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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD ZACATENCO DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

ESTUDIO DE ESTABILIDAD ANGULAR DE UN

SISTEMA DE DOS ÁREAS ANTE PEQUEÑOS DISTURBIOS CON LÍNEA DE CORRIENTE

DIRECTA.

TESI S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO

ELECTRICISTA

P R E S E N T A N:

ELISA CAROLINA CLORIO VÁZQUEZ

GUADALUPE TORRES JASSO

PEDRO LUIS VÁZQUEZ HERNÁNDEZ ASESORES: M. en C. Christian Daniel Esperilla Villanueva Dr. Daniel Olguín Salinas M. en C. Manuel García López

MÉXICO, D. F. NOVIEMBRE 2012

ii

RESUMEN

El estudio de estabilidad angular ante pequeños disturbios es parte del análisis dinámico de un

Sistema Eléctrico de Potencia (SEP). La parte fundamental de este estudio, es determinar la

influencia que tiene un enlace de alta tensión de corriente directa (HVDC), con respecto a la

estabilidad angular de un sistema de dos áreas. Las líneas de HVDC tienen la habilidad de

controlar la magnitud y dirección de potencia transmitida rápidamente. Por lo tanto tiene un

impacto importante sobre la estabilidad del SEP.

En esta tesis se presenta el análisis de estabilidad angular ante pequeños disturbios considerando

la influencia de un enlace de HVDC, utilizando como herramienta la carpeta realizada por

Graham Rogers, para la simulación el paquete computacional MATLAB-7, resolviendo

diferentes sistemas de prueba para el sistema simple de dos áreas.

Para éste análisis, son consideradas diferentes simulaciones. Siendo la primera de ellas, donde se

utiliza el 100% de la transmisión de potencia activa en CA, esto con el fin de observar los flujos

de potencia que se tienen en el sistema, así como sus eigenvalores para poder determinar si el

sistema es estable o inestable. Para éste trabajo se presentan los estudios realizados con el

modelo de máquina subtransitorio y el modelo clásico.

Para la simulación donde se considera un enlace HVDC en el SEP, se transmite el 50% de la

potencia activa por medio del mismo enlace y el resto de la potencia activa se transmite por las

líneas de CA; donde se demostrará que con ayuda del enlace HVDC se mejora la estabilidad

angular del SEP, ya que los eigenvalores se desplazan hacia la izquierda del plan bidimensional.

iii

AGRADECIMIENTOS

Al Instituto Politécnico Nacional que ha sido nuestro orgullo y emblema desde hace 4 años,

puesto que más que una Institución, es un hogar en el que nos formamos con ética en el ámbito

cultural y académico.

En sus cimientos, nuestros fracasos se volvieron el coraje para emprender un nuevo camino

hacia el éxito, formándonos como seres íntegros. Por ello, seguiremos honrando con placer y

honor los colores guinda y blanco, ya que somos politécnicos por convicción y no por

circunstancia.

Así también se da nuestro más profundo y sincero agradecimiento a todas aquellas personas que

con su ayuda han colaborado en la realización del presente trabajo, en especial al M. en C.

Christian Daniel Esperilla Villanueva, director de esta investigación, por la orientación, el

seguimiento y la supervisión continúa de la misma, pero sobre todo por la motivación y el apoyo

recibido a lo largo de estos años.

Por su comprensión, apoyo y dedicación al M. en C. Manuel García López y Dr. Daniel Olguín

Salinas.

A los profesores, investigadores y amigos que dejaron en nosotros durante estos años

enseñanzas, consejos y su apoyo incondicional en nuestra formación académica, muchas gracias.

iv

ÍNDICE

RESUMEN ii

AGRADECIMIENTOS iii

ÍNDICE iv

LISTA DE FIGURAS vii

LISTA DE TABLAS ix

GLOSARIO x

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

1.1 INTRODUCCIÓN 1

1.2 OBJETIVOS 2

1.2.1 Objetivo General 2

1.3 JUSTIFICACIÓN 2

1.4 ESTADO DEL ARTE 3

1.5 VENTAJAS DE LOS ENLACES DE HVDC 4

1.6 ESTRUCTURA DE LA TESIS 6

CAPÍTULO 2

ASPECTOS GENERALES DE UNA LÍNEA DE HVDC

2.1 INTRODUCCIÓN 7

2.2 ESTABILIDAD 8

2.3 ESTUDIOS DE ESTABILIDAD ANTE PEQUEÑOS DISTURBIOS 8

2.3.1 Definición de conceptos relacionados con la estabilidad angular ante pequeños

disturbios

9

2.4 ASPECTOS GENERALES DE OSCILACIÓN 9

2.5 CLASIFICACION DE LOS ENLACES DE HVDC 10

2.5.1 Enlace de transmisión Monopolar 10

v

2.5.2 Enlace de transmisión Bipolar 10

2.5.3 Enlace de transmisión Homopolar 11

2.5.4 Transmisión por conversión local Back-to-Back 12

2.6 PUENTE DE DOCE PULSOS 12

2.7 MODOS DE OPERACIÓN 13

2.7.1 Conmutación forzada 13

2.8 COMPONENTES DE UN SISTEMA DE HVDC 13

2.8.1 Estaciones convertidoras 14

2.8.2 Transformador convertidor 14

2.8.3 Reactor serie 14

2.8.4 Filtros de CA y CD 14

2.8.5 Fuentes de potencia reactiva 15

2.9 CONTROL DEL ENLACE DE HVDC 15

2.9.1 Principio básico de control 15

2.9.2 Conceptos básicos para la selección del control 17

CAPÍTULO 3

MODELADO DE UN SISTEMA ELÉCTRICO DE DOS ÁREAS PARA LA

ESTABILIDAD ANGULAR ANTE PEQUEÑOS DISTURBIOS

3.1 INTRODUCCIÓN 19

3.2 ZONA A 20

3.2.1 Modelo Subtransitorio del Generador 20

3.2.2 Modelo Transitorio del Generador 21

3.2.3 Modelo Clásico del Generador 21

3.2.4 Modelo del Control de Voltaje y Estabilizador 22

3.2.5 Modelo del Control de Velocidad y Turbina 23

3.3 ZONA B 24

3.3.1 Modelo del Control de HVDC 24

3.4 ZONA C 28

3.4.1 Modelo del Enlace de HVDC 28

3.4.2 Modelo del Cable de HVDC 28

vi

CAPÍTULO 4

CASO DE ESTUDIO

4.1 INTRODUCCIÓN 30

4.2 DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA SIMPLE DE DOS ÁREAS 30

4.2.1 Caso de estudio 30

4.2.2 Resultados obtenidos 32

4.2.3 Oscilación en el SEP 38

CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 CONCLUSIONES GENERALES 41

5.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS 42

APÉNDICE A

Modelo clásico de la máquina síncrona 43

APÉNDICE B

Aspectos generales de oscilaciones 50

APÉNDICE C

Códigos de los sistemas 61

REFERENCIAS 65

vii

LISTA DE FIGURAS

CAPÍTULO 2

Figura 2.1 Clasificación de la estabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia 8

Figura 2.2 Enlace de transmisión Monopolar 10

Figura 2.3 Enlace de transmisión Bipolar 11

Figura 2.4 Enlace de transmisión Homopolar 11

Figura 2.5 Transmisión por conversión local (Back-to-Back) 12

Figura 2.6 Puente de doce pulsos 12

Figura 2.7 Conmutación forzada 13

Figura 2.8 Transmisión de una línea de HVDC 16

CAPÍTULO 3

Figura 3.1 Zonas del Sistema Eléctrico de Potencia 20

Figura 3.2 Modelo clásico de la máquina 21

Figura 3.3 Control de voltaje de la máquina síncrona 22

Figura 3.4 Control de gobernador con turbina 24

Figura 3.5 Diagrama de control del rectificador 25

Figura 3.6 Diagrama de control del inversor 26

Figura 3.7 Diagrama unifilar del enlace de HVDC 28

Figura 3.8 Diagrama unifilar del cable de HVDC 28

viii

CAPÍTULO 4

Figura 4.1 Diagrama unifilar del sistema de dos áreas 31

Figura 4.2 Diagrama unifilar de Flujos de Potencia con CA 34

Figura 4.3 Diagrama unifilar de Flujos de Potencia con Enlace de HVDC 37

Figura 4.4 Cambio en la velocidad del generador local 39

Figura 4.5 Cambio en la velocidad del generador interárea 39



ix

LISTA DE TABLAS

CAPÍTULO 4

Tabla 4.1 Datos de los buses.

31

Tabla 4.2 Datos de las líneas. 32

Tabla 4.3 Datos de los transformadores. 32

Tabla 4.4 Flujos de Potencia en los Buses Sin Enlace de HVDC. 33

Tabla 4.5 Flujos de Líneas con CA. 33

Tabla 4.6 Flujos de Potencia en los Buses Con Enlace de HVDC. 35

Tabla 4.7 Flujos de Potencia en la Líneas Con Enlace de HVDC. 36

Tabla 4.8 Influencia del enlace de HVDC en la estabilidad ante pequeños disturbios

considerando el modelo del generador clásico.

37

Tabla 4.9 Influencia del enlace de HVDC en la estabilidad ante pequeños disturbios

considerando el modelo del generador subtransitorio.

38

x

GLOSARIO

HVDC

Alta tensión de corriente directa

CD

Corriente directa

CA

Corriente alterna

N Número de puentes del convertidor

dI Corriente directa de la línea

SEP Sistema eléctrico de potencia

Graetz Configuración del puente trifásico

RP

Potencia activa en el lado del rectificador

IP

Potencia activa en el lado del inversor

RQ

Potencia reactiva en el lado del rectificador

IQ

Potencia reactiva en el lado del inversor

ar Cambiador de tap del rectificador

ai Cambiador de tap del inversor

P Potencia activa

Lc Inductancia de conmutación

Q Potencia reactiva

MVARs Mega Volts Amperes Reactivos

Taps Cambiador en derivación

IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers

coV

Máximo voltaje CD promedio (no hay carga en el disparo del ángulo)

dV

Voltaje de CD del convertidor

Van Voltaje de la línea a neutro de la fase a

Vbn Voltaje de la línea a neutro de la fase b

Vcn Voltaje de la línea a neutro de la fase c

Vdorcos Voltaje de CD del rectificador debido al ángulo de disparo

Vdoicos Voltaje de CD del inversor debido al ángulo de disparo

Rd Resistencia del puente convertidor

Rcr Resistencia del puente rectificador

Rci Resistencia del puente inversor

xi

drS

Potencia compleja en las terminales de CD del rectificador

diS

Potencia compleja en las terminales de CD del inversor

Vterm Voltaje en terminales del convertidor CA

Pd Potencia activa de CD

Rl Resistencia de línea de CD

ll

Inductancia de línea CD

Npr Número de puentes en el rectificador

Npi Número de puentes en el inversor

r

Angulo de disparo del rectificador

i Angulo de disparo del inversor

XC Reactancia de conmutación del convertidor

XCr Reactancia de conmutación en el rectificador

XCi Reactancia de conmutación en el inversor

x Vector de estado de dimensión n

A Parte lineal de las ecuaciones de estado

B Matriz de control o de entrada de dimensión n x r

i-ésimo eigenvalor

ki K-ésima entrada del eigenvector derecho ki

ki K-ésima entrada del eigenvector izquierdo ki

Pki Factor de participación relacionada con la k-ésima variable de estado al i-ésimo

eigenvalor

Ángulo de carga eléctrico del rotor

Velocidad angular eléctrica del rotor

0 Velocidad inicial

H Constante de inercia

KD Coeficiente de amortiguamiento

Xd Reactancia del eje directo

Xq Reactancia propia del devanado en el eje en cuadratura

E’q Voltaje proporcional a los enlaces de flujo del devanado de campo

-E’d Voltaje proporcional a los enlaces de flujo del devanado de amortiguamiento en el

eje q, kq1

E’’

qi Voltaje proporcional a los enlaces de flujo del devanado de amortiguamiento en el

xii

eje d, kd.

-E’’

d Voltaje proporcional a los enlaces de flujo del devanado de amortiguamiento en el

eje q, kq2

x’d Reactancia transitoria en el eje directo

x’’

d Reactancia subtransitoria en el eje directo

T’d0 Constante de tiempo transitoria de circuito abierto

T’’d0 Constante de tiempo subtransitoria de circuito abierto

x’q Reactancia transitoria en el eje directo

x’’

q Reactancia subtransitoria en el eje directo

T’q0 Constante de tiempo transitoria de circuito abierto

T’’q0 Constante de tiempo subtransitoria de circuito abierto

Vdor Voltaje de cd en el rectificador

Vdoi Voltaje del puente inversor

icc Corriente en derivación

idc_ord Corriente de referencia

idr Corriente del rectificador

Vdoi Voltaje del puente inversor

idr_mod Corriente de modulación

CAPÍTULO

1

INTRODUCCIÓN

1.1 INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se estudia la estabilidad angular ante pequeños disturbios considerando

la influencia de un enlace de HVDC, el cual tiene un impacto importante en cuanto a la

estabilidad de los sistemas. Uno de los grandes problemas dinámicos que se tiene en los SEP’s,

es la inestabilidad que éste tipo de sistemas pueden llegar a tener, debido a la producción de

oscilaciones electromecánicas con baja frecuencia, provocadas por pequeñas perturbaciones,

siendo causadas por cambios normales en la operación diaria de las redes eléctricas, que a su

vez, producen desbalances en la potencia mecánica y eléctrica; principalmente en los rotores de

las máquinas síncronas, al oscilar en forma relativa unas con otras.

Cuando los generadores de corriente alterna eran accionados por máquinas de vapor alternativas,

uno de los problemas fundamentales de servicio era el de las oscilaciones. Las variaciones

periódicas en el par aplicado a los generadores, originaba variaciones periódicas de velocidad.

Las variaciones periódicas resultantes en la tensión y la frecuencia se trasmitían a los motores

conectados al sistema. Las oscilaciones de los motores, originadas por las variaciones de tensión

y frecuencia, hacían que, a veces, perdieran completamente el sincronismo, si su frecuencia

natural de oscilación coincidía con la frecuencia de oscilación originada por las máquinas de

accionamiento de los generadores. Se utilizaron principalmente arrollamientos amortiguadores

con el fin de reducir al mínimo la oscilación, aprovechando la acción amortiguadora de las

pérdidas originadas por las corrientes inducidas en dichos arrollamientos, por cualquier

movimiento relativo entre el rotor y el campo giratorio establecido por la corriente en el

inducido. El empleo de las turbinas ha reducido el problema de la oscilación aunque todavía

INTRODUCCIÓN Capítulo 1

- 2 -

subsiste cuando el accionamiento se realiza con un motor diesel. Sin embargo, el mantenimiento

del sincronismo entre las diversas partes de un sistema de energía se hace cada vez más difícil a

medida que crecen los sistemas y sus interconexiones, La tendencia de un sistema, o de sus

partes componentes, a desarrollar fuerzas para mantener el sincronismo y el equilibrio, se conoce

como estabilidad [3].

Una definición de estabilidad es considerarla como la condición entre máquinas sincrónicas en

las cuales las posiciones angulares de los rotores de las máquinas relativas entre sí permanecen

constantes cuando no hay perturbaciones o se hacen constantes cuando se presenta un

perturbación aperiódica [3].

1.2 OBJETIVO

1.2.1 Objetivo General

Mejorar la estabilidad Angular de un sistema de dos áreas ante pequeños disturbios

implementando una línea de corriente directa.

1.3 JUSTIFICACIÓN

Debido al crecimiento anual de la carga del Sistema Eléctrico Nacional, ha sido necesario

indagar e implementar formas alternas para incrementar la estabilidad y confiabilidad del

sistema, es por ello que se mostró interés en los sistemas de HVDC, los cuales presentan

múltiples ventajas, una de ellas es que dichos sistemas tienen la habilidad de controlar la

potencia transmitida rápidamente, por lo tanto, tienen un impacto importante sobre la estabilidad

de las redes de energía de CA asociadas.


- 3 -

1.4 ESTADO DEL ARTE

El primer uso comercial aplicado del HVDC se dio entre Suecia continental y la isla de Gotland

en el Mar Báltico en el año 1954. Era una técnica prácticamente desconocida en cualquier parte

del mundo, el enlace fue submarino, utilizó válvulas de arco de mercurio con una distancia del

enlace de 90 km con una capacidad de 20 MW; desde entonces, en el ámbito eléctrico ha habido

un aumento constante de la transmisión de alto voltaje de corriente directa, así como día a día se

han ido descubriendo sus grandes ventajas [1,4,5,6].

Con la innovación de los convertidores de válvulas de tiristores, la transmisión de HVDC llegó a

ser mucho más atractiva. El primer sistema de transmisión que utilizó esta técnica se dio en el

año de 1972, fué un sistema el cual utilizó la técnica back-to-back con una capacidad de

320MW, interconectando la provincia canadiense de Nuevo Brunswick y Québec [4,7].

En diferentes partes del mundo se han realizado estudios de proyectos para incorporar enlaces

de HVDC. Uno de los proyectos más recientes fueron realizados por los autores B. Zohouri

Zangeneh, A. Shoulaie, en el año 2003, quienes utilizan un simulador con paso de tiempo óptimo

por sus siglas en ingles (SOST), los cuales realizaron estudios en estado estacionario y estudios

de estabilidad [8,9].

En México, en 1962 se dieron los primeros intentos por introducir la tecnología de transmisión

en HVDC, uno de los pioneros en esta investigación es el Dr. Alfredo Nava Segura [10], su

trabajo presenta algunos de los rasgos distintivos de la transmisión de energía eléctrica con

corriente continua (CC) y un resumen de los diferentes intentos realizados para introducir la

tecnología de transmisión de HVDC en nuestro país. Asimismo, incluye las actividades

realizadas tanto en los campos de educación superior como la investigación para fortalecer el

conocimiento en ese campo de los Sistemas de Potencia. Por último el autor presenta sus puntos

de vista acerca de las perspectivas de utilización de la transmisión de energía eléctrica en nuestro

país.


- 4 -

En el año 2002, una investigación más reciente de esta tecnología fue hecha por el Dr. Arturo

Román Messina [11], quien en su trabajo presenta la investigación de métodos y técnicas de

análisis lineal al estudio de estabilidad angular en sistemas híbridos CA/CD, con un énfasis en el

control de oscilaciones electromecánicas entre áreas o grupos de generadores. Otra de las

investigaciones mas recientes en nuestro país fue realizada por Christian Daniel Esperilla

Villanueva [31], quien en su trabajo describe las diferentes configuraciones de un enlace de

HVDC. Dicho trabajo fue tomado en cuenta para obtener las condiciones iniciales del sistema y

aplicarlo al estudio de estabilidad ante pequeños disturbios [30].

1.5 VENTAJAS DE LOS ENLACES DE HVDC

Las interconexiones utilizadas en condiciones de emergencia, son necesarias para prevenir la

falta de suministro prolongado ante disturbios que afectan la red o el equipo de transmisión, así

como para apoyar el restablecimiento de sistemas en caso de apagones.

La técnica de transmisión de energía en CD ha dado prueba de ser un medio práctico para

transportar grandes cantidades de energía eléctrica a través de distancias de transmisión largas.

En dichos estudios se deben tener en cuenta diversos criterios, a la hora de elegir entre un

sistema de corriente CA y un sistema de HVDC en la transmisión de energía eléctrica. Como en

todo proyecto se realizan estudios de confiabilidad y económicos con la finalidad de ofrecer un

mejor servicio, es por eso que presentamos algunos aspectos a tomar en cuenta los cuales son

[1,4]:

Cuánta potencia se planea transmitir entre los sistemas y en qué dirección.

Entre que subestaciones deberán instalarse la interconexión.

Cuáles son los requerimientos de confiabilidad.

La frecuencia de los sistemas es la misma.

Aspectos medioambientales permisos.

Es confiable y económico.


- 5 -

Cuando ya se tomó en cuenta lo anterior, ahora podemos definir que existen dos soluciones

completamente diferentes para la interconexión de dos redes de potencia:

Un enlace síncrono.

Un enlace asíncrono.

Un enlace síncrono es la solución natural si las frecuencias de las dos redes a interconectar son

las mismas; si no fuera así, la solución natural es un enlace asíncrono. Aún siendo las frecuencias

de las dos redes a interconectar la misma, hay casos donde un enlace en CA no satisface los

requerimientos impuestos a la interconexión ó es más cara que un enlace en CD [12].

La transición utilizando los enlaces de HVDC presenta múltiples ventajas comparadas con los

sistemas de CA.

Un disturbio en algunas de las redes que afecte la frecuencia no afecta la potencia

transmitida.

No hay riesgo de inestabilidad en la interconexión.

Mantiene un control eficiente de flujos de potencia.

Transmisión aérea a grandes distancias.

Transmisión submarina.

Transmisión subterránea.

Mantiene niveles relativamente altos de estabilidad en el sistema de CA.


- 6 -

1.6 ESTRUCTURA DE LA TÉSIS

En esta sección se da una breve descripción del contenido de cada uno de los capítulos

propuestos este trabajo de tesis:

En el Capítulo 1. Se presenta la introducción del problema para incorporar el

modelo de un enlace de HVDC en estudios de estabilidad angular ante pequeños

disturbios, se muestra el objetivo pretendido. Así como las diferentes ventajas que se

tienen de las líneas de CD sobre las líneas de CA.

En el Capitulo 2. Se presentan los conceptos y definiciones fundamentales para

poder llevar a cabo un estudio con la influencia de una línea de CD, por otro lado se

observan los elementos que componen a dicho enlace.

En el Capítulo 3. Se muestra el panorama de los diversos modelos matemáticos

para realizar un estudio de estabilidad angular ante pequeños disturbios en un SEP.

En el Capítulo 4. Se podrán observar los resultados obtenidos en MATLAB, de las

diferentes simulaciones que se realizaron al sistema simple de dos áreas.

En el Capítulo 5. Se presentan las conclusiones generales del trabajo de tesis

realizado, asi como los trabajos a futuro.

Apéndice A. Modelo clásico de la maquina síncrona.

Apéndice B. Aspectos generales de oscilaciones.

Apéndice C. Códigos de los sistemas.

CAPÍTULO

2

ASPECTOS GENERALES DE UNA LÍNEA

DE HVDC.

2.1 INTRODUCCIÓN

Existen convertidores de CA-CD y convertidores de CD-CA. Estos son importantes debido a

que muchas de las aplicaciones de la energía eléctrica, en el campo de la transmisión y

comunicación requieren el uso de CD. En esta tesis se utilizaron los convertidores CA-CD para

la transmisión de energía. En la conversión de CA-CD (se le llama rectificador) y posteriormente

CD-CA (se le llama inversor).

La principal característica de los convertidores de CA-CD y CD-CA, es la utilización de

tiristores o SCR (Silicon-Controlled Rectifiers). Esto resulta en un convertidor con dispositivos

semicontrolados, dado que este circuito permite seleccionar el momento (ángulo) de disparo o

conexión durante la polarización directa del dispositivo, pero no es posible controlar el corte, que

no llegará hasta que sea polarizado inversamente. Los convertidores de CA-CD y CD-CA son los

elementos principales en la transmisión de HVDC [6,7y8].

Este capítulo se presenta una breve descripción del funcionamiento de los convertidores de CA-

CD y CD-CA, así como las configuraciones del sistema de HVDC, tipo de conexiones y los

componentes del sistema HVDC.

ASPECTOS GENERALES DE UNA LÍNEA DE HVDC Capítulo 2

- 8 -

2.2 ESTABILIDAD

Los estudios de estabilidad que evalúan el impacto de los disturbios en el comportamiento

dinámico electromecánico de los sistemas de potencia son de dos tipos: transitorios y de estado

estable. Un sistema de potencia esta en condición de operación de estado estable si todas las

cantidades físicas que se miden (o se calculan) y que describen la condición de operación del

sistema, se pueden considerar constantes para propósitos de análisis. Si, cuando se está en una

condición de estado estable, ocurre un cambio repentino o una secuencia de cambios en uno o

más parámetros del sistema, o en una o más de sus cantidades de operación, se dice que el

sistema experimenta un disturbio de su condición de operación de estado estable. Los disturbios

pueden ser grandes o pequeños de acuerdo con su origen.

El sistema de potencia es estable en su estado estable para una condición de operación particular

de estado estable si, después de que ocurre un disturbio pequeño, regresa esencialmente a la

misma condición de operación de estado estable [16].

2.3 ESTUDIOS DE ESTABILIDAD ANTE PEQUEÑOS DISTURBIOS.

En la actualidad, existen diversos comportamientos de estabilidad en los sistemas eléctricos de

potencia tanto de tipo transitoria como estática o pequeño disturbio. Estos fenómenos cubren un

rango de tiempo, como se puede ver en la Figura 2.1 [21 y 22].


- 9 -

Estabilidad ante Pequeños Disturbios

Estabilidad ante Grandes Disturbios

Estabilidad en los Sistemas Eléctricos

de potencia

Periodos de Tiempo Corto

Estabilidad ante Pequeños Disturbios

Estabilidad ante Grandes Disturbios



Periodos de Tiempo Largos

Periodos de Tiempo Largos

Estabilidad Angular

Estabilidad de Voltaje

Estabilidad de Frecuencia

Figura 2.1 Clasificación de la estabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia.

2.3.1 Definición de conceptos relacionados con la estabilidad angular ante pequeños

disturbios.

La estabilidad angular es la habilidad de las máquinas síncronas de un sistema eléctrico de

potencia de permanecer en sincronismo. La pérdida de sincronismo puede ocurrir entre una

máquina y el resto del sistema o entre grupos de máquinas [22].

En cuanto a la estabilidad ante pequeños disturbios es cuando un “punto de equilibrio” de un

sistema inicia su dinámica y permanece cerca de él o quizás tienda hacia el conforme pasa el

tiempo o puede mantenerse sobre un círculo dando vueltas indefinidamente lo que importa es

que se mantenga así y también es estable. Es la habilidad del sistema de restablecer su condición

inicial después de un pequeño disturbio o de alcanzar la más cercana condición inicial [22].

2.4 ASPECTOS GENERALES DE OSCILACION

Las causas de la pérdida de estabilidad durante la oscilación del sistema dependen de la

magnitud de la perturbación. Es decir, depende de que la oscilación sea de pequeña señal, o de

que la perturbación sea considerable. En el primer caso se habla de la estabilidad ante pequeños

disturbios y en el segundo de la estabilidad transitoria.


- 10 -

En el caso de la estabilidad ante pequeños disturbios, la inestabilidad puede darse por falta de par

sincronizante, o bien por falta de amortiguamiento en las oscilaciones siguientes [1].

2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS ENLACES DE (HVDC)

La tecnología de HVDC permite la implementación de una u otra configuración en lo que

respecta a los tipos de enlace ya sea monopolar, bipolar u homopolar del sistema dependiendo de

las diferentes necesidades que tenga el sistema.

2.5.1 Enlace de transmisión Monopolar.

Utiliza solamente un conductor para transmitir la energía eléctrica como se ve en la Figura 2.2.

El retorno se realiza mediante electrodos conectados a las estaciones de conversión, que hacen

las funciones de ánodo y cátodo. Este tipo de conexiones se utiliza cuando los sistemas a

conectar están separados por grandes distancias y donde la no instalación del cable de retorno

puede suponer un ahorro considerable. También se utiliza en sistemas submarinos, donde el mar

realiza la función de retorno, ofreciendo menores perdidas que un conductor metálico, o cuando

no es posible utilizar una de las fases de una conexión bipolar.

Figura 2.2 Enlace de transmisión Monopolar.

2.5.2 Enlace de transmisión Bipolar.

Esta es utilizada cuando se supera la capacidad de un enlace monopolar, la mayoría de los

enlaces HVDC con línea aérea son construidos en forma bipolar. En términos de confiabilidad

estos son equivalentes a un doble circuito en corriente alterna ya que cada polo puede ser

operado en forma independiente de otro. En caso de que uno de los polos quede fuera de servicio

HTHT HLHL

pulsos12

dI


- 11 -

puede transmitir más de un 50% de la potencia total. Los enlaces bipolares pueden estar

conectados a tierra mediante electrodos o conectados entre ellos mediante un cable de retorno.

Sea cual sea el sistema, este electrodo tan sólo lleva la diferencia entre ambos polos. Su función

es similar a la del neutro en un sistema trifásico como puede verse en la Figura 2.3.

Figura 2.3 Enlace de transmisión Bipolar.

2.5.3 Enlace de transmisión Homopolar.

Esta conexión comprende dos o más conductores con la misma polaridad, por lo general

negativa, y siempre operando con el retorno por tierra. En este arreglo cada estación convertidora

consiste de un polo positivo y un polo negativo, cada polo consta de dos convertidores trifásicos

conectados a través de un transformados Y-Y y Y- Δ para producir un arreglo de 12 pulsos,

como puede verse en la Figura 2.4. Su principal desventaja es que la corriente de retorno por

tierra puede tener efectos sobre las tuberías de gas o petróleo que estén a pocos kilómetros de los

sistemas de electrodos. Las tuberías pueden servir como conductoras de la corriente de retorno la

cual puede causar corrosión en el metal.

HTHT HLHL

ctificadorRe Inversor

pulsos12


- 12 -

Figura 2.4 Enlace de transmisión Homopolar.

2.5.4 Transmisión por conversión local (back-to-back).

Esta conexión es utilizada para conectar dos sistemas asíncronos muy cercanos (es decir cuando

dos sistemas previamente separados utilizan diferentes frecuencias). Esta configuración no

necesita línea de transmisión entre los equipos rectificadores e inversores, ya que se encuentran

en la misma instalación. Las conexiones pueden ser monopolares o bipolares, como puede verse

en la Figura 2.5.

Figura 2.5 Transmisión por conversión local (Back-to-Back).

2.6 PUENTE DE DOCE PULSOS

Dos puentes conectados constituyen un convertidor de 12 pulsos como se muestra en la Figura

2.6, la configuración más comúnmente usada en la transmisión de alta tensión a larga distancia.

Cada polo consiste de dos convertidores trifásicos de seis pulsos conectados a través de un

HTHT HLHL

ctificadorRe Inversor

pulsos12

dI

dI

HTHT HLHL

pulsos12

dI


- 13 -

transformador Y-Y y un transformador Y-Δ los cuales son conectados en serie en el lado de CD

y en paralelo en el lado de CA.

Figura 2.6 Puente de doce pulsos.

2.7 MODOS DE OPERACIÓN

2.7.1 Conmutación forzada.

El proceso de rectificación o inversión en una estación convertidora se obtiene a través de la

conmutación forzada. En este proceso las estaciones convertidoras actúan como interruptores

que se ponen en operación de manera secuencial de acuerdo a la señal de disparo como se

muestra con referencia a la Figura 2.7, la conmutación para las estaciones convertidoras puede

comenzar (por el disparo en un tiempo después que cruzan el voltaje superior entre las fases a y

b (y deben ser completadas antes de que crucen esos dos voltajes) [4, 14].

Figura 2.7 Conmutación forzada.


- 14 -

2.8 COMPONENTES DE UN SISTEMA DE HVDC

Un sistema de HVDC, consiste básicamente de una línea de transmisión de corriente directa que

interconecta dos sistemas de corriente alterna: la conexión del sistema de CD con el sistema de

CA se realiza mediante asociaciones convertidoras; una estación actúa como rectificador

mientras que la otra actúa como inversor. En ambos casos, las estaciones convertidoras operan

bajo el principio de conmutación natural de los voltajes de línea, permitiendo así que la

transmisión de potencia sea independiente de las frecuencias de los sistemas de corriente alterna

[1, 13].

En seguida se hace una descripción de los componentes de un sistema de HVDC.

2.8.1 Estaciones convertidoras

Es un dispositivo donde se lleva a cabo la conversión de CA a CD o viceversa. La posibilidad de

que la estación convertidora pueda operar como rectificador o como inversor hace posible la

inversión de la potencia de transmisión. Para transportar la energía utilizando HVDC, es

necesario convertirla de CA a CD para posteriormente realizar la transformación inversa, de CD

a CA. Este doble proceso es realizado con válvulas de tiristores que se arreglan normalmente

como un convertidor de 12 pulsos. Las válvulas están conectadas con el sistema de CA por

medio de transformadores del convertidor que son colocados normalmente en un edificio.

2.8.2 Transformador convertidor

Los transformadores del convertidor son elevadores de tensión y son el equipo más pesado de

una estación convertidora de la transmisión de HVDC. La función de los transformadores es

conectar las redes de CA con el convertidor y ajustar el voltaje en el lado del convertidor a un

nivel conveniente, de ahí es que viene su nombre. Además, se adaptan al alto contenidos de

armónicos generados por los convertidores.

Los transformadores pueden ser de diversos diseños dependiendo de la energía que se va a

transmitir. El transformador convertidor tiene varias funciones las cuales son: regular la tensión

de CD a través de tap, transformar el voltaje entre la fuente de CA y el sistema de HVDC, etc.


- 15 -

2.8.3 Reactor serie

Las estaciones convertidoras producen voltajes armónicos pares en el lado de CD por lo que se

utiliza un reactor en serie con el objetivo de disminuir el rizo en la corriente directa en el enlace

y la corriente de falla.

2.8.4 Filtros de CA y CD

Las estaciones convertidoras generan armónicos tanto en el lado de CA como en el lado de CD

que pueden causar sobrecalentamiento en los bancos de capacitores y generadores cercanos, e

interferencia con los sistemas de telecomunicaciones. El reactor serie ayuda a disminuir los

armónicos en el lado de CD y para el lado de CA se pueden utilizar filtros activos obtenidos de la

aplicación de electrónica de potencia.

Los filtros en el lado de CA de la estación convertidora se encargan de absorber los armónicos

generados por el convertidor y de proporcionar una parte de la potencia reactiva que necesita el

convertidor. Estos filtros se instalan en el lado de CD para reducir la componente de CA de la

señal continua que se desea obtener (reducción del rizado).

2.8.5 Fuentes de potencia reactiva

Las estaciones convertidoras absorben potencia reactiva la cual, en diseños convencionales, debe

ser proporcionada por dispositivos de compensación como son: Capacitores, Conmutadores por

Tiristores (CCTs), Compensadores Estáticos de VARs (CEVs) y compensadores síncronos.

2.9 CONTROL DEL ENLACE DE HVDC

Existen diferentes formas de controlar la energía a través de una línea de CD. Un sistema de

transmisión de HVDC es altamente controlable. Con el objetivo de establecer una operación

eficiente, estable y sostener una máxima flexibilidad de control de voltaje sin comprometer la

seguridad del equipo, son usados varios tipos de control [1, 4, 11, 25].

2.9.1 Principio básico de control

La transmisión básica de un circuito de CD puede ser representada por la Figura 2.8(a) [1]. Es la


- 16 -

representación para estudios de flujos de potencia en estado estacionario.

La Figura 2.8 representa una línea monopolar o una línea bipolar, la transmisión de la línea es

representada por LR .

Las estaciones convertidoras se encuentran en el lado izquierdo y el derecho, la estación del lado

izquierdo es la del rectificador utilizando el subíndice r y la estación del lado derecho es la del

inversor la cual está representada por el subíndice i .

.

Rectificador Inversor

Id

DC Linea

CACA

Id

COSVdor COSVdoidrV diV

crRlR ciR

drV diVCOSVdor COSVdoi

ll

a) Diagrama esquematico

b) Circuito equivalente

c) Perfil de voltaje

Figura 2.8 Transmisión de una línea de HVDC [1].

Según la Figura 2.8 (b), tenemos:

La corriente que fluye del rectificador al inversor se muestra en la ecuación (2.1)


- 17 -

(2.1)

Sustituyendo apropiadamente las expresiones para drV y diV nosotros tenemos

cos cosdor doi

d

cr ci

V VI

R R R

(2.2)

La potencia en las terminales del rectificador es

dr dr dP V I (2.3)

La potencia en las terminales del inversor es

2

di di d dr L dP V I P R I (2.4)

El voltaje directo, en algún punto de la línea, y la corriente ó potencia pueden ser controlados

por cualquier alternativa de estas cuatro posibilidades:

a) El control del ángulo del rectificador .

b) El control del ángulo del inversor .

c) Control del voltaje de CA del transformador rectificador, por medio del cambiador del tap.

d) Control del voltaje de CA del transformador inversor, por medio del cambiador del tap.

2.9.2 Conceptos básicos para la selección del control

Las siguientes consideraciones influyen en la selección del control:

1. Prevención de grandes fluctuaciones en CD debido a variaciones de voltaje en el sistema

de CA.

2. Mantener cerca el voltaje directo del valor recomendado.

3. Mantener el valor del factor de potencia enviado y recibido, es decir el que se envia en

CD y se recibe en la estación de CA, tan alto como sea posible.

4. Prevenir una falla de conmutación en el inversor.

El control rápido del convertidor previene largas fluctuaciones en la corriente directa lo cual, es


- 18 -

un importante requerimiento para satisfacer la operación de la línea de HVDC. Refiriéndonos a

la Figura 2.8, la resistencia de las líneas y el convertidor son muy pequeñas; por lo tanto, un

cambio en dorV y doiV causa un gran cambio en dI . Por ejemplo, un cambio del 25% en el voltaje

en cualquier rectificador o inversor podría causar un cambio pequeño en la corriente directa del

100%.

Esto implica que ambos, y son mantenidos constantes, la corriente directa puede variar de

par en par para un pequeño cambio en la magnitud del voltaje alterno en cualquier extremo.

Tales variaciones son generalmente indeseables para una operación satisfactoria del sistema de

potencia. Además las corrientes altas pueden dañar las válvulas y el resto del equipo. Por lo tanto

un control rápido que previene las fluctuaciones de corriente directa es esencial para un

apropiado funcionamiento del sistema; sin tal control el sistema de HVDC puede ser impráctico.

CAPÍTULO

3

CAPÍTULO

3

MODELADO DE UN SISTEMA

ELÉCTRICO DE DOS ÁREAS PARA LA

ESTABILIDAD ANGULAR ANTE

PEQUEÑOS DISTURBIOS

3.1 INTRODUCCIÓN

En éste trabajo se estudia la estabilidad ante pequeños disturbios considerando la influencia

de un enlace de HVDC, el cual tiene un impacto importante en cuanto a la estabilidad de los

SEP’s. Así mismo se plantean los modelos de transmisión más representativos de CD como lo

son aérea y subterránea. Para la aplicación del análisis modal, el modelo del sistema dinámico es

puesto en variables de estado.

La participación de las variables de estado en los modos del sistema, puede obtenerse por medio

de una matriz de participación, la cual combina eigenvectores derechos y eigenvectores

izquierdos de cada modo del sistema, de manera gráfica se muestra el comportamiento de las

formas modales en función de los eigenvectores derechos, las cuales son cantidades complejas

adimensionales que proporcionan información sobre el comportamiento de un sistema dinámico.

MODELADO DE UN SISTEMA ELÉCTRICO DE DOS ÁREAS PARA ESTUDIO

DE ESTABILIDAD ANTE PEQUEÑOS DISTURBIOS Capítulo 3

- 20 -

Para explicar los modelos utilizados en este trabajo se distribuye el Sistema Eléctrico de Potencia

en diferentes zonas como se muestra en la Figura 3.1.

Rectificador Inversor

Línea CD

CA CA

Zona A

Zona B Zona B

Zona C

Figura 3.1 Zonas del Sistema Eléctrico de Potencia.

3.2 ZONA A

3.2.1 Modelo subtransitorio del generador.

El modelo del generador de sexto orden; es decir; está conformado por seis ecuaciones de primer

orden ó bien por una ecuación de sexto orden; es y está formado por las ecuaciones de oscilación

(3.1) y (3.2) y las ecuaciones diferenciales (3.3), (3.4), (3.5) y (3.6) que representan los

transitorios eléctricos de la máquina síncrona [18, 29].

(3.1)

(3.2)

( )

(3.3)

( )

(3.4)

( )

(3.5)



- 21 -

( )

(3.6)

3.2.2 Modelo transitorio del generador.

El modelo es de cuarto orden y está formado por dos ecuaciones diferenciales de primer orden,

que representan los transitorios eléctricos (3.7), (3.8) y dos ecuaciones diferenciales que

representan los transitorios electromecánicos de la maquina síncrona (3.9) y (3.10) [18, 29].

(3.7)

(3.8)

( )

(3.9)

( )

(3.10)

3.2.3 Modelo clásico del generador.

El generador es representado por el modelo clásico en el cual las resistencias se están ignorando,

el sistemas es mostrado en la siguiente figura.

(3.11)

Figura 3.2 Modelo clásico de la máquina [1].



- 22 -

Representándola como variable de estado queda lo siguiente.

La maquina puede ser representada con esta ecuación de segundo orden.

2

0

1( )

2DS Tm Ks K wr w

H

(3.12)

Sin embargo, también se puede representar con dos ecuaciones de primer orden que serán las

siguientes. El diagrama a bloques del generador clásico, así como el desarrollo completo para

obtener las variables de estado de la máquina se muestra en el apéndice A.

1

( )2

DS wr Ks K wr TmH

(3.13)

0S wr w

(3.14)

3.2.4 Modelo del control de voltaje y estabilizador

Para el modelo del control de voltaje se considera un sistema de excitación de tiristores con un

estabilizador de sistemas de potencia como se muestra en la Figura (3.3) [1, 19, 35].

+

-+

AK1

1 RsT

FmáxV

FmínV

Excitador

Transductor del

voltaje terminal

fdEtV

Compensación

de faseRestablecimientoGanancia

Estabilizador de sistemas de potencia

-

+

1

2

1

1

sT

sT

3

4

1

1

sT

sT

1

Ks

sT

SmínV

SmáxV

ωo

ω

V2

Vs

Vf

Vref

Figura 3.3 Control de voltaje de la máquina síncrona [19].

En el sistema de excitación se utiliza una ganancia alta, sin retroalimentación derivada o

reducción de la ganancia transitoria. TR representa la constante de tiempo del transductor del

voltaje terminal. La única no linealidad asociada con el sistema de excitación son los límites del

voltaje de salida representados por VFmax y VFmin (3.15).



- 23 -

La representación del estabilizador de sistemas de potencia consiste de tres bloques:

Un bloque de compensación de fase, un bloque de restablecimiento y un bloque de ganancia.

El bloque de Compensación de fase provee la característica apropiada de adelanto de fase para

compensar el atraso de fase entre la entrada al excitador y el par eléctrico en el entrehierro del

generador (3.16).

El bloque de restablecimiento sirve como un filtro pasa altos, con la constante de tiempo T1 y T2

lo suficientemente grande para permitir que las señales asociadas con oscilaciones de T1 pasen

sin alteraciones. Sin este bloque, cambios estacionarios en la velocidad modificarían el voltaje en

terminales [1]. La ganancia Kpss determina la cantidad de amortiguamiento introducida por el

estabilizador (3.17).

(3.15)

(3.16)

[(

) ]

(3.17)

3.2.5 Modelo del control de velocidad y turbina

Para el modelo del control de velocidad se considera el sistema con gobernador y turbina con

recalentamiento mostrado Figura. 3.4 [2].

+

1

1 TsT

1

1 HsT

mínT

máxT

Pgo

+

ωg

+

ω

-

Gobernador Turbina

Pg

Figura 3.4 Control de gobernador con turbina [2].



- 24 -

(3.18)

(3.19)

3.3 ZONA B

3.3.1 Modelo del control de HVDC.

En las Figura. 3.5 y 3.6 podemos ver los diagramas a bloques de los controles de la línea de CD

utilizados en este trabajo [17], el cual comprende un control proporcional-integral (PI) operando

bajo el principio de corriente constante en el rectificador mientras para el inversor el voltaje se

mantiene constante a través del control del ángulo de extinción.

Ki/s

Kp

K0+

+-

++

Alfa

max_alfa

min_alfa

X1

V_conr

V_com_max

V_com_min

X0

Idc_mod

Idc_ord

Idr

Figura 3.5 Diagrama de control del rectificador [1, 17].

Según la figura tenemos:

V_com_max= Voltaje de conmutación máxima.

V_com_min= Voltaje de conmutación mínima.

Kp= Ganancia proporcional.

Ki= Ganancia integral.

K0=Ganancia de salida.



- 25 -

A partir del diagrama a bloques se determinan las siguientes ecuaciones para poder determinar

las variables de estado:

(3.20)

(

)

(3.21)

(3.22)

Sustituyendo “X0” en “X1” tenemos:

(

)

(3.23)

Sustituyendo “X1” en “”, obtenemos nuestra ecuación algebraica:

(

)

(3.24)

Para poder determinar nuestra variable de estado, realizamos:

(

) (

)

(3.25)

Despejando “s” de la ecuación tenemos:

(3.26)

Obteniendo así nuestra variable de estado:

(3.27)

Solo si “Kp” es cero ó si se toma como una variable de estado “K0”, “” puede llegar a ser una

variable de estado. Por lo tanto se concluye de este diagrama de bloques que con un control

proporcional integral “” no puede ser variable de estado, si es sólo integral “” si puede ser

variable de estado.



- 26 -

Ki/s

Kp

K0+

-+

+

Gamma

max_gamma

min_gamma

X3

V_coni

V_coni_max

V_coni_min

X0

Vdci

Vdc_ref 1

Vdc_ref

++

-

1+

-

0icd_ord

idi

Idc_mod

X1

X2

Figura 3.6 Diagrama de control del inversor [11, 17].

Se determinan las siguientes ecuaciones:

(3.28)

(3.29)

(

)

(3.30)

(3.31)

(

)

(3.32)

(3.33)

Sustituyendo “X0” y “X1” en “X2” obtenemos: Sustituyendo “X2” en “X3” tenemos:

( (

))

(3.35)

(

)

(3.34)



- 27 -

Sustituyendo “X3” en , obtenemos nuestra ecuación algebraica:

[( (

)) ] [ ]

(3.36)

Para poder obtener nuestra variable de estado, realizamos:

(

)

(3.37)

Despejando “s” y sustituyendo “X2” en la ecuación, tenemos:

( (

))

(3.38)

Obteniendo así nuestra variable de estado:

( (

))

(3.39)

3.4 ZONA C

3.4.1 Modelo del enlace de HVDC.

La línea de transmisión se representa mediante un circuito RL despreciando el efecto capacitivo

en las líneas de transmisión aéreas mostrado en la Figura 3.7.

Id

COSVdor COSVdoi

drV diV

crRlR

ciRll

Figura 3.7 Diagrama unifilar del enlace de HVDC.



- 28 -

En este modelo la dI en el enlace de CD se considera una variable de estado y su

comportamiento dinámico está definido por la ecuación (3.40).

(3.40)

3.4.2 Modelo del cable de HVDC

El cable de CD se representa por medio de un circuito T en donde la capacitancia se conecta en

la rama en paralelo y las inductancias en serie representan las reactancias equivalentes de

conmutación y de los puentes, mostrado en la Figura 3.8 [11].

COSVdor COSVdoi

drV diV

crR lRciRll lR

ll

dri

dii

CCi

Figura 3.8 Diagrama unifilar del cable de HVDC.

De este modelo se consideran tres ecuaciones de estado y su comportamiento dinámico está

definido por las ecuaciones (3.41), (3.42) y (3.43).

(3.41)

(3.42)

(3.43)

CAPÍTULO

4

CASO

DE

ESTUDIO

4.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se muestran las pruebas realizadas a un sistema simple de dos áreas y se

analizan los resultados obtenidos de las pruebas realizadas. La simulación se realizó mediante el

uso de un programa realizado en MATLAB por Graham Rogers, como se puede observar en el

apéndice C. Así, permite realizar análisis de estabilidad angular ante pequeños disturbios. El

sistema de prueba es el de dos áreas [1].

4.2 DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA SIMPLE DE DOS ÁREAS

El sistema de dos áreas consta de 13 nodos, 4 líneas de transmisión, 6 transformadores, y 4

generadores, ver diagrama unifilar en la Figura 4.1. A este sistema se le aplican una serie de

pequeños disturbios linealizando el sistema de ecuaciones por el Método de Series de Taylor.

4.2.1 Caso de estudio

Los modos de oscilación interárea son asociados a las oscilaciones de máquinas de una zona del

sistema, contra otro grupo de máquinas en otra zona, las cuales se encuentran típicamente entre

0.2 a 1 Hz. Los modos de oscilaciones locales están asociados a la oscilación de unas máquinas

con respecto al resto del sistema las frecuencias se encuentran típicamente entre 1 a 2 Hz [17, 30,

32].

Caso 1) La primera simulación consiste en transmitir el 100% de potencia activa por CA.

CASO DE ESTUDIO Capítulo 4

- 31 -

Caso 2) La segunda simulación consiste en transmitir el 50 % de potencia activa por medio de

un enlace de HVDC conectado a los nodos 7 y 9 a la red del sistema, y el otro 50% de la

potencia activa se transmite por la línea de CA.

Generador 1

Generador 2

Generador 3

DIAGRAMA UNIFILAR Sistema de dos áreas Sin Enlace

de HVDC

5

1

2

6

79

108

Generador 4

4

11

3

C9

L9

C7

L7

25 Km 110 Km

10 Km

25 Km110 Km

10 Km

400 MW

Figura 4.1 Diagrama unifilar del sistema de dos áreas [1].

Los datos iniciales utilizados para las simulaciones realizadas, se observan en las siguientes

tablas.

TABLA 4.1.Datos de los Buses.

Generación Carga

Núm. Bus Tensión

[pu]

Ángulo P

[pu]

Q

[pu]

P

[pu]

Q

[pu]

1 1.0300 20.2000 7.0000 1.8500 0.0 0.0

2 1.0100 10.5000 7.0000 2.3500 0.0 0.0

3 1.0300 -6.8000 7.1900 1.7600 0.0 0.0

4 1.0100 -17.0000 7.0000 2.0200 0.0 0.0

5 1.0000 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

6 1.0000 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

7 1.0000 0.0 0.0 0.0 9.6700 10.0000

8 1.0000 0.0 0.0 0.0 17.6700 10.0000

9 1.0000 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

10 1.0000 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

11 1.0000 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0


- 32 -

TABLA 4.2.Datos de las líneas.

Del Bus a Bus R X y A Ángulo amax amin paso

Líneas de Corriente Alterna

5-6 0.0025 0.0250 0.04375 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

6-7 0.0100 0.0100 0.01750 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

7-8 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

7-8 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

8-9 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

8-9 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

9-10 0.0010 0.0100 0.01750 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

10-11 0.025 0.250 0.04375 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Líneas de Corriente directa

12-13 0.0411 0.0525 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

TABLA 4.3.Datos de los transformadores.

Del Bus a Bus R X y A Ángulo amáx amín paso

1-5 0.0 0.14 0.0 1.0 0.0 1.5 0.5 0.02

2-6 0.0 0.14 0.0 1.0 0.0 1.5 0.5 0.02

4-10 0.0 0.14 0.0 1.0 0.0 1.5 0.5 0.02

3-11 0.0 0.14 0.0 1.0 0.0 1.5 0.5 0.02

*7-12 0.0 0.0160 0.0 1.0 0.0 1.5 0.5 0.02

*13-9 0.0 0.0160 0.0 1.0 0.0 1.5 0.5 0.02

*Transformadores utilizados solo para el Enlace de HVDC

4.2.2 Resultados obtenidos

Caso 1) Transmisión del 100% de potencia activa por CA

Se reportan los flujos de potencia obtenidos al transmitir el 100% de potencia activa en CA sin

considerarse un disturbio en el sistema.

En la Tabla 4.4 y Tabla 4.5, se muestra el comportamiento de los flujos de potencia en el sistema

simple de dos áreas sin Enlace de HVDC, así mismo mostrado en la Figura 4.2.


- 33 -

TABLA 4.4. Flujos de Potencia en los Buses Sin Enlace de HVDC.

Generación Carga

Núm. Bus Tensión

[pu]

Ángulo P

[pu]

Q

[pu]

P

[pu]

Q

[pu]

1 1.0300 13.6783 7.00 5.3134 0.0 0.0

2 1.0100 7.5138 7.00 5.5412 0.0 0.0

3 1.0300 -6.8000 7.1535 5.8590 0.0 0.0

4 1.0100 -17.6013 7.0 5.5412 0.0 0.0

5 1.0000 -58.3960 0.0 4.7753 0.0 0.0

6 1.0000 -68.4865 0.0 6.2591 0.0 0.0

7 1.0000 -76.4874 0.0 10.186 9.670 10.0

8 1.0000 -89.2291 0.0 0.4909 17.67 10.0

9 1.0000 47.5279 0.0 6.7029 0.0 0.0

10 1.0000 -93.6016 0.0 6.3074 0.0 0.0

11 1.0000 -83.2894 0.0 5.3329 0.0 0.0

TABLA 4.5. Flujos de Líneas con CA.

Línea Del Bus al

Bus

P

[pu]

Q

[pu]

1 5-6 7.00 -0.1032

2 6-7 13.8775 -0.4231

3 7-8 2.0074 -0.0731

4 7-8 2.0074 -0.0731

5 8-9 1.9630 -0.0785

6 8-9 1.9630 -0.0785

7 9-10 -13.8287 2.3684

8 10-11 -7.0256 1.3268

9 1-5 7.0000 5.3134

10 2-6 7.0000 5.5412

11 4-10 7.0000 5.5412

12 3-11 7.1535 5.8590

1 6-5 -6.8775 1.2846

2 7-6 -13.6847 2.3331

3 8-7 -1.9630 0.3239

4 8-7 -1.9630 0.3239

5 9-8 -1.9206 0.3099

6 9-8 -1.9206 0.3099

7 10-9 14.0256 -0.4170

8 11-10 7.1535 -0.0911

9 5-1 -7.0000 4.8784

10 6-2 -7.0000 5.3976

11 10-4 -7.0000 5.3976

12 11-3 -7.1535 5.4240


- 34 -

Generador 1

Generador 2

Generador 37

.00

00

5.3

13

4

7.0

00

0

0.1

03

2

7.0

0

5.5

41

2

0.0731

2.0074

0.3239

1.9630

13.828

2.3684

7.00

6.8775 1.9630

0.0785

7.0

00

0

4.8

78

4

1.2846

0.4231

13.877 13.684

2.3331

DIAGRAMA UNIFILAR DE FLUJOS DE

POTENCIA

Sistema de dos áreas Sin Enlace

de HVDC

5

1

2

6

79

0.3239

1.9630

0.0731

2.0074

0.0785

7.0256

1.3268

7.00

5.3976

0.3099

1.9206

0.3099

1.7670

0.4170

14.025

5.3976

1.9630

108

Generador 4

7.0

0

5.5

41

2

4

7.1

53

5

5.8

59

0

7.1

53

5

0.0

91

1

7.1

53

5

5.4

24

0

11

3

C9

L9

3.5000 1.0000

0.967C7

L7

2.0000 1.0000

Figura 4.2 Diagrama unifilar de Flujos de Potencia con CA.


- 35 -

Caso 2) Transmisión del 50% de potencia activa por medio de un enlace de HVDC

conectado a los nodos 7 y 9 a la red del sistema y el otro 50% de la potencia activa se

transmite por las líneas de CA.

En la Tabla 4.6 y Tabla 4.7, se muestra el comportamiento de los flujos de potencia en el sistema

simple de dos áreas con Enlace de HVDC, así mismo mostrado en la Figura 4.2.

TABLA 4.6. Flujos de Potencia en los Buses Con Enlace de HVDC.

Generación Carga

Núm. Bus Tensión

[pu]

Ángulo P

[pu]

Q

[pu]

P

[pu]

Q

[pu]

1 1.0300 -3.7476 7.00 5.3134 0.0 0.0

2 1.0100 -9.9120 7.00 5.5412 0.0 0.0

3 1.0300 -6.8000 7.2695 6.4459 0.0 0.0

4 1.0100 -22.4287 7.0 5.5412 0.0 0.0

5 1.0000 -75.8219 0.0 4.7753 0.0 0.0

6 1.0000 -85.9123 0.0 6.2591 0.0 0.0

7 1.0000 -93.9133 0.0 10.0843 9.670 10.00

8 1.0000 -100.2817 0.0 0.1631 0.0 0.0

9 1.0000 -106.5798 0.0 9.0338 17.670 10.00

10 1.0000 -98.4290 0.0 6.3444 0.0 0.0

11 1.0000 -87.9493 0.0 5.9293 0.0 0.0

12 1.0000 -95.7533 0.0 1.2951 0.0 0.0

13 1.0000 -104.9581 0.0 1.6563 0.0 0.0


- 36 -

TABLA 4.7. Flujos de Potencia en las Líneas Con Enlace de HVDC.

Línea Del Bus al

Bus

P

[pu]

Q

[pu]

1 5-6 7.00 -0.1032

2 6-7 13.8775 -0.4231

3 7-8 1.0039 -0.1405

4 7-8 1.0039 -0.1405

5 8-9 0.9928 -0.1407

6 8-9 0.9928 -0.1407

7 9-10 -13.9374 2.3951

8 10-11 -7.1374 1.3591

9 12-13 2.0068 -1.3273

10 1-5 7.0000 5.3134

11 2-6 7.0000 5.5412

12 4-10 7.0000 5.5412

13 3-11 7.2695 6.4459

14 7-12 2.0068 0.0322

15 13-9 1.7687 0.0250

1 6-5 -6.8775 1.2846

2 7-6 -13.6847 2.3331

3 8-7 -0.9928 0.0591

4 8-7 -0.9928 0.0591

5 9-8 -0.9820 0.0568

6 9-8 -0.9820 0.0568

7 10-9 14.1374 -0.4123

8 11-10 7.2695 -0.0816

9 13-12 -1.7687 1.6312

10 5-1 -7.0000 4.8784

11 6-2 -7.0000 5.3976

12 10-4 -7.0000 5.3976

13 11-3 -7.2695 6.0109

14 12-7 -2.0068 0.0322

15 9-13 -1.7687 0.0250


- 37 -

Generador 1

Generador 2

Generador 3

7.0

00

0

5.3

13

4

7.0

00

0

0.1

03

2

7.0

0

5.5

41

2

0.1405

1.0039

0.0591

0.9928

13.937

2.3951

7.00

6.8775 0.9928

0.1407

7.0

00

0

4.8

78

4

1.2846

0.4231

13.877 13.684

2.3331

DIAGRAMA UNIFILAR DE FLUJOS DE

POTENCIASistema de dos áreas Con Enlace

de HVDC

5

1

2

6

7 9

0.0591

0.9928

0.1405

1.0039

0.1407

7.1374

1.3591

7.00

5.3976

0.0568

0.9820

0.0568

0.9820

0.4123

14.137

5.3976

0.9928

108

Generador 4

7.0

0

5.5

41

2

4

7.2

69

5

6.4

45

9

7.2

69

5

0.0

81

6

7.2

69

5

6.0

10

9

11

3

1213

2.0068

0.0322

2.0068

0.0322

1.7687

0.0250

1.7687

0.02501.3273 1.6312

2.0068 1.7687

1.7670C9

L9

3.5000 1.0000

0.967C7

L7

2.0000 1.0000

Figura 4.3 Diagrama unifilar de Flujos de Potencia Con Enlace de HVDC.

En la Tabla 4.8, se muestra el comportamiento de los eigenvalores del generador clásico

utilizado para la simulación.

TABLA 4.8. Influencia del enlace de HVDC en la estabilidad ante pequeños disturbios

considerando el modelo de generador clásico.

Eigenvalores Estados

dominantes

CA

MATLAB

HVDC

MATLAB

0.010

-0.0100

-0.0000 ± 3.5314i

-0.0000 ± 7.4072i

-0.0000 ± 7.6514i

-0.0015± 0.4186i

-0.0175± 3.6053i

-0.0019± 7.3983i

-0.0002± 7.6943i

-0.03379

-19.0521

-78.7103

δ1, ω1

δ2, ω2

δ3, ω3

δ4, ω4

v_conr

v_coni

Idc


- 38 -

TABLA 4.9. Influencia del enlace de HVDC en la estabilidad ante pequeños disturbios

considerando el modelo de generador subtransitorio.

Eigenvalores Estados

dominantes CA

MATLAB

HVDC

MATLAB

0.45954

-0.41086

-0.19006±2.0954i

-0.52935±6.1948i

-0.66530± 7.1053i

-0.46498±0.61E-01i

-0.15429±3.3183i

-0.66239±7.0153i

-0.63835±7.3192i

δ1, ω1

δ2, ω2

δ3, ω3

δ4, ω4

v_conr

v_coni

Idc

4.2.3 Oscilación en el SEP

Las respuestas de las velocidades de los generadores ante un pequeño disturbio en la potencia

mecánica en los generadores 1 y 2 se muestran en la Figura 4.4. El cambio en la potencia

mecánica en el generador 1 es 0.01 p.u. y en el generador 2 es p.u. este es -0.01. En el área 1, los

cambios de la velocidad oscilan en una frecuencia de cerca de 1.2 Hz Figura 4.4. Los cambios de

la velocidad del generador 1 y del generador 2 en esta frecuencia está en contrafase, generador 1

está oscilando contra el generador 2. En el área 2, los generadores oscilan en una frecuencia más

baja. En el inicio del disturbio, los generadores se mueven juntos a una frecuencia más baja (0.56

Hz) Figura 4.5. Esto corresponde a la frecuencia del modo del interárea. El modo local del área 2

también se excitado. Está en la misma frecuencia que el modo local en el área 1, pero es 90º en

contrafase con este modo [25].

En la Figura 4.4 y en la Figura 4.5, podemos observar las oscilaciones del sistema cuando no se

ha conectado aún el enlace de HVDC, donde podemos observar en ambas como es que la

velocidad incrementa con el tiempo, donde si no se controla ésta velocidad, puede llegar a

provocar problemas con la máquina generadora. En la primera de ellas se estudia el área local y

en la segunda se observa el comportamiento interárea.


- 39 -

Figura 4.4 Cambio en la velocidad del generador local.

Figura 4.5 Cambio en la velocidad del generador interárea.

En la Figura 4.6 y en la Figura 4.7, podemos observar las oscilaciones del sistema cuando el

enlace de HVDC está conectado al sistema, donde podemos observar en ambas figuras como es

que la velocidad se mantiene estable con respecto al tiempo, y no tiende a incrementar como

sucedía en el caso anterior.

Con ayuda de las figuras y de ésta prueba, podemos comprobar como es que un enlace HVDC

ayuda al sistema a mantenerse estable en caso de un disturbio en las máquinas, en este caso de

manera local e interárea.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-4

tiemp (s)

velo

cid

ad (

p.u

.)

gen1

gen2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

-5

tiemp (s)

velo

cid

ad (

p.u

.)

gen 3

gen 4


- 40 -



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-4

tiemp (s)

velo

cid

ad (

p.u

.)

gen 1

gen 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

-5

tiemp (s)

velo

cid

ad (

p.u

.)

gen 3

gen 4

CAPÍTULO

5

CONCLUSIONES

Y

RECOMENDACIONES

5.1 CONCLUSIONES GENERALES

Las conclusiones del análisis de estabilidad angular ante pequeños disturbios, fue basado en

el estudio de la respuesta libre del sistema, por medio de la obtención de los eigenvalores que

representan el comportamiento de cada variable de estado en función de su frecuencia de

oscilación y amortiguamiento.

En el SEP pueden ocurrir pequeños disturbios que afecten el comportamiento de estos, y aunque

se considere una pequeña perturbación, estas fallas pueden llegar a afectar las condiciones de

operación de un sistema de potencia y pasar de condiciones normales a un caso de inestabilidad

o con tendencia a salir de su estabilidad.

Los resultados que se presentan en el Capítulo 4, son resultados de un estudio de estabilidad ante

pequeños disturbios con generadores síncronos, en los cuales se empleó el sistema simple de dos

áreas.

En el sistema, se realizaron diferentes simulaciones, donde en la primera de ellas se transmitió el

100% de la potencia activa en CA; determinando los flujos de potencia que se transmiten en

todo el sistema, así como los eigenvalores que se tienen en el mismo.

En la segunda simulación se utilizó un enlace HVDC por medio del cual se realizó la transmisión

del 50% de la potencia activa (200MW), disminuyendo la carga transmitida por las líneas de CA

y distribuyendo la tensión en ambos sistemas, tanto de CA como de CD, para que en caso de que

se presente una falla, el sistema sea capaz de permanecer en operación constante, cumpliendo

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Capítulo 5

42

con los requerimientos de forma de onda y frecuencia. Permitiendo a las máquinas generadoras

seguir en sincronismo.

Además fue aplicada una pequeña perturbación a la potencia mecánica de los generadores, donde

se puede observar el impacto que tiene el enlace de HVDC en las oscilaciones del sistema

eléctrico, las oscilaciones en la velocidad de los generadores, que eran crecientes, con el enlace

se mantienen dentro de un rango de variación, mientras que en las terminales donde se realiza la

interconexión el comportamiento de la magnitud de la tensión, disminuye al mismo tiempo que

su frecuencia. Existe relación entre la frecuencia del modelo lineal y no lineal respectivamente.

Además se hicieron otras simulaciones con el modelo no lineal aplicando la pequeña

perturbación al área 2, obteniendo resultados similares debido a que las características de las

áreas son las mismas [1]. Se analizó el efecto del modelo de carga estática cuando se considera

su operación un enlace de HVDC.

En la última simulación podemos concluir que de acuerdo a los resultados obtenidos mostrados

en la Tabla 4.8, el sistema logra mayor estabilidad en comparación con el sistema de CA, ya que

los eigenvalores se desplazan al lado izquierdo del plano bidimensional, lo cual produce que

nuestro sistema se haga más robusto.

5.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS.

Realizar un estudio de estabilidad angular de un sistema de dos áreas ante pequeños

disturbios con línea de corriente directa, utilizando el modelo de máquina transitorio.

Desarrollar los modelos de carga dinámica.

Un estudio de estabilidad con sistemas multiterminales en sistema multimáquinas para

ver el efecto de los enlaces en el SEP.

APÉNDICE

A

MODELO CLÁSICO DE LA MÁQUINA

SÍNCRONA

A.1 INTRODUCCIÓN

La ecuación que gobierna el movimiento del rotor de una máquina síncrona se basa en el

principio elemental de dinámica que establece que el par de aceleración es el producto del

momento de inercia del rotor por su aceleración angular. Se considera que el par mecánico

y el eléctrico son positivos para un generador síncrono. Esto significa que es el par

resultante en la flecha que tiende a acelerar el rotor en la dirección positiva de rotación.

Bajo la operación en estado estable del generador, y son iguales y el par de

aceleración es cero. En este caso no hay aceleración o desaceleración de la masa del rotor

y la velocidad constante que resulta es la velocidad síncrona. El par eléctrico corresponde

a la potencia neta de entrehierro en la máquina y así, toma en cuenta la potencia de salida

total del generador más las perdidas por efecto Joule en el devanado de la armadura. En un

motor síncrono, la dirección del flujo de potencia es opuesta a la del generador [3,1].

El generador es representado por el modelo clásico en el cual las resistencias se están

ignorando, el sistemas es mostrado en la Figura A.1.

(A.0)

Figura A.1 Modelo clásico de la máquina [1].

MODELO CLÁSICO DE LA MÁQUINA SÍNCRONA Apéndice A

- 44 -

(A.1)

(A.2)

Para la representación del modelo clásico de la máquina se observa un cambio de signo en los

ángulos de la ecuación (A.0) siendo ésta la ecuación de la corriente determinada por el

método de nodos, es por ello que se llega a lo siguiente:

(A.3)

En la igualación se puede observar que simplemente hay un cambio de elementos polares a

rectangulares, y como ya se había mencionado antes el cambio del signo del ángulo “”.

Llevando la primera parte de la ecuación a un plano bidimensional se tiene lo siguiente:

Y

X

-

EB

Figura A.2 Plano bidimensional de la ecuación (A.3).

En donde la representación del vector esta dada de la siguiente forma:

(A.4)

Determinado así que tanto el signo del seno como del coseno son negativos.


- 45 -

Ahora bien para llegar a la solución ó igualación que se da en la segunda parte de la ecuación,

se realizara el conjugado del vector , representándolo de la siguiente forma en el plano

bidimensional:

Y

X

-

-EB

EB

Figura A.3 Representación del conjugado del vector .

En donde la representación del conjugado del vector esta dada de la siguiente forma:

(A.5)

E´ es el voltaje en Xd´. Esta magnitud es asumida para permanecer constante al valor de pre

falla. será el ángulo por el cual E´ guiara a la tensión del bus infinito. El rotor esta

oscilando durante la falla y por lo tanto cambiará.

Tomando en cuenta la ecuación (A.0) se desarrollará de la siguiente manera:

(A.6)

(A.7)

(A.8)


- 46 -

(A.9)

(A.10)

(A.11)

(A.12)

(A.13)

Linealizando la ecuación queda lo siguiente.

(A.14)

Escribiendo las ecuaciones en forma de matriz se obtiene.

(A.15)

Esta es de la forma x=Ax+bu. Los elementos de la matriz de estado son dependientes en el

sistema de parámetros y la operación de la condición inicial está representado por

los valores de E´ y 0 .

(A.16)

(A.17)

Reescribiendo nosotros tenemos.

(A.18)

La ecuación característica está dada por.


- 47 -

(A.19)

Esta es de la forma general.

(A.20)

A.1.1 Diagrama a bloques del control del modelo clásico de la máquina

1

2Hs

KD

Ks

W0

s

r

-

-

+

Te

Tm X0

X1

Figura A.4 Diagrama a bloques del control del modelo clásico de la máquina.

Ks =coeficiente de sincronismo torque/rad

DK =coeficiente de amortiguamiento

H =constante de inercia MW*s/MVA

wr =incremento de la velocidad elec.rad

=ángulo del rotor

S =operador de Laplace

0w =velocidad angular inicial

Tomando en cuenta el diagrama a bloques de la máquina de modelo clásico. Se llega a las

siguientes sustituciones.

( )eT Ks

(A.21)


- 48 -

1 DX K wr

(A.22)

0 1X Tm Te X

(A.23)

0

1

2wr X

HS

(A.24)

0wwr

S

(A.25)

Sustituyendo wr en .

00

1

2

wX

HS S

(A.26)

Sustituyendo 0X en .

01

1

2

wTm Te X

HS S

(A.27)

Sustituyendo 1X en .

01

2D

wTm Te K wr

HS S

(A.28)

Sustituyendo Te en

01( )

2D

wTm Ks K wr

HS S

(A.29)

Representándola como variable de estado queda lo siguiente.

La máquina puede ser representada con esta ecuación de segundo orden.

2

0

1( )

2DS Tm Ks K wr w

H

(A.30)

Sin embargo, también se puede representar con dos ecuaciones de primer orden que serán las

siguientes.


- 49 -

1

( )2

DS wr Ks K wr TmH

(A.31)

0S wr w

(A.32)

APÉNDICE

B

ASPECTOS GENERALES DE

OSCILACIONES

B.1 INTRODUCCIÓN

Las causas de la pérdida de estabilidad durante la oscilación del sistema dependen de la

magnitud de la perturbación. Es decir, depende de que la oscilación sea de pequeña señal, o

de que la perturbación sea considerable. En el primer caso se habla de la estabilidad angular

ante pequeños disturbios y en el segundo de la estabilidad transitoria.

En el caso de la estabilidad ante pequeños disturbios, la inestabilidad puede darse bien por

falta de par sincronizante, o bien por falta de amortiguamiento en las oscilaciones siguientes.

En los sistemas actuales el principal problema está asociado a la escasez de amortiguamiento,

dando lugar a dos tipos de oscilaciones [1].

Las modos de oscilación interárea son asociados a la oscilación de máquinas de una zona del

sistema contra otro grupo de máquinas en otra zona, las cuales se encuentran típicamente

entre 0.2 a 1 Hz. Las modos de oscilaciones locales están asociados a la oscilación de unas

máquina con respecto al resto del sistema las frecuencias se encuentran típicamente entre 1 a

2 Hz [13, 17].

De los modelos antes mencionados se obtiene un sistema de ecuaciones de la siguiente

forma:

( , ) ( .1)X f x u B

Dado el limitado rango de operación, un sistema no lineal puede ser representado

matemáticamente como sistema lineal, es decir, dicho sistema puede ser linealizado

[1,22,36].

ASPECTOS GENERALES DE OSCILACIONES Apéndice B

- 51 -

Si al sistema de la ecuación (B.1), se le aplica una perturbación, este se representa como la

ecuación (B.2).

x=xo +Δx u=uo+Δu (B.2)

Donde Δ es una pequeña perturbación.

Como las magnitudes de las perturbaciones aplicadas al sistema son pequeñas; en las

funciones no lineales ƒ(x,u), se pueden expresar en términos de la expansión de Series de

Taylor, en función de derivadas parciales que son analizadas alrededor de un punto de

operación dado, despreciando los términos de mayor orden [1], y expresando estos términos

en forma lineal, se obtiene [1].

Para este análisis se considera el sistema lineal o linealizado, del cual se obtiene, la respuesta

que se debe obtener en cada modelo para el desarrollo del análisis ante pequeños disturbios se

muestra en la ecuación (B.4), conocida como respuesta natural o libre del sistema; la cual

representa la respuesta a las condiciones iniciales cuando no existe una fuerza externa de

control, en este caso cuando el vector Ū= 0, se puede expresar como la ecuación (B.3)

[1,22,36] . Por lo tanto, la descripción matemática del sistema se da en variables de estado

(B.3):

Δx=AΔx+BΔU (B.3)

Donde:

X= Vector de estados de orden n.

A = Matriz característica del sistema de orden nxn.

B = Matriz de Estradas del Sistema de orden nxr.

ΔŪ = Vector de control de entradas de orden r.

A x x (B.4)


- 52 -

B.1.1 Eigenvalores.

Con la obtención de los valores propios de la matriz [A], llamados también eigenvalores,

siendo definidos como un parámetro escalar denominado λ, para el cual existe una solución

no trivial, que satisfaga la siguiente ecuación:

AΦ=λΦ (B.5)

Donde:

A= matriz característica del sistema de nxn.

Φ= Vector de nx1.

La representación de los eigenvalores de la matriz [A], de la ecuación (B.5), se escribe como:

(A-λI)Φ=0 (B.6)

Donde I, es la matriz identidad en la ecuación (B.6) y para una solución no trivial, la

expresión es:

det(A-λI)=0 (B.7)

Si el sistema es de orden n, existirán n soluciones de λ (λ1, λ2,…,λn), para esa matriz

conocidos como eigenvalores de [A]. Los eigenvalores obtenidos de la matriz [A], pueden ser

representados de manera real o compleja; aunque cuando llegan a ser complejos siempre se

presentan en pares conjugados. En algunos sistemas los eigenvalores obtenidos son idénticos,

debido a la información obtenida por la matriz [A], pero se puede demostrar que los

eigenvalores de la matriz [A] y de su transpuesta son los mismos.

B.1.2 Eigenvectores.

Para cualquier eigenvalor λi, asociado con la matriz [A], le corresponde un vector i, diferente

de cero que satisfagan la ecuación (B.5), conocido como eigenvector derecho, teniendo:

Aφi=λi φi (B.8)

cuando i=1,2,…,n


- 53 -

Representando al eigenvector derecho Φi, como:

1

2

i

i

i

ni

(B.9)

Si la ecuación (B.6), es homogénea; entonces el producto de kφi (donde k es escalar), es

considerado como una solución del sistema; de manera similar, el vector de n-filas ψ i,

también satisface a la ecuación (B.6), teniendo:

ΨiA=λiψi (B.10)

donde i=1,2,…,n

Por lo que es llamado eigenvector izquierdo que a su vez se encuentran asociados con los

eigenvalores λi de la matriz [A].

Los eigenvectores derechos e izquierdos corresponden a diferentes eigenvalores de la matriz

[A], estos son ortogonales, lo cual quiere decir que los eigenvalores λi no son iguales a los

eigenvalores λj, teniendo:

Ψj φi =0 (B.11)

Pero, para el caso de que los eigenvectores sean correspondientes al mismo eigenvalor, donde

Ci es una constante diferente de cero, teniendo:

Ψj φi =C i (B.12)

Normalizando a estos eigenvectores de la matriz [A], se tiene:

Ψj φi =1 (B.13)


- 54 -

B.1.3 Matrices modales.

La representación en forma compacta los eigenvectores derechos Φi y eigenvectores

izquierdos Ψi, de matriz [A], se expresa como:

1 2

1 2

(B.14)

( .15)

n

TT T T

n B

[Λ]T = Matriz diagonal con los eigenvalores

λ1, λ2,…,λn, como elementos en diagonal.

Considerando que cada matriz es de orden nxn, entonces las ecuaciones (B.5) y (B.13), se

expresan como:

AΦ=ΦΛ (B.16)

ΨΦ=I

Ψ =Φ-1

(B.17)

De modo que la ecuación (3.37), se exprese como:

Φ−1

AΦ=Λ (B.18)

De esta manera, la respuesta libre depende de tres factores principales que son:

Los eigenvalores que determinan la razón de aumento o decremento de la

respuesta.

Los eigenvectores que determinan la forma de la respuesta.

Condiciones iniciales que determinan el grado en que cada modo participa en la

respuesta libre del sistema.

Se pueden observar los eigenvalores en forma rectangular donde la componente real del

eigenvalor corresponde al amortiguamiento () de ese modo, mientras que la componente

imaginaria corresponde a la frecuencia natural de oscilación del sistema (), de tal manera

que la representación de un eigenvalor en función de su amortiguamiento y frecuencia es

representado en la ecuación (B.19); donde la frecuencia de oscilación amortiguada se

expresa en Hertz, por medio de la ecuación (B.1), [1, 22, 36].


- 55 -

λ=α±jω (B.19)

2f

(B.20)

Y la razón de amortiguamiento se representa con la ecuación (B.21), indicando la razón del

decaimiento de la amplitud de la oscilación del eigenvalor.

2 2

(B.21)

Esta expresión es directamente relacionada con el comportamiento de estabilidad del sistema,

debido a que el amortiguamiento es negativo, independientemente del valor de la frecuencia

de oscilación, como se observa en la variable de la velocidad; o bien obteniendo tanto la parte

real como imaginaria de manera conjugada como se observa en las demás formas modales.

Los eigenvalores se pueden obtener de la matriz característica obteniendo los siguientes

comportamientos o casos [1,21, 22]:

Eigenvalores sólo con parte real, representan a un modo no oscilatorio en el sistema,

de tal manera que el sistema es asintóticamente estable; esto quiere decir que el

sistema tiende a amortiguarse.

Eigenvalores con parte real negativa, representan un modo decayendo.

Eigenvalores con parte real positiva, representa inestabilidad no periódica de tal

manera que es inestable, lo cual quiere decir que el sistema nunca se amortigua.

Eigenvalores complejos, se representan en pares conjugados, donde cada par

corresponde a un modo oscilatorio.

Eigenvalores carecen de parte real (son cero), se dice que el sistema es críticamente

estable o críticamente inestable.


- 56 -

B.2 LINEALIZACIÓN

B.2.1 Newton Raphson

1 1 2 2 1, , 4 s n 0.6g x x U Ux e x (B.22)

Si se deriva parcialmente con respecto a 1x ; U y 2x se tomaran como constantes y quedara lo

siguiente.

12 1 1

1

4 cos 0 0g

Ux x sen xx

(B.23)

El resultado queda de esta forma debido a que se aplica la formula *du dv udv vdu , y dos

factores del resultado son derivadas de constantes, lo cual significa que son cero. Y el

resultado será el siguiente.

12 1

1

4 cosg

Ux xx

(B.24)

B.2.2 Series de Taylor

Si esta misma ecuación 1g la resolvemos por el Método de Series de Taylor queda de la

siguiente manera.

1 2 14 s n 0.6g Ux e x (B.25)

Como recordaremos la expansión la expansión de Taylor hace uso de derivadas sucesivas de

una función.

Por lo tanto derivando una sola vez dicha función se obtendrá lo siguiente.

12 14 cos

dgUx x

dx (B.26)

Finalmente se puede concluir que el Método de Newton Raphson utiliza el principio de

expansión de series de Taylor para funciones con dos o más variables.

El modelo lineal por series de Taylor del SMBI con una constante de amortiguamiento de

KD=10, del cual obtenemos la matriz característica siguiente [1].


- 57 -

Δ 1.43 0.108 Δ=

377 0 ΔΔ

Otra forma de obtener la matriz de estado puede hacerse directamente de un modelo de

simulación no lineal por perturbaciones en cada estado en turno, por pequeñas cantidades y

encontrando la relación correspondiente de cambio en todos los estados, esta relación

dividida por la perturbación da la columna de la matriz de estado correspondiente al estado

perturbado. (Las perturbaciones deben ser pequeñas) y requieren al menos cálculos de doble

precisión (operación normal en MATLAB) [17, 23]. El programa de simulación utilizado fue

realizado en MATLAB

De acuerdo a [23,25] la linealización directa es de la siguiente forma:

( , , )x f x u v (B.27)

( , , ) v g x u v (B.28)

Sea 0x es un vector x en condición de equilibrio, esto es, dx

dt es cero cuando se evalúa en

ox x , Ahora sea jx un vector en el cual todos los elementos excepto el jésimo son idénticos

a los de ox , y en el jésimo difiere del valor correspondiente jx . Entonces, si jx es

suficientemente pequeño, los jésimos columna. De A y H se pueden calcular o estimar de:

0

( .29)

j

jdx dxAj x B

dt dt

' (B.30)j

jv v H x

Donde

jdx dx

ydt dt

se calculan de la ecuación (B.27) usando x y jx ; jv y v son las

salidas calculadas en base a x y jx ; j

jA y H son las jésimas columnas de A y H . Las

columnas de B y F . Son estimadas de la misma forma calculando dx

dt

y v con elementos

perturbados individualmente en el vector de entrada u .


- 58 -

4

0

4

4

1( )

2

1 1.43(0.9 0.9 10(1 0.0001 1) 1.43

2(3.5) 0.0001

377377(1 0.0001 1) 377

0.0001

1 0.1088(0.9 10(1 1)) 0.1088

2(3.5) 0.0001

m e D r

r

e

dP P K

dt H

d X

dt

d

dt

d X

dt

d XP

dt

Donde eP es:

*cos 0,001 * (0,001)B

T

El EPe sen con sen

X

La matriz característica es:

Δ 1.43 0.1088 Δ=

377 0 ΔΔ

Esta técnica es satisfactoria debido a que los resultados son muy aproximados a los obtenidos

por medio de series de Taylor.

B.3 FORMAS MODALES

La respuesta libre del sistema, se representa en función de sus eigenvalores y eigenvectores

que se expresan de tal manera, que pueden identificar sus formas modales, y no es más que la

combinación de eigenvalores con sus respectivos eigenvectores (3.104), [1, 21].

Donde:

ki= Elemento de renglón késimo y la columna iésima de la matriz modal . Entrada késima de i.

1 2 nλ t λ t λ t

i 1i 1 2i 2 ni nΔX t =φ C e +φ C e + +φ C e (B.31)


- 59 -

Ck= constante diferente de cero, del producto del eigenvector izquierdo késima y el eigenvector

derecho késima correspondientes al késima eigenvalor.

El elemento kΔX t es llamado késimo modo. Donde ki mide la actividad en el modo y el

eigenvector izquierdo muestra la contribución de esta actividad en el modo.

La forma del modo, está dada por el comportamiento del eigenvector derecho incluso cuando

un modo es excitado, este nos da la actividad relativa de las variables de estado involucradas.

Si en la ecuación (B.31), se calcula el valor de los ángulos para cada forma modal, estos nos

van a proporcionar los desplazamientos de fase para cada una de las variables de estado con

respecto al modo de análisis.

B.4 FACTORES DE PARTICIPACIÓN

La finalidad de obtener el eigenvector izquierdo del eigenvalor correspondiente, nos ayuda a

identificar la combinación de las variables de estado originales, que son mostradas en el

modo en cuestión. La participación de los modos del sistema en la formación de la respuesta

en el tiempo, puede obtenerse por la interpolación de la ecuación de la respuesta de los

estados del sistema. Por medio de una matriz de participación [P], la cual combina

eigenvectores derechos y eigenvectores izquierdos de cada modo del sistema (B.33), las

cuales son cantidades complejas adimensionales que proporcionan información sobre el

comportamiento de un sistema dinámico [1, 21].

1 2 nP= p p p (B.32)

Para un sistema de orden n, la matriz de participación es:

1i i1 11 12 1n 1i

2i i2 12 2i

ni in n1 n2 nn ni

φ ψ p p p p

φ ψ p pP= =

φ ψ p p p p

(B.33)

Donde:

ki= Elemento de renglón késimo y la columna iésima de la matriz modal . Entrada késima de i.


- 60 -

ik= Elemento de renglón iésimo y la columna késima de la matriz modal . Entrada késima de i.

El elemento pki= kiIik es llamado factor de participación. Definido como una medida de la

participación relativa de la késima variable de estado en el késimo modo y viceversa. Donde ki

mide la actividad en el modo y la ik muestra la contribución de esta actividad en el modo.

APÉNDICE

C

CÓDIGOS DE LOS

SISTEMAS

C.1 SISTEMA SIMPLE DE DOS ÁREAS

% Sistema Simple de dos áreas

%******************

% bus data format

%******************

% bus:

% col1 number

% col2 voltage magnitude(pu)

% col3 voltage angle(degree)

% col4 p_gen(pu)

% col5 q_gen(pu),

% col6 p_load(pu)

% col7 q_load(pu)

% col8 G shunt(pu)

% col9 B shunt(pu)

% col10 bus_type

% bus_type - 1, swing bus

% - 2, generator bus (PV bus)

% - 3, load bus (PQ bus)

% col11 q_gen_max(pu)

% col12 q_gen_min(pu)

% col13 v_rated (kV)

% col14 v_max pu

% col15 v_min pu

%Bus V ang. Pg Qg Po Qo Gshu. Bshu. Tipo Qmax Qmim V[Kv] Vmin Vmax

bus = [

1 1.03 18.5 7.00 1.85 0.00 0.00 0.00 0.00 1 99.0 -99.0 20.00 1.5 .5;

2 1.01 8.80 7.00 2.35 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 20.00 1.5 .5;

3 1.03 -6.80 7.19 1.76 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 20.00 1.5 .5;

4 1.01 -16.9 7.00 2.02 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 20.00 1.5 .5;

5 1.0103 12.1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 230.0 1.5 .5;

6 0.9876 2.1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 230.0 1.5 .5;

7 1.0 -6.31 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 2.00 2 99.0 -99.0 500.0 1.5 .5;

8 1.05 -19.3 0.00 0.00 2.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 500.0 1.5 .5;

9 1.0 -31.8 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 500.0 1.5 .5;

10 1.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5;

11 1.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5];

% line data format

% line: from bus, to bus, resistance(pu), reactance(pu),

% line charging(pu), tap ratio, tap phase, tapmax, tapmin, tapsize

% Buses

%de a r x y a ang amax amin paso

line = [...

%Datos de Buses


5 6 0.0025 0.0250 0.04375 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

6 7 0.0010 0.0100 0.01750 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

7 8 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

7 8 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

8 9 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

8 9 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

9 10 0.0010 0.0100 0.01750 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

10 11 0.0025 0.0250 0.04375 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

CÓDIGOS DE LOS SISTEMAS Apéndice C

- 62 -

%Datos de los transformadores

1 5 0.0025 0.2000 0.0000 1.0 0. 1.9 0.1 0.02;

2 6 0.0025 0.2000 0.0000 1.0 0. 1.5 0.5 0.02;

4 10 0.0025 0.2000 0.0000 1.0 0. 1.5 0.5 0.02;

3 11 0.0025 0.2000 0.0000 1.0 0. 1.5 0.5 0.02];

C.2 SISTEMA SIMPLE DE DOS ÁREAS CON UN ENLACE DE HVDC

% Sistema Simple de Dos Áreas con un Enlace HVDC

%******************

% bus data format

%******************

% bus:

% col1 number

% col2 voltage magnitude(pu)

% col3 voltage angle(degree)

% col4 p_gen(pu)

% col5 q_gen(pu),

% col6 p_load(pu)

% col7 q_load(pu)

% col8 G shunt(pu)

% col9 B shunt(pu)

% col10 bus_type

% bus_type - 1, swing bus

% - 2, generator bus (PV bus)

% - 3, load bus (PQ bus)

% col11 q_gen_max(pu)

% col12 q_gen_min(pu)

% col13 v_rated (kV)

% col14 v_max pu

% col15 v_min pu

% Bus V ang. Pg Qg Po Qo Gshu. Bshu. Tipo Qmax Qmim V[Kv] Vmax Vmin

bus = [

1 1.03 20.2 7.00 1.85 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 20.0 1.5 .5;

2 1.01 10.5 7.00 2.35 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 20.0 1.5 .5;

3 1.03 -6.8 7.19 1.76 0.00 0.00 0.00 0.00 1 99.0 -99.0 20.0 1.5 .5;

4 1.01 -17.0 7.00 2.02 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 20.0 1.5 .5;

5 1.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5;

6 1.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5;

7 1.0 0.00 0.00 0.00 9.67 1.00 0.00 2.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5;

8 1.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5;

9 1.0 0.00 0.00 0.00 17.67 1.00 0.00 3.50 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5;

10 1.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5;

11 1.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5;

12 1.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5;

13 1.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 99.0 -99.0 230.0 1.5 .5];

%*******************

% line data format

%*******************

% line: from bus, to bus, resistance(pu), reactance(pu),

% line charging(pu), tap ratio, tap phase, tapmax, tapmin, tapsize

% Buses


line = [...

%Datos de los Buses


5 6 0.0025 0.0250 0.04375 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

6 7 0.0010 0.0100 0.01750 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

7 8 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

7 8 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

8 9 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

8 9 0.0110 0.1100 0.19250 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

9 10 0.0010 0.0100 0.01750 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

10 11 0.0025 0.0250 0.04375 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;


- 63 -

%Línea HVDC

12 13 0.04114 0.0525 0.00000 0.0 0. 0.0 0.0 0.00;

%Datos de los transformadores

1 5 0.0000 0.14 0.0000 1.0 0. 1.5 0.5 0.02;

2 6 0.0000 0.14 0.0000 1.0 0. 1.5 0.5 0.02;

4 10 0.0000 0.14 0.0000 1.0 0. 1.5 0.5 0.02;

3 11 0.0000 0.14 0.0000 1.0 0. 1.5 0.5 0.02;

%Datos de los transformadores para la línea HVDC

7 12 0.0000 0.001 0.00 1.0 0. 10.0 0.1 0.001;

13 9 0.0 0.001 0.00 1.0 0. 10.0 0.1 0.001];

disp('HVDC linea en los buses 12 y 13')

% col 1 hvdc converter number

% col 2 LT bus number in load flow data

% col 3 converter type

% 1 - rectifier

% 2 - inverter

% col 4 dc rated voltage (kV)

% col 5 commutating reactance ohms/bridge

% col 6 number of bridges in series

% col 7 rectifier - alfa min

% inverter - gamma min

% col 8 rectifier - alpha max

% inverter - gamma max

dcsp_con = [...

1 12 1 500 3 4 5 30;

2 13 2 500 3 4 18 25];

% col 1 rectifier number

% col 2 inverter number

% col 3 dc line resistance ohms

% col 4 dc line inductance ( milli H)

% col 5 dc line capacitance (micro F)

% col 6 rectifier smoothing inductance (milli H)

% col 7 inverter smoothing inductance (milli H)

% col 8 dc line rating (MW)

% col 9 current margin for inverter current control %

dcl_con = [...

1 2 100 50.0 0 1000.0 1000.0 200 15];

% col 1 converter number

% col 2 proportional gain

% col 3 integral gain

% col 4 output gain

% col 5 max integral limit

% col 6 min integral limit

% col 7 max output limit

% col 8 min output limit

% col 9 control type

% - 1 rectifier current control

% - 2 rectifier power control

% - 0 for inverter controls

% note: the order of the converters must be the same as that in dcsp_con

dcc_con = [...

1 1 10.0 0.1 15 0 90 5 1;

2 1 1.0 0.1 15 0 90 15 0];

% Machine data format

% 1. machine number,

% 2. bus number,

% 3. base mva,

% 4. leakage reactance x_l(pu),


- 64 -

% 5. resistance r_a(pu),

% 6. d-axis sychronous reactance x_d(pu),

% 7. d-axis transient reactance x'_d(pu),

% 8. d-axis subtransient reactance x"_d(pu),

% 9. d-axis open-circuit time constant T'_do(sec),

% 10. d-axis open-circuit subtransient time constant

% T"_do(sec),

% 11. q-axis sychronous reactance x_q(pu),

% 12. q-axis transient reactance x'_q(pu),

% 13. q-axis subtransient reactance x"_q(pu),

% 14. q-axis open-circuit time constant T'_qo(sec),

% 15. q-axis open circuit subtransient time constant

% T"_qo(sec),

% 16. inertia constant H(sec),

% 17. damping coefficient d_o(pu),

% 18. dampling coefficient d_1(pu),

% 19. bus number

% nota: todas las maquinas usan modelo clásico

mac_con = [ ...

% este es el model original

coe. amor % M bus Mva xl Ra Xd x'd x''d T'do T''do xq x'q x''q T'qo T''qo H loc sis

1 1 900 0.000 0 0.0 0.30 0.0 0.00 0.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00 6.5 0.0 0 1;

2 2 900 0.000 0 0.0 0.30 0.0 0.00 0.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00 6.5 0.0 0 2;

3 3 900 0.000 0 0.0 0.30 0.0 0.00 0.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00 6.175 0.0 0 3;

4 4 900 0.000 0 0.0 0.30 0.0 0.00 0.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00 6.175 0.0 0

4];

% % non-conforming load declaration of dc LT buses

% % col 1 bus numero

% % col 2 fracción de la constante de carga potencia activa

% % col 3 fracción de la constante de carga potencia reactiva

% % col 4 fracción de la constante de carga corriente activa

% % col 5 fracción de la constante de carga corriente reactiva

%disp('0.5 constant current load, reactive load modulation at bus 13')

load_con = [...

7 0 0 0 0;

9 0 0 0 0;

12 0 0 0 0;

13 0 0 0 0];

- 65 -

REFERENCIAS

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Power System Stabilizers Performance”. IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 7, No. 3, pp. 382-390, September 1992.

[3] John J. Grainger, William D. Stevenson Jr. “Análisis de sistemas de potencia”. Mc. Graw-Hill, 1996 [4] J. Arrillaga "High Voltage Direct Current Transmission". Peter Short Run Press, England, 1983. [5] B. J. Cory "High Voltage Direct Current Convectors and Systems". Macdonald Trends and

Developments in Engineering Series, London [6] W. Long and S. Nilsson. “The Beginning of a New Day Delving into HVDC”. IEEE Power & Energy

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