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DEDICATORIA A mis padres que día a día me brinda su apoyo.

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DEDICATORIA

A mis padres que día a día

me brinda su apoyo.

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Sistemas con un grado de libertad

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SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD

SIN – CON (AMORTIGUACIÓN)

Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se DEFINICIÓN: Define como aquel que solo es posible un tipo de movimiento, es decir, la

posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada.

RIGIDEZ

Cuando se aplica una fuerza a una estructura, esta se desplazará en la dirección de la fuerza. La

rigidez se define como el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido.

Sistemas rígidos tienen deformaciones pequeñas (gran rigidez), y sistemas flexibles tienen

deformaciones grandes (poca rigidez).

La rigidez es determinada con fórmulas de la Mecánica de Materiales:

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LA RIGIDEZ ELÁSTICA ES DETERMINADA CON FÓRMULAS DE LA MECÁNICA DE

MATERIALES:

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SISTEMAS QUIVALENTES (SERIE)

SISTEMAS QUIVALENTES (PARALELO)

PROPIEDADES DINAMICAS:

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AMORTIGUAMIENTO:

El amortiguamiento estructural no es viscoso.

El amortiguamiento se debe a:

Amortiguamiento en elementos estructurales y juntas.

Amortiguamiento histerético por las características de la fuerza restauradora

elasto-plástica.

En elementos no estructurales.

Por disipación de energía en el terreno.

Los mecanismos no están bien entendidos.

Dificultad para incluirlo exactamente en las ecuaciones de movimiento.

Dificultad computacional en la solución.

Sus efectos usualmente son aproximados mediante un amortiguador viscoso.

2.1.1 TIPOS DE EXCITACIONES DINAMICAS

a).- Excitaciones Periódicas: Son aquellas que se repiten por ciclos a lo largo del tiempo:

Figura 1.1 Función periódica con amplitud F0, repite todas sus características

después de un tiempo determinado llamado periodo T.

b).- Excitaciones no-periódicas: Se identifican según su duración, como cortas, medianas y

de larga duración.

Figura 1.2 Cargas de corta duración, se aplican en períodos de tiempo pequeños que

se denominan impulsos.

Para saber si la duración es pequeña o no, se debe de comparar con el período de la

estructura. Por ejemplo, las explosiones son cargas de impulso. Ya que su duración puede

ser mucho menor que la del periodo de oscilación de la estructura:

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2.1.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DINÁMICOS

A diferencia de los problemas estáticos, los parámetros en los problemas dinámicos están en

función del tiempo, esto es, tanto las características de la carga o excitación, como las de las

propiedades de la estructura, varían o dependen del tiempo.También se generan fuerzas de

inercia al perturbar el equilibrio de las masas de la estructura, tales fuerzas de inercia son de

sentido contrario al desplazamiento x, ya que la inercia es la propiedad de la masa de

oponerse al cambio de movimiento. Las fuerzas de inercia son proporcionales a la aceleración

y valen:

2.1.3 EQUILIBRIO DINÁMICO

Imaginemos que podemos tomar una fotografía de una estructura en movimiento en un

instante de tiempo, para que se pueda plantear la ecuación de equilibrio con todas las fuerzas

que intervienen en ese instante, a este planteamiento se le conoce como equilibrio dinámico o

Principio de D´Alembert.

Con el procedimiento anterior se puede establecer la ecuación de movimiento de la

estructura.

Figura 1.4 Fuerzas que intervienen en el equilibrio dinámico de una estructura:

Fuerzas elásticas, Fuerzas de amortiguamiento, Fuerzas de inercia.

En ese instante de tiempo (t), se tienen que considerar las siguientes fuerzas que intervienen

cuando a la estructura se le perturba con la aplicación de una fuerza dinámica:

1. Fuerzas restauradoras elásticas (o inelásticas)

2. Fuerzas de amortiguamiento

3. Fuerzas de inercia

4. Fuerzas excitadoras

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PROBLEMAS

1.1 Determine el período natural-del sistema representado en la figura P1-1. No considere la

masa de la viga o de los resortes que soportan el peso W.

Solución:

Diagrama de cuerpo libre: (D.C.L.)

……………. (1)

Dónde:

Demostrando “”:

;

RA = 0 MA = wL

En corte (1-1):

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Hallando con el método de la doble

integración:

Dónde: ;

; El Signo (-) Indica hacia abajo.

EN EL GRAFICO (1):

Hallando: “ ”; se puede tener de la siguiente manera:

; en paralelo

Dónde:

Ahora hallando “m”.

Hallando W.

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Finalmente; reemplazando.

Ahora, hallando lo pedido. (Periodo Natural)

Reemplazando:

Rpta.

1.2 Los siguientes valores numéricos se asignan al problema 1.1: L= 250 cm,

(kp . cm), W = 1400 kp, y k = 2300 kp/cm. Si el peso W tiene un desplazamiento inicial

y una velocidad inicial , determine el desplazamiento y la

velocidad al cabo de un segundo.

Solución:

Datos: L= 250 cm

W = 1400 kp

k = 2300 kp/cm

W :

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Ahora hallando “m”.

Hallando W.

Hallando C:

Hallando el desplazamiento Y :

Rpta.

Derivando el desplazamiento Y :

Rpta.

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1.3 Determine la frecuencia natural para el movimiento horizontal del pórtico de acero en la

figura P1-3. Considere las vigas horizontales infinitamente rígidas y desprecie la masa de

las columnas. .

Solución:

(D.C.L.)

Hallando “ ”: (en paralelo).

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Hallando “ ”: como es dato m = 25000kp.

Hallando W.

Reemplazando:

Finalmente: Frecuencia Natural.

Rpta.

1.4 Calcule la frecuencia natural del movimiento horizontal del pórtico de acero de la figura

P1-4 en los siguientes casos: (a) si el miembro horizontal es infinitamente rígido; (b) si el

miembro horizontal es flexible y tiene un momento de inercia de .

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Solución:

Hallando: “m”.

Hallando: “w”.

Hallando: “RA y RB”.

Definiendo los grados de libertad:

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Hallando la rigidez equivalente:

;

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Entonces nuestra matriz nos quedaría: (rigidez)

Ahora:

Dónde:

Remplazando:

Hallando:

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Como:

Finalmente, Frecuencia Natural:

Rpta.

1.5 Determine la frecuencia natural de la viga empotrada mostrada en la figura P1-5 que

soporta un peso W en su centro. Desprecie la masa de la viga.

Solución:

(D.C.L.) Para distancias; a y b, Luego hallaremos para L/2.

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Hallando “”. En corte (1-1).

Doble Integración:

Dónde: , cuando

En el Problema: ;

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Remplazando en “ ”:

Ahora:

De igual manera, como en el problema (1).

;

Hallando “m”:

Hallando “w”:

Hallando, finalmente Frecuencia Natural.

Rpta.

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1.6 Se dan los siguientes valores numéricos al problema 1.5: L= 3 m, (kp .

cm2), y W = 2300 kp. Si el desplazamiento inicial y la velocidad inicial del peso W son,

respectivamente, y , determine el desplazamiento, la

velocidad, y la aceleración de W en el instante t = 2 seg.

Solución:

Hallando W.

Hallando C:

Hallando el desplazamiento Y :

Rpta.

Derivando el desplazamiento :

Rpta.

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Derivando el desplazamiento :

Rpta.

1.7 Considere el péndulo simple de masa “m” que se muestra en la figura. (Un péndulo simple

es una partícula o masa concentrada que oscila en un arco vertical y que esta sostenida

por una cuerda de masa insignificante.) Las únicas fuerzas que actúan en la masa “m” son:

la fuerza de la gravedad y la tensión en la cuerda (despreciando las fuerzas de fricción). Si

la longitud de la cuerda es L, determine el movimiento del péndulo para un ángulo de

oscilación θ pequeño y para un desplazamiento y velocidad inicial y ,

respectivamente.

Solución:

Rpta.

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1.8 Escriba la ecuación diferencial para el movimiento del péndulo invertido mostrado en la

figura y determine su frecuencia natural. Considere pequeñas oscilaciones y desprecie la

masa de la barra.

Solución:

Haciendo suma de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre:

Reacomodando términos y sustituyendo el valor de “k”, se obtiene finalmente la

ecuación diferencial del movimiento.

Rpta.

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1.9 Una barra vertical de longitud “L” y rigidez de la flexión “EI” sostiene una masa “m” en el

extremo, como se muestra en la figura. Despreciando la masa de la barra, deduzca la

ecuación diferencial para oscilaciones horizontales pequeñas y encuentre la frecuencia

natural. Considere que el efecto de la gravedad es insignificante y que los efectos no

lineales pueden ser despreciados.

Solución:

Haciendo suma de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre:

Reacomodando términos y sustituyendo el valor de “k”, se obtiene finalmente la

ecuación diferencial del movimiento.

Rpta.

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1.10 Determine una expresión de la frecuencia natural para cada uno de los casos

mostrados en la figura. Las vigas son uniformes con un momento de inercia “I” y

módulo de elasticidad “E”. Desprecie la masa de las vigas.

a)

Solución:

(para la viga)

Hallando la rigidez total

Hallando W frecuencia natural

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Frecuencia natural en cps

Remplazando los valores obtenidos

Rpta.

b)

Solución:

(Para la viga)

Hallando la rigidez total

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Hallando W frecuencia natural

Frecuencia natural en cps

Remplazando los valores obtenidos

c)

Solución:

(Para la viga)

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Hallando la rigidez total

Hallando W frecuencia natural

Frecuencia natural en cps

Remplazando los valores obtenidos

d)

Solución:

(Para la viga)

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Hallando la rigidez total

Hallando W frecuencia natural

Frecuencia natural en cps

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1.11 Una estructura ha sido modelada, como se muestra en la figura, por dos masas,

, conectadas por un resorte de constante “k”. Determine para este modelo la

ecuación diferencial del movimiento en función del desplazamiento relativo

entre las dos masas. Determine también la correspondiente frecuencia

natural.

Solución:

2.1 Repita el problema 1.2. suponiendo que la amortiguación en el sistema es igual al 15% de

la amortiguación critica.

Solución:

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Calculando desplazamiento un segundo después.

Calculando velocidad un segundo después.

2.2 Repita el problema 1.6. suponiendo que la amortiguación en el sistema es el 1% de la

amortiguación critica.

Solución:

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2.3 Se ha observado que la amplitud de vibración del sistema en la figura, decrece un 5% en

cada ciclo. Determine el coeficiente de amortiguación “c” del sistema. En este sistema

kp/cm y

Solución:

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2.4 Se ha observado experimentalmente que la amplitud de vibración libre de cierta

estructura, modelada como un sistema con un grado de libertad, decrece de 2.5 cm a 2.0

cm en 10 ciclos. ¿Cuál es el porcentaje de amortiguamiento en el sistema con respecto a

la amortiguación crítica?.

Solución:

2.5 Demuestre que los desplazamientos en sistemas con amortiguación crítica y con

amortiguación sobrecrítica, para un desplazamiento inicial y una velocidad inicial

pueden ser descritos como:

para

para

Dónde:

Solución:

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2.6 Una estructura se modela como un oscilador con amortiguación. La constante de su

resorte es y su frecuencia natural sin amortiguación .

Experimentalmente se determinó que una fuerza de producía una velocidad

relativa de en el elemento de amortiguación. Determine:

a) La razón de amortiguación .

b) El periodo de amortiguación .

c) El decremento logarítmico δ

d) La razón entre dos amplitudes consecutivas máximas.

Solución:

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2.7 En la figura 2.4. se ha indicado que los puntos de tangencia a la curva del movimiento

corresponden a la condición . En consecuencia, la diferencia en

entre dos puntos de tangencia consecutivos es . Demuestre que la diferencia en

entre dos amplitudes consecutivas máximas es también igual a .

Demuestre que en sistema subamortiguado es vibración libre el decremento logarítmico

puede escribirse como:

Donde es el número de ciclos entre las amplitudes máximas e

Solución:

2.8 Un sistema con un solo grado de libertad se compone de un peso de y un resorte

de rigidez . Experimentalmente se ha determinado que una fuerza de

produce una velocidad relativa de . Determine:

a) La razón de amortiguación .

b) La frecuencia de vibración con amortiguación .

c) El decremento logarítmico δ.

d) La razón de dos amplitudes consecutivas máximas.

Solución:

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2.9 Resuelva el problema 2.9. suponiendo que el coeficiente de amortiguación es

.

Solución:

Amortiguación critica

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a). Coeficiente de amortiguación.

b). frecuencia de vibración con amortiguamiento.

c). decremento de amortiguación.

2

d). La razón de amplitudes consecutivas máximas.

2.10 Un sistema es modelado por dos masas vibratorias y interconectadas por un

resorte y por un elemento de amortiguación “ ” como se muestra en la figura.

Determine para este sistema la ecuación diferencial del movimiento en función del

movimiento….

Solución:

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2.11 Determine el movimiento relativo para el sistema mostrado en la figura

en función de la frecuencia natural “ ”, la frecuencia con amortiguación “ ” y la

razón de amortiguación “ ”. Sugerencia: Defina la masa equivalente del sistema,

.

Solución:

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COCLUCIONES

En todo campo de la ciencia es donde surge el problema y es allí donde

estos estudiosos nos proporcionan la virtud de su sabiduría, como es el

caso de la antisísmica, curso que estudia al sismo y sus prevenciones,

también nos ayuda a comprender mejor el comportamiento de estos, que

con los cálculos necesarios podemos hace que se reduzcan los riesgos.

La frecuencia natural que sufre una estructura es a base del movimiento

que los sismos generan, que si esta se encuentra en una proporción

homogénea o simétrica, harán que ayude también a una frecuencia menor

como ya vistos en los problemas anteriores.

En conclusión, toda estructura diseñada de cualquier forma, pero con

cálculos precisos y con la ayuda de la forma de a estructura, estaremos

garantizando a que se obtenga un frecuencia menor de un valor más

seguro, en palabas normales, seguridad, para las personas que habitan e

ellas.