Ingenieria Economica Clases
101
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA) FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA INGENIERIA ECONOMICA Monografía de las clases PROFESOR: LLEYNI REÁTEGUI SÁNCHEZ 1 2011 1 Monografía elaborada con la colaboración de Oscar Carpio Angosto y Maribel Céspedes Sotelo, ex alumnos de la Facultad.
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA)
FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA
INGENIERIA ECONOMICA
Monografía de las clases
PROFESOR: LLEYNI REÁTEGUI SÁNCHEZ1
2011
1 Monografía elaborada con la colaboración de Oscar Carpio Angosto y Maribel Céspedes Sotelo, ex
alumnos de la Facultad.
IMPORTANCIA DE LA INGENIERIA ECONÓMICA
En las decisiones empresariales
Por lo general, cuando se trata de evaluar la realización o no de un proyecto de
inversión, uno recurre a la búsqueda del capital y para obtenerlo no sólo acudimos a los
ahorros sino en la mayoría de casos, conviene un financiamiento a largo plazo.
Es en esta necesidad, que uno acude a herramientas de la Ingeniería Económica entre
tanto necesitamos hacer un análisis para la inversión de capital con las proyecciones y
estimaciones que conduzcan a la toma de decisiones económicas; es lograr que el mayor
número posible de dólares, nuevos soles y centavos obtengan el óptimo rendimiento
financiero.
En tanto, los conocimientos de la ingeniería económica son imprescindibles en la
formación del ingeniero ya que en las actividades que realizan deben analizar, sintetizar
y obtener conclusiones en proyectos de cualquier índole.
La ingeniería económica constituye un factor fundamental en la toma de decisiones.
Estas decisiones implican los elementos básicos de flujos de efectivo, tiempo y tasas de
interés, entre otros, que se tratan en el curso de Ingeniería Económica.
Proceso de toma de decisiones en Ingeniería La toma de decisiones debe tomar en cuenta factores técnicos y de tipo
económico-financieros:
1. Identificación del problema.- se delimita el alcance del problema y los límites de
la solución, también identificando variables (tangibles e intangibles) que toman
en cuenta los recursos, especialmente el dinero;
2. Análisis del problema, estudio de las partes;
3. Reunir información relevante;
4. Determinación de objetivos.- se tomarán en cuenta los objetivos de cada
variable, las técnicas de diseño de equipo, estructura, mejora de un proceso, etc.;
las variables económico-financieras cubren aumento de ingresos, disminución de
costos y el segundo es la compra o reemplazo de equipo;
5. Plantear soluciones al problema, definir las soluciones alternativas;
6. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios;
7. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.
El Valor del Dinero en el Tiempo
El dinero tiene un valor en el tiempo, esto significa que el valor de una suma de dinero
dada, depende no solo de la cantidad de dinero sino cuando se recibe el dinero.
Si bien es cierto que el valor económico o poder adquisitivo del dinero cambia con el
tiempo, también es cierto que las personas prefieren ahora el dinero por el costo de
oportunidad.
Costo de oportunidad
Significa el costo de renunciar a la oportunidad de ganar intereses o un rendimiento,
sobre fondos invertidos. Es medido casi siempre en términos monetarios.
El costo de oportunidad se refiere al valor de un recurso en su mejor uso alternativo. Es
medir el valor de la mejor opción rechazada.
Interés Simple versus Interés Compuesto
EL INTERÉS
El interés es el costo del dinero. Es el costo para el prestatario y una ganancia para el
prestamista por encima de la cantidad inicial del préstamo. Es el beneficio que se saca
del dinero prestado.
Interés Simple (j)
Se dice que una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple
cuando los intereses liquidados no se suman periódicamente al capital. (explicar con
Diagrama)
Tasa de Interés Simple
Aplica una tasa de interés (en este caso j) únicamente a la cantidad inicial. Se define
como el cambio de valor de un nuevo sol al cabo de un periodo donde el interés ganado
es:
In = P * j * n
Y la suma total o monto equivalente al final del periodo será igual:
Sn = P*(1+j*n)
Donde:
In = Pago que ocurre al final de un periodo de interés
P = Cantidad monetaria en un instante elegido para fines de análisis como
instante cero, en ocasiones conocido como valor actual.
j = Tasa de interés por periodo de interés
n = Número total de periodos de interés
S = Una cantidad monetaria futura al final del periodo de análisis. También
puede especificarse como Sn, la cantidad final de n periodos de interés
R = Un pago de fin de periodo en una serie uniforme, que continua durante n
periodos. Es una situación especial donde R1 = R2 = R3
Vn = Una cantidad monetaria equivalente al final de un periodo especificado n
que considera el efecto del valor temporal del dinero. Observe que V0 = P y
Vn = S. (explicar con Diagrama)
El segundo método para calcular In es interpretar j como la tasa de cambio del valor
acumulado del dinero:
n
In = ∑ j*St-1
t=1
Donde t incrementa los años de 1 a n y S0 = P y Sn = Sn-1 (1 + j)
Problemas
1. En una cuenta se colocó un principal de S/.18 000 que generó un interés de S/.270
en el plazo de un mes ¿Cuál fue la tasa de interés de ese periodo?
Datos:
P = 18 000
I = 270 I = P*j*1
n = 1 I 270
j = ¿? i = ----- = -------- = 1.5%
P 18 000
2. Un banco otorgó a una empresa un préstamo de S/.10 000 para ser devuelto dentro
de 180 días y cobra una TNA de 24% ¿Cuál será el interés simple que pagará la
empresa al vencimiento del plazo?
Datos:
P = 10 000
n = 180 días I = P*j*n
j = 24% = 10 000*0.24*(1/2)
I = ¿? = 1 200
3. Se abrió un depósito de ahorro el 20 de julio y se canceló el 30 de noviembre del
mismo año en el banco de Crédito. En ese periodo se efectuaron cambios en el
principal y tasa de interés, que se presentan en la siguiente tabla:
Fecha Operación Importe Operación %
20/07 Depósito 1 000 Tasa inicial TNA = 24%
27/08 --- --- Cambio de tasa TNA = 23%
30/09 Depósito 500 Cambio de tasa TNM = 1.8%
30/10 Retiro 300 Cambio de tasa TNM = 1.7%
30/11 Cancelación
Se requiere calcular el interés simple que devengó la cuenta de ahorros en todo el
plazo de la operación. Rpta. I = 95.51
4. Una señora solicita un préstamo de s/. 8,000 soles a una tasa de interés simple del
12% anual y ofrece pagarlo de la siguiente manera: s
/. 3,000 más intereses ganados
al finalizar el tercer año y el monto que queda más los intereses ganados al finalizar
el sexto año. ¿Cuál es el monto total que paga la señora por el préstamo?
In = P * j * n
I1= 8,000 * 0.12 * 3
I1= 2,880
S1=3,000+ 2,880
S1= 5,880
I2=5,000 x 0.12x 3
I2=1,800
S2=5,000+1,800
S2=6,800
Monto total = S1 + S2
= 5,800 + 6,800
= 12,680
5. Usted recibe un préstamo por S/.10 000, el cual debe cancelar íntegramente a los
seis meses. La tasa de interés es el 9% semestral.
a) ¿A cuánto asciende el pago?
b) Si le descuentan al momento del desembolso un 1% del monto del préstamo,
se encarece su préstamo? ¿En cuánto?
c) ¿Cuál será el costo efectivo de la deuda, si adicionalmente a lo indicado en el
punto b), la liquidación al sexto mes incluye gastos administrativos y otros
por un monto de S/.100?
d) ¿Cuál será el costo efectivo, si adicionalmente a lo indicado en a), b) y c), las
condiciones del préstamo implican que el 20% del préstamo no será
disponible y estará depositado en una libreta de ahorros ganando el 12.5%
anual?
6. Una persona pide prestado S/.7 000 y está de acuerdo en pagar S/.2 000 más
intereses acumulados al final del primer año y S/.5 000 más intereses acumulados al
final del cuarto año. ¿De cuanto son los dos pagos si se aplica un interés simple
anual de 15%?
0 1 2 3 4 5 6
P = s/.8, 000
s/. 5,000
s/. 3, 000
s/. 5,000
7. Una persona depositó S/.3 000 en una cuenta de ahorros que paga interés a una tasa
simple de 8% durante los primeros tres años, de 10% durante los siguientes cuatro
años y de 12% los siguientes dos años. ¿Cuánto habrá en el fondo al final del
noveno año?
AMORTIZACIÓN CON CUOTAS UNIFORMES
Para resolver éstos problemas se toman los siguientes supuestos:
n es entero, mayor que 1;
la deuda se cancela en n cuotas uniformes;
En todas las cuotas se amortiza principal, en las n-1 primeras cotas no se rebaja
interés, en la última cuota se cancela principal insoluto y todo el interés;
Los intereses se generan en su modalidad simple.
CÁLCULO DE LA CUOTA UNIFORME VENCIDA R
Equivalencia financiera para hallar R; si se conocen los valores: P, j, n, y se
supone que el préstamo P se concede para amortizarse a interés simple con n cuotas
uniformes periódicas R, a una tasa nominal j, puede plantearse una ecuación de
equivalencia financiera de la siguiente manera:
2P (1+j*n)
R = ---------------------
n [2+j*(n-1)]
DESCUENTO RACIONAL SIMPLE
DESCUENTO
Estudia las operaciones de financiamiento que se aplica en las operaciones
mercantiles de compra y venta a través del descuento racional y del descuento bancario
de títulos valores como: Letras de cambio y Pagarés.
Es el interés calculado y deducido con anticipación del valor nominal; y
constituye la diferencia entre el valor nominal o monto de una deuda a su vencimiento y
su respectivo importe recibido en el presente.
Descuento (D) cantidad de descuento de la operación = Interés (I)
S* j*n
D = ------- , P = S 1 , S = P*(1 + j*n)
1+ j*n 1+ j*n
Donde:
Sn = Nominal o capital a descontar
P0 = Efectivo a recibir o valor descontado
n = Duración de la operación, esto es, N° de períodos que se anticipa el capital
FACTOR DE DESCUENTO j
de = --------
1 + j
Son tasas equivalentes vencidas convertidas en tasas anticipadas, que se aplican sobre
los valores nominales de títulos valores en las operaciones de descuento. Estos factores
se obtienen a partir de una tasa efectiva vencida dada.
Los descuentos se obtienen al multiplicar el valor nominal del título valor por el factor
correspondiente al periodo de descuento. (dias que faltan para su vencimiento). Los
bancos suelen preparar “factores de descuento” para todos los dias del año.
Problemas
1. Una Letra de cambio que tiene un valor nominal de S/.5 000 se descontó en el
Banco de Crédito cuando faltaban 90 días para su vencimiento, se requiere conocer
el importe del descuento racional simple que efectuó el banco que aplicó como tasa
de descuento una TNM de 1.5%.
2. Una Letra de cambio (LC.) cuyo valor nominal es S/.3 800 y que tiene como fecha
de vencimiento el 26 de febrero se descuenta en el banco Scotiabank el 18 de enero
del mismo año a una TNA de 24%. Se requiere calcular el importe del descuento
racional simple que se efectuó al valor nominal de la LC.
3. Una LC. Con valor nominal de S/.20 000, que fue girada el 1 de abril y descontada
el 7 de abril por el banco Financiero, con una TNA de 18% tiene como fecha de
vencimiento el 6 de julio del mismo año. Calcule: (a) el importe del descuento
racional simple; (b) el importe que abonó el banco en la cuenta corriente del
descontante; (c) el interés simple que generará la operación sobre el importe
efectivamente recibido.
Interés Compuesto2
A diferencia del interés simple, aquí se suman periódicamente los intereses más el
capital. Al proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama
capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de
capitalización.
Tasa de Interés Compuesto
Es el cálculo de un valor futuro, sobre un capital inicial y la tasa de interés capitalizada,
en este caso el interés se calcula sobre el monto anterior que ya tuvo una tasa de interés
ganado, es decir:
F1 = P + Pi
P*(1+ i)
F2 = F1+ F1*i
P*(1+i) + P*(i+i2) = P*(1+ 2i + i
2)
= P*(1 + i)2
F3= F2 + F2 * i
P*(1+i)2 + P*(1 + 2i + i
2)*i
P*(1 + 2i + i2) + P*(i + 2i
2 + i
3) = P*( 1 + 2i + 3i
2 + i
3)
= P*(1+i) 3
2 En términos matemáticos, la cantidad de dinero que puede acumularse y retirarse en cada periodo de
interés consecutivo durante un número infinito de periodos es: A = P*i.
De donde deducimos la fórmula general:
Fn =P*(1+i) n
PROBLEMAS
1. Compare el interés simple y compuesto generado al depositar S/. 4,000 durante 5
años a un interés del 12% anual.
Interés Simple
In = P x i x n
In = 4000 x 0.12 x 5
= 2400
Interés Compuesto
Ic = F-P
= P [(1+i) n
-1]
= 4000 [(1+0.12) 5
-1]
= 4000(0.762341)
= 3049.3667
2. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% de interés
anual con capitalización trimestral, para disponer de S/.20 000 al cabo de 10 años.
Rpta. P = S/.4 586.757506
3. Un contratista desea conocer el valor equivalente en el año 10 de tres sumas de
dinero invertidos que son las siguientes: s/.600 soles en el año cero,
s/. 300 soles en
el año 2 y S/. 400 soles en el año 5 ¿Cuál será el total en el año 10 a una tasa de
interés compuesta del 5%?
Fn =P (1+i) n
F1 = 600 (1+0.05) 2
= 600(1.1025)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S/. 300
S/. 400
F?
S/. 600
= 661.5 + 300
= 961.5
F2 = 961.5 (1+0.05) 3
= 961.5 (1.157625)
= 1113.056438
= 1113.056438+ 400
= 1513.056438
F3 = 1513.056438 (1+0.05) 5
= 961.5 (1.27628)
= 1931.086
El monto total en el año 10 es S/. 1931.086.
Otra forma de operar es:
600 (1+0.05) 10
+ 300 (1+0.05) 8
+ 400 (1+0.05) 5
600(1.628894) + 300(1.477455) + 400(1.276281)
977.3367 + 443.2365 + 510.5124
1931.0856
El monto total en el año 10 es S/. 1931.086.
DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO
Período de tiempo que faltan para el vencimiento del título valor, mientras se
conoce el valor nominal del título valor, la tasa de descuento y los periodos de tiempo
que faltan para el vencimiento.
D = F – P
P = F*(1+ i)-n
D = F – F*(1+ i)-n
Al factorizar tenemos: D = F*(1 – (1+ i)-n
)
EJEMPLO 1: Ahora, se tiene uma letra cuyo valor nominal es S/.10 000 y se desea
obtener el descuento racional 39 días antes de su vencimiento, con una tasa efectiva
mensual de 5%.
TEde 39 días = (1 + TEM)39/30
– 1 = 0.06548193
Factor de descuento (equivalencia entre tasas anticipadas y tasas vencidas)
0.06548193
D39 días = -------------------- = 0.06145756971
1 + 0.06548193
Descuento = S/.10 000*0.06145756971 = 614.48
Idêntico resultado com la fórmula: D = S*(1- (1+j)-n
)
EQUIVALENCIA
Equivalencia significa, que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes son
iguales en valor económico, (Explicar)
4. Supóngase que un inversionista le ofrece el siguiente plan: recibir dentro de un
trimestre S/.295 000; al año S/.850 000 y S/.1 200 000 dentro de año y medio. Usted
desea saber que cantidad recibiría tan pronto como exija la entrega de un solo pago
al final del año y medio de la inversión, dado que la tasa de rentabilidad del
proyecto es del 6% trimestral. Rpta. El equivalente de los tres pagos al final del año
y medio es = S/.2 549 836.54. 5. Un joven empresario calcula que para el mes de diciembre va a necesitar S/.5 000. Si puede
colocar el capital en un banco que paga el 12% anual capitalizado mensualmente, ¿Cuánto debe depositar el 1° de Febrero si necesita el dinero para el 1° de Diciembre? Rpta. = 4521.933061
6. Un empresario con una obligación bancaria por S/. 60 000 pagaderos en 6 años
trimestralmente al 18% de tasa efectiva anual. Al finalizar el 2° año, luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho trimestre plantea lo siguiente:
a) ¿Cuánto tendría que abonar al final del 2° año para pagar su deuda? b) ¿Cuánto tendría que pagar al banco en ese momento (final 2° año) para que ha futuro sus cuotas de pagos trimestrales asciendan sólo a S/.2 500? Rpta. A = 4026.247001; (a)
P8 = 46 146.95509; (b) P8-24 = P8 – P2 500 = 17 493.12742
LOS FACTORES Y SU USO
Los factores en la ingeniería económica se usan para los cálculos económicos. El
propósito que tienen es entender la derivación de las fórmulas de la ingeniería
económica y la forma como se utilizan.
DIAGRAMA DE FLUJO
Algunos Factores
3:
Factores P/F y F/P: Derivar los factores de cantidad (Q) compuesta
(capitalizada) de pago único y valor presente.
Factores P/A y A/P: Derivar los factores de valor presente, serie uniforme y
recuperación de capital.
Factores F/A y A/F: Derivar los factores de cantidad compuesta, (Q
capitalizada) serie uniforme y fondo de amortización.
Serie gradiente P/G para usar en costos de mantenimiento de activos.
Serie irregular.
Diagramas de Flujo de Efectivo Flujo de Efectivo
Son ingresos y salidas de efectivo, producido por inversión de capital, pagos de deuda,
ingresos de la actividad, gastos de producción, etc. El flujo de efectivo ocurre cuando el
dinero cambia de manos de un individuo a otro o de una organización a otra.
Los Diagramas de Flujo de Efectivo
Son representaciones visuales en un horizonte temporal con flujos de entrada y salida de
efectivo a lo largo del tiempo. Son especialmente útiles para ayudar a detectar cual de
los cinco patrones de flujo de efectivo está representado por un problema particular.
Podemos señalar cinco tipos de flujo de efectivo:
1. Pago único: Un solo flujo de efectivo actual (P) o futuro (F).
2. Serie uniforme: Una serie de cantidades iguales (A), a intervalos regulares.
3. Serie de gradiente lineal (G): Serie de flujos que aumentan o disminuyen en una
cantidad fija a intervalos regulares.
4. Serie de gradiente geométrico: Serie de flujos que aumentan o disminuyen en un
porcentaje (%) fijo a intervalos regulares.
5. Serie irregular: Serie de flujos que no presenta ningún patrón general. Sin
embargo, pueden detectarse patrones en porciones de la serie.
3 P.D.: Para usar tablas y encontrar el valor de un factor en la tabla.
F
0 1 2 3 4 5 HORIZONTE TEMPORAL
Los 5 Tipos de Flujo de Efectivo
1.- Pago único: Donde los factores P/F y F/P con un solo flujo de efectivo se calcula al
derivar los factores ya sea en el periodo actual o futuro.
2.-Serie uniforme: Donde tenemos los factores P/A y A/P con una serie de cantidades
iguales que son representadas a intervalos regulares.
3.- Serie de Gradiente Lineal: Es al serie de flujos que aumentan o disminuyen en una
cantidad fija a intervalos regulares
F
P
1 2 3 4 5
0
A A A A A
P
A = anualidades
4.- Serie de Gradiente Geométrico: Es la serie de flujos que aumentan o disminuyen
en un porcentaje fijo a intervalos regulares.
5. Serie Irregular: es la serie de flujos que no representa ningún patrón general, sin
embargo pueden detectarse patrones en porciones de serie
0 1 2 3 4
A1
g
g2
0 1 2 3 4
G
2G
3G
Regla del 72: ESTIMACIONES DUPLICANDO EL TIEMPO Y LAS TASAS DE
INTERÉS
Para las tasas de interés compuesto puede utilizarse la regla del 72 para estimar i
o n, dado el otro valor. La estimación es simple; el tiempo requerido para duplicar una
suma única inicial con interés compuesto es aproximadamente igual a 72 dividido por el
valor de la tasa de retorno (en %).
i estimada = 72 / n
Por ejemplo:
Si usted deposita S/ 1,500 soles en una cuenta de ahorros que produce un interés del
12% compuesto anualmente, ¿Cuántos años necesitará para duplicar su saldo?
Interes Compuesto
Fn =P (1+i) n
3000 = 1500 (1+0.12) n
2 = (1+0.12) n
Log 2 = Log (1+0.12) n
Log 2 = n Log (1+0.12)
Log 2 = n Log (1.12) , Regla del 72: n = 72 / i
Log2 = n , n = 72 / 0.12*100 = 6 años, aprox.
Log1.12
n = 72 / 0.10*100 = 7.2
6.116 = n
6 ≡ n
0 1 2 3 4
G 2G
3G
4G
Sin embargo, si usted deposita S/ 1,500 soles en una cuenta de ahorros que genera un
interés simple del 12 % anual. Para duplicar su saldo ¿Cuántos años tiene que esperar?
Interés simple
Datos:
S = P (1+i*n)
P = S/.1 500
i = 12%
S = S/.3 000
n = ¿? , I = P*i*n , S = P(1+i*n)
S / P – 1
---------- = n = 8.3 años
0.1
Resolviendo,
3000 = 1500 (1+0.12 n)
2 = 1+ 0.12 n
8.3 = n
Operaciones Financieras y anualidades
FACTORES DE CÁLCULO Y FÓRMULAS DE PAGO ÚNICO
Valor presente (P). Valor futuro (F)
Factor de Valor Actual P/F
Diagrama de Flujo:
0 1 2 3 4 . . .
P =1,500
F = 3,000
Fórmula de Valor Actual: Se determina el valor presente P de una cantidad futura
dada, F después de n años a una tasa de interés i.
Al derivar P en la ecuación: F = P(1 +i)n , factor F/P
La expresión:
P = F
(1+i)n
Factor de valor presente, pago único o factor P/F.
Problema
Suponga que recibirá S/12,000 soles dentro de 5 años a una tasa de interés anual del
11% ¿Cual es el valor actual de esta cantidad?
P = 12000
(1+0.11)5
F
1 2 3 4 5
P
F =12,000 P =?
F=12000
i = 11%
n = 5
1 2 3 4 5
P
1
1
= 12000
1.6850
= 7121.6617
Problema
Una persona pide prestado S/. 1,000 soles y está de acuerdo en pagar
S/ 500 más
intereses acumulados al final del primer año y lo que le queda al final del cuarto año
¿De cuanto son los dos pagos si se aplica un interés compuesto anualmente?
Fn =P (1+i) n
F1 = 1000 (1+0.08)
F1 = 1080
I = 1080 – 1000 = 80
= 500 + 80
= 580
F2= 500 (1+0.08) 3
= 629.856(1.259712)
= 629.856
Los dos pagos son de S/. 580 y de
S/. 629.856 soles.
Problema.
Suponga que desea acumular S/. 10,000 soles en una cuenta de ahorros a 6 años a partir
de ahora y que la cuenta paga una tasa de interés del 5% capitalizado anualmente
¿Cuánto tiene que depositar hoy?
Datos: F = S/.10 000
n = 6 años
i = 5%
P = ¿?
0 1 2 3 4
F1= S/ 500 + I F2= S/ 500
i = 8%
P = S/ 1,000
P = F
(1+i)n
P = 10000
(1+0.05)6
P = 7462.153
Derivación del Factor de valor presente Serie Uniforme
SERIES DE FLUJO DE EFECTIVO
Factor de recuperación de Capital (P/A, i, n) Ocurre cuando todos los flujos de
entrada de una serie son iguales.
Puede ser determinado considerando cada valor de A como un factor futuro F y
utilizando la ecuación P = F(1/(1+i)n), con el factor P/F, para luego sumar los valores
del valor presente. La fórmula general es:
P = A (1/(1+i)1) + A (1/(1+i)
2) + A (1/(1+i)
3) + … A (1/(1+i)
n-1) + A (1/(1+i)
n)
Simplificando la ecuación, conduce a una expresión para P cuando i es diferente de
cero: Factor P/A, P = A (P/A, i, n)
P = A (1+i) n
-1
i(1+i) n
Calculo de Factor A/P, A = P (A/P, i, n)
A = P
(1+i) n
-1
i(1+i)n
0 1 2 3 4 5 6
F = 10,000
P?
1
1
PROBLEMAS
1. Supongamos que se tiene que pagar un préstamo de S/. 5000 soles, mediante cuota
fija en 5 periodos. Siendo la tasa de interés del 18% por periodo.
Datos: P = S/.5 000
n = 5
i = 18%
A = ¿?
A = P
(1+i) n
-1
A = 5000
(1+0.18) 5
-1
A = 5000 0.411796
1.287757
A = 5000(0.3197)
A = 1598.88
A ≡ 1599
2. Una persona compra un terreno por S/. 5,000 soles de pago inicial y pagos anuales
diferidos de S/. 700 soles al año durante 7 años empezando en 3 años a partir de la
fecha de compra ¿Cual es el valor presente de la inversión si la tasa de interés es de
12% anual?
Datos: Pi = S/.5 000
A3-10 = 700
n = 7
i = 12%
P = ¿?
1 2 3 4 5
0
A A A A A
P = 5,000
i(1+i)n
0.18(1+0.18)5
A = P i (1+i) n
(1+i) n
-1
P = A (1+i) n
-1
i (1+i) n
P = 700 (1+0.12)7 -1
0.12(1+0.12) 7
P = 700 1.21068
0.26528
P = 3194.64
Fn =P (1+i) n
P = F 1
(1+i)n
P = 3194.64 1
(1+012)2
P = 3194.64
1.2544
P = 2546.74
3. Se compró un auto cuyo precio de contado fue S/. 12 000, pagando una cuota inicial
de S/.2 000 y el saldo cancelable en cuatro armadas mensuales iguales ¿cuál será el
importe de cada cuota si el costo del financiamiento es del 2% mensual? Rpta. =
S/.2 626.24
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P
5,000
Flujo de Efectivo. Factor (A/F, i, n)
Significa el cálculo del valor anualizado para una cantidad futura.
La fórmula es la siguiente:
A = F
(1+i)n -1
PROBLEMA.
4. Cuanto de dinero tendré en la cuenta después de 5 años por depósito uniformes de S/. 500 soles anuales, si el banco paga 8% de interés anual.
A = F
(1+i)n -1
F = A
i
F = 500
0.08
F = 2933.30
Comprobando de otra manera:
500 (1+0.08) 4
= 680.24
500 (1+0.08) 3
= 629.85
500 (1+0.08) 2
= 540.00
500 = 500.00
_______
2933.21
1 2 3 4 5 5
0
A A A A A
F
A = 500
i = 8%
n = 5
F =?
i
(1+i)n -1
(1+0.08)5 -1
i
CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES
Valor presente de una Anualidad Simple Anticipada
Aquella en que los pagos se realizan al principio del periodo. Sucesión de rentas
anticipadas, empiezan en el momento cero (0). Ejemplo pago de alquileres, compras a
plazos (con cuota inicial), pólizas se seguros, pensiones de enseñanza.
PROBLEMA
1. ¿Qué monto se acumulará al término de cuatro años, si hoy y durante tres años
consecutivos se depositan S/.250 en una cuenta de ahorros que devenga una
TNA se 24% con capitalización mensual?
2. Se alquila un local comercial por 4 meses con pagos anticipados de S/.800 cada
uno. ¿cuál es el valor actual del contrato de arriendo con una TEA de 12%?
Rpta. = S/.3 155.1639
3. Se tiene una obligación que en un primer momento se había pactado cubrir en 18
cuotas de S/.15 000 por mes anticipado; se decide pagarla al contado. Si la tasa
de interés acordada es del 3% mensual, hallar este valor al contado. Rpta. =
S/.212 491
4. hsdkjdk
Anualidad Diferida Cuando en un contrato de crédito u operación similar, que debe amortizarse con
cuotas uniformes, el pago de estas rentas empieza después del vencimiento de uno o
varios periodos de renta, contadas a partir del inicio del plazo pactado.
Gradiente Lineal (G)
Una gradiente uniforme es una serie de flujos de efectivos que aumentan o disminuyen
por una cantidad constante G de un periodo a otro. El gradiente G puede ser positivo
(una serie de gradiente creciente) o un negativo (una serie de gradiente decreciente). El
primer valor de la gradiente comienza en el periodo 2.
Factor de Valor Actual con Gradiente Lineal
Encuentre P dado A, G. n, i, tenemos el factor (P/G, i, n)
Para hallar una expresión de la cantidad actual P se aplica el factor:
G 2G (n-2)G (n-1)G
P = 0 + ------- + ------ + … + --------- + ----------
(1+i) 2
(1+i) 3
(1+i) n-1
(1+i) n
n
P = ∑ (n-1) G*(1+i)-n
n=1
0 1 2 3 4 5 (n-1) n
G
2G
3G
4G
(n-1)G
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A A A A A A A A A
G
2G
3G
4G
5G
6G
7G
8G
Si establecemos: G = a y 1/(1+i) = X,
Tenemos P = 0 + aX2 +2aX
3 + … + (n–1)aX
n
P = aX*(0+X+2X2 + …+ (n-1)X
n-1 )
Como una serie aritmética-geométrica (0, X, 2X2, … (n-1) X
n-1 ) tiene la suma finita
1- n*Xn-1
+ (n-1) Xn
0 + X + 2X2
+ … + (n-1) Xn-1
) = --------------------------
(n + X)2
Podemos volver a escribir la ecuación como:
P = aX 1- nXn-1
+ (1+i)X n
(1+X)2
Al reemplazar los valores originales de a y X obtenemos:
P = G (1+i) n
- in – 1
i 2(1+i)
n
Problema.
Una fábrica de textiles acaba de comprar un camión con vida útil de 8 años. El
ingeniero estima que los costos de mantenimiento del camión durante el primer año será
de S/. 1,000 soles. Se espera además que dichos costos de mantenimiento suban
conforme envejezca el camión a una tasa de S/. 300 soles anuales durante su vida útil.
Suponga que los costos de mantenimiento ocurren al final de cada año. La empresa
quiere establecer una cuenta de mantenimiento que obtenga un interés del 12% al año.
Todos los gastos de mantenimiento en el futuro se pagaran de esta cuenta ¿Cuánto debe
depositar en la cuenta de la empresa, ahora?
P1 = G (1+i) n
- in – 1
i 2(1+i)
n
P1 = 300 (1+0.12) 8
– 0.12(8) – 1
0.12 2(1+0.12)
8
P1 = 300 0.515963
0.035653
P1 = 4341.44
P2 = A (1+i) n
-1
i (1+i) n
P2 = 1000 (1+0.12)8 -1
0.12(1+0.12) 8
P2 = 1000 1.475963
0.297155
P2 = 4967.64
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A A A A A A A A
G
2G
3G
4G
5G
6G
7G
G = 300
i = 12%
n = 8
A = 1000
P
P = P1 + P2
P = 4341.44 + 4967.64
P = 9309.08
Factor de Valor Final con Gradiente Lineal
G (F/G, i, n)
F = G (1+i) n
- 1 - n
i i
Problema
Suponga que se hace una serie de depósitos anuales en una cuenta corriente bancaria
que paga un interés del 10% anual. El depósito inicial al término del primer año es de S/.1, 500 soles, las cantidades de los depósitos disminuyen en
S/.200 soles al final de los
siguientes 4 años ¿Cuanto tendría después del quinto depósito?
1 2 3 4 5
0
A A A A A
FA
A = 1500
F = FA -FG
F = A (F/A, i, n) – G (F/G, i, n)
FA = A (1+i) n
-1
i
FA = 500 (1+0.10)5 -1
0.10
FA = 1500 (6.1051)
FA = 9157.65
FG = G (1+i)
n - 1 - n
i i
FG = 200 (1+0.10)
5 - 1 - 5
0.10 0.10
FG = 2000(1.1051)
FG = 2210.2
F = FG-FA
0 1 2 3 4 5
G=200
2G
3G
i = 10% n = 5
FG
4G
= 9157.65 – 2210.2
= 6947.45
Análisis del crédito. Capitalización Continua
Tasas de Interés Nominales y Efectivas
Una tasa nominal no es una tasa correcta, real o efectiva. La tasa de interés nominal
ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual se capitaliza el interés.
La tasa de interés efectiva (i) es la verdadera tasa de rendimiento que produce un capital
inicial en una operación financiera; se utiliza cuando el periodo de capitalización (o
periodo de interés) es menos de 1 año.
Varias de las transacciones financieras mas comunes por ejemplo, pagos hipotecarios,
mensuales o ganancias trimestrales en cuentas de ahorros, son pagos no anuales, para
esto la formula como se calcula el interés efectivo es la siguiente:
ie = (1+ r/m) m
-1
Donde:
r: tasa de interés nominal por año
m: frecuencia de composición o # de periodos cada año
r/m: taza de interés por sub-periodo
Problema
1.-Suponga que tiene un préstamo de un banco a un interés compuesto del 12%. En este
caso el 12% representa la taza de interés nominal. Calcule el pago total de interés anual
suponiendo que la capitalización es mensual.
r = 12%
m = 12
ie = (1+ r/m )m
-1
ie = (1+0.12/12)12
-1
ie = (1.01)12
– 1
ie = 12.68%
2.- Calcule el pago total de interés anual suponiendo que la capitalización es semestral
r = 12%
m = 2 ie = (1+0.12/2)2
-1
ie = (1.06)2
– 1
ie = 1.1236 – 1
ie = 0.1236
ie = 12.36%
3.- Calcule el pago total de interés anual, suponiendo que la capitalización es trimestral
ie = (1+0.12/4)4
-1
ie = (4.12/4)4 – 1
ie = (1.03)4 – 1
ie = 1.1255 – 1
ie = 0.1255
ie = 12.55%
3.-Una Sra. Deposita ahora S/. 1500 soles,
S/. 3000 soles dentro de 4 años a partir de la
fecha del anterior depósito y S/. 4000 dentro de 7 años. A una tasa de interés del 18%
anual capitalizado trimestralmente. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 8
años?
Pare resolver este problema tenemos 3 formas posibles.
Caso1
F =?
F1
1 2 3 4 5 6 7
P1=1500
3000
4000
Lo haremos por partes.
F = P (1 + r/m) n
F1 = 1500 (1+r/m) 16
P2 = 3033.55 + 3000
F1 = 1500 (1.045) 16
P2 = 6033.55
F1 = 3033.55
F2 = 6033.55(1.045)12
P3 = 10232.185+4000
F2 = 10232.185 P3 = 14232.185
F3 = 14232.185(1.045)4
F3 = 16972.1453
Caso 2
F1 = 1500 (1+0.18/4)32
= 6134.97
F2 = 3000 (1+0.18/4)16
= 6067.11
F3 = 4000 (1+0.18/4)4 = 4770.07
FT = F1 + F2 + F3 = 16972.15
Caso 3
in = r = 18%
ie = (1+0.18/4) 4 – 1
ie = 19.25% anual
F1 = 1500 (1+ 0.1925)8
F1 = 6134.97
F2 = 3000(1+0.1925)4
F2 = 6067.11
F3 = 4000(1+0.1925)
F3 = 4770.07
FT = F1 + F2 + F3 = 16972.15
Determinación del periodo de Composición.
Considere el siguiente anuncio de un Banco:
“Abra un certificado de deposito (CD), del Banco Continental y obtenga una taza de
rendimiento garantizado con una inversión mínima de s/ 1000” calcular m.
Valor Futuro de un Certificado de Deposito
La formula es la siguiente:
F = P (1 + r/m) n
Problema
1.- Si compro ahora el CD que vale S/. 2000 a 6 meses. ¿Cuánto obtendrá un interés del
8% compuesto anual capitalizado trimestralmente?
P = 2000
r = 8%
m = 4
n = 2
F = P (1 + r/m) n
F = 2000 (1+ 0.08/4)2
F = 2000 (1.0404)
F = 2080.8
2.- El banco paga 10% de interés compuesto anual, si la capitalización, es mensual
cuanto vale mi CD de S/.1000 al 8
vo mes.
F = P (1 + r/m) n
F = 1000 (1+0.10/12)8
F = 1000 (1.06864)
F = 1068.64
Conversión de una Tasa Efectiva en una Tasa Nominal, o en Tasa Efectiva de otro
periodo
j = m ( (1 + i)f/h
-1)
Donde:
j = Tasa nominal anual o tasa efectiva de otro periodo
m = número de periodos o monto que será calculado
i = es la tasa de interés efectiva TE, como dato
f = periodo de capitalización a calcular, de la variable j
h = periodo correspondiente a i
Ejercicio 1: ¿Cuál es la tasa nominal anual (TNA) capitalizable trimestralmente,
equivalente a una tasa efectiva anual (TEA) de 24%?
j = m ((1 + TEA)90/360
- 1) = 4 ( (1.24)1/4
-1)
j = 4 (0.5525) = 0.221 ó 22.1%
Ejercicio 2: ¿Cuál es la tasa nominal semestral capitalizable bimestralmente,
equivalente a una tasa efectiva anual (TEA) igual a 18%?
j = m ((1 + TEA)60/360
- 1) = 3 ( (1.18)1/6
-1)
j = 3 (0.1666667 - 1) = 3 (0.0279697) = 0.083909247 ó 8.39%
Respuesta:
Capitalización Continua
Conforme la frecuencia de Capitalización aumenta en un año, la tasa de interés efectiva
también se incrementa. Si se desea explicar con claridad la rápida capitalización, se
debería usar relaciones de capitalización continua o de interés compuesto continuo.
Matemáticamente el factor de cantidad compuesta de pago único sujeto a interés
compuesto continuo, esta dado:
Lim (1+r/m) mn
= er n
en donde e = 2.71828
h→∞
E r n
= factor de cantidad compuesta de capitalización continua.
Donde:
r = tasa de interés anual nominal.
m = # de periodos de interés por año
n = # de años.
Con cantidades conocidas, el valor presente, tasa de interés (r) y # de años(n), el valor
futuro (F) se puede calcular mediante la formula.
F = Pe r n
La tasa de interés efectiva sujeta a interés compuesto continuo puede escribirse de una
nueva fórmula:
Lim (1+1/h) h
= e
h→∞
COMPOSICIÓN CONTINUA
A medida que m se acerca al infinito, el límite de la ecuación:
Ie = (1+r/m) m -1
Se encuentra utilizando
r 1
=
m h
De donde deducimos m = rh
Luego: Lim i = Lim (1+r/m) m
-1
h→∞ m→∞
i∞ = Lim (1 +1/h) hr
-1
h→∞
= Lim [(1 + 1/h) h]
r - 1
h→∞
= iec = e r -1
La relación inversa entre valor futuro (F) y valor presente (P) indica que:
P = Fe-r n
Problema
1.- Para un tasa nominal anual del 9% ¿Cuál es la tasa efectiva continua anual?
iec = e r -1
= e 0.09
- 1
= 0.0942
= 9.42%
Si se depositó S/. 3 000 soles y el banco me paga el 9% anual ¿Cuánto totalizara la
cantidad acumulada?
F = P e r n
= 3000 e 0.09
= 3 282.5226
2.- Suponga que se deposita S/. 2 000 soles cada año en una cuenta que paga intereses a
una tasa 12% capitalizada en forma continua
a) Determine el monto de la cuenta inmediatamente después del 8vo
depósito
b) Determine el equivalente en valor actual de 10 depósitos.
r = 12%
A = 2000
iec = e r -1
= e 0.12
- 1
= 0.1274
= 12.74%
a) F = A (1+i) n
-1
i
F = 2000 (1+0.1274)7 -1
0.1274
F = 2000 2.60992
0.1274
F = 25 273.19
b) P = A (1+i) n
-1
i (1+i) n
P = 700 (1+0.1274)7 -1
0.1274 (1+0.1274) 7
P = 2000 (5.4831089)
P = 10 966.21
3. - Para una tasa de interés del 16% anual capitalizado en forma continua, calcule la
tasa de interés efectiva anual y mensual
r = 16%
Anual: iec = e r -1
= e 0.16
- 1
= 0.1735
= 17.35%
16/12 = 1.33%
r mensual = 1.33%
iec = e r -1
= e 0.0133
- 1
= 0.0134
= 1.34%
Esquema de un estudio de ingeniería
Analizar, sintetizar y obtener conclusiones en proyectos de gran envergadura significa
estudiar acerca de la inflación, estimación de costos, impuestos y depreciación; análisis
de sensibilidad adicional y riesgo. Además de evaluar algunas medidas de valor como:
valor presente (VP), valor futuro (VF), periodo de recuperación
Valor anual (VA);
Tasa de retorno (TIR);
Valor económico agregado;
Razón beneficio Costo (B/C)
Costo capitalizado (CC).
Los flujos de efectivo durante algún periodo de tiempo:
Estimación de ingresos y egresos;
Estrategias de financiamiento;
Leyes tributarias;
Valor del dinero en el tiempo;
tasa de interés;
medida de valor y técnicas de mantenimiento correctos.
Los Atributos No Económicos, dan como resultado que se tenga mayor confianza por
aspectos:
1. Sociales
2. Legales
3. Políticos
4. Ambientales
5. Personales.
Ejemplo:
1. Compra de un avión
2. costo de la compra
3. método de financiamiento
4. tasa de interés
5. costos anuales de impuesto sobre la renta
6. Ingresos anuales, etc.
Análisis de la rentabilidad
En la práctica las decisiones de inversión no deben basarse únicamente en le cálculo de
rentabilidad de un proyecto pues también debemos considerar un impacto global en la
solidez financiera y la posición de la compañía. No son las ganancias en sí, sino el flujo
de efectivo. El precio de mercado de las acciones de la compañía representa hasta cierto
punto el precio de ésta, es salud financiera. Varios factores afectan el valor de mercado
de la compañía: las ganancias actuales y futuras, que pueden ser obtenidas de la
siguiente manera:
Ventas Netas
Ingresos Netos
Ganancias por Acción
-------------------------------------------------
= Activo Total XXXX
- Pasivo Total XXX
------------------------------------------------------
= Valor Neto
Precio de Acción
Tipos de decisiones de Ingeniería Económica o nuevas ideas, proyectos y actividades
como:
(1) Selección de materiales y procesos;
(2) Reemplazo de equipo;
(3) Productos nuevos y expansión de productos;
(4) Reducción de costos y
(5) Mejora de servicios.
Criterios de Valor Actual Neto (VAN)
El valor actual neto mide el excedente de un producto de inversión, en el instante cero.
Uno no mide la rentabilidad, sino el simple hecho cuanto tardaría en recuperarse la
inversión inicial de un proyecto.
El cálculo costo capitalizado, compra alternativas con base en el valor presente.
Para esto resumiremos el procedimiento básico para aplicar el criterio de valor actual
neto o un proyecto de inversión típico:
1.- Determine la tasa de interés que la empresa desea obtener. Por lo general
denominaremos a esta tasa de interés Tasa de Rendimiento Mínima Atractiva
(TRMA). Esta selección será una política de gerencia.
2.- Estimar la vida económica del proyecto (número de años).
3.- Estimar el flujo de efectivo correspondiente a los ingresos de cada periodo.
4.- Estime el flujo de salida de efectivo de cada periodo económico.
5.- Determine los flujos de efectivo netos
Flujos Efectivo Neto (Flujo Neto = Flujo de Entradas de Efectivo – Flujo de
Efectivos de Salidas de Efectivo)
6.- Encuentre el valor actual de cada flujo de efectivo neto cuando la tasa de interés
toma su valor en el periodo que usted haya fijado.
Sume las cifras de valor actual, el resultado se define como Valor Neto Actual de
Progreso.
El proyecto para ser aceptado debe tener una suma de inversión y flujos netos de valor
actual >= 0
VAN (TRMA) = - Inversión + Flujos Netos
Problema
1.-Un proyecto independiente requiere una inversión de S/.10 000000 soles y produciría
beneficios anuales netos de S/. 1 800000 soles a lo largo de una vida de 8 años. En
estas cifras se incluye todos los costos y beneficios. El Presidente de la compañía le
solicita que le evalúe el mérito económico de esta inversión, si la TRMA de la empresa
es del 15%.
VAN (15%) = -P + Pc
PC = A (P/A, TRMA, 8)
PC = A (1+i) n
-1
i (1+i) n
1 2 3 4 5 6 7 8
P = 10 000000
A A A A A A A A A = 1 800000
PC = 1800000 (1+0.15)8 -1
0.15 (1+0.15) 8
PC = 1800000 (4.487321)
PC = 8 077 178. 714
VAN (15%) = -P + PC
= -10 000000 + 8 077 178. 714
= -1 922 821.286
No se invierte, puesto que el VAN es negativo (< = 0)
2.- Un proyecto con una inversión inicial de S/. 300 000 soles en el año cero, seguido
por 8 años de ingresos anuales netos de S/. 75 000 soles. Si la tasa de rendimiento
mínima atractiva (TRMA) de la empresa es del 14%, calcule el VAN de este proyecto
¿Es aceptable el proyecto?
VAN (14%) = -P + Pc
PC = A (P/A, TRMA, 8)
PC = A (1+i) n
-1
i (1+i) n
1 2 3 4 5 6 7 8
P = 300 00
A A A A A A A A A = 75 000
PC = 75000 (1+0.14)8 -1
0.14 (1+0.14) 8
PC = 75000 (4.638863)
PC = 347 914.792
VAN (15%) = -P + PC
= -300 000 + 347 914.792
= 47 914.792
Es aceptable el proyecto, puesto que el VAN es positivo (> = 0)
3.- Una pareja de esposos tiene una tierra valiosa y ha decidido vender los derechos
sobre los minerales en su propiedad a una compañía minera. Su objetivo principal es
obtener un ingreso de inversión de largo plazo y suficiente dinero para financiar la
educación universitaria de sus 2 hijos. Dado que los niños tienen actualmente 8 y 4 años
de edad, la pareja estima que los niños empezarán la universidad dentro los 10 y 14 años
respectivamente. Por lo consiguiente proponen a la compañía minera que esta pague S/. 18 000 soles anualmente durante 20 años, empezando dentro un año, más
S/. 10 000
soles dentro de 10 años y S/. 15 000 dentro de 14 años. Si la compañía desea cancelar
su rendimiento financiero de inmediato ¿Cuánto debe pagar ahora si la inversión podría
generar 16% anual?
A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
P = A (P/A, i, 20) + F1 (P/F, i, 10) + F2 (P/F, i, 14)
A (P/A, i, 20)
PA = A (1+i) n
-1
i (1+i) n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
P?
15 000 10 000
A = 18000
i = 16%
PA = 18000 (1+0.16)20
-1
0.16 (1+0.16) 20
PA = 18000 18.460759
3.113721
PA = 18000 ( )
PA = 10 671.9136
F1 (P/F, i, 10)
P1 = F1 1
(1+i)n
P1 = 10000 1
(1+016)10
P1 = 10000
19.4607
P1 = 513.854
F2 (P/F, i, 14)
P2 = F2 1
(1+i) n
P2 = 15000 1
(1+016)14
P2 = 15000
7.98751
P2 = 1 877.93
P = PA + P1 + P2
= 10 671.9136 + 513.854 + 1 877.93
= 13 063.6976
Métodos básicos para evaluar Proyectos Los métodos básicos, tradicionales, para evaluar decisiones económicas son los
siguientes:
Período de recuperación de la inversión.
Tasa de rendimiento sobre la inversión (tasa de rendimiento).
Costo anual uniforme equivalente (CAUE)
Valor presente neto / Valor actual neto (VPN)
Relación Beneficio-Costo (B/C)
Tasa Interna de Retorno (TIR).
Tablas de Amortización Las amortizaciones son una serie de pagos sucesivos, generalmente en montos y
períodos iguales, que se efectúan con el fin de cancelar una obligación y sus
intereses, dentro de un plazo convenido previamente.
Por ejemplo si se adquiere un préstamo de bienes por S/.1 000 000 que gana
intereses al 10% anual, para cancelarlo en cinco años, se debe calcular la cuota que
habrá que pagar y los intereses, todos expuestos en una tabla.
Datos:
P = 1 000 000
A = P (A/P, 10%, 5)
A = 1 000 000*(0.263797) = 263.797.48
TABLA DE AMORTIZACIÓN
PERÍODO CUOTA PAGO DE
INTERESES
PAGO DE
CAPITAL
SALDO
1 363.797.48 100.000 163.797.48 836.202.52
2 363.797.48 83.620.25 180.177.23 656.025.29
3 363.797.48 65.602.53 198.194.95 457.830.34
4 363.797.48 45.783.03 218.014.45 239.815.90
5 363.797.48 23.981.59 239.815.89 0.00
Criterios de evaluación de inversiones
Tanto el VPN como la TIR son indicadores que permiten evaluar proyectos de
inversión. Cuando empleamos el VPN estamos calculando en nuevos soles del presente
el rendimiento de los dineros involucrados en el proyecto. La TIR mide también la
rentabilidad de un proyecto sobre los dineros que todavía permanecen invertidos en él,
pero expresada como tasa de interés. Aunque el cálculo del VPN es mucho más sencillo
que el de la TIR, ésta última es más comprensible. Cuando hablamos de un proyecto
que rinde el 20% anual, todo el mundo sabe lo que se quiere decir4.
4 Tomado de Matemática Financiera Práctica (2001) de José Rejas Saal. Hipocampo Ediciones, Lima-
Perú.
Tasa Interna de Retorno5 (TIR)
Significado de la T.I.R.
Cuando se realiza una operación financiera, generalmente se cree que la tasa de interés
obtenida (TIR) representa el rendimiento o costo sobre la inversión inicial. La TIR es la
tasa de interés pagada sobre los saldos de dinero tomado en préstamo o la tasa de
rendimiento ganada sobre el saldo no recuperado de la inversión.
La tasa de retorno está expresada como un porcentaje por periodo, Ej. 12%
En los cálculos de la tasa de retorno el pago, o entrada final, iguala exactamente a cero
con el interés considerado, es decir:
VP = VFi → 0 = - VP +VFi
Métodos para determinar i*
El valor de i* puede hallarse con varios procedimientos, cada uno de ellos tiene sus
ventajas y desventajas, los métodos más prácticos son:
1.- Método de Solución Directa
2.- Método de Tanteos
3.- Método Gráfico
Defectos de la TIR
5 Interpolar linealmente para encontrar el valor más exacto de un factor.
1 2 3 4 5 6
P
(P/F, i*, n) VAN
F
Primer defecto: Si dos proyectos son independientes, entonces los criterios del VPN y
la TIR, siempre conducirán a la misma decisión de acéptese/rechácese. Si el VPN
afirma que el proyecto debe aceptarse, la TIR dirá lo mismo.
Cuando el VPN aumenta en la medida en que aumenta la tasa de descuento. Este caso
presenta un primer defecto de la TIR, y se observa en proyectos de inversión no
convencionales, o sea cuando en el periodo cero no hay inversión sino ingresos.
Utilicemos el siguiente flujo de caja que corresponde a un proyecto no convencional:
Proyecto 0 1 2 3 TIR VPN(10%)
A 1.000 -3.600 4.320 -1.728 19.98% -0.75
Segundo defecto. TIR múltiples
La ecuación de la TIR es un polinomio de grado n. La obtención de las raíces de
cualquier polinomio está regido por la regla de los signos de Descartes que dice: “un
polinomio tiene tantas raíces como cambios de signos”. Esto significa para el caso de la
TIR, que si el flujo de caja del proyecto presenta dos cambios de signo, se pueden
obtener dos TIR, lo que no tiene interpretación económica. Parodiendo al matemático
René Descartes: pienso, luego sé cuantas TIR pueden existir.
Al platear la ecuación de la TIR, tenemos:
Proyecto 0 1 2 TIR 1 TIR 2 VPN(10%)
A -1.600 10.000 -10.000 25% 400% -773.55
10.000 10.000
VPN = 0 = - 1.600 + ------------ - --------------
(1 + TIR)1 (1 + TIR)
2
Problema
1.- Considere 2 proyectos que tienen las siguientes transacciones:
N Proyecto 1 Proyecto 2
0 2000 1500
1 0 +1300
2 0 +1800
3 +500 0
4 +2000 0
Calcule la Tasa Interna de Retorno por el Método de Solución Directa
Proyecto 1
2000 = F1 (P/F, i*, 3) + F2 (P/F, i*, 4)
2000 = 500 + 2000
(1+i) 3
(1+i) 4
4 = 1 + 4
(1+i) 3
(1+i) 4
4 (1+i) 4
= 1 + i + 4
Log 4 (1+i) 4
= log (5 + i)
Log 4 + 4Log (1+i) = Log (5+i)
Log (5+i) – Log 4 = 4
Log (1+i)
i = 0.061 ≡ 6.1%
Proyecto 2
0 1 2 3 4
2000 500
P = 2000
1800
1300
1500 = F1 (P/F, i*, 1) + F2 (P/F, i*, 2)
1500 = 1300 + 1800
(1+i)1
(1+i)2
15 (1+i) 2
= 1 + i + 2
Log 2 (1+i)2 = log (5 + i)
Log 2 + 2Log (1+i) = Log (5+i)
Log (5+i) – Log 2 = 2
Log (1+i)
i = 0.61 ≡ 61%
TASAS DE RETORNO
La tasa de retorno es un porcentaje que indica el rendimiento relativo en diferentes usos
de capital. Tres tasas de retorno aparecen con frecuencia en los estudios de ingeniería
económica:
1) La tasa mínima aceptable de retorno (TMAR) es la tasa establecida por una
organización para designar el nivel más bajo de rendimiento para aceptar una
inversión.
2) La tasa interna de retorno (TIR) es la tasa sobre el saldo no recuperado de la
inversión en una situación donde el balance final es cero.
3) La tasa externa de retorno (TER) es la tasa de retorno que es posible obtener
para una inversión en condiciones económicas actuales. En los estudios de
ingeniería económica; la tasa de interés externa a menudo será establecida
por la TMAR.
TMAR.-La tasa de retorno razonable sobre la inversión (TMAR) debe ser mayor que
cualquier otra tasa de retorno previamente establecida; se establece por encima del costo
de capital dependiendo de las circunstancias y aspiraciones de una organización. El
propósito es evitar las inversiones no productivas en las actividades marginales, quizá
favorecidas por razones políticas, y para conservar el capital durante periodos cuando se
presntan menos propuestas atractivas.
TIR.-Es el método de tasa de retorno mejor conocido y más utilizado. También se le
conoce como el método de tasa de retorno verdadera y el método de flujo de efectivo
descontado. Es la tasa de interés ganada por una inversión alternativa sobre el saldo no
0 1 2 3 4
P = 1500
recuperado de una inversión. Por ejemplo un préstamo que tiene que ser pagado a una
tasa de interés igual a 10% con una TIR = i.
La tasa de retorno es aquella que hace que el valor de los ingresos de un
proyecto sea equivalente al valor presente de los egresos; es decir, aquella tasa de
interés que hace que el Valor Presente Neto (VAN) de un proyecto sea igual a cero.
La TIR puede calcularse al igualar el valor presente, valor futuro o valor anual
del flujo de efectivo a cero (0) y resolver la tasa de interés que permita la igualdad. Para
expresar esto de otra manera: “la tasa que cuando se emplea en el cálculo del valor
presente de todos los costos y valores presentes de todos los rendimientos los hará
iguales”.
VALORES MÚLTIPLES DE TASAS DE RETORNO POSIBLES
Ejemplo: Una companía ha mercadeado un producto durante tres años, con los
siguientes flujos de efectivo netos en soles (S/.)
AÑO 0 1 2 3
Flujo de
Efectivo
+2000 -500 -8100 +6800
Solución:
La relación en valor presente es:
VP = 2000 - 500*(P/F, i, 1) – 8100*(P/F, i, 2) + 6800*(P/F, i, 3)
i% 5 10 20 30 40 50
VP S/. +50.97 -39.82 -106.48 -82.39 -11.66 81.48
2.-Su banco está dispuesto a prestarle S/. 20 000 para su proyecto de remodelación de
vivienda. Usted debe firmar una hipoteca que requiere pagos de S/. 3116.4 al final de
cada uno de los próximos 10 años ¿Cuál es la tas de interés que le ofrece al banco?
P = A (1+i) n
-1
i (1+i) n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P = 20000 A = 3116.4
n = 10
i* = ?
20000 = 3116.4 (1+i) 10
-1
i (1+i) 10
20000 = (1+i) 10
-1
3116.4 i (1+i) 10
Log 6.4176 = Log (1+i) 10
-1
i (1+i) 10
0.8073 = Log (1+i) 10
-1
i (1+i) 10
i = 0.09 ≡ 9%
Problemas
1.-Suponga que efectuamos depósitos trimestrales a una cuenta de ahorros que produce
un interés del 9% anual capitalizado mensualmente. Calcule la tasa de interés efectiva
por periodo de pago.
r = 9%
m = 3
i e = (1 + 0.09/ 12)3
-1
= (1 + 0.0075)3 -1
= (1.022669) -1
= 2.27%
2.- Suponga que hace una serie de depósitos anuales a una cuenta bancaria que paga un
interés del 15%. El Depósito inicial al término del primer año es de S/. 1600 soles. Las
cantidades de los disminuyen en S/. 180 al final de los siguientes 4 años ¿Cuánto tendría
después del quinto depósito?
F = FA -FG
F = A (F/A, i, n) – G (F/G, i, n)
A (F/A, i, n)
FA = A (1+i) n
-1
i
FA = 1600 (1+0.15)5 -1
0.15
FA = 1600 1.0113571
0.15
FA = 1600 (6.742380)
0 1 2 3 4 5
180
360
540
FG
720
1 2 3 4 5
0
A A A A A
FA A = 1600
G = 180
i = 15%
n = 5
FA = 10 787.81
G (F/G, i, n)
G (1+i) n
- 1 - n
FG =
i i
180 (1+0.15) 5
- 1 - 5
FG =
0.15 0.15
FG = 1200 (1.742381)
FG = 2090.85
F = FG-FA
= 10 787.81 – 2090.85
= 8696.96
3.-El Sr. Sánchez acaba de comprar una propiedad de S/. 300 000 soles efectuando un
pago inicial de S/. 60 000 soles y obteniendo un préstamo por los
S/. 240 000 soles
restantes. El préstamo hipotecario es por 15 años a una tasa de interés compuesta del
12 % mensual. El acuerdo consiste en efectuar pagos mensuales iguales.
a) ¿Cuál es el pago mensual del Sr. Sánchez?
b) Después de efectuar el pago número 100 al señor Sánchez le gustaría pagar el saldo
restante del préstamo ¿Cuál es el pago requerido?
P = 240 000
0 1 2 3 4 . . . 100 101 . . . 180
a) 12%/12 = 1%
n = 15 años = 180 meses
i = 12%
A =?
ie = (1+ r/m) m
-1
= (1 + 0.01/1)1 -1
= 1%
A = P (A/P, ie, 180)
A = P i (1+i) n
(1+i) n
-1
A = 240 000 0.01 (1+0.01) 180
(1+0.01) 180
-1
A = 240000 (0.01200168)
A = 2880.4033
4.-Supongamos que se tiene que pagar un préstamo de S/. 5 000 mediante cuota fija en
8 periodos, siendo la tasa de interés de 5% por periodo.
A = P i(1+i)n
(1+i) n
-1
A = 5000 0.05(1+0.05)8
(1+0.05) 8
-1
A = 5000 0.05 (1.47745)8
(1.47745) 8
-1
A = 5000 0.073872
1 2 3 4 5 6 7 8
0
A A A A A A A A
P P = 5000
i = 5%
n = 8
A =?
0.477455
A = 5000 (0.1547034)
A = 773.6090
Problema
1.- Suponga que se tiene una serie de recepciones semestrales iguales de S/.500 soles
que se extiende durante un periodo de 6 años ¿Cuál es el valor actual de esta serie de
pagos semestrales a un interés del 8% compuesto continuamente?
i = 6 años x 2 = 12
P = A (P/A, i*,12)
iec = e r -1 anual r = anual
iec = e r/k
-1 por periodo k = periodo
iec = e 0.08/2
-1
= 4.081%
2.- Si alguien deposita S/. 1000 soles ahora y le prometen un pago de S/. 500 soles
después de 3 años y otro de S/. 1500 soles en 5 años a partir de ahora ¿Cuál es la tasa
de retorno utilizando el valor presente?
1000 = F1 (P/F, i*, 3) + F2 (P/F, i*, 5)
1000 = 500 + 1500
(1+i) 3
(1+i) 5
2 = 1 + 3
0 1 2 3 4 5
1500
500
P = 1000
(1+i) 3
(1+i) 5
2 (1+i) 5
= (1+i) 2 + 3
Log 2 (1+i) 5
= Log (1+i) 2 + Log 3
Log 2 + 5Log (1+i) = 2 Log (1+i) + Log 3
3 Log (1+i) = 0.1760912
1+i = 1.144714
i = 0.144714
i = 14.47%
3.-Calcule el valor anual equivalente que representa el ciclo de vida de un activo con un
costo inicial de S/. 25 000 soles un costo de operación anual de
S/. 5 000 soles y una vida
de 5 años. Si se aplica una tasa de interés del 18 % anual
A = P (A/P, i, n) + 500
A = P (1+i)n -1 + 500
i (1+i)n
A = 25000 (0.31978) + 500
A = 7994.5 +500
A = 8494.5
2.-En un distrito de Lima (S. M .P) se planea construir 2 rutas alternativas. La primera
ruta “A” cuesta S/. 7 000000 soles proporcionará beneficios anuales estimados de
S/. 135 000 soles a los negocios locales. La ruta “B” que cuesta
S/. 8 000000 soles puede
proporcionar S/. 120 000 soles en beneficios anuales.
El costo anual de mantenimiento es S/. 200 000 soles para “A” y el costo de
mantenimiento es de S/. 120 000 soles para “B”.
Si la vida de cada avenida es de 20 años y se utiliza una tasa de interés del 12% anual
¿Cual de las 2 alternativas debe seleccionarse?
Ruta A
0 1 2 3 4 5
A A A A A
i = 18%
n = 5
A = 500
P = 25000
135000 13500 135000 135000 135000
1 2 3 4 . . . 19 20
200000 200000
200000 200000
7 000000
P = A (P/A, i, n) – 7 000000
= -65 000 (7.4694) – 7 000000
= - 485511 – 7 000000
= - 7 485 511
0 También
A = -P (A/P, i, n) – 200 000 + 135 000
= -7 000000 (0.13388) – 65 000
= -1 002 160
Ruta B
120000 120000 120000 120000 120000
1 2 3 4 . . . 19 20
120000 120000
120000 120000
8 000000
P = A (P/A, i, n) – 8 000000
P = - 8 000000
0 También
A = -P (A/P, i, n) – 120 000 + 120 000
= -8 000000 (0.13388)
= -1 071 040
Se elige la Ruta A
Problema
1. Una empresa de confecciones produce prendas de vestir según la temporada estacional. La
empresa ha decidido utilizar maquinaria importada que debe reemplazarse cada 4 años, lo que produce a su vez un patrón de flujo de efectivo que se repite según el gráfico adjunto. Se pide determinar los flujos de efectivo anuales, sabiendo que la tasa de interés es de 12% anual.
800 800 700 700
600 600
500 500
. . .
1000 1000 1000
A A A A
300
200
100
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
P = 1000
A = 800 G = 100
n = 4
i = 12%
A = -1000 (A/P, i, 4) + 800 – 100 (A/G, i, 4)
A = -1000 (0.32923) + 800 – 100 (1.3589)
A = -329.23 + 800 – 135.89
A = 334.88
La fórmula de interpolación
X – X1
Y = Y1 + ----------*(Y2 – Y1)
X2 – X1
Donde:
Y = Parámetro para calcular la i desconocida
Y1 = Valor inferior de la i; 5% en el problema
Y2 = Valor superior de la i; 6% en el problema
X1 = Valor del factor en Tablas que corresponde a Y1, esto es para 5% de
interés. Corresponde un factor de (P/A) = 6.463, y para (A/P) = 0.1547.
X2 = Valor del factor que corresponde a Y2, esto es, para 6% de interés
(P/A) es 6.210 y (A/P) = 0.161
X = Valor del factor que corresponde a Y, esto es, (P/A) = 6.25 y (A/P) = 0.16
Ejemplo: PROBLEMA
Se invirtieron S/.500 con una expectativa de recibir S/.80 al final de cada uno
de los siguientes 8 años. ¿Cuál es la tasa interna de rendimiento de la inversión? Rpta.:
TIR = 5.837213%
Datos:
P = 500
A = 80
n = 8
i* = ¿?, Solución: 500 = 80 (P/A, i*, 8)
6.25 = (P/A, i*, 8) =
0.16 = (A/P, i*, 8) =
El cálculo es:
6.25 – 6.463
Con el factor (P/A) Y = 5 + ----------------* (6 – 5) = 5.8418
6.21 – 6.463
0.16 – 0.1547
Con el factor (A/P) Y = 5 + ------------------* (6 – 5) = 5.8412
0.161 – 0.1547
Diferencia de la interpolación por el uso de distintos factores para calcular un solo
parámetro, 0.0006.
Evaluación de la Razón Beneficio/Costo
Se considera que un proyecto es atractivo cuando los beneficios derivados de su
implementación y reducidos por los beneficios negativos esperados exceden sus costos
asociados. Se pueden utilizar las siguientes descripciones:
Beneficios (B).- Que es igual a las ventajas experimentadas por el propietario
Beneficios negativos (BN).- Es igual a las desventajas de otro proyecto cuando el
primero es implementado.
Costos (C).- Son los gastos anticipados por construcción, operación, mantenimiento,
etc., menos cualquier valor de salvamento.
La razón convencional se calcula de la siguiente manera:
B/C = B – BN
C
* En los análisis Beneficio/Costo, los costos no están precedidos por un signo menos
Hay otras formas para evaluar el beneficio y estimación de costos en los proyectos, esto
es: B – C, donde se elimina las discrepancias, puesto que B representa los Beneficios
Netos; es decir:
B – C = (B – C) – BN
B – C = B – (C + BN)
Nota: Puede utilizarse cualquier método de cálculo (cálculo de valor presente, cálculo
de valor anual o valor futuro) en tanto estén expresados (los Beneficios, Beneficios
Negativos y los Costos) en las mismas unidades.
Problema 1
Una organización está contemplando una inversión de S/. 2’ 000000 de soles para
instalar 2 laboratorios con nuevas formas de enseñar a la gente las bases de una
profesión.
Los cursos se extenderán durante un periodo de 10 años y crearán un ingreso de
S/. 600,000 soles anuales. La organización utiliza una tasa de retorno del 6% anual.
Por el nuevo programa que será adicionado en las actividades en marcha, se ha estimado
que se retirarán S/. 200,000 soles de fondos anuales del otro programa para apoyar esta
investigación. Para hacer exitoso el programa, la organización incurrirá en gastos de
operación anual de S/. 80,000 soles de su presupuesto regular. Utilice los métodos de
análisis para determinar si el programa se justifica: a) B / C b) Beneficio costo
modificado y c) análisis B – C
A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2’ 000 000
i = 6%
n = 10
B = 600,000 BN = 200 000 COA = 80 000 anuales
C = -2 000,000 inversión inicial, C = -2 000000 (A/P, i, 10)
C = -2 000000 (0.13587) = -271,740 anuales
Solución:
a) B/C = B – BN
C
B/C = 600 000 – 200 000 = 400 000 = 1.14
271 740 + 80 000 351 740
El proyecto se justifica ya que B / C es mayor que uno.
b) El B / C modificado trata el COA como un beneficio negativo
B/C = 600 000 – 200 000 – 80 000 = 320 000 = 1.18
271 740 271 740
El proyecto también se justifica.
c) B – C = (600 000 – 200 000) – (271 740 + 80 000) = 48 260
Dado que B – C es mayor que cero, la inversión se justifica.
Problema 2 Suponga que el costo para mantener el funcionamiento de una estructura de control de
inundaciones es de S/.10 000 y que la estructura proporciona un beneficio de protección
estimado en un valor de S/.20 000 anualmente. Al arrendar cierta máquina por S/.3 000
anuales el costo anual de mantenimiento se reducirá a S/.5 000 y los beneficios de
protección de inundaciones aumentará a S/.24 000 por año, ¿cómo se determina la razón
B/C? ¿Debe aceptarse el proyecto?
Condición Presente Condición Mejorada
Beneficios Anuales 20 000 24 000
Costos anuales 10 000 8 000
Costo Incremental = 4 = -2
-2
Emisión de obligaciones
Inversión en Bonos
Bonos
Los bonos son un instrumento financiero importante mediante el cual el mundo
empresarial puede obtener fondos para financiar proyectos.
Los bonos son una forma especializada de préstamos en la cual el acreedor, por lo
general una empresa o el gobierno, promete pagar una tasa de interés determinada a
intervalos especificados durante un periodo definido y luego reponer el capital en una
fecha específica conocida como fecha de vencimiento del bono.
En el caso de los bonos, los prestamistas son inversionistas (conocidos como tenedores
de bonos), que pueden ser individuos u otras empresas.
Terminología de los Bonos
a) Valor a la Par.- Los bonos individuales generalmente se emiten con denominaciones
redondas, como por ejemplo S/. 1,000 soles o múltiplos de mil.
b) Bono de Descuento o de Prima.- Un bono que se vende por su debajo de su valor a
la par. Se denomina Bono de Descuento. Cuando se vende por encima de su valor a la
par se le conoce como Bono de Prima.
Ejemplo: Los bonos de la empresa ATS se ofrecen a menos que el valor a la par a un
99.625%, o sea un descuento de 0.375%.
c) Valor Nominal del Bono.- El valor nominal hace referencia a su denominación. El
valor nominal es importante por 2 razones:
1. Este representa una suma global que será pagada al tenedor del bono a la fecha
de su vencimiento.
2. El monto de interés (I) pagado por periodo con anterioridad a la fecha de
vencimiento del bono se determina de la siguiente manera:
I = V*b
C
Donde:
I = Interés pagado por periodo
V= Valor nominal del bono
b = Tasa de interés del bono
C = Número de periodos por pago de año.
Nota: Solamente el valor nominal, no el precio de compra se utiliza para calcular el
monto del interés del bono (I).
Problema
Una compañía esta planeando realizar una expansión en la empresa, para lo cual emitió
bonos de S/. 4,000 soles al 6% para financiar el proyecto. Los bonos vencerán dentro 10
años, con pagos trimestrales de interés. El Sr. Pérez compró uno de los bonos a través
de su comisionista de bolsa S/. 3,800 soles.
a) ¿Qué pagos tiene derecho a recibir el Sr. Pérez?
b) ¿Calcule el valor presente de los ingresos obtenidos por el Sr. Pérez en esta
negociación y diga si le reporta o no utilidades?
a) I = V*b V = 4,000
C b = 6%
C = 4
I = 4000(0.06) = S/.60 que paga la Cía. Cada tres meses.
4
b) El Sr. Pérez adquiere el bono a S/. 3,800 soles
Al final obtiene: 60x40 = 2400 + 4000
Vp = -3800 +60 (P/A, 6%, 40) + 4000 (P/F, 6%, 40)
= -3800 + 60 (15.0463) + 4000 (0.0972)
= -3800 + 902.778 + 388.8
= -2508.33
No reporta utilidades.
Problema
Determine el monto de interés que usted recibirá por periodo si compra un bono de S/. 5,000 soles al 6% el cual vence dentro de 12 años con intereses pagaderos
semestralmente
I = V*b V = 5,000
C b = 6%
C = 2
I = 5000(0.06) = S/.150 que paga la Cía. Cada semestre.
2
Al vencimiento de los 12 años se paga los S/. 5000 soles
Análisis de Reemplazo y Retiro de Equipo y Maquinaria
Métodos para evaluar alternativas
El estudio de reposición básico está diseñado para determinar si debe remplazarse un
activo utilizado actualmente. Los activos existentes pueden sustituirse debido al
deterioro, la obsolescencia o la capacidad inadecuada. Los crecientes costos de
reparación sugieren la decisión de reparar o reemplazar, que podría cambiar las
características de los productos.
Comparación en VP de alternativas con vidas iguales
Cuando un activo puede ser remplazado por un retador que tiene una vida estimada
diferente, debe determinarse la longitud del periodo de estudio, es práctica común
utilizar un periodo de estudio igual a la vida del activo de vida más larga.
Ejemplo:
Máquina Costo
inicial
Vida
útil
Costo Anual de
Mantenimto.(CAM)
Valor de
Salvamento
Ingresos
A S/.5,000 5 años
S/. 600
S/. 500
S/. 2000
B S/.2,000 5 años
S/. 500
S/. 100
S/. 800
Para una tasa de interés del 5%
Vp: Llevar todo a valor presente, siempre que las comparaciones sean del mismo
número de años de vida útil.
Máquina A
VpA = -5000 -600 (P/A, 5%, 5) + 500 (P/F, 5%, 5) + 2000 (P/A, 5%, 5)
= -5000 -600 (4.3295) + 500 (0.7835) + 2000 (4.3295)
= -5000 -2597.7 + 391.75 + 8659
= 1453.05
Máquina B
VpB = -2000 -500 (P/A, 5%, 5) + 100 (P/F, 5%, 5) + 800 (P/A, 5%, 5)
= -2000 -500 (4.3295) + 100 (0.7835) + 800 (4.3295)
= -2000 – 2164.75 + 78.35 + 3463.6
= -622.8
PROBLEMA 1. Se compró un equipo hace tres años a un costo de S/.120 000 con una vida útil de 10
años, y un valor de salvamento de S/.20 000 al final de ese periodo; puede venderse en éste momento en S/.70 000. Actualmente produce ingresos de S/.260 000 al año, con costos de operación de S/.130 000 anuales. Debido a que produce gran cantidad de desperdicio, se ha pensado en remplazarlo por equipo nuevo que tiene un precio de adquisición de S/.170 000, un valor de salvamento de S/.30 000 al final de su vida útil de 7 años, que elevaría los ingresos a S/.330 291 al año, con costos de operación de S/.165 000 anuales. Ambos equipos se deprecian por línea recta, se pagan impuestos de 50% y la TRMA de la empresa es 20%. Determine la conveniencia económica del
reemplazo. DATOS: Equipo Defensor Equipo Retados B 120 000 170 000 I 70 000 VS 20 000 30 000 A 260 000 330 291 CAO 130 000 165 000
n, años 10 7 TRMA = 20% Impuesto (T) = 50% 120- 20
Dt,D = ---------- = 10 000 10
170- 30 Dt,D = ---------- = 20 000
7 Análisis de resultado
DEFENSOR RETADOR INCREMENTO Ingreso 260 000 330 291 70 291 - CAO 130 000 165 000 35 000 - Dt,D 10 000 20 000 10 000 ahorro de impuestos
= U.A.I. 120 000 145 291 25 291 - T. 60 000 72 645.5 12 645.5
= U.D.I. 60 000 72 645.5 12 645.5
+ Dt, 10 000 20 000 10 000
= F.E.N. 70 000 92 645.5 22 645.5 VPND = -70 000 + 70 000*(P/A, 20%, 7) + 20 000*(P/F, 20%, 7) = -70 000 + 70 000* 3.6046 + 20 000* 0.2791 VPND = 187 904
VPNR = -170 000 + 92 645.5*(3.6046) + 30 000*(0.2791) = - 170 000 + 333 949.96 + 8 373 VPNR = 172 322.96, aceptar reemplazo Incremento de la Inversión es: -170 000 + 70 000 + 10 000 = 90 000 VPNI = -90 000 + 22 645.5*(3.6046) – 30 000*(0.2791)
= -90 000 + 81 627.969 + 8373 VPNI = 0.969
Comparación en VP de alternativas con vidas diferentes VSA VSA VSA
VSB VSB
VSB
0 3 5 6 9 10 12 15 años
B 2000 2000 2000 2000 2000
A 5000 5000 5000
Se sigue el procedimiento de la sección anterior con una excepción: “Las alternativas
deben compararse durante el mismo número de años”.
El requerimiento de servicio de 2 máquinas de diferente vida útil, puede satisfacer
mediante 2 enfoques:
1. Comparar las alternativas durante un periodo de tiempo igual al mínimo común
múltiplo (MCM) de sus vidas.
2. Comparar las alternativas utilizando un periodo de estudio que no
necesariamente considera la vida de las alternativas. Este se denomina el
enfoque de : “Horizonte de Planeación”
Problema
Seleccione la mejor alternativa mediante cálculo de valor presente de 2 máquinas para
los cuales se muestran los siguientes costos e ingresos
Máquina Costo
inicial
Vida
útil
Mantenimiento(CAM) Valor de
Salvamento
Ingresos
A S/.10,000 6 años
S/. 3,500
S/. 1,200
S/. 8,000
B S/18,000 9 años
S/. 3,100
S/. 2,000
S/. 16,000
a) ¿Determine cual debe ser seleccionada con base en una comparación utilizando una
tasa de interés del 10% anual?
b) Si se especifica un periodo de estudio de 5 años y no se espera que los valores de
salvamento cambien ¿Cuál alternativa debe de seleccionarse?
c) ¿Cuál máquina debe ser seleccionada en un horizonte de 6 años si se estima que el
valor de salvamento de la máquina B es de S/ 6,000 soles después de 6 años
a) El MCM de 6y 9 años es = 18
VSB VSB
VSA VSA
VSA
0 6 9 12 18años
B 10,000 10,000 10,000
A 18,000 18,000
VpA = -10000 -10000 (P/F, i, 6) – 10000 (P/F, i, 12) - 3500 (P/A, i, 18)
+ 8000 (P/A, i, 18) + 1200 (P/F, i, 6) + 1200 (P/F, i, 12) + 1200 (P/F, i, 18)
= -10000 -10000 (0.5645) - 10000 (0.3186) - 3500 (8.2014) + 8000 (8.2014)
+ 1200(0.5645) + 1200 (0.3186) + 1200 (0.1799)
= 19 350.9
VpB = -18000 -18000 (P/F, i, 9) – 3100 (P/A, i, 18) + 1600 (P/A, i, 18)
+ 2000 (P/F, i, 9) + 2000 (P/F, i, 18)
= -18000 -18000 (0.4241) - 3100 (8.2014) + 16000 (8.2014) + 2000 (0.4241)
+ 2000 (0.1799)
= 81 372.26
Se debe de seleccionar la máquina B.
b) Se realiza el mínimo común múltiplo
VpA = -10000 - 3500 (P/A, i, 5) + 1200 (P/F, i, 5) + 8000 (P/A, i, 5)
= -10000 - 3500 (3.7908) + 1200 (0.6209) + 8000 (3.7908)
= 7 803.68
VpB = -18000 - 3100 (P/A, i, 5) + 2000 (P/F, i, 5) + 16000 (P/A, i, 5)
= -18000 - 3100 (3.7908) + 2000 (0.6209) + 16000 (3.7908)
= 31 025.5 Se debe de seleccionar la máquina B.
c)
VpA = -10000 - 3500 (P/A, i, 6) + 1200 (P/F, i, 6) + 8000 (P/A, i, 6)
= -10000 - 3500 (4.3553) + 1200 (0.5645) + 8000 (4.3553)
= 7 803.68
VpB = -18000 - 3100 (P/A, i, 6) + 6000 (P/F, i, 6) + 16000 (P/A, i, 6)
= -18000 - 3100 (4.3553) + 6000 (0.5645) + 16000 (4.3553)
= 31 025.5
Se debe de seleccionar la máquina B.
La inflación en las operaciones financieras
El Significado y la Medición de la Inflación
La Inflación, se define como el incremento sostenido en el nivel general de los
precios6 en una economía. Es perdida del poder adquisitivo del dinero por alza
permanente en los precios de Bienes y Servicios.
Medición de la Inflación, es necesario hallar una forma de aislar y medir su
efecto, el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) es el que nos da el
índice de inflación, el ministerio de Economía y Finanzas (MEF), el Banco Central de
Reserva (BCRP) y el INEI están siempre relacionadas pero la institución que se ocupa
de la inflación es el INEI.
Los economistas han desarrollado una medición llamada índice de precios al
consumidor (IPC), basada en una cesta de mercado de bienes y servicios (canasta
básica) requeridos por el consumidor medio. La cesta usualmente contiene elementos de
8 grupos principales:
1. Alimentos y Bebidas.
2. Vivienda. (Pago de alquiler, arbitrios)
3. Vestimenta.
4. Servicios de Salud.
5. Entretenimiento y cultura.
6. Transporte.
7. Cuidados del Hogar y personales.
8. Otros.
C/u tiene un valor de ponderación; este valor de ponderación tiene una implicancia en el
valor total de la inflación mensual o anual.
Tasa media de Inflación, como la tasa de inflación de cada uno de los años se
basa en la tasa del año anterior, el efecto es compuesto. Los cálculos se simplifican al
usar una tasa media, en lugar de distintas tasas para los flujos de efectivo de cada año.
Ejemplo: Su ponga que queremos calcular la tasa de un periodo de dos años. La
tasa de inflación del primer año es el 4%, el 8% del segundo año, con S/.100 como
precio base. (a) Determinar el precio al final del segundo año; (b) Hallar la tasa media
de inflación.
Solución:
(a)
100*(1 + 0.04)*(1 + 0.08) = 112.32
(b)
100*(1 + f)2 = 112.32 f = 5.98
6 Precio, es el valor del producto en el mercado. Costo, son los gastos que ocasiona la producción del
bien (incluye mano de obra y máquinas).
Problema
Calcular la tasa media de inflación (f), de un periodo de 2 años. Si la inflación del
primer año fue de 56.7% y del segundo año fue del 39.5% con S/.100 soles como precio
base. (a) Determinar el precio al final del segundo año; (b) Hallar la tasa media de
inflación.
f 91 = 56.7%
f 92 = 39.5%
Precio Base = S/.100
f =?
1er
Paso:
0 56.7% 1 39.5% 2
S/.100
f = 100 (1+f 91) (1+ f 92)
= 100 (1.56719) (1.395)
= 218.61
2 do
Paso:
F = P (F/P, f, 2)
F = P (1 + f) n
218.61 = 100 (1 + f) 2
2.1861 = ( 1 + f) 2
1.4785 = 1 + f
0.478548 = f
47.85% = f, es la tasa de inflación promedio de cada año.
El Valor del Dinero en el Tiempo
r = tasa de interés real
i = tasa de interés combinada
f = tasa de inflación
Se resuelve:
(1+i) = (1+r) (1+f)
i = r + f + rf
Problema
Si la tasa de inflación (f) es de 6.5% anual y el valor real del dinero en el tiempo (r) es
de 15% al año ¿Cuál es la tasa de interés combinada?
r = 15%
f = 6.5%
i =?
i = r + f + rf
= 0.065 + 0.15 + 0.065(0.15)
= 0.215 + 0.00975
= 22.475% ≡ 22.48%
Problema
Si la tasa de interés combinada (i) es de 23% anual y capitaliza mensualmente, el valor
de la inflación (f) en el tiempo es de 20% trimestral ¿Cuál es la tasa real mensual?
Solución:
0.2312
i = 23% anual i = 1 + -------- = 25.586377
12 %, imensual = (1.25586377)1/12
= 1.916667%
f = 20% fmensual = (1.20)1/3
= 6.2658569182611066%
r = ¿mensual?
(1 + i) = (1 +r)*(1 + f)
(1.01916666667) = (1 + r)*(1.062658569182611066)
r = 0.95907255276791487 – 1 = -0.040927447232
=
r = -0.040927447232%
Análisis Económico que Incluye Inflación
Los flujos de efectivo futuros se pueden expresar en función del dinero de valor
constante o dinero corriente en ese momento.
Flujo de Efectivo Corriente
Es aquél valor contabilizado al valor de adquisición en el mercado. En el flujo de
efectivo corriente esta incluido el efecto inflación.
Flujo de Valor Constante
Es aquel valor que se expresa en función del poder adquisitivo del dinero con respecto a
un punto fijo en el tiempo conocido como periodo base. Los flujos de efectivo de valor
constante no incorporan la inflación, a los flujos de efectivo no se ve afectado por la
subida de precios.
Donde:
Valor = Q x PS/
PBI →2001 →140,500
PBI →2002 →157,300 (inflación 3,7%)
-Esta cantidad ha sido afectada por la variación de precios por la inflación
-En cambio el valor constante es el valor corriente que se divide entre el IPC (Índice de
Precio del Consumidor); hacemos ahora la comparación al deflactar7 el PBI del año
2002 y sería:
PBI →2001 →140,500 Vs.
157,300
PBI →2002 = ---------- = 151 687.56
(1.037)
7 Deflactar, es el proceso de corregir la unidad monetaria descontándola con la inflación, al dividir la
cantidad o monto corriente entre (1 + f); en cambio Indexación Formal o Informal, es el proceso de
corregir la unidad monetaria al capitalizar con la tasa de inflación, multiplicar por (1 + f).
LA DEPRECIACIÓN Y EL FLUJO DE EFECTIVO ANTES Y
DESPUES DE IMPUESTOS
Depreciación de Activos
Depreciación es la reducción en el valor de un activo.
En general, el proceso de depreciar un activo explica la pérdida del valor del
activo debido a la edad, uso y obsolescencia durante su vida útil. Las compañías
recuperan sus inversiones de capital en activos tangibles (equipo, computadores,
vehículos, edificaciones y maquinaria) mediante el proceso de depreciación.
La depreciación es una deducción permitida en impuestos, al ser la depreciación una
deducción junto con salarios y sueldos, materiales, arriendo, etc., reduce los impuestos
sobre la renta, mediante la relación:
Ingreso Gravable (IG) = (Ingresos – Deducciones8)
Impuestos = IG*(Tasa de Impuestos)
Existen leyes gubernamentales que regulan los periodos de recuperación (es la vida
depreciable, n, del activo en años) y depreciación permisibles.
La tasa de Depreciación o tasa de recuperación, es la fracción del costo inicial que se
elimina por depreciación cada año. Esta tasa (dt ) puede ser la misma cada año,
denominándose entonces tasa en línea recta, o puede ser diferente para cada año del
periodo de recuperación.
Valor de Salvamento (VS), o Valor Residual (VR)
Es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de la vida útil del
activo.
Descripción de Activos
Conjunto de todos los bienes y derechos con valor monetario que son propiedad
de una empresa, institución o individuo, y que se reflejan en su contabilidad9.
Activos: - Máquinas
- Muebles
- Edificios
- El valor de las viviendas disminuye por la antigüedad
Pérdida del valor de los activos fijos que puede generar deterioro y/o obsolescencia
Existen 2 puntos de vista:
- Depreciación Económica
- Depreciación Contable
Depreciación Física
Depreciación Económica
8 Deducciones, son los costos de bienes vendidos; depreciación; gastos operativos.
9Biblioteca de Consulta Microsoft® Encarta® 2004. © 1993-2003 Microsoft Corporation.
Reservados todos los derechos.
Depreciación Funcional
La Depreciación Económica, es la reducción gradual de la utilidad de un activo con el
uso y el tiempo.
Depreciación en Libros
Depreciación Contable
Depreciación Fiscal
Depreciación Contable, es la asignación sistemática del valor de un activo, en
proporciones, durante su vida depreciable.
Ingresos por Ventas.- De aquí se deducen gastos (costo de producción, gastos de
operación, depreciación)
Operamos: + Ingresos por Ventas
Gastos
- (Costo de producción)
- (Gastos de operación)
- (Depreciación)
Ganancia Gravable (o Ganancia Bruta)
- Impuestos sobre la Renta
Utilidad Neta + Depreciación
Donde:
Impuesto sobre la Renta = Utilidad Gravable X (Impuesto)
Problema
Una Compañía compra una máquina por S/. 30,000 soles (en el año cero) y la usa
durante 5 años para luego desecharla.
El Costo de los bienes producidos debe incluir un cargo por la depreciación de dicha
máquina. Suponga que la empresa estima los siguientes ingresos y gastos para el primer
año operativo:
Ingreso por ventas = S/. 70,000 soles
Costo de los Bienes Vendidos = S/. 30,000 soles
Depreciación de la Máquina = S/. 6,000 soles
Gastos operativos = S/. 10,000 soles
Si la compañía paga el 30% de impuesto sobre sus ganancias gravables
1.- ¿Cuál es su ganancia neta en el primer año del proyecto?
2.- ¿Cuánto tiene en efectivo al final del primer año el dueño del proyecto?
1.
+70 000
- 30 000
- 10 000
- 6 000 → (Depreciación)
+24 000
- 24 000 X 0.30 → (Impuesto a la Renta)
16 800
Su Ganancia Neta es de S/.16 800 soles
2.
16 800 + Depreciación
16 800 + 6 000 = S/. 22 800 (Efectivo al final del primer año)
Las compañías recuperan sus inversiones de capital, en activos tangibles -equipos,
computadoras, vehículos, edificios y maquinaria- mediante un proceso llamado
depreciación. El proceso de depreciar un activo al cual se hace referencia, explica la
perdida de valor del activo debido a la edad, uso y obsolescencia durante su vida útil,
aunque un activo puede estar en excelente condición de trabajo, el hecho de que valga
menos a través del tiempo se considera en los estudios de evaluación económica como
recuperación de capital.
Depreciación y amortización
Depreciación y amortización son dos conceptos que se manejan juntos y en la práctica
ocupan un mismo rubro en el estado de resultados.
La depreciación fiscal permite a cualquier empresa legalmente constituida recuperar la
inversión hecha en sus activos fijo y diferido, vía un mecanismo fiscal, que tiene varios
objetivos.
Por su parte amortización es un término al cual usualmente se le asocia con aspectos
financieros, pero cuando se habla de amortización fiscal, su significado es exactamente
el mismo que el de depreciación. La diferencia estriba en que la amortización sólo se
aplica a los activos diferidos o intangibles, tales como gastos pre operativos, gastos de
instalación, compra de marcas y patentes10
, entre otros.
¿Por qué la depreciación es tan importante para la ingeniería económica?
La depreciación es una deducción permitida en impuestos incluida en los cálculos del
impuesto de renta mediante la relación: Impuestos = (ingreso - deducciones) * (tasa de
impuestos)
Al ser la depreciación una deducción permitida para los negocios (junto con salarios y
sueldos, materiales, arriendo, etc.), reduce los impuestos sobre la renta.
Terminología de Depreciación
Depreciación: Es la reducción en el valor de un activo.
Costo Inicial o base no ajustada: Es el costo instalado del activo que incluye el precio
de compra, las comisiones de entrega e instalación y otros costos directos depréciales en
los cuales se incurre a fin de preparar el activo para su uso.
El valor en libros: Representa la inversión restante, no depreciada en los libros después
de que el monto total de cargos de depreciación a la fecha han sido restados de la base.
El periodo de recuperación: Es la vida depreciadle, n, del activo en años para fines de
depreciación (y del impuesto sobre la renta)
El valor de mercado: Es la cantidad estimada posible si un activo fuera vendido en el
mercado abierto.
La tasa de depreciación o tasa de recuperación: Es la fracción del costo inicial que se
elimina por depreciación cada año.
El valor de salvamento: Es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de
la vida útil del activo.
La propiedad personal: Es la mayor parte de la propiedad industrial manufacturera y
de servicio: vehículos, equipo de manufactura, mecanismos de manejo de materiales,
computadoras, conmutadores y mucho más.
La propiedad real: Incluye la finca raíz y las mejoras a esta y tipos similares de
propiedad.
La convención de medio año: Se empieza a hacer uso de los activos o se dispone de
ellos a mitad de año. La tierra en si se considera propiedad real, pero no es depreciable.
Métodos de Depreciación
Los métodos tradicionales de depreciación basados en años son las siguientes:
1. Depreciación en Línea Recta
2. Depreciación de Salidas Crecientes
3. Suma de Dígitos de los años
Surgieron posteriormente métodos acelerados:
10
Activos intangibles: representativos de franquicias, privilegios u otros similares, incluyendo los
anticipos por su adquisición (derechos de propiedad intelectual, patentes, marcas, licencias, llave de
negocio, gastos de organización y pre operativos, gastos de investigación y desarrollo, etc.)
1.- El Sistema acelerado de Recuperación de costos (SARC), fue anunciado en 1981
en EEUU.
2.- El Sistema modificado acelerado de recuperación de Costos (SMARC),
anunciado en 1986; que a la fecha, continúa siendo el único método de depreciación
aprobado en EEUU.
Las depreciaciones dependen de varios factores:
a) La base de costo o inversión en la propiedad.
b) Clase de propiedad y periodo de recuperación.
c) Fecha en que se puso en servicio.
d) Que convención.
e) Método de depreciación.
Depreciación en Línea Recta (LR)
El modelo en línea recta es un método de depreciación utilizado como el estándar de
comparación para la mayoría de los demás métodos. Obtiene su nombre del hecho de
que el valor en libros se reduce linealmente en el tiempo puesto que la tasa de
depreciación es la misma cada año, es 1 sobre el periodo de recuperación. La
depreciación anual se determina multiplicando el costo inicial menos el valor de
salvamento estimado por la tasa de depreciación d, que equivale a dividir por el periodo
de recuperación n, en forma de ecuación,
D = (B - VS)* d
D = (B – VS)/ n
Donde:
t = año (t=1, 2,....n)
D = cargo anual de depreciación
B = costo inicial o base no ajustada
VS = valor de salvamento estimado
d = tasa de depreciación (igual para todos los años)
n = periodo de recuperación o vida depreciable estimada
VLt = Valor en libros en el año t
VLt = B – t D
Nota: En el Perú de acuerdo al Decreto Legislativo 774 y su reglamento Decreto
Supremo 122-94, dispone que la depreciación para ciertos productos, establece las
siguientes tasas:
-Edificios 3%
-Unidades de Transporte 20%
- Equipo de Cómputo 25%
- Muebles y otros Equipos 10%
El valor de salvamento es de acuerdo a la política que establece cada empresa.
Problema
Si un activo tiene un costo inicial de S/. 60,000 soles con un valor de salvamento
estimado de S/. 100,000 soles después de 5 años
a) Calcule la depreciación anual.
b) Calcule el valor en libros del activo después de cada año y
c) Represente graficamente.
a) B = 60 000
VS = 10 000
n = 5
Dt = (B – VS)
n
Dt = 60000 – 10000
5
Dt = 10,000 depreciación de cada año, es constante.
b) VLt = B – t Dt
VL1 = 60000 – 1 (10000) = 50 000
VL2 = 60000 – 2 (10000) = 40 000
VL3 = 60000 – 3 (10000) = 30 000
VL4 = 60000 – 4 (10000) = 20 000
VL5 = 60000 – 5 (10000) = 10 000
Valor en
Libros 50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
} Valor de salvamento
0 1 2 3 4 5
Depreciación de Saldo Decreciente (SD)
El método de saldo reciente, conocido también como el método de porcentaje uniforme
o fijo, es un modelo de cancelación acelerada. En términos simples, el cargo de
depreciación anual se determina multiplicando el valor en libros al principio de cada
año por un porcentaje uniforme, que se llamara d, en forma decimal equivalente.
El cargo de depreciación es mas alto durante el prime raño y disminuye para cada año
que sucede.
El porcentaje de depreciación máximo permitido (para fines tributarios) es el doble de la
tasa en línea recta.
Para la depreciación SD o SDD, el valor de salvamento estimado no se resta del costo
inicial al calcular el cargo de depreciación anual, Es importante recordar esta
característica de los modelos SD y SDD. Aunque los valores de salvamento no se
consideran en los cálculos del modelo SD, ningún activo puede depreciarse por debajo
de un valor de salvamento razonable, que puede ser cero.
El cálculo de depreciación se realiza con la siguiente fórmula:
D = (d) B (1-d) t-1
El máximo de depreciación permitido como porcentaje (para fines tributarios) es el
doble de la tasa en línea recta, es decir:
d máx. = 2/n
n = periodo de vida útil del activo
Otro porcentaje comúnmente utilizado para el método de saldos decrecientes
Si 150% de la → d = 1.5/ n
Tasa en LR
El cálculo del valor en libros es:
VLt = B (1-d) t
O
VLt = VL t-1 – Dt
Asimismo la tasa de depreciación real para cada año t relativa al costo inicial es:
d t = d (1-d) t-1
Donde:
d = Tasa de depreciación.
Valor de Salvamento implicado para un modelo Salvo Decreciente Doble, cuya fórmula
es:
VS implicado = B (1-d) n
Problema
Suponga que un activo tiene un costo inicial de S/. 50,000 soles y un valor de
salvamento estimado S/. 14,000 soles después de 12 años. Calcule la depreciación y su
valor en libros para los:
a) Año 1
b) Año 4
c) Calcule el valor de salvamento implicado después de 12 años para el modelo Saldo
Decreciente doble (SDD).
B = 50000
n = 12
VS = 14000
d máx. = 2/n
d máx. = 2/12
d máx. = 16.67%
a) Para el primer año:
t = 1
Dt = (d) B (1-d) t-1
Dt = (0.1667) 50000 (1-0.1667) 0
Dt = 8 335
VLt = B (1-d) t
VL1 = 50000 (1-0.1667) 1
VL1 = 41 665
b) Para el cuarto año:
t = 4
Dt = (d) B (1-d) t-1
Dt = (0.1667) 50000 (1-0.1667)
3
Dt = 4 822.92
VLt = B (1-d) t
VL1 = 50000 (1-0.1667) 4
VL1 = 45 177.08
c) VS implicado = B (1-d) n
VS implicado = 50000 (1-0.1667) 12
VS implicado = 5 605.1415
Método de la Suma de los Dígitos de los años o la Depreciación de la Suma de los
Dígitos de los Años
Para el caso de un activo que tiene un costo inicial de S/. 98,000 soles con un valor de
salvamento estimado de S/. 7,000 soles después de 7 años. Calcule:
a) La Depreciación Anual
b) Calcule el Valor en Libros
Fin de
Año
t
Valor de
[n –(t-1)]/[n
(n+1)/2]
Dt
Bt [n- (t-1)]/[(n
(n+1))/2]
Inversión no
recuperada
Bt o VLt
0 98,000
1 7/28 22,750 75,250
2 6/28 19,500 55,750
3 5/28 16,250 39,500
4 4/28 13,000 26,500
5 3/28 9,750 16,750
6 2/28 6,500 10,250
7 1/28 3,250 7,000
Sistema Modificado Acelerado de Recuperación de Costos (SMARC)
En los años 80 se fue reglamentando (en EE.UU.) los sistemas de recuperación de
capital. En 1981 se introdujo el Sistema Acelerado de Recuperación de Costos (SARC)
y la ley de Reforma Tributaria de 1986 lo modificó a Sistema Modificado Acelerado de
Recuperación de Costos (SMARC), que es el mecanismo de depreciación de activos
vigente (julio del 2006). Ambos sistemas dictan las tasas de depreciación estatutarias
para toda la propiedad personal y real aprovechando a la vez los métodos acelerados de
la recuperación de capital.
En general el SMARC calcula la depredación anual utilizando la relación:
Dt = B x dt
Donde:
Dt = Depreciación anual
dt = Tasa de depredación, está dada por el gobierno en forma tabulada y
actualizada periódicamente.
El cálculo de valor en libros es:
VL t = VL t-1 - Dt ó VLt = B – Sumatoria de Dt acumulada
Donde:
VL t = Valor en libros del activo
B = Costo inicial
Dt = Depreciación anual
Porcentajes de recuperación permitidos por el Internal Revenue Service (IRS),
Servicio de Recaudación Fiscal de los Estados Unidos para propiedades que
entraron en servicio después de 1986 de SMARC para clases de activos: 3, 5, 7, 10,
15 y 20 años.
TABLA: Tasa de Depreciación (%) para Cada Periodo de Recuperación SMARC en años11
,12
.
Categoría de Propiedad
Año n =3 n =5 n =7 n =10 n =15 n =20
1 33.33 20.00 14.29 10.00 5.00 3.75
2 44.45 32.00 24.49 18.00 9.50 7.219
3 14.81°13
19.20 17.49 14.40 8.55 6.677
4 7.41 11.52° 12.49 11.52 7.70 6.177
5 11.52 8.93° 9.22 6.93 5.713
6 5.76 8.92 7.37 6.23 5.285
11
Estas tablas proporcionan las tasas que se pueden usar, a menos que el activo tenga adiciones o mejoras
significativas (que requieren calcular de nuevo las tasas de depreciación). Estas tasas contienen la
convención de medio año, quiere decir que el primer año se considera uso del activo solamente medio
año. El valor residual de la propiedad siempre es cero. 12
El valor residencial de la propiedad o periodo de recuperación de la propiedad real para estructuras es
comúnmente de 39 años (d = 1/39), aunque es posible justificar una recuperación anual de 27.5 años
como propiedad residencial de alquiler. 13
°Año para el cambio de disminución de saldo a lineal.
7 8.93 6.55° 5.90° 4.888
8 4.46 6.55 5.90 4.522
9 6.55 5.91 4.462°
10 6.55 5.90 4.461
11 3.28 5.91 4.462
12 5.90 4.461
13 5.91 4.462
14 5.90 4.461
15 5.91 4.462
16 2.95 4.461
17-20 4.462
21 2.231
Para la “propiedad real”, SMARC utiliza el método LR para n = 39:
Año 1 100d1 = 1.391%
Año 2 – 39 100dt = 2.564%
Año 40 100d40 = 1.177%
Problema
Un empresa de servicios quiere elaborar residuos de /// para esto adquiere una máquina
a un costo de S/. 400,000 soles, se espera que el salvamento estimado (Valor de
Salvamento) después de 3 años sea el 5% del costo inicial. Suponga que el propietario
de la empresa desea comparar la depreciación de un modelo SMARC de 3 años con lo
de un modelo de Saldo Decreciente Doble (SDD) de 3 años. El propietario tiene la
curiosidad de conocer la depreciación total más alta después de 2 años.
a) Determine cual modelo ofrece la depreciación total más alta después de 2 años.
b) Determine el valor en Libro para cada modelo después de 2 años y al final del
periodo de recuperación.
S M A R C S D D
Año dt (%) Dt VL Año dt Dt VL
0 400,000 0 400,000
1 33.33 133,320 266,680 1 2/3 266,666.667 133,334.33
2 44.45 177,800 88,880 2 88,888.889 44,445.44
3 14.81 59,240 29,640 3 24,444.5 20,000
4 7.41 29,640 0
a) La depreciación total para SMARC después de 2 años:
133,320 + 177,800 = 311,120
La depreciación total para SDD después de 2 años:
266,666.667 + 88,888.889 = 355,555.556
b) El valor en libro para SMARC después de 2 años:
VL2 = 88,880
El valor en libro para SDD después de 2 años:
VL2 = 44,445.44
Al final del periodo de recuperación es
SMARC en el año 4 = 0
SDD en el año 3 = 20,000
Método de Depreciación por Unidades de Producción
Este método puede ser útil para despreciar equipos como el que se usa para explotar
recursos naturales, si es que estos recursos se van ha agotar antes que se desgaste el
equipo.
El cargo por depreciación (Dt) en un periodo se relaciona entonces con el número de
unidades de servicio consumidas en ese periodo. El costo de cada unidad de servicio es
el costo neto del activo dividido entre el total de unidades.
Dt = Unidades consumidas en el año x (B- VS)
Total de unidades de servicio
Problema
Un camión de transporte de cobre tiene un costo neto estimado de S/. 80,000 soles y se
espera que brinde servicios de 300,000 Km. para luego tener el valor residual cero.
Calcule la cantidad de depreciación asignado cuando el camión haya sido usado 45,000
Km.
B = 80,000
Dt = 45,000 (80,000)
30,000
Dt = 12,000
Proceso de Amortización de Costos de los Recursos Naturales
Si usted es dueño de una propiedad minera (distinto de una propiedad personal, puede
ser maquinaria; o de bienes raíces), como petróleo, gas o bosques puede aplicar una
deducción al ir agotando los recursos. “Cualquier inversión de capital en recursos
naturales tiene que recuperarse al ir extrayendo o vendiendo los recursos”.
El proceso de amortización del costo de los recursos naturales en los periodos contables,
se denomina disminución. Amortizar el costo de manera sistemática durante la vida útil
del activo.
Hay 2 formas de calcular la disminución:
a) Disminución por Costos.- El consumo de un recurso natural no renovable para
elaborar productos o servicios se denomina reducción (agotamiento, con uso total de la
reserva). Esta disminución se compensa con una reducción proporcional en las
ganancias derivada del recurso. En teoría, el cargo de reducción por recurso extraído es:
Disminución = Base ajustada de la propiedad Mineral x Nº unidades vendidas
por costos Nº total de unidades recuperables
(Reservas probadas del recurso que posee)
Problema
Si usted compra una zona maderera por S/.280 000 y el valor del terreno era de S/.80
000 (por tanto, la base de la madera o base ajustada de la propiedad es de S/ 200,000).
La zona tiene madera suficiente para producir 2’500,000 Mts de tabla. Se corta 500,000
metros de tabla, determine su previsión de disminución por costos.
Base ajustada = S/. (280 000 – 80 000) = 200,000
Nº total de unidades recuperables = 2’500,000 Mts
Cantidad vendida en el año = 500,000 Mts
Disminución = S/200,000 X 500,000 = S/.40 000
2’500,000
La Provisión por Disminución será S/.40 000
b) Disminución Porcentual.- Dado que la disminución porcentual se basa en la
ganancia y no en el costo de la propiedad, la disminución total de una propiedad puede
exceder el costo de la misma. Para evitar que suceda esto, la provisión anual del método
porcentual no puede exceder el 50% de la ganancia gravable de la propiedad.
Tabla: Provisiones de Disminución Porcentual para Propiedades Mineras
Porcentaje
Pozos petroleros y de gas 15%
Azufre, Uranio, Asbesto, Zn, Mica y otros minerales 22%
Oro, Plata, Cobre, Hierro 15%
Carbón, Miquita, Nac. 10%
Barro y Pizarra para fabricar ladrillo 7.5%
Barro (lija, grava, arena y piedra) 5%
Mayoría de los demás minerales, CO2 14%
DP = Ganancia bruta x Porcentaje
Problema
Una mina de oro tiene un deposito estimado de 300,000 onzas, su valor base es de
$30’000,000 (sin incluir el terreno).
La ganancia bruta de la mina es de $16’425,000 en el año, por la venta de 45,000 onzas
de oro (el precio unitario es de $365 la onza).
Los gastos de extracción ante la disminución son $12’250,000. ¿Calcule la provisión de
disminución porcentual y diga: seria provechoso aplicar la disminución por costos en
lugar de la disminución porcentual?
La Disminución porcentual calculada es:
Gastos en el año = 12’250 000
Ganancia bruta = $ (45 000 * 365) = 16’425,000
Porcentaje de disminución del oro = 15%
Dp = $16’425,000 X 15% = $2’463,750
Ganancia Gravable
Ganancia bruta de la venta 45 000 onzas = 16’425,000
Gastos de extracción = 12’250 000
Ganancia gravable de la mina = 4’175 000
Limitación de deducción * 50%
Deducción máxima por disminución 2’087 500 así, la deducción
porcentual permitida es menor que la disminución porcentual calculada 2’463,750, la
porcentual
Disminución por costos
Base ajustada = $30’000,000
Cantidad vendida en el año = 45,000 Onzas
Volumen total recuperable = 300,000 Onzas
Disminución = $30’000,000 x 45,000
300,000
Disminución = $4’500,000
Respuesta.-Como la ley permite al contribuyente elegir la deducción mayor en un año,
en esta situación seria conveniente aplicar la disminución por costos.
Análisis de Impuestosi
I. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
I.1 El Tributo que se paga al Estado. Fundamentos
Los impuestos son la fuente que provee de los recursos necesarios al Estado.
Esta situación exige fortalecer la actividad económica de las empresas y, regular la
economía, con reformas que transformen la producción y demanda interna en el motor
del crecimiento.
El tributo está basado en razón de la seguridad que el estado proporciona a las
personas y a sus bienes. La teoría del impuesto sostiene que el tributo por su naturaleza
no es exclusivamente una prima de seguro ni el precio de los servicios prestados, sino
una deuda social, cuyos deudores son los ciudadanos por el solo hecho de formar parte de la comunidad social, cuya más alta expresión es el Estado.
I.2 El sistema tributario
El término genérico tributo, comprende los siguientes tres conceptos:
Impuesto
Tributo Tasa
Contribuciones Especiales
a) Impuesto
El impuesto explica el tratamiento básico a las ganancias y pérdidas de capital.
En general las empresas son grabadas sobre el ingreso generado en el proceso de hacer
negocios, mientras que los individuos pagan impuestos sobre salarios, sueldos, regalías
y sobre el producto de inversiones.
b) Contribución Es el tributo cuya obligación tiene como hecho generador, beneficios derivados
de la realización de obras públicas o de actividades estatales.
c) Tasa Es el tributo cuya obligación tiene como hecho generador la prestación efectiva
por el Estado de un servicio público individualizado en el contribuyente. Dentro del
concepto tasa, se encuentra la siguiente sub clasificación:
c.1 Arbitrios. Son tasa que se paga por la prestación o mantenimiento de un
servicio público. Ejemplo: pago de arbitrio por mantenimientos de parques y jardines.
c.2 Derechos. Son tasas que se pagan por la prestación de un servicio
administrativo público o por el uso o aprovechamiento de bienes públicos. Ejemplo: el
monto que se paga por una partida de nacimiento.
c.3 Licencias. Son tasas que gravan a la obtención de autorizaciones específicas
para la realización de actividades de provecho particular sujetas a control o
fiscalización.
I.3 Tipos de Impuestos
En general los impuestos se graban a los ingresos, sobre la propiedad, a las
ventas y al consumo. Estos diferentes tipos impuestos se expresan en:
Impuesto sobre la Producción de los Servicios y la Importación
Impuesto sobre Actividades Económicas
Impuesto sobre Bienes Inmuebles
Impuesto sobre Vehículos de Tracción Mecánica
Impuesto sobre Construcciones y Obras
Impuestos sobre el Incremento de Valor de los Terrenos de Naturaleza Urbana
I.4 El sistema tributario en la economía nacional
El gobierno, a través del Banco Central de Reserva (BCRP) y el Ministerio de
Economía y Finanzas (MEF) controla las políticas monetaria y fiscal de la nación para
influir en el nivel de actividad económica.
La política monetaria influye en la disponibilidad y costo del crédito, y la
política fiscal maneja los ingresos y egresos del Estado.
La Ley Marco del Sistema Tributario Nacional es el Decreto Legislativo N° 771,
vigente a partir del 1 de enero de 1994. La ley señala los tributos vigentes e indica quiénes
son los acreedores tributarios: el Gobierno Central, los Gobiernos Locales y algunas
entidades con fines específicos.
I.5 Relación de algunos impuestos en el Perú
I.5.1 Impuesto al consumo:
a) IGV, aplica el 19% a los bines producidos, y los productos altamente
perecibles y las de primeras necesidades son exoneradas.
b) ISC, grava los artículos suntuarios. Hay tarifas diferenciadas ad-Valoren. Así
tenemos los productos afectos siguientes: Combustibles, licores, gaseosas,
cigarrillos y alimentos importados.
I.5.2 Impuestos a la Renta
Grava a personas naturales y jurídicas (empresas)
I.5.2.1 Impuesto a la Renta a Personas Jurídicas
a) Impuesto a la renta 3º categoría, grava los servicios, la comercialización, la
productividad y servicios educativos.
b) Impuesto a la renta 2º categoría, grava los intangibles (Royalties, patentes,
licencias, marcas, dietas de directores).
I.5.2.2 Impuestos a la Renta a Personas Naturales
a) 1ra Categoría, Impuesto a la Renta.
b) 2da Categoría, receptor de ingresos.
c) 4ta Categoría, trabajo profesional independiente.
d) 5ta Categoría, trabajo personal dependiente.
I.5.3 Impuesto a los negocios internacionales o aranceles.
Es el impuesto aplicado a la importación y exportación, en la actualidad el
arancel nacional a las importaciones es en promedio del 15% (5% - 25 %).
Conceptos básicos de impuestos14
Se presenta a continuación los conceptos que sustentan los diferentes tipos de
impuestos que establece el sistema fiscal en cada país:
1) Impuesto a las ventas. Se asignan sobre la base de compras de bienes y/o
servicios, y son independientes de los ingresos o utilidades brutas. Lo recaudan:
gobiernos estatales, municipales o locales. Estos impuestos se agregan al costo
de los artículos comprados.
2) Impuesto sobre consumos. Son impuestos que se asignan como función de la
venta de ciertos bienes o servicios con frecuencia considerados superfluos y son
por ello independientes de los ingresos o utilidades de una empresa. Aunque por
lo general se cargan al fabricante o proveedor original de los bienes o servicios,
el costo se traslada al comprador.
3) Impuesto a las Utilidades. Son por lo general el tipo más significativo de
impuestos. Se asignan como función de las entradas brutas menos deducciones
lícitas. Los recaudan: gobiernos regionales, la mayoría de gobiernos estatales.
4) Impuesto sobre bienes. Se asignan como función del valor del bien que se
posee, tales como tierra, edificios, equipo, etc. Estos son independientes del
ingreso o utilidad de una empresa. Los recaudan: los gobiernos municipales,
locales y/o estatales.
Tipos de impuestos
a) IMPUESTOS INDIVIDUALES, para 1992
Estado civil del contribuyente Impuesto Gravable por:
a.1. CASADO (declaración conjunta)
De 0 --- 35 800 15%
35 801 --- 86 500 28%
86 501 --- en adelante 31%
a.2. SOLTERO
De 0 --- 21 450 15%
21 451 --- 51 900 28%
51 901 --- en adelante 31%
b) IMPUESTOS CORPORATIVOS, para 1993.
De 0 Ingreso Gravable 50 000 15%
50 001 “ 75 000 25%
75 001 “ 100 000 34%
100 001 “ 335 000 39% (0.34 + 0.05)
335 001 “ 10´000 000 34%
10´000 001 “ 15´000 000 35%
15´000 001 “ 18´333 333 38% (0.35 + 0.03)
14
Hay que destacar que el siguiente análisis está basado en la legislación Norteamericana; pues ellos
procuran incentivar la actividad empresarial.
18´333 334 “ en adelante 35%
El impuesto a las utilidades se grava de la siguiente manera:
15% 50 000 = 7 500
25% 25 000 = 6 250
34% 25 000 = 8 500
39% 235 000 = 91 650
34% 203 000 = 69 020
Terminología básica para los impuestos
a) Ingreso Bruto (IB), es el ingreso total proveniente de fuentes que producen ingresos.
Para las empresas produce ingresos por la actividad principal que realiza; en los
individuos el ingreso bruto consta principalmente de sueldos, salarios, interese,
dividendos, regalías y ganancias de capital.
b) Gastos de Operación (GO), incluyen todos los costos en los que se incurre en las
transacciones de un negocio.
c) Ingreso Gravable (IG), es la cuantía en nuevos soles (S/.) sobre la cual se calculan
los impuestos, así tenemos:
IG = Ingreso Bruto – Gastos – Depreciación
d) Tasa Impositiva (T), es un porcentaje (%) o equivalente decimal del ingreso
gravable debido al impuesto. Es decir:
Impuesto = (IG) x T
e) Utilidad Neta o Ingreso Neto, resulta en general al restar los impuestos sobre la
renta corporativa del ingreso gravable.
CALCULO DE IMPUESTOS
IG = IB - Gastos - Interés sobre la Deuda - Depreciación - Otras Deducciones
IN = IG * (1 - T)
LAS DEDUCCIONES
Sueldo, salarios, renta, prestaciones de los empleados;
Reparaciones, materiales;
Interés, impuestos;
Publicidad, etc.
CASOS ESPECIALES
Pérdidas por incendio y robo;
Contribuciones;
Depreciación y agotamiento;
Interés de bonos;
Gastos de investigación y desarrollo;
Control de contaminación.
Análisis de Equilibrio
Costos
Costos Fijos, Aquellos costos que son utilizados independientemente del nivel de la
producción.
Ejemplo: Planilla de trabajadores, luz, agua, teléfono. Alquiler, costos operativos.
Costos variables,
Ejemplo: materia prima en la producción, insumos.
Costos
Costos
CT = CF + CV
CV
CF
0 Cantidad Producida
Representación de la Producción
PT
PT
Mano de Obra o
Factor variable
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Representación de Ingresos:
Y
Precio: Valor del producto en el mercado
Costo: Gastos de Producción.
Y
CT
PT
Y
C PT
CT
B
D
A
Factor
Punto A:
PT = CT
Punto B y C, representa mayor utilidad
PT = Y
Problema
Históricamente una planta trabaja al 80% de su capacidad con una producción de 14,000
unidades al mes, la demanda actual esta en descenso, utilice la séte información para
determinar el lugar (la cantidad), hasta donde puede reducir la producción;
CF = S/ 75,000 por mes
CV = 2.5 por unidad
Y = S/ 12.00 por unidad
2.- ¿Estimar la utilidad total cuando la producción es de 14,000 unidades?
3.- ¿Estimar el costo variable por unidad al relacionar con los costos fijos en un nivel de
8,000 productos, si el ingreso y los costos fijos permanecen constantes?
1.- PT = CT PT = Y (x)
CT = CF +CV(x)
X(12.00) = CF + CV
12.00 (X) = 75,000 + 2.5 (X)
9.5 (X) = 75,000
X = 7,894.74 (producción mínima)
14,000 _______________ 80%
X _______________ 100%
X = 17,500
Cantidad hasta donde se puede reducir la producción
7,894.74 = 45.11%
17,500
2.- Y-CT
12.00 (14,000) – [75,000 + 2.5 (14,000)]
= 168,000 – (110,000)
= 58,000
3.- PT = X (Y) = 12 (8,000) = 96,000
PT = CF + CV
96,000 = 75,000 + X (8,000)
21,000 = 8,000 (X)
2.625 = X
Punto de Equilibrio entre Dos Alternativas
Problema
Una compañía aeroespacial está evaluando 2 alternativas:
1ª: La compañía de una máquina de alimentación automática, tiene un costo inicial (B)
de S/. 23,000 soles, valor de salvamento de
S/. 2,500 soles y una vida proyectada de 10
años. Una persona manejará la máquina a un costo de y una vida proyectada S/. 12 soles
la hora. La producción esperada es de 8 toneladas/hora. Se espera que el costo anual de
mantenimiento y operación sea de S/. 3,500 soles.
2ª: La máquina alternativa de alimentación anual tiene un costo inicial de igual a S/. 8,000 soles, no tiene un valor de salvamento esperado, una vida de 5 años y una
producción de 6 toneladas/hora. Sin embargo se requerirán 3 trabajadores a S/. 8 soles la
hora c/u. La máquina tendrá un costo anual de mantenimiento y operación de S/. 1,500 soles. Se espera que todo el capital invertido genere un retorno de mercado del
10% anual antes de impuestos.
1. ¿Cuántas toneladas/año deben terminarse con el fin de justificar el mayor costo de
compra de la máquina de alimentación automática?
2. Si se anticipa un requerimiento de terminar 2,000 toneladas/año ¿ Cual máquina debe
de comprarse?
Datos:
Alimentación Automática
B = S/. 23,000
2,500
VS = S/. 2,500
CAM = S/. 3,500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n = 10
t i = 10%
Costo de Producción:
23,000
S/. 12 x 1 Hora x X Ton = 1.5 X
Hora 8 Ton año
Alimentación manual
B = S/. 8,000
VS = 0
CAM = S/. 1,500
n = 5
t i = 10%
0 1 2 3 4 5
Costo de Producción:
S/. 12 x 3 x 1 Hora x X Ton = 4 X
Hora 6 Ton año 8,000
1. VA a = -23000 (A/P, i, 10) + 2500 (A/F, i, 10) -3500 – 1.5 X
= - 23000 (0.16275) + 2500 (0.06275) – 3500 – 1.5 X
= -7086.375 – 1.5 X
VA m = -8000 (A/P, i, 10) -1500 – 4 X
= - 8000 (0.26380) – 1500 – 4 X
= -3610.4 – 4 X
Igualando:
-7086.375 – 1.5 X = -3610.4 – 4 X
2.5 X = 3475.975
X = 1390.39 Ton/año
2. Maquina A a = -7086.375 – 1.5 X = -7086.375 – 1.5 (2000) = -10,086.375
Maquina A m = -3610.4 – 4 X = -3610.4 – 4 (2000) = -11,610.4
Debe de comprarse la Maquina de Alimentación Automática.
Métodos de Financiamiento de Proyectos
Si una compañía no dispone de efectivo suficiente para efectuar una inversión, existen
dos opciones generales para financiar su proyecto:
I. Mediante el financiamiento de capital contable (o patrimonio). Puede presentarse de
dos maneras: (1) usando ganancias retenidas o (2) emitiendo acciones.
II. Financiamiento de Deuda. Este tipo de financiamiento incluye préstamos a corto
plazo y la venta de bonos a largo plazo de los cuales se obtiene dinero prestado de los
inversionistas a plazo fijo.
I. El Financiamiento de capital Contable
La compañía debe de decidir cuanto dinero conseguir, el tipo de valores que emitirá
(acciones comunes o preferenciales) y la base para la asignación de precio de la
emisión.
Una vez que la compañía ha decidido el tipo de acciones a emitir, deberá estimar los
costos de emisión, los gastos que incurrirá en relación con la emisión, como cuotas de
banqueros de inversión, honorarios de abogados, costos de contadores y costos de
impresión y grabado.
Por lo general el banquero de inversión comprará las acciones a la compañía a un precio
de descuento inferior al precio al cual se ofrecerá al público (el descuento generalmente
representa los costos de emisión). Si la compañía ya es pública, el precio de oferta por
lo general se basa en el precio de las acciones existentes en el mercado. Si la compañía
se abre por primera vez al público, no habrá precio establecido y los banqueros de
inversión tendrán que estimar el precio de mercado esperado para las ventas de las
acciones.
Ejemplo1. La compañía espera adquirir una penetración considerable en el mercado
con el nuevo producto; para producirlo, requiere nuevas instalaciones, las cuales
constarán 10 millones de soles.
La compañía ha decidido obtener esta cantidad emitiendo acciones comunes. Los
banqueros de inversión han informado a la gerencia que debe de asignar un precio de 28
soles a la nueva emisión.
Los costos de emisión serán el 6% del precio de venta ¿Cuentas acciones debe vender
la compañía para obtener 10 millones de nuevos soles después de los gastos de emisión?
(0.06) (28) (X) = S/. 1.68 X
Para obtener 10 millones de nuevos soles netos, se establece la siguiente relación:
28 X – 1.68 X = 10 000 000
26.32 X = 10 000 000
X = 379 940 acciones
Los costos de emisión de todas las acciones sería:
1.68 (379 940) = S/. 638 300
II Financiamiento de Deuda
Al emplear la opción de financiamiento de deuda, en nuestros análisis es necesario
separar los pagos de interés de la reposición del préstamo. Hay dos métodos comunes de
financiamiento de deuda.
1. Financiamiento con bonos. No hay pago del capital; sólo se pagan los intereses
anualmente (o semestralmente), y el capital se paga de golpe al vencer el bono. El
financiamiento con bonos es similar al financiamiento con bonos de emisión por la
venta de bonos.
2. Préstamo a plazo. Existe una reposición igual, en la cual la suma de los pagos y los
pagos de capital es uniforme; los pagos de interés disminuyen mientras aumentan los
pagos de capital durante la vida del préstamo.
Ejemplo 2.
Financiamiento con bonos. El costo de emisión es de 1.407% de la cuantía de 10
millones de nuevos soles. Los banqueros de inversión han indicado la emisión a 5 años
con valor nominal de 1 000 soles puede venderse a 995 soles la unidad. El bono
requeriría pagos anuales de interés al 12%.
Préstamo a plazo. Puede obtenerse un préstamo bancario por 10 millones de nuevos
soles con una tasa anual de interés de 11%, durante 5 años (con 5 pagos anuales)
a) ¿Cuánto bonos con valor a la par de 1 000 soles tendría que vender para obtener 10
millones de nuevos soles?
b) ¿Cuáles son los pagos anuales (capital e intereses) del bono?
c) ¿Cuáles son los pagos anuales (capital e intereses) del préstamo a plazo?
a) (0.01407) (1000) X = 14.07 X
1000 X – 14.07 X = 10 000 000
X = 10 142.71 = 10 143 Bonos.
b) I = Vb V = 1,000
C b = 12%
C = 1
I = 1000(0.12) = S/.120 que paga cada año.
1
c) P (A/P, i, 5)
A = P i(1+i)n
(1+i) n
-1
A = 10 000000 0.11(1+0.11)5
(1+0.11) 5
-1
A = 10 000000 0.185356
0.685058
A = 10 000000 (0.27057)
A = 2’ 705 700
Análisis de unidades Monetarias Corrientes
Problema
Un pequeño fabricante piensa invertir en la producción de sensores y sistemas de
control que han sido solicitados por una compañía deshidratadora de frutas. Este
contrato se realizará bajo los términos de un contrato propietarios, el cual concluiría
dentro de 5 años. Se espera que el proyecto genere los siguientes flujos de efectivo en
soles corrientes:
n Flujos de efectivo Neto en soles (S/.) Corrientes
0 -75 000
1 32 000
2 35 700
3 32 800
4 29 000
5 58 000
1. ¿A Cuanto asciende los soles equivalentes del año cero (soles constantes), si la tasa
general de inflación (f) es del 5% anual?
2. ¿Calcule el valor actual de estos flujos de efectivo si la tasa de interés es del 12%?
1.
–75 000 + 32 000 (P/F, i, 1) + 35 700 (P/F, i, 2) + 32 800 (P/F, i, 3) + 29 000 ((P/F, i, 4)
+ 58 000 (P/F, i, 5)
-75000 + 32 000 (0.9524) + 35 700 (0.9070) + 32 800 (0.8638) + 29 000 (0.8227) +
58 000 (0.7835)
-75 000 + 160 490.64
= 85 490.64
2.
d = 12%
j = 5%
i = d + j + dj
i = 0.12 + 0.05 + (0.12x0.05)
i = 0.176 = 17.6%
P = 32 000 = 27 210.88
(1+0.176)1
1
P = 35 700 = 25 813.90
(1+0.176)2
P = 32 800 = 20 167.49
(1+0.176)3
P = 29 000 = 15 162.43
(1+0.176)4
P = 58 000 = 25 786.44
(1+0.176)5
= -75 000 + 27 210.88 + 25 813.90 + 20 167.49 + 15 162.43 + 25 786.44
= 39 141.14
1
1
1
1
Análisis de Proyectos con Base en el Costo-Eficacia
La alternativa preferida será aquella que produzca la eficacia máxima, con cierto nivel
de costo o el costo mínimo para un nivel de eficacia fija, en la cual las alternativas
competidoras tienen los mismos objetivos.
Procedimiento General para un Estudio Costo- Eficacia
Un procedimiento típico de análisis comprende los siguientes pasos:
Paso 1: Establecer los objetivos.
Paso 2: Identificar las restricciones impuestas al alcance de los objetivos Ej.
Presupuesto o Peso.
Paso 3: Identificar todas las alternativas factibles.
Paso 4: Identificar la tasa de interés social.
Paso 5: Determinar el costo equivalente del ciclo de vida de cada alternativa.
Paso 6: Establecer la base para el desarrollo de un índice costo-eficacia. Para ello hay 2
estrategias:
1. El método Costo Fijo.
2. El método de Eficacia Fija.
En el método de costo fijo se determina la cantidad de eficacia lograda con un costo
determinado; en el método de eficacia fija se determina el costo para alcanzar un lugar
predeterminado de eficacia.
Paso 7: Calcular el índice de costo-eficacia para cada alternativa con base en le criterio
elegido en el paso 6.
Paso 8: Seleccionar la alternativa con el mayor índice de costo-eficacia.
Evaluación de Múltiples Alternativas de Inversión
Formas de relación de proyectos:
a) : Los Proyectos C y D son independientes
b) : Los Proy. A y B son mutuamente excluyentes
c) : Los Proyectos F es contingente del proyecto E
Aceptar (1)
Rechazar (0)
Alternativa XA XB
1 1 0
2 0 1
3 0 0
Problema
Considere 5 proyectos de inversión siguientes: Son flujos de efectivos estimados.
Suponga que los proyectos A y B son mutuamente exclusivos, al proyecto c es
independiente, el proyecto D es contingente del proyecto C, el proyecto E es
contingente del proyecto B.
Proyecto 0 1 2 3
A -100 50 50 50
B -200 50 100 200
C -100 30 80 120
D -300 100 100 100
E -200 100 100 150
Use la medición de valor actual (valor presente) para seleccionar la mejor alternativa
con una tasa de retorno mínima atractiva del 12%.
C D
A B
E F
Grupo 1 Grupo 2
Alternativa XA XB XBE Alternativa XC XCD
1 0 1 0 1 1 0
2 1 0 0 2 0 1
3 0 0 1 3 0 0
4 0 0 0
Alternativa Proyecto 0 1 2 3 Vp (12%)
1 A -100 50 50 50 20.095
2 C -100 30 80 170 111.569
3 B -200 50 100 200 66.725
4 A, C -200 80 130 170 96.074
5 B, C -300 80 180 220 71.524
6 B, E -400 150 200 350 142.505
7 C, D -400 130 180 220 16.169
8 B, E, C -500 180 280 470 218.484
9 C, D, B -400 180 280 420 282.994
10 C, D, A -500 180 270 76.124
11 B. E, C, D -800 280 380 570 158.674
12 0 0 0 0 0
VA = -100 + 50 (P/F, 12%,1) + 50 (P/F, 12%,2) + 50 (P/F, 12%,3)
VA = -100 + 50 (0.8929) + 50 (0.7972) + 50 (0.7118)
VA = 20.095
A B
C
D C
E B
A B E
D C
VC = -100 + 30 (P/F, 12%,1) + 80 (P/F, 12%,2) + 170 (P/F, 12%,3)
VC = -100 + 30 (0.8929) + 80 (0.7972) + 170 (0.7118)
VC = 111.569
VB = -200 + 50 (P/F, 12%,1) + 100 (P/F, 12%,2) + 200 (P/F, 12%,3)
VB = -200 + 50 (0.8929) + 100 (0.7972) + 200 (0.7118)
VB = 66.725
V A,C = -200 + 80 (P/F, 12%,1) + 130 (P/F, 12%,2) + 170 (P/F, 12%,3)
V A,C = -200 + 80 (0.8929) + 130 (0.7972) + 170 (0.7118)
V A,C =96.074
VB,C = -300 + 80 (P/F, 12%,1) + 180 (P/F, 12%,2) + 220 (P/F, 12%,3)
VB,C = -300 + 80 (0.8929) + 180 (0.7972) + 220 (0.7118)
VB,C = 71.524
V B,E = -400 + 150 (P/F, 12%,1) + 200 (P/F, 12%,2) + 350 (P/F, 12%,3)
V B,E = -400 + 150 (0.8929) + 200 (0.7972) + 350 (0.7118)
V B,E = 142.505
V C,D = -400 + 130 (P/F, 12%,1) + 180 (P/F, 12%,2) + 220 (P/F, 12%,3)
V C,D = -400 + 130 (0.8929) + 180 (0.7972) + 220 (0.7118)
V C,D = 16.169
V B,E,C = -500 + 180 (P/F, 12%,1) + 280 (P/F, 12%,2) + 470 (P/F, 12%,3)
V B,E,C = -500 + 180 (0.8929) + 280 (0.7972) + 470 (0.7118)
V B,E,C = 218.484
V C,D,B = -400 + 180 (P/F, 12%,1) + 280 (P/F, 12%,2) + 420 (P/F, 12%,3)
V C,D,B = -400 + 180 (0.8929) + 280 (0.7972) + 420 (0.7118)
V C,D,B =282.894
V C,D,A = -500 + 180 (P/F, 12%,1) + 280 (P/F, 12%,2) + 270 (P/F, 12%,3)
V C,D,A = -500 + 180 (0.8929) + 280 (0.7972) + 270 (0.7118)
V C,D,A = 76.124
V B,E,C,D = -800 + 280 (P/F, 12%,1) + 380 (P/F, 12%,2) + 570 (P/F, 12%,3)
V B,E,C,D = -800 + 280 (0.8929) + 380 (0.7972) + 570 (0.7118)
V B,E,C,D = 158.674
Se elige la alternativa 9 del proyecto C, D, B
BIBLIOGRAFÍA:
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2. ALIAGA VALDEZ, Carlos (2002) Matemáticas Financieras. Ed.
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Edición, por Mc Graw-Hill Interamericana, S.A., Bogitá, D.C., Colombia.
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