Ingenieria de Control II - 04 Dominio Frecuencia en SISO

DODODODOMINIO FRECUENCIAMINIO FRECUENCIAMINIO FRECUENCIAMINIO FRECUENCIA 1111 Ing. John Mamani MachacaIng. John Mamani MachacaIng. John Mamani MachacaIng. John Mamani Machaca

DominioDominioDominioDominio frecuenciafrecuenciafrecuenciafrecuencia 4.1. INTRODUCCIÓN:

En la práctica el desempeño de un sistema de control se mide más realísticamente por sus características en el dominio del tiempo. La razón es que el desempeño de la mayoría de los sistemas de control se juzga con base en la respuesta del tiempo debido a ciertas señales de prueba. Esto contrasta con el análisis y diseño de sistemas de comunicación para los cuales la respuesta en frecuencia es la de mayor importancia, ya que la mayoría de las señales a ser procesadas son de tipo senoidal o están compuestas por componentes senoidales. En el Cap. 1 se aprendió que el dominio tiempo de un sistema de control es normalmente más difícil de determinar analíticamente, especialmente para sistemas de orden superior. En problemas de diseño no hay un método unificado para llegar a un sistema diseñado que cumpla con las especificaciones de desempeño en el dominio del tiempo, tales como sobrepaso máximo, tiempo de levantamiento, tiempo de retardo, tiempo de asentamiento, etc. Por otro lado, en el dominio de la frecuencia se tiene un conjunto de métodos gráficos que no está limitado a sistemas de bajo orden. Es importante darse cuenta que hay un correlación entre el desempeño del dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia de un sistema lineal, de tal forma que las propiedades en el dominio del tiempo de un sistema se pueden predecir con base en las características en el dominio de la frecuencia. El dominio de la frecuencia es también más conveniente para mediciones de la sensibilidad al ruido del sistema así como de variaciones en los parámetros. Con esto en mente, se puede considerar como la motivación principal del diseño y análisis de sistemas de control en el dominio de la frecuencia a la conveniencia y a la disponibilidad de herramientas analíticas. Otra razón es que presenta un punto de vista alterno para problemas de sistemas de control, lo cual, a menudo, proporciona información valiosa o crucial para el análisis y diseños complicados de sistemas de control. Aún más, el conducir un análisis en el dominio de la frecuencia de un sistema de control lineal, no implica que el sistema esté sujeto solamente a entradas senoidales. Esto puede nunca ser. En lugar de esto, los estudios de respuesta en frecuencia nos permitirán proyectar el desempeño del dominio del tiempo de un sistema.

4.2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

En un sistema lineal si la entrada es una onda senoidal f(t) de frecuencia ω" ", su salida

también será una función senoidal con la misma frecuencia pero tendrá una amplitud diferente y estará adelantando o retrasado respecto a la onda de entrada el cual origina una diferencia angular de fase φ" " , entre la entrada y la salida.

Ing. Ing. Ing. Ing. John E. Mamani MachacaJohn E. Mamani MachacaJohn E. Mamani MachacaJohn E. Mamani Machaca 2222 INGENIERÍA DE CONTROL IIINGENIERÍA DE CONTROL IIINGENIERÍA DE CONTROL IIINGENIERÍA DE CONTROL II

En este caso la función de transferencia está representado por la relación de amplitud (AR) máximo de la salida sobre la relación de amplitud máxima de la entrada. Considere la función de transferencia de un sistema lineal SISO como G(s); entonces la transformada de Laplace de la entrada y salida se relacionan a través de:

LLLLLLLLLLB(s) G(s)A(s) (4.1)====

Para análisis en estado senoidal permanente, se remplaza " s " por ω" j ", y la ecuación

(4.1) se convierte en:

ω ω ω LLLLLLLLB(j ) G(j )A(j ) (4.2)====

Al escribir la función ωB(j ) como:

ω ω ωLLLLLLLB(j ) B(j ) B(j ) (4.3)= ∠= ∠= ∠= ∠

Con definiciones similares para ωM(j ) y ωA(j ) , la ecuación (4.2) nos lleva a la relación

de magnitud entre la entrada y la salida:

ω ω ω LLLLLLB(j ) G(j ) A(j ) (4.4)====

La relación de fase es:

ω ω ω LLLLLB(j ) G(j ) A(j ) (4.5)∠ = ∠ + ∠∠ = ∠ + ∠∠ = ∠ + ∠∠ = ∠ + ∠

PROCESO Entrada Salida

ω�f(t) Asen( t)==== ω φ�y(t) Bsen( t )= += += += +

A

B

φπ2

ω�f(t) Asen( t)====�f(t)

ω� t

ω φ�y(t) Bsen( t )= += += += +

ω

φ

�Donde :A=amplitud de onda senoidal de entradaB=amplitud de onda senoidal de salida=frecuenciat=tiempo=desfase


Por lo tanto, para las señales de entrada y salida descritas anteriormente, la relación de amplitud y el ángulo de fase de salida son: Donde: ωG(j ) C jD= += += += +

Magnitud ó relación de amplitud: ωAR G� (j )==== �B

ARA

==== 2 2AR C� D= += += += +

Ángulo de fase: φ ωG )� (j= ∠= ∠= ∠= ∠ φ 1 Bg

A� t −−−− ====

φ 1 D

gC

� t −−−− ====

La relación de amplitud y el ángulo de fase cambian con el cambio de la frecuencia

ω" ", los métodos de ambos análisis de frecuencia consiste en como determinar " AR " y

φ" " , cuando ω" " varia de cero a infinito ω( 0; )→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞

Nota: AR<1 : Estable AR=1 : Meta estable AR>1 : Inestable

EJEMPLO 01

Para un sistema que tiene una función de transferencia 2

G(s)s 1

====++++

Determinar a) la relación de amplitud " AR " y b) el ángulo de fase de salida φ" "

SoluciónSoluciónSoluciónSolución

Al remplazar " s " por ω" j " se obtiene

ωω2

G(j )j 1

====++++

Al multiplicar numerador y denominador por ω(j 1)−−−− se obtiene

ωωω ω2(j 1)

G(j )(j 1)(j 1)

−−−−====+ −+ −+ −+ −

ωωω2

2 j2G(j )

1

−−−−====++++

ωωω ω2 22 2

G(j ) j 1 1

−−−−= += += += ++ ++ ++ ++ +

A B


a) La relación de amplitud es:

2 2AR A B= += += += +

ωω ω

2 2

2 22 2

AR1 1

−−−−= += += += + + ++ ++ ++ +

ω2

2AR

1====

++++

b) Ángulo de fase es:

φ 1 Btg

A−−−− ====

ωωφ

ω

21

2

2

1tg2

1

−−−−

−−−− ++++ ==== ++++

(((( ))))φ ω1tg −−−−= −= −= −= −

4.3. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Un sistema de primer orden tiene una función de transferencia de la forma

τLLLLLLLL

kG(s) (4.6)

1 s====

++++

Donde τ" "

es la constante de tiempo. La función de respuesta en frecuencia, ωG(j ), se

puede obtener remplazando " s " por ω" j " . Por lo tanto

ωωτ

LLLLLLLk

G(j ) (4.7)1 j

====++++

Al multiplicar el numerador y el denominador de la ecuación por ωτ(1 j )−−−− se obtiene

ωτω

ωτ ωτk(1 j )

G(j )(1 j )(1 j )

−−−−====+ −+ −+ −+ −

ωτωω τ2 2

k jkG(j )

1

−−−−====++++


La ecuación es ahora de la forma (x jy)++++ y la relación de amplitud " AR " es:

2 2AR A B= += += += +

ωτω τ ω τ

2 2

2 2 2 2k k

AR1 1

−−−−= += += += + + ++ ++ ++ +

ω τLLLLLLLLLL

2 2

kAR (4.8)

1====

++++

El ángulo de fase es:

φ 1 Btg

A−−−− ====

ωτω τφ

ω τ

2 21

2 2

k

1tgk

1

−−−−

−−−− ++++ ==== ++++

φ ωτ LLLLLLLLL1tg ( ) (4.9)−−−−= −= −= −= −

EJEMPLO 02

La función de transferencia para un sistema (un circuito eléctrico con un resistor en serie y un capacitor a través del cual se toma la salida) es

kG(s)

RCs 1====

++++

¿Cuál es: a) la función de respuesta en frecuencia, ωG(j ); b) la relación de amplitud

" AR " y el ángulo de fase de salida φ" " ?


a) El sistema es de primer orden con una constante de tiempo τ" ", de RC. De esta

manera, la función de respuesta en frecuencia será de la siguiente forma.

ωω1

G(j )1 j RC

====++++

ωτωω τ ω τ2 2 2 2k k

G(j ) j 1 1

−−−−= += += += ++ ++ ++ ++ +

A B


b) La relación amplitud es

ω2 2 2

1AR

1 R C====

++++

El ángulo de fase es

φ ω1tg ( RC)−−−−= −= −= −= −

4.4. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Un sistema de segundo orden tiene una función de transferencia de la forma

τ ζτLLLLLLL

2 2

kG(s) (4.10)

s 2 s 1====

+ ++ ++ ++ +

Si: τωn

1==== entonces la ecuación (4.10) se convierte en

ω

ζω ωLLLLLLL

2n

2 2n n

kG(s) (4.11)

s 2 s====

+ ++ ++ ++ +

Donde ωn" " es la frecuencia angular natural y ζ" ", el factor de amortiguamiento

relativo. En estado senoidal permanente, ωs j ,==== la ecuación (4.11) se convierte en:

ωω

ω ζω ω ω

2n

2 2n n

kG(j )

(j ) 2 (j )====

+ ++ ++ ++ +

Al dividir el numerador y el denominador de la ecuación anterior por ω2n. Se obtiene

ωω ω ζ ω ω

LLLLL2

n n

kG(j ) (4.12)

1 j2( ) ( )====

+ −+ −+ −+ −

Se puede simplificar la ecuación (4.12) al hacer que ω ωnu .==== Entonces la ecuación

(4.12) se convierte en:

ζLLLLLLLLL

2k

G(ju) (4.13)1 j2u u

====+ −+ −+ −+ −


La relación de amplitud es:

ζLLLLLLL

2 2 2

kAR (4.14)

(1 u ) (2 u)====

− +− +− +− +

Y el ángulo de fase es:

ζφ LLLLLLLLL1

2

2 utg (4.15)

1 u

−−−− −−−−==== −−−−

Nota:

ζ 1<<<< : Sub amortiguado

ζ 1==== : Críticamente amortiguado

ζ 1>>>> : Sobre amortiguado

4.5. SISTEMAS EN SERIE Si un sistema consta de varios elementos en serie, como en la figura, entonces la función de transferencia, G(s), del sistema es el producto de la funciones de

transferencia de los elementos en serie.

L1 2 3G(s) G (s)G (s)G (s)====

Por lo tanto, " s "

se remplaza por ω" j "

ω ω ω ω L1 2 3G( ) G ( )G ( )G (j j j j )====

Puesto que se ω1G (j ) puede representar mediante una ecuación como

ω ω φ1 1 1j jG ( ) G ( )= ∠= ∠= ∠= ∠

Y de manera similar para las otras funciones, entonces

φ φω ω ω ω φ1 1 2 2 3 3G( ) G ( ) G ( ) G ( )j j j j= ∠ ∠ ∠= ∠ ∠ ∠= ∠ ∠ ∠= ∠ ∠ ∠

Entrada1G (s) 2G (s) 3G (s)

f(t) 1y (t) 2y (t) y(t)

Salida 1 Salida 2 Salida


ω ω ω ω φ φ φ1 2 3 1 2 3G( ) G ( ) G ( ) Gj j j j( ) ( )= ∠ + += ∠ + += ∠ + += ∠ + +

La relación de amplitud es:

ω ω ω ω L1 2 3G( ) G ( ) G ( ) G (j j j j )====

L1 2 3AR AR AR AR====

LLLLLLLLL

n

ii 1

AR AR (4.16)====

==== ∏∏∏∏

Y en ángulo de fase es:

φ φ φ φ L1 2 3= + += + += + += + +

φ φ LLLLLLLLLL

n

ii 1

(4.17)====

==== ∑∑∑∑

EJEMPLO 03

¿Cuál es la magnitud y la fase en dominio frecuencia de un sistema con la siguiente función de transferencia?

1G(s)

(3s 2)(s 1)====

+ ++ ++ ++ +


El sistema consta de dos elementos en serie, uno con una función de trasferencia de

1 (3s 2)++++ y el otro con 1 (s 1)++++ . Cada sistema es de primer orden, de esta manera, el

resultado obtenido para los sistemas se puede usar para cada elemento por separado.

11

G (s)(3s 2)

====++++

ω ωωω ω ω ω ω

1 2 2

2 j31 2 3G (j ) j

3(j ) 2 (2 j3 )(2 j3 ) 4 9 4 9

−−−− −−−−= = = += = = += = = += = = ++ + −+ + −+ + −+ + − + ++ ++ ++ +

Por lo tanto

ωω

1 12

1AR G (j )

4 9= == == == =

++++

ωφ 11

3tg

2−−−− −−−− ====


Para el segundo sistema

21

G (s)s 1

====++++

ω ω ωωω ω ω ω ω ω

2 2 2 2

1 j 1 j1 1G (j ) j

j 1 (1 j )(1 j ) 1 1 1

− −− −− −− − −−−−= = = = += = = = += = = = += = = = ++ + −+ + −+ + −+ + − + + ++ + ++ + ++ + +

Por lo tanto

ωω

2 22

1AR G (j )

1= == == == =

++++

φ ω12 tg ( )−−−−= −= −= −= −

De este modo, para los dos elementos en serie, da por resultado

ωω ω2 2

1 1AR G(j )

4 9 1

= == == == = + ++ ++ ++ +

ωφ ω1 13tg tg ( )

2− −− −− −− −−−−− = + −= + −= + −= + −

4.6. DIAGRAMAS DE BODÉ

Diagramas de Bode o Diagramas logarítmicos es una función de transferencia senoidal puede representarse mediante dos gráficas distintas: una que ofrece la magnitud "AR" contra la frecuencia ω" " y otra que muestra el ángulo de fase (en grados) φ" " contra la

frecuencia ω" " .

La representación común de la magnitud logarítmica de ωG(j ) es ω20log G(j ) ó

20 log(AR), en donde la base del logaritmo es 10.

La unidad que se usa en esta representación de la magnitud es el decibel, por lo general abreviado dB. La ventaja principal de usar los diagramas de Bode es que la multiplicación de magnitudes se convierte en adición. Además, cuenta con un método simple para trazar una curva aproximada de magnitud logarítmica. Se basa en aproximaciones asintóticas. Esta aproximación, mediante asíntotas (líneas rectas), es suficiente si sólo se necesita información general sobre la característica en dominio frecuencia. En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o

décadas. Una octava es una banda de frecuencia de ω1 a ω22 , en donde ω1 es

cualquier frecuencia. Una década es una banda de frecuencia de ω1 a ω110 , en

donde, otra vez, ω1 es cualquier frecuencia.


ALGUNOS DIAGRAMAS DE BODE a) Sistema de ganancia pura

Tiene como función de transferencia: G(s) k====

El "AR" y φ" " es:

AR k==== φ 0º====

Para dicho sistema la magnitud en decibeles es

AR 20log(k)====

Gráfica del sistema de ganancia pura

b) Sistema de capacitancia pura

Tiene como función de transferencia: k

G(s)s

====

Magnitud en dB

20 log(AR)

ω(rad/s)100101

20 log(k)

Fase

φ

ω(rad/s)100101

0.10

0.10

90º

90º−−−−


El "AR" y φ" " es:

ωk

AR ====

φ 90º= −= −= −= −


ωωk

AR 20log 20logk 20log = = −= = −= = −= = −

Gráfica del sistema de capacitancia pura

c) Sistema de atraso de primer orden

Tiene como función de transferencia: τk

G(s)s 1

====++++

El "AR" y φ" " es:

ω τ2 2

kAR

1====

++++

φ ωτ1tg ( )−−−−= −= −= −= −

Magnitud en dB

20 log(AR)

ω(rad/s)100101

Fase

φ

ω(rad/s)100101

0.10

0.10

90º

90º−−−−

k



ω τω τ

2 2

2 2

kAR 20log 20logk 20log 1

1

= = − += = − += = − += = − + ++++

Gráfica del sistema de atraso de primer orden

d) Sistema de adelanto de primer orden

Tiene como función de transferencia: τG(s) k( s 1)= += += += +

El "AR" y φ" " es:

ω τ2 2AR k 1= += += += +

φ ωτ1tg ( )−−−−====


ω τ ω τ2 2 2 2AR 20log k 1 20logk 20log 1 = + = + += + = + += + = + += + = + +

Magnitud en dB

20 log(AR)

ω(rad/s)

Fase

φ

ω(rad/s)

0

0

90º−−−−

k

τ0.1/ τ1/ τ10/


Gráfica del sistema de adelanto de primer orden

e) Sistema de atraso de segundo orden

Tiene como función de transferencia:

τ τζ2 2k

G(s)s 2 s 1

====+ ++ ++ ++ +

El "AR" y φ" " es:

ω ω ζ ω ω2 22

n n

kAR

1 ( / ) 2 ( / )

==== − +− +− +− +

ζ ω ωφ

ω ω1 n

2n

2 ( / )tg

1 ( / )

−−−− −−−− ==== −−−−

Magnitud en dB

20 log(AR)

ω(rad/s)

Fase

φ

ω(rad/s)

0

0

90º

k

τ0.1/ τ1/ τ10/



ω ω ζ ω ω2 22

n n

kAR 20log

1 ( / ) 2 ( / )

====

− +− +− +− +

ω ω ζ ω ω2 22

n nAR 20logk 20log 1 ( / ) 2 ( / ) = − − += − − += − − += − − +

Gráfica de sistema del atraso de segundo orden

Magnitud en dB

0

k

ω ωn/

0º

10

90º

180º

ω ωn/

1050.2

Fase

1

ζ 0.1====

ζ 0.2====

ζ 0.3====

ζ 0.5====

ζ 0.7====

ζ 1.0====

ζ 0.1====

ζ 0.2====

ζ 0.3====

ζ 0.5====

ζ 0.7====

ζ 1.0====

Asíntotas


f) Sistema de retraso o tiempo muerto

Tiene como función de transferencia: αsG(s) e−−−−====

El "AR" y φ" " es:

AR 1==== φ αω= −= −= −= −


AR 20 log1 0= == == == =

Gráfica del sistema de retraso o tiempo muerto

EJEMPLO 04

Dibuje los diagramas de Bode para la siguiente función de transferencia:

22.5

G(s)s(s 3s 25)

====+ ++ ++ ++ +

Magnitud en dB

20 log(AR)

Fase

φ

ω(rad/s)1001010.10

60º−−−−

ω(rad/s)1001010.10



Al remplazar " s " por ω" j " se obtiene

ωω ω ω2

2.5G(j )

(j ) (j ) 3(j ) 25====

+ ++ ++ ++ +

Para evitar errores posibles al trazar la curva de magnitud logarítmica, es conveniente escribir ωG(j ) en la siguiente forma normalizada.

ωω ωω

2

0.1G(j )

(j ) 3(j )(j ) 1

25 25

====

+ ++ ++ ++ +

Esta función se compone de los factores siguientes:

0.1, ω 1(j ) ,−−−− ω ω

12(j ) 3j 1

25 25

−−−−

+ ++ ++ ++ +

La función de transferencia de ωG(j ) 0.1==== es una ganancia constante. La

magnitud es una constante de 20log0.1 20 log10 20dB.= − = −= − = −= − = −= − = − La fase constante

está en 0º.

La función de transferencia de ω ω 1G(j ) (j )−−−−==== describe un sistema que tiene un

polo en el origen. La magnitud tiene una pendiente de 20dB década−−−− de

frecuencia y el valor de 0dB cuando ω 1rad s.==== La fase es una constante en

90º−−−− .

La función de transferencia ωω ω

12(j ) 3j 1G

5( )

2j

25

−−−−

+ ++ ++ ++ +

==== se puede escribir como

ω ω ζω ω

12

n n

jj2 1

−−−− + ++ ++ ++ +

con ωn 5rad/s==== y ζ 0.3.==== De este modo, el punto

de quiebre es cuando ω ωn 5rad/s.= == == == = La asíntota para el angulo de fase pasa por

90º−−−− en el punto de quiebre; 0º es en (((( ))))ω ωn 0.2,==== es decir, ω 1rad/s==== y

180º−−−− en (((( ))))ω ωn 5,==== o sea, ω 25rad/s;==== al sumar estos tres diagramas se

obtiene el diagrama requerido.


Magnitud en dB

Fase

ω (rad/s)1 10 100

0.1Punto de quiebre en 5

20

0

20−−−−

40−−−−

60−−−−

80−−−−

100−−−−

ωG( )j 0.1====

ω ω 1G( ) (j j )−−−−====

ωω ω12(j ) 3

j 1G5

( )2

j25

−−−−

+ ++ ++ ++ +

====

ωω ω ω2

2.5G(j )

(j ) (j ) 3(j ) 25====

+ ++ ++ ++ +

ω (rad/s)1 10 1000.10

90º−−−−

180º−−−−

270º−−−−

ωG( )j 0.1====

ω ω 1G( ) (j j )−−−−====

ωω ω12(j ) 3

j 1G5

( )2

j25

−−−−

+ ++ ++ ++ +

====

ωω ω ω2

2.5G(j )

(j ) (j ) 3(j ) 25====

+ ++ ++ ++ +


4.7. DIAGRAMAS DE NYQUIST Después de la aparición del diagrama de Bode, debido a la dificultad que presentaba estas en sus gráficas; Nyquist ideo otra forma de graficar la magnitud "AR" y el ángulo de fase φ" " en un solo gráfico, por ello utilizo el plano polar ωG(j ) donde su gráfica

φAR f( )==== , donde ω" " varia desde cero "0" hasta infinito " "∞∞∞∞ .

En las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj (en el sentido de las manecillas) a partir del eje real positivo. La figura contiene un ejemplo de dicho diagrama. Todos los puntos de la traza polar de ωG(j ) representan el punto terminal de un vector en un valor

determinado de ω" " . En el diagrama de Nyquist, es importante mostrar la graduación de la frecuencia del lugar geométrico. Las proyecciones de ωG(j ) en los ejes real e

imaginario son sus componentes real e imaginaria. La magnitud "AR" y el ángulo de fase φ" " deben calcularse directamente para cada frecuencia ω" " con el propósito de construir trazas polares. Una ventaja de usar una traza polar es que representa, en una sola gráfica, las características de la respuesta en frecuencia de un sistema en el rango de frecuencia completo. Una desventaja es que la traza no indica en forma clara la contribución de todos los factores individuales de la función de transferencia en lazo abierto.

Real

Imaginario

ω = ∞= ∞= ∞= ∞

ω1

ω2

ω3

ω 0====

ωG(j )[[[[ ]]]]ωIm G(j )

[[[[ ]]]]ωRe G(j )

φ


ALGUNOS DIAGRAMAS DE NYQUIST a) Sistema de atraso de primer orden

Tiene como función de transferencia: τk

G(s)s 1

====++++

El "AR" y φ" " es:

ω τ2 2

kAR

1====

++++

φ ωτ1tg ( )−−−−= −= −= −= −

Luego

φ ω

τ

AR

0º 0 k

1 k45º

290º 0

−−−−

− ∞− ∞− ∞− ∞

Gráfica del sistema de atraso de primer orden

Re

Im

k

0.866k0.707k

ω = ∞= ∞= ∞= ∞

0.5k

φ ωτ1tg ( )−−−−= −= −= −= − ω 0====

ω τ1====

0.5k

ω τ2 2

kAR

1====

++++

ωIncrementode


b) Sistema de segundo orden Tiene como función de transferencia:

τ τζ2 2k

G(s)s 2 s 1

====+ ++ ++ ++ +

El "AR" y φ" " es:

ω ω ζ ω ω2 22

n n

kAR

1 ( / ) 2 ( / )

==== − +− +− +− +

ζ ω ωφ

ω ω1 n

2n

2 ( / )tg

1 ( / )

−−−− −−−− ==== −−−−

Luego

φ ω

ωζn

AR

0º 0 k

k90º

2

180º 0

−−−−

− ∞− ∞− ∞− ∞

Gráfica del sistema de segundo orden

Re

Im

kω = ∞= ∞= ∞= ∞

ζ 2.0====

ωnω

Incrementode

ζ 1.0====ζ 0.4====ζ 0.3====

ω 0====

ωn

ωn

ωn


4.8. PARÁMETROS EN DOMINIO FRECUENCIA

a) FRECUENCIA DE RESONANCIA ωr" "

La frecuencia de resonancia, esta relacionado en forma única con el factor de

amortiguamiento relativo ζ" " y con la frecuencia natural no amortiguada ωn" "

del sistema. El " AR" de un sistema de segundo orden es:

ζLLLLLLL

2 2 2

1AR (4.18)

(1 u ) (2 u)====

− +− +− +− +

La frecuencia de resonancia, se determina al hacer que la derivada de " AR" con respecto a "u" sea cero. Por tanto:

ζ ζ3 22 2 2 3 2d(AR) 1

(1 u ) (2 u) (4u 4u 8u ) 0du 2

−−−− = − − + − + == − − + − + == − − + − + == − − + − + =

De donde se obtiene:

ζ3 24u 4u 8u 0− + =− + =− + =− + =

ζ2 24u(u 1 2 ) 0− + =− + =− + =− + =

En frecuencia normalizada, las raíces de la ecuación son:

1u 0====

ζ LLLLLLLLLLL2

2 (4u 1 2 .19)= −= −= −= −

La solución de 1u 0==== indica meramente que la pendiente de la curva de " AR"

contra ω" " es cero en ω 0;==== no es un máximo verdadero si ζ" " es menor que

0.707. La ecuación (4.19) da la frecuencia de resonancia:

ω ω ζ ζ LLLL2

R n 1 2 0 (4.20).707= − ≤= − ≤= − ≤= − ≤

Para todos los valores de ζ" " mayores que 0.707, la frecuencia de resonancia es

ωr 0.====


b) PICO DE RESONANCIA r"M "

Se define como el máximo valor de la magnitud. Para un sistema con valor grande

de r"M " corresponde un valor grande de máximo sobrepaso. Un sistema de

segundo orden se puede relacionar en forma directa con el factor de amortiguamiento relativo ζ" " . Un factor de amortiguamiento relativo bajo

corresponde a un pico de resonancia alto.

Al sustituir la ecuación (4.19) en la ecuación (4.18) para "u" y simplificando se obtiene:

ζζ ζ

LLLLLLLr2

1M 0.707

2(4 20

1. )= ≤= ≤= ≤= ≤

−−−−

Esto significa simplemente que para todos los valores de ζ" " mayores que 0.707,

el pico de resonancia es rM 1.====

Al tomar la derivada de " AR" con respecto a "u" es un método válido para

determinar ωr" " y r"M " para sistemas de orden superior, este método analítico es

bastante tedioso y no recomendable.

c) ANCHO DE BANDA "BW" Se define como la banda de frecuencias en la cual la magnitud no cae por debajo de 3dB.−−−− De acuerdo con la definición del ancho de banda, se hace que el valor de " AR"

sea igual a 1/ 2 0.707.≅≅≅≅

ζ2 2 2

1 1AR

2(1 u ) (2 u)= == == == =

− +− +− +− +

Por lo tanto:

ζ2 2 2(1 u ) (2 u) 2− + =− + =− + =− + =

ζ ζ ζ2 2 4 2u (1 2 ) 4 4 2= − ± − += − ± − += − ± − += − ± − +


El signo ++++ (más) se debe escoger, ya que "u" debe ser una cantidad real positiva para cualquier ζ" " . Por tanto, el ancho de banda del sistema de segundo orden se

determina como:

ω ζ ζ ζ LLLLL2 4 2

nBW (1 2 ) 4 4 2 (4.21)= − + − += − + − += − + − += − + − +

d) MARGEN DE GANANCIA "MG"

Es uno de los criterios más empleados para medir la estabilidad relativa de sistemas de control. En dominio frecuencia, el margen de ganancia es la cantidad de ganancia que puede ser añadida al lazo antes que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable, el cual se puede determinar con la siguiente relación:

φ φωLLLLL

180 180

1 1MG (4.22)

G(j ) AR= == == == =

= == == == =

e) MARGEN DE FASE "MF"

Es la cantidad en que el ángulo que se puede añadir a la función de transferencia en lazo abierto antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable y se determina con la siguiente relación:

ω φ LLLLLAR 1 AR 1MF G(j ) 180º 180º (4.23)= == == == == ∠ − = −= ∠ − = −= ∠ − = −= ∠ − = −

4.9. MARGEN DE GANANCIA Y MARGEN DE FASE EN DIAGRAMA DE NYQUIST

Definición del margen de ganancia en diagrama de Nyquist Re

Im

0

ω

ωPlano G(j )

[[[[ ]]]]ωG(j )

ω = ∞= ∞= ∞= ∞

ω 0====

Cruce de fase


4.10. MARGEN DE GANANCIA Y MARGEN DE FASE EN DIAGRAMA DE BODE

Magnitud en dB

Fase

Cruce de ganancia

ω (rad/s)

Región inestable para intersección sobre la curva de magnitud en el cruce de fase; margen de ganancia negativo

Margen de Región estable parainterseccion sobre al curva de magnitud en el cruce de fase; margen de ganancia positivo

Margende fase

Región estable paraintersección sobre la curvade fase en el cruce de fase; margen de fase positivo

Región inestable paraintersección sobre la curvade fase en el cruce de fase; margen de fase negativo

Cruce de fase

ω (rad/s)

40

20

0

20−−−−

40−−−−

60−−−−

0º

90º−−−−

180º−−−−

270º−−−−

360º−−−−

ganancia

Margen de fase definido en el plano ωG(j ) Re

Im

0

ω

ωPlano G(j )

ω = ∞= ∞= ∞= ∞

ω 0====

11−−−−

Cruce deganancia

Margende fase


4.11. CRITERIO DE ESTABILIDAD EN BODE

El criterio de estabilidad de Bode para la respuesta de un sistema en el dominio de la frecuencia, puede determinar los límites de estabilidad para lazos de control por retroalimentación aún cuando se incluya un tiempo muerto en el lazo. El criterio consiste en determinar la frecuencia a la cual el ángulo fase de la función de transferencia de lazo abierto es -180º ( π−−−− radianes) y la relación entre las amplitudes para dicha frecuencia. El criterio de estabilidad de Bode determinado sobre la base de la respuesta de un sistema en el dominio de la frecuencia se puede establecer de la siguiente manera: Para que un sistema sea estable, la Relación entre las Amplitudes debe ser menor que

la unidad cuando el ángulo fase es -180º ( π−−−− radianes). Es decir,

• Si AR < 1 a un φ 180º= −= −= −= − , el sistema es estable

• Si AR > 1 a un φ 180º= −= −= −= − , el sistema es inestable

4.12. CRITERIO DE ESTABILIDAD EN NYQUIST

El criterio de estabilidad de Nyquist determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado a partir de la respuesta de la función de transferencia en lazo abierto y de los polos de ésta. Este criterio se basa en el Teorema de la transformación de la teoría de la variable compleja, y es útil en la ingeniería de control porque en su aplicación, para determinar la estabilidad de un sistema, no se necesita la determinación de los polos de su función de transferencia en lazo cerrado. Para el estudio del criterio de estabilidad de Nyquist, considere un sistema en lazo cerrado como el que muestra la Figura

Su correspondiente función de transferencia

LLLLLY(s) G(s)R(s) 1 G(s

(4.24))H(s)

====++++

Se supone que la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) se representa como un cociente de polinomios en “s”. Para un sistema que puede materializarse físicamente, el grado del polinomio del denominador de la función de transferencia en

G(s)R(s) Y(s)

H(s)

++++−−−−


lazo cerrado debe ser mayor o igual que el del polinomio del numerador. Esto significa que el límite de G(s)H(s), cuando “s” tiende a infinito, es cero o una constante para cualquier sistema que pueda materializarse físicamente. Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica

LLLLL1 G(s)H(s) 0 (4.24)+ =+ =+ =+ =

deben estar en el semiplano izquierdo del plano “s”. [Se debe señalar que, aunque los polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano derecho del plano “s”, el sistema solo es estable si todos los polos de la función de transferencia en lazo cerrado (es decir, las raíces de la ecuación característica) están en el semiplano izquierdo del plano “s”]. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta, en el dominio de la

frecuencia, de la función de transferencia en lazo abierto ω ωG(j )H(j ) con el número de

ceros (Z) y polos (P) de 1 G(s)H(s)++++ que se encuentran en el semiplano derecho del

plano “s”. Enunciado del Criterio de estabilidad de Nyquist

Si la trayectoria de Nyquist en el plano “s” encierra Z ceros y P polos de 1 G(s)H(s)++++ y

no pasa por los polos ni los ceros de 1 G(s)H(s)++++ conforme un punto representativo “s”

se mueve en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de la trayectoria de Nyquist, el contorno correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea en un círculo N = Z – P veces el

punto 1 0j− +− +− +− + en el sentido de las agujas del reloj. (Los valores negativos de N implican

rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj) Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad de Nyquist, se observa que se pueden presentar tres casos:

• El punto 1 0j− +− +− +− + no está rodeado. Esto implica que el sistema es estable si no

hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano “s”; de lo contrario,

el sistema es inestable

• El punto 1 0j− +− +− +− + queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al de

las agujas del reloj. En este caso, el sistema es estable si el número de rodeos

en sentido contrario al de las agujas del reloj es igual al número de polos

G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano “s”; de lo contrario, el sistema es

inestable

• El punto 1 0j− +− +− +− + queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agujas

del reloj. En este caso el sistema es inestable


4.13. DISEÑO DE CONTROLADORES EN DOMINIO FRECUENCIA 4.13.1. DISEÑO CON EL CONTROLADOR PD Para el diseño en el dominio de la frecuencia, la función de transferencia del controlador PD se escribe como:

DP D P

P

kG(s) k k s k 1 s

k

= + = += + = += + = += + = +

El controlador PI es un filtro de paso altas, tiene la desventaja de que acentúa el ruido en frecuencias altas, por lo general incrementa el BW y reducirá el tiempo de levantamiento de respuesta escalón. Un controlador PD diseñado adecuadamente afectará el desempeño de un sistema de control en las formas siguientes:

Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo. Reuce el tiempo de levantamiento y le tiempo de asentamiento. Incrementa el BW. Mejora el margen de ganancia, el margen de fase y el pico de resonancia. Puede acentuar el ruido en altas frecuencias. No es efectivo para sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente inestables. Puede requerir un capacitor muy grande en la implementación del circuito.

4.13.2. DISEÑO CON EL CONTROLADOR PI

Para el diseño en el dominio de la frecuencia la función de transferencia del controlador PI se escribe como:

I I PP

I

k k kG(s) k 1 s

s s k

= + = += + = += + = += + = +

Un controlador PD diseñado adecuadamente afectará el desempeño de un sistema de control en las formas siguientes:

Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo. Incrementa el tiempo de levantamiento. Disminuye el ancho de banda. Mejora el margen de ganancia, el margen de fase y el pico de resonancia. Filtra el ruido de alta frecuencia.


El problema de seleccionar una combinación adecuada de Ik y Pk para que el

capacitor en la implementación del circuito del controlador no sea excesivamente grande, es más agudo que en el caso del controlador PD.

4.13.2. DISEÑO CON EL CONTROLADOR PID

Para el diseño en el dominio de la frecuencia la función de transferencia del controlador PID se escribe como:

IP D

kG(s) k k s

s= + += + += + += + +

4.14. BIBLIOGRAFÍA

� Jagan N.C.: Sistemas de control, 2 ed., BS Publicaciones, Hyderabad, 2008. � Rojas Moreno Arturo: Control Avanzado, Lima, 2001 � Katsuhiko Ogata: Ingeniería de control moderno, 4 ed., Prentice Hall

Hispanoamericana S.A., Mexico, 1998 � Bolton W.: Ingeniería de Control, 2 ed., Algaomega ediciones, México, 2006 - � Gil Nobajas Jorge Juan y Rubio Díaz Ángel: Ingeniería de Control, 2 ed.,

Unicopia ediciones, España, 2004 � Carlos A. Smith & Armando B. Corripio: Control Automático de Procesos, 1

ed., Noriega editores, Mexico, 1991 � Benjamin C. Kuo: Sistemas de Control Automático, 7 ed., Prentice Hall

Hispanoamericana S.A., Mexico, 1996 � Norman S. Nise: Sistemas de Control para Ingeniería, 3 ed., Editorial

continetal, Mexico, 2004 � Richard C. Dorf & Robert H. Bishop: Sistemas de Control Moderno, 10 ed.,

Prentice Hall Pearson, Madrid, 2005 � R. Canales Ruiz y R. Barrera Rivera: Análisis de sistemas dinámicos y control

automático, 1 ed., Editorial Limusa, Mexico, 1976


1. Calcular la relación de amplitud " AR " , el ángulo de desfase de salida φ" " y la salida

senoidal " y(t)" en estado estable de un sistema que está sujeto a una entrada senoidal de

f(t) 2sen(3t 60º ),= += += += + si éste tiene una función de transferencia de:

4G(s)

s 1====

++++

2. Para un sistema que tiene una función de transferencia:

3G(s)

s 2====

++++

Determinar a) la relación de amplitud " AR " , el ángulo de desfase de salida φ" " y b) hacer

una tabla que muestre los valores de la magnitud y la fase con la frecuencia angular para ω 0, 2, 10, 100, rad/s= ∞= ∞= ∞= ∞

3. Considere el sistema con realimentación unitaria con las funciones de transferencia en lazo

abierto. 10

G(s)s 1

====++++

Obtenga la salida en estado estable del sistema cuando está sujeto a cada una de las entradas siguientes: a) f(t) sen(t 30 '')= += += += +

b) f(t) 2 cos(2t 45 '')= −= −= −= −

c) f(t) sen(t 30 '') 2 cos(2t 45 '')= + − −= + − −= + − −= + − −

4. Determinar la relación de amplitud " AR " , el ángulo de desfase de salida φ" " para cada

G(s) siguiente:

a) 1G(s)

s(s 2)(s 4)====

+ ++ ++ ++ +

b) s 5G(s)

(s 2)(s 4)++++====

+ ++ ++ ++ +

c) (s 3)(s 5)G(s)

s(s 2)(s 4)+ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ ++ +

Donde: ω 5rad/s====

5. Dado el proceso físico: 3 2

5G(s) ,

s 2 s s 1====

+ + ++ + ++ + ++ + + estudiar si es estable en lazo cerrado y

diseñar un controlador proporcional para obtener un margen de fase de 6 dB.


6. Dado el proceso: 4G(s)

s (s 2)====

++++, diseñar un compensador de adelanto de fase de modo

que la constante de error estático de velocidad sea 1Vk 20seg −−−−==== , el margen de fase sea al

menos de 50º y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.

7. Dado el proceso: 4G(s)

s (s 1) (0.5 s 1)====

+ ++ ++ ++ +, diseñar un compensador de adelanto de fase

de modo que la constante de error estático de velocidad sea 1Vk 5seg −−−−==== , el margen de

fase sea al menos de 40º y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.

8. Sea: 5s

P5e

G (s)(2s 1)(s 1)

−−−−====

+ ++ ++ ++ +

a) Evalué si la función de transferencia PG (s) es estable o inestable.

b) Adicionándole un controlador proporcional, determine el valor c"k " a partir del cual el

sistema es estable.

c) Adicionándole un controlador proporcional, determine el valor de c"k " para el cual el

MG 2==== .

9. Se tiene un proceso que tiene la siguiente función de transferencia: 0.1s

P10e

G (s) ,0.5s 1

−−−−====

++++ los

valores de sus parámetros han sido calculados en forma experimental y se piensa que posiblemente tenga un erros de 20%±±±± en el tiempo de retardo. Calcular la ganancia

c"k " más alta que puede tener el proceso, si se utiliza un controlador proporcional y que

el sistema se mantenga estable.

10. En la tabla a continuación presenta valores de "AR" y φ" " de un sistema desconocido a

diferentes frecuencias: a) Determine el orden del sistema desconocido. b) Determine si presenta tiempo muerto, indique su respuesta y la razón por la cual la da.

c) Calcule los parámetros del sistema: k , τ , ζ y td (según sea el caso: 1er, 2do, 3er, etc. orden)

ω AR φ

0.01 5.00 - 0.23

0.05 5.05 - 1.13

0.10 5.20 - 2.59

0.20 5.93 - 5.44

0.30 7.65 - 11.62

0.40 12.69 - 23. 96


11. Dada la función de transferencia de un sistema de control en lazo cerrado con un retardo puro:

tdseG(s)

s(s 1)(s 2)

−−−−====

+ ++ ++ ++ +

Hallar el valor del tiempo de retardo " td" para que el sistema sea estable.

12. En la figura mostrada c c DI

1G (s) k 1 T s

T s

= + += + += + += + +

a) Hallar la sintonía por el método de Ziegler-Nichols en el dominio frecuencia. b) Hallar la sintonía por el método de Cohen-Coon c) Comparar los parámetros entre Cohen-Coon y Ziegler-Nichols obtenidos. Referencia: Considerar, si el controlador es un P-control, PI-control y PID control.

13. Dadas las siguientes funciones de transferencia hallar: a) Sus frecuencias de cruce b) Sus graficas de Bode y Niquist.

c) ωAR G(j )====

d) Aproximar a una función de transferencia de 1er y 2do orden (si tuviese) considerando métodos de reducción (métodos: skogestad y tavakoli).

e) Sintonía del controlador PI y PID para ajuste optimo con índice de rendimiento IAE (considere el método de tavakoli, método de síntesis directo y método del modelo de control interno “IMC”).

2

G(s)(10s 1)(2.5s 1)

====+ ++ ++ ++ +

k

G(s)(10s 1)(5s 1)(s 1)

====+ + ++ + ++ + ++ + +

c1.5k

G(s)(s 1)(5s 1)(10s 1)

====+ + ++ + ++ + ++ + +

ckG(s) ; si MF 30º

(2s 1)(s 1)= == == == =

+ ++ ++ ++ +

cG (s)R(s) Y(s)

m1

G (s)10s 1

====++++

++++−−−− P

1G (s)

(5s 1)(2s 1)====

+ ++ ++ ++ +Gf 1.0====


s 7s12.8e 6.43(14.4s 1)e

G(s)16.7s 1 (10.9s 1)(21s 1)

− −− −− −− −++++= −= −= −= −+ + ++ + ++ + ++ + +

vk(s 1)

GH ; si k 5s(s 5)(s 10)

++++= ≥= ≥= ≥= ≥+ ++ ++ ++ +

3s 9s19.4e 9.745(16.75s 1)e

G(s)14.4s 1 (10.9s 1)(21s 1)

− −− −− −− −− +− +− +− += += += += ++ + ++ + ++ + ++ + +

v6k 10

G(s) , H(s) ; si k 4s(s 3) s 1

= = ≥= = ≥= = ≥= = ≥+ ++ ++ ++ +

s2e

G(s)(10s 1)(5s 1)

−−−−====

+ ++ ++ ++ +

14. Un sistema de inspección industrial remota (IRIS), es un sistema de vigilancia

multipropósito, desarrollado para realizar tareas de inspección y operación particulares con el objeto de reducir significativamente la exposición del personal a campos de radiación. Tal sistema tiene una función de lazo abierto:

sTkeG(s)

(s 1)(s 3)

−−−−====

+ ++ ++ ++ +

Determine una ganancia “k”, adecuada para el sistema T=0.5seg. de manera que el sobre nivel a un escalón de entrada sea menor del 30%.

15. La aproximación asintótica de la gráfica de la ganancia se da en las siguientes figuras. Obtenga la función de transferencia en lazo abierto en cada caso.


16. Encontrar el margen de ganancia y margen de fase para el siguiente sistema con la función de transferencia G(s) H(s) dada por

5s(1 0.1s)(1 0.2s)+ ++ ++ ++ +

17. Considere el sistema,

kG(s)H(s)

s(1 0.2s)(1 0.05s)====

+ ++ ++ ++ +

Con diagrama de Nyquist a) Encontrar el margen de ganancia y margen de fase para k=1 b) (b) ¿Qué valor de k se traducirá en un margen de ganancia de 15 dB? c) ¿Qué valor de k se traducirá en un margen de fase de 45 °?

Ingenieria de Control II - 04 Dominio Frecuencia en SISO

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