INGENIERIA ELECTROMAGNETICA I

INGENIERÍA ELECTROMAGNETICA I

1) Sistemas Ortogonales

Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto de los vectores tangentes a alas curvas de coordenadas son ortogonales entre sí, en otras palabras un sistema ortogonal es aquel cuyas coordenadas son mutuamente perpendiculares. En el espacio Euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas a veces, combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares, por lo que es necesario a veces transformar puntos y vectores de un sistema de coordenadas a otro.

Algunos de los sistemas ortogonales

Coordenadas cartesianas.

Coordenadas polares

Coordenadas esféricas

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas cilíndricas elípticas.

Coordenadas cilíndricas parabólicas

Coordenadas esferoidales alargadas

Coordenadas esferoidales achatadas

Coordenadas bipolares

Coordenadas toridales

Para nuestro estudio nos limitaremos al uso de tres sistemas: Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas.

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2) Coordenadas Cartesianas:

El plano cartesiano es un sistema de referencia con respecto a un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (espacio), perpendiculares entre si (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector unitario (i) tal que:

i=(1,0,0 ) , cuyomodulo es|i|=1

Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre si (x,y,z), que se cortan en el origen (0,0,0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números (x,y,z), denominados coordenadas del punto que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen a las parejas de ejes YZ, XZ,XY, respectivamente

Variables: (x,y,z)

Designación de sus vectores unitarios: (a¿¿ x ,a y , az)¿

Representación vectorial: A=A xax+A y ay+A zaz

Parámetros.- Sus componentes pueden variar entre los siguientes valores:

−∞<x<∞

−∞< y<∞

−∞<z<∞

Producto escalar y vectorial:

ax . ax=1 ax x a y=az

a y . a y=1 ax x a y=az

az . az=1 ax x a y=az

Página 2

x

z

y

ORIGEN (0,0,0)


Desplazamiento diferencial: Partimos en el origen de coordenadas luego el desplazamiento es como se muestra:

dl=dx ax+dy a y+dz az

az

ax

a y

Diferencial de superficie o área normal diferencial: Esta dado por:

d s x=(dydz )ax

d s y=(dxdz )ay

d s z=(dxdy)az

Volumen diferencial: Esta dado por:

dv=dxdydz

Página 3

x

y

z


3) Coordenadas Cilíndricas: Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrica. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radio vector sobre el plano XY

φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radio vector sobre el plano XY.

z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.


0< ρ<∞

0<φ<2π

−∞<z<∞


aρ . aρ=1 aρ xaφ=az

aφ . aφ=1 aρ xaz=aφ

az . az=1 aφ x az=aρ

Página 4

z

x

y

ORIGEN (0,0,0)



dl=dρ aρ+ ρdφaφ+dz az

az

aρ

aφ


d s ρ=( ρdφdz)aρ

d sφ=(dρdz )aφ

d s z=( ρdρdφ)az


dv=ρdρdφdz

Página 5

x

y

z


4) Coordenadas Esféricas: Similares a las coordenadas cilíndricas se basan en la misma idea de las coordenadas polares y establecen la posición de un punto espacialmente mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el acimutal φ.

Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es:

r: es la distancia entre el punto P y el origen. φ: de 0º a 360º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y θ: de 0º a 180º es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la

proyección del punto P en el plano XY.


0<r<∞

0<φ<π

0<θ<2π


ar . ar=1 ar x aφ=aθ

aφ . aφ=1 ar x aθ=aφ

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z

x y

ORIGEN (0,0,0)


aθ . aθ=1 aφ x aθ=ar


aφ dl=dr ar+rdθ aθ+r senθdφaφ

aθ

ar


d sr=(r2 senθdφdθ)ar

d sφ=(rdrdθ )aφ

d sθ=(rsenθdrdφ)aθ


dv=r2 senθdrdφdθ

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x

y

z


5) Relación de variables entre sistemas:

Para hacer posible el trabajo entre los distintos sistemas ortogonales que utilizaremos examinemos las relaciones entre ellos.

a. Cartesiano en función de Cilíndrico:

x=ρ cosϕy=ρ senϕz=z

b. Cilíndrico en función de Cartesiano:

ρ=√x2+ y2ϕ=arctg ( y / x )z=z

c. Cartesiano en función de Esférico:

x=r senθcosϕy=r senθ senϕz=r cosθ

d. Esférico en función de Cartesiano:

r=√x2+ y2+z2θ=arctg (√x2+ y2/ z)ϕ=arctg ( y / x )

6) Relación de vectores entre sistemas:

a. Cartesiano en función de Cilíndrico:

aρ=axcosϕ+a y senϕaϕ=−axsenϕ+ay cosϕaz=az

A=A ρaρ+Aϕaϕ+A zazA=A ρ(axcosϕ+ay senϕ)+Aϕ (−ax senϕ+a ycosϕ)+A zazA=( Aρ cosϕ−Aϕ senϕ )ax+ (A ρ senϕ+Aϕcosϕ ) ay+A zaz

Entonces:

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Ax=Aρ cosϕ−Aϕ senϕA y=A ρ senϕ+AϕcosϕA z=A z

En forma matricial:

[ Ax

A y

A z]=[cosϕ −senϕ 0

senϕ cosϕ 00 0 1] [Aρ

Aϕ

A z]

b. Cilíndrico en función de Cartesiano:

ax=aρ cosϕ−aϕ senϕa y=aρ senϕ+aϕcosϕaz=az

A=A xax+A y ay+A zazA=A x(aρcosϕ−aϕ senϕ)+A y (aρ senϕ−aϕ cosϕ)+A zazA=A xcosϕ aρ−Ax senϕ aϕ+A y senϕ aρ−A ycosϕ aϕ+A zazA=( Axcosϕ+A y senϕ )aρ+(−Ax senϕ+A y cosϕ )aϕ+A zaz

Entonces:Aρ=Ax cosϕ+A y senϕAϕ=−Ax senϕ+A ycosϕA z=A z

En forma matricial:

[A ρ

Aϕ

A z]=[ cosϕ senϕ 0

−senϕ cosϕ 00 0 1][ Ax

Ay

A z]

c. Cartesiano en función de Esférico:

ar=ax senθ cosϕ+a y senθsenϕ+az cosθaθ=ax cosθcosϕ+a y cosθsenϕ−az senθaϕ=−axsenϕ+ay cosϕ

A=A rar+Aθaθ+Aϕaϕ

A=A r(axsenθ cosϕ+a y senθ senϕ+az cosθ)+Aθ(ax cosθ cosϕ+ay cosθ senϕ−az senθ)+Aϕ (−ax senϕ+a ycosϕ)

A=( Ar senθcosϕ+Aθcosθ cosϕ−Aϕ senϕ )ax+( Ar senθ senϕ+Aθ cosθ senϕ+Aϕcosϕ )a y+(A r cosθ−Aθ senθ)az

Entonces:

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Ax=Ar senθcosϕ+Aθcosθ cosϕ−Aϕ senϕA y=A r senθ senϕ+Aθcosθ senϕ+AϕcosϕA z=A r cosθ−Aθ senθ

En forma matricial:

[ Ax

A y

A z]=[ senθcosϕ cosθ cosϕ −senϕ

senθ senϕ cosθ senϕ cosϕcosθ −senθ 0 ][ A r

Aθ

Aϕ]

d. Esférico en función de Cartesiano:

ax=ar senθ cosϕ+aθ cosθ cosϕ−aϕ senϕa y=ar senθ senϕ+aθ cosθ senϕ+aϕcosϕaz=ar cosθ−aθ senθ

A=A xax+A y ay+A zaz

A=A x(ar senθ cosϕ+aθcosθ cosϕ−aϕ senϕ)+A y (ar senθ senϕ+aθ cosθ senϕ+aϕcosϕ)+A z(ar cosθ−aθ senθ)

A=(Ax senθ cosϕ+A y senθ senϕ+A z cosθ)ar+(Axcosθ cosϕ+A ycosθ senϕ−A z senθ)aθ+(−Ax senϕ+A ycosϕ)aϕ

Entonces:Ar=Ax senθcosϕ+A y senθ senϕ+A zcosθAθ=A xcosθ cosϕ+A y cosθ senϕ−A z senθAϕ=−Ax senϕ+A ycosϕ

En forma matricial:

[ A r

AθAϕ

]=[senθcosϕ senθ senϕ cosθcosθcosϕ cosθ senϕ −senθ−senϕ cosϕ 0 ][ Ax

A y

A z]

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7) Gradiente de un campo escalar ( ∇V−gradV ¿

En cálculo vectorial, el gradiente se define como un vector que representa tanto la magnitud como la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de V cuya dirección es la de máximo crecimiento del campo en ese punto, y cuya magnitud es la pendiente del campo en esa dirección. Su expresión matemática se obtiene aplicando el operador nabla sobre la función que define el campo escalar.Nota.- Solo los escalares poseen gradiente.A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas:

a. En Coordenadas Cartesianas:

Si:dl=dx ax+dy a y+dz az

Entonces:

∇V=( ∂ax∂ x+∂a y∂ y

+∂az∂z ) (V )

∇V=∂V∂ x

ax+∂V∂ y

ay+∂V∂ z

az

b. En Coordenadas Cilíndricas:

Si:dl=dρ aρ+ ρdϕaϕ+dz az

Entonces:

∇V=( ∂aρ∂ ρ+ 1ρ

∂aϕ∂ϕ

+∂az∂ z ) (V )

∇V=∂V∂ ρ

aρ+1ρ∂V∂ϕ

aϕ+∂V∂z

az

c. En Coordenadas Esféricas:

Si:dl=dr ar+rdθ aθ+rsenθ dϕaϕ

Entonces:

∇V=( ∂ar∂ r+ 1r

∂aθ∂θ

+ 1rsenθ

∂aϕ∂ϕ ) (V )

∇V=∂V∂r

ar+1r∂V∂θ

aθ+1

rsenθ∂V∂ϕ

aϕ

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8) Divergencia de un vector (∇ .V ):La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.

Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.


∇ .V=∂V x

∂ x+∂V y

∂ y+∂V z

∂z


∇ .V=1ρ

∂ ( ρV ρ )∂ ρ

+ 1ρ

∂V ϕ

∂ϕ+∂V z

∂ z


∇ .V=1

r 2∂ (r2V r )∂ r

+1

rsenθ

∂ ( senθV θ )∂θ

+1

rsenθ∂V ϕ

∂ ϕ

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9) Rotacional de un vector (∇ xV )En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.


∇ x V=| ax ay az∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

A x A y A z

|∇ x V=ax( ∂∂ y A z−

∂∂ z

A y)+a y ( ∂∂z Ax−∂∂ x

A z)+az ( ∂∂x A y−∂∂ y

A x)


∇ x V= 1ρ| aρ ρaϕ az

∂∂ ρ

∂∂ϕ

∂∂ z

Aρ ρ Aϕ A z

|∇ x V= 1

ρ [aρ( ∂∂ϕ A z−∂∂ z

(ρ Aϕ ))+ρ aϕ( ∂∂ z A ρ−∂∂ ρ

A z)+az( ∂∂ ρ (ρ Aϕ )− ∂∂ϕ

Aρ)]


∇ x V= 1r2 senθ|aR r aθ rsenθaϕ

∂∂r

∂∂θ

∂∂ϕ

A r r Aθ rsenθ Aϕ

|∇ x V= 1

r2 senθ [ar( ∂∂θ ( rsenθ Aϕ )− ∂∂ϕ

( r Aθ ))+r aθ( ∂∂ϕ A R−∂∂ ρ

(rsenθA ϕ ))+rsenθ aϕ( ∂∂r (r Aθ )− ∂∂θ

A r)]

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Electrostática

La electrostática es la rama de la física que estudia los fenómenos eléctricos producidos por distribuciones de cargas estáticas, esto es, el campo electrostático de un cuerpo cargado.

La existencia del fenómeno electrostático es bien conocido desde la antigüedad, existen numerosos ejemplos ilustrativos que hoy forman parte de la enseñanza moderna, como el hecho de que ciertos materiales se cargan de electricidad por simple frotamiento y atraen pequeños trozos de papel o pelo, por ejemplo un globo inflado que previamente se ha frotado con un paño seco.La electricidad estática es un fenómeno que se debe a una acumulación de cargas eléctricas en un objeto. Esta acumulación puede dar lugar a una descarga eléctrica cuando dicho objeto se pone en contacto con otro.

Antes del año 1832, que fue cuando Michael Faraday publicó los resultados de sus experimentos sobre la identidad de la electricidad, los físicos pensaban que la electricidad estática era algo diferente de la electricidad obtenida por otros métodos. Michael Faraday demostró que la electricidad inducida desde un imán, la electricidad producida por una batería, y la electricidad estática son todas iguales.

La electricidad estática se utiliza comúnmente en la xerografía, en filtros de aire, en algunas pinturas de automóvil, en algunos aceleradores de partículas subatómicas, etc. Los pequeños componentes de los circuitos electrónicos pueden dañarse fácilmente con la electricidad estática. Sus fabricantes usan una serie de dispositivos antiestáticos y embalajes especiales para evitar estos daños. Hoy la mayoría de los componentes semiconductores de efecto de campo, que son los más delicados, incluyen circuitos internos de protección antiestática.

Representación de las líneas de campo eléctrico producido por dos cargas

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Cargas Eléctricas

En física, la carga eléctrica es una propiedad intrínseca de algunas partículas subatómicas (pérdida o ganancia de electrones) que se manifiesta mediante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones electromagnéticas entre ellas.

La materia que esta cargada eléctricamente es influida por los campos electromagnéticos siendo esta, a su vez, generadora de ellos.

La interacción entre carga y campo eléctrico origina una de las cuatro interacciones fundamentales: la interacción electromagnética.

El valor de la carga del electrón fue determinado entre 1910 y 1917 por Robert Andrews Millikan y en la actualidad su valor en el SI es:

Las investigaciones actuales de la física apuntan a que la carga eléctrica es una propiedad cuantizada. La unidad más elemental de carga se encontró que es la carga que tiene el electrón, es decir alrededor de 1.6 x 10-19 culombios y es conocida como carga elemental. El valor de la carga eléctrica de un cuerpo, representada como q o Q, se mide según el número de electrones que posea en exceso o en ausencia.

En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga eléctrica se denomina culombio (símbolo C) y se define como la cantidad de carga que a la distancia de 1 metro ejerce sobre otra cantidad de carga igual, la fuerza de 9x109 N.

qe¿=1.602564 x10−19C

me¿=9.1x 10−31Kg

m p+¿=1.67 x10−27 Kg¿

Interacciones entre las cargas

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Ley de Coulomb

La ecuación fundamental de la electrostática es la ley de Coulomb, que describe la fuerza entre dos cargas puntuales Q1 y Q2. Dentro de un medio homogéneo como es el aire, la relación se podría expresar como:

“La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”.

Las cargas del mismo signo se repelen entre sí, mientras que las cargas de signo opuesto se atraen entre sí. La fuerza es proporcional al producto de las cargas eléctricas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas.

La acción a distancia se efectúa por medio del campo eléctrico existente en el punto en el cual está situado cada carga.

La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas, o como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática.

En términos matemáticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales q1 y q2 ejerce sobre la otra separadas por una distancia r se expresa como:

F=kq1q2r2

ur

Donde: F :Fuerza eléctrica.

k :Constantede Coulombk=1/4 π Ԑ0=9 x109 N m2/C2

q1 , q2:Cargas puntuales .

r :Distanciaentre lascargas .

Ԑ0 :Permitividad enel vacio Ԑ0=8.85x 10−12F /m

Representación grafica de la Ley de Coulomb

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Densidad de Carga

A pesar de que las cargas eléctricas son cuantizadas y, por ende, múltiplos de una carga elemental, en ocasiones las cargas eléctricas en un cuerpo están tan cercanas entre sí, que se puede suponer que están distribuidas de manera uniforme por el cuerpo del cual forman parte. La característica principal de estos cuerpos es que se los puede estudiar como si fueran continuos, lo que hace más fácil, sin perder generalidad, su tratamiento. Se distinguen tres tipos de densidad de carga eléctrica: lineal, superficial y volumétrica.

Densidad de carga lineal (𝜆L)

Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos, alambres, conductores, etc.

λL=qL→λL=

dqdL

Donde q es la carga del cuerpo y L es la longitud. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se mide en C/m (culombios por metro).

Densidad de carga lineal

Densidad de carga superficial (𝜆S)

Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metálica delgada como el papel de aluminio.

λS=qS→ λS=

dqdS

Donde q es la carga del cuerpo y S es la superficie. En el SI se mide en C/m2 (culombios por metro cuadrado).

Densidad de carga superficial

Densidad de carga volumétrica (𝜆V)

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Se emplea para cuerpos que tienen volumen.

λV=qV→ λV=

dqdV

donde Q es la carga del cuerpo y V el volumen. En el SI se mide en C/m3 (culombios por metro cúbico).

Densidad de carga volumétrica

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Campo Eléctrico

El campo eléctrico, en física, es un ente físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica. Se expresa en Voltios por metro (V/m) y se puede definir como la fuerza (en newtons) por unidad de carga (en coulombs). Matemáticamente se describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor q sufre los efectos de una fuerza eléctrica F dada por la siguiente ecuación:

F=q E

Entonces tenemos que:

E=k qr2ur

Matemáticamente un campo se lo describe mediante dos de sus propiedades, su divergencia y su rotacional. La ecuación que describe la divergencia del campo eléctrico se la conoce como ley de Gauss y la de su rotacional es la ley de Farada

Líneas de campo eléctrico

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Ley de Gauss

En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga:

∮Eds= qԐ0

E∫ds= qԐ0

E (4π r 2)= qԐ0

E= q

4 π r2Ԑ0ur

E= 14 π Ԑ0

.q

r2ur

E=k qr2ur

Aplicación de la Ley de Gauss

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Potencial Eléctrico

Se define el potencial se define como el trabajo realizado para trasladar un objeto de un punto a otro. En particular, para el caso eléctrico, definimos el potencial eléctrico del punto A al punto B, como el trabajo realizado para trasladar una carga positiva unitaria q de un punto a otro, desde B hasta A.

El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica para mover una carga positiva q desde la referencia hasta ese punto, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica.

Matemáticamente se expresa por:

V=Wq

Considérese una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba q0 localizada a una distancia r de una carga q, la energía potencial electrostática mutua es:

V=Kq0q

r

De manera equivalente, el potencial eléctrico es:

V=Uq0

=K qr

Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual

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Trabajo Eléctrico y Energía Potencial Eléctrica

Considérese una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico. La carga experimentará una fuerza eléctrica.

F=q E

Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generada por el campo eléctrico. Esta fuerza deberá tener la misma magnitud que la primera, pero sentido contrario, es decir:

Fa=−q E

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto a otro. De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW . Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la fuerza Fa. El trabajo queda, entonces, expresado como:

dW=Fa . dl=Fadl cosθ

Teniendo en cuenta la expresión:

dW=Fa . dl=q Edl

Por lo tanto, el trabajo total será:

W=−∫A

B

q Edl

Si el trabajo que se realiza en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero, entonces se dice que estamos en presencia de un campo eléctrico conservativo.

Expresándolo matemáticamente:

W=−∫A

B

q Edl=0

El potencial eléctrico suele definirse a través del campo eléctrico a partir del teorema del trabajo de la física. Esta definición muestra que estrictamente el potencial eléctrico no está definido sino tan sólo sus variaciones entre puntos del espacio. Por lo tanto, en condiciones de campo eléctrico nulo el potencial asociado es constante. Suele considerarse sin embargo que el potencial eléctrico en un punto infinitamente alejado de las cargas eléctricas es cero por lo que la ecuación del potencial eléctrico es:

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V=−∫A

B

Edl{E=kq

r2ar

dl=dr ar

V=−∫A

B

kqr2dr=−kq−1

r |A

B

V=kq [ 1rB− 1rA ]

Si A→∞, entonces: V=kq [ 1rB ]

Desplazamiento de cargas debido a un Campo

Eléctrico

El potencial en general

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Potencial Eléctrico generado por una distribución de cargas

El potencial en un punto cualquiera debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial V n debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran (principio de superposición) y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:

V=∑n

V n

La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo.

Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:

V n=∫ dV n

Entonces tenemos que:

V=k qr→dV=k dq

r -> Para una carga puntual

Para una distribución de cargas:

dV=kλldl

rdV=k

λsds

rdV=k

λv dv

r

Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga q0

Dipolo Eléctrico

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Se forma un dipolo eléctrico cuando dos cargas puntuales de igual magnitud, pero de signo contrario, están separadas por una distancia pequeña.

Sistema de dos cargas iguales y opuestas q separadas por una distancia L. Se cuantifica por el momento dipolar eléctrico, vector que apunta de la carga negativa a la positiva y de módulo igual al producto de la carga q por la separación L. El momento dipolar se mide en C/m

Momento dipolar eléctrico (p):

Se define el momento dipolar eléctrico como una magnitud vectorial con módulo igual al producto de la carga q por la distancia d que las separa, cuya dirección es la recta que las une, y cuyo sentido va de la carga negativa a la positiva:

p=q .d

Potencial eléctrico formado por un dipolo:

V=kq( R2−R1R1 R2 ) R2−R1=d cosθ R1R2=R

2

V=kq d aRR2

V=k paRR2

Dipolo Eléctrico y dirección del momento dipolar.

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T


Campos Eléctricos en espacio material

Tipos de materiales:

En un sentido amplio los materiales pueden clasificarse en términos de su conductividad (σ ), en mho’s por metro (℧ /m) o en siemens por metro (S/m ), como conductores y no conductores, o técnicamente como metales y aisladores (o dieléctricos). Un material de alta conductividad (σ≫1) se conoce como metal, mientras que uno de baja conductividad (σ≪1) se conoce como aislador. Al material cuya conductividad se encuentra entre la de los metales y la de los aisladores se le llama semiconductor.

Polarización en los dieléctricos:Tengamos un momento dipolar:

ρ=q1 . d1+q2 . d2+…+qn . dn

ρ=∑m=1

n

qm. dm

El vector de polarización por unidad de volumen:

P= limΔv→0 [(∑m=1

n

qm . dm)/ ( Δv )]dV=

k P aRdv

R2

Densidades de carga por polarización:Superficial: λ ps=PanVolumétrica: λ pv=−∇ . P

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Densidad Volumétrica Total:λT= λv+λ pv

λT=∇ . D=∇ .(ε0 E)λv=∇ .(ε0 E+P)

Proporción entre P y E:P=xe ε0 E

Luego:λv=∇ . ( ε0 E+xeε 0E )λv=∇ . [ ε0 E (1+xe) ]

ε r=1+xeDonde: xe : Suceptibilidad eléctrica .

ε r:Permitividad relativa

λv=∇ . ( ε0 εr E )λv=∇ . ε E

Problemas electrostáticos con valores de frontera

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Esta clase de problemas suelen trabajarse por medio de la ecuación de Poisson o de la ecuación de Laplace. Las ecuaciones de Poisson y Laplace pueden ser deducidas fácilmente de la ley de Gauss (en el caso de un medio material lineal)

Sabemos que: E=−∇V … (1)

También: λV=∇ . ε E

λV=ε∇ . E

λVε

=∇ . E…(2)

Entonces reemplazando:

λVε

=∇ .(−∇V )

λVε

=−∇ .∇V

Donde ∇ .∇V se le llama Laplaciano y:

∇2V=− λVεEcuación de Poisson

Pero si λV=0, entonces la ecuación sería:

∇2V=0 Ecuacióndeℒ

Ecuaciones de Laplace:

En coordenadas cartesianas:

∇2V=∂2V∂ x2

+ ∂2V∂ y2

+ ∂2V∂ z2

En coordenadas cilíndricas:

∇2V=1ρ∂∂ ρ ( ρ ∂V∂ρ )+ 1ρ2 ( ∂

2V∂ϕ2 )+ ∂

2V∂ z2

En coordenadas esféricas:

∇2V= 1R2

∂∂ R (R2 ∂V∂ R )+ 1

R2 senθ∂∂θ (senθ ∂V∂θ )+ 1

R2 senθ∂2V∂ϕ2

Condiciones de frontera para campos electrostáticos

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Dieléctrico - Dieléctrico:

El potencial de una superficie cerrada es igual a cero (0):

Entonces: V abcda=0

E1T (ΔW )−E1N( Δh2 )−E2N ( Δh2 )−E2T (ΔW )+E2 N( Δh2 )+E1N ( Δh2 )=0SiΔh=0 (En la frontera):

E1T (ΔW )−E2T (ΔW )=0

E1T=E2T

También:

D1T

ε 1=D 2T

ε2

D1T

D2T

=ε1ε2

De acuerdo al teorema de Gauss:

λs=D=D1N−D2N ; Pero : λs=0

Entonces:

D1N=D2N

También:

E1 N ε1=E2N ε2

El potencial es:

V=V T+V N

Refracción del campo en el interfaz

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E1T=E2T Entonces: E1 senθ1=E2 senθ2

D1N=D2N Entonces: ε 1E1 cosθ1=ε2E2cos θ2

Dividiendo ambas ecuaciones:

E1 senθ1ε1 E1cos θ1

=E2 sen θ2ε2E2cosθ2

tgθ1ε1

=tgθ2ε2

tgθ1tgθ2

=εr 1εr 2

Dieléctrico - Conductor

El potencial de una superficie cerrada es igual a cero (0):

Entonces: V abcda=0

E1T (ΔW )−E1N( Δh2 )=0SiΔh=0 (En la frontera):

E1T (ΔW )=0

E1T=0

Esto quiere decir que no existe campo eléctrico tangencial.

De acuerdo al teorema de Gauss:

λs=ε EN

Entonces:

E1 N=λsε1

Corriente de Convección

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Dado que es sobre las cargas libres y por lo tanto sobre las corrientes libres, sobre las que se tiene cierto grado de control, son por lo general las de mayor interés para un estudio. Se suelen clasificar a las corrientes libres en dos grandes grupos que son: las corrientes de conducción y las corrientes convección, aun cuando la distinción entre ambas no se encuentra perfectamente definida. En términos generales las corrientes de conducción incluyen el movimiento de cargas de conductores, es decir materiales que por su naturaleza intrínseca ya contienen cargas móviles.

Por otro lado las corrientes de convección se dan por lo general en el movimiento de partículas cargadas en corrientes o flujos a través de un espacio que por lo demás se encuentra al vacio, como es el caso de haces de iones, haces de electricidad en bulbos al vacio, partículas cargadas en el viento solar y cosas similares.

Su expresión matemática esta dada por:

ΔI= ΔqΔt

=λV ΔV

Δt=λV Δs Δl

Δt=λV . Δs . v

ΔIΔs

=λV . v=J

ΔI=JΔs

I=∫ JdsJ=λV . v

Donde:

J: Densidad de Carga.

También:

J=σ .EV=∫ Edl→E=VL

J=σ VLpero también J= I

S

Entonces:

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IS=σ V

L

VI=1σ.LS

Para secciones homogéneas:

R=ρ LS

Donde:

ρ: Resistividad

σ : Conductividad

Para secciones no homogéneas:

R=VI=∫ Edl

∫ Jds=

∫Edl

∫ σ Eds

Capacitancia

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Se define como la razón entre la magnitud de la carga de cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos.

La capacitancia siempre es una cantidad positiva y puesto que la diferencia de potencial aumenta a medida que la carga almacenada se incrementa. En consecuencia la capacitancia de un dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica.

La capacidad o es una propiedad de los condensadores o capacitores. Esta propiedad rige la relación entre la diferencia de potencial (o tensión) existente entre las placas del capacitor y la carga eléctrica almacenada en este, mediante la siguiente ecuación:

C= qV

=ε∫E ds

∫ Edl

Capacitores de placas paralelas:

Se sabe:

qε=∫Eds

dqds.1ε=E

Entonces:

E=λsε

Pero como se halla para un lado, solo tomamos la mitad:

E=λs2 ε

Nota.- Para saber cómo identificar una conexión en serie o paralelo entre 2 o más placas se debe tomar en cuenta la dirección de las líneas de campo eléctrico. De modo que si las líneas de campo eléctrico inciden perpendicularmente a la juntura de las placas dicha conexión estará en serie, de lo contrario estará en paralelo.

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Un capacitor está físicamente compuesto de dos conductores que tienen una diferencia de potencial V entre ellos. Supongamos que tienen cargas iguales y opuestas, como en la figura. Una combinación de este tipo se denomina capacitor. La diferencia de potencial V es proporcional a la magnitud de la carga Q del capacitor. (Esta puede probarse por la Ley de coulomb o a través de experimentos)

Un capacitor se compone de dos conductores aislados eléctricamente uno del otro y de sus alrededores. Una vez que el capacitor se carga, los dos conductores tienen cargas iguales pero opuestas.

Una de las aplicaciones mas útiles de la capacitancia es la corrección del cosφ o factor de potencia.

Algunos tipos de capacitores

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INGENIERIA ELECTROMAGNETICA I

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