INMERSIONES DE ÓRDENES CUADRÁTICOS EN EL ...2009/10/30 · Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fis.Nat. (Esp)...

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fis.Nat. (Esp)Vol. 94, N." 3, pp 357-376, 2000Monográfico: Contribuciones al estudio algorítmico de problemas de moduli aritméticos

INMERSIONES DE ÓRDENES CUADRÁTICOS EN EL ORDENGENERADO POR ro(#)

(orden cuadrático/grupo de congruencia/inmersión/número de clases)

P. BAYER*, A. TRAVESA**

* Universität de Barcelona, Facultat de Matemàtiques. Departament d'Àlgebra i Geometria. Gran Via de les Corts Catalanes, 585. E-08007 Barcelona(bayer® mat.ub.es)** Universitat de Barcelona, Facultat de Matemàtiques. Departament d'Àlgebra i Geometria. Gran Via de les Corts Catalanes, 585. E-08007 Barcelo-na ([email protected])

RESUMEN

El objetivo de este artículo es el estudio de las inmer-siones K —» M(2, Q), de un cuerpo cuadrático en el ál-gebra de matrices, que son enteras para la pareja(00(AO, 0A), en donde 0A es un orden de K de discrimi-nante A, y 00(AO es un orden del álgebra de matricesasociado al grupo de congruencia ro(N). Consideramosdistintos tipos de inmersiones: optimales, primitivas, ybiprimitivas, que clasificamos bajo la acción del gruporo(7V). En cada caso, el conjunto cociente obtenido esfinito. Determinamos los números de clases correspon-dientes por medio del control de invariantes numéricosadecuados. En particular, el cómputo del número de cla-ses de inmersiones biprimitivas para la pareja (00(7V), 0A)recupera el número de puntos de Heegner de tipo (N, A)obtenido en el artículo [Ar-Ba 00-1].

ABSTRACT

The aim of this paper is the study of the embeddingsK -H» M(2, Q), of a quadratic field in the matrix algebra,which are integral for the pair (O0(N), 0A), where 0A de-notes an order of K of discriminent A, and 00(AO is anorder of the matrix algebra attached to the congruencegroup ro(7V). Special types of embeddings are conside-red: optimal, primitive, and biprimitive, which we clas-sify under the action of the group F0(W). Each quotientset is finite. The corresponding class numbers are deter-mined by pursuing the control of suitable numerical inva-riants. In particular, the calculation of the class numberof biprimitive embeddings for the pair (00(AT), 0A) reco-vers the number of Heegner points of type (N, A) obtai-ned in [Ar-Ba 00-1].

INTRODUCCIÓN

Con soporte parcial de DOES, PB96-0166.

Sean K := Q(,/A0) el cuerpo cuadrático asociado a undiscriminante fundamental A0, 0A el orden de K de dis-criminante A := A0r

2, r > 1, y 0cM(2, Q) un ordencualquiera del álgebra de matrices 2 x 2 de coeficientesracionales. En [Ba-Tr 00-2], se han caracterizado las in-mersiones enteras y las inmersiones optimales para la pa-reja (0, 0A) en función de la forma cuadrática ternarianórmica asociada al orden Z + 20; y se ha establecidouna clasificación de estas inmersiones para ciertos sub-grupos de GL(2, Q).

En este artículo, se trata de precisar la clasificación,por el grupo de congruencia T0(N), de las inmersiones A :K—>M(2, Q) que son enteras para la pareja (O0(N), 0A).En la sección primera, se recuerdan las definiciones y lasprimeras propiedades y se establece explícitamente la ac-ción del grupo ro(W) en los conjuntos de inmersiones.

La sección segunda se dedica al estudio de ciertas cla-ses especiales de inmersiones; más concretamente, las in-mersiones primitivas y las inmersiones biprimitivas parala pareja (O0(N), 0A). En particular, se estudia en quécasos existen inmersiones À : K —> M(2, Q) enteras, opti-males, primitivas o biprimitivas para la pareja (00(7V), 0A);se da una caracterización de la existencia de tales inmer-siones en función de las leyes de descomposición delcuerpo cuadrático K.

El objetivo de la sección tercera es establecer diversosinvariantes para las clases de F0(AO-equivalencia de in-mersiones y determinar sus valores.

En la sección cuarta, se halla el resultado principalpara la clasificación de las inmersiones. A partir de unteorema de comparación, ésta se remite a la clasificaciónclásica de las formas cuadráticas binarias enteras primiti-vas de discriminante dado respecto del grupo SL(2,Z).

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La sección quinta se dedica al estudio de los númerosde clases de ro(AO-equivalencia de inmersiones; en parti-cular, se obtienen fórmulas para los números de clases dediversos tipos de inmersiones y, por lo tanto, para losnúmeros de ro(A^)-clases de equivalencia de las formascuadráticas binarias enteras que las definen.

La sección sexta se dedica al estudio de las inmersio-nes enteras y optimales para la pareja (0(1, N, D), 0A),en el caso en que 0(1, N, D) es el orden de M(2, Q)generado por F0(AO, que, en general, no es el orden00(AO- En particular, se reduce la clasificación de estasinmersiones al de inmersiones enteras y optimales en elorden O0(N), y se obtiene su clasificación.

Finalmente, en la sección séptima se proporcionanejemplos numéricos.

matrices de traza nula del orden Z + 2O0(N). En efecto,las inmersiones Á : K -» M(2, Q) enteras para la pareja(O0(N), 0A) se corresponden con las matrices

T -b -le

\_2aN lAL/A) :=

con a, b, c e I. y tales que -b2 + 4Nac = -A. Y las inmer-siones optimales, con las matrices A(^/A) taies quemcd(a, b,c) = \ (cf. [Ba-Tr 00-2]).

Aunque las matrices ¿(^/A) pertenecen a un subordenestricto de 00(AO y ro(AO no es un subgrupo del grupo delos elementos inversibles de este suborden, sabemos quero(AO actúa por conjugación en el conjunto de las posi-bles matrices A(^/A) e Z + 200(JV). Hacemos explícitaesta acción.

3. ACCIÓN DE ro(AO EN EL CONJUNTODE INMERSIONES

Sean AQ e Z un discriminante fundamental y K :=:= Q(^/A0) el cuerpo cuadrático asociado. Para cada nú-mero entero r > 1, sea A := A0r

2 el discriminante asociadoal orden 04 ç K, de índice r en el anillo de enteros 0A

de K.

Sea N > 1 un número entero, y consideremos el orden

00(N) := IP M : x, y, z, t e Z j çM(2, Q).

El grupo

a ßro(AO :=t\ " ; l : a, ß, y, ô e Z, det = l ^SL(2, Z)

(LfN ¿J j

es el grupo de las unidades de norma l de 00(AO- Para lasnotaciones y las propiedades de los órdenes del álgebrade matrices M(2, Q) y sus grupos de unidades de norma1, cf. [Ba-Tr 00-1].

Definición 1.1. Se dice que una inmersión À : K -»—»• M(2, Q) es entera (resp. optimal) para la pareja(0, 0A), donde 0sM(2, <Q) es un orden cualquiera, siA(0A)ç:0(resp. A-'(0) = 0A).

Las inmersiones enteras para la pareja (O0(N), 0A) secorresponden biyectivamente con las representaciones

-b2 + 4Nac = -A

de -A por la forma ternaria entera nórmica n02(X, Y, Z) == -F2 + 4NXZ asociada al submódulo formado por las

Dada una matriz cualquiera P := e ro(A/), y[y N ó J

r -b -2cidado un elemento A := \ e Z + 200(AO tal

\_2aN b Jque -b2 + 4Nac - -A, pongamos A' := P~1AP; entonces,

l" -b' -2c'íes A' := , donde

2a! N' b'

con

T:=«y

= T

fN2aßN OLÓ + ßjN 2yöN

ß2N ßo

, y.ö + ßyN=l+2ßyN.

Por tanto, A' e Z + 2&0(N) y también es un elemento detraza nula y norma -A.

Proposición 1.2. La asignación P >-> T define un an-timorfismo injectivo de grupos ro(./V)/{±l} —> O+ («02),donde O+ (ra02) designa el grupo ortogonal especial aso-ciado a la f orma cuadrática ternaria entera n02(X, Y, Z) == -Y2 + 4NXZ. D

Puesto que T es, en particular, un automorfismo delgrupo abeliano Z3, se tiene el resultado siguiente.

Corolario 1.3. Sean P e ro(AO y Pía matriz asociada.

Dada s Z3, sea b' e Z3 definida por b' :=f

Entonces, se tiene que mcd(a, b, c) = mcd(a', b', c'). D

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2. INMERSIONES PRIMITIVASY BIPRIMITIVAS

Recordemos que la acción usual del grupo PGL(2, IR)en el plano complejo C u {00} se define por la fórmula

a b~\A (¿) : =

C Í/J

az + bCZ + d

r. »-ile d\

para I I e GL(2, IR) y z e C u {00} arbitrarios, ya[c d]

que las homotecias actúan trivialmente.

En particular, si Ã : K —*• M(2, Q) es una inmersióncualquiera, se tiene que det (Aí^/A)) = -A ^ 0; por tanto,ACv/A) e GL(2, Q).

Por otra parte, si nos restringimos al subgrupo de lasmatrices de determinante positivo, la acción restringe, porun lado, al semiplano superior H := {z e C : Im(z) > 0}, y,por otro, a IR u {co}.

Dado un polinomio cuadrático aZ2 + bZ + e, con a, b, ce IR, sea A := tí1 - 4ac su discriminante. Escribiremos lasraíces del polinomio en la forma

z := •-b +

2a-b - X/A

20~

donde elegimos z e H, si A < 0.

Observación 2.1. Sea A : AT—» M(2, Q) una inmersiónr V-b -le

cualquiera, dada por la asignación A(X/A) =:[2aN b

con a, b, c 6 Q.

Para la acción de GL(2, IR) e« C u {co}, existenexactamente dos puntos z, z' e C u {co} fijos por todaslas matrices de X(K); es decir, las matrices x + vA(v/A),con x, y e Q. Estos dos números complejos son las raíces

z : =-b + J&

z :=-b - ./A

2Na 2Nadei polinómio NaZ2 + bZ + c. En particular, los dos pun-tos sólo dependen de A(íf), pero no de la imagen de nin-gún elemento concreto de K, de manera que están aso-ciados unívocamente a la inmersión A.

El grupo GL(2, Q) y, en consecuencia, cualquiera desus subgrupos, actúa en el conjunto de todas las inmer-siones A : K —> M(2, Q), en el sentido que dadas unamatriz P e GL(2, Q), y una inmersión A I ? la conjugación^/A I-H> A2(yA) := P~'A1(^/A)P define otra inmersión deKen M(2,0); escribiremos aPpara designar la conjuga-ción A >-» P-1AP.

Si dos inmersiones cualesquiera A,, A2 : K—>M.(2, Q)son TQ(N)-equivalentes, de manera que para una matrizP e ro(,/V) se tiene que ap ° A, = A2, entonces los puntosfijos respectivos, z¡, Z2, son equivalentes por la acción dela matriz P"1; es decir, se tiene que P~1zí = Z2, y queP~lz'i = z'2. Por tanto, hemos establecido el resultado si-guiente.

Corolario 2.2. A cada clase de TQ(N)-equivalenciade inmersiones A : K —^ M(2, Q) le corresponde una cla-se de T Q(N)-equivalencia de puntos de H u IR u {co}para la acción de F0(AO en C u {co} como subgrupo deGL(2, IR). D

Por otra parte, si dos puntos z,, z2 e C son ro(AO-equi-valentes, entonces los puntos Nz\, Nz2 son SL(2,Z)-equiva-r« ß~\lentes. En efecto, si una matriz P := \ e F0(AO

lyN <5Jes tal que Pz\ = Z2, entonces es Q(Nz^ = Nzv donde

r« ßN~\Q := \ e SL(2, Z). Finalmente, observemos que

U ô -1si z¡ satisface la ecuación NaZ + bZ + c = O, entoncespara Nzi se satisface que a(Nz¡)2 + b(Nz\) + Nc = 0; esdecir, Nz\ satisface la ecuación aZ2 + bZ + Nc = 0. Laobservación de estos resultados nos lleva a la definiciónsiguiente.

Definición 2.3. Diremos que una inmersión A : K —>—» M(2, Q) entera para la pareja (00(N), 0A), y dadapor la asignación

ACv/A) =-b -le

2aN Ia, b, c e Z,

es primitiva si, y sólo si, mcd(Mï, b, c) = 1. Diremos que esbiprimitiva si, y sólo si, es mcd(Na, b, c)=mcd(a, b, Nc)=l.

En particular, toda inmersión biprimitiva es primitivay toda inmersión primitiva es optimal para la pareja(O0(N), 0A). El objetivo principal de esta sección es estu-diar los dos problemas siguientes.

Problema 1. Dada una inmersión À : K —» M(2, Q),¿para qué parejas (OQ(N), 0A) es À entera, optimal, pri-mitiva o biprimitiva?

Problema 2. Dada una pareja (OQ(N), 0A), ¿existeninmersiones A enteras, optimales, primitivas o biprimiti-vas para esta pareja?

En relación con el primer problema, tenemos el teore-ma siguiente.

Teorema 2.4. Sea A : K —> M(2, Q) una inmersióndel cuerpo cuadrático K := Q(^/A0), asociado al discri-minante fundamental A0, en M(2, Q). Existen númerosenteros N,r>\ tales que A es biprimitiva para la pareja(00(AO, 0A), donde A := A0r

2.

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Para demostrar el teorema, caracterizaremos los valo-res de N y de r (o sea, de A) para los cuales /I es entera,optimal, primitiva y biprimitiva, respectivamente, para lapareja (O0(N\ 0A).

Definición 2.5. Para una inmersión X : Q^Ao) —»•—» M(2, Q) cualquiera, pondremos Ent(/t) para designarel conjunto de los pares de números enteros (N, A), /V > 1,A = A0r

2 con r > 1, tales que Á es entera para la pareja(00(AO, 0A). Análogamente, Opt(A), Prim(A) y Biprim(A)designarán los conjuntos de pares (N, A) tales que À esoptimal, primitiva y biprimitiva, respectivamente, parala pareja (G0(N), Oj.

Con estas notaciones, el enunciado del teorema ante-rior se puede precisar en la forma siguiente, que propor-ciona la solución del primer problema.

Teorema 2.6. Sea Ã : Q(VA0) -» M(2, Q) una in-mersión cualquiera y sean A, B, C eQ tales que /1(^7 A0) =r-B -2C~|

. Sea r, > 1 el mínimo común denominador\_2A B \ 'de los números racionales A, B, C, y pongamos Ni :=:= rJAI, e, :- rß, cl := r,C, y A j := A0r

2. Entonces, N¡,b^ C[ e Z, M, > 1, A! es un discriminante asociado aldiscriminante fundamental A0, y, además, los valores deN y A para los cuales À es entera, optimal, primitiva obiprimitiva para la pareja (O0(N), 0A) son los dadospor:

(a) Ent(A) = {(N, A,r2) : r > 1, N^N^.

(b) Opt(X)={(Nr, A,/-2) : r>l, N\Nt, mcd(r,A^JW)=l}.

(c) PúmW = {(N,\):N\Nl}.

(d) Biprim(/l) = {(N, A,) : N\N¡, mcd^/N, ¿,, AO = 1}.

Demostración. Si Ã es entera para una pareja(O0(N), 0A), donde A es un discriminante asociado aldiscriminante fundamental A0, ha de ser A = A0r

2, paraalgún número entero r > 1, y es necesario que A(^/Á) -/KV^/A^) e e Z + 200(AO Ç Z + 2M(2, Z); por tanto, debeser rA, rB, rC e Z; esto obliga a que r sea múltiplo de r, o,equivalentemente, a que A sea de la forma A = Ajr2, conAj := A0^, y r > 1 un número entero cualquiera. Y paracada uno de estos valores de A, los valores de N para loscuales es A(,yA) 6 Z + 2O0(N) son exactamente los divi-sores del número entero rAT,; esto demuestra (a).

Notemos que el hecho que A0 sea un discriminantefundamental implica, por un lado, que es A ï O y, porotro, que es mcdCA^, b{, q) = 1; es decir, que los numera-dores de los números racionales A, B, C no pueden tenerdivisores comunes. Esta observación será útil para calcu-lar, a continuación, los pares (N, A) e Ent(A) para los cua-les la inmersión l es optimal para la pareja (O0(N), 0A).

Sean, pues, r > 1 y N un divisor de rN¡ ; entonces, A esentera para la pareja (00(AO, 0¿)- El cálculo de /LC^/A)proporciona

VA) = [~-rb{ -2rc,

2erAf, rb¡

donde e := sig(A); por tanto, À es optimal para la pareja(O0(N), 0A) si, y sólo si, es mcd(a, rb{, rc¡) = 1, con a e Zel número entero tal que erJV, = aN. Esto implica que a noes divisible por ninguno de los primos que dividen r; enparticular, Nes múltiplo de r y, si ponemos N - rN', debeser srNi = aN = arN'. Pero esto ya es suficiente, yaque mcd(yV], b¡, c,) = 1, de manera que, puesto que adivide yV,, es mcd(a, b¡, q) = 1 y, en consecuencia,mcd(a, r¿,, re,) = mcd(a, r) = 1. Esto demuestra (b).

Para los valores del caso anterior, es decir, los quehacen que Ã sea optimal para la pareja (00(AO, 0A), setiene que

A) =r-rí?! -2rc,lL20yV rfej J'

de manera que mcd(yVa, rb^ rc¡) - r; por tanto, À es pri-mitiva para la pareja (O0(N), 0A) si, y sólo si, es r = 1.Esto demuestra (c).

Finalmente, para la inmersión primitiva del caso ante-

rior, es A = A0rf y ^(^/A) = ' . Calculemos\_2aN bl J

d:= mcd(a, b¡, Nc^. Puesto que mcd(Af,, ¿>,, c,) = 1 y_/V

a = ±— divide N{, es mcd(a, ¿,, c¡) = 1, de manera que

d = mcd(<2, ¿!, jV) = mcd(Ar,/A', è,, N). Por tanto, losvalores posibles de W son aquellos para los cuales esmcd(Nj/N, bt, N) = 1. n

Observación 2.7. Notemos que, en particular, paraN = N) o bien para N - I , es (N, A,) e Biprim(/l). Enparticular, todos los conjuntos Ent(A), Opt(A), Prim(/l),Biprim(/l) son no vacíos.

Por otra parte, en el caso particular en que A, B, C e Z,es decir, en el caso en que r, = 1, el discriminante A¡coincide con el discriminante fundamental A0, de maneraque, en este caso, la inmersión À sólo es primitiva o bi-primitiva para algún valor de N cuando A = A0.

Observación 2.8. Sea Á : K = QC^A) -H> M(2, Q)una inmersión entera para la pareja (O0(N), 0A), dada

r r-b -2clpor A(x/A) = , c o n a , b , c & 7 L y —b + 4Nac -

\_2aN b J= - A. Hemos definido el concepto de inmersión biprimi-tiva para la pareja (O0(N), 0A) por las condiciones


mcA(Na, b, c) = mcd(a, b, Nc) = 1. Estàs condicionesequivalen a las

mcd(a, b, c) = mcá(N, b, c) = mcd(a, b, N) = 1,

y también a las

mcd(a, b, c) = mcd(N, b, ac) = 1.

En particular, si se satisface que mcd(a, b, c) = 1, tam-bién se tiene que

mcd(N, b, ac) - mca(a, b, N)mcd(N, b, c)

y que mca(Na, b, c) = mcd(Af b, c) y mcd(a, b, Nc) == mcd(a, b, N). Esta observación será útil más adelante.

Corolario 2.9 (Descenso de nivel). Sean À : K —>—> M(2, Q) una inmersión, A un discriminante, y N, N' > lnúmeros enteros tales que N' divide N.

(a) Si Ã es entera para la pareja (&0(N), 0A), enton-ces À es entera para la pareja (OQ(N'), 0A).

(b) Si À es primitiva para la pareja (00(/V), 0A), en-tonces Ã es primitiva para la pareja (O0(N'), 0A).

(c) La inmersión À puede ser optimal para la pareja(O0(N), 0A), pero no ser optimal para la pareja(00(AO, ÖA).

(d) La inmersión /I puede ser biprimitiva para la pa-reja (0g(AO, 0A)> P^ro no ser biprimitiva para lapareja (O0(N'), 0A). D

La solución del segundo problema para las inmersio-nes enteras, optimales y primitivas viene dada por el re-sultado siguiente; para las inmersiones biprimitivas, cf.el teorema 3.11.

Teorema 2.10. Sean N, r > 1 números enteros yA := A0r

2 un discriminante asociado al discriminantefundamental AQ. Existe alguna inmersión À : K —* M(2, Q)entera para ¡apareja (O0(N), 0A) si, y sólo si, la descom-posición de N en factores primos es de la forma

N=H pv",?con vp < 1 + 2vp(r), si p ramifica en el orden maximal delcuerpo cuadrática K; vp < 2vp(r), si p es inerte en el or-den maximal de K; y vp cualquiera, si p descomponecompletamente en el orden maximal de K. Existen inmer-siones primitivas para la pareja (O0(N), 0A) si, y sólo si,existen inmersiones optimales para (O0(N), 0A); si, y só-lo si, existen inmersiones enteras para (O0(N), 0A).

Demostración. La existencia de inmersiones X : K —»—> M(2, Q) enteras para la pareja (O0(N), 0A) equivale ala existencia de soluciones enteras (a, b, c) de la ecuacióndiofántica

-b2 + 4Nac = -A;

la existencia de inmersiones optimales, a la existencia desoluciones enteras primitivas de esta ecuación; y la exis-tencia de inmersiones primitivas, a la existencia de solu-ciones enteras primitivas y tales que mcd(Afa, b, c) = 1.Cualquiera de las tres condiciones equivale a la existen-cia de soluciones de la congruencia

b2 = A (mod 4N)

(puesto que podemos tomar c = 1); y, en virtud del teore-ma chino del resto, a la existencia de soluciones de cadauna de las congruencias

b2 = A = A0r2 (mod /A), p > 2,

b2 = A = A0r2 (mod 22 + V2), p = 2,

donde escribimos W en la forma N = Y\ PVp, y P designanP

números primos arbitrarios distintos.

Sea/? un número primo, y pongamos r = pwr', con w > Oi r' no divisible por p; es decir, w - vp(r).

Consideremos, en primer lugar, el caso en que p ^ 2 yque es vp > 2w + 1. La congruencia

e2 = A0/?2V2(mod/A)

tiene solución b si, y sólo si, la congruencia

x2 = A0(modp""-2w)

tiene solución x = —¡-^ (mod p"p ~2w). Puesto que vp - 2w > 2

y A0 no puede ser divisible por p2, la condición anteriorequivale a decir que A0 no es divisible por p y que lacongruencia

x2 = A0 (mod p)

tiene dos soluciones distintas (que se pueden elevar a so-luciones módulo pVp~2w en virtud del lema de Hensel); esdecir, que el polinomio X2 - A0 tiene dos raíces distintasen Z/p2; o sea, quep descompone completamente en elorden maximal del cuerpo cuadrático K.

Supongamos, ahora, que es p & 2 y vp - 2w + 1. Lacongruencia

e2sA0p2V2(mod/")

tiene solución si, y sólo si, la congruencia

x2 = A0 (mod p)

tiene solución; y esto equivale a decir que el polinomioX2 - A0 tenga alguna raíz en Z/pZ; es decir, que p des-componga completamente o bien ramifique en el ordenmaximal de K.

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Finalmente, supongamos que p ï 2 y que vp < 2w; en-tonces, la congruencia

b2 = &0p2wr'2(modpv"')

se reduce a la congruencia

b2 = 0 (mod p""),

que siempre tiene solución.

Resta considerar el caso/? = 2; es decir, la congruencia

e2 = A022V2(mod22 + ̂ ).

Supongamos, pues, que es v2 > 2w + 1. La congruencia

62 = A022V2(mod22 + "2)


x2 = \(mod22 + ^-2w)

tiene solución x = —¡-^ (moa22+"2~2w). Puesto que

2 + v2 - 2w > 4, eso implica que la congruencia x2 = A0(mod 24) tiene solución. Ahora, dado que A0 es un discri-minante fundamental, o bien es A0 = 1 (mod 4), o bien esA0 = 4ÖQ, con ¿Q = 2,3 (mod 4). En el primer caso, A0 = 1(mod 4), la congruencia x2 = A0 (mod 8) tiene solución,de manera que debe ser A0 = 1 (mod 8); y recíprocamen-te, si Ag = 1 (mod 8), las cuatro soluciones distintas dex2 = A0 (mod 8) se pueden elevar, en virtud del lema deHensel, a soluciones de x2 = A0 (mod 22+"2~2w).

En el otro caso, si la congruencia x2 = A0 = 4<50 (mod 24)x2

tuviese solución, debería ser — = o0 = 2,3 (mod 4), caso

en que, evidentemente, no hay solución.

Por tanto, si v2 > 1 + 2vv, la congruencia

e2 = A022V2(mod22+c2)

tiene solución si, y sólo si, es A0 = 1 (mod 8) o, lo que esequivalente, si, y sólo si, 2 descompone completamenteen el orden maximal de K.

En el caso p = 2 y v2 = 2w + 1, la congruencia

¿72sA022V2(mod22+I)2)


x2 = A0 (mod 23)

tiene solución x = -— (mod 23); y esto equivale a decir

que 2 o bien descompone completamente o bien ramificaen el orden maximal de K.

Finalmente, si p = 2 y v2 ^ 2w, la congruencia

e2 = A022V2(mod22+°2)

siempre tiene solución. En efecto; esto es claro si v2 <<2w - 2, ya que la congruencia se reduce a b2 = O(mod 22+"2); también es claro si v2 = 2w, ya que la con-gruencia

x2 = A0r'2 (mod 22)

tiene solución, puesto que A0r'2 es un discriminante y, en

consecuencia, es A0r'2 = 0,l (mod 4); y también es claro

si v2 = 2w — 1, ya que la congruencia

x2 = A0r'2(mod2)

tiene solución evidente. D

Corolario 2.11. Si A = A0 es un discriminante funda-mental, toda inmersión Ã : K—> M(2, Q) optimal para lapareja (00(/V), 0A ) es automáticamente biprimitiv a parala pareja (O0(N), 0. ). Más generalmente, si mcá(N, r)-\,toda inmersión À : K —» M(2, Q) optimal para la pareja(00(AO, 0A r2) es automáticamente biprimitiva para lapareja (&Q(N), O^2).

Demostración. Sea Á : K —> M(2, Q) una inmersiónoptimal para la pareja (O0(N), 0A), dada por la asigna-

r- [ -b -2c\ción Á(J&) = , con A := A0r

2, r > 1. De la\_2aN b J

igualdad b2 - 4Nac = A0r2, y teniendo en cuenta que A0

es un discriminante fundamental, se deduce que mcd(A/,b, ac) divide r. En particular, si es mcd^, r) = 1, debe sermcd(A^, b, ac) - 1, de donde À es biprimitiva para la pare-ja (O0(N),O& ,.2), puesto que mcd(a, b, c) = 1, por hipóte-sis. D

Observación 2.12. Puede ser que existan inmersio-nes primitivas y no existan inmersiones biprimitivas parala pareja (00(/V), 0A). Basta, por ejemplo, que exista unprimo p^2 que divida ryN, pero tal que p2 no divida N(hecho acorde con las condiciones del teorema). Entonces,p debe dividir b y ac, de manera que p divide mcd(/V, b, ac)y ninguna inmersión entera para la pareja (O0(N), 0A)es biprimitiva para dicha pareja.

3. INVARIANTES DE LAS CLASESDE INMERSIONES

La clasificación de las inmersiones Ã : K —» M(2, Q)enteras para fas parejas (O0(N), 0A) respecto del gruporo(AO es equivalente a la clasificación de las formas cua-dráticas binarias enteras del tipo [Afa, b, c] := NaX2 ++ bXY + cY2 por este grupo. En efecto, la relación

P. Bayer et al. Rev. RAcad. Cieñe. Exact. Fls.Nat. (Esp), 2000; 94 363

P-UC^/Ã)? = ¿'(VÃ), para P e YQ(N\ equivale a la rela-[2aN b l

ción P'BP = B', donde B := y B' :=L b 2c]

2a'N b' 1son las matrices asociadas a las formas cua-

b' 2c' \dráticas [Na,b,c] y [Na',b',c']. A continuación, enunciare-mos y demostraremos los resultados para la clasificaciónen términos de inmersiones.

En primer lugar, conviene observar que ro(AO no sóloactúa en los conjuntos de inmersiones enteras y optima-les para la pareja (00(AO, 0A), sino que también actúa enlos conjuntos de inmersiones primitivas y biprimitivaspara la pareja (00(AO, 0A).

En efecto, supongamos que À : K -> M(2, Q) es unainmersión entera para la pareja (O0(N), 0A), dada por la

r _è _2C1asignación À(*/A) = e / + 200(AO, y que

2aN b-ka-™/(v/A) := P-U(7Ã)P,

P :=

Ã'

•[-b' -2c'1

2a'N b' J

es una matriz cualquiera. Sea

de manera que A'(>/A) =

e Z + 200(AO, con

= 2>

para la matriz P definida como en la sección primera.

Este sistema de ecuaciones se puede escribir equiva-lentemente en la forma

Na' := ofNa + ocyNb + y2N2c

b' := 2ajBA/a + (1 + 2ßyN)b + 2yôNc

c':= ß2Na + ßdb -f Ö2c,

de manera que mcd^a, b, c) divide mcd(yVa', b', c'); yrecíprocamente, al tener en cuenta la matriz inversa P"1

de P. Por tanto, mcâ(Na, b, c) = mcâ(Na', b', c').

Análogamente, si escribimos el sistema en la forma

a' := a2a + ayb + y2Nc

b' := 2ocßNa + (1 + 2ßyN)b + 2yôNc

Nc' := ß2N2a + ßoNb + ô2Nc,

obtenemos que mcd(£z, b, Ne) = mcd(a', b', Nc').

Por tanto, hemos demostrado que se satisfacen los re-sultados siguientes.

Corolario 3.1. Los números enteros mcd(Na, b, c) ymcd(a, b, Nc) son invariantes de las clases de F0(N)-equivalencia de inmersiones enteras (resp. optimales)para la pareja (00(/V), ÖA). D

Corolario 3.2. El grupo T0(N) actúa en el conjuntode las inmersiones primitivas (resp. biprimitivas) para lapareja (O0(N), 0A). D

Observación 3.3. Análogamente, a partir del sistemaanterior se obtiene que mcá(N, b, ac) es un invariantepara las clases de Y0(N)-equivalencia de inmersionesenteras (resp. optimales, primitivas, biprimitivas) para lapareja (O0(N), 0A).

Interesa definir otro invariante de las clases de Y0(N)-equivalencia de inmersiones enteras para la pareja(00(AO, 0A). Para ello, tenemos el resultado siguiente.

Proposición 3.4. La clase de b módulo 2N es un inva-riante para las clases de Y0(N)-equivalencia de inmer-siones enteras (resp. optimales, primitivas, biprimitivas)para la pareja (O0(N), 0A).

Demostración. Basta escribir la ecuación

b' = 2aßNa + (1 + 2ßyN)b + 2yôNc

en la forma équivalente

b' = b + 2N(xßa + ßyb + yôc),

y reducir módulo 2N. D

Una última observación antes de emprender la clasifi-cación. El conjunto de las inmersiones enteras para lapareja (00(AO, 0A) está en correspondencia biyectiva conel conjunto de los elementos de Z + 2&Q(N) de traza nulay determinante -A; es decir, con el conjunto de las matri-ces de la forma

[Na, b, c] :=I" -b -2c

\_2aN b } -b2 + 4Nac = -A;

y el conjunto de las inmersiones optimales para la pareja(00(AO, 0A), con el de las matrices como la anterior talesque, además, se satisface que mcd(a, b, c) = 1. Análo-gamente, al añadir la condición mcd(Na, b, c) = 1 se ob-tiene una biyección con el conjunto de las inmersionesprimitivas, y al añadir las condiciones mcá(Na, b, c) =- mcd(a, b, Nc) = 1, una biyección con el conjunto de lasinmersiones biprimitivas para la pareja (00(AO, 0A). Portanto, la clasificación de las inmersiones es equivalente ala clasificación de estos conjuntos.


Definición 3.5. Pondremos 3~C(N, A) para designarel conjunto de las matrices

[Na, b, c] :=T-b -2c

\_2aN ba, b, c e Z,

de determinante -b2 + 4Nac = -A. Notemos que 3~C(N,A) Ç 3~[(N', A), para todo divisor N' de N; en particular,para N' = 1, tenemos que 3~C(N, A) £ 3~[(\, A).

Corolario 3.6. El grupo ro(iV) actúa de manera na-tural en los conjuntos 3-L(N', A), para N' divisor de N.

Demostración. Basta observar que ro(/V') actúa demanera natural en 3~C(N', A) y que T0(N) ç ro(W) es unsubgrupo. D

Corolario 3.7. La clase de b modulo 2N es un inva-riante de las clases de T0(N)-equivalencia de 3-C(N, A), n

En general, para una matriz cualquiera [Na, b, c] ee 3~f(N, A), pondremos m, := mcd(/Va, b, c), m2 := mcd(a,b, Ne). En el caso en que mcd(a, b, c) = 1, se tiene que (cf.la observación 2.8)

m, = mca(Na, b, c) = mcd(A/, b, c),

m2 = mcd(<2, b, Ne) = mcd(a, b, N),

mcdCm,, OT2) = 1,

m := mím2 = mcà(N, b, ac).

Hemos obtenido, pues, diferentes invariantes asociadosa las clases de ro(yV)-equivalencia de inmersiones ente-ras para la pareja (&0(N), 0A); a saber, d := mcd(a, b, c),/MJ := mcd(Mz, b, c), m2 := mcd(a, b, Nc), y B, la clase de bmódulo 2N.

Definición 3.8. Dados números enteros N, d, m¡, m2 > 1,y A,5 e Z, pondremos

Jf(N, A; d, m\, m2, B)

para designar el conjunto de las matrices [Na, b, c] ee 3-C(N, A) tales que mcd(cz, b, c) = d, mcd(Na, b, c} - m¡,mcd(<2, b, Nc) - m2, y b = B (mod 2N). En el caso de nofijar alguno de los valores del invariante, escribiremos *en el lugar correspondiente.

3.9. Ejemplos y propiedades

• Puesto que el invariante B está definido módulo 2N,para números enteros B, B' e IL tales que B = B'(mod 2AO, se tiene que

3-[(N, A; d, m„ m2, B) = 3~C(N, A; d, mt, m2, B').

• En consecuencia, se tiene que

3-C(N, A; d, m„ m2, *) = (J 3~C(N, A; d, m„ m2, B),B (mod 2N)

la reunión disjunta, donde 3~C(N, A; d, m¡, m2, *) de-signa el conjunto de las matrices [Na, b, c] e 3~C(N, A)tales que mcd(a, b, c) = d, mcd(Na, b, c) = mt,mcd(a, b, Nc) = m2, y b es cualquiera.

• En particular, 3~C(N, A; 1, *, *, *) es el subconjuntode 3~C(N, A) formado por las matrices [Na, b, c] talesque mcd(a, b, c) = 1 ; es decir, de las matrices que secorresponden con las inmersiones optimales para lapareja (&0(N), OA).

• Llamaremos ro(/V)-primitivas a las matrices que secorresponden con las inmersiones primitivas para lapareja (00(N), 0A); es decir, a las matrices deJ{(N,A; 1, 1, *, *).

• Llamaremos ro(Ar)-biprimitivas a las matrices que

se corresponden con las inmersiones biprimitivaspara la pareja (00(yV), 0A); es decir, a las matrices de3f(N,A; 1, 1, 1, *).

• Para cada divisor natural m¡ de N, tenemos que

3-C(N, A; 1, mv *, *) = (J 3í(N, A; 1,^, m2, *).m2\N

mcdOíij, m2)= 1

• Notemos que, en el caso N = 1, se tiene que d = mt == m2, y que, para toda matriz [a, b, c] e 3~C(l, A) esb = A (mod 2), de manera que basta únicamente conel invariante d. Escribiremos, pues, 3-C(\, A; d), obien 3-C(l,A; *).

• En general, se tiene que 3~C(N, A; 1, *, *, *) íí J-C(1, A; 1), puesto que puede ser mcd(¿z, b, c) = 1pero mca(Na, b, c) ï 1.

Por el uso que haremos del resultado siguiente, con-viene destacarlo.

Corolario 3.10. Para todo par de divisores naturales(ml5 m2)primos entre side N, el grupo F0(AO actúa en losconjuntos

3-C(N, A; l, m„ m2, *), 3f(N, A; l, m„ *, *).

La clase de b módulo 2N es invariante de las clases dero(N)-equivalencia. D

El teorema siguiente permite caracterizar en qué casoslos conjuntos fC(N, A; 1, m¡, m2, B) son no vacíos; enparticular, responde al problema 2 de la sección 2 para elcaso de las inmersiones biprimitivas.

P. Bayer et al. Rev.R.Acad.Cienc.Emct.Fis.Nat. (Esp), 2000; 94 365

Teorema 3.11. Sean N, A, B, m{, m^ e Z númerosenteros tales que N, mt, m2> I , y A es un discriminante.El conjunto

3-C(N, A; 1, m,, m2, B)

es no vacío si, y sólo si, se satisfacen las condicionessiguientes:

(a) B2 = A (mod 4AQ.

(b) mcd(ml5 m2) = 1.

/ B2 - A(c) mím2 = mcd I N, B, ~—

Además, si el conjunto 3~C(N, A; 1, m¡, m^, E) es no vacío,también es no vacío el conjunto 3~Í(N', A'; 1, 1, m2, B'),

N a Bdonde N' := —, A' := —r, y B' := — e Z.

m¡ m, m,

Demostración. Si existe alguna matriz

[A^a, è, c] 6 3-C(N, A; 1, m„ m2, B),

se satisface la igualdad b2 - 4Nac = A, de manera quese tiene que B2 - A es divisible por 4N. Esto demuestrala propiedad (a). La propiedad (b) se ha visto anterior-

/ B2 - AN

mente. Además, se tiene que medi N, B,

( b2 - A\= medi N, b, = ffì,m2, lo que demuestra (c). Fi-

b cnalmente, para a' :- a, b' := —> e' := —> se tiene que

m¡ m¡

[N'a', b', c'] e 3Í(N', A', 1, 1, m2, B'\

hecho que demuestra la última propiedad.

Para demostrar el recíproco, observemos, en primer lu-gar, que la condición (a) es equivalente a decir que52-A

e Z, de manera que tiene sentido considerar4N

í B2-A«V ft -4ÃT

producto m¡m2 divide el cociente

. Puesto que, por la hipótesis (c), el

B 2-A4N

y teniendo en

cuenta (b), podemos escribir£2-A

4Nm1m2= a'c, con a', c' e Z

tales que mcd(a', c') = 1, mcd(a', m¡) = 1, y mcd(c', »12) = 1.Para ello, es suficiente colocar en c' todos los factoresprimos comunes al cociente y a m,, en a' todos los facto-res primos comunes al cociente y a m2, y repartir el restodel cociente en factores primos entre sí. Una vez hechoesto, podemos definir b := B, a := m2a' y c := m{c', y setiene que

[Na, b, c] e 3-C(N, A; l, m„ m2, B),

de manera que este conjunto es no vacío, como quería-mos demostrar. D

Corolario 3.12. Dada una pareja cualquiera de nú-meros enteros (N, A), con N > 1 y A un discriminante,condición necesaria y suficiente para que exista algunainmersión Ã : K —* M(2, Q) biprimitiva para la pareja(OQ(N), 0A) es que exista un número entero B tal que

/ Ttl _ A \

B2 = A (mod 4/V) y medí N, B, 1=1. n

Observación 3.13. En general, fijados m¡, m2 enlas condiciones del teorema, la clase de B módulo 2Nno está determinada. En cambio, si fijamos B y mv en-tonces m2 está determinado por la igualdad mlm2 =

= mcd(M B, —^\ 4N

4. CLASIFICACIÓN DE LAS INMERSIONES

Para emprender el estudio de la clasificación de lasinmersiones enteras para la pareja (O0(N), 0A) respectodel grupo ro(Af), conviene destacar, en primer lugar, elresultado siguiente, que es un corolario inmediato de ladefinición 3.8.

Proposición 4.1. El grupo F0(AO actúa en cada unode los conjuntos 3~f(N, A; *, *, *, B), 3~C(N, A; 1, *, *, B),3-C(N, A; 1, /M!, *, B), y 3~C(N, A; l, m„ ni2, B). D

Definición 4.2. Para cada uno de los conjuntos

3-[(N, A; d, m,, m2, B),

escribiremos

H(N, A; d, m„ m2, B) := 3-C(N, A; d, m}, m2, B)/T0(N)

para designar el conjunto de Y0(N)-clases de equivalen-cia. Y análogamente en caso de no fijar el valor de algu-no de los invariantes.

El resultado principal para la clasificación de las in-mersiones enteras para la pareja (&0(N), 0A) es el si-guiente teorema de comparación.

Teorema 4.3. Sean dados un número entero N > 1,un discriminante A := A0r2, r > 1, asociado al discri-minante fundamental A0, y un número entero B e Ztal que B2 = A (mod 4N). Para cada descomposición

í B2 - A\m,m2 = m := mcd I N, B, tal que mcd(m,, w2) =

1, existe una correspondencia biyectiva entre los conjun-tos cociente

H(N, A; l, m,, m2, B) -> H(\, A; 1).


La demostración del teorema sigue de manera esencialideas esbozadas en [Gr-Ko-Za 87]. Comenzaremos pordefinir la aplicación, para lo cual utilizaremos el resulta-do siguiente.

Lema 4.4. Mantengamos las notaciones y las hipóte-sis del enunciado del teorema.

(a) Existe alguna descomposición N = N¡N2 tal queNt,N2>i,y

mcá(N¡, N2) = mcd(N,, m,) = mcd(N2, m2) = 1.

(b) Seaf:= [Na, b, c] e 3~C(N, A; 1, m{, m2, B), cual-quiera; entonces, esf:= [Aâ, b, N2c] e 3~C(\, A; 1).

Demostración. Para la demostración de la propiedad(a), cf. la del teorema 3.11. Para (b), basta ver quemcá(N¡a, b, N2c) = 1, hecho que dejamos a la atencióndel lector. D

Podemos fijar, pues, una descomposición como la dellema, y definir una aplicación

3-C(N, A; 1, m¡, m2, B) -^3~C(\, A; 1)

por la asignación/= [Afa, b, c] >-»/= [Nâ, b, N2c]. Ob-servemos que, en el caso m\ = 1, podemos tomar N{ := N,N2:= 1, de manera que la aplicación (p sea, sencillamen-te, la inclusión natural.

Lema 4.5. La aplicación ç define, por paso al co-ciente, una aplicación

H(N, A; 1, m t, m2, B) -^ H(\, A; 1)

entre los conjuntos cociente.

Demostración. Hay que demostrar que si

f, f e 3f(N, A; l,m^m2,B)

son equivalentes por una matriz P = e TQ(N),\_yN ó]

entonces /, /' son equivalentes por una matriz deSL(2,Z). Sean, pues,/ = [Na,b,c],f = [Na',b',c'}, y su-

~a

pongamos que se satisfacen las condiciones b1 =:?

Dicho de otra manera, se satisface el sistema de ecua-ciones

a! - ofa + ayb + y2Nc

b' = 2ocßNa + (1 + 2ßjN)b + 2yôNc

c' = ß2Na + ßob + ô2c.

Si multiplicamos la primera ecuación por A^, y la tercerapor N2, obtenemos el sistema equivalente

N}a' = a2N{a + afyNJb + (yNt)2N2c

b' = 2a(ßN2)Nia + (1 + 2(ßN2)(yNi))b + 2(yNl)ÔN2c

N2c' = (ßN2)2N,a + (ßN2)ob + ö2N2c,

de manera que las matrices/= [N,a, b, N2c] y f = [Nâ',b', N2c'] son SL(2, Z)-equivalentes por la matriz

a #V2-|

yNt ô J'

como queríamos demostrar. D

Lema 4.6. La aplicación

(p : H(N, A; l, m,, m2, B) -» H(l, A; 1)

es injectiva.

Demostración. Supongamos que / es SL(2,Z)-equi-

valente con/'; es decir, que para una matriz I | e]_y ô

e SL(2, Z), se satisface el sistema

N{a' = ac2N¡a + ctyb + y2N2c,

b' = IxßNfi + (1 + 2ßy)b + 2yöN2c,

N2c' = ß2Nta + ßob + ö2N2c.

Teniendo en cuenta la demostración del lema anterior,basta ver que y es divisible por N¡, y ß, por N2.

Ahora bien, la primera ecuación nos dice que N{ divi-de el producto y (ab + yN2c); y, puesto que 2N¡ divide2N y 2N divide b' - b (ya que b' = b = B (mod 2N), lasegunda ecuación nos dice que N{ divide el productoy(ßb + ôN2c). Teniendo en cuenta que ctõ - ßy = 1, obte-nemos que N¡ divide los productos yb y yN2c; y, puestoque mcá(Nl, N2) = 1, tenemos que N¡ divide los produc-tos y b y y c; y, evidentemente, N¡ divide el producto y N\a.Finalmente, puesto que mcdâ, b, c) = I, obtenemosque N¡ debe dividir y. La cuestión de divisibilidad de ßpor N2 es completamente análoga, al tener en cuenta lasdos últimas ecuaciones. D

Lema 4.7. La aplicación

<p : H(N, A; l, m„ m2, B) -» H(l, A; 1)

es exhaustiva.

_ Demostración. Consideremos una matriz cualquiera/:= [ã, b, c] e Jí(l, A; 1) y veamos que existen a, ß, y,

P. Bayer et al. Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fis:Nat. (Esp), 2000; 94 367

õ e Z tales que oco - ßy = l y que para los números ente-ros a, b, c definidos por

a = v.2a + ctyb + y2c,

b = 2aßa+(l + 2ßy)b + 2yoc,

c = ß2a+ßob + o2c,

se satisfacen las propiedades que c es divisible por N2, a

lo es por N¡, y que la matriz N2a, b, — pertenece a

3-C(N, A; 1, m{, m2, B).N,

Tengamos en cuenta, en primer lugar, que se tiene que52 = A (mod 4AO, de maneja que B = A (mod 2), y_queb = A (mod 2), puesto que b2 - 4ãc = A; por tanto, b = B(mod 2). Así, podemos escribir las ecuaciones anterioresen la forma equivalente siguiente:

a = a aa + y •b + B

+ y a1-5

b = B + 2ßla.a+y

2 ; " ' \ " 2b + B

+ y c ,

.,/ b~B \2 , + 2<^a^- + H =

= B + 2«(ßa-+ö^ + 2y(ß^ + ̂ ,

c = ß(ßt+^ + t(ß^ + ö^

y veamos que se pueden encontrar números enteros a, ß,y, ó, tales que

«.ó- ßy= l,

5"+ Baã + y = 0 (mod W,),

(*)è-5

a 1- ye = 0 (mod A7,),

ßa+0—--sOOnaodAy,

„b + B „ „

Observemos

b-2

It - r u c — u ^uiuu

que el determinante de

b + B~2

BC

Ï

•"

d

b + B2

v2;.

las matrices

b-B~~2~

'

es divisible por N; en particular, porJV, y por N2. Por otraí_b + B b - B \

parte, se tiene que mcd a, , , c = 1, puesto

que mcd(a, b, c) = 1.l ' 2 ' 2

Vamos a resolver el sistema de ecuaciones

b + B~

<-B

2

c"I-PIy J LoJ

-(mod N,)

por aplicación del teorema chino del resto.

Sean p > 1 un número primo que divida N, y v > 1 lavaloración/7-ádica deN t . Existen a.p, y^ e Z tales que/? nodivide a.p o bien p no divide yp, y tales que

b + B'

b-B 4°1LoJ (modp11);

para ello, observemos que alguno de los cuatro coeficien-tes del sistema no es divisible por p, de manera que laecuación correspondiente se puede resolver -haciendoigual a 1 (mod//) la incógnita que corresponde al otrocoeficiente. En particular, alguno de los a y es inversi-ble módulo p", de manera que podemos elegir ßp, ôpeJ.tales que <xpo - ßpy^ = 1 (moa p"). Ahora, podemos elegir«i, /?,, y,, ol e £ tales que a,{ = a,p (mod/?11), ßt=ßp

(modp"), yl=yr (modp"), o{ = op (modp"), para todoslos primos que dividan A^,. En particular, se tiene quepara «,, ßt, y,, <5, e Z se satisface el sistema

(modtf,),

junto con la ecuación a,á, - /?,?, = 1 (mod A^j).

a

b-B

2

b + B'

2

c\*~bi.14°J LO

Análogamente, existen œ2, ß2, y2, o2 e 7L tales que

b + B'

' " A l - l¿,

a

5"-5 4°1LoJ(mod//,)

y a2¿2 - ß2y2 = 1 (mod Ay.

Finalmente, podemos elegir a, ß, y, õ e Z tales quea = a; (mod A7,.), jß = ̂ ; (modA',.), y = y¡ (moaN¡), o = o¡(mod N,), i- l, 2. En particular, se tiene que ctô - ßy = l(mod N)', y, por la exhaustividad del morfismo de reduc-ción mòdulo N

SL(2, Z) -^ SL(2, ZWZ),

podemos elegirlos de manera que sea aô - ßy = l.

Así, pues, hemos obtenido una solución del sistemaF c~\

(*). Sólo queda por ver que N2a, b,— e 3~C(N, A; 1, ml,L ^J

368 P. Bayer et al. Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fìs.Nat. (Esp), 2000; 94

m2, B). Para ello, observemos que c es divisible por /V2, y aa c

es divisible por N,, de manera que —->b, — e Z y N2a esNI N2

Ta ßdivisible por N; además, puesto que la matriz

|_y ô

pertenece a SL(2, Z), tenemos que b2 - 4Na c

ÑIÑ2= b2 - 4ac = P - 4(2 c = -A. Por otra parte, tenemos queb = B (mod 2N), en virtud de la segunda de las ecuacio-

( a c\nés. Finalmente, tenemos que mcd —> b, — = 1,

N, N.

N, N,

medi N —' b, — = m{, y mcd —> b, N — ) = m2. EnV^ N7

efecto; a partir del hecho que

mcd(a, b, c) = mcd(o", b, c) = 1,

obtenemos que medi —-> b, —-} = 1; y, también, que\K M

/ c \medi N2a, b, — divide N2 y, en particular, es primo con

f a \TO2; y que mcd —. b, N\c I divide Nì y, en particular, es

VM /primo con m,; además, puesto que

H^-A^)=^'^)=

/ ¿72-A\ / S2-A\= mcà(N, b, -^) = mcd(tf, B, -^) = m,m2,

se tienen las dos propiedades restantes.

Así, pues, tenemos que

fVa c:=K'^ e 3-C(N, A; 1, m,, m2, B)

y que (£_(/) - [a, b, c], que es SL(2, Z)-equivalente a lamatriz/. Por tanto, la aplicación (p : H(N, A; l,mt, m2, B)—*• H(l, A; 1) es exhaustiva. D

Con este lema, hemos acabado la demostración delteorema de clasificación de las inmersiones optimales.Ahora, obtenemos fácilmente la clasificación de las in-mersiones enteras a partir del resultado siguiente.

Proposición 4.8. Sea d>\ un divisor de r, donde A == A0r

2. Existe una correspondencia biyectiva entre elconjunto H(N, A; d, *, *, *), de clases de F'0(N)-equiva-lencia de inmersiones À : K —> M(2, Q) enteras para lapareja (O0(N), 0A) tales que mcd(a, b, c) = d, y el conjun-

( A \to HI N, —¿i í, *, *, * I, de clases de ro(N)-equivalencia

de inmersiones optimales para la pareja (OQ(N), ©¿/¿2).

Demostración. Notemos, en primer lugar, que d :=:= mcd(a, b, c) es invariante para las clases de ro(AO-equivalencia de inmersiones enteras para la pareja(O0(N), 0A), y que d es un divisor de r (donde A = A0r

2).Por otra parte, dada una inmersión / = [Na, b, c] e

f £. I

e 3~C(N, A; d, *, *, *), la inmersión - = Af -« -> - esd |_ d d d ]

optimal para la pareja (OQ(N), 0átó2), es decir, pertenece

a Jfl N,—¿; 1, * , * , * . Y si/' es una inmersión ro((V)-

/' /equivalente a /, entonces — es F0(A/r)-equivalente a ->

d dcomo inmersiones optimales para la pareja (O0(N), O^z).

fPor tanto, la asignación /i-> - define, por paso al cocien-

dte, una aplicación

H(N, A; d, *, *, *) -» H\ N, —• 1, *, *, * .\ a J

f fAdemás, si/ /' e 3-[(N, A; d, *,*,*) son tales que — y -d d

son ro(Ar)-equivalentes como inmersiones optimales

para la pareja (00(AO, 0A/<i2)' entonces/y/' son ro(N)-equivalentes como inmersiones enteras para la pareja(00(AO, 0A). Por tanto, esta aplicación es inyectiva. Y,finalmente, dada una inmersión

g := [Na, b, c] e 3ÍÍN, j2, l, *, *, A

la inmersión dg = [Nad, bd, cd} pertenece a 3f(N, A;d, *, *, *), de manera que la aplicación es exhaustiva. D

Finalmente, nos preocupamos del descenso de nivelpara las inmersiones primitivas, que obtenemos como co-rolario del teorema de comparación 4.3. Ya hemos visto,en el corolario 2.9, que una inmersión primitiva para unapareja (00(AO, 0A) es automáticamente primitiva para lapareja (O0(N'), 0A), para cualquier divisor N' > 1 de N;es decir, se tiene una inclusión

5$V, A; 1, 1, *, 5) -» 2C(N', A; 1, 1, *, B')

para cada número entero B' = B (mod 2A7').

Corolario 4.9. Sea N' > 1 un divisor cualquiera de N.Para cada número entero B, sea B' e Z tal que B = B'(mod 2N'). La inclusión

3-C(N, A; 1, 1, *, ß) -» 3-C(N', A; 1, 1, *, B')

i

define, por paso al cociente, una aplicación /latural bi-yectiva

H(N, A; 1, 1, *, B) -» H(N', A; 1, 1, *, B').

P. Bayer et al. Rev.R.Acad. Cieñe. Exact.Fis.Nat. (Esp), 2000; 94 369

Demostración. Puesto que estamos en el caso ml = 1,podemos elegir las descomposiciones N = A^A^, N' ==N(N2 del lema 4.4 de manera que sea N2 = N2 = 1, A', = A',y N{ = N'. De esta manera, las aplicaciones ç, cp' de lademostración del teorema son las inclusiones naturales

3#V,A;1, l ,* ,ß)->5#l ,A; l ) ,

MÍN', A; 1, l, *,fl')->^l, A; 1),

la primera de las cuales es la composición de la inclusion

3%N, A; l, l, *, B) -> JtiN', A; l, l, *, B')

con la segunda. El teorema 4.3 nos asegura que, por paso alcociente, obtenemos biyecciones

H(N,&; 1, 1, *, B)-*H(l, A; 1),

H(N', A; 1, 1, *, B')->H(l, A; 1);

puesto que la inclusión natural

Stiff, A; 1, 1, *, B) -> J{(N', A; 1, 1, *, ff)

pasa al cociente, obtenemos que

H(N, A; 1, 1, *, B) -» H(N', A; 1, 1, *, B')

es biyectiva, como queríamos ver. D

5. NÚMEROS DE CLASES

En esta sección, procedemos a calcular los cardinales delos conjuntos de clases de equivalencia de inmersionesÀ : K —» M(2, Q) enteras, optimales, primitivas y biprimiti-vas para la pareja (O0(N), 0A).

Dado un discriminante A = A0r2, r > 1, asociado al discri-

minante fundamental A0, escribiremos /z(A) para designar elnúmero de clases de equivalencia estricta (es decir, módulola acción del grupo F0(l) = SL(2,Z)) de formas cuadráticasbinarias, enteras, primitivas, y de discriminante A.

Observación 5.1. Notemos que el número /z(A) tiene encuenta todas las formas cuadráticas binarias primitivas dediscriminante A. En particular, cuando A < O, tiene encuenta las formas definidas positivas y las formas definidasnegativas.

Teorema 5.2. Sean N, A, B, d, m¡, m2 e Z númerosenteros tales que N, d, m¡, m¿ > 1, A = A0r

2, r > 1, es undiscriminante asociado al discriminante fundamental An,/ ßi _ £\B2 = A. (mod 4AO, mcdO^, /w2) = 1, y medí N, B, ——

mlmz. Además, sean S(N, A, B) := 2s(N-A- B\ donde s(N, A,' B)denota el número de divisores primos positivos distintos de

í B2-¿^mcdUs,—

r*(N, A) := # {B (mod 2AT) :B2 = Á (mod 4AT)};

s*(N, A) := # {B (mod 2N) : B2 = A (mod 4/V),

B 2-A- = ,).mC\N'B' 4N

Los conjuntos de clases de T0(N)-equivalencia de inmersio-nes enteras, optimales, primitivas y biprimitivas para la pa-reja (O0(N), 0A) son finitos. Además, para sus cardinales,se tienen las fórmulas siguientes:

(a) #H(N, A; 1, m,, m2, B) = A (A).

(b) #H(N, A; 1, *, *, B) = h(Á)S(N, A, B).

(c) (Biprimitivas) #H(N, A; 1, 1, 1, *) = h(A)s*(N, A).

(d) (Primitivas) #H(N, A; 1, 1, *, *) = h(a)r*(N, A).

(e) (Optimales) #H(N, A; 1, *, *, *) = A(A) £ r*(-, -^ ].¿i* V^ ¿ Jd\rD/d

(/) f£«íera^ #H(N, A) = X ^(A0d2) X r*(j ̂ !\

d i r á|W \d " /¿|ra/s

Demostración. El teorema 3.11 nos dice que si no sesatisfacen las condiciones requeridas en (a), el conjuntoH(N, A; 1, m,, m2, B) es vacío; en consecuencia, el teore-ma 4.3 proporciona (a).

Para demostrar (b), observemos que, si 52^A(mod4AO, el conjunto H(N, A; 1, *, *, B) es vacío. Encaso contrario, H(N, A; 1, *, *, B) es la reunión disjun-ta de los conjuntos H(N, A; 1, m,, m2, B), para todas

/ B2 - A\los descomposiciones medí N, B, = m,m2, tales

que /M!, m2 > 1 y mcd(m,, m2) = 1. Aplicando (a), bastaobservar que S(N, A, ß) es el número de divisores de

? 52 - A\mcd N, B, libres de cuadrados o, equivalente-

V 4N Jmente, de descomposiciones como las que deseamos.

Veamos, ahora, (c) y (d). Para ello, observemos que elconjunto H(N, A; 1, 1, *, *) es la reunión disjunta de losH(N, A; 1, 1, *, B) para los valores de B (mod 2AO talesque B2 = A (mod 4N). Además, puesto que m¡ = 1, el va-

( ß2 - A\lor de m^ debe coincidir con mcd N, B, ; por tan-

\ 4N 1í S2 - A\

to, para ni2 :- medí N, B, J, se tiene que H(N, A;

1, 1, *, B) = H(N, A; 1, 1, m2, B) = /z(A). Para demostrarla igualdad enunciada en (d) basta observar, pues, la defi-nición del factor r*(N, A). Y, para (c), basta repetir elcálculo anterior para los valores de B tales que, además,es m2 = 1, hecho que substituye el factor r*(N; A) pors*(/V; A).


Demostremos (e). El conjunto H(N, A; l, *, *, *) es Iareunion disjunta de los conjuntos H(N, A; l, *, *, B), paraB (mod l/V) tal que B2 = A (mod 4N). Por tanto, pode-mos escribir

#H(N, A; l, *, *, *) = £ #H(N, A; l, *, *, B).B (mod 2JV)

B2 = &(mod4N)

Ahora, aplicaremos (b), teniendo en cuenta que S(N, A, B)es el número de divisores libres de cuadrados de

/ B2 - A\medi N, B, —-^j— ] y, por tanto, la suma anterior es el

4Ncardinal del conjunto de pares (B, d) tales que B(mod 2N), B2 = A (mod 4N), d\N,d libre de cuadrados,

/ B2 - A\y d divide mcd N, B, . Esta última condición es

V 4N Jequivalente, al tener en cuenta las demás, a la condiciónd I r y B2 s A (mod 4dN). En efecto; si d es libre de cua-

( B2-A\drados y divide medí N, B, I, tenemos que d divi-

de N y B, y que B2 = A (mod 4dN); puesto que d2 divide4dN y B2, tenemos que d2 divide A, y la presencia delfactor 4 en el módulo implica que d divide r. Recípro-camente, si d divide r y B2 = A (mod 4dN), entoncesd2 divide A y B2; puesto que d es libre de cuadrados, te-nemos que d divide N y B, y la condición B2 = A

£ 2-A(mod 4dN) nos dice que d divide ; es decir, d divi-

/ B2 - A .de mcd N, B, . Así, el valor de la suma anterior es

\ ' ' 4N

#{(B, d):B(mod 2N), B2 = A (mod 4dN), d\N, D /d, d\r}.

Sumando para d, obtenemos que #H(N, A; 1, *, *, *) esdado por la expresión

A(A) X #{# (mod 2AO : B2 = A (mod 4dN)}.d\Nd\r

DXd

En consecuencia, si ponemos B' := —, A' := —, y N' := —,d a d

= B .. A ... N

al dividir la congruencia por d2, obtenemos que

#{B (mod 2AO : B2 = À (mod 4dN)}

coincide con

#{B' (mod2AO : ß'2 = A' (mod4yV')} = r*(-, —2d d2

Finalmente, para demostrar (f), observemos que laproposición 4.8 permite reducir el cálculo del número declases de inmersiones enteras para la pareja (00(N), 0A)al de las clases de inmersiones optimales para las parejas(O0(N), G¿jd2), Pa1"3 todos los divisores d de r. En efecto;se tiene que

3f(N, A) = U dJfl N, -~2; 1, *, *, * ,d\r \ " /

con la reunión disjunta y ro(Af)-invariante; por tanto,

#H(N, A) = ̂ #HÍN, —2; 1, * , * , * ) =dir V " /

= X #H(N, A0d2; 1, *, *, *).

d\r

Basta, pues, aplicar (e). D

A continuación, procedemos al cálculo explícito de losnúmeros r*(N, A) y s*(N, A), lo que permite precisar lasfórmulas para los números de clases.

Definición 5.3. Dados números enteros N > 1, y Acualquiera, sean R*(N, A) el número de raíces cuadra-das de A módulo N, y S*(N, A) el número de éstas, B

í B2-k\(mod AO, tales que mcd N', B, I = 1, donde N' :=

N'~ mcd(4, N) '

Lema 5.4. Sea N - Y[ Pv" Id descomposición en fac-P

tores primos de un número entero cualquiera N > 1 ; esdecir, para cada número primo p>2, sea vp := vr(N) lavaloración p-ádica de N, y pongamos v'p := vp(N'), donde

NN' ;= 7T^—7T7- Para todo número entero A, se satisfa-

mcd(4, N)

como queríamos demostrar.

ce que

R*(N, A) = f] R*(pv», A), S*(N, A) = H S*(pv", A).p\N p\N

Demostración. El teorema chino del resto proporcionainmediatamente la igualdad para R*(N, A). Para S*(N, A),

/ B2 - A\basta observar que la condición mcd N', B, J = 1

equivale a decir que, para todo primo p que divide N, p( , B2-^

no divide medí p\ B, |. D


Corolario 5.5. Sean N> í, y Aun discriminante. En-tonces,

r*(N, A) = - R*(4N, A),

s*(N, A) = - S*(4N, A).

Demostración. La definición de r*(Af, A) como elcardinal del conjunto {B (mod 2AO : B2 = A (mod 4N)},la observación que, para un número entero B, la propie-dad B2 = A (mod 4AO es equivalente a la propiedad(ß + 2A02 = A (mod4AO, y el hecho que B^B + 2N(mod 4AO, pero B = B + 2N (mod 2AO, proporcionan laprimera fòrmula. Obtenemos la segunda análogamente,puesto que, además, se satisface la igualdad

/ (ß + 2A02-A\ / ß2-A\mcd N,B + 2N, = mcd N, B, . D

\ 4AO j ^ 4N J

Hemos reducido, pues, el cálculo de los factores r*(N, A)y s*(N, A) al de los números R*(pc", A) y S*(pc", A), paratodo número primo/? * 2 y de R*(22 + \ A) y S*(22+V2, A),para p = 2, donde vp := vp(N).

El valor de los factores R*(p°p, A) es conocido. Pero,teniendo en cuenta que hay que calcular, también, losfactores S*(p"p, A), y que éste cálculo está basado en elanterior, los haremos ambos conjuntamente. Por comodi-

Si p = 2 y v2 > u2(A) = 2r2,

dad de notación, escribiremos w -N• [2] la parte entera

de -£. En particular, up es par si, y sólo si, vp = 2wp, y vp es

impar si, y sólo si, vp = 2wp + 1. Por otra parte, convendrátener en cuenta la paridad de tp := vp(A). Escribiremos

rp := - , la parte entera de — > y A = p'rA'p, de manera

que p no divide A¿.

Proposición 5.6. Sean A un número entero cualquie-ra, p > 2 un número primo, y vp > O un número entero.Entonces:

(1) El valor de R*(pv", A) es el dado por:

• Si vp = 0,p cualquiera, R*(pVp, Aj = 1.

• Si I <vp< í^(A), p cualquiera, R*(pv", A j = pwp.

• Si vp>vp(A.)=2rp+ l, p cualquiera, R*(pv", A)=0.

• Si p * 2 y vp > ü (A) = 2rp,

R*(pVp, A) =0, si

2prp, si

/AMV P ,/A ' x

HV / 7 /

\r-1-/\ = 1-/

R*(2"2, A) =

2rz, si v2-2r2=l,

O, si v2-2r2>2, A2 = 3 (mod 4),2'+r*, si v2 - 2r2 = 2, A2 = 1 (mod 4),

O, si v2-2r2>3, A2 = 5 (mod 8),22+r2, « v2 - 2r2 > 3, A'2 = 1 (mod 8).

(2) Y el valor de S*(p°p, A) es el dado por:

• Si vp = O, p cualquiera, S*(p"p, A) = 1.

•Sil<vp< vp(&), p*2,

sw*) = F'~l(p-l)t SÍVp = 2w"O, si vp = 2wp+ 1.

Sip = 2yl<v2< ü2(A),

r/7W2, si I<v7<2,S*(2U\ A) - < 2W2- ', si v2 = 2w2 > 3,

(O, si v2 = 2w2+ 1 >3.

Sip*2yí<vp = vp(A),

W'

S*(pv", A) =

si

si

si

v„p

v„p

v„p

= 2w„+ 1,p '

= 2w0,p

= 2w„,P

A'\:>P /A ' N

P

P /

= -1,

\= 1-;

/

• Si p = 2 y 1 < v2 = v2(A),

{2r2, si v2-2r2+l,

2, si v2 = 2,2ri-\ si v2 - 2r2 > 3.

• Si vp > vp(a) = 2rp+l,p cualquiera, S*(ptt", A) = 0.

•Sip*2yvp>vp(L·) = 2rp,

O,

S*(p\ A) = { 2,

Sip = 2yv2> ü2(A) = O,

'1, si v2 = 1,

si

si

si

M',\MN-I,V Prp =

rP^

/o,

0,

Mp JA^— p

p y

= i,

= i.

5*(2"2, A) =0, si u2 > 2, A = 3 (mod 4),2, si i;2 = 2, A = 1 (mod 4),0, si v2 > 3, A = 5 (mod 8),

4, si i>2 > 3, A = 1 (mod 8).


Si p = 2 y v2 > v2(A) = 2r2 > O,

'2rz, si A2 ES 3 (mod 4), v2 - 2r2 = 1,O, si A'2 = 3 (mod 4), v2 - 2r2 > 2,

O, si A2 = 1 (mod 4), v2 - 2r2 = 1,S*(2"2, A) = < 2'+r2, s/ Aj = 5 (mod 8), u2 - 2r2 = 2,

O,

O,\21+r

2

si A2 = 5 (mod 8), v2 - 2r2 > 3,si A2 = 1 (mod 8), v2 - 2r2 = 2,si A2 = l (mod 8), v2 - 2r2 > 3.

Demostración. Para todo número primo p, hay quecalcular el número de soluciones B (mod p"") de la con-gruència B2 = A (mod //") y el número de soluciones B

í , B2-A\(mod pv") tales que mcd p"", B, —-— no es divisible

por p, donde v'p = vp, si p & 2, y v'2 := max(0, v2 - 2).

Escribamos A = p'"A' con íp := up(A) > O, de maneraque A!, e Z no es divisible por p. Entonces, la congruen-cia B = A (mod p"") se puede escribir en la forma equi-valente B2 = p'"A'p (mod p"p).

Haremos el cálculo por distinción de casos. Es inme-diato que, en el caso vp = O, se tiene que R*(pv", A) =- s*(pa", A) = 1. Por otra parte, en el caso en que es p = 2y v7 < 2, para todas las soluciones B (mod 2"2) de B2 = A

/ , B2-A(mod 2"2) se tiene que 2 no divide mcd 2"2, B,

puesto que v'2 = 0; por tanto, en este caso es S*(2"2, A) == /?*(2"2, A). En consecuencia, a partir de ahora, y para elcálculo de S*(2"2, A), supondremos que es v2 > 3 sin men-ción explícita.

• Caso 1 < vp < tp.

La congruencia se convierte en B2 = 0 (mod/A). Sivp = 2wp, sus soluciones B (mod pVp) son de la formaB = p"pB', con B' (mod/?1"") cualquiera. Ysivp = 2wp + 1,sus soluciones B (moáp""~) son de la forma B = pwr>+íB',con B' (moápWp) cualquiera. Por tanto, R*(pc", A) =pw",en cualquier caso.

Puesto que vp > 1, todas las soluciones B son divisiblespor p, de manera que la condición que p no divida

/ B2 — A\medí pttp, B, —-— I equivale a decir que p"p+l no divida

B2 - A. Para el cálculo de S*(p"p, A), conviene distinguirlos casos vp<tpyvp = tp.

• Subcaso vp < tp.

Puesto que/?0""1"1 divide A, las soluciones válidas sonaquellas para las cuales/?"''"1" ' no divide B2. Así, si vp = 2w ,de entre las soluciones B = pWpB', B' (mod pw"), son váli-das aquellas para las cuales p no divide B'; es decir,S*(pv", A) = (f>(pWp) = pw"-l(p - 1). Y si vp = 2wp + 1,ninguna solución B = pwp+lB', B' (mod/?*""), es válida; esdecir, S*(p"p, A) = 0.

• Subcaso vp = tp.

Si vp = 2w+ 1, se tiene que p"»+l = p2Wp+2 divide B2

pero no divide A; por tanto, p"" + ' no divide B2 - A y to-das las soluciones son válidas; es decir, S*(p°", A) =pw".

Si vp = 2wp, será más cómodo restar, del número totalde soluciones, el número de soluciones para las cualesp""+l divide B2 - A. En efecto, esta última condiciónequivale a escribir la congruencia B2 = A (mod p"''"1"1);poniendo B = pw"B', con B' definido módulo pWp, las solu-ciones B para las cuales p"p + ' divide B2 — A son aquellaspara las cuales se satisface la congruencia B'2 = A'p(mod/?1"1"""'21"" = p). Es decir, para calcular S*(pVp, A),habrá que restar de pWp el número de elementos B'(mod pw") tales que B'2 = A' (mod/?). Y, puesto que wp>l,cada clase residual módulo p es la reducción de exacta-

que S*(p"p, A) =pw" - 2pWp-l=pWp~i(p - 2), si

mente pWp clases residuales módulo pWp, de manera queel número que hay que restar de pWp es el producto depw"~ ' por el número de soluciones módulo p de la con-gruencia B'2 = A' (mod p). En el caso p&2, esto es decir

'->'•-,P )

y S*(/A, A) = pWp, si I —p- ) = -1. Y en el caso p = 2, esto

es decir que S*(2°2, A) = 2W2 - 2W2~> = 2W2'1.

• Caso vp>tp.

Para que la congruencia B2 = A (mod p"") tenga solu-ción, es condición necesaria que t sea par. Luego, si tp esimpar, se tiene que R*(pVp, A) = S*(pv", A) = 0. Podemossuponer, pues, que tp =: 2rp es par. Las soluciones de lacongruencia B2 = Á. (mod/?"") son los elementos B == pr"B', con B' definido módulo p""~rp y tal que B'2 = A.'(modpVp~2rp). En particular, si A^ no es un cuadrado mó-dulo p (lo cual implica que es p ^ 2), no hay soluciones B'y, en consecuencia, R*(p"p, A) = S*(p"p, A) = 0.

Si p * 2 yA:p

p -= 1, la congruencia B = A' (mod/?)

tiene dos soluciones distintas; y, en virtud del lema deHensel, la congruencia B'2 = Á'p (mod pVp~2r") tiene exac-tamente dos soluciones distintas. Cada una de estas dossoluciones es la reducción módulo p"p~2rp de exactamentepr" elementos de Z/pVp~rp1.; por tanto, el número de solu-ciones B' (mod p""~r") de la congruencia B'2 = A'p (modp""-2rp) es exactamente 2prp; es decir, R*(pVp, A) = 2pr".De estas soluciones, hay que ver cuántas satisfacen que p

i B2-&\no divide mcd p°", B, —-— . Si rp = O, p no divide B,

de manera que las 2pr" = 2 soluciones anteriores son váli-das, y es S*(/A, A) = 2. Supongamos, pues, que rp > 1.Como antes, el lema de Hensel nos dice que el número desoluciones módulo /7l+""~2'> de la congruencia B'2 = Á'p(mod/?1''""p"2''') también es dos, de manera que el númerode soluciones B' módulop"p~rp de la congruencia B'2 = a'p(mod/?0""1"1"21"") es exactamente 2pr"~l. Estas proporció-

P. Bayer et al. Rev.RAcad.Cienc.Exact.Fis.Nat. (Esp), 2000; 94 373

nan exactamente las soluciones B (mod /A) tales que pí B2-A\

divide raed /A, B, ; es decir, obtenemos que' /A '

S*(pv", A) = 2pr" - 2pr"-1 = 2pr"~l(p - 1).

Sólo resta estudiar el caso en que es p - 2 (y v2 > t2 == v2(à) = 2r2). Hay que calcular el número de solucionesde la congruencia B2 = 22r2A2 (mod 2"2), y el de las solu-

( B2-A\ciones taies que mcd B, es impar. Las solucio-4 \ 2"2 J F

nés son los elementos B = 2r2B', con B' definido modu-le^02-''2 y tal que B>2 = & (mod 2°2-2r2). Es decir, setiene que R*(2"2, A) = 2r2R*(2"2-2r2, A2). Y el numéroR*(2"2~2r2, A2) sólo depende de la clase de congruenciade A2 módulo 8, y del exponente v2 - 2r2. Si v2-2r2= 1,es /?*(2°2-2r2, A2) = 1 ; si v2 - 2r2 > 2, y A2 = 3 (mod 4), esR*(2"2-2r2, A2) = 0; si v2 - 2r2 = 2, y A2= 1 (mod 4),es R*(2"2-2r2, A2) = 2; si v2 - 2r2 > 3, y A2 = 5 (mod 8), es/?*(2"2-2r2, A2) = 0; finalmente, y en virtud del lema deHensel, si v2 -2r2 > 3, y A2 = 1 (mod 8), es R*(2V2~2r\ A2) == 4. Esto proporciona los valores de R*(2V2, A) del enun-ciado.

Para calcular los valores de 5I*(2"2, A), observemosque, si es r2 = O, entonces B es impar, de manera que paratodas las soluciones se satisface la propiedad requerida;luego, en este caso, S*(2"2, A) = R*(2"2, A). En el casocontrario, r2 > 1, se tiene que B es par, y hay que ver cuán-tas soluciones B' (mod2"2-r2) de B'2 = A' (mod 2"2"2r2)no son soluciones de B'2 = A2 (mod 2ì+°2~2r2). En el casov2-2r2=l, para la única solución B' = 1 (mod 202"2''2) de5'2 = A2 (moá2"2-2r2) es B'2 = \ (mod 4 = 2l+"2-2r2), demanera que las soluciones son válidas si, y sólo si, esA2 = 3 (mod 4); y si A2 = 1 (mod 4), ninguna solución esválida. En el caso v2 - 2r2 = 2, para toda solución B'(mod 2U2-2r2) de B'2 = Ai, (mod 202~2r2) es B'2 = 1 (mod 8),de manera que las soluciones son válidas si, y sólo si, esA2 = 5 (mod 8), puesto que si A2 = 3 (mod 4) no existensoluciones y si A2 = 1 (mod 8), todas las solucionesmódulo 2"2-2''2 lo son módulo 2[+V2'2r2. Y, en el casov2-2r2 > 3, para toda solución B' (mod 21'2-2''2) deB'2 = A2 (mod 202"2''2) es B'2 = 1 (mod 8), de manera quees A2 = 1 (mod 8). En este caso, la mitad de las solucio-nes B' (mod 2°2-r2) de B'2 = A2 (mod 2"2-2r2) son solucio-nes de B'2 = A'2 (mod 21+tl2~2r2); por tanto, la otra mitadson válidas; es decir, S*(2"2, A) = 21+r2. Esto acaba lademostración. D

Observación 5.7. En el caso que nos interesa, A esun discriminante y los valores que queremos calcular son

-R*(4N, A) y - S*(4N, A); en particular, siempre tendre-

mos que es v2 > 2, caso en que R*(22+"2, A) y S*(22+°2, A)son pares. Por otra parte, puesto que A = A0r

2, con A0 undiscriminante fundamental, para los primos que no divi-den A0, vp( A) será par. Y si 2 no divide A0, tendremos queA2 s 1 (mod 4). Estas consideraciones reducen el núme-ro de casos a tener en cuenta.

6. INMERSIONES EN EL ORDEN GENERADOPOR ro(AO

El orden OQ(N) está generado por el grupo de congruen-cia ro(AO si, y sólo si, mcd(/V, 6) = 1. Con más precisión,en [Ba-Tr 00-1] se ha demostrado el resultado siguiente.

Proposición 6.1. Sea D := mcd(yv, 24). El subanillode M(2, Q) generado por el grupo T0(N) es exactamenteel orden

ff x y0(1,/V, £ > ) : = < A r \:x,y,z.te£>- D

[\_zN x + tD

En el caso D = 1, el orden 0(1, N, D) es exactamenteel orden O0(N); pero esto no es así si D > 1. Como conse-cuencia, en el caso en que D > 1, además de estudiar lasinmersiones X : K —> M(2, Q) enteras para la pareja(00(AO, 0A) conviene estudiar las inmersiones enteraspara la pareja (0(1, N, D), 0A). Esto es lo que haremos acontinuación.

Proposición 6.2. Sea D := mcd(/V, 24).

(a) Existen inmersiones À : K —> M(2, Q) enteraspara la pareja (0(1, N, D\ 0A) si, y sólo si, D2

divide 6A.

(b) Si D2 divide 6A, las inmersiones À : K -» M(2, Q)enteras para la pareja (0(1, N, D), 0A) son exac-tamente las inmersiones enteras para la pareja(00(AO, 0A).

Demostración. Sea À : K —» M(2, Q) una inmersiónentera para la pareja (0(1, N, D), 0A); entonces, À estádada por una asignación

A) =V-bD -2c

\_2aN bD}con a,b,ceZy -D2b2 + 4Nac = -A (cf. [Ba-Tr 00-2]).Si multiplicamos esta igualdad por 6, obtenemos que-6D2b2 + 24Nac = -6A y, puesto que D2 divide 24N,vemos que D2 divide 6A. Además, puesto que 0(1, N, D) çÇ OQ(N), la inmersión À es entera para la pareja(00(AO, 0A).

Recíprocamente, supongamos que D2 divide 6A, y queÀ : K —> M(2, Q) es una inmersión entera para la pareja(00(AO, 0A). Sea

I" -b -2c

\_2aN bK,/A) =

con a, b, c e Z y -b2 + 4Nac = -A; entonces, -6b2 ++ 24Nac = -6A, de manera que D2 divide 6b2; puesto que6 es libre de cuadrados, obtenemos que D divide b y, portanto, A(,yA) e 0(2, 2N, 2D); es decir, À es entera para Iapareja (0(1, N, D), 0A). Esto acaba la demostración. D


Por otra parte, el grupo ro(AO coincide con el grupo

T(l, N, D) = Jl a ß 1 : a, ß, y, ó e /, det = 1 j,[]_yN a + (5DJ J

de los elementos de norma 1 de 0(1, N, D). Por tanto, laclasificación de las inmersiones 1 : K —> M(2, Q) enteraspara la pareja (0(1, N, D), OA) para la acción del grupode unidades de norma 1 de 0(1, N, D) es exactamente laclasificación para el grupo ro(./V). Por tanto, tenemos elresultado siguiente.

Corolario 6.3. El conjunto de clases de ro(N)-equi-valencia de inmersiones À : K —> M(2, Q) enteras parala pareja (0(1, ./V, D), 0A) es exactamente el conjunto declases de T0(N)-equivalencia de inmersiones Á : K —>—> M(2, Q) enteras para la pareja (O0(N), 0A), para elcaso en que D2 divide 6A. En otro caso, no existen talesinmersiones. D

El resultado análogo para las inmersiones optimalespara la pareja (0(1, N, D), 0A) no es tan sencillo. Enefecto; no es cierto en general, ni aún suponiendo que D2

divide 6A, que las inmersiones optimales para la pareja(0(1, N, D), 0A) sean las inmersiones optimales para lapareja (O0(N), 0A). Se tiene el resultado siguiente.

Proposición 6.4. Sea A := A0r2, r>\, un discrimi-

nante asociado al discriminante fundamental A0, seaD := mcd(N, 24), y supongamos que D2 divide 6A. Elconjunto de las inmersiones À : K —» M(2, Q) optimalespara la pareja (0(1, N, D), 0A) es la reunión

ud|mcd(D, r)

Umcd(e, d) = l, , , 2<Wb I mod -

n A bD itf[N,j¿ l , * ,* , — ).

, A / 4dN'b = -^\ mod

¿2 \ D

Demostración. Sea Ã : K —» M(2, Q) una inmersiónentera para la pareja (0(1, N, D), 0A); entonces, A(>/A)es de la forma

VA)=r -bD -2c

2aN bD

con a,b,ceJ-y -D2b2 + 4Nac = -A. Supongamos que Áes una inmersión optimal para la pareja (0(1, N, D), 0A),lo cual equivale a decir que es mcd(a, b, c) - 1 (cf. [Ba-Tr 00-2]).

Decir que la inmersión À es optimal para la pareja(00(AO, 0A) equivale a decir que es mcd(a, bD, c) = 1.Sin embargo, esto no tiene por qué suceder. En general,

sea d := mcd(a, bD, c). Puesto que mcd(a, b, c) = 1, tene-mos que d divide D; entonces,

d

' _bp_~~d

^

-^bDT J

3-[\ N, —;\ 1, *, *, -— ). Puesto que —¿ es un discrimi-d d d

de manera que /I es entera para la pareja (00(AO, 0A/</2)î(a bD c\

y, puesto que es mcd -, —» - = 1, la inmersión /. es\d a a)

optimal para la pareja (O0(N), 0A/d2); así, Á pertenece a' A . bp_\ _ A

d ïnante, se satisface la condición d\r, de manera que£/|mcd(D, r); y, además, es mcd(úí, b) = I , puesto quemcd(ú?, b) = mcd(a, bD, c, b) = mcd(a, b, c) = 1.

Recíprocamente; supongamos que d \ mcd(Z), r) esA

un divisor de Z) y de r, de manera que — es un discrimi-

nante, que b e Z es tal que mcd(úí, b) = l, y que Ã e**(*.% ULJ \1, *, *, — . Entonces, tenemos que

d )

(/ i \7Ã\_d }U J

- bD~~d

a2-N

_ d

c-2-

dbD~d _

í

con a, c e Z múltiplos de d, -b2D2 + 4Nac = -A, yfa bD c\

mcd -> —< - = l ; es decir,\d d d)

V-bD -2c~\A(VÃ) =

\_2aN bD

con a, b, c e Z; en consecuencia, la inmersión /I es enterapara la pareja (0(1, N, D), 0A). Además, por ser

fa bD c\mcd —> —» — = 1, se tiene que mcd(a, bD, e) - d, de

\d d d)manera que se satisface la igualdad mcd(a, b, c) = mcd(a,b, bD, c) = mcd(<¿, b) = l ; es decir, À es optimal para lapareja (0(1, N, D), 0A), como queríamos demostrar. D

Análogamente al caso de las inmersiones enteras, obte-nemos la clasificación de las inmersiones optimales parala pareja (0(1, N, D), 0A) respecto del grupo T(\,N, D) == r0(Ao.

Corolario 6.5. Sea A := A0r2, r > l, un discriminante

asociado al discriminante fundamental A0, sea D :=:= mcá(N, 24), y supongamos que D2 divide 6A. Las clasesde ro(N)-equivalencia de inmersiones X : K —> M(2, Q)optimales para la pareja (0(1, N, D), 0A) son exacta-


mente las clases de T0(N)-equivalencia de inmersionesoptimales de los conjuntos

í A bD\T'^;1'*'*'T>

/ 2Nef\ b2D2 Apara a | mcd(D, r) y ¿> mod I taies que —¿- = —^

(mod 4N) y mcd(b, d) = 1. D

7. EJEMPLOS NUMÉRICOS

En esta sección, daremos ejemplos numéricos de losnúmeros de clases de F0(A'')-equivalencia de inmersionesA: 0(^/^2) —» M(2, Q) enteras, optimales, primitivas, obiprimitivas, para algunas parejas (0, 0A). Concreta-mente, para (00(1), 0A), A cualquiera; para las parejas(00(AO, 0_8) y (0(1, M D), 0_8), con W > 1 cualquiera yD := mcá(N, 24); y para algunas parejas (O0(N), 0A), conN dependiente de A.

El caso más simple corresponde a tomar W = 1 y Acualquiera. En efecto; puesto que N = I , todas las inmer-siones optimales para la pareja (00(1), 0A) son automáti-camente primitivas y biprimitivas. Y las inmersiones en-teras para la pareja (00(1), 0A) son las inmersionesoptimales para las parejas (00(1), OM¿P), para d \ r, dondeA = A0r

2, con r > 1 y A0 un discriminante fundamental.Teniendo en cuenta los resultados de la sección anterior,obtenemos el siguiente.

Corolario 7.1. Sea A = A0r2, r > 1, un discrimínate

cualquiera asociado al discriminante fundamental A0. Elnúmero de SL(2, f)-clases de equivalencia de inmersio-nes X : Q(^/A) —> M(2, Q) optimales (o primitivas, obiprimitivas) para la pareja (00(1), 0A) es exactamente/z(A). El número de SL(2, I)-clases de equivalencia deinmersiones enteras para la pareja (00(1), 0¿) es exac-tamente £ A(A0úf2). D

d\r

A continuación, estudiamos los números de clases deinmersiones para las parejas (00(AO, 0_8)- Sean, pues,A := -8, y N = Y[ p"p la descomposición de un número

Pentero cualquiera N > 1 en factores primos.

Observemos, en primer lugar, que A = -8 es un dis-criminante fundamental, de manera que toda inmersiónÀ : 0(^/^2) —> M(2, Q) optimal para la pareja(00(AO, 0_8) es automáticamente primitiva y biprimitiva(cf. el corolario 2.11). Y, en virtud del teorema 2.10,existen inmersiones optimales (resp. enteras) para la pa-reja (00(AO, 0_8) si, y sólo si, vp < 1 para todo primoramificado en el orden maximal de Q(^/-8) = Q(>/-2),y Vp - O para todo primo inerte en el orden maximal deQ(^/-8); es decir, vz ̂ 1 y vp = O para todo primo p = 5,7(mod 8). Puesto que /z(-8) = 2, el cálculo del factorr*(N, -8) produce el resultado siguiente.

Corolario 7.2. El número de clases de Y 0(N)-equiva-lencia de inmersiones À : <Q(^/ — 2) —> M(2, Q) optimales(resp. primitivas, biprimitivas) para la pareja (00(AO, 0_8)es exactamente

2#{p:p\1N]

si para todo primo impar p que divide N es p =1,3(mod 8) y 4 no divide N. Si 4 divide N o bien existe unprimo p = 5,7 (mod 8) que divide N, entonces no hay in-mersiones enteras para la pareja (00(AO, 0_8)- n

Estudiemos, ahora, el caso de las inmersiones optimalespara las parejas (0(1, N, D), 0_8), con D := mcá(N, 24).

Hemos visto que para que existan tales inmersiones esnecesario que existan inmersiones enteras (equivalente-mente, que existan inmersiones optimales) para la pareja(00(AO, 0_8) y que D2 divida 6A = -48. En particular,para N = Y[ P"" se deben satisfacer las restricciones v2 < 1

Py vp = O para todo primo p tal que p = 5,7 (mod 8); y,además, puesto que D2 debe dividir -6A = -48, 3 tampo-co puede dividir N; es decir, debe ser v3 = 0.

Teniendo en cuenta estas restricciones, obtenemos queel valor de D puede ser

D =2, si v2 = 1,

1, si v2 = 0.

Por otra parte, tenemos que mcd(Z), r) = 1, puesto que-8 es un discriminante fundamental y, por tanto, es r - 1.En consecuencia, las clases de ro(./V)-equivalencia de in-mersiones optimales para la pareja (0(1, N, D), 0_8) sonlas clases de ro(AO-equivalencia de los conjuntos

H(N, -8; 1, *, *, bD),

para b I mod — 1 tal que b2D2 = -8 (mod 4N).

Pero éstas son todas las inmersiones Ã : Q(^/-2) —»-H»M(2, Q) optimales para la pareja (O0(N), 0_8). Enefecto; puesto que A es par, para cualquier inmersión Àoptimal para la pareja (00(AO, 0_8) el valor del invarianteB debe ser par; luego, de la forma B = Ib. Por tanto, lacondición que sea B - bD no es restrictiva ni en el casoD = l, ni en el caso D = 2. Es decir, se tiene que el con-junto de las clases de ro(/V)-equivalencia de inmersionesoptimales para la pareja (0(1, N, D), 0_8) coincide con elconjunto de las clases de ro(/V)-equivalencia de inmer-siones optimales para la pareja (00(AO, 0_8).

Por tanto, hemos establecido el resultado siguiente.

Corolario 7.3. Sea D := mcá(N, 24). El número de cla-ses de Tü(N)-equivalencia de inmersiones À : Q(^/-2) —»


—»M(2, Q) optimales para la pareja (0(1, JV, D), 0_8) esexactamente

2#{p:p\2N]

si 4 no divide N y para todo primo impar p que divide Nes p ^3 y p = 1,3 (mod 8). Si 4 divide Ñ, o bien 3 divide N,o bien existe un primo p = 5,7 (mod 8) que divide N,entonces no hay inmersiones enteras para la pareja(0(1, N, D), O_g). D

Notemos que, en este caso de discriminante -8, las in-mersiones enteras (resp. optimales) para las parejas(00(AO, 0_8) y (0(1, N, D), 0_8) coinciden, excepto en elcaso en que 3 divide N; en este caso, aunque existan in-mersiones enteras u optimales para la pareja (00(/V), 0_8),no existen inmersiones enteras ni optimales para la pare-ja (0(1, N, D), 0_8).

Para terminar, estudiaremos los números de F0(AO-cla-ses de equivalencia de inmersiones Á: Q(^/A) —> M(2, Q)primitivas para las parejas (O0(N), OA) en los casosen que A es cualquiera y W := A, si 2 no divide A0; y

A AN := — > si 2 divide A0, o bien N := —, si 4 divide A0, pero

8 no divide An.

Proposición 7.4. Sea A = A0r2, r>\,un discriminan-

te asociado a un discriminante fundamental cualquieraA A

A0. Sea N := A, si 2 / A0; N := — > si 21 A0; o bien N :=—>

si 4 A0, pero 8 / A0. El número de Y ü(N)-clases de equi-valencia de inmersiones À : Q(^/A) —» M(2, Q) primiti-vas para la pareja (O0(N), 0A) es exactamente r/z(A). D

Demostración. En efecto; el cálculo de los factoresr*(N, A) proporciona, en estos casos, r*(N, A) = r. D

REFERENCIAS

1. [Ar-Ba 00-1] Arenas, A. & Bayer, P. (2000), Heegnerpoints on modular curves, Rev. R. Acad. Cieñe. Exact. Fis.Nat, Esp., 94, p.323-332.

2. [Ba-Tr 00-1] Bayer, P. & Travesa, A. (2000), Órdenes ma-triciales generados por grupos de congruencia, Rev. R.Acad. Cieñe. Exact. Fis. Nat., Esp., 94, p.339-346.

3. [Ba-Tr 00-2] Bayer, P. & Travesa, A. (2000), Formas cua-dráticas ternarias e inmersiones matriciales de órdenes cua-dráticos, Rev. R. Acad. Cieñe. Exact. Fis. Nat., Esp., 94,p. 347-355

4. [Gr-Ko-Za 87] Gross, B.; Kohnen, W. & Zagier, D.(1987), Heegner Points and Derivatives of L-Series. II,Math. Ann. 278, p. 497-562.

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