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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDADMATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
1 Números racionales
¿Por qué algunas combinaciones de notas musicales suenan bien a nuestros oídos mientras que otras no? La razón es que las frecuencias de las ondas sonoras de las diferentes notas están relacionadas por números racionales sencillas, como es el caso de la Escala Justa.
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Unidad 1: Números racionales
Las coordenadas temporales
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Unidad 1: Números racionales
Esquema de contenidos
Números racionales
Fracciones
Partes de la unidadFracciones equivalentes Operaciones con fracciones
Suma y restaProducto y cocientePotencias
Números decimales y fracciones
Tipos Fracción generatriz
Problemas con fracciones
Gráficas
Conjuntos numéricos
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Unidad 1: Números racionales
Problemas con fracciones
SIGUIENTE
En una amplia variedad de problemas tenemos que realizar cálculos con fracciones.
Se tienen dos recipientes con mezclas de vinagre y agua en distinta proporción, como se ve en la figura. ¿Cuál será la proporción del recipiente que se obtuviese mezclando la misma cantidad de cada recipiente?
Quizás pienses que, si juntamos los dos líquidos, tendríamos 2 partes de vinagre y 5 de agua...
Pero ¡esto es falso!..., porque, a la izquierda, la expresión “1 parte de vinagre” es 1/3 del recipiente, mientras que a la derecha “1 parte de vinagre” es 1/4 del recipiente, que son cantidades diferentes.
¿Puedes hallar la proporción correcta?
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Unidad 1: Números racionales
Problemas con fracciones
En una amplia variedad de problemas tenemos que realizar cálculos con fracciones.
Se tienen dos recipientes con mezclas de vinagre y agua en distinta proporción, como se ve en la figura. ¿Cuál será la proporción del recipiente que se obtuviese mezclando la misma cantidad de cada recipiente?
Tomando la mitad de cada recipiente se obtiene la mezcla pedida. En ella habrá la siguiente cantidad de vinagre:
Así, pues, habrá 7 partes de vinagre y 17 (= 24 – 7) de agua.
247
2434
81
61
41
21
31
21
SIGUIENTE
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Unidad 1: Números racionales
Problemas con fracciones
Si mezclamos 1 parte del primer recipiente y 2 del segundo, ¿cuál será la proporción de la mezcla?
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Unidad 1: Números racionales
Problemas con fracciones
Si mezclamos 1 parte del primer recipiente y 2 del segundo, ¿cuál será la proporción de la mezcla?
SIGUIENTE
Tomamos de la primera mezcla y de la segunda.
Si nos fijamos sólo en el vinagre, tendremos:3
1
3
2
18
5
18
12
6
1
9
1
4
1
3
1
Es decir, la mezcla tendrá 5 partes de vinagre y 13 (18 – 5) partes de agua.
3
1
3
2
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Unidad 1: Números racionales
Problemas con fracciones
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha.
En efecto, es mayor que , porque...31
10030
10030 es menor que , porque...
41
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Unidad 1: Números racionales
Problemas con fracciones
En efecto, es mayor que , porque 31
10030
10030 es mayor que , porque
41
30090
10030
300100
31
y
10025
41
SIGUIENTE
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha.
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Unidad 1: Números racionales
Problemas con fracciones
¿Qué cantidad tendrías que tomar de cada recipiente para preparar una mezcla con el 30 % de vinagre?
SIGUIENTE
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha.
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Unidad 1: Números racionales
Problemas con fracciones
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha.
Si del primer recipiente tomamos la parte x, del segundo recipiente, tomamos (1 – x). Escribimos una ecuación similar a los dos casos anteriores:
SIGUIENTE
¿Qué cantidad tendrías que tomar de cada recipiente para preparar una mezcla con el 30 % de vinagre?
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Unidad 1: Números racionales
Problemas con fracciones
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha.
Si del primer recipiente tomamos la parte x, del segundo recipiente, tomamos (1 – x). Escribimos una ecuación similar a los dos casos anteriores:
103
10030
41
x)(131
x
Multiplicando los dos miembros de la ecuación por 60, queda:
20 x + 15 – 15 x = 18
De aquí, 5 x = 3, es decir, x = 3/5. Por tanto, habrá que tomar 3 partes del recipiente de la izquierda y 2 (= 5 – 3) del de la derecha.
¿Qué cantidad tendrías que tomar de cada recipiente para preparar una mezcla con el 30 % de vinagre?
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Unidad 1: Números racionales
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
134
1
1+
1
3 –3
21
2
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Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
134
1
1+
1
3 –3
1+
1
139 3 –
3
25
21
2
SIGUIENTE
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Unidad 1: Números racionales
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
134
1
1+
1
3 –3
1+
1
139 3 –
3
25
+113
9 3 –56
21
2
SIGUIENTE
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Unidad 1: Números racionales
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
134
1
1+
1
3 –3
1+
1
139 3 –
3
25
+113
9 3 –56
113
9+
59
21
2
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Unidad 1: Números racionales
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
134
1
1+
1
3 –3
1+
1
139 3 –
3
25
+113
9 3 –56
113
9+
59
13
9+
5
9
21
2
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Unidad 1: Números racionales
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
134
1
1+
1
3 –3
1+
1
139 3 –
3
25
+113
9 3 –56
113
9+
59
13
9+
5
9
218
9
21
2
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Unidad 1: Números racionales
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45
Pero, ¿cómo harías si el periodo no se descubre tan pronto?
Vas a ver cómo puedes hallar cualquier periodo por largo que sea.
115
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Unidad 1: Números racionales
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45
Pero, ¿cómo harías si el periodo no se descubre tan pronto?
Vas a ver cómo puedes hallar cualquier periodo por largo que sea.
Pasando de fracción a decimal
Halla la expresión decimal de la fracción .
115
1915
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Unidad 1: Números racionales
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45
Halla la expresión decimal de la fracción .
115
1915
Si dividimos en una calculadora nos da: = 0,78947368... Vamos a tomar las
cinco primeras decimales de este número: 78947.19
15
El producto de 0,78947 x 19 = 14,99993 queda a 7 ciénmilésimas de 15, lo que nos indica que el último resto de la división interrumpida es 7. Seguiremos
la división calculando y repitiendo el proceso. Disponemos todos los cálculos en una tabla:
197
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Unidad 1: Números racionales
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45
Halla la expresión decimal de la fracción .
115
1915
DividimosTomamos
cinco cifras Cociente x Divisor Resto
15 /19 = 0,78947368... 78947 0,78947 x 19 = 14,99993 7
7 / 19 = 0,36842105... 36842 0,36842 x 19 = 6,99998 2
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Unidad 1: Números racionales
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45
Halla la expresión decimal de la fracción .
115
1915
DividimosTomamos
cinco cifras Cociente x Divisor Resto
15 /19 = 0,78947368... 78947 0,78947 x 19 = 14,99993 7
7 / 19 = 0,36842105... 36842 0,36842 x 19 = 6,99998 2
2 / 19 = 0,10526315... 10526 0,10526 x 19 = 1,99994 6
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Unidad 1: Números racionales
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45
Halla la expresión decimal de la fracción .
115
1915
DividimosTomamos
cinco cifras Cociente x Divisor Resto
15 /19 = 0,78947368... 78947 0,78947 x 19 = 14,99993 7
7 / 19 = 0,36842105... 36842 0,36842 x 19 = 6,99998 2
2 / 19 = 0,10526315... 10526 0,10526 x 19 = 1,99994 6
6 / 19 = 0,31578947... 315 SE TIENE YA REPETICIÓN
Hemos encontrado que: 15 /19 = 0,789473684210526315, un periodo de 18 cifras que no podemos hallar directamente en una calculadora.
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Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
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Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
Un rectángulo apropiado nos ayudará a seguir la “narración” de los gastos. Puesto que los denominadores de las fracciones que se citan son 3, 3 y 5, será conveniente que el rectángulo que representa el dinero inicial sea de tamaño 9 x 5 (ó 3 x 15), que puedes dibujar fácilmente en tu cuaderno cuadriculado.
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Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
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Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto.
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Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto.
La 3ª semana se gastó 3 / 5 de lo que quedaba.
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Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto.
La 3ª semana se gastó 3 / 5 de lo que quedaba.
Para final de mes quedan 440 €
Como esta cantidad, 440 €, viene representada por 8 casillas, cada casilla cuadrada equivale a 440 / 8 = 55 €. Por tanto, es inmediato responder a las preguntas.
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Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto.
La 3ª semana se gastó 3 / 5 de lo que quedaba.
Para final de mes quedan 440 €
Se disponía al comienzo de 55 € x 45 casillas = 2.475 €. El gasto de la 1ª semana fue 55 € x 15 casillas = 825 €; el de la 2ª semana, 55 € x 10 casillas = 550 €, y el de la 3ª semana, 55 € x 12 casillas = 670 €.
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Unidad 1: Números racionales
Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números
En esta sección de la BBC puedes jugar a hallar equivalentes a fracciones en forma decimal (y en porcentaje). Has de ser más rápido que el personaje que tienes enfrente cuando los dos números propuestos sean iguales.
Para conocerlo, sigue este enlace.
Dirección: http://www.bbc.co.uk/education/mathsfile/shockwave/games/saloonsnap.html
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