INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ......Sea n el número de lados de un polígono regular,...

Prof. ALBERTO ALAVEZ CRUZ Página 1

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS

“CUAUHTÉMOC”

GUÍA DE ESTUDIO

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

LOGARÍTMOS Y EXPONENCIALES

1.- Expresa las siguientes formas exponenciales en forma logarítmica:

a) Nbx b) 1624 c) 9

13 2 d)

27

13 3

Sol. xNb log Sol. 416log 2 Sol. 29

1log3 Sol. 3

27

1log3

2.- Expresa las siguientes formas logarítmicas en forma exponencial:

a) 236log6 b) 664log 2 c) 481

1log3 d) 01log b , 0b

Sol. 3662 Sol. 6426 Sol. 81

13 4 Sol. 10 b

3.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:

a) 64log 4x b) 81log3x c) 8log 2/1x d) 3 10logx

Sol. 3x Sol. 4x Sol. 3x Sol. 3

1x

4.- Sabiendo que 3010.02log , 4771.03log , 6990.05log y 8451.07log , calcular con cuatro

cifras decimales los logaritmos siguientes:

a) 105log b) 108log c) 3 72log d) log 2.4

Sol. 2.0212 Sol. 2.0333 Sol. 0.6190 Sol. 0.3807

5.- Expresa las siguientes operaciones con un solo logaritmo:

a) 5log6log4log Sol. 6

54log

b) 27log3

264log

3

125log

2

1 Sol.

3/1

3/22/1

64

2725log

c) 5log32log43log2 Sol. 3

42

5

23log

6.- Expresa las siguientes operaciones como una suma algebraica de logaritmos:

a) C

BAlog b)

z

yxlog c) 3log

z

xy

Sol. CBA logloglog Sol. zyx logloglog 2/12/1 Sol. 3

logloglog zyx


7.- Encuentra el conjunto solución de cada una de las ecuaciones exponenciales dadas:

1. 001.010 x Sol. 3 2. 33 255 xx Sol. 6

3.- 168 x Sol.

3

4 4. 161

4x Sol. 3

5. 643 12 x Sol. 39.2 6. 243

13 y Sol. 5

7. xx 22 Sol. 1,1 8, 51 42 x Sol. 11

9. 2

14 /1 x Sol. 2 10.

125

64

4

58.0

x

Sol.

4

15

11.

33

27

19

xx

Sol. 3 12. xx 416 Sol. 2,2

8.- Encuentra el conjunto solución de cada una de las ecuaciones logarítmicas dadas:

1. x32

1log2 Sol. 5 2. 364log x Sol. 4

3. 3

29log x Sol. 27 4. x3.3

10 10log Sol. 3.3

5. x49 9log Sol. 4 6. 2256log x Sol. 16

7. 2log5 x Sol.

25

1 8. xx x

2log Sol. 2

9. 36log1log 22 xx Sol. 7 10. xx x 100log Sol.

100,10

1

11. 2122.0log1log xx Sol. 59.1 12. 3log1log x Sol. 30

13. 21log1log 2 xx Sol. 101 14 31log1log 22 xx Sol. 3,3

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. INGENIERÍA. Un ingeniero electricista utiliza la fórmula:

010log10

S

SG para calcular la ganancia en un amplificador.

a) ¿Cuál es el valor de G cuando S es de 100 y oS es 10?

b) ¿Cuál es el valor de G cuando S es de 600 y oS es 6?

2. ADMINISTRACIÓN. Un asesor financiero utiliza la fórmula:

nI 05.01100 , para calcular el interés compuesto semestralmente.

a) ¿Cuál es el valor de I cuándo 2n ?

b) ¿Cuál es el valor de I cuándo 5.2n ?

3. ECOLOGÍA. El costo anual para remover un porcentaje x ,determinado, de los contaminantes

de una planta de energía, aumenta conforme el porcentaje se aproxima a 100%. La función racional


x

xxC

100

1000)( aproxima el costo de esta operación para una planta particular en México. Encuentra el

costo para remover 9.5 % de los contaminantes. Dibuja la gráfica de )(xC , para 1000 x .

4. BIOLOGÍA. El número de bacterias N en un cultivo está dado en términos del tiempo t , en

horas, por la fórmula tN 21000 .

a) ¿Cuántas bacterias están presentes al comenzar el experimento (cuando 0t )?

b) ¿Cuántas bacterias estarán presentes dentro de 5 horas?

c) ¿Cuántas bacterias estarán presentes dentro de 24 horas?

5. FÍSICA. La presión atmosférica P sobre un objeto, en libras por pulgada cuadrada, puede

aproximarse utilizando la fórmula: xP

2.07.27.14

, donde x es la altura del objeto sobre el nivel del

mar en millas. ¿Cuál es la presión del objeto a: a) 1 milla, b) 5 millas y c) 8.5 millas de altura?

6. QUÍMICA. Un isótopo radioactivo tiene una vida media de 4 años. Esto significa que en 4

años de edad, la cantidad determinada de isótopo se transformará en otra sustancia debido a la

desintegración radiactiva espontánea. Si se permite que 50 gramos de este isótopo se desintegren en un

reactor, la cantidad A que queda al final de t años está dada por

4/

2

150

t

A

. ¿Cuántos gramos

quedarán al final de a) 2 años. b) 10 años y c) 3.5 años?

Aplicando las propiedades de los logaritmos, encuentra el valor de cada una de la expresiones

siguientes:

1. 32 12017 P 2. 42009.05.0Q 3. 5/1

4.6S 4. 6/1008.0R

5. 8

77

U 6. 4

1512

193

V

7.

9

7

005.0

026.0

y 8.

004500000000

0022000000002

z

9. 4

3

36

25.0T 10. 3

5

15

RECTAS PARALELAS

En las siguientes gráficas hallar los valores de los ángulos X y Y:

CDAB //

Sol. 30 , 20 YX

CDAB //


Sol. 22 , 48 YX

CDAB //

Con los datos que se dan, hallar los ángulos:

m , j, i, k, h, q, x.

Sol. 122x

CDAB //

Con los datos que se dan, hallar los ángulos:

n, t, p, s, r, q

Sol. 112s

CDAB //

Calcular los valores de X y Y.

Sol 40 , 110 YX

DEACDFAB //y //

Hallar los ángulos X y Y.

Sol. 50X , 50Y

CDAB //

Calcular los valores para X y Y.

Sol. 14X , 78Y

ÁNGULOS


BCAC

Calcular los valores de X y Y.

Sol 150 , 90 YX

¿Cuánto vale X y Y ?

X es ángulo exterior del triágulo I

Sol. 140X , 125Y

ACBC //

Sol.

75,105,15 qpm

En los siguientes problemas calcular los valores para X y Y :

CDAB

Sol. 65,25 YX

CDAB //

Sol. 50X , 130Y

DEAB //

Sol. 50X , 95Y

ACAB y XI

Sol. 75,55 YX

BBD bisectriz CCD bisectriz

ACAB y ACBX

Sol. 130 ,50 YX

Sol. 15X 755,604,453 XXX


,,,Calcular yx

Sol. 139,34 yx 146,105

Sol. 18X

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Razón de semejanza: '''''' CB

BC

CA

AC

BA

AB

En los siguientes problemas aplica la semejanza de triángulos para determinar el valor de x.

CBAD //

Sol. 15x

STQR //

Sol. 2

9x

TWRU //

Sol. 16x


RSPO //

Sol. 1x

HGDE //

Sol. 5x

CBDE //

Sol. 2x

PROS //

Sol. 3x

RSPO //

Sol. 10x

DHEGEHFG //y //

Sol. 30x

ADCCAB

Sol. 8x

BEACCEAB //y //

Sol. 4x

PROBLEMAS DE APLICACIÓN


1. Una regla de un metro de largo se coloca

verticalmente en el piso y se observa que proyecta

una sombra de 85 cm de largo. En ese momento el

poste de la luz proyecta una sombra de 4.80 m.

Calcular la altura del poste.

Sol. 5.64 m

2. Una escalera de 15 m de longitud está recargada en

un edificio a la altura de un anuncio; una plomada de

2 m de largo pende de la escalera y toca el piso a una

distancia de 250 cm del pie de la escalera. Calcular la

altura a que se encuentra el anuncio.

Sol. 9.37 m

3. Para medir el ancho AC de un río, un hombre tomó las

medidas indicadas en la figura siguiente. AC es

perpendicular AD y BD perpendicular a DE , si AB

mide 8 m, BD mide 6m y DE mide 12m, calcular la

anchura del río.

Sol. 16 m

4. Dos buitres acechan a un conejo en

su madriguera, parados en dos

árboles que se encuentran a una

distancia de 25m uno del otro. El

árbol del primer buitre mide 15m

de altura, y el del segundo 9m. Al

salir el conejo a tomar el sol,

ambos buitres se lanzan sobre él,

cogiéndolo al mismo tiempo entre

sus garras. ¿A qué distancia estaba

el conejo de ambos buitres?

Sol. 17.81 m

5. Supón que estás en el margen de un río en el que no

puedes pasar y, provisto de una cinta métrica, usas

una construcción semejante a la del problema 3 para


hallar el ancho AE del río. De acuerdo a los

segmentos proporcionados, ¿cuál es el ancho del río?

Sol. BD

DCBEAE

TEOREMA DE PITÁGORAS

Hallar la longitud del segmento x en las figuras siguientes:

BCAC

Sol. 17x

Sol. 24x

Sol. 8x

Sol. 17x

Sol. 12x

Sol. 4x


Sol. 26x

Sol. 15x

Sol. 97.33x

Sol. 31.17x

Sol. 72.41 , 29 yx

Sol. 13x

POLÍGONOS

Sea n el número de lados de un

polígono regular, entonces:

Ángulo Central

n

360

Ángulo interior

1. ¿Cuánto vale el ángulo central de un pentágono

regular?

Sol. 72

2. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un

dodecágono regular?

Sol. 1800iS

3. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un decágono

regular?

Sol. 360eS

4. ¿Cuánto vale cada ángulo exterior de un

pentadecágono regular?


n

ni

2180

Ángulo Exterior

ne

360

Suma de los ángulos interiores

2180 niS

Número de diagonales desde un

sólo vértice

3 nd

Número total de diagonales

2

3

nnD

Suma de los ángulos exteriores

Sol. 24e

5. ¿Cuál es el polígono cuya suma de los ángulos

interiores vale 1080 ?

Sol. 8n ; es el octágono.

6. ¿Si la suma de los ángulos interiores de un polígono

regular es de 1260 , cuál es ese polígono?

Sol. 9n ; es el eneágono.

7. ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior es

de 135 ?

Sol. 8n ; es el octágono.

8. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice

de un icoságono regular?

Sol. 17d diagonales

9. Determinar el número total de diagonales que pueden

trazarse en un endecágono regular.

Sol. 44D diagonales

10. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 9

diagonales desde uno de sus vértices?

Sol. 12n ; es el dodecágono

11. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 20

diagonales en total?

Sol. 8n ; es el octágono

12. ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que

lados?

Sol. 8n ; es el octágono

13. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 15 lados?

¿Y uno de 7 lados?

Sol. 90D y 14D diagonales

14. ¿Qué polígono tiene doble número de diagonales que

de lados?

Sol. 7n ; es el heptágono

15. ¿Qué polígono tiene 25 diagonales más que lados?

Sol. 10n ; es el decágono


ARCOS Y ÁNGULOS

1.

2.

3.

360 fedcba

16. De acuerdo con la figura que está a la izquierda,

hallar la longitud del lado s de un pentágono regular

si su perímetro es de 125 cm.

Sol. cm 26.21s

17. Hallar el apotema a de un pentágono regular, si el

radio de la circunferencia en la que está inscrito es de

21 unidades.

Sol. cm 16.98a


i 75

Hallar

S AOC

ABC

Sol. 37.5ABC .

50

70

Hallar

CD

AB

AWB

Sol. 60AWB

78

30

Determinar

RS

TU

TVU

Sol. 24TVU

4.

15

25

Hallar

GH

x

EF

Sol. 65EF

5.

15

55

Determinar

BD

ABE

BCD

Sol. 47.5BCD

6.

220

40

Determinar

MP

O

MN

Sol. 140MN

7.

55 ; 30

Determinar

MN O

MP

Sol. 115MP

8.

200 ; 110

Determinar

MP NP

O

Sol. 75O

9.

120 ; 70

Determinar O

PN MN

Sol. 50O

ÁREAS

Calcular el área de la región sombreada

1.

2.


Sol. 218.15 Sol. 324.87

3.

Sol. 13.73

4.

Sol. 871.23

5.

Sol. 106.81

6.

Sol. 113.09

7.

Sol 100

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO

Dada la función trigonométrica, calcula el ángulo y las demás funciones en los cuadrantes respectivos

15

8 .1 Cot

13

12 .2 Sen

12

5 .3 Cos

12

37 .4 Csc 1 .5 Tan 75.0 .6 Tan

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Dada la función trigonométrica inversa, obtén un valor de dicho ángulo.

3

2 .1 Ang Sen

8103.41 Sol. 2 2. Ang Sec 120 Sol.

73201 3. .Ang Cot 30 Sol. 1 4. 1-Sen

2 Sol.

3

2 5. 1-Csc

120 Sol. 1 6. Arc Cos 180 Sol.


2 7. Ang Sec 135 Sol. 0 8. Ang Cos

2 Sol.

3

1 9. 1-Tan

150 Sol. πSec-1 10. 71.43 Sol.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1.- Si 0461 A y la hipotenusa m 371.4 , determinar los demás elementos y su superficie.

2.- Si 0235 B y la hipotenusa m 745 , resolver el triángulo y determinar su superficie.

3- Si los lados de un triángulo son m 7.52a y m 3.65b ; determinar los valores de los elementos

restantes y la superficie.

La solución de triángulos rectángulos también tiene mucha aplicación en la vida práctica.

Problema 4

A 87.5 m de la base de una torre, el ángulo

de elevación a su cúspide es de 0237 ;

calcular la altura h de la torre, si la altura del

aparato con que se midió el ángulo es de 1.50

m.

Sol. 68.23 m

Problema 5

A 200 m de la base de una antena, el ángulo

de elevación a su parte más alta es de 0234 ;

calcular la altura de esta torre si la altura del

aparato con que se midió el ángulo es de 1.5

m

Sol. 138.10 m

Problema 6

Calcular el ángulo de elevación del Sol, en el

momento en que un árbol de 32.5 m de altura proyecta

una sombra de 75 m.

Sol. 5223


Problema 7

¿Qué altura alcanza sobre un muro una escalera de 5 m de

largo, si forma con el piso un ángulo de 0165 .

Sol. 4.53 m

Problema 8. ¿Qué ángulo forma con el piso, el pie de una escalera de 7 m de largo si dista de la base de

un muro 2.5 m. Sol. 69.07 m

Problema 9

Desde lo alto de un faro de 150 m de altura se observa

una embarcación a un ángulo de depresión de 0323 ;

calcular la distancia d del faro a la embarcación.

Sol. 344.97 m

Problema 10. Calcular el lado de un decágono regular circunscrito a una circunferencia de 5 cm de

radio.

Sol. 3.09 cm.

Problema 11. ¿Cuál es el radio de una circunferencia inscrita en un pentadecágono regular de 2 cm de

lado?

Sol. 4.80 cm.

Problema 12. Calcular la longitud del lado de un pentágono regular inscrito en un círculo de diámetro

igual a 10 cm. Sol. 5.87 cm.

Problema 13. Calcular el perímetro y la superficie de un octágono regular inscrito en un círculo cuyo

diámetro es de 5 m. Sol. Perímetro = 15.30 m, Superficie = 20.65m2

Problema 14. Calcular el radio del círculo inscrito en un hexágono regular cuyo lado es de 0.75 m.

Sol. 0.75 m

Problema 15. Calcular el perímetro y la superficie de un rectángulo cuya diagonal mide 40 cm,

sabiendo que el ángulo que forma la diagonal con uno de sus lados es 0536 .

Sol. Perímetro = 111.96 cm, Superficie = 767.27 cm2

Problema 16. Los lados de un rectángulo miden 21.9 y 29.2 m, respectivamente. ¿Cuánto mide cada

uno de los ángulos que forma la diagonal con los lados del rectángulo? Sol. 2536 , 753

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Verificar cada una de las siguientes identidades trigonométricas:


Sen xxCos x Tan 1. 11 2. 22 xTanxCos Csc Cot Sec 3. Sec Tan Csc 4.

xSecxCos

xCosxSen 2

2

22

5.

1

1

1

1 6.

xCot

xCot

xTan

xTan

2 1

1 7. xTanxSec

xSen

xSen

xCos

xSec

xCotxCsc 2

2

22

8.

xTan

xCosxSenxCot

xCosxSen 22

2

1 9.

xCosxSenxTan

xCos

xCot

xSen

1 11 10.

22

xCot

xCot

xCosxSen 2

2

22 1

11 11.

11-1 12. 22 xTanxSen

xTanxCotxTan

xTan 2

22

41 13.

Secx

xSen

xSen

xSen

x-Sen 2

1

1

1

1 14.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo 20 x , a menos

que se especifique otro intervalo. Las siguientes equivalencias pueden serte útiles: rad 01745.01 2957.57rad 1 .

03 2 1. xCos 330,30rad 5.759 rad, 523.0 Sol.

2

1 2. 2 xSen rad 497.5 ,925.3 ,356.2 ,785.0 Sol.

0 3. xSenxCos rad 4.712 3.141, 1.57, 0, Sol.

01 4. 2 xCsc Sol.

0 5. SenxCosx 3.926 ,785.0 Sol.

2 6. xCos Sol.

024.0 .7 2 xSenxSen 2.721 2.495, 0.646, 0.419, Sol.

0 .8 2 xTanxTan 3.926 3.141, 0.785, 0, Sol.

0 2 .9 xSenxSen 4.188 3.141, 2.094, 0, Sol.

013 .10 xTan 5.497 4.45, 3.403, 2.356, 1.308, 0.261, Sol.

01 .11 2 xCsc 4.712 1.57, Sol.

03 21 .12 xCosxSen 3.665 2.617, 1.57, Sol.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

1. En los siguientes ejercicios, resuelve los triángulos dados con la ley de senos:

10,48,32 a) aBA 58.18 ,02.14 ,100 Sol. cbC

3,45,60 b) bBA 09.4 ,67.3 ,75 Sol. caC

50,8 ,10 c) Aca 13 ,632192 ,427437 Sol. bBC


25 ,30,122 d) abB 8 ,313 ,7544 Sol. cCA

61,43,48 e) cAB 34.45 ,01.41 ,89 Sol. baC

01130 ,0.10 ,0412 f) CbA 6.12 ,6.3 ,0137 Sol. caB

2. En los siguientes ejercicios, resuelve los triángulos dados con la ley de cosenos:

3.9 ,8.7 ,5.42 a) cbA 0381 ,56 ,4.6 Sol. CBa

0.20 ,0.12 ,0.9 b) cba 0.144 ,0420 ,0215 Sol. cBA

0.13 ,0.15 ,15 c) cba 0251 ,0264 ,0264 Sol. CBA 4.120 ,2.8 ,3.11 d) Bca

6.24 ,35 17, Sol. CAb

PROBLEMAS DE APLICACIÓN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

1. Un rombo es un paralelogramo de cuatro lados de igual tamaño. Encuentra la longitud de las

diagonales de un rombo que tiene de lado 28.7a y un ángulo 55121 A 12.73y 7.07 Sol.

2. Dos puntos A y B están en lados opuestos de un edificio. Un agrimensor escoge un tercer punto C a

45 m de A y a 65 m de B, en donde 0352 ACB . ¿Qué distancia hay entre A y B? m. 52 Sol.

3. Una torre vertical de 500 pies de altura está en la cima de una colina, cuyo lado forma un ángulo de

12 con la horizontal. Un cable es amarrado a la punta de la torre y al piso a 600 pies colina abajo

desde la base de la torre. ¿Qué longitud necesita tener el cable? pies. 857 Sol.

4. La distancia del cojín del home al jardín central en un campo de beisbol es de 408 pies. Si el

diamante de beisbol es un cuadrado, y la distancia del home a la primera base es de 90 pies, ¿Qué

distancia hay entre la primera base y el jardín central? pies 350 Sol.

5. Una estación de rastreo observa un satélite sobre la superficie terrestre. Si el plato de rastreo apunta a

41 sobre el horizonte, y el satélite se encuentra a 123 millas de la estación, ¿Qué tan alto se encuentra

el satélite de la superficie de la tierra? Supóngase que el radio de la tierra es de 4000 millas.

millas 81.8 Sol.

PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS

Para cualquier par de números reales positivos se tiene:

1. BABA bbb log log log

2. BAB

Abbb log log log

3. AnA bn

b log log

4. n

AA bn

b log

log

FUNCIÓN EXPONENCIAL FUNCIÓN LOGARÍTMICA


Es decir, LNb log es equivalente a NbL ………………..1)

FORMA LOGARÍTMICA FORMA EXPONENCIAL EQUIVALENTE

29 log 3

-40001.0 log 10

3

24 log 8

932

0001.010-4

482/3

De 1) se deduce que 1log bb ; 01log b

PROPOSICIÓN 1. Si las bases son iguales, entonces los exponentes deben ser iguales. Esto es

Si 322 y

, entonces 3y

PROPOSICIÓN 2. Si los exponentes son iguales, entonces las bases deben ser iguales. Es decir

Si 33 2x , entonces 2x


FÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA IDENTIDADES FUNDAMENTALES

RECÍPROCAS:

ACscASen

1 1.

ASecACos

1 2.

ACotATan

1 3.

DE COCIENTE:

ACos

ASenATan

4.

ASen

ACosACot

5.

PITAGÓRICAS:

1 6. 22 ACosASen

ATanASec 22 1 7.

ACotACsc 22 1 8. SUMAS Y DIFERENCIAS DE ÁNGULOS:

SenBCosABCosASenBASen 9.

BSenASenBCosACosBACos 10.

BTanATan

BTanATanBATan

1

11.

SenBCosABCosASenBASen 12.

BSenASenBCosACosBACos 13.

BTanATan

BTanATanBATan

1

14.

ÁNGULO DOBLE

ACosASenASen 22 15.

1 22 16. 222 ACosASenACosACos

ATan

ATanATan

21

2 2 17.

ÁNGULO MEDIO:

2

1

2 18.

CosSen

2

1

2 19.

CosCos

Cos

CosTan

1

1

2 20.

PRODUCTOS, SUMAS Y DIFERENCIAS DE SENO Y COSENO:

BASenBASenBCosASen 2 21.

BACosBACosBCosACos 2 22.

BACosBACosBSenASen 2 23.

24. 2 Cos 2 2

A B A BSen A Sen B Sen

25. 2 Cos 2 2

A B A BSen A Sen B Sen

2

2 2 26.

BACos

BACosBCosACos

2

2 27.

BASen

BASenBCosACos

RAZONES EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO:

c

aSen ,

c

bCos

b

aTan ,

a

bCot

b

cSec ,

a

cCsc

TEOREMA DE PITÁGORAS:

222 bac

RAZONES EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS:

LEY DE SENOS:

c

CSen

b

BSen

a

ASen

LEY DE LOS COSENOS:

ACoscbcba 2222

BCoscacab 2222

CCosbabac 2222

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ......Sea n el número de lados de un polígono regular,...

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