mecanismos
aplicados a una prótesis para miembro inferior.
1.8 Sumario.
En este capítulo se presentaron los avances que han existido en la síntesis de
mecanismos. Se enumeraron los métodos más utilizados y las mejoras que han aportado
en esta rama de la mecánica. Se hizo un énfasis en la aportación que han tenido las
herramientas computacionales y las técnicas de computación inteligente como los
algoritmos genéticos y la lógica difusa, en la optimización de estos mecanismos para
obtener respuestas más viables y óptimas en cuanto a las diversas necesidades de los
usuarios, resaltando los algoritmos genéticos como método de búsqueda.
Se describió la importancia de los algoritmos genéticos para mejorar la síntesis de
mecanismos, ya que principalmente sirven para eliminar las limitaciones y ayudan a
tener una exactitud en los puntos de precisión delimitados por el diseñador, con lo que
se obtiene una reducción de tiempo computacional y derivaciones de las ecuaciones
obligatorias de una función objetivo específico. También se mostro que puede haber
combinación de los algoritmos genéticos con un controlador de lógica difusa para
monitorear el comportamiento de las variables de diseño durante el corrimiento de los
AG y poder modificar los resultados para una mejor optimización.
Por otro lado se mencionaron los tipos de mecanismos que se utilizan actualmente en la
fabricación de prótesis inteligentes, lo que sirve de base para determinar que
configuración de mecanismos se puede utilizar para mejorar el rendimiento de la
prótesis y asi poder cubrir las necesidades del usuario.
Por último se presentó una reseña historia de las prótesis inteligentes que han existido y
la forma como han mejorado para lograr un movimiento más cercano al del miembro
inferior perdido.
En el siguiente capítulo se presentarán los fundamentos teóricos para resolver la síntesis
de mecanismos con métodos numéricos y algoritmos genéticos, la clasificación de estos.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 25
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
En este capítulo se presentan los fundamentos teóricos para el análisis y la síntesis de mecanismos, indicando métodos numéricos y de optimización como los algoritmos genéticos y la lógica difusa. Para el caso de estudio se presenta el rango de movimiento de la rodilla como base para la simulación.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 26
2.1 Generalidades.
Para estudiar un mecanismo se tiene que hacer un análisis estructural, cinemático y dinámico, con el
cual se desarrollará la fase analítica, la construcción geométrica, las dimensiones significativas de
los eslabones y la posición inicial en la que el mecanismo debe trabajar para cubrir las necesidades
impuestas. El análisis cinemático se apoya en los requerimientos de movimientos relativos de los
eslabones y se expresa en términos de desplazamientos lineales, velocidades y aceleraciones. El
análisis dinámico está formado por la fuerza y el movimiento aplicado a las articulaciones del
mecanismo, considerándolo como un cuerpo rígido, partiendo del hecho que se conocen los
movimientos. El análisis estructural es en el que se determinan los esfuerzos y deformaciones que se
presentan en los mecanismos, en esta parte se establecerá el factor de seguridad que relaciona la
resistencia considerando las cargas y los materiales. Este capítulo se enfocará al análisis cinemático,
en el cuál, para plantear y dar solución al modelo, es necesario establecer una relación geométrica
entre los elementos que conforman la cadena cinemática, proponiendo algunos métodos de solución
como son Newton Raphson, Algebra Compleja y Algoritmos Genéticos para las diferentes
configuraciones de los mecanismos.
2.2 Análisis y Síntesis de mecanismo
Para desarrollar la síntesis de un mecanismos se tiene que realizar el análisis cinemático, dinámico y
estructural (Erdman & Sandor, 1998):
Cinemática:
• Generación de función: Es la que determina la coordinación de posición, velocidad y/o
aceleración de entrada/salida.
• Conducción de cuerpo rígido: Es la generación del movimiento.
• Generación de trayectoria: Es la generación de la curva acopladora, aquí se analiza la
posición, velocidad y/o aceleración en puntos a lo largo de una trayectoria puntual.
• Fuerzas estáticas: Se analiza el ángulo de transmisión y las ventajas mecánicas.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 27
Dinámica:
• Balanceo: Son las fuerzas y/o momento de sacudidas inerciales.
• Fuerza de inercia: Son las fuerzas de inercia, dinámica de máquinas o análisis
cinetoestático.
• Respuesta movimiento-tiempo: Está el balanceo entrada-par de torsión o la síntesis fuerza-
sistema.
• Efectos de holguras y tolerancias.
• Dinámica de cuerpo elástico: Eslabón flexible y cinetoelastodinámica.
Para describir la relación de rotación y traslación entre los elementos de una cadena cinemática,
(Denavit & Hartenberg, 1955) propusieron, un método matricial para establecer de forma
sistemática, un sistema de coordenadas ligado al cuerpo para cada elemento de la cadena articulada.
La convención propuesta por (Denavit & Hartenberg, 1955) llevada al área de manipuladores
robóticos considera cuatro parámetros importantes:
1. Se lleva al manipulador a una posición inicial, que servirá de referencia para medir los
desplazamientos del sistema.
2. Se numeran los eslabones del sistema, comenzando por 0 para la base del robot, hasta n para
el efector final.
3. Se numeran las articulaciones del sistema, comenzando por 1 para la primer articulación y n
para la última; donde n= número de grados de libertad.
4. Los sistemas de coordenadas se asignarán en donde se interceptan el eslabón i-1 con la
articulación i con base en lo siguiente:
Un eslabón puede ser considerado como un cuerpo rígido, el cuál es descrito por dos parámetros, la
longitud del eslabón y el giro de éste. Estos parámetros definen la localización relativa de los ejes de
articulaciones vecinas en el espacio. Estas también son descritas por dos parámetros, el
descentramiento del eslabón (la distancia de un eslabón a otro próximo a lo largo del eje de la
articulación) y el ángulo de la articulación, que es la rotación de un eslabón con respecto al
próximo, alrededor del eje de la articulación (Merchán, 2000, Velázquez, 2003).
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 28
Para dar solución al modelo dinámico se tienen que tomar en cuenta el movimiento de rotación y el
de traslación para poder determinar las fuerzas que actúen sobre los eslabones al estar el mecanismo
en movimiento.
2.3 Clasificación de mecanismos.
Los mecanismos por sus similitudes y diferencias pueden ser planos, esféricos y espaciales (Shigley,
1988). En los planos todas las partículas describen curvas planas en el espacio y se encuentran en
planos paralelos, esto hace posible que el lugar geométrico de cualquier punto seleccionado se
represente con su verdadero tamaño y forma real en un solo dibujo. El movimiento plano requiere
también que los ejes de todos los pares prismáticos y todos los ejes de revolución sean normales al
plano de movimiento. En los mecanismos esféricos cada eslabón tiene algún punto que se mantiene
permanente conforme el eslabonamiento se mueve y los puntos estacionarios de todos ellos están en
una ubicación común. En el caso de este eslabonamiento, los ejes de todos los pares de revolución
se deben intersectar en algún punto. Los mecanismos espaciales no incluyen restricciones en los
movimientos relativos de las partículas. Debido a las características del objeto de estudio, lo más
adecuado es trabajar con mecanismos planos y posteriormente mecanismos espaciales.
2.3.1 Mecanismos Planos
Se le llama así cuando las trayectorias de los puntos móviles del mecanismo se encuentran en un
solo plano o en planos paralelos. Las posiciones sucesivas de un punto en movimiento definen una
recta o una curva, que representa las posiciones sucesivas de éste, conocido como trayectoria del
punto en movimiento en el sistema de coordenadas de referencia. En problemas en el plano,
conviene expresar un vector especificando su magnitud y dirección en notación polar. El lugar
geométrico de cualquier punto de un mecanismo plano se representa con su verdadero tamaño y
forma real, en un solo dibujo o figura. La transformación del movimiento de cualquier mecanismo
de esta índole se llama coplanar (Shigley, 1988).
Los mecanismos que sólo utilizan pares cinemáticos inferiores (eslabonamiento plano) únicamente
pueden incluir articulaciones de revolución y pares prismáticos.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 29
2.3.1.1 Mecanismo plano de 4 barras.
Para el análisis cinemático de un mecanismo plano de cuatro barras, se tienen que determinar ciertas
restricciones (Shigley, 1988):
• Determinación del número de grados de libertad: Éste se puede calcular a partir del número
de coordenadas dependientes y del número de ecuaciones de restricción independientes.
• El problema de posición inicial: Consiste en calcular la posición inicial del sistema
(coordenadas dependientes) a partir de los valores de los grados de libertad (coordenadas
independientes) y de las dimensiones de los distintos elementos. El problema del análisis de
posición es determinar los valores de todas las variables (posiciones de todos los puntos y
articulaciones) dadas las dimensiones de cada eslabón, y el valor o valores de las variables
independientes, es decir aquellas que se escogen para representar los grados de libertad del
mecanismo.
• El Problema de los desplazamientos finitos: sirve para calcular una nueva posición del
sistema a partir de unos incrementos finitos de las coordenadas independientes.
• Análisis de velocidades: Calcula las velocidades dependientes a partir de las independientes.
• Análisis de aceleraciones: Calcula las aceleraciones dependientes a partir de todas las
velocidades y de las aceleraciones independientes. 2.3.1.1.1 Grados de libertad.
En un sistema, los grados de libertad (GDL) son el número de parámetros independientes (medidas)
que se necesitan para definir unívocamente su posición en el espacio en cualquier instante. Para
determinar los GDL totales de un mecanismo se debe tener en cuenta el número de eslabones y
articulaciones, así como las interacciones entre ellos. De acuerdo a la condición de Kutzbach
(Shigley, 1988), un eslabón cualquiera en un plano tiene 3 GDL antes de conectarse entre sí, cuando
se mueven en relación al eslabón fijo. Sin contar este último, un mecanismo de n eslabones posee
3(n-1) grados de libertad antes de conectar cualquiera de las articulaciones. Cuando las restricciones
de todas las articulaciones se restan del total de grados de libertad de los eslabones no conectados,
se encuentra la movilidad resultante del mecanismo conectado. Este razonamiento conduce a la
ecuación de Kutzbach:
m= 3(n-1)-2j1-j2 (2.1)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 30
En donde:
m = Grados de libertad, n = Número de eslabones, j1= Numero de pares de un solo grado de
libertad, j2= Número de pares con dos grados de libertad.
Para un mecanismo de 4 barras, los grados de libertad son:
m= 3(4-1)-2(2)-0=1 (2.2)
Para un mecanismo de 6 barras los grados de libertad son:
m= 3(6-1)-2(7)-0=1 (2.3)
Si este criterio da m > 0, el mecanismo posee m grados de libertad. Si m=1, este se puede impulsar
con un solo movimiento de entrada, si m=2, se necesitan dos movimientos de entrada separados
para producir un movimiento restringido del mecanismo. Si m=0 el movimiento es imposible y
forma una estructura.
2.3.1.1.2 Ley de Grashof.
Esta ley afirma que para un eslabonamiento plano de cuatro barras (Figura 2.1), la suma de las
longitudes más corta y más larga de los eslabones no puede ser mayor que la suma de las longitudes
de los eslabones restantes (Figura 2.2), si se desea que exista una rotación relativa continua entre
dos elementos (Tabla 2.1). Para el tipo de problema a resolver, el mecanismo con cambio de punto
es el más adecuado.
Figura 2.1 Partes de un mecanismo de 4 eslabones.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 31
Tabla 2.1 Clasificación de Grashof para mecanismos de 4 barras (Martin et al., 2007). Tipo de mecanismos Barra más
corta Relación entre la longitud de las barras
Eje inestable del balancín
Manivela s + l < p + q
Fricción en el acoplamiento
Tierra s + l < p + q
Doble balancín Acoplamiento s + l < p + q Cambio de punto Cualquiera s + l = p + q Triple eje de balancín Cualquiera s + l > p + q
Siendo s=longitud del eslabón más corto, l=longitud del eslabón más largo, p=longitud del eslabón restante y q=longitud del eslabón restante.
Figura 2.2. Tres inversiones del cuadrilátero de Grashof (Martin et al., 2007).
Esta ley aplica principalmente para mecanismos de cuatro eslabones, pero si se quiere analizar uno
de seis, como el tipo Watt, se puede considerar como dos eslabonamientos de cuatro barras
conectados en serie y que tienen dos eslabones en común. El tipo Stephenson puede considerarse
como dos eslabonamientos de cuatro barras conectados en paralelo y que tienen dos eslabones en
común.
2.3.1.1.3 Análisis de posición, velocidad y aceleración.
Una meta del análisis cinemático consiste en determinar las aceleraciones de todas las partes
móviles del conjunto. Se necesitan conocer las fuerzas dinámicas con el fin de calcular los esfuerzos
en los componentes. Para calcular los esfuerzos se necesitan conocer las fuerzas estáticas y
dinámicas en las partes, y con el fin de determinar tales fuerzas dinámicas es necesario conocer las
aceleraciones. Para calcular éstas, debemos hallar primero las posiciones de todos los eslabones del
mecanismo para cada incremento en el movimiento de entrada y luego derivar las ecuaciones de
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 32
posición con respecto al tiempo para obtener velocidades; se derivan luego éstas con el fin de tener
las expresiones de aceleración (Norton, 1999).
2.3.1.1.4 Espaciamiento de Chebychev
Si θ2 es la posición angular del eslabón 2, en un eslabonamiento de cuatro barras, y θ4 es la posición
angular del eslabón 4, entonces uno de los problemas de la síntesis cinemática es encontrar las
dimensiones del eslabonamiento de tal manera que en donde f es cualquier relación
funcional deseada. Aunque el problema no sea resuelto, es posible especificar hasta 5 valores para
θ2 llamados puntos de precisión y encontrar un eslabonamiento que satisfaga la relación deseada
para la función y luego seleccionar de 2 a 5 puntos de precisión a partir de la gráfica para utilizarlos
en la síntesis (Freudenstein & Sandor, 1964). Si el proceso tiene éxito, la relación funcional se
satisface para estos puntos; pero ocurrirán desviaciones en otros. Uno de los principales problemas
de diseño de eslabonamiento consiste en seleccionar un conjunto de puntos de precisión para
utilizarlos en la síntesis, de tal modo que se minimice el error estructural o los puntos que se
presentan en las desviaciones.
Como primera aproximación, el mejor espaciamiento es el de Chebychev. Para n puntos en un
intervalo ,el espaciamiento según (Freudenstein & Sandor, 1964, Shigley, 1988) es:
donde j=1,2,…n y xj son los puntos de precisión.
Estos puntos se obtienen gráficamente construyendo primero un círculo cuyo diámetro es el
intervalo Δx dado por la ecuación:
∆ (2.4)
En este círculo se traza un polígono inscrito regular de n lados y se bajan perpendiculares en cada
vértice que intersectarán a Δx en los puntos de precisión como se muestra en la Figura 2.2. Este
espaciamiento se considera la aproximación inicial dependiendo de la necesidad de exactitud del
problema. Si se requiere de mayor exactitud entonces, mediante una curva del error estructural
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 33
contra x, se pueden determinar visualmente los ajustes que se deben hacer en los puntos de precisión
para la aproximación siguiente. Ejemplo:
∆ 5 12
12
2 12 0.5 1 3 0.5 3 1 cos
2 1 12 5 1.0489
Figura 2.3 Ejemplo de Espaciamiento de Chebychev de 5 puntos de precisión.
2.3.1.1.5 Síntesis de mecanismos manivela oscilador
Las posiciones límites del oscilador en un mecanismos de manivela oscilador están identificadas
con A1, B1 y A2, B2 (Figura 2.4). En éste, la manivela y el acoplador quedan en una sola posición
en cada posición extrema. En este caso, la manivela recorre ψ el oscilador recorre φ y en el
retroceso, la manivela recorre 360-ψ el oscilador recorre φ (Shigley, 1988).Este mecanismo se
emplea en algunas ocasiones para definir una línea recta por el acoplador o biela. El eslabonamiento
de Watt es un mecanismo de cuatro barras que desarrolla una línea aproximadamente recta como
parte de la curva del acoplador. Aunque no describe una recta exacta, se logra una aproximación
aceptable sobre una distancia de recorrido considerable.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 34
Figura 2.4 Síntesis de un eslabonamiento de 4 barras (Shigley, 1988).
2.3.1.1.6 Método de Newton Raphson para la solución de funciones no lineales.
Es un método iterativo que se emplea para la obtención de raíces de una función. Este método no
trabaja sobre un intervalo específico, sino que basa su formulación en un proceso iterativo
(Velázquez-Sánchez, 2008). El Método de Newton-Raphson asume que la función f (x) es derivable
sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f (x) tiene una pendiente definida y una línea tangente
única en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en (x0, f (x0)) es una aproximación a la
curva de f (x) cerca del punto (x0, f (x0)). En consecuencia, el cero de la línea tangente es una
aproximación del cero de f (x) o denominada raíz de f(x) (Figura 2.5).
Figura 2.5 Modelo general del Método de Newton Raphson.
Para el análisis de convergencia: sean x0, x1, x2,..., xn, xn+1 las aproximaciones en sucesivas
iteraciones, r el verdadero valor de la raíz. Si se toma como error en la n-esima iteración a en
entonces el error en estará dado por: en =xn −r y en consecuencia en+1=xn +1−r que es conocido
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 35
como la diferencia de Newton (Trejo-Aguirre, 2008) y representa la cantidad de corrección a la
solución aproximada en la n-ésima iteración. El modelo matemático de este método es el
siguiente(Norton, 1995, Merchán-Cruz, 2005):
Para un conjunto de funciones no lineales se tiene:
1, 2, 3, … 0, 1,2, … , (2.5)
Donde fi es una función no lineal de las xj. Teniendo una estimación inicial de la solución, ésta se
puede escribir como:
∆ (2.6)
Donde es la estimación inicial y ∆ es una corrección desconocida. Si se expande la ecuación
2.6 para obtener un polinomio de Taylor truncado de primer orden alrededor de se obtiene:
∆ , , … (2.7)
Donde las derivadas parciales se evalúan con las condiciones iniciales. Escribiendo la ecuación
como matriz:
∆ (2.8)
Donde J es la matriz jacobiana dada por:
(2.9)
∆∆∆∆
(2.10)
, , , … … ., , , … … ., , , … … .
(2.11)
Las derivadas parciales pueden evaluarse con una aproximación de diferencia:
, … . , , … . , , …
(2.12)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 36
Donde es un valor pequeño elegido arbitrariamente.
Generalizando el método se tiene:
(2.13)
Siendo k el valor de la incógnita que indicara el numero de iteraciones para obtener el mejor valor a
la aproximación de la curva f(x).
La síntesis del método se presenta en la Figura 2.6.
Figura 2.6 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en la Síntesis de Mecanismos.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 37
2.3.1.1.7 Síntesis analítica con algebra compleja.
La posición de un punto en el plano se define mediante un vector de posición. La elección de ejes de
referencia es arbitraria y se puede expresar en forma polar para proporcionar la magnitud y la
dirección del vector o en forma cartesiana para aportar los componentes X y Y del mismo (Norton,
1995). La utilidad real de los números complejos en el análisis en el plano se debe a la facilidad con
que se pueden pasar a la forma polar, si se usa la notación compleja rectangular para un vector R se
puede describir:
/ cos sin (2.14)
Y si se emplea Euler se tiene:
(2.15)
El cuál también se puede escribir en la forma polar compleja como:
(2.16)
Utilizando estas ecuaciones se obtiene el movimiento complejo en un vector, el cuál es la suma de
los componentes de traslación y rotación. (Bloch, 1940) desarrolló un método para la síntesis de
mecanismos de 4 barras utilizando algebra compleja, para esto, reemplazan cada uno de los
elementos del mecanismo por un vector de posición, presentado en notación compleja polar.
Empleando este método para la Figura 2.7, cada vector que define a los eslabones se presenta de la
siguiente forma (Norton, 1995):
Figura2.7. Mecanismo de cuatro barras.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 38
Siendo xd y yd los valores del punto deseado, x0 y y0 los puntos para el origen, r2 la manivela, rcx y
rcy los eslabones que tocan el punto de precisión. Con base en la Figura 2.7 se tiene:
(2.17)
Al aplicar la notación polar:
Si se sabe que por Euler se tiene:
Al desarrollar (2.18) en forma cartesiana, aplicando Euler se tiene:
De (2.20) se puede agrupar la parte real y la parte imaginaria para formar ecuaciones simultáneas y
obtener las incógnitas de los ángulos , que se desarrollaran más adelante.
Real: (2.21)Imaginaria: (2.22)
Reacomodando estas ecuaciones para despejar y asumiendo que 0 y es un valor de
entrada que se puede manipular se obtiene:
(2.23)
(2.24)
Sumando y elevando al cuadrado ambas ecuaciones para simplificar se tiene:
2 2 2 cos (2.25) Esta ecuación debe normalizarse para reducir su complejidad, y para esto se utilizan las constantes
K1, K2 y K3 en términos de las longitudes de los eslabones:
, 2 (2.26)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 39
Por lo tanto en notación simplificada la ecuación (2.27), conocida también como la ecuación de
(Freudenstein, 1956) se puede expresar como sigue:
cos (2.27) Para reducir más esta ecuación se emplean las identidades trigonométricas del ángulo mitad, que
convertirán los términos en y en términos de tan :
2 21 2
(2.28)
1 21 2
(2.29)
Conocida , de (2.27) se agrupan nuevamente las variables, teniéndose:
(2.30)2 (2.31)
1 (2.32)
2 20 (2.33)
Utilizando la ecuación cuadrática para obtener los valores de los ángulos se tiene:
, 2√ 4
2 (2.34)
Como se observa, (2.34) tiene soluciones que pueden ser reales iguales, reales distintas y complejas
conjugadas. Si estas son complejas conjugadas, los eslabones con esas longitudes no se conectan (no
forman una cadena cinemática cerrada) para el valor de seleccionado (Moreno-Pérez, 2006).
Para calcular el ángulo , se realiza un procedimiento similar al cálculo de . Hay que regresar a
(2.21 y 2.22) despejando ahora , resultando:
(2.35)
(2.36)
Elevando al cuadrado y sumando para eliminar se obtiene la ecuación:
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 40
cos cos (2.37)
La constante es la misma que para , K4 y K5 son:
y (2.38)
Reduciendo a la forma cuadrática:
2 2 0 (2.39)
Donde:
(2.40)2 (2.41)
1 (2.42) Y la solución es:
, 2E √E 4DF
2D
(2.43)
Igual que para , hay dos soluciones correspondientes a las ramas cruzadas y abiertas del
eslabonamiento, que de acuerdo a la configuración para este mecanismo, deben elegirse los signos
de acuerdo a la Tabla 2.2:
Tabla 2.2. Configuración de mecanismos (Moreno-Pérez, 2006).
Configuración Abierta + √ - √ Cruzada - √ + √
La posición de un punto P sobre el eslabón acoplante (como el mostrado en la figura 2.7) se puede
calcular una vez que se tienen los ángulos y dado que el marco de referencia se encuentra
localizado en xo y yo:
(2.44)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 41
Una ventaja de utilizar la notación de números complejos para representar vectores planos (o en el
plano) proviene de la identidad de Euler y sirve para desarrollar y deducir las ecuaciones para la
posición, la velocidad y la aceleración del eslabonamiento(Norton, 1995).
2.3.1.1.8 Centro Instantáneo de Rotación en un mecanismo policéntrico.
El centro instantáneo es la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes de dos cuerpos
rígidos diferentes para los que las velocidades absolutas de los dos puntos son iguales. También se
puede definir como la ubicación de un par de puntos coincidentes de dos cuerpos rígidos diferentes
para los que la velocidad aparente de uno de los puntos es cero, tal y como la percibe un observador
situado en el otro cuerpo. En general, el centro instantáneo entre dos cuerpos no es un punto
estacionario, sino que su ubicación cambia en relación con ambos cuerpos, conforme se desarrolla el
movimiento y describe una trayectoria o lugar geométrico sobre cada unión de ellos. Estas
trayectorias son llamadas centrodas. Éste sirve para obtener la síntesis del mecanismo respecto a su
posición, velocidad y aceleración. En las prótesis policéntricas, éste varia con el ángulo de flexión
de la rodilla y determina el control mecánico de ésta (Oberg & Kamwendo, 1988).
Para un mecanismo de 4 barras, los centros instantáneos de rotación se muestran en la Figura 2.8,
los puntos P2.4,P2.3, P2.1, P3.1, P1.4 y P3.4, muestran la unión de los centros instantáneos, estos
son los que se pueden determinar a simple vista, aunque existe una fórmula para establecerlos ,
además del Teorema de Aronhold-Kennedy (Norton, 1995). La combinación para n objetos tomados
r en cada vez, es:
1 2 … 1!
(2.45)
Aplicando esta ecuación, para un mecanismo de 4 barras se tienen 6 CI, para uno de 6 barras 15 CI
y para uno de 8, 28 CI.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 42
Figura 2.8 Centros instantáneos de rotación en un mecanismo de 4 barras.
2.3.1.2 Implementación de los métodos en la síntesis de un mecanismo de 4 eslabones.
Se tiene un mecanismo plano de 4 eslabones, como el mostrado en la Figura 2.7, en el cuál se
requiere obtener la longitud de todos los eslabones y el valor de los ángulos de la biela y el seguidor,
aplicando el método de Newton Raphson, algebra compleja y los centro instantáneos de rotación.
Para hacer el análisis cinemático, se parte de obtener la ecuación que refleja el orden particular de
los vectores para formar una cadena cinemática cerrada y una cadena abierta , para esto se aplican
las ecuaciones 2.21 y 2.2.2, que son la base para obtener la Función de Freudenstain, que es la
relación entrada-salida del sistema, para cadena cerrada:
(2.46)
Y para la cadena cinemática abierta del mecanismo antes referido se tiene:
(2.47)
Si se toma la función correspondiente a la cadena abierta, como primer ejemplo, considerando como
variables, para este caso xo, r2, yo, rcx y rcy, y el número de puntos de precisión (5 por ejemplo), el
jacobiano respectivo es:
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 43
1 1
5 5
(2.48)
Si se substituyen los valores propuestos para las variables correspondientes, los valores deseados
impuestos en la trayectoria para x y y, además del ángulo de entrada , además de substituir estos
en la ecuación 2.48, se obtendrán la primer aproximación de las raíces para la obtención de la curva
para cada variable.
Substituyendo los valores obtenidos de las variables en la función de posición correspondiente a los
puntos generados se tienen:
/2 (2.49)
/2 (2.50)
Para saber en qué momento debe terminar esta serie de iteraciones, es necesario definir una
restricción, para este caso se plantea la distancia euclidiana entre el valor deseado y el generado,
presentado por la ecuación 2.51:
(2.51)
Dos situaciones en las que el Método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el Método no
alcanza la convergencia y (b) el Método converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación
(Luthe et al., 1982).
Con los valores de las dimensiones obtenidos para los eslabones y los ángulos y se
desarrollan las ecuaciones para algebra compleja, que para este ejemplo se representan por:
(2.52) (2.53)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 44
(2.54) (2.55) (2.56) (2.57) (2.58)/ (2.59)
Y por último los centros instantáneos de rotación vienen dados por: 4 4 1
2 6 (2.60)
2.3.1.3 Mecanismos de seis barras.
En ocasiones, en las que se halla una buena solución a un problema de síntesis de eslabonamiento,
que satisface las restricciones de generación de trayectoria, pero ésta tiene los pivotes fijos en
localizaciones impropias para la unión al plano o al armazón de fijación disponible, se presentan los
mecanismos cognados. Este término fue empleado por (Denavit & Hartenberg, 1955) para describir
un eslabonamiento de distinta configuración, que genera la misma curva que el acoplador.
De acuerdo al teorema de Roberts-Chebychev (Shigley, 1988), tres eslabonamientos planos de
cuatro barras articuladas, describirán curvas del acoplador idénticas. Al hacer arreglos entre los
mecanismos cognados de cuatro barras, se obtienen las configuraciones fundamentales de
mecanismos de 6 barras, el tipo Watt y el tipo Stephenson, como los mostrados en la Figura 2.9.
Figura 2.9. Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Watt y Tipo Stephenson.(Dewen et al., 2003).
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 45
Dicha clasificación depende de los eslabones ternarios (miembros con tres articulaciones de
revolución). En la cadena Watt, los eslabones ternarios son adyacentes; en la cadena Stephenson, los
eslabones ternarios están separados por eslabones binarios.
La síntesis de mecanismos de 6 barras es estudiada para cubrir ciertas exigencias que no se pueden
cubrir con los mecanismos de 4 barras. Estos se emplean cuando se tienen requerimientos que
producen una detención (que es cuando existe un periodo inmóvil del acoplamiento de la salida para
el movimiento diferente a cero del acoplamiento de la entrada), en el acoplamiento de la salida
durante los periodos predefinidos del movimiento del acoplamiento de la entrada (Norton, 1999).
Aplicados a la prótesis de miembro inferior, ofrecen movimientos con mejor coordinación en la fase
de postura y avance.
En la síntesis de mecanismos de 6 barras, la optimización se formula generalmente como la
minimización del error en ángulos correlacionados de la entrada y la salida. Es decir, la posición del
error que se presenta entre la trayectoria obtenida y la trayectoria deseada.
A estos mecanismos también se les puede hacer la síntesis por medio del método de Newtón
Raphson y por algebra compleja siguiendo el mismo principio que para un mecanismo de cuatro
barras, ya que los de 6 eslabones se forman por la unión de 2 mecanismos de esta configuración.
2.3.2 Mecanismos espaciales.
El problema de la síntesis de mecanismos espaciales se puede dividir en brazos manipuladores,
mecanismos paralelos y mecanismos esféricos. Los mecanismos de cadena abierta, conocidos como
robots manipuladores están constituidos por una serie de barras dispuestas en serie y conectadas
mediante pares que en conjunto proporcionan una gran movilidad a un actuador final (Sanchéz-
Marín, 2000). Estos tienen como principal inconveniente el hecho de que debido a su configuración,
acumulan el error de posicionamiento de los diferentes pares cinemáticos desde la base hasta el
actuador final, creciendo este error con la fuerza aplicada en dicho actuador. La síntesis de este tipo
de mecanismos se centra en la elección de los pares y la determinación de la longitud de las barras
de forma que se obtenga una movilidad y precisión óptima. En los mecanismos paralelos los
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 46
eslabones y pares forman parte de dos o más cadenas cinemáticas que están diseñadas para
funcionar en paralelo. De éstas existen muchas posibles configuraciones, siendo la más conocida la
plataforma de Stewart (Sanchéz-Marín, 2000). Sus seis grados de libertad le proporcionan una gran
movilidad y precisión (Figura 2.10). La síntesis se centra fundamentalmente en la búsqueda de
nuevas configuraciones o síntesis de tipo y en el dimensionamiento de los eslabones para el
cumplimiento de una serie de requisitos de movilidad.
Figura 2.10 Plataforma Stewart. (Sanchéz-Marín, 2000)
Los mecanismos esféricos se caracterizan porque generalmente poseen únicamente pares inferiores
y estos pares se mueven dentro de una superficie esférica (Sanchéz-Marín, 2000). La síntesis de
estos tiene características similares a la síntesis de mecanismos planos con pares inferiores en lo
referente a tipología, objetivos y requisitos.
En los mecanismos espaciales de un grado de libertad existe una Configuración de Insensitividad de
Posición (CIP) que se aplica cuando hay una configuración del mecanismo tal que, aunque se
introduzca un movimiento con una velocidad cualquiera en el eslabón de entrada, el eslabón de
salida permanezca inmóvil. De manera análoga, habrá una configuración de incertidumbre de
posición (CIN) cuando el eslabón de salida pueda realizar determinados movimientos estando
inmóvil el eslabón de entrada (Zabalza-Villava, 1999). Para algunos mecanismos espaciales de un
grado de libertad, con base en el cuadrilátero articulado, algunos autores (Freudenstein & Kiss,
1969, Freudenstein & Primrose, 1976, Gupta & Radcliffe, 1971, Söylemez & Freudenstein, 1982,
Tinubu & Gupta, 1984, Willians & Reinholtz, 1987, Rastegar & Tu, 1992, Zabalza-Villava, 1999)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 47
han estudiado, los límites de su espacio de trabajo, que son posiciones de los mecanismos en las que
se producen las CIP. En los mecanismos planos o espaciales de varios grados de libertad, se
presentará una CIP cuando el eslabón de salida permanezca inmóvil para una velocidad cualquiera
de uno o varios eslabones de entrada. Del mismo modo, se tendrá una CIN cuando el eslabón de
salida tenga algún movimiento estando inmóviles todos los eslabones de entrada.
En mecanismos de varios grados de libertad, un determinado punto del brazo del robot describe una
superficie que suele ser, de alguna manera, límite del espacio de trabajo. Mientras ese punto
determinado se encuentre en la superficie límite puede permanecer inmóvil independientemente del
movimiento de algún actuador, perdiendo el robot algún grado de libertad. A estas configuraciones,
normalmente las denominan como "configuraciones singulares" y las estudian como límites
negativos del espacio de trabajo, no habiendo ningún estudio que se conozca en el que las
consideren ventajosas: de manera formal, una singularidad tiene lugar cuando el inverso del
jacobiano del manipulador se indefine, esto es la velocidad de alguna articulación tiende
súbitamente al infinito (Craig, 1989).
2.4 Descripción de Algoritmo Genético.
Un algoritmo genético típico inicia con una población generada aleatoriamente. Los caracteres en la
cadena de solución son llamados genes. El valor y la posición en la cadena de un gen son llamados
lugar geométrico y alele respectivamente. Cada solución de la cadena es llamada cromosoma. El
código de las variables se llama genotipo, y las variables mismas se llaman fenotipo (Figura 2.11).
Figura 2.11 Representación de un cromosoma binario
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 48
Los individuos son seleccionados probabilísticamente para ser evaluados por la función objetivo
(Chen, 2004). La población evolucionará, a lo largo de las generaciones sucesivas, de tal manera
que la adaptación media extendida a todos los individuos de la población, así como la adaptación
del mejor individuo se irán incrementando hacia la óptima global. A medida que el número de
generaciones aumenta, es más probable que la adaptación media se aproxime a la del mejor
individuo. De esta forma un gen ha convergido cuando al menos un 95% de los individuos de la
población comparten el mismo valor para dicho gen. Se dice entonces que la población converge
cuando todos los genes han convergido. Los pasos para hacer un algoritmo genético según se
establece en (Goldberg, 1989) se presentan en el diagrama de la Figura 2.12:
Figura 2.12 Diagrama de flujo de un algoritmo genético
Describiendo cada punto se tiene:
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 49
Población inicial: Se crea aleatoriamente y es codificada dentro del cromosoma de un arreglo con
longitud variable (Figura 2.13). La codificación puede hacerse en una representación
binaria(Goldberg, 1989, Merchán-Cruz, 2005), en base al dominio de cada variable, para la síntesis
de mecanismos, la longitud de los eslabones y los ángulos de movimiento, se calcula el número de
bits y la longitud del cromosoma con (2.52) y (2.53) respectivamente, siendo p el número de dígitos
de precisión después del punto (Michalewicz, 1999). Para poder hacer la evaluación se tiene que
hacer la decodificación y obtener valores reales, por ejemplo para los ángulos de transmisión:
( )( )( )2log
10log minmaxp
iii
rrnbits
×Δ−Δ=
(2.61)
Donde
nbits Es el número de bits por variable
rmáx Límite máximo de la variable.
rmin Límite mínimo de la variable.
p Precisión en decimales.
∑=
=n
iinbitslongcr
1
(2.62)
Figura 2.13 Representación de la población.
El tamaño de una población ni de cromosomas de longitud longcr, con una codificación binaria,
compuesta por una serie de genes y aleles, debe ser suficiente para garantizar la diversidad de las
soluciones creadas por una notación mediante cadenas compuestas por 0 y 1, si se escoge una
representación binaria.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 50
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=×
longcrnini
longcr
longcrnibb
bbs
,1,
,11,1
K
M
K
(2.63)
La población debe evaluarse decodificando los genes del cromosoma, para convertirse en una serie
de soluciones factibles al problema:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
Δ−Δ⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅+Δ= ∑
= 122 minmax
0min longcr
iinbits
j
iiii
i
bx θθθ
(2.64)
x La variable decodificada.
bi Bit de la cadena.
longcr Longitud del cromosoma
Evaluación: Durante ésta, se decodifica el gen, convirtiéndose en una serie de parámetros de un
problema. Se halla la solución de éste a partir de esos parámetros, y se le da una puntuación a esa
solución (llamada fitness) en función de lo cerca que esté del mejor resultado. Ésta debe reflejar el
valor del individuo de una manera real, pero en muchos problemas de optimización combinatoria,
donde existe una gran cantidad de restricciones, buena parte de los puntos del espacio de búsqueda
representan individuos no válidos.
aptitudfunciónxfitnessf ii == )( (2.65)
∑=
=j
iipop fF
1
(2.66)
Para resolver el gran número de restricciones se han propuesto soluciones como:
• Absolutista: Los individuos que no verifican las restricciones, no son considerados como
tales y se siguen efectuando cruces y mutaciones hasta obtener individuos válidos, o bien de
dichos individuos se les asigna una función objetivo igual a cero.
• Regenerador: Es un operador que reconstruye aquellos individuos que no verifican las
restricciones.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 51
• Penalización de la función objetivo: Consiste en dividir la función objetivo del individuo por
una cantidad (la penalización) que guarda relación con las restricciones que dicho individuo
viola. Esta cantidad puede tener en cuenta el número de restricciones violadas o el costo
esperado de reconstrucción, que es un coste asociado a la conversión de dicho individuo en
otro que no viole ninguna restricción.
• Evaluación aproximada de la función objetivo: La obtención de n funciones objetivo
aproximada puede resultar mejor que la evaluación exacta de una única función.
Selección: El proceso consiste en elegir individuos de acuerdo a su contribución de aptitud con
respecto al total de la población, existen varias técnicas, pero la más utilizada es la función de
selección proporcional a la función objetivo, con ésta, cada individuo tiene una probabilidad de ser
seleccionado como padre, que es proporcional al valor evaluado mediante la función objetivo.
(Baker, 1987) introdujo el muestreo universal estocástico, el cuál utiliza un único giro de ruleta,
siendo los sectores circulares proporcionales a la función objetivo. Los individuos son seleccionados
a partir de marcadores igualmente espaciados y con comienzo aleatorio. En este método, si se
determina una población de tamaño N de generación t, de un algoritmo, donde existen k individuos
del esquema H y que f1, f2 …fk son los valores de la función de adaptación. Si se selecciona
aleatoriamente un miembro de la población usando el mecanismo de la ruleta, la probabilidad de
que este sea el i-ésimo representante del esquema H es:
∑=
= N
ji
ii
f
fp
1
(2.67)
Con esta fórmula se calcula la población inicial, pero ésta sólo es válida para el tipo de selección
proporcional o de ruleta.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 52
Para la selección de la ruleta se necesita conocer el grado de adaptación de alguno de los individuos
Fi, y la suma de la población calificada de los individuos adaptados ∑=
N
iiF
1
y la circunferencia Ci, la
fórmula de la ruleta será ( 2.68 y 2.69) y se representa por la Figura 2.14:
pop
ii F
fw = (2.68)
∑−
=
+=1
0
p
kpkp wwL (2.69)
Figura 2.14 Selección por ruleta.
Algunas otras técnicas para la selección son las presentadas en los trabajos de (Holland, 1975,
Goldberg & Deb, 1991, Deb, 2004, Fleming & Purshouse, 2001, Whitley, 1994), algunas de estas
son:
Tipos de selección:
• Selección Proporcional: Seleccionado proporcionalmente a su valor de aptitud.
• Selección de Estado Uniforme. Algunos individuos menos aptos son reemplazados.
• Sobrante Estocástico. Es determinista con la parte entera de valores esperados y
proporcionales para la parte fraccionaria de cada individuo.
• Universal Estocástico. Distribución de los individuos en función de sus valores esperados.
• Muestreo Determinístico. Basado en el sobrante estocástico y un algoritmo de ordenación.
Capítulo II
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• Escalamiento Sigma. Está en función de su aptitud, la media y la desviación estándar.
• Selección por Jerarquías. Clasifica a los individuos con base en su rango.
• Selección de Boltzmann. Se basa en el proceso del recocido simulado para seleccionar.
• Selección por torneos. Posibilidades de ganar en una competencia por comparaciones
directas de los individuos, ya sea en forma determinista o probabilística.
• Selección por truncamiento. Complejo en el tiempo y no se basa en la aptitud.
• La selección de rango lineal. Lineamiento de acuerdo a su rango y valores de aptitud.
• Selección de rango exponencial. Ponderación exponencial de probabilidades en los
individuos.
• Brecha Generacional. Los padres de una población no compiten contra sus hijos.
• Selección Disruptiva. Normaliza las aptitudes con respecto a un cierto valor moderado.
• Selección Competitiva. Es a través de las interacciones con miembros de la población, o con
otros miembros de una población separada que evoluciona concurrentemente.
Cruzamiento: La idea principal del cruce se basa en que, si se toman dos individuos correctamente
adaptados al medio y se obtiene una descendencia que comparta genes de ambos, existe la
posibilidad de que los genes heredados sean precisamente los causantes de la bondad de los padres.
Al compartir las características buenas de dos individuos, la descendencia, o al menos parte de ella,
debería tener una bondad mayor que cada uno de los padres por separado. Si el cruce no agrupa las
mejores características en uno de los hijos y la descendencia tiene un peor ajuste que los padres no
significan que se esté dando un paso atrás. Optando por una estrategia de cruce no destructiva
garantizamos que pasen a la siguiente generación los mejores individuos (Gestal-Pose, 2006) .
Si se aplica un cruzamiento con una probabilidad pc sobre los individuos seleccionados
previamente, algunas de las cadenas H se cruzarían con otras, de forma tal que la cadena resultante
ya no sería representante de la cadena original, es decir (Kuri-Morales & Galaviz-Casas, 2002):
( ) ( ) ( ) ( )rc ppfHftHmcruseltHm −≥++ 1,,
(2.70)
Donde:
Capítulo II
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( )tHm , = k: Es el número de individuos del esquema en la población de generación t.
pr= Probabilidad de ruptura del esquema H bajo el tipo de cruzamiento que esté siendo utilizado.
Tipos de cruzamiento.
Ya que se tienen seleccionados los mejores individuos, el siguiente paso es hacer el cruce de estos
individuos, que puede ser por un punto, dos puntos o uniforme.
Estos se utilizan dependiendo del esquema que se analice, los cruzamientos más utilizados son,
según, (Kuri-Morales & J., 2002):
• Cruzamiento de punto: Se elige un punto de corte y se intercambian los segmentos análogos
de las dos cadenas.
• Cruzamiento de dos puntos: Se eligen dos puntos de corte y se intercambian los segmentos
medios de ambas cadenas, se considera a los extremos de la cadena como sitios contiguos,
como un anillo.
• Cruzamiento uniforme: Para cada posición de bit de una cadena a generar se elige
aleatoriamente el bit de la misma posición de alguna de las cadenas generadoras.
Mutación: Es un operador que se aplica con probabilidad pm y que tiene el efecto de invertir un bit
utilizando una probabilidad de mutación del bit l-1, siendo l la longitud de la cadena del cromosoma
(Figura 2.15). En esta hay una variación del valor de los genes en forma aleatoria, generalmente se
da en valores muy pequeños, ya que no es tan significativo como el cruce (Goldberg, 1989).
Figura2.15 Cruzamiento y Mutación.
El cruzamiento y la mutación son representados por:
Capítulo II
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Pc= 1-(lgcr-1)*Rand (2.71)
Pm = 1-(1-(lgcr-1))*Rand (2.72)
Donde Pc es la probabilidad de cruce, Pm la probabilidad de mutación, lgcr, la longitud del
cromosoma y Rand, es una serie de números aleatorios.
(De Jong, 1975) recomienda el uso de una probabilidad de mutación del bit l-1, siendo l la longitud
de la cadena del cromosoma, aunque algunos autores(Michalewicz, 1999, Laribi et al., 2004,
Merchán-Cruz, 2005, Cabrera et al., 2007, Erkaya & Uzmay, 2008) han obtenido mejores resultados
experimentales modificando la probabilidad de mutación a medida que aumenta el número de
iteraciones. Posteriormente se hace una nueva evaluación para comprobar que se cumple la solución
más óptima. También existen varios tipos de mutación, entre los que se encuentran:
Tipos de mutación
• Mutación por Permutaciones. Útiles en problemas de optimización combinatoria.
• Mutación por Inserción. Se selecciona el valor de un individuo en forma aleatoria y se le
inserta en una posición arbitraria.
• Mutación por Desplazamiento. Cambian de posición en la cadena varios valores a la vez.
• Mutación por Intercambio Recíproco. Se seleccionan dos puntos al azar y se intercambian
estos valores de posición.
• Mutación por factor múltiple. Este incorpora dentro del a mutación un factor de
perturbación, un valor porcentual de qué numero de alelos en un cromosoma serán afectados
de manera aleatoria, permitiendo generar una mutación de un alelo o más de uno. Esta
modificación se observa claramente cuando el algoritmo genético tiene una convergencia
prematura, potencializando la exploración del espacio factible de búsqueda, sin embargo una
taza lata en el factor puede degenerar la solución.
La mutación es necesaria porque permite de algún modo actualizar valores que se pudieron haber
perdido en la búsqueda de la mejor solución.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 56
Condiciones de paro: Son las que van a determinar el número de iteraciones y generaciones que se
tendrán que crear en el proceso de análisis del algoritmo genético para encontrar el valor optimo que
resuelva la problemática presente o condiciones como repeticiones de buenos resultados, valor
mínimo de error, entre otros.
2.5 Descripción de un sistema lógico difuso.
Un sistema lógico difuso (SLD), es un mapeo no lineal de un vector de datos de entrada con una
salida escalar, es decir mapea números con números (Mathworks, 1999). Éste se forma de conjuntos
difusos, un conjunto difuso A en el universo del discurso U se puede definir como un conjunto de
pares ordenados:
( )( ) , AA x x x U= ∈μ (2.73)
y estando, 0,1
Siendo ( )A xμ la función de membresía, es decir el grado de pertenencia de x en A. Estando el
espacio de la membresía M en el universo [0,1]. El propósito de un conjunto difuso es representar la
ambigüedad e imprecisión que las cosas tienen en el mundo real, tratando de eliminar las fronteras
cerradas que separan a los miembros y no miembros de un grupo o conjunto. Un problema que se
presenta en los conjuntos difusos es la asignación de las funciones de membresía que los
representan, ya que depende del criterio del diseñador y de la naturaleza del problema. Una de las
soluciones que actualmente se proponen a este problema es la utilización de las redes neuronales
para aproximar estas funciones.
Algunas de las operaciones que se realizan entre conjuntos difusos son las siguientes:
Complemento: El complemento A−
de un elemento de un conjunto difuso A está dado por la
diferencia entre la unidad y su grado de membresía correspondiente ( )A xμ , siendo definido como:
( ) 1 ( )AA
x x x Uμ μ− = − ∀ ∈ (2.74)
Capítulo II
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Intersección: La intersección entre dos conjuntos difusos A y B, se denota como:
[ ]( ) ( ), ( ) ( ) ( )A B A B A BA B x mín x x x x x Uμ μ μ μ μ∩∩ → = = ∧ ∀ ∈ (2.75)
Unión: La unión de los conjuntos difusos A y B se define como:
[ ]( ) ( ), ( ) ( ) ( )A B A B A BA B x máx x x x x x Uμ μ μ μ μ∪∪ → = = ∨ ∀ ∈ (2.76)
Igualdad: Dos conjuntos difusos A y B son iguales sí:
( ) ( )A BA B x x x Uμ μ= → = ∀ ∈
(2.77)
Subconjunto: A es un subconjunto de B, si y sólo si:
( ) ( )A BA B x x x Uμ μ⊆ → ≤ ∀ ∈
(2.78)
Producto cartesiano: El producto cartesiano de 1 2, ,..., nA A A es un conjunto difuso en el espacio del
producto 1 2 ... nU U U× × × , siendo las funciones de membresía:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... 1, 2 1 2 1 1 2 2,..., , ,..., , ,...,
n nA A A n A A A n n nx x x mín x x x x U x U x Uμ μ μ μ× × × ⎡ ⎤= ∈ ∈ ∈⎣ ⎦ (2.79)
Suma algebraica: La suma A+B de dos conjuntos difusos está dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A Bx x X x Xμ μ μ μ μ+ = + − ⋅ (2.80)
Producto algebraico: El producto algebraico A B⋅ se define como:
( ) ( ) ( )A B A Bx x xμ μ μ⋅ = ⋅ (2.81)
Con esta serie de ecuaciones se puede diseñar un control difuso con el cual se evita la compleja
tarea de realizar un modelado dinámico del proceso, que en la mayoría de los casos resulta muy
laborioso y difícil.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 58
2.6. Sumario
Este capítulo presentó los fundamentos necesarios para realizar el análisis y la síntesis de
mecanismos, iniciando por conocer las características y los tipos más usuales para cubrir las
necesidades especificas del cliente.
Se mostró una descripción de las ecuaciones y métodos para obtener la síntesis de mecanismos
planos para diseñar el número y tipo de eslabonamiento, los grados de libertad de movimiento y el
análisis de posición para generar la trayectoria. El desarrollo de éstas se enfocó a un mecanismo de
4 barras, configuración base para poder diseñar posteriormente mecanismos con un mayor número
de eslabones y grados de libertad. Dentro del análisis dinámico, se describió el manejo de los
centros instantáneos de rotación para calcular velocidades y aceleraciones.
Se desarrolló el método de Newton Raphson para optimizar las funciones de Freudenstain para
cadena abierta y cerrada, derivadas de la síntesis de mecanismos, este método por sus características
se empleará como método numérico para validar y comparar resultados del método metaheuristico
a emplear, como son los algoritmos genéticos. También se desarrolló un ejemplo ilustrando la forma
de combinar y aplicar este método con el algebra compleja, que se aplica en este tipo de análisis
para determinar las posiciones de los eslabones, que son una de las principales variables de los
mecanismos cuando se diseñan para el seguimiento de trayectorias. También es importante resaltar
que Newton-Raphson es un método que converge cuadráticamente, es decir, que el número de cifras
decimales correctos se duplica aproximadamente en cada iteración, o el error es aproximadamente
proporcional al cuadrado del error anterior, por lo que puede llegar a tener algunas desventajas,
como las presentadas en la teoría, pero que pueden ser mejoradas si se aplica en combinación de
otros métodos.
De los algoritmos genéticos se hizo una descripción de las etapas de que están formados, aquí se
demostró que la programación genética transforma iterativamente la población en una nueva
generación de población por aplicación análoga de operaciones genéticas que ocurren naturalmente.
Estas operaciones son aplicadas a individuos seleccionados desde la población. Se describió etapa
por etapa , señalando los tipos de acciones que hay para cada una y la forma en que se relacionan
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 59
con la naturaleza, también se presento un gráfico que busca el facilitar el entendimiento del orden
que deben seguir cada una de las etapas para llegar al fin especifico, que es encontrar de un conjunto
de posibles soluciones, como es la población , el optimo resultado para cumplir con el problema en
específico, para este caso de estudio la síntesis de mecanismos, teniendo como principales variables
la longitud de cada eslabón y el valor de ángulos que generaran el mejor movimiento llegando a un
optimo local.
Otro método de optimización descrito es el de la lógica difusa que en forma general sirve para
representar la ambigüedad y la imprecisión que las cosas tienen en el mundo real.
Los fundamentos teóricos presentados en este capítulo servirán como base para el desarrollo del
capítulo tres, en el cual se describirá la simulación y la síntesis de mecanismos de 4 y seis eslabones.
Esto se realizara empleando los métodos matemáticos y los metaheuristicos, como son Newton
Raphson, Algebra compleja y Algoritmos genéticos, para poder observar y analizar el desempeño
que tienen cada uno de estos con un mismo problema y así determinar cuál es la herramienta más
viable para desarrollar y diseñar una prótesis policéntrica para miembro inferior.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 25
FUNDAMENTOS
TEÓRICOS
En este capítulo se presentan los fundamentos teóricos para el análisis y la síntesis de mecanismos, indicando métodos numéricos y de optimización como los algoritmos genéticos y la lógica difusa. Para el caso de estudio se presenta el rango de movimiento de la rodilla como base para la simulación.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 26
2.1 Generalidades.
Para estudiar un mecanismo se tiene que hacer un análisis estructural, cinemático y dinámico,
con el cual se desarrollará la fase analítica, la construcción geométrica, las dimensiones
significativas de los eslabones y la posición inicial en la que el mecanismo debe trabajar para
cubrir las necesidades impuestas. El análisis cinemático se apoya en los requerimientos de
movimientos relativos de los eslabones y se expresa en términos de desplazamientos lineales,
velocidades y aceleraciones. El análisis dinámico está formado por la fuerza y el movimiento
aplicado a las articulaciones del mecanismo, considerándolo como un cuerpo rígido, partiendo
del hecho que se conocen los movimientos. El análisis estructural es en el que se determinan los
esfuerzos y deformaciones que se presentan en los mecanismos, en esta parte se establecerá el
factor de seguridad que relaciona la resistencia considerando las cargas y los materiales. Este
capítulo se enfocará al análisis cinemático, en el cuál, para plantear y dar solución al modelo, es
necesario establecer una relación geométrica entre los elementos que conforman la cadena
cinemática, proponiendo algunos métodos de solución como son Newton Raphson, Algebra
Compleja y Algoritmos Genéticos para las diferentes configuraciones de los mecanismos.
2.2 Análisis y Síntesis de mecanismo
Para desarrollar la síntesis de un mecanismos se tiene que realizar el análisis cinemático,
dinámico y estructural (Erdman & Sandor, 1998):
Cinemática:
• Generación de función: Es la que determina la coordinación de posición, velocidad y/o
aceleración de entrada/salida.
• Conducción de cuerpo rígido: Es la generación del movimiento.
• Generación de trayectoria: Es la generación de la curva acopladora, aquí se analiza la
posición, velocidad y/o aceleración en puntos a lo largo de una trayectoria puntual.
• Fuerzas estáticas: Se analiza el ángulo de transmisión y las ventajas mecánicas.
Dinámica:
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 27
• Balanceo: Son las fuerzas y/o momento de sacudidas inerciales.
• Fuerza de inercia: Son las fuerzas de inercia, dinámica de máquinas o análisis
cinetoestático.
• Respuesta movimiento-tiempo: Está el balanceo entrada-par de torsión o la síntesis
fuerza-sistema.
• Efectos de holguras y tolerancias.
• Dinámica de cuerpo elástico: Eslabón flexible y cinetoelastodinámica.
Para describir la relación de rotación y traslación entre los elementos de una cadena cinemática,
(Denavit & Hartenberg, 1955) propusieron, un método matricial para establecer de forma
sistemática, un sistema de coordenadas ligado al cuerpo para cada elemento de la cadena
articulada.
La convención propuesta por (Denavit & Hartenberg, 1955) llevada al área de manipuladores
robóticos considera cuatro parámetros importantes:
1. Se lleva al manipulador a una posición inicial, que servirá de referencia para medir los
desplazamientos del sistema.
2. Se numeran los eslabones del sistema, comenzando por 0 para la base del robot, hasta n
para el efector final.
3. Se numeran las articulaciones del sistema, comenzando por 1 para la primer articulación
y n para la última; donde n= número de grados de libertad.
4. Los sistemas de coordenadas se asignarán en donde se interceptan el eslabón i-1 con la
articulación i con base en lo siguiente:
Un eslabón puede ser considerado como un cuerpo rígido, el cuál es descrito por dos parámetros,
la longitud del eslabón y el giro de éste. Estos parámetros definen la localización relativa de los
ejes de articulaciones vecinas en el espacio. Estas también son descritas por dos parámetros, el
descentramiento del eslabón (la distancia de un eslabón a otro próximo a lo largo del eje de la
articulación) y el ángulo de la articulación, que es la rotación de un eslabón con respecto al
próximo, alrededor del eje de la articulación (Merchán, 2000, Velázquez, 2003).
Para dar solución al modelo dinámico se tienen que tomar en cuenta el movimiento de rotación y
el de traslación para poder determinar las fuerzas que actúen sobre los eslabones al estar el
mecanismo en movimiento.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 28
2.3 Clasificación de mecanismos.
Los mecanismos por sus similitudes y diferencias pueden ser planos, esféricos y espaciales
(Shigley, 1988). En los planos todas las partículas describen curvas planas en el espacio y se
encuentran en planos paralelos, esto hace posible que el lugar geométrico de cualquier punto
seleccionado se represente con su verdadero tamaño y forma real en un solo dibujo. El
movimiento plano requiere también que los ejes de todos los pares prismáticos y todos los ejes
de revolución sean normales al plano de movimiento. En los mecanismos esféricos cada eslabón
tiene algún punto que se mantiene permanente conforme el eslabonamiento se mueve y los
puntos estacionarios de todos ellos están en una ubicación común. En el caso de este
eslabonamiento, los ejes de todos los pares de revolución se deben intersectar en algún punto.
Los mecanismos espaciales no incluyen restricciones en los movimientos relativos de las
partículas. Debido a las características del objeto de estudio, lo más adecuado es trabajar con
mecanismos planos y posteriormente mecanismos espaciales.
2.3.1 Mecanismos Planos
Se le llama así cuando las trayectorias de los puntos móviles del mecanismo se encuentran en un
solo plano o en planos paralelos. Las posiciones sucesivas de un punto en movimiento definen
una recta o una curva, que representa las posiciones sucesivas de éste, conocido como trayectoria
del punto en movimiento en el sistema de coordenadas de referencia. En problemas en el plano,
conviene expresar un vector especificando su magnitud y dirección en notación polar. El lugar
geométrico de cualquier punto de un mecanismo plano se representa con su verdadero tamaño y
forma real, en un solo dibujo o figura. La transformación del movimiento de cualquier
mecanismo de esta índole se llama coplanar (Shigley, 1988).
Los mecanismos que sólo utilizan pares cinemáticos inferiores (eslabonamiento plano)
únicamente pueden incluir articulaciones de revolución y pares prismáticos.
2.3.1.1 Mecanismo plano de 4 barras.
Para el análisis cinemático de un mecanismo plano de cuatro barras, se tienen que determinar
ciertas restricciones (Shigley, 1988):
Capítulo II
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• Determinación del número de grados de libertad: Éste se puede calcular a partir del
número de coordenadas dependientes y del número de ecuaciones de restricción
independientes.
• El problema de posición inicial: Consiste en calcular la posición inicial del sistema
(coordenadas dependientes) a partir de los valores de los grados de libertad (coordenadas
independientes) y de las dimensiones de los distintos elementos. El problema del análisis
de posición es determinar los valores de todas las variables (posiciones de todos los
puntos y articulaciones) dadas las dimensiones de cada eslabón, y el valor o valores de
las variables independientes, es decir aquellas que se escogen para representar los grados
de libertad del mecanismo.
• El Problema de los desplazamientos finitos: sirve para calcular una nueva posición del
sistema a partir de unos incrementos finitos de las coordenadas independientes.
• Análisis de velocidades: Calcula las velocidades dependientes a partir de las
independientes.
• Análisis de aceleraciones: Calcula las aceleraciones dependientes a partir de todas las
velocidades y de las aceleraciones independientes. 2.3.1.1.1 Grados de libertad.
En un sistema, los grados de libertad (GDL) son el número de parámetros independientes
(medidas) que se necesitan para definir unívocamente su posición en el espacio en cualquier
instante. Para determinar los GDL totales de un mecanismo se debe tener en cuenta el número de
eslabones y articulaciones, así como las interacciones entre ellos. De acuerdo a la condición de
Kutzbach (Shigley, 1988), un eslabón cualquiera en un plano tiene 3 GDL antes de conectarse
entre sí, cuando se mueven en relación al eslabón fijo. Sin contar este último, un mecanismo de n
eslabones posee 3(n-1) grados de libertad antes de conectar cualquiera de las articulaciones.
Cuando las restricciones de todas las articulaciones se restan del total de grados de libertad de
los eslabones no conectados, se encuentra la movilidad resultante del mecanismo conectado.
Este razonamiento conduce a la ecuación de Kutzbach:
m= 3(n-1)-2j1-j2 (2.1)
En donde:
m = Grados de libertad, n = Número de eslabones, j1= Numero de pares de un solo grado de
libertad, j2= Número de pares con dos grados de libertad.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 30
Para un mecanismo de 4 barras, los grados de libertad son:
m= 3(4-1)-2(2)-0=1 (2.2)
Para un mecanismo de 6 barras los grados de libertad son:
m= 3(6-1)-2(7)-0=1 (2.3)
Si este criterio da m > 0, el mecanismo posee m grados de libertad. Si m=1, este se puede
impulsar con un solo movimiento de entrada, si m=2, se necesitan dos movimientos de entrada
separados para producir un movimiento restringido del mecanismo. Si m=0 el movimiento es
imposible y forma una estructura.
2.3.1.1.2 Ley de Grashof.
Esta ley afirma que para un eslabonamiento plano de cuatro barras (Figura 2.1), la suma de las
longitudes más corta y más larga de los eslabones no puede ser mayor que la suma de las
longitudes de los eslabones restantes (Figura 2.2), si se desea que exista una rotación relativa
continua entre dos elementos (Tabla 2.1). Para el tipo de problema a resolver, el mecanismo con
cambio de punto es el más adecuado.
Figura 2.1 Partes de un mecanismo de 4 eslabones.
Tabla 2.1 Clasificación de Grashof para mecanismos de 4 barras (Martin et al., 2007).
Tipo de mecanismos Barra más corta
Relación entre la longitud de las barras
Eje inestable del balancín
Manivela s + l < p + q
Fricción en el acoplamiento
Tierra s + l < p + q
Doble balancín Acoplamiento s + l < p + q
Capítulo II
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Cambio de punto Cualquiera s + l = p + q Triple eje de balancín Cualquiera s + l > p + q
Siendo s=longitud del eslabón más corto, l=longitud del eslabón más largo, p=longitud del eslabón restante y q=longitud del eslabón restante.
Figura 2.2. Tres inversiones del cuadrilátero de Grashof (Martin et al., 2007).
Esta ley aplica principalmente para mecanismos de cuatro eslabones, pero si se quiere analizar
uno de seis, como el tipo Watt, se puede considerar como dos eslabonamientos de cuatro barras
conectados en serie y que tienen dos eslabones en común. El tipo Stephenson puede considerarse
como dos eslabonamientos de cuatro barras conectados en paralelo y que tienen dos eslabones en
común.
2.3.1.1.3 Análisis de posición, velocidad y aceleración.
Una meta del análisis cinemático consiste en determinar las aceleraciones de todas las partes
móviles del conjunto. Se necesitan conocer las fuerzas dinámicas con el fin de calcular los
esfuerzos en los componentes. Para calcular los esfuerzos se necesitan conocer las fuerzas
estáticas y dinámicas en las partes, y con el fin de determinar tales fuerzas dinámicas es
necesario conocer las aceleraciones. Para calcular éstas, debemos hallar primero las posiciones
de todos los eslabones del mecanismo para cada incremento en el movimiento de entrada y luego
derivar las ecuaciones de posición con respecto al tiempo para obtener velocidades; se derivan
luego éstas con el fin de tener las expresiones de aceleración (Norton, 1999).
2.3.1.1.4 Espaciamiento de Chebychev
Si θ2 es la posición angular del eslabón 2, en un eslabonamiento de cuatro barras, y θ4 es la
posición angular del eslabón 4, entonces uno de los problemas de la síntesis cinemática es
encontrar las dimensiones del eslabonamiento de tal manera que en donde f es
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 32
cualquier relación funcional deseada. Aunque el problema no sea resuelto, es posible especificar
hasta 5 valores para θ2 llamados puntos de precisión y encontrar un eslabonamiento que satisfaga
la relación deseada para la función y luego seleccionar de 2 a 5 puntos de precisión a partir de la
gráfica para utilizarlos en la síntesis (Freudenstein & Sandor, 1964). Si el proceso tiene éxito, la
relación funcional se satisface para estos puntos; pero ocurrirán desviaciones en otros. Uno de
los principales problemas de diseño de eslabonamiento consiste en seleccionar un conjunto de
puntos de precisión para utilizarlos en la síntesis, de tal modo que se minimice el error
estructural o los puntos que se presentan en las desviaciones.
Como primera aproximación, el mejor espaciamiento es el de Chebychev. Para n puntos en un
intervalo ,el espaciamiento según (Freudenstein & Sandor, 1964, Shigley, 1988)
es:
donde j=1,2,…n y xj son los puntos de
precisión.
Estos puntos se obtienen gráficamente construyendo primero un círculo cuyo diámetro es el
intervalo Δx dado por la ecuación:
∆ (2.4)
En este círculo se traza un polígono inscrito regular de n lados y se bajan perpendiculares en
cada vértice que intersectarán a Δx en los puntos de precisión como se muestra en la Figura 2.2.
Este espaciamiento se considera la aproximación inicial dependiendo de la necesidad de
exactitud del problema. Si se requiere de mayor exactitud entonces, mediante una curva del error
estructural contra x, se pueden determinar visualmente los ajustes que se deben hacer en los
puntos de precisión para la aproximación siguiente. Ejemplo:
∆ 5 12
12
2 12 0.5 1 3 0.5 3 1 cos
2 1 12 5 1.0489
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 33
Figura 2.3 Ejemplo de Espaciamiento de Chebychev de 5 puntos de precisión.
2.3.1.1.5 Síntesis de mecanismos manivela oscilador
Las posiciones límites del oscilador en un mecanismos de manivela oscilador están identificadas
con A1, B1 y A2, B2 (Figura 2.4). En éste, la manivela y el acoplador quedan en una sola
posición en cada posición extrema. En este caso, la manivela recorre ψ el oscilador recorre φ y
en el retroceso, la manivela recorre 360-ψ el oscilador recorre φ (Shigley, 1988).Este mecanismo
se emplea en algunas ocasiones para definir una línea recta por el acoplador o biela. El
eslabonamiento de Watt es un mecanismo de cuatro barras que desarrolla una línea
aproximadamente recta como parte de la curva del acoplador. Aunque no describe una recta
exacta, se logra una aproximación aceptable sobre una distancia de recorrido considerable.
Figura 2.4 Síntesis de un eslabonamiento de 4 barras (Shigley, 1988).
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 34
2.3.1.1.6 Método de Newton Raphson para la solución de funciones no lineales.
Es un método iterativo que se emplea para la obtención de raíces de una función. Este método no
trabaja sobre un intervalo específico, sino que basa su formulación en un proceso iterativo
(Velázquez-Sánchez, 2008). El Método de Newton-Raphson asume que la función f (x) es
derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f (x) tiene una pendiente definida y una línea
tangente única en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en (x0, f (x0)) es una
aproximación a la curva de f (x) cerca del punto (x0, f (x0)). En consecuencia, el cero de la línea
tangente es una aproximación del cero de f (x) o denominada raíz de f(x) (Figura 2.5).
Figura 2.5 Modelo general del Método de Newton Raphson.
Para el análisis de convergencia: sean x0, x1, x2,..., xn, xn+1 las aproximaciones en sucesivas
iteraciones, r el verdadero valor de la raíz. Si se toma como error en la n-esima iteración a en
entonces el error en estará dado por: en =xn −r y en consecuencia en+1=xn +1−r que es conocido
como la diferencia de Newton (Trejo-Aguirre, 2008) y representa la cantidad de corrección a la
solución aproximada en la n-ésima iteración. El modelo matemático de este método es el
siguiente(Norton, 1995, Merchán-Cruz, 2005):
Para un conjunto de funciones no lineales se tiene:
1, 2, 3, … 0, 1,2, … , (2.5)
Donde fi es una función no lineal de las xj. Teniendo una estimación inicial de la solución, ésta
se puede escribir como:
∆ (2.6)
Donde es la estimación inicial y ∆ es una corrección desconocida. Si se expande la ecuación
2.6 para obtener un polinomio de Taylor truncado de primer orden alrededor de se obtiene:
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 35
∆ , , … (2.7)
Donde las derivadas parciales se evalúan con las condiciones iniciales. Escribiendo la ecuación
como matriz:
∆ (2.8)
Donde J es la matriz jacobiana dada por:
(2.9)
∆∆∆∆
(2.10)
, , , … … ., , , … … ., , , … … .
(2.11)
Las derivadas parciales pueden evaluarse con una aproximación de diferencia:
, … . , , … . , , …
(2.12)
Donde es un valor pequeño elegido arbitrariamente.
Generalizando el método se tiene:
(2.13)
Siendo k el valor de la incógnita que indicara el numero de iteraciones para obtener el mejor
valor a la aproximación de la curva f(x).
La síntesis del método se presenta en la Figura 2.6.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 36
Figura 2.6 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en la Síntesis de Mecanismos.
2.3.1.1.7 Síntesis analítica con algebra compleja.
La posición de un punto en el plano se define mediante un vector de posición. La elección de
ejes de referencia es arbitraria y se puede expresar en forma polar para proporcionar la magnitud
y la dirección del vector o en forma cartesiana para aportar los componentes X y Y del mismo
(Norton, 1995). La utilidad real de los números complejos en el análisis en el plano se debe a la
facilidad con que se pueden pasar a la forma polar, si se usa la notación compleja rectangular
para un vector R se puede describir:
/ cos sin (2.14)
Y si se emplea Euler se tiene:
(2.15)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 37
El cuál también se puede escribir en la forma polar compleja como:
(2.16)
Utilizando estas ecuaciones se obtiene el movimiento complejo en un vector, el cuál es la suma
de los componentes de traslación y rotación. (Bloch, 1940) desarrolló un método para la síntesis
de mecanismos de 4 barras utilizando algebra compleja, para esto, reemplazan cada uno de los
elementos del mecanismo por un vector de posición, presentado en notación compleja polar.
Empleando este método para la Figura 2.7, cada vector que define a los eslabones se presenta de
la siguiente forma (Norton, 1995):
Figura2.7. Mecanismo de cuatro barras.
Siendo xd y yd los valores del punto deseado, x0 y y0 los puntos para el origen, r2 la manivela, rcx
y rcy los eslabones que tocan el punto de precisión. Con base en la Figura 2.7 se tiene:
(2.17)
Al aplicar la notación polar:
Si se sabe que por Euler se tiene:
Al desarrollar (2.18) en forma cartesiana, aplicando Euler se tiene:
De (2.20) se puede agrupar la parte real y la parte imaginaria para formar ecuaciones simultáneas
y obtener las incógnitas de los ángulos , que se desarrollaran más adelante.
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 38
Real: (2.21)Imaginaria: (2.22)
Reacomodando estas ecuaciones para despejar y asumiendo que 0 y es un valor de
entrada que se puede manipular se obtiene:
(2.23)
(2.24)
Sumando y elevando al cuadrado ambas ecuaciones para simplificar se tiene:
2 2 2 cos (2.25) Esta ecuación debe normalizarse para reducir su complejidad, y para esto se utilizan las
constantes K1, K2 y K3 en términos de las longitudes de los eslabones:
, 2 (2.26)
Por lo tanto en notación simplificada la ecuación (2.27), conocida también como la ecuación de
(Freudenstein, 1956) se puede expresar como sigue:
cos (2.27) Para reducir más esta ecuación se emplean las identidades trigonométricas del ángulo mitad, que
convertirán los términos en y en términos de tan :
2 21 2
(2.28)
1 21 2
(2.29)
Conocida , de (2.27) se agrupan nuevamente las variables, teniéndose:
(2.30)2 (2.31)
1 (2.32)
2 20 (2.33)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 39
Utilizando la ecuación cuadrática para obtener los valores de los ángulos se tiene:
, 2√ 4
2 (2.34)
Como se observa, (2.34) tiene soluciones que pueden ser reales iguales, reales distintas y
complejas conjugadas. Si estas son complejas conjugadas, los eslabones con esas longitudes no
se conectan (no forman una cadena cinemática cerrada) para el valor de seleccionado
(Moreno-Pérez, 2006).
Para calcular el ángulo , se realiza un procedimiento similar al cálculo de . Hay que
regresar a (2.21 y 2.22) despejando ahora , resultando:
(2.35)
(2.36)
Elevando al cuadrado y sumando para eliminar se obtiene la ecuación:
cos cos (2.37)
La constante es la misma que para , K4 y K5 son:
y (2.38)
Reduciendo a la forma cuadrática:
2 2 0 (2.39)
Donde:
(2.40)2 (2.41)
1 (2.42) Y la solución es:
, 2E √E 4DF
2D
(2.43)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 40
Igual que para , hay dos soluciones correspondientes a las ramas cruzadas y abiertas del
eslabonamiento, que de acuerdo a la configuración para este mecanismo, deben elegirse los
signos de acuerdo a la Tabla 2.2:
Tabla 2.2. Configuración de mecanismos (Moreno-Pérez, 2006).
Configuración Abierta + √ - √ Cruzada - √ + √
La posición de un punto P sobre el eslabón acoplante (como el mostrado en la figura 2.7) se
puede calcular una vez que se tienen los ángulos y dado que el marco de referencia se
encuentra localizado en xo y yo:
(2.44)
Una ventaja de utilizar la notación de números complejos para representar vectores planos (o en
el plano) proviene de la identidad de Euler y sirve para desarrollar y deducir las ecuaciones para
la posición, la velocidad y la aceleración del eslabonamiento(Norton, 1995).
2.3.1.1.8 Centro Instantáneo de Rotación en un mecanismo policéntrico.
El centro instantáneo es la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes de dos
cuerpos rígidos diferentes para los que las velocidades absolutas de los dos puntos son iguales.
También se puede definir como la ubicación de un par de puntos coincidentes de dos cuerpos
rígidos diferentes para los que la velocidad aparente de uno de los puntos es cero, tal y como la
percibe un observador situado en el otro cuerpo. En general, el centro instantáneo entre dos
cuerpos no es un punto estacionario, sino que su ubicación cambia en relación con ambos
cuerpos, conforme se desarrolla el movimiento y describe una trayectoria o lugar geométrico
sobre cada unión de ellos. Estas trayectorias son llamadas centrodas. Éste sirve para obtener la
síntesis del mecanismo respecto a su posición, velocidad y aceleración. En las prótesis
policéntricas, éste varia con el ángulo de flexión de la rodilla y determina el control mecánico de
ésta (Oberg & Kamwendo, 1988).
Para un mecanismo de 4 barras, los centros instantáneos de rotación se muestran en la Figura
2.8, los puntos P2.4,P2.3, P2.1, P3.1, P1.4 y P3.4, muestran la unión de los centros instantáneos,
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 41
estos son los que se pueden determinar a simple vista, aunque existe una fórmula para
establecerlos , además del Teorema de Aronhold-Kennedy (Norton, 1995). La combinación para
n objetos tomados r en cada vez, es:
1 2 … 1!
(2.45)
Aplicando esta ecuación, para un mecanismo de 4 barras se tienen 6 CI, para uno de 6 barras 15
CI y para uno de 8, 28 CI.
Figura 2.8 Centros instantáneos de rotación en un mecanismo de 4 barras.
2.3.1.2 Implementación de los métodos en la síntesis de un mecanismo de 4 eslabones.
Se tiene un mecanismo plano de 4 eslabones, como el mostrado en la Figura 2.7, en el cuál se
requiere obtener la longitud de todos los eslabones y el valor de los ángulos de la biela y el
seguidor, aplicando el método de Newton Raphson, algebra compleja y los centro instantáneos
de rotación.
Para hacer el análisis cinemático, se parte de obtener la ecuación que refleja el orden particular
de los vectores para formar una cadena cinemática cerrada y una cadena abierta , para esto se
aplican las ecuaciones 2.21 y 2.2.2, que son la base para obtener la Función de Freudenstain, que
es la relación entrada-salida del sistema, para cadena cerrada:
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 42
(2.46)
Y para la cadena cinemática abierta del mecanismo antes referido se tiene:
(2.47)
Si se toma la función correspondiente a la cadena abierta, como primer ejemplo, considerando
como variables, para este caso xo, r2, yo, rcx y rcy, y el número de puntos de precisión (5 por
ejemplo), el jacobiano respectivo es:
1 1
5 5
(2.48)
Si se substituyen los valores propuestos para las variables correspondientes, los valores deseados
impuestos en la trayectoria para x y y, además del ángulo de entrada , además de substituir
estos en la ecuación 2.48, se obtendrán la primer aproximación de las raíces para la obtención de
la curva para cada variable.
Substituyendo los valores obtenidos de las variables en la función de posición correspondiente a
los puntos generados se tienen:
/2 (2.49)
/2 (2.50)
Para saber en qué momento debe terminar esta serie de iteraciones, es necesario definir una
restricción, para este caso se plantea la distancia euclidiana entre el valor deseado y el generado,
presentado por la ecuación 2.51:
(2.51)
Dos situaciones en las que el Método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el Método no
alcanza la convergencia y (b) el Método converge hacia un punto que no es un cero de la
ecuación (Luthe et al., 1982).
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 43
Con los valores de las dimensiones obtenidos para los eslabones y los ángulos y
se desarrollan las ecuaciones para algebra compleja, que para este ejemplo se representan por:
(2.52) (2.53)
(2.54) (2.55) (2.56) (2.57) (2.58)/ (2.59)
Y por último los centros instantáneos de rotación vienen dados por: 4 4 1
2 6 (2.60)
2.3.1.3 Mecanismos de seis barras.
En ocasiones, en las que se halla una buena solución a un problema de síntesis de
eslabonamiento, que satisface las restricciones de generación de trayectoria, pero ésta tiene los
pivotes fijos en localizaciones impropias para la unión al plano o al armazón de fijación
disponible, se presentan los mecanismos cognados. Este término fue empleado por (Denavit &
Hartenberg, 1955) para describir un eslabonamiento de distinta configuración, que genera la
misma curva que el acoplador.
De acuerdo al teorema de Roberts-Chebychev (Shigley, 1988), tres eslabonamientos planos de
cuatro barras articuladas, describirán curvas del acoplador idénticas. Al hacer arreglos entre los
mecanismos cognados de cuatro barras, se obtienen las configuraciones fundamentales de
mecanismos de 6 barras, el tipo Watt y el tipo Stephenson, como los mostrados en la Figura 2.9.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 44
Figura 2.9. Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Watt y Tipo Stephenson.(Dewen et al., 2003).
Dicha clasificación depende de los eslabones ternarios (miembros con tres articulaciones de
revolución). En la cadena Watt, los eslabones ternarios son adyacentes; en la cadena Stephenson,
los eslabones ternarios están separados por eslabones binarios.
La síntesis de mecanismos de 6 barras es estudiada para cubrir ciertas exigencias que no se
pueden cubrir con los mecanismos de 4 barras. Estos se emplean cuando se tienen
requerimientos que producen una detención (que es cuando existe un periodo inmóvil del
acoplamiento de la salida para el movimiento diferente a cero del acoplamiento de la entrada), en
el acoplamiento de la salida durante los periodos predefinidos del movimiento del acoplamiento
de la entrada (Norton, 1999). Aplicados a la prótesis de miembro inferior, ofrecen movimientos
con mejor coordinación en la fase de postura y avance.
En la síntesis de mecanismos de 6 barras, la optimización se formula generalmente como la
minimización del error en ángulos correlacionados de la entrada y la salida. Es decir, la posición
del error que se presenta entre la trayectoria obtenida y la trayectoria deseada.
A estos mecanismos también se les puede hacer la síntesis por medio del método de Newtón
Raphson y por algebra compleja siguiendo el mismo principio que para un mecanismo de cuatro
barras, ya que los de 6 eslabones se forman por la unión de 2 mecanismos de esta configuración.
2.3.2 Mecanismos espaciales.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 45
El problema de la síntesis de mecanismos espaciales se puede dividir en brazos manipuladores,
mecanismos paralelos y mecanismos esféricos. Los mecanismos de cadena abierta, conocidos
como robots manipuladores están constituidos por una serie de barras dispuestas en serie y
conectadas mediante pares que en conjunto proporcionan una gran movilidad a un actuador final
(Sanchéz-Marín, 2000). Estos tienen como principal inconveniente el hecho de que debido a su
configuración, acumulan el error de posicionamiento de los diferentes pares cinemáticos desde la
base hasta el actuador final, creciendo este error con la fuerza aplicada en dicho actuador. La
síntesis de este tipo de mecanismos se centra en la elección de los pares y la determinación de la
longitud de las barras de forma que se obtenga una movilidad y precisión óptima. En los
mecanismos paralelos los eslabones y pares forman parte de dos o más cadenas cinemáticas que
están diseñadas para funcionar en paralelo. De éstas existen muchas posibles configuraciones,
siendo la más conocida la plataforma de Stewart (Sanchéz-Marín, 2000). Sus seis grados de
libertad le proporcionan una gran movilidad y precisión (Figura 2.10). La síntesis se centra
fundamentalmente en la búsqueda de nuevas configuraciones o síntesis de tipo y en el
dimensionamiento de los eslabones para el cumplimiento de una serie de requisitos de
movilidad.
Figura 2.10 Plataforma Stewart. (Sanchéz-Marín, 2000)
Los mecanismos esféricos se caracterizan porque generalmente poseen únicamente pares
inferiores y estos pares se mueven dentro de una superficie esférica (Sanchéz-Marín, 2000). La
síntesis de estos tiene características similares a la síntesis de mecanismos planos con pares
inferiores en lo referente a tipología, objetivos y requisitos.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 46
En los mecanismos espaciales de un grado de libertad existe una Configuración de Insensitividad
de Posición (CIP) que se aplica cuando hay una configuración del mecanismo tal que, aunque se
introduzca un movimiento con una velocidad cualquiera en el eslabón de entrada, el eslabón de
salida permanezca inmóvil. De manera análoga, habrá una configuración de incertidumbre de
posición (CIN) cuando el eslabón de salida pueda realizar determinados movimientos estando
inmóvil el eslabón de entrada (Zabalza-Villava, 1999). Para algunos mecanismos espaciales de
un grado de libertad, con base en el cuadrilátero articulado, algunos autores (Freudenstein &
Kiss, 1969, Freudenstein & Primrose, 1976, Gupta & Radcliffe, 1971, Söylemez &
Freudenstein, 1982, Tinubu & Gupta, 1984, Willians & Reinholtz, 1987, Rastegar & Tu, 1992,
Zabalza-Villava, 1999) han estudiado, los límites de su espacio de trabajo, que son posiciones de
los mecanismos en las que se producen las CIP. En los mecanismos planos o espaciales de varios
grados de libertad, se presentará una CIP cuando el eslabón de salida permanezca inmóvil para
una velocidad cualquiera de uno o varios eslabones de entrada. Del mismo modo, se tendrá una
CIN cuando el eslabón de salida tenga algún movimiento estando inmóviles todos los eslabones
de entrada.
En mecanismos de varios grados de libertad, un determinado punto del brazo del robot describe
una superficie que suele ser, de alguna manera, límite del espacio de trabajo. Mientras ese punto
determinado se encuentre en la superficie límite puede permanecer inmóvil independientemente
del movimiento de algún actuador, perdiendo el robot algún grado de libertad. A estas
configuraciones, normalmente las denominan como "configuraciones singulares" y las estudian
como límites negativos del espacio de trabajo, no habiendo ningún estudio que se conozca en el
que las consideren ventajosas: de manera formal, una singularidad tiene lugar cuando el inverso
del jacobiano del manipulador se indefine, esto es la velocidad de alguna articulación tiende
súbitamente al infinito (Craig, 1989).
2.4 Descripción de Algoritmo Genético.
Un algoritmo genético típico inicia con una población generada aleatoriamente. Los caracteres
en la cadena de solución son llamados genes. El valor y la posición en la cadena de un gen son
llamados lugar geométrico y alele respectivamente. Cada solución de la cadena es llamada
cromosoma. El código de las variables se llama genotipo, y las variables mismas se llaman
fenotipo (Figura 2.11).
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 47
Figura 2.11 Representación de un cromosoma binario
Los individuos son seleccionados probabilísticamente para ser evaluados por la función objetivo
(Chen, 2004). La población evolucionará, a lo largo de las generaciones sucesivas, de tal manera
que la adaptación media extendida a todos los individuos de la población, así como la adaptación
del mejor individuo se irán incrementando hacia la óptima global. A medida que el número de
generaciones aumenta, es más probable que la adaptación media se aproxime a la del mejor
individuo. De esta forma un gen ha convergido cuando al menos un 95% de los individuos de la
población comparten el mismo valor para dicho gen. Se dice entonces que la población converge
cuando todos los genes han convergido. Los pasos para hacer un algoritmo genético según se
establece en (Goldberg, 1989) se presentan en el diagrama de la Figura 2.12:
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 48
Figura 2.12 Diagrama de flujo de un algoritmo genético
Describiendo cada punto se tiene:
Población inicial: Se crea aleatoriamente y es codificada dentro del cromosoma de un arreglo
con longitud variable (Figura 2.13). La codificación puede hacerse en una representación
binaria(Goldberg, 1989, Merchán-Cruz, 2005), en base al dominio de cada variable, para la
síntesis de mecanismos, la longitud de los eslabones y los ángulos de movimiento, se calcula el
número de bits y la longitud del cromosoma con (2.52) y (2.53) respectivamente, siendo p el
número de dígitos de precisión después del punto (Michalewicz, 1999). Para poder hacer la
evaluación se tiene que hacer la decodificación y obtener valores reales, por ejemplo para los
ángulos de transmisión:
( )( )( )2log
10log minmaxp
iii
rrnbits
×Δ−Δ=
(2.61)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 49
Donde
nbits Es el número de bits por variable
rmáx Límite máximo de la variable.
rmin Límite mínimo de la variable.
p Precisión en decimales.
∑=
=n
iinbitslongcr
1
(2.62)
Figura 2.13 Representación de la población.
El tamaño de una población ni de cromosomas de longitud longcr, con una codificación binaria,
compuesta por una serie de genes y aleles, debe ser suficiente para garantizar la diversidad de las
soluciones creadas por una notación mediante cadenas compuestas por 0 y 1, si se escoge una
representación binaria.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=×
longcrnini
longcr
longcrnibb
bbs
,1,
,11,1
K
M
K
(2.63)
La población debe evaluarse decodificando los genes del cromosoma, para convertirse en una
serie de soluciones factibles al problema:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
Δ−Δ⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅+Δ= ∑
= 122 minmax
0min longcr
iinbits
j
iiii
i
bx θθθ
(2.64)
x La variable decodificada.
bi Bit de la cadena.
longcr Longitud del cromosoma
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 50
Evaluación: Durante ésta, se decodifica el gen, convirtiéndose en una serie de parámetros de un
problema. Se halla la solución de éste a partir de esos parámetros, y se le da una puntuación a
esa solución (llamada fitness) en función de lo cerca que esté del mejor resultado. Ésta debe
reflejar el valor del individuo de una manera real, pero en muchos problemas de optimización
combinatoria, donde existe una gran cantidad de restricciones, buena parte de los puntos del
espacio de búsqueda representan individuos no válidos.
aptitudfunciónxfitnessf ii == )( (2.65)
∑=
=j
iipop fF
1
(2.66)
Para resolver el gran número de restricciones se han propuesto soluciones como:
• Absolutista: Los individuos que no verifican las restricciones, no son considerados como
tales y se siguen efectuando cruces y mutaciones hasta obtener individuos válidos, o bien
de dichos individuos se les asigna una función objetivo igual a cero.
• Regenerador: Es un operador que reconstruye aquellos individuos que no verifican las
restricciones.
• Penalización de la función objetivo: Consiste en dividir la función objetivo del individuo
por una cantidad (la penalización) que guarda relación con las restricciones que dicho
individuo viola. Esta cantidad puede tener en cuenta el número de restricciones violadas
o el costo esperado de reconstrucción, que es un coste asociado a la conversión de dicho
individuo en otro que no viole ninguna restricción.
• Evaluación aproximada de la función objetivo: La obtención de n funciones objetivo
aproximada puede resultar mejor que la evaluación exacta de una única función.
Selección: El proceso consiste en elegir individuos de acuerdo a su contribución de aptitud con
respecto al total de la población, existen varias técnicas, pero la más utilizada es la función de
selección proporcional a la función objetivo, con ésta, cada individuo tiene una probabilidad de
ser seleccionado como padre, que es proporcional al valor evaluado mediante la función
objetivo.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 51
(Baker, 1987) introdujo el muestreo universal estocástico, el cuál utiliza un único giro de ruleta,
siendo los sectores circulares proporcionales a la función objetivo. Los individuos son
seleccionados a partir de marcadores igualmente espaciados y con comienzo aleatorio. En este
método, si se determina una población de tamaño N de generación t, de un algoritmo, donde
existen k individuos del esquema H y que f1, f2 …fk son los valores de la función de adaptación.
Si se selecciona aleatoriamente un miembro de la población usando el mecanismo de la ruleta, la
probabilidad de que este sea el i-ésimo representante del esquema H es:
∑=
= N
ji
ii
f
fp
1
(2.67)
Con esta fórmula se calcula la población inicial, pero ésta sólo es válida para el tipo de selección
proporcional o de ruleta.
Para la selección de la ruleta se necesita conocer el grado de adaptación de alguno de los
individuos Fi, y la suma de la población calificada de los individuos adaptados ∑=
N
iiF
1
y la
circunferencia Ci, la fórmula de la ruleta será ( 2.68 y 2.69) y se representa por la Figura 2.14:
pop
ii F
fw = (2.68)
∑−
=
+=1
0
p
kpkp wwL (2.69)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 52
Figura 2.14 Selección por ruleta.
Algunas otras técnicas para la selección son las presentadas en los trabajos de (Holland, 1975,
Goldberg & Deb, 1991, Deb, 2004, Fleming & Purshouse, 2001, Whitley, 1994), algunas de
estas son:
Tipos de selección:
• Selección Proporcional: Seleccionado proporcionalmente a su valor de aptitud.
• Selección de Estado Uniforme. Algunos individuos menos aptos son reemplazados.
• Sobrante Estocástico. Es determinista con la parte entera de valores esperados y
proporcionales para la parte fraccionaria de cada individuo.
• Universal Estocástico. Distribución de los individuos en función de sus valores
esperados.
• Muestreo Determinístico. Basado en el sobrante estocástico y un algoritmo de
ordenación.
• Escalamiento Sigma. Está en función de su aptitud, la media y la desviación estándar.
• Selección por Jerarquías. Clasifica a los individuos con base en su rango.
• Selección de Boltzmann. Se basa en el proceso del recocido simulado para seleccionar.
• Selección por torneos. Posibilidades de ganar en una competencia por comparaciones
directas de los individuos, ya sea en forma determinista o probabilística.
• Selección por truncamiento. Complejo en el tiempo y no se basa en la aptitud.
• La selección de rango lineal. Lineamiento de acuerdo a su rango y valores de aptitud.
• Selección de rango exponencial. Ponderación exponencial de probabilidades en los
individuos.
• Brecha Generacional. Los padres de una población no compiten contra sus hijos.
• Selección Disruptiva. Normaliza las aptitudes con respecto a un cierto valor moderado.
• Selección Competitiva. Es a través de las interacciones con miembros de la población, o
con otros miembros de una población separada que evoluciona concurrentemente.
Cruzamiento: La idea principal del cruce se basa en que, si se toman dos individuos
correctamente adaptados al medio y se obtiene una descendencia que comparta genes de ambos,
existe la posibilidad de que los genes heredados sean precisamente los causantes de la bondad de
los padres. Al compartir las características buenas de dos individuos, la descendencia, o al
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 53
menos parte de ella, debería tener una bondad mayor que cada uno de los padres por separado. Si
el cruce no agrupa las mejores características en uno de los hijos y la descendencia tiene un peor
ajuste que los padres no significan que se esté dando un paso atrás. Optando por una estrategia
de cruce no destructiva garantizamos que pasen a la siguiente generación los mejores individuos
(Gestal-Pose, 2006) .
Si se aplica un cruzamiento con una probabilidad pc sobre los individuos seleccionados
previamente, algunas de las cadenas H se cruzarían con otras, de forma tal que la cadena
resultante ya no sería representante de la cadena original, es decir (Kuri-Morales & Galaviz-
Casas, 2002):
( ) ( ) ( ) ( )rc ppfHftHmcruseltHm −≥++ 1,,
(2.70)
Donde:
( )tHm , = k: Es el número de individuos del esquema en la población de generación t.
pr= Probabilidad de ruptura del esquema H bajo el tipo de cruzamiento que esté siendo
utilizado.
Tipos de cruzamiento.
Ya que se tienen seleccionados los mejores individuos, el siguiente paso es hacer el cruce de
estos individuos, que puede ser por un punto, dos puntos o uniforme.
Estos se utilizan dependiendo del esquema que se analice, los cruzamientos más utilizados son,
según, (Kuri-Morales & J., 2002):
• Cruzamiento de punto: Se elige un punto de corte y se intercambian los segmentos
análogos de las dos cadenas.
• Cruzamiento de dos puntos: Se eligen dos puntos de corte y se intercambian los
segmentos medios de ambas cadenas, se considera a los extremos de la cadena como
sitios contiguos, como un anillo.
• Cruzamiento uniforme: Para cada posición de bit de una cadena a generar se elige
aleatoriamente el bit de la misma posición de alguna de las cadenas generadoras.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 54
Mutación: Es un operador que se aplica con probabilidad pm y que tiene el efecto de invertir un
bit utilizando una probabilidad de mutación del bit l-1, siendo l la longitud de la cadena del
cromosoma (Figura 2.15). En esta hay una variación del valor de los genes en forma aleatoria,
generalmente se da en valores muy pequeños, ya que no es tan significativo como el cruce
(Goldberg, 1989).
Figura2.15 Cruzamiento y Mutación.
El cruzamiento y la mutación son representados por:
Pc= 1-(lgcr-1)*Rand (2.71)
Pm = 1-(1-(lgcr-1))*Rand (2.72)
Donde Pc es la probabilidad de cruce, Pm la probabilidad de mutación, lgcr, la longitud del
cromosoma y Rand, es una serie de números aleatorios.
(De Jong, 1975) recomienda el uso de una probabilidad de mutación del bit l-1, siendo l la
longitud de la cadena del cromosoma, aunque algunos autores(Michalewicz, 1999, Laribi et al.,
2004, Merchán-Cruz, 2005, Cabrera et al., 2007, Erkaya & Uzmay, 2008) han obtenido mejores
resultados experimentales modificando la probabilidad de mutación a medida que aumenta el
número de iteraciones. Posteriormente se hace una nueva evaluación para comprobar que se
cumple la solución más óptima. También existen varios tipos de mutación, entre los que se
encuentran:
Tipos de mutación
• Mutación por Permutaciones. Útiles en problemas de optimización combinatoria.
• Mutación por Inserción. Se selecciona el valor de un individuo en forma aleatoria y se le
inserta en una posición arbitraria.
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 55
• Mutación por Desplazamiento. Cambian de posición en la cadena varios valores a la vez.
• Mutación por Intercambio Recíproco. Se seleccionan dos puntos al azar y se
intercambian estos valores de posición.
• Mutación por factor múltiple. Este incorpora dentro del a mutación un factor de
perturbación, un valor porcentual de qué numero de alelos en un cromosoma serán
afectados de manera aleatoria, permitiendo generar una mutación de un alelo o más de
uno. Esta modificación se observa claramente cuando el algoritmo genético tiene una
convergencia prematura, potencializando la exploración del espacio factible de búsqueda,
sin embargo una taza lata en el factor puede degenerar la solución.
La mutación es necesaria porque permite de algún modo actualizar valores que se pudieron
haber perdido en la búsqueda de la mejor solución.
Condiciones de paro: Son las que van a determinar el número de iteraciones y generaciones que
se tendrán que crear en el proceso de análisis del algoritmo genético para encontrar el valor
optimo que resuelva la problemática presente o condiciones como repeticiones de buenos
resultados, valor mínimo de error, entre otros.
2.5 Descripción de un sistema lógico difuso.
Un sistema lógico difuso (SLD), es un mapeo no lineal de un vector de datos de entrada con una
salida escalar, es decir mapea números con números (Mathworks, 1999). Éste se forma de
conjuntos difusos, un conjunto difuso A en el universo del discurso U se puede definir como un
conjunto de pares ordenados:
( )( ) , AA x x x U= ∈μ (2.73)
y estando, 0,1
Siendo ( )A xμ la función de membresía, es decir el grado de pertenencia de x en A. Estando el
espacio de la membresía M en el universo [0,1]. El propósito de un conjunto difuso es
representar la ambigüedad e imprecisión que las cosas tienen en el mundo real, tratando de
eliminar las fronteras cerradas que separan a los miembros y no miembros de un grupo o
conjunto. Un problema que se presenta en los conjuntos difusos es la asignación de las funciones
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 56
de membresía que los representan, ya que depende del criterio del diseñador y de la naturaleza
del problema. Una de las soluciones que actualmente se proponen a este problema es la
utilización de las redes neuronales para aproximar estas funciones.
Algunas de las operaciones que se realizan entre conjuntos difusos son las siguientes:
Complemento: El complemento A−
de un elemento de un conjunto difuso A está dado por la
diferencia entre la unidad y su grado de membresía correspondiente ( )A xμ , siendo definido
como:
( ) 1 ( )AA
x x x Uμ μ− = − ∀ ∈ (2.74)
Intersección: La intersección entre dos conjuntos difusos A y B, se denota como:
[ ]( ) ( ), ( ) ( ) ( )A B A B A BA B x mín x x x x x Uμ μ μ μ μ∩∩ → = = ∧ ∀ ∈ (2.75)
Unión: La unión de los conjuntos difusos A y B se define como:
[ ]( ) ( ), ( ) ( ) ( )A B A B A BA B x máx x x x x x Uμ μ μ μ μ∪∪ → = = ∨ ∀ ∈ (2.76)
Igualdad: Dos conjuntos difusos A y B son iguales sí:
( ) ( )A BA B x x x Uμ μ= → = ∀ ∈
(2.77)
Subconjunto: A es un subconjunto de B, si y sólo si:
( ) ( )A BA B x x x Uμ μ⊆ → ≤ ∀ ∈
(2.78)
Producto cartesiano: El producto cartesiano de 1 2, ,..., nA A A es un conjunto difuso en el espacio
del producto 1 2 ... nU U U× × × , siendo las funciones de membresía:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... 1, 2 1 2 1 1 2 2,..., , ,..., , ,...,
n nA A A n A A A n n nx x x mín x x x x U x U x Uμ μ μ μ× × × ⎡ ⎤= ∈ ∈ ∈⎣ ⎦ (2.79)
Suma algebraica: La suma A+B de dos conjuntos difusos está dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A Bx x X x Xμ μ μ μ μ+ = + − ⋅ (2.80)
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 57
Producto algebraico: El producto algebraico A B⋅ se define como:
( ) ( ) ( )A B A Bx x xμ μ μ⋅ = ⋅ (2.81)
Con esta serie de ecuaciones se puede diseñar un control difuso con el cual se evita la compleja
tarea de realizar un modelado dinámico del proceso, que en la mayoría de los casos resulta muy
laborioso y difícil.
2.6. Sumario
Este capítulo presentó los fundamentos necesarios para realizar el análisis y la síntesis de
mecanismos, iniciando por conocer las características y los tipos más usuales para cubrir las
necesidades especificas del cliente.
Se mostró una descripción de las ecuaciones y métodos para obtener la síntesis de mecanismos
planos para diseñar el número y tipo de eslabonamiento, los grados de libertad de movimiento y
el análisis de posición para generar la trayectoria. El desarrollo de éstas se enfocó a un
mecanismo de 4 barras, configuración base para poder diseñar posteriormente mecanismos con
un mayor número de eslabones y grados de libertad. Dentro del análisis dinámico, se describió el
manejo de los centros instantáneos de rotación para calcular velocidades y aceleraciones.
Se desarrolló el método de Newton Raphson para optimizar las funciones de Freudenstain para
cadena abierta y cerrada, derivadas de la síntesis de mecanismos, este método por sus
características se empleará como método numérico para validar y comparar resultados del
método metaheuristico a emplear, como son los algoritmos genéticos. También se desarrolló un
ejemplo ilustrando la forma de combinar y aplicar este método con el algebra compleja, que se
aplica en este tipo de análisis para determinar las posiciones de los eslabones, que son una de las
principales variables de los mecanismos cuando se diseñan para el seguimiento de trayectorias.
También es importante resaltar que Newton-Raphson es un método que converge
cuadráticamente, es decir, que el número de cifras decimales correctos se duplica
aproximadamente en cada iteración, o el error es aproximadamente proporcional al cuadrado del
Capítulo II
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 58
error anterior, por lo que puede llegar a tener algunas desventajas, como las presentadas en la
teoría, pero que pueden ser mejoradas si se aplica en combinación de otros métodos.
De los algoritmos genéticos se hizo una descripción de las etapas de que están formados, aquí se
demostró que la programación genética transforma iterativamente la población en una nueva
generación de población por aplicación análoga de operaciones genéticas que ocurren
naturalmente. Estas operaciones son aplicadas a individuos seleccionados desde la población. Se
describió etapa por etapa , señalando los tipos de acciones que hay para cada una y la forma en
que se relacionan con la naturaleza, también se presento un gráfico que busca el facilitar el
entendimiento del orden que deben seguir cada una de las etapas para llegar al fin especifico,
que es encontrar de un conjunto de posibles soluciones, como es la población , el optimo
resultado para cumplir con el problema en específico, para este caso de estudio la síntesis de
mecanismos, teniendo como principales variables la longitud de cada eslabón y el valor de
ángulos que generaran el mejor movimiento llegando a un optimo local.
Otro método de optimización descrito es el de la lógica difusa que en forma general sirve para
representar la ambigüedad y la imprecisión que las cosas tienen en el mundo real.
Los fundamentos teóricos presentados en este capítulo servirán como base para el desarrollo del
capítulo tres, en el cual se describirá la simulación y la síntesis de mecanismos de 4 y seis
eslabones. Esto se realizara empleando los métodos matemáticos y los metaheuristicos, como
son Newton Raphson, Algebra compleja y Algoritmos genéticos, para poder observar y analizar
el desempeño que tienen cada uno de estos con un mismo problema y así determinar cuál es la
herramienta más viable para desarrollar y diseñar una prótesis policéntrica para miembro
inferior.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
60
SIMULACIÓN Y SÍNTESIS
DE MECANISMOS
En este capítulo se presenta la síntesis y el análisis de mecanismos planares y policéntricos para generar trayectorias predefinidas de mecanismos de 4 y 6 barras. La síntesis se hace con métodos numéricos y metaheurísticos como son los algoritmos genéticos.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
61
3.1 Generalidades de la síntesis de mecanismos.
La síntesis dimensional aproximada de mecanismos planos para generación de trayectoria, tiene dos
objetivos principales, dar al planteamiento una orientación hacia la resolución mediante
herramientas de programación y plantear estrategias de búsqueda del óptimo global dentro del
espacio de diseño, también busca una solución que usualmente no es única y el número de
requerimientos de diseño no es una limitación. Su principal característica de análisis es que parte de
un tipo de mecanismo conocido y busca determinar las dimensiones ideales para cumplir los
requisitos pasando por todos los puntos de precisión durante el ciclo completo de movimiento. En
este modelo se pueden resolver las longitudes de los eslabones y el ángulo de transmisión en un
mecanismo. Se dice que existe un máximo en el número de puntos de precisión que un mecanismo
puede satisfacer de forma exacta, en tal caso, se pueden conocer las dimensiones del que mejor
cumple los requisitos, es decir el óptimo que pasa lo más cerca posible de todos los puntos, lo que
conlleva a tener un problema de optimización llamado síntesis aproximada Esta da solución a
problemas más generales ya que admite requisitos de cualquier tipo y se puede resolver empleando
métodos como los algoritmos genéticos que buscan dentro de un campo de búsqueda muy alto la
mejor solución al problema establecido y aseguran cada vez más la obtención de un óptimo global.
Aunque también es necesario conocer y manejar los métodos exactos, para validar y comprobar el
correcto funcionamiento de los métodos aproximados.
Como punto importante de los algoritmos genéticos, se tiene la función objetivo, que se encarga de
evaluar los puntos de precisión en el espacio de diseño y en la solución de la síntesis óptima, que es
la característica a ser optimizada y tiene como base de evaluación el cálculo del el error entre la
trayectoria generada y la deseada. Como se puede tener un gran número de evaluaciones de esta, es
necesario buscar una función computacionalmente económica que se compatible con las
restricciones impuestas por condiciones como las de Grashof y en general el espacio de diseño.
Contando con la síntesis de mecanismos combinando métodos exactos y aproximados, se puede
obtener la simulación de estos, aplicando varias herramientas en las que se podrá observar el
comportamiento de estos modificando variables y condiciones de operación.
Capítulo III
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62
3.2 Síntesis de mecanismos con Algoritmos Genéticos.
Analizando la función para la síntesis de mecanismos, aplicando algoritmos genéticos (Holland,
1975) y el planteamiento de autores como (Roston & Sturges, 1996, Kunjur & Krishnamurty, 1997,
Cabrera et al., 2002, Quintero-R et al., 2004, Laribi et al., 2004, Cabrera et al., 2007) se tiene la
representación general de la función dada por (3.1):
( ) ( ) ( )( )1 2, ,... nf p X p X p X (3.1)
Y está sujeta a ( ) 0 0,1,2,.....,
,j
i i
g X j m
X li ls x X
≤ =
∈ ∀ ∈
(3.2)
En donde f es la función óptima y cada X es un valor individual obtenido, pn son las funciones más
aptas por las propiedades que muestran a los objetivos de los sistemas optimizados, gj es la
definición de la búsqueda del espacio y ,li ls son los rangos de longitud definido por valores
enteros o reales.
Como caso de estudio, el análisis y la síntesis se enfocan a la generación de trayectoria, la cual, se
refiere a la posición del error que se presenta entre la trayectoria generada y la deseada, que
normalmente se plantea como la suma de los cuadrados de la distancia Euclidiana entre cada idC y
el correspondiente Cix, donde i
dC es un conjunto de puntos específicos indicados por el diseñador
(Cabrera et al., 2002) y Cix son los puntos generados obtenidos por los acoplamientos o uniones de
los mecanismos de acuerdo a un conjunto de valores de los ángulos θ de entrada:
,Ti i i
d Xd YdC C C⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.3)
( ) ( )2 2,
Tii iC Cx Cyθ θ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.4)
En los trabajos de síntesis de trayectoria realizados hasta la fecha por autores como(Roston &
Sturges, 1996, Kunjur & Krishnamurty, 1997, Cabrera et al., 2002, Quintero-R et al., 2004, Laribi
et al., 2004, Cabrera et al., 2007, Erkaya & Uzmay, 2008). La forma de comparar curvas más
Capítulo III
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63
utilizadas es la técnica de la mínima distancia entre puntos al cuadrado. Ésta consiste en la
obtención de una serie de puntos de cada una de las curvas que se van a comparar y en la estimación
de su diferencia mediante la suma de los cuadrados de las distancias entre puntos homólogos de
ambas curvas. Han propuesto una función objetivo general igual a la suma de los cuadrados de
diferencias entre características de las curvas generadas y requeridas, con base en esto la función
óptima es:
(3.5)
En donde N es el número de puntos a ser sintetizados, es un conjunto de puntos específicos
indicados por el diseñador y son los puntos generados por el acoplador del mecanismo,
establecidas por las ecuaciones de Freudenstein para la cadena cinemática abierta, mostradas en las
ecuaciones 2.46 y 2.47.
Para cubrir los requerimientos de la función objetivo, se deben cubrir ciertas restricciones:
1. Condiciones de Grashof.
2. La secuencia de los ángulos de entrada.
3. El rango para el diseño de las variables.
4. El rango de variación para la entrada de los ángulos.
5. La relación entre el aumento en la entrada de un ángulo y la posición adyacente del punto de
acoplamiento.
Tomando como base los puntos antes mencionados, la ecuación resultante es:
(3.6)
En donde v= r1, r2, r3, r4, rcx, rcy, θ0, x0, y0, 1 22 2 2, ,........., Nθ θ θ , los ángulos 1 2
2 2 2, ,........., Nθ θ θ son el
valor de la variable del ángulo θ2 que es la posición, las variables i. j son el resto del cociente. Para
optimizar esta función, con base en la ecuación propuesta en el trabajo de (Erkaya & Uzmay, 2008)
Capítulo III
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64
(3.7)
Donde N es el número de puntos de precisión.
El diagrama de flujo de la Figura 3.1, representa la síntesis de mecanismos empleando algoritmos
genéticos como herramienta de optimización y posteriormente se explica la secuencia de
operaciones.
Figura 3.1 Diagrama de flujo para la síntesis de mecanismos con algoritmos genéticos (Shiakolas et al., 2005).
Definición de población inicial: El tamaño adecuado de la población está en función del número de
individuos y del espacio explorado. Se puede considerar un tamaño de población considerablemente
Capítulo III
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grande. Sin embargo, el uso de una estrategia elitista y un porcentaje alto de cruza y mutación,
pueden mejorar el desempeño del algoritmo con una población no tan grande. Lo que se requiere es
determinar en qué espacio se encuentran las posibles soluciones al problema que se pretende
resolver.
Se inicia determinando el número de alelos que tiene cada gen para formar al cromosoma:
Dominio=[ -60 60 -60 60 0 60 0 360]
[ ] Figura 3.2 Estructura del cromosoma
Estos valores se asignan con base en un bosquejo del mecanismo o restricciones impuestas por el
diseñador para cubrir una trayectoria específica. Para el ejemplo se están asignando los valores
máximos y mínimos en los que se encuentran las posibles soluciones para los eslabones y los
ángulos que generarán el movimiento.
Cada gen se forma por los valores máximos y mínimos en los que se encontrará la posible solución,
y aplicando la ecuación 2.52 presentada en el capítulo 2, se tiene:
Figura 3.3 Longitud del cromosoma
Como se observa los puntos de origen tienen 27 alelos que forman cada gen y darán un valor real,
posteriormente se tienen 26 para cada eslabón, 27 para los eslabones que indican el punto objetivo y
29 para los valores que ocuparan el valor óptimo de grados necesarios para generar el movimiento
específico. Cabe mencionar que la longitud del cromosoma aumenta según el número de puntos de
precisión que se vayan a analizar y al número de eslabones que se necesiten en el mecanismo. La
Capítulo III
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longitud y el número de individuos se emplean para crear la población, la cual se genera
aleatoriamente, quedando para este ejemplo una matriz de 1000 individuos con una longitud de 270
bits por cromosoma (Figura 3.4).
Diseño de variables: El número de variables en el análisis de mecanismos planos depende
principalmente del número de eslabones que se necesitan para cubrir una trayectoria o una función
específica. Por ejemplo la base de este trabajo, los mecanismos de cuatro barras, como variables
tienen los datos presentes en la Tabla 3.1.
Codificación: Para emplear los valores asignados a las variables en el algoritmo genético, es
necesario tener una representación del genotipo para asignar los parámetros dentro de una cadena de
símbolos conocidos como genes. La representación utilizada a menudo es la binaria, esta presenta
un alto grado de paralelismo implícito y aumenta la probabilidad en la formación de bloques
constructores que mejoran el desempeño del algoritmo con el paso del tiempo, esta ofrece un mayor
número de esquemas posibles por bit de información comparada con cualquier otra codificación
posible, debido a la relación que tiene con la abstracción del lenguaje de programación al
microprocesador(Goldberg, 1989, Coello-Coello, 2007).
Tabla 3.1 Variables para mecanismo de 4 eslabones una posición
x0 y0 r1 r2 r3 r4 rcx rcy Punto inicial en x
Punto inicial en y
Eslabón base, fijo en tierra
Manivela Biela Balancín Eslabón indicador en x
Eslabón indicador en y
Angulo origen
Angulo principal generador de movimiento
Capítulo III
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67
Figura 3.4 Población de 1000 individuos generada aleatoriamente.
Figura 3.5 Codificación y decodificación
Para este diseño de algoritmo genético, el primer filtro de la población se hace en este punto, ya que
se verifica que la población generada cumpla con las condiciones de Grashof (Shigley, 1988), los
que aprueban continúan empleándose en el análisis del mecanismo, y los que no, son desechados. El
procedimiento para efectuar esta acción es:
1. Asignación de valores a cada variable r1=x(:,3); r2=x(:,4); r3=x(:,5); r4=x(:,6);
2. Aplicando la fórmula para un mecanismo de tipo eje inestable de balancín se tiene: G1=r1+r2; G2=r3+r4; G3=(r2<r3 & r3<r4 & r4<r1); GR1=(G1<G2), GR2=(GR1 y G3); GR3=(GR1 yGR2); [M,N]=encontrar (GR3==1);
3. Los valores que cumplen las condiciones especificadas permanecen en la población para efectuar todo el proceso de los algoritmos genéticos.
Con la población generada se hace la decodificación de binario a decimal (Figura 3.6), empleando la
ecuación 2.55 del capítulo 2.
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−−
⋅
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−=
4987324.24112349...
2463548.8843858 24695923.4944239 34908459.5536797-
5567351.56337501
12)60(60
1511216193614...
5381579152544 719979567387 8
49923447790839581058429180
60 2701x
Valor decimal a emplear en la evaluación
Figura 3.6 Decodificación.
Este cálculo se hace para el número total de individuos, que en este ejemplo es 1000.
Antes de hacer la evaluación correspondiente con la función objetivo, se requiere tener la síntesis de
mecanismos para cada eslabón, y repetir el procedimiento con cada punto de precisión necesario
para cubrir la trayectoria especificada, es decir:
Capítulo III
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1. Cálculo de los ángulos para un mecanismo de cuatro barras, con las ecuaciones 2.34
y 2.43.
2. Calculó de la posición de cada eslabón con base en las ecuaciones de la 2.52 a la 2.59 por
algebra compleja.
3. Repetir el procedimiento para cada punto de precisión tomando como base el ángulo
generador de movimiento.
Para cada punto de precisión se hace este cálculo y posteriormente se evalúan con la ecuación 3.10,
teniendo como ejemplo:
(3.8)
En donde Rcy representa la posición del último eslabón, el cual va a “tocar” el punto deseado durante
el movimiento. Para optimizar se aplica la ecuación 3.7, considerando las funciones para cada punto
de precisión y el número de individuos:
(3.9)
En este caso se optimiza mediante el máximo conteo de la función objetivo para evitar un problema
de singularidad, y para esto, se modifica a través de una función exponencial inversa, así la función
crece de forma normalizada mientras el error de distancia se reduce.
(3.10)
Capítulo III
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Para mejorar los resultados, se emplea el elitismo y se pueden insertar en el proceso de los
algoritmos las etapas de regeneración y la herencia forzada:
Elitismo: En este se fuerza a que el mejor individuo de la población en un determinado tiempo sea
seleccionado como padre (Figura 3.7). Esta se puede generalizar especificando que permanezcan en
la población los n mejores individuos de las pasadas k generaciones. Para generar el elitismo los
pasos son:
1. Suma total de la función.
2. Promedio de la función.
3. Función actual toma el valor máximo de la evaluación de la función.
4. Se busca la posición del mejor elemento dentro de la población.
5. Se reúnen los mejores individuos de cada análisis en la nueva población y se proponen
como nuevos padres.
Figura 3.7 Elitismo y herencia forzada
Mecanismo de Regeneración: Un pequeño porcentaje de la población se puede renovar, lo que
permite incrementar la formación de bloques constructores con mejores posibilidades de encontrar
un valor óptimo, pero como inconveniente de un algoritmo evolutivo se tiene el problema de
convergencia prematura. Sin embargo, el proceso de evolución biológica puede validar el empleo de
un factor de regeneración y su preservación fundamental en los operadores genéticos de selección,
cruce y mutación. Para este caso se establece en un inicio un porcentaje de la cantidad de individuos
que pueden renovarse, este valor se reinserta en la población original para ser considerada en la
nueva evaluación.
Mecanismo de Herencia Forzada: El mecanismo de herencia forzada, es complementario del
mecanismo de regeneración, como estrategia para introducir cromosomas especializados en base al
Capítulo III
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70
elitismo durante el proceso de cruce y mutación. A diferencia del elitismo, donde los individuos más
aptos de una población pasan a la generación siguiente sin ninguna alteración, la herencia forzada es
introducida en el proceso de regeneración, selección, cruce y la mutación, garantizando que el
individuo más apto de la generación anterior sufra el mínimo cambio potencializando su valor
aptitud de manera consistente, este mecanismo es muy útil cuando el número de variables en el
problema a resolver es considerablemente grande (Merchán-Cruz, 2005). Las operaciones
necesarias para la regeneración y la herencia forzada son:
1. Porcentaje de la población a regenerar
2. Se retoma el número de individuos, la longitud del cromosoma y por lo tanto el tamaño de la
población
3. Regeneración toma el valor de los individuos por el porcentaje a ser regenerado
4. Se convierte a binario esta población
5. Se determina la posición que ocupara en la población original la regenerada, para no alterar el
número de individuos.
6. Se reinserta la población regenerada en un sector de la población original
7. Se introduce el mejor individuo en la población regenerada, buscando no alterar el número de
individuos.
Siguiendo el desarrollo del algoritmo genético, teniendo los mejores individuos en la población, se
hace la selección de los individuos que fungirán como padres de las nuevas generaciones.
Se eligió la selección por ruleta para resolver este problema, ya que cada individuo tiene una
probabilidad de ser seleccionado como padre, y esto es proporcional al valor evaluado mediante la
función objetivo. El procedimiento a seguir con este método es:
1. Suma total de la función.
2. Se da un rango de peso para cada individuo normalizado.
3. Calcular la suma de valores esperados:
• Repetir N veces (N es el tamaño de la población).
• Generar un número aleatorio r entre 0.0 y ni.
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71
4. Ciclar a través de los individuos de la población sumando los valores esperados hasta que la
suma sea mayor o igual a r.
5. Se determina la condición que tendrá cada uno de los padres elegidos proporcionalmente por
su aptitud.
6. El individuo que haga que esta suma exceda el límite o la condición es el seleccionado como
padre.
Una vez seleccionados los individuos, estos son recombinados para producirla descendencia que se
insertará en la siguiente generación. Para el cruzamiento de la población seleccionada como padre,
se eligió el simple de un punto de corte en el que se intercambian los segmentos análogos de las dos
cadenas, como se muestra en la Figura 2.15, del capítulo 2, es decir es un operador que forma un
nuevo cromosoma combinando partes de cada uno de sus cromosomas padres. El procedimiento a
seguir para este punto es:
1. Se determina la cantidad de individuos a ser cruzados.
2. Se toman las parejas seleccionadas.
3. Se determina el punto en el que se hará el cruce en el cromosoma correspondiente.
4. Se determina la posición en que se insertaran los hijos dentro de la población.
5. Se realiza el cruce a partir de esa posición.
La mutación de inserción (Michalewicz, 1999) será la aplicada en este trabajo, ya que se
selecciona un valor en forma aleatoria y se le inserta en una posición arbitraria.
Algunos investigadores como (Fogarty, 1989, Coello-Coello, 2007) han sugerido que el usar
porcentajes altos de mutación al inicio de la búsqueda, y luego decrementarlos exponencialmente,
favorece el desempeño de un AG. Si es 0.5, hay una alta probabilidad de alterar fuertemente el
esquema de un individuo. Se suelen recomendar porcentajes de mutación entre 0.001 y 0.01 para la
representación binaria (Goldberg, 1989) o en general valores mucho más pequeños que la
probabilidad de cruce(Cabrera et al., 2002). Con esto se concluye que se puede controlar el poder de
alteración de la mutación y su capacidad de exploración puede hacerse equivalente a la de la cruza.
1. Se escoge aleatoriamente un alele
Capítulo III
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2. Se extrae del cromosoma
3. Se inserta en un lugar seleccionado al azar y afectado por la probabilidad de mutación.
Condiciones de convergencia: Son las que van a determinar cuántas veces se realizará la
evaluación de la población para llegar al resultado óptimo. Para este caso de estudio se tiene como
primera restricción la comparación entre las generaciones y el máximo de estas permitido. Como
segunda se tiene la diferencia del error generado contra el impuesto como mínimo en las
condiciones iniciales.
3.3 Análisis cinemático de un mecanismo plano para generación de trayectoria.
La síntesis de generación de trayectoria busca conseguir que un punto de un sólido rígido del
mecanismo describa una trayectoria predeterminada. Si en vez de exigir que un determinado punto
describa una trayectoria completa, se fija que este punto pase por un número de posiciones, se crea
una síntesis de puntos de precisión.
3.3.1 Ejemplo de aplicación, mecanismo de 4 barras.
Para la Figura 2.7, del capítulo 2, mecanismo de cuatro barras, se requiere que un punto del eslabón
acoplador describa una trayectoria curva definida por una serie de 6 puntos. En este caso, la síntesis
comprende la determinación de las dimensiones de los eslabones del mecanismo que hacen que se
cumplan las condiciones preestablecidas, como son el rango de valores en los que puede encontrarse
la dimensión de los eslabones, el valor de los ángulos de entrada y que se cumplan las
condiciones de Grashof, así como el cálculo del ángulo correspondiente al movimiento de la
biela y el ángulo que genera el movimiento de salida.
El análisis inicia empleando las coordenadas naturales (García de Jalón & Bayo, 1994), siguiendo el
método propuesto por (Jiménez et al., 1997) suponiendo que se pueden variar las longitudes de la
manivela y del eslabón seguidor, las dimensiones y la forma del eslabón acoplador.
Al determinas las ecuaciones de Freudenstain se observa que si la trayectoria a seguir por el punto
(xd,yd) pasa por cuatro puntos, resultaría que las 8 condiciones de restricción (longitud de los 6
eslabones y dos puntos x y y inicial ) se convertirían en 32 ecuaciones. En este caso, se tendría 32
Capítulo III
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73
ecuaciones y 33 incógnitas resultando un problema no lineal indeterminado con infinitas soluciones,
por lo que es necesario plantear una optimización, para esto se debe predeterminar la longitud de
algún eslabón, para reducir el problema a un sistema de 32 ecuaciones con 32 incógnitas que, en
general, tendría una solución única. A medida que se aumente el número de puntos a seguir, crece el
número de ecuaciones de restricción y es necesario buscar una solución de manera que la suma de
los cuadrados de las distancias entre los puntos previstos y los puntos logrados sea mínima, lo que
supone optimizar una solución aproximada.
Para resolver esta problemática se propone la optimización con los Algoritmos Genéticos, que
servirán para simplificar el desarrollo matemático, además de dar soluciones aproximadas para cada
variable presente en la síntesis.
3.3.1.1 Trayectoria lineal
Como primer caso de estudio se tiene un mecanismo plano de 4 barras que tienen que seguir una
trayectoria lineal con 6 puntos de precisión.
El mecanismo de 4 barras a sintetizar (Figura 3.8) se compone de tres eslabones móviles y uno fijo,
de los que tienen movimiento, dos giran en relación a puntos fijos de pivoteo y su movimiento es
angular puro, el tercer eslabón conocido como conector une a los eslabones de rotación. Para la
conexión se usan pares cinemáticos de revolución. Este mecanismo incluye un punto de precisión en
el eslabón conector, que es el que seguirá la trayectoria deseada. Este mecanismo tiene un grado de
libertad y se numera con el r1 para indicar el eslabón tierra o fijo, r2 para el eslabón motriz, r3 el
eslabón conector y r4 el eslabón de salida, los ángulos son es el ángulo para ubicar al eslabón
base, θ2 el ángulo de entrada, θ3 el ángulo de movimiento del eslabón 3, θ4 el ángulo de salida, x0 y
y0 los puntos origen para obtener la trayectoria.
Capítulo III
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Figura 3.8 Mecanismo de 4 eslabones siguiendo una trayectoria lineal.
El análisis y la síntesis de los mecanismos se realizaron siguiendo las estructuras presentadas en el
capítulo 2. El método de Newton Raphson se utilizó para encontrar la longitud de los eslabones y de
los ángulos para dar movimiento al balancín y a la biela. Para desarrollar este método se dieron
como valores de entrada valores similares a los obtenidos por algoritmos genéticos. El diagrama de
flujo que representa los cálculos realizados es el mostrado en la Figura 3.9.
Como valores de entrada se dieron los propuestos por (Cabrera et al., 2002), se realizó en un
programa de cómputo especializado en matemáticas, especificando como condiciones para terminar
el programa un número máximo de 50 iteraciones para obtener los mejores valores de las raíces, así
como un error mínimo de 10^-3 . Para hacer el análisis con algebra compleja se utilizaron las
ecuaciones de la 2.52 a la 2.59 del capítulo 2. Con estas se determinó la posición que tendrá cada
eslabón para cumplir con la trayectoria y para esto, se asignaron como valores de entrada, los
obtenidos por los algoritmos genéticos.
Para trabajar con los algoritmos genéticos es necesario dar condiciones iniciales que determinarán el
dominio para la generación de la población, así como el número de individuos, la probabilidad de
cruce y la de mutación y el número máximo de generaciones. Estos datos se tomaron de trabajo
propuesto por (Cabrera et al., 2002) y se presentan en la Tabla 3.2.
Capítulo III
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Tabla 3.2 Restricciones para mecanismo plano, seguimiento de trayectoria lineal.
Mecanismo Descripción Característica
Puntos deseados Limites de las variables
Xd=[20 20 20 20 20 20]
Yd=[20 25 30 35 40 45]
Restricción para cada eslabón (dominio)
r1,r2,r3,r4∈ [0,60] en mm X0,y0,rcx, rcy∈ [−60,60] en mm
Rango para movimiento 0º a 360º grados Número de individuos ni individuo 1000 Probabilidad de cruce De tipo proporcional 0.6
Probabilidad de mutación Mutación solo en un punto 0.1 Precisión Dígitos después del punto 10
Número máximo de generaciones 1000 generaciones
Figura 3.9 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en síntesis de mecanismo de 4 eslabones.
Los límites de los ángulos se presentan en grados, pero por cuestiones prácticas y de exactitud, es
mejor trabajarlo en radianes. Para este caso de estudio el número de variables incrementa a 16
porque se tienen 6 puntos de precisión, con esto crece el número de ecuaciones a resolver. Para
Capítulo III
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76
aplicar esta herramienta, se presenta el diagrama de flujo de la Figura 3.10, en el cuál se especifica
el dominio de variables a utilizar, en este caso se colocan los valores máximos y mínimos para cada
uno de los eslabones, los puntos de inicio, el ángulo de inicio, y los posibles ángulos de entrada que
se necesitan para generar el movimiento, así como la información presentada en la Tabla 3.2.
Posteriormente se presentan las operaciones correspondientes al algoritmo genético, cabe señalar
que estas tendrán que realizarse dentro de un ciclo hasta que se cumplan las condiciones de paro,
que para este caso son el cumplir con el número máximo de generaciones, y cubrir el mínimo error.
Para verificar visualmente que se cubra la trayectoria, los datos obtenidos por este método son
aplicados al análisis con algebra compleja. El gráfico que se obtiene variando el ángulo de entrada
θ2 es el mostrado en la Figura. 3.11.
Figura 3.10 Diagrama de flujo para síntesis de mecanismo de 4 eslabones trayectoria lineal
Capítulo III
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77
0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
70
Val
ores
de
Y d
esea
da (m
m)
Valores de x deseada (mm) Figura. 3.11 Mecanismo de 4 barras obtenido por números complejos.
Siguiendo la secuencia de operaciones mostrados en los diagramas 3.9 y 3.10, para el cálculo de las
variables por el método de Newton Raphson y los algoritmos genéticos se obtuvieron los resultados
presentados en la Tabla 3.3
Tabla 3.3 Comparación de resultados por método numérico y aproximado.
Variables Newton Raphson
(Cabrera et al., 2002)
Algoritmo Genético
r1 39.64097 39.46629 39.375016 r2 8.562910 8.562912 13.124878 r3 19.10331 19.09486 39.851360 r4 47.86003 47.83886 32.576271 x0 29.72254 29.72255 22.851502 y0 23.45454 23.45454 7.5000309
Rcx 13.38555 13.38556 26.250259 Rcy 12.20928 12.21961 -2.813208 θ1 6.221949 6.201627 0.8835777
θ2 6.119371 6.119371 3.5579243
θ3 0.112782 2.491211 0.7295974
θ4 0.321494 2.900370 2.6772018 Precisión 6 6 6
Error 0.02617 0.021438
Para el método de Newton Raphson se utilizaron como valores aproximados de entrada los
propuestos por (Cabrera et al., 2002), facilitando obtener valores más cercanos a los propuestos por
el autor. Los valores presentados referentes al algoritmo genético son los obtenidos con el algoritmo
propio considerando las restricciones iniciales impuestas.
Capítulo III
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78
Cabe señalar que los datos presentados fueron evaluados con la función objetivo original propuesta
por (Cabrera et al., 2002) para tener una convergencia en los resultados y poder aplicar un análisis
real. Como puede observarse existió una diferencia entre estos, pero esta la característica de que la
trayectoria se cumple, el objetivo a continuación es disminuir el error para obtener una trayectoria
más precisa. En cuanto a las ventajas del método se puede decir que es bueno ya que aunque no
disminuye en gran medida el tiempo de cómputo, si se obtienen buenos resultados a partir de los
parámetros impuestos y no es necesario aplicar una penalización tan grande en el sistema. Para
obtener mejores resultados es necesario considerar cambios en las principales variables, como son la
probabilidad de cruce y de mutación, además del número de individuos en la población y el valor
máximo de generaciones. Como se ha mencionado en la teoría el numero de generaciones debe ser
aproximadamente 100 o 200, pero con este ejemplo se muestra que no necesariamente tiene que ser
pequeña y que aunque se empleen mas evaluaciones y por consecuencia un mayor tiempo, también
se pueden obtener resultados óptimos y con un error mínimo.
3.3.1.2 Trayectoria de la marcha.
La posición o trayectoria que la rodilla realiza durante la caminata, permite comenzar el análisis
para el mecanismo, mostrado en las Figuras 3.12 y 3.13. Éstas presentan las fases de la caminata, así
como los puntos de posición de la rodilla en cada fase, que son los puntos deseados para el caso de
estudio II.
10 15 20 25 30 35 40 45 5060
65
70
75
80
85
90
95
Val
ores
de
Y d
esea
da (
mm
)
Valores de x deseada (mm) Figura 3.12 Puntos de precisión en la marcha humana (Campos-Padilla, 2009)
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
79
Figura 3.13 Trayectoria de la rodilla durante la marcha (Radcliffe, 1977).
La síntesis se realizó con los métodos presentados en el caso I, y la metodología de solución es la
misma, la única diferencia que se presenta en este caso II son las restricciones en el dominio y los
valores para la trayectoria deseada y la generada. Las restricciones del domino se tomaron
considerando los posibles valores que pueden tener los ligamentos cruzados y las referencias que
dan autores como (Greene, 1983, Oberg & Kamwendo, 1988, Blumentritt & Werner-Scherer, 1997,
Dewen et al., 2003). De igual forma, los ángulos se establecieron con base en los que se generan al
dar movimiento en la rodilla principalmente al caminar. En la Tabla 3.4 se presentan cada de las
restricciones impuestas para este caso de estudio.
Tabla 3.4 Restricciones para mecanismo de 4 barras trayectoria de la marcha.
Se desarrolla primero el algoritmo genético siguiendo el procedimiento de la Figura 3.10 para
obtener los datos que se utilizarán como entradas en el método de Newton Raphson representado en
Mecanismo Policéntrico Descripción
Característica
Puntos deseados Limites de las variables
xd=[10.32 10.59 11.82 14.69 19.06 24.35 30.61 40.73 45.63]
yd=[92.98 91.17 86.30 79.96 74.04 69.38 65.85 63.24 63.09]
Restricción para cada eslabón r1,r2,r3,r4∈[0,50] en mm X0,y0, rcx, rcy ∈[−50,50] en mm
Rango para movimiento 0º a 135º grados Número de individuos ni individuo 3000 Probabilidad de cruce De tipo proporcional 0.85
Probabilidad de mutación Mutación solo en un punto
0.58
Precisión Dígitos después del punto 10 Número máximo de generaciones 1000 generaciones
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
80
la Figura 3.9 y se realiza el gráfico con algebra compleja resolviendo las ecuaciones de la 2.52 a la
2.59 del capítulo 2. El procedimiento de solución se resume en la Figura 3.15.
Por el cambio de trayectoria, el dominio tendrá los siguientes valores:
Dominio=[ -50 50 0 50 0 50 0 135]
[ ]
Figura 3.14 Estructura del cromosoma mecanismo de 4 eslabones.
Figura 3.15 Procedimiento para la síntesis del mecanismo de 4 eslabones para la trayectoria de la marcha humana.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
81
Siguiendo este procedimiento los resultados obtenidos para cada método son los presentados en la
Tabla 3.5:
Tabla 3.5 Resultados por distintos métodos de análisis mecanismo de 4 barras para 6 puntos de precisión. Variables Newton
Raphson Algoritmos Genéticos
r1 56.0494733 56.049119 r2 13.1172628 13.117180 r3 45.3916090 45.391322 r4 45.7054680 45.705179 x0 -24.9849113 -24.984911 y0 -35.8913017 -35.891301
Rcx 29.2357835 29.2357835 Rcy -32.5773536 -32.577354 θ0 1.6491393 1.6491388
θt2 0.1458519 0.1458519
θt3 1.3967241 -0.194659
θ4 -0.3520018 2.9469332
En la Tabla 3.6 se presentan los resultados obtenidos al ampliar los puntos de precisión, ya que
inicialmente solo se hizo el cálculo para 4 puntos. Como puede observarse, es necesario aumentar la
población al incrementar el número de puntos de precisión, esto con el objeto de que exista un
mayor número de posibles soluciones para tener el mecanismo óptimo para que el error entre las
trayectorias generada y la impuesta sea mínima. En este, el tiempo de convergencia aumenta, pero
es directamente proporcional al número de individuos y de generaciones analizados para cubrir la
trayectoria, es decir, al aumentar la población, la convergencia aumentará y también la precisión, la
Figura 3.16 presenta el grafico del seguimiento de trayectoria con las dimensiones de los eslabones
y los ánguloscorrespondientes.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yd
xd
Figura 3.16. Seguimiento de trayectoria mecanismo cerrado con Algoritmos Genéticos.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
82
Tabla 3.6. Resultados del GA en la generación de trayectoria
Generaciones Error promedio
(mm)
Puntos de precisión
Población (No. de
individuos)
Tiempo (seg. )
667 0.1525 4 1000 102.077 987 0.4529 5 2000 530.901 929 0.4036 6 3000 1032.36 944 0.2354 8 3200 1054.83
3.3.2 Síntesis de mecanismos de seis barras.
Existen principalmente dos configuraciones , como se mencionó en la teoría presentada, de esta se
tomaron dos, los tipo Watt I y el Stephenson III, por la aplicación que se les han dado en prótesis
policéntricas, como el presentado en el trabajo de (Dewen et al., 2003).
3.3.2.1 Síntesis analítica para un mecanismo tipo Watt-1.
Éste se forma por dos mecanismos de 4 barras teniendo una articulación en común (Figura 3.17). Las
funciones obtenidas por el método de Freudenstein para este tipo de configuración, se presentan
haciendo el siguiente análisis:
Para la cadena abierta inferior se tiene 2
32
12202
12201 ))(())cos(( rsenryyrxxF dd −+−−++−−= θθθθ (3.11)
La cadena cerrada de la parte inferior parte de tener:
(3.12)
Aplicando Euler y simplificando se tiene:
24
211133122
2111331222
))()()((
))cos()cos()cos((
rsenrsenrsenr
rrrF
−−+++
+−+++=
θθθθθ
θθθθθ (3.13)
Para obtener la cadena abierta por la parte exterior del mecanismo se tiene:
26
23991220
239912203
))()((
))cos()(cos(
rsenrsenryy
rrxxdF
d −+−+−−+
+−+−−=
θθθθ
θθθθ
(3.14)
La cadena abierta analizada desde la parte interior del mecanismo es:
25
2661331220
26613312204
))()()((
))cos()cos()cos((
rsenrsenrsenry
rrrxF
−−+−+−
+−+−+−=
θθθθθ
θθθθθ
(3.15)
La cadena cerrada de la parte superior del sistema está dada por:
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
83
(3.16)
27
2886645
28866455 ))()()(())cos()cos()cos(( rsenrsenrsenrrrrF −−++−+= θθθθθθ
(3.17)
La cadena cerrada de todo el sistema es:
(3.18)
210
211277661399122
2112776613991226
))()()()((
)cos)cos()cos()cos()cos((
rsenrsenrsenrsenrsenr
rrrrrF
−−−−+++++
+−−−+++++=
θθθθθθθθθ
θθθθθθθθθ
(3.19)
Los ángulos de la biela y de salida para parte inferior del mecanismo se calculan con el
procedimiento presentado con las ecuaciones de la 2.17 a la 2.43, y para la cadena cerrada superior
se tiene partiendo de la ecuación 3.18, aplicando Euler, sumando y simplificando estas ecuaciones e
tiene:
(3.20)
(3.21)
En notación simplificada la ecuación de (Freudenstein, 1956) se puede expresar como :
(3.22)
Para reducir más esta ecuación se emplean las identidades trigonométricas del ángulo mitad
presentas en las ecuaciones 2.28 y 2.29. Para simplificar las ecuaciones se agrupan nuevamente de
la siguiente forma:
(3.23)(3.24)
(3.25)
(3.26)
Utilizando la ecuación cuadrática para obtener los valores de los ángulos se tiene:
(3.27)
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
84
Tomando nuevamente la ecuación 3.18, pero ahora buscando el ángulo , se vuelve a desarrollar,
elevar al cuadrado y sumar para simplificar, teniendo las siguientes ecuaciones:
(3.28)
La constante es la misma que para , K4s y K5s son:
y (3.29)
Reduciendo a la forma cuadrática:
(3.30)
Donde:
(3.31)
(3.32)
(3.33)
Y la solución es:
(3.34)
Figura 3.17. Mecanismo de seis barras tipo Watt-I.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
85
El ángulo θ1 se especifica como la entrada de las barras del mecanismo y el ángulo θ2 es el que da el
movimiento a todo el mecanismo, los ángulos , representan variables para
generar el movimiento.
Con las variables determinadas y las funciones planteadas se resuelve el método de Newton
Raphson, siguiendo el procedimiento de la Figura 3.18:
Figura 3.18 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en síntesis de mecanismo de 6eslabones tipo Watt-1.
Si se emplea álgebra compleja para visualizar el comportamiento del mecanismo, siguiendo las
ecuaciones 2.18 propuestas como base matemática, las ecuaciones para el mecanismo son:
(3.35)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
86
(3.39)
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
Para el desarrollo del algoritmo genético, se toma como base la Figura 2.12, diagrama de flujo de un
algoritmo genético.
3.3.2.2 Síntesis analítica para un mecanismo tipo Stephenson-III.
La cadena cinemática tipo Stephenson-III, se caracteriza por dos eslabones ternarios (eslabones con
3 articulaciones) que no están conectados directamente uno al otro (es decir, no poseen una
articulación en común, Figura 3.19).
Figura 3.19 Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Stephenson-III.
Con base en la Figura 3.19 se obtienen las ecuaciones de Freudenstain para determinar los ángulos
de posición que tendrán los eslabones para cubrir la trayectoria, el análisis para determinar estas
variables es el siguiente:
Capítulo III
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87
Para la cadena abierta inferior se tiene 2
32
12202
12201 ))(())cos(( rsenryyrxxF dd −+−−++−−= θθθθ (3.46)
La cadena cerrada de la parte inferior parte de tener:
(3.47)
Aplicando Euler y simplificando se tiene:
24
211133122
2111331222
))()()((
))cos()cos()cos((
rsenrsenrsenr
rrrF
−−+++
+−+++=
θθθθθ
θθθθθ (3.48)
Para obtener la cadena abierta por la parte exterior del mecanismo se tiene:
223663991220
236639912203
)())()()((
))cos()cos()(cos(
cycxd rrsenrsenrsenryy
rrrxxdF
+−+−+−+−−+
+−+−+−−=
θθθθθθ
θθθθθθ
(3.49)
La cadena abierta analizada desde la parte interior del mecanismo es:
25
273663991220
2736639912204
)())cos()()()()((
))cos()cos()cos()cos()(cos(
rrsenrsenrsenrsenryy
rrrrrxxdF
ycycxd
ycycx
−−−+−+−+−−+
+−+−+−+−−=
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
(3.50)
La cadena cerrada de la parte superior del sistema está dada por:
(3.51)
27
2886655133
28866551335
))cos()()()((
))cos()cos()cos()cos((
rrsenrsenrsenr
rrrrF
−−+++
+−+++=
θθθθθ
θθθθθ
(3.52)
La cadena cerrada de todo el sistema es:
(3.53)
210
211663771929
2116637719296
))()()()((
))cos()cos()cos()cos((
rsenrsenrsenrsenr
rrrrF
−−+++++
+−+++++=
θθθθθθθ
θθθθθθθ
(3.54)
Los ángulos de la biela y de salida para parte inferior del mecanismo se calculan con el
procedimiento presentado con las ecuaciones de la 2.17 a la 2.43.
De esta configuración se pueden obtener las ecuaciones por álgebra compleja, que sirven para
determinar el gráfico que muestra las posiciones del mecanismo siguiendo la trayectoria impuesta.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
88
(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3.58)
(3.59)
(3.60)
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
(3.67)
Con las variables determinadas y las funciones planteadas se resuelve el método de Newton
Raphson, siguiendo el procedimiento de la Figura 3.19.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
89
Figura 3.20. Diagrama de flujo por el método de Newton Raphson para sintetizar un mecanismo de 6 eslabones tipo
Stephenson III.
3.3.2.3 Ejemplos de aplicación, mecanismo tipo Watt-1.
Aplicando el método de los algoritmos genéticos, se debe iniciar el proceso de análisis
determinando los valores de dominio a cada variable (Tabla 3.7), especificándose los rangos
máximos y mínimos en los que se podrá encontrar cada posible solución. También deben
especificarse los rangos de movimiento de para los ángulos, puntos de precisión, número de
generaciones y probabilidades de cruce y mutación.
La trayectoria que se plantea para este ejemplo es la realizada por el humano al iniciar la marcha.
Como punto de referencia para el seguimiento de la trayectoria, en este caso, se tomo la unión de los
eslabones r6 y r7.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
90
Tabla 3.7 Restricciones para un mecanismo de 6 barras.
Mecanismo Policéntrico Descripción
Característica
Puntos deseados Limites de las variables
xd=[10.32 10.59 11.82 14.69 19.06 24.35 30.61 40.73 45.63]
yd=[92.98 91.17 86.30 79.96 74.04 69.38 65.85 63.24 63.09]
Restricción para cada eslabón r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8 ∈ [0,60] en mm x0,y0∈ [−50,50] en mm
r9∈ [0,100] en mm r10∈ [0,50] en mm
Rango para movimiento 0º a 360º grados Número de individuos ni individuo 1000 Probabilidad de cruce De tipo proporcional 0.85
Probabilidad de mutación Mutación solo en un punto 0.85 Precisión Dígitos después del punto 6
Número máximo de generaciones 1000 generaciones
El procedimiento de análisis es el que se presenta en el diagrama de flujo de la Figura 3.22,
basándose en el procedimiento de algoritmos genéticos del diagrama 3.21.
Los datos obtenidos de los AG, se emplearon como datos de entrada para el programa de números
complejos y Newton Raphson. Por la configuración, el método numérico implicó un nuevo
planteamiento de las ecuaciones de Freudenstein, además del cálculo del Jacobiano en el método de
Newton Raphson. En la Tabla 3.8 se concentran los valores para cada una de las variables
involucradas en el mecanismo obtenido por cada uno de los métodos de análisis.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
91
Figura 3.21 Diagrama de flujo de un algoritmo genético para un mecanismo de 6 barras tipo watt-I
Figura 3.22 Diagrama de flujo del procedimiento para resolver un mecanismo de 6 barras tipo watt-I
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
92
Tabla 3.8 Resultados por distintos métodos de análisis a un mecanismo tipo Watt-I para 5 puntos de precisión.
Variables Newton Raphson
Algoritmos Genéticos
x0 46.87850 46.87842 y0 43.74950 43.74934 r1 59.75349 59.75323 r2 21.56183 21.56174 r3 29.06133 29.06114 r4 43.23854 43.23826 r5 28.59388 28.59206 r6 23.46078 23.44443 r7 55.50142 55.50118 r8 52.84101 52.84068 r9 22.60406 22.60396
r10 42.16937 42.16918 θ0 1.83156 1.83157 θ 2 0.78530 0.78530 θ 10 5.42879 5.42880 θ 5 0.03248 0.03248 θ 6 -0.02867 2.95401 θ 7 -0.88664 5.62482 θ 3 -1.27425 0.79126 θ 4 1.53131 2.16137
El mecanismo que sigue la trayectoria, empleando los resultados óptimos es la mostrada en la
Figura 3.23.
-20 -10 0 10 20 30 40 500
20
40
60
80
100
120
yd
xd Figura 3.23 Mecanismo de 6 barras tipo Watt-I para seguimiento de trayectoria especifica con Algoritmos Genéticos.
En la Tabla 3.9 se presentan los resultados obtenidos al analizar el mecanismo con 5 y 6 puntos de precisión.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
93
Tabla 3.9 Resultados del GA en la generación de trayectoria para mecanismo de 6 barras.
Generaciones Error promedio
(mm)
Puntos de precisión
Población (No. de individuos)
Tiempo (seg. )
986 0.68470 5 1000 160.362 965 0.2697 6 3000 1006.456 971 0.1668485 8 3200 1144.48221
Puede observarse que las variables siguen siendo dependientes de las restricciones impuestas en el
dominio como son las longitudes para cada uno de los eslabones y los valores de los ángulos que
darán el movimiento. El número de variables incremento casi al doble del mecanismo de 4 barras,
esto debido a la configuración tipo WATT-1, que es la unión de dos mecanismos de 4 barras. Con el
incremento de variables y el número de puntos de precisión, fue necesario aumentar la población y
el número de generaciones para la evaluación, con el objetivo de tener un mayor campo de
búsqueda y una disminución en el error de precisión.
Para la evaluación de las variables se empleo la función objetivo presente en la ecuación 3.7, para
optimizar los resultados.
Después de realizar algunas pruebas variando valores de la probabilidad de cruce, mutación y el
número de individuos, se concluye que para una menor población la convergencia se obtiene en un
menor tiempo, pero no se asegura que los valores obtenidos sean los más adecuados, ya que el error
puede ser mayor, al aumentar el valor de la población, el tiempo de ejecución aumenta, pero
también se puede observar que el error disminuye.
3.3.2.4 Ejemplos de aplicación, mecanismo tipo Stephenson-III.
Para analizar este mecanismo, se utilizan las mismas restricciones en el algoritmo genético que las
utilizadas en la configuración tipo Watt-I (Tabla 3.7). Los valores obtenidos para cada eslabón y
ángulo, por los algoritmos genéticos, para efectos de cálculo, se dieron como valores de entrada
aproximados para los cálculos por el método de Newton Raphson. Los resultados comparativos
finales se presentan en la Tabla 3.10. Los diagramas de flujo que presentan el procedimiento de
análisis se muestran en las Figuras 3.24 y 3.25
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
94
Figura 3.24 Diagrama de flujo del algoritmo genético para un mecanismos de 6 barras tipo Stephenson III
Figura 3.25 Diagrama de flujo del procedimiento de análisis para un mecanismos de 6 barras tipo Stephenson III
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
95
Tabla 3.10 Resultados por distintos métodos de análisis a un mecanismo tipo Stephenson-III para 5 puntos de precisión.
Variables Newton Raphson
Algoritmos Genéticos
x0 -9.0811 -9.0802 y0 -49.79423 -49.7908 r1 60.2179 59.9929 r2 7.4699 7.4749 r3 21.0054 20.9997 r4 45.3014 45.1361 r5 3.0033 3.7314 r6 0.0100 0.0106 r7 25.2156 25.2318 r8 39.1987 39.2098 rcx 19.0033 19.9412 rcy 3.0033 3.1349 θ 0 2.899 2.9062 θ 2 5.0977 5.1057 θ 3 1.4390 0.8980924 θ 4 2.1710 2.42189 θ 6 3.1211 3.1114 θ 7 3.8698 4.3518 θ 8 1.3256 1.3648
Tomando los valores numéricos de los algoritmos genéticos, estos se utilizaron para obtener el
gráfico que muestra la trayectoria que siguió el mecanismo Figura 3.26. En esta gráfica, los
eslabones rcy y rcx, fueron los que se tomaron como referencia para seguir la trayectoria.
-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 700
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yd
xd Figura 3.26 Mecanismo de 6 barras tipo Stephenson-III para seguimiento de trayectoria específica con Algoritmos
Genéticos.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
96
Tabla 3.11 Resultados del AG en la generación de trayectoria para un mecanismo tipo Stephenson-III.
Generaciones Error promedio
(mm)
Puntos de precisión
Población (No. de individuos)
Tiempo (seg. )
997 0.36753 5 1000 188.6360
991 0.785265 6 3000 1061.039
825 0.2526 8 3500 1107.74196
En los casos de la Tabla 3.11 puede observarse el incremento en el número de generaciones, esto se
debió al aumento de población, pero también al incremento en la precisión y la disminución en el
error permitido. También existió un incremento en el tiempo de ejecución, esto debido al
incremento en el número de individuos en la población, esto se debió a que el numero de
restricciones incremento, es decir a medida que se aumente el número de puntos de precisión se
tendrá que incrementar el número de individuos para que el algoritmo genético tenga un mayor
espacio de búsqueda y pueda dar soluciones optimas al ejercicio propuesto.
Las probabilidades de cruce y de mutación se mantuvieron iguales, para ambos casos de estudio,
como puede observarse, para mejores resultados es necesario mutar gran parte de la población, pero
esto permite que se conserve el mismo tamaño de la población, tipo de cruce simple y que no exista
penalización en la función objetivo.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
97
3.4 Sumario.
Para que un procedimiento sea completo debe existir una combinación de métodos gráficos,
analíticos y heurísticos, ayudándose de herramientas computacionales que ya existen para resolver
problemas complejos.
Los métodos analíticos son muy precisos, pero normalmente son utilizados por personas
especializadas en el tema, para ayudar a resolver estos problemas se utilizan los métodos
metaheurísticos como los algoritmos genéticos, que como se observó, pueden manipular muchos
parámetros simultáneamente, lo que facilita poder manejar diversas variables para llegar a la
solución más óptima, en este caso las variables propuestas para los ángulos y las longitudes de las
barras en las diferentes configuraciones, para que los mecanismos puedan cubrir trayectorias
predeterminadas.
Se observa que es necesario hacer un análisis previo del problema, para poder generar las
restricciones y el dominio de diseño que debe tener el mecanismo, esto permitirá evitar encontrar
una solución que constructivamente no puede ser válida. Los algoritmos genéticos se utilizaron para
optimizar la posición del error entre los puntos deseados y los efectuados por el mecanismo
resultante sujeto a diferentes restricciones. La optimización con algoritmos genéticos permite tener
aproximaciones a la solución de la síntesis. La mejor solución depende del tipo de mecanismo y de
los requerimientos de diseño. Como ventajas los algoritmos tienen la convergencia cerca de la
solución óptima global La rápida convergencia se indica por un valor alto en la función y un bajo
número de generaciones. La solución depende en gran medida del tamaño de la población y de las
probabilidades de cruce y mutación. Para validar los resultados se hizo la comparación con los datos
obtenidos del autor que se tomo como referencia, además del método numérico de Newton
Raphson.
El generar trayectorias con la implementación de algoritmos genéticos ofrece ventajas por la
manipulación que se puede dar a las variables iniciales, para obtener una convergencia rápida. Se
evita el cálculo del método numérico, que es laborioso y tiene restricciones como el dar datos
aproximados para poder dar una solución, además del consumo de tiempo de cómputo.
Capítulo III
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
98
El algoritmo genético explora un espacio de soluciones, seleccionando la más factible a través de una
función aptitud que permitirá dirigir la búsqueda con un enfoque de optimización. La estrategia no
requiere el implemento de matemáticas complejas para la cinemática inversa debido a que las
ecuaciones de enlace geométrico se obtienen metódicamente para reducir la complejidad del problema.
En el siguiente capítulo se realizará la optimización de los mecanismos expuestos, realizando
cambios en las probabilidades de cruce y mutación, además del número de individuos existentes en
la población, para demostrar que pueden existir mejoras en la convergencia, en los resultados y en la
disminución del error.
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
98
OPTIMIZACIÓN DE
MECANISMOS
En este capítulo se presenta la optimización en la síntesis de mecanismos planos de 4 y 6 eslabones. Se muestra la aplicación de los algoritmos genéticos para obtener resultados aproximados en la síntesis de diferentes configuraciones de mecanismos.
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
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4.1 Introducción a la optimización.
La optimización es un proceso en el que se busca encontrar la mejor solución posible para un
determinado problema en el que pueden existir diferentes soluciones, además de establecer un
criterio para discriminar entre ellas con el objetivo de encontrar la mejor. Estos problemas se pueden
expresar como la forma de encontrar el valor de variables de decisión para los que una determinada
función objetivo alcanza su valor máximo o mínimo, sujeto a ciertas restricciones. El proceso de
optimización es iterativo, ya que puede iniciar con el diseño a prueba y error, y aunque consiste en
analizar la influencia de distintos parámetros en el comportamiento del sistema, pueden ser
modificados hasta encontrar un sistema cuyo comportamiento satisfaga las expectativas del
diseñador. Desde el punto de vista matemático, la optimización constituye un problema de
programación no lineal que consta de variables que pertenecen a un espacio de diseño, una función
objetivo relacionada con los requisitos del problema, un algoritmo de optimización y restricciones
impuestas a las variables (Sanchéz-Marín, 2000).
Para optimización no lineal, como es el caso de la síntesis de mecanismos, hay métodos directos
como la búsqueda aleatoria y los no directos como del gradiente conjugado (Coello-Coello, 2007),
cabe mencionar que uno de los problemas de las técnicas clásicas de optimización es que suelen
requerir información que no siempre está disponible. Por ejemplo, métodos como el del gradiente
conjugado requieren de la primera derivada de la función objetivo, el de Newton, requieren además
de la segunda derivada. Si la función objetivo no es diferenciable, estos métodos no pueden
aplicarse. De estas necesidades surgieron los métodos metaheurísticos.
Como se ha mencionado en capítulos anteriores, la optimización con algoritmos genéticos permite
tener aproximaciones a la solución de diversos casos de estudio como por ejemplo la síntesis de
mecanismos, aunque la mejor solución depende del tipo y forma y de los requerimientos de diseño.
La solución óptima, para la eficiencia cinemática en la síntesis de un mecanismo, para generar una
trayectoria, se resuelve utilizando puntos reales en un Algoritmo Genético, ya que estos no necesitan
códigos para el diseño de parámetros, los cuales, introducen errores de aproximación, disminuyen el
esfuerzo de cómputo requerido por el método de optimización, emplean una función objetivo y
técnicas de reservación de restricciones.
Capítulo IV
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100
4.2 Optimización.
Un problema de optimización dimensional se puede definir como la cuantificación de un grupo de
variables de diseño que permiten alcanzar un desempeño crítico en un sistema, este se expresa por
medio de una función objetivo y cumple con ciertas restricciones o requerimientos de diseño
(Galeano-Urueña et al., 2009).
En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo es:
, Ω (4.1)
Donde x = (x1,…,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es la función objetivo y
representa o mide la calidad de las decisiones y Ω es el conjunto de decisiones factibles o
restricciones del problema.
La optimización involucra las siguientes fases:
1. Establecer el modelo matemático de la optimización del sistema.
2. Definir las especificaciones de diseño en el dominio físico.
3. Convertir las especificaciones de diseño en restricciones del modelo matemático
4. Resolver el problema matemático
5. Trasladar la solución del problema matemático al dominio físico.
6. Verificar el cumplimiento de las especificaciones de diseño y repetir el proceso.
Hasta el capítulo III ya se dio solución a los 4 primeros puntos, es decir, ya se dio una primer
solución al problema matemático para la síntesis de mecanismos de 4 y 6 eslabones por medio de
algoritmos genéticos, las ecuaciones de Freudenstain y algebra compleja; ahora se optimizará el
programa de los algoritmos genéticos manipulando los parámetros determinantes para obtener un
resultado óptimo, siendo estos: el número de individuos en la población, la probabilidad de cruce y
la de mutación, buscando disminuir el error y el número de generaciones evaluadas.
Se plantea como principal observación la no coincidencia total de los puntos de precisión en una
trayectoria a través de un mecanismo, ya que existen limitantes de manufactura que impedirán el
Capítulo IV
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101
cumplimiento estricto de dicho requerimiento, pero si se darán los resultados más aproximados que
cumplan la trayectoria especificada.
4.3 Ajuste en el rendimiento de los parámetros del AG.
Los parámetros principales en los que se puede realizar un ajuste, por el grado de importancia que
tienen dentro del AG son:
• Tamaño de población
• Porcentaje de cruza
• Porcentaje de mutación
Durante los años 80 los algoritmos genéticos se basaron en la representación por bit, en el
cruzamiento por un punto, la mutación simple y la selección por ruleta. El diseño del algoritmo se
limitó a escoger y determinar el control o las estrategias de parámetros como los rangos y las
probabilidades de mutación, cruzamiento y medida de la población. Investigadores como (De Jong,
1975, Holland, 1975, Grefenstette, 1986, Goldberg, 1989, Coello-Coello, 2007) basaron sus
investigaciones en la determinación de los parámetros de control, experimentando con diferentes
valores y seleccionando los que dieron mejores resultados.
(De Jong, 1975) recomendó, después de determinar experimentalmente, valores para las
probabilidades del cruzamiento de simple punto y el movimiento de un bit en la mutación, los
siguientes parámetros: medida de la población de 50, probabilidad de cruzamiento de 0.6,
probabilidad de mutación de 0.001 y selección elitista, con la desventaja de que estos parámetros
solo funcionaron para un determinado problema con restricciones muy específicas.
(Grefenstette, 1986) usó los meta-algoritmos como método de optimización, para obtener valores
con parámetros similares para el funcionamiento en línea y fuera de línea del algoritmo. (De Jong,
1975) describió que el funcionamiento en línea se basa en el monitoreo de la mejor solución en cada
generación, mientras que el funcionamiento fuera de línea toma en cuenta todas las soluciones en la
población para obtener el valor óptimo. Para que un algoritmo de búsqueda tenga un buen
desempeño en línea, debe decidir rápidamente donde están las regiones más prometedoras de
búsqueda y concentrar ahí sus esfuerzos. El desempeño fuera de línea no penaliza al algoritmo de
búsqueda por explorar regiones pobres del espacio de búsqueda, siempre y cuando ello contribuya a
Capítulo IV
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102
alcanzar las mejores soluciones posibles (en términos de aptitud). El mejor conjunto de parámetros
analizados dentro y fuera de línea fueron: población de 30 y 80, probabilidad de cruce 0.95 y 0.45,
probabilidad de mutación 0.01 para ambos, y como estrategia de selección elitista para línea y no
elitista para fuera de línea.
En general, existen algunas observaciones importantes realizadas por autores como (Holland, 1975,
Goldberg, 1989, Michalewicz, 1999, Coello-Coello, 2007) respecto a los algoritmos genéticos que
deben considerarse para el uso de esta herramienta, como son:
• Un alto intervalo generacional y el uso de una estrategia elitista también mejoran el
desempeño del AG.
• El uso de tamaños grandes de población (> 200) con porcentajes altos de mutación (> 0,05)
no mejora el desempeño de un AG.
• El uso de poblaciones pequeñas (< 20) con porcentajes bajos de mutación (< 0,002) no
mejora el desempeño de un AG.
• La mutación parece tener mayor importancia de lo que se cree en el desempeño de un AG.
• Conforme se incrementa el tamaño de la población, el efecto de la cruza parece diluirse.
Las desventajas técnicas del análisis de parámetros basados en la experimentación pueden ser
resumidos como (Endre Eiben et al., 1999):
• Los parámetros no son independientes, pero el querer tratar todas las combinaciones posibles
de estos sistemáticamente, es casi imposible.
• El proceso de sintonizar los parámetros es tiempo consumido, pero si los parámetros son
optimizados uno por uno, es posible manejar sus interacciones.
• Para un problema dado, los valores de los parámetros seleccionados no son necesariamente
los óptimos, pero si se trata de analizar uniformemente se obtendrán valores más
significativos. (Smith, 1993) propuso un algoritmo en el cual se ajusta la medida de la población con respecto a la
probabilidad del error. Esto va ligado con el número de generaciones, si en las condiciones de paro
se determina un valor pequeño para el número de evaluaciones, la convergencia será rápida, pero no
se asegura un resultado óptimo. En este trabajo se demuestra, por medio de experimentación, que el
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límite máximo de individuos al que trabaja correctamente el algoritmo es de 3000, dependiendo
totalmente del caso de estudio, aunque con esta cantidad de individuos el proceso de análisis ya es
muy lento, pero esto funciona directamente con el tipo de mecanismo, la trayectoria y los puntos de
precisión que se requieren, además de las restricciones impuestas para obtener los ángulos y las
dimensiones de los eslabones.
Hablando de la mutación, se ha analizado mucho el valor de la probabilidad de esta, pero los
resultados varían con cada autor, por ejemplo (De Jong, 1975) recomienda pm=0.001, (Grefenstette,
1986, Goldberg, 1989) recomiendan 0.1, mientras (Schaffer et al., 1989) indica de 0.005 a 0.01.
También se han desarrollado algunas fórmulas para poder determinar la mutación (Fogarty, 1989),
en donde su principal contribución es considerar el tiempo y hacer un cambio de esta durante el
corrimiento del AG (Coello-Coello, 2007) .Si el porcentaje de mutación es 0, no hay alteración
alguna, si es 1, la mutación crea siempre complementos del individuo original, Si es 0.5, hay una
alta probabilidad de alterar fuertemente el esquema de un individuo. En otras palabras, se puede
controlar el poder de alteración de la mutación y su capacidad de exploración, logrando tener un
equivalente a la de la cruza.
Como se mencionó en capítulos anteriores, el cruce se realiza con un par de cromosomas que
dependerán de la probabilidad de cruce que se seleccione para efectuarlo. Algunos valores comunes
para esta son 0.6 (De Jong, 1975), 0.95(Grefenstette, 1986), 0.75 a 0.95(Schaffer et al., 1989). Estos
datos son más comunes de utilizar por los resultados obtenidos y rara vez se emplea un valor menor
a 0.6 (Endre Eiben et al., 1999).
Cuando se busca localizar el óptimo global de un problema, la mutación puede ser más útil que la
cruza. Si lo que interesa es ganancia acumulada (el objetivo original del AG), la cruza es entonces
preferible.
Se dice que existen necesidades de grandes poblaciones en el cruce, para combinar con eficacia la
información necesaria, pero en la mutación se tienen mejores resultados cuando se aplica a
poblaciones pequeñas en un gran número de generaciones. En las estrategias evolutivas, donde la
mutación es el operador de búsqueda principal se incluyen varios operadores de mutación, incluidas
las técnicas de adaptación, propuestas por (Lima et al., 2005, Rechenberg, 1973). (Spears &
Whitley, 1993) quienes hicieron estudios comparativos entre los operadores de cruce y mutación y
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demostraron que existían características importantes de cada operador que no fueron capturados por
el otro. En términos de interrupción, la mutación puede proporcionar mayores niveles de
perturbación y la exploración, pero a expensas de los alelos comunes a preservar la definición de
determinados cargos.
Concluyendo y tomando como base el trabajo y las observaciones de (De Jong, 1975) respecto al
ajuste de parámetros se tiene:
a) Incrementar el tamaño de la población reduce los efectos estocásticos del muestreo aleatorio
en una población finita, por lo que mejora el desempeño del algoritmo a largo plazo, aunque
esto es a costa de una respuesta inicial más lenta.
b) Incrementar el porcentaje de mutación mejora el desempeño fuera de línea a costa de
sacrificar el desempeño en línea.
c) Reducir el porcentaje de cruza mejora la media de desempeño, lo que sugiere que producir
una generación de individuos completamente nuevos no es bueno.
d) Observando el desempeño de diferentes operadores de cruza, (De Jong, 1975) concluyo que,
aunque el incrementar el número de puntos de cruza afecta su disrupción de esquemas desde
una perspectiva teórica, esto no parece tener un impacto significativo en la práctica.
e) Cuando el espacio de búsqueda tiene más de un punto en la solución, es probable para los
AG quedarse varados dentro de un subespacio óptimo (después de la convergencia, los
operadores de cruzamiento y mutación no pueden generar muchos individuos aleatoriamente
para diversas poblaciones uniformes).
4.4 Diseño óptimo en la síntesis de mecanismos.
La formulación de este problema, exige la definición de varios aspectos como el espacio de diseño,
la función objetivo, el algoritmo de optimización y las restricciones.
Se desea minimizar el error entre las trayectorias y analizar los cambios en la respuesta del
algoritmo al cambiar parámetros como la probabilidad de mutación y de cruce, el número de
individuos y el máximo de generaciones, además de ser evaluados por la ecuación (4.2) que tiene
como característica el aplicar la evaluación aproximada de la función, que involucra la adición de la
penalización a la versión original presentada en trabajos como el de (Goldberg, 1989, Michalewicz,
1999, Cabrera et al., 2002 Laribi et al., 2004), con lo que se tiene:
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
105
La penalización tiene como objetivo recuperar de alguna forma los individuos que no cumplen con
las restricciones; consiste en aplicar una división sobre el número de individuos ni y se agrega un
factor de división después de la raíz por N, que es el número de puntos de precisión.
Para finalizar, el algoritmo empleado en la optimización utiliza tres criterios de convergencia los
cuales se definen como:
• reng= Es la primer restricción, esta es la primer evaluación en la cual se comprueba si la
población cumple con las restricciones de Grashof (capítulo 2).
• maximogen= Define el máximo número de veces que el algoritmo puede evaluar la función
objetivo. Un llamado adicional a esta implica la finalización de la búsqueda sin alcanzar una
solución.
• minimerror=Define el mínimo valor de error permitido en la función objetivo al ser
comparado con el valor de la función generada. Un error mínimo o cambio de valor en el
parámetro de error mínimo implica la finalización de la búsqueda sin alcanzar una solución.
• condrep=Define el número de veces que puede repetirse dentro de la evaluación el mismo
valor antes de pasar a la siguiente operación.
Cumpliéndose estas condiciones posteriores a la evaluación el algoritmo detendrá su búsqueda
presentando los valores óptimos que cubrieron lo mejor posible las restricciones y condiciones.
4.4.1 Optimización del mecanismo de cuatro eslabones.
Con base en el mecanismo de la Figura 3.8 del capítulo 3, se plantean nuevas condiciones para
optimizar la solución de la síntesis y de igual forma, demostrar que ajustando el rendimiento de los
parámetros como la probabilidad de mutación y de cruce, sugerida por autores como (Holland,
1975, Goldberg, 1989, Kunjur & Krishnamurty, 1997, Laribi et al., 2004), se pueden obtener buenos
resultados que satisfacen los requerimientos de diseño.
1 ∑
(4.2)
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
106
4.4.1.1 Trayectoria lineal con optimización de parámetros en el AG.
Los valores originales obtenidos por (Cabrera et al., 2002) y los generados por el algoritmo genético
de este trabajo, se presentaron en la Tabla 3.4 del capítulo 3, en donde se observó una convergencia
de resultados, pero que pueden ser mejorados. Se realizarán algunas modificaciones a los datos
iniciales de los parámetros para buscar una mejora en los resultados. Cabe señalar que aunque
existan cambios, hay ciertas condiciones iniciales que no deben variar, como son las expuestas en la
Tabla 4.1
Tabla 4.1 Parámetros básicos para desarrollar el algoritmo genético para un mecanismo de 4 eslabones.
Número de individuos ni=1000Precisión después del punto
p=6
Máximas generaciones
genmax=1000
Mínimo error miner=5e-3 Repetición rep=4 Puntos de precisión en trayectoria
6
El procedimiento de análisis es el mostrado en las Figuras 3.9 y 3.10 del capítulo 3, de estos, existirá
un cambio en los parámetros de cruce y mutación, además, de evaluar la función con la ecuación
4.2. Se mantendrá el número de generaciones máximas en esta prueba. Los gráficos que muestran la
variación de parámetros se presentan en la Figura 4.1 y en la Tabla 4.2:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
10 15 20 25 30 35 40 45 5010
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i) j) k) l)
m) n) o) p)
Figura 4.1. Modificación de parámetros en una trayectoria lineal.
Nota: En color verde la trayectoria generada y en color rolo la trayectoria deseada
Tabla 4.2 Parámetros de la Figura 4.1 trayectoria lineal ni Pc Pm error
a) 200 0.2 0.01 0.199479 b) 500 0.4 0.01 0.091851 c) 1000 0.5 0.1 0.085486 d) 1000 0.6 0.1 0.058610 e) 1000 0.6 0.4 0.081068 f) 1000 0.6 0.7 0.080196 g) 1000 0.7 0.1 0.078702 h) 1000 0.8 0.1 0.065307 i) 1000 0.8 0.2 0.066227 j) 1000 0.8 0.5 0.055007 k) 1000 0.85 0.8 0.057113 l) 1000 0.85 0.85 0.02695869
m) 1500 0.5 0.1 0.035230 n) 1500 0.8 0.5 0.019759 o) 1500 0.85 0.85 0.003903
De aquí se obtienen las siguientes conclusiones:
1. Se cumple la primer condición que mencionan autores como (Endre Eiben et al., 1999) de
que la probabilidad de cruce funciona mejor cuando es mayor a 0.6.
2. El número de individuos si afecta la velocidad y la precisión en la convergencia, a mayor
número de individuos se tiene un mayor campo de búsqueda y por lo tanto una mejor opción
de encontrar el resultado óptimo.
10 15 20 25 30 35 40 45 5010
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Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50
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Xd
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3. La probabilidad de mutación puede incrementarse consiguiendo una modificación en el
número de generaciones debido a la convergencia en los resultados, modificándose también
el tiempo de respuesta.
4. El error entre la trayectoria generada y la deseada va disminuyendo a medida que incrementa
la probabilidad de cruce, de mutación y de individuos.
Comparando los resultados de la Tabla 3.3 del capítulo 3, con los generados por la optimización en
el rendimiento de los parámetros Tabla 4.3, se observa una disminución en el error, justificando y
comprobando que una relajación en los parámetros principales puede beneficiar el rendimiento del
programa y optimizar resultados.
Tabla 4.3 optimización de parámetros par a un mecanismo de 4 barras trayectoria lineal.
Variables Newton Raphson
(Cabrera et al., 2002)
Algoritmo Genético
Algoritmo optimizado
r1 39.64097 39.46629 39.375016 42.789810 r2 8.562910 8.562912 13.124878 10.185599 r3 19.10331 19.09486 39.851360 15.235273 r4 47.86003 47.83886 32.576271 36.488303 x0 29.72254 29.72255 22.851502 18.757366 y0 23.45454 23.45454 7.5000309 20.356338
Rcx 13.38555 13.38556 26.250259 14.020836 Rcy 12.20928 12.21961 -2.813208 2.769013 θ1 6.221949 6.201627 0.8835777 0.392756
θ2 6.119371 6.119371 3.5579243 3.496926
θ3 0.112782 2.491211 0.7295974 0.392750
θ4 0.321494 2.900370 2.6772018 2.516967 Precisión 5 6 6 6
Error 0.02617 0.021438 0.003903
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109
Figura 4.2 Evolución de un mecanismo de 4 eslabones.
En la Figura 4.2 inciso a) se observa disminuye el error entre la trayectoria generada y la deseada a
medida que se va evaluando, en b) se puede ver la evolución que van teniendo los eslabones del
mecanismo para poder cubrir la trayectoria deseada, en c) se tiene la evolución de la trayectoria
generada a medida que se van teniendo las evaluaciones para llegar a ser igual a la trayectoria
deseada y en d) se tiene el mecanismo realizado en un programa especial para síntesis de
mecanismos, en el cuál se determina la factibilidad del mecanismo propuesto, ya que se puede
analizar, velocidad, posición y aceleración, necesarios para construirlo físicamente.
Con los análisis realizados en este programa, y las gráficas mostradas en la Figura 4.2, se observa
que el mecanismo puede ser construido físicamente para cubrir la trayectoria especifica, quedando
como trabajo futuro determinar la forma específica y el tipo de material , además de los dispositivos
que generarán el movimiento como son motores o cualquier tipo de actuador.
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
110
4.4.1.2 Trayectoria elíptica con optimización de parámetros en el AG, 18 puntos de precisión
Los resultados obtenidos en trabajos de autores como (Cabrera et al., 2002, Laribi et al., 2004,
Starosta, 2008) se toman como base para obtener una trayectoria elíptica con un mecanismo de 4
eslabones. El ejemplo fue propuesto por primera vez por (Kunjur & Krishnamurty, 1997). La
síntesis fue realizada usando algunas variantes de aplicación con algoritmos genéticos o de estos
combinándolos con controladores como la lógica difusa.
En la Tabla 4.4 se muestran los puntos deseados para cumplir por el mecanismo y la Figura 4.3
representa dichos puntos.
Tabla 4.4 Puntos de precisión de la trayectoria elíptica deseada (Kunjur & Krishnamurty, 1997)
Punto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.005 0.02 0.0 0.0 y 1.1 1.1 1.1 1.0 0.9 0.75 0.6 0.5 0.4 Punto 10 11 12 13 14 15 16 17 18 X 0.03 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 y 0.3 0.25 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0
Figura 4.3 Trayectoria elíptica (Kunjur & Krishnamurty, 1997)
Los cambios de parámetros realizados se presentan en la Tabla 4.5 y los resultados obtenidos por
(Kunjur & Krishnamurty, 1997, Cabrera et al., 2002, Laribi et al., 2004, Starosta, 2008) y el
algoritmo propio se muestran en la Tabla 4.6.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
Val
ores
de
Y d
esea
da
Valores de X deseada
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111
El procedimiento de análisis sigue siendo el mostrado en las Figuras 3.9 y 3.10 del capítulo 3, pero
de estos, se realizará un cambio en los parámetros de cruce y mutación, además de evaluar la
función con la ecuación 4.2.
Los cambios a realizar son en el número de individuos, probabilidad de cruce y de mutación,
afectando con esto, el tiempo y el número de generaciones para la convergencia. Se tiene un número
máximo de 1500 generaciones y una precisión de 6 dígitos (Figura 4.4 y la Tabla 4.5):
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
112
j) k) l) Figura 4.4. Modificación de parámetros en una trayectoria elíptica
Nota: La curva roja representa la curva deseada y la azul la generada.
Tabla 4.5 Modificación de parámetros para una figura elíptica generada por un mecanismo de 4 eslabones
No. individuos
Pc Pm Error Generación Tiempo (seg)
a) 500 0.6 0.01 0.12607 974 124.70116 b) 1000 0.6 0.01 0.116874 992 200.83390 c) 1000 0.8 0.8 0.146653 994 281.61255 d) 1500 0.6 0.4 0.140036 992 318.54909 e) 1500 0.8 0.7 0.128140 992 499.81671 f) 1500 0.85 0.85 0.113155 979 384.667514 g) 2000 0.3 0.1 0.253548 992 416.934751 h) 2000 0.6 0.2 0.2020683 988 374.043950 i) 2000 0.6 0.4 0.1852588 991 431.125409 j) 2000 0.7 0.2 0.0986130 988 335.516387 k) 2000 0.7 0.4 0.0954537 995 402.078071 l) 2000 0.85 0.85 0.01522667 989 776.17100
De esta serie de pruebas se concluye que:
• El número de individuos es factor importante para la convergencia, ya que, aunque se tenga
un tiempo de respuesta con un número de individuos pequeño, no se asegura que el resultado
sea el optimo. Con un mayor número de individuos el tiempo de respuesta incrementa pero
también la posibilidad de obtener un mejor resultado. Como se ha mencionado anteriormente
el programa tendrá un rango óptimo de individuos para trabajar, pero esto se tienen que
comprobar mediante varias pruebas por ser un programa que tiene como base la generación
aleatoria de la población.
• Por otro lado se observa que no existe una regla para determinar el valor óptimo para la
probabilidad de cruce y la mutación, no siempre los valores máximos de estos dan los
mejores resultados, como se observa en la Tabla 4.5, el inciso k presento el error mínimo.
• Los resultados dependen mucho del problema y de las restricciones, ya que se tienen
condiciones y restricciones diferentes para cada caso de estudio, por ejemplo si se cambiara
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Y d
esea
da
X deseada
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
113
la restricción de algunos ángulos, cambia el valor en las longitudes de los eslabones y por
consecuencia el valor del error, ya que quizás las barras tengan que aumentar o disminuir su
tamaño para cubrir la trayectoria impuesta.
En la Tabla 4.6 se presenta la comparación de los autores antes referidos con el obtenido por el
algoritmo propuesto, y como se ve, existe correspondencia en los resultados y el error entre las
trayectorias generadas.
Tabla 4.6 Parámetros que definen dimensiones y ángulos para una trayectoria elíptica obtenida por varios autores.
Autor Xo Yo R2 R1 R4 R3 R5 Kunjur 1.132062 0.663433 0.274853 1.180253 2.138209 1.879660 0.91 Cabrera 1.776808 -0.641991 0.237803 4.828954 2.056456 3.057878 2 Laribi -3.06 -1.3 0.42 2.32 3.36 4.07 3.90 Starosta 0.074 0.191 0.28 0.36 0.98 1.01 0.36 A-G prop. 3.88548 0.907087 0.286753 4.52611 3.59121 4.29125 3.613847 Autor Error No.
Evaluaciones Kunjur 0.62 5000 Cabrera 0.029 5000 Laribi 0.20 Starosta 0.0377 200 A-G prop. 0.0152 1500 Como se observa a pesar de que se aplicaron más generaciones que las del último autor, se
obtuvieron buenos resultados, con lo que se comprueba que el algoritmo a pesar de consumir un
poco más de tiempo de cómputo ofrece menor error entre la trayectoria generada y la deseada y por
lo tanto una mayor precisión.
4.4.2 Optimización de un mecanismo de seis eslabones.
Como se mencionó en el capítulo 3, existen principalmente dos configuraciones de mecanismos de
6 eslabones, el tipo Watt y Stephenson, cada uno con sus respectivas variaciones, que por sus
características han sido empleadas en la fabricación de prótesis policéntricas (Radcliffe, 1977,
Dewen et al., 2003).
Para este caso de estudio la trayectoria que seguirán es la que se genera en el momento de la marcha
(Figura 3.12) y como una restricción se dará en rango de dimensiones que pueden tener los
eslabones para un primer análisis (Figura 3.22). De los casos de estudio analizados en el capítulo
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
114
tres, se realizará la optimización de parámetros para encontrar los resultados óptimos que podrán ser
empleados en el análisis previo de una prótesis policéntrica de 6 eslabones.
4.4.2.1 Configuración tipo Watt-I
Este análisis inicia por definir las restricciones que tendrá el algoritmo en el capítulo 3 en la Tabla
3.7, y como en los casos anteriores, se iniciará variando solo la probabilidad de cruce y en su
mayoría la de mutación, para minimizar el error entre la trayectoria generada y la deseada. Los
requerimientos se presentan en la Tabla4.7
Tabla4.7 Parámetros para síntesis de un mecanismo de 6 barras
Precisión después del punto
p=6
Máximas generaciones
genmax=1000
Mínimo error miner=1e-3 Repetición rep=4 Puntos de precisión
8
Las trayectorias generadas al variar los parámetros referidos anteriormente se muestran en la Figura
4.5 y en la Tabla 4.8 se describen los cambios que tuvo el mecanismo al cambiar los valores de las
probabilidades, reflejadas en el valor del error generado entre la trayectoria deseada y la generada.
a) b) c)
d) e) f)
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.080606 generación:1000 tiempo:116.1153seg
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
g p g
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
g p g
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
g p g
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
115
g) h) i)
j) k) l)
Figura 4.5. Ajuste de parámetros para una trayectoria curva
Nota: la curva en color rojo representa la trayectoria generada y la de colores la curva deseada.
Tabla 4.8 Ajuste de parámetros mecanismo de 6 barras trayectoria curva No.
individuos Pc Pm Error
a) 1000 0.2 0.01 0.080605 b) 1000 0.25 0.01 0.087732 c) 1000 0.2 0.1 0.102937 d) 1000 0.4 0.1 0.063850 e) 1000 0.6 0.1 0.128121 f) 1000 0.6 0.2 0.074789 g) 1000 0.6 0.4 0.087210 h) 1000 0.6 0.6 0.056309 i) 1000 0.7 0.6 0.075086 j) 1000 0.8 0.6 0.065858 k) 1000 0.8 0.7 0.025907 l) 1000 0.85 0.85 0.075976
Donde se observa que la mejor solución se tiene en la opción k que cuenta con valor grande
probabilidad de cruce e igualmente un valor que supera lo propuesto por algunos autores, pero que a
pesar de esta condición, se obtienen valores óptimos y aproximados a la trayectoria deseada.
En la Tabla 4.9 se comparan los valores obtenidos antes de relajar los principales parámetros del
algoritmo con los que resultaron de cambiarlos, además de cambiar la función de evaluación. Como
puede observarse hay diferencias entre las dimensiones expuestas, que generan la disminución en el
error entre las trayectorias.
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.08721 generación:1000 tiempo:229.4179seg
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
g p g
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.065859 generación:1000 tiempo:252.7592seg
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
g p g
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020
30
40
50
60
70
80
90
100
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
116
Tabla 4.9 Comparación de longitudes y ángulos de un mecanismo de 4 eslabones trayectoria de la marcha
Variables Algoritmos Genéticos
Parámetros nuevos
x0 46.87842 26.25138 y0 43.74934 48.74968 r1 59.75323 37.45732 r2 21.56174 11.17907 r3 29.06114 22.16762 r4 43.23826 26.38590 r5 28.59206 43.93468 r6 23.44443 16.18488 r7 55.50118 31.09559 r8 52.84068 14.72912 r9 22.60396 35.56108
r10 42.16918 0.850473 θ0 1.83157 0.981741 θ 2 0.78530 0.761210 θ 10 5.42880 4.711480 θ 5 0.03248 4.645838 θ 6 2.95401 3.878048 θ 7 5.62482 -2.037629 θ 3 0.79126 0.7523094 θ 4 2.16137 2.093775
error 0.16684 0.025907 4.4.1 Mecanismo de 6 eslabones para cubrir 18 puntos de precisión
Para corroborar la efectividad del mecanismo analizado, en este caso el de tipo Watt-I, se seguirá
una trayectoria propuesta arbitrariamente teniendo como restricciones iniciales el manejo de 18
puntos y las condiciones de la Tabla 4.10
Tabla 4.10 Restricciones para un mecanismo de 6 barras.
Mecanismo Policéntrico Descripción
Característica
Puntos deseados Limites de las variables
xd=[ 25 10 5 10 20 10 5 10 15 25 40 43 50 55 50 40 50 55 50 40 25]
yd=[[ 130 120 100 80 65 55 35 20 15 10 10 15 20 40 55 65 80 100 120 130 130]
Restricción para cada eslabón r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8,r9,r10 ∈ [−60,60] en mm
x0,y0∈ [−60,60] en mm Rango para movimiento 0º a 360º grados Número de individuos ni individuo 200 Probabilidad de cruce De tipo proporcional varia
Probabilidad de mutación Mutación solo en un punto varia Precisión Dígitos después del punto 6
Número máximo de generaciones 1000 generaciones
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
117
La Figura 4.6 es la propuesta para generar la trayectoria por el mecanismo tipo Watt-I:
Figura 4.6 Trayectoria de 20 puntos para un mecanismo de 6 eslabones tipo Watt-1
Para esta propuesta se realizaran, igual que en los casos anteriores, ajustes en la población,
probabilidad de cruce y de mutación, agregando en este análisis el tiempo y el número de
generaciones, además del error para corroborar que los parámetros no son independientes. Los
gráficos obtenidos se muestran en la Figura 4.7 y los ajustes de parámetros en la Tabla 4.11.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550
20
40
60
80
100
120
140
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.45307 generación:1000 tiempo:185.0093seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.20885 generación:1000 tiempo:164.1856seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.10395 generación:1000 tiempo:169.388seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.14441 generación:1000 tiempo:250.5145seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.072669 generación:1000 tiempo:282.191seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.055823 generación:1000 tiempo:290.6977seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.059796 generación:1000 tiempo:468.7599seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.053299 generación:1000 tiempo:480.8841seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.11947 generación:1000 tiempo:458.0269seg
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
118
j) k) l)
m n o
p q r Figura 4.7. Ajuste de parámetros para una trayectoria específica
Nota: la curva en color rojo representa la trayectoria deseada y la de color azul la curva generada.
Tabla 4.11 Ajuste de parámetros mecanismo de 6 barras trayectoria específica.
ni Pc Pm error tiempo generaciones a) 200 0.6 0.01 0.4530713342399 180.693674 978 b) 200 0.6 0.4 0.2088516234 162.480752 991 c) 200 0.8 0.8 0.1039548356200 168.681711 996 d) 500 0.6 0.01 0.1441113 250.446997 981 e) 500 0.6 0.4 0.07266868 282.191 960 f) 500 0.8 0.8 0.0558228894 290.697 987 g) 1000 0.6 0.01 0.059796068 468.693084 999 h) 1000 0.6 0.4 0.0532988776 480.819397 947 i) 1000 0.7 0.5 0.119467646451 457.490696 999 j) 1000 0.7 0.7 0.03260650948 524.067239 989 k) 1000 0.8 0.5 0.099396876739 536.369984 993 l) 1000 0.85 0.8 0.0311870033413 550.612374 972
m) 1500 0.6 0.1 0.1962062488 619.52535 981 n) 1500 0.6 0.4 0.090105144 672.77304 990 o) 1500 0.95 0.85 0.163192355 1046.2808 968 p) 2000 0.7 0.7 0.08380448 1116.16188 999 q) 2000 0.85 0.8 0.0114246856933 1295.874818 987 r) 2000 0.95 0.85 0.0277589482798 1306.641231 1000
De este análisis se concluye que:
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.032607 generación:1000 tiempo:524.1338seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.099397 generación:1000 tiempo:540.4559seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.031187 generación:1000 tiempo:550.6851seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.19621 generación:1000 tiempo:632.0186seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.090105 generación:1000 tiempo:679.6986seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.16319 generación:1000 tiempo:1079.9508seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.083804 generación:1000 tiempo:1117.2786seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150V
alor
es d
e Y
des
eada
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.011425 generación:1000 tiempo:1306.7171seg
-50 0 50 100 150-50
0
50
100
150
Val
ores
de
Y d
esea
da
6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada
Error:0.027759 generación:1200 tiempo:1295.9432seg
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
119
• El incremento de puntos de precisión es directamente proporcional al número de individuos
en la población, ya que para obtener un menor error, es necesario tener un mayor campo de
búsqueda.
• Un pequeño número de individuos limita la búsqueda y no ofrece buenos resultados.
• Para obtener valores óptimos es necesario incrementar el valor de la probabilidad de cruce
por lo menos arriba de 0.6.
• El porcentaje de mutación puede variar hasta antes de 1, ya que si se incrementa a este valor
se estaría cambiando totalmente al individuo sin quedar esencia del mejor individuo para esa
evaluación que se obtuvo con el elitismo y la herencia forzada.
• Los valores altos de probabilidad de cruce y mutación no aseguran que se tenga el mejor
valor de convergencia.
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
120
4.5 Sumario
El proceso de optimización es iterativo, y se demostró con las pruebas que se hicieron variando los
parámetros del algoritmo genético para analizar el comportamiento del sistema, que pueden ser
modificados hasta encontrar un sistema cuyo comportamiento satisfaga las expectativas y los
requerimientos del diseñador.
Los parámetros del algoritmo genético normalmente interactúan entre sí de forma no lineal, por lo
que no pueden optimizarse de manera independiente, quedando demostrado en los casos de estudio
presentados.
Se demostró que la diversidad de los individuos en la población se obtiene y se mantiene con el
operador de cruce y la mutación genética, ya que en todo el análisis permiten encontrar mejores
soluciones y evitan la convergencia prematura a un máximo local. Aunque también debe
mencionarse que el elitismo y la herencia forzada ayudan a limitar el número de individuos que
cubrirán las restricciones impuestas. Por otro lado se vio que el algoritmo genético tiene pocas
posibilidades de realizar un numero de reproducciones considerable o necesario para la óptima
solución si se tiene una población insuficiente o pequeña, ya que solo se realizaría una búsqueda de
soluciones escasa o poco óptima, pero por otro lado, la población excesiva, hace que el algoritmo se
vuelva muy lento. De hecho hay un límite a partir del cual es ineficiente elevar el tamaño de la
población puesto que no se consigue una mayor velocidad en la resolución del problema ni se
asegura la convergencia, para los casos de estudio referidos en este capítulo, al incrementar la
población en 3000 individuos ya no arrojo ningún resultado aceptable y se volvió extremadamente
el programa. Si la población se trabaja en un tamaño medio, como 1000 individuos por ejemplo
pueden mejorar el desempeño del algoritmo a largo plazo, aunque esto se vea afectado por una
respuesta inicial más lenta.
También se observó que el incremento en el porcentaje de mutación mejora el desempeño fuera de
línea ya que se toman en cuenta todas las soluciones en la población para obtener el valor óptimo. El
desempeño fuera de línea no penaliza al algoritmo de búsqueda por explorar regiones pobres del
espacio de búsqueda, siempre y cuando ello contribuya a alcanzar las mejores soluciones posibles si
se habla en términos de aptitud.
Capítulo IV
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
121
Por otro lado se comprobó que para el cruzamiento se cumple la regla de que aplicando valores
menores a 0.6, el desempeño no es óptimo y no cambia el resultado esperado en el problema en
específico. Hablando de la mutación, se demostró que esta puede cambiarse un sin número de veces
e incrementar su valor para obtener resultados óptimos, llegando casi a la unidad, pero evitando
mutar totalmente todo el cromosoma borrando los beneficios en este creados por el elitismo y la
generación forzada.
Por medio de la experimentación, también se concluyo que los parámetros no son independientes, y
el querer tratar de obtener todas las combinaciones posibles de estos sistemáticamente, es casi
imposible, pero si los parámetros son optimizados uno por uno, es posible manejar sus interacciones
y para un problema dado, los valores de los parámetros seleccionados tal vez no sean
necesariamente los óptimos, pero si se tratan de analizar uniformemente se obtendrán valores más
significativos.
Con los casos analizados se comprueba que el algoritmo diseñado puede ser aplicado en la solución
del análisis y la síntesis de mecanismos de configuraciones de 4 y 6 eslabones para diversos tipos de
trayectorias, teniendo como principal requisito la función de evaluación y las restricciones para el
algoritmo.
Con la información obtenida mediante la experimentación en el ajuste de parámetros, ya se tienen
las bases para realizar el análisis y la síntesis de un mecanismo para una prótesis policéntrica, que
será la base para demostrar los resultados de la aplicación de los algoritmos genéticos en la síntesis
de mecanismos.
Por último cabe mencionar que puede existir la no coincidencia total de los puntos de precisión en
una trayectoria a través de un mecanismo, ya que, siendo más detallistas, existen limitantes de
manufactura que impedirán el cumplimiento estricto de dicho requerimiento, pero si se darán los
resultados más aproximados que cumplan la trayectoria especificada.
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
122
ANÁLISIS DE RESULTADOS
En este capítulo se presenta el análisis de resultados de la síntesis de mecanismos con algoritmos genéticos, aplicado al diseño de una prótesis policéntrica para miembro inferior con un mecanismo de 6 eslabones.
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
123
5.1Prótesis policéntricas
Con base en investigaciones realizadas para la construcción de prótesis inteligentes policéntricas, en
conjunto con información tomada sobre la biomecánica de la rodilla (Greene, 1983, Rovetta &
Frosi, 1984, Blumentritt & Werner-Scherer, 1997, Dewen et al., 2003, Dupes, 2004), para realizar
un correcto diseño, recomiendan partir de los parámetros propios de la población, los cuales, en
muchos casos no se han establecido explícitamente en la literatura disponible, pero se pueden
obtener a través de pruebas de marcha. Los parámetros generales tienen como objetivo primordial,
dar uniformidad a las posibles soluciones y crear una referencia para evaluar los diseños existentes
así como algunos nuevos; asegurando sistemas capaces de responder tanto a las exigencias
mecánicas como a las personales de alguien con una amputación, transfemoral.
Los mecanismos policéntricos comprenden múltiples centros de rotación con lo que su eje provee un
centro móvil de rotación, que es bloqueado por el grado de flexión de la rodilla. La gran ventaja del
arreglo policéntrico es que permite la estabilidad de la rodilla cuando se hace contacto con el talón y
reduce la estabilidad al momento del despegue de la punta del pie; con ello se incrementa la
distancia de contacto con el piso y se reduce la posibilidad de tropiezo. Muchas rodillas
policéntricas tienen su centro instantáneo de rotación lo suficientemente próximo y superior para
mayor estabilidad, la cual depende del diseño y no del control que debe tener. El centro instantáneo
de rotación se mueve rápidamente hacia adelante en la etapa de balanceo, de esta forma desbloquea
la articulación y facilita la flexión ofreciendo gran estabilidad.
5.2. Rangos de movimiento de la rodilla
La flexo-extensión de la rodilla resulta de la suma de 2 movimientos parciales que ejecutan los
cóndilos femorales: un movimiento de rodado, similar al que realizan las ruedas de un vehículo
sobre el suelo y un movimiento de deslizamiento de aquellos sobre las cavidades glenoideas; éste
último de mayor amplitud que el primero (Góngora-García et al., 2003). Este movimiento, de
extensión completa a flexión completa, va desde 0º hasta aproximadamente 120º (Figura 5.1 y 5.2).
La rotación interna y externa, en el plano transversal, está influenciada por la posición de la
articulación en el plano sagital. En extensión completa, la rotación está casi completamente
restringida por el bloqueo de los cóndilos femorales y tibiales, que ocurre principalmente porque el
cóndilo femoral medial es más grande que el cóndilo lateral.
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
124
El rango de rotación se incrementa a medida que la rodilla se flexiona, alcanzando su valor máximo
a los 90º de flexión. Con la rodilla en esta posición, la rotación externa varía de 0º hasta
aproximadamente 45º, y la rotación interna, de 0º hasta 30º; después de los 90º de flexió. El rango
de rotación interna y externa disminuye, básicamente, porque los tejidos suaves restringen la
rotación.
En (Góngora-García et al., 2003) se explica que la rodilla puede realizar solamente movimientos de
rotación cuando se encuentra en posición de semiflexión, pues se producen en la cámara distal de la
articulación y consisten en un movimiento rotatorio de las tuberosidades de la tibia, por debajo del
conjunto meniscos-cóndilos femorales. En la extensión completa de la articulación, los movimientos
de rotación no pueden realizarse porque lo impide la gran tensión que adquieren los ligamentos
laterales y cruzados.
Figura 5.1. Movimientos de la rodilla, traslación y rotación (Freya et al., 2006).
Figura 5.2 Movimientos de la rodilla.(Gunston et al., 1971)
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
125
5.3 Características de mecanismos aplicados a prótesis policéntrica.
Principalmente se utilizan las configuraciones de mecanismos de 4 y 6 eslabones para generar el
movimiento de la rodilla, pero en forma general, los mecanismos puede ser analizado considerando
los siguientes puntos para desarrollar una prótesis policéntrica:
Tabla 5.1 Parámetros para la construcción de una rodilla policéntrica (Maya et al., 2007)
Parámetros A B C
Peso unitario x x X
Edad usuario x x X
Altura usuario X
Sexo X
Geometría del muñón x X
Nivel de sensibilidad X
Recursos económicos X x x
Grado de movilidad X
Material X x x
Peso protésico x X
Estabilidad x X
Comercialización X x
Vida útil x
A Prototipo: “Estudio de mercadeo y procesos de manufactura de rodilla policéntrica” (Millán, 1996) B. Prototipo: “Diseño construcción y puesta a punto de una prótesis de rodilla policéntrica”(Cortés, 1988). C. Prototipo: “Construcción y pruebas del diseño de una prótesis de rodilla policéntrica para amputación
transfemoral”(Pinzón, 1995)
De los cuales primordialmente se consideran para el inicio del diseño de los mecanismos
policéntricos el grado de movilidad y la estabilidad.
Para determinar la estabilidad y el grado de movilidad se considera que el mecanismo de rodilla
policéntrica es un dispositivo en el que el centro instantáneo de rotación (CIR) cambia de posición
conforme el ángulo de flexión de la rodilla incrementa o decrementa (Radcliffe, 1977).
Cinematicamente todos los dispositivos policéntricos tienen la estabilidad controlada por la
localización del CIR y en su mayoría son de la misma clase (Figura 5.3):
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
126
Figura 5.3 Centro Instantáneo de Rotación (CIR) para distintas configuraciones (Radcliffe, 1977)
Las características de una rodilla policéntrica se pueden describir en términos de la relación de 4
factores (Radcliffe, 1977): 1) El centro instantáneo de rotación del muslo, 2) La línea de carga, 3) El
momento de ruptura o torque generado por la prótesis de rodilla y 4) El momento en el cuál la
cadera puede moverse voluntariamente por el amputado.
5.3.1 Centro Instantáneo de Rotación (CIR) en una prótesis policéntrica
El CIR, en una prótesis policéntrica, es un punto donde por muy pequeños cambios en el ángulo de
flexión de la rodilla que haya, la sección del muslo rota sobre un punto en extensión con la
pantorrilla, la cual aparece temporalmente fija. Para pequeños ángulos, la rotación relativa de los
centros instantáneos podría imaginarse que es una bisagra que une una sección del muslo con la
pantorrilla(Radcliffe, 1977). Para grandes ángulos, los CIR cambiaran de ubicación y será necesario
imaginar una nueva posición.
5.3.2 Línea de carga
La línea de carga es a través de la cual la fuerza de carga equivalente actúa sobre el cojinete de
carga de la prótesis, rara vez, actúa a través de la línea directa que une la articulación de la cadera
con el tobillo, en general actúa desde un solo punto en el nivel del socket hacia un centro de presión
sobre la planta del pie.
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
127
Si la línea de carga es anterior a la rodilla, esta tiende a ser estable, si esta es posterior al centro de
rotación del talón el sujeto debe dar un gran torque sobre la rodilla con los músculos de la cadera
para estabilizarlos. Para que la rodilla se flexione mientras el cojinete soporta el peso en el despegue
del pie, la línea de carga debe ser recorrida a una posición donde esta pase posterior al centro de la
rodilla(Wilkenfeld, 2000). Si la línea de carga se presenta en el pre-movimiento de pivoteo delante
del eje de la rodilla, se genera un esfuerzo de torsión extenso que hace el movimiento más difícil.
La Figura 5.4 muestra las fuerzas equivalentes y momentos que actúan en el pie y alrededor de la
articulación de la cadera en un amputado transfemoral típico. Los diagramas tanto al contacto como
al despegue del suelo se superponen en el esquema central (Radcliffe, 1977). Es de notar que las
líneas de reacción del piso no pasan por el centro de la articulación de la cadera al contacto del talón
con el piso o al elevarse el pie. Al golpear el talón el suelo la línea de carga debe pasar por atrás del
centro de la rodilla para hacerla estable, la estabilidad es controlada al aplicar un pequeño momento
con los músculos de la cadera. El mismo principio aplica para el sistema de fuerzas en la elevación
del pie.
Figura 5.4. Línea de carga y área para centros de la rodilla (Radcliffe, 1977)
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
128
5.4 Mecanismo policéntrico de 4 barras
Mecanismos de 4 eslabones han sido aplicados para desarrollar prótesis transfemorales que pueden
dar el efecto de rotación de la rodilla que solo permite caminar. Para cubrir la trayectoria del
movimiento de la rodilla, se toman como base los trabajos de (Radcliffe, 1977, Enríquez Torres,
2007) sobre un mecanismo policéntrico de 4 barras como los mostrados en las Figuras 5.5 y 5.6.
Para la descripción cinemática de la rodilla en el plano sagital se utiliza regularmente el modelo de
mecanismo de cuatro barras. La curva que describe la trayectoria del centro instantáneo de rotación
se conoce como poloide. Esto es muy utilizado en el diseño de sustituciones de rodilla. Para prótesis
transfemorales que incluyen un mecanismo de rodilla de cuatro barras, el centro instantáneo en
cualquier posición de la rodilla en extensión puede ser localizado en la intersección de las
prolongaciones de las líneas de los enlaces anterior y posterior los cuales conectan la sección del
socket a la sección de la pierna en la prótesis. Como se incrementa el ángulo de flexión de la rodilla
el centro instantáneo toma una serie de posiciones que típicamente trazan una trayectoria con la
extensión de la pierna la cual avanza hacia adelante y hacia abajo hacia el centro anatómico de la
rodilla.
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
129
Fig. 5.5 Trayectoria del CIR de una rodilla Fig. 5.6 Trayectoria del CIR de una prótesis de policéntrica d e4 barras (Radcliffe, 1994) control voluntario para una rodilla de 4 barras (Radcliffe, 1994)
De este arreglo de eslabones existen 3 configuraciones importantes:
a) Mecanismo de cuatro barras cuasi estable: Un centro instantáneo elevado y hacia atrás
incrementara la estabilidad de la rodilla. Para un mecanismo de cuatro barras con un centro
instantáneo elevado, que ha estado en el mercado por ya largo tiempo y que regularmente
está conformado por un enlace anterior largo y un enlace posterior corto, se obtiene una
buena estabilidad cuando el talón golpea el suelo, esto es de gran utilidad para personas con
una disminuida capacidad funcional en la cadera. El centro instantáneo en la extensión
completa de la pierna, se encuentra posterior a la línea de carga cuando el talón tiene el
primer contacto, lo que provoca que la rodilla sea forzada a mantenerse en extensión y
cinematicamente bloqueada, con esto no es necesario ejercer torque en la cadera para
mantener esta posición (Radcliffe, 1994).
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
130
Figura 5.7 Diagrama de estabilidad para un mecanismo de 4 barras con CIR elevado (Radcliffe, 1994)
b) Mecanismo de cuatro barras hiper-estabilizado: El termino hiper-estabilizado se requiere a
una muy positiva alineación de estabilidad, el centro instantáneo en la extensión total se
localiza atrás de la línea de carga, con lo que no se requiere un torque en la cadera para
lograr la estabilidad, en relación con el arreglo anterior este centro instantáneo se encuentra
más abajo atrás de la línea que une la cadera con el talón (Radcliffe, 1994).
Figura 5.8 Diagrama de estabilidad de un cuadrilátero articulado hiper-estabilizado (Radcliffe, 1994)
c) Mecanismo de cuatro barras de control voluntario: El mecanismo de cuatro barras para el
control voluntario presenta un centro instantáneo que cae dentro de la zona de estabilidad
tanto en el momento del golpe del talón y el despegue del pie. En este caso la elevación
inicial del centro instantáneo no es tan alta como en el primer caso, además de que la
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
131
trayectoria no corre rápidamente hacia abajo y permanece cerca de su elevación inicial y
dentro de la zona estable para los primeros cinco grados de flexión de la rodilla. Con esto se
da la habilidad al paciente de controlar voluntariamente la estabilidad de la pierna no solo al
contacto del talón con el suelo y al despegue del pie, sino también aun dentro de un rango
limitado en la flexión de la rodilla (Radcliffe, 1994). Figura 4.3.
Figura 5.9 Diagrama de estabilidad de prótesis control voluntario (Radcliffe, 1994)
Por las descripciones realizadas a cada configuración se tomo el mecanismo de control voluntario,
ya que el paciente tiene el total control de la prótesis, basándose en esta característica, se realiza el
análisis y la síntesis con los algoritmos genéticos.
5.4.1 Síntesis de mecanismos policéntricos para prótesis de 4 barras de control voluntario.
Se realizara la síntesis con algoritmos genéticos del mecanismo seleccionado, teniendo como
principales restricciones los señalados en la Tabla 5.2:
Tabla 5.2 Restricciones para la síntesis de un mecanismo policéntrico de 4 eslabones
De acuerdo a la síntesis se tiene la trayectoria, el mecanismo y la convergencia en la Figura (5.10,
5.11), el mecanismo en un programa de simulación dinámica (5.12).
Figura 5.10 Trayectoria del mecanismo de 4 barras para prótesis policéntrica.
Figura 5.11 Mecanismo policéntrico simulado por programación.
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
132
Figura 5.12 Mecanismo creado en un programa de Simulación Dinámica
5.5 Mecanismo policéntrico de 6 barras
También se han desarrollado las prótesis transfemorales policéntricas de 6 eslabones para dar
movimiento a la rodilla aplicando las dos configuraciones, tipo watt (Figura 5.13 (Dewen et al.,
2003)) y Stephenson (Figura 5.14(Chakraborty & Path, 1994)),los cuales están diseñados para
transmitir el movimiento al muslo desde el pie, durante la acción de ponerse en cuclillas hasta la
fase de oscilación al caminar. Estos normalmente se generan de dos mecanismos de 4 eslabones,
para crear los CIR en extensión completa y que correspondan al eje simple del centro de la rodilla, y
posteriormente a la línea de carga que va del tobillo al muslo. Con este arreglo se consigue una
estabilidad de la prótesis en la flexión a 10º, ya que el CIR está mejor localizado en la unión simple
del eje de la rodilla, donde la persona con amputación podrá tener un mejor control en la extensión y
en la flexión voluntaria sobre los rangos críticos de movimiento. En la Figura 5.14 se muestra la
posición de acoplamientos en el mecanismo y el lugar geométrico del CIR de la rodilla para la
rotación de la unidad del muslo concerniente a la pantorrilla.
Figura 5.13 Configuraciones de mecanismos de 6 barras tipo Watt para prótesis policéntricas (Dewen et al., 2003)
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
133
Figura 5.14 Posición de los CIR de la rodilla de la prótesis policéntrica con referencia a la línea de carga a través de la unión de la
pantorrilla y el centro de contacto del pie con la tierra en las diferentes fases de la caminata
Los mecanismos de 6 barras son empleados porque debe duplicarse el movimiento del centro de
rotación relativo entre el fémur y los huesos de la pierna (tibia y peroné) para mantener la
estabilidad al caminar.
Dos de los mecanismos de 6 barras propuestos , aplicando las configuraciones antes referidas son (Figura 15 y 16):
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
134
Figura 5.15 Mecanismo tipo Watt para prótesis policéntrica. (Dewen et al., 2003)
Figura 5.16 Mecanismo tipo Stephenson para prótesis policéntrica (Jin et al., 2003)
Con base en estos ejemplos, se desarrollo la síntesis de un mecanismo de 6 barras tipo Watt-I por
ser más exactos en la determinación del CIR.
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
135
En la Tabla 5.3 se presentan las restricciones para dicho mecanismo y en la figura 5.17 se tienen a
trayectoria, en la 5.18 el mecanismo y en la 5.19 el mecanismo en un programa de simulación
dinámica.
Capítulo V
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
136
5.6 Sumario
En este capítulo se concentro el resumen de toda la tesis, con lo que se demostró la efectividad del método para realizar la síntesis de mecanismos por medio de algoritmos genéticos. Se logro desarrollar el diseño de una prótesis policéntrica cubriendo todas las restricciones necesarias para este efecto. Se logro generar físicamente y simulado un mecanismo que partió de ser solo un diseño para cubrir una trayectoria.
CONCLUSIONES
I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO
137
CONCLUSIONES
Se hizo un énfasis en la aportación que han tenido las herramientas computacionales y las
técnicas de computación inteligente como los algoritmos genéticos y la lógica difusa, en la
optimización de estos mecanismos para obtener respuestas más viables y óptimas en cuanto a
las diversas necesidades de los usuarios, resaltando los algoritmos genéticos como método de
búsqueda.
Se describió la importancia de los algoritmos genéticos para mejorar la síntesis de
mecanismos, ya que principalmente sirven para eliminar las limitaciones y ayudan a tener una
exactitud en los puntos de precisión delimitados por el diseñador, con lo que se obtiene una
reducción de tiempo computacional y derivaciones de las ecuaciones obligatorias de una
función objetivo específico. Se mostró que puede haber combinación de los algoritmos
genéticos con un controlador de lógica difusa para monitorear el comportamiento de las
variables de diseño durante el corrimiento de los AG y poder modificar los resultados para una
mejor optimización.
Se presentaron los fundamentos necesarios para realizar el análisis y la síntesis de
mecanismos, iniciando por conocer las características y los tipos más usuales para cubrir las
necesidades especificas del cliente. Se mostró una descripción de las ecuaciones y métodos
para obtener la síntesis de mecanismos planos para diseñar el número y tipo de
eslabonamiento, los grados de libertad de movimiento y el análisis de posición para generar la
trayectoria. El desarrollo de éstas se enfocó a un mecanismo de 4 barras, configuración base
para poder diseñar posteriormente mecanismos con un mayor número de eslabones y grados
de libertad. Dentro del análisis dinámico, se describió el manejo de los centros instantáneos de
rotación para calcular velocidades y aceleraciones.
Se desarrolló el método de Newton Raphson para optimizar las funciones de Freudenstain
para cadena abierta y cerrada, derivada de la síntesis de mecanismos, este método por sus
características se empleará como método numérico para validar y comparar resultados del
método metaheuristico a emplear, como son los algoritmos genéticos. También se
desarrollaron ejemplos ilustrando la forma de combinar y aplicar este método con el algebra
compleja, que se aplica en este tipo de análisis para determinar las posiciones de los
CONCLUSIONES
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eslabones, que son una de las principales variables de los mecanismos cuando se diseñan para
el seguimiento de trayectorias.
De los algoritmos genéticos se hizo una descripción de las etapas de que están formados, se
demostró que la programación genética transforma iterativamente la población en una nueva
generación por aplicación análoga de operaciones genéticas que ocurren naturalmente. Estas
operaciones son aplicadas a individuos seleccionados desde la población. Para que un
procedimiento sea completo debe existir una combinación de métodos gráficos, analíticos y
heurísticos, ayudándose de herramientas computacionales que ya existen para resolver
problemas complejos. Los métodos analíticos son muy precisos, pero normalmente son
utilizados por personas especializadas en el tema, para ayudar a resolver estos problemas se
utilizan los métodos metaheurísticos como los algoritmos genéticos, que como se observó,
pueden manipular muchos parámetros simultáneamente, lo que facilita poder manejar diversas
variables para llegar a la solución más óptima, en este caso las variables propuestas para los
ángulos y las longitudes de las barras en las diferentes configuraciones, para que los
mecanismos puedan cubrir trayectorias predeterminadas.
Se observa que es necesario hacer un análisis previo del problema, para poder generar las
restricciones y el dominio de diseño que debe tener el mecanismo, esto permitirá evitar
encontrar una solución que constructivamente no puede ser válida. Los algoritmos genéticos
se utilizaron para optimizar la posición del error entre los puntos deseados y los efectuados
por el mecanismo resultante sujeto a diferentes restricciones. La optimización con algoritmos
genéticos permite tener aproximaciones a la solución de la síntesis. La mejor solución
depende del tipo de mecanismo y de los requerimientos de diseño. Como ventajas los
algoritmos tienen la convergencia cerca de la solución óptima global La rápida convergencia
se indica por un valor alto en la función y un bajo número de generaciones. La solución
depende en gran medida del tamaño de la población y de las probabilidades de cruce y
mutación. Para validar los resultados se hizo la comparación con los datos obtenidos del autor
que se tomo como referencia, además del método numérico de Newton Raphson.
El generar trayectorias con la implementación de algoritmos genéticos ofrece ventajas por la
manipulación que se puede dar a las variables iniciales, para obtener una convergencia rápida.
CONCLUSIONES
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Se evita el cálculo del método numérico, que es laborioso y tiene restricciones como el dar
datos aproximados para poder dar una solución, además del consumo de tiempo de cómputo.
El algoritmo genético explora un espacio de soluciones, seleccionando la más factible a través de
una función aptitud que permitirá dirigir la búsqueda con un enfoque de optimización. La
estrategia no requiere el implemento de matemáticas complejas para la cinemática inversa debido
a que las ecuaciones de enlace geométrico se obtienen metódicamente para reducir la complejidad
del problema. Los parámetros del algoritmo genético normalmente interactúan entre sí de
forma no lineal, por lo que no pueden optimizarse de manera independiente, quedando
demostrado en los casos de estudio presentados.
El proceso de optimización es iterativo, y se demostró con las pruebas que se hicieron
variando los parámetros del algoritmo genético para analizar el comportamiento del sistema,
que pueden ser modificados hasta encontrar un sistema cuyo comportamiento satisfaga las
expectativas y los requerimientos del diseñador.
Se demostró que la diversidad de los individuos en la población se obtiene y se mantiene con
el operador de cruce y la mutación genética, ya que en todo el análisis permiten encontrar
mejores soluciones y evitan la convergencia prematura a un máximo local. Aunque también
debe mencionarse que el elitismo y la herencia forzada ayudan a limitar el número de
individuos que cubrirán las restricciones impuestas. Por otro lado se vio que el algoritmo
genético tiene pocas posibilidades de realizar un numero de reproducciones considerable o
necesario para la óptima solución si se tiene una población insuficiente o pequeña, ya que solo
se realizaría una búsqueda de soluciones escasa o poco óptima, pero por otro lado, la
población excesiva, hace que el algoritmo se vuelva muy lento. De hecho hay un límite a
partir del cual es ineficiente elevar el tamaño de la población puesto que no se consigue una
mayor velocidad en la resolución del problema ni se asegura la convergencia, para los casos
de estudio referidos en este capítulo, al incrementar la población en 3000 individuos ya no
arrojo ningún resultado aceptable y se volvió extremadamente el programa. Si la población se
trabaja en un tamaño medio, como 1000 individuos por ejemplo pueden mejorar el desempeño
del algoritmo a largo plazo, aunque esto se vea afectado por una respuesta inicial más lenta.
CONCLUSIONES
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140
También se observó que el incremento en el porcentaje de mutación mejora el desempeño
fuera de línea ya que se toman en cuenta todas las soluciones en la población para obtener el
valor óptimo. El desempeño fuera de línea no penaliza al algoritmo de búsqueda por explorar
regiones pobres del espacio de búsqueda, siempre y cuando ello contribuya a alcanzar las
mejores soluciones posibles si se habla en términos de aptitud.
Por otro lado se comprobó que para el cruzamiento se cumple la regla de que aplicando
valores menores a 0.6, el desempeño no es óptimo y no cambia el resultado esperado en el
problema en específico. Hablando de la mutación, se demostró que esta puede cambiarse un
sin número de veces e incrementar su valor para obtener resultados óptimos, llegando casi a la
unidad, pero evitando mutar totalmente todo el cromosoma borrando los beneficios en este
creados por el elitismo y la generación forzada.
Por medio de la experimentación, también se concluyo que los parámetros no son
independientes, y el querer tratar de obtener todas las combinaciones posibles de estos
sistemáticamente, es casi imposible, pero si los parámetros son optimizados uno por uno, es
posible manejar sus interacciones y para un problema dado, los valores de los parámetros
seleccionados tal vez no sean necesariamente los óptimos, pero si se tratan de analizar
uniformemente se obtendrán valores más significativos. Con los casos analizados se
comprueba que el algoritmo diseñado puede ser aplicado en la solución del análisis y la
síntesis de mecanismos de configuraciones de 4 y 6 eslabones para diversos tipos de
trayectorias, teniendo como principal requisito la función de evaluación y las restricciones
para el algoritmo.
Con la información obtenida mediante la experimentación en el ajuste de parámetros, ya se
tienen las bases para realizar el análisis y la síntesis de un mecanismo para una prótesis
policéntrica, que será la base para demostrar los resultados de la aplicación de los algoritmos
genéticos en la síntesis de mecanismos.
Por último cabe mencionar que puede existir la no coincidencia total de los puntos de
precisión en una trayectoria a través de un mecanismo, ya que, siendo más detallistas, existen
limitantes de manufactura que impedirán el cumplimiento estricto de dicho requerimiento,
pero si se darán los resultados más aproximados que cumplan la trayectoria especificada.
TRABAJOS FUTUROS
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Trabajos Futuros
Los alcances de este trabajo contemplan únicamente la síntesis de un mecanismo mediante
algoritmos genéticos simples, y con estos obtener el diseño optimo para generar la trayectoria
adecuada de una prótesis policéntrica transfemoral. Tomando en cuenta esto se proponen
como trabajos futuros a esta investigación los siguientes:
Manufactura de los mecanismos.
En este se plante realizar un análisis estructural de los elementos de la prótesis policéntrica
con la finalidad de: optimizar el diseño, asegurar que ninguno de los elementos fallará durante
el funcionamiento y poder determinar las limitaciones de esta.
Optimización de la programación de Algoritmos Genéticos
EL siguiente paso dentro de la programación con algoritmos genéticos es pasar a los multi-
objetivos y combinarlos con herramientas como las redes neuronales y lógica difusa para
obtener una mejor optimización dependiendo de la complejidad del caso de estudio.
Implementación de control
Complementar el diseño de los mecanismos policéntricos para la prótesis con el sistema de
control adecuado para generar el proceso de la marcha y la fase de estancia.
Implementación de sistemas basados en la micro y nano tecnologías.
Tomando en cuenta las tendencias y avances actuales en estas áreas de la ingeniería, que
incluyen el desarrollo de elementos y sensores mediante técnicas de nanotecnología, con la
cual se pueden desarrollar micro-motores, sensores y elementos de materiales biocompatibles;
se plantea la posibilidad de incluir en el diseño de la mano robótica elementos que permitan el
sensar y transmitir información al sistema de control, mediante la instrumentación adecuada
en espacios muy reducidos, que permita contar con los datos necesarios para que las
capacidades del sistema aumenten y éste pueda tener características reactivas basado en una
mayor capacidad sensorial para reaccionar a diversos estímulos.
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ANEXO
Anexo I
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ANEXO I PROGRAMA DE ALGORITMOS GENETICOS PARA CALCULAR UN MECANISMO DE 4 BARRAS PARA UNA PROTESIS POLÍCENTRICA % PROGRAMA PRINCIPAL clear all;clc;format long g; close all; tic; j=0; global er gen %% Trayectoria deseada xd=[12.88 22.5 26.15 30 31.92 33.08 33.65 34.61 35.38 35.96 34.81 30 20]; yd=[53.57 55.68 58.18 63.17 67.40 70.66 74.89 80.46 89.30 98.33 112.35 125.41 133.09]; %% Restricciones y condiciones iniciales rad=(0*(pi/180)); rad1=(98*(pi/180)); rad3=(30*(pi/180)); rad4=(56*(pi/180)); x0=0.1; %[ y0 r1 r2 r3 r4 rcx rcy t1 t2 t21 t22 t23 t24 t25 t26 t27 ] restriccion=[30 40; 5 40; 5 45; 0 22; 5 30; 5 20; 0 128; rad3 rad4; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1]; ni=1400; % Numero de individuos Prbc=0.85; %Probabilidad de cruce Prbm=0.85; %Probabilidad de mutación p=5; %Presición de numeros maximogen=1000;% número máximo de generaciones minimerror=5e-3; % "mínimo valor de error" %paro3=0.0005; %condiciones de exactitud gen=1; f_anter=0; rep=1; er=1; %numero de generaciones, error % [Po,nbits]=genepob(restriccion,p,ni); %Generación de población seg=1;R=[];MB=[]; Ci=zeros(1,length(restriccion)); %configuracion inicial de los eslabones) reng; POB=[MB;POB]; Po=POB; %% Algoritmo genetico while (ne(gen,maximogen) && (minimerror<er))% && ne(rep,paro3)) %Comparativo para cada uno de los paros x=decodificacion(restriccion,Po,nbits); %decodificacion para evaluación
Anexo I
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% evaluación de la función [evalfit,F]=funcionobjetivo(x,xd,yd); %Evaluación de la función error=F; %Error evalfunob=evalfit; %Operadores geneticos [f_actual,bestind,mm,fprom]=elitismo(evalfunob,ni,Po); %mejor individuo para la reinserciòn [R,seg,f_actual,f_anter,er,MB,Ci]=resultados(f_actual,f_anter,bestind,mm,Ci,seg,error,gen,R,x,er,MB); Regeneracion; Po=secruymu(nbits,Prbc,Prbm,Po,evalfunob); %Selección, cruce y mutación Po(floor(1+(ni-1)*rand),:)=MB; gen=gen+1; fprintf('\t%5d\t',gen) % generación fprintf('Error:%8.13f\t',er) % error fprintf('R:\t%.16f\t ',x(mm,:))% valor de las variables fprintf('\t%4.6f\t\n',toc)% tiempo de paro %% Grafico y0=Ci(:,1); %eje y inicial r1=Ci(:,2); % eslabon base r2=Ci(:,3); %eslabon mas corto manivela r3=Ci(:,4); %eslabon 3 r4=Ci(:,5); %eslabon 4 rcx=Ci(:,6); rcy=Ci(:,7); % toca el punto deseado t0=Ci(:,8); %ángulo de origen t2=Ci(:,9); %ángulo de transmisión t21=Ci(:,10); t22=Ci(:,11); t23=Ci(:,12); t24=Ci(:,13); t25=Ci(:,14); t26=Ci(:,15); t27=Ci(:,16); % j=j+1; grafica(x0,y0,r1,r2,r3,r4,rcx,rcy,t0,t2,t21,t22,t23,t24,t25,t26,t27); hold on; pause(0.01) end function [evalfit,F]=funcionobjetivo(x,xd,yd) xd=[12.88 22.5 26.15 30 31.92 33.08 33.65 34.61 35.38 35.96 34.81 30 20]; yd=[53.57 55.68 58.18 63.17 67.40 70.66 74.89 80.46 89.30 98.33 112.35 125.41 133.09]; % y0=x(:,1); %eje y inicial r1=x(:,2); % eslabon base r2=x(:,3); %eslabon mas corto manivela r3=x(:,4); %eslabon 3
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r4=x(:,5); %eslabon 4 rcx=x(:,6); rcy=x(:,7); % toca el punto deseado t0=x(:,8); %ángulo de origen t2=x(:,9); %ángulo de transmisión t21=x(:,10); t22=x(:,11); t23=x(:,12); t24=x(:,13); t25=x(:,14); t26=x(:,15); t27=x(:,16); %% posicbarras; %% Evaluación de la función F1=(((((xd(1)-real(Rcy)).^2+(yd(1)-imag(Rcy)).^2)))); F2=((((xd(2)-real(Rcy1)).^2+(yd(2)-imag(Rcy1)).^2))); F3=((((xd(3)-real(Rcy2)).^2+(yd(3)-imag(Rcy2)).^2))); F4=((((xd(4)-real(Rcy3)).^2+(yd(4)-imag(Rcy3)).^2))); F5=((((xd(5)-real(Rcy4)).^2+(yd(5)-imag(Rcy4)).^2))); F6=((((xd(6)-real(Rcy5)).^2+(yd(6)-imag(Rcy5)).^2))); F=(1/6)*sqrt((F1+F2+F3+F4+F5+F6)/1400);%+F3+F4+F3+F4+F5 evalfit=1./F; end % Posición de cada eslabón %% Cálculo de coseno de t2 x0=0.1; Ct2=cos(t2); Ct21=cos(t21); Ct22=cos(t22); Ct23=cos(t23); Ct24=cos(t24); Ct25=cos(t25); Ct26=cos(t26); Ct27=cos(t27); %% Cálculo de ángulo t4 K=[r1./r2, r1./r4, (r2.^2-r3.^2+r4.^2+r1.^2)./(2.*r2.*r4), r1./r3, (r4.^2-r2.^2-r3.^2-r1.^2)./(2.*r2.*r3)]; a=[Ct2-K(:,1)-K(:,2).*Ct2+K(:,3), -2.*sin(t2), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct2+K(:,3)]; X4=[(-a(:,2)+sqrt(a(:,2).^2-(4.*a(:,1).*a(:,3))))./(2.*a(:,1)),(-a(:,2)-sqrt(a(:,2).^2-(4.*a(:,1).*a(:,3))))./(2.*a(:,1))]; t4=2*atan(X4); % a1=[Ct21-K(:,1)-K(:,2).*Ct21+K(:,3), -2.*sin(t21), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct21+K(:,3)];
Anexo I
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X41=[(-a1(:,2)+sqrt(a1(:,2).^2-(4.*a1(:,1).*a1(:,3))))./(2.*a1(:,1)),(-a1(:,2)-sqrt(a1(:,2).^2-(4.*a1(:,1).*a1(:,3))))./(2.*a1(:,1))]; t41=2*atan(X41); % % % % a2=[Ct22-K(:,1)-K(:,2).*Ct22+K(:,3), -2.*sin(t22), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct22+K(:,3)]; X42=[(-a2(:,2)+sqrt(a2(:,2).^2-(4.*a2(:,1).*a2(:,3))))./(2.*a2(:,1)),(-a2(:,2)-sqrt(a2(:,2).^2-(4.*a2(:,1).*a2(:,3))))./(2.*a2(:,1))]; t42=2*atan(X42); % % a3=[Ct23-K(:,1)-K(:,2).*Ct23+K(:,3), -2.*sin(t23), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct23+K(:,3)]; X43=[(-a3(:,2)+sqrt(a3(:,2).^2-(4.*a3(:,1).*a3(:,3))))./(2.*a3(:,1)),(-a3(:,2)-sqrt(a3(:,2).^2-(4.*a3(:,1).*a3(:,3))))./(2.*a3(:,1))]; t43=2*atan(X43); % % a4=[Ct24-K(:,1)-K(:,2).*Ct24+K(:,3), -2.*sin(t24), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct24+K(:,3)]; X44=[(-a4(:,2)+sqrt(a4(:,2).^2-(4.*a4(:,1).*a4(:,3))))./(2.*a4(:,1)),(-a4(:,2)-sqrt(a4(:,2).^2-(4.*a4(:,1).*a4(:,3))))./(2.*a4(:,1))]; t44=2*atan(X44); % a5=[Ct25-K(:,1)-K(:,2).*Ct25+K(:,3), -2.*sin(t25), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct25+K(:,3)]; X45=[(-a5(:,2)+sqrt(a5(:,2).^2-(4.*a5(:,1).*a5(:,3))))./(2.*a5(:,1)),(-a5(:,2)-sqrt(a5(:,2).^2-(4.*a5(:,1).*a5(:,3))))./(2.*a5(:,1))]; t45=2*atan(X45); % % a6=[Ct26-K(:,1)-K(:,2).*Ct26+K(:,3), -2.*sin(t26), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct26+K(:,3)]; X46=[(-a6(:,2)+sqrt(a6(:,2).^2-(4.*a6(:,1).*a6(:,3))))./(2.*a6(:,1)),(-a6(:,2)-sqrt(a6(:,2).^2-(4.*a6(:,1).*a6(:,3))))./(2.*a6(:,1))]; t46=2*atan(X46); a7=[Ct27-K(:,1)-K(:,2).*Ct27+K(:,3), -2.*sin(t27), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct27+K(:,3)]; X47=[(-a7(:,2)+sqrt(a7(:,2).^2-(4.*a7(:,1).*a7(:,3))))./(2.*a7(:,1)),(-a7(:,2)-sqrt(a7(:,2).^2-(4.*a7(:,1).*a7(:,3))))./(2.*a7(:,1))]; t47=2*atan(X47); %% b=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct2+K(:,5),a(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct2+K(:,5)]; Y3=[(-b(:,2)+sqrt(b(:,2).^2-(4.*b(:,1).*b(:,3))))./(2.*b(:,1)),(-b(:,2)-sqrt(b(:,2).^2-(4.*b(:,1).*b(:,3))))./(2.*b(:,1))]; t3=2*atan(Y3); % % b1=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct21+K(:,5),a1(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct21+K(:,5)]; Y31=[(-b1(:,2)+sqrt(b1(:,2).^2-(4.*b1(:,1).*b1(:,3))))./(2.*b1(:,1)),(-b1(:,2)-sqrt(b1(:,2).^2-(4.*b1(:,1).*b1(:,3))))./(2.*b1(:,1))]; t31=2*atan(Y31); % % % b2=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct22+K(:,5),a2(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct22+K(:,5)]; Y32=[(-b2(:,2)+sqrt(b2(:,2).^2-(4.*b2(:,1).*b2(:,3))))./(2.*b2(:,1)),(-b2(:,2)-sqrt(b2(:,2).^2-(4.*b2(:,1).*b2(:,3))))./(2.*b2(:,1))]; t32=2*atan(Y32);
Anexo I
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% % % % % b3=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct23+K(:,5),a3(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct23+K(:,5)]; Y33=[(-b3(:,2)+sqrt(b3(:,2).^2-(4.*b3(:,1).*b3(:,3))))./(2.*b3(:,1)),(-b3(:,2)-sqrt(b3(:,2).^2-(4.*b3(:,1).*b3(:,3))))./(2.*b3(:,1))]; t33=2*atan(Y33); % % b4=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct24+K(:,5),a4(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct24+K(:,5)]; Y34=[(-b4(:,2)+sqrt(b4(:,2).^2-(4.*b4(:,1).*b4(:,3))))./(2.*b4(:,1)),(-b4(:,2)-sqrt(b4(:,2).^2-(4.*b4(:,1).*b4(:,3))))./(2.*b4(:,1))]; t34=2*atan(Y34); % % % % b5=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct25+K(:,5),a5(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct25+K(:,5)]; Y35=[(-b5(:,2)+sqrt(b5(:,2).^2-(4.*b5(:,1).*b5(:,3))))./(2.*b5(:,1)),(-b5(:,2)-sqrt(b5(:,2).^2-(4.*b5(:,1).*b5(:,3))))./(2.*b5(:,1))]; t35=2*atan(Y35); b6=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct26+K(:,5),a6(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct26+K(:,5)]; Y36=[(-b6(:,2)+sqrt(b6(:,2).^2-(4.*b6(:,1).*b6(:,3))))./(2.*b6(:,1)),(-b6(:,2)-sqrt(b6(:,2).^2-(4.*b6(:,1).*b6(:,3))))./(2.*b6(:,1))]; t36=2*atan(Y36); b7=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct27+K(:,5),a7(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct27+K(:,5)]; Y37=[(-b7(:,2)+sqrt(b7(:,2).^2-(4.*b7(:,1).*b7(:,3))))./(2.*b7(:,1)),(-b7(:,2)-sqrt(b7(:,2).^2-(4.*b7(:,1).*b7(:,3))))./(2.*b7(:,1))]; t37=2*atan(Y37); %% Posición de barra 1 r0=sqrt((x0).^2+(y0).^2); t=atan(y0./x0); R0=r0.*exp(i*t); R1=R0+r1.*exp(i*t0); %% Posición de barra 2 R2=R0+r2.*exp(i*(t2+t0)); R21=R0+r2.*exp(i*(t21+t0)); R22=R0+r2.*exp(i*(t22+t0)); R23=R0+r2.*exp(i*(t23+t0)); R24=R0+r2.*exp(i*(t24+t0)); R25=R0+r2.*exp(i*(t25+t0)); R26=R0+r2.*exp(i*(t26+t0)); R27=R0+r2.*exp(i*(t27+t0)); %% Posición de barra 3 R3=R2+r3.*exp(i*(t3(:,2)+t0)); R31=R21+r3.*exp(i*(t31(:,2)+t0)); R32=R22+r3.*exp(i*(t32(:,2)+t0)); R33=R23+r3.*exp(i*(t33(:,2)+t0)); R34=R24+r3.*exp(i*(t34(:,2)+t0)); R35=R25+r3.*exp(i*(t35(:,2)+t0)); R36=R26+r3.*exp(i*(t36(:,2)+t0)); R37=R27+r3.*exp(i*(t37(:,2)+t0)); %% Posición de barra 4 R4=R1+r4.*exp(i*(t4(:,2)+t0));
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R41=R1+r4.*exp(i*(t41(:,2)+t0)); R42=R1+r4.*exp(i*(t42(:,2)+t0)); R43=R1+r4.*exp(i*(t43(:,2)+t0)); R44=R1+r4.*exp(i*(t44(:,2)+t0)); R45=R1+r4.*exp(i*(t45(:,2)+t0)); R46=R1+r4.*exp(i*(t46(:,2)+t0)); R47=R1+r4.*exp(i*(t47(:,2)+t0)); %% Posición de barra rcx Rcx=R2+rcx.*exp(i*(t3(:,2)+t0)); Rcx1=R21+rcx.*exp(i*(t31(:,2)+t0)); Rcx2=R22+rcx.*exp(i*(t32(:,2)+t0)); Rcx3=R23+rcx.*exp(i*(t33(:,2)+t0)); Rcx4=R24+rcx.*exp(i*(t34(:,2)+t0)); Rcx5=R25+rcx.*exp(i*(t35(:,2)+t0)); Rcx6=R26+rcx.*exp(i*(t36(:,2)+t0)); Rcx7=R27+rcx.*exp(i*(t37(:,2)+t0)); % %% Posición de barra rcy Rcy=Rcx+rcy.*exp(i*(t0+t3(:,2)+(pi/2))); Rcy1=Rcx1+rcy.*exp(i*(t0+t31(:,2)+(pi/2))); Rcy2=Rcx2+rcy.*exp(i*(t0+t32(:,2)+(pi/2))); Rcy3=Rcx3+rcy.*exp(i*(t0+t33(:,2)+(pi/2))); Rcy4=Rcx4+rcy.*exp(i*(t0+t34(:,2)+(pi/2))); Rcy5=Rcx5+rcy.*exp(i*(t0+t35(:,2)+(pi/2))); Rcy6=Rcx6+rcy.*exp(i*(t0+t36(:,2)+(pi/2))); Rcy7=Rcx7+rcy.*exp(i*(t0+t37(:,2)+(pi/2))); function grafica(x0,y0,r1,r2,r3,r4,rcx,rcy,t0,t2,t21,t22,t23,t24,t25,t26,t27)% clf; axis([-10 150 -10 150]); global er gen % xd=[0 20 40]; % yd=[128 133.09 128]; xd=[12.88 22.5 26.15 30 31.92 33.08 33.65 34.61 35.38 35.96 34.81 30 20]; yd=[53.57 55.68 58.18 63.17 67.40 70.66 74.89 80.46 89.30 98.33 112.35 125.41 133.09]; % %% posicbarras; %% line(real([0 R0]),imag([0 R0]),'Color',[.08 .08 .08],'LineStyle','--','LineWidth',.3);%ok line(real([R0 R1]),imag([R0 R1]),'Color',[.7 .7 .7],'LineWidth',2);%ok line(real([Rcy Rcy]),imag([Rcy Rcy]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy Rcy1]),imag([Rcy Rcy1]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy1 Rcy2]),imag([Rcy1 Rcy2]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy2 Rcy3]),imag([Rcy2 Rcy3]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy3 Rcy4]),imag([Rcy3 Rcy4]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2);
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line(real([Rcy4 Rcy5]),imag([Rcy4 Rcy5]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy5 Rcy6]),imag([Rcy5 Rcy6]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy6 Rcy7]),imag([Rcy5 Rcy7]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); hold on; plot(xd,yd,'*'); line(xd,yd,'Color','r','Marker','o','LineWidth',1) ylabel('Valores de Y deseada') xlabel(' Cuatro Eslabones Valores de x deseada ') title(['Error:',num2str(min(er)),' generación:',num2str(gen),' tiempo:',num2str(toc),'seg' ]); drawnow %seleccion,cruce y mutación function Po=secruymu(nbits,Prbc,Prbm,Po,evalfunob,rege,MB) %% Selección por ruleta fsum=(sum(evalfunob)); %suma total de la función peso=evalfunob/fsum; %rango de peso para cada individuo normalizado sumacu=cumsum(peso); %suma acumulada de los pesos [ni,lgcr]=size(Po); % tamaño de la suma acumulada k=fix(ni/2); ma=ones(ni,1); % arreglo de uno del tamaño del numero de individuos %% for i = 1:k b=ni-i+1; ma(i,1)=find(sumacu>rand,1); ma(b,1)=find(sumacu>rand,1); end Padres(:,:)=Po(ma,:); %población seleccionada para cruce simple %% Reproducción %Cruce simple en un punto Hijos=Padres; %lgcr=sum(nbits); % d=floor(1+(ni-1)*Prbc); %cantidad de individuos a ser cruzados c=(floor(1+(ni-1)*rand(d,2))); %parejas seleccionadas m=length(c); pc=floor(1+(lgcr-1)*rand(m,1)); %punto de cruce de las parejas seleccionadas Hijos(c(:,1),:)=[Padres(c(:,1),1:pc), Padres(c(:,2),pc+1:lgcr)];%posicion de la poblacion a reinsercion de hijos %% Mutación hijosmutados=Hijos;mlmt=1; sm=length(c(:,1)); a=rand(sm,1); m=find(a<Prbm); b=floor(1+(lgcr-1)*rand(length(m),mlmt)); % hijosmutados(c(m,1),b)=char(abs(double(hijosmutados(c(m,1),b)-'0')-eye(length(m)))+'0');%opcion original
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hijosmutados(c(m,1),b)=char(abs(double(hijosmutados(c(m,1),b)-'0')-repmat(eye(length(m)),1,mlmt))+'0');%opcion modificada Po=hijosmutados; function [R,seg,f_actual,f_anter,er,MB,Ci]=resultados(f_actual,f_anter,bestind,mm,Ci,seg,error,gen,R,x,er,MB) if f_actual>=f_anter f_anter=f_actual; %funcion anterior toma el valor defuncion actual MB=bestind; %MB toma el valor del mejor individuo Ci=x(mm,:);% Las condiciones iniciales toman la posición mm en cualquier columna R=[R;[gen seg error(mm) Ci] toc f_anter]; er=min(error(mm)); %vale el minimo del error seg=seg+1; end %Condiciones de grashof M=[]; si=0; ii=0; while ii < ni [Po,nbits]=genepob(restriccion,p,ni); x=decodificacion(restriccion,Po,nbits); %decodificacion r1=x(:,3); r2=x(:,4); r3=x(:,5); r4=x(:,6); G1=r1+r4; G2=r3+r2; G3=(r4<r3 & r3<r2 & r2<r1); GR1=(G1<G2); GR2=and(GR1,G3); GR3=and(GR1,GR2); [M,N]=find(GR3==1); POB(ii+1:ii+length(M),:)=Po(M,:); ii=ii+length(M); end M; %% Regeneracion rege=0.55; [ni,lgcr]=size(Po); regen=fix(ni*rege); Pora=char(fix(rand(regen,lgcr)*2)+'0'); c=(2:rege-1)'; Po(c,:)=Pora(c,:); Po(ni,:)=MB; Po(1,:)=MB; %end function [Po,nbits]=genepob(restriccion,p,ni) nbits=(ceil(log((restriccion(:,2)-restriccion(:,1)).*10.^p)/log(2))); %cálculo del #bits Michalewicz pg. 19 if (times((restriccion(:,2)-restriccion(:,1)),10.^p))>(power(2,nbits));
Anexo I
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nbits=(nbits-1);end nbits=nbits';%numero de bits para cada variable lgcr=sum(nbits); %longitud del cromosoma Po=char(fix(rand(ni,lgcr)*2)+'0'); %generación aleatoria de la población end function [f_actual,bestind,mm,fprom]=elitismo(evalfunob,ni,Po) fsum=(sum(evalfunob)); %suma total de la función fprom=(fsum/ni); %promedio total de la función f_actual=(max(evalfunob));%funcion actual toma el valor maximo de la evaluacion de la función mm=find(f_actual==evalfunob,1); %mm busca el valor de la posición del mejor valor bestind=Po(mm,:); %bestind toma el valor de la posicion del mejor valor en la fila mm cualquier columna end function x=decodificacion(restriccion,Po,nbits) Pob=Po-'0'; %Poblacion decodificada, '0' para indicar que es un caracter nbits0=0; for i=1:length(nbits) x(:,i)=restriccion(i,1)+(Pob(:,nbits0+1:nbits0+nbits(1,i))*pow2(nbits(1,i)-1:-1:0)')*((restriccion(i,2)-restriccion(i,1))/(2^(nbits(1,i))-1)); nbits0=nbits0+nbits(1,i); end
Anexo I
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ANEXO II EVOLUCION DEL MECANISMO DE 4 BARRAS PROTESIS ANEXO III EVLUCION DE LA TRAYECTORIA MECANISMO DE 4 BARRAS PROTESIS ANEXO IV EVOLUCION MECANISMO DE 6 BARRAS TIPO WATTP ROTESIS ANEXO VI EVOLUCION TRAYECTORIA MECANISMO 6 BARRAS TIPO WATT PROTESIS ANEXO VII PROGRAMA DINAMICO PARA ANALISIS DE MECANISMOS (ADAMS) ANEXO VIII SIMULACIONES DE LA PROTESIS, MATLAB, NASTRAN , FOTOS MECANISMO
Anexo I
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ANEXO IX
PUBLICACIONES DERIVADAS DE ESTE TRABAJO
PUBLICACIONES
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Autor. “Solución a funciones específicas aplicando algoritmos genéticos como método de
optimización”. VII encuentro participación de la mujer en la ciencia”. Del 26 al 28 de Mayo
2010. León Guanajuato, México.
Autor. “Síntesis de un mecanismos de 6 barras para varios puntos de precisión”. XI Congreso
Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. Del 9 al 13 de Noviembre 2009.
Distrito Federal, México.
Autor.”Aplicación de los algoritmos genéticos para el seguimiento y generación de
trayectorias en mecanismos articulados”. VII Congreso Internacional en Innovación y
Desarrollo Tecnológico. Del 7 al 9 de octubre de 2009. Cuernavaca, Morelos, México.
Autor. “Mecanismos articulados analizados con algoritmos genéticos”. XV Congreso
internacional anual de la SOMIM. Del 23 al 25 de septiembre 2009. Cd. Obregón, Sonora,
México.
Autor. “Aplicación de los algoritmos genéticos para el seguimiento y generación de
trayectorias en mecanismos articulados”. VI encuentro participación de la mujer en la
ciencia”. Del 13 al 15 de Mayo 2009. León Guanajuato, México.
Autor. “Algoritmos genéticos aplicados a síntesis de mecanismos” .V Congreso Cubano de
Ingeniería Mecánica (V CCIM), 14 Convención Científica de Ingeniería y Arquitectura,
(CCIA 2008) del Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría (ISPJAE). Del 1 al 5
de Diciembre del 2008. La Habana, Cuba.
Autor. “Optimización para la síntesis de mecanismos”. 5° Congreso Internacional de
Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. Del 10 al 15 de Noviembre del 2008. México D.F.
Autor. “Mecanismos analizados con algoritmos genéticos y métodos analíticos”. XIV
Congreso Internacional Anual de la SOMIM y Congreso Internacional de Metal Mecánica,
ISBN: 978-968-9773-03-8. Del 17 al 19 de Septiembre de 2008, Cholula, Puebla, México.
Autor. “Síntesis de mecanismos de 4 barras con métodos tradicionales y algoritmos
genéticos”. Tercer Congreso Científico Tecnológico de la Carrera de IME de la UNAM-FES
Cuautitlán. Del 1 al 5 de Septiembre de 2008. Estado de México.
Autor. “Mecanismos con aplicación en prótesis de miembro inferior”. 1er. Congreso de
Investigación: la Nueva Era del Conocimiento. Universidad de Cuautitlán Izcalli. Del 28 al 30
de Mayo del 2008. Estado de México.
PUBLICACIONES
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Autor. “Análisis y Síntesis de Mecanismos de 6 barras para una prótesis de miembro
inferior”. En el 10º Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. Del 19 al
23 de Noviembre 2007. México, D.F
Autor. “Síntesis de mecanismos para prótesis de mimbro inferior mediante algoritmos
genéticos”. En el XIII Congreso Internacional de la SOMIM y Congreso Internacional de
Metal Mecánica 2007. Sede SOMIM e Instituto Tecnológico de Durango. Del 19 al 21 de
Septiembre del 2007. Durango, Dgo. México.
Autor. “Algoritmos genéticos aplicados a la síntesis de mecanismos”. 2º Congreso Científico
Tecnológico IME. Sede Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios
Superiores Cuautitlán. Septiembre del 2007. Estado de México.
Autor. “Diseño de un sistema de control para la fase de fermentación del mezcal”. 1er
Encuentro de investigadores y alumnos PIFI, participantes en proyectos de investigación.
Del 23 al 27 de mayo 2005. México D.F.
Publicaciones en revista.
Autor. “Syntesys optimization of planar mechanism”. Applied Mechanical and Materials.
Reino Unido. 2009. ISSN: 1660-9336. Vol. 15, No. 1, PP: 55-60.