INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL...2.5 El empenaje horizontal 21 2.6 El empenaje vertical 21...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ESIME ZACATENCO

ANÁLISIS DE LA DINÁMICA DE VUELO DE UN MINIHELICÓPTERO DE DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN NACIONAL

Tesis que presenta

Rogelio Gerardo Hernández García

para obtener el Grado de

Maestro en Ciencias

en la especialidad de

Ingeniería Mecánica

Director de la Tesis

Dr. Samuel Alcántara Montes

México D. F. Noviembre 2007

i

CONTENIDO

Contenido i

Lista de Símbolos iii

Abreviaturas ix

Lista de figuras xi

Resúmen xiii

Abstract xv

Introducción xvii

Capítulo 1 Estado del Arte 1

Capítulo 2 Fundamentos 11

2.1 La dinámica de vuelo 12

2.2 El rotor principal 14

2.3 El rotor de cola 19

2.4 El fuselaje 20

2.5 El empenaje horizontal 21

2.6 El empenaje vertical 21

Capítulo 3 Ecuaciones de movimiento 23

3.1 Sistema de referencia del helicóptero 24

3.1.1 Sistema Núcleo 26

3.1.2 Sistema de referencia de un elemento de pala y sistema

viento

28

3.1.3 Ejes cuerpo 29

3.2 Análisis de fuerzas y momentos en el helicóptero 32

3.3 Ecuaciones generales de movimiento traslacional y

rotacional

35

Capítulo 4 Modelación Matemática 37

4.1 Ecuaciones que rigen la dinámica de vuelo 40

4.2 Elementos del modelado del rotor principal 41

4.2.1 Cantidad de movimiento lineal y corriente de flujo

inducido

41

ii

4.2.2 Determinación de fuerzas y momentos en el rotor

principal mediante análisis por elemento de pala

44

4.2.3 Determinación de fuerzas y momentos debido al aleteo

de las palas de rotor principal

55

4.2.4 El rotor equivalente a un sistema de resorte en el

centro

63

4.3 Tracción y potencia del rotor de cola 77

4.4 Fuerzas y momentos aerodinámica del fuselaje 80

4.5 Fuerzas normales del empenaje horizontal y vertical 82

4.6 Sistemas de mando de vuelo 84

4.6.1 Canales de cabeceo y alabeo 84

4.6.2 Canales de guiñada 86

4.6.3 Canal colectivo 87

Capítulo 5 Simulación Numérica del Modelo 89

Conclusiones y recomendaciones 97

Referencias 101

Apéndice 1 Plataforma experimental voladora A1-1

Apéndice 2 Sistema de adquisición de datos y sensores de la

aeronave

A2-1

Apéndice 3 Fabricación del cuerpo del fuselaje de la aeronave A3-1

Apéndice 4 Determinación de los coeficientes aerodinámicos del

cuerpo de la aeronave

A4-1

iii

LISTA DE SÍMBOLOS Símbolo Descripción Unidades

axB, ayB, azB Componentes de aceleración del elemento de pala m/s CI, CM, CM0 Matrices en las ecuaciones de batimiento de la

pala

CMF Función del momento de cabeceo del fuselaje CNF, CNFA, CNFB Funciones del momento de guiñada del fuselaje CQ Coeficiente de par torsional del rotor principal CQTR Coeficiente de par torsional del rotor de cola CT Coeficiente de empuje del rotor principal CTT Coeficiente de empuje del rotor de cola CX, CY, CZ Coeficientes de fuerza del rotor principal en los

ejes de la flecha

CXW, CYW, CZW Coeficientes de fuerza del rotor principal en los ejes núcleo-viento

CXF, CZF Funciones de fuerza del fuselaje CYFN Función de fuerza lateral del estabilizador CYS Coeficiente de fuerza lateral del fuselaje CZTP Coeficiente de fuerza del plano de cola DI, DM, DM0 Matrices en las ecuaciones de batimiento de la

pala

d,d Resistencia al avance y función normalizada de resistencia al avance que actúan en el elemento de pala

βd Determinante de la matriz en las ecuaciones de batimiento

EI Resistencia a la flexión de una pala F(r, t) Carga externa en una viga elástica en rotación F(1)(ψ), F(2)(ψ) Cargas aerodinámicas en la pala integrada

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2s1

2c1

1s2

1c2

1s1

1c1

10

F,F,F

,F,F,F,F

Componentes armónicas de F(1)(ψ) y F(2)(ψ)

fy, fz Fuerzas en el plano de la pala y normales

ωθθλββ ′ f,f,f,f,f,f twp

Funciones de los coeficientes en las ecuaciones de batimiento de la pala

g Constante gravitacional m/s2 g0 Función de iteración de la velocidad inducida hj Incremento de iteración de la velocidad inducida (

BBB k,j,i Vectores unitarios en el sistema de ejes de la pala

HHH k,j,i Vectores unitarios en el sistema de ejes del núcleo

L, M, N Momentos generales de alabeo, cabeceo y guiñada N-m LF, MF, NF Momentos aerodinámicos de alabeo, cabeceo y

guiñada del fuselaje N-m

LV, MV, NV Momentos aerodinámicos de alabeo, cabeceo y N-m

iv

guiñada del estabilizador vertical LH, MH, NH Momentos de alabeo, cabeceo y guiñada del rotor

en el sistema núcleo N-m

LR, MR, NR Momentos del rotor en los ejes de referencia del cuerpo

N-m

LE, ME, NE Momentos del empenaje horizontal N-m LRC, MRC, NRC Momentos del rotor de cola N-m Lβ Transformación matricial a coordenadas para

varias palas

λλ, Acción de la sustentación y de la función normalizada de la sustentación en un elemento de pala

M(r) Momento de batimiento en las coordenadas en rotación

N-m

m(rB) Distribución de masa de la pala Kg/m Pn(t) Coordenadas normales para viga elástica en

rotación

p, q, r Regimenes de alabeo, cabeceo y guiñada de la aeronave en torno a los ejes de referencia de cuerpo

rad/s

pw, qw, rw Regimenes de alabeo, cabeceo y guiñada del rotor en los ejes núcleo-viento

QE Par torsional del motor N-m QR Par torsional del rotor principal N-m QT Par torsional del rotor de cola N-m

BB r,r Coordenadas radiales de punta

Sn(r) Modos normales de la viga elástica en rotación SZ Fuerza cortante en la bisagra de batimiento Sβ Número de rigidez UT, UP Velocidades en el plano y normales en el elemento

de pala

u, v, w Componentes de la velocidad de la aeronave en el centro de gravedad

m/s

uA, vA, wA Velocidades “aerodinámicas” en el centro de gravedad

m/s

uB, vB, wB Componentes de velocidad del elemento de pala m/s uH, vH, wH Componentes de velocidad del núcleo del rotor m/s uHw, vHw, wHw Velocidades del núcleo del rotor en los ejes núcleo-

viento m/s

uwg, vwg, wwg Componentes de velocidad del viento m/s V(r, t) Fuerza cortante en el núcleo VF Velocidad total del fuselaje m/s VFN Velocidad total del estabilizador m/s

Hw~V Vector de la velocidad del rotor en los ejes núcleo-

viento m/s

V i Velocidad inducida del rotor m/s VT Velocidad total del plano de cola m/s W(r, t) Deflexión por flexión de viga elástica en rotación

v

wAλ Velocidad normal del fuselaje que incorpora a la velocidad inducida del rotor

m/s

X, Y, Z Componentes generales de fuerza en la aeronave N XF, YF, ZF Fuerzas aerodinámicas del fuselaje N XFN, YFN, ZFN Fuerzas aerodinámicas en el estabilizador N XHw, YHw, ZHw Fuerzas en el rotor en el sistema núcleo-viento N XR, YR, ZR Fuerzas en el rotor en los ejes de referencia del

cuerpo N

XTP, YTP, ZTP Fuerzas en el plano de cola N XT, YT, ZT Fuerzas en el rotor de cola N αF Ángulo de incidencia del fuselaje rad αsw, αcw Funciones de incidencia de la pala rad/º αTP Ángulo de incidencia del plano de cola rad β, βi Ángulos de batimiento de la pala rad β1(t) Ángulo de deflexión de la punta de la pala rad βd Ángulo de coneo diferencial rad βF Ángulo de derrape del fuselaje rad βFN Ángulo de derrape del estabilizador rad

M~I~,ββ Vectores de batimiento

βjc, βjs Coordenadas para varias palas β0, β1c, β1s Armónicas de batimiento β1cw, β1sw Batimiento cíclico en los ejes núcleo-viento ∆ Matriz de transformación del sistema núcleo-

viento

∆n Incremento de aceleración normal de la aeronave m/s2 δ Coeficiente de resistencia al avance de la pala del

rotor principal

δT Coeficiente de resistencia al avance de la pala del rotor de cola

δβ Determinante de matriz en las ecuaciones de batimiento

na Parámetro de carga del rotor nc Variable de la palanca del colectivo nct Variable del cable del pedal np Variable del pedal n1c, n1s Variables del bastón cíclico longitudinales y

laterales

θ, θp Ángulos de paso de la pala θ0 Paso colectivo del rotor principal en la raíz rad θ0p, θ0a Contribuciones del piloto y del sistema de

estabilidad artificial a θ0

θ0Tp, θ0Ta Contribuciones del piloto y del sistema de estabilidad artificial a θ0T

( )*T0T0 θθ Paso del rotor de cola (con corrección δ3)

θ1c, θ1s Componentes del ángulo cíclico de cabeceo de pala *s1

*c1 ,θθ Componentes del ángulo cíclico de cabeceo de pala

vi

antes de entrada en fase θ1cp, θ1sp, θ1ca, θ1sa Contribuciones del piloto y del sistema de

estabilidad artificial al ángulo de cabeceo cíclico

θ1cw, θ1sw Componentes del ángulo cíclico de cabeceo de pala en los ejes núcleo-viento

Λ Velocidad normalizada total del rotor λ0 Componente de velocidad inducida del rotor m/s λ1c, λ1s Componentes armónicas de velocidad inducida λ1cw, λ1sw Componentes armónicas de velocidad inducida en

los ejes núcleo-viento

λ0T Velocidad inducida uniforme del rotor de cola m/s λn Relación de frecuencia del modo n de batimiento λβ Relación de frecuencia de batimiento de la pala del

rotor

µ Velocidad normalizada del rotor en el plano xy µx, µy, µz Componentes de velocidad normalizada del rotor µT, µzT Velocidades normalizadas del rotor de cola σX Velocidad angular normalizada en coordenadas en

rotación

φ Ángulo de ataque de la pala rad

χ Ángulo de la estela rad ψ, θ, φ Ángulos de Euler rad ψ, ψi Ángulos acimutales de la pala rad ψw Ángulo de derrape del rotor rad Ω Velocidad del rotor rad/s

Hw~Ω Vector de velocidad angular del rotor rad/s

ΩT Velocidad del rotor de cola rad/s

( )y,y, xx ωωωω Velocidades angulares (normalizadas) en coordenadas en rotación

b Número de palas del rotor principal e Excentricidad normalizada de la bisagra de

batimiento

FT Factor de bloqueo del estabilizador f i Constante de iteración de Newton Iβ Momento de inercia de la pala Kg-m4 Kβ Rigidez del resorte kλT Factor de velocidad inducida del rotor principal en

el rotor de cola

kλF Factor de velocidad inducida del rotor principal en el fuselaje

kλTP Factor de velocidad inducida del rotor principal en el plano de cola

s1c1qp L,L,L,L θθ

…etc

Derivadas del momento de alabeo

vp,λλ Derivadas del momento de alabeo

nβ Número de inercia de la pala (γ/8)

vii

QEmax Par torsional máximo del motor N-m s Solidez del rotor

β

βββ

θ

θ

etc c1

,c1,c1,c1

s1

c1qp

Derivadas de batimiento

γ(γ0) Número de Lock de la pala δ3 Ángulo de acoplamiento de paso/coneo de la pala ε Excentricidad de la bisagra de batimiento ρ Densidad del aire Ωm Velocidad del rotor a máxima potencia

ix

ABREVIATURAS

CNES Centre National d´Etudes Spatiales

DASH Drone Anti-Submarine Helicopter

DARPA Defense Advanced Research Projects Agency

DLR German Aerospace Center

EADS European Aeronautic and Defense Spatial

GPS Global Position System

HALE High Altitude/Long Endurance

INS Inertial Navigation System

IPN Instituto Politécnico Nacional

MALE Medium Altitude/Long Endurance

MRE Multi Role Endurance

NASA National Aeronautics and Space Administration

ONERA Office National d'Etudes et Recherches Aérospatiales

PEMEX Petróleos Mexicanos

PGR Procuraduría General de la República

RPV Remote Piloted Vehicle

SEAD Suppression of Enemy Air Defenses

SEMARNAT Secretaría del Medio Ambiente y Recursos Naturales

SPyV Secretearía de Protección y Vialidad

UAV Unmanned Aerial Vehicle

UNAM Universidad Nacional Autónoma de México

VTOL Vertical Take Off and Landing

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Supra-sistema de proyectos de aeronaves de ala rotativa

Figura 2.1 Asimetría de flujo y fuerzas de sustentación en una pala

Figura 2.2 Rotor Articulado

Figura 2.3 Vorticidad en las inmediaciones de un rotor

Figura 2.4 Rotor de cola convencional

Figura 3.1 Sistema núcleo y sistema pala

Figura 3.2 Rotación de guiñada ψ

Figura 3.3 Rotación de cabeceo θ

Figura 3.4 Rotación de alabeo φ

Figura 3.5 Fuerzas y momentos actuando en la parte lateral de la aeronave

Figura 3.6 Fuerzas y momentos actuando en la parte superior de la aeronave

Figura 3.7 Fuerzas y momentos actuando en la parte frontal de la aeronave

Figura 4.1 Subensambles del modelo matemático

Figura 4.2 Fuerzas aerodinámicas e inerciales en la pala

Figura 4.3 Fuerzas aerodinámicas en una sección diferencial de la pala

Figura 4.4 Fuerzas producidas por un elemento de pala actuando en el centro

del núcleo

Figura 4.5 Deformación elástica de una viga rotatoria

Figura 4.6 Simplificación de un rotor de pala con bisagra de aleteo fuera del

centro

Figura 5.1 Diagrama de bloques para vuelo estacionario

Figura 5.2 Diagrama de bloques de la simulación del coeficiente de tracción

en Simulink

Figura 5.3 Emisora de radio control de la aeronave

Figura 5.4 Gráfica del comportamiento de cabeceo de la aeronave

Figura 5.5 Velocidad de la aeronave en función del ángulo de paso del rotor principal

Figura 5.6 Posición de la palanca de mando cíclico longitudinal respecto a la velocidad de la aeronave

Figura A 1.1 Helicóptero de radio control convencional Raptor 90®

Figura A 1.1 Plataforma final de pruebas con equipo de navegación y sistema de

telemetría

xii

Figura A 2.1 Organización detallada del segmento de vuelo

Figura A 2.2 Organización detallada de la estación terrena

Figura A 2.3 Interfaz gráfica de la estación terrena que permite visualizar los

parámetros de la aeronave

Figura A 2.4 Interfaz gráfica de posicionamiento, altitud y latitud de la aeronave

Figura A 2.5 Conjunto de sensores que realizan la medición y envío de

parámetros a la estación terrena

Figura A 2.6 Sistema de Posicionamiento Global

Figura A 2.7 Vehículo aéreo equipado con sistemas de telemetría

Figura A 3.1 Creación de curvas de control paramétricas del fuselaje

Figura A 3.2 Perfiles de control que permiten la obtención de cuerpo fuselado

Figura A 3.3 Modelo geométrico del fuselaje

Figura A 3.4 Modelo geométrico final del fuselaje realizado en NX3®

Figura A 3.5 Generación del código para la nariz

Figura A 3.6 Simulación de maquinado de la nariz

Figura A 3.7 Generación del código de la parte llamada Cuerpo

Figura A 3.8 Simulación de maquinado de la parte Cuerpo

Figura A 3.9 Simulación de maquinado de la parte Botalón

Figura A 3.10 Máquina CNC Cincinnati 500 Arrow

Figura A 3.11 Montaje de herramienta de corte

Figura A 3.12 Montaje de material a utilizar

Figura A 3.13 Corte de las diferentes secciones del modelo

Figura A 3.14 Primera sección del modelo

Figura A 3.15 Terminación del maquinado de los elementos del fuselaje

Figura A 4.1 Mallado en tres dimensiones proveniente de HyperMesh® y

asignación de condiciones de frontera en Gambit®

Figura A 4.2 Distribución de presión dinámica sobre el contorno del fuselaje

Figura A 4.3 Distribución de vectores de velocidad alrededor del fuselaje

xiii

RESÚMEN

El presente trabajo plantea la conformación del modelo matemático para ser

implementado dentro de un mini helicóptero de diseño y construcción nacional con

el propósito de crear un sistema aéreo no tripulado. El modelo matemático fue

resuelto mediante la plataforma de simulación del software MATLAB®, Simulink ®.

El modelo matemático toma en consideración la dinámica de vuelo de cada uno de

los subsistemas que conforman el helicóptero los cuales son: fuselaje, rotor

principal, rotor de cola, empenaje horizontal y empenaje vertical. No se toma en

consideración la dinámica inducida por el motor, el cual consiste de un motor de

combustión interna recíproco de un émbolo.

xv

ABSTRACT

This work presents the conformation of the mathematical model to be implemented

within a national construction and design mini helicopter with the purpose of

creating an unmanned aerial system. The mathematical model was solved by

means of simulation platform of MATLAB® software.

The mathematical model taking in consideration the dynamics of flight of each one

of the subsystems that makes up the helicopter which are: fuselage, main rotor,

tail rotor, horizontal fin and fin unit. Nevertheless, the dynamics induced by the

motor is not taken in consideration, which consists of a motor of internal

combustion reciprocal monopiston.

xvii

INTRODUCCIÓN

Tratar de generar los conocimientos en el campo del diseño de helicópteros

de transporte de personal es factible en nuestro país y además se hace

indispensable, aunque el proceso resultaría lento. Sin embargo, adquirir la

experiencia para fabricar productos con la calidad impuesta en los mercados

internacionales por los países generadores de esas tecnologías es una tarea

descomunal que involucraría un cambio total de actitud de toda la sociedad

mexicana.

Bajo esta perspectiva, las competencias tecnológicas de una fracción de la sociedad

pueden dirigirse entonces a la generación de nuevos conceptos en donde no exista

relativo desarrollo y que presenten un alto valor agregado en producto de capital

humano.

Tal es el caso de este trabajo en el que se propone comenzar la investigación y

desarrollo de vehículos aéreos no tripulados (UAV – Unmanned Aerial Vehicle).

El presente trabajo tiene como objetivo la implementación y simulación numérica

de un modelo matemático para ser aplicado a un helicóptero de diseño y

construcción nacional para predecir y evaluar su dinámica de vuelo. Se prevé que

el modelo sea primeramente validado en un mini helicóptero Raptor 90 SE y una

vez validado, sea implementado dentro de la computadora de vuelo de un

helicóptero de diseño y construcción nacional para que éste pueda realizar vuelo

autónomo. Así mismo servirá como modelo matemático para el desarrollo de un

simulador de vuelo virtual para entrenamiento en el uso del mismo helicóptero.

Para el desarrollo de un artefacto de esta naturaleza, es decir que pueda

mantenerse en vuelo autorregulado y permitir el cumplimiento exitoso de una

misión, se requiere de un trabajo interdisciplinario y debe de ser de mucho interés

para la comunidad científica por todas sus implicaciones tecnológicas, científicas y

humanas.

xviii

En México no existe precedente de este tipo de aeronaves dada su específica

utilización, ni mucho menos de investigación encaminada en esta área, es por ello

que se considera de trascendental importancia su apoyo y desarrollo.

El modelo matemático encuentra su aplicación en cuatro áreas fundamentales.

Una de ellas es en el diseño de partes y componentes de helicópteros debido a que

el modelo matemático, al considerar las ecuaciones de fuerzas y momentos que se

generan en el helicóptero causados por efectos cinemáticos, aerodinámicos,

inerciales y aeroelásticos de cada unos de sus subsistemas, permite dimensionar,

modelar geométricamente y analizar estructuralmente los componentes.

Otra área es la del desarrollo de simuladores de vuelo virtuales para entrenamiento

de pilotos, constituyendo el modelo matemático el cerebro de un simulador de

vuelo.

Un área más donde cabe su aplicación, es para evaluar la calidad de vuelo y

comportamiento de un diseño nuevo de helicóptero. Con un modelo matemático se

puede predecir su comportamiento en vuelo, pudiéndose realizar los cambios y

adecuaciones necesarias al diseño antes de llegar a la etapa de construcción.

Una aplicación mas, que es la que se propone para este trabajo, es dentro de la

robótica aérea. El modelo matemático constituye el centro neurálgico de la

aeronave. Es el órgano que dicta su comportamiento y evolución durante una fase

de vuelo.

Este estudio establece las bases para el diseño de los sistemas de estabilidad,

control automático y de navegación que le permitirá a la aeronave el título de

Vehículo Aéreo Autónomo. Con ello podrá despegar y aterrizar de manera

completamente autónoma o también si se prefiere de manera manual, con la

propensión de realizar su trayectoria que se le indique a través de cartografía

cargada en una computadora portátil que funcionaría como estación en tierra. La

estación terrena servirá para monitorear datos del estado de la aeronave tales como

revoluciones por minuto del motor, temperatura del motor, carga de baterías,

cantidad de combustible, velocidad de la aeronave, posición, actitud, temperatura

ambiental así como de recibir la señales de video captadas por las cámaras que

portará la aeronave.

xix

El trabajo está estructurado en cinco capítulos. El primer capítulo hace una

introspección sobre el avance de los vehículos aéreos no tripulados en algunos de

los países mas desarrollados tecnológicamente en el mundo, comparando los

resultados de ese análisis con lo que existe en nuestro país. Este mismo capítulo

trata sobre algunos de los elementos y consideraciones que algunos autores han

incorporado a sus modelos matemáticos de helicópteros para mejorar su fidelidad y

representación del fenómeno.

En el capítulo dos se presenta una breve descripción de la teoría del helicóptero,

describiendo sus principales órganos, así como de la dinámica de vuelo.

En el tercer capítulo se presentan las ecuaciones de movimiento traslacional,

rotacional, relaciones de Euler y los diferentes marcos de referencia que habrán de

emplearse para referir la dinámica de cada uno de los subsistemas en que se

dividió al helicóptero.

En el cuarto capítulo se presenta un desarrollo de las ecuaciones de fuerzas y

momentos que se generan en el helicóptero debido a efectos cinemáticos,

aerodinámicos, inerciales y aeroelásticos de cada unos de los subsistemas del

helicóptero.

Finalmente en el capítulo cinco se presentan los resultados de la simulación de las

ecuaciones descritas en los capítulos tres y cuatro.

Se agregan cuatro apéndices. El primero describe las características de la

plataforma aérea empleada para contrastar el modelo matemático teórico con

resultados experimentales de la dinámica de vuelo de un helicóptero real. El

segundo apéndice presenta sucintamente, el desarrollo de los sistemas de

adquisición de datos, sistemas de identificación y sensores empleados para la

lectura de algunos parámetros de la aeronave. En el apéndice tercero se presenta la

fabricación del cuerpo fuselado empleado para cubrir la aeronave. En el último

apéndice se presenta el procedimiento para la obtención de las curvas de

coeficientes aerodinámicos obtenidos numéricamente y empleados en las

ecuaciones del capítulo 4.

La importancia del modelado matemático radica en que si lo anteriormente

expuesto se acepta como cierto, el modelo matemático es un órgano imprescindible

del proyecto completo acercando a nuestro país a conocimiento de frontera en el

área de modelado, control y navegación de aeronaves.

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

1

Capítulo 1 Estado del Arte

En este capítulo se presenta una reseña general a nivel mundial del estado

tecnológico de la simulación de la dinámica de vuelo de los helicópteros y su

importancia en el desarrollo de nuevos proyectos.

La simulación de la dinámica de vuelo de los helicópteros surge de la necesidad por

parte de las empresas dedicadas al desarrollo de estos aparatos de predecir

adecuadamente el comportamiento de nuevos diseños o de implementarlos dentro

de simuladores de vuelo para entrenamiento de pilotos de los equipos que ellos

venden. Es evidente que entre más exactitud y fidelidad se desee entre el fenómeno

descrito y el modelo matemático, mas serán los aspectos a considerar y por tanto

del incremento de la complejidad del modelo.

La necesidad de contar con modelos matemáticos confiables que describan fielmente

el comportamiento de la aeronave, principalmente durante la etapa de diseño, han

llevado a un incremento en su interés por ellos. Aunados a ello, hay que añadir los

avances en la capacidad de las computadoras. Con ello, mejores y más sofisticados

modelos son generados, permitiendo calcular y simular más amplios rangos y

maniobras de vuelo de la aeronave. A los modelos que permiten simular y calcular

parámetros en diferentes maniobras se conoce como “modelos comprensivos”.


2

En años recientes ha existido un interés creciente en el desarrollo de vehículos

aéreos no tripulados, cuya aplicación está destinada a misiones peligrosas para el

hombre.

Alemania, Austria, Estados Unidos, Francia, Israel y Japón son los países que

encabezan la lista en el desarrollo e innovación de este tipo de aparatos.[1.1]

Específicamente en lo que a aeronaves de ala rotativa se refiere y más precisamente

helicópteros, Alemania ha desarrollado una aeronave para misiones de

reconocimiento, cuya principal peculiaridad es que cuenta con un par de rotores

contra rotativos coaxiales. Los desempeños operacionales de ésta aeronave son

elevados. Está motorizado con un motor turboeje de 420 SHP y una capacidad de

carga útil de 180 Kg. Su peso máximo de despegue es de 1125 Kg. [1.2]

La compañía austriaca Schiebel comercializa un helicóptero completamente

autónomo denominado Camcopter. Recientemente ha desarrollado una nueva

versión del Camcopter, el S-100 de mayores dimensiones y mayor capacidad de

carga útil. [1.3]

Los Estados Unidos de Norteamérica es el país con más desarrollo en este campo,

pues cuenta por lo menos con 10 modelos diferentes de helicópteros autónomos.

Las universidades, apoyadas por las fuerzas armadas, han tenido un papel

preponderante en este desarrollo, como es el caso del Georgia Tech y el MIT quienes

han acumulado una experiencia de 10 y 15 años respectivamente en investigación y

desarrollo de este tipo de vehículos mediante el apoyo de un programa de la agencia

DARPA [1.4]. Existen también empresas que comercializan como la Rotomotion Inc.

[1.5]. La misma marina de los Estados Unidos en conjunto con la empresa

Northrop-Grumman se han dado a la tarea de desarrollar vehículos de gran tamaño

tal como el Fire Scout [1.6]. Otras ideas han surgido de empresas como Sikorski con

su propuesta Mariner Cypher II [1.7] y otras empresas tal como SAIC/ATI Vigilante

[1.8].


3

Otro caso de aparatos de elevada sofisticación tecnológica es el Vigilante F2000

[1.9]. Este aparato, que en un principio fue desarrollado por un ingeniero español, y

posteriormente cedido a la empresa francesa Thomson (ahora EADS-THALES) en

asociación con Techno-Sud Industries y el departamento de Comando de Sistemas y

Dinámica de Vuelo de la ONERA. Actualmente es el único aparato en su clase capaz

de poder sobrevolar zonas urbanas y contar con certificado de aeronavegabilidad.

Cabe mencionar, que el desarrollo de este aparato tomó aproximadamente 10 años

de investigación y pruebas por un grupo de especialistas dedicados exclusivamente

a él. [1.10]

En lo que concierne a Israel, existen varias empresas dedicadas al diseño y

comercialización de este tipo de aeronaves, entre las que se tiene el vehículo

Steadycopter [1.11].

La empresa Japonesa Yamaha ha desarrollado un vehículo UAV. El desarrollo de su

primer prototipo comenzó en el año de 1983. [1.12] Actualmente cuenta con el

RMAX 50, el cual tiene un precio de venta que oscila entre 1 300 000 Euros. [1.20].

Otra empresa japonesa que comercializa este tipo de vehículos bajo el principio de

RPV (Remote Piloted Vehicle), es decir, que necesariamente requiere para su

operación la intervención del ser humano es FUJI HEAVY INDUSTRIES. [1.13].

En América latina existe una red de investigación encaminada al desarrollo de este

tipo de vehículo. Está liderada por la universidad Colombiana EAFIT. Su

investigación se centra principalmente en la aplicación de métodos de modelado

matemático teórico y experimental, métodos de control convencional y no

convencional, informático, telemático y comunicaciones para vuelo “estacionario” de

un helicóptero comercial de radio control, no comprendiendo ni el diseño, ni mucho

menos la construcción de una aeronave con características específicas o para una

misión dada [1.14].


4

En México, un grupo muy reducido se ha dado a la tarea de investigar sobre esta

área; específicamente en la ESIME Ticomán, donde se imparte la carrera de

Ingeniería en Aeronáutica, se tiene proyectado todo un programa encaminado al

diseño, construcción y uso de aeronaves de ala rotativa. Prueba de ello, es el diseño

y construcción de un banco de pruebas para la medición de la tracción, par

torsional y eficiencia de rotores de levantamiento para helicópteros [1.15]. Este

aparato forma parte del programa mencionado y tiene la finalidad de comprobar y

validar los modelos matemáticos de diferentes trabajos de investigación a nivel

licenciatura y posgrado entre los que destacan: Modelado y Control de Velocidad

para un Banco de Pruebas de Rotores de Helicópteros [1.16], análisis aeroelásticos

de rotores de levantamiento [1.17], Diseño y construcción de un rotor de alta

eficiencia aerodinámica [1.18].

Para el desarrollo de un Sistema Aéreo no tripulado, es necesario contar con un

modelo matemático que prediga y describa su dinámica de vuelo. Sin embargo,

según Mettler “El desarrollo exitoso de un vehículo aéreo autónomo requiere la

solución de complejos problemas de ingeniería (…) En los años iniciales de la

robótica aérea un pequeño número de aquellos sistemas fue construido,

principalmente en instituciones académicas, y sólo algunos de ellos pudieron

mostrar capacidades básicas de vuelo como el vuelo estacionario y el vuelo lento a

través de ciertos puntos. Después de estos avances importantes se han tenido

pequeños progresos en el mejoramiento de las capacidades de vuelo automático. La

razón principal para esta limitación es la ausencia de un modelo preciso que pueda

ser usado para el análisis y diseño del sistema de control de vuelo (…).

Estos aspectos de hardware y software ocuparon completamente el tiempo de los

investigadores y fue una de las razones primarias del lento y a menudo infructuoso

desarrollo de los vehículos experimentales en los años 90. Hoy, estas dificultades

continúan representando un problema; sin embargo, la situación está mejorando

con la experiencia acumulada y el progreso continuo en la tecnología de los sensores


5

y las computadoras. Estos avances les permitirán a los investigadores enfocarse a

nuevos tópicos como la dinámica del vehículo, control avanzado de vuelo, guíado,

etc. que son fundamentales en la creación de vehículos altamente competentes".

[1.19]

Uno de las razones principales de no contar con un modelo adecuado es que la

aerodinámica del helicóptero es extremadamente compleja y difícil de medir,

modelar y predecir, como lo cita A. T. Conlisk [1.20] y ello debido a la dinámica del

rotor principal.

Un modelo matemático generalmente puede hallarse implementado íntegramente

dentro de un simulador de vuelo, el cual va a responder en función de las

condiciones externas impuestas tales como una ráfaga de viento o bien por una

maniobra comandada por el piloto. Si bien existen algunos simuladores de vuelo de

tipo comercial que pueden ser cargados en una PC con un relativo bajo costo, éstos

presentan una regular fidelidad respecto al fenómeno reproducido. Entre los más

conocidos se tiene el Flight Simulator de la compañía Microsoft Co. En este capítulo

se describen los de tipo profesional entre los que destacan una decena

aproximadamente y como resulta evidente, los fabricantes difícilmente

proporcionarían los modelos matemáticos que hacen funcionar sus simuladores.

Uno de los modelos más empleados es el desarrollado por la NASA denominado

Modelo Matemático de Simulación de Helicóptero de mínima complejidad [1.21]

desarrollado en 1988, para este entonces todavía resultaba difícil la simulación en

tiempo real de complejos modelos debido a las limitaciones que en el equipo de

computo se tenía. Este modelo fue evolucionando al grado de obtener resultados

satisfactorios mediante un refinamiento descrito en [1.22].

Otro modelo que ha servido como plataforma y que ha sufrido mejoras constantes es

el desarrollado por Howlett denominado GENHEL. Este modelo considera un rotor

de palas rígidas con articulación de aleteo y arrastre. Simula también la dinámica


6

de la torsión longitudinal que sufren las palas debido a las cargas aerodinámicas

mediante un modelo empírico. Para el modelado del fuselaje considera un cuerpo

rígido e indeformable cuyas características aerodinámicas se toman de valores

empíricos. [1.23].

Posteriormente este modelo evolucionó al ser mejorado por Bullin, el cual

incrementa su fidelidad al enfocarse principalmente al mejoramiento de la parte que

simula el motor [1.24].

Este modelo se ve mejorado cuando Kim [1.25] añade la simulación de la dinámica

de la afluencia al rotor desarrollado por Pitt-Petters [1.25] dando origen al modelo

conocido como UM- GENHEL.

El modelo UM-GENHEL es mejorado por Turnoir al añadir la dinámica de aleteo,

arrastre y torsión de las palas de manera acoplada y empleando un análisis por

elementos finitos. Añade también un modelo matemático de la afluencia del rotor

descritos en el modelo aerodinámico en forma estado – espacio no permanente

desarrollado por Leishman – Nguyen [1.26]. Surge de esta manera el modelo de

simulación denominado Flexum.

Todos los códigos comprensivos del helicóptero considerados incluyen el modelado

del acoplamiento rotor–fuselaje. Con respecto al modelado del fuselaje, todos los

códigos asumen el modelo del fuselaje como rígido, mientras que los códigos

2GCHAS, COPTER, TECH01 y UMARC permiten, mediante un modulo de NASTRAN,

la representación elástica del fuselaje. Todos estos códigos son flexibles para

modelar cualquier tipo de configuración del núcleo del rotor, es decir articulados,

semirígidos y rígidos.


7

A los modelos que incluyen análisis de la elasticidad de las palas del rotor principal

por elemento finito se conoce como de segunda generación. Este análisis permite

simular palas rígidas y elásticas, junto con las aletas de borde de salida de éstas, así

como incluir los grados de libertad de retraso y torsión. Estas consideraciones están

incluidas en los códigos 2GCHAS, COPTER, TECH01 y UMARC.

El TECH01 modela la pala usando el acoplamiento dinámico de aleteo/cabeceo y la

dinámica desacoplada de retraso. FLIGHTLAB utiliza el acoplamiento de

aleteo/retraso y el desacoplamiento de la dinámica torsional.

Con respecto al modelado de las características de flujo del rotor principal, una serie

de opciones de modelado de flujo se asocian con este modelo comprensivo del

helicóptero. Los códigos de 2GCHAS, CAMRAD y UMARC emplean el modelo simple

de flujo uniforme basado en la teoría de cantidad de movimiento. Una distribución

lineal de flujo es utilizada en el modelo de Pitt-Peters. El modelo de flujo de Drees

puede ser empleado en los modelos de TECH-01 y UMARC. Hay también ciertos

módulos de modelado de vortice de la estela que pueden ser introducidos en estos

códigos. Todos los códigos permiten modelar la geometría de vórtice basadas en

parámetros que incluyen la condición de vuelo, el movimiento de las palas del rotor,

la distribución de carga de las palas, etc.

El primer modelo de estela libre usado en la simulación de la dinámica de vuelo fue

el trabajo realizado por el modelo de estela libre de Scully [1.27] y la inclusión de

este modelo aparece como una variante del 2GCHAS, COPTER, CAMRAD y UMARC.

El modelo de estela libre de Jhonson es una modificación del modelo de Scully para

usarse en la familia de los códigos CAMRAD y está implementado en los códigos

COPTER y UMARC. MFW es el modelo de estela libre de Maryland ya descrito

anteriormente, implementado en los códigos de UMARC y 2GCHAS.


8

Actualmente no existe código comprensivo que incluya una rutina que capture los

efectos aerodinámicos producidos por maniobras que se apoye en la teoría de estela

libre y subsecuentemente la distribución del flujo. Debe ser mencionado que

2GCHAS tiene la capacidad de capturar los efectos de las maniobras y reflejarlas en

la geometría del vórtice de estela, pero no está claro en la literatura disponible cómo

se logra esto.

Con respecto a los cálculos de punto de equilibrio, estos códigos permiten

calcularlos para vuelo libre y en túnel de viento en estado estable. CAMRAD es el

único código del que se tiene reportado que cuenta con la capacidad de calcular las

condiciones de equilibrio para helicópteros durante el estado de maniobra, por

ejemplo viraje coordinado y vuelo en ascenso y descenso. Existen algunas

diferencias en los procedimientos utilizados para calcular las condiciones de

equilibrio. EL 2GCHAS utiliza un procedimiento de evaluación periódica que

compara sus valores con los criterios de estabilidad. UMARC utiliza un ajuste

algebraico donde el ajuste de las condiciones de equilibrio cumple

satisfactoriamente el conjunto de ecuaciones. CAMRAD posee la capacidad de

utilizar ambos tipos de procedimientos de ajuste para calcular las condiciones de

equilibrio.

Todos los códigos comprensivos tienen la capacidad de obtener un conjunto de

ecuaciones lineales a partir de ecuaciones no lineales que surgen de los modelos

matemáticos. La obtención de un modelo linealizado es el argumento único para

contar con una posición de equilibrio.

Para los casos donde las ecuaciones de movimiento son formuladas en un marco de

referencia rotacional, los resultados de los modelos lineales tienen coeficientes

periódicos y requieren del uso de técnicas analíticas que puedan manipular

coeficientes periódicos tal como la teoría de Floquet. Estos códigos para modelos

lineales con coeficientes constantes permiten también ser calculados en marcos de

referencia no rotacional utilizando transformaciones de coordenadas multipala.


9

Ya que cada uno de los códigos permite la obtención de modelos linealizados en la

condición de equilibrio, se pueden determinar históricos en respuesta a entradas de

piloto usando el modelo lineal. Con la excepción del UMARC, los códigos

comprensivos permiten el cálculo de respuestas de vuelo libre a entradas arbitrarias

del piloto, empleando un modelo matemático completamente no lineal. Los

históricos de las respuestas de entrada del piloto son determinados por integración

numérica de las ecuaciones de movimiento. Solo FLIGHT LAB puede calcular

respuestas de vuelo libre en tiempo real y esto es ejecutado a través de uso de

procesos paralelos.

La mayoría de las validaciones publicadas son hechas con códigos comprensivos

usados en instituciones gubernamentales (2GCHAS), educativas (UMARC) e

instituciones de investigación y aquellas disponibles comercialmente (CAMRAD,

FLIGHTLAB). Es menos frecuente encontrar en la literatura, publicaciones de

códigos que son desarrollados en las compañías para su propio uso, tal como

COPTER desarrollado para Bell y TECH-01 desarrollado para Boeing, aunque estos

códigos comprensivos contienen mucho de los ingredientes requeridos para

dinámica de vuelo, el numero actual de estudios y publicaciones difundidas de la

simulación de la dinámica de vuelo específica es limitada.

Finalmente, a algunos de los códigos les han sido añadidas algunas rutinas de

teoría aeroelástica, siendo la aeroelasticidad el estudio de las características

dinámicas del sistema cuerpo/rotor del helicóptero que considera la fusión entre la

aerodinámica y contribuciones estructurales e inerciales. Ha habido una actividad

en el campo de la aeroelasticidad en los helicópteros, especialmente con el

advenimiento de sistemas de rotores avanzados los cuales carecen de bisagras y

cojinetes. Algunas de las revisiones de modelos comprensivos con características

aeromecánicas relacionadas con rotores de helicópteros sin bisagras se incluye en

el estudio de Johnson, Ormiston, Friedmann y Chopra.

CAPÍTULO 2 Fundamentos

11

Capítulo 2 Fundamentos

La teoría del helicóptero está asociada con la dinámica del rotor y esta a su vez con

su aerodinámica. El complejo campo de flujo que se genera alrededor del rotor es el

causante principal de todos los problemas asociados a la dinámica del helicóptero.

El flujo a través del helicóptero es particularmente complicado por varias razones.

Primero, a diferencia del caso del flujo sobre un ala fija la cual puede ser analizada a

menudo con aerodinámica lineal, el flujo a través de un ala rotatoria nunca se

puede considerar como un caso de aerodinámica lineal. De este planteamiento

resulta un gran problema, comenzando desde el modelado hasta las simulaciones

numéricas, necesariamente de carácter iterativo y observaciones experimentales de

fenómenos altamente no lineales, los cuales son sumamente difíciles de interpretar

por su complejidad. En segundo lugar, desde una perspectiva de modelado y

experimental, es difícil el estudio del flujo del fluido en una situación donde algunos

de los componentes se desplazan a altas velocidades mientras que otros

permanecen fijos, como similarmente ocurre en el área de turbomaquinaria. Por

esta razón muchos experimentos y esfuerzos de modelado están enfocados en el

aislamiento de la estela de la pala y del rotor. Recientemente el efecto del fuselaje y

del rotor de cola ha sido incorporado a estos esfuerzos de modelado. De hecho el

trabajo del aerodinamicista del helicóptero se asemeja a analizar la envolvente de

vuelo completa de una aeronave de ala fija que va desde flujo transónico hasta el

desplome por baja velocidad en una sola revolución del rotor. Finalmente, la


12

experimentación de los efectos en el helicóptero son extremadamente caros, esto

implica un esfuerzo significativo en el modelado, el cual esta limitado en sí mismo

por el estado tecnológico actual de la arquitectura de las computadoras.

2.1. LA DINÁMICA DE VUELO

El vuelo de una aeronave es descrito por los principios de la mecánica clásica. En la

mecánica se trata el movimiento de los objetos que poseen una propiedad escalar

inercial llamada masa.

Los objetos pueden ser modelados como partículas individuales (también llamados

masas puntuales) o ensambles de partículas llamados cuerpos.

Los movimientos traslacionales de las masas puntuales y cuerpos son de interés.

Tales objetos ocupan posiciones en el espacio y pueden tener tres componentes

lineales de velocidad relativas a algún marco de referencia.

El producto de la masa de un objeto y su velocidad es llamado momento traslacional,

que es también un vector tridimensional. Las fuerzas pueden actuar sobre un objeto

y cambiar su momento traslacional, el cual de otra manera permanecería constante

relativo a un marco de referencia inercial.

A diferencia de las masas puntuales, los cuerpos tienen una forma tridimensional y

volumen. La posición de un cuerpo se define por las coordenadas de un punto de

referencia particular sobre o en el cuerpo, tal como su centro de masa (su punto de

balance). La velocidad del cuerpo se refiere a la velocidad de ese punto de referencia.

La orientación angular y el movimiento rotacional de un cuerpo son parámetros

importantes de su estado físico. El momento angular, equivalente rotacional del

momento traslacional, permanece sin cambios a menos que un par torsional (una

fuerza aplicada a una cierta distancia del centro de masa y perpendicular a dicho

radio de acción) actúe sobre el cuerpo. Un cuerpo puede ser caracterizado por seis

propiedades inerciales llamadas momentos y productos de inercia; el primero refleja


13

la relación directa entre la taza angular y el momento alrededor de un eje rotacional,

mientras que el segundo establece los efectos de acoplamiento entre ejes.

La mecánica es dividida en cinemática, estática, dinámica y control. La cinemática

es la descripción general del movimiento de los objetos sin considerar las fuerzas o

pares que puedan inducir cambios, de esta forma, se consideran la geometría y la

relación entre posición y velocidad y no los medios con los que se realizan los

cambios.

La estática está enfocada al balance de fuerzas y momentos y efectos inerciales para

producir equilibrio. Una aeronave puede alcanzar el equilibrio estático cuando se

esta moviendo, siempre y cuando su momento angular y lineal permanezcan sin

cambios; para una masa constante y características rotacionales inerciales, esto

implica un vuelo sin aceleración. La dinámica estudia el vuelo con aceleración,

cuando el momentum cambia con el tiempo. El problema mas usual de la dinámica

concierne a la variación continua del movimiento en respuesta a la variedad de

condiciones, como las condiciones iniciales de no equilibrio, entradas de

perturbación o fuerzas y pares torsionales comandadas.

Nos referimos a las posiciones lineales y angulares y cambios de la aeronave como

su estado dinámico; las correspondientes doce cantidades son ordenadas en lo que

se conoce como vector de estado que son cantidades de las variables

independientes. Los movimientos que ocurren en el plano vertical son llamados

movimientos longitudinales mientras que aquellos que ocurren fuera del plano son

llamados movimientos laterales-direccionales. Las variables del movimiento

longitudinal relacionadas con los ejes de cuerpo, son velocidad axial, velocidad

normal, relación de cabeceo, y sus integrales de ejes inerciales: alcance, altitud y

ángulo de cabeceo. Las variables laterales-direccionales son velocidad lateral,

relación de alabeo, relación de guiñada y sus integrales de ejes inerciales, alcance,

ángulo de cabeceo, y ángulo de guiñada. La estabilidad es una importante

característica dinámica que describe la tendencia del estado de la aeronave a

regresar a una condición de equilibrio o a divergir en respuesta a entradas o

condiciones iniciales. Control es el área crítica de la mecánica que desarrolla


14

estrategias y sistemas para alcanzar los objetivos y asegurar la estabilidad, una vez

dada la misión de una aeronave, como perturbaciones, incertidumbres paramétricas

y tareas de pilotaje. La estabilidad natural del avión puede aumentarse con el

control de retroalimentación.

2.2. EL ROTOR PRINCIPAL

El rotor principal es el sistema encargado de generar la sustentación en el

helicóptero. Este, además de generar las sustentación debe asegurar también la

tracción de la aeronave. La situación ideal para un helicóptero es que el

levantamiento se mantenga constante a través del ciclo de rotación del rotor. Sin

embargo, dado que las palas del rotor giran en una sola dirección, en vuelo hacia

adelante se presenta una fuerza y un momento desequilibrante. Esto es debido a

una disimetría de velocidades en la pala que avanza y en la pala que retrocede pues

a la velocidad tangencial (u) de cada una de las palas hay que sumar vectorialmente

la velocidad de desplazamiento de la aeronave (v). El levantamiento de cada pala es

proporcional a la velocidad de desplazamiento de ésta elevada al cuadrado, por

tanto la pala que avanza generaría mayor levantamiento que la que retrocede.

Fig. 2.1. Asimetría de flujo y fuerzas de sustentación en una pala

u-v

Zona de inversión de flujo

Mayor sustentación de la pala que avanza

Velocidad de desplazamiento del helicóptero

Perfil de velocidad relativa de la

pala que avanza


15

Sin un mecanismo que compense el momento generado por esta disimetría, el

helicóptero tendería a girar sobre su eje de traslación, es decir realizaría un

movimiento de alabeo. Para equilibrar los momentos y las fuerzas, el rotor necesita

ser ajustado; esto es, el ángulo de ataque de la pala que avanza y el de la que

retrocede deben ser ajustadas periódicamente durante el ciclo de rotación de cada

pala. A esto se le conoce como paso cíclico y consiste en dar un ángulo de ataque

pequeño pero suficiente a la pala que avanza y uno mayor en la pala que retrocede

para alcanzar el mismo levantamiento.

El paso colectivo de las palas es aquel en el cual el ángulo de ataque de cada una de

ellas se incrementa simultáneamente para obtener un mayor levantamiento; por

ejemplo de un incremento en el paso colectivo resulta un ascenso. En vuelo

estacionario, teóricamente, no se requeriría del ajuste así como tampoco del aleteo

para el balance de fuerzas, sin embargo las no uniformidades del flujo así como la

presencia del fuselaje los hacen necesarios. Adicionalmente, las palas del rotor

presentan un torcimiento así como un flechado, es decir que la geometría local del

ángulo de paso varía a lo largo de la envergadura así como su cuerda. [2.1].

Para proporcionar el ajuste así como evitar los altos esfuerzos aeroelásticos, los

rotores de los helicópteros a menudo están articulados en sentido que las palas

pueden “pivotar” hacia arriba y abajo fuera del plano de rotación, este mismo

mecanismo sirve para satisfacer los requerimientos de cabeceo y lograr de esta

manera el desplazamiento de la aeronave; a este mecanismo se le conoce como

articulación de aleteo o batimiento. Este movimiento de aleteo engendra otro

problema que hace que las palas sean solicitadas por momentos de flexión

longitudinales sobre el plano de rotación. Para disminuir los esfuerzos provocados

por este movimiento, los rotores de los helicópteros presentan otra articulación,

conocida como de arrastre. Esta permite el movimiento de la pala sobre el plano del

disco de rotor. Si un rotor presenta las dos articulaciones además de la de paso se

dice que el rotor es completamente articulado.

Las palas del rotor tienen un alargamiento (relación envergadura – cuerda) muy

grande y esto provoca que los esfuerzos se transmitan al núcleo si a las palas no se


16

les permite aletear. Sin embargo, como las palas son aeroelásticas, los esfuerzos en

el núcleo puedan ser reducidos al mínimo y ambos tipos de articulaciones

eliminados. En estos casos, se dice que el rotor es no articulado.

Fig. 2.2. Rotor Articulado

La pala al encontrarse girando describe entonces un movimiento periódico, el cual

se puede modelar mediante una serie de Fourier.

El aleteo o batimiento sigue una trayectoria descrita mediante:

...2sen2cossencos s2c2s1c10 +++++= ψβψβψβψβββ --------------- 2.1

El movimiento de arrastre tiene la forma

...2sen2cossencos s2c2s1c10 +++++= ψδψδψδψδδδ --------------- 2.2

El movimiento de cambio de incidencia de la pala tiene una forma

...2sen2cossencos s2c2s1c10 +++++= ψθψθψθψθθθ --------------- 2.3

Ω Articulación de arrastre Articulación de aleteo Mando de cambio de ángulo de paso

Eje de cambio de ángulo de paso


17

Las primeras armónicas del movimiento de las palas (coeficientes con subíndices 0,

1c, 1s) son los mas representativos en el desempeño y control del helicóptero.

De esta manera, el ángulo de conicidad es β0; β1c y β1s son los ángulos de cabeceo y

alabeo del plano de rotación del rotor respectivamente. θ0 es el ángulo de paso

colectivo; θ1c y θ1s son los ángulos de paso cíclico longitudinal y lateral

respectivamente.

Como se ha mencionado, al tener una pala que “vuela” a mayor velocidad con

respecto a la otra, el flujo en la punta de la pala que avanza es generalmente

compresible, mientras que de manera general, el flujo de las palas del rotor del

helicóptero es substancialmente incompresible. De hecho el flujo puede ser

transónico o localmente supersónico en la pala que avanza cerca de la punta lo que

provoca ondas de choque. En la pala que retrocede, por los requerimientos de

ajuste, el ángulo de ataque es grande y el flujo puede detenerse por los efectos

viscosos, hecho que ocasiona un desplome de manera local en alguna sección de la

pala. Por otra parte como las palas están girando, los vórtices generados por estas,

puede colisionar con la pala que viene detrás, este fenómeno es conocido como

interacción de vórtice (BVI) y es la mayor fuente de producción de ruido en el

helicóptero. [2.2].

Los vórtices de las palas interactúan con los otros componentes del helicóptero, las

interacciones mas importantes son del rotor principal con el fuselaje y el rotor

principal con el rotor de cola. Este vortice al encontrase girando forma una estela de

fluido altamente turbulenta.

Generalmente, la estela del helicóptero consiste en una superficie de vorticidad que

se desarrolla del eje de rotación hacia fuera y abajo así como de un vórtice helicoidal

en la punta de la pala.


18

La superficie de vorticidad y el vortice de la punta se confinan en regiones muy

delgadas las cuales están rodeadas sustancialmente por flujo irrotacional. Esto hace

que los experimentos así como los cálculos se vuelvan extremadamente difíciles

debido al gradiente de velocidad cerca de la superficie de vorticidad, de los vórtices

de punta y del fuselaje. Obsérvese en la figura 2.3 que el sentido de la circulación de

la superficie de vorticidad es opuesta al vórtice de la punta, esto provocará una

interacción inestable entre las dos. Hay un vórtice en la raíz de la pala, la cual

emana del borde de la pala del rotor. Sin embargo por la pequeña vorticidad que

genera -energéticamente hablando- usualmente se desprecia en el diseño del rotor.

Fig. 2.3. Vorticidad en las inmediaciones de un rotor (de Gray, 1956)

Vorticidad de punta

Superficie de Vorticidad


19

2.3. EL ROTOR DE COLA

Las aeronaves de ala rotativa al presentar un sistema de sustentación giratorio que

interactúa con el aire, por la tercera ley de Newton, sufrirá un par torsional reactivo

que se manifiesta sobre el fuselaje de la aeronave haciéndolo girar con la misma

intensidad pero en sentido opuesto.

Con el propósito de hacer controlable al aparato, los diseñadores han ideado

diversas formas de anular este par reactivo, existiendo diferentes conceptos de

diseño. Entre los más populares se encuentra el conocido como rotor de cola que

consiste en posicionar una hélice en la punta de una viga que provoque un par

torsional que anule el par reactivo generado por el rotor principal, a este sistema se

le conoce como rotor de cola.

Fig. 2.4. Rotor de cola convencional


20

2.4. EL FUSELAJE

El fuselaje es el subensamble que integra diferentes elementos y subensambles que

componen al helicóptero. Puede estar carenado o no, es decir cubierto o no por un

cuerpo currentilineo que minimice los efectos de resistencia al avance. Al

encontrarse en vuelo en traslación, es la superficie de placa plana de la vista frontal

la que interesa para el análisis de requerimientos de potencia, ya que es esta la que

opone resistencia a desplazarse. En vuelo estacionario esta resistencia al avance

vale cero ya que no existe componente de velocidad longitudinal, sin embargo el

rotor principal al encontrarse girando e inducir un flujo es interferido por el fuselaje

que se encuentra debajo de él, y es ahora la superficie de placa plana en su vista de

planta del fuselaje la que hay que considerar. Este flujo entonces, al ser interferido

por el fuselaje, genera una componente de fuerza vertical que se añade al peso. Este

suplemento de “peso” varia en función de la forma en planta del fuselaje siendo alto,

por ejemplo, para aeronaves que tiene soportes subalares para armamento, tanques

de combustible externos o una forma muy robusta debido a la misión que

desempeñan. Los valores de peso que añade esta resistencia vertical al vehículo,

varían entre un 2 a 5% del peso de la aeronave [2.3]. Más allá de los 100 Km/hr la

estela de flujo dejada por el rotor principal comienza a tener efectos despreciables

sobre el fuselaje [2.3]. Sin embargo en la transición de vuelo estacionario a vuelo de

traslación existe un instante donde la estructura de la estela dejada por el rotor

afecta todas las superficies de la aeronave tales como el empenaje horizontal,

vertical así como el rotor de cola. Al momento, la forma exacta de la estela no se ha

podido determinar con precisión ni su influencia sobre los mencionados elementos

por ello es deseable de momento un modelo matemático simple que describa el

fenómeno. [2.4].


21

2.5. EL EMPENAJE HORIZONTAL

El empenaje horizontal es la superficie que ayuda a mantener en equilibrio

longitudinal y lateral a la aeronave. La necesidad de estas superficies proviene de la

misma razón que en los aeroplanos: un fuselaje perfilado es aerodinámicamente

inestable en cabeceo y en guiñada, añadiéndole el ala o el rotor, lo empeora aún

más. Los primeros en reconocer que el helicóptero y el aeroplano tenían similares

necesidades aerodinámicas fueron los ingenieros de NACA (ahora NASA) quienes

comenzaron instalando colas en los helicópteros como parte del primer programa de

investigación para mejorar las cualidades de vuelo. Los diseñadores actuales, ya por

costumbre, bosquejan el estabilizador horizontal en todo diseño preliminar. [2.5]

2.6. EL EMPENAJE VERTICAL La necesidad de un estabilizador vertical es menos clara ya que el rotor de cola

suele ser suficiente para dar estabilidad al fuselaje en guiñada. Por esta razón,

muchos diseños del estabilizador vertical son simplemente soportes estructurales

del rotor de cola con formas currentilíneas con el propósito de disminuir la

resistencia al avance. [2.6]

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

23

Capítulo 3 Ecuaciones de movimiento

El vehículo puede ser visto como un arreglo de subsistemas interactuando entre sí.

Estos subsistemas, para efecto de este trabajo, serán divididos de la siguiente

manera:

rotor principal

rotor de cola

fuselaje

planta de potencia

sistema de control de vuelo

empenaje vertical y

empenaje horizontal

Las ecuaciones serán analizadas por subsistema y posteriormente ensambladas. El

origen del sistema de ejes de referencia ortogonales sobre el que serán ensambladas

es el centro de gravedad de la aeronave, el cual se considerará que es fijo. Se

asumirá que la aeronave se comporta como un cuerpo rígido y que presenta los seis

grados de libertad. Así mismo, se considerarán que el rotor principal presenta tres

grados de libertad, el ángulo de aleteo longitudinal, el lateral y la conicidad.

Como existen seis grados de libertad, la aeronave comprende las tres componentes

de velocidad traslacional u, v, w; las tres componentes de velocidad angular p, q, r y

los ángulos de Euler φ, θ, ϕ . Las velocidades son referidas al mismo sistema de ejes


24

establecido, que en lo sucesivo se le denominará Sistema Cuerpo. Es necesario así

mismo que la aeronave sea referida en el espacio tridimensional, para ello se

establece un sistema con origen en la tierra, el cual también es ortogonal, y que se

le denominará en lo sucesivo Sistema Tierra.

3.1. SISTEMAS DE REFERENCIA DEL HELICÓPTERO Las fuerzas tanto de cuerpo como de superficie así como los momentos que genera

el helicóptero tendrán que ser analizadas desde diferentes sistemas de referencia.

Entendiendo como sistema de referencia, aquel sistema coordenado que presenta

propiedades de simetría e invarianza.

Los sistemas que interesarán a lo largo del curso de este trabajo, son únicamente

sistemas cartesianos ortogonales.

En un sistema de coordenadas cartesiano (X, Y, Z); i, j, k, forman una base de

vectores unitarios alojados a lo largo de los ejes ortogonales X, Y, Z.,

respectivamente.

Si se emplea la notación iA , jA , kA por ejemplo, para alguna posición inicial de la

aeronave, cualquier giro alrededor de alguno de los ejes X, Y ó Z respectivamente se

puede obtener mediante una matriz de rotación. Una rotación por un ángulo ψ

alrededor del eje Z transforma a los vectores de la base iA , jA , kA en los vectores de

la base iB , jB , kB y la matriz que realiza la transformación es:

=100

0cossen-

0sencos

R z ψψψψ

--------------- 3.1


25

Esto es:

=

A

A

A

B

B

B

100

0cossen-

0sencos

k

j

i

k

j

i

ψψψψ

--------------- 3.2

Si en la nueva posición se realiza un giro por un ángulo θ alrededor del eje YB con la

matriz de rotación

=θθ

θθ

cos0sen

010

sen-0cos

RBY

--------------- 3.3

Ser tiene que:

=

A

B

B

C

B

C

cos0sen

010

sen-0cos

k

j

i

k

j

i

θθ

θθ

--------------- 3.4

De la misma manera, una rotación por un ángulo φ alrededor del nuevo eje XC, con

la matriz de rotación:

=φφφφ

cossen-0

sencos0

001

RCX

--------------- 3.5

Da:

=

C

B

C

D

D

C

cossen-0

sencos0

001

k

j

i

k

j

i

φφφφ

--------------- 3.6

Por lo tanto, las rotaciones sucesivas que permiten pasar de (iA , jA , kA) a la

posición final (iA , jA , kA) está dada por el producto de las matrices RZ, RYB, RXC, esto

es:

ZYX RRRRBC

= --------------- 3.7

De esta forma se tiene que:


26

+

+=

θφψφ

ψθφψφ

ψθφ

θφψφ

ψθφψφ

ψθφ

θψθψθ

coscoscossen-

sensencos

sensen

cossencos

cossencoscos

sensensen

sencos-

cossensen

sen-sencoscoscos

R

--------------- 3.8

Este criterio será aplicado para la transformación de fuerzas y momentos generados

en un sistema y su representación en los ejes cuerpo.

3.1.1. Sistema Núcleo

Este sistema es referido al sistema donde se generan todos los fenómenos

aerodinámicos del rotor. Estos fenómenos son cíclicos, es decir que se producen

regularmente a cada revolución del rotor, por tanto es necesario definir la posición

de la pala con relación a un origen. El ángulo ψ servirá para definir esta posición

que se conoce como acimut. Así mismo, en vuelo de translación, la velocidad

tangencial u de la pala se adiciona vectorialmente con la velocidad de translación v,

como ya se explico en la sección 2.1 del capítulo anterior. La velocidad resultante vR

presenta una componente tangencial uR que es la velocidad tangencial relativa de la

pala respecto al aire. uR varía con la posición acimutal (ψ) de la pala, y esta

variación conlleva a una disimetría de velocidades que a su vez genera una

disimetría de fuerzas de levantamiento en cada pala a cada revolución. Esta

disimetría de levantamiento hace que aparezca un fenómeno que se conoce como

aleteo o batimiento que a su vez genera otro fenómeno de avance y retraso de la

pala, haciendo aparecer los esfuerzos de Coriolis. Sin embargo, debido al fenómeno

de presesión que presentan todos los cuerpos que se encuentran girando

(giróscopos), el batimiento o aleteo, que debería ser máximo en el punto donde existe

la mayor velocidad relativa de la pala, será máximo 90º después. El desplazamiento

angular de cada pala producido por el fenómeno de aleteo será designado mediante

el ángulo β que como ya fue descrito en la ec. 2.1 del capítulo 2 tiene una forma

armónica en cada revolución, por supuesto de diferente valor para cada pala.


27

De esta manera se considerara el sistema núcleo, que se muestra en la figura 3.1.

Fig. 3.1. Sistema núcleo y sistema pala

Su origen es el centro del núcleo de rotación, de tal manera que los ejes xH, yH, zH se

encuentren alineados como se muestran en la figura. La transformación del sistema

pala al sistema núcleo requiere de dos transformaciones. La primera considera la

rotación del eje con la velocidad angular Ω (ángulo ψ) y el segundo considera el

ángulo de aleteo de la pala β. Por lo tanto para un rotor que gira de manera

antihoraria, con ψ = 0 en la parte posterior del disco, es decir sobre el botalón de la

aeronave, y β positivo hacia arriba, la transformación se puede escribir en términos

de vectores unitarios en los dos sistemas mencionados.

−

−=

B

B

B

H

H

H

k

j

i

cos0sen

010

sen0cos

100

0cos-sen

0sen-cos

k

j

i

ββ

ββψψψψ

--------------- 3.9

xB

ZH

XH

YH

zB

yB

ψ β


28

−=

B

B

B

H

H

H

k

j

i

cos0sen

sensencos-cossen

sencos-sen-coscos-

k

j

i

βββψψβψβψψβψ

--------------- 3.10

3.1.2. Sistema de referencia de un elemento de pala y sistema

viento

Las palas del rotor se doblan y tuercen bajo la influencia de cargas aerodinámicas

inestables y no lineales, que son en sí una función del movimiento de las mismas y

que perturban al sistema, en este evento se ven involucrados diversos fenómenos

como el aleteo, el adelanto y retraso de las palas y el cambio de paso cíclico. En esta

sección se definirá el sistema de referencia del movimiento cinemático de un

elemento de pala, realizándose sus transformaciones al sistema de referencia núcleo.

Las velocidades de traslación del sistema pala puede ser transportado al sistema

núcleo mediante la matriz de transformación

qxw

phv

qhu

cos0sin

010

sin0cos

w

v

u

CGA

RA

RA

ss

ss

H

H

H

++−

−=

γγ

γγ

--------------- 3.11

En las velocidades angulares de la cinemática de las palas interviene el viento

relativo por lo que hay que considerarlo, así:

q

p

cossin

sincos

q

p

ww

ww

w

w

−=

ψψψψ

--------------- 3.12

Donde

u

usin ,

u

ucos y

wx

w == ψψ --------------- 3.13

wx

wy

w sinu

u -cos

u

u ψψψ &&

& = --------------- 3.14


29

( )

+=

Ω=

Ω=

Ω=

21

2y

2x

Hz

Hy

Hx

uuu

R

wu ,

R

vu ,

R

uu

--------------- 3.15

De (3.4), las componentes de la aceleración angular del núcleo, en el sistema viento

se pueden escribir

pq

qp

cossin

sincos

q

p

w

w

ww

ww

w

w

−+

−=

ψψ

ψψψψ

&&&&

&&

--------------- 3.16

Usando la matriz de transformación de (3.2) y las relaciones mostradas arriba, las

componentes aerodinámicas de velocidad (relativo al aire) en un punto a lo largo de

la envergadura de la pala, rB, en el sistema de ejes de referencia pala, son

aproximados por,

βψ HwHwB wcosuu −−= --------------- 3.17

( )xwBHwB rrsenuv βωψ −−Ω−−= --------------- 3.18

( )βψβ &−++−= yBHwHwB wrwcosuw --------------- 3.19

3.1.3. Ejes cuerpo

Al aplicar los ángulos de rotación para pasar de un sistema a otro y así conocer el

comportamiento de las componentes de los diferentes vectores, la referencia que la

aeronave ocupa en el espacio es no única, ya que la secuencia de rotación no es

permutable. La secuencia de rotación se tomará como la empleada por B. Etkin

[3.2], la cual define una rotación en el eje z, haciendo aparecer el ángulo ψ que en

los sucesivo se denominará ángulo de guiñada, posteriormente una rotación sobre el

eje y haciendo aparecer un ángulo θ que se le denominará ángulo de cabeceo y

finalmente una rotación sobre el eje x, haciendo aparecer un ángulo φ, ángulo de

alabeo. Sea entonces la posición inicial de la aeronave la definida por el vector A,


30

que al realizar una rotación alrededor del eje z a un ángulo ψ y aplicar la matriz de

transformación ( )ψ , el nuevo sistema sea B, es decir:

( )

−=

=

A

A

A

A

B

B

k

j

i

100

0cossen

0sencos

k

j

i

ψψψψ

ψ AB

--------------- 3.20

Fig. 3.2. Rotación de guiñada ψψψψ

De manera similar, se realizará la transformación del vector B, rotando el eje yB a

un ángulo θ, y convirtiéndose el sistema en el vector C, es decir:

( )

=

=

A

B

B

B

B

C

k

j

i

cos0sen

010

sen-0cos

k

j

i

θθ

θθθ BC

--------------- 3.21

ψψψψ

xA

yA

yB

xB zA


31

Fig. 3.3. Rotación de cabeceo θθθθ

Finalmente, se realizará la transformación del vector C rotando el eje xC a un ángulo

φ, y convirtiéndose el sistema en el vector D, es decir:

( )

=

=

B

B

C

C

C

C

k

j

i

cossen-0

sencos0

001

k

j

i

φφφφ

φ CD

--------------- 3.22

Fig. 3.4. Rotación de alabeo φφφφ

φφφφ

yC

zB

yB

xC

zC

θθθθ

xB zB

yB

xC

zC


32

De esta manera el vector D puede ser representado mediante la matriz producto de

cada una de las matrices de transformación, esto es:

( )( )( ) AAD Γ== ψθφ --------------- 3.23

donde:

+

+=Γ

θφψφ

ψθφψφ

ψθφ

θφψφ

ψθφψφ

ψθφ

θψθψθ

coscoscossen-

sensencos

sensen

cossencos

cossencoscos

sensensen

sencos-

cossensen

sen-sencoscoscos

--------------- 3.24

3.2. ANÁLISIS DE FUERZAS Y MOMENTOS EN EL HELICÓPTERO En esta sección se presentan las fuerzas y momentos externos de la aeronave para

cada uno los subensambles en los que se ha dividido.

Fuerza

Longitudinal

X = XRP + XRC + XE + XV + XF --------------- 3.25

Fuerza Lateral Y = YRP + YRC + YE + YV + YF --------------- 3.26

Fuerza Vertical Z = ZRP + ZRC + ZE + ZV + ZF --------------- 3.27

Momento de Alabeo L = LRP + LRC + LE + LV + LF --------------- 3.28

Momento de

Cabeceo

M = MRP + MRC + ME + MV + MF --------------- 3.29

Momento de

Guiñada

N = NRP + NRC + NE + NV + NF --------------- 3.30

Algunos de los términos de las ecuaciones anteriores aportan un valor muy pequeño

por lo que serán despreciados.


33

La contribución del rotor de cola en el arrastre general de la aeronave es pequeño,

así mismo de la fuerza vertical y del momento de cabeceo, por tanto: XRC = ZRC =

MRC= 0

La fuerza que aporta el empenaje horizontal al arrastre así como la fuerza lateral

son pequeños. De la misma manera sucede con los momentos de alabeo y guiñada,

por tanto XE = YE = LE = NE = 0.

De la misma manera, el empenaje vertical aporta una fuerza pequeña al arrastre así

como en la fuerza vertical. Así mismo sucede con el momento de cabeceo, por tanto:

XV = ZV = MV = 0.

Fig. 3.5. Fuerzas y momentos actuando en la parte lateral de la aeronave

zRP lV lRP

xRP

MRP aRP xv lRC xRC MRC

x xF MF xE

θθθθ aF aE

aRC zRC av lF

lH

zf zE

z


34

Fig. 3.6. Fuerzas y momentos actuando en la parte superior de la aeronave

Fig. 3.7. Fuerzas y momentos actuando en la parte frontal de la aeronave

y

yRC yF lRP

aF

x NRP NF ψψψψ

yV yRC

lV

lRC

dRP dv

yV yRC

LRP yRP aV

aRC

aRP

yF LF φφφφ

y aF dF

zF z


35

3.3. ECUACIONES GENERALES DE MOVIMIENTO TRASLACIONAL Y

ROTACIONAL

Las ecuaciones que rigen el movimiento de traslación y de rotación del vehículo

serán escritas de la manera tradicional [3.2]

( ) θsengm

Xvrwqu −+−−=& --------------- 3.31

( ) φθ sencosgm

Ywpurv −+−−=& --------------- 3.32

( ) φθ coscosgm

Zuqvpw ++−−=& --------------- 3.33

( ) L)pqr(IqrIIpI xzzzyyXX +++−= && --------------- 3.34

( ) M)pr(IrpIIqI 22xzxxzzyy +−+−=&

--------------- 3.35

( ) N)qrp(IpqIIrI xzyyxxzz +−+−= && --------------- 3.36

Donde u, v, w y p, q, r representan las velocidades de traslación y de rotación del

vehículo respectivamente. ψ, θ, φ son los ángulos de Euler. Ixx, Iyy, Izz representan

los momentos de inercia alrededor de los ejes x, y , z respectivamente; Ixz el

producto de inercia alrededor de los ejes x y z. Los ángulos de Euler de las

componentes gravitacionales de las ecuaciones 3. 23, 3.24, y 3.25 pueden ser

determinadas de la ecuaciones diferenciales que las relacionan con las componentes

de velocidades angulares del sistema cuerpo.

θφθφφ tancosrtansenqp ++=&

--------------- 3.37

φφθ senrcosq −=& --------------- 3.38

θφθφψ seccosrsecsenq +=& --------------- 3.39

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

37

Capítulo 4 Modelación matemática

Hay dos tipos generales del modelo de una aeronave, "EI modelo de fuerzas y

momentos totales" y "El modelo de perturbaciones". Para el desarrollo de este

trabajo habrán de considerarse ambos tipos. El modelo de perturbaciones tiene

varias limitantes, principalmente para pequeñas perturbaciones en estado estable.

La razón de estas limitantes es que las derivadas de estabilidad y control son

funciones no lineales que deben calcularse continuamente como una función de la

dinámica de la aeronave.

El desarrollo del modelo de fuerzas y momentos totales se basa en las Leyes de

Newton teniendo un sistema de seis ecuaciones de movimiento que describen el

movimiento de una aeronave rígida con seis grados de libertad. Esto se expresa

como tres ecuaciones para el movimiento de traslación y tres de rotación ya

definidas en el capítulo anterior.

El modelo que aquí se presenta esta basado en el modelo matemático propuesto por

Patfield [4.1] teniendo una variación en cuanto a la modelación de la planta de

potencia.


38

Fig. 4.1. Elememtos del modelo matemático

( ) θsingmX

vrwqu −−−=&

( ) θθ sincosgmY

wpurv +−−=&

( ) θθ coscosgmZ

uqvpw +−−=&

( ) ( ) LpqrIqrIIpI xzzzyyxx +++= −&&

( ) ( ) MprIrpIIqI 22xzxxzzyy +++= −

&

( ) ( ) NqrpIpqIIrI xzxxzzzz +−+= −&&

FFNTPTR LLLLLL ++++=

FFNTPTR MMMMMM ++++=

FFNTPTR NNNNNN ++++=

( ) ( )TPZTPTP2T

2TP CSVR

21

Z αΩρ=

0YX TPTP ==

FFNTPTR XXXXXX ++++=

FFNTPTR YYYYYY ++++=

FFNTPTR ZZZZZZ ++++=

( ) ( )FXF2Fp

2F CVSR

21

X αΩρ=

( )

=

F

AYS

2Fs

2F V

vCVSR

21

Y Ωρ

( ) ( )FZF2Fp

2F CVSR

21

Z αΩρ=

FNFNFN YhL =

0MFN =

( ) FNcgFNFN YxN +−= λ

0ZX TT ==

( ) TTT0

TT2TTT0

2TTT F

sa

CRsaR

21

Y

= πΩρ

( )

=

sa

C2saRR

21

X0

X0

22H Ωρπ

( )

=

saC2

saRR21

Y0

Y0

22H Ωρπ

( )

=

saC2

saRR21

Z0

Z0

22H Ωρπ

−=

H

H

H

ss

ss

R

R

R

Z

Y

X

cos0sin

010

sin0cos

Z

Y

X

γγ

γγ

RRHR YhLL +=

RcgRRHR ZxXhMM +−=

RcgHR YxNN −=

s1H K2b

L ββ−=

( ) '1

bI

I2

sa

C2saRR

21

N R

0

Q0

32H Ω

γπΩρ

β

+

=

c1H K2b

M ββ−=

0LF =

( ) ( )FMF2FFp

2F CVSR

21

M αΩρ λ=

( ) ( )FNF2FFs

2F CVSR

21

N βΩρ λ=

0ZX FNFN ==

( ) ( )FNYFNFN2FN

2FN CSVR

21

Y βΩρ=

0NL TPTP ==

( ) TPcgTTP ZxM += λ

TTT YhL =

0MT =

( ) TcgTT YxN +−= λ


39

En este diagrama muy generalizado, se presentan las diferentes fuerzas y momentos

que conforman el modelo actuando en cada uno de los subensambles en que ha

sido dividida la aeronave. No se representan en el esquema los efectos que generan

los movimientos de aleteo, avance y retroceso de las palas del rotor principal, que

contribuyen a aceleraciones de tipo armónico, sin embargo si fueron tomadas en

cuenta en el modelo general.

El sistema de control, consistente en un arreglo de varillas y palancas no son

representados tampoco en la figura pero deben también ser modelados e incluidos

en el modelo general. Estos mandos permiten al piloto interactuar físicamente con la

dinámica de la aeronave para provocar una alteración en ella, es decir pilotear y

controlar el helicóptero.

Para ensamblar los diferentes submodelos que surgen de cada uno de los

subensambles, se deben realizar las transformaciones pertinentes, las cuales son

representadas por las matrices de rotación, ya descritas en el capítulo 3, debido a

que cada subensamble tiene un marco de referencia particular.


40

4.1. ECUACIONES QUE RIGEN LA DINAMICA DE VUELO El modelo tiene la forma de una ecuación diferencial no lineal escrita en forma de

un vector de estado de primer orden de la forma

)t,u,x(f

dt

xd = ------------- 4.1

Las ecuaciones que rigen la dinámica de vuelo de la aeronave se reducen a la

solución de las siguientes ecuaciones en concordancia con [4.1]:

Punto de Equilibrio 0)u,x(f ee = ------------- 4.2

Estabilidad 0

x

fIdet

eX

=

∂∂−λ ------------- 4.3

Respuesta ( ) ( )[ ]∫+= ττττ d,u,xf)0(x)t(x ------------- 4.4

donde:

x(t) es el vector columna de variables de estado

u(t) es el vector de control de variables

f es una función no lineal del movimiento de la aeronave, entradas de control

y perturbaciones externas.

La solución de la ecuación (4.2), solución de equilibrio, es representada por el cero

de una función algebraica no lineal, donde hay que introducir los valores correctos

de control ue para mantener un estado definido xe. De esta manera, un vuelo en

condiciones de punto de equilibrio es aquel en el cual la tasa de cambio del vector

de estado de la aeronave es cero y la resultante de fuerzas y momentos aplicados en

el centro de masa de la aeronave también son cero.

La solución del problema de estabilidad es determinada mediante la linealización de

las ecuaciones concernientes a una condición de punto de equilibrio particular y


41

hallar los valores propios de la matriz función de la aeronave, escrita como un

jacobiano de la función respecto al sistema de estado (variables independientes). Al

jacobiano que se forma se le conoce como función de derivadas de estabilidad

Después de linealizar la ecuación (4.1), resulta un sistema de ecuaciones

diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes que tiene

soluciones de la forma eλt. La estabilidad es determinada por los signos de las partes

reales de los valores propios de λ [4.2].

La solución al problema de respuesta está dada por la ecuación (4.4) y es

determinada por la integral en el tiempo de la función f. Esta permite conocer la

evolución del estado de la aeronave. Las fuerzas y momentos tienen que ser

recalculados posterior a una perturbación. Las ecuaciones no lineales resultantes

generalmente tienen que ser resueltas numéricamente.

4.2. ELEMENTOS DEL MODELADO DEL ROTOR PRINCIPAL

En esta sección se analizan los fenómenos que afectan la dinámica del rotor

principal. Para el desarrollo de éste análisis se dividirá en tres aspectos que influyen

a éste. Primeramente se analiza el aspecto aerodinámico cuantificando de manera

general los efectos que el aire produce sobre el rotor. Para la obtención de los

modelos se recurre al empleo de la teoría de cantidad de movimiento lineal. A

continuación se determinan las fuerzas aerodinámicas sobre el rotor, ello a través

de la teoría del elemento de pala. Una vez finalizada la aerodinámica se prosigue con

el aspecto aeroelástico de las palas y su efecto que tiene sobre toda la aeronave,

tratado en las secciones 4.2.3 y 4.2.4.

4.2.1 Cantidad de movimiento lineal y corriente de flujo inducido

Se asume un campo de flujo normal inducido al rotor que tiene una distribución

lineal y que presenta una variación longitudinal a lo largo del disco actuador [2].


42

La distribución de la corriente en el infinito después se escribe mediante:

( )ψλψλλλ sincosR

r

R

Vsw1cw1

B0i

i ++==Ω

------------- 4.5

De la teoría antes mencionada se determina el coeficiente de deflexión de flujo

( )( ) 21

20z

2

T0

2

C

λµµλ

−+= ------------- 4.6

λ0 es la corriente del flujo normalizada que ocurre en el centro del rotor y

únicamente es aplicable cuando el rotor del helicóptero genera tracción o se

encuentra en autorrotación o modo de molino de viento, no para condiciones

intermedias tales como estado de vórtice (Ring Votex State).

El término CT que aparece en la Ec. 4.6 es determinado con el modelo del elemento

de pala.

Con el propósito de calcular la corriente de flujo inducido de manera uniforme, se

recurre al método de Newton-Raphson [4.3], lo cual se hace de manera iterativa.

)( 00 λg se puede definir como sigue:

Λ−=

21T

00

2

Cg λ ------------- 4.7

Donde

( )20z

2 λµµ −+=Λ ------------- 4.8

( )

++

−+

++

+= tw

20zwsw1

22

00

T 14

1

22

p

223

1

2

aC θµλµθµµθσ

------------- 4.9


43

El método de Newton puede expresarse como:

( )j0jj01j0 h λλλ +=+ ------------- 4.10

Donde:

( )j0

00

0j ddg

gh

λλλ=

−= ------------- 4.11

Por lo tanto

( )0zT02

3

T2

1

j0

j

C4

sa2

C2h

λµ

λ

−−Λ

+Λ

Λ−Λ

−= ------------- 4.12


44

4.2.2 Determinación de fuerzas y momentos en el rotor principal

mediante análisis por elemento de pala

En esta sección se determinan las fuerzas y momentos sobre el rotor provocado por

fuerzas aerodinámicas generadas por el viento sobre las palas del helicóptero. Para

ello se recurre al análisis del elemento de pala. Se considera un elemento diferencial

de pala mdrB sobre el que se tienen las fuerzas fz y fy que son las componentes

normal y tangencial de la fuerza aerodinámica, m es la distribución de masa. Las

fuerzas producidas por cada una de las palas en el núcleo del rotor pueden ser

escritas en términos de los efectos aerodinámicos e inerciales. El peso de la pala se

despreciará debido a que es relativamente pequeño en comparación con las otras

dos fuerzas. De la figura 4.2 y para b número de palas, las tres componentes de la

fuerza se pueden escribir como:

( ) ( )( ) B

b

1i

R

0

ixBiiyByiiizBzHw drcosmasinmafcosmaX ∑∫=

+−−−−= ψψψβf

------------- 4.13

( ) ( )( ) B

b

1i

R

0

ixBiiyByiiizBzHw drsinψmacosmafsinmafY ∑∫=

−−−−= ψψβ ------------- 4.14

( ) B

b

1i

R

0ixBzBzHw drβmamafZ ∑∫

=+−= ------------- 4.15

Fig. 4.2. Fuerzas aerodinámicas e inerciales en la pala

fy - maYB

-maXB

ZH

XH

YH

fz - maZB

ψ β


45

Las fuerzas aerodinámicas se pueden escribir en términos de las funciones del

levantamiento y resistencia al avance, L(rB,ψ) y D(rB, ψ), y del ángulo de ataque de la

pala φ referido a partir de la línea de cero grados de paso. Se asumirá que cos φ ∼1 y

sen φ ∼ φ por tratarse de un ángulo pequeño.

Fig. 4.3. Fuerzas aerodinámicas en una sección diferencial de la pala

De la figura se observa que fz y fy pueden expresarse mediante:

φφφ DLsinDcosLf z −−≅−−= ------------- 4.16

φφφ LDsinLcosDf y −≅−= ------------- 4.17

L siendo el levantamiento y D la resistencia la avance respectivamente, pueden

expresarse mediante:

( ) ( ) U

UcaUU

2

1r,L

T

P0

2P

2TB

++= θρψ ------------- 4.18

( ) ( )PD

2P

2TB cCUU

2

1r,D += ρψ ------------- 4.19

CDp tiene la forma de una parábola, según el modelo adoptado por Prandlt, tal que:

π

2L

DD

CCC

0p+= ------------- 4.20

Velocidad Tangencial

Velocidad inducida

fZ

Resistencia al Avance (D)

dL


46

Asumiendo que UT>>UP, se verifica que UT2+UP2 ≅ UT2. Normalizando las velocidades

mediante R/UU TT Ω= y R/UU PP Ω= se tiene que, los coeficientes de fuerza para

un rotor de b palas sean escritos como [4.1]:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ii

2i

b

1iii

1

022

HW

0

XW sinFcosFb

1

aRR2

1X

a

C2 ψψψβψσπρσ

+=Ω

=

∑

=

------------- 4.21

( )( ) ( ) ( ) ( ) ii

2i

b

1iii

1

022

HW

0

YW cosFsinFb

1

aRR2

1Y

a

C2 ψψψβψσπρσ

+−=Ω

=

∑

=

------------- 4.22

( )( ) ( )

−=−=

Ω=

∑

= σψ

σπρσ 0

Tb

1ii

1

022

HW

0

ZW

a

C2F

b

1

aRR2

1Z

a

C2 ------------- 4.23

Donde:

( ) ( ) [ ] B

1

0TPi

2Ti

1 rdUUUF ∫ += θψ ------------- 4.24

( ) ( ) B

1

00

2T

iDp2piTPi

2 rda

UCUUuUF ∫

−+= θψ

------------- 4.25

la solidez (σ) del rotor está dado por:

R

bc

πσ = ------------- 4.26

el radio normalizado queda representado por:

R

rr BB = ------------- 4.27

Las componentes de velocidad PT UyU se pueden expresar en la forma

( ) ψµβω sin1rU xBT ++= ------------- 4.28

( ) ( )1yB0zP ´rcosU λβωψµβλµ −−+−−= ------------- 4.29

Donde µ representa la relación de avance longitudinal y axial, definidas mediante:


47

( )

Ω+

=Ω

=2

2H

2HHw

r

vu

R

uµ ------------- 4.30

y

R

w Hwz Ω

=µ ------------- 4.31

Ω= X

Xωω

Ω= Y

Yωω ------------- 4.32

ψββ

d

d´= ------------- 4.33

El torcimiento de la pala, siendo lineal, puede incorporarse en el paso de la pala

escribiéndolo en la forma:

tBp r θθθ += ------------- 4.34

θP se compone de la contribución colectiva y cíclica.

Las funciones F(1)(ψ) y F(2)(ψ) que resultan de sustituir las ecuaciones (4.28), (4.29),

(4.5), (4.34) en las ecuaciones (4.24) y (4.25), introduciendo los ángulos azimutales

de la pala, para b número de palas separadas uniformemente, representada por la

ecuación:

b

2iiii

πψψ −=+ ------------- 4.35

y mediante la simplificación de que 1x <<βω , estas funciones se reducen a:

( ) ( )

( ) ( )ψβµλµψµβλωψµ

θψµψµθψµψµψ

cossen2

1'

2

sen

3

1

sen2

1sen

3

2

4

1sensen

3

1F

0z1y

tw22

p221

−−

++−−

++

+++

++=

------------- 4.36


48

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

++−−−

+

−−−−+−−+−−

++−−

++

−−

++−−

+=

ψµψµβλω

λβωψµβλµψµβλµ

θψβµλµψµβλωψµ

θψβµλµψµβλωψµψ

22

0

Dp2

1y

1y0z2

0z

tw0z1y

p0z1y2

sensen3

1

a

C

3

'

'coscos

cos2

sen

3

1'

3

sen

4

1

cossen2

1'sen

2

1

3

1F

------------- 4.37

Esta última simplificación de los tres coeficientes de fuerza en el núcleo del rotor,

dependen del modelo considerado en la forma en la cual la pala aletea. Un modelo

individual de la pala, que incluye un aleteo transitorio de la pala y variaciones

armónicas en el coeficiente de fuerza, no requieren desarrollo más amplio que las

fuerzas consideradas. La reducción al modelo de aleteo quasi-constante, en donde el

aleteo es determinado solamente con relaciones algebraicas, se puede alcanzar a

través de un balance armónico o con una transformación en las coordenadas multi-

palas, descritos más detalladamente en la sección 4.2.3 de este trabajo. Por el

momento es suficiente con determinar las componentes fundamentales de (4.21),

(4.22) y (4.23) cuando el aleteo es escrito en la forma tradicional de una serie

infinita de Fourier:

sencos sw1cw10 ψβψβββ ++= ------------- 4.38

β0 es el ángulo de conicidad y β1cw, β1sw son los primeros términos armónicos cíclicos

de aleteo de la serie de Fourier. Para este trabajo únicamente se considerarán éstos

tres primeros términos de la serie infinita, ya que según la referencia [4.10] las

armónicas de orden superior a tres son relativamente pequeñas y sin un efecto

considerable en los valores de tracción y par torcional.

De manera similar el paso de la pala es escrito en la forma de una serie de Fourier,

representada mediante:

ψθψθθθ cos sen cw1sw10p ++= ------------- 4.39


49

Según lo descrito en la sección 4.3.1 de este capítulo, la función de la corriente

descendente expresada en términos de una serie se representa como [4.1]:

sin cos sw1cw11 ψθψθλ += ------------- 4.40

Las constantes de (4.21), (4.22) y (4.23) son iguales para cada pala y para

determinarlas, las funciones ( ) ( )ψ1F y

( ) ( )ψ2F necesitan ser expresadas en términos de

armónicas.

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψψψψψ 2senF2cosFsenF cosFFF 1s2

1c2

1s1

1c1

10

1 ++++= ------------- 4.41

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψψψψψ 2senF2cosFsenF cosFFF 2s2

2c2

2s1

2c1

20

2 ++++= ------------- 4.42

Los coeficientes CX, CY y CZ se reducen a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

F

4

F

2

F

4

F

2

F

a

2C 2s1

sw1

1s2

0

1c1

cw1

1c2

10

0

Xw +++

+=

βββ

σ ------------- 4.43

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

F

4

F

2

F

4

F

2

F

a

2C 2c1

cw1

1s2

0

1s1

sw1

1c2

10

0

Yw +−−

+−=

βββ

σ ------------- 4.44

( )10

0

T

0

Z Fa

2C

a

2C−=

−=

σσ ------------- 4.45

En sentido estricto, la inclusión de los segundos términos armónicos en (4.43) y

(4.44) no son consistentes con la exclusión de la segunda armónica de aleteo en

(4.38), por lo que deberán incluirse. Las ecuaciones en (4.43) y (4.44) pueden

reescribir como:

( ) ( ) tw20zW

sw1

2

01

0 14

1

22

p

223

1F θµλµθµµθ ++

−+

++

+= ------------- 4.46

( )

+−+++

= tw0z0sw1sw1

s1 3

2

3F θλµθµθα

------------- 4.47


50

( )

23F 0cw1cw1

c1

µβθα−

+= ------------- 4.48

( ) 0cw1W

sw1cw11

s2 2

q

2F µβλβθµ −

−+−= ------------- 4.49

( )

++−

+−−=22

p

2F tw

0sw1W

cw1sw11

c2

θθµλβθµ ------------- 4.50

( )

( )

( )

0

Dp0sw1

cw1wcw1

cw1sw1w

0zsw1

twcw1

0zsw

cw1

2

0zsw

0

cwsw1swcw10zsw10

22

s1

a

C

2

q

4

4p

8

3

2

22443

442F

µµββλθµ

βλµλµθ

θµβλµµαβµλµµαθ

αβµαβµλµββµ

−

−−−

+

+−+−

+

−−++

−−++

−

−−+=

------------- 4.51

( )

−−−

+

−−

+−

+

+−+

+−+−

−−+

−−−=

0sw1cw1w

sw1

cw1sw1w0z

cw1sw10cw

tw

sw10cw

0swsw1

cwcw10zcw10z02c1

2

q

4

2

p

42834

2234

4

3

4

32F

µββλθµ

βλµλµθβµβµαθ

βµβµαθαβµ

αµβλµµβλµµβ

------------- 4.52

Donde las funciones de incidencia de la pala son dadas por:

cw1sw1Wsw

sw1cw1Wcw

p

q

βλαβλα

+−=−−=

------------- 4.53


51

Los términos arriba expresados para el arrastre del rotor y fuerza lateral son difíciles

de interpretar físicamente por su gran complejidad y composición de una gran

cantidad de términos relativamente pequeños. Como base de un modelo lineal,

donde las derivadas son deducidas, es necesaria una simplificación adicional de las

ecuaciones (4.43) y (4.44). Descartando las segundas variaciones armónicas del

levantamiento dadas por ( ) ( )1

c21s2 FyF , los tres términos restantes en (4.43) y (4.44) se

pueden identificar en términos de su origen físico. Por ejemplo, los términos

( ) ( )0

1c1ic

10 FyF ββ son los primeros términos armónicos del producto del levantamiento

y aleteo en la dirección del movimiento y representan una contribución al coeficiente

CXw de las posiciones delantera y trasera de las palas.

El termino ( )2s1F representa la contribución a CXw de la resistencia del perfil y el

levantamiento actuando en las palas que avanza y la que retrocede. Los términos de

CYw pueden ser descritos de forma similar.

El coeficiente del empuje del rotor se da por (4.45) y se determina comúnmente

iterando conjuntamente con el modelo para predecir las variaciones del flujo

inducido 0 1c 1s, , λ λ λ . Este modelo ya fue descrito en la sección 4.3.1.

La transformación del sistema núcleo/viento al sistema cuerpo puede ser hecho en

términos del ángulo de movimiento lateral ψV dado por la ecuación (3.8)

Mediante la siguiente transformación

−=∆

ww

ww

cossin

sincos

ψψψψ

------------- 4.54

Se obtienen los coeficientes en el eje cuerpo

∆=

Yw

Xw

Y

X

C

C

C

C ------------- 4.55


52

Los momentos de cabeceo y guiñada del núcleo del rotor pueden escribirse en

términos de la rigidez Kβ del resorte y son aproximadamente proporcionales a un

aleteo de la pala quasi-estable.

s1H K2

bL ββ−= ------------- 4.56

c1H K2

bM ββ−= ------------- 4.57

El momento restante producido por el rotor es el momento de guiñada NH.

Refiriéndose a la figura 4.4, se puede escribir en la forma:

( )∑∫=

−=b

1iByBy

R

0

BH drmafrN ------------- 4.58

NH puede ser escrita en la forma:

( )∑ ∫=

Ω+

−

=b

1iRB

R

0

BH IdrLDrN &φ ------------- 4.59

Donde IR es el momento de inercia de las palas del rotor sobre el eje más un

momento de inercia de cualesquiera otra de las partes que rotan directamente

unidas a éste, tales como la transmisión, núcleo y mástil del rotor. Usando (4.17) y

(4.18) y normalizándola, (4.59) se puede reescribir como:

( )'

1

bI

I2

sa

C2

aRR2

1N R

0

Q

032

H Ω

+=

Ω γσπρ β

------------- 4.60

Donde:

'2Ω

Ω=Ω&

------------- 4.61

y

b

40

I

Rcaργ = ------------- 4.62


53

El término en (4.61) se define como un término que representa la aceleración

angular normalizada y la expresión (4.62) el número de Lock.

B

2T

0

Dp2PTP

1

0

B0

Q rdUa

CUUUr

a

C2

−+−=

∫ θ

σ ------------- 4.63

La expresión para CQ, obtenidas por expansión e integración de (4.63), es de nuevo

complicada. Una aproximación mucho más simple se puede determinar mediante

una transformación y un cambio conveniente de los términos en la integral. De

(4.28) la coordenada radial puede escribirse

φµ sinur TB −≅ ------------- 4.64

Por lo tanto (2.63) puede escribirse en la forma

( ) B

1

0

B

1

0

BT

PT

o

Q rddrrdLU

UsenU

a

C2∫∫ +−−=

ψµ

σ ------------- 4.65

Donde

2T

0

DpTP

2T U

a

Cd y UUUL =+= θ ------------- 4.66

De esta manera, las tres componentes del coeficiente de esfuerzos de torsión pueden

ser escritos

+

+

−=

∫∫∫ B

1

0

B

1

0

BT

P1

0

BP

0

Q rdrrdLU

UsinrdLU

a

C2ψµ

σ ------------- 4.67

Estos tres términos se pueden ocupar por separado mostrando las tres distintas

contribuciones. De (4.29).

( ) ( )

−−+−−= ∫∫∫ B

1

0

B1y

1

0

B0z

1

0

BP rdLr'rdLcosrdLU λβωψµβλµ ------------- 4.68


54

El segundo término del lado derecho de (4.68) será despreciado, considerando que la

componente quasi-constante contiene solamente los segundos términos del orden

β1s, β1c, p,q. Esto será más evidente cuando el término integral se amplíe a las

ecuaciones de aleteo en la sección 4.2.3. De (4.24) y (4.45) el primer término en

(4.68) se reduce a:

( )

−−−=

σψµβλµ

σ 0

T0z

0

Q

a

C2cos

a

C2 ------------- 4.69

El segundo término del coeficiente del par torsional en (4.67) se puede también

reducir a una forma simple usando (4.13), (4.14), (4.15), (4.16) y (4.17) para obtener

∫∫ +

=

1

0

B0

T

0

XW1

0

BT

Prsindcos

a

C2-

a

C2rdL

U

Usin ψψβ

σσψ ------------- 4.70

Los términos armónicos ded de la ec. (4.66) no se han incluido en el análisis, por lo

que el último termino de (4.70) será despreciado. Al introducir (4.69) y (4.70) en

(4.67), las dos contribuciones dependientes del esfuerzo de torsión debido al

levantamiento, arrojan:

( )

+

−−=

σµ

σλµ

σ 0

Xv

0

T0z

20

Q

a

C2

a

C2

a

C2 ------------- 4.71

Finalmente, el tercer término de (4.67) puede ser reducido usando (4.66) para

obtener

( ) ( )2

0

Dp

0

Xv

0

T0z

0

Q 214a

C

a

C2

a

C2

a

C2µ

σµ

σλµ

σ++

+

−−≅

------------- 4.72


55

4.2.3 Determinación de fuerzas y momentos debido al aleteo de

las palas de rotor principal

Considerando al rotor con articulación en el centro, una rigidez kβ de restitución y

mediante la figura 4.4 el comportamiento del aleteo es descrito como la suma de los

momentos que actúan en el centro del núcleo. Estos momentos son, a saber, el

momento aerodinámico, de inercia y de restitución del resorte, como ya se ha

mencionado anteriormente, el peso de la pala al no ser representativo en

comparación con las otras tres magnitudes será despreciado.

Fig. 4.4. Fuerzas producidas por un elemento de pala actuando en el centro del núcleo

La sumatoria de estos momentos son expresados por

[ ] 0Kdrma)r(fr iB

R

0 ZBBZB =+−∫ ββ ------------- 4.73

El primer término representa el momento provocado por fuerzas aerodinámicas, el

segundo es provocado por las fuerzas de inercia de la pala y finalmente el tercero es

el momento de restitución elástica, provocado por un resorte que sujeta a la pala.

β

Kβ

r

R

dm

dFc dFi

Ω

θ

Ωr

Vi+β’(r-a)

i


56

Empleando (3.19) y (4.16), la ecuación puede escribirse en forma normalizada,

como

( )b,.......,2,1i

rdrUUUn4

sin2

'pqcos

2

'qp2

BB

1

0iPT

2T

iw

WiW

Wi2''

i

=

++

+−

+=+

∫ θ

ψψβλβ

β

β

------------- 4.74

Donde

22

I

K1

Ω+=

β

ββλ ------------- 4.75

λB representa la frecuencia de rotación debida al aleteo expresada en forma

normalizada.

En la sección 4.2.4 se describe el modelo de rotor articulado en el centro. Este se

presenta como una adecuada aproximación del comportamiento tanto para rotores

no articulados como articulado con pequeño valor de excentricidad.

IB es el momento de inercia de la pala, definida como:

∫=R

0

B2drmrI ββ ------------- 4.76

como en (4.33), )d/d(' ψββ = representa la tasa de cambio del ángulo de aleteo

con relación al ángulo acimutal y nβ representa el número de inercia, estrechamente

relacionado al numero de Lock γ, se tiene

ββ

ργI8

Rca

8n

40== ------------- 4.77

Empleando (4.28) y (4.29), la ecuación de aleteo, (4.74), se puede ampliar en la

forma


57

( ) ( )

( ) ( )[ ]1y0ztwtwpp

iw

wiw

w

ii2'

i'''

i

ffffn

sin2

'pqcos

2

'qp2

fcosnnf1

λωλµθθ

ψψ

βψµλββ

ωλθθβ

βββββ

−+−+++

+−

+

=++++

------------- 4.78

i = 1, 2, 3, …, 6

Donde

+=

++=

++=

+==

=

i

i22

itw

i22

ip

i

i'

sin3

41f

sin3

4sin2

3

4f

sin2sin3

81f

sin23

4ff

sin3

4f

ψµ

ψµψµ

ψµψµ

ψµ

ψµ

ω

θ

θ

βλ

β

------------- 4.79

En la sección 4.3.2, fueron derivadas las fuerzas y momentos del rotor. Si se desean

conocer los movimientos individuales de cada pala entonces se tendrá que hacer

uso de (4.78). La principal ventaja del modelado individual de la pala es la

capacidad para incluir cargas aerodinámicas más complejas radialmente. En

aquella sección, las fuerzas y momentos del rotor son descritos a través de la forma

quasi-estable mediante la introducción hasta la primera armónica de aleteo β0, β1s, y

β1c. Aquí es más general transformar los ángulos de aleteo de la pala individual en

coordenadas multi-pala [4.4], que incluye una variable diferencial de conicidad. Para

el rotor bipala, que es el caso aquí estudiado, la transformación toma la forma:

La conicidad del rotor principal esta dada por:

∑=

=b

1ii0 b

1 ββ ------------- 4.80

Conicidad para b>2

( )∑=

−=b

1i

iid 1

b

1 ββ ------------- 4.81


58

Angulo de aleteo debido a paso cíclico

∑=

=b

1iiijc jcos

b

2 ψββ ------------- 4.82

Para cuatro palas, por ejemplo, la transformación puede ser escrita:

∑=

=b

1iiija jsin

b

2 ψββ ------------- 4.83

~M

~I L ββ β= ------------- 4.84

Donde

[ ] [ ]Ts1c1d0

~M

T4321

~I ,,,y ,,, ββββββββββ == ------------- 4.85

−−−−−

−

=

ψψψψψψ

ψψ

β

cossin11

sincos11

cossin11

sincos11

L

------------- 4.86

Así que,

−−−−

−−=−

ψψψψψψψψβ

cos2sin2cos2sin2

sin2cos2sin2cos2

1111

1111

4

1L 1

------------- 4.87

En la conformación de la matriz Lβ se utiliza la relación ( )( )( ) 21-i-iπψψ = . La ecuación

(4.78) puede ser escrita en una matriz como:

( ) ( ) ( )ψβψβψβ~I

~II

~

'II

~

''I hDC =++ ------------- 4.88

Mediante la transformación dada por (4.84) la ecuación de aleteo puede, por tanto,

escribirse como


59

( ) ( ) ( )ψβψβψβ~M

~MM

~

'MM

~

''M hDC =++ ------------- 4.89

[ ][ ]

=

++=

++=

−

−

−

~I

1

~M

I'

I''1

M

I'1

M

hLh

LDLCLLD

LCL2LC

β

ββββ

βββ

------------- 4.90

Las matrices dadas en (4.90) contienen términos periódicos (de bajas armónicas, <2)

pero una aproximación mas común implica despreciar éstos o, más correctamente,

determinar un promedio sobre la frecuencia más baja (2Ω para un rotor de cuatro

palas), que filtra eficazmente estos términos. Así se deja un sistema reducido de la

forma,

( )~

0M~M0M

~

'M0M

~

''M hDC =++ βψββ ------------- 4.91

Donde CMO, DMO y hMO son constantes de las matrices de (4.89). Estos pueden ser

escritos:

−

=

ββ

β

β

ββ

µ

µ

n20n3

42n00

00n0

n3

200n

C 0M

------------- 4.92

−

−−

+−=

12

1nn3

40

21n10n

3

4

000

000

D

22

22

2

2

0M

βββ

βββ

β

β

λµµ

µλµ

λλ

------------- 4.93


60

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

−+−+

++++

+−

−+

++

+

−+−++

+++

=

sw1w0z2

sw1tw0w

w

cw1w

2

cw1w

w

sw1w0zsw1

2

tw2

0

~0M

p22

312

3

8n

2

'pq2

q2

1n2

'qp2

o

p3

2

3

4

3

4

65

141n

h

λλµµµθµθµθ

λµθ

λµλµµθµθµθ

β

β

β

------------- 4.94

El sistema de coeficiente descrito en (4.91) será utilizada para la simulación del

helicóptero en tiempo real [4.5]. Otra simplificación que se hace, proviene del hecho

de que se asume que las dinámicas de aleteo de la pala tienen un efecto

insignificante en la estabilidad, el control y en las cualidades de maniobrabilidad y

solamente la forma quasi-estable de (4.91) será utilizado.

El modelo dinámico reducido quasi-estable aún con las simplificaciones hechas

tiene muchas aplicaciones. La simulación del helicóptero en tiempo real se realiza

mediante (4.95), según lo expresado por [4.1]

~0M

10M

~M hD−=β ------------- 4.95

−

−

−

+

−

+

−−=−

β

β

ββ

β

β

ββ

β

ββ

β

β

β

β

β

β

µ

λµ

λ

µ

µ

µ

λ

µ

µλ

µ

λδ

λδ

δ

n

S

n

21

S

3

421

3

4

n

21

n

S21

3

4S

3

4

000

000

1D

2

22

2

2

2

2

2

2

2

10M

------------- 4.96

donde:


61

−=

+=

β

ββ

ββ

λ

δ

n

1S

1S2

2

------------- 4.97

El término Sβ representa el número de rigidez. Empleando (4.94) y (4.96), los

coeficientes de aleteo pueden ser escritos en la forma siguiente:

+

−

−+

++=

w

w

w

w

cw1

sw1

0z

cw1

sw1

tw

0

2220

q

p

'q

'p

03

200

0,3

2,

3

40,

3

4,

3

2

5

4,1

µ

θλ

λµµ

θθθθ

µµµλη

ββ

β

------------- 4.98


62

( )

( )

q

p

'q

'p

12n

S2

n,

3

4

2

1S1

2n

2

n

21

n

2S

n,

3

4

2

S

n

S2

21

n

,12n

,Sn

-

,Sn

,2

1n

12n

Sn

Sn3

4

2

1

3

4

2

S

21

n

nS2

3

4

n

2S

3

4

n2

31

nS

3

4

21S

nS

3

4

n21

nS

15

82

nS21

3

4

S15

8

n2

n

2S

3

4

S1

n-

w

w

w

w

22222

22222

2222

22222

cw1

sw1

0z

22

2

22

222

22

22

cw1

sw1

tw

0

22

22

22222

22

22

22sw1

cw1

−+

+

−

−

++−

+

−+

−

−

+

+

−

−−+

−

+

+−

−

+

+

−

+−

+−

++

−

−

+

+

+=

µλµµλ

µλµµλ

µλλ

λµλ

λλ

λµ

µλ

λ

λµ

µµλ

λµ

λµ

θθθθ

λµ

λµ

µλµ

λµ

λµ

λµ

λµ

λµ

λββ

β

β

β

ββ

ββ

β

ββ

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

β

β

β

ββ

ββ

ββ

β

β

β

ββ

β

ββ

ββ

β

β

ββ

ββ

β

------------- 4.99


63

4.2.4 El rotor equivalente a un sistema de resorte en el centro

En esta sección se presenta el modelado que permite dar soporte a la simplificación

de que el rotor se comporta como una viga empotrada con un resorte de restitución.

De esta manera se analizan rotores rígidos, es decir sin bisagra (hingeless rotors) y

rotores articulados. Con este modelo simplificado, mediante la especificación de la

relación de frecuencia de aleteo y el número de Lock, es suficiente para describir las

características dinámicas del rotor. El método para establecer los valores

equivalentes de estos dos parámetros será descrito en esta sección. Las expresiones

para los momentos generados en el núcleo de rotores sin bisagras son determinados

así como la simplificación a palas rígidas con bisagra de aleteo.

Refiriéndose a la Fig. 4.5 la ecuación de movimiento linealizada de deformación por

flexión w(r, t) de una viga elástica en rotación con carga externa distribuida F(r, t)

puede ser escrita, según [4.6]:

( )t,rFmrdrt

w

t

wmr

t

wm

r

wEI

r

R

r2

2

22

2

22

2

2

2

2

=

−Ω+Ω+

∫δ

δδδ

δδ

δδ

δδ

------------- 4.100

Fig. 4.5. Deformación elástica de una viga rotatoria

F(r,t) r w (r,t)


64

EI es el módulo elástico, m la distribución de masa y Ω la velocidad de rotación.

Asumiendo una deformación de la pala de forma desacoplada, tal que:

( ) ( ) ( )∑∞

==

1nnn tPrSt,rw ------------- 4.101

empleando los procedimientos convencionales de separar las componentes de

espacio y componentes de tiempo [4.7] de (4.101) y aplicando el método de Galerkin

a la ecuación de estado-tiempo, la ecuación para coordenadas normales puede

escribirse en la forma:

( ) ( ) ( )∫∫

=Ω+R

r

nR

r

2n

n2n

22

n2

drSt,rF

drmS

1tP

dt

tPd λ ------------- 4.102

Los modos ortogonales in-vacuo, Sn (r), satisface las ecuaciones:

0Smmrdrdt

Sd

dt

dSmr

dr

SdEI

dt

dn

22n

R

r2n

2

2n2

2n

2

2

2

=Ω−

−Ω+

∫ λ ------------- 4.103

Donde

( )∫ ≠=R

r

n2m nm ,0drSrmS ------------- 4.104

El momento de flexión en el núcleo y la fuerza cortante esta dada por las

expresiones

( )( ) ( )∫

Ω+−=

R

0

22

2r rdrw

tw

mt,rFt,0Mδ

δ ------------- 4.105

( ) ( ) ( )∫

−=

R

02

2r dr

t

wmt,rFt,0V

δδ

------------- 4.106

El exponente (r) se utiliza para denotar cantidades en el sistema coordenado en el

que rota.


65

Substituyendo para F(r, t), dada en (4.100), dentro (4.105) lleva finalmente a la

expresión:

( ) ( ) ( ) ( )∫∑∞

=−Ω=

R

0

nn1n

2n

2r drmrStP1t,0M λ ------------- 4.107

Considerando únicamente el primer modo de aleteo, (4.107) se reduce a la

expresión:

( )( ) ( ) ( )∫−Ω≅R

0

112n

2r drmrStP1t,0M λ ------------- 4.108

Si la forma del primer modo S1(r) es conocida, entonces (4.108), junto con la

solución para P1(t) de (4.102), es suficiente para determinar la contribución del

primer modo al momento en el núcleo. En muchos casos, sin embargo, el primer

modo no se conoce con exactitud y puede ser deseable conservar las características

dinámicas de la pala como parámetros. La pregunta entonces se presenta referente

la conveniencia de representaciones más simples de S1(r) y a la suficiencia de su uso

para predecir los momentos del núcleo.

En [4.8] Young asume una simplificación mediante una aproximación lineal a lo

largo de la pala S1(r), mostrado en el Fig. 4.6; una aproximación que reemplazó

efectivamente la pala flexible por una pala rígida con una bisagra de aleteo. De tal

forma, aunque no ortogonal a los modos elásticos, satisface (4.103) en un sentido de

la distribución. En la determinación del valor requerido para la bisagra e, Young

introdujo un resorte en la bisagra, siendo su esfuerzo definido por la frecuencia no

rotacional de aleteo natural de la pala. Alternadamente, el valor de la excentricidad

fue elegido de modo que la combinación del resorte y de la excentricidad definiera la

frecuencia natural de rotación del primer modo de aleteo, λ1. El momento del núcleo

de la pala se puede entonces escribir en la forma:

( )( ) ( ) ( )

+−Ω=

β

βββ βλ

I

eRM1t1It,0M 1

22r ------------- 4.109


66

( )∫ −=R

eR

2 dreRrmI β ------------- 4.110

( )∫ −=R

eR

dreRrmM β ------------- 4.111

siendo ( ) ( )tPt 111 ≡βλ≡λβ , (Deflexión de la punta de la pala).

En términos del módulo del resorte Kβ y de excentricidad, el rango de frecuencia del

aleteo puede ser escrito de la siguiente forma:

β

β

β

ββλ

I

eRK

I

K1

22 +

Ω=− ------------- 4.112

Aunque este resultado no ha sido completamente justificado ha sido usado desde

entonces para calcular las derivadas de los momentos para rotores sin bisagras. La

implicación del resultado dado por (4.109) es que los momentos del núcleo están en

fase con la deflexión de la pala, un resultado que Bramwell [4.9] observó que no es

exactamente cierto para la pala con bisagra de aleteo. El resultado correcto para los

momentos en el núcleo de tal sistema es fácilmente determinado.

Fig. 4.6. Simplificación de un rotor de pala con bisagra de aleteo fuera del

centro


67

Refiriéndose a la Fig. 4.6 el momento puede ser escrito en la forma:

( ) ( ) ( )∫+−=eR

0

zr rdrt,rFeRSKt,0M ββ ------------- 4.113

Donde β es el ángulo de aleteo, ahora relativo a la bisagra y a la fuerza de corte, Sz

está dada por:

( ) ( )[ ]∫ −−−=R

eR

z dreRrmt,rFS β&& ------------- 4.114

Sustituyendo (4.114) en (4.113) y si se asume una primera respuesta armónica en β

de modo que β−=β 2ΩΩΩΩ&& el momento del núcleo se puede escribir como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫++−Ω=R

eR

eR

0

22r rdrt,rFdrt,rFeRt1It,0M βλββ ------------- 4.115

Donde Iβ y 2βλ están dadas por (4.110) y (4.111)

El resultado dado por (4.115) indica que el momento en el núcleo no estará en fase

con el aleteo en virtud de que la carga aplicada F(r, t), en general, está fuera de fase

con β(t). Claramente el aleteo β(t) y el ángulo de deflexión de la punta están en fase.

Para descubrir la anomalía se hace necesario volver a la expresión del momento en

el núcleo dado por (4.105) y desarrollar cuidadosamente el análisis que conduce a la

aproximación (4.108). Usando (4.101) y (4.102) el momento del núcleo se pueden

escribir como,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ∫∑∫∑∫

∫∫

∞

=

∞

=

−Ω+−=R

0

n1n

n2n

2R

0

n1n

R

0

2

R

0

nR

0

r drmrSP1drSt,rF

drmS

drmrS

rdrt,rFt,0M

n

λ

------------- 4.116


68

Cuando todos los modos son considerados los primeros dos términos en (4.116) se

cancelan y el término restante, dado por (4.107), es una representación verdadera

del momento en el núcleo. En particular, si solamente se considera el primer modo,

(4.116) tiene que ser escrito como:

( )( ) ( ) ( ) ∫∫∫

∫−Ω+

−=R

0

112n

2R

0

1R

0

2

R

0

1r drmrSP1dr S

drmS

drmrS

rt,rFt,0M

1

λ

------------- 4.117

Cuando la carga externa está en la forma, F(r, t) ∝ mS1 entonces el primer termino

en (4.117) desaparece y la expresión del momento del núcleo dada por (4.108)

permanece. Estas condiciones, sin embargo, no satisfacen la carga aerodinámica

puesto que, aun en vuelo estacionario, hay términos proporcionales a r2 en F(r, t). El

primer término en (4.117) estará fuera de fase con la variación correspondiente de la

punta de la pala y el resultado correcto para el modelo de bisagra excéntrica se

obtiene directamente de (4.117).

Sea

( )( ) ( )

≤≤−

−=

≤≤=

RreR ,e1R

eRrrS

eRr0 ,0rS

1

1

------------- 4.118

De la Fig. 4.6, puede verse que:

( ) ( ) ( )( )e1trrP 11 −≅≡ ββ ------------- 4.119

Substituyendo (4.118) y (4.119) en (4.117), la expresión del momento en el núcleo

entonces se reduce a la forma dada por (4.115).

Existe un número de diversos métodos para establecer un valor apropiado de la

excentricidad, e. En contraste con el método de Young, Bramwell sugiere despreciar

la curvatura de la pala, obteniéndose una expresión para e de la forma:

1

e21

21

λλ −

= ------------- 4.120


69

Incorporando las fuerzas inerciales, debido a las rotaciones del fuselaje, en la

función F(r, t) y refiriéndose a la Fig. 4.6, el momento principal y la fuerza de corte

en la bisagra estará dada por:

( ) ( ) ( )3z

r e0eRSKt,0M +−= ββ ------------- 4.121

( ) ( )[ ] B

R

eR

zBBxBz rdmarmat,eRS ∫ +−= λβ ------------- 4.122

Los componentes de la aceleración en cada estación rB, axB y azB puede ser escrito:

2

BxB ra Ω−= ------------- 4.123

( ) ( ) ( )[ ]βψψβ 2BBzB cosp2qsinq2preRra Ω−Ω++Ω−+−−= &&&&

------------- 4.124

Sustituyendo (4.123) y (4.124) en (4.122) y (4.121) conduce al resultado:

( )

( ) ( )

Ω+

+

+−=Ω ∫ B

R

eR

B2x2

2

r

drrI

1

M

eRM1

I

MeR1

I

M 0 λββ

β

β

ββ

β

σβλ ------------- 4.125

Donde:

( ) ( ) ψψσ cosp2'qsinq2'px ++−= ------------- 4.126

∫=R

eR

BrmdM0β ------------- 4.127

y Iβ, Mβ y 2βλ están dados por (4.110), (4.111), y (4.112) respectivamente.

El movimiento de aleteo se puede determinar del equilibrio de los momentos de

aleteo sobre la bisagra. La ecuación toma la forma integral:


70

( ) ( )[ ]( ) ββKdreRrrmar IBB

R

eR

BzBB =−+∫ λ ------------- 4.128

Sustituyendo (4.124) en (4.128), la ecuación de aleteo puede ser escrita:

( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( )( )∫ −+Ω++Ω−+=

+Ω++ΩR

eR

BBB

22

dreRrrcosp2qsinq2peRMI

eRMIKI

λ&&

&&

ψψ

ββ

ββ

ββββ

------------- 4.129

o bien mediante :

( )( ) BB

1

e

PT2Tx

2 rderUUUn4I

eRM1'' −++

+=+ ∫ θσβλβ β

β

ββ ------------- 4.130

de las ecuaciones (4.33), (4.77) y (4.112)se había definido:

β

β

β

ββ

ββ λρ

ψββ

I

eRM

I

K1 ,

I8

Rcan ,

d

d'

22

40 +

Ω+===

Las componentes normalizadas de velocidad ŪT y ŪP son dadas por las expresiones

(4.29) y (4.28) ya definidas

( ) ψµβ sinw1rU xBT +−=

( ) ( ) ( )[ ]βψψβ 2BBzB cosp2qsinq2preRra Ω−Ω++Ω−+−−= &&&&

Substituyendo (4.132) y (4.133) en (4.130), la ecuación de la dinámica de aleteo

puede ser escrita, para 0(e2) en los coeficientes, como:


71

( )

−+−+−

+−+−+

+−+

−+−+

+=

+−+−++

+−++ −+

y0z

2

222

x

22

22

2

e

3

1sin

3

e

4

1

2

ee

2

1sin

2

e

3

1

2

ee

2

1sine

3

2sin

3

e

4

1n4

I

eRM1

cos2

ee

2

1sin4e2

3

4n

'ee3

1sin4e2e

3

81n''

ωψµλµψµ

ψµψµσ

βψµψµλ

βψµβ

ββ

β

ββ

β

------------- 4.131

El ángulo de aleteo β ahora se escribe como la suma de conicidad y las variaciones

cíclicas en la forma:

ψβψβββ sincos s1c10 ++= ------------- 4.132

y

ψθψθθθ sincos s1c10 ++= ------------- 4.133

Sustituyendo en (4.131) y asumiendo un balance armónico, como en el realizado en

la sección 4.3.1 la conicidad y primeras armónicas son retomadas y los coeficientes

de aleteo de la pala quasi-estable se pueden escribir en forma de matriz como:


72

[ ]

−

+

−

+−

−+−

+−

−

+

+−+

−

−

+−+

−

−

+−+

−

=

−

+−+

+−−

+−++−

−

−

+

q

q

e3

41

I

eRM1

n

2

2

e

3

12

I

eRM1

n

2

e3

41

0

2

ee

2

14

0

e23

4

2

ee

2

13e

3

410e

3

24

02

ee

2

1e

3

410

e3

220

2

ee

2

12e

3

41

n

1

2

ee

2

1

2

ee

3

810

2

ee

2

1e2e

3

81

n

1

2

e

3

14

0e2

e2

n

0z

2

s1

c1

0

22

22

22

s1

c1

0

222

2

222

2

22

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

µ

λµ

µ

θ

θ

θ

µµ

µ

µµ

β

β

β

λµ

µλ

µ

µλ

------------- 4.134

Se asume que las contribuciones de p′ y q′ son pequeños.

De (4.134) las derivadas de aleteo respecto a las perturbaciones de velocidad y

control son determinadas, aunque estas serán expresiones muy largas. Se

simplifican para vuelo estacionario y se omite la variación de la corriente

descendente adoptando la forma:


73

=

p

qs1

c1

ps1

pc1

qs1

qc1

s1

c1

s1

c1

s1

c1

s1

s1

c1

c1θθ

ββ

ββ

ββ

ββ

ββ

θ

θ

θ

θ

------------- 4.135

Las derivadas de aleteo se pueden escribir en la forma:

( )

−−

===∂∂

e3

41n

d

12

s1c1c1

c1

s1c1 ββ

βθθ

λββ

θβ

------------- 4.136

−

−−=−==∂∂

e3

41e

3

81

d

n2

s1c1s1

c1

c1s1β

βθθ ββ

θβ

------------- 4.137

( )

+

−+

−−

===∂

∂

β

β

β

ββ

β

βλβββ

I

eRM1e

3

81

d

n2e

3

41n

d

1

q

2

ps1qc1c1

------------- 4.138

( )

−

−−

+

−=−==

∂∂

e3

41e

3

81

d

n

I

eRM1

d

12

p

22

qs1pc1c1

β

β

β

β

β

βλβββ

------------- 4.139

Donde

( )β

βββββ

λn

1S y e

3

81Snd

2222 −

=

−+= ------------- 4.140

Las derivadas de aleteo pueden ahora ser usadas en la formulación de derivadas de

los momentos del núcleo. Los momentos del núcleo en el eje del árbol del sistema

cuerpo pueden ser escritos en términos de momentos del núcleo en ejes rotatorios,

dados por (4.125), en la forma:

( ) ψsinML rH −= ------------- 4.141


74

La ecuación 4.141 representa el momento de alabeo en el sistema núcleo, siendo

positivo a estribor.

( ) ψcosMM rH −= ------------- 4.142

La ecuación 4.142 representa el momento de cabeceo en el sistema árbol, siendo

positivo nariz arriba.

Al expandirse (4.125) conduce a las expresiones:

( ) ( )

( ) ( )

−++−+

++−

−

+−−−=

Ω

0z0c1s1

2s1c1

s12

2H

343

pen4

q2'pM

eRM1

I

eRM1

I

L20

λµθµβθµθβ

βλ

β

β

β

β

ββ

β

------------- 4.143

( ) ( )

( )

−−+

++−

−

+−−−=

Ω

243

qen4

p2'qM

eRM1

I

eRM1

I

M2

0s1c1

2c1s1

c12

2H 0

µββθµθβ

βλ

β

β

β

β

ββ

β

------------- 4.144

Las derivadas de momento en el núcleo expresadas anteriormente pueden escribirse

en términos de las derivadas de aleteo, así:

( )

+

++−−=

Ω 000

0

0s1

2

c12

2 243

1en41

I

M2θθθ

βµβµβλ βββ

θ ------------- 4.145

( ) ( )

+−

++−−=

Ω c1c1c1

c1

0s1

2

c12

2 21

43

1en41

I

M2θθθ

βµβµβλ βββ

θ ------------- 4.146

( )

+

++−−=

Ω s1s1s1

s1

0s1

2

c12

2 243

1en41

I

M2θθθ

βµβµβλ βββ

θ ------------- 4.147


75

( )

+

++−−=

Ω zzz

z

0s1

2

c12

2 2431

en41I

M2µµµ

βµβµβλ βββ

µ ------------- 4.148

( )

+

++−+−−=

Ω qqq 0s1

2

c12

2q

2431

31

en41I

M2βµβµβλ ββ

β

------------- 4.149

( )

+

++

+−−−=

Ω pp

0

p 0s1

2

c12

2p

2431

en4M

eRM1

I

eRM21

I

M2βµβµβλ β

β

β

β

ββ

β

------------- 4.150

( )

+

−−−−=

Ωµβµβλ

θθ βββ

θ00

0

c1

2

s12

2 431

en41I

L2

------------- 4.151

( )c1c1

c1

c1

2

s12

2 431

en41I

L2θθ

βµβλ βββ

θ

−−−−=

Ω

------------- 4.152

( )

++

−−−−=

Ω 43

31

431

en41I

L2 2

c1

2

s12

2 s1s1

s1µβµβλ

θθ βββ

θ ------------- 4.153

( )

+

−−−−=

Ωµβµβλ

µµ βββ

µzz

z

c1

2

s12

2 431

en41I

L2

------------- 4.154

( )q

0

q c1

2

s12

2q

431

en4M

eRM1

I

eRM21

I

L2βµβλ β

β

β

β

ββ

β

−−

++−−=

Ω

------------- 4.155


76

( )

−+−−−=

Ω pp c1

2

s12

2p

431

31

en41I

L2βµβλ ββ

β

------------- 4.156

Mediante un análisis efectuado por [4.1], se puede decir que la evidencia presentada

en ese estudio, aunque de alguna manera aun superficial, sustenta la adopción de

un modelo mucho más sencillo basado en la aproximación de un resorte central en

lugar de la excentricidad de la bisagra real. Una investigación más a fondo será

garantía para evidenciar y clarificar el alcance de la aproximación, particularmente

en vuelo con maniobras.

En resumen, para un rotor sin bisagras, la resistencia del resorte y el número de

Lock son elegidos para igualar la frecuencia natural del primer modo de aleteo y la

distribución de masa respectivamente. Para rotores articulados la constante del

resorte es determinada nuevamente para obtener la frecuencia natural del primer

modo de aleteo (cuerpo rígido) pero el número de Lock ahora se disminuye con el

incremento del momento de inercia de la pala asociado, ahora referido al centro de

rotación.


77

4.3. TRACCIÓN Y POTENCIA DEL ROTOR DE COLA

La tracción que genera el rotor de cola es pequeña en magnitud en relación con

aquella generada por el rotor principal. De este afirmación se desprende la hipótesis

adoptada en el capítulo anterior, que serán despreciada la resistencia al avance, la

fuerza vertical y el momento de cabeceo que este produce.

El empuje del rotor produce una fuerza lateral en el helicóptero que esta dada por:

( ) ( ) TTT0

TY2TT0T

2TTT F

aC

RaRY

Ω=

σπσρ

------------- 4.157

Donde σT es la solidez del rotor de cola y FT representa un factor de bloqueo

generado por el empenaje vertical sobre la estela de flujo del rotor de cola y que

produce cierta ineficiencia en la fuerza que éste genera. Este formula fue

determinada empíricamente y esta dada por:

2T

FNT R

S43

1Fπ

−= ------------- 4.158

Donde SFN representa la superficie del empenaje vertical.

El coeficiente de empuje del rotor de cola puede escribirse como:

( )22

31

3aC2 T0zT2

T

*T0

TT0

TT λµµθσ

−+

+=

------------- 4.159

Donde a0T es la pendiente de la curva de levantamiento de las palas del rotor de

cola; *0Tθ el paso colectivo, y las velocidades normalizadas Tµ y zTµ están dadas por:

( )( )( )TT

21

2CGT0TA

2A

T Rxqkw

Ω++−+= λλµµ λ

------------- 4.160


78

( )( )TT

TCGTAzT R

phrxlvΩ

−++−=µ ------------- 4.161

Donde uA, vA, wA son las velocidades aerodinámicas en el centro de gravedad del

helicóptero; p, q y r son las componentes de la velocidad angular del fuselaje; 0λ es

el desplazamiento de aire del rotor principal y lT y hT, la posición del rotor de cola

atrás y encima del punto de referencia del fuselaje, punto directamente debajo del

núcleo del rotor principal sobre la línea de referencia del fuselaje.

El desplazamiento de aire uniforme en (4.159) esta dado por:

( )( ) 21

2T0zT

2T

TTT0

2

C

λµµλ

−+= ------------- 4.162

0λ tiene que ser determinada iterativamente en conjunto con (4.159).

El ángulo 3δ da una disminución al paso colectivo del rotor en la forma [ver

articulación K en 2.6]:

T03T0*T0 k βθθ += ------------- 4.163

Donde 0Tβ es el ángulo de conicidad del rotor de la cola, y k3 es la constante 3δ .

Refiriéndose a (4.98) para la expresión de la conicidad del rotor principal, *0Tθ se

puede escribir como:

( )

( )2T

T

23

T0zT

T

23T0*T0

1n

k1

nk

µλ

λµλθθ

β

β

β

β

+

−

−

+

=

------------- 4.164

En donde se ha asumido que 0ST

=β

El par torsional del rotor de cola puede escribirse como:


79

( )

Ω=

TT0

QTTT0

3T

2TTT a

C2aRR

21

Qσ

σπρ ------------- 4.165

El coeficiente de par torsional esta definido por:

( ) ( )2T

T0

T

TT0

TTT0zT

TT0

QT 31a4a

C2a

C2µδ

σλµ

σ++

−=

------------- 4.166

Donde

2TTT2T0T Cδδδ += ------------- 4.167

representan el modelo de tracción simplificado por la teoría del ala elíptica de

Prandlt.


80

4.4. FUERZAS Y MOMENTOS AERODINÁMICOS DEL FUSELAJE

Para la determinación de las fuerzas y momentos del fuselaje se asume que las

fuerzas y momentos longitudinales son dependientes del ángulo de ataque mientras

que las fuerzas y momentos laterales dependen del ángulo de derrape. Sin embargo

para la fuerza de arrastre existe una excepción pues esta depende de ambos

ángulos. La representación que a continuación se propone representa una

simplificación de una colección disponible de datos de túnel de viento. Las formas

semiempíricas para estas tres fuerzas y momentos de cabeceo y guiñada fueron

desarrolladas para un rango completo de incidencia del cuerpo. Estas son

detalladas en [Apéndice 5].

Si Fα y Fβ denotan los ángulos de incidencia del fuselaje y el derrape

respectivamente tenemos:

( ) 21

2A

2AF

A

A1F0 wV ,

wtan ,0 µ

µαλ +=

=< −

------------- 4.168

( ) 21

2A

2AF

A

A1F0 wV ,

wtan ,0 µ

µαλ λ

λ +=

=> −

------------- 4.169

Donde

0FAA Rkww λλλ Ω−= ------------- 4.170

λFk es una constante que permite considerar el incremento del valor del

desplazamiento de aire sobre el disco del rotor.

El ángulo de derrape que produce la fuerza lateral y el momento de guiñada esta

dado por:

= −

A

A1F u

vtanβ

------------- 4.171


81

Las fuerzas longitudinales y momento de cabeceo están dados por:

( ) ( )FXF2Fp

2F CVSR

21

X αρ Ω= ------------- 4.172

( ) ( )FZF2Fp

2F CVSR

21

Z αρ Ω= ------------- 4.173

( ) ( )FMF2FFp

2F CVSR

21

M αρ λΩ= ------------- 4.174

La fuerza lateral y momento de guiñada están dados por:

( )

Ω=

F

AYFs

2F

2F V

vCSVR

21

Y ρ ------------- 4.175

( ) ( )FNFFs2F

2F CSVR

21

N βρ λΩ= ------------- 4.176

Los términos Sp y Ss son las superficies de vista de planta y vista lateral del fuselaje

respectivamente, lF es la longitud de referencia. Para el momento de guiñada en

(4.176), ocurre un cambio en CNF para vuelo en reversa. Por lo que, si:

( ) ( )FNFAFNFA CC ,0u ββ =< ------------- 4.177

( ) ( )FNFBFNFA CC ,0u ββ => ------------- 4.178


82

4.5. FUERZAS NORMALES DEL EMPENAJE HORIZONTAL Y VERTICAL.

Se asume que en el empenaje horizontal y vertical se producen únicamente fuerzas

normales a lo largo de las direcciones de los ejes z e y respectivamente. La fuerza

normal puede escribirse como:

( ) ( )TPZTPTP2

T2

TP CSVR21

Z αρ Ω= ------------- 4.179

En donde STP es el área del empenaje horizontal. El coeficiente de fuerza esta dado

por:

( ) TP0TPZTPZTLZTP sinaC ,CCT

αα −=< ------------- 4.180

( )T

TPZTPTPZTPZTLZTP sin

sinCC ,CC

ααα −=> ------------- 4.181

0Ta representa la pendiente de la curva de levantamiento para un TPα pequeño. El

efecto de la estela del rotor principal golpeando al empenaje horizontal puede

incorporarse a TV y Tα , así:

( )( )

Ω+Ω−= 2

2A

20FA2

TR

uRkwV

λλ ------------- 4.182

( )

++Ω−+=A

CGTP0TPATT u

qxlRkwarctan

λθα λ ------------- 4.183

Donde TPkλ es una constante cuando χ1 < χ < χ2, en donde x es el ángulo de la estela

del rotor principal.


83

−=

−−=

hhl

arctany hhRl

arctanTPR

TP2

TPR

TP1 χχ

------------- 4.184

0k TP =λ

De forma similar la fuerza lateral del empenaje vertical puede ser escrito como:

( ) ( )FNYFNFN2FN

2FN CSVR

21

Y βρ Ω= ------------- 4.185

Donde CYFN(βFN) son obtenidos mediante [4.10]:

( )( )2

2A

2A2

FNR

vuV

Ω+= ------------- 4.186

−+−= −

A

FNA1FNFN u

rlvtanθβ

------------- 4.187

θFN es el ángulo de inclinación del empenaje vertical.


84

4.6. SISTEMAS DE MANDO DE VUELO Los sistemas de mando de vuelo o sistemas de control de vuelo del helicóptero son

los responsables de modificar toda la dinámica de la aeronave completa. Aparte de

las entradas transitorias debidas a eventos imprevistos tales como ráfagas de viento,

cambios de densidad, etc., las entradas por definición son los mandos de vuelo.

Los mandos de vuelo con los que cuenta la aeronave son un canal de mando

colectivo que permite cambiar el ángulo de paso de las palas del rotor principal y

con ello aumentar o disminuir la fuerza de tracción de éste. Un canal de mando de

paso cíclico longitudinal que provoca un desplazamiento en la aeronave, un canal de

mando de paso cíclico lateral que genera desplazamiento también y finalmente un

cambio de paso de las palas del rotor de cola que permite, a través de un aumento o

disminución de tracción, guiñar la aeronave.

Para comenzar el análisis habrá que decir que las entradas de paso cíclicas pueden

ser mezcladas y puestas en fase antes de ser transmitidas a las palas. Así mismo las

unidades dinámicas de los servos son representados por los primeros retrasos de

orden.

4.6.1. Canales de cabeceo y alabeo

Comenzando en el extremo de los canales de cabeceo y alabeo de la pala el

mezcaldor cíclico (en fase) toma la forma

Fc1*

Fs1*

s1 cincos ψθψθθ += ------------- 4.188

Fc1*

Fc1*

c1 cincos ψθψθθ −= ------------- 4.189

Las señales “aparentes” de las ecuaciones 4.188 y 4.189 son producidas por el servo

actuador comandadas por el piloto y por las señales del autoestabilizador antes de

la posición en fase. Así,

s1 1c

sa1sp1*

s1*

τθθθ

++

= ------------- 4.190


85

s1 2c

ca1cp1*

c1*

τθθθ

++

= ------------- 4.191

La barra denota la transformada de Laplace de una cantidad y la s en el

denominador, denota la variable de Laplace. Considerando primeramente las

contribuciones del piloto con el subíndice p, la señal lateral tiene la forma simple

c11c10c1cp1* ngg +=θ ------------- 4.192

donde g1c1 es la reducción debida al bastón.

La entrada longitudinal cíclica del piloto tiene una forma más general. La reducción

del bastón longitudinal es vista como una función de ajuste de la palanca del

colectivo. Una aproximación lineal puede ser asumida para la presente aplicación

tomando la forma:

( ) cs11sc0scs11s10s1sp1* ggngg ηηθ +++= ------------- 4.193

donde 0 < η1s < 1, comprende completamente la carrera del bastón desde atrás

hasta el frente. También 0 < ηc < 1, aunque este rango puede contener paso

colectivo negativo. Los coeficientes en (4.193) se pueden expresar conveniente en

términos de cuatro parámetros.

θ1s0= paso a bastón de mando cíclico y palanca colectiva en cero.

θ1s1= paso a bastón de mando cíclico máximo y cero de la palanca colectiva.

θ1s2= paso a bastón de mando cíclico en cero y palanca colectiva al máximo.

θ1s3= paso a bastón de mando cíclico y palanca colectiva máximos.

Éstos podrían no ser los mejores puntos a considerar en la práctica debido a las no

linealidades adicionales que se generan en los extremos de control.


86

( ) ( )

====

0s11s12s13s11sc

0s12s10sc

0s11s11s1

0s10s1

---g

-g

-g

g

θθθθθθθθ

θ

------------- 4.194

Las contribuciones del autoestabilizador a los canales del cabeceo y alabeo, pasando

a través de la serie de actuadores limitados en autoridad, se escriben en forma

proporcional simple

( )0c1c1c1pca1* kpkk ηηφθ φ −++= ------------- 4.195

( )0s1s1s1qsa1* kqkk ηηθθ θ −++= ------------- 4.196

kθ, kφ, kp y kq son las ganancias del lazo de retroalimentación, mientras k1c y k1s son

simplemente ganancias; η1s0 y η1c0 son constantes que son ajustadas por el piloto.

4.6.2. Canal de guiñada

Las contribuciones del piloto y del autoestabilizador enviadas al rotor de cola pasan

a través del servo, dando la relación

s3C

Ta0Tp0TR0 1 τ

θθθ

++

= ------------- 4.197

La contribución del piloto se compone de las señales de ambos pedales y de la

palanca colectiva. La longitud de la varilla (ηct) se relaciona con las posiciones del

mando de guiñada y palanca colectiva. La forma lineal general para estas relaciones

puede ser escrita como

( ) ( ) t0ctp0ctct g211g ηηη −+−= ------------- 4.198

y

ct1t0tTp0 gg ηθ += ------------- 4.199


87

En cuanto al mezclador cíclico/colectivo longitudinal descrito previamente, los

coeficientes en (4.198) y (4.199) pueden ser establecidos como puntos conocidos en

una curva que defina la cinemática del mecanismo.

La contribución del autoestabilizador al canal de guiñada se puede escribir en la

forma

( ) rkk rHTa0* +−= ψψθ ψ ------------- 4.200

ψH es un ángulo de cabeceo, ajustable por el piloto.

4.6.3. Canal colectivo

El retraso inducido por el servo toma la forma

s1 4c

a0p00 τ

θθθ

++

= ------------- 4.201

El paso colectivo es producido por el movimiento de la palanca colectiva a través de

un engranaje recto, por ejemplo

c1c0cp0 gg ηθ += ------------- 4.202

La contribución del autoestabilizador, pasa a través de otra serie de actuadores de

autoridad limitada. La ley del control toma la forma proporcional de

ηθ ∆kga0 = ------------- 4.203

CAPÍTULO 5 Simulación Numérica del Modelo

89

Capítulo 5 Simulación Numérica del Modelo

En este capítulo se emplearán las ecuaciones del capítulo anterior para realizar un

análisis para vuelo estacionario y de traslación. El vuelo estacionario debe

entenderse como aquel en el cual la aeronave no tiene movimiento relativo respecto

al sistema tierra.


90

Fig. 5.1. Diagrama de bloques para vuelo estacionario

Elementos que generan Fuerzas Verticales

FVHRCRP Z Z Z Z Z Z ++++=

Ecuación de movimiento trasnacional

( ) φθ coscosgm

Zuqvpw ++−−=&

Fza. empenaje vertical 0 ZV =

Fza. vertical rotor de cola 0 ZRC =

Fuerza Fuselaje

( ) ( )FZF2

Fp2

F CVSR2

1Z αρ Ω=

u

vtan

Rkww

wtan

R/wvuV

A

A1F

0FAA

A

A1F

2A

2A

2AF

=

Ω−=

=

Ω++=

−

−

β

λµ

α

λλ

λ

ZFC Ω

Ω0AAA wvu λ

Fuerza Empenaje Horizontal

( ) ( )

ZTLZHH

HZTLZH

ZTLZHH0ZH

HZH

2HH

2H

CC,sin

sinCC

CC,sinaC

CVSR2

1Z

H

>−=

<−=

Ω=

αα

α

αρ

( )( )

( )

++Ω−+=

Ω+Ω−

=

A

0HAHH

2

2A

20HA2

H

u

qxcgltpRkwarctan

R

uRkwV

λθα

λ

λ

λ

Fuerzas Rotor Principal Sistema cuerpo

=

N

N

N

ss

ss

RC

RC

RP

Z

Y

X

cos0sen

010

sen-0cos

Z

Y

X

γγ

γγ

Fuerzas rotor principal Sistema Núcleo

( )

( )

( )

Ω=

Ω=

Ω=

sa

C2saRR

2

1Z

sa

C2saRR

2

1Y

sa

C2saRR

2

1X

0

Z0

22N

0

Y0

22N

0

X0

22N

ρπ

ρπ

ρπ

Tsa

C2

sa

C2

0

T

0

Z −=

−=

( ) tw20Zw

sw1

2

0 14

1

22

p

223

1T θµλµθµµθ ++

−+

++

+=

( )( )

2,

2cot

2,

2tan

0

arctan

2

C

0cw1

0cw1

sw1

Z0

21

20z

2

T0

πχχλλ

πχχλλ

λµλ

µχ

λµµλ

>=

<=

=

−=

−+=

( )( )

( )( )j0jjj01j0

j0zT0

Tj0j

20z

2

hf

C4

a2

C2h

23

21

λλλ

λµσλ

λµµ

+=

−−Λ

+Λ

Λ−Λ−=

−+=Λ

+

R

w HZ

2Y

2x

Ω=

+=

µ

µµµ

R

vR

u

HY

HX

Ω=

Ω=

µ

µ

oθ


91

Fig. 5.2. Diagrama de simulación del coeficiente de tracción en Simulink

Antes de presentar los resultados obtenidos mediante Simulink® se realizará una

descripción de las consideraciones asumidas en el modelo matemático:

1. El origen del sistema de ejes de referencia ortogonales sobre el que serán

ensambladas las ecuaciones es el centro de gravedad de la aeronave, el cual

se considerara que es fijo.

2. Se considera que la aeronave se comporta como un cuerpo rígido y que

presenta los seis grados de libertad espaciales. Así mismo, se considerarán

que el rotor principal presenta tres grados de libertad, el ángulo de aleteo

longitudinal, el lateral y la conicidad. Este hecho evidentemente es hipotético,

puesto que al girar los rotores, se produce un cambio en la posición del

centro de gravedad de la aeronave, debido a fenómenos de aleteo y arrastre de

las palas. Sin embargo, al no representar las palas del rotor más del 2% de la

masa total del aparato completo, se asumirá la hipótesis antes planteada.

3. El plano x-z es el plano de simetría de la aeronave


92

4. Se considera una afluencia de flujo inducido en el rotor principal

uniformemente distribuida.

5. Son ignorados los efectos de compresibilidad de fluido.

6. La curva de levantamiento del perfil tanto del rotor principal como del de cola

se consideran representados por una recta constante.

7. Acoplamientos de la dinámica de aleteo y avance-retroceso de la palas son

despreciados.

8. Se considera un torcimiento lineal tanto en las palas del rotor principal como

del rotor de cola.

9. Se consideran que las palas son construidas con un material isotrópico,

linealmente elástico.

10. Se considera que las palas tiene igual masa, geometría y rigidez.

11. .Se desprecia la dinámica de la planta de potencia.

12. Finalmente se considera que los controles de mando del piloto se encuentran

solidariamente unidos a los mecanismos y comandos de la aeronave.

En las siguientes gráficas se muestra la respuesta de la aeronave a las entradas

comandadas por el piloto mediante los cuatro controles con que cuenta para ello.

Estos cuatro controles de mando son generados remotamente por la emisora de

radio utilizada, la cual genera señales a una frecuencia de 72.590 Mhz, mismas que

son desencriptadas por un receptor a bordo de la aeronave y que los traduce en

pulsos eléctricos que alimentan los servomotores de la aeronave. Como fue

explicado en el capítulo 2, el piloto cuenta con una palanca colectiva (1) que

aumenta o disminuye el paso de las palas y por tanto la tracción del rotor principal,

haciendo subir o bajar la aeronave. Un canal de paso cíclico longitudinal (2), que al

provocar un cambio de incidencia diferente en cada una de las palas provoca así

mismo una variación de sustentación en cada una de ellas y que a su vez engendra

un momento en el núcleo del rotor, lo cual hace que toda la aeronave responda

mediante un momento de cabeceo logrando un desplazamientos longitudinal de

ésta. Un tercer mando, conocido como paso cíclico lateral, tiene el mismo principio


93

que el de paso longitudinal pero colocado perpendicularmente a éste para lograr

movimiento lateral de la aeronave. El cuarto y último mando es el control de paso

del rotor de cola. El principio es similar al cambio colectivo del rotor principal.

Mediante el cambio de la incidencia de las palas del rotor de cola se logra aumentar

o disminuir la sustentación de las palas y por ende la tracción que éste genera.

Dado que el rotor de cola se encuentra situado a una distancia del centro de

gravedad de la aeronave y que funciona como brazo de palanca, mediante el control

de la fuerza que éste genera se logra inducir un momento, que hace que la aeronave

guiñe hacia su izquierda o derecha.

Fig. 5.3. Emisora de radio control de la aeronave

Palanca de mando colectivo

Palanca de mando cíclica longitudinal Palanca de mando de paso Palanca de mando de palas del rotor de cola cíclica lateral a


94

Fig. 5.4. Gráfica del comportamiento de cabeceo de la aeronave

Fig. 5.5. Velocidad de la aeronave en función del ángulo de paso del rotor

principal


95

Fig. 5.6. Posición de la palanca de mando cíclico longitudinal respecto a la velocidad de la aeronave

Las gráficas presentadas corresponden al comportamiento que tendría la aeronave

al manipularse los controles. Estas gráficas son generadas a partir de la

implementación del modelo matemático, quedando pendiente su validación

experimental para los diferentes puntos. Únicamente se pudo comprobar

experimentalmente el punto correspondiente a vuelo estacionario, debido al precario

sistema de identificación que se diseñó.

CONCLUSIONES

97

CONCLUSIONES

Para la validación del modelo matemático tomado como referencia en el presente

trabajo, se hubieron de realizar la obtención de diversos parámetros y

características físicas de la plataforma empleada. Aunque no es el objeto de estudio

del presente trabajo, se diseñaron y construyeron diferentes sensores electrónicos

que permitieran la adquisición de parámetros de la aeronave, así como un sistema

de telemetría que permitiera enviar estos datos a una estación terrena de monitoreo

para la adquisición de datos. El diseño, construcción y descripción de los sensores

fabricados, así como de la estación terrena se detallan en el Apéndice 2 de este

trabajo. De la misma manera, hubo de diseñarse y construirse un cuerpo fuselado

que cubriera la aeronave y determinar sus coeficientes aerodinámicos del mismo

con el propósito de alimentar el modelo matemático en la parte concerniente a

fuselaje. La construcción del fuselaje se detalla en el Apéndice 3. La determinación

de los coeficientes se realizó de manera experimental en un túnel aerodinámico pero

también de manera numérica en un paquete de cómputo de dinámica de fluidos

computacionales, ello se detalla en el Apéndice 4.

Los resultados que se muestran en la gráficas presentadas en el capitulo 5

corresponden al comportamiento dinámico de la aeronave completa pero de manera

numérica, pudiéndose únicamente constatar un solo punto de estas gráficas de

manera experimental, el correspondiente al vuelo estacionario, es decir con

velocidad de desplazamiento igual a cero, siendo satisfactorio el valor para este

punto. Sin embargo, para poder realizar el muestreo de otros puntos diferentes, esto

es a velocidad de traslación y maniobras, se ha concluido que es necesario dotar a

la aeronave de un sistema de identificación mas completo, que permita sensar las

componentes de velocidad aerodinámica en las palas del helicóptero así como sus

deformaciones.

En el presente trabajo, se ha podido comprobar el alto acoplamiento de dinámicas

que existe en el modelo, situación que complica aún más la resolución de las

ecuaciones de movimiento.

CONCLUSIONES

99

Recomendaciones y trabajos a futuro

Con el fin de incrementar más la fidelidad del modelo, se puede mejorar la

simulación de los fenómenos aerodinámicos que genera el rotor principal,

incluyendo los efectos producidos por la turbulencia, la cual afecta la eficiencia de

las superficies de estabilidad y la del rotor de cola. Así como dotar al sistema de

identificación de sensores que permitan leer valores de las componentes de

velocidad aerodinámica en las palas. Se hace indispensable contar con un modelo

matemático que describa la dinámica del motor utilizado, es decir de un motor de

émbolo de combustión interna, el cual permita monitorear físicamente sus

parámetros tales como presión y temperatura en la cámara de combustión,

revoluciones por minuto del cigüeñal, consumo específico de combustible y potencia

al freno.

REFERENCIAS

101

REFERENCIAS AL CAPITULO 1

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APÉNDICE 1

A1 - 1

Apéndice 1 Plataforma experimental voladora

La plataforma tecnológica que se propuso para la validación del modelo matemático

fue la de un helicóptero de los conocidos en el mercado como clase 90, este aparato

cuenta con las siguientes especificaciones:

Características de la plataforma aérea empleada

Peso máximo de despegue con equipo de telemetría = 5.8 Kg.

Planta motriz motor OS MAX 91 SX-H Ring Spec w/pump

Capacidad del tanque de combustible 550 c.c.

Área de resistencia parásita, f 0.003m2

Relación de resistencia vertical, DV/P.M. 0.04

Rotor principal

Radio, R 0.8 m Superficie del disco, A 2.01m2 Velocidad en la punta, ΩR 134 m/s Cuerda, c 0.06 m Número de palas, b 2 Solidez, σ 0.0477 Superficie de las palas, Ab 0.048 m Perfil NACA 0015 Torcimiento, θ1 0º Relación de excentricidad de la bisagra e/R

0.11

Incidencia de la flecha, i 0º Altura por encima del C.G., hM 0.23 m

APÉNDICE 1

A1 - 2

Rotor de cola Radio, RT 0.13 m Superficie del disco, AT 0.053 m2 Velocidad en la punta, ΩRT 39.57 m/s Cuerda, cT 0.0254 m Número de palas, bT 2 Solidez, σT 0.1243 Superficie de las palas, AbT 0.0066 m2 Perfil NACA 0012 Torcimiento, θ1T 0º Brazo de momento del rotor de cola, lT 0.94 m Altura por encima del C.G., hT 0.067 m Área obstruida, SB m2 Ángulo delta-tres, δ3 45 º Estabilizador horizontal Superficie, AH 0.003m2 Envergadura, bH 0.19 Alargamiento, A.R.H Conicidad, cT/cR 2 Flecha de la línea de c/2, Λc/2H 30º Flecha del borde de ataque, ΛL.E.H. 45º Perfil Placa plana Brazo de momento, lH 0.65 m Altura por encima del C.G., hT 0.064 m Estabilizador vertical Área, AV 0.0045m2 Envergadura, bV 0.22m Alargamiento, A.R.H 1.8 Conicidad CT/CR 3 Flecha de la línea de c/2, Λc/2V 20º Deflexión del timón, δr 0 º Brazo de momento, lV 0.89 m Altura por encima del C.G., hV 0.01 m Fuselaje Longitud, LF 1.41 m Ancho, WF 0.2 m Altura, HF 0.37m Área húmeda, SWF 0.47 m2 Volumen, VF 0.021m3 Relación de esbeltez, F.R.F 11 Altura por encima del C.G., hF 0.03m

APÉNDICE 1

A1 - 3

Inercias de la aeronave: Cabeceo Iyy = 15 kg m2 Alabeo Ixx = 2 kg m2 Guiñada Izz = 13.1 kg m2 Otros: Planta motriz: OS MAX 91 SX-H Ring Spec

w/pump RPM del motor 15000 Transmisión nominal del rotor principal

2.4 HP

Transmisión nominal del rotor de cola 0.46 HP El propósito principal de la aeronave antes descrita es la recreación y práctica del

aeromodelismo, pero se presenta como una excelente plataforma tecnológica.

Esta plataforma requiere de adaptaciones que han sido ya realizadas, permitiendo

con ellas, aumentar el techo de operación mediante la utilización de un motor O.S.

Max 91 con bomba de sobrealimentación.

Fig. A1. 1. Helicóptero de radio control convencional Raptor 90®

APÉNDICE 1

A1 - 4

En términos de instrumentación la plataforma cuenta de un Sistema de

Posicionamiento Global (GPS). Cuenta además con telemetría de desarrollo propio,

además esta siendo desarrollado un sistema robótico giroestabilizado asintótico que

permite mantener en la lente de la cámara el blanco objetivo no importando el

movimiento de la aeronave o las vibraciones que sean generadas, ello para una

captación nítida de la imagen.

Así, el vehículo podrá transportar cámaras de video y/o infrarrojo, sistemas de

adquisición de datos y que sea de navegación autónoma.

Los sistemas que le fueron adaptados a la plataforma voladora fueron:

Sistema Inercial de Navegación: Mediante autopiloto infrarrojo de

estabilidad.

Sistema de telemetría consistente de: Anemómetro, medición de

temperatura del motor, medición de

carga de baterías, medición de RPM

del rotor principal y medición de

cantidad de combustible.

Fuselaje Carenado de la estructura del

helicóptero fabricada en materiales

compuestos.

APÉNDICE 1

A1 - 5

Fig. A1. 2. Plataforma final de pruebas con equipo de navegación y sistema de

telemetría

APÉNDICE 2

A2 - 1

Apéndice 2 Sistema de adquisición de datos y

sensores de la aeronave

El sistema de adquisición de datos consiste en un sistema telemétrico que permite

medir cinco parámetros específicos de la aeronave durante el vuelo. Estos

parámetros son:

• Velocidad de desplazamiento

• Temperatura de la cabeza del motor

• Velocidad angular del rotor

• Carga de baterías

• Nivel de combustible

Para la elaboración del sistema de comunicación y sensado hubo que realizar un

trabajo de investigación, mismo que condujo a la realización de una teisis de

titulación profesional efectuada en la Unidad Profesional Interdisciplinaria en

Ingeniería y Tecnologías Avanzadas de este Instituto, con el título: Sistemas de

Control y Operación de un Vehículo Aéreo no Tripulado.

APÉNDICE 2

A2 - 2

Fig. A2. 1. Organización detallada del segmento de vuelo

APÉNDICE 2

A2 - 3

Fig. A2. 2. Organización detallada de la estación terrena

APÉNDICE 2

A2 - 4

Fig. A2. 3. Interfaz grafica de posición de la aeronave, altitud y parámetros de la aeronave.

APÉNDICE 2

A2 - 5

Fig. A2. 4. Conjunto de sensores que realizan la medición y envío de

parámetros a la estación terrena.

Fig. A2. 5. Sistema de posicionamiento global.

APÉNDICE 2

A2 - 6

Fig. A2. 6. Vehículo aéreo equipado con sensores y sistema de

telemetría

APÉNDICE 3

A 3 - 1

Apéndice 3 Fabricación del cuerpo del fuselaje de

la aeronave

En esta sección se presenta la metodología que se siguió para la obtención física del

cuerpo fuselado que cubre la estructura de la aeronave experimental. Este carenado

se hacía necesario, ya que es mas fácil determinar algunos de los parámetros

aerodinámicos indispensables para alimentar al modelo matemático.

A 3. 1. MODELADO GEOMÉTRICO DEL CUERPO DEL FUSELAJE EN NX3®

El modelo de pruebas del fuselaje tiene una longitud de 1.15 m y 0.27 m de altura.

Este fue primeramente modelado geométricamente en el paquete de diseño asistido

por computadora Unigraphics NX3® a través de bosquejos parametrizados que

permitían cambiar a voluntad los valores para tener la forma mas adecuada del

cuerpo.

APÉNDICE 3

A 3 - 2

Fig. A3. 1. Creación de curvas de control parametricas del fuselaje

Una vez elaborados los segmentos del fuselaje se prosigue a unirlos mediante la

función denominada Through curves del paquete, la cual permite formar una sola

entidad uniendo uno a uno los segmentos hechos anteriormente.

Fig. A3. 2. Perfiles de control que permiten la obtención de cuerpo fuselado

Resultando el cuerpo del fuselaje que se aprecia en la figura A IV 3

APÉNDICE 3

A 3 - 3

Fig. A3. 3. Modelo geométrico del fuselaje

Finalmente la parte de la nariz, que es un domo, se elabora mediante la herramienta

Revolve obteniéndose el diseño final.

Fig. A3. 4. Modelo geométrico final del fuselaje realizado en NX3®

APÉNDICE 3

A 3 - 4

Una vez obtenida una forma currentilinea aceptable del cuerpo del fuselaje, se

procedió a generar el código de maquinado. El modelo físico del fuselaje fue

fabricado mediante proceso de control numérico computacional en un centro de

maquinado del tipo Cincinnati 500 Arrow, maquinándose en tres partes.

A 3. 2. GENERACIÓN DE CÓDIGO DE MAQUINADO

Antes de empezar la elaboración del programa de maquinado, se observó que el

diseño cuenta con dimensiones mayores a las permitidas por la maquina de CNC,

por lo que se realizó una división consistente de tres secciones para el maquinado. A

continuación se muestran las secciones y como fueron nombradas:

• Nariz

• Cuerpo

• Botalón

Fig. A3. 5. Generación del código para la nariz

APÉNDICE 3

A 3 - 5

Se comenzó con la parte nombrada Nariz. En ella se establecen los ejes. Se

selecciona la herramienta a utilizar. Se selecciona el material. Se ingresan los

parámetros de corte como velocidades, aproximaciones, entre otras. Una vez

realizada la corrida del maquinado se visualiza el terminado final.

Fig. A3. 6. Simulación de maquinado de la nariz De la misma manera se prosigue a emular el código de maquinado de la parte de

cuerpo.

Fig. A3. 7. Generación del código de la parte llamada Cuerpo

APÉNDICE 3

A 3 - 6

Una vez realizada la corrida del maquinado se visualiza el terminado final

Fig. A3. 8. Simulación de maquinado de la parte Cuerpo Por ultimo, para la parte tres, el botalón, se procede como anteriormente

Fig. A3. 9. Simulación de maquinado de la parte Botalón

APÉNDICE 3

A 3 - 7

A 3. 3. PROCESO DE MAQUINADO EN LA MAQUINA DE CNC CINCINNATI 500

Una vez obtenidos los códigos de maquinado en el mismo paquete de diseño asistido

por computadora Unigraphics NX3®, se procedió a transferir el código de

maquinado, ya que el modelo físico del fuselaje fue fabricado mediante proceso de

control numérico computacional en un centro de maquinado del tipo Cincinnati 500

Arrow.

Fig. A3. 10. Máquina CNC Cincinnati 500 Arrow

APÉNDICE 3

A 3 - 8

Fig. A3. 11. Montaje de herramienta de corte

Fig. A3. 12. Montaje de material a utilizar

APÉNDICE 3

A 3 - 9

Fig. A3. 13. Corte de las diferentes secciones del modelo

Fig. A3. 14. Primera sección del modelo

APÉNDICE 3

A 3 - 10

Este modelo en madera de pino sirvió para elaborar los moldes fabricados en

materiales compuestos para reproducir el modelo para túnel de viento, el cual es

también de material compuesto que se presenta en la figura A4.17.

Fig. A3. 15. Terminación del maquinado de los elementos del fuselaje

Fig. A3. 16. Modelo geométrico final del fuselaje realizado en NX3®

Fig. A3. 17. Modelo físico final del fuselaje Fig. A3. 18.

APÉNDICE 4

A 4 - 1

Apéndice 4 Determinación de los coeficientes

aerodinámicos del fuselaje de la aeronave

En esta sección se presentan los resultados de la determinación de los coeficientes

aerodinámicos de coeficientes de sustentación, resistencia al avance y momento de

cabeceo del fuselaje, determinados mediante simulación numérica en el paquete

Fluent® 6.2 en tres dimensiones únicamente para un ángulo de incidencia de 0°.

Este trabajo se encuentra aún sin concluir ya que se pretende conducir en dos

partes. La primera consistente en la determinación de los coeficientes aerodinámicos

de manera experimental de -20° hasta 20° con el fuselaje real de la aeronave. Los

valores de incidencia representan los límites permisibles por el túnel aerodinámico

de la ESIME Ticomán dado el tamaño de fuselaje y evitar efectos de interferencia de

pared. Los datos serán tomados con variaciones de incidencia cada 2°.

La segunda parte consiste en determinar los coeficientes mediante simulación

numérica en el mismo paquete para los mismos ángulos de incidencia empleados en

el método experimental. El objetivo es corroborar la validez de los datos obtenidos

por el método de simulación numérica y así poder inferir la validez de datos a

menores y mayores ángulos de incidencia del fuselaje tales como -90° a -50° y 50° a

90°. La importancia de estos últimos datos radica en el hecho de poder analizar la

dinámica de la aeronave cuando realiza vuelo en ascenso, descenso así como vuelo

APÉNDICE 4

A 4 - 2

estacionario, pues es en estas situación principalmente que el flujo generado por el

rotor principal baña casi en su totalidad el fuselaje añadiendo una fuerza de no

sustentación que se adiciona al peso conocida como arrastre vertical.

Primeramente, la geometría de la aeronave fue exportada al preprocesador del

programa de ingeniería asistida por computadora HyperMesh® para definir una

malla adecuada para su resolución, teniendo que ser reparada para poder ser

analizada. Una vez reparada la malla y definidos el número de volúmenes finitos así

como zonas de mallado fino, se exportó al preprocesador de Fluent®, Gambit®, para

asignar condiciones de frontera, los cuales fueron tomados del laboratorio de

Aerodinámica de la ESIME Ticomán. Los datos leídos fueron presión, temperatura,

humedad y hora local. Con ellos se calculó la densidad local empleada como

condición en el paquete Gambit®. La malla que se utilizó esta representada en la

fig. A4 1.

Fig. A4.1. Mallado en tres dimensiones proveniente de HyperMesh® y asignación de condiciones de frontera en Gambit®

APÉNDICE 4

A 4 - 3

Finalmente se realizó la resolución de las ecuaciones fundamentales de

conservación de masa, energía y cantidad de movimiento en un dominio concreto

discretizado, es decir en la geometría, convertida en malla de puntos que forman los

volúmenes finitos, mediante el paquete de dinámica de fluidos computacional Fluent

6.2 para conocer la distribución de presión dinámica, presión estática y el perfil de

velocidades. Se determinaron los coeficientes de sustentación, resistencia al avance

así como el de momento de cabeceo del fuselaje. En las figuras A4.2 y A4.3 se

muestra las zonas de presión dinámica así como perfil de velocidades.

Fig. A4.2. Distribución de presión dinámica sobre el contorno del fuselaje

Fig. A4.3. Distribución de vectores de velocidad alrededor del fuselaje

APÉNDICE 4

A 4 - 4

Los valores de los coeficientes de sustentación, resistencia al avance y momento de

cabeceo son indicados mediante las siguientes curvas:

Características de levantamiento del fuselaje

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Angulo de ataque del fuselaje (grados)

L/q

cm2

Sin empenaje

Características de resistencia al avance del fusela je

y = 0,0204x2 + 0,0055x + 5,7218

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

AOA del fuselaje (grados)

D/q

(cm

2 )

S/ empenaje

Polinómica (S/ empenaje)

APÉNDICE 4

A 4 - 5

Momento del cabeceo del fuselaje

-600

-400

-200

0

200

400

600

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Angulo de cabeceo del fuselaje (grados)

M/q

(cm

3 )

Sin empenaje

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