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ESPECIALIDAD FÍSICAESPECIALIDAD FÍSICA

SEMINARIO ESPACIO INTERDISCIPLINARIO

CURSO 2011

UNA PRIMERA APROXIMACIÓN

ONDAS

ESQUEMA DE TRABAJO I

PR

IMER

A A

PR

OX

IMA

CIÓ

N

(CU

ALITA

TIV

A)

Una noción sobre ondas en el ámbito de la física pre – cuántica: ¿qué es una onda?

Mostrar fenómenos ondulatorios en una dimensión, mediante resortes.

Distinguir entre ondas transversales y longitudinales

Observar algunos fenómenos como la reflexión refracción

Extender y revisar estas cuestiones utilizando una herramienta informática “polémica”: simulador.

ESQUEMA DE TRABAJO II

SEG

UN

A

APR

OX

IMA

CIÓ

N

(CU

AN

TITA

TIV

A)

La necesidad de una función de dos variables para describir los fenómenos, aún en una dimensión. Derivadas parciales.

ECUACIÓN DE ONDA para un caso elemental: ondas en una cuerda tensa.

Soluciones a la ecuación: FUNCIÓN DE ONDA. Forma y naturaleza ondulatoria.

El caso particular de las ondas armónicas viajeras.

Superposición.

PRIMERA APROXIMACIÓN(CUALITATIVA)

¿QUÉ ES UNA ONDA?

De: F

REN

CH

, VIB

RA

CIO

NES

Y

ON

DA

S.

“… Y aquí tenemos la característica esencial de lo que se denomina movimiento ondulatorio. Se transmite una propiedad de un lugar a otro por medio de un medio, pero el medio en sí mismo no se transporta. Puede relacionarse un efecto local a una causa distante y existe una diferencia de tiempo entre la causa y el efecto que depende de las propiedades del medio y encuentra su expresión en la velocidad de la onda. Todos los medios materiales, sólidos, líquidos y gases, pueden transportar energía e información por medio de ondas …”

JUGANDO CON UN RESORTEMuchos de los fenómenos ondulatorios

pueden observarse en medios unidimensionales, para luego, de ser necesario extenderlos a dos y tres dimensiones.

Enfatizaremos la distinción entre el “movimiento local” y el movimiento de la onda en el medio

Intentaremos observar la propagación de ondas transversales y longitudinales en resortes.

Observaremos el fenómeno de reflexión en un extremos fijo, y en uno móvil si es posible.

CAMBIO DE MEDIOSe observa un pulso que avanza hacia un lugar donde cambian las propiedades del medio (línea negra).

En general siempre se observa una onda transmitida y otra reflejada.

En ocasiones uno de los fenómenos es “mucho más relevante” que el otro.

Si se dispone de conexión web, puede verse la evolución en el tiempo: transmisión parcial

JUGANDO con una CUERDA VIRTUALSimulación que puede descargarse del sitio PhET

La simulación de situaciones físicas puede utilizarse (existen una cantidad importante de simuladores, muchos de ellos de acceso gratuito) como herramienta en cursos de física.

Puede ser discutible su pertinencia, utilidad, entre otras.

Hoy “jugaremos” con uno de estos objetos virtuales. Un ejemplo de los muchos que pueden ejecutarse en línea o descargarse desde el sitio PhET: Equipo ondas en una cuerda. Web: http://phet.colorado.edu/en/simulations/category/physics/sound-and-waves

SEGUNDA APROXIMACIÓN(CUANTITATIVA)

FUNCIÓN DE ONDAPara describir el comportamiento de

una onda se requiere una función de dos variables (posición y tiempo) aún en el caso de una onda unidimensional.

Como consecuencia de ello, cuando se requiera determinar una derivada, habrá que utilizar la noción de derivada parcial.

Notación y operativa elemental de derivadas parciales.

Más adelante veremos como se combinan las variables para que sean soluciones válidas de la ecuación de onda.

ECUACIÓN DE ONDAEsquema de la solución

Aplico la segunda ley de Newton a un elemento genérico

del medio.

Luego de operar convenientemente obtengo una ecuación diferencial en

derivadas parciales (ECUACIÓN DE ONDA), que

contiene la información dinámica del problema

Las funciones “y” que son solución de la ecuación de onda, para el caso en que la onda “mantenga su forma”, se expresan mediante

una combinación particular de las dos variables “x” y “t”.

ECUACIÓN DE ONDASupondremos

De K

INS

LER

y o

tros. F

UN

DA

MEN

TO

S D

E

AC

ÚS

TIC

A.

Una cuerda de densidad lineal uniforme (µ o L) y rigidez despreciable, estirada con una tensión T lo suficientemente grande para que los efectos de la gravedad se puedan despreciar. Supóngase que no hay fuerzas disipadoras (como las asociadas con fricción o con radiación de energía acústica). La figura muestra un elemento infinitesimal de la cuerda con una posición de equilibrio x y longitud de equilibrio dx. Si y (el desplazamiento transversal de este elemento de su posición de equilibrio) es pequeña, la tensión T permanece constante a lo largo de la cuerda.

ECUACIÓN DE ONDA

Un esquema para ayudar al planteo analítico

ECUACIÓN DE ONDAEl resultado

Es una ecuación diferencial en derivadas parciales, que porta la información dinámica par el movimiento de ondas en una cuerda tensa, en las condiciones anotadas.

La solución particular, para cada situación que se pueda generar se completa con las condiciones de frontera e iniciales.

SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN:FUNCIÓN DE ONDA

f1 y f2 representan funciones arbitrarias.El primer término representa una onda que se mueve hacia las x positivas y el segundo término representa una onda que se mueve en sentido opuesto.

Puede mostrarse que las soluciones de la ecuación de onda implican una forma particular de combinar las variables x y t.

FUNCIÓN DE ONDANATURALEZA ONDULATORIA DE LA SOLICIÓN

FUNCIÓN DE ONDALA NA

TURLEZA ONDULATORI

A DE LA SOLUCIÓN.

ACERCAMIENTO A LA

“REALIDAD”

De KINSLER, FUNDAMENTOS DE ACÚSTICA

“Nótese que la forma correspondiente a cada una de las funciones arbitrarias permanece constante conforme la perturbación inicial viaja a lo largo de la cuerda.

En la práctica esta deducción matemática nunca se realiza completamente, ya que las suposiciones hechas al derivar la ecuación de onda nunca se cumplen en las cuerdas reales, las cuerdas siempre tienen cierta rigidez y están afectadas por fuerzas disipadoras; las ondas que viajan en cuerdas reales siempre se distorsionan.

FUNCIÓN DE ONDALA NA

TURLEZA ONDULATORI

A DE LA SOLUCIÓN.

ACERCAMIENTO A LA

“REALIDAD”

De KINSLER, FUNDAMENTOS DE ACÚSTICA

En las cuerdas reales flexibles y de bajo amortiguamiento, que se encuentran normalmente en los instrumentos musicales, la rapidez de distorsión es muy leve si la amplitud de la perturbación es pequeña.

Por otro lado, si la amplitud es grande, el cambio de la forma de onda puede ser muy pronunciada.”

SUPERPOSICIÓNJUGANDO CON UN SIMULADOR PARA SUPERPONER ONDAS EN UNA O MAS DIMENSIONES:

ONDAS 2.2 de RODRIGUEZ PORCA.

Un fenómeno importante es el que se da cuando dos ondas se “encuentran” en un mismo medio. Por ejemplo dos pulsos en una cuerda.

De nuevo, la situación parece algo artificial, pero pueden tomarse comportamientos para aplicar en otras situaciones “menos visibles”

Ver ejemplos de superposición con el software mencionado.

SUPERPOSICIÓN. SOFTWARE

Acceso a:

ONDAS 2.2 de RODRIGUEZ

PORCA. 2007. Equipo.

Ondas 2.2

Web: http://usuarios.multimania.es/explorar/ondas/o

ndas-es.htm

UN CASO PARTICULAR IMPORTANTEONDAS ARMÓNICAS VIAJERAS

Una expresión como la que sigue representa una onda armónica viajera. Siendo A la amplitud de la onda, su longitud de onda, y v su velocidad de fase.

Una forma, quizás más usual, de anotarla es la que se muestra a continuación, donde representa el “número de onda” y “la frecuencia angular”

UN CASO PARTICULAR IMPORTANTEONDAS ARMÓNICAS VIAJERAS

EJERCICIOa)¿Cómo definirías la longitud de onda (), a

partir de la primera ecuación de la diapositiva anterior?

b)Asumiendo que las expresiones de la diapositiva anterior son equivalentes, establece como se definieron el “número de onda” () y la “frecuencia angular” (), en función de la “longitud de onda”.

c)Recordando el vínculo entre la frecuencia angular () y la frecuencia (f o ), encuentra una expresión que vincule la velocidad de propagación de las ondas, la frecuencia y la longitud de onda.

UN CASO PARTICULAR IMPORTANTEONDAS ARMÓNICAS VIAJERAS

EJERCICIO (continuación)

d)Muestra que una de las funciones de la diapositiva anterior, es solución de la ecuación de onda.

e)Encuentra una expresión para la suma de dos ondas armónicas de igual amplitud y longitud de onda, que se mueven en sentidos opuestos por la misma cuerda. Interpretar el resultado; que permita visualizar la existencia de nodos y antinodos.

CréditosIMAGENESEn “primera aproximación (cualitativa)” y “segunda aproximación (cuantitativa)” fue tomada de http://fs210secc1002.wordpress.com/ondas-videos/En “jugando con un resorte” de: http://petewarden.typepad.com/searchbrowser/2007/10/slinky-companie.htmlEn “jugando con una cuerda virtual” de: http://phet.colorado.edu/en/simulations/category/physics/sound-and-wavesEn “función de onda” de: http://cpms-acusticamusical.blogspot.com/2009/09/ondas.htmlEn “un esquema para ayudar al planteo analítico” de: http://ingenieriacivil21.blogspot.com/2011/01/movimiento-ondulatorio_11.htmlEn “cambio de medio” y “función de onda”, de: http://www.esacademic.com/pictures/eswiki/80/Partial_transmittance.gif