INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRESBÍTERO DANIEL … · Hallar el producto notable de (2a + b)6 -Primero...
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Sabrina Lisset Hernández Gamboa INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRESBÍTERO DANIEL JORDAN
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Sabrina Lisset Hernández Gamboa
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRESBÍTERO DANIEL
JORDAN
Producto Notable
conceptoEs la multiplicación de dos o mas polinomios
Características
Resultado por simple inspección sin
necesidad de efectuar multiplicación
Corresponde a una fórmula de
Factorización
SO
N P
RO
DU
CTO
S
NO
TAB
LES
BINOMIO AL CUADRADO
BINOMIO AL CUBO
TRINOMIO AL CUADRADO
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES
PRODUCTO DE LA FORMA (x+a).(x+b)
TRIANGULO DE PASCALEs un arreglo de números que permite hallar los coeficientes de expresiones de la forma
(a+b)n , donde n es un número natural.
Demostración 1
Demostración 2
Demostración 3
Cuadrado de la diferencia de
dos términos.
Productos Notables
a
a
b
b
Encontrando las áreas de
las figuras geométricas, se
puede leer el cuadrado de
la suma de dos términos
(a2 + 2ab + b2 ).
Binomio al cuadrado
2
a
a
b
b
1
Lectura: “El primero al cuadrado mas dos veces el
primero por el segundo mas el segundo al cuadrado”
Binomio al cuadrado
a + b
a + b
a2
ab+ ab
+ b2
a2
+ 2ab + b2
Binomio al cuadrado
Demostración 1
Demostración 2
Productos Notables
a2a
ba-b
a-b
b b.(a – b)
(a – b)2
a.b
b2
(a – b)2 = a2 – [b.(a-b)+ab]
a2 – [ab-b2+ab]
a2 – [ab+ab-b2]
a2 – ab – ab+b2
a2 – 2ab + b2
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2
Lectura: “El primero al cuadrado menos dos veces
el primero por el segundo mas el segundo al
cuadrado”Cuadrado de la diferencia
a - b
a - b
a2
-
ab
- ab+ b
2
a2 - 2ab + b
2
Cuadrado de la diferencia
Demostración 1
Demostración 2
Demostración 3
Productos Notables
a
b
a
a
a
a
a
b b
b
b
b
Encontrando el volumen de cada cubo
formado, se puede ver la lectura de un binomio
al cubo.
Binomio al cubo
a
b
a
a
a
a
a
b b
b
b
b
+ + +
Se lee: “El primero al cubo, mas tres veces el
primero al cuadrado por el segundo, mas tres
veces el primero por el segundo al cuadrado,
mas le segundo al cubo.
Binomio al cubo
a + b
a + b
a2
ab
+ ab
+ b2
a2
+ 2ab + b2
a2
+ 2ab+ b2
a + b
a3 + 2a
2b + ab
2
a2b
+ 2ab2
+ b3
a3
+ 3a2b + 3ab
2+ b
3
Binomio al cubo
Demostración 2 Demostración 3
Productos Notables
a
a b c
c
b ab
ab
ac
a
c
b
c
b
c
Al sacar el área de
cada cuadrilátero,
se puede observar
la lectura de un
trinomio al
cuadrado.
Trinomio al cuadrado
a
a b c
c
b ab
ab
ac
a
c
b
c
b
c
a2 b2 c2 2ab 2a
c
2bc+ + + + +
Se lee: “El primero al cuadrado, mas
el segundo al cuadrado, mas el
tercero al cuadrado, mas dos vecesel primero por el segundo, mas dos
veces el primero por el tercero, mas
dos veces el segundo por el
tercero”.
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a + b + ca + b + c
a2 + ab + ac
+ c2
ab +b2
+ ac
+bc
+bc
a2
+ 2ab + 2ac +b2 +2bc + c
2
Ordenando:a2+b
2+ c
2+ 2ab + 2ac +2bc
Trinomio al cuadrado
Demostración 1
Demostración 2
Productos Notables
b
a
ba-b
a+b
Producto de la suma
a + b
(a + b)
a -
b
.(a – b)=
a2
+ ab- ab - b2
a2 - b2
Producto de la suma
Demostración 1
Demostración 3Demostración 2
Dependiendo
de los signos
que tengan se
harán las
operaciones
Productos Notables
x
b
x a
ax
bx ab
x2
Si encontramos el área a estos cuadriláteros y luego los
sumamos, sacando el factor común que hay en dos de
ellos, se puede ver esta lectura: x2 + (a+b)x + ab
Producto (x+A).
(x+b)
x
b
x a
ax
bx ab
x2
x2 + ax + abbx +
x2 + (a+b)x + ab
Producto (x+A).
(x+b)
(x + a).(x + b) = x + ax + b
x2 +xa
+ xb + ab
x2 + xa + xb + ab
Factorizando los dos
del mediox2 + (a +b)x + ab
Producto (x+A).
(x+b)
TRIANGULO DE PASCAL
Es un arreglo de números que permite hallar los coeficientes de expresiones de la forma (a+b)n ,
donde n es un número natural.
En el triangulo de Pascal, cada fila comienza y termina en 1. El resto de valores se obtienen de la suma de los dos números que se encuentran exactamente sobre él, ubicados en la fila inmediatamente superior.
Productos Notables
1
1
11 2
1
13 31
16 441
1 110 5105
6 115 620151
21 121 735357
1
1
56 128 85670288
9 126 136 98412684361
1 45 252 145 1012021021012010
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
(a + b)6
(a + b)7
(a + b)8
(a + b)9
(a + b)10
Triangulo
de pascal
Hallar el producto notable de (2a + b)6
-Primero se escribe los coeficientes del nuevo polinomio, sacados del
triangulo de Pascal, todos separados con un signo mas (+), si el signo
del binomio es mas (+). Asi:
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1
-Segundo se escribe la parte literal,
colocando el primer termino con sus
exponentes en orden descendente, y el
segundo termino con sus exponentes en
orden ascendente. Así:
(2a + b)6 =1(2a)6 + 6(2a)5 b +15(2a)4 b2 + 20(2a)3
b3 + 15(2a)2 b4 + 6(2a) b5 + 1b6
Triangulo de pascal
(2a + b)6 = 64a6 + 6.32a5b +15.16a4b2 + 20.8a3b3 +
15.4a2 b4 + 6.2ab5 + b6
(2a + b)6 = 64a6 + 192a5b +240a4b2 + 160a3b3 + 60a2
b4 + 12ab5 + b6
-Tercero se hacen las operaciones indicadas. Asi:
Primero potencias.
Luego multiplicaciones.
Triangulo
de pascal
