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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

“DISEÑO DE UN TREN DE LAMINACIÓN EN FRÍO PARA PRODUCIR PERFILES ESTRUCTURALES DE 4 x 4 EQUAL LEG

ANGLE DE MATERIAL ASTM A 36 GALVANIZADO CALIBRE 10

T E S I S P R O F E S I O N A L

QUE PARA OBTENER EL TÍ TULO DE

INGENIERO MECÁNICO

PRESENTAN: GÓMEZ SÁNCHEZ UBINIO CHAYAN TRINIDAD CRUZ ANGEL EDUARDO

ASESORES ING . JOSE CARLOS LEON FRANCO

M. en C. RICARDO SÁNCHEZ M.

México D.F. Mayo de 200 8

UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO

“



AGRADECIMIENTOS AETC

A mis padres, Clara y Arístides que me han apoyado incondicionalmente durante toda mi

vida y me han dado la libertad de elegir mi camino, que me han inculcado todos los

valores para ser el hombre que ahora soy.

Al Instituto Politécnico Nacional, a la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica,

a sus profesores, porque gracias a todos ellos en su conjunto tengo los conocimientos

necesarios para desempeñarme profesionalmente y porque soy politécnico por

convicción y no por circunstancias.

A mis hermanos Carlos y Fernando, de quienes he aprendido muchas cosas de la vida y

me han brindado su apoyo.

A mis amigos Chayan, Alonso, Manuel, que me han ofrecido su amistad y apoyado en

diferentes situaciones y que sé, puedo contar con ellos. También a todas aquellas

personas que he conocido a lo largo de mi vida porque he aprendido algo de ellos.

A nuestros asesores Ing. José Carlos León Franco y M. en C. Ricardo Sánchez M. que nos

dedicaron sus conocimientos para el desarrollo de esta tesis.

GRACIAS.

Angel Eduardo Trinidad Cruz



AGRADECIMIENTOS UCGS

Agradezco al Instituto Politécnico Nacional, que a lo largo de los años ha creado a los

ingenieros de mayor prestigio a nivel nacional, que nos proporciona el orgullo de saber

que somos parte de esta gran institución, y sobre todo, por formarnos como profesionistas

y brindarnos la templanza de ser los futuros ingenieros del país.

A nuestra querida Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME), que

proporciono sus instalaciones, servicios y a los mejores ingenieros y maestros que nos

impartieron las diferentes materias, que además, depositaron sus conocimientos en todos

y cada uno de nosotros y que hoy nos ven realizados.

Agradezco con todo mi corazón a mis padres, que con grandes esfuerzos me brindaron

los estudios, me heredaron la gama más excelsa de valores que un individuo puede

recibir, la inteligencia, el conocimiento, la sabiduría y la ética, los cuales, forjaron mi

carácter y personalidad.

Mis hermanos, Angel, Myria, Erika, Juan, que sin duda alguna han confiado en mí, que han

compartido gran parte de sus experiencias y que de cierta forma, me han guiado

facilitándome el camino de la vida mil gracias.

Agradezco en especial a Cristina Fuentes Medrano, quien ha sido un soporte y apoyo en

mis éxitos y fracasos, por dejarme compartir parte de mi vida a su lado y demostrarme que

los sueños son alcanzables con base a la perseverancia y convicción, gracias Amor.

A mi querida abuelita “Miluchita” quien me enseño las bondades de la naturaleza y que

con su infinita sabiduría me dio la mejor de las lecciones… superarme para ser mejor día a

día. Con todo mi amor y en el cielo donde te encuentras te agradezco infinitamente.

Mis amigos entrañables Angel, Alonso, Manuel, Jaime, que han convivido a lo largo de la

carrera sus modos y estilos que a cada uno de ellos le caracteriza, los estimo y aprecio

como personas y como profesionales.

Agradezco a nuestros asesores que depositaron en nosotros sus conocimientos, su tiempo

y su confianza para poder llevar acabo esta tesis, mi más sincero respeto y admiración al

ingeniero José Carlos León Franco y al Maestro en Ciencias, Ricardo Sánchez M.

Gómez Sánchez Ubinio Chayan



ÍNDICE

III

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483.4.1- Bandas……………………………………………………………………………..

3.4.- Transmisiones de potencia………………………………………………………

3.3.2.- Tipos de cojinetes……………………………………………………………….

3.3.- Cojinetes…………………………………………………………………………….

3.1.- Herramientas de doblado……………………………………………………….

3.2.- Ejes y flechas………………………………………………………………………..

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA…………………………………………..

OBJETIVOS………………………………………………………………………

JUSTIFICACIÓN……………………………………………………………….

CAPÍTULO I: ANTECEDENTES HISTORICOS………………………………..

CAPÍTULO II: PROCESOS DE LAMINACIÓN………………………………

SEGUNDA PARTE: MARCO TEORICO

CAPÍTULO III:ELEMENTOS DE LA MÁQUINA………………………………

3.1.1.- Definiciones…………….……………………………………………………….

3.1.2.- Tipos de cilindros para doblado………………….…………………………

PRIMERA PARTE: MARCO METODOLÓGICO

1.1.- Generalidades……………………………………………………………………..

1.1.1.- Características de los procesos de formado de láminas metálicas…..

1.2.- Historia de la laminación…………………………………………………………

2.1.- Tipos y procesos de laminación…………………………………………………

2.2.- Trenes para laminación………………………………………………………….

3.3.3.- Secuencia de selección para cojinetes…….………..………………….

3.3.4.- Consideraciones para la colocación de cojinetes………………………..

3.2.1.- Definiciones y aplicaciones…………………………………………………….

3.2.2.- Diseño de flechas……………………………………………………………….

3.2.3.- Deducción de la ecuación del código ASME…………………………….

3.3.1.- Definiciones y nomenclatura…………………………………………………….



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3.5.1.- Pernos y tornillos………………………………………………………………….

3.5.2.- Soldadura………………………………………………………………….………

4.1.- Selección y desarrollo del perfil estructural…………………………………..

4.1.1.-Selección del perfil estructural………………………………………………..

4.1.2.-Desarrollo del perfil estructural………………………………………………..

4.2.- Diseño de la herramienta de doblado (Rodillos)……………………………

4.2.1.-Funciones y parámetros de diseño………………………………………...…

4.2.2.-Secuencia de diseño para la herramienta de doblado………………...

4.3.1.- Funciones y parámetros de diseño…………………………………………..

4.3.2.- Secuencia de diseño para la flecha…………………………………………

4.4.- Selección de cojinetes……………………………………………………………

4.4.1.- Funciones y parámetros de diseño………………………………………….

4.6.- Diseño final de flechas de transmisión…………………………………………

3.4.2.- Engranes………………………………………………………………………….

3.4.3.- Cadenas………………………………………………………………………….

3.4.4.- Comparación entre trasnmiciones de cadena y engranes……………

3.4.5.- Comparación entre transmiciones de cadena y bandas………………

3.4.4.1.- Ventajas de las cadenas…………………………………….……………

3.4.4.2.- Ventajas de los engranes…………………………………...……………

3.5.- Elementos de sujeción……………………………………………………………

3.6.- Análisis estructural………………………………………………………………...

CAPÍTULO IV: DISEÑO DEL TREN DE LAMINACIÓN EN FRÍO………………….

TERCERA PARTE: METODOLOGÍA

4.4.2.- Secuencia de diseño para los cojinetes…………………………………….

4.5.- Selección y diseño de transmisión de potencia……………………………..

4.5.1.- Tipos de elementos para transmitir potencia……………………………..

4.5.2.- Selección del tipo de transmisión……………………………………………

4.5.3.- Funciones y parámetros de diseño………………………………………….

4.5.4.- Secuencia de diseño para la transmisión de potencia………………….

4.2.3.-Selección del material para herramienta de doblado……………….....

4.3.- Propuesta para flechas de transmisión……………………………………….

3.4.5.1.- Ventajas de las cadenas………………………………...…………………

3.4.5.2.- Ventajas de las correas……………………………………..…………...…



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4.7.- Diseño de tornillos de potencia…………………………………………………

4.6.1.- Secuancia de diseño para la flecha……………………………………..

5.1.- Costos de producción……………………………………………………………

5.2.- Depreciación...………………………………………………………………….

4.8.1- Diseño de la tapa……………………………………….…………………..…..

4.8.2- Diseño de la porta bridas superior………………………………...………..

4.8.3- Diseño de los postes………………….……………………………...………..

4.9.1- Diseño de postes para la mesa de trabajo……….………………………

BIBLIOGRAFÍAS……………………………………………………………………….

ANEXOS…………………………………………………………………………………

CAPITULO V: ANÁLISIS ECONÓMICO…………………………………………..

CONCLUSIONES……………………………………………………………………..

4.9.- Diseño de la mesa de trabajo…………………………………………………..

4.8.- Diseño de soportes………………………………………………………………..



III

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La información referente a los trenes de laminación, en la actualidad es demasiada

limitada, por lo cual, nos enfocamos a desarrollar dicha información basándonos en el

desarrollo del diseño de una manera sumamente sencilla de entender comprender y

aplicar.

La necesidad de las industrias manufactureras, de aumentar su producción a un menor

costo esta siempre presente en cualquier proyecto de diseño.

Por este motivo se realizará la siguiente propuesta de tren de laminación tratando de

reducir al máximo la cantidad de material necesaria para su elaboración utilizando

medidas estándar y así poder reducir los costos de material y manufactura del mismo.

Se comenzará el diseño definiendo el tipo de perfil que se va a producir para de ahí seguir

con el diseño de los rodillos, ejes, selección de rodamientos, transmisión, diseño de

soportes, selección de moto-reductor y diseño de la mesa de trabajo.

Con esto se pretende realizar una propuesta factible en cuanto a resistencia y

funcionalidad.



IV

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar un método lógico dentro del proceso de diseño para un tren de laminación en

frío, enfocándose en el análisis y síntesis del diseño mecánico, haciendo énfasis en que la

metodología sea lo suficientemente clara y sencilla, con el fin de que cualquier persona

que se encuentre en el área de ingeniería lo entienda, comprenda e interprete.

OBJETIVOS PARTICULARES

Generar información suficientemente detallada y sencilla, referente a un tren de

laminación en frío para perfiles de lámina delgada.

Implementar un método simple en el proceso de diseño del tren de laminación,

con bases analíticas que justifiquen dicho proceso.

Poner en práctica los conocimientos adquiridos a lo largo de la carrera, como:

estática, dinámica, resistencia de materiales, proyecto mecánico, ciencia de los

materiales, dibujo mecánico, etc. orientándolos al desarrollo de la máquina.

Demostrar la importancia de un tren de laminación en frío dentro de cualquier

área de la industria (Transporte, aeronáutica, construcción, etc.)

Proponer el diseño de un tren de laminación en frío que optimice el proceso en la

generación de perfiles de lámina delgada.



V

JUSTIFICACIÓN

Un ingeniero mecánico es la persona encargada de aprovechar y trasformar la

energía existente en la naturaleza (mecánica, eléctrica, hidráulica, térmica, eólica, etc.),

en cualquier tipo de energía útil, con el fin de proporcionar un beneficio común o

colectivo. Esta tarea esta ligada al desarrollo de diseños y prototipos de todo tipo de

máquinas y sus componentes, los cuales, a través de sus elementos, realizan la conversión

de energía mecánica a cualquier otro tipo de energía o viceversa, haciendo que de ellas,

se obtenga un buen rendimiento y una buena eficiencia.

La temática que se presenta esta enfocada al diseño de un tren de laminación. La

creciente industria del transporte y de construcción cada día demanda mayor

producción en menor tiempo con menor costo, esta es la tendencia de toda industria hoy

en día; de modo tal que nuestra tarea es satisfacer las necesidades del cliente.

Se espera obtener una maquina que cumpla con todos los requisitos del proceso de

diseño, que sea segura, confiable, competitiva, eficiente y que satisfaga las necesidades

del cliente apagándose a las normas y códigos vigentes de calidad.

En el proyecto se desarrollara una máquina relativamente sencilla que pretende

explicar de una manera simple el proceso de producción de perfiles estructurales de

lamina delgada, así como también, dar a conocer los servicios dentro de la industria,

donde y como se utilizan.

El proyecto aportara a la comunidad estudiantil un procedimiento de cómo lograr

conjugar los conocimientos adquiridos a lo largo de la carrera y enfocarlos para

desarrollar un proyecto o un prototipo de manera confiable y segura. Teniendo en cuenta

materias como: estática, dinámica, mecánica de materiales, ciencia de los materiales,

procesos de manufactura, termodinámica, diseño, dibujo, eléctrica, etc.

Para la comunidad científica se brindaran investigaciones que profundicen, amplíen y

mejoren la eficiencia y seguridad de la maquina, procurando que con ello existan

modificaciones en los componentes de la maquina, en los materiales que la constituyen o

en los diseños anteriores.

Con el apoyo del software Autodesk Mechanical Desktop 2008, se agilizara el proceso

de diseño en base a las normas de dibujo vigentes, lo cual hace aun más atractivo el

diseño para cualquier tipo de empresa.

Este trabajo tiene como meta a corto plazo, simular una producción del perfil

estructural de pared delgada, así como también, presentar el diseño del tren de

laminación concluido. A mediano plazo, la meta es realizar un prototipo físico a escala del

tren de laminación que, de manera palpable, realice la producción del perfil estructural

de pared delgada. Una vez logrado lo anterior, a largo plazo, el objetivo es introducirlo al

mercado realizando una producción en masa.



1

CAPÍTULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

1.1.- Generalidades

1.1.1.-Caracteristicas de los procesos de formado de

laminas metálicas

1.2.- Historia de la laminación



2

1.1.- Generalidades

La utilización de los productos fabricados con procesos de formado de laminas metálicas

son usados comúnmente por cualquier tipo de persona; por ejemplo, en escritorios,

archiveros, carrocerías de automóviles, fuselaje de aviones y las latas de las bebidas. El

conformado de lamina data de 5000 a. C., cuando se fabricaban utensilios domésticos y

joyería por repujado y estampado de oro, plata y cobre.

Fig. 1-1 Esquema de los procesos de formado de laminas metálicas.

Las piezas fabricadas por procesos de formado de laminas son mas ventajosos en

comparación con un procesos de forjado o fundición por su poco peso y forma versátil.

Debido a su bajo costo y buenas características generales de resistencia y facilidad de

conformado, el acero al bajo carbono es el metal en forma de lamina que se usa mas

frecuentemente. Para aplicaciones de mayor precisión y exigencia de requerimientos

como en aviones y naves espaciales, los materiales laminados normales son el aluminio y

el titanio.



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1.1.1.-Características de los procesos de formado de laminas metálicas

Formado por laminación

Es utilizado para formar piezas largas con perfiles transversales complicados; buen

acabado superficial; grandes tazas de producción altos costos de las herramientas.

Formado por extensión

Para piezas grandes con contorno superficial; adecuado para pequeñas producciones;

altos costos de mano de obra; los costos de herramientas y equipo dependen del tamaño

e la pieza.

Fig. 1-2 Esquema de un proceso de formado por extensión, pueden fabricar las cubiertas de los aviones

Embutido

En piezas superficiales o profundas con formas relativamente simples; grandes

producciones; altos costos de herramientas y equipo.



4

Fig. 1-3 Proceso de embutido para una lata de aluminio

Estampado

Incluye una diversidad de operaciones, como punzonado, recorte de piezas en blanco,

realzado, doblado bridado y acuñado; formas simples o complicadas, con grandes

producciones; los costos de herramientas y equipo pueden ser altos, pero los costos de

mano de obra son bajos.



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Fig. 1-4 Proceso de estampado

Formado con hule

Embutido y realzado de formas simples o complicadas; la superficie de la lamina se

protege con membranas de hule; flexibilidad de operación; bajos costos de herramientas.

Fig. 1-5 Formado de hule

Rechazado

Utilizado en piezas grandes o pequeñas, con simetría axial (axisimetría); buen acabado

superficial; bajos costos de herramienta, pero los costos de mano de obra pueden ser

altos, a menos que se automaticen las operaciones.

Fig. 1-6 Rechazado



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Formado superplástico

Para formas complicadas, gran detalle y tolerancias estrechas; los tiempos de formación

son largos y por ello la rapidez de producción es baja. Piezas no adecuadas para uso en

alta temperatura.

Fig. 1-7 Estructuras fabricadas con liga por difusión y formado superplástico.

Repujado

Contornos superficiales en laminas grandes; flexibilidad de operación; los costos del

equipo pueden ser altos; el proceso también se usa para enderezar piezas.

Formado por explosión

Utilizado en laminas muy grandes con formas relativamente complicadas, aunque por lo

general axisimétricas; bajos costos de herramienta, pero altos costos de mano de obra;

adecuado para pequeñas producciones; grandes tiempos de ciclo.



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Fig. 1-8 (a) Esquema del proceso de formado por explosión. (b) Ilustración del método confinado para abombar

tubos con explosivo.

Formado por impulso magnético

Operaciones de formado superficial, abombado y realzado con laminas de resistencia

relativamente baja; muy adecuado pera formas tubulares; grandes tazas de producción;

requiere herramientas especiales.

1.2.- Historia de la laminación

El formado por laminación (Roll Forming) es un proceso de movimiento progresivo para

doblar tiras planas de metal en frío en varios pasos y al final obtener el perfil deseado.

Henry Court introdujo el formado del acero utilizando la tecnología del rolado en 1783. Su

primer molino de laminación tenía rodillos acanalados para producir barras de acero más

rápido y más económico que los antiguos métodos de martillado.

La mesa de trefilaje fue una de las precursoras de las maquinas de rolado actuales.

Originalmente, los tramos de metal eran jalados hacia un troquel el cual les daba la forma

deseada. Tiempo después estos troqueles fueron reemplazados por rodillos los cuales

deformaban el metal progresivamente. La primera generación de maquinas de formado

por laminación modernas fueron construidas comercialmente a principios de 1921.

Inicialmente, estos fueron usados para darle forma a tramos que habían sido cortados de

una hoja de metal. Posteriormente se utilizo un rollo de material y este llego a ser más

popular y prontamente aprovechado en la década de los 30’s y los 40’s, el formado por

rolado evoluciono en el proceso que conocemos hoy en día, un proceso con una alta

producción continua con rodillos motrices los cuales hacen que el rollo de material fluya

hacia los troqueles o conformadores.



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Fig. 1-9 Mesa de trefilaje.

Armaduras para puertas y ventanas, tuberías para radiadores de automóviles, cortes

decorativos y soportes para techo fueron algunos de los productos que se comenzaron a

fabricar con el formado por laminación en la década de los 40’s. Con equipo mejorado,

formidables avances en materia prima, y un mejor entendimiento de la tecnología del

rolado hay ayudado a que este proceso sea usado para producir componentes para

diversas aplicaciones, por ejemplo: equipo para la industria aero-espacial.

Tendencias Actuales

El diseño asistido por computadora es utilizado para generar lo que se conoce como

diagramas de flor que es la representación de cómo debe fluir el material a través de los

rodillos. Con estos dibujos a su vez se utilizan sistemas CAD/CAM para producir las

herramientas de formado.

El Control Lógico Programable (PLC) y los Microprocesadores esta siendo utilizados para

ayudar al control del proceso en las líneas de formado por laminación, con ayuda de

sensores un solo control puede monitorear las condiciones en múltiples líneas de rolado.

Los avances en las técnicas de soldadura han aumentado la capacidad del formado por

rolado las formas pueden ser abiertas o cerradas. Las formas cerradas son unidas

mecánicamente en sus vértices y una soldadura de arco eléctrico cierra la unión.

Mejoras en el intercambio de las herramientas y los troqueles ha permitido procesar cortes

de menor tamaño mas económica y rápidamente.

Fig. 1-10 Tren de laminación en frió para perfiles



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CAPÍTULO II

PROCESOS DE LAMINACIÓN

2.1.- Tipos y procesos de laminación

2.2.- Trenes para laminación



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2.1.- Tipos y procesos de laminación

El laminado es el proceso de reducir el espesor (o modificar la sección transversal) de una

pieza larga mediante fuerzas de compresión aplicadas a través de un juego de rodillos; el

proceso es similar al aplastado de la masa con un rodillo de amasara fin de reducir el

espesor. La laminación, que representa aproximadamente el 90% de todos los metales

producidos usando procesos de metalurgia, fue desarrollada por primera vez a finales del

año 1500. La operación básica es el laminado plano o laminado simple, donde los

productos laminados son la placa plana y la hoja.

Fig. 2-1 Esquema de varios procesos de laminado plano y de forma.

Laminado plano

En la figura 2.1a se muestra una ilustración esquemática del proceso de laminado plano.

Una tira de espesor ho entre el espacio de laminación donde un par de rodillos en rotación

la reduce a un espesor hf, cada uno de los rodillos movido a través de su propia flecha por

motores eléctricos. La velocidad superficial de los rodillos es Vr. La velocidad de la tira se

incrementa de su valor de entrada Vo a través del espacio de laminación, de la misma

manera que el fluido se ve obligado a moverse más rápido al pasar por un canal

convergente.



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Fig. 2-2 (a) Ilustración esquemática del proceso de laminado plano. (b) Fuerzas de fricción que actúan sobre las

superficies de la tira. (c) La fuerza de laminado, F, y el par de torsión que actúa sobre los rodillos. El ancho w de la

tira por lo general aumenta durante el laminado.

La velocidad de la tira es máxima a la salida del espacio de laminación; la identificamos

como Vf. Dado que la velocidad superficial del rodillo es constante, existe un

deslizamiento relativo entre el rodillo y la tira a lo largo del arco de contacto en el espacio

de laminación, L.

En un punto a lo largo del tramo de contacto, conocido como el punto neutro o punto de

no deslizamiento, la velocidad de la tira es la misma que en el rodillo. A la izquierda de

este punto, el rodillo se mueve más rápido que la tira; a la derecha del mismo, la tira se

mueve con mayor velocidad que el rodillo. Por tanto, las fuerzas de fricción que se

oponen al movimiento actúan sobre la tira según se muestra en la figura 2.2b.

Molinos para laminación

Se construyen varios tipos de molinos y equipos para laminación; utilizan varios arreglos de

rodillos. Aunque el equipo para el laminado en caliente y en frío es esencialmente el

mismo, existen diferencias en el material de los rodillos, los parámetros del proceso, los

lubricantes y los sistemas de enfriamiento.

Fig. 2-3 Ilustración esquemática de varias disposiciones de rodillos; (a) de dos rodillos, (b) de tres rodillos; (c) de

cuatro rodillos; (d) molino de laminación de conjunto (Sendzimir).



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El diseño, construcción y operación de los molinos de laminación, requiere de inversiones

de consideración: los molinos altamente automatizados producen placas y hojas de alta

calidad y estrictas tolerancias en elevados volúmenes de producción y aun bajo costo por

unidad de peso, particularmente cuando están integradas a la colada continua.

El ancho de los productos laminados puede tener un rango de hasta 5 m (200 pulg.) y un

espesor de solo 0.0025 mm (0.0001 pulg.). Las velocidades de laminación van hasta 25 m/s

(aproximadamente una milla por minuto) para el laminado en frío, o incluso más en

instalaciones muy automatizadas y controladas por computadora.

Laminado de forma

Además de la laminación plana, se pueden producir varias formas mediante el laminado

de forma. Pasando la materia prima a través de un juego de rodillos especialmente

diseñados (figura 2.4), se laminan formas estructurales rectas y largas, como barra solida

(de varias secciones transversales), canales, vigas en I y rieles de ferrocarril. Dado que la

sección transversal del material se va a reducir de una manera no uniforme, el diseño de

una serie de rodillos (diseño de pasos de rodillos) requiere de considerable experiencia, a

fin de evitar defectos externos e internos, mantener las tolerancias dimensionales y reducir

el desgaste de los rodillos.

Fig. 2-4 Esquema de un proceso de laminado de forma.



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Laminado en anillo

En el proceso de laminado en anillo, un anillo grueso se expande a un anillo de gran

diámetro con una sección transversal reducida. El anillo se coloca entre los dos rodillos,

uno de los cuales es impulsado (figura 2.5a), y su espesor se va reduciendo al ir acercando

los rodillos uno al otro conforme giran. Dado que el volumen del anillo se conserva

constante durante la deformación, la reducción en espesor se compensa con un

incremento en el diámetro del anillo.

Fig. 2-5 (a) Ilustración esquemática de una operación de laminado de anillo. La reducción en espesor da como

resultado un incremento en el diámetro de la pieza. (b) ejemplos de secciones transversales que se pueden

formar mediante el laminado de anillo.

El proceso de laminado en anillo se puede efectuar a temperatura ambiente o a

temperaturas elevadas, dependiendo del tamaño, la resistencia y ductilidad del material

de la pieza de trabajo. En comparación con otros procesos de manufactura capaces de

fabricar la misma pieza, las ventajas de este proceso son un corto tiempo de producción,

ahorros en material, estrictas tolerancias dimensionales y un flujo favorable del grano en el

producto.

Laminado de roscas

El proceso de laminado de roscas es un proceso de formado en frio en el cual se forman

roscas rectas o cónicas en varillas redondas, al pasar estas entre dados para dar forma.

Las roscas se forman sobre la varilla o sobre el alambre en cada carrera de un par de

dados planos reciprocantes (figura 2.6a). Los productos típicos son los tornillos, los pernos y

piezas similares roscadas. Dependiendo del diseño del dado, el diámetro principal de una

rosca laminada puede ser o no ser mayor que una rosca maquinada (figura 2.6a), esto es,



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la misma que el diámetro de la varilla en bruto. En cualquier caso, se mantiene el volumen

constante, ya que no hay remoción de material.

Fig. 2-6 Procesos de laminados de roscas; (a) y (c) dados planos reciprocantes

El proceso es capaz de generar formas similares, como ranuras y varias formas de

engrane, en otras superficies sin perdida de material, y se pueden utilizar en la producción

de casi todos los sujetadores roscados a elevadas tasas de producción, con un muy buen

acabado superficial y el proceso induce sobre la superficie de la pieza esfuerzos residuales

a la compresión, mejorando por tanto la vida bajo condiciones de fatiga.

Perforado rotativo de tubos

Es un proceso de trabajo en caliente para la manufactura de tubos y tuberías largas, sin

costura de pared gruesa (figura 2.7). Se basa en el principio que cuando se somete una

barra redonda a fuerzas radiales a la compresión, se desarrollan esfuerzos a la tensión en

el centro de la misma. Cuando posteriormente esta barra se someta a esfuerzos cíclicos a

la compresión (figura 2.7b), se empieza a formar una cavidad en el centro de la barra.

Este fenómeno puede ser demostrado utilizando un tramo pedacito de goma de borrar

redonda, haciéndola rodar hacia adelante y hacia atrás sobre una superficie dura, como

se ilustra en la figura 2.7b.



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Fig. 2-7 Formación de la cavidad en una barra redonda solida y su uso en el proceso de perforación rotativa de

tubos para la fabricación de tubo y tubería sin costura (La laminación Manneseman se desarrolló en los años

1880).

Laminadoras o molinos integrados

Se trata de grandes instalaciones que involucran las actividades totales desde la

producción del metal caliente en un alto horno (figura 2.8) al vaciado y laminado de

productos terminados listos para su embarque al cliente.

Fig. 2-8 Esquema de una mini laminadora.

Minilaminadoras

En una mini laminadora, se funde el material de desperdicio o chatarra en hornos de arco

eléctrico, se hacen coladas continuas y se laminan directamente en líneas específicas de

productos. Cada mini laminadora produce esencialmente un tipo de producto laminado

(varilla, barra o secciones estructurales como ángulo) a partir de básicamente un tipo de

metal o aleación. La chatarra, que se obtiene localmente a fin de reducir costos de



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transporte, esta por lo general formada por maquinaria, automóviles y equipo agrícola

viejos.

Las mini laminadoras tienen las ventajas económicas de operaciones óptimas de baja

inversión para cada tipo de metal y línea de productos, así como bajos costos de mano

de obra y de energía. Los productos están por lo general orientados a los mercados del

área geográfica de la laminadora. Por ejemplo, una mini laminadora del norte de Estados

Unidos, suministra el 95% de la varilla de acero domestico (para concreto reforzado) que

se utiliza en esa región

2.2.- Trenes para formado por laminación

Existen varios tipos de trenes para laminación los cuales son utilizados para diferentes

necesidades:

Dedicados

Tienen las siguientes características:

a) Pasos con transmisión de engranes en la parte superior e inferior

b) La distancia entra centros de los ejes no cambia.

c) Reductores de velocidad del tipo gusano utilizados en la transmisión inferior.

d) Pasos removibles.

e) Bastidor para trabajo pesado.

Aplicaciones: Este tipo de trenes para laminación son construidos para productos

específicos.

Fig. 2-9 Esquema de un tren de laminación dedicado.



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Con caja reductora de velocidad constante

Características:

a) Acoplado con reductor de velocidad constante para todos los pasos.

b) Pasos removibles.

c) Bastidor para trabajo pesado

Aplicaciones: Construidos a la medida (pueden ser usados para productos con el mismo

diámetro de rodillos). Es un poco mas barato que un tren dedicado. Los dientes de los

engranes de la transmisión están endurecidos. Son convenientes para montajes de rodillos

con pasos angulados.

Fig. 2-10 Esquema de un tren de laminación con caja reductora de velocidad constante.

En cantiliver

Características:

a) Acoplado con reductor de velocidad constante para todos los pasos.

b) La longitud de los ejes en cantiliver varía entre 5 y 6 pulgadas.

c) Fácil cambio de la herramienta, mantenimiento y alineación.

d) Bastidor rígido para trabajo pesado.

Aplicaciones: Cuando se requiere cambiar la herramienta constantemente, el alineado y

el armado son fáciles y rápidos.



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Fig. 2-11 Esquema de un tren de laminación en cantiliver.

De sección

Características:

a) Los pasos se pueden desconectar de la transmisión de manera rápida.

b) Diseño de los pasos estándar.

c) Transmisión reductora de velocidad continua de tipo gusano.

d) Base rígida para trabajo pesado con pernos para las secciones de montaje. El

bastidor esta construido para acomodar varios números de secciones las cuales

dependen del los pasos que requiera el perfil para su formado.

e) La sección de una placa consiste en 4 pasos.

Aplicaciones: Los trenes de laminación de sección son desarrollados para ahorrar tiempo

y dinero en el cambio de herramientas, el armado, la alineación, etc. Las herramientas

para un determinado perfil son alineadas y armadas en un grupo de secciones (2, 3, 4

secciones). Con los acoplamientos rápidos las secciones de un perfil son cambiadas

fácilmente.

Fig. 2-12 Esquema de un tren de laminación de sección.



19

De Engranes en el cabezal

Características:

a) Posibilidad para acomodar diferentes tamaños de herramientas (diámetros) y

distancias entre centros.

b) Sobre los soportes engranan un reductor de velocidad por medio de

acoplamientos.

c) Reductores de velocidad de tipo gusano proporcionan la potencia.

d) Soportes externos en la configuración estándar.

Aplicaciones:

Diseñados y construidos sobre todo como un molino de formado por laminación con

capacidad para formar diferentes perfiles cuando los diámetros de la herramientas son

variables.

Fig. 2-13 Esquema de un tren de laminación de engranes en el cabezal.

Dúplex

a. Molino de laminación dúplex con ejes en cantiliver.

Cabezales ajustables hacia la línea centros



20

Fig. 2-14 Esquema de un tren de laminación dúplex.

Aplicación: Cuando ambos lados del perfil son simétricos incluyendo cualquier

perforación hacia la línea de centros. La línea de centros del molino de laminación es un

dato conocido. La cercanía o el alejamiento de los cabezales acomodan el perfil con

distintos espesores. Utilizados con láminas continuas.

Un cabezal estacionario y el otro con eje transmisor de potencia.

Aplicación: Cuando se usa la tecnología del pre cortado del metal. La alineación de las

hojas se realiza con respecto al cabezal estacionario. La línea de centros la proporciona

la alineación del eje del cabezal estacionario. El acercamiento o el alejamiento de los

cabezales dependen de la longitud del perfil a realizar el cual puede ser mayor a 48

pulgadas. Aplicados a la creación de marcos para puertas.

b. Molino de laminación Dúplex con ejes deslizantes

Un cabezal se encuentra estacionario y el otro cabezal es ajustable con el eje transmisor

de potencia deslizante.

Fig. 2-15 Esquema de un tren de laminación dúplex de ejes deslizantes.



21

Aplicaciones: Se usan los molinos de laminación dúplex con ejes deslizantes superiores e

inferiores los cuales son aplicables cuando los ejes en cantiliver sobrepasan los límites de

deflexión aceptados. En este tipo de diseño la rigidez del eje permite soportar cualquier

ancho de perfil sin causar deflexión en el eje cuando la línea de doblado del perfil esta

muy alejada de los rodamientos.

Doble Dúplex

Un molino de laminación doble dúplex consta de dos ejes dúplex en cantiliver, los

cabezales de transmisión son ajustables hacia la línea de centros.

Aplicaciones: Línea de formado para refuerzos estructurales. Requerimientos de los

refuerzos: borde ½ pulgada, pierna de 1.5 a 4 pulgadas y alma de 4 a 12 pulgadas. El

primer molino dúplex forma el borde del refuerzo. El segundo dúplex forma la pierna.

Comúnmente utilizados para perfiles estructurales y bandejas para cableado.



22

Fig. 2-16 Esquema de un tren de laminación doble dúplex.



23

Tren de laminación de doble cubierta

Dos trenes de laminación son acomodados en una base en común elevados a diferentes

alturas.

Características:

a) Base en común.

b) Transmisión en común.

c) Alturas diferentes de las líneas de paso.

Aplicaciones: Dos perfiles similares son formados simultáneamente, por ejemplo lamina

corrugada.

Tren de laminación ultra delgado

Características:

a) Los ejes van de los 5/8 a los ¾.

b) La altura entre centros de los ejes se puede ajustar finamente.

c) Transmisión de engranes continua.

Fig. 2-17 Esquema de un tren de laminación ultra delgado.

Los trenes de laminación arriba mencionados son los tipos más generales, pero hay otros

tipos de trenes para laminación en el mercado diseñados para distintos tipos de proceso.



24

CAPÍTULO III

ELEMENTOS DE LA MÁQUINA

3.1.- Herramientas de doblado

3.1.1.- Definiciones

3.1.2.- Tipos de cilindros para doblado

3.2.- Ejes y flechas

3.2.1.- Definiciones y aplicaciones

3.2.2.- Diseño de flechas

3.2.3.- Deducción de la ecuación del código ASME

3.3.- Cojinetes


3.3.2.- Tipos de cojinetes

3.3.3.- Secuencia de diseño para cojinetes

3.3.4.- Consideraciones para colocar cojinetes

3.4.- Transmisiones de potencia

3.4.1.- Bandas

3.4.2.- Engranes

3.4.3.- Cadenas

3.4.4.- Comparación entre transmisiones de cadena y

engranes

3.4.5.- Comparación entre transmisiones de cadena y

bandas

3.5.- Elementos de sujeción

3.5.1.- Pernos y tornillos

3.5.2.- Soldadura

3.6.- Análisis estructural



25

3.1.- Herramientas de doblado

Las herramientas de doblado, en los trenes de laminación, son uno de los elementos

principales en el diseño de estos. En este tema y a lo largo de todo este capitulo, se

visualizaran los principales elementos que componen a un tren de laminación.


El doblado es una de las operaciones más comunes de formado. El doblado no solo se

usa para formar bridas, uniones y corrugados, sino también para impartir rigidez a la pieza,

aumentando su momento de inercia.

En la figura 3-1 se presenta la terminología para el doblado. En el doblado, las fibras

externas del material se encuentran en tensión, mientras que las interiores están en

compresión. A causa de la relación de Possion, el ancho de la pieza (longitud de doblado

L) en la región externa es menor, y en la interna es mayor, que el ancho original.

Fig. 3-1 Terminología para el doblado

Como se ve en la figura 3-1, la holgura o tolerancia en el doblado es la longitud del eje

neutro en el doblez, y se usa para determinar la longitud de la pieza bruta con que se

fabrica una pieza doblada. La posición del eje neutro depende del radio y del ángulo de

doblez. Una ecuación aproximada de la holgura de doblado, Lb, es la numero 1.

𝐿𝑏 = 𝛼 𝑅 + 𝑘𝑡 − − − 1



26

Donde

α = Ángulo de doblez [rad]

R = Radio de doblez

t = Espesor de la lámina

k = Constante de proporcionalidad

Para el caso ideal, el eje neutro se encuentra en el centro del espesor de lámina; k = 0.5,

pero en la practica los valores suelen ser de 0.33 cuando R<2t y de 0.5 cuando R>2t.

3.1.2.- Tipos de cilindros para doblado

La parte media del cilindro o rodillo, la cual esta en contacto con el metal laminado, se

denomina la “tabla”. En ambos extremos de la tabla se encuentran los cuellos, que se

apoyan en los cojinetes. Las partes externas del cilindro para conectar en ellas un

acoplamiento a una alargadera, tienen la forma de trébol, o son planas o cilíndricas (ver

figura 3-2).

Fig. 3-2 Esquema de un cilindro de laminación

Las tablas de los cilindros para laminar productos planos son cilíndricas o con una ligera

convexidad con objeto de compensar la flexión durante la laminación.

Para la laminación de perfiles las tablas se fabrican con canales como se muestra en la

figura 3-3.

Fig. 3-3 Cilindros con canales



27

Una de las propiedades principales de un cilindro es la dureza de la superficie de trabajo

del mismo. A continuación se presentan los tipos en base a su dureza.

Cilindros blandos

Su dureza esta entre 150 a 250 Brinell, se emplean en laminadores primarios, en cajas

desbastadoras de laminadores de perfiles grandes y laminadores intermedios y

laminadores de punzonar.

Los materiales característicos de este tipo de cilindros con los cuales se fabrican son

fundición, acero al carbono forjado y con cargas pequeñas, fundición gris.

Cilindros semiduros

Su dureza se encuentra entre 250 a 400 Brinell, se emplean en cajas desbastadoras de

laminadores de carriles y perfiles, en laminadores de perfiles de todas clases y laminadores

de productos planos, en las cajas acabadoras de laminadores de perfiles grandes e

intermedios.

Los materiales empleados para su fabricación son de fundición semiendurecida, acero

moldeado y acero forjado.

Cilindros duros

El rango de dureza se encuentra entre 400 y 600 Brinell, se usan en cajas acabadoras de

laminadores de bandas, chapa fina, carriles y perfiles, perfiles grandes, medianos y ligeros,

así como también en cajas cuarto para los cilindros de apoyo.

Los materiales son el hierro fundido en coquilla, acero especial y cilindros fabricados con

aleaciones de gran dureza.

Cilindros extraduros

Las durezas están entre los límites de 600 a 800 Brinell, se emplean en trenes de laminación

en frío.

El material con que regularmente se fabrican es de acero al cromo forjado, y en cilindros

pequeños carburo de tungsteno y otras aleaciones con durezas mayores que 100 Shore.

3.2.- Ejes y flechas

Dentro de los elementos para transmitir potencia las flechas o arboles, son un elemento

primordial, los ejes y las flechas las encontramos en la mayoría de las máquinas por ser de

gran utilidad en el funcionamiento de alguna máquina en específico.



28

Este elemento, en particular, lo podemos encontrar desde los electrodomésticos, hasta

grandes maquinarias en la industria.


Primero es necesario entender los conceptos claves para poder definir el funcionamiento

de cualquier elemento de máquina, en este punto nos enfocaremos a definir entre un eje

y una flecha.

Eje

Un eje, hablando mecánicamente, es un elemento que sirve como soporte para

elementos rotatorios, sin que estos transmitan un momento torsor para generar potencia;

es decir, no transmiten potencia, solo movimiento rotatorio.

Flecha o árbol

Una flecha, hablando mecánicamente, es un elemento giratorio, que a diferencia de un

eje, transmite o recibe potencia de los elementos montados sobre el.

Existen diversas aplicaciones tanto para los ejes como para flechas, entre las cuales están

bombas centrifugas, ventiladores, transmiciones para automóviles, turbomaquinaria

térmica e hidráulica etc.

3.2.2.- Diseño de flechas

El diseño es una de las herramientas más empleadas en ingeniería mecánica para

describir, de manera clara, cualquier tipo de elemento que compone a una máquina. Es

una tarea que engloba una serie de pasos o sucesos que se deben de desarrollar para

poder evaluar y tomar decisiones, esto implica que el ingeniero tenga una amplia gama

de capacidades y conocimientos como son:

Dibujo técnico

Propiedades de los materiales

Manufactura de los materiales

Estática, Dinámica, resistencia de los materiales y mecanismos

Facilidad de palabra y redacción técnica

Mecánica de fluidos, Termodinámica y transferencia de calor

Maquinas térmicas, maquinas hidráulicas, maquinas eléctricas

Creatividad y solución de problemas.

El proceso de diseño lo podemos generalizar de una forma simple como se presenta en la

figura 3-4.



29

Fig. 3-4 Secuencia del proceso de diseño

Una vez que se tiene la idea generalizada de cómo se lleva a cabo el proceso de diseño,

el la secuencia para diseñar una flecha es el que a continuación se presenta.

1. Determinar que elementos soportará la flecha, su diseño a si como también su

posicionamiento a lo largo de la flecha. Los elementos pueden ser: engranes,

catarinas, poleas, cojinetes etc.

2. Determinar la velocidad de giro de la flecha.

3. Determinar la potencia o el par torsional el cual debe transmitir la flecha.

4. Proponer la forma general de los detalles geométricos para la flecha, esto incluye

la forma de posición axial en que se mantendrá cada elemento montado sobre la

flecha, y la forma en la cual se transmitan las fuerzas y por ende, la potencia en

cada elemento.

5. Plantear el problema de forma clara, delimitada y con los datos necesarios para su

análisis, esto incluye el flujo de potencia a lo largo de la flecha, el lugar de colocar

los elementos.

6. Determinar la magnitud del par tosional que se desarrollará en cada punto de la

flecha, basado en el flujo de potencia.

DEFINIR ESPECIFICACION

ES

• Identificar los requisistos del cliete.

• Definir las funciones del dispositivo.

• Indicar los requisistos del diseño.

• Definir los criterios de evaluación.

CREAR LOS CONCEPTOS DE DISEÑO

• Proponer varios conceptos de diseño alternativo.

• Evaluar cada alternativa propuesta.

• Validar cada alternativa de acuerdo con cada criterio

de evaluación.

TOMA DE DECISIONES

• Seleccionar el concepto de diseño óptimo.

DISEÑO DETALLADO

• Contemplar el diseño a detalle del concepto

seleccionado.

DISEÑO



30

7. Análisis de las fuerzas que actúan en la flecha, tanto en dirección radial, axial y

tangencial.

8. Descomposición de fuerzas en un plano rectangular, es decir verticales y

horizontales.

9. Calculo de las reacciones en cada plano, sea X-Y o X-Z.

10. General diagramas y ecuaciones en función longitudinal de fuerza cortante y

momento flexionante para cada plano en donde se encuentren las fuerzas.

11. Selección del material de la flecha, especificando su condición (tipo de

tratamiento térmico), se recomienda una buena ductilidad y un porcentaje de

elongación mayor al 12 %. Con base en esto, se determinan las propiedades

mecánicas, como resistencia última, resistencia a la fluencia, numero de dureza

Brinell.

12. Determinar el esfuerzo de diseño adecuado, teniendo en cuenta la forma de

aplicar la carga.

13. Evaluar y determinar los puntos críticos donde podría presentarse la falla de la

flecha, tomando como base la ecuación bajo el código ASME.

14. Normalizar las dimensiones de la flecha, teniendo como base estándares ya

establecidos comercialmente.

15. Realizar análisis de deflexión por flexión y deflexión por torsión, si se encuentra

dentro de los criterios establecidos, el diseño es satisfactorio y cumplirá la función a

la que esta siendo solicitado.

3.2.3.- Deducción de la ecuación del código ASME

La ecuación del código ASME es una de las ecuaciones establecidas en la norma ANSI B

106.IM 1985, para el diseño de ejes y flechas. Esta ecuación esta basada en que el

esfuerzo cortante por flexión en la flecha o eje, es repetido e invertido y que el esfuerzo

cortante ocasionado por la torsión es casi uniforme.

En la figura 3-5 se presenta el diagrama que explica el párrafo anterior, en esta figura se

presenta una grafica, en donde el je vertical es la relación del esfuerzo flexionante

invertido, entre la resistencia a la fatiga del material, por otro lado, el eje horizontal

presenta la relación del esfuerzo cortante torsional entre la resistencia a la cedencia por

cortante del material. Los puntos marcados con el valor de uno, indican la falla inminente

en flexión como en torsión pura.



31

Fig. 3.5 Diagrama base para el diseño de flechas y ejes

Dentro de la figura 3-2, se puede observar que la curva que se describe forma una

parábola, por lo cual, la ecuación (2), nos indica la forma de evaluarla.

𝜍

𝑆´𝑛

2

+ 𝜏

𝑆𝑦𝑠

2

= 1 − − − (2)

Donde

σ = Esfuerzo flexionante

S´n = Resistencia a la fatiga del material bajo condiciones reales

τ = Esfuerzo cortante por torsión

SYs = Resistencia a la cedencia por cortante

Para que la ecuación (2) quede en parámetros de diseño, se le agrega el factor de

seguridad “N” a ambos términos del lado izquierdo, además en el primer término del lado

izquierdo agregaremos un factor de concentración de esfuerzos “kt”, esto da como

resultado la ecuación (3).

𝑘𝑡 ∙ 𝑁 ∙ 𝜍

𝑆´𝑛

2

+ 𝑁 ∙ 𝜏

𝑆𝑦𝑠

2

= 1 − −− (3)

Partiendo de la ecuación (3), solo se sustituyen las variables correspondientes para llegar a

una ecuación generalizada.

Zona Segura

Zona de Falla

Zona Segura

Zona de Falla



32

El esfuerzo a la flexión esta dado por la ecuación (4)

𝜍 =𝑀 ∙ 𝑐

𝐼− − − (4)

Donde

M = Momento flexionante

c = Fibra más alejada de la sección partiendo del eje neutro

I = Momento de inercia de la sección

Sabemos que para una sección transversal circular y sólida, la variable “c” y la variable

“I”, están dadas por las ecuaciones 5 y 6 respectivamente.

𝑐 =𝐷

2− −− (5)

𝐼 =𝜋 ∙ 𝐷4

64− − − (6)

Sustituyendo en la ecuación (4) las ecuaciones (5) y (6), formamos una nueva ecuación

(7).

𝜍 =32 ∙ 𝑀

𝜋 ∙ 𝐷3−− − (7)

El esfuerzo cortante por torsión, esta dado por la ecuación (8), representada de la

siguiente forma.

𝜏 =𝑇 ∙ 𝜌

𝐽− − − (8)

Donde

T = Momento torsionante

ρ = Radio

J = Momento polar de inercia

Tanto la variable a “ρ” como la variable “J” se pueden evaluar con las ecuaciones (9) y

(10) respectivamente, para una sección transversal circular y sólida, a continuación se

presentan dichas ecuaciones.

𝜌 =𝐷

2− − − (9)

𝐽 =𝜋 ∙ 𝐷4

32−− − (10)



33

Sustituyendo en la ecuación (8) las ecuaciones (9) y (10), formamos una nueva ecuación

(11).

𝜏 =16 ∙ 𝑇

𝜋 ∙ 𝐷3− −− (11)

Para evaluar la resistencia a la cedencia en cortante emplearemos la ecuación (12).

𝑆𝑦𝑠 =𝑆𝑦

3− −− (12)

Ahora, tomando como base las ecuaciones (7), (11) y (12), y sustituyéndolas en la

ecuación (3), encontraremos la ecuación (13).

32 ∙ 𝑘𝑡 ∙ 𝑁 ∙ 𝑀

𝜋 ∙ 𝐷3 ∙ 𝑆´𝑛

2

+ 16 ∙ 3 ∙ 𝑁 ∙ 𝑇

𝜋 ∙ 𝐷3 ∙ 𝑆𝑦

2

= 1 − − − (13)

Evaluando y simplificando los términos del lado izquierdo de la ecuación (13).

32 ∙ 𝑁

𝜋 ∙ 𝐷3

2

𝑘𝑡 ∙ 𝑀

𝑆´𝑛

2

+ 3

2

2

𝑇

𝑆𝑦

2

= 1

Sacando raíz cuadrada para ambos lados de la ecuación, encontraremos la ecuación

(14) que da pauta a la ecuación bajo código ASME.

32 ∙ 𝑁

𝜋 ∙ 𝐷3

𝑘𝑡 ∙ 𝑀

𝑆´𝑛

2

+3

4 𝑇

𝑆𝑦

2

12

= 1 −− − (14)

Despejando el diámetro “D”, encontraremos la ecuación bajo código ASME, ecuación

(15).

𝐷 = 32 ∙ 𝑁

𝜋

𝑘𝑡 ∙ 𝑀

𝑆´𝑛

2

+3

4 𝑇

𝑆𝑦

2

12

13

− − − (15)

3.3.- Cojinetes

Los cojinetes son un tipo de elementos básicos en cualquier maquina, generalmente este

tipo de elementos solo se selecciona de los catálogos de fabricantes, puesto que el

diseño, como ya se menciono, es una tarea que implica mucho trabajo. Es por ello que

solo se presentara en este apartado, la secuencia para selección de cojinetes, tomando

como base algunos parámetros de diseño que los fabricantes emplean.



34

La función principal de este tipo de elementos es reducir la fricción entre dos superficies

en contacto, y por ende, el incremento de temperatura entre dichas superficies.

La disposición de los cojinetes no solo se compone de un número determinado de

cojinetes, sino que también incluye los componentes asociados con ellos, entre ellos, los

ejes o flechas y los soportes.

El diseño de una disposición de cojinetes exige la selección de un tipo adecuado de

cojinete y la determinación de su tamaño adecuado, también es importante considerar el

tipo y cantidad de lubricante, ajuste y juego interno del rodamiento. Cada decisión

individual influye en el rendimiento, la fiabilidad y la economía de la disposición de los

rodamientos.

3.3.1.- Definiciones y nomenclatura

Existen tres formas de poder identificar este tipo de elemento, que a continuación se

definen para su mejor comprensión dentro de ingeniería.

Cojinete

Elemento de una máquina en el que se apoya una flecha o un eje.

Chumacera

Pieza de metal o madera, con una muesca en que descansa y gira cualquier eje de

máquina.

Rodamiento

Cojinete formado por dos cilindros concéntricos, entre los que se intercala una corona de

bolas o de rodillos que pueden girar libremente.

Nomenclatura

Es importante saber el nombre de los elementos que componen a un cojinete, en este

caso tomaremos al cojinete en si como el sistema y el conjunto que lo componen serán los

elementos, de esta forma, se presenta en la figura 3-6 las partes que componen a un

cojinete.



35

Fig. 3-6 Partes y disposiciones de los cojinetes

Donde

1. Rodamiento de rodillos cilíndricos

2. Rodamiento de bolas con cuatro

puntos de contacto

3. Soporte

4. Eje o flecha

5. Tope, escalón o resalte de flecha

o eje

6. Diámetro de flecha o eje

7. Placa de fijación

8. Obturación radial del eje o flecha

9. Anillo distanciador

10. Diámetro del agujero del soporte

11. Agujero del soporte

12. Tapa del soporte

13. Anillo elástico

Para dar una explicación mas concreta, en la figura 3-7, se presentan las partes o

nomenclatura básicas de un cojinete.

Fig. 3-7 Nomenclatura de los cojinetes

PISTA EXTERIOR

PISTA INTERIOR

RETEN O JAULA

ELEMENTO RODANTE



37

3.3.2.- Tipos de cojinetes

Los cojinetes pueden clasificarse como se muestras en la figura 3-8, la cual muestra los

tipos de cojinetes.

Fig. 3-8 Clasificación de los cojinetes

En nuestro caso, solo nos enfocaremos a los cojinetes de contacto de rodadura, a

continuación se presentara una explicación de cada uno de estos tipos de cojinetes, pero

primero identificaremos las partes de los cojinetes radiales y axiales en las figuras 3-9 y 3-10,

respectivamente.

Fig. 3-9 Cojinetes de contacto de rodadura radiales

De la figura 3.9 tenemos que:

1. Aro interior

2. Aro exterior

3. Elemento rodante

4. Jaula

COJINETES

Contacto de Rodadura

Axiales

Bolas Rodillos

Radiales

Bolas Rodillos

Superficie Plana

LubricaciónLubricación

hidrodinámicaHidrostáticos



38

5. Carcasa

6. Diámetro exterior del aro exterior

7. Agujero del aro interior

8. Diámetro del reborde del aro

interior

9. Diámetro del reborde del aro

exterior

10. Ranura para anillo elástico

11. Anillo elástico

12. Cara lateral del aro exterior

13. Ranura de anclaje para la

obturación

14. Camino de rodadura del aro

exterior

15. Canino de rodadura del aro

interior

16. Ranura de obturación

17. Cara lateral del aro interior

18. Chaflán

19. Diámetro medio del rodamiento

20. Anchura total del rodamiento

21. Pestaña guía

22. Pestaña de retención

23. Ángulo de contacto

Fig. 3-10 Cojinetes de contacto de rodadura axiales

De la figura 3-10 tenemos lo siguiente.

1. Arandela de eje

2. Conjunto de elementos rodantes y jaula

3. Arandela de alojamiento

4. Arandela de alojamiento con superficie de asiento esférica

5. Arandela de apoyo del asiento

Rodamientos de una hilera de bolas y ranura profunda

A veces se llama rodamiento “canrad” (ver figura 3-11), la pista interior entra en el eje casi

siempre con presión en el asiento del rodamiento, con un ajuste de interferencia

pequeña, con el fin de asegurar que gire con el eje. Los elementos rodantes, ruedan con

una ranura profunda, tanto en la pista interior como en la pista exterior. Se mantienen las

1

2

3

4

1

5

1

2

3



39

distancias entre las bolas con los retenes o jaulas. Este tipo de rodamientos esta diseñado

especialmente para carga radiales, pero, la profundidad en la ranura, permite soportar

cargas de empuje o axiales de una manera considerable.

Fig. 3-11 Rodamiento de una hilera de bolas y ranura profunda

Rodamiento con doble hilera de bolas y ranura profunda

Tiene las mismas características que el rodamiento de una sola hilera, solo que en este tipo

de rodamientos, al aumentarle una hilera más (ver figura 3-12), ocasiona que exista una

mayor capacidad de carga radial debida al aumento de elementos rodantes. De esta

manera, se pueden soportar cargas de mayor capacidad en el mismo espacio, o

determinada carga puede ser soportada en un espacio menor. El aumento en lo ancho

de este tipo de cojinetes suele afectar la capacidad de des alineamiento.

Fig. 3-12 Rodamiento con doble hilera de bolas y ranura profunda

Rodamiento de bolas con contacto angular

Un lado de cada pista, en un rodamiento de contacto angular, es más alto, para permitir

la adaptación a mayores cargas de empuje en comparación con los rodamientos

normales con una hilera de bolas y ranura profunda, los rodamientos suelen tener ángulos

de 15° a 40°, en la figura 3-13, se presenta un ejemplo de este tipo de rodamiento.



40

Fig. 3-13 Rodamiento de bolas de contacto angular

Rodamiento de rodillos cilíndrico

Este tipo de rodamientos obedece al mismo diseño que los rodamientos de bolas, solo

que en este caso en vez de tener elementos rodantes esféricos, se tienen elementos

rodantes cilíndricos (ver figura 3-14), este tipo en particular, ofrece una mayor capacidad

de carga radial. El patrón de contacto entre un rodillo y su pista, es teóricamente, de

forma rectangular a medida que los miembros se deforman bajo la carga. Los valores

resultantes de esfuerzo de contacto son menores que en los rodamientos de bola del

mismo tamaño, lo cual permite que los rodamientos más pequeños puedan soportar

determinada carga o que un rodamiento de determinado tamaño soporte una carga

mayor. La capacidad de carga axial es mala, no se recomienda en aplicaciones donde

existan cargas axiales, además, ya que los rodillos tienen anchos grandes, como

consecuencia tienen poca capacidad de adaptarse a los realineamientos angulares.

Fig. 3-14 Rodamiento de rodillos cilíndricos

Rodamientos de agujas

Este tipo de rodamientos, son en realidad rodamientos de rodillos, pero con un diámetro

menor. Requieren un espacio radial menor, lo cual, facilita la adaptación en cualquier

equipo o componente, pero, al igual que los rodamientos a rodillos, siguen el mismo

patrón de características en las capacidades de carga (ver figura 3-15).



41

Fig. 3-15 Rodamientos de agujas

Rodamientos de rodillos esféricos

El rodamiento de rodillos esféricos es una forma de cojinete auto alienable (ver figura 3-

16), llamado así porque existe una rotación real de la pista exterior en relación con los

rodillos y con la pista interior, cuando existen des alineamientos angulares, esto causa una

excelente calificación de capacidad de des alineamiento, y al mismo tiempo se

conservan, en forma virtual, las mismas calificaciones por la capacidad de carga radial.

Fig.3-16 Rodamientos de rodillos esféricos

Rodamientos de rodillos cónicos

Este tipo de rodamientos están diseñados para tomar cargas apreciables axiales y

también cargas radiales. Frecuentemente son usados en vehículos, equipos móviles y en

maquinaria pesada, en la figura 3-17 se presenta un ejemplo de estos rodamientos.



42

Fig. 3-17 Rodamientos de rodillos cónicos

Cojinetes axiales

Al igual que los cojinetes del tipo radial, los cojinetes de tipo axial también tienen diversos

elementos rodantes, como bolas y rodillos, la única diferencia es que este tipo de

cojinetes son de uso exclusivo para cargas axiales o de empuje. La gran mayoría de este

tipo de rodamientos pueden soportar poca o ningún tipo de carga radial, por lo cual su

diseño y selección se basa en las cargas de empuje y de la duración de diseño, en la

figura 3-18, se presentan algunos ejemplos de este tipo de cojinetes.

Fig. 3-18 Cojinetes axiales a) bolas, b) rodillos cónicos; c) rodillos; d) agujas.

3.3.3.- Secuencia de selección para cojinetes

a) Calcular la carga de diseño “Pd” en el cojinete, también conocida como carga

equivalente. Esta carga se calcula con la ecuación (16)

𝑃𝑑 = 𝑉 ∙ 𝑋 ∙ 𝑅 + 𝑌 ∙ 𝑇 − − − 16

Donde:

Pd= Carga de diseño [Lb]

V= Factor por rotación

X= Factor radial

Y= Factor de empuje

T= Carga de empuje aplicada [Lb]

R= Carga radial aplicada [Lb]

a) b) c) d)



43

b) Selección tentativa del tipo de cojinete en base a la figura 3-19.

Fig. 3-19Guia para la selección de los cojinetes de bolas o de rodillos

c) Seleccionar el tipo de soporte y verificar la compatibilidad con los cojinetes

seleccionados.

d) Obtener la duración de diseño “Ld” en horas con base a la ecuación (17).

𝐿𝑑 = 𝐿𝑕 ∙ 𝑛 ∙ 60 − −− (17)

Donde

Ld= Duración de diseño [mdr]

Lh= Duración nominal de diseño [hr]

n = Velocidad angular [rpm]

e) Calcular la capacidad requerida “Cr” (ecuación No. 18) y comparar con la

capacidad real “C”, la del fabricante.

𝐶𝑟 = 𝑃𝑑 𝐿𝑑𝐿10

1𝑘

− −− (18)

Donde

L10= Duración nominal (1mdr)

Cr= Capacidad de carga dinámica requerida [N]

Pd= Carga de diseño [N]

k= 3 (Bolas)

k= 10/3 (Rodillos) coeficiente de rodamiento



44

f) Realizar la selección final.

g) Determinar las condiciones de montaje, tal como el diámetro del asiento de

montaje y la tolerancia en el eje o flecha, diámetro de barreno de la caja y

tolerancia, medios para localizar el rodamiento en dirección axial, y necesidades

especiales como sellos o blindajes.

A manera empírica, se pueden emplear las tablas 3-1 y 3-2 que brindan una ayuda para

dar una aproximación y un juicio para seleccionar un cojinete.

Tipo de rodamiento

Capacidad

de carga

radial

Capacidad

de carga

axial

Capacidad

de des

alineamiento

Una hilera de bolas con ranura profunda Buena Regular Regular

Doble hilera de bolas con ranura profunda Excelente Buena Regular

Contacto angular Buena Excelente Mala

Rodillos cilíndricos Excelente Mala Regular

Agujas Excelente Mala Mala

Rodillos esféricos Excelente Regular a

buena Excelente

Rodillos cónicos Excelente Excelente Mala Tabla 3-1 Comparación de cojinetes para la selección



45

Tabla 3-2 Selección en base a las características de cada tipo de cojinete



46

3.3.4.- Consideraciones para colocar cojinetes

Cada tipo de cojinete presenta propiedades características que dependen de su diseño

y que lo hace más o menos adecuado para una aplicación determinada.

En muchos casos, cuando se selecciona un tipo de rodamiento tienen que considerarse

diversos tipos de factores, razón por la cual no es posible dar un método de selección de

los rodamientos concreto, pero si se pude dar algunas consideraciones que ayuden al

ingeniero a seleccionar un rodamiento, entre ellos se encuentran.

1. Lubricación

2. Instalación

3. Precarga

4. Rigidez

5. Cargas variables

6. Sellado

7. Tolerancias

Lubricación

La lubricación presenta las siguientes funciones en la aplicación de un rodamiento como

son.

a) Proporcionar una película de baja fricción entre los elementos rodantes y la pista

del rodamiento, y en los puntos de contactos con las jaulas, superficies de guía y

retenes.

b) Proteger los componentes del cojinete contra la corrosión.

c) Ayudar a disipar el calor de la unidad con rodamiento.

d) Alejar el calor de la unidad con rodamiento

e) Ayudar a expulsar los contaminantes y la humedad del rodamiento

Instalación

La mayoría de los cojinetes se deben de instalar con un ajuste de interferencia ligero,

entre el barreno del rodamiento y el eje o flecha, para evitar la posibilidad de que la pista

interior del rodamiento gire con respecto al eje o flecha. Esa condición causaría desgaste

no uniforme y falla rápida de los elementos del rodamiento. Para instalar el rodamiento se

requieren aplicar fuerzas bastante grandes, en sentido axial. Se debe de tener cuidado

para no dañar el rodamiento durante la instalación. La fuerza de instalación debe

aplicarse en forma directa a la parte interior del cojinete.

Si se aplicara la fuerza a través de la pista exterior, la carga sería transferida a la pista

interior, pasando por los elementos rodantes. Debido a la pequeña área de contacto, es

probable que esa transferencia de cargas cause grandes esfuerzos en algún elemento y



47

que rebasen su capacidad de carga estática. Se causaría brinelado, junto con el ruido y

el desgaste acelerado que se manifiesta esta condición.

Precargado

Algunos rodamientos son fabricados con holguras internas que deben asimilarse en

determinada dirección, para asegurar que el funcionamiento sea satisfactorio. En esos

casos, se debe precargar, por lo general en dirección axial. En los ejes horizontales suelen

usarse resortes, y se permite el ajuste axial de la deflexión del resorte, algunas veces para

ajustar la cantidad de precarga. Cuando el espacio es limitado, es preferible usar

arandelas Belleville, porque producen grandes fuerzas con pequeñas deflexiones. Para

ajustar la deflexión real y el Precargado obtenidos, se pueden usar calzas. En ejes

verticales, el peso del conjunto mismo del eje podrá bastar para proporcionar la precarga

requerida.

Rigidez del rodamiento

La rigidez es la deflexión que determinado rodamiento sufre al soportar determinada

carga. En general la más importante es la rigidez radial, ya que esta afecta el

comportamiento dinámico del sistema giratorio del eje. La velocidad crítica y el modo de

vibración son funciones de la rigidez del rodamiento. En general, mientras menor rigidez

(rodillo suave), la velocidad crítica del conjunto del eje será menor. La rigidez se mide en

las unidades usadas en los resortes, como las libras por pulgadas o newton por milímetros.

Cargas variables

Las relaciones entre carga y duración que se han empleado hasta ahora suponen que la

carga es razonablemente constante, en magnitud y dirección. Si la carga varia mucho, se

puede usar una carga promedio efectiva para determinar la duración esperada del

rodamiento. También las cargas oscilantes requieren un análisis especial, porque sólo son

pocos los elementos rodantes que comparten la carga.

Sellado

Cuando el rodamiento va a funcionar en ambientes sucios o húmedos, suelen emplearse

blindajes especiales. Se pueden colocar en uno o en ambos lados de los elementos

rodantes. Los blindajes suelen ser metálicos, y se fijan a la pista estacionaria, pero no

tocan la pista rodante. Los sellos son fabricados con materiales elastómeros, y no tocan la

pista rotatoria. Los rodamientos equipados con sellos y blindajes se pre cargan con grasa

en la fabrica, y a veces se le denomina de lubricado permanente. Aunque es probable

que esos rodamientos proporcionen muchos años de servicio satisfactorio, las condiciones

extremas pueden producir una degradación en las propiedades lubricantes de la grasa.

La presencia de sellos aumenta también la fricción en un rodamiento. El sellado puede ser

a fuera del rodamiento, en la caja o en la interface eje/caja.



48

Tolerancias

En la industria de los rodamientos se reconocen varias clases distintas de tolerancias, para

adaptarse a las necesidades de una gran variedad de equipos que usan con contacto

de rodadura. En general, y naturalmente, todos los rodamientos son elementos de

máquina de precisión, el intervalo general de tolerancias es del orden de unas cuantas

diezmilésimas de pulgada. Las clases estándar de tolerancia las define la ABEC y se

mencionan a continuación.

ABEC 1: Rodamientos normales radiales, de bolas y rodillos

ABEC 3: Rodamientos de bolas de semiprecisión, para instrumentos

ABEC 5: Rodamientos de bolas y de rodillos de semiprecisión

ABEC 5P: Rodamientos de bolas de precisión para instrumentos

ABEC 7: Rodamientos radiales de bolas, de alta precisión

ABEC 7P: Rodamientos de bolas de alta precisión, para instrumentos

En la mayoría de las aplicaciones en maquinaria se usarían las tolerancias ABEC 1, cuyos

datos suelen aparecer en los catálogos. Los husillos de máquinas herramientas, que

requieren tener funcionamiento altamente uniforme y exacto, usarían las clases ABEC 5 o

ABEC 7.

3.4.- Transmisiones de potencia

Las cadenas, engranes y bandas se usan para la transmisión de potencia entre ejes que

rotan y no están directamente acoplados.

3.4.1.- Bandas

La transmisión por bandas consiste en una correa flexible sin fin, que conecta dos ruedas o

poleas. La transmisión de potencia en estas transmisiones depende de la fricción entre la

superficie de la correa y la polea (ver figura 19).

Fig. 3-19 Ejemplo de una transmisión por banda

POLEA

MOTRIZ

POLEA

MOTORA

CORREAS

FLEXIBLES



49

Para la construcción de bandas también se utilizan materiales tales como caucho, acero

y lona impregnada de caucho, en la figura 3-20, se presenta la composición de las

bandas en su sección transversal.

Fig. 3-20 Composición de las poleas en su sección transversal

Las poleas para bandas planas son fabricadas en hierro fundido, acero, madera o

materiales sintéticos, en la figura 3-21 se muestran algunos ejemplos de poleas para

bandas. La superficie de la polea es lisa y usualmente convexa para evitar que la banda

se salga de la polea.

Fig. 3-21 Algunos tipos de poleas

En las transmisiones por bandas en V, estas tienen una sección trapezoidal y operan sobre

poleas canaladas en forma de V (figura 3-22). Estas bandas son fabricadas con cuerdas o

cables impregnados y cubiertos con caucho u otros compuestos orgánicos.

Fig. 3-22 Polea y banda en “V”

Banda en V

Polea en V



50

El recubrimiento se forma o moldea para producir la sección requerida (figura 3-23). Las

bandas en V se fabrican generalmente como bandas sin fin, aun cuando también se

suministran de terminales abiertos y eslabonadas.

Fig. 3-23 Secciones para bandas en “V” industriales

En el caso de las bandas en V, la fricción para la transmisión de la fuerza impulsora se

aumenta por acción de acuñamiento de la banda dentro de la ranura de la polea. Las

transmisiones de bandas en V utilizan una o varias bandas, de acuerdo con la potencia

que se va a transmitir (ver figura 3-24).

Fig. 3-24 Ejemplo de una transmisión con banda múltiple

Otro tipo de bandas, tienen dientes de poca profundidad en su cara interior. A su vez la

polea tiene dientes, en engranan con los de la banda.

3.4.2.- Engranes

Una transmisión simple de engranajes consta de una rueda motriz con dientes que

engranan con otra similar (ver figura 3-25). Los dientes son diseñados para garantizar la

rotación angular uniforme del eje impulsado durante el engranaje. Existen engranajes

simplemente fresados y otros terminados con precisión.

Fig. 3-25 Ejemplo de una aplicación de engranes



51

Los engranajes rectos que se utilizan para transmitir rotación entre ejes paralelos, tienen sus

dientes sobre la superficie cilíndrica de la rueda. Un par de engranajes rectos operan

como si se tratara de dos superficies cilíndricas llamadas superficies primitivas, las cuales se

modifican para formar los dientes. Los dientes evitan el deslizamiento entre estas

superficies primitivas y mantienen así una relación de velocidad constante entre la rueda

impulsora e impulsada.

El engranaje helicoidal es una forma modificada de engranaje recto, en el cual las caras

de los dientes son fresadas en forma de espirales. Cuando dos hélices de orientación

opuesta de giro se forman sobre una misma rueda, el engranaje así conformado se

denomina de espina ó espinazo de pescado, en la figura 3-26 se presenta una variedad

de engranes.

Fig. 3-26 Diferentes tipos de engranes

3.4.3.- Cadenas

Una transmisión de cadena se compone de una cadena sin fin, cuyos eslabones

engranan con ruedas dentadas, unidas a los ejes de los mecanismos impulsores e

impulsados por medio de cuñas (ver figura 3-27).

Fig. 3-27 Ejemplo de una transmisión por cadena



52

Las cadenas de precisión como las cadenas de rodillos y las cadenas silenciosas, están

hechas con partes terminadas bajo tolerancias muy estrictas. Estas engranan con los

dientes de las ruedas dentadas, que a su vez son fabricadas bajo normas igualmente

precisas, generando así una operación suave y eficiente. En los casos en que no se

requieran cadenas de precisión, se dispone de una gran variedad de cadenas fabricadas

con eslabones de acero forjado o fundidos, ver figura 3-28.

Fig. 3-28 Tipos de cadenas a) Articulada; b) Escalonada; c) Rodillos; d) Bolas

Cadena de rodillos. La única característica principal de la cadena de rodillo es la libertad

de articulación de sus uniones durante el engranaje con la rueda dentada. Esto se lleva a

cabo mediante la articulación de los pasadores dentro de los bujes, mientras los rodillos

giran sobre la superficie exterior de los bujes, eliminando así el roce entre los rodillos y los

dientes de la rueda.

Cadenas silenciosas. De comparable libertad de articulación en uno de sus eslabones

durante el engranaje con las ruedas dentadas. Cuando estas cadenas se enrollan sobre

la rueda dentada, sus eslabones simultáneamente engranan ambas caras de los dientes.

3.4.4.- Comparación entre transmisiones de cadena y engranes

3.4.4.1.- Ventajas de las cadenas

La distancia entre centros de ejes para transmisiones de cadena prácticamente no tiene

restricciones, mientras que los engranajes deben tener la distancia entre centros de tal

manera que sus superficies primitivas sean tangentes. Esta ventaja generalmente da como

resultado diseños más sencillos, prácticos y menos costosos.

Las cadenas se instalan con facilidad. Aunque todos los medios de transmisión requieren

instalaciones adecuadas, las tolerancias para las de cadena no son tan restringidas como

la de engranes; por consiguiente el ahorro en tiempo de instalación es un punto

importante en el programa para poner en marcha un equipo.

La facilidad de instalación inherente a las cadenas, es una ventaja definitiva cuando

posteriormente se presenten cambios en el diseño, tales como cambio en la relación de

velocidades, capacidad o distancia entre centros.

La elasticidad propia de las cadenas en tensión, adicionada por el efecto amortiguador

del lubricante en las articulaciones numerosas de la cadena, genera una mayor

capacidad para absorber impactos, que la que es posible en el contacto lubricado metal

a metal de uno o dos dientes de una transmisión de engranajes.

a) b) c)

d)



53

En trenes de engranajes, hay una acción combinada de rotación y deslizamiento entre las

superficies de los dientes, generan únicamente una acción de rotación. El desgaste

también es reducido teniendo en cuenta que la cadena está distribuida simultáneamente

sobre varios dientes de las ruedas dentadas, en contraste con la concentración de carga

en uno o dos dientes de los engranes en acción.

3.4.4.2.- Ventajas de los Engranes

Cuando la limitación de espacio demanda la menor distancia entre el centro de los ejes,

es generalmente preferible un transmisión por medio de engranajes, a una de cadena.

La máxima relación de velocidad para la operación satisfactoria de una transmisión de

engranajes generalmente mayor que la de una de cadenas. Los engranajes pueden ser

operados a velocidades rotatorias más altas que las cadenas.

Cuando se necesitan combinaciones de alta velocidad con alta potencia, se considera

en general mas practico la utilización de engranajes. A velocidades y cargas medias,

ambos tipos de transmisiones se pueden usar, siendo más ventajosas las transmisiones de

engranajes por razones de compacidad.

3.4.5.- Comparación entre transmisiones de cadena y banda.

3.4.5.1.- Ventajas de las Cadenas

Las transmisiones de cadena no se deslizan o sufren el escurrimiento plástico de las

transmisiones por banda. Como resultado las cadenas mantienen positivamente las

relaciones de velocidad entre el eje impulsor y el impulsado además son más eficientes,

ya que no hay perdidas de potencia por deslizamiento.

Una transmisión de cadena no requiere tensión en el lado flojo de la cadena, por tanto

impone menos carga en los cojinetes de los ejes que las transmisiones por bandas. Esta

disminución de la carga reduce el mantenimiento de los cojinetes, lo mismo que las

perdidas por fricción, que en ellos se originan.

Las transmisiones de cadena son más compactas que las de bandas, son más fáciles de

instalar, el arco mínimo de contacto es menor en las cadenas que en las bandas, para

aplicaciones con sincronización son preferibles las cadenas, las cadenas no sufren

alteración con el pasar de los años, como tampoco son afectadas por el sol, aceites o

grasas. Pueden operar además a más altas temperaturas, requieren ajustes poco

frecuentes.

3.4.5.2.- Ventajas de las Correas.

Puesto que no existe el contacto de metal con metal entre las bandas y las poleas, estas

no necesitan lubricación. Generalmente las transmisiones por bandas operan más

silenciosamente que las de cadena.



54

Las bandas planas se pueden utilizar cuando la distancia entre centros es

extremadamente larga, para lo cual sería impráctico el uso de cadenas.

En conclusión ningún tipo de transmisión es ideal para todas las condiciones de servicio

por lo cual se observa lo siguiente:

En un caso general la potencia rotatoria es suministrada por un motor eléctrico con una

gran velocidad de giro y un par torsional muy pequeño que es inadecuado para la

aplicación final, tomando en cuenta que para determinada transmisión de potencia el

par torsional aumenta en proporción a la reducción de velocidad.

La alta velocidad del motor hace que las transmisiones por banda sean casi ideales para

la primera etapa de reducción. Sin embargo, si la transmisión requiere relaciones de

reducción muy grandes, son preferibles los reductores de engranes, por que físicamente

pueden hacer reducciones en un espacio bastante pequeño. Pese a que los reductores

engranados solo se consiguen en relaciones de reducción discretas, con frecuencia se

debe reducir su salida para cumplir los requisitos de la maquina. En la condición de baja

velocidad y gran par de torsión, las transmisiones con cadenas son adecuadas.

3.5.- Elementos de sujeción

Los dispositivos de sujeción son importantes en la construcción de productos

manufacturados, en las maquinas y dispositivos empleados en los procesos de

manufactura y en la construcción de todos los tipos de edificaciones. Los dispositivos de

sujeción se utilizan tanto en el reloj más pequeño como en el trasatlántico más grande.

Un sujetador es cualquier objeto que se use para conectar o juntar dos o más

componentes. Existen dos clases básicas de sujetadores: permanentes y desmontables.

Los remaches y las soldaduras son sujetadores permanentes. Los pernos, tornillos

espárragos, tuercas, pasadores, anillos y chavetas son sujetadores desmontables.

3.5.1.- Pernos y Tornillos

Un perno es un sujetador con rosca, diseñado para pasar por orificios en los miembros

unidos, y asegurarse al apretar una tuerca desde el extremo opuesto a la cabeza del

perno (ver figura 3-29).

Fig. 3-29 Esquema de un perno



55

Un tornillo es un sujetador con rosca, diseñado para introducirse en uno de los orificios de

los elementos que se va a unir, y también en un orificio con rosca en el elemento

acoplado (ver figura 3-30).

Fig. 3-30 Esquema de un tornillo

Los tornillos de máquina, a los cuales también se les conoce como tornillos de cabeza, son

sujetadores de precisión con cuerpos rectos con rosca que giran en orificios machuelados.

Un tipo frecuente de de tornillo de maquina es llamado Allen, el cual tiene cabeza con

una caja hexagonal para introducir una herramienta especial. También se consiguen con

facilidad los estilos de cabeza plana para avellanar y producir una superficie al ras, o de

cabeza de botón, para tener un perfil bajo, así como tornillos de escalón, que dan una

superficie de carga de precisión, para localización o pivoteo, en la figura 3-31 se muestran

los tornillos típicos para maquinaria.

Fig. 3-31 Tornillos de máquina

3.5.2.- Soldadura

En el diseño de uniones soldadas es necesario considerar la forma de aplicar la carga

sobre la junta, los materiales en la soldadura y en los elementos que se van a unir, y la

geometría de la junta misma. La carga puede estar uniformemente distribuida sobre la

soldadura, de tal modo que todas sus partes tenga el miso esfuerzo, o bien se puede

aplicar excéntricamente.



56

Los materiales del cordón y de los elementos originales determinan los esfuerzos

admisibles.

El tipo de junta se refiere a la relación entre las partes unidas como se ve en la figura 3-32.

Fig. 3-32 Tipos de juntas para soldadura

La figura 3-33 muestra varios tipos de soldaduras, cuyos nombres provienen de la

geometría de las orillas de las partes que se van a unir. Se observa a demás la

preparación requerida en las orillas, en espacial cuando las placas son gruesas, para

permitir que la varilla de soldadura entre a la junta y forme un cordón continuo de

soldadura.

Fig. 3-33 Tipos de soldaduras

3.6.- Análisis estructural

El diseño de bastidores y estructuras de maquinas es un arte, en gran medida, porque

deben acomodarse las partes de la maquina. Con frecuencia, se encuentran

restricciones de espacio para colocar los soportes, y que no interfieren con el

funcionamiento de la maquina, o para que permitan el acceso para el ensamble o el

mantenimiento.

Pero naturalmente se deben cumplir requisitos técnicos y de la estructura misma. Algunos

de los parámetros más importantes son los siguientes:



57

1. Resistencia

2. Rigidez

3. Aspecto

4. Costo de fabricación

5. Resistencia a la corrosión

6. Peso

7. Tamaño

8. Reducción de ruido

9. Limitación de vibración

10. Duración

A continuación se resumen los factores que deben ser considerados al comenzar un

proyecto de diseño de un bastidor:

Fuerzas ejercidas por los componentes de la maquina, a través de los puntos de

montaje de los cojinetes, pivotes, ménsulas y patas de otros elementos de

maquinas.

Forma de soportar el bastidor mismo.

Precisión del sistema: deflexión admisible de los componentes.

Ambiente donde trabajará la unidad.

Cantidad de producción e instalaciones disponibles.

Disponibilidad de métodos analíticos, como el análisis computarizado de esfuerzos,

la experiencia con productos similares y el análisis experimental de esfuerzos.

Relación con otras maquinas y muros, entre otros.



58

CAPÍTULO IV

DISEÑO DEL TREN DE LAMINACIÓN EN FRÍO

4.1.- Selección y desarrollo del perfil estructural

4.1.1.-Selección del perfil estructural

4.1.2.-Desarrollo del perfil estructural

4.2.- Diseño de la herramienta de doblado (Rodillos)

4.2.1.-Funciones y parámetros de diseño

4.2.2.-Secuencia de diseño para la herramienta de doblado

4.2.3.-Selección del material para herramienta de doblado

4.3.- Propuesta para flechas de transmisión

4.3.1.- Funciones y parámetros de diseño

4.3.2.- Secuencia de diseño para la flecha

4.4.- Selección de cojinetes


4.4.2.- Secuencia de diseño para los cojinetes

4.5.- Selección y diseño de transmisión de potencia

4.5.1.- Tipos de elementos para transmitir potencia

4.5.2.- Selección del tipo de transmisión


4.5.4.- Secuencia de diseño para la transmisión de potencia

4.6.- Diseño final de flechas de transmisión


4.7.- Diseño de tornillos de potencia

4.8.- Diseño de soportes

4.8.1.- Diseño de la tapa

4.8.2.- Diseño de la porta bridas superior

4.8.3.- Diseño de los postes

4.9.- Diseño de la mesa de trabajo

4.9.1- Diseño de los postes para la mesa de trabajo



59

4.1.- Selección y desarrollo del perfil estructural

Para la comprensión de este tema, hemos dividido en dos pasos básicos la secuencia.

Dentro de cada secuencia se encontraran subdivisiones que expliquen de manera clara y

lógica cómo seleccionar y desarrollar un perfil estructural en base a un criterio de diseño

analítico.

4.1.1 Selección del perfil estructural

Al diseñar un tren de laminación en frió, es necesario toman en cuenta cuatro factores

para poder seleccionar un perfil que cumpla las expectativas de la industria y del cliente.

Entre estos factores encontramos los siguientes:

1. Aplicaciones y Usos

2. Formas geométricas

3. Propiedades físicas

4. Propiedades mecánicas

En nuestro caso, a manera de demostrar el proceso de diseño completo del tren de

laminación, se eligió una forma simple (ver fig. 4-1).

Fig.4-1 Perfil estructural “equal leg 4 x 4”

Aplicaciones y usos

Las aplicaciones del laminado en frió no se limitan a una sola área industrial ó en

específico, por el contrario, sus aplicaciones y usos cada día abarcan más, entre ellas

encontramos:



60

Transporte

Agricultura

Aviación aeroespacial

Electrodomésticos

Productos para construcción

Puentes y autopistas

Calefacción, aire acondicionado y refrigeración

Hogar, oficina

Formas geométricas

La forma geométrica no es otra cosa más que las dimensiones de la sección transversal

del perfil estructural en su forma final para el uso específico.

Propiedades mecánicas

Cuando hablamos de las propiedades mecánicas, nos referimos a las características con

las que el material cuenta. Dentro de estas características las principales son: dureza,

resistencia, ductilidad, tenacidad.

Propiedades físicas

Las propiedades físicas se refieren a las características con los que cuenta el material

desde una perspectiva científica, como son: conductividad térmica y eléctrica, grado de

dilatación.

4.1.2 Desarrollo del perfil estructural

Para el desarrollo del perfil estructural es necesario tener en cuenta dos pasos

fundamentales que son:

1. Ancho total de lamina

2. Pasos del doblado del material

Estos dos pasos dan la pauta para poder predecir la forma de las herramientas de

doblado (Rodillos), por lo cual son de vital importancia dentro del proceso de diseño del

tren de laminación. En este punto, recae la esencia del diseño y nos da la pauta para el

diseño de los elementos que componen la maquina en conjunto.

Ancho Total de Lámina

Un método para poder predecir el ancho total de la lámina se basa en dos secuencias:

1. La primera es aquella basada en el eje neutro.

2. La segunda consiste en obtener la longitud de los arcos.

3. Calculo del ancho total de la lámina



61

Primer secuencia

Este procedimiento consiste en obtener el eje neutro del perfil estructural, ya que este eje

neutro, teóricamente, no sufrirá alargamiento ni deformación alguna al momento de ser

sometido a los dobleces.

Formula para el eje neutro:

)1(

r

dA

ARn

Donde:

A=Área de la sección transversal del perfil estructura

dA= Diferencial de área

r= Radio de dobles

Observando la fig. 4-2, tenemos que:

Fig. 4-2 Representación del eje neutro

El área de la sección transversal es:

baA

Y puesto que “b” esta en función del radio, entonces:

dradA



62

Resolviendo la integral de la ecuación (1) desde “RI” hasta “RE”

)2(ln

lnln

lnlnln

I

E

IE

IE

R

R

R

R

R

R

R

Ra

RRa

RaRara

r

dra

r

dA

E

I

E

I

E

I

Sustituyendo el resultado de (2) en (1)

)3(

ln

lnln

I

E

n

I

E

I

E

n

R

R

bR

R

Ra

ab

R

Ra

AR

La ecuación (3) proporciona la forma para obtener el radio neutro, con base a las

dimensiones de la sección transversal las acoplaremos a dicha ecuación.

intRR

inRR

intb

E

I

3225.0135.01875.0

1875.0

135.0

Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1)

inR

inR

n

n

4125.0

248.0

1875.0

3225.0ln

135.0

Segunda secuencia

Consiste en contar el numero de dobleces que sufrirá la lámina para obtener el perfil

deseado y verificar el ángulo al cual se encuentran dichos dobleces.



63

Formula para convertir un radio en una longitud lineal

)4( rs

Donde:

s= Dimensión lineal

θ= Ángulo del dobles [rad]

r= Radio del dobles

Para un solo dobles, con los datos que contamos:

inRr

rad

n 25.0

2º90

Sustituyendo los valores en la ecuación (4)

ins

Rs n

393.0

2

25.0

2

Para nuestro caso el perfil cuenta con tres dobleces de 90º, por lo tanto la longitud total

ocasionada por los dobleces es:

ins

ss

T

T

178.1

393.033

Tercera secuencia

Una vez desarrolladas las dos secuencias anteriores la tercera consiste en calcular los

elementos rectos, sumar la longitud ocasionada por los dobleces y por ultimo, calcular el

ancho total de la lámina.

Para el cálculo de los elementos rectos observar la fig. 4-3, teniendo en cuenta las

siguientes ecuaciones (5).



64

Fig. 4-3 Elementos rectos del perfil estructural

n

n

Rt

dd

RtBB

2

2

-----(5)

Donde:

B´= Elemento recto en el eje neutro (Largo)

d`=Elemento recto en el eje neutro (Corto)

Los valores para nuestro perfil son:

inR

ind

int

inB

n 25.0

1.1

135.0

01.4

Sustituyendo los valores en las ecuaciones (5)

ind

d

inB

B

7825.0

25.02

135.01.1

375.3

25.02135.001.4



65

Parta el ancho total de la lámina aplicaremos la siguiente ecuación:

)6(22

22

TT

TC

R

CRT

sdBA

sE

dBE

EEA

Donde:

AT= Ancho total de lamina

ΣER= Suma de elementos rectos

ΣEC= Suma de elementos curvos

Sustituyendo los valores de los elementos rectos y curvos en el resultado de la ecuación (6)

inA

inA

A

T

T

T

2195.9

493.9

178.1)7825.0(2375.32

Observar fig. 4-4

AT

Fig. 4-4 Ancho total de lámina

Pasos del doblado del material

A continuación se presentara la secuencia del doblado del material (Lamina) para

obtener el perfil. Este punto es esencial para el diseño de la herramienta de doblado

(rodillos).

Primera etapa

Consiste en la entrada del material de trabajo (Materia prima) al primer par de rodillos, los

cuales tienen la función de centrar el material de trabajo para dar uniformidad durante el

proceso de doblado, Ver fig. 4-4.

Segunda etapa

Es la etapa en donde comienza los primeros dobleces del material de trabajo; Esta etapa

comprende el par de rodillos a 30º, 60º y 90º que realizan el doblez en las esquinas ver fig.

4-5.



66

Figura 4-5 Segunda etapa de doblado

Tercera etapa: Comprende la última etapa del formado del perfil, en esta etapa se realiza

el doblez mayor, el cual comprende los pares de rodillos a 15º, 30º y 45º respectivamente,

ver fig. 4-6.

Figura 4-6 Tercer etapa de doblado



67

Las etapas descritas es un método sencillo de entender el proceso de doblado de la

máquina. Los incrementos del ángulo en los rodillos son debido a que si realizamos un

doblez demasiado brusco, el material tiende a que su microestructura se altere,

ocasionando posibles fisuras, y en el peor de los casos la fractura del material.

El desarrollo del doblado quedaría de la siguiente forma ver fig. 4-7.

Fig. 4-7 Desarrollo del doblado

4.2.- Diseño de la herramienta de doblado (Rodillos)

La herramienta de doblado es el elemento clave para llevar a cabo el diseño del tren de

laminación en frío, sin ella simplemente no funcionaria el tren.

De manera sencilla presentamos un criterio de cómo poder diseñar, y dibujar el rodillo de

laminación, así como también, la selección del tipo de material para dicho rodillo.


Funciones

Proporcionar la forma deseada al material de trabajo bajo el criterio de

deformación plástica.

Proporcionar una alineación longitudinal al material de trabajo conforme éste se

desplace a través de las herramientas de doblado.

Mantener una velocidad constante en el proceso de formado.

Transmitir la carga suficiente y necesaria al material de trabajo para obtener la

forma deseada.

Conservar un alto rendimiento y larga vida útil.



68

Parámetros de diseño

Las dimensiones deben ser lo mas compactas posibles, basadas en las etapas del

doblado, no mayores a 10.5 In en el punto de contacto y no mayores a 13.250 In

para los rodillos inferiores (hembra).

El material de la herramienta de doblado tiene que elegirse entre los tipos M, L, O y

D.

La velocidad lineal de formado debe encontrarse entre los límites de 50 a 120

(FPM)

Se pretende que la maquina cuente con un total de siete etapas de doblado, es

decir, 14 rodillos para obtener la forma del perfil.

La potencia para realizar el perfil se encuentra en función del espesor, por lo cual

se necesitan entre 20 y 22 HP.

Las condiciones ambientales y de trabajo son moderadas, es decir, partículas

sólidas, temperatura ambiente, impacto ligero.

El costo de maquinado de las herramientas de doblado debe ser moderado y

justificado.

4.2.2.- Secuencia de diseño para la herramienta de doblado

a) Calcular o proponer un diámetro para el barreno donde ingresara la flecha.

b) A partir del diámetro del barreno para la flecha, seleccionar la cuña o chaveta

correspondiente para poder realizar el cuñero a través del barreno para el eje.

c) Tomando como base el cuñero, aumentar de ½ a ¾ de pulgada para crear el

mamelón o cubo (opcional).

d) Analizar los dibujos de los pasos de doblado del material e identificar la dimensión

vertical más grande.

e) Una vez identificado, dibujar la herramienta de doblado superior (macho), de

forma tal que no exista interferencia entre el material de trabajo y la herramienta

de doblado.

f) Teniendo como base el diámetro del rodillo superior, el rodillo inferior deberá tener

el mismo diámetro en el punto de paso del material de trabajo.



69

g) Dibujar los rodillos restantes en base a los pasos de doblado del material, pero

teniendo en cuenta que el diámetro de contacto entre rodillos y material de

trabajo deberá mantenerse.

Diámetro para el barreno de la flecha

Partiremos de la idea básica de resistencia de los materiales, tomando en cuenta solo un

rodillo con su respectiva flecha. Puesto que el rodillo y la flecha se encuentran en

rotación, el esfuerzo que se presentará será cortante en torsión.

716

2

32

2

32

3

4

4

D

T

D

TD

D

DJ

J

T

Donde:

τ= Esfuerzo cortante [Psi]

T= Momento torsionante [Lb.In]

D= Diámetro de flecha [In]

Para obtener el momento torsionante, recurrimos a la ecuación de potencia mecánica

de la siguiente manera:

60

2

nf

f

s

ftIbTP

rFT

rFP

rv

vFt

dF

t

UP



70

)8(16500

550

1

60

60

2

nTP

s

ftIb

HP

s

ftIbnTP

n

Despejando de la ecuación (8) a “T”

963025

16500

n

PT

n

PT

Donde:

T= Momento torsionante [Lb.In]

P= Potencia [HP]

n= Velocidad angular [rpm]

Para obtener la potencia, es necesario recurrir a la grafica PT contra t (ver figura 4-8

grafica de PT contra t). Esta grafica nos indica que la potencia total necesaria para

conformar el perfil, se encuentra en función del espesor del material de trabajo (t= 0.135

In).

Fig. 4-8 Grafica de potencia total contra espesor de lámina



71

Puesto que son siete etapas para realizar el perfil y cada etapa tiene dos rodillos de

formado, tenemos la ecuación (10).

14

72

)10(2

R

R

ER

N

N

NN

Donde:

NR= Número de rodillos

NE= Número de etapas

Una vez analizada la grafica en base al espesor, ésta indica que la potencia total

requerida se encuentra alrededor de 20HP, entonces, la potencia necesaria demandada

por cada rodillo será en base a la ecuación (11):

11R

T

N

PP

Donde:

P= Potencia para un solo rodillo [HP]

PT= Potencia total para el tren de laminación [HP]

Para nuestro caso

PT= 20 [HP]

NR= 14

Sustituyendo los valores en la ecuación (11) obtendremos la potencia necesaria para un

solo rodillo.

HPP

HPP

5.1

428.114

20

La ultima de las variables para poder calcular el momento torsionante de la ecuación (9),

es la velocidad angular “n”. Para este punto, partiremos de los parámetros de diseño de la

herramienta de doblado, tomaremos la mitad de la velocidad lineal máxima vMAX, y un

diámetro de rodillo DR= 10 In, este diámetro (supuesto) corresponde al punto de contacto

entre rodillo y material de trabajo.



72

Para la velocidad angular “n”

s

Inv

sft

Inftv

vv MAX

12

60

min1

1

12

min60

2

120

2

Pero sabemos que la velocidad tangencial esta en función de la velocidad angular “ω” y

del radio “r”, por lo tanto, si deducimos la ecuación de la velocidad tangencial en función

de la velocidad angular en rpm “n”, encontraremos la ecuación (12) que nos será muy útil

después.

1260

2

60

2

nDv

Dr

nf

f

rv

Despejando “n” en la ecuación (12) y sustituyendo los valores de “v” y “D” obtenemos:

rpmn

rpmn

D

vn

R

23

918.2210

1260

60

Ahora podemos calcular el momento torsionante aplicando la ecuación (9) y sustituyendo

los valores obtenidos anteriormente.

InLbT

InLbT

4110

3261.411023

5.163025



73

Regresando a la ecuación (7), podemos definir de manera empírica el esfuerzo cortante

en base a la tabla 4-1.

Esfuerzo cortante

empírico

Tipo de aplicación

τ= 4000 Psi Ejes o flechas principales

τ= 6000 Psi Ejes o flechas de soporte

τ= 8500 Psi Ejes o flechas cortas y pequeñas

Tabla 4-1 Esfuerzo cortante y tipo de aplicación

Para nuestro caso, “τ” la escogimos suponiendo que es una flecha principal. De la

ecuación (7), despejaremos el diámetro y sustituiremos los valores de momento

torsionante “T” y esfuerzo cortante “τ”

T= 4241 [Lb.In]

τ = 4000 [Psi]

InD

InD

TD

2

754.14000

424116

16

3

3

NOTA: El diámetro de la flecha se verificara mas tarde, hasta este momento es solo una

propuesta para diseñar la herramienta de doblado.

Puesto que el diámetro de la flecha es el mismo que el diámetro barrenado en la

herramienta de doblado, podemos continuar la secuencia de diseño sin ningún

problema.

Selección de cuña y cuñero

En esta parte seleccionaremos una cuña rectangular con el fin de minimizar al máximo las

dimensiones del rodillo.



74

En la tabla 4-2 se muestran los valores para poder seleccionar la cuña.

Tamaño nominal del eje o flecha Tamaño nominal de la cuña

Altura H

Más de Hasta (inclusive) Ancho W Cuadrada Rectangular

5/16 7/16 3/32 3/32

7/16 9/16 1/8 1/8 3/32

9/16 7/8 3/16 3/16 1/8

7/8 1 ¼ ¼ ¼ 3/16

1 ¼ 1 3/8 5/16 5/16 ¼

1 3/8 1 ¾ 3/8 3/8 ¼

1 ¾ 2 ¼ ½ ½ 3/8

2 ¼ 2 ¾ 5/8 5/8 7/16

2 ¾ 3 ¼ ¾ ¾ ½

3 ¼ 3 ¾ 7/8 7/8 5/8

3 ¾ 4 ½ 1 1 ¾

4 ½ 5 ½ 1 ¼ 1 ¼ 7/8

5 ½ 6 ½ 1 ½ 1 ½ 1

6 ½ 7 ½ 1 ¾ 1 ¾ 1 ½

7 ½ 9 2 2 1 ½

9 11 2 ½ 2 ½ 1 ¾

11 13 3 3 2

13 15 3 ½ 3 ½ 2 ½

15 18 4 3

18 22 5 3 ½

22 26 6 4 Tabla 4-2 Tamaño de la cuña en función de la flecha (no se recomiendan las zonas sombreadas)

Como se pude observar en la figura 4-9, para nuestra flecha de 2 pulgadas de diámetro,

la cuña tiene las siguientes dimensiones:

Fig. 4-9 Representación de la cuña

W= ½ In

H= 3/8 In

De forma representativa podemos observar en la figura 4-10, como seria el arreglo para la

flecha y el barreno de la misma en el rodillo.



75

Fig. 4-10 Arreglo de cuña para flecha y cubo

Para efectos de cálculo, el cual se presentara en el tema 4.6, las ecuaciones son las

siguientes:

CH

YDT

WDDY

2

2

21

2

Cubo o mamelón

Puesto que el objetivo es reducir al máximo las dimensiones del diámetro, no aplicaremos

a la herramienta de doblado un cubo, simplemente aumentaremos ¼ de pulgada a partir

del cuñero con el fin de evitar la interferencia entre cuña y material de trabajo.

Dimensión vertical mayor

Esta dimensión es obtenida de los pasos del doblado del material. Como es de esperarse,

en la tercera etapa y en el último paso de los dobleces, se presenta la dimensión vertical

mayor, ver figura 4-11.



76

Fig. 4-11 Dimensión vertical mayor

Secuencia de dibujo de la herramienta de doblado superior

La secuencia es la siguiente ver figura 4-12:

Partiendo del diámetro de barreno de la flecha propuesta, dibujar la profundidad

del cuñero sobre el mismo.

A continuación aumentar ¼ de pulgada con el fin de evitar la interferencia entre

cuña y material de trabajo.

En base a los pasos de doblado del material, aumentar la dimensión vertical

mayor.

En cuanto al ancho del rodillo macho, verificar el dibujo de los pasos de doblado y

escoger una dimensión menor para que no exista interferencia

Por ultimo, hay que tener en cuenta que las dimensiones deben de ser

normalizadas, con el fin de disminuirle costo de manufactura.



77

Fig.4-12 Herramienta de doblado superior (Macho)

Donde:

D= Diámetro del barreno de la flecha

D´= Diámetro imaginario auxiliar

H/2= Profundidad del cuñero

dV= Dimensión vertical mayor

ARM= Ancho de rodillo macho

DRM= Diámetro de rodillo macho

H´= Altura de trabajo

RI= Radio interior



78

Secuencia de dibujo de la herramienta de doblado inferior

La secuencia es parecida a la descrita antes, ver figura 4-13

Teniendo como base el DRM, se deberá mantener con el fin de conservar la misma

velocidad lineal.

Al observar el ancho de rodillo macho, como regla practica, aumentaremos ¼ de

pulgada en ambos lados mas ½ pulgada para evitar rayado en el acabado

superficial del perfil, además un pequeño chaflán de 1/8 X 45º.

Fig.4-13 Herramienta de doblado inferior (Hembra)

Donde:

D= Diámetro del barreno de la flecha

H/2= Profundidad del cuñero

ARH= Ancho de rodillo hembra

DRH= Diámetro de rodillo hembra



79

Herramientas de doblado restantes

El procedimiento de diseño y dibujo de las herramientas de doblados restantes es similar al

descrito en los puntos anteriores.

Para los dibujos restantes tomaremos en cuenta las siguientes advertencias:

No debe existir interferencia entre el material de trabajo y la herramienta de

doblado.

Mantener el punto de contacto entre el material de trabajo y herramienta de

doblado en todas las etapas de los pasos de doblado, con el fin de conservar la

misma velocidad lineal.

Las dimensiones deben de ser lo mas normalizadas posibles para disminuir los

costos de manufactura.

NOTA: Observar los dibujos en los anexos correspondientes.

4.2.3.-Selección del material para herramienta de doblado

Basado en la designación de la AISI de aceros para herramienta, los mas convenientes

para la herramienta de doblado son los tipos M, L, O y D (ver tabla 4-3 materiales para

herramientas). A continuación se dará una explicación general de porque estos tipo de

materiales podrían ser óptimos para la aplicación que estamos requiriendo.

GRUPO SIMBOLO Y TIPO

Templados en agua W

Resistentes al impacto S

Trabajo en frío

O Temple en aceite

A Mediana aleación y templable en aire

D Alto carbono alto cromo

Trabajo en caliente H H1-H19, incluso, base cromo; H20-H39, incluso, base tungsteno;

H40-H59, incluso, base molibdeno.

Alta velocidad T Base tungsteno

M Base molibdeno

Moldes P Aceros para moldes P1-P19, incluso, bajo carbono; P20-P39,

incluso, otros tipos.

Propósitos específicos L Baja aleación

F Carbono - tungsteno Tabla 4-3 Materiales para herramientas

Proceso de selección

Con base a las funciones y parámetros de diseño, es prácticamente responsabilidad del

diseñador seleccionar el material más adecuado para la herramienta.



80

En este punto dividiremos en tres pasos la selección:

1. Selección basado en la aplicación

2. Selección basada en las propiedades mecánicas

3. Selección basada en la maquinabilidad

Selección basada en la aplicación

Puesto que el proceso de laminación esta considerado como un trabajo en frío, eso nos

hace pensar que los materiales podrían ser cualquiera con los símbolos:

D

A TRABAJO EN FRÍO

O

Por otro lado, el tipo de aplicación se puede considerar como especial, esto nos arrojaría

una nueva selección de materiales con los símbolos:

L

USOS ESPECIALES

F

Si preferimos la elección en base al uso típico de altas velocidades, entonces el material

estará en base a las aleaciones de molibdeno M.

Selección basada en las propiedades mecánicas

Como un segundo paso en la selección, hay que tomar en cuenta las propiedades

mecánicas de cada material (ver tabla 4-4).

PROPIEDAD MECÁNICA MATERIAL 1-Optima; 2-Muy buena; 3-Buena;

4-Regular; 5-Deficiente D A O L F M

Dureza 1 1 2 3 5 4

Ductilidad 1 1 2 3 5 3

Tenacidad 5 4 4 2 5 5

Resistencia al Desgaste 1 2 3 3 3 2

Maquinabilidad 5 4 3 4 4 4 Tabla 4-4 Propiedades mecánicas de materiales para herramienta

Selección basada en la maquinabilidad

Este tipo de selección, proporciona una idea de que tan fácil es la producción de la pieza

basada en los aceros templados en agua (W), los cuales presentan la mejor

maquinabilidad en cuanto a materiales para herramienta (ver tabla 4-5).



81

Acero para

Herramienta

Clasificación de la

Maquinabilidad

W 100

O 90

A 85

D 40 – 50

L 90

F 75

M 45 – 60

Tabla 4-5 Maquinabilidad de materiales para herramienta

Selección final

Teniendo en cuenta los tres tipos de selección, procedemos, en base a nuestro criterio, a

una selección final, la cual cumplirá las necesidades de la manera más óptima.

Para nuestro caso el mejor material para la herramienta de doblado fue el “L6”, con las

siguientes características (ver tabla 4-6):

Propiedades Descripción

Dureza HRC 62 – 45

Endurecimiento 1475 – 1550 ºF

Medio de Temple Aceite

Revenido 350º F – 1000ºF

Tenacidad Muy buena

Resistencia al desgaste Buena

Maquinabilidad Regular

Resistencia a la descarburización Buena

Templabilidad Media

Ductilidad Regular

Seguridad en el endurecimiento Buena Tabla 4-6 Características del material elegido

La resistencia última se obtiene en base a la dureza, con la siguiente ecuación.

𝑆𝑢 = 0.5𝐻𝐵 − − − (13)

Donde:

Su= Resistencia ultima

HB=Dureza Brinell

Como tenemos una dureza Rockwell C entre 62 – 45 obtenemos un promedio de 53.5, lo

cual equivale a una dureza Brinell HB = 534 (Ver anexo 02). Sustituyendo los valores en la

ecuación (13)



82

𝑆𝑢 = 0.5 534 𝑆𝑢 = 267 𝐾𝑠𝑖

Este valor es el valor teórico, en realidad el material tiene una resistencia última de 274 Ksi,

el cual es un valor basado en experimentos y ensayos.

4.3.- Propuesta para flechas de transmisión

Como ya se menciono en el capitulo anterior, una flecha es un elemento de máquina

que transmite potencia. Partiendo de esa idea en mente, desarrollaremos el tema de la

manera más sencilla y práctica posible. Tomando como base la ecuación del código

ASME.


Funciones

Transmitir la potencia necesaria para generar el movimiento rotacional de la

herramienta de doblado.

Soportar cargas combinadas (axial, flexión y torsión)

Soportar elementos auxiliares como rodamientos, la herramienta de doblado, los

elementos de transmisión (engranes y cuñas)

Parámetros

Mantener una velocidad angular constante, dependiendo del diámetro del rodillo,

entre 20 y 25 rpm.

La potencia a transmitir deberá de ser de 1.5 a 3 HP.

El material a elegir deberá ser el más comercial, entre un AISI 1040 o un AISI 4140.

Las condiciones de trabajo son de normales a media, ya que no existe impacto ni

vibración.

El diámetro se calculara y diseñara bajo el código ASME, de forma tal, que sea

menor o igual a 3 pulgadas.

El costo de maquinado debe de ser justificado y moderado.

Se pretende que la flecha funcione 8 horas, diarias 5 días de la semana, con una

vida útil de 10 a 15 años.



83


a) Realizar un bosquejo de la flecha que indique los elementos montados sobre ella.

b) Obtener un diagrama de cuerpo libre, el cual muestre las fuerzas que actúan en la

flecha.

c) Calcular la magnitud de cada una de las fuerzas que intervienen en la flecha y

descomponerlas, si es necesario, en componentes cartesianos x, y, z.

d) Proponer la longitud de la flecha por deducción.

e) Calcular el efecto de las cargas sobre la flecha y calcular el diámetro mínimo bajo

código ASME.

f) Dimensionar la flecha con medidas preferidas en los diámetros para disminuir

costos.

g) Verificar el diseño por rigidez; es decir, deflexión por flexión y por torsión.

Bosquejo de flecha

A continuación presentamos un bosquejo preliminar de la flecha, la cual es solo una

ilustración para tener una idea clara de los elementos que soportara la flecha, ver figura

4-14.

Fig. 4-14 Bosquejo de la flecha para transmitir potencia



84

Diagrama de cuerpo libre

El diagrama de cuerpo libre es una herramienta muy utilizada en la ingeniería mecánica,

puesto que nos permite visualizar y analizar, de forma simple, todas las fuerzas que se

encuentran actuando en cualquier elemento de maquina, ver figura 4-14.

Fig. 4-15 Diagrama de cuerpo libre para la flecha

Donde:

AY= Reacción en el punto A ocasionada por el rodamiento en la dirección Y [Lb]

AZ= Reacción en el punto A ocasionada por el rodamiento en la dirección Z [Lb]

BY= Reacción en el punto B ocasionada por el rodamiento en la dirección Y [Lb]

BZ= Reacción en el punto B ocasionada por el rodamiento en la dirección Z [Lb]

Fr= Fuerza de fricción ocasionada por el torque [Lb]

N= Fuerza normal [Lb]

WR= Peso del rodillo [Lb]

T= Torque [Lb-In]

El criterio para elegir la dirección de las flechas para las fuerzas N, Fr y WR, fue basado en

los pasos del doblado del material, para la primera etapa ya que es allí donde el rodillo

inferior presenta el mayor volumen y por lo tanto el mayor peso, ver figura 4-16.

Para las reacciones en los puntos “A” y “B”, las direcciones de flechas son supuestas en las

direcciones positivas de los ejes cartesianos X, Y, Z; esto indica que al momento de

calcularlas, si los valores son positivos la suposición es correcta, pero si el signo es negativo

esto revela que la dirección de la flecha es contraria a la supuesta.



85

Fig. 4-16 Criterio para la dirección de fuerzas

Donde:

ω= Velocidad angular

v= Velocidad lineal

Magnitud de las fuerzas

Peso del rodillo “WR”

𝑊𝑅 = 𝛾 ∙ 𝑉 − − − 14

Donde:

γ= Peso especifico [Lb/In3]

V= Volumen del rodillo más grande [In3]

Para nuestro caso tenemos los siguientes valores.

γ= 490 [Lb/ft3]= 0.2836 [Lb/In3]

V= 807 [In3]

Sustituyendo estos valores en la ecuación (13) obtendremos el peso del rodillo

𝑊𝑅 = 0.2836 807 = 228.8652 𝐼𝑏

𝑊𝑅 ≈ 230 𝐼𝑏

Fuerza de fricción “Fr”

𝐹𝑟 = 𝜇𝑘 ∙ 𝑁 − − − (15)



86

Esta fuerza se deduce del momento torsional necesario para general el movimiento en el

rodillo, recordando el valor del momento tosionante de la ecuación (9), y teniendo en

mente el concepto de momento, escribimos la ecuación (16).

𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑑

∴ 𝑇 = 𝐹𝑟 ∙𝐷𝑅2− − − (16)

Despejando de la ecuación (16) la fuerza de fricción, y sustituyendo en esta los valores

que a continuación se muestran.

T= 4241 [Lb.In]

DR= 10 [In]

𝐹𝑟 =2 ∙ 𝑇

𝐷𝑅=

2 4110

10

𝐹𝑅 = 822 𝐼𝑏

Fuerza normal “N”

La fuerza normal se calcula en base a la ecuación (15), de ella despejamos N y µk lo

obtenemos de tablas para acero contra acero (ver tabla 4-7)

Material 1 Material 2

Coeficiente de Fricción Metodo de

ensayo SECO LUBRICADO

Estático Dinámico Estático Dinámico

Acero (Mild) Acero(Mild) 0,74 0,57 0,10-0,20

Acero (Mild) Acero(Mild) - 0,62 FOR

Acero(Hard) Acero (Hard) 0,78 0,42 0,05 -0,11 0,082-,12 Tabla 4-7 Coeficientes de fricción

FOR = Flat against rotating Cylinder (Cilindro rotacional con placa plana)

Los valores para µk= 0.15, es un valor promedio obtenido de la tabla 4-7.

𝑁 =𝐹𝑟𝜇𝑘

=822

0.15

𝑁 = 5480 𝐿𝑏



87

Carga vertical en la flecha “P”

En la figura 4-16 tanto la fuerza normal como el peso del rodillo actúan de forma colineal,

lo cual indica que podemos simplificar estas dos fuerzas en una sola si sumamos las fuerzas

con respecto al eje “Y”.

𝐹𝑌 = 0; 𝑁 −𝑊𝑅 = 0

∴ 𝑃 = 𝑊𝑅 − 𝑁 = 230 − 5480 𝐿𝑏

𝑃 = −5250 𝐿𝑏

El signo negativo indica que la carga “P” actúa en dirección “Y” negativa.

Longitud de la flecha (Propuesta)

Esta longitud propuesta esta basada en un método deductivo, es decir, partimos de la

longitud de rodillo mas largo, al cual se le adiciono una pulgada de cada lado para

montar los rodamientos (ver figura 4-17).

De esta forma en la fig. 4-17 tenemos lo siguiente:

LF= Longitud de la flecha (supuesta) [In]

LR= Longitud del rodillo mas largo [In]

a= Distancia media [In]

Las ecuaciones deductivas son las siguientes.

𝐿𝐹 = 𝐿𝑅 + 2 − − − (17)

𝑎 =𝐿𝐹2−− − (18)

Para nuestro calculo, el rodillo más largo es que se presenta en la parte inferior de la

primera etapa de los pasos de doblado del material.

LR= 10.5 In

Sustituyendo en la ecuación (17) el valor de “LR” asumimos que:

𝐿𝐹 = 10.5 + 2

𝐿𝐹 = 12.5 𝐼𝑛

Y para la distancia media “a”

𝑎12.5

2= 6.25 𝐼𝑛



88

Fig. 4-17 Longitud propuesta para la flecha

Diámetro mínimo bajo código ASME

El cálculo de ejes y flechas bajo código ASME proporciona un método confiable y seguro,

ya que involucra las propiedades mecánicas del material, de la pieza así como diferentes

coeficientes que pueden modificar la geometría de la pieza.

La secuencia es sencilla y se muestra a continuación:

1. Calculo de reacciones

2. Representación correcta del diagrama de cuerpo libre para la flecha

3. Calculo y representación de cortante y momento flexionante

4. Momento total

5. Material para la flecha

6. Aplicar ecuación del código ASME

Calculo de reacciones

En base a la fig. 4-17, realizando sumatoria de momentos en los puntos “A” y “B”,

encontraremos las reacciones correspondientes.



89

Reacciones en “Y”

𝑀𝑍𝐴 = 0; 𝐵𝑦 ∙ 𝐿𝐹 − 𝑃 ∙ 𝑎 = 0

𝐵𝑌 =𝑃 ∙ 𝑎

𝐿𝐹=𝑃 ∙ 𝑎

2 ∙ 𝑎

𝐵𝑌 =𝑃

2

𝑀𝑍𝐵 = 0; 𝐴𝑦 ∙ 𝐿𝐹 + 𝑃 ∙ 𝑎 = 0

𝐴𝑌 =𝑃 ∙ 𝑎

𝐿𝐹=𝑃 ∙ 𝑎

2 ∙ 𝑎

𝐴𝑌 =𝑃

2

∴ 𝐴𝑌 = 𝐵𝑌 =𝑃

2− − − (19)

Reacciones en “Z”

𝑀𝑋𝐴 = 0; −𝐵𝑍 ∙ 𝐿𝐹 − 𝐹𝑟 ∙ 𝑎 = 0

𝐵𝑍 = −𝐹𝑟 ∙ 𝑎

𝐿𝐹= −

𝐹𝑟 ∙ 𝑎

2 ∙ 𝑎

𝐵𝑍 = −𝐹𝑟2

𝑀𝑋𝐵 = 0; 𝐴𝑍 ∙ 𝐿𝐹 + 𝐹𝑟 ∙ 𝑎 = 0

𝐴𝑍 = −𝐹𝑟 ∙ 𝑎

𝐿𝐹= −

𝐹𝑟 ∙ 𝑎

2 ∙ 𝑎

𝐴𝑍 = −𝐹𝑟2

∴ 𝐴𝑍 = 𝐵𝑍 = −𝐹𝑟2− − − (20)

Sustituyendo los valores antes calculados de la carga vertical “P” y la fuerza de Fricción

“Fr”, en las ecuaciones (19) y (20), respectivamente, obtendremos las reacciones que

provocarán los rodamientos.



90

𝐴𝑌 = 𝐵𝑌 =5250

2

𝐴𝑌 = 𝐵𝑌 = 2625 𝐿𝑏

𝐴𝑍 = 𝐵𝑍 = −822

2

𝐴𝑍 = 𝐵𝑍 = −411 𝐿𝑏

Cabe señalar que los resultados con signos negativos indican la dirección opuesta de la

fuerza que se supuso en el diagrama de cuerpo libre.

Representación correcta del diagrama de cuerpo libre para la flecha

Una vez que se han calculado las reacciones, podemos determinar de manera segura, la

dirección en la cual dichas fuerzas actuaran. En seguida se presenta el diagrama de

cuerpo libre corregido en la fig. 4-18.

Fig. 4-18 Diagrama de cuerpo libre corregida



91

Calculo y representación de cortante y momento flexionante

Plano X – Y (ver fig. 4-19)

Fig. 4-19 Diagrama de cortante y momento flexionante X - Y

Donde:

MZ max= Es el momento flexionante máximo con respecto al eje “Z” [Lb-In]

𝑀𝑍𝑚𝑎𝑥

= 𝐴𝑌 ∙ 𝑎 = 𝐵𝑌 ∙ 𝑎

𝑀𝑧𝑚𝑎𝑥

= 2635 6.25


= 16406.25 𝐿𝑏. 𝐼𝑛



92

Plano X - Z (ver fig. 4-20)

Fig. 4-20 Diagrama de cortante y momento flexionante X - Z

Donde:

MY max= Es el momento flexionante máximo con respecto al eje “Y” [Lb-In]

𝑀𝑌𝑚𝑎𝑥

= 𝐴𝑍 ∙ 𝑎 = 𝐵𝑍 ∙ 𝑎



93

𝑀𝑌𝑚𝑎𝑥= −411 6.25


= −2568.75 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Momento total resultante

A continuación presentamos una tabla que muestra los momentos máximos en los puntos

A, B y C, así como también, el torque a través de la flecha, (ver tabla 4-8).

La ecuación para el momento total flexionante es:

𝑀𝑇 = 𝑀𝑌𝑚𝑎𝑥

2+ 𝑀𝑍𝑚𝑎𝑥

2

12

− −− (21)

𝑀𝑇 = 16406.25 2 + −2568.75 2 1

2 = 16606.13 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

𝑀𝑇 ≈ 16606.15 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Sustituyendo los valores de los momentos flexionantes máximos en “Z” e “Y” en la

ecuación (21) encontraremos el momento total.

Punto 𝑴𝒁𝒎𝒂𝒙 𝑴𝒀𝒎𝒂𝒙

𝑴𝑻 T

A 0 0 0 0

B 0 0 0 4110

C 16406.25 -2568.75 16606.15 4110 Tabla 4-8 Momento total flexionante y torque

Como puede observarse en la tabla 4-8, el punto critico en la flecha es el “C”, por lo tanto

analizaremos y calcularemos el diámetro mínimo de la flecha con respecto a dicho punto.

Material para la flecha

Para seleccionar un material adecuado en la flecha, hay que tener en cuenta alas

características mecánicas de cada material en base a su contenido de carbono. En la

tabla 4-9 se presenta una variedad de materiales adecuados para las flechas o ejes.

Acero AISI Propiedades Mecánicas

1020 – 1050 Tenacidad y resistencia

40XX

Alta resistencia

41XX

43XX

46XX

48XX

61XX Dureza y resistencia Tabla 4-9 Materiales para flechas



94

Puesto que la aplicación a la cual estará sometida la flecha, se eligió un acero AISI 4140

OQT (templado e inmerso en aceite). Sus propiedades mecánicas son:

SU= 270 Ksi

SY= 241 Ksi

Sn= 0.5 SU Ksi

HB= 534

Maquinado

Ecuación bajo código ASME

Para calcular el diámetro aplicaremos la siguiente ecuación.

𝐷= 32 ∙ 𝑁

𝜋 𝑘𝑡 ∙ 𝑀𝑇

𝑆′𝑛

2

+3

4 𝑇

𝑆𝑦

2

12

13

− − − 22

Donde:

N= Factor de seguridad

kt= Coeficiente teórico de concentración de esfuerzo

MT= Momento total [Lb-In]

S`n= Resistencia a la fatiga real [Ksi]

T= Momento torsionante [Lb-In]

SY = Resistencia a la cedencia [Ksi]

De las variables que se encuentran en la ecuación (22), solo tres faltan por definir, el factor

de seguridad, el coeficiente teórico de concentración de esfuerzos y la resistencia a la

fatiga real. A continuación los definiremos para después aplicar la ecuación (22).

La resistencia a la fatiga real, se calcula con una serie de factores que intervienen en la

flecha y con la resistencia a la fatiga del material.

𝑆𝑛` = 𝑆𝑛 ∙ 𝐶𝐹 ∙ 𝐶𝑆𝑡 ∙ 𝐶𝑇 ∙ 𝐶𝑅 ∙ 𝐶𝑆 − −− (23)

Donde:

CF= Factor de acabado superficial

CSt= Factor de tipo de esfuerzo

CT= Factor de temperatura

CR= Factor de confiabilidad

CS= Factor de tamaño

Para la resistencia a la fatiga del material

𝑆𝑛 = 0.5 270 = 135 𝐾𝑠𝑖



95

Para el factor por acabado superficial CF

𝐶𝐹 = 𝑎 ∙ 𝑆𝑈

𝑏 − − − (24)

Donde “a” y “b” son factores preestablecidos en base al acabado superficial que se

necesite en la flecha (ver tabla 4-10)

Acabado superficial a

b ksi MPa

Esmerilado 1.34 1.58 -0.086

Maquinado 2.61 4.45 -0.265

Laminado enfrío 2.67 4.45 -0.719

Laminado en caliente 14.5 56.1 -0.719

Como sale de forja 39.8 271 -0.995 Tabla 4-10 Factores de condición superficial

a= 2.61 Ksi

b= -0.265

Ahora sustituyendo en la ecuación (24) el valor de “a” y de “b”

𝐶𝐹 = 2.61 270 −0.265 = 0.61

Para el factor por tipo de esfuerzo CSt

𝐶𝑆𝑡 = 1 (𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒)

Para el factor por temperatura CT, puesto que las condiciones de trabajo de la flecha se

encuentran a temperatura ambiente.

𝐶𝑇 = 1 (𝐴𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)

Para el factor de confiabilidad CR

𝐶𝑅 = 0.814 (99%)

Para el factor de tamaño CS

𝐶𝑆 = 𝐷

0.3 −0.11

𝐶𝑆 = 2

0.3 −0.11

𝐶𝑆 = 0.810



96

Sustituyendo los factores en la ecuación (23) para calcular la resistencia ala fatiga real.

𝑆𝑛` = 135 0.61 0.814 0.810 = 54.297 𝐾𝑠𝑖

𝑆𝑛` ≈ 54.3 𝐾𝑠𝑖

El coeficiente teórico de concentración de esfuerzos en el punto “C”, esta dado por el

tipo de cuña que se utilizara para transmitir la potencia a la herramienta de doblado. Para

nuestro caso elegimos una cuña de tipo patin, esta restricción axil ocasiona en la flecha

un factor de concentración de esfuerzo igual a dos, por lo tanto.

𝑘𝑡 = 2 (𝑝𝑎𝑡𝑖𝑛)

Por ultimo, el factor de seguridad “N” se delimita en cuanto a la aplicación del elemento

de maquina, una buena practica para maquinaria en general es elegir entre 2 hasta 2.5.

Para fines demostrativos, dejaremos la ecuación (22) en función de este factor para

después elegir el valor más óptimo en base a los presentados en el párrafo anterior.

Sustituyendo los valores encontrados anteriormente en la ecuación (22)

𝐷 = 32 ∙ 𝑁

𝜋

2(16.61)

54.3

2

+3

4

4.11

241

2

12

13

Simplificando y dejando en función del factor de seguridad “N”

𝐷 = 6.233 ∙ 𝑁 1

3

Presentamos a continuación la tabla 4-11 con los valores del diámetro en función del

factor de seguridad “N”.

Factor de

seguridad “N”

Diámetro mínimo

requerido “D” en [In]

1.00 1.840

1.25 1.983

1.50 2.107

1.75 2.218

2.00 2.319

2.25 2.412

2.50 2.498 Tabla 4-11 Diámetros mínimos requeridos



97

Dimensiones de los diámetros de la flecha

Tomando un factor de seguridad de 2.5 para elementos de maquina bajo carga

dinámica, tenemos un diámetro mínimo de 2.498 In.

Al dimensionar cualquier elemento de maquina, es recomendable elegir dimensiones

estándar, las cuales disminuirán los costos de manufactura de manera significativa. En el

anexo 03 se muestran los valores preferidos.

Para el caso de la flecha, el valor ideal en el punto “C”, seria:

𝐷𝐶 = 2.5 𝐼𝑛 = 21

2 𝐼𝑛

Diseño por rigidez

El diseño por rigidez permite comprobar si la flecha no fallara por flexión o por torsión, es

por ello que existen dos tipos de diseño por rigidez que son:

1. Deflexión por flexión

2. Deflexión por torsión

Deflexión por flexión

En la fig. 4-21 se muestra de manera esquemática como se flexionaría la flecha en caso

de que no soportara la flexión.

La ecuación (25) muestra la forma de obtener la flexión máxima en el punto de la flecha

crítico, es decir en el punto “C”:

𝑦𝑚𝑎𝑥 = −𝑃𝑇 ∙ 𝐿

3

48 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼− − − 25

Donde:

PT= Carga total aplicada en el punto critico de la flecha [Lb]

L= LF= Longitud total de la flecha [In]

E= Modulo de elasticidad [psi]

I= Momento de inercia [In4]



98

Fig. 4-21 Deflexión por flexión

𝑃𝑇 = 𝑃2 + 𝐹𝑟2

12 − −− (26)

Sustituyendo los valores de “P” y “Fr” en la ecuación (26) para obtener la carga total en

la flecha.

𝑃𝑇 = 5250 2 + 822 2 1

2 = 5313.961 𝐿𝑏

𝑃𝑇 ≈ 5315 𝐿𝑏

Para el momento de inercia “I”, puesto que la sección transversal de la flecha es circular

podemos escribir la siguiente ecuación.

𝐼 =𝜋 ∙ 𝐷4

64− − − (27)

En la ecuación (27) la variable “D” se refiere a la que ya se estableció con las dimensiones

normalizadas; es decir 2.5 In. Por lo tanto.

𝐼 =𝜋 2.5 4

64= 1.918 𝐼𝑛4

Sustituyendo los valores en la ecuación (25), teniendo en cuenta que el modulo de

elasticidad del acero “E” es igual a 30 x 106 psi, podemos calcular el valor máximo de

deflexión ocasionado por flexión que la flecha puede soportar. El signo negativo indica

que la concavidad de la curva de flexión es hacia abajo, es decir, en dirección “Y”

negativa.

𝑦𝑚𝑎𝑥 = −5315 12.5 3

48 30 × 106 1.918 = −3.759 × 10−3 𝐼𝑛

𝑦𝑚𝑎𝑥 ≈ −3.760 × 10−3 𝐼𝑛

Para comprobar que nuestra flecha no excede el valor máximo de deflexión por flexión,

tomaremos los siguientes valores empíricos para elementos de maquina con precisión que

se muestran en la ecuación (28).



99

𝑦𝑝𝑒𝑟 = 0.00001 𝑎 0.0005 𝐼𝑛

𝐼𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑕𝑎− − − (28)

La ecuación (28) indica que tendremos dos posibles valores, uno máximo y uno mínimo,

que delimitaran la deflexión por flexión de la flecha.

𝑦𝑝𝑒𝑟1 = 0.00001 12.5 = 0.125 × 10−3𝐼𝑛

𝑦𝑝𝑒𝑟 2 = 0.0005 12.5 = 6.25 × 10−3𝐼𝑛

Para todo caso y como regla para asegurar el diseño, presentamos a continuación la

ecuación (29) que determinara si la flecha cumple por deflexión flexionante.

𝑦𝑝𝑒𝑟 1 ≤ 𝑦𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑦𝑝𝑒𝑟 2 − − − (29)

Comparando los valores obtenidos anteriormente en la ecuación (28) tenemos que:

0.125 × 10−3 < 3.760 × 10−3 < 6.250 × 10−3

Esto indica que el diseño por rigidez provocado por la flexión se encuentra dentro de los

parámetros aceptables.

Deflexión por torsión

En la figura 4-22 se muestra la distribución del par torsor a lo largo de la flecha, es

importante saber de que forma se transmite el momento torsionante puesto que sabremos

en que forma fallara la flecha en caso de torsión excesiva.

Fig. 4-22 Distribución del par torsor

TE

Ts Distribución de esfuerzos



100

Donde:

TE= Torque de entrada

TS= Torque de salida

La ecuación (30) nos ayudara a determinar el ángulo de torsión en una flecha o eje.

𝜃 =𝑇 ∙ 𝐿

𝐺 ∙ 𝐽− − − (30)

Donde:

Θ= Angulo de torsión [rad]

T= Momento torsionante

G= Modulo de elasticidad en cortante

J= Momento polar de inercia

Para nuestro caso, el torque que entra en la flecha es el mismo que saldrá en un punto

especifico, por lo tanto tendremos la siguiente convención.

𝑇𝐸 = 𝑇𝑆 = 𝑇 = 4110 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Como se observa en la figura 4-22 el torque solo se transmite del punto “B” al punto “C”, lo

cual implica solo analizar ese tramo de la flecha.

𝐿 = 𝐿𝐵𝐶 =𝐿𝐹2

= 𝑎 = 6.25 𝐼𝑛

Para el momento polar de inercia “J” la ecuación (31) indica de qué forma se obtiene.

𝐽 =𝜋 ∙ 𝐷4

32= 2 ∙ 𝐼 − − − (31)

𝐽 = 2 1.918 = 3.836 𝐼𝑛4

Sustituyendo los valores en la ecuación (30) y teniendo en cuenta que el modulo de

elasticidad en cortante para el acero “G” es igual a 11.5 x 106 psi tenemos que:

𝜃𝐵𝐶 =4110 6.25

11.5 × 106 3.836 = 5.823 × 10−4𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐵𝐶 = 5.823 × 10−4𝑟𝑎𝑑 180°

𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐵𝐶 = 0.033°

El valor obtenido de la ecuación (30) nos indica la máxima torsión permisible en la flecha,

para comprobar que nos encontramos dentro de los límites de torsión, tomaremos los



101

siguientes valores empíricos permisibles en base a la ecuación (32), para partes de

maquinaria en general.

𝜃𝑝𝑒𝑟 = 0.001° 𝑎 0.01°𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

𝐼𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑− − − (32)


que delimitaran la deflexión por torsión de la flecha.

𝜃𝑝𝑒𝑟 1 = 0.001° 6.25 = 6.25 × 10−3 𝐼𝑛

𝜃𝑝𝑒𝑟 2 = 0.01° 6.25 = 0.0625 𝐼𝑛

Para todo caso y como regla para asegurar el diseño, presentamos a continuación la

ecuación (33) que determinara si la flecha cumple por deflexión torsionante.

𝜃𝑝𝑒𝑟 1 ≤ 𝜃𝐵𝐶 ≤ 𝜃𝑝𝑒𝑟 2 −− − (33)


6.25° × 10−3 < 0.033° < 0.0625°

Esto indica que el diseño por rigidez provocado por la torsión se encuentra dentro de los


Hasta este momento el desarrollo del diseño ha cumplido pero, recordemos que esto ha

nacido de teorías y supuestos.

En el siguiente tema “selección de rodamientos” verificaremos nuevamente algunos de

los puntos hechos en este tema, con el fin de determinar por completo la longitud de la

flecha y las dimensiones correspondientes a la misma.

4.4.- Selección de cojinetes

Los cojinetes son elementos de maquina que proporcionan soporte a la flecha o eje,

permiten el movimiento rotatorio suave y sin exceso de fricción.

En este tema seleccionaremos los cojinetes que mejor cumplan y satisfagan las

necesidades de la maquina, con el fin de brindar una mayor vida útil.

En la figura 4-23 se presenta la nomenclatura de un cojinete, la cual muestra de manera

general las partes principales de un cojinete.



102

Fig. 4-23 Nomenclatura de los cojinetes


Funciones

Reducir las perdidas de potencia ocasionadas por la fricción.

Soportar y ubicar a la flecha de forma segura.

Permitir el movimiento relativo entre dos elementos de maquina flecha y cojinete.

Parámetros

Seleccionar el cojinete en base a la serie estándar (100, 200, 300 o 400)

Utilizar un material de AISI 52100

La duración de diseño en horas para maquinas industriales en general es de 20,000

a 30,000 hr.

El diámetro mínimo en la pista interior debe tener como mínimo 1 pulgada.



103

4.4.2.- Secuencia de diseño para los cojinetes

h) Calcular la carga de diseño “Pd” en el cojinete.

i) Selección tentativa del tipo de cojinete en base a la figura 4-24.

j) Seleccionar el tipo de soporte y verificar la compatibilidad con los cojinetes

seleccionados.

k) Obtener la duración de diseño “Ld” en horas.

l) Calcular la capacidad requerida “Cr” y comparar con la capacidad real “C”

m) Realizar la selección final.

n) Modificar la flecha en base a las nuevas dimensiones de longitud.

Carga de diseño “Pd”

A continuación se presenta la ecuación (34), que determina el valor de la carga de

diseño.

𝑃𝑑 = 𝑉 ∙ 𝑋 ∙ 𝑅 + 𝑌 ∙ 𝑇 − − − 34

Donde:

Pd= Carga de diseño [Lb]

V= Factor por rotación

X= Factor radial

Y= Factor de empuje

T= Carga de empuje aplicada [Lb]

R= Carga radial aplicada [Lb]

NOTA: Puesto que para nuestro diseño no existe alguna fuerza axial, es lógico pensar que

no existirá un factor de empuje “Y”, (lo cual indica que “x” puede tener un valor

equivalente a la unidad), ni tampoco carga de empuje aplicada “T”, por lo tanto la

ecuación (34) se reduce a:

𝑃𝑑 = 𝑉 ∙ 𝑋 ∙ 𝑅

En donde V=1, ya que solo girara la pista interior del cojinete, el factor radial “x”, lo

dejaremos por el momento hasta haber seleccionado el tipo de cojinete y la carga radial

aplicada “R” esta dada por la ecuación (35) que a continuación se muestra.

𝑅 = 𝐹𝑟12 + 𝐹𝑟2

2 1

2 − − − (35)



104

Donde

Fr= Carga radial [Lb]

Fr1= AY= 2625 Lb

Fr2= AZ= 411 Lb

Sustituyendo los valores en la ecuación (35).

𝑅 = 26252 + 4112 1

2 = 2656.981 𝐿𝑏

𝑅 ≈ 2660 𝐿𝑏

Por lo tanto la carga de diseño será:

𝑃𝑑 = 2660 𝐿𝑏

Tipo de cojinete

Para poder seleccionar un tipo de cojinete cuando no se tiene experiencia suficiente, o

simplemente para asegurar la selección, se recurre a las graficas de los fabricantes.

En este caso nos auxiliamos de la figura 4-24, en donde, una vez conocida la carga radial

aplicada y la velocidad de operación, simplemente se proyecta horizontalmente y

verticalmente líneas hasta que se intercepten. El punto en donde se intercepten (punto

de operación), quedara dentro de las tres zonas que contienen el tipo de cojinetes de

rodadura empleados en la industria (ver fig.4-24).

Fig. 4-24 Guía para la selección de cojinetes de bolas o de rodillos



105

Como puede observarse en la figura 4-24, el punto de operación se encuentra en la zona

de cojinetes del tipo de bolas y de rodillos; esto quiere decir que nuestro diseño permite el

uso de cualquiera de estos dos tipos de cojinetes.

A continuación presentamos la tabla 4-12, que nos permite incrementar más nuestro

criterio a la hora de la selección.

Tipo de

Cojinete

Característica

Bolas

Aptos para velocidades altas

Cargas más ligeras

Menos costosos

Tienen contacto puntual

Rodillos

Aptos para velocidades bajas

Cargas más elevadas

Mas costosos

Tienen contacto lineal Tabla 4-12 Características de los cojinetes

Tipo de soporte

Para poder seleccionar un tipo de soporte, es necesario primero, elegir una marca de

fabricantes de cojinetes. En nuestro caso elegimos la marca “SKF”, la cual nos

proporcionara los datos técnicos del soporte y de los cojinetes.

La secuencia para la selección del tipo de soporte y de los cojinetes se describe en 6

pasos simples.

1. Cambiar las unidades del diámetro mínimo crítico de la flecha a milímetros.

2. Realizar una entalla para deducir el diámetro aproximado para montar los

cojinetes.

3. Seleccionar el soporte para cojinete, en base a los diámetros de montaje y al

catalogo de soportes.

4. Verificar la compatibilidad del soporte con los posibles modelos de cojinetes

existentes en el catalogo.

5. Obtener los datos técnicos de los cojinetes.

Conversión de unidades

𝐷 = 2.5 𝐼𝑛 24.5 𝑚𝑚

1 𝐼𝑛 = 63.5 𝑚𝑚

Entalla y diámetros para montar cojinetes.

La entalla no es otra cosa más que un empalme realizado alrededor de la periferia de la

sección transversal de la flecha y/o eje, la cual crea un escalonamiento longitudinal en

dicha flecha. En la práctica de diseño, frecuentemente se elige un radio de 1/8¨, típico



106

para realizar el empalme. A continuación se presenta la figura 4-25 como un esquema

ilustrativo de las dimensiones para nuestra flecha.

Fig. 4-25 Esquema de dimensiones para la flecha

Para los diámetros “DA” y “DB”, que son los diámetros para el montaje de los cojinetes, se

calculan con la ecuación (36).

𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶 − 2𝑅 − − − (36)

Sustituyendo los valores en la ecuación (36), y realizando la conversión de unidades a

milímetros, obtendremos un valor tentativo para los diámetros internos de los cojinetes.

𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 = 2.5 − 2(0.125) = 2.25 𝐼𝑛𝑚

𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 = 2.25 𝐼𝑛 25.4 𝑚𝑚

1 𝐼𝑛 = 57.15 𝑚𝑚𝑚

Selección de soporte para cojinete

El soporte para los cojinetes se elije en base al los diámetros obtenidos en la flecha para

el montaje de dichos cojinetes, teniendo en cuenta que a la hora de realizar el montaje

de los cojinetes, tiene que existir un ajuste con interferencia para asegurar el movimiento

relativo entre flecha y cojinete.

En nuestro caso hemos elegido un soporte con un diámetro de acoplamiento “da” igual a

55 mm.

Compatibilidad de soporte con cojinetes

Para un 𝑑𝑎 = 55 𝑚𝑚, los modelos compatibles son

1212 EK (Bolas)

2212 EK (Bolas)

22212 EK (Rodillos)



107

Datos técnicos de los cojinetes

En la tabla 4-13 presentamos los datos técnicos de cada modelo de cojinete, para mayor

información checar el anexo 04, en el cual se muestran algunos otros datos técnicos que

proporciona el fabricante.

Modelo d1 (mm) C (N) e Y1 Y2

1212 EK 55 31200 0.19 3.3 5.1

2212 EK 55 48800 0.24 2.6 4.1

22212 Ek 55 140000 0.24 2.8 4.2 Tabla 4-13 Datos técnicos de los cojinetes compatibles

Duración de diseño “Ld”

La duración de diseño es un parámetro de vida útil que tendrá el cojinete al estar en

funcionamiento, existen varias formulas relativas a dicho termino, pero la ecuación (37) es

la más usada en la industria, a continuación se presenta.

𝐿𝑑 = 𝐿𝑕 ∙ 𝑛 ∙ 60 − −− (37)

Donde

Ld= Duración de diseño [mdr]

Lh= Duración nominal de diseño [hr]

n = Velocidad angular [rpm]

La duración nominal es aquella que los fabricantes plantean en base a la aplicación a la

cual estén destinados los cojinetes. Para tener una idea de cómo elegir la duración

nominal, presentamos, en seguida, la tabla 4-14.

Aplicación

Duración

nominal de

diseño Lh (hr)

Electrodomésticos 1000 – 2000

Motores de aviación 1000 – 4000

Automotores 1500 - 5000

Equipo agrícola 3000 – 6000

Elevadores, ventiladores industriales, transmisiones de usos múltiples 8000 – 15000

Motores eléctricos, sopladores industriales, máquinas industriales en

general 20000 – 30000

Bombas y compresores 40000 – 60000

Equipo critico en funcionamiento las 24 hr. 100000 – 200000 Tabla 4-14 Duración nominal en base a la aplicación



108

El tipo de maquina que estamos diseñando se encuent5ra dentro de la aplicación para

maquinaría industrial en general, por lo cual los valores para sustituir en la ecuación (37)

son:

Lh= 20000 a 30000 hr (Maquinaria industrial en general)

Lh= 25000 hr (propuesta)

n= 23 rpm (Velocidad de la flecha)

El valor calculado de la duración de diseño es:

𝐿𝑑 = 25000 23 60 = 34.5 × 106 𝑟𝑒𝑣

𝐿𝑑 = 34.5 𝑚𝑑𝑟

Capacidad de carga dinámica requerida “Cr”

La capacidad de carga dinámica requerida no es otra cosa más que la carga con la

cual operan los rodamientos para alcanzar una vida o duración nominal de un millón de

revoluciones (1 mdr).

Existe una ecuación que involucra la carga y la duración, esta ecuación (38) es la base

para obtener la carga o la vida útil que los fabricantes plasman en sus catálogos.

𝐿2

𝐿1

= 𝑃1

𝑃2

𝑘

− − − (38)

Donde

L2=Ld

L1=L10= Duración nominal (1mdr)

P1=Cr= Capacidad de carga dinámica requerida [N]

P2=Pd= Carga de diseño [N]

k= 3 (Bolas)

k= 10/3 (Rodillos) coeficiente de rodamiento

Si despejamos a “P1” de la ecuación (38), y modificamos las variables anteriormente

establecidas, podremos calcular la capacidad de carga dinámica requerida, que se

presenta como la ecuación (39).

𝐿2

𝐿1

1𝑘

=𝑃1

𝑃2

𝑃1 = 𝑃2 𝐿2

𝐿1

1𝑘



109

𝐶𝑟 = 𝑃𝑑 𝐿𝑑𝐿10

1𝑘

− −− (39)

La ecuación (39) nos permitirá determinar la capacidad de carga dinámica de los

rodamientos de bolas y de rodillos, en cada modelo seleccionado anteriormente. Para

efecto de cálculos.

Pd= 2660 Lb

Ld= 34.5 x 106 rev

L10= 106 rev

Cojinete de bolas

Para los cojinetes de bolas, la capacidad dinámica requerida se obtiene con la ecuación

(39), utilizando el factor k =3 y los valores numéricos antes mostrados, por lo tanto, para

nuestro análisis comparativo tendremos.

𝐶𝑟 = 2660 34.5 × 106

106

13

= 8659.404 𝐿𝑏

𝐶𝑟 = 8659.404 𝐿𝑏 4.448 𝑁

1 𝐿𝑏 = 38517.029 𝑁

𝐶𝑟 ≈ 38520 𝑁

Cojinete de rodillos

Para los cojinetes de rodillos, la capacidad dinámica requerida se obtiene de la misma

forma que para los cojinetes de bolas pero con el factor k = 10/3, por lo tanto, para

nuestro análisis comparativo tendremos.

𝐶𝑟 = 2660 34.5 × 106

106

310

= 7695.332 𝐿𝑏

𝐶𝑟 = 7695.332 𝐿𝑏 4.448 𝑁

1 𝐿𝑏 = 34228.837 𝑁

𝐶𝑟 ≈ 34230 𝑁

Análisis comparativo

El análisis comparativo lo enfocamos a la capacidad de carga dinámica, tanto la

requerida “Cr” como la real del catalogo “C”.



110

Para todo caso la ecuación (40) debe de cumplirse.

𝐶𝑟 ≤ 𝐶 −− − (40)

Rodamientos de bolas

Se presenta a continuación la tabla 4-15, que es una tabla comparativa entre

capacidades dinámicas de los rodamientos.

Modelo Cr (N) C (N) Cr ≤ C

1212 EK 38520 31200 Cr > C (Satisfactorio)

2212 Ek 38520 48800 Cr < C (No satisfactorio) Tabla 4-15 Tabla comparativa de cojinetes de bola

Rodamientos de rodillos

El procedimiento para aprobar o descartar los rodamientos, es idéntico al mostrado en la

tabla 4-15, para el caso de rodamientos de rodillos, presentamos la tabla 4-16.

Modelo Cr (N) C (N) Cr ≤ C

22212 EK 34230 140000 Cr > C (Satisfactorio) Tabla 4-16 Tabla comparativa de cojinetes de rodillos

Selección final de cojinetes

Puesto que dos de los cojinetes cumplen satisfactoriamente con las necesidades, tenemos

la opción de seleccionar cualquiera, ya sea de bolas o de rodillos. Esto forma parte de las

decisiones que el diseñador tiene que tomar, teniendo en cuenta los costos, el montaje, el

mantenimiento, pero sobre todo la capacidad de carga.

En seguida mostramos la tabla 4-17, que indica los datos técnicos de la selección final de

cojinetes.



111

Tipo de soporte de brida Extremo de

flecha Flecha pasante

Designaciones 722512 DA 722512 DB

Rodamientos 2212 EK 2212 EK

Manguito de fijación H 312 H 312

Anillo de fijación y arandela espaciadora IZW 90 X 100

Tira de fieltro FS 260 FS 260

Tornillo de tapa M6 X 18

Diámetro interno de cojinete “da” 55 mm 55 mm

Dimensiones importantes (soportes):

AA

AB

Ba

Bb

D1

77 mm

23 mm

19 mm

142 mm

82 mm

23 mm

18 mm

142 mm

Dimensiones importantes (cojinetes):

d1

D

B

B1

B2

55 mm

110 mm

28 mm

47 mm

12.5 mm

55 mm

110 mm

28 mm

47 mm

12.5 mm

Tabla 4-17 Datos técnicos de selección de cojinete

Modificación de la flecha

En base a los datos técnicos proporcionados en el catálogo de fabricantes (SKF),

podemos delimitar las dimensiones longitudinales de la flecha y los diámetros de montaje

en la flecha (ver figura 4-25).

Fig. 4-25 Esquema de dimensiones para la flecha (Repetida) Las longitudes

Longitud inicial “L1”

𝐿1 = 𝐵𝑎 + 𝐵 + 𝐵2 + 𝑎 − − − (41)



112

La ecuación (41) nos proporciona la longitud inicial de la flecha, en donde el término “a”

es una constante para dar cavidad al bastidor y al soporte de brida, su valor es de 1/2

pulgada = 12.7 mm.

Los valores para evaluar la ecuación (41) son los que a continuación se muestran.

Ba= 23 mm

B= 28 mm

B2= 12.5 mm

a= 1/2 In = 12.7 mm

Sustituyendo en la ecuación (41)

𝐿1 = 23 + 28 + 12.5 + 12.7 = 76.2 𝑚𝑚

𝐿1 = 76.2 𝑚𝑚 1 𝐼𝑛

25.4 𝑚𝑚 = 3 𝐼𝑛

𝐿1 = 3 𝐼𝑛

Dentro de esta longitud se practica el “chaflan” característico en las flechas, el cual tiene

un valor típico de 1/8 in

Segunda longitud “L2”

𝐿2 = 𝐴𝑅𝐻 + 𝑎´ − −− (42)

El termino “ARH” se refiere al ancho de la herramienta de doblado (rodillo hembra), el cual

corresponde al la primer etapa de los pasos de doblado del material ya que es el más

ancho de todos, y “a´” que es otra constante definida con un valor de 1pulgada, ahora

es usada como una extensión de la flecha para poder realizar el cuñero.

Para nuestro diseño:

ARH= 10.5 In

Por lo tanto al evaluar la ecuación (42) tenemos:

𝐿2 = 10.5 + 1 = 11.5 𝐼𝑛

Tercer longitud “L3”

𝐿3 = 𝐴𝐵 + 𝑎 − − − (43)

Al igual que en la ecuación (41), la constante “a” es la misma. Los valores para nuestro

caso son los siguientes.



113

AB= 82 mm

a= 1/2 In = 12.7 mm

Sustituyendo los valores en la ecuación (43), encontramos el valor de la tercera longitud

de la flecha.

𝐿3 = 82 + 12.7 = 94.7 𝑚𝑚

𝐿3 = 94.7 𝑚𝑚 1 𝐼𝑛

25.4 𝑚𝑚 = 3.728 𝐼𝑛

𝐿3 ≈ 3.75 𝐼𝑛

Cuarta longitud “L4”

𝐿4 = 2.5 𝐼𝑛 (𝑇𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)

NOTA: La cuarta longitud es un valor tentativo, el cual se verificará una vez que se realice

el análisis de transmisión de potencia.

Longitud total de la flecha “LTF”

La longitud total de la flecha esta dada por la suma de las longitudes que se calcularon

con anterioridad, la ecuación (44) muestra como se evalúa.

𝐿𝑇𝐹 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 − −− 44

Modificación de la flecha

Para llevar una secuencia lógica y congruente, tomaremos como base los pasos

señalados en la “secuencia de diseño para la flecha”, mostrada en el tema 4.3.2,

eliminando los incisos a y c, con el fin de verificar el diámetro mínimo bajo código ASME.

Es importante remarcar que, hasta este momento en nuestro análisis de la flecha, no

hemos considerando la cuarta longitud “L4”, ya que no contamos con el tipo de elemento

para transmitir potencia, por lo cual, para la modificación de la flecha, tomaremos la

distancia de centro a centro de cojinetes, que se plasma en la ecuación (45).

𝐶𝑅 = 2 ∙ 𝑎 − − − 45

Donde

a= Distancia media del segmento de flecha [In]



114

Diagrama de cuerpo libre

Recordando, el diagrama de cuerpo libre es una herramienta dentro de la ingeniería que

nos ayuda a visualizar las cargas que actúan en un cuerpo rígido, de una manera fácil y

simple.

A continuación presentamos, en la figura 4-26, el diagrama de cuerpo libre en el cual se

muestran las cargas, reacciones y acotaciones necesarias para modificar la flecha.

Fig. 4-26 Diagrama de cuerpo libre para modificar la flecha

Longitud de la flecha (Distancia de centro a centro de cojinetes)

Recordando la ecuación (45), para efectos de cálculos, la distancia media del segmento

de flecha “a” se calcula con la ecuación (46).

𝑎 =𝐿2

2+ 𝐵𝑎 +

𝐵

2+ 𝑎 − − − (46)

Los valores que presenta la ecuación (46) son tomados del catalogo de fabricantes, salvo

por la constante “a”, la cual fue definida con anterioridad por un valor igual a 1/2

pulgada (12.7 mm). Es importante no confundir el valor de las letras “a”, una es de la

longitud de la flecha y la otra es la constante ya definida.



115

Para nuestro diseño, los valores son.

L2= 11.5 In

Ba=23 mm = 0.91 In

B= 28 mm = 1.10 In

a = 1/2 In

Sustituyendo los valores en la ecuación (46) y posteriormente sustituyendo el valor de “a”

en la ecuación (45), obtendremos la longitud de la flecha para poder verificar si el diseño

es correcto.

𝑎 =11.5

2+ 0.91 +

1.10

2+ 0.5 = 7.71 𝐼𝑛

Aplicando la ecuación (45) obtenemos la distancia de centro a centro de cojinetes.

𝐶𝑅 = 2 7.71 = 15.42 𝐼𝑛

Con dichos valores podemos continuar con el proceso de verificación y corrección de la

flecha.

Diámetro mínimo bajo código ASME

La secuencia es idéntica a la que se presento con anterioridad en el tema 4.3.2 inciso “e”,

para evitar el trabajo repetitivo, eliminamos los puntos que no varían, como el 1, 2 y 5

1. Calculo de reacciones

2. Representación correcta del diagrama de cuerpo libre para la flecha

3. Calculo y representación de cortante y momento flexionante

4. Momento total

5. Material para la flecha

6. Aplicar ecuación del código ASME

Calculo y representación de cortante y momento flexionante

Plano X – Y (ver figura 4-19)

MZ max= Es el momento flexionante máximo con respecto al eje “Z”

𝑀𝑍𝑚𝑎𝑥

= 𝐴𝑌 ∙ 𝑎 = 𝐵𝑌 ∙ 𝑎


= 2635 7.71


= 20315.85 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Plano X - Z (ver figura 4-20)



116

Donde:

MY max= Es el momento flexionante máximo con respecto al eje “Y”


= 𝐴𝑍 ∙ 𝑎 = 𝐵𝑍 ∙ 𝑎


= −411 7.71


= −3168.81 𝐿𝑏. 𝐼𝑛


Repetiremos la tabla 4-8, la cual muestra los momentos máximos en los puntos A, B y C, así

como también, el torque a través de la flecha.

La ecuación para el momento total flexionante es:

𝑀𝑇 = 𝑀𝑍𝑚𝑎𝑥

2+ 𝑀𝑌𝑚𝑎𝑥

2

12

− −− (21)

𝑀𝑇 = 20315.85 2 + −3168.81 2 1

2 = 20561.496 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

𝑀𝑇 ≈ 20565𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Sustituyendo los valores de los momentos flexionantes máximos en “Z” e “Y” en la

ecuación (21) encontraremos el momento total.


𝑴𝑻 T

A 0 0 0 0

B 0 0 0 4110

C 20315.85 -3168.81 20565 4110 Tabla 4-8 Momento total flexionante y torque

Como puede observarse en la tabla 4-8, el punto critico en la flecha sigue siendo el “C”.


Aplicaremos la ecuación (22).

𝐷 = 32 ∙ 𝑁


𝑆′𝑛

2

+3

4 𝑇

𝑆𝑦

2

12

13

− − − 22

Donde:


kt= 2

MT= 20565 Psi



117

S`n= 54.3 Ksi

T= 4110 Psi

SY = 241 Ksi

Dejaremos la ecuación (22) en función de este factor de seguridad para después elegir el

valor más óptimo en base a los valores adecuados para maquinaria en general (2 hasta

2.5).


𝐷 = 32 ∙ 𝑁

𝜋

2(20.565)

54.3

2

+3

4

4.11

241

2

12

13

Simplificando

𝐷 = 7.717 ∙ 𝑁 1

3



Factor de

seguridad “N”

Diámetro mínimo


1.00 1.976

1.25 2.129

1.50 2.262

1.75 2.381

2.00 2.490

2.25 2.589


Dimensiones de los diámetros de la flecha

Tomaremos un factor de seguridad de 2 para conservar las dimensiones de las

herramientas de doblado, esto no afecta en gran medida, puesto que se encuentra

dentro de los valores para maquinaria en general.

Para el caso de la flecha, el valor ideal en el punto “C”, sigue siendo:

𝐷𝐶 = 2.5 𝐼𝑛 = 21

2 𝐼𝑛

Diseño por rigidez

El diseño por rigidez permite comprobar si la flecha no fallara por flexión o por torsión.



118


En la fig. 4-21 se mostró, de manera esquemática, como se flexionaría la flecha en caso

de que no soportara la flexión.

Utilizaremos la ecuación (25) para determinar la deflexión.

𝑦𝑚𝑎𝑥 = −𝑃𝑇 ∙ 𝐿

3

48 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼− − − 25

Donde:

PT= 5315 Ib

L= CR= 15.42 In

E= 30 x 106 Psi

I= 1.918 In4

Fig. 4-21(Repetida) Deflexión por flexión

Sustituyendo los valores en la ecuación (25), podemos calcular el valor máximo de

deflexión ocasionado por flexión que la flecha puede soportar. El signo negativo indica

que la concavidad de la curva de flexión es hacia abajo, es decir, en dirección “Y”

negativa.

𝑦𝑚𝑎𝑥 = −5315 15.42 3

48 30 × 106 1.918 = −7.056 × 10−3 𝐼𝑛

𝑦𝑚𝑎𝑥 ≈ −7.1 × 10−3 𝐼𝑛

Para comprobar que nuestra flecha no excede el valor máximo de deflexión por flexión,

tomaremos los siguientes valores empíricos para elementos de maquina con precisión.

𝑦𝑝𝑒𝑟 = 0.00001 𝑎 0.0005 𝐼𝑛




119


que delimitaran la deflexión por flexión de la flecha.

𝑦𝑝𝑒𝑟 1 = 0.00001 15.42 = 0.1542 × 10−3𝐼𝑛

𝑦𝑝𝑒𝑟 2 = 0.0005 15.42 = 7.71 × 10−3𝐼𝑛

Para todo caso y como regla para asegurar el diseño, aplicamos la ecuación (29) que

determinara si la flecha cumple por deflexión flexionante.

𝑦𝑝𝑒𝑟 1 ≤ 𝑦𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑦𝑝𝑒𝑟 2 − − − (29)


0.1542 × 10−3 < 7.1 × 10−3 < 7.71 × 10−3




En la figura 4-22 se muestra la distribución del par torsor a lo largo de la flecha.

Fig. 4-22 Distribución del par torsor (Repetida)

Donde:



TE




120

Aplicando la ecuación (30) para calcular el ángulo de torsión máximo en la flecha y

verificar los valores.

𝜃 =𝑇 ∙ 𝐿

𝐺 ∙ 𝐽− − − (30)

Donde:

θ= Angulo de torsión [rad]

T= 4110 Psi

G= 11.5 x106 Psi

J= 3.836 In4



𝑇𝐸 = 𝑇𝑆 = 𝑇 = 4110 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Como se observa en la figura 4-22 el torque solo se transmite del punto “B” al punto “C”, lo


𝐿 = 𝐿𝐵𝐶 =𝐶𝑅2

= 𝑎 = 7.71 𝐼𝑛

Sustituyendo los valores en la ecuación (30) tenemos que:

𝜃𝐵𝐶 =4110 7.71

11.5 × 106 3.836 = 5.823 × 10−4𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐵𝐶 = 7.183 × 10−4𝑟𝑎𝑑 180°

𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐵𝐶 = 0.041°








que delimitaran la deflexión por torsion de la flecha.

𝜃𝑝𝑒𝑟 1 = 0.001° 7.71 = 7.71° × 10−3



121

𝜃𝑝𝑒𝑟 2 = 0.01° 7.71 = 0.0771°


determinara si la flecha cumple por deflexión torsionante.

𝜃𝑝𝑒𝑟 1 ≤ 𝜃𝐵𝐶 ≤ 𝜃𝑝𝑒𝑟 2 −− − (32)


7.71° × 10−3 < 0.041° < 0.0771°



4.5.- Selección y diseño de transmisión de potencia

Para comprender mejor este tema, se presenta a continuación una explicación

generalizada de los tipos de transmisiones existentes en el mercado, con el fin de tener

una idea y sobretodo un buen criterio a la hora de seleccionar alguno de estos tipos de

elementos para transmitir potencia.

4.5.1.- Tipos de Elementos Para Transmitir Potencia

Existen varios elementos de maquina que pueden trasmitir potencia, pero los más

elementales son tres tipos:

Engranes

Poleas

Catarinas

Cada elemento cuenta con características propias que los distingue uno de otros y de

cierta manera, cumplen alaguna función especifica. En seguida, se listan las

características de cada uno de estos elementos.

4.5.2.- Selección del Tipo de Transmisión

Tipos de elementos para transmitir potencia.

Engranes.

Poleas.

Catarinas



122

Características.

Engranes.

1. Especiales para diseños que requieren ahorro de espacio.

2. Larga y eficiente vida útil.

3. Disposición del eje en distintas direcciones con respecto a otro.

4. Relaciones de reducción elevadas.

5. Costo de manufactura alto.

Poleas.

1. Para velocidades de rotación relativamente altas.

2. Trabajo silencioso.

3. Especiales para relaciones de reducción medianas.

4. Especiales para diseño de transmisiones largas.

5. Costo moderado de elementos y montaje.

Catarinas.

1. Para condiciones de velocidad baja y gran par de torsión.

2. Resistentes a grandes fuerzas.

3. Costo moderado.

4. Instalación y mantenimiento sencillo.

5. Aptas para condiciones ambientales severas.

Selección

Para nuestro caso, el diseño y las necesidades demandan un ahorro de espacio y una

gran relación de reducción por lo cual nuestra mejor opción de elemento para transmitir

potencia son los engranes.

Tipos.

Dentro de los engranes existe una variedad de tipos entre los cuales tenemos:

Rectos.

Helicoidales.

Cónicos.

Conjunto de tornillos sin fin y corona.

Nuestra mejor opción son los engranes de tipo recto ya que su maquinado es mas

sencillo en comparación con los otros tipos además de ser mas baratos.



123


Funciones

Transmitir una potencia del moto - reductor al eje del motor.

Reducir velocidad angular y aumentar el par.

Parámetros de Diseño

La distancia entre centros para as ruedas motrices debe ser 𝐶 = 10.135 𝑖𝑛.

El ángulo de presión 𝜑 = 20°.

El número de dientes para el piñón debe ser mayor o igual a 18 𝑁𝑝 ≥ 18 para evitar

interferencia.

La potencia de salida en el moto – reductor, debe ser de 3 HP.

Las condiciones de trabajo son catalogadas de simples a moderadas.

La velocidad de salida en el eje motor debe de estar en el rango de 60 rpm a 70

rpm.

El costo debe ser moderado.

4.5.4.- Secuencia de Diseño para la Transmisión de Potencia

1. Cinemática

a) Seleccionar un moto – reductor de algún fabricante.

b) Arreglo de la transmisión.

c) Calculo de las propiedades cinéticas y geométricas del piñón y la rueda.

d) Secuencia de dibujo para los dientes del piñón y rueda (planos).

2. Cinética

a) Diseño por resistencia (Ecuación de Lewis)



124

b) Diseño por desgaste (Ecuación de Bukinham)

Selección del moto – reductor

Para elegir un moto - reductor del catalogo del fabricante, es necesario proponer un diámetro para el piñón con el fin de obtener una velocidad angular “𝑛𝑝", así como definir

el paso diametral “Pd” interactuando de la siguiente manera y con las formulas que a

continuación se muestran.

Para el paso diametral “Pd” la ecuación (47) muestra como se obtiene.

𝑃𝑑 = 𝑁𝐺 𝐷𝐺

= 𝑁𝑝

𝐷𝑝− − − (47)

De la ecuación (12) despejando la velocidad angular (para el Piñón) tenemos:

𝑛𝑝 = 60 ∙ 𝑣

π ∙ 𝐷𝑝

La secuencia es la que a continuación se presenta:

1. Mantener un número de dientes 𝑁𝑝 ≥ 18, basado en los parámetros de diseño.

2. Probar con cada uno de los pasos diametrales normalizados para calcular el

diámetro del piñón 𝐷𝑝 .

3. Calcular 𝑛𝑝 en base a 𝐷𝑝 .

4. Aproximar 𝑛𝑝 a los existentes en el catalogo del proveedor.

5. Con dicha velocidad angular 𝑛𝑝 , re calcular el 𝐷𝑝 y normalizarlo.

6. Verificar que el número de dientes 𝑁𝑝 se encuentra dentro de lo que se plantea

en los parámetros de diseño manteniendo el 𝑃𝑑 de la secuencia 2. y el

𝐷𝑝 calculado.

7. Si el numero de dientes se encuentra dentro del parámetro, la selección es

aceptable, de lo contrario repetir la secuencia con un nuevo 𝑃𝑑 .



125

Primera iteración

𝑃𝑑 = 2, 𝑁𝑝 = 18.

𝐷𝑝 = 𝑁𝐺 𝐷𝐺

= 𝑁𝑝

𝐷𝑝

𝐷𝑝 = 𝑁𝑝

𝐷𝑝=

18

2= 9 𝑖𝑛

𝑛𝑝 = 60𝑣

π 𝐷𝑝=

60 12

9𝜋= 25.5 𝑟𝑝𝑚

Normalizando.

𝑛𝑝 = 31 𝑟𝑝𝑚

Re calculando 𝐷𝑝 en base a 𝑛𝑝 .

𝑛𝑝 = 60𝑣

π 𝑛𝑝=

60 12

31𝜋= 7.39 𝑟𝑝𝑚

Normalizando.

𝐷𝑝 = 7.5 𝑖𝑛

Numero de dientes 𝑁𝑝 .

𝑁𝑝 = 𝑃𝑑𝐷𝑝 = 2 7.5 = 15 𝑖𝑛

Segunda iteración

𝑃𝑑 =𝑁𝑝

𝐷𝑝=

18

7.5= 2.4

Normalizando.

𝑃𝑑 = 2.5

Diámetro del piñón en base a 𝑃𝑑 .

𝐷𝑝 =𝑁𝑝

𝑃𝑑=

18

2.5= 7.2 𝑖𝑛 = 7 𝑖𝑛



126

Velocidad angular 𝑛𝑝

𝑛𝑝 =60𝑣

𝜋𝐷𝑝=

60 12

7𝜋= 32.74 𝑟𝑝𝑚

Normalizando



𝐷𝑝 =60𝑣

𝜋𝑛𝑝=

60 12

37𝜋= 6.19 𝑖𝑛

Normalizando. 𝑛𝑝 = 6 𝑖𝑛


𝑁𝑝 = 𝑃𝑑𝐷𝑝 = 2.5 6 = 15

Tercera iteración

𝑃𝑑 =𝑁𝑝

𝐷𝑝=

18

6= 3 𝑖𝑛

𝐷𝑝 en base a 𝑃𝑑 .

𝐷𝑝 =𝑁𝑝

𝑃𝑑=

18

3= 6 𝑖𝑛

Velocidad angular 𝑛𝑝 .

𝑛𝑝 =60𝑣

𝜋𝐷𝑝=

60 12

6𝜋= 38.2 𝑟𝑝𝑚

Normalizando.



𝐷𝑝 =60𝑣

𝜋𝑛𝑝=

60 12

46𝜋= 4.98 𝑖𝑛



127

Normalizando.

𝐷𝑝 = 5 𝑖𝑛


𝑁𝑝 = 𝑃𝑑𝐷𝑝 = 3 5 = 15

Cuarta iteración

𝑃𝑑 =𝑁𝑝

𝐷𝑝=

18

5= 3.6 𝑖𝑛

Normalizando.

𝑃𝑑 = 4 𝑖𝑛


𝐷𝑝 =𝑁𝑝

𝑃𝑑=

18

4= 4.5 𝑖𝑛


𝑛𝑝 =60𝑣

𝜋𝐷𝑝=

60 12

4.5𝜋= 50.93 𝑟𝑝𝑚

Normalizando.



𝐷𝑝 =60𝑣

𝜋𝑛𝑝=

60 12

56𝜋= 4.09 𝑖𝑛

Normalizando.

𝐷𝑝 = 4 𝑖𝑛


𝑁𝑝 = 𝑃𝑑𝐷𝑝 = 4 4 = 16



128

Quinta iteración.

𝑃𝑑 =𝑁𝑝

𝐷𝑝=

18

4= 4.5 𝑖𝑛

Normalizando.



𝐷𝑝 =𝑁𝑝

𝑃𝑑=

18

5= 3.6 𝑖𝑛

Normalizando.

𝐷𝑝 = 3.75 𝑖𝑛


𝑛𝑝 =60𝑣

𝜋𝐷𝑝=

60 12

3.75𝜋= 61.11 𝑟𝑝𝑚

Normalizando.



𝐷𝑝 =60𝑣

𝜋𝑛𝑝=

60 12

71𝜋= 3.23 𝑖𝑛

Normalizando.

𝐷𝑝 = 3.25 𝑖𝑛


𝑁𝑝 = 𝑃𝑑𝐷𝑝 = 5 3.25 = 16.25

Sexta iteración.

𝑃𝑑 =𝑁𝑝

𝐷𝑝=

18

3.25= 5.54 𝑖𝑛



129

Normalizando.



𝐷𝑝 =𝑁𝑝

𝑃𝑑=

18

6= 3 𝑖𝑛


𝑛𝑝 =60𝑣

𝜋𝐷𝑝=

60 12

3𝜋= 76.39 𝑟𝑝𝑚

Normalizando.



𝐷𝑝 =60𝑣

𝜋𝑛𝑝=

60 12

86𝜋= 2.66 𝑖𝑛

Normalizando.

𝐷𝑝 = 2.75 𝑖𝑛


𝑁𝑝 = 𝑃𝑑𝐷𝑝 = 6 2.75 = 16.5

Séptima iteración

𝑃𝑑 =𝑁𝑝

𝐷𝑝=

18

2.75= 6.55 𝑖𝑛

Normalizando.



𝐷𝑝 =𝑁𝑝

𝑃𝑑=

18

8= 2.25 𝑖𝑛



130


𝑛𝑝 =60𝑣

𝜋𝐷𝑝=

60 12

2.25𝜋= 101.86 𝑟𝑝𝑚

Normalizando.



𝐷𝑝 =60𝑣

𝜋𝑛𝑝=

60 12

102𝜋= 2.25 𝑖𝑛


𝑁𝑝 = 𝑃𝑑𝐷𝑝 = 8 2.25 = 18

𝑃𝑑 =𝑁𝑝

𝐷𝑝=

18

2.25= 8 𝑖𝑛

Podemos de esta forma asegurar que el paso diametral 𝑃𝑑 es 8, y tentativamente decir

que el moto-reductor entregará una potencia de 3HP a una velocidad de 102 rpm y un

diámetro de salida de 38 mm.

Con los datos tentativos del moto reductor y en base a la experiencia de los fabricantes

de engranes, podemos definir el diámetro de paso del piñón tomando como referencia la

siguiente recomendación.

𝐷𝑝 = 1.625 ∙ 𝐷𝑚𝑟 − − − (48)

Donde:

Dmr= Diámetro del eje del moto-reductor

Por lo tanto:

𝐷𝑝 = 1.625 38 = 61.75 𝑚𝑚 1 𝐼𝑛

25.4 𝑚𝑚

𝐷𝑝 = 2.431 𝐼𝑛 ≈ 2.5 𝐼𝑛

Ahora tendremos que verificar que este diámetro alcanza a cubrir la velocidad del moto-

reductor, de lo contrario, habrá que seleccionar uno nuevo.



131


𝑁𝑝 = 𝑃𝑑𝐷𝑝 = 8 2.5 = 20

Velocidad angular 𝑛𝑝

𝑛𝑝 =60𝑣

𝜋𝐷𝑝=

60 12

2.5𝜋= 91.673 𝑟𝑝𝑚

Normalizando.


Como se puede apreciar, las revoluciones se encuentran dentro de las que el moto

reductor ofrece, por lo tanto, ahora podemos afirmar que el diámetro del piñón es de 2.5

In, y el paso diametral 𝑃𝑑es 8.

La selección final del moto-reductor se muestra en la tabla 4-18.

Marca TOR

Tipo UABM de 2 Trenes

Relación de reducción 16.83 : 1

Caja 246

Velocidad angular mínima (rpm) 102

Motor Armazón 182T

Número de polos 4

Código 0200-138A-MI

Par nominal (N.m) 206.8 N.m

Voltaje 440 V

Amperaje 4.3 A Tabla 4-18 Datos técnicos del moto reductor

Con estos datos, podemos definir la velocidad lineal real con la cual trabajara nuestra

máquina. En el anexo 05, se presentan las dimensiones de los moto-reductores, para fines

de diseño.

De la ecuación (12) tenemos lo siguiente.

𝑣 =𝜋 ∙ 𝐷𝑝 ∙ 𝑛𝑝

60=𝜋 2.5 (102)

60= 3.352

𝐼𝑛

𝑠

𝑣 = 3.352 𝐼𝑛

𝑠

1 𝑓𝑡

12 𝐼𝑛

60 𝑠

1 𝑚𝑖𝑛 = 66.76

𝑓𝑡

𝑚𝑖𝑛

𝑣 = 66.76 𝑓𝑡

𝑚𝑖𝑛≈ 67

𝑓𝑡

𝑚𝑖𝑛



132

𝑣 ≈ 67 𝑓𝑡

𝑚𝑖𝑛= 13.4

𝐼𝑛

𝑠

Arreglo de la Transmisión

Ahora que ya contamos con las características de diseño necesarias para bosquejar el

arreglo de la transmisión, podremos dibujarlas para posteriormente realizar el análisis

dinámico y el arreglo final de la flecha. Comenzaremos calculando el diámetro de la

rueda (Engrane motor), y posteriormente se mostrara el arreglo de la transmisión.

Para el diámetro de la rueda 𝐷𝐺 (ver figura 4-27) tenemos que por la geometría de los

rodillos la ecuación (49) calcula la distancia entre centros de los rodillos.

𝐶 =𝐷𝑅2

+𝐷𝑅2

+ 𝑡 = 𝐷𝑅 + 𝑡 − − − (49)

Fig. 4.27 Determinación del diámetro de la rueda

Dado que los engranes para transmisión en los rodillos se encuentran en contacto, el

diámetro de paso es igual a al distancia entre centros de los rodillos más el espesor de

lámina, que coincide con la distancia entre centros que se estableció en los parámetros

de diseño.

𝐷𝐺 = 𝐷𝑅 + 𝑡 = 10 + 0.135 = 10.135 = 𝐶

Por lo tanto:

Numero de dientes 𝑁𝐺 .

𝑁𝐺 = 𝑃𝑑𝐷𝐺 = 8 10.135 = 81.08



133

Normalizado

𝑁𝐺 = 81

Una vez contando con los diámetros de paso del piñón y de la rueda, procedemos a

realizar el arreglo del sistema de transmisión, ver figura 4-28.

Fig. 4-28 Arreglo de elementos de transmisión

Donde

C1= Distancia entre centros de engranes “E” y “G”

C2= Distancia entre centros de engranes “E” y “P”

Y1= Distancia de la mesa de trabajo al centro del engrane motriz (rueda)

Y2 = Distancia de la mesa de trabajo al centro del engrane motor (piñón)

Y3 = Distancia vertical de centro a centro de engranes “E” y “P”

DP = Diámetro de paso del piñón

DG = Diámetro de paso de la rueda “E” y “F”

nP = Velocidad angular del piñón en rpm

nE = nG = Velocidad angular de las ruedas “E” y “G” en rpm

α = Angulo de inclinación del piñón con respecto a la rueda



134

Posteriormente se evaluaran estas variables cuando se realice el diseño final de la flecha

de transmisión en el tema 4-6.

Cálculo de las propiedades cinéticas y geométricas del piñón y la rueda

Ya contamos con suficiente información para poder realizar los cálculos correspondientes

a la cinética y la geometría de los elementos de transmisión de potencia (Rueda y piñón

engrane), que a continuación se presentan.

Datos

𝑁𝐺 = 81

𝑁𝑃 = 20

𝐷𝐺 = 10.135 𝐼𝑛

𝐷𝑃 = 2.5 𝐼𝑛

𝑛𝑃 = 102 𝑟𝑝𝑚

𝑃𝑑 = 8

Velocidad angular de la rueda

Puesto que la velocidad angular varía con el radio de cualquier circunferencia, la

velocidad lineal entre la rueda y el piñón es la misma, que ambos están en contacto, por

lo tanto:

𝑣𝑃 = 𝑣𝐺

𝐷𝑃 ∙ 𝑛𝑝 = 𝐷𝐺 ∙ 𝑛𝐺 − − − (50)

Despejando nG de la ecuación (50).

𝑛𝐺 =𝐷𝑃 ∙ 𝑛𝑃𝐷𝐺

=2.5 102

10.135

𝑛𝐺 = 25.16 𝑟𝑝𝑚

Propiedades geométricas para el piñón y la rueda

Addendum “a”

Es la distancia radial desde el círculo de paso hasta el exterior del diente, se expresa

mediante la ecuación (51).



135

𝑎 =1

𝑃𝑑− − − (51)

Sustituyendo el valor del paso diametral anteriormente calculado.

𝑎 =1

8= 0.125 𝐼𝑛

Dedendum “b”

Es la distancia radial desde el círculo de paso hasta el fondo del espacio del diente, se

expresa con la ecuación (52).

𝑏 =1.25

𝑃𝑑− − − (52)

Sustituyendo el valor del paso diametral.

𝑏 =1.25

8= 0.15625 𝐼𝑛

Holgura o claro “c”

Es la distancia radial desde el exterior del diente hasta el fondo del hueco entre dientes

del engrane opuesto, Cuando el diete es totalmente engranado, obedece a la ecuación

(53), que se muestra a continuación.

𝑐 = 𝑏 − 𝑎 =0.25

𝑃𝑑− − − (53)


𝑐 =0.25

8= 0.03125 𝐼𝑛

Altura total “ht”

Es conocida, también, como profundidad total, y es la distancia radial exterior, se expresa

mediante la ecuación (54).

𝑕𝑡 = 𝑎 + 𝑏 =2.25

𝑃𝑑− − − (54)


𝑕𝑡 =2.25

8= 0.28125 𝐼𝑛



136

Altura de Trabajo “hk”

Es llamada comúnmente como profundidad de trabajo, y se define como la distancia

radial que un diente de engrane se introduce en el espacio entre dientes del engrane

correspondiente, se enuncia con la ecuación (55).

𝑕𝑡 = 𝑎 + 𝑎 = 2𝑎 =2

𝑃𝑑− − − (55)


𝑕𝑡 =2

8= 0.25 𝐼𝑛

Espesor de diente “t”

Es la longitud del arco, medida en el circulo de paso, de un lado de un diente a l otro. A

veces es conocido como espesor circular, y su valor teórico es la mitad del paso circular,

ver ecuación (56).

𝑡 =𝑝

2=

𝜋

2 ∙ 𝑃𝑑− −− (56)


𝑡 =𝜋

2(8)= 0.1963 𝐼𝑛

Radio del filete “rf”

Es el arco que une el perfil de involuta del diente con la raíz del espacio entre dientes, su

valor esta expresado en la ecuación (57).

𝑟𝑓 =0.3

𝑃𝑑− −− (57)


𝑟𝑓 =0.3

8= 0.0375 𝐼𝑛

NOTA: Las propiedades geométricas que de describieron anteriormente, son aplicables

para dientes de involuta de 20º, profundidad total y paso grueso.



137

Ancho de cara “F”

También es llamada como longitud del diente o ancho del flanco. Es el ancho del diente,

medido en dirección paralela al eje del diente. Para engranes de transmisión en

maquinaria en general se aplica ala ecuación (58), con el fin de asegurar un buen diseño

y funcionamiento.

8

𝑃𝑑≤ 𝐹 ≤

16

𝑃𝑑−− − (58)

El valor nominal del ancho de cara esta dado por la ecuación (59).

𝐹 =12

𝑃𝑑−− − (59)


𝐹 =12

8= 1.5 𝐼𝑛

Distancia entre centros “C2”

Es la distancia del centro del piñón hasta el centro de la rueda, teóricamente se expresa

con la ecuación (60).

𝐶2 =𝐷𝐺 + 𝐷𝑃

2− − − (60)

Sustituyendo los valores de los diámetros de paso del piñón y de la rueda en la ecuación

(60).

𝐶2 =10.135 + 2.5

2= 6.3175 𝐼𝑛

Diámetro exterior de la rueda “𝐷𝑂𝐺”

Es el diámetro del circulo que encierra el exterior de los dientes del engrane, se expresa

mediante la ecuación (61)

𝐷𝑂𝐺 = 𝐷𝐺 + 2𝑎 =𝑁𝐺𝑃𝑑

+2

𝑃𝑑=𝑁𝐺 + 2

𝑃𝑑−− − 61

Sustituyendo el valor del paso diametral y el numero de dientes de la rueda en la

ecuación (61).

𝐷𝑂𝐺 =81 + 2

8= 10.375 𝐼𝑛



138

Diámetro exterior del piñón “𝐷𝑂𝑃 ”

Se expresa de igual manera que el diámetro exterior de la rueda, solo cambia el

subíndice.

𝐷𝑂𝑃 =𝑁𝑃 + 2

𝑃𝑑− − − 61

Sustituyendo el valor del paso diametral y el numero de dientes del piñón en la ecuación

(61).

𝐷𝑂𝑃 =20 + 2

8= 2.75 𝐼𝑛

Diámetro de raíz de la rueda “𝐷𝑅𝐺”

También se llama diámetro de fondo, y es el diámetro del círculo que contiene el fondo

del espacio del diente, que es la circunferencia de raíz o circulo de raíz, esta dada por la

ecuación (43). 𝐷𝑅𝐺 = 𝐷𝐺 − 2𝑏 − − − 62

Sustituyendo el valor del diámetro de paso y del dedendum en la ecuación (62).

𝐷𝑅𝐺 = 10.135 − 2 0.15625 = 9.8225 𝐼𝑛

Diámetro de raíz del piñón “𝐷𝑅𝑃”

Al igual que el diámetro de raíz de la rueda se expresa con la misma ecuación solo

cambiándole el subíndice.

𝐷𝑅𝑃 = 𝐷𝑃 − 2𝑏 − − − 62

Sustituyendo el valor del diámetro de paso y del dedendum en la ecuación (62).

𝐷𝑅𝑃 = 2.5 − 2 0.15625 = 2.1875 𝐼𝑛

Diámetro base de la rueda “𝐷𝑏𝐺”

Es el diámetro en el cual se genera la involuta y por consiguiente, donde e presenta el

contacto entre los dientes, se interpreta por la ecuación (63).

𝐷𝑏𝐺 = 𝐷𝐺𝑐𝑜𝑠𝜑 − − − (63)

Sustituyendo el valor del diámetro de paso y el ángulo de presión ø en la ecuación (63)

tenemos para la rueda.



139

𝐷𝑏𝐺 = 10.135 𝑐𝑜𝑠20° = 9.5238 𝐼𝑛

Diámetro base del piñón “𝐷𝑏𝑃”

Se obtiene de la misma manera que el diámetro base de la rueda, solo hay que cambiar

el subíndice en la ecuación (63).

𝐷𝑏𝑃 = 𝐷𝑃𝑐𝑜𝑠𝜑 − − − (63)

Sustituyendo el valor del diámetro de paso y el ángulo de presión ø en la ecuación (63)

tenemos, para el piñón.

𝐷𝑏𝑃 = 2.5 𝑐𝑜𝑠20° = 2.3492 𝐼𝑛

Espesor cordal de la rueda “𝑡𝑐𝐺”

Es el espesor del diente o de un espacio, medido sobre la circunferencia del diámetro de

paso, su valor teórico esta expresado en la ecuación (64)

𝑡𝑐𝐺 = 𝐷𝐺𝑠𝑒𝑛 90°

𝑁𝐺 − − − (64)

Sustituyendo el valor del diámetro de paso y número de dientes en la ecuación (64)

tenemos, para la rueda.

𝑡𝑐𝐺 = 10.135 𝑠𝑒𝑛 90°

81 = 0.1965 𝐼𝑛

Espesor cordal del piñón “𝑡𝑐𝑃”

Se obtiene de la misma manera que el espesor cordal de la rueda, solo hay que cambiar

el subíndice en la ecuación (64).

𝑡𝑐𝑃 = 𝐷𝑃𝑠𝑒𝑛 90°

𝑁𝑃 − − − (64)

Sustituyendo el valor del diámetro de paso y número de dientes en la ecuación (64)

tenemos, para el piñón.

𝑡𝑐𝐺 = 2.5 𝑠𝑒𝑛 90°

20 = 0.1962 𝐼𝑛

A continuación se presenta un dibujo, el cual esquematiza la mayoría de las

características geométricas que hasta ahora se han descrito (ver figura 4-29).



140

Fig. 4-29 Características geométricas y nomenclatura de los engranes.

Relación de contacto “mf”

Es aquella que indica el número promedio de dientes en contacto durante la transmisión

de potencia, la ecuación para calcular dicha relación es la (65).

𝑚𝑓 = 𝑅𝑜𝑃

2 − 𝑅𝑏𝑃2 + 𝑅𝑜𝐺

2 − 𝑅𝑏𝐺2 − 𝐶 𝑠𝑒𝑛𝜑

𝑝 cos𝜑≥ 1.2 − − − (65)

Donde:

𝑅𝑜𝑃2 = Radio exterior del piñón = 1.375 In

𝑅𝑜𝐺2 = Radio exterior de la rueda = 5.1875 In

𝑅𝑏𝑃2 = Radio del circulo base del piñón = 1.1746 In

𝑅𝑏𝐺2 = Radio del circulo base de la rueda = 4.7619 In

p = paso diametral = 0.3927 In

C = Distancia entre centros = 6.3175 In

Sustituyendo los valores en la ecuación (65).

𝑚𝑓 = 1.3752 − 1.17462 + 5.18752 − 4.76192 − 6.3175 𝑠𝑒𝑛20°

0.3927 cos 20°= 1.6581

1.6581 > 1.2 𝑂𝐾



141

Secuencia de dibujo para los dientes del piñón y rueda

El saber dibujar y diseñar dentro de la ingeniería es uno de los requisitos básicos para

poder entenderla, el ingeniero mecánico tiene que contar con esta cualidad o habilidad

de poder interpretar los dibujos y planos, así como también, generarlos en base a un

diseño previo.

La secuencia que a continuación se presenta para dibujar los dientes de engranes, se

enfoca al método empleado por el señor “Hey” con el software “Autodesk Mechanical

desktop 2008”, el cual es uno de los métodos mas precisos para generar la involuta de los

dientes de los engranes.

1. Abrir el software “Autodesk Mechanical desktop 2008” en sistema ingles (imperial),

con el tipo de archivo “drawing (dwg)”

2. Con el comando “circle (c)”, generar el diámetro de paso “D” ya sea el del piñón

o bien, el de la rueda.

3. Trazar una línea vertical con el comando “line (l)” del centro del diámetro de paso

a 90°, de manera indefinida.

4. Como ya conocemos el espesor del diente “t” practicamos un “offset (o)” a un

lado (izquierdo o derecho) partiendo de la línea vertical realizada en el paso 3, a

una distancia igual a la mitad del espesor del diente.

5. A continuación, trazamos una línea del centro del diámetro hasta interceptar el

punto que se creo al realizar la línea vertical del punto 4, esta línea la

denominaremos “r”.

6. De la línea creada en el punto 5, practicamos un desplazamiento con el

comando “offset” a una distancia igual a x = 1.125 p (donde “p” es el paso

circular 𝑝 = 𝜋 ∙ 𝐷𝑁 ) para crear una línea de referencia.

7. Partiendo del punto de intersección de la línea “r” con la periferia del diámetro de

paso, generamos una línea que toque la línea hecha en el paso 6, esta línea tiene

que ser perpendicular a “r” y tangente a la circunferencia. La manera mas

sencilla es realizar un “copy (mm)” de la línea “r”, posteriormente con el comando

“rótate (ro)” se selecciona una pinte para girar la línea “r” a 90°, ahora con el

comando “move (m)” se selecciona nuevamente un extremo de la línea “r” para

posicionarla en el punto de intersección creado en el punto 5, por ultimo con el

comando “trim (tr)” se selecciona la línea de referencia, después clik derecho

para seleccionar el lado que sobrepase a dicha línea de referencia, hemos

creado la línea “q”.

8. Con la nueva línea “q” se practica un desplazamiento hacia arriba para

encontrar el punto “c” con un valor igual a “x” y un desplazamiento hacia abajo

para encontrar el punto “d” con un valor igual a 𝑦 = 𝐷3 si es necesario ajustar las

distancia con el comando “trim (tr)”.

9. Partiendo del centro hasta el punto “d” se crea una línea que se extiende

indefinidamente, la manera de realizarlo es crear una línea con el comando “line

(l)” del centro del diámetro de paso hasta hacer contacto con el punto “d”,

después hacer una línea alejada para practicar una extensión con el comando

“extend (ex)”, de la línea creada del centro a “d”, a esa línea la llamaremos “s”.



142

10. A partir de la línea “q” creada en el punto 7, realizaremos dos desplazamientos

con el comando “offset (o)” a una distancia igual a 𝑧 = 𝑥8 =

1.125 ∙ 𝑝8 tanto

hacia arriba como hacia abajo, con el propósito de encontrar los puntos “e”

(punto superior) y “e1” (punto inferior).

11. Hecho el punto “e” (punto superior) se realiza una extensión con el comando

“extend (ex)” hasta interceptar la línea “s”, que fue generada en el punto 9.

12. Para el punto “e1” se realiza una extención hacia el lado opuesto, es decir, con el

mismo valor, la forma de realizarlo es con el comando “mirror (mi)”

13. Una vez creadas estas líneas, los puntos donde terminan servirán como centros

para trazar la involuta del diente. Los radios se realizan con el comando “circle

(c)”, siendo el centro de estos los puntos donde terminan las líneas creadas en los

puntos 11 y 12, hasta hacer contacto con el punto donde comienza la línea “r”.

14. Eliminar líneas que se encuentren de más con el comando “trim (tr)” o en su

defecto con el comando “erase (e)”.

15. Teniendo la curva involuta completamente libre y manteniendo la primer línea

vertical, se trazan los diámetros, el de raíz “DR” y el exterior “DO”, luego se procede

a realizar un “mirror (mi)” de la curva involuta, seleccionándola y posteriormente

posicionando el primer punto en el punto que intercepte la línea vertical con la

periferia del diámetro exterior, y el segundo punto en donde la misma línea

intercepta la periferia del diámetro de raíz.

16. Se realiza eliminan líneas de más con el comando “trim (tr)” o con el comando

“erase (e)” para dejar el perfil del diente unido al diámetro de raíz y proceder a

crear un perfil parametrico.

17. Ahora, con el comando “amprofile” se seleccionan todo el perfil del diente y el

diámetro de raíz, con el fin de convertir el perfil en parametrico.

18. Lo que procede es restringirlo ya sea geométricamente o dimensionalmente, en

nuestro caso habrá más restricciones geométricas que dimencionales.

19. Una vez restringido el perfil, se procede a extruir el engrane con el mismo valor

calculado para el ancho de cara “F”. Esto se lleva a cabo con el comando

“amextrude”.

20. Teniendo extruido el engrane, se procede a hacer un radio conocido como

chaflan o radio de filete “rf” (calculado anteriormente) en las partes donde se

intercepta la involuta con el diámetro de raíz, este radio tiene la función de

eliminar interferencia y reducir la concentración de esfuerzos. Esto se realiza con el

comando “amfillet”.

21. Para el finalizar los dientes del engrane, se procede a hacer un arreglo polar de los

dientes conjuntamente con los radios o chaflanes realizados. Este arreglo se realiza

con el comando “ampattern” seleccionando la involuta y posteriormente los

chaflanes, a continuación se desplegara una ventana que solicitara el eje de

rotación y el número de dientes.

Hasta este punto el diseño del engrane debe de tener el siguiente aspecto como se

muestra en la figura 4-30.



143

Fig. 4-30 dibujo y diseño del engrane

Cuando se determine el diseño por resistencia y el diseño por desgaste, se hará una

continuación a la secuencia del dibujo, en especial de la rueda, la cual lleva ciertos

arreglos para ahorrar material y en general para hacerla funcional y eficiente.

Diseño por resistencia

El diseño por resistencia esta basado en la ecuación de Lewis, a continuación

presentamos una secuencia de diseño para facilitar la selección de materiales.

1. Seleccionar un tipo de material tanto para el piñón y la rueda, para obtener el

esfuerzo permisible “So”.

2. Seleccionar el factor de Lewis “Y” tanto para el Piñón como para la rueda.

3. Determinar el elemento más débil basado en el criterio de

𝑆𝑜 ∙ 𝑌 𝐺 ≥ 𝑆𝑜 ∙ 𝑌 𝑃 − − − (66)

4. Sustituir los valores en la ecuación de Lewis, que a continuación se presenta,

tomando como factor de concentración de esfuerzo “kf” igual a 1.7.

𝑊𝑆 =𝑆𝑜 ∙ 𝐹 ∙ 𝑌

𝑘𝑓 ∙ 𝑃𝑑− − − (67)

Donde:

WS = Carga que puede soportar el diente [Lb]

So = Es fuerzo permisible para el material de el engrane [psi]

F = Ancho de cara [In]

kf = Factor de concentración de esfuerzos (1.47 ≤ kf ≤ 1.7)



144

Pd = Paso diametral

5. Calcular la carga dinámica “Wd” para engranes tallados comercialmente

(v<2000 fpm)

6. Comprobar el diseño por resistencia en base al criterio de WS > Wd

7. De no cumplirse el paso 6, es necesario repetir los pasos 1,3, 4 y 6.

Primer iteración

Tipo de material (ver tabla 4-19)

Elemento Material S0 [psi]

Piñón SAE 1050 OQT 35000

Rueda SAE 1045 30000 Tabla 4-19 Tipo de material

Factor de Lewis (ver tabla 4-20)

Elemento Número de dientes N Factor de Lewis

Piñón 20 0.320

Rueda 81 0.436 Tabla 4-20 Factor de Lewis

Elemento más débil (ver tabla 4-21)

Características Piñón Rueda

Material SAE 1050 OQT SAE 1045

Esfuerzo permisible “S0” 35000 30000

Numero de dientes “N” 20 81

Factor de Lewis 0.320 0.436

S0 Y [psi] 11200 13080 Tabla 4-21 Elemento más débil

Según el criterio de diseño (ecuación 66)

𝑆𝑜 ∙ 𝑌 𝐺 ≥ 𝑆𝑜 ∙ 𝑌 𝑃 − − − (66)

Observando la tabla 4-21 podemos constatar que

13080 > 11200 𝑂𝐾

Esto indica que el elemento más débil es el Piñón, por lo cual nuestro análisis de diseño

por resistencia, se enfocara en él.



145

Ecuación de Lewis

Aplicando la ecuación (67)


𝑘𝑓 ∙ 𝑃𝑑=

35000 1.5 (0.32)

1.7(8)

𝑊𝑆 = 1235.294 𝐼𝑏

𝑊𝑆 ≈ 1250 𝐼𝑏

Carga dinámica “Wd”

Para un cálculo tentativo de la carga dinámica, se puede aplicar la ecuación (68)

teniendo en cuenta que el engrane será tallado comercialmente.

𝑊𝑑 =600 + 𝑣

600∙ 𝑊𝑡 − − − (68)

Donde

Wd = Carga dinámica

v =Velocidad lineal

Wt = Fuerza tangencial

La fuerza tangencial se calcula mediante la ecuación (69), que a continuación se

presenta.

𝑊𝑡 =33000 ∙ 𝑃

𝑣− − − (69)

Sabemos que la potencia que el moto-reductor es de 3 HP, y que la velocidad lineal que

se trasmite a la flecha es de 67 ft/min, por lo tanto, podemos sustituir estos valores en la

ecuación (69) y obtener el resultado de la fuerza tangencial.

𝑊𝑡 =33000(3)

67= 1477.612 𝐼𝑏

Ahora sustituiremos el valor de la fuerza tangencial en la ecuación (68), por lo tanto, la

carga dinámica es:

𝑊𝑑 =600 + 67

600(1477.612)

𝑊𝑑 = 1642.612 𝐼𝑏

𝑊𝑑 ≈ 1650 𝐼𝑏



146

Comprobación del diseño por resistencia


𝑊𝑆 > 𝑊𝑑 − − − (70)

Para nuestro caso tenemos que:

1250 < 1650

El diseño no cumple con el criterio y por lo tanto, tenemos que interactuar nuevamente.

Segunda iteración

Tipo de material (ver tabla 4-19)

Elemento Material S0 [psi]

Piñón SAE 2345 OQT 50000

Rueda SAE 3115 OQT 37000 Tabla 4-19 Tipo de material

Elemento más débil (ver tabla 4-21)

Características Piñón Rueda

Material SAE 2345 OQT SAE 3115 OQT

Esfuerzo permisible “S0” 50000 37000

Numero de dientes “N” 20 81

Factor de Lewis 0.320 0.436

S0 Y [psi] 16000 16132 Tabla 4-21 Elemento más débil

Según el criterio de diseño de la ecuación (66)

𝑆𝑜 ∙ 𝑌 𝐺 ≥ 𝑆𝑜 ∙ 𝑌 𝑃 − − − (66)

Observando la tabla 4-21 podemos constatar que

16132 > 16000 𝑂𝐾

Esto indica que el elemento más débil es el Piñón, por lo cual nuestro análisis de diseño

por resistencia, se enfocara en él.



147

Ecuación de Lewis

Aplicando la ecuación (67)


𝑘𝑓 ∙ 𝑃𝑑=

50000 1.5 (0.32)

1.7(8)

𝑊𝑆 = 1764.706 𝐼𝑏

𝑊𝑆 ≈ 1770 𝐼𝑏

Comprobación del diseño por resistencia


𝑊𝑆 > 𝑊𝑑 − − − (70)

Para nuestro caso tenemos que:

1770 > 1650 𝑂𝐾

El diseño cumple con el criterio y por lo tanto es satisfactorio por resistencia.

Una de las técnicas empleadas por la AGMA consiste en usar la ecuación de Lewis

modificada, para determinar el tipo de material con el que se elaboraran los engranes,

este método es basado en la flexión de los dientes y es parecido al diseño por resistencia.

La secuencia de diseño para llevar acabo la selección del material es la siguiente.

1. Calcular la fuerza tangencial Wt (ver ecuación 69).

2. Seleccionar el valor del factor geométrico “J”, tanto del piñón como de la rueda

3. Calcular los diversos factores que forman parte de la ecuación de Lewis

modificada (Ver ecuación 71).

𝑆𝑡 =𝑊𝑡 ∙ 𝑃𝑑𝐹 ∙ 𝐽

∙ 𝐾𝑂 ∙ 𝐾𝑠 ∙ 𝐾𝑚 ∙ 𝐾𝐵 ∙ 𝐾𝑣 − − − (71)

4. Seleccionar el material adecuado en base al criterio de la ecuación (72) 𝑆𝑡 < 𝑆𝑎𝑡 − − − (72)

Fuerza tangencial “Wt”

Anteriormente se ha calculado la fuerza tangencial con la ecuación (69), por lo cual solo

pondremos su valor calculado.



148

𝑊𝑡 =33000(3)

67= 1477.612 𝐼𝑏

Factor geométrico “J”

El factor geométrico no es mas que una relación entre el factor de Lewis “Y”, y el factor

teórico de concentración de esfuerzos “Kt”.

Para obtener los valores de “J”, es necesario conocer dos variables dentro de la

geometría del arreglo para transmitir potencia, es decir, conociendo el número de dientes

del piñón y el número de dientes de la rueda, el factor geométrico puede obtenerse de la

figura 4-31.

Fig. 4.31 factor geométrico “J”

Los valores encontrados en la figura 4-31 para los valores del factor geométrico “J” son:

JP= 0.325

JG= 0.425



149

Factor de sobrecarga “K0”

Se consideran 3 características básicas para seleccionar el tipo de carga, la cual da

pauta para poder seleccionar el factor de sobrecarga (ver tabla 4-21).

Maquina Impulsada

Fuente de potencia Uniforme Choque ligero Choque

moderado

Choque

pesado

Uniforme 1.00 1.25 1.50 1.75

Choque ligero 1.20 1.40 1.75 2.25

Choque moderado 1.30 1.70 2.00 2.75 Tabla 4-21 Factores de sobrecarga Ko

Puesto que nuestro diseño del tren de laminación implica un funcionamiento uniforme

debido a la velocidad constante, se eligió, en base a la tabla 4-21, el factor de

sobrecarga igual a uno.

KO= 1 (trabajo uniforme)

Factor de tamaño “Ks”

Según la AGMA, para la mayoría de las transmisiones por engranes se considera un valor

igual a uno para pasos diametrales iguales o mayores a 5.

Ks= 1

Factor de distribución de carga “Km”

Para obtener el factor de distribución de carga se empleara la ecuación (73), la cual

involucra variables de diseño del engrane.

𝐾𝑚 = 1 + 𝐶𝑝𝑓 + 𝐶𝑚𝑎 − − − (73)

Donde

Cpf= Factor de proporción del piñón.

Cma= Factor por alineamiento de engranado.



150

Fig. 4-32 Factor de proporción y alineamiento

Tanto el factor de proporción como el de alineamiento, se obtienen de la figura 4-32.

Los valores obtenidos de la figura 4-32 para los factores tanto de proporción como de

alineamiento son:

Cpf basado en 𝐹

𝐷𝑝=

1.5

2.5= 0.6

𝐶𝑝𝑓 =𝐹−0.025

10 ∙ 𝐷𝐺= 1.5 −0.025

10(2.5)

𝐶𝑝𝑓 = 0.04

Cma para unidades comerciales se emplea la siguiente ecuación.

𝐶𝑚𝑎 = 0.127 + 0.0158𝐹 − 1093 × 10−4 ∙ 𝐹2

𝐶𝑚𝑎 = 0.127 + 0.0158(1.5) − 1093 × 10−4 ∙ 1.52

𝐶𝑚𝑎 = 0.151



151

Factor de espesor de orilla “KB”

Este factor es aquel que nos indica cuanto debe de tener de espesor de orilla para

ahorrar material en la rueda o el piñón en caso de que estos tengan un diámetro de paso

muy grande.

Para uso común en ingeniería, el factor de espesor de orilla es igual a uno, esto asegura

que el diente no falle cuando se encuentra en uso.

𝐾𝐵 = 1

Factor dinámico “Kv”

Este factor esta expresado por la ecuación (74)

𝐾𝑣 = 𝐴 + 𝑣𝑡

12

𝐴

𝐵

−− − (74)

Donde A y B están dadas por las siguientes ecuaciones:

𝐵 = 12 − 𝑄𝑉

4

23

− − − (75)

𝐴 = 50 + 56 1 − 𝐵 − −− (76)

En donde el término “QV” indica el número de calidad del engrane, que para maquinaria

en general es igual a 6, por lo tanto al evaluar la ecuación (75) de “B”, tenemos:

𝐵 = 12 − 6

4

23

= 0.826

Para A encontramos que el valor de la ecuación (76) es el siguiente.

𝐴 = 50 + 56 1 − 0.826 = 59.773

Una vez teniendo los valores correspondientes de “A” y de “B”, podemos evaluar el factor

dinámico.

𝐾𝑣 = 59.773 + 67

12

59.773

0.826

= 1.112



152

Número de esfuerzo flexionante “St”(Ecuación de Lewis modificada)

Ahora que ya se han evaluado los diversos términos que componen la ecuación de Lewis

modificada (ver ecuación No. 71), podemos calcularla y obtener un valor teórico tanto

para el piñón como para la rueda.

Piñón

𝑆𝑡𝑃 =1500 8

1.5 0.325 1.19 1.112 = 32565.977 𝑝𝑠𝑖

Rueda

𝑆𝑡𝐺 = 𝑆𝑡𝑃𝐽𝑃𝐽𝐺

= 325665.977 0.325

0.425 = 24903.394 𝑝𝑠𝑖

Selección del material

Para la selección del material para los elementos de transmisión de potencia,

emplearemos el criterio mencionado en el punto 4 con la ecuación (72).

𝑆𝑡 < 𝑆´𝑎𝑡 − − − (72)

Donde “S´at” esta definida por la ecuación (77)

𝑆´𝑎𝑡 =𝑆𝑎𝑡 ∙ 𝑌𝑁

𝑆𝐹 ∙ 𝐾𝑅−− − (77)

Si sustituimos el valor de la ecuación (77) en el criterio que marcamos en el punto 4 con la

ecuación (72), y despejamos el valor de “Sat”, podremos seleccionar el material

adecuado para el piñón y para la rueda.

𝑆𝑡 <𝑆𝑎𝑡 ∙ 𝑌𝑁

𝑆𝐹 ∙ 𝐾𝑅

Despejando “Sat”

𝑆𝐹 ∙ 𝐾𝑅 ∙ 𝑆𝑡

𝑌𝑁< 𝑆𝑎𝑡

Donde

SF = Factor de seguridad

KR= Factor de confiabilidad

YN = Factor de ciclos de esfuerzo



153

Factor de ciclos de esfuerzo

Este factor es obtenido de la figura 4-33, que muestra el factor de ciclos de esfuerzo. Para

la práctica general en ingeniería, se emplea la ecuación (78)

Fig. 4-33 Factor de ciclos de esfuerzo

𝑌𝑁 = 1.3558 ∙ 𝑁𝐶

−0.0178 − − − (78)

Donde NC es el número de ciclos del elemento de transmisión de potencia y se calcula de

forma similar como cuando se seleccionaron los cojinetes de la flecha, la ecuación es la

siguiente. 𝑁𝐶 = 60 ∙ 𝐿 ∙ 𝑛 ∙ 𝑞 − − − (79)

Donde

L = Vida de diseño en horas

n = Velocidad angular del engrane [rpm]

q = Numero de aplicaciones de carga por revolución

Para nuestro caso, los valores de los términos de la ecuación (79), que emplearán tanto

para el piñón como para la rueda son:

L = 25000 hr (maquinara en industrial en general)

nP = 102 rpm

nG = 25.16 rpm

qP = 1

qG = 2

SF = 1.25 (Uso común en ingeniería)



154

Calculando la ecuación (79) para el piñón y para la rueda, tenemos los siguientes valores.

Piñón

𝑁𝐶𝑃 = 60 25000 102 1 = 1.53 × 108𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

Rueda

𝑁𝐶𝐺 = 60 25000 25.16 1 = 7.548 × 107𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

Evaluando la ecuación (78) para los dos elementos de transmisión (piñón y rueda)

Piñón

𝑌𝑁𝑃 = 1.3558 1.53 × 108 −0.0178 = 0.9694

Rueda

𝑌𝑁𝐺 = 1.3558 7.548 × 107 −0.0178 = 0.9817

Con los términos evaluados, podemos emplear el criterio y evaluar para la selección de

materiales.

Piñón

𝑆𝐹 ∙ 𝐾𝑅 ∙ 𝑆𝑡𝑃

𝑌𝑁𝑃< 𝑆𝑎𝑡𝑃

1.25 1 (32565.977)

0.9494< 𝑆𝑎𝑡𝑃

41992.440 𝑝𝑠𝑖 < 𝑆𝑎𝑡𝑃

Rueda

𝑆𝐹 ∙ 𝐾𝑅 ∙ 𝑆𝑡𝐺

𝑌𝑁𝐺< 𝑆𝑎𝑡𝐺

1.25 1 (24903.394)

0.9817< 𝑆𝑎𝑡𝐺

31709.523 𝑝𝑠𝑖 < 𝑆𝑎𝑡𝐺



155

Con estos valores y teniendo en cuenta la figura 4-34

Fig. 4-34 Numero de esfuerzo flexionante admisible

El empleo de la grafica para poder seleccionar un material es el siguiente.

1. Con base al número de esfuerzo flexionante calculado “St”, identificar, en el eje de

las ordenadas (Y) el valor más próximo a este numero.

2. Trazar una línea perpendicular al eje ordenado, hasta interceptar la línea del

número de esfuerzo flexionante admisible “Sat”

3. Tomando dicho punto de intersección, trazar una línea vertical tomar como base

la dureza Brinell aproximada, la cual se encuentra en eje de las abscisas (X).

4. Seleccionar un material tomando en cuenta su dureza y a la ecuación que marca

la línea que se intercepto en la figura 4-34.

Una vez hecha la secuencia que se describió arriba, los resultados obtenidos y el material

seleccionado para la rueda y para el piñón es:

Rueda

HBT = 250 (Tomado de la fig. 4-34)

Material: AISI 1040 OQT 400

HBR = 262



156

Empleando la ecuación (80) tomado de la figura 4-34.

𝑆𝑎𝑡𝐺 = 77.3 ∙ 𝐻𝐵 + 12800 −− − (80)

𝑆𝑎𝑡𝐺 = 77.3 262 + 12800

𝑆𝑎𝑡𝐺 = 33052.600 𝑝𝑠𝑖

Evaluando el valor contra el criterio desarrollado, tenemos que el material es aceptable

para la aplicación a la cual esta destinada.

31709.523 𝑝𝑠𝑖 < 33052.600𝑝𝑠𝑖 − − − 𝑂𝑘

Piñón

Sat = 55 Ksi

Material: AISI 4620 SOQT 450 (cementado)

HRC = 59

Esfuerzo en el núcleo es igual a 155 Ksi.

Hasta este punto los materiales para los elementos cumplen sin ningún problema, pero

ahora hace falta evaluar y seleccionar estos materiales por diseño al desgaste que

muchos en ingeniería lo conocemos, también, por resistencia a la picadura.

Diseño por desgaste

El diseño por desgaste es un punto crítico en la selección del material, ya que aquí es

donde la transmisión puede llegar a fallar, puesto que el diente del engrane puede

comenzar a fallar por picadura que posteriormente puede llegar a la ruptura del mismo.

La AGMA tiene un método analítico para realizar el cálculo para la selección de los

materiales en base al esfuerzo de contacto.

La secuencia de diseño para seleccionar el material con el criterio de resistencia a la

picadura es el siguiente.

1. Calcular el número de esfuerzo de contacto con la ecuación (81)

𝑆𝐶 = 𝐶𝑃 𝑊𝑡 ∙ 𝑘0 ∙ 𝐾𝑆 ∙ 𝐾𝑚 ∙ 𝐾𝑣

𝐹 ∙ 𝐷𝑃 ∙ 𝐼

12

− − − (81)

2. Conociendo el valor del esfuerzo de contacto se puede aplicar el criterio para la

selección de material el cual se muestra a continuación en la ecuación (82).

𝑆𝑐 < 𝑆´𝑎𝑐 −− − (82)



157

3. Una vez evaluado el criterio anterior, se procede a seleccionar el material y

corroborar contra los materiales seleccionados en el diseño por resistencia.

Numero de esfuerzo de contacto

Este numero de esfuerzo de contacto se calcula con la ecuación (81), en esta ecuación

intervienen factores parecidos a los mostrados en el numero de esfuerzo flexionante, los

cuales, para uso del diseño serán iguales.

𝑆𝐶 = 𝐶𝑃 𝑊𝑡 ∙ 𝑘0 ∙ 𝐾𝑆 ∙ 𝐾𝑚 ∙ 𝐾𝑣

𝐹 ∙ 𝐷𝑃 ∙ 𝐼

12

− − − (81)

Donde

CP = Coeficiente elástico

Wt = Fuerza tangencial [Lb]

S0 = Factor de sobrecarga

KS = Factor de tamaño

Km = Factor de distribución de carga

Kv = Factor dinámico

DP = Diámetro de Piñón

F = Ancho de cara [In]

I = Factor de geometría para la picadura

La variable correspondiente al factor de geometría para la picadura, se evalúa en base a

la figura 4-35, que a continuación se presenta.

Fig. 4-35 Factor de geometría “I”



158

Para nuestro análisis tenemos los siguientes datos.

CP = 2300 (Engranes de acero)

Wt = 1500 Ib

K0 = 1 (Carga uniforme)

KS = 1

Km = 1.19

Kv = 1.112

F = 1.5

DP = 2.5

I = 0.112

Sustituyendo los valores en la ecuación (81) para obtener el numero de esfuerzo de

contacto.

𝑆𝑐 = 2300 1500 1.19 1.112

1.5 2.5 0.112

12

= 158115.591 𝑝𝑠𝑖

Criterio de selección de material

Para seleccionar el material se aplica el criterio de la ecuación (82), establecido en el

punto 2.

𝑆𝑐 < 𝑆´𝑎𝑐 −− − (82)

Donde “S´ac” esta definida por la ecuación (83)

𝑆´𝑎𝑐 =𝑆𝑎𝑐 ∙ 𝑍𝑁 ∙ 𝐶𝐻𝑆𝐹 ∙ 𝐾𝑅

− − − (83)

Si sustituimos el valor de la ecuación (83) en el criterio de la ecuación (82) y despejamos el

valor de “Sac”, podremos seleccionar el material adecuado para el piñón y para la rueda.

𝑆𝑐 <𝑆𝑎𝑐 ∙ 𝑍𝑁 ∙ 𝐶𝐻𝑆𝐹 ∙ 𝐾𝑅

Despejando “Sac”

𝑆𝐹 ∙ 𝐾𝑅 ∙ 𝑆𝑐𝑍𝑁 ∙ 𝐶𝐻

< 𝑆𝑎𝑐

Donde

SF = Factor de seguridad

KR = Factor de confiabilidad

ZN = Factor de resistencia a la picadura por número de ciclos de esfuerzo

CH = Factor de relación de durezas



159

Para nuestro caso, los valores determinados son:

SF = 1 (No hay más incertidumbre de la que ya interviene en los coeficientes)

KR = 1 (0.99 de confiabilidad)

Factor de resistencia a la picadura por numero de ciclos de esfuerzo

Este factor esta dado por la ecuación (84) y se emplea tanto para el piñón como para la

rueda (ver figura 4-36).

Fig. 4-36 Factor de resistencia a la picadura por ciclos de esfuerzo

De la figura 4-36 se tomó la ecuación (84), la cual la evaluaremos de la siguiente manera.

𝑍𝑁 = 1.4488 ∙ 𝑁−0.023 −− − (84)

Piñón

𝑍𝑁𝑃 = 1.4488 1.53 × 108 −0.023 = 0.939

Rueda

𝑍𝑁𝑃 = 1.4488 7.548 × 108 −0.023 = 0.939



160

Aplicando la ecuación (82) desarrollada, tanto para el piñón como para la rueda,

podemos evaluar y decidir que tipo de material cumple con las necesidades de trabajo.

Piñón


< 𝑆𝑎𝑐𝑃

1 1 (158115.59)

0.939(1)< 𝑆𝑎𝑐𝑃

168387.211 𝑝𝑠𝑖 < 𝑆𝑎𝑐𝑃

Rueda


< 𝑆𝑎𝑐𝐺

1 1 (158115.59)

0.955(1)< 𝑆𝑎𝑐𝐺

165566.064 𝑝𝑠𝑖 < 𝑆𝑎𝑐𝐺

Selección de materiales

Piñón

Sac = 180 ksi (grado 1)

Material AISI 4620 SOQT 450 (Cementado)

HRC = 59 = 653 HB

Esto indica que el criterio Sc < Sac esta bien para el piñón y cumple satisfactoriamente para

la función destinada.

Rueda

Seleccionando en base al grado 2

Material AISI 4140 OQT 900 °F

HB = 388 𝑆𝑎𝑐 = 349 ∙ 𝐻𝐵 + 34300 = 349 388 + 34300

𝑆𝑎𝑐 = 169712 𝑝𝑠𝑖

Este valor calculado indica que el criterio Sc < Sac para el caso de la rueda cumple con la

función.



161

Secuencia de dibujo para componentes adicionales del piñón y rueda

Anteriormente se realizo una descripción de cómo poder dibujar la curva involuta de los

dientes para engranes con el programa Autodesk Mechanical Desktop. En este punto

hablaremos de arreglos que se practican en el diseño de estos elementos con el objetivo

de hacerlos lo mas eficientes posibles, estos arreglos incluyen los que a continuación se

muestran.

1. Numero de brazos o rayos

2. El cubo o el mamelón (diámetro y longitud)

3. El cuñero o chavetero (ancho, largo y longitud)

4. Espesor de orilla

Número de brazos o rayos

Para realizar los brazos de la rueda se emplea la ecuación (85) que se presenta a

continuación.

𝐵 = 𝑘 25.4

𝑃𝑑∙ 𝑁

12

− −− (85)

Donde

B = Número de brazos del engrane

k = Constante de proporcionalidad (3/16)

Pd = Paso diametral [In]

N = Numero de dientes del engrane

Aplicando la ecuación (85) con los valores ya conocidos.

𝐵 =3

16

25.4

8 (81)

12

= 3.007

𝐵 ≈ 3 𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜𝑠

Esto quiere decir que la rueda tendrá 3 brazos para soportar los dientes, esto con el fin de

ahorrar espacio y peso a la rueda.

El cubo o mamelón

El cubo o mamelón es una extensión que ayuda a los elementos que transmiten potencia

como por ejemplo poleas, volantes o engranes, a tener mayor rigidez. Para calcularlo

existen 3 ecuaciones basadas en la experiencia un que define su diámetro y dos para la

longitud. 𝐷𝑀 = 1.5 ∙ 𝐷 − − − (86)

Para la longitud del mamelón se emplean las siguientes ecuaciones aceptables.



162

𝑙𝑀 = 𝐷 −− − (87)

𝑙𝑚 = 𝐹 + 1.025 ∙ 𝑃𝑑 − − − (87)

Cuñero o chavetero

Para realizar o maquinar el cuñero se emplea la tabla 4-2 que muestra el tamaño de la

cuña en función del diámetro de la flecha.

Espesor de orilla “tr”

El espesor de orilla esta definido por una relación basada en un factor que se empleo

cuando se selecciono el material del engrane y por la altura total del diente, la ecuación

(88) muestra como se calcula (ver figura 4-37).

𝑡𝑅 = 𝐾𝐵 ∙ 𝑕𝑡 −− − (88)

Fig. 4-37 Espesor de orilla

4.6.- Diseño final de flechas de transmisión

Las funciones y los parámetros de diseño son los mismos que los presentados en el tema

“Propuesta para flecha” modificando algunos pasos en la secuencia de diseño.


a) Arreglo general del conjunto de los elementos que intervienen en la máquina (Eje,

engranes, cojinetes, moto-reductor)

b) Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que interactúan en la flecha.

c) Análisis de las fuerzas que intervienen en los elementos de transmisión de potencia

(engranes y flecha).

d) Calculo de la longitud real de la flecha, tomando en cuenta las longitudes de los

soportes de brida, los cojinetes y el bastidor.

e) Calculo de las reacciones y análisis de fuerzas cortantes y momentos flexionantes.



163

f) Aplicación de la ecuación del código AGMA para determinar los diámetros

mínimos requeridos.

g) Seleccionar los diámetros con dimensiones preferidas.

h) Comprobar el diseño en base a la rigidez.

i) Calculo y selección de elementos restantes (cuñas y cuñeros)

Arreglo general del conjunto de elementos de la máquina

En el siguiente arreglo se pretende mostrar la disposición de los elementos que intervienen

en la transmisión de potencia, esto viéndolo desde un punto de vista como un

subconjunto de la máquina en si. En este bosquejo (ver fig 4-28), se muestran los elementos

de transmisión de potencia, cómo es su cinemática así como también se muestran todas

las variables que nos ayudaran a determinar la cinética de estos elementos para realizar

el estudio final de la flecha.

Fig. 4-28 Arreglo de elementos de transmisión (repetida)

Donde

C1= Distancia entre centros de engranes “E” y “G”

C2= Distancia entre centros de engranes “E” y “P”

Y1= Distancia de la mesa de trabajo al centro del engrane motriz (rueda)



164

Y2 = Distancia de la mesa de trabajo al centro del engrane motor (piñón). Ver anexo 05

dimensiones “H”.

Y3 = Distancia vertical de centro a centro de engranes “E” y “P”

DP = Diámetro de paso del piñón

DG = Diámetro de paso de la rueda “E” y “F”

nP = Velocidad angular del piñón en rpm

nE = nG = Velocidad angular de las ruedas “E” y “G” en rpm

α = Angulo de inclinación del piñón con respecto a la rueda

La distancia entre centros “C1” ya se ha calculado (ver ecuación No. 49) cuando se toco

el punto referente al arreglo de la transmisión, este tiene el valor siguiente.

𝐶 = 𝐶1 =𝐷𝑅2

+𝐷𝑅2

+ 𝑡 = 𝐷𝑅 + 𝑡 = 10 + 0.135

𝐶 = 𝐶1 = 10.135 𝐼𝑛

Para el calculo de la distancia entre centros para los engranes motor y motriz, “P” y “E”

respectivamente se emplea la ecuación (89) que se muestra en seguida.

𝐶2 =𝐷𝐺2

+𝐷𝑃2− − − (89)

Sustituyendo los valores obtenidos con anterioridad en la ecuación (89) tenemos.

𝐶2 =10.135

2+

2.5

2= 6.3175 5 𝐼𝑛

Los valores Y1 y Y2 se obtuvieron del diseño de los bastidores y del manual de moto-

reductores que se presenta en el anexo 05, estas dos dimensiones nos dan el valor

numérico de Y3, al observar la figura 4-28 por simple inspección se deduce la siguiente

ecuación (90).

𝑌3 = 𝑌1 − 𝑌2 −− − (90)

𝑌3 = 6.7 − 6.3 = 0.4 𝐼𝑛

Tanto la velocidad angular de la rueda como del piñón ya se han definido con

anterioridad, aquí solo mostraremos los valores que se han calculado.

𝑛𝑃 = 102 𝑟𝑝𝑚

𝑛𝐺 = 25.16 𝑟𝑝𝑚

Para el caso del ángulo de inclinación del piñón con respecto a la rueda, por simple

trigonometría obtenemos el ángulo “α”.



165

AZ

𝛼 = sin−1𝑌3

𝐶2

= sin−10.4

6.3175= 3.63°

Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que interactúan en la flecha

Teniendo las herramientas necesaria para el análisis, procedemos a identificar las cargas

que intervienen en la flecha. Para ello nos auxiliaremos de la figura 4-38.

En esta figura se indican las cargas así como también las longitudes “b” y “c”, las cuales se

encuentran dimensionadas desde el centro del elemento (cojinete, herramienta de

doblado o engrane) donde, se supone, actúa la carga.

Fig. 4-38 Fuerzas que interactúan en la Flecha

Análisis de fuerzas en la flecha

Para el análisis de fuerzas, solo hace falta analizar los elementos de transmisión de

potencia, es decir, los engranes. Esto lo haremos con la ayuda de las figuras 4-28, 4-38 y la

figura 4-39, que se muestra a continuación.

P

AY

BY

BZ

ΣFZ

ΣFY

Fr

b

b

c

A

C

B

E

Y

Z X



166

Fig. 4-39 Diagrama de cuerpo libre de engranes

En el diagrama de cuerpo libre de la figura 4-38 se muestran las fuerzas que actúan sobre

el engrane generadas por el piñón “P” y la rueda “G”.

Donde

WrG = Fuerza radial que ejerce el engrane “G” sobre el engrane “E” [Lb]

WtG = Fuerza tangencial que ejerce el engrane “G” sobre el engrane “E” [Lb]

WrP = Fuerza radial que ejerce el engrane “P” sobre el engrane “E” [Lb]

WtP = Fuerza tangencial que ejerce el engrane “P” sobre el engrane “E” [Lb]

WG = Peso propio del engrane “E” [Lb]

En el análisis de estas fuerzas es necesario plantear el problema, de forma tal que se

identifiquen la velocidad angular de los elementos de transmisión y el flujo de potencia a

través de la flecha, a continuación plantearemos el problema para el análisis.

Planteamiento del problema

El engrane “G” recibe 3 HP del piñón “P” a una velocidad angular 𝑛𝑝 = 102 𝑟𝑝𝑚 en donde

el mismo engrane “E” entrega 1.5 HP de potencia al engrane “G” con una velocidad

angular de 𝑛𝐺 = 25 𝑟𝑝𝑚. Tanto el engrane motor “P” como el motriz “E” tienen un ángulo

de presión φ = 20°, los diámetros de paso son de DP = 2.5 In para el piñón y DG = 10.135 In

para la rueda y el numero de dientes para el piñón es NP = 20 y para la rueda NG =81.

Ahora procedemos al calculo de las fuerzas que se muestran en el punto “E” de la figura

4-38 y basándonos en el diagrama de cuerpo libre de la figura 4-39.



167

Fuerzas que el engrane motor “P” ejerce sobre el engrane motriz “E”

Para calcular las fuerzas que el piñón ejerce sobre la rueda comenzaremos por calcular la

fuerza tangencial “Wt” en función del torque (ecuación No. 91) y del diámetro de paso, y

luego calcular la fuerza radial.

𝑊𝑡 =2𝑇

𝐷− − − (91)

Aplicando la ecuación (9) para el torque.

𝑇𝑃 =63025𝑃

𝑛𝑃=

63025(3)

102= 1853.68 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Sustituyendo el valor del torque “T” y del diámetro de paso del piñón “DP” en la ecuación

(91) obtendremos el valor de la fuerza tangencial.

𝑊𝑡𝑃 =2(1853.68)

2.5= 1482.94 𝐿𝑏

𝑊𝑡𝑃 ≈ 1500 𝐿𝑏

Para el cálculo de la fuerza radial empleamos la ecuación (92) que a continuación se

muestra.

𝑊𝑟 = 𝑊𝑡 tan𝜑 − − − (92)

𝑊𝑟𝑃 = 1500 tan 20° = 545.95 𝐿𝑏

𝑊𝑟𝑃 ≈ 550 𝐿𝑏

Fuerzas que el engrane motriz “G” ejerce sobre el engrane motriz “E”

El procedimiento para el calculo de las fuerzas que el engrane motriz “G” ejerce sobre el

engrane “E” (ver figura 4-38) es idéntico al mostrado en el punto anterior, es decir se

aplican las mismas ecuaciones.

Aplicando la ecuación (9) para el torque.

𝑇𝐺 =63025𝑃

𝑛𝐺=

63025(1.5)

25.16= 3757.45 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

𝑇𝐺 ≈ 3760 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Sustituyendo el valor del torque “T” y del diámetro de paso de la rueda “DG” en la

ecuación (91) obtendremos el valor de la fuerza tangencial.



168

𝑊𝑡𝐺=

2(3760)

10.135= 741.98 𝐿𝑏

𝑊𝑡𝑃 ≈ 742 𝐿𝑏

Para el cálculo de la fuerza radial empleamos la ecuación (92) que a continuación se

muestra.

𝑊𝑟𝐺 = 742 tan 20° = 269.33 𝐿𝑏

𝑊𝑟𝐺

≈ 270 𝐿𝑏

Ahora que conocemos el valor del torque, es necesario re calcular los valores tanto de la

fuerza de fricción “Fr” como de la fuerza normal y de la carga “P”, ver figura 4-38.

Aplicando la ecuación (16) y despejando la fuerza de fricción, con el fin de dejarla en

función del torque, tenemos lo siguiente.

∴ 𝑇 = 𝐹𝑟 ∙𝐷𝑅2− − − (16)

𝐹𝑟 =2 ∙ 𝑇

𝐷𝑅

Tomando los valores del torque y del diámetro del rodillo.

T= 3760 [Lb.In]

DR= 10 [In]

𝐹𝑟 =2 3760

10

𝐹𝑅 = 752 𝐼𝑏

Ahora, aplicando la ecuación (15) y despejando la fuerza normal y recordando que el

valor del coeficiente de fricción dinámico “μK” es igual a 0.155, podremos obtener la

nueva magnitud de la fuerza normal.

𝐹𝑟 = 𝜇𝑘 ∙ 𝑁 − − − (15)

Despejando N y sustituyendo los valores.

𝑁 =𝐹𝑟𝜇𝑘

=752

0.15

𝑁 = 4851.61 𝐿𝑏



169

Recordando que la fuerza P esta dada por:

𝑃 = 𝑊𝑅 − 𝑁 = 225.04 − 4851.61 = 4626.57 𝐿𝑏

𝑃 ≈ 4650 𝐿𝑏

Sumatoria de fuerzas en los ejes “X” y “Z”

Tomando como base la figura 4-39 que muestra el diagrama de cuerpo libre de los

elementos de transmisión, podemos calcular las fuerzas resultantes que actuaran en el

engrane motor (rueda “E”).

Para la sumatoria de fuerzas en el eje “Z” empleamos la siguiente ecuación de estática.

𝐹𝑧 = 0;

−𝑊𝑡𝐺 + 𝑊𝑟𝑃 cos𝛼 + 𝑊𝑡𝑃 sin𝛼 = 0

𝐹𝑧 = −742 + 550 cos 3.63° + 1500 sin 3.63° = −92.134 𝐿𝑏

𝐹𝑧 ≈ −100 𝐿𝑏

Para la sumatoria de fuerzas en el eje “Y” empleamos la siguiente ecuación.

𝐹𝑦 = 0;

−𝑊𝑟𝐺 + 𝑊𝑟𝑃 sin𝛼 −𝑊𝑡𝑃 cos𝛼 −𝑊𝐺 = 0

En donde, para el calculo del peso propio del engrane motor “E”, es necesario conocer su

volumen “V” y el peso especifico del acero “γ”, aplicando la ecuación (14) para la rueda.

𝑊𝐺 = 𝛾 ∙ 𝑉 − − − (14)

El volumen de la rueda es V = 51.4164 In3 (obtenido del software Mechanical Desktop

2008) y el peso especifico del acero es γ= 490 [Lb/ft3]= 0.2836 [Lb/In3]. Sustituyendo en la

ecuación (14) tenemos.

𝑊𝐺 = 51.4164 0.2836 = 14.582 𝐿𝑏

𝑊𝐺 ≈ 15 𝐿𝑏

Sustituyendo las fuerzas en la ecuación de sumatorias de fuerzas en el eje “Y”.



170

AZ

𝐹𝑦 = −270 + 550 sin 3.63° − 1500 cos 3.63° − 15 = −1747.17 𝐿𝑏

𝐹𝑦 ≈ −1750 𝐿𝑏

Los signos negativos calculados indican que las suposiciones hechas en la figura 4-36

actuarán en los ejes negativos correspondientes.

En seguida se muestra nuevamente la figura 4-38 donde se muestra el diagrama de

cuerpo libre de la flecha corregido en el punto “E”.

Fig. 4-38 Fuerzas que interactúan en la Flecha (corregidas)

Longitud real de la flecha

Una vez teniendo todos los elementos que soportara la flecha, se procede a

dimensionarla (ver figura 4-38 y 4-40).

P

AY

BY

BZ

ΣFZ

ΣFY

Fr

b

b

c

A

C

B

E

Y

Z X



171

Fig. 4-40 Longitudes que componen a la flecha

Tomando como referencia la figura 4-40, cabe señalar que las dimensiones que a

continuación se muestran, están basadas en dimensiones ya establecidas por los

cojinetes seleccionados, la herramienta de doblado y el engrane motor (rueda), lo único

que se hizo fue deducir una ecuación que brindara un valor numérico para las longitudes

de la flecha en cada sección donde se encuentra un escalonamiento.

Longitud inicial “L1”

Se emplea la ecuación (41), con los datos obtenidos del cojinete 2212 EK del catalogo SKF

(ver tabal 4-13).

𝐿1 = 𝐵𝑎 + 𝐵 + 𝐵2 + 𝑎 − − − (41)

Donde “a” es un factor de distancia establecido para que en el bastidor no exista

interferencia con la flecha, o para que exista una distancia mayor en la longitud que

soportara a la herramienta de doblado, su valor es de una pulgada 1 In = 25.4 mm.


𝐿1 = 23 + 28 + 12.5 + 25.4 = 88.9 𝑚𝑚

𝐿1 ≈ 3.5 𝐼𝑛

L1

L2

L3

L4

Y

X Z



172

Segunda longitud “L2”

Para la segunda longitud se emplea la ecuación (42), donde ARH es el ancho del rodillo

hembra de los pasos de doblado de la primera etapa, su valor es de 10.5 In.

𝐿2 = 𝐴𝑅𝐻 + 𝑎 − − − (42)

Sustituyendo los valores en la ecuación (39), tenemos.

𝐿2 = 10.5 + 1 = 11.5 𝐼𝑛

Tercera longitud “L3”

Para el calculo de esta longitud se utiliza la ecuación (43), esta incluye un valor de los

datos obtenidos del cojinete 2212 EK del catalogo SKF (ver tabal 4-13).

𝐿3 = 𝐴𝐵 + 𝑎 − − − (43)

Sustituyendo los valores en la ecuación (43) y normalizándolos tenemos.

𝐿3 = 82 + 25.4 = 107.4 𝑚𝑚

𝐿3 = 4.228 𝐼𝑛 ≈ 4.25 𝐼𝑛

Cuarta longitud “L4”

El cálculo de la cuarta longitud se obtiene de la geometría de la rueda, en especial de l a

longitud del mamelón “lm”, más una constante “a´” que establecemos como extensión de

la flecha, su valor es de 1 ¾ de pulgada, la ecuación (93) muestra como obtenerla.

𝐿4 = 𝑙𝑚 + 𝑎´ = 𝐹 + 0.025 ∙ 𝑃𝑑 + 𝑎´ − −− (93)

Sustituyendo los valores donde “F” es el ancho de diente y “Pd” es el paso diametral,

encontramos el valor de “L4”.

𝐿4 = 1.5 + 0.025 8 + 1.75 = 3.45 𝐼𝑛

𝐿4 ≈ 3.5 𝐼𝑛

Longitud total de la flecha

Anteriormente ya se había establecido una ecuación que determinara la longitud total de

la flecha, ahora que ya conocemos las longitudes por segmento, podremos aplicarla (ver

ecuación No. 44)

𝐿𝑇𝐹 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 − −− 44



173

𝐿𝑇𝐹 = 3.5 + 11.5 + 4.25 + 3.5 = 22.75 𝐼𝑛

Longitud “b”

Ahora, para la longitud “b”, la cual se toma del centro del cojinete “A” al centro de la

herramienta de doblado “C”, se emplea la ecuación (46) cambiando el término del lado

izquierdo por “b”, recordando que el valor de “a” sigue siendo de 1 pulgada (25.4 mm).

𝑏 =𝐿2

2+ 𝐵𝑎 +

𝐵

2+ 𝑎 − − − (46)

𝑏 =292.1

2+ 23 +

28

2+ 25.4 = 208.45 𝑚𝑚

𝑏 = 8.2067 𝐼𝑛

Longitud “c”

Para el calculo de la longitud “c”, la cual se dimensiona desde el centro del cojinete

hasta el centro del elemento que transmite la potencia (rueda), la ecuación (94) muestra

de que manera obtenerla.

𝑐 =𝐵

2+ 𝐵2 + 𝐴𝐵 − 𝐵𝑎 − 𝐵 − 𝐵2 +

𝐿4

2

Simplificando

𝑐 = 𝐴𝐵 −𝐵

2− 𝐵𝑎 +

𝐿4

2− − − (94)

Sustituyendo los valores en base a la tabla 4-13 y con la longitud “L4” ya calculada

tenemos que:

𝑐 = 82 −28

2− 23 +

88.9

2= 89.45 𝑚𝑚

𝑐 = 3.5217 𝐼𝑛

Calculo de reacciones, cortantes y momentos flexionanates

Reacción en “Z”

𝑀𝑌𝐴 = 0;

−𝐹𝑟𝑏 − 2𝐵𝑧𝑏 + 𝐹𝑧(2𝑏 + 𝑐) = 0



174

𝐵𝑧 =−𝐹𝑟𝑎 + 𝐹𝑧 2𝑏 + 𝑐

2𝑏

𝐵𝑧 = −752 8.2067 + 100 2 8.2067 + 3.5217

2 8.2067

𝐵𝑧 = −254.5438 𝐿𝑏

Reacción en “Y”

𝑀𝑍𝐴 = 0;

−𝑃𝑏 + 2𝐵𝑦𝑏 − 𝐹𝑦(2𝑏 + 𝑐) = 0

𝐵𝑦 =𝑃𝑏 + 𝐹𝑦 2𝑏 + 𝑐

2𝑏

𝐵𝑦 = 4650 8.2067 + 1750 2 8.2067 + 3.5217

2 8.2067

𝐵𝑦 = 4450.4844 𝐿𝑏

Reacción en “Z”

𝑀𝑌𝐵 = 0;

𝐹𝑟𝑏 + 2𝐴𝑧𝑏 + 𝐹𝑧𝑐 = 0

𝐴𝑧 =−𝐹𝑟𝑏 − 𝐹𝑧𝑐

2𝑏

𝐴𝑧 =−752 8.2067 − 100 3.5217

2 8.2067

𝐴𝑧 = −397.4563 𝐿𝑏

Reacción en “Y”

𝑀𝑍𝐵 = 0;

𝑃𝑏 − 2𝐴𝑦𝑏 − 𝐹𝑦𝑐 = 0



175

AZ

𝐴𝑦 =𝑃𝑏 − 𝐹𝑦𝑐

2𝑏

𝐴𝑦 =4650 8.2067 − 1750(3.5217)

2 8.2067

𝐴𝑌 = 1949.5156 𝐿𝑏

Los signos negativos indican que la dirección supuesta es opuesta al eje en que

plantearon, a continuación se muestran las fuerzas ya corregidas en dirección a lo largo

de la flecha (ver figura 4-38 con segunda corrección).

Fig. 4-38 Fuerzas que interactúan en la Flecha (segunda corrección)

Cortantes y momentos flexionantes

Para calcular las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes emplearemos el método

analítico, es decir dejaremos las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en función de

la longitud “X”, con el fin de deducir posteriormente, las ecuaciones para la deflexión.

Plano X-Y

Para determinar las ecuaciones que intervienen en el plano X-Y nos ayudaremos de la

figura 4-41, donde se muestran las cargas que intervienen en la flecha.

P

AY

BY

BZ

ΣFZ

ΣFY

Fr

b

b

c

A

C

B

E

Y

Z X



176

Fig. 4-41 Cargas que actúan en la flecha plano X-Y

Para el segmento de Flecha A-C la condición es:

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Cortante

𝐹𝑌 = 0;

𝐴𝑌 − 𝑉 = 0

𝑉 = 𝐴𝑌 −− − (94)

Momento flexionante

𝑀𝑍 = 0;

𝑀 − 𝐴𝑌 ∙ 𝑥 = 0

𝑀 = 𝐴𝑌 ∙ 𝑥 − − − (95)

Evaluando

Si x = 0

𝑉 = 𝐴𝑌 = 1949.5156 𝐿𝑏

𝑀 = 𝐴𝑌 0 = 0

Si x = b

𝑉 = 𝐴𝑌 = 1949.5156 𝐿𝑏



177

𝑀 = 𝐴𝑌 ∙ 𝑏 = 1949.5156 8.2067 𝑀 = 15999.0897 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Para el segmento de Flecha A-B la condición es:

𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑏

Cortante

𝐹𝑌 = 0;

𝐴𝑌 − 𝑉 − 𝑃 = 0

𝑉 = 𝐴𝑌 − 𝑃 − − − (96)

Momento flexionante

𝑀𝑍 = 0;

𝑀 + 𝑃(𝑥 − 𝑏) − 𝐴𝑌 ∙ 𝑥 = 0

𝑀 = −𝑃 𝑥 − 𝑏 + 𝐴𝑌 ∙ 𝑥 − − − (97)

Evaluando

Si x = b

𝑉 = 𝐴𝑌 − 𝑃 = 1949.5156 − 4650

𝑉 = −2700.4844

𝑀 = −𝑃 𝑏 − 𝑏 + 𝐴𝑌 ∙ 𝑏

𝑀 = 𝐴𝑌 ∙ 𝑏 = 1949.5156 8.2067

𝑀 = 15999.0897 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Si x = 2b

𝑉 = 𝐴𝑌 − 𝑃 = 1949.5156 − 4650

𝑉 = −2700.4844

𝑀 = −𝑃 2𝑏 − 𝑏 + 2𝐴𝑌 ∙ 𝑏

𝑀 = −𝑃 ∙ 𝑏 + 2𝐴𝑌 ∙ 𝑏 = −4650 8.2067 + 2(1949.5156) 8.2067



178

𝑀 = −6162.9757 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Para el segmento de Flecha A-E la condición es:

2𝑏 ≤ 𝑥 ≤ (2𝑏 + 𝑐)

Cortante

𝐹𝑌 = 0;

𝐴𝑌 − 𝑉 − 𝑃 + 𝐵𝑌 = 0

𝑉 = 𝐴𝑌 − 𝑃 + 𝐵𝑌 − −− (98)

Momento flexionante

𝑀𝑍 = 0;

𝑀 −𝐵𝑌(𝑥 − 2𝑏) + 𝑃(𝑥 − 𝑏) − 𝐴𝑌 ∙ 𝑥 = 0

𝑀 = 𝐵𝑌(𝑥 − 2𝑏)−𝑃 𝑥 − 𝑏 + 𝐴𝑌 ∙ 𝑥 − − − (99)

Evaluando

Si x = 2b

𝑉 = 𝐴𝑌 − 𝑃 + 𝐵𝑌 = 1949.5156 − 4650 + 4450.4844

𝑉 = 1750 𝐿𝑏

𝑀 = 𝐵𝑌(2𝑏 − 2𝑏) − 𝑃 2𝑏 − 𝑏 + 2𝐴𝑌 ∙ 𝑏

𝑀 = −𝑃 ∙ 𝑏 + 2𝐴𝑌 ∙ 𝑏 = −4650 8.2067 + 2(1949.5156) 8.2067

𝑀 = −6162.9757 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Si x = (2b+c)

𝑉 = 𝐴𝑌 − 𝑃 + 𝐵𝑌 = 1949.5156 − 4650 + 4450.4844

𝑉 = 1750 𝐿𝑏

𝑀 = 𝐵𝑌 2𝑏 + 𝑐 − 2𝑏 − 𝑃 2𝑏 + 𝑐 − 𝑏 + 𝐴𝑌(2𝑏 + 𝑐)

𝑀 = 𝐵𝑌 ∙ 𝑐 − 𝑃 𝑏 + 𝑐 + 𝐴𝑌 2𝑏 + 𝑐



179

𝑀 = 4450.4844 3.5217 − 4650 8.2067 + 3.5217 + 1949.5156 2 8.2067 + 3.5217

𝑀 = 0

A continuación se presentan los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante

para el plano X-Y. Estos diagramas nos ayudarán a identificar el momento máximo en el

eje “Z” a lo largo de la flecha, nos apoyaremos de la figura 4-42.

Fig. 4-42 Cortante y momento flexionante para plano X-Y

AY BY

P ΣFy

X

Y

A

C

B

E



180

Plano X-Y

Para determinar las ecuaciones que intervienen en el plano X-Z nos ayudaremos de la

figura 4-43, donde se muestran las cargas que intervienen en la flecha.

Fig. 4-43 Cargas que actúan en la flecha plano X-Z

Para el segmento de Flecha A-C la condición es:

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Cortante

𝐹𝑍 = 0;

−𝐴𝑍 + 𝑉 = 0

𝑉 = 𝐴𝑍 − − − (100)

Momento flexionante

𝑀𝑌 = 0;

𝑀 − 𝐴𝑍 ∙ 𝑥 = 0

𝑀 = 𝐴𝑍 ∙ 𝑥 − − − (101)



181

Evaluando

Si x = 0

𝑉 = 𝐴𝑍 = 397.4563 𝐿𝑏

𝑀 = 𝐴𝑍 0 = 0

Si x = b

𝑉 = 𝐴𝑍 = 397.4563 𝐿𝑏

𝑀 = 𝐴𝑍 ∙ 𝑏 = 397.4563 8.2067

𝑀 = 3261.8046 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Para el segmento de Flecha A-B la condición es:

𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑏

Cortante

𝐹𝑍 = 0;

−𝐴𝑍 + 𝐹𝑟 + 𝑉 = 0

𝑉 = 𝐴𝑍 − 𝐹𝑟 − − − (102)

Momento flexionante

𝑀𝑌 = 0;

𝑀 + 𝐹𝑟(𝑥 − 𝑏) − 𝐴𝑍 ∙ 𝑥 = 0

𝑀 = −𝐹𝑟 𝑥 − 𝑏 + 𝐴𝑍 ∙ 𝑥 − − − (103)

Evaluando

Si x = b

𝑉 = 𝐴𝑍 − 𝐹𝑟 = 397.4563 − 752

𝑉 = −354.5437 𝐿𝑏

𝑀 = −𝐹𝑟 𝑏 − 𝑏 + 𝐴𝑍 ∙ 𝑏



182

𝑀 = 𝐴𝑧 ∙ 𝑏 = 397.4563 8.2067

𝑀 = 3261.8046 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Si x = 2b

𝑉 = 𝐴𝑍 − 𝐹𝑟 = 397.4563 − 752

𝑉 = −354.5437 𝐿𝑏

𝑀 = −𝐹𝑟 2𝑏 − 𝑏 + 2𝐴𝑍 ∙ 𝑏

𝑀 = −𝐹𝑟 ∙ 𝑏 + 2𝐴𝑍 ∙ 𝑏 = −752 8.2067 + 2(397.4563) 8.2067

𝑀 = 352.1708 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Para el segmento de Flecha A-E la condición es:

2𝑏 ≤ 𝑥 ≤ (2𝑏 + 𝑐)

Cortante

𝐹𝑍 = 0;

−𝐴𝑍 + 𝐹𝑟 + 𝑉 − 𝐵𝑍 = 0

𝑉 = 𝐴𝑍 − 𝐹𝑟 + 𝐵𝑍 − − − (104)

Momento flexionante

𝑀𝑌 = 0;

𝑀 − 𝐵𝑍(𝑥 − 2𝑏) + 𝐹𝑟(𝑥 − 𝑏) − 𝐴𝑍 ∙ 𝑥 = 0

𝑀 = 𝐵𝑍(𝑥 − 2𝑏)−𝐹𝑟 𝑥 − 𝑏 + 𝐴𝑍 ∙ 𝑥 − − − (105)

Evaluando

Si x = 2b

𝑉 = 𝐴𝑍 − 𝐹𝑟 + 𝐵𝑍 = 397.4563 − 752 + 254.5438

𝑉 = −100 𝐿𝑏

𝑀 = 𝐵𝑍(2𝑏 − 2𝑏) − 𝐹𝑟 2𝑏 − 𝑏 + 2𝐴𝑍 ∙ 𝑏



183

𝑀 = −𝐹𝑟 ∙ 𝑏 + 2𝐴𝑍 ∙ 𝑏 = −752 8.2067 + 2(397.4563) 8.2067

𝑀 = 352.1708 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Si x = (2b+c)

𝑉 = 𝐴𝑍 − 𝐹𝑟 + 𝐵𝑍 = 397.4563 − 752 + 254.5438

𝑉 = −100 𝐿𝑏

𝑀 = 𝐵𝑍 2𝑏 + 𝑐 − 2𝑏 − 𝐹𝑟 2𝑏 + 𝑐 − 𝑏 + 𝐴𝑍(2𝑏 + 𝑐)

𝑀 = 𝐵𝑍 ∙ 𝑐 − 𝐹𝑟 𝑏 + 𝑐 + 𝐴𝑍 2𝑏 + 𝑐

𝑀 = 254.5438 3.5217 − 752 8.2067 + 3.5217 + 397.4563 2 8.2067 + 3.5217

𝑀 = 0

A continuación se presentan los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante

para el plano X-Z. Estos diagramas nos ayudarán a identificar el momento máximo en el

eje “Y” a lo largo de la flecha, nos apoyaremos de la figura 4-44.

AZ BZ ΣFZ

Fr

A B

C

Z

X E



184

Fig. 4-44 Cortante y momento flexionante para plano X-Z


Repetiremos la tabla 4-8, la cual muestra los momentos máximos en los puntos A, B y C, así

como también, el torque a través de la flecha.

La ecuación para el momento total flexionante en cada punto es:

𝑀𝑇 = 𝑀𝑍𝑚𝑎𝑥

2+ 𝑀𝑌𝑚𝑎𝑥

2

12

− −− (21)

Para el punto “B”

𝑀𝑇𝐵 = −6162.9757 2 + 352.1708 2 1

2 = 6173.0295 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

𝑀𝑇 ≈ 6200 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Para el punto “C”

𝑀𝑇𝐶 = 15999.0897 2 + 3261.8046 2 1

2 = 16328.2039 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

𝑀𝑇 ≈ 16350 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Sustituyendo los valores de los momentos flexionantes máximos de cada punto en “Z” e

“Y” en la ecuación (21) encontraremos el momento total.


𝑴𝑻 T

A 0 0 0 0

B -6162.9757 352.1708 6200 3760

C 15999.0897 3261.8046 16350 3760

E 0 0 0 3760 Tabla 4-8 Momento total flexionante y torque

Como puede observarse en la tabla 4-8, el punto critico en la flecha sigue siendo el “C”.



185


Aplicaremos la ecuación (22) primero para el punto crítico y después para cada uno de

los puntos marcados en la flecha.

𝐷 = 32 ∙ 𝑁


𝑆′𝑛

2

+3

4 𝑇

𝑆𝑦

2

12

13

− − − 22

Para el punto “C” (herramienta de doblado)


kt= 2

MT= 16350 Psi

S`n= 53 Ksi

T= 3760 psi

SY = 241 Ksi

Para el diseño por de resistencia a la fatiga real “S´n”, se tendrá que modificar un factor

debido a la modificación del diámetro.

Factor de tamaño CS

𝐶𝑆 = 𝐷

0.3 −0.11

𝐶𝑆 = 2.5

0.3 −0.11

𝐶𝑆 = 0.792


𝑆𝑛` = 135 0.61 0.814 0.792 = 53.09 𝐾𝑠𝑖

𝑆𝑛` ≈ 53 𝐾𝑠𝑖

Dejaremos la ecuación (22) en función del factor de seguridad para después elegir el


2.5).




186

𝐷𝐶 = 32 ∙ 𝑁

𝜋

2(16.35)

53

2

+3

4

3.76

241

2

12

13

Simplificando

𝐷𝐶 = 6.286 ∙ 𝑁 1

3



Factor de

seguridad “N”

Diámetro mínimo


1.00 1.846

1.25 1.988

1.50 2.113

1.75 2.224

2.00 2.325

2.25 2.418


Para el punto “B” (Cojinete)


kt= 2

MT= 6200 Psi

S`n= 54 Ksi

T= 3760 psi

SY = 241 Ksi

Para el diseño por de resistencia a la fatiga real “S´n”, se tendrá que modificar un factor

debido al diámetro de la pista interior de los cojinetes.

Factor de tamaño CS

𝐶𝑆 = 𝐷

0.3 −0.11

𝐶𝑆 = 2.1654

0.3 −0.11

𝐶𝑆 = 0.805



187


𝑆𝑛` = 135 0.61 0.814 0.805 = 53.962 𝐾𝑠𝑖

𝑆𝑛` ≈ 54 𝐾𝑠𝑖



2.5).


𝐷𝐵 = 32 ∙ 𝑁

𝜋

2(6.2)

54

2

+3

4

3.76

241

2

12

13

Simplificando

𝐷𝐵 = 2.343 ∙ 𝑁 1

3



Factor de

seguridad “N”

Diámetro mínimo


1.00 1.328

1.25 1.431

1.50 1.520

1.75 1.601

2.00 1.673

2.25 1.740


Como puede observarse en la tabla 4-11, el diámetro mínimo requerido por los cojinetes

es 1.8 In, esto indica que la selección del cojinete ha sido efectiva, no fallara por

resistencia.

Para el punto “E” (Engrane)


kt= 2

MT= 0 Psi

T= 3760 psi

SY = 241 Ksi



188



2.5).


𝐷𝐸 = 32 ∙ 𝑁

𝜋

2(0)

54

2

+3

4

3.76

241

2

12

13

Simplificando

𝐷𝐸 = 0.138 ∙ 𝑁 1

3



Factor de

seguridad “N”

Diámetro mínimo


1.00 0.516

1.25 0.556

1.50 0.591

1.75 0.622

2.00 0.651

2.25 0.677


Diámetros normalizados

Los diámetros normalizados tienen la función de realizar y mecanizar la flecha en

estándares de dimensiones, ver anexo 03, esto se practica con el fin de reducir los costos y

hacer más funcionales los elementos. Para el caso de nuestra flecha, las dimensiones se

muestran en la tabla 4-23 que muestra los diámetros normalizados.

Punto Diámetro mínimo requerido Diámetro normalizado

A 1.800 In 2.1653 In(55 mm)

B 1.800 In 2.1653 In(55 mm)

C 2.418 In 2.500 In

E 0.700 In 2.000 In Tabla 4-23 Diámetros Normalizados

Diseño por Rigidez

Ahora que sabemos la verdadera configuración de la flecha, podemos evaluar el diseño

por rigidez y de esta forma, determinar la deflexión por flexión y la deflexión por torsión.



189


En este punto se tiene que determinar la ecuación de deflexión ocasionada por la flexión,

no podemos utilizar la ecuación (25) ya que la configuración de la flecha es distinta. Para

este caso emplearemos el método de doble integración para encontrar una ecuación

particular para nuestro diseño.

La ecuación por doble integración en su forma general es la siguiente.

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑀

𝐸 ∙ 𝐼

Desarrollando la ecuación anterior para encontrar el ángulo de flexión “θ” y el

desplazamiento o la deflexión “y”, tenemos las siguientes ecuaciones que serán útiles para

determinar dichos desplazamientos.

𝐸 ∙ 𝐼𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑀

Para el ángulo de flexión tenemos

𝐸 ∙ 𝐼𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝜃 = 𝑀 ∙ 𝑑𝑥

Para la deflexión tenemos

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 = 𝑀 ∙ 𝑑𝑥

Evaluando la ecuación para el plano X-Y

De 0 ≤ x ≤ b

Para el ángulo.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝜃 = 𝐴𝑦 ∙ 𝑥 𝑑𝑥

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝜃 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

2

2+ 𝐶1 −− − (106)

Para la deflexión.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 = 𝐴𝑦 ∙ 𝑥 𝑑𝑥

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 = 𝐴𝑦 ∙ 𝑥

2

2+ 𝐶1 𝑑𝑥



190

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

3

6+ 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2 − − − (107)

De b ≤ x ≤ 2b

Para el ángulo.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝜃 = 𝐴𝑦 ∙ 𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝑏) 𝑑𝑥

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝜃 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

2

2−𝑃 ∙ 𝑥2

2+ 𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝐶3 − − − (108)

Para la deflexión.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 = 𝐴𝑦 ∙ 𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝑏) 𝑑𝑥

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 = 𝐴𝑦 ∙ 𝑥

2

2−𝑃 ∙ 𝑥2

2+ 𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝐶3 𝑑𝑥

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

3

6−𝑃 ∙ 𝑥3

6+𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥2

2+ 𝐶3 ∙ 𝑥 + 𝐶4 −− − (109)

De 2b ≤ x ≤ (2b+c)

Para el ángulo.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝜃 = 𝐴𝑦 ∙ 𝑥 − 𝑃 𝑥 − 𝑏 + 𝐵𝑦(𝑥 − 2𝑏) 𝑑𝑥

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝜃 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

2

2−𝑃 ∙ 𝑥2

2+ 𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 +

𝐵𝑦 ∙ 𝑥2

2− 2𝐵𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝐶5 − − − (110)

Para la deflexión.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 = 𝐴𝑦 ∙ 𝑥 − 𝑃 𝑥 − 𝑏 + 𝐵𝑦(𝑥 − 2𝑏) 𝑑𝑥

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 = 𝐴𝑦 ∙ 𝑥

2

2−𝑃 ∙ 𝑥2

2+ 𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 +

𝐵𝑦 ∙ 𝑥2

2− 2𝐵𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝐶5 𝑑𝑥

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

3

6−𝑃 ∙ 𝑥3

6+𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥2

2+𝐵𝑦 ∙ 𝑥

3

6−

2𝐵𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥2

2+ 𝐶5 ∙ 𝑥 + 𝐶6 − − − (111)

Ahora que conocemos las ecuaciones de flexión es necesario evaluar las constantes de

integración, para lo cual debemos de establecer condiciones de frontera y de



191

continuidad. En la tabla 4-24 establecemos las condiciones necesarias para evaluar las

constantes.

Condiciones para evaluar constantes

Condición Valor de “x” Deflexión “y” [in] Ángulo de flexión “θ”

0 ≤ x ≤ b x = 0 y1 = 0 θ1 = máxima

x = b y1 = máxima θ1 = 0

b ≤ x ≤ 2b x = b y2 = máxima θ2 = 0

x = 2b y2 = 0 θ2 = máxima

2b ≤ x ≤ (2b+c) x = 2b y3 = 0 θ3 = máxima

x = (2b+c) y3 = máxima θ3 = 0

Continuidad x = b y1 = y2 = ymax θ1 = θ2 = 0

x = 2b y2 = y3 = 0 θ2 = θ3 = θmax Tabla 4-24 Condiciones para evaluar constantes de integración

De la primer condición cuando x = 0 la deflexión es y1 = 0, y la ecuación (107), arroja el

valor de la segunda constante de integración C2.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

3

6+ 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2

0 = 0 + 0 + 𝐶2

𝐶2 = 0

De la primer condición cuando x = b el ángulo de flexión θ1 = 0, y la ecuación (106), arroja

el valor de la primer constante de integración C1.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝜃 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

2

2+ 𝐶1

0 =𝐴𝑦 ∙ 𝑏

2

2+ 𝐶1

𝐶1 = −𝐴𝑦 ∙ 𝑏

2

2

De la segunda condición cuando x = b el ángulo de flexión θ2 = 0, y la ecuación (108),

arroja el valor de la tercer constante de integración C3.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝜃 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

2

2−𝑃 ∙ 𝑥2

2+ 𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝐶3

0 =𝐴𝑦 ∙ 𝑏

2

2−𝑃 ∙ 𝑏2

2+ 𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 + 𝐶3



192

𝐶3 = −𝐴𝑦 ∙ 𝑏

2

2−𝑃 ∙ 𝑏2

2

De la segunda condición cuando x = 2b la deflexión es y2 = 0, y la ecuación (109), arroja el

valor de la cuarta constante de integración C4.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

3

6−𝑃 ∙ 𝑥3

6+𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥2

2+ 𝐶3 ∙ 𝑥 + 𝐶4

0 =𝐴𝑦 ∙ 2𝑏

3

6−𝑃 ∙ 2𝑏 3

6+𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 2𝑏 2

2+ 𝐶3 ∙ 2𝑏 + 𝐶4

0 =𝐴𝑦 ∙ 2𝑏

3

6−𝑃 ∙ 2𝑏 3

6+𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 2𝑏 2

2+ −

𝐴𝑦 ∙ 𝑏2

2−𝑃 ∙ 𝑏2

2 ∙ 2𝑏 + 𝐶4

𝐶4 = −𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

3+𝑃 ∙ 𝑏3

3

De la condición de continuidad cuando x = 2b, los ángulos de flexión θ2 = θ3 = θmax, y si

igualamos las ecuaciones (108) y (110), obtendremos el valor de la quinta constante de

integración C5.

𝐴𝑦 ∙ 𝑥

2

2−𝑃 ∙ 𝑥2

2+ 𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝐶3 =

𝐴𝑦 ∙ 𝑥2

2−𝑃 ∙ 𝑥2

2+ 𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 +

𝐵𝑦 ∙ 𝑥2

2− 2𝐵𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝐶5

0 − 0 + 0 + 𝐶3 = 0 − 0 + 0 +𝐵𝑦 ∙ 𝑥

2

2− 2𝐵𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝐶5

−𝐴𝑦 ∙ 𝑏

2

2−𝑃 ∙ 𝑏2

2=𝐵𝑦 ∙ 2𝑏

2

2− 2𝐵𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 + 𝐶5

𝐶5 = 2𝐵𝑦 ∙ 𝑏2 −

𝐴𝑦 ∙ 𝑏2

2−𝑃 ∙ 𝑏2

2

Por último, de la tercer condición cuando x = 2b la deflexión es y3 = 0, y la ecuación (111),

nos proporcionará el valor de la sexta constante de integración.

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

3

6−𝑃 ∙ 𝑥3

6+𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥2

2+𝐵𝑦 ∙ 𝑥

3

6−

2𝐵𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥2

2+ 𝐶5 ∙ 𝑥 + 𝐶6

0 =𝐴𝑦 ∙ 2𝑏

3

6−𝑃 ∙ 2𝑏 3

6+𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 2𝑏 2

2+𝐵𝑦 ∙ 2𝑏

3

6−

2𝐵𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 2𝑏 2

2+ 𝐶5 ∙ 2𝑏 + 𝐶6

0 =4 ∙ 𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

3+

2 ∙ 𝑃 ∙ 𝑏3

3−

8 ∙ 𝐵𝑦 ∙ 𝑏3

3+ 2𝑏 ∙ 𝐶5 + 𝐶6



193

0 =4 ∙ 𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

3+

2 ∙ 𝑃 ∙ 𝑏3

3−

8 ∙ 𝐵𝑦 ∙ 𝑏3

3+ 2𝑏 2𝐵𝑦 ∙ 𝑏

2 −𝐴𝑦 ∙ 𝑏

2

2−𝑃 ∙ 𝑏2

2 + 𝐶6

0 =4 ∙ 𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

3+

2 ∙ 𝑃 ∙ 𝑏3

3−

8 ∙ 𝐵𝑦 ∙ 𝑏3

3+ 4𝐵𝑦 ∙ 𝑏

3 − 𝐴𝑦 ∙ 𝑏3 − 𝑃 ∙ 𝑏3 + 𝐶6

𝐶6 =𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

3−𝑃 ∙ 𝑏3

3+

4 ∙ 𝐵𝑦 ∙ 𝑏3

3

Ahora que tenemos evaluadas las constantes de integración, podremos determinar la

deflexión máxima en la flecha.

Cabe hacer mención que en este punto solo evaluaremos el plano X- Y, pues es en este

plano donde se presenta el mayor esfuerzo flexionante, y si analizamos el diagrama de

momento flexionante de la figura 4-42, nos daremos cuenta de que existen dos

deflexiones máximas tanto cuando x = b como cuando x = (2b+c). La deflexión crítica se

encuentra cuando x = b pues es en el punto “c” donde el momento de flexión es máximo.

Tomando como base a la tabla 4-24, y la condición de continuidad cuando x = b tanto y1

como y2 son máximos, por lo tanto evaluaremos las ecuaciones (107) y (109) con sus

respectivas constantes de integración.

Para 0 ≤ x ≤ b si x = b

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

3

6+ 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

6−𝐴𝑦 ∙ 𝑏

2

2∙ 𝑏 + 0

𝑦1𝑚𝑎𝑥 = −𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼− − − (112)

Para b ≤ x ≤ 2b si x = b

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑥

3

6−𝑃 ∙ 𝑥3

6+𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥2

2+ 𝐶3 ∙ 𝑥 + 𝐶4

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

6−𝑃 ∙ 𝑏3

6+𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏2

2+ −

𝐴𝑦 ∙ 𝑏2

2−𝑃 ∙ 𝑏2

2 ∙ 𝑏 −

𝐴𝑦 ∙ 𝑏3

3+𝑃 ∙ 𝑏3

3

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

6−𝑃 ∙ 𝑏3

6+𝑃 ∙ 𝑏3

2−𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

2−𝑃 ∙ 𝑏3

2−𝐴𝑦 ∙ 𝑏

3

3+𝑃 ∙ 𝑏3

3

𝐸 ∙ 𝐼 ∙ 𝑦 =𝐴𝑦∙ 𝑏

3

6−𝑃 ∙ 𝑏3

6+ 0 −

𝐴𝑦 ∙ 𝑏3

2− 0 −

𝐴𝑦 ∙ 𝑏3

3+𝑃 ∙ 𝑏3

3



194

𝑦2𝑚𝑎𝑥 =𝑏3 −4 ∙ 𝐴𝑦 + 𝑃

6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼− − − (113)

Los valores para evaluar las ecuaciones (112) y (113) son los que a continuación se

presentan.

b = 8.2067 In

Ay = 1949.5156 Lb

P = 4650 Lb

E = 30 x 106 psi

I = 1.918 In4

𝑦1𝑚𝑎𝑥 = −1949.5156 8.2067 3

3 30 × 106 1.918

𝑦1𝑚𝑎𝑥 = −6.2423 × 10−3 𝐼𝑛

𝑦2𝑚𝑎𝑥 =8.20673 −4 × 1949.5156 + 4650

6 30 × 106 1.918

𝑦2𝑚𝑎𝑥 = −5.0414 × 10−3

Aplicando la ecuación (28) para comprobar que el valor calculado no excede la

deflexión por flexión.

𝑦𝑝𝑒𝑟 = 0.00001 𝑎 0.0005 𝐼𝑛



que delimitaran la deflexión por flexión de la flecha. Puesto que la longitud total de la

flecha (en los puntos de montaje de los elementos) es 19.9351 In.

𝑦𝑝𝑒𝑟 1 = 0.00001 19.9351 = 0.1994 × 10−3𝐼𝑛

𝑦𝑝𝑒𝑟 2 = 0.0005 15.42 = 9.968 × 10−3𝐼𝑛


determinara si la flecha cumple por deflexión flexionante.

𝑦𝑝𝑒𝑟 1 ≤ 𝑦𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑦𝑝𝑒𝑟 2 − − − (29)


0.1994 × 10−3 < 6.2423 × 10−3 < 9.968 × 10−3



195




En la figura 4-22 se muestra la distribución del par torsor a lo largo de la flecha.

Fig. 4-22 Distribución del par torsor (Repetida)

Donde:



Aplicando la ecuación (30) para calcular el ángulo de torsión máximo en la flecha y

verificar los valores.

𝜃 =𝑇 ∙ 𝐿

𝐺 ∙ 𝐽− − − (30)

Donde:

θ= Angulo de torsión [rad]

T= 3760 Psi

G= 11.5 x106 Psi

J= 3.836 In4



𝑇𝐸 = 𝑇𝑆 = 𝑇𝐺 = 3760 𝐿𝑏. 𝐼𝑛

Como se observa en la figura 4-22 el torque solo se transmite del punto “E” al punto “C”, lo


TE




196

𝐿 = 𝐿𝐸𝐶 = 𝑏 + 𝑐

𝐿𝐸𝐶 = 8.2067 + 3.5217 = 11.7284 𝐼𝑛

Sustituyendo los valores en la ecuación (30) tenemos que:

𝜃𝐸𝐶 =3760 11.7284

11.5 × 106 3.836 = 9.9966 × 10−4𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐸𝐶 = 9.9966 × 10−4𝑟𝑎𝑑 180°

𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐸𝐶 = 0.057°








que delimitaran la deflexión por torsion de la flecha.

𝜃𝑝𝑒𝑟 1 = 0.001° 11.7284 = 11.7284° × 10−3

𝜃𝑝𝑒𝑟 2 = 0.01° 11.7284 = 0.1173°


determinara si la flecha cumple por deflexión torsionante.

𝜃𝑝𝑒𝑟 1 ≤ 𝜃𝐵𝐶 ≤ 𝜃𝑝𝑒𝑟 2 −− − (32)


11.73° × 10−3 < 0.057° < 0.1173°



4.7.- Diseño de Tornillos de Potencia

Las funciones principales de un tornillo de potencia son:

Mover componentes en línea recta en forma vertical u horizontal.



197

Convertir un movimiento rotatorio a lineal.

Los tipos principales de rosca son:

Cuadrada

Trapezoidal

ACME

Para nuestro tren de laminación se seleccionará un tornillo con rosca ACME debido a que

la carga no es muy grande y el usillo permanecerá la mayor parte del tiempo estático.

No hay que olvidarnos que los tornillos de potencia fallan por cortante en dirección axial.

Una vez que ya hemos obtenido las reacciones que actúan en los rodamientos, vamos a

calcular nuestro tornillo de potencia.

Agregando el peso de la porta bridas al valor de las reacciones tendremos la fuerza total

que actuará sobre el tornillo. Para el peso de la porta bridas, emplearemos la ecuación

(114).

𝑞 = 𝑣 ∙ 𝛾 − − − (114)

𝑞 = 110𝑖𝑛3 × 0.283𝐿𝑏

𝑖𝑛3

𝑞 = 31.13𝑙𝑏

Donde:

q = peso del porta brida.

V= volumen del porta brida.

γ = peso especifico del acero.

Se calcula la fuerza que va a levantar el tornillo con la ecuación (115).

𝐹 = 𝐵𝑦 + 𝑞 − − − (115)

𝐹 = 4450.484𝑙𝑏 + 31.13𝑙𝑏

𝐹 = 4481.614𝑙𝑏 ≈ 4500𝑙𝑏

Proponiendo para el material del tornillo un AISI 1018 estirado en frio con las siguientes

características mecánicas:

𝑆𝑢 = 55𝐾𝑠𝑖 𝑆𝑦 = 30𝐾𝑠𝑖 𝑆𝑦𝑠 = 15𝐾𝑠𝑖



198

Y un esfuerzo de diseño para el tornillo de:

𝜍𝑑 = 18𝑘𝑠𝑖

𝜏𝑑 =𝜍𝑑2

=18𝑘𝑠𝑖

2= 9𝑘𝑠𝑖

Se calcula el área a tensión del tornillo con la ecuación (116).

𝐴𝑡 =𝐹

𝜍𝑑− −− (116)

Donde

At = Área a tensión del tornillo

F = Fuerza que soportará el tornillo

σd = Esfuerzo de diseño para el tornillo

Sustituyendo los valores en la ecuación (116), tenemos el área a tensión.

𝐴𝑡 =4500𝑙𝑏

18000𝑙𝑏𝑖𝑛2

= 0.250𝑖𝑛2

Una vez evaluada el área, podemos seleccionar el tipo de tornillo apropiado para la

función deseada, ver tabla 4-25 que se muestra a continuación.

Diámetro

mayor

nominal

“D” (In)

Roscas

por

pulgada,

“n”

Paso

p =1/n (In)

Diámetro

menor

mínimo,

“Dr” (In)

Diámetro

mínimo de

paso “Dp”

(In)

Área del

esfuerzo

en tensión

“At” (In2)

Área del

esfuerzo

cortante,

“As” (In2)

¼ 16 0.0625 0.1618 0.2043 0.02632 0.3355

5/16 14 0.0714 0.2140 0.2614 0.04438 0.4344

3/8 12 0.0833 0.2632 0.3161 0.06589 0.5276

7/16 12 0.0833 0.3253 0.3783 0.09720 0.6396

½ 10 0.1000 0.3594 0.4306 0.1225 0.7298

5/8 8 0.1250 0.4570 0.5408 0.1955 0.9180

¾ 6 0.1667 0.5371 0.6424 0.2732 1.084

7/8 6 0.1667 0.6615 0.7663 0.4003 1.313

1 5 0.2000 0.7509 0.8726 0.5175 1.493

1 1/8 5 0.2000 0.8753 0.9967 0.6881 1.722

1 ¼ 5 0.2000 0.9998 1.1210 0.8831 1.952

1 3/8 4 0.2500 1.0719 1.2188 1.030 2.110

1 ½ 4 0.2500 1.1975 1.3429 1.266 2.341

1 ¾ 4 0.2500 1.4456 1.5916 1.811 2.803

2 4 0.2500 1.6948 1.8402 2.454 3.262

2 ¼ 3 0.3333 1.8572 2.0450 2.982 3.610



199

2 ½ 3 0.3333 2.1065 2.2939 3.802 4.075

2 ¾ 3 0.3333 2.3558 2.5427 4.711 4.538

3 2 0.5000 2.4326 2.7044 5.181 4.757

3 ½ 2 0.5000 2.9314 3.2026 7.388 5.700

4 2 0.5000 3.4302 3.7008 9.985 6.640

4 ½ 2 0.5000 3.9291 4.1991 12.972 7.577

5 2 0.5000 4.4281 4.6973 16.351 8.511 Tabla 4-25 Diámetros preferidos para roscas ACME

De la tabla se ven los siguientes valores:

𝐷 = 34 𝑖𝑛 𝐷𝑝 = 0.6424𝑖𝑛

𝑛 = 6 𝐴𝑡 = 0.2732𝑖𝑛2 𝑝 = 0.1667𝑖𝑛 𝐴𝑠 = 1.084𝑖𝑛2 𝐷𝑟 = 0.5371𝑖𝑛

Para esta rosca, cada pulgada de longitud de una tuerca suministraría 1.084 in2 de área

de esfuerzo cortante en sus roscas. Entonces el área requerida para el cortante se calcula

con la ecuación (117), y el valor es:

𝐴𝑠 =𝐹

𝜏𝑑− − − (117)

Donde:

As = Área en cortante

F = Fuerza a Cargar

d = Esfuerzo cortante de diseño

𝐴𝑠 =4500𝑙𝑏

9000𝑙𝑏𝑖𝑛2

= 0.5𝑖𝑛

Entonces la longitud mínima del yugo sería

𝑕 = 𝐴𝑠 1𝑖𝑛

𝐴𝑠 = 0.5

1

1.084 = 0.4612𝑖𝑛

𝑕 ≈ 0.5𝑖𝑛

El ángulo de avance (recordando que 𝐿 = 𝑝 = 1𝑛 = 1

6 = 0.1667𝑝𝑢𝑙𝑔) es

𝜆 = 𝑡𝑔−1 𝐿

𝜋𝐷𝑝 = 𝑡𝑔−1

0.1667

𝜋 × 0.6424 = 4.72°

El par torsional necesario para subir la carga se puede calcular del siguiente diagrama de

cuerpo libre que se muestra en la figura 4-45:



200

Fig. 4-45 Diagrama de cuerpo libre para un tornillo de potencia

Los parámetros que intervienen son la fuerza a mover F, el tamaño de la rosca,

representado por su diámetro de paso Dp, el avance del L y el coeficiente de fricción f.

Observe que el avance se le define como la distancia axial que mueve el tornillo en una

revolución completa. Para el caso normal de un tornillo de filete sencillo, el avance es

igual al paso, lo cual se puede ver en la tabla 4-25 o calcular con L=p=1/n.

Par torsional necesario para mover una carga con una rosa ACME

La diferencia entre las roscas Acme y las cuadradas es la presencia del ángulo de rosca

φ. De acuerdo con la figura 4-46, 2φ = 29°, y en consecuencia φ = 14.5°.

Fig. 4-46 Fuerza normal en una rosca ACME

Esto cambia la dirección de acción de las fuerzas sobre la rosca respecto a la figura

representada en 4-46. Por lo cual hay que sustituir a F por F/cos φ. Al efectuarlo, el análisis

del par torsional llegaría a las siguientes formas modificadas. El par torsional para mover la

carga rosca arriba esta dado por la ecuación (118).



201

𝑇𝑢 =𝐹𝐷𝑝

2 𝐶𝑜𝑠𝜑𝑡𝑎𝑛𝜆 + 𝑓

𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑓𝑡𝑎𝑛𝜆 − − − (118)

Y el par torsional para mover la rosca abajo se calcula con la ecuación (119).

𝑇𝑑 =𝐹𝐷𝑝

2 𝑓 − 𝐶𝑜𝑠𝜑𝑡𝑎𝑛𝜆

𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑓𝑡𝑎𝑛𝜆 − − − (119)

Sustituyendo las ecuaciones anteriores podemos obtener el par torsional necesario para

nuestro tornillo

𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑐𝑜𝑠14.5 = 0.968

𝑡𝑎𝑛𝜆 = 𝑡𝑎𝑛4.72 = 0.0825

𝑇𝑢 =4500 0.6424

2 0.968 × 0.0825 + 0.15

0.968 − 0.15 × 0.0825

𝑇𝑢 = 347.667𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛

𝑇𝑑 =4500 0.6424

2 0.15 − 0.968 × 0.0825

0.968 + 0.15 × 0.0825

𝑇𝑑 = 103.409𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛

La eficiencia del tornillo se calcula con la ecuación (120)

𝑒 =𝐹𝐿

2𝜋𝑇𝑢− −− (120)

𝑒 =4500 × 0.1667

2𝜋 × 347.667= 0.343

𝑒 = 34.3%

4.8.- Diseño de Soportes

Después de haber realizado el diseño del tornillo de potencia haremos el diseño de los

soportes con los cuales sostendremos a los porta rodamientos, la flecha superior y los

rodillos machos.

Dividiremos el diseño en tres partes, que son:

Diseño de la tapa

Diseño de los porta bridas



202

Diseño de las columnas

4.8.1.- Diseño de la tapa

La carga que soportará la tapa es la misma que soportará el tornillo con lo cual se sugiere

el diseño que se muestra en el anexo TP-02.

Se considera en este caso una viga doblemente empotrada con carga puntual

representada en la figura 4-47, que muestra el diagrama de cuerpo libre.

Fig. 4-47 Diagrama de cuerpo libre de la tapa

Se calculan las reacciones, los momentos y se realiza el diagrama de cortantes y de

momentos flexionantes.

𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =𝑃

2=

4500

2= 2250𝑙𝑏

𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 =𝑃𝐿

8=

4500 17.875

8= 10054.6875𝑙𝑏. 𝑖𝑛

La deflexión máxima se calcula con la ecuación (121):

=−𝑃𝐿3

192𝐸𝐼− − − (121)

Pero para aplicar esta ecuación tenemos un inconveniente, que el momento de inercia

es variable dependiendo de la distancia con respecto a cualquiera de los extremos, por lo

tanto se evaluarán distintos puntos en la viga a los cuales se le obtendrá su momento de



203

inercia y su centroide para lo cual la deflexión en un punto determinado esta dado por la

ecuación (122).

=−𝑃𝑥2

48𝐸𝐼 3𝐿 − 4𝑥 − − − (122)

Y al final se realizará la suma de las deflexiones parciales en cada punto evaluado, el

centroide se calculará con el primer momento del área antes de utilizar el teorema de los

ejes paralelos para la determinación del momento de inercia de los siguientes puntos.

Para x=0.8484 in (ver figura 4-48).

Fig. 4-48 Diagrama de cuerpo libre de la tapa para x = 0.8484 In

Se tiene la siguiente sección transversal (ver figura 4-49).

Fig. 4-49 Sección transversal de la tapa a x = 0.8484 In

Como es una sección muy común podemos obtener el momento de inercia con la

ecuación (123), para una sección rectangular.

𝐼 =𝑏𝑕3

12− − − (123)

𝐼 =2 0.750 3

12= 0.703𝑖𝑛4

Entonces la deflexión en ese punto se calcula con la ecuación (122), de la siguiente

manera.

=−𝑃𝑥2

48𝐸𝐼 3𝐿 − 4𝑥



204

0.8 =−4500 0.8484 2

48 30 × 106 0.0703 3 17.875 − 4 0.8484

0.8 = 0.0016"

Para x = 4.6585 (ver figura 4-50).



Fig. 4-51 Sección transversal de la tapa para x = 4.6585

𝑦 = 𝑥 ′𝑠𝑒𝑛15

𝑥 ′ = 3.8101

𝑦 = 3.8101𝑠𝑒𝑛 15 = 0.9861"



205

Sección A [in2] 𝒚 , in 𝒚 𝑨,𝒎𝒎𝟑

1

2

1.5

0.9861

0

0.868

0

0.8559

𝐴 = 2.4861 𝑦 𝐴 = 0.8559

𝑌 𝐴 = 𝑦 𝐴 − − − (124)

Para encontrar el centoide en la dirección “Y”, emplearemos la ecuación (125).

𝑌 = 𝑦 𝐴

𝐴− − − (125)

𝑌 =0.8559

2.4861= 0.3442𝑖𝑛

Utilizando el teorema de ejes paralelos (ecuación No. 126)

𝐼𝑥1

= 𝐼1 + 𝐴𝑌2 −− − (126)

𝐼𝑥1

= 0.0703 + 1.5 0.344 2 = 0.248𝑖𝑛4

𝐼𝑥2

= 𝐼2 + 𝐴𝑟2

𝐼𝑥2=

1 0.9861 3

12+ 0.9861 0.5238 2

𝐼𝑥2

= 0.0799 + .2705 = 0.350𝑖𝑛4

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥1

+ 𝐼𝑥2= 0.248 + .350 = 0.598𝑖𝑛4

4.6 =−4500 4.6585 2

48 30 × 106 0.598 3 17.875 − 4 4.6585

4.6 = 0.0039"

Para x = 7.9375 (ver figura 4-52)

Fig. 4-52 Diagrama de cuerpo libre de la tapa a x = 7.9375 In



206


Fig. 4-53 Sección transversal de la tapa para x = 7.9375 In

𝑦 = 𝑥 ′𝑠𝑒𝑛15

𝑥 ′ = 7.0891

𝑦 = 7.0891𝑠𝑒𝑛 15 = 1.8347"


1

2

1.5

1.8347

0

1.2923

0

2.358

𝐴 = 3.3347 𝑦 𝐴 = 2.358

𝑌 𝐴 = 𝑦 𝐴

∴ 𝑌 = 𝑦 𝐴

𝐴=

2.358

3.3347= 0.7071𝑖𝑛

Utilizando el teorema de ejes paralelos

𝐼𝑥1

= 𝐼1 + 𝐴𝑌2

𝐼𝑥1

= 0.0703 + 1.5 0.7071 2 = 0.8202𝑖𝑛4

𝐼𝑥2

= 𝐼2 + 𝐴𝑟2

𝐼𝑥2=

1 1.8347 3

12+ 1.8347 0.5238 2 = 1.1429𝑖𝑛4



207

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥1+ 𝐼𝑥2

= 0.8202 + 1.1429 = 1.9631𝑖𝑛4

7.9 =−4500 7.9375 2

48 30 × 106 1.9631 3 17.875 − 4 7.9375

7.9 = 0.0022"

Para x = 8.9375 (ver figura 4-54)



Fig. 4-55 Sección transversal de la tapa para x = 8.9375 In

𝐼 =𝑏𝑕3

12−𝑏𝑕3

12=

2 2.75 3

12−

0.75 2.75 3

12= 2.1663𝑖𝑛4

8.9 =−4500 8.9375 2

48 30 × 106 2.1663 3 17.875 − 4 8.9375

8.9 = 0.0020"



208

La suma de las deflexiones parciales nos da

𝛿𝑇 = 𝛿0.8 + 𝛿4.6 + 𝛿7.9 + 𝛿8.9

𝛿𝑇 = 0.0016 + 0.0039 + 0.0022 + 0.0020 = 0.0097𝑖𝑛

Para un elemento de máquina en general se tiene una deflexión admisible de 0.0005 a

0.003 pulg/pulg de longitud.

Para una longitud de viga de 17.875” se tiene un rango de:

0.0005 × 17.875 = 0.0089"

A 0.003 × 17.875 = 0.0536"

Por lo tanto la deflexión total esta dentro del rango y la sección transversal pasa por

rigidez.

Como la tapa es una figura compuesta se utilizará soldadura para unir las placas, en el

diagrama de cuerpo libre se observan las fuerzas que actúan y la posición de la soldadura

para este caso consideraremos al esfuerzo en tensión igual al de cortante, es una práctica

un poco conservadora pero según la experiencia de los diseñadores da buenos

resultados.

Fig. 4-56 Diagrama de cuerpo libre de la tapa para soldadura.

Para una longitud del cordón de 14.1782 pulgadas y un factor de seguridad de 2 se tiene

un esfuerzo cortante de (ecuación 127):

𝐹𝑑 = 2𝐹 = 2 × 4500 = 9000𝑙𝑏 − − − (127)

𝜏 = 2𝐹𝑑𝑕𝑙

= 2 9000

0.250 × 14.1782= 3590.843 𝑙𝑏 𝑖𝑛2 − − − (128)

𝜏 ≅ 3.6𝑘𝑠𝑖



209

Proponiendo una soldadura con número de electrodo E60xx se tienen los siguientes

esfuerzos (Ver tabla 4-26).

Tabla 4-26. Propiedades mínimas del metal de aporte

𝑆𝑢 = 62𝑘𝑠𝑖

𝑆𝑦 = 50 𝑘𝑠𝑖

Con un esfuerzo permisible en el metal de aporte (Tabla 4-27) critico en cortante para una

soldadura de tope o filete igual a 0.30Su.

Tabla 4-27. Esfuerzos permisibles por el código AISC para metal de aporte

𝜏𝑝𝑒𝑟𝑚 = 0.30𝑆𝑢 = 0.30 × 62 = 18.6𝑘𝑠𝑖

∴ 𝜏𝑝𝑒𝑟𝑚 > 𝜏



210

Por lo tanto la soldadura en esa sección pasa por cortante. Ahora evaluaremos el punto

donde está el cubo.

Fig. 4-57 Diagrama de cuerpo libre del cubo de la tapa para soldadura.

Para una longitud de cordón de 3.89 pulgadas para los dos lados del cubo y un factor de

seguridad de 2 se tiene un esfuerzo cortante de:

𝐹𝑑 = 2𝐹 = 2 × 4500 = 9000𝑙𝑏


= 2 9000

0.250 × 3.89= 13087.838 𝑙𝑏 𝑖𝑛2

𝜏 ≅ 13.1𝑘𝑠𝑖

Utilizando la misma soldadura de electrodo E60xx tenemos un esfuerzo permisible igual a:

𝜏𝑝𝑒𝑟𝑚 = 18.6𝑘𝑠𝑖


Por lo tanto la soldadura en esa sección pasa por cortante.

4.8.2.- Diseño de la porta bridas superior.

Considerando nuevamente la carga de 4500 lb para el diseño propuesto de la porta

bridas superior (ver plano PBS-01), y evaluando las uniones soldadas con esta carga,

tenemos en siguiente diagrama de cuerpo libre para la parte inferior de la porta bridas,

Con una longitud del cordón de soldadura de 15.375 pulgadas y un factor de seguridad

de 2.



211

Fig. 4-58 Diagrama de cuerpo libre de la porta brida superior en la parte inferior.

𝐹𝑑 = 2𝐹 = 2 × 4500 = 9000𝑙𝑏


= 2 9000

0.250 × 15.375= 3311.329 𝑙𝑏 𝑖𝑛2






Evaluando ahora la parte superior tenemos una longitud del cordón de 5.8756 pulgadas

para el siguiente diagrama de cuerpo libre el esfuerzo será de:

Fig. 4-59 Diagrama de cuerpo libre de la porta brida superior en la parte superior.



212

𝐹𝑑 = 2𝐹 = 2 × 4500 = 9000𝑙𝑏


= 2 9000

0.250 × 5.8756= 8664.934 𝑙𝑏 𝑖𝑛2






Analizando el cubo de la porta bridas se tiene el siguiente diagrama de cuerpo libre:

Fig. 4-60 Diagrama de cuerpo libre de la porta brida superior en la parte del cubo.

Con una longitud de cordón de soldadura de 4 pulgadas.

𝐹𝑑 = 2𝐹 = 2 × 4500 = 9000𝑙𝑏


= 2 9000

0.250 × 4= 12727.922 𝑙𝑏 𝑖𝑛2

𝜏 ≅ 13𝑘𝑠𝑖







213

Como la porta brida se sujeta al tornillo de potencia por medio de un cubo con tapa (ver

despiece) se seleccionarán los tornillos que resistan el esfuerzo a tensión de la carga

dada.

Para obtener la fuerza de sujeción de 9000 lb entre las dos partes de las maquinas, se

propuso un conjunto de cinco tronillos. La carga se comparte por igual entre los cinco

tornillos. Se especificaran los pernos adecuados, con el grado del material, si a cada uno

lo sometemos a esfuerzos del 75% de su resistencia de prueba y también calcularemos el

par torsional de apriete requerido.

La carga en cada tornillo debe ser de 1800 lb, se propone un tornillo de acero grado 2,

con resistencia de prueba de 55 ksi, entonces el esfuerzo permisible es:

𝜍𝑎 = 0.75 55000𝑝𝑠𝑖 = 41250𝑝𝑠𝑖 − − − (129)

El área necesaria al esfuerzo de tensión, para el perno, es entonces

𝐴𝑡 =𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎

𝜍𝑎=

1800𝑙𝑏

41250𝑝𝑠𝑖= 0.044𝑖𝑛2 − − − (130)

En la tabla 4-28 se observa que la rosca 5/16-18 UNC tiene el área necesaria de esfuerzo a

la tensión. El par torsional de apriete necesario será:

𝑇 = 𝐾𝐷𝑃 = 0.15 0.3125𝑖𝑛 1800𝑙𝑏 = 84.375𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛 − − − (131)

Tabla 4-28. Tamaños de rosca y áreas de esfuerzo a tensión



214

Tabla 4-28. Tamaños de rosca y áreas de esfuerzo a tensión (continuación)

4.8.3.- Diseño de postes

Para el diseño de los postes se considera la carga obtenida en las reacciones de la viga y

para la sección propuesta se tendrá que obtener el centroide del área y el momento de

Inercia de la sección para poder calcular la relación de esbeltez, determinar de qué tipo

de columna se trata, después la carga crítica y el pandeo que tenga la columna.

Calculando el primer momento del área

Fig. 4-61 Sección transversal del poste.



215


1

2

2

2(0.375)

0.5

1.25

1

0.9375

𝐴 = 2.75 𝑦 𝐴 = 1.9374

𝑌 𝐴 = 𝑦 𝐴

∴ 𝑌 = 𝑦 𝐴

𝐴=

1.9374

2.750= 0.7043𝑖𝑛

Utilizando el teorema de ejes paralelos

𝐼𝑥1

= 𝐼1 + 𝐴𝑟2

𝐼𝑥1=

2 1 3

12+ 2 0.2043 2 = 2501𝑖𝑛4

𝐼𝑥2

= 𝐼2 + 𝐴𝑟2

𝐼𝑥2= 2

0.75 0.5 3

12 + 2 0.375 0.5447 2 = 0.2381𝑖𝑛4

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥1

+ 𝐼𝑥2= 0.2501 + 0.2381 = 0.488𝑖𝑛4

Y el área es:

𝐴 = 𝑏𝑕 − 𝑏1𝑕1 = 2 × 1.5 − 0.5 × 0.5 = 2.75𝑖𝑛2

Ahora podemos calcular el radio de giro

𝑟 = 𝐼

𝐴=

0.488

2.75= 0.421𝑖𝑛 − − − (132)

Relación de esbeltez, considerando la columna empotrada – libre con un factor K=2.

𝐾𝐿

𝑟𝑚𝑖𝑛=

2 30

0.421= 142.518 − − − (133)

Relación de esbeltez de transición

𝐶𝑐 = 2𝜋𝐸

𝑆𝑦− − − (134)



216

Utilizando un acero AISI 1018 estirado en frio con Sy = 54 ksi y E = 30X106 psi.

𝐶𝑐 = 2𝜋 30 × 106𝑝𝑠𝑖

54000𝑝𝑠𝑖= 104.72

Como

𝐾𝐿

𝑟> 𝐶𝑐

La columna es larga y con carga excéntrica, por eso utilizaremos la ecuación (135) de la

secante para determinar el pandeo y el esfuerzo admisible, con un factor de seguridad N

= 3.

𝜍𝐿2

=𝑁𝑃

𝐴 1 +

𝑒𝑐

𝑟2sec

𝐾𝐿

2𝑟 𝑁𝑃

𝐴𝐸 − − − (135)

𝜍𝐿2

= 3 2250

2.75 1 +

0.7959 0.0457

0.4212sec

2 30

2 0.421

3 2250

2.75 30 × 106

𝜍𝐿

2 = 2958.288𝑝𝑠𝑖 ≈ 3000𝑝𝑠𝑖

Por lo tanto el material es el adecuado para soportar la carga, y la deflexión será:

𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑒 sec 𝐾𝐿

2𝑟 𝑃

𝐴𝐸 − 1 − − − (136)

𝑦𝑚𝑎𝑥 = 0.0457 sec 2 30

2 0.421

2250

2.75 30 × 106 − 1

𝑦𝑚𝑎𝑥 = 9.63 × 10−7𝑖𝑛

Para un elemento de máquina en general se tiene una deflexión admisible de 0.0005 a

0.003 pulg/pulg de longitud.

Para una longitud de columna de 30” se tiene un rango de:

0.0005 × 30 = 0.015"

A 0.003 × 30 = 0.09"



217


rigidez.

4.9.- Diseño de la Mesa de Trabajo

Para el diseño de los soportes de la mesa de trabajo hay que obtener los pesos de cada

elemento y sumarle las reacciones (tabla 4-29).

Elemento Volumen in3

Poste

Porta brida inferior

Porta brida superior

Tornillo de Potencia

Tapa

Tapa del Tornillo

Eje

Rueda

254.3632

70.0759

113.8198

3.4154

47.0564

0.09

94.156

51.156

𝑉 = 634.3931

Tabla 4-29 Volumenes de cada elemento

Multiplicando el volumen por el peso especifico del acero = 0.282 lb/in3

𝑃′′ = 𝑉 × 𝛾 = 634.3931 × 0.282 = 178.898𝑙𝑏

A este valor hay que multiplicarlo por dos porque son dos elementos de cada uno que

lleva cada paso

𝑃′ = 178.898𝑙𝑏 × 2 = 367.797𝑙𝑏

Suponiendo que todos los pasos cargan los rodillos más pesados tenemos:

Elemento Volumen in3

Rodillo Macho

Rodillo Hembra

Piñón

783.4384

698.0444

5.5315

𝑉 = 1487.0143

Multiplicando el volumen por el peso especifico del acero = 0.282 lb/in3

𝑊 = 𝑉 × 𝛾 = 1487.0143 × 0.282 = 419.338𝑙𝑏

Y la masa del moto reductor de 55 kg tiene un peso de 539.55N

𝑊𝑚𝑜𝑡 = 539.55𝑁 1𝑙𝑏

4.448𝑁 = 121.31𝑙𝑏



218

Realizando la suma de los pesos y las fuerzas

𝐹 = 𝑃′ + 𝑊 + 𝑊𝑚𝑜𝑡

2 + 𝐹

𝐹 = 357.797 + 419.338 + 121.301

2 + 4500 = 4949.218

Multiplicando este valor por los 7 pasos

𝑊7 = 4949.218 × 7 = 34644.526𝑙𝑏

Sumándole a este valor el peso de la cama

𝑊𝑐𝑎𝑚𝑎 = 𝑉 × 𝛾 = 6400 × 0.282 = 1804.8𝑙𝑏

𝑊𝑇 = 𝑊𝑐𝑎𝑚𝑎 + 𝑊7 = 34644.526 + 1804.8 = 36449.326𝑙𝑏

Utilizando un factor de diseño de 1.5

𝑊𝑑 = 36449.326 × 1.5 = 54673.989𝑙𝑏

Dividiendo la carga entre la longitud total de la cama, tenemos:

𝑞 =𝑊𝑑

𝑙=

54673.989

160= 341.71 𝑙𝑏 𝑖𝑛 ≈ 350 𝑙𝑏 𝑖𝑛

Fig. 4-62 Diagrama de cuerpo libre, cortante y momento flexionante de la cama.



219

Proponiendo una distancia entre apoyos L = 40 in.

Reacciones

𝑅𝐴 = 𝑅𝐸 = 0.393𝑞𝐿 = 0.393 350 40 = 5502𝑙𝑏

𝑅𝐵 = 𝑅𝐷 = 1.143𝑞𝐿 = 1.143 350 40 = 16002𝑙𝑏

𝑅𝐶 = 0.928𝑞𝐿 = 0.928 350 40 = 12992𝑙𝑏

Fuerzas Cortantes

𝑉𝐴 = 𝑅𝐴 = 5502𝑙𝑏

−𝑉𝐵 = −0.607𝑞𝐿 = −0.607 350 40 = −8498𝑙𝑏

+𝑉𝐵 = +0.536𝑞𝐿 = +0.536 350 40 = +7504𝑙𝑏

−𝑉𝐶 = −0.464𝑞𝐿 = −0.464 350 40 = −6496𝑙𝑏

+𝑉𝐶 = +0.464𝑞𝐿 = +0.464 350 40 = +6496𝑙𝑏

−𝑉𝐷 = −0.536𝑞𝐿 = −0.536 350 40 = −7504𝑙𝑏

+𝑉𝐷 = +0.607𝑞𝐿 = +0.607 350 40 = +8498𝑙𝑏

−𝑉𝐸 = −𝑅𝐸 = −5502𝑙𝑏

Momentos

𝑀𝐵 = 𝑀𝐷 = −0.1071𝑞𝐿2 = 𝑀𝑚𝑎𝑥 = −0.1071 350 40 2 = −59976𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛

𝑀𝐹 = 𝑀𝐼 = 0.0772𝑞𝐿2 = 0.0772 350 40 2 = 43232𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛

𝑀𝐶 = −0.0714𝑞𝐿2 = −0.0714 350 40 2 = −39984𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛

𝑀𝐺 = 𝑀𝐻 = 0.0364𝑞𝐿2 = 0.0364 350 40 2 = 20384𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛

Utilizando un perfil estructural PTR de 6 X 6 X ½ con I = 50.5 (Tabla 4-28) de material ASTM

A36 y un SU =58 ksi y SY = 36 ksi con E = 30 x 106, calcularemos la flecha máxima

𝑦 =−𝑞𝐿4

185𝐸𝐼=

−350 40 4

185 30 × 106 50.5 = 0.003𝑖𝑛

Para un elemento de máquina de precisión moderada se tiene una deflexión admisible

de 0.00001 a 0.0005 pulg/pulg de longitud.



220

Para una longitud de viga de 40” se tiene un rango de:

0.00001 × 40 = 0.0004"

A 0.0005 × 40 = 0.02"


rigidez.



221

4.9.1.- Diseño de postes para la mesa de trabajo

Para el diseño de los postes se considera la carga obtenida en las reacciones de la viga y

proponiendo el siguiente perfil tenemos:

Perfil estructural TS2.5X1.5X0.1875 con ry=0.5650, I = 0.4050in4, A = 1.270in2 de material A53

tipo E grado B con SU = 60 ksi y SY = 35 ksi.

Relación de esbeltez, considerando la columna empotrada – empotrada con un factor

K=0.5.

𝐾𝐿

𝑟𝑚𝑖𝑛=

0.5 40

0.5650= 35.398

Relación de esbeltez de transición

𝐶𝑐 = 2𝜋𝐸

𝑆𝑦

Utilizando un acero AISI 1018 estirado en frio con Sy = 54 ksi y E = 30X106 psi.

𝐶𝑐 = 2𝜋 30 × 106𝑝𝑠𝑖

35000𝑝𝑠𝑖= 127.888

Como

𝐾𝐿

𝑟< 𝐶𝑐

La columna es intermedia y con carga concéntrica, por eso utilizaremos la formula de J. B.

Johnson para determinar la carga critica.

𝑃𝑐𝑟 = 𝐴𝑆𝑦 1 −𝑆𝑦 𝐾𝐿 𝑟 2

4𝜋2𝐸 − − − (137)

𝑃𝑐𝑟 = 1.27 35000 1 −35000 35.398 2

4𝜋2 30 × 106 = 42.8𝑘𝑠𝑖

Como la carga máxima en la columna es de 16 ksi y la carga critica es mucho mayor el

perfil pasa por carga.



222

CAPÍTULO V

ANÁLISIS ECONÓMICO

5.1.- Costos de producción

5.2.- Depreciación




223

5.1.- Costos de producción

Para que un producto tenga éxito en su venta, el costo debe de competir con el de los

productos semejantes. El costo total de un producto consiste en varias categorías, como

el costo del material, de herramientas, costos fijos y costos de mano de obra directa e

indirecta.

Los métodos de procedimientos contables pueden ser complicados y la selección

depende de la empresa y de su tipo de operaciones. Los procesos técnicos y operativos

de los factores de costo son difíciles, tardados y no siempre son exactos ni viables.

Las tendencias recientes en los sistemas de costeo incluyen las siguientes consideraciones:

Beneficios intangibles de mejoramientos de calidad y reducción de inventarios.

Costos de ciclo de vida.

Uso de maquinas.

El costo de compra en comparación con el de rentar la maquinaria.

Los riesgos financieros de implementar la automatización y las nuevas tecnologías

disponibles.

El costo de las herramientas es fuertemente influenciado por el proceso de producción

que se seleccione, un ejemplo, esta en operaciones de maquinado, las herramientas de

carburo son mas costosos que las de el acero para alta velocidad pero su vida útil es

mayor.

Sin embargo, los altos costos de las herramientas podrían justificarse por el alto volumen

de producción de un solo artículo, también es importante tomar en cuenta su

obsolescencia por cambios en le producto y su alta duración.

La empresa debe de solventar todos esos costos independientemente de si se hace el

producto o no, teniendo en cuenta que los costos fijos como la energía eléctrica,

combustibles, impuestos sobre la propiedad, renta y seguros no son sensibles al volumen

de producción.

Para propósitos de cálculos, el adjetivo “directo” indica la relación de estos elementos del

costo con el producto que se está fabricando. Los materiales directos son las materias

primas que físicamente se convierten en parte del producto terminado. La mano de obra

directa representa el costo de los servicios de los empleados que trabajan directamente

con el producto mismo. Tanto la materia prima y mano de obra directa, suelen describirse

como costos primos.

Los gastos generales de fabricación incluyen todos los costos relacionados con la

producción de fábrica a excepción de materias primas o mano de obra directa. Se

pueden distinguir tres categorías de gastos generales de fabricación.



224

Materiales indirectos

Mano de obra indirecta

Gastos generales de fabrica

La combinación de la mano de obra directa y los gastos generales de fabricación, se

conocen como “costos de conversión”, o “costos de procesamiento”, ya que estos son los

costos de procesar las materias primas en productos terminados.

5.2.- Depreciación

En general las compañías recuperan su inversión de capital en activos tangibles (equipo,

vehículos, edificaciones y maquinaría) mediante la depreciación. El proceso de depreciar

un activo, explica la perdida del valor del activo debido a la edad, uso y obsolencia

durante su vida útil. Aunque un activo puede estar en excelente condición de trabajo, el

hecho de que valga menos a través del tiempo se considera en los estudios de

evaluación económica.


Depreciación es la reducción en el valor de un activo. Los modelos de depreciación

utilizan reglas, tasas y formulas aprobadas por el gobierno para representar el valor actual

de los libros de la compañía. El monto de la depreciación, D1, calculado de ordinario de

forma anual, no refleja necesariamente el patrón del uso real del activo durante su

posesión.

Costo inicial, o base no ajustada, es el costo instalado del activo que incluye en el precio

de compra, las comisiones de entrega de instalación y otros costos directos depreciables

en los cuales se incurre a fin de preparar el activo para su uso. El termino base no ajustada

o simplemente base, y el símbolo B se utilizan cuando el activo es nuevo; se emplea el

termino base ajustada cuando se ha cargado alguna depreciación.

El valor en libros representa la inversión restante, no depreciada en los libros después de

que el monto total de cargos de depreciación a la fecha han sido restados de la base. En

general, el valor en libros, VLt, se determina al final de cada año, lo cual es consistente

con la habitual convención de final de año.

El periodo de recuperación es la vida depreciable, n, del activo en años para fines de

depreciación (y del impuesto sobre la renta). Este valor puede ser diferente de la vida

productiva estimada debido a que las leyes gubernamentales regulan las leyes de

recuperación y depreciación permisibles.

El valor de mercado es la cantidad estimada posible si un activo fuera vendido en el

mercado abierto. Debido a la estructura de las leyes de depreciación, el valor en libros y

el valor de mercado pueden ser sustancialmente diferentes. Por ejemplo, el valor de

mercado de un edificio comercial tiende a aumentar, pero el valor en libros se reducirá a

medida que se consideren los cargos de representación. Sin embargo, una computadora



225

puede tener un valor de mercado mucho mas bajo que su valor en libros debido a la

tecnología cambiante.

La tasa de depreciación o tasa de recuperación es la fracción del costo inicial que se

elimina por depreciación cada año. Esta tasa, dt, puede ser la misma cada año del

periodo de recuperación. Una tasa de depreciación si referencia al año se identifica por

la letra d.

El valor de salvamento es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de la

vida útil del activo. El valor salvamento, VS, expresado como una cantidad en pesos

estimada o como porcentaje del costo inicial, puede ser positivo, cero, o negativo debido

a los costos de desmantelamiento y de remoción.

La propiedad personal, uno de los tipos de propiedad para los cuales se permite la

depreciación, está constituido por las posesiones tangibles de una corporación,

productoras de ingresos, utilizadas para hacer negocios. Se incluye la mayor parte de la

propiedad industrial manufacturera y de servicio: vehículos, equipo de manufactura,

mecanismos de manejo de materiales, computadores, conmutadores, muebles de

oficina, equipo de proceso de refinación y mucho más.

La propiedad real incluye la finca raíz y las mejoras a ésta y tipos similares de propiedad,

por ejemplo, edificios de oficinas, estructuras de manufactura, bodegas, apartamentos y

otras estructuras. La tierra en si se considera propiedad real, pero no es depreciable.

La convención de medio año supone que se empieza a hacer uso de los activos o se

dispone de ellos a mitad de año, sin importar cuándo ocurren realmente tales eventos

durante el año. Otras convenciones son la mitad de mes y la mitad de trimestre.



226

CONCLUSIONES

A lo largo del desarrollo de la tesis nos percatamos de la importancia que implica el

proceso de diseño en ingeniería. Este es un proceso interactivo y eslabonado, en donde, si

una de las fases del mismo no es planteada, desarrollada y completada de una manera

integra, el siguiente paso es prácticamente imposible de realizar.

También le dimos el enfoque a los conocimientos adquiridos a lo largo de la carrera, los

planteamos de forma tal que nos sirvieran de herramientas para poder completar el

diseño de una manera segura y confiable.

Por otro lado, un tren de laminación es una maquina-herramienta muy compleja, que sin

duda alguna, puso a prueba nuestras capacidades y conocimientos. Es importante

mencionar que en este trabajo solo aportamos información referente a los elementos

principales que componen a la máquina en conjunto, pero cada uno de estos elementos,

durante su diseño y desarrollo, aporta la secuencia lógica y la información necesaria para

poder comenzar a diseñar dichos elementos.

También es importante mencionar que diseñar no se trata únicamente de dibujar, si no

también de sustentar las dimensiones de los elementos con los cálculos correspondientes y

tratar de ahorrar la mayor cantidad de material posible pero sin sacrificar seguridad y

funcionalidad, además de que se tiene que tener una visión a futuro para dejar los

espacios suficientes para futuras maniobras de mantenimiento del equipo.

La idea de diseñar y llevar a cabo físicamente el tren de laminación es una tarea enorme

pero no imposible, que si llega a desarrollarse brinda la utilidad necesaria para amortizar

la inversión del desarrollo. El proceso de laminación es complejo y seguirá siendo utilizando

por muchos años más dentro de áreas de construcción, aeronáutica, automotriz etc., por

lo cual el diseño del tren de laminación es una buena inversión para desarrollar.



227

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228

ANEXOS

1.- A1-01

2.- A1-02

3.- A1-03

4.- A1-04

5.- A1-05

6.- A1-06

7.- A1-07

8.- A1-08

9.- A1-09

10.- A1-10

11.- A1-11

12.- A1-12

13.- A1-13

14.- A1-14

15.-A1-15

16.- A1-16

17.- A1-17

18.- A1-18

19.- A1-19

20.- A1-20

21.- A1-21

22.- A1-22

23.- A1-23

24.- A1-24

25.- A1-25

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