Ing. Juan Trejo Bedón MUESTREO BÁSICO. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (M.A.S.)

Ing. Juan Trejo Bedón

MUESTREO BÁSICO

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (M.A.S.)

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (M.A.S.)

• Método de selección de la muestra en un paso• El marco muestral debe ser una lista completa• Cada unidad tiene la misma probabilidad de

selección• Esta probabilidad es p = n/N

– donde n es el tamaño de la muestra– y N es el tamaño de la población

• Cada muestra (de n) tiene la misma probabilidad de selección

Muestreo Aleatorio Simple

• Población N = 54 viviendas

• Muestra n = 18

• Fracción muestral p = n / N = 18 / 54 = 1/3

• Cada vivienda tiene probabilidad de selección 1/3

• Se seleccionan 18 números aleatorios entre 1 y 54

• Se seleccionan las viviendas correspondientes

Muestreo Aleatorio SimpleMuestreo Aleatorio Simple

San José

San Luis

San Pablo

San Carlos

San Ricardo

San Roberto

San Benito

Santo domingo

San Pedro

Av 28 de Julio Av. circunvalación

Muestreo Aleatorio SimpleMuestreo Aleatorio Simple

San José

San Luis

San Pablo

San Carlos

San Ricardo

San Roberto

San Benito

Santo Domingo

San Pedro

Av. 28 de Julio Av Circunvalación


Ventajas del MAS• Sencillez conceptual• Necesita como marco muestral sólo una

lista de todos los elementos de la población

• Es fácil calcular las estimaciones de valores poblacionales

• Es fácil calcular las estimaciones de precisión (varianza muestral)


Desventajas del MAS

• Tedioso eligir todos los números aleatorios si n es grande

• No utiliza información auxiliar sobre la población

• Necesita una lista completa de los elementos de la población

• Puede tener baja precisión comparado con otros métodos


El MAS se puede realizar:

• Con reposición (MASCR)

• Sin reposición (MASSR)


MASCR• Seleccionar una unidad• “Reemplazarla” en la población• Seleccionar otra, de la población

completa• Continuar hasta obtener una muestra de

tamaño n• Se puede seleccionar la misma unidad

más que una vez


MASSR:

• Seleccionar una unidad• “Sacarla” de la población• Seleccionar otra unidad de las que quedan y sacarla• Continuar hasta obtener n unidades distintas• Cada unidad puede estar incluida una sola vez• Es más eficiente que el MASCR• Se usa en la práctica

Ejemplo del MAS

Encuesta de las empresas sobre Gastos en insumos

•Población de seis empresas (N = 6)

•Propósito: estimar gastos para compras de insumos•Presupuesto permite sólo una muestra de dos empresas (n = 2)

Ejemplo del MAS

Población completa Empresa Gastos

1 $ 26,0002 470,0003 63,8004 145,0005 230,0006 12,500Total 947,300

Muestras Gastos Estimaciónposiblesobservados del total(1,2) 496,000 1,488,000(1,3) 89,800 269,400(1,4) 171,000 513,000(1,5) 256,000 768,000(1,6) 38,500 115,500(2,3) 533,800 1,601,400(2,4) 613,000 1,845,000(2,5) 700,000 2,100,000(2,6) 482,500 1,447,500(3,4) 208,800 626,400(3,5) 293,800 881,400(3,6) 76,300 228,900(4,5) 375,000 1,125,000(4,6) 157,500 472,500(5,6) 252,500 727,50015 muestras posibles promedio 947,300/6 : insesgado

ESTIMACION DEL TAMAÑO DE MUESTRA - “MAS”VARIABLES CUANTITATIVAS

Elementos para calcular un tamaño de muestra1. Información anterior de promedios y varianzas de variables

relacionadas con la investigación (Censos, encuestas, pilotos).

2. Elegir un nivel de confianza ( 90%, 95%, 99%) . Generalmente para estudios macroregionales, regionales, locales se elige 95%. Es decir: Z = K = 1.96 (abscisa de la distribución Normal)

( e = d . Donde : d = Error Relativo Aceptado).

3. Decidir sobre el margen de error (e ) que estamos dispuestos a tolerar (Error máximo permisible = Error Absoluto aceptado).

4. Tamaño de la Población ( N )

Fórmula para estimar el tamaño de la muestra (M.A.S.)

1

o

o

nn

n

N

2 2

2, : o

Z Sdonde n e

e = Margen de error. Es el error absoluto del Promedio Poblacional ( e = d . )

d = Es el error relativo aceptado (precisión)

MUESTREO ALEATORIO PARA PROPORCIONES

VARIABLES CUALITATIVAS O DE ATRIBUTOS

1ˆ

ˆ

n

ii

x

n

Xp

n

Proporción muestral:

N XPOBLACIÓN (N)

= Número de elementos en la población, que tienen alguna característica o atributo, o que caen dentro de alguna clase.

XP Proporción poblacional

N

ESTIMADOR DE LA PROPORCION POBLACIONAL

ˆ ˆX N p

Estimador del Total de Clase Poblacional

X

n

donde: es la tasa muestral o fracción de muestreo

VARIANZA DE LA PROPORCION Y DEL TOTAL DE CLASE MUESTRALES - “MAS”

En el muestreo aleatorio sin reposición las varianzas de la Proporción muestral y del Estimador del Total de Clase están dadas respectivamente por:

nf

N

ˆ( )1

PQ N nV p

n N

2

ˆ1

N PQ N nV X

n N

VARIANZA DEL ESTIMADOR DEL TOTAL DE CLASE

VARIANZA DE LA PROPORCION

MUESTRAL

2 ˆ ˆˆ ˆ1

p q N nV X N

n N

ˆ ˆˆ ˆ1

p q N nV p

n N

ESTIMACION DEL TAMAÑO DE MUESTRA - “MAS”

(VARIABLES CUALITATIVAS O DE ATRIBUTOS)

Tenemos que: ˆ 11

PQ N nP p P Z

n N

Tal que, el error de estimación no debe ser mayor que un

valor dado “e” ( ERROR MAXIMO PERMISIBLE O ERROR ABSOLUTO

ACEPTADO):2 2 2 2 2

ˆ ˆ1p p

PQ N nZ Z Z

n Ne e e

11

o

o

nn

n

N

2

2, : o

Z PQdonde n e e = d.P

d = error relativo aceptado (precisión)

MODELO DE MATRIZ PARA ESTIMAR EL TAMAÑO DE MUESTRA

PRECISIONError Máximo

Permisible (%)

d

NIVEL DE CONFIANZA: ( )Z = 1.645

90%Z = 1.96

95%Z = 2.38

98%

10% 74747% 1521525% 2962961% 890890

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

1

ERROR RELATIVO ACEPTADO

MODELO DE MATRIZ PARA ESTIMAR EL TAMAÑO DE MUESTRA

PRECISIONError Máximo

Permisible (%)

d

NIVEL DE CONFIANZA: ( )Z = 1.645

90%Z = 1.96

95%Z = 2.38

98%

10% 5353 7474 1051057% 107107 152152 2142145% 210210 296296 4184182% 325325 890890 13701370

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

1

ERROR RELATIVO ACEPTADO

MUESTREO SISTEMATICO

¿QUÉ ES UN MUESTREO SISTEMATICO?

• Es otro muestreo que también le asigna igual probabilidad de inclusión uniforme para todos, como el simple al azar.

• Nuevamente esta probabilidad es n/N.• Es conveniente por su simplicidad ya

que se necesita sólo un número aleatorio.

• Fácil de seleccionar en campo o durante el operativo

• Se logra en general una muestra más “representativa” de la población.

¿QUÉ ES UN MUESTREO SISTEMATICO? (cont.)

• No es necesario conocer el tamaño de la población N si se conoce la fracción de muestreo.

• Origina muestras bien dispersas desde el punto de vista geográfico.

• Se emplea generalmente en las últimas etapas en diseños en varias etapas o más complejos.

¿Cómo se selecciona una muestra sistemática?

• Paso 1: Fijar el tamaño de la muestra, n.• Paso 2: Determinar un paso o intervalo,I=N/n.• Seleccionar un número al azar entre 1 y I; sea

ese número igual a k.• Seleccionar las unidades k, k+I, k+2I, k+3I,

k+4I,...... Hasta llegar a completar las n necesarias.

1 2 3 N

¿Cómo se selecciona una muestra sistemática?(cont.)

Muestreo Sistemático Circular, útil cuando n no es múltiplo de N.

12

3

45

678

9

10

11

Arranque aleatorio

MUESTREO SISTEMATICO: Ejem. 1

Población de tamaño N = 30, muestras posibles sistemáticas de tamaño n = 6. Intervalo selección k = N / n = 30/6 = 5

1ra muestra: 1 6 11 16 21 26 2da muestra: 2 7 12 17 22 27 3ra muestra: 3 8 13 18 23 284ta muestra: 4 9 14 19 24 295ta muestra: 5 10 15 20 25 30

Muestras posibles de tamaño n = 6 :

Ejem. 2: Seleccionar muestra de n = 20n = 20 empresas de lista de N = 500 empresas

• Esto significa que 1 de cada 25 empresas1 de cada 25 empresas de la población se seleccionará

• Utilizando # al azar# al azar seleccionamos un número entre 1 y 25.

• Suponga que el ## seleccionado es seleccionado es 77..

• Entonces la 1ra empresa. selecc. es el # 71ra empresa. selecc. es el # 7.

• Las otras 19 empresas de la muestra se obtienen

sumando al sumando al 77 el intervalo de selección el intervalo de selección 2525.

• Es decir: 07, 32, 57 , ..........07, 32, 57 , ..........

Ejem.2 : La muestra de n = 20n = 20 empresas seleccionadas de N = 500 empresas es:

Una ventaja del método sistemático es que la Una ventaja del método sistemático es que la muestra se distribuye por igual en los diversas muestra se distribuye por igual en los diversas empresas.empresas.

Una M.A.S. tomada de la población no posee esta Una M.A.S. tomada de la población no posee esta propiedadpropiedad..

0707 32 32 57 57 82 82 107 107132132 157 157 182182 207207 232232257257 282 282 307307 332332 357357382382 407 407 432432 457457 482482

Muestreo Estratificado Aleatorio (M.E.A.)

Muestreo estratificado

• Proceso de división de la población en grupos homogeneos llamados estratos, para luego seleccionar muestras independientes en cada estrato

• Variables de estratificación pueden ser geográficas o no-geográficas

• Estratificación se limita a los elementos de información disponibles en el marco muestral

1. Protegernos contra la posibilidad de obtener una mala muestra.

RAZONES PARA LA ESTRATIFICACION

2. La estratificación se utiliza para disminuir las varianzas de los estimadores ( disminuir la varianza para obtener estimaciones más precisas)

3. Se pueden formar estratos para aplicar diferentes métodos y procedimientos de muestreo dentro de cada estrato. (Selección de la muestra y procedimientos de recojo de información).

4. Los estratos pueden establecerse para dar resultados a nivel de “DOMINIOS DE ESTUDIO” (Nivel de inferencia)

N2

ESTRATO 2

(Empresasmedianas)

ESTRATO 3(Empresas pequeñas)

ESTRATO 1

(Empresas grandes)

MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO ( MAE )

POBLACION ESTRATOS

N1

N3

n1

n2

n3

1 2 31

1 2 31

,L

hh

L

hh

Tal que N N N N N N

n n n n n n

Muestreo estratificado

Ejemplo 1 de M.E.A.Estratificacion de usuarios de la empresa EDELNOR

(parte de Lima)

ESTRATIFICACION DE LA POBLACION DE 267,694 CLIENTES (EDELNOR)

Nºde

estrato

ESTRATOS

(Sub-estaciones transformación)

Nº de clientes

(Tamaño del estrato)

% de clientes

(Poderación del estrato)

h =1 Canto Grande N1 = 57,241 W1 = 21.4

h =2 Jicamarca N2 = 37,932 W2 = 14.2

h=3 Mirones N3 = 41,157 W3 = 15.4

h=4 Santa Rosa N4 = 66,440 W4 = 24.8

h=5 Tacna N5 = 64,924 W5 = 24. 2

TOTAL N = 267,694 100.0

MUESTRA DE 500 CLIENTES DE LA POBLACION DE 267,694 CLIENTES (EDELNOR)

Nºde

estrato

ESTRATOS

(Sub-estaciones transformación)

% de clientes

(Poderación del estrato)

Nº de clientes

(Tamaño del estrato)

h =1 Canto Grande W1 = 21.4 n1 = 107

h =2 Jicamarca W2 = 14.2 n2 = 71

h=3 Mirones W3 = 15.4 n3 = 77

h=4 Santa Rosa W4 = 24.8 n4 = 123

h=5 Tacna W5 = 24.2 n5 = 122

TOTAL 100.0 n = 500

RESULTADOS MUESTRALES DE 500 CLIENTES: promedio muestral mensual y desviación estándar de consumo por

estratos N° ESTRATOS Clientes

nh

Media Desviación estándar

sh

1 Canto Grande 107 1,200 10,000

2 Jicamarca 71 800 6000

3 Mirones 77 3,000 30,000

4 Santa Rosa 123 2,350 25000

5 Tacna 122 2,100 20,000

TOTAL 500 2,000 22,000

hx

AFIJACION DE LA MUESTRASe da el nombre de afijación al reparto, asignación o distribución de la muestra (n) entre los diferentes estratos. Tal que:

1 2 3 ..... Ln n n n n

1. AFIJACION PROPORCIONAL

hh h

Nn n nW

N

h h hh

h

n N n no o f f

n N N N

2. AFIJACION DE NEYMAN ( O DE MINIMA VARIANZA)

La afijación de Neyman o afijación de mínima varianza, consiste en determinar los valores de nh de forma que para un tamaño de muestra (n) fijo, la varianza sea mínima.

1

h hh L

h hh

N Sn n

N S

2: :hdonde cuasivarianza poblacional del estS rato h

( )stV X

3. AFIJACION DE OPTIMA

La afijación de óptima, consiste en minimizar la varianza para un coste fijo. Es decir, minimizar con la condición de que:

1

h h

h

h h

h

N SC

h LN S

Ch

n n

2

:

:

:

( )

:

h

h

donde

costo total

costo por unidad en el

estrato h costo unitario

cuasivarianza poblacional

del estr

C

C

S

ato h

1

L

h hh

C n C

( )stV X

NOTA: Cuando Ch = constante h, la Afijación Optima coincide con la Afijación de Neyman

Muestreo por conglomerados


• Es un proceso de muestreo en dos pasos– Agrupar la población en

conglomerados que se pueden identificar en mapas y en el terreno

– Seleccionar una muestra de conglomerados y entrevistar todos los elementos de aquellos


• Conglomerados pueden ser agrupaciones naturales o artificiales

• Posiblemente disponibles de fuentes como el Censo (manzanas, etc.)

• Los que diseñan la encuesta tal vez tengan que conformarlos


• Se entiende la población como jerarquía de unidades–personas viven en viviendas–viviendas constituyen manzanas

–muchas manzanas hacen una ciudad

Encuesta de estudiantesEncuesta de estudiantes

= Escuelas = Estudiantes

Muestra por conglomeradosMuestra por conglomerados

= Escuelas

= Estudiantes = Seleccionados


• Ventajas– Se pueden utilizar aun cuando no haya

lista de unidades de la población– Para entrevistas personales, el tiempo y

costo de viajes se reduce muchísimo, sobre todo para poblaciones rurales

– Se necesita sólo una lista de conglomerados

– O la posibilidad de construirla


• Desventajas– Tendencia de unidades vecinas de ser

semejantes reduce la precisión– Dado n fijo, sería menos eficiente– Pero si se consideran los costos en el

terreno, la posibilidad de aumentar n implica menor pérdida de precisión en la práctica

MUESTREO POR MUESTREO POR CONGLOMERADOSCONGLOMERADOS

• En el muestreo por conglomerados, los elementos individuales de la población sólo pueden participar en muestra si pertenecen a un conglomerado (UPM) incluido en la muestra.

• La UPM no es igual a la unidad de observación (USM), y hay que tomar en cuenta los dos tamaños de unidades experimentales al calcular los errores muestrales de las muestras por conglomerados.

¿ PORQUE USAR MUESTREO ¿ PORQUE USAR MUESTREO POR CONGLOMERADOS ?POR CONGLOMERADOS ?

• La construcción de una lista de unidades de observación para el marco de muestreo puede ser difícil, cara e imposible.

• La población podría estar muy dispersa geográficamente o aparecer en cúmulos naturales, como las escuelas, hospitales, manzanas, familias.

• El muestreo por conglomerados se utiliza en la práctica debido a que es más barato y conveniente obtener muestras por conglomerados que al azar entre la población.

MUESTREO POR MUESTREO POR CONGLOMERADOSCONGLOMERADOS

• La población está particionada en N conjuntos que llamaremos “Conglomerados”

• No se cuenta con una lista de unidades de la población, pero se tiene una lista de los conglomerados.

• La forma de obtener una muestra consiste en escoger n conglomerados, y en cada uno de ellos se observan todas las unidades de población que estaban en cada conglomerado selecionado.

• Este procedimiento de obtener la muestra se denomina muestreo por conglomerados.

MUESTREO POR MUESTREO POR CONGLOMERADOS :CONGLOMERADOS : EjemploEjemplo

Número de Número de niños por manzana niños por manzana Las 3510 manzanas de una ciudad se localizan en 90 poblados (urbanizaciones, AAHH y conjuntos habitacionales).El número de manzanas en las diferentes urbanizaciones, AA.HH., C.H. no es el mismo . Se selecciona una muestra aleatoria simple de 15 poblados y se determina el # de niños por manzana.

MUESTREO POR MUESTREO POR CONGLOMERADOS : Ejemplo3CONGLOMERADOS : Ejemplo3

• Promedio de Niños por manzana = 12.24• La estimación de la varianza del promedio de

niños es de = 0.5854• El Error Muestral absolutoEl Error Muestral absoluto de la estimación de la estimación

de la varianza del promedio de niñosde la varianza del promedio de niños por manzanapor manzana es la Raíz cuadrada de = 0.5854. Es decir :Error muestral = 0.7651 niños por manzana0.7651 niños por manzanaError muestral relativo = .7651/12.24 =6.25 %

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