Ing. Económica Demetrio Castillo Montaño

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LIBRO

INGENIERA ECONMICA

DR. DEMETRIO CASTILLO MONTAO

Trabajo realizado durante el Ao Sabtico

2006-2007

INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA QUMICA E

INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

Demetrio Castillo Montao, Ingeniera Econmica

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NDICE Concepto Pgina PRESENTACIN 4 UNIDAD I 17 INTRODUCCIN 18 Captulo 1 27 Captulo 2 32 Captulo 3 49 Captulo 4 64 UNIDAD II 72 Captulo 5 73 Captulo 6 84 UNIDAD III 118 Captulo 7 119 Captulo 8 132


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UNIDAD IV 144 Captulo 9 145 Captulo 10 174 Referencias bibliogrficas 185 Glosario de algunos trminos usados en este libro 187 ndice de figuras 189 ndice de cuadros 192


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PRESENTACIN Este libro representa el trabajo realizado por el autor durante el Ao Sabtico comprendido entre agosto del 2006 y agosto del 2007. Significa tambin los conocimientos y la experiencia adquiridos a lo largo de aproximadamente veinte aos de impartir la clase a los alumnos que estn por terminar la carrera de Ingeniera Qumica Industrial en la Escuela Superior de Ingeniera Qumica e Industrias Extractivas del Instituto Politcnico Nacional. El esfuerzo se ha enfocado principalmente a facilitar el acceso de los estudiantes al conocimiento del manejo del dinero que necesariamente habrn de realizar durante el ejercicio de su desempeo profesional. Las ciencias sociales no son precisamente las que ms entusiasman a los estudiantes de las ingenieras en sus diferentes especialidades; razn por la cual se ha tratado de motivar el aprendizaje con un lenguaje llano y de fcil comprensin, en atencin a que la economa se clasifica dentro de estas ciencias sociales tambin llamadas blandas por algunos autores. No obstante, al final del libro se encuentra un pequeo glosario de los trminos y siglas que pudieran representar alguna dificultad en su significacin, o simplemente para tenerlos a la mano en cualquier momento, ya que algunos de ellos se explicaron dentro del texto en donde se usaron por primera vez. Los conceptos aqu expuestos, fueron explicados en forma exhaustiva y se resolvieron ejercicios de aplicacin para su mejor comprensin y corroboracin. Se sugiere al lector y a los alumnos en particular discutir con su profesor lo que pudiera presentar alguna confusin pese a lo anteriormente manifestado, as como tambin buscar en la literatura otros ejercicios para resolver y as lograr cierto grado de habilidad y maestra en su manejo. En las referencias bibliogrficas y en la bibliografa sugerida se pueden encontrar cientos de estos ejercicios. Agradecer muy sinceramente cualquier observacin que el amable lector tenga sobre cualquier aspecto relacionado con el presente trabajo y ms an si tuviera la gentileza de enviarla a mi direccin electrnica: [email protected]

Atentamente

El autor


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UNIDAD I TOMA DE DECISIONES INGENIERA ECONMICA En esta unidad se cubrirn los aspectos siguientes: Toma de decisiones Conceptos fundamentales de la Ingeniera Econmica:

El valor cronolgico del dinero La equivalencia

El costo del dinero o la tasa de inters La frmula matemtica bsica del la Ingeniera Econmica Las frmulas matemticas secundarias para simplificar los clculos de equivalencia El flujo de dinero Diagrama de flujo de dinero


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CAPTULO 1 TOMA DE DECISIONES En este captulo se vern los aspectos bsicos que se deben atender para poder tomar una buena decisin. Despus de cubrir algunas generalidades en este rengln, se entrar a orientar estos rubros al mbito de los ingenieros y cmo afectan sus decisiones tanto al ingeniero que toma la decisin como a la economa de otras personas vinculadas con la actividad del que toma la decisin. CAPTULO 2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA INGENIERA ECONMICA En este captulo se vern los conceptos fundamentales de la Ingeniera Econmica como son el valor cronolgico del dinero y la equivalencia financiera. Aqu tambin se tratar lo concerniente a la tasa de inters y al flujo de dinero. Se cubrirn as mismo los aspectos que interrelacionados con los conceptos anteriores, dan origen a los diferentes clculos matemticos que ayudan al ingeniero a tomar una decisin mejor fundamentada y por lo tanto con mayores probabilidades de xito. CAPTULO 3 DEDUCCIN MATEMTICA DE LAS FRMULAS DE EQUIVALENCIA FINANCIERA En este captulo se establecern las frmulas matemticas para calcular las distintas equivalencias econmicas que se mencionaron en el captulo 2. A partir de la frmula bsica, se


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llegar a las otras frmulas que ayudan a simplificar los clculos. Se cubre tambin el clculo del costo capitalizado, para encontrar el valor presente de una inversin en un proyecto que tiene una vida no determinada, por lo que n est indefinida. CAPTULO 4 CLCULO DE EQUIVALENCIAS En este captulo se aplicarn los conceptos establecidos en los captulos hasta ahora vistos, en ejercicios de clculo de las diferentes equivalencias financieras. Al encontrar estas equivalencias, se ver la aplicacin de las frmulas y se avanzar en la comprensin de la utilidad de la Ingeniera econmica


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UNIDAD II EL PROYECTO INDUSTRIAL SELECCIN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIN NECESARIAS EN PROYECTOS INDUSTRIALES En esta unidad se cubrirn los siguientes aspectos: El proyecto industrial La evaluacin financiera de los proyectos industriales La tasa mnima atractiva de rendimiento La seleccin de alternativas por el mtodo del Valor Presente

La seleccin de alternativas por el mtodo del Costo Capitalizado La seleccin de alternativas por el mtodo del Costo Anualizado


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CAPTULO 5 EL PROYECTO INDUSTRIAL Y SU EVALUACIN FINANCIERA EL PROYECTO INDUSTRIAL En este captulo se ver lo relacionado con el proyecto industrial, incluyndose desde un mini proyecto de adquirir un equipo de produccin o inclusive una mquina, parte del equipo anterior, hasta el estudio y consideracin de la probable realizacin de un macro proyecto de una gran planta industrial. Se ver tambin que independientemente del tamao del proyecto de que se trate, los montos de dinero a considerar, siempre sern de cierta magnitud, ya que se est hablando de una actividad industrial. EVALUACIN FINANCIERA DE LOS PROYECTOS INDUSTRIALES Se expondr aqu la necesidad de hacer una evaluacin financiera previa a la inversin en un proyecto industrial. Trtese de una inversin personal (persona fsica) o de una sociedad mercantil o empresa por acciones (persona moral), es imperativo minimizar el riesgo de la inversin haciendo un estudio econmico-financiero, usando las tcnicas de la Ingeniera Econmica. CAPTULO 6 TASA MNIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO Y SELECCIN DE ALTERNATIVAS POR LOS MTODOS DEL VALOR PRESENTE, DEL COSTO CAPITALIZADO Y DEL COSTO ANUALIZADO LA TASA MNIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO


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En este captulo se ver lo relacionado con el rendimiento mnimo que un inversionista espera recibir por su dinero. Aun en los casos en los que las inversiones se consideran necesarias, el concepto de la tasa mnima atractiva de rendimiento (TMAR) juega un papel preponderante en la decisin de seleccin. En todos los dems, esta tasa podra determinar por s sola, la decisin de invertir o dejar de hacerlo, en un proyecto propuesto. SELECCIN DE ALTERNATIVAS MTODO DEL VALOR PRESENTE Se har aqu un anlisis de valor presente para seleccionar la mejor alternativa de dos finalistas propuestas. Como se ver, tanto este mtodo como los dos siguientes, tienen la ventaja que aun desconociendo los ingresos, se puede hacer el estudio y encontrar la opcin ms aconsejable desde el punto de vista econmico y financiero. MTODO DEL COSTO CAPITALIZADO Para el caso en el que la duracin del proyecto es indefinida, se ver el mtodo del Costo Capitalizado. MTODO DEL COSTO ANUALIZADO En este captulo se expondr tambin el mtodo del Costo Anualizado para la seleccin de alternativas de inversin. Este mtodo, conocido como CAUE (Costo Anual Uniforme Equivalente), tiene ciertas ventajas sobre el mtodo del Valor Presente, visto al principio de este captulo y como se mencion ah, tambin se puede utilizar en los casos en los que se desconocen los ingresos, situacin que se estudia en esta unidad.


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UNIDAD III LA TASA INTERNA DE RETORNO

En esta unidad se abordar el tema de la tasa interna de retorno (TIR), y todo lo relacionado con ella, llegando hasta la seleccin de alternativas de inversin en proyectos industriales por este mtodo, cuando se conocen los ingresos: La Tasa Interna de Retorno

Los factores condicionantes de la Tasa Interna de Retorno

La ecuacin de la Tasa Interna de Retorno El mtodo grfico La tasa externa y la tasa compuesta

La seleccin de Tasa Interna cuando se tienen diferentes races de la ecuacin La seleccin de alternativas por el mtodo de la Tasa Interna de Retorno


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CAPTULO 7 TASA INTERNA DE RETORNO En este captulo se ver lo concerniente a la Tasa Interna de Retorno (TIR), sus factores condicionantes, la ecuacin algebraica para su clculo, estimacin aproximada de la TIR por el mtodo grfico, ejercicios de su clculo por mtodos analticos y la seleccin de alternativas por el mtodo de la Tasa Interna de Retorno. CAPTULO 8 LA TASA EXTERNA Y LA TASA COMPUESTA LA SELECCIN DE LA TASA INTERNA MS PROBABLE, CUANDO SE TIENEN DIFERENTES RACES EN SU ECUACIN En este captulo se vern cules seran las tasas externas a considerar para la reinversin de los excedentes en el flujo de dinero y se expondr tambin el algoritmo para el clculo de la tasa resultante o compuesta. Aqu tambin se darn los criterios a considerar para poder seleccionar la tasa ms probable, cuando se tienen diferentes races en la solucin de la ecuacin de la tasa interna debido a una situacin anmala de ms de un cambio de signo en el flujo de dinero.


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UNIDAD IV EL MANEJO DEL DINERO En esta parte se abordarn los temas de manejo del dinero, es decir que aqu se vern los criterios de seleccin de alternativas desde el punto de vista del dueo del dinero, quien buscar el mximo rendimiento de su capital disponible y no solamente del monto necesario para financiar un solo proyecto industrial. Es decir, hasta ahora venamos considerando el punto de vista del ingeniero o del gerente de la planta, quien generalmente ignora de donde se van a obtener los recursos financieros. Ahora se ver este mismo asunto desde el otro lado de la mesa: Desde la ptica del financiero. Para finalizar este trabajo se expondrn algunas consideraciones no financieras en la seleccin de alternativas de inversin en proyectos industriales.

LA SELECCIN DE ALTERNATIVAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DEL DUEO DEL DINERO El flujo de dinero incremental El mtodo contable


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El mtodo grfico La tasa incremental La seleccin de alternativas por el mtodo de la tasa incremental

CONSIDERACIONES NO FINANCIERAS EN LA SELECCIN DE ALTERNATIVAS DE PROYECTOS DE INVERSIN Por ltimo, se vern tambin algunas consideraciones no financieras que pueden influir en la seleccin de alternativas de proyectos de inversin.


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CAPTULO 9 LA SELECCIN DE ALTERNATIVAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DEL DUEO DEL DINERO EL FLUJO DE DINERO INCREMENTAL Ahora se abandonar el punto de vista del ingeniero y/o gerente de planta cuyo principal inters es maximizar la productividad de la misma sin preocuparse mucho del origen de los recursos monetarios, para colocarnos del otro lado de la mesa, es decir, del lado del dueo del dinero o financiero. Para lo anterior se estudiar el flujo de dinero incremental, lo cual significa que se considerar el monto total disponible para invertir en uno o varios proyectos de la misma o de diferente ndole; pues aqu lo ms importante es el rendimiento total del monto a considerar y no en qu se va a invertir dicho monto total. En este captulo se expondrn dos mtodos para elaborar el flujo de dinero incremental: el Contable y el Grfico. EL MTODO CONTABLE Es el mtodo tradicional, tabular, usado por los contadores para elaborar sus estados financieros y que aqu se utiliza para calcular el flujo de dinero incremental. EL MTODO GRFICO Este mtodo, ms ad hoc con la mentalidad del ingeniero, es propuesto por el autor para minimizar las probabilidades de error, puesto que, al representar las operaciones grficamente, (operaciones con las cuales est ms familiarizado el ingeniero), se obtiene como resultado el diagrama de flujo de dinero neto o incremental.


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CLCULO DE LA TASA INCREMENTAL SELECCIN DE ALTERNATIVAS POR EL MTODO DE LA TASA INCREMENTAL En este captulo se vern tambin los clculos matemticos para encontrar la tasa incremental, as como el mtodo de seleccin de la mejor alternativa que nos dar el mayor rendimiento de la inversin del monto total de dinero disponible. CAPTULO 10 CONSIDERACIONES NO FINANCIERAS EN LA SELECCIN DE ALTERNATIVAS DE PROYECTOS DE INVERSIN Para terminar este trabajo se vern algunas consideraciones de carcter no financiero que el ingeniero debiera considerar y que podran influir en la decisin final por parte de la alta gerencia. Tambin explicaran, aunque fuera parcialmente, el rechazo a su propuesta de inversin en su caso, a pesar de haber l (el ingeniero) hecho su trabajo correctamente.


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UNIDAD I TOMA DE DECISIONES INGENIERA ECONMICA


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INTRODUCCIN Apasionante resulta estudiar y profundizar en el estudio de la Economa. sta surge en forma paralela al desarrollo de la humanidad. No obstante lo anterior, al referirnos a ella como ciencia, tenemos que ubicarla dentro de las ciencias sociales, que algunos autores llaman ciencias blandas, y por lo tanto, y particularmente la Economa, su desempeo es siempre controversial. Desde su inicio como ciencia hasta nuestros das han sucedido y siguen sucediendo hechos que ponen en duda su eficacia al grado tal que algunos pensadores dudan de su rigurosidad como ciencia y han llegado a proponer su eliminacin de los certmenes de los Premios Nbel. Para ilustrar esta lnea de pensamiento, se har aqu un pequeo relato tomado de Alejandro Dumas1, quien en su novela El Conde de Monte Cristo, en uno de los pasajes cuenta que del Ministerio del Interior, sale Debray y se dirige a la casa del banquero Danglars, y pregunta a la esposa de ste: Tiene vuestro esposo cupones del emprstito espaol? Y despus de varios dilogos, indica a la seora que su esposo debe venderlos a cualquier precio, Debray tena informacin privilegiada por el empleo que desempeaba en el Ministerio. Esta informacin la venda al banquero. Tanto Debray como Danglars son dos de los personajes de esta novela, despus de Edmundo Dantes que es el principal y que posteriormente se convertir en el Conde de Montecristo. Debray a su vez, compraba la informacin al telegrafista. La noticia era que el rey Don Carlos haba huido de Bourges y que en Barcelona se haba iniciado una sublevacin. El banquero se deshace de los cupones perdiendo una cantidad importante de dinero. Al conocerse la falsedad de la informacin, el telegrafista la justifica atribuyendo la causa de su error a la niebla. La realidad era otra: El Conde de Montecristo haba sobornado al telegrafista. En el relato anterior se hace notar algo que ya desde entonces era de suma importancia: La informacin; pero se nota tambin la fragilidad de la sustentacin de esta informacin. En este rubro (el de la informacin), se ha avanzado mucho y en la actualidad se puede conocer lo que sucede en casi todo el mundo en el mismo momento en que est ocurriendo. Por otra parte, en los negocios, sin menoscabo del valor de la intuicin, la informacin veraz (real) tiene mayor importancia que la primera (la intuicin). Un comentario final sobre este relato: La ley prohbe y sanciona la fuga de informacin privilegiada y ms an con fines especulativos. ANTECEDENTES El Inicio de la Humanidad Desde tiempos remotos, el hombre se distingue de las dems especies por su capacidad de pensar y de organizarse en grupos as como por su 1 Alejandro Dumas. El Conde de Montecristo. Mxico: Porra, 1992


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habilidad para desarrollar armas, de tal forma que al evolucionar a cazador corre riesgos y por tanto la carne, producto de la cacera, adquiere un valor mayor, lo mismo que las pieles, las puntas de flecha y las flechas mismas. Como vemos, en esta etapa del desarrollo de la humanidad, el hombre ya no atiende nicamente a sus necesidades bsicas, sino que, como resultado de integrarse en comunidades, requiere establecer valores de intercambio a las cosas que produce; sin embargo, por la localizacin geogrfica de los asentamientos humanos, no siempre est en capacidad de producir todo aquello que requiere en ese momento para sobrevivir, inicindose el intercambio econmico. Desde el inicio de los tiempos en que aparece el hombre, observa que los bienes que conserva le permitirn una sobrevivencia de mayor satisfaccin, con lo cual da inicio a la acumulacin de estos activos y de esta forma descubre que ellos (los bienes) son la cristalizacin de la utilidad, es decir tiene a su disposicin mercancas. (Mercanca es el medio material, de oferta limitada, que satisface las necesidades humanas)2. De pronto ante esta situacin, el hombre se encuentra con que los bienes que obtena superaban sus necesidades presentes, as como los de su comunidad, pero tambin se daba cuenta de que esos bienes le podran ser de utilidad a l, y a otras personas. Sin proponrselo se encuentra de frente con el ahorro. Aunado a la experiencia y al liderazgo, el hombre en este esquema econmico vive del trueque y con el intercambio de bienes, surge el comercio. (Nuestra cultura autctona no escapa a este esquema, y en una etapa muy posterior utiliza el cacao como artculo de intercambio, un antecedente de nuestra moneda, el que por cierto, tambin se falsific, segn algunos relatos). Al respecto, se podra hablar de los grandes comerciantes a que se refiere la historia como fueron los fenicios, pero ste no es el objeto del presente trabajo, por lo cual la ubicacin se har en una de las sociedades de la antigedad que dej constancia de su estructuracin y del manejo que tuvo con otros pueblos bajo su dominio. Muchos de los conceptos por ella desarrollados, as como algunos nombres que dio a ciertas actividades que an perduran en nuestros das, nos estamos refiriendo al Imperio Romano. El Imperio Romano En la poca del Imperio Romano, Roma tena que intercambiar entre las ciudades conquistadas una gran cantidad de mercancas, lo cual propici el surgimiento de las sociedades mercantiles, pero preponderantemente los conceptos de ttulos de crdito y los de intermediarios financieros.

2 Arthur Seldon y F. G. Pennance, recopiladores. Diccionario de Economa. Mxico: Alambra, 1981


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Los intermediarios financieros eran personas de solvencia moral, de palabra y con solvencia econmica, quienes inspiraban confianza a los que les pedan prestado dinero. Estos intermediarios notaron que no podan poner en riesgo su patrimonio, por lo que con base en la confianza que inspiraban, motivaron a algunas personas a que les entregaran su dinero, sealando que quien ms dinero les entregara obtendra un mayor premio; de esta forma nace la intermediacin financiera que fue la gran aportacin de los romanos, y que consiste en: 1) La captacin de los recursos y 2) En la colocacin de esos recursos. Sin embargo, hay que observar que estas personas eran comerciantes de dinero, por lo cual con los depsitos, cubran una tasa llamada pasiva y cuando prestaban lo hacan a una tasa mayor que era la tasa activa, anecdticamente se tiene que estas personas se sentaban en un banco para recibir y prestar dinero, con lo cual surgen las palabras Banco, Banca, Banquero. Tambin en la poca del Imperio Romano surgen los ttulos de crdito, cuya regulacin estaba a cargo de la ciencia jurdica, lo cual permiti que se hicieran aportaciones a la ciencia econmica, as, los siguientes pensadores del Imperio hicieron las siguientes3: Mussio: Disert sobre el beneficio neto Servio Sulpicio Rufo: Habl de la distribucin de la tierra y el inters Sabino Messuru: Se refiri al valor de los bienes y del patrimonio Prculo: Defini las funciones del banquero Gayo: Escribi de los bienes materiales y no materiales Escebola Serbidio: Trat sobre la libertad del comercio Ulpiano Domicio: Se refiri al lmite jurdico de la actividad econmica Pomponio VI: Estableci la funcin de la moneda Celistrato: Propuso la prohibicin de que la mujer fuera banquero Es de notarse la gran cantidad de trminos y conceptos an vigentes en la actualidad. La Edad Media En la Edad Media, que corresponde a un perodo de 10 a 11 siglos, en Europa se da el escolasticismo y la forma de gobierno fue la monarqua, lo cual la hace centralista. En cuanto a la organizacin social, sta evolucion al feudalismo, la economa se fundament en la agricultura y el intercambio se dio fundamentalmente con bienes, es decir, a travs del trueque. Hacia el siglo XI de nuestra era, en la Europa ya milenaria, la Iglesia Catlica predomina en todos los aspectos relacionados con la actividad humana. Al pensamiento filosfico lo rega la religin y se fundamentaba en la salvacin 3 Apuntes. Curso de Economa Poltica. Escuela Libre de Derecho, 2004


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del alma, lo que dependa de la conducta en la tierra para merecer la vida eterna. En estas condiciones la actividad econmica se vea como algo mundano basado en el paganismo. Esto propici su falta de regulacin y que tanto la Iglesia como el gobierno la obstaculizaran. En esta poca, la Iglesia prohbe cobrar intereses, sin embargo, sta como rectora de la economa termina prestando dinero y cobrando intereses, lo que sumado a la Guerra Santa de las Cruzadas, hace que se reactive la actividad econmica. En Economa, el intercambio significa la transferencia de una mercanca o servicio, de una persona o institucin a otra, a cambio de otra mercanca, servicio o dinero; en estas condiciones el dinero nos sirve para establecer el precio de los bienes, de manera que en el intercambio se tendr que a mayor precio, menor nmero de bienes y a menor precio mayor nmero de bienes, con lo anterior se asignan diferentes precios a travs de ndices, los que sirven para estimar el valor que tendrn los bienes en el futuro o el que tuvieron en el pasado respectivamente. El inters como se puede ver, nace con los romanos, despus es prohibido, para nuevamente aplicarse al final de la Edad Media. En trminos generales se puede decir que el inters es el precio que se paga por el uso del dinero, el cual se expresa como una tasa porcentual (un porcentaje del mismo dinero) referido a un perodo de tiempo. A pesar de que el trmino banquero nace en el Imperio Romano, las verdaderas relaciones econmicas se regulan mucho despus en Italia, particularmente en Venecia. Es ah donde nacen la mayora de los trminos que hoy conocemos y usamos en este mbito. Con el descubrimiento de Amrica, y despus del viaje de Circunvalacin de Magallanes (1480 -1521) a Oriente a travs de lo que posteriormente se conoci como el Estrecho que lleva su nombre, surge sta como ruta alternativa para lograr el comercio con las Indias. Sin embargo, al lograrse la expulsin de los moros de Espaa, se reactiva la ruta normal de comercio. En esta ruta, los comerciantes pasaban por Italia, con lo que convierten a esta nacin en el primer pas capitalista, porque ah se instalaron los primeros bancos. Es de notarse tambin que las ciudades, al tener poder econmico, buscan cierta independencia, de forma tal que tambin ah se aplicaron los primeros sistemas democrticos, al pasar del feudalismo al sistema de ciudades capitalistas. Etapa previa a la Revolucin Industrial Ahora se dar otro salto ms para ubicarse en el siglo XVII, en el nacimiento de la Industrializacin, y as seguir adentrndonos en los conceptos de la Economa y de las finanzas.


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En 1657, Johan Palmstruch4, Director General de la Banca de Estocolmo, Suecia; invent el papel moneda. Esta moneda sustituy a los recibos de crdito que emita el banco, situacin que lo llev a la crcel, por haber girado recibos sin respaldo econmico (sin fondos suficientes). Mas tarde Adam Smith5, ya en 1749, habla de la libertad natural que se debe reconocer al comercio y a la industria. ste pensador que public el libro Investigacin Sobre la Naturaleza y Causas de la Riqueza de las Naciones en 1776, tambin fue el primero en estudiar la divisin del trabajo. Al respecto sealaba en el libro citado, refirindose a la fabricacin de alfileres, He visto una pequea fbrica de esta especie que no empleaba ms que diez obreros, donde por consiguiente, algunos de ellos tenan a su cargo dos o tres operaciones. De esta forma describa que estas diez personas podan fabricar cuarenta y ocho mil alfileres por jornada de trabajo, sobre lo anterior sealaba que si cada una de las personas hubiese trabajado en forma independiente, y si adems no hubiesen tenido adiestramiento, seguramente no habran podido hacer ni 20 alfileres al da e inclusive no habran podido hacer ningn alfiler diario con calidad. Como se puede observar en esta parte de la introduccin, se ha avanzado por la historia de las relaciones econmicas, la divisin del trabajo y la capacitacin. Mundo Actual Pero la economa no podra moverse si en el mundo no existieran necesidades y satisfactores. Para algunos pensadores de la ciencia econmica, los motivos que inducen al individuo a la eleccin de compra, se pueden agrupar en los siguientes modelos6:

- Modelo econmico o de Marshall - Modelo psicolgico o de Freud - Modelo psicosocial o de Veblen - Modelo de aprendizaje o de Pavlov.

As se llega a los nuevos esquemas econmicos de la actualidad y se habla del carcter globalizado de las economas, en el que los dueos del capital deciden en donde instalar sus fbricas para tener economas de escala, principalmente por la cercana a los mercados de consumo y/o por el bajo costo de la mano de obra. Esta situacin beneficia de nuevo a los poseedores del dinero, ya que al constituir un nmero muy pequeo de personas en todo el mundo (comparado con la poblacin de asalariados) pueden funcionar como oligopolio y ponerse de acuerdo en la fijacin de los precios; mientras que los trabajadores difcilmente podran hacerlo por las 4 Revista Alto Nivel. Ao 19. Nm. 210, Febrero 2006. 5 Adam Smith. Investigacin sobre la naturaleza y causas de la riqueza de las naciones. Mxico: Fondo de Cultura Econmica. 6 Apuntes. Curso sobre Ventas Tcnicas. Instituto Mexicano del Petrleo. Subdireccin de Desarrollo Profesional. Mxico. Agosto de 1990.


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barreras de fronteras (que aqu s funcionan, no as para los representantes del factor capital), de pases, lenguas, culturas, distancias y en general por la carencia de recursos de todo tipo: Educacin, medios de comunicacin, tiempo, capital, movilidad, etc. Un comentario sobre la globalizacin: En su aspecto de interrelacin econmica, sta ya se daba desde tiempos de los griegos, en los Dilogos de Platn, el discpulo cita a su maestro Scrates en cuanto a la forma de comercio con los excedentes de los pases y en la visin que deben tener para elaborar slo aquello en lo que sean especialistas. En razn de lo anterior, las diferencias entre los griegos y nosotros, son muchas efectivamente, pero en esencia es lo mismo, slo que actualmente tenemos medios de comunicacin ms rpidos, y no les volver a suceder a los banqueros lo que le ocurri a Danglars; se puede optimizar el tiempo de las personas en los aspectos de comunicacin y econmicos, al no tener que trasladarse fsicamente a los bancos, ya que estamos en la era de las transferencias bancarias electrnicas, de la informacin y del conocimiento. INGENIERA ECONMICA Al entrar al estudio de la Ingeniera Econmica, es necesario entender las interrelaciones econmicas que existen entre pases, es decir el conocimiento general en el aspecto macroeconmico, para aterrizar estos conceptos en el mbito microeconmico, cuando se llega a comprender sta ltima parte, entonces se est en el camino correcto del aprendizaje de esta disciplina. En los tiempos actuales, el ingeniero en general y el ingeniero qumico en particular, tienen la formacin suficiente para integrarse y triunfar en el mundo de hoy; pero adems, para ello deben construir su propio acervo de conocimientos. Las herramientas fundamentales las pueden encontrar en las matemticas, la fsica, los sistemas de mediciones, el conocimiento de la qumica analtica, el balance de materia y energa, las operaciones y los procesos unitarios y el diseo; as como los diferentes cdigos, en los que se apoya este ltimo. Para encontrarlas, conocerlas y utilizarlas eficientemente, los ingenieros tendrn que navegar a travs de los libros, revistas y dems publicaciones, ya sea a travs de las ediciones en papel o, en forma ms rpida y actualizada, por medios electrnicos. Haciendo un parntesis, se referir ahora al campo de los ingenieros qumicos, mbito del desempeo profesional del autor. Para el ingeniero qumico, entre sus herramientas ms importantes, se encuentra el Manual del Ingeniero Qumico, en el que un buen profesional en esta rea que desee llegar al mnimo de conocimientos, tendra que buscar en las referencias bibliogrficas las rutas que le permitan conocer lo indicado por este libro, el que tambin lo llevar por el campo de los cdigos. De esta forma tendr un conocimiento tcnico, que le permitir desenvolverse mejor en su trabajo en las plantas industriales. Lo anteriormente descrito, es lo bsico que debe buscar en su formacin cualquier estudiante de ingeniera qumica, con ello


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podr evaluar los proyectos desde el punto de vista tcnico y tecnolgico, pero ningn conocimiento tcnico estar completo, si le falta la parte econmica, mediante la cual podr evaluar lo que requiere la empresa, sus necesidades, y lo ms importante que debe tener, es visin para la toma de decisiones adecuadas. La toma de decisiones requiere de un anlisis que permita evaluar las diferentes alternativas desde el punto de vista tcnico y tecnolgico, con la aplicacin de los procesos correspondientes, esta situacin necesariamente tendr que ser complementada con un anlisis econmico de las opciones puestas a consideracin, lo que se ver a lo largo de todo este libro. Una vez que se haya cumplido con esta metodologa, se proceder, principalmente en la tercera parte, a evaluar los proyectos desde el punto de vista de su rentabilidad, tanto desde el lado del ingeniero, como, adicionalmente, desde el ngulo del empresario o del financiero, en la cuarta y ltima parte de este texto. Algunas Definiciones Se considera necesario hacer en este momento algunas definiciones de los conceptos relevantes en ingeniera econmica: La Ingeniera Econmica es la aplicacin de las ciencias matemticas y econmicas al anlisis de un proyecto para predeterminar su viabilidad, desde el punto de vista del rendimiento del factor capital. Cuando se tiene ms de un proyecto, esta viabilidad cuantificada matemticamente, servir para seleccionar la mejor alternativa de inversin, por lo que la finalidad de los estudios de Ingeniera Econmica cae en el rea de la administracin y dentro de ella, en la toma de decisiones7. El proyecto a que se refiere el prrafo anterior, se entiende como la culminacin de una serie de estudios: De mercado (tanto de consumo como de abastecimiento), ingeniera del proyecto, localizacin de la planta, monto de los ingresos, monto de los egresos, y estados financieros proforma para su evaluacin contable y financiera7. Con la informacin de los ingresos y los egresos anuales, as como con el costo del dinero (tasa de inters), es que la Ingeniera Econmica nos permite hacer la evaluacin del proyecto industrial as como su comparacin con otros proyectos de inversin (que siempre los hay) para poder tomar la decisin correcta, es decir, seleccionar la alternativa donde probablemente tengamos el mejor retorno de la inversin. Se dice que siempre existen otras alternativas de inversin, ya que, al menos, siempre se podr decidir por el no hacer nada, decisin en la cual an se

7 Definicin del autor de este libro


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tendra la plusvala del capital expresada por el inters (I) que ganara el dinero si no se invirtiese en el proyecto industrial, sino que se le dejase en la institucin financiera que lo manejara. No obstante, existen tambin los proyectos industriales de inversin que desde el punto de vista de Ingeniera de la Planta, son necesarios para poder seguir operando. An en este caso, mediante la Ingeniera Econmica se podr seleccionar la alternativa u opcin ms econmica.


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CAPTULO 1 TOMA DE DECISIONES La toma de decisiones es el aspecto central de la Ingeniera Econmica, el ser humano aprende a tomar decisiones desde que nace. Al respecto, se expone aqu que en la familia de un conocido, para educar a sus hijos y que estos no rompieran los adornos familiares, la seora de la casa amarraba pequesimas puntas de alfiler a los floreros y muecos, con lo que los nios no los tocaban, debido a que ya haban tenido la experiencia de ocasiones anteriores en que sentan un pequeo piquete en la mano, como de espinada, tal situacin induca al nio a no tocar ms los adornos. En esta misma situacin seguramente el hombre prehistrico adulto, conoci y respet el fuego que al igual que los nios, cuando se acercan a la estufa o a alguna cosa que se encuentra en combustin, la respetan, debido a que la mam los advirti del peligro que sta representa. De esta forma para ilustrar el proceso de aprendizaje en la toma de decisiones y que no se olvide, se har a travs del cuento siguiente: Haba una vez una ranita, que la haba abandonado su pareja y de tristeza se sent a llorar sobre el riel de una va, pas el tren y le cort las nalgas; enojada, pens en la venganza, para ello empez a levantar pesas y cuando se sinti fuerte se fue a parar frente al tren, para descarrilarlo, en esta ocasin con mucha suerte la ranita, recibi slo un empelln. Adolorida; pero ms enojada, y como la ranita era necia, regres al gimnasio, para ejercitarse en el levantamiento de pesas, cuando consider oportuno volvi a la va para enfrentarse al tren, en esta ocasin no tuvo suerte y el tren le cort la cabeza. Al respecto, la moraleja, al igual que la Biblia, puede tener varias interpretaciones, o se podra decir en la jerga pblica, varias moralejas, tales como: Un perro chico generalmente no se enfrenta a un perro grande y slo lo hace cuando no tiene otra salida, an en los animales est presente la toma de decisiones. Los seres humanos s se enfrentan a una persona ms grande. En este aspecto, hay dos tipos de toma de decisiones, cuando el ser humano es necio se enfrenta a alguien ms fuerte que l en desventaja, sin embargo lo puede hacer ventajosamente cuando domina alguna tcnica especial, y an esta ventaja puede ser mayor cuando el enfrentamiento es a travs del razonamiento para resolver un problema. Una interpretacin ms es: No pierdas la cabeza por algo pueril.


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Ahora bien Existe una metodologa para tomar decisiones?, claro que la hay, para ello podemos citar, entre muchos, a Pal E. Mooddy8; quien seala los pasos siguientes:

Estar consciente de un problema o accin Reconocer el problema y su definicin Analizar posibles alternativas y sus consecuencias Seleccionar la solucin Implementar la solucin, y Proporcionar retroalimentacin

En la misma obra, el autor hace referencia a Peter Drucker, quien en el libro The Effective Executive menciona los elementos que hay que tener en cuenta para tomar una buena decisin, los cuales se enumeran enseguida:

Comprensin clara del problema y que slo puede solucionarse por una decisin que establezca una regla

Definicin de las especificaciones o condiciones limitantes de la solucin

Obtencin de una solucin correcta La inclusin en la decisin de la accin necesaria para llevarla a cabo La retroalimentacin

Tambin seala, que para poder evaluar la importancia de la decisin, se requiere tomar en cuenta cinco factores que son:

Tamao o duracin del compromiso Flexibilidad de los planes Certeza de los objetivos y las polticas Cuantificacin de las variables Impacto humano

Adicionalmente a lo anterior, se debern tomar en cuenta otros aspectos como:

Costo-Beneficio-tiempo, y Punto de decisin ptima

Tambin seala como ingredientes en la toma de decisiones:

Informacin Conocimientos Experiencia Anlisis Juicio

8 Pal E. Mooddy, 1991: Toma de decisiones gerenciales. Mxico: McGraw-Hill, primera edicin.


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El texto referido, seala que tambin existen categoras del tipo de decisiones que toman las personas y stas son:

La economicista La esttica La terica La social La poltica La religiosa

Como se puede fcilmente observar, para la toma de decisiones se utilizan varias herramientas, entre stas se encuentra la Ingeniera Econmica, que para las carreras de ingeniera es la herramienta ms importante, ya que los mejores ingenieros son aquellos capaces de resolver problemas, y el decidirse por una opcin entre varias factibles, es el primer gran problema a resolver en un proyecto industrial, mbito de la Ingeniera Econmica, por la trascendencia de esta decisin. Como se ver a travs del desarrollo de los siguientes captulos, la Ingeniera Econmica, usando las matemticas nos permitir conocer cul es la mejor opcin para invertir los ahorros de los accionistas que estn dispuestos a arriesgar su dinero para incrementarlo y para coadyuvar a la creacin de empleos. Haciendo un parntesis, que consideramos oportuno, el pas se encuentre en una situacin crtica en estos momentos con respecto a la necesidad de crear empleos porque su poblacin sigue creciendo todava a un ritmo alto y en cambio la economa prcticamente no ha crecido (al menos no suficientemente) durante los ltimos aos. El resultado: La expulsin de jvenes hacia Estados Unidos que algunos autores estiman en alrededor de medio milln cada ao en este sexenio (2000-2006) y que nosotros podemos comprobar visitando cualquier pueblito del interior de Mxico en donde nos encontraremos a muchas de estas comunidades ya sin jvenes; que aunado a la mala distribucin de la riqueza, mantiene a la mitad de nuestra sociedad sumida en la pobreza desde toda la vida, cmo se explica, si no por esta distribucin que en un pas de poco ms de cien millones de habitantes tengamos a ms de cincuenta millones de pobres y tambin tengamos al hombre ms rico del mundo? Vase la magnitud de esta situacin: No hay ningn pas en el orbe que tenga un hombre ms poderoso financieramente hablando, que el nuestro. Volviendo a nuestro tema de trabajo, la seleccin de alternativas de proyectos industriales de inversin, esta seleccin ya no puede seguirse haciendo en forma emprica como se ha venido haciendo tradicionalmente. Es necesario usar tcnicas modernas ya probadas con mucho xito en otras latitudes, tales las tcnicas matemticas usadas por la Ingeniera Econmica. Naturalmente que la aplicacin de estas tcnicas de seleccin no elimina al cien por ciento la posibilidad de fracaso; pero incremente enormemente las probabilidades de xito.


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Muchas veces en las universidades o escuelas de ingeniera, los catedrticos de materias tcnicas, hacen creer a sus alumnos que la parte tcnica es la ms importante y que menosprecien el anlisis econmico; estos profesores viven en el pasado, sin embargo, en lo que tienen razn es que aprender la parte tcnica es importante; porque una institucin que se respete, lo menos que debe hacer con sus alumnos es darles una formacin tcnica slida; pero no es lo nico. Una institucin que considere que debe competir en el nivel internacional (esto actualmente es insoslayable), debe preparar ingenieros capaces de resolver problemas, que tengan soporte en el anlisis de alternativas, para poder tomar la mejor decisin desde el punto de vista econmico, tcnico, tecnolgico y ecolgico. Cmo afecta a otras personas la decisin tomada por el ingeniero encargado de seleccionar un proyecto industrial en particular, desechando todos los dems proyectos de esta ndole que se le presentan para su eleccin Decamos en la Introduccin, la decisin de llevar a cabo o no un proyecto industrial en lugar de otro proyecto o inclusive, de no hacer nada, es trascendente. Y lo es en muchos aspectos. Nos atreveramos a decir que cualquier decisin que se tome en un proyecto industrial, buena o mala, va a trascender en todos los aspectos de la comunidad en donde se realice o no se realice el proyecto y en ltima instancia, aunque sea en menor grado, en toda la comunidad global. No exageramos, y si se pone en duda esta ltima afirmacin, slo basta observar el desarrollo industrial exponencial que ha tenido China en los ltimos aos para darse cuenta cmo nos ha afectado a todos los habitantes de este planeta, positiva o negativamente, o en ambas formas. Slo por mencionar algunos aspectos en los que afecta la decisin en este caso, podemos afirmar que en el aspecto econmico; si es acertada, propiciar su desarrollo, en la creacin de empleos y otras fuentes de trabajo (proveedores y usuarios); en el comercio a travs del incremento cualitativo y cuantitativo de la red de distribucin; en el fiscal, pagando impuestos y contribuyendo a su mejor distribucin al pagar impuestos federales, estatales y municipales; en el social, colaborando con la sociedad con la que convive, utilizando su acervo de conocimientos a travs de sus profesionistas y de su propia experiencia y manteniendo una buena relacin con su comunidad inmediata; en el nacional, creando riqueza y en ltima instancia en el aspecto global como ya qued establecido. Naturalmente que si la decisin es equivocada, tendr todos los efectos mencionados y ms, slo que ahora negativamente. Vase si tiene o no importancia el tomar una buena decisin en el momento adecuado.


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Un comentario adicional: La empresa producto de la decisin de llevar el proyecto a su realizacin, deber cuidar, adems de retribuir equitativamente a los factores de la produccin: Tierra, trabajo, capital y tecnologa. A la tierra, cuidando de no deteriorarla ms, de no contaminarla; sino de devolverle los componentes que le toma al menos como los tom y si se puede mejorndolos: El agua, el aire, el ruido, la temperatura, etc. Al trabajo, pagando los salarios justos y de acuerdo a las utilidades de la empresa. Al capital, retribuyndole tambin justamente, sin detrimento de las asignaciones a los otros factores. A la tecnologa, contribuyendo a su desarrollo y avance para satisfacer los requerimientos de los otros factores y de la sociedad, principalmente al factor tierra, es decir, buscando siempre una produccin ms limpia.


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CAPTULO 2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA INGENIERA ECONMICA El valor cronolgico del dinero Desde la invencin del dinero como medio de intercambio comercial, ste ha tenido y sigue teniendo un costo que est en funcin del tiempo que transcurre desde el momento en que lo recibe el que lo solicit en prstamo hasta el instante en que lo devuelve al dueo del mismo que fue el que lo dio en prstamo. Lo anterior se traduce en que al haber trascurrido un perodo de tiempo, y al ser pagado el prstamo, quien lo proporcion recibir una cantidad mayor a la originalmente prestada. Esta cantidad mayor estar formada por la cantidad inicialmente proporcionada (Capital inicial o Principal) ms el costo del dinero pactado por ese periodo de tiempo. Por ejemplo, si una persona le presta a otra $100,000.00 por un mes y acuerdan que al final de ese mes el deudor devolver $101,000.00, el costo de ese dinero es de $1,000.00 en un mes. Se entiende que el poseedor original de esos cien mil pesos, se priva de los beneficios que podra tener al gastarlos comprando algo de utilidad para l; a cambio de incrementar el valor de ese capital en mil pesos al final del mes. Del otro lado, el deudor, al tener ese dinero adicional (los cien mil pesos) con los que no contaba, podr adquirir satisfactores que le proporcionarn algn beneficio, y eso tiene un costo de mil pesos en un mes. En el ejemplo anterior tambin se puede apreciar que el que posee el dinero, si no lo presta, le estar costando a l, mil pesos en un mes que recibira del deudor al saldar la cuenta, cuando recibira tambin los cien mil pesos originales. Si decidiera gastar ese dinero en adquirir un objeto para satisfacer una necesidad, adems de los mil pesos en un mes, perdera tambin la depreciacin del mismo (del objeto) por su uso u obsolescencia, a cambio de recibir los beneficios del satisfactor. La depreciacin y la obsolescencia generalmente no aplican para el caso de invertir el dinero en vez de gastarlo. Como se puede ver por lo expuesto hasta ahora en este captulo, para que se d este incremento en el valor del dinero es necesario que se cumplan dos condiciones: La primera es que el dinero est invertido (en este caso prestado a un costo estipulado) y la segunda, que haya trascurrido un periodo de tiempo, de donde proviene el nombre del concepto: Valor cronolgico del dinero.


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Tambin se puede notar en este mismo ejemplo que en l no se est considerando el aspecto inflacionario. No se est haciendo intencionalmente aqu, para no complicar los clculos y porque, por fortuna, en Mxico esta anomala econmica, la inflacin, ha sido minimizada de manera que su efecto es tambin pequeo. Y tambin porque, al tener esta variable el mismo valor para todas las opciones a analizar econmicamente, no influye en la seleccin de la alternativa, objeto del estudio. La equivalencia financiera Siguiendo con el ejemplo anterior, el valor de los cien mil pesos el da primero de mes, se convierte en ciento un mil pesos al da ltimo; y, si llevamos los ciento un mil pesos del da ltimo de mes al da primero de ese mismo mes, tendremos solamente cien mil pesos, porque habra que descontarle los mil pesos ganados en el mes que an no transcurre. Se dice que ambos valores: Cien mil pesos al principio y ciento un mil pesos al final del mes son equivalentes si, y slo si, el costo de ese dinero es de mil pesos en un mes. Del prrafo anterior podemos deducir que la equivalencia financiera est basada en dos pilares fundamentales: El paso del tiempo y el costo del dinero en el tiempo transcurrido. Aqu se considera oportuno hacer algunas reflexiones importantes:

Como se vio en el apartado anterior, es necesario que el dinero se encuentre invertido para que pueda incrementar su valor con el paso del tiempo.

Nuestro mbito de operacin son los proyectos industriales, lo que implica que las cantidades de dinero de las que estamos hablando son de cierta magnitud.

Al tratarse de cantidades de una cierta magnitud, resulta obvio que no podemos manejarlas en efectivo y que por lo tanto siempre se mantendrn invertidas ya sea como capital de la empresa o en instituciones financieras. Dentro de estas instituciones se encuentran incluidos los bancos que manejan las cuentas de cheques, en las que se invierten los dineros para su disposicin inmediata y que tambin generan intereses.

Por lo tanto, el dinero que traemos en el bolsillo para pequeos gastos en efectivo, al tratarse de cantidades pequeas y al no estar invertido, no incrementa su valor con el transcurso del tiempo.

La tasa de inters o el costo del dinero Hasta ahora se ha venido exponiendo que el dinero tiene un costo para el que lo pide prestado. Resulta obvio que este costo se convierte en ganancia para el dueo del capital; pero se trata exactamente de la misma cantidad y


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precisamente del mismo dinero, puesto que lo que paga el deudor como costo, lo recibe el acreedor como premio. A esta cantidad, pagada o recibida, expresada en trminos porcentuales (un porcentaje del capital dado en prstamo), se le denomina: tasa de inters. Para diferenciar estas tasas, como se vio en la Introduccin, tratndose de instituciones financieras, a la que ellas pagan se le llama tasa pasiva y a la que cobran se le denomina tasa activa. No obstante, en este libro no se har ninguna distincin porque siempre estaremos en la posicin de clientes del banco y no de sus accionistas o dueos y la tasa que vamos a pagar es precisamente la misma que nos van a cobrar por lo que en su clculo no hay diferencia alguna entre una y otra, entre la pagada o la cobrada, siempre se trata de la misma cantidad y slo en su efecto real es absolutamente distinto pagar que cobrar, dar que recibir; y porque, adems, en la mayora de los casos, en los clculos de Ingeniera Econmica, stos se referirn a las transacciones vistas desde el lado del deudor, del que pide prestado el dinero para financiar un proyecto industrial. Ya que el mbito de estudio lo constituye el entorno de los proyectos industriales que requieren financiamiento, y no del poseedor del dinero que busca su mayor rendimiento (de su dinero) sin importarle mucho el objeto de la inversin. Sin embargo, en la parte final de esta obra, se ver lo concerniente a este ltimo planteamiento, en el captulo 9 de este mismo libro. La tasa de inters, siempre estar referida al inters compuesto; puesto que el inters simple es slo un caso particular del inters compuesto. Inters compuesto significa que si no se pagan los intereses devengados por el capital en un periodo determinado, stos se acumularn al capital por lo que a partir de ese momento estos intereses (ya capitalizados) generarn nuevos intereses y as en cada fin de periodo. Como se puede observar en lo expuesto en el prrafo anterior, el pago de intereses sobre los intereses se puede obviar, pagando los intereses devengados oportunamente a su vencimiento, cayendo en el caso del inters simple como se afirm previamente. Es oportuno aclarar, que en el financiamiento de los proyectos industriales, mbito de estudio de este libro, por lo general no se tienen ingresos en el primer ao; sino hasta el segundo y a veces hasta el tercero o cuarto ao de inicio del proyecto, entonces, generalmente en estos primeros periodos no se podrn pagar los intereses por lo que ellos se capitalizarn, tenindose la necesidad de pagar intereses sobre los intereses no pagados al final del periodo de inters (inters compuesto). El flujo de dinero Como qued establecido previamente, el mbito de estudio en este libro lo constituyen los proyectos industriales. En la introduccin se mencion brevemente que el proyecto industrial lo integran una serie de estudios que


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van desde el anteproyecto hasta la culminacin de esos estudios con la viabilidad tcnica de llevar al cabo el plan, faltando solamente tomar la ltima decisin: Invertir el dinero necesario para su realizacin, generalmente bajo la forma de una empresa o sociedad mercantil. Es en este momento donde se hace obligado efectuar su evaluacin financiera. Para poder hacer esta evaluacin, se necesita conocer cmo va a fluir el dinero en el proyecto a evaluar. Dicho en otras palabras, se deben estimar los desembolsos y los ingresos que se tendrn a lo largo de todo el horizonte de vida del proyecto en cuestin, incluyendo el ltimo ingreso del dinero que se obtendr por la venta del equipo por kilogramo como chatarra, si es que lo hay. El diagrama de flujo Se facilita el entendimiento y manejo de los flujos de dinero, tambin llamados flujos de efectivo, flujos de caja o cash flow, por medio de su diagramacin. Dada la importancia de este apartado (baste mencionar que en este diagrama se encontrarn, con un poco de imaginacin, todos los datos, todas las incgnitas y todas las soluciones posibles), se har una corta introduccin con la intencin de facilitar su comprensin. Para realizar una evaluacin, siempre es necesario entender hacia donde va sta, lo cual es de vital importancia, ya que an cuando ocasionalmente podamos llegar a pensar que no tiene caso considerar el valor del dinero en cada una de las decisiones que se toman, en realidad si se est evaluando el costo que tiene cada una de nuestras acciones, por ejemplo cuando un alumno sabe que tiene un examen y durante todo el semestre no asisti en forma regular al curso, tampoco cuenta con el programa ni la bibliografa para desarrollar los temas por su cuenta, y si slo asisti al 40 50% de las clases, sabe que los apuntes que tiene disponibles no le permitirn estudiar lo suficiente para acreditar el curso (habra que considerar tambin lo que disponga el reglamento en cada caso). Al respecto se tiene que el estudiante dej de cumplir con sus obligaciones y estar metido en un problema, que con el paso del tiempo y dependiendo de la materia si sta es seriada o corresponde a la terminacin de la carrera, por una materia no podr continuar avanzando en su desarrollo profesional y habr dejado de acumular conocimiento: He aqu el costo del incumplimiento de sus obligaciones previamente conocido y muy probablemente evaluado por el alumno. El conocimiento ordenado corresponde primero al capital intelectual del ser humano, con el que el estudiante podra haber obtenido una posicin en una empresa, para de esta forma continuar su desarrollo y pasar a formar parte del capital humano-intelectual de dicha empresa para la que trabaje o an mejor si hubiera logrado acumular un importante nmero de conocimientos


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de una especialidad y fuera capaz de desarrollar metodologas, podra haber sido consultor o haber emprendido un negocio por cuenta propia (costo potencial del mismo incumplimiento). En los tiempos actuales, la representacin grfica de los problemas se ha tornado algo de lo ms comn en el mundo ejecutivo; sin embargo, debe decirse que anteriormente muchas veces las personas, para la solucin de un problema, no hacan una representacin grfica o diagramacin del problema que estaban por resolver, pero s entendan conceptualmente el fin que perseguan y las herramientas que se tenan que utilizar para llegar a la solucin y para canalizar el esfuerzo que les permita obtener el resultado correcto. De igual manera, para alguien que estudia Ingeniera Econmica, le deber quedar claro que en la representacin grfica, se pueden tener valores que convencionalmente se les atribuye un signo (+) positivo, o un signo (-) negativo, de forma que al graficarlos, los valores positivos y los negativos, estarn divididos por una lnea que representa al tiempo, el que a su vez est dividido en aos o periodos. Es importante sealar que el tiempo se representa con una lnea horizontal. En el origen de la misma, como su nombre lo indica, se encuentra el tiempo cero, el que crece hasta el nmero de aos o perodos de tiempo que se quieran representar, tambin es importante hacer notar que convencionalmente los valores positivos representan ingresos y los negativos egresos, tal representacin es como sigue: (+) Lado de los Ingresos (-) Lado de los Egresos Figura No. 2.1 Escala de tiempo con sus zonas de ingresos y egresos Lo sealado en el prrafo anterior, es sencillo; sin embargo, cuando se realiza un anlisis ms profundo encontramos que los ingresos pueden tomarse en cuenta desde diferentes puntos de vista, as se tiene que si un banco o inversionista presta dinero, el prstamo se convierte en una erogacin y para quien lo recibe se convierte en un ingreso, tomando en consideracin que la transferencia de dinero de una cuenta a otra o la cantidad entregada a una persona, normalmente est regulada por la palabra de las personas o mejor an, por un contrato escrito. Llegar el momento en que se tenga que pagar el dinero del prstamo. Esta accin normalmente se realiza con el pago del principal o capital inicialmente prestado, ms los

0 1 3 2 4 5aos


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intereses respectivos. La excepcin sera el caso inusual en el que el prstamo se hubiera realizado en forma gratuita, entonces quien recibe el dinero, lo regresara sin cubrir el rendimiento del capital. Como ya se indic, el dinero normalmente se presta para recibir, con el ltimo pago, tanto el capital como el inters respectivo, el cual se calcular de acuerdo con una tasa previamente pactada, as como por el o los perodos en que habr de capitalizarse dicha tasa de inters, de esta forma se tiene como ejemplo que si existe una capitalizacin trimestral, entonces en el lapso de un ao habr cuatro perodos, y esta situacin se repetir durante todo el plazo pactado para la devolucin del capital incrementado. Para ilustrar lo sealado, a continuacin se presentan dos pequeos diagramas: 1,2,3,4 trimestres Figura No. 2.2 Periodos anual y trimestrales (+) Lado de los ingresos. 0 1 2 3 4 aos 16 trimestres (-) Lado de los egresos. Figura No. 2.3 Periodos anuales y trimestrales Como consecuencia de lo expresado, se tiene que en el diagrama, en la parte superior se representa la tasa de inters que se tiene pactada en la forma siguiente: i = x % por periodo (x en nmero es el valor que se pacta entre quien aporta el dinero y quien lo solicita en prstamo)

1 ao 0


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(+) Lado de los ingresos. i = x % 0 1 2 3 4 aos trimestres (-) Lado de los egresos. Figura No. 2.4 Periodos anuales y trimestrales con su tasa de inters Ahora suponga que una persona recibe un prstamo de un banco el da de hoy, el cual deber pagar dentro de 10 aos con los intereses respectivos a razn de 10% anual y que adems al final del ao cinco, contado dicho ao a partir del da de hoy, recibir otro prstamo que cubrir a la misma tasa de inters; slo que en las condiciones del nuevo prstamo se establece que el mismo (el nuevo prstamo) se deber pagar en Anualidades a travs de cinco pagos iguales que se iniciarn un ao despus de haber recibido el segundo emprstito y que satisfagan esas Anualidades el pago tanto del capital recibido en el ao cinco, como de los intereses devengados por los saldos insolutos durante los siguientes cinco aos (finales de los aos cinco, seis, siete, ocho, nueve y diez). A continuacin se presenta el esquema grfico de cmo quedara representado este problema desde el punto de vista del deudor.


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Flujo de caja desde el punto de vista del deudor (+) Lado de los ingresos. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (-) Lado de los egresos. Figura No. 2.5 Diagrama de flujo de dinero completo. Visin del deudor El problema propuesto en el prrafo anterior, tambin lo vamos a presentar a travs de su representacin grfica; pero en este caso, lo haremos desde el punto de vista del banco, por lo que el diagrama queda representado de la forma siguiente:

Pago de intereses

Capital inicial

2 Prstamo, para cubrir en

Anualidades

aos

-(A) pago de Anualidades

Prstamo o capital inicial

i = 10% anual


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Flujo de caja desde el punto de vista del banco

(+) Lado de los ingresos. i = 10% anual Aos Pago de Anualidades 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. . (-) Lado de los egresos Figura No. 2.6 Diagrama de flujo de dinero completo. Visin del acreedor En cuanto a los intereses, la razn por la cual el capital debe tener un rendimiento, la podemos comparar en similitud con el trabajo que realiza una persona. As se tiene que dicha persona se desempaa en su trabajo, y realiza una serie de tareas que se le encomiendan y al final de cada tarea; al final del da, al final de la semana o al final de la quincena, se le paga por el trabajo realizado una cantidad de dinero previamente convenida. Lo mismo

Pago de intereses

Pago del prstamo o capital inicial

Prstamo para cubrir en

anualidades

Prstamo o capital inicial


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sucede con el apalancamiento o financiamiento (dinero) que otorga una persona o una empresa, u otra persona fsica o moral. La primera, que es la que aporta el dinero, debe recibir por el prstamo del mismo un pago convenido que en este caso ser el inters (expresado por la tasa de inters), ya que ese dinero servir a la empresa o persona para desarrollar los proyectos que tenga planeados, es decir el dinero est coadyuvando a la realizacin de un trabajo, convirtindose en un factor de la produccin y por lo tanto recibir parte de los beneficios. Es importante hacer notar que hasta ahora los planteamientos han sido sencillos, pero para realizar un proyecto que se desee llevar al cabo por una persona o empresa, el nmero de conceptos se incrementa considerablemente, debido a que un proyecto nace de una idea, y para ponerla en prctica, se requiere de dinero (factor de la produccin denominado capital). Para obtener el dinero, generalmente existen diferentes opciones, como son: Primero, evaluar los recursos monetarios de que se dispone (dinero); segundo, invitar a socios inversionistas; tercero, invitar a socios que tengan conocimientos sobre el negocio; cuarto, invitar a inversionistas que quieran trabajar para el proyecto; quinto, solicitar prstamos; sexto, hipotecar bienes si los hay; sptimo, si el inversionista es persona moral y tiene la solvencia para trabajar en bolsa de valores, puede emitir acciones, obligaciones o bonos, que dependiendo de la autorizacin que se tenga, pagarn, si son acciones, dividendos, y si son obligaciones o bonos, un porcentaje a los inversionistas. Todo este flujo de dinero al que podemos recurrir, se puede representar en forma grfica. As tambin el proyecto en su realizacin, tendr erogaciones por sueldos de ejecutivos y por trabajadores que realizan acciones encaminadas a su puesta en marcha; sin embargo, antes de la puesta en marcha se requiere realizar la ingeniera y la construccin. Para el caso de la ingeniera, sta se divide en ingeniera bsica y de detalle, y cada una de estas ingenieras tambin tiene subdivisiones y todas ellas requieren de equipos y materiales para su implementacin, lo cual para cada uno de los conceptos en que se divida, se tiene un costo que puede representarse grficamente en el flujo de caja del proyecto. Con lo sealado en los dos prrafos precedentes, es importante hacer notar que para llevar al cabo un proyecto, es necesario establecer una ruta crtica para determinar la fecha en que se debe tener terminado. As para su realizacin, surge otro concepto que es el de origen y asignacin de recursos, tales recursos tambin pueden representarse en forma grfica. Es en esta parte que trabaja la Ingeniera Econmica, ya que los recursos monetarios, aun cuando sean de la persona o empresa que llevar a cabo el proyecto, por el uso de los recursos propios, como ya se indic en la parte conceptual se debe considerar un rendimiento y de acuerdo a donde se encuentren invertidos los recursos generarn un incremento en su valor, que corresponder a una tasa de inters, dicha tasa de inters ser baja o


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elevada de acuerdo al riesgo que tenga el dinero. De nuevo aparece otro concepto que es el de riesgo. Sobre el riesgo conviene sealar que generalmente las personas saben que existe una tasa que se paga por parte de los bancos en forma segura y que tal tasa es mnima, pero cuando existen varias alternativas de inversin, todas ellas debern pagar al menos una tasa de inters garantizada que pueda evaluarse como segura, a sta se le llama tasa de inters mnima atractiva de retorno o rendimiento (TMAR) que se ver ms ampliamente en el captulo seis. Cuando los recursos se invierten en un proyecto industrial, la tasa de inters para el retorno de la inversin (TIR), debe ser mayor que la TMAR. Con esta informacin para evaluar esta parte del proyecto se establece que existe un perodo de tiempo para ponerlo en marcha, es decir, para construirlo y tenerlo operando, y a partir del inicio de operaciones normalmente se considera un horizonte de 10 aos de operacin del proyecto, aunque puede ser cualquier nmero de periodos de tiempo, en estas condiciones con el proyecto en operacin surgen nuevos conceptos y todos ellos pueden diagramarse. De acuerdo con lo expuesto, se propone al profesor de Ingeniera Econmica que elabore un diagrama en el que anote todas las posibilidades de ingresos y egresos en forma terica, de acuerdo con un programa de actividades o ruta crtica para desarrollar el proyecto hasta la recuperacin del capital invertido y la determinacin de la tasa interna de retorno (TIR). Resumiendo lo hasta aqu expuesto sobre el tema, para elaborar un diagrama de flujo de dinero, se recurre a una recta horizontal que representar la escala de tiempo. Esta recta se divide en segmentos que representarn cada uno un periodo de ese mismo tiempo. As, si el horizonte de vida del proyecto es de cinco aos, la escala de tiempo se dividir en cinco partes iguales que representarn un ao cada una. Comenzando por el inicio en el extremo izquierdo que se denominar ao cero, se continuar a lo largo de la recta horizontal con el ao uno, dos, tres, y as sucesivamente hasta el ao cinco que se ubicar precisamente en el extremo derecho de la escala. T I E M P O Figura No. 2.7 Representacin de la escala de tiempo solamente


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0 1 2 3 4 5 aos Figura No. 2.8 Escala de tiempo divida en periodos anuales Cada uno de los puntos de la escala representa el final del ao anterior y el principio del ao siguiente. As, el punto cero representa el final del ao cero y el inicio del ao uno, en el punto uno termina el ao uno y principia el ao dos y as sucesivamente. En cada uno de los puntos de la escala de tiempo, se anotarn los flujos netos de todos los movimientos de dinero ocurridos a lo largo del ao (o periodo) que termina. Se insiste en anotar slo los flujos netos, para reducir los clculos, por ejemplo, si en el ao uno se tuvieron 100 unidades monetarias de desembolsos y solamente se tuvieron ingresos por 20 unidades monetarias, entonces se anotarn 80 unidades monetarias del lado de los egresos; si en el ao dos se tuvieron ingresos por 150 unidades monetarias (en lo sucesivo estas unidades monetarias se representarn por el signo $) y se tuvieron egresos por las mismas $150, entonces no se har ninguna anotacin en el punto dos de la escala de tiempo pues 150 150 = 0. Si los ingresos superan a los egresos, como generalmente sucede en los ltimos aos de la vida de un proyecto, entonces la diferencia entre ellos se anotar del lado de los ingresos. Convencionalmente se asigna (como qued establecido) a los ingresos el signo positivo (+) y se representan por medio de flechas ascendentes del lado de arriba de la escala de tiempo (lado de los ingresos) y con el signo (-) a los egresos con flechas descendentes del lado de abajo de la recta horizontal (lado de los egresos). (+) Lado de los ingresos. 0 1 2 3 4 5 aos (-) Lado de los egresos. Figura No. 2.9 Escala de tiempo divida en periodos anuales, con representacin de la ubicacin de los ingresos (+) hacia arriba y de los egresos (-) hacia abajo


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Ejercicio de aplicacin: Una persona ahorra inicialmente $50,000.00 pesos, y a lo largo de 5 aos planea ahorrar adicionalmente $3000.00 pesos por ao. Al respecto, se construir el diagrama de flujo respectivo. Representacin Grfica, desde la apreciacin del ahorrador: -3,000 -3,000 -3,000 -3,000 -3,000 -50,000 Figura No. 2.10 Escala de tiempo divida en perodos anuales, con los ahorros inicial y anual La representacin grfica, desde la perspectiva del banco que recibe el dinero, se tendra dando un giro de 180o al diagrama anterior, que fue lo que se hizo en la ejemplificacin alusiva anterior. Interrelacin de los conceptos hasta aqu expuestos Hasta aqu hemos visto solamente los conceptos bsicos de la Ingeniera Econmica: El valor cronolgico del dinero y las equivalencias financieras. Tambin se vieron la tasa de inters y el diagrama de flujo de dinero. Aunque falta tratar algunos aspectos secundarios y los otros convencionalismos usados comnmente, todos ellos se irn viendo en su

0 1 3 2 4 5 aos


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oportunidad, cuando sean utilizados, para no saturar de ideas y aspectos puramente tericos al lector. Sin embargo, aqu podemos ya hacer un esbozo de cmo van a interrelacionarse los conceptos bsicos ya vistos, con el objetivo de empezar a visualizar la utilizacin y aplicacin de la Ingeniera Econmica en la toma de decisiones financieras, referidas estas ltimas a la seleccin de alternativas en proyectos industriales. El valor cronolgico del dinero se manifiesta por medio de los intereses ganados por el capital a travs del paso del tiempo. Estos intereses se pueden calcular utilizando la tasa de inters que previamente se pact o contrat (el contrato puede ser verbal, a la palabra o escrito) entre acreedor y deudor, aplicando la tasa sobre los saldos insolutos (lo an no pagado), de acuerdo al nmero de periodos transcurridos y capitalizando los intereses no pagados. Se har hincapi en el hecho de aplicar la tasa de inters sobre los saldos insolutos, esto es, sobre los saldos de la deuda no pagada an. Naturalmente que esta deuda no cubierta (no pagada todava, no saldada) es la que seguir generando intereses y ellos mismos (los intereses) si no se pagan en su vencimiento, se irn sumando al capital no pagado y por lo tanto este ltimo aumentar en los intereses adicionales producidos por los intereses no pagados y capitalizados en su vencimiento. Por esta razn se dice que se pagan intereses sobre los intereses; pero falta agregar, para expresarlo correctamente, que se trata de los intereses de los intereses no pagados a su vencimiento. Concepto ya visto y a lo que se conoce comnmente como inters compuesto. De esta manera podemos ya calcular algunas equivalencias financieras como sera el Valor Futuro en un periodo posterior al ao cero. En el periodo cero es donde se ubica el valor inicial del dinero invertido. En el periodo futuro, al capital inicial se le sumaran los intereses devengados capitalizados (sumados al capital) en el o los periodos no pagados a esa fecha, para obtener ese Valor Futuro. De manera similar, se podra calcular el Valor Presente (algunos autores lo llaman Valor Presente Neto Descontado) de ese Valor Futuro calculado de la manera como se estableci en el prrafo anterior, slo que ahora, descontando los intereses agregados, para llegar as al valor inicialmente considerado en el ao cero. A este mismo Valor Presente se le da el nombre de Costo Capitalizado, cuando la duracin del proyecto es muy grande o

desconocida, es decir, cuando n = Tambin se podr calcular otro equivalente tanto del Valor Presente como del Valor Futuro si se desean hacer Pagos Anuales iguales a travs de los periodos de tiempo establecidos (aos), en todos y en cada uno de ellos.


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Smbolos usados comnmente Antes de pasar al siguiente captulo, en donde se deducirn las frmulas matemticas para el clculo de las equivalencias financieras, se proceder a elaborar ahora la lista de los smbolos a utilizar en dichas frmulas: P = Valor Presente en unidades monetarias ($)

CC = Costo Capitalizado en unidades monetarias ($)

F = Valor Futuro en unidades monetarias ($)

A = Anualidades en unidades monetarias ($)

I = Inters en unidades monetarias ($)

i = Tasa de inters en porcentaje (%)

n = Nmero de periodos en unidades de tiempo (aos, comnmente) Como se recordar, todos los clculos de Ingeniera Econmica se basan en el valor cronolgico del dinero; por lo tanto, en todos los clculos estar presente el valor tiempo en forma de perodos. El inters I, se puede considerar como una expresin de la tasa de inters y viceversa, por lo que se podra prescindir de su smbolo; sin embargo se incluye aqu para evitar confusiones entre el inters y la tasa de inters, ya que, aunque se refieren a lo mismo, son expresados en dos formas diferentes, uno est dado en unidades monetarias y la otra en un porcentaje del capital. De los cinco elementos bsicos representados por los smbolos: P, F, A, i, y n, cuatro por lo menos estarn presentes en todos los problemas de Ingeniera Econmica y de ellos se debern conocer por lo menos tres, cuyos valores se establecen generalmente (o deberan establecerse) en un contrato escrito.

De cualquier frmula en la que aparezcan estos elementos, se podr despejar y conocer el valor de cualquiera de ellos.


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Notacin estndar Cuando deseamos conocer el Valor Futuro, conociendo el Valor Presente, la tasa de inters y el nmero de periodos, todo lo anterior lo podemos expresar como: F dado P, al i% de inters y en n periodos. Y en forma ms simplificada an: ( F/P, i%, n ) que se conoce como la notacin estndar Lo que se acostumbra leer como: F dado P, i%, n. De manera similar, si el dato es F y queremos conocer P, al i% de inters y en n periodos, entonces todo lo anterior queda definido en la expresin: ( P/F, i%, n ) P dado F, i%, n Para el caso de la Anualidad A: Si el dato es el Valor Futuro, tendremos: ( A/F, i%, n ) A dado F, i%, n Si el valor conocido es la Anualidad y queremos conocer el Valor Futuro F, tendremos: ( F/A, i%, n ) F dado A, i%, n Cuando se conoce el Valor Presente y se desea conocer la Anualidad: ( A/P, i%, n ) A dado, P, i%, n


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Y para terminar, si se conoce el valor de la Anualidad y se necesita calcular el Valor Presente, entonces nuestra expresin queda como: ( P/A, i%, n ) P dado A, i%, n Las expresiones entre parntesis son los factores por lo que hay que multiplicar el valor dado para encontrar el valor pedido, representado este ltimo por la primera letra de la expresin. Los valores de estos factores se pueden calcular usando la frmula correspondiente (que se ver en el captulo 3) para una tasa de inters y para un nmero de periodos. Podemos as fijar una tasa de inters e ir variando el nmero de periodos obtenindose de esta manera una tabla de valores para una cierta tasa y para el nmero de periodos que deseemos. Por ejemplo si se elige la tasa de 10% por periodo anual, podemos tabular los valores del factor para n igual a uno, dos, tres, cuatro, cinco y as sucesivamente hasta para el ao cincuenta, digamos. Elegimos otro valor de la tasa y hacemos los clculos para los periodos correspondientes y tenemos ya la segunda tabla. Podremos elaborar tantas tablas como queramos. O simplemente introducimos nuestra ecuacin en la computadora utilizando Excel o en una calculadora programable para despus solamente alimentar los datos y obtener el resultado.


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CAPTULO 3 DEDUCCIN MATEMTICA DE LAS FRMULAS DE EQUIVALENCIA FINANCIERA Deduccin de la frmula bsica Para realizar esta deduccin se utilizarn literales (vistas bajo el subttulo de Smbolos comnmente usados) y se dar a stas un valor numrico, con este objeto, se puede mostrar que para obtener la frmula bsica, es necesario que se cumpla un ciclo. Teniendo esto en mente observemos en el esquema que se presenta a continuacin, que el Valor Futuro para un ciclo es igual al Valor Presente mismo, mas el inters que se haya pactado para el costo del dinero, en este caso 10% anual, y considerando que el ciclo es de un ao. Inters simple (slo para uso didctico)

P ($) i (%) n (aos) Pin F ($)

100 0.1 1 10 110 100 0.1 2 20 120 100 0.1 3 30 130 100 0.1 4 40 140

.

.

. 100 0.1 n 10*n 100+10*n

Cuadro No. 3.1 Inters simple En el cuadro anterior, F y P estn en unidades monetarias. Por lo expuesto, con la interaccin entre las celdas Pin, se obtiene el valor de los intereses correspondientes al perodo. Para obtener el Valor Futuro es


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necesario sumar la celda que contiene el Valor Presente y la celda del valor de los intereses. Como se puede observar en la forma tradicional la deduccin sera: I = Pin Y el Valor Futuro es igual a: F = P + I I = a los inters en unidades monetarias. Sin embargo, de acuerdo con la ltima expresin matemtica, la frmula se quedara de la siguiente manera: Fn = P + Pin Y simplificndola se tendra que: Fn = P(1 + in) Hasta la parte resuelta parecera que las literales de acuerdo a la breve explicacin que tienen en la descripcin, y para alguien que ya haya tomado un curso de Ingeniera Econmica, no tendran dificultad en su identificacin, puesto que ya se vieron en el captulo 1 relativo a conceptos, sin embargo, se ampla su explicacin a continuacin debido a que estos smbolos se utilizarn a lo largo de todo el libro, por lo que se tiene que:

F = Valor Futuro o valor en el futuro, expresado en unidades monetarias. P = Valor Presente o valor en el presente, expresado en unidades monetarias. i = Tasa de inters expresada en porcentaje (%). Tambin se puede expresar como factor.

n = Periodos de tiempo, que pueden expresarse en aos, semestres, trimestres, bimestres, meses, semanas o das, en la prctica; pero que hipotticamente, se puede llegar hasta la continuidad (periodo de tiempo y concepto difcil de entender y que no tiene aplicacin prctica). Antes de pasar al apartado siguiente, resulta conveniente hacer hincapi que en los temas que se explican ms adelante, se har notar que entre el smbolo (i) y el smbolo (n), existe una interaccin importante que hace variar el resultado que se solicite, el cual podra ser Valor Futuro (F) o Valor Presente (P).


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Inters Compuesto Para el caso del inters compuesto, se har uso de las mismas bases del inters simple, por lo que se utilizarn los mismos nmeros que en el ejemplo anterior, slo que ahora recurriremos al diagrama de flujo de dinero Fig. 3.1 por ser as ms fcil su comprensin y por que adems en lo sucesivo siempre se deber hacer la representacin grfica previamente para la comprensin y solucin de cualquier ejercicio o problema de esta materia. Ver Figura 3.1 De este diagrama se deduce la frmula final del inters compuesto, quedando como sigue:

Fn = P0(1+i)n Ecuacin No. 1 Que es la frmula bsica de la Ingeniera Econmica y con la cual se pueden resolver todos los ejercicios y problemas reales de esta disciplina. Para los ingenieros resulta obvio que si quisiramos conocer el Valor Presente (P) de la frmula anterior, slo tendramos que despejarla, pasando P al lado izquierdo de la ecuacin y F al lado derecho, multiplicada por el inverso de (1+i)n o sea: P = Fn / (1+i)n A continuacin se tiene la deduccin de Anualidades (A) o tambin llamada de Pagos Anuales Uniformes, Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE), Costo Anualizado (CA), o, en forma ms generalizada: Valor Anualizado (VA). Serie de Pagos Anuales uniformes Esta deduccin se realiza en forma parecida a la de Valor Futuro o a la de Valor Presente, establecindose que el Valor Presente que se desea cubrir, se realiza amortizando (pagando) parte de la deuda, ms la tasa de inters que se tenga pactada aplicada a los saldos insolutos, por tal razn el valor que se cubre tiene varios nombres (dados en el prrafo anterior) entre los cuales se encuentran, el de Pagos Anuales uniformes, Anualidades, Costo Anualizado, (nosotros utilizaremos el de Valor Anualizado ms adelante) o Fondo de Amortizacin; que en las frmulas matemticas se acostumbra expresarlos todos ellos, con el smbolo A:

Dem

etrio

Cas

tillo

Mon

tao

, Ing

enie

ra E

con

mic

a

52

F 1

= P

0 + I 1

= P

0 + P

i = 1

00 +

(100

x 0

.1) =

110

F

1= P

0 (1+

i )1

F 2 =

F1 +

I 2 =

F1 +

F1

i = 1

10 +

(110

x 0

.1) =

121

F

2= P

0 (1+

i )2

F 3 =

F2 +

I 3 =

F2 +

F2

i = 1

21 +

(121

x 0

.1) =

133.

10

F

3= P

0 (1+

i )3

F 4 =

F3 +

I 4 =

F3 +

F3

i = 1

33.1

0 +

(133

.10

x 0.

1) =

146.

41

F

4= P

0 (1+

i )4

.

.

.

F n =

Fn-

1 + I n

= F

n-1 +

Fn-

1 i

F

n= P

0 (1+

i )n

Fi

gura

No.

3.1

Int

ers

com

pues

to

P 0=1

00

aos

0

12

n4

3

Val

ores

de

P, F

e I

en u

nida

des

mon

etar

ias

I 1=1

0 I 2

=11

I 3=1

2.1

I 4=1

3.31

F 1=1

10

F 2=1

21

F 3=1

33.1

0

F 1=1

46.4

1

i = 1

0% a

nual

F n

I n =

Fn-

1 i

Demetrio Castillo Montao. Ingeniera Econmica

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Ya que el primer Pago Anualizado debe abarcar una parte del capital inicialmente recibido; pero debe cubrir tambin los intereses devengados en ese periodo, en este caso sobre la totalidad del prstamo por tratarse precisamente del primer pago, entonces, ste (el primer pago) no se har sino hasta el final del primer periodo transcurrido, cuando muy temprano, es decir al final del ao uno (en condiciones especiales establecidas en el contrato, el primer pago puede diferirse a un periodo posterior; pero nunca antes del periodo uno, es decir, no puede coincidir con el periodo cero, porque esto significara estar recibiendo, por parte del deudor, una cantidad menor y adems estar pagando una cantidad por concepto de intereses an no devengados). De la consideracin anterior, vemos que todos los Pagos Anuales los realizaremos en el futuro, y entonces a cada uno de estos pagos lo podemos considerar como una F en lo individual, es decir como F1, F2, F3, etc.; pero como A conserva siempre el mismo valor en todos los periodos, no necesitamos subindizarlos, quedando como sigue: P = A (1/(1+i) + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + . 1/(1+i)n ) ------------ ecuacin (2) Sin embargo, tomando en consideracin que este valor tendr que cubrirse en el futuro, de acuerdo al nmero de perodos, de que se trate, para no alterar la ecuacin anterior, sta se multiplica por (1/(1+i)), lo cual queda expresado as: P/1+i = A (1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + 1/(1+i)4 + . 1/(1+i)n+1 ) - ecuacin (3) De acuerdo con lo indicado para llegar a una expresin simplificada se resta la ecuacin 2 de la ecuacin 3, para quedar como sigue: (-i/1+i) P = A(1/(1+i)n+1 1/(1+i)1) ------------------------------------- ecuacin (4) P = A/-i ((1/(1+i)n )-1) ------------------------------------------------------ ecuacin (5) P = A (((1+i)n 1)/i(1+i)n) donde i 0-------------------------------- ecuacin (6) En consideracin a que el Valor Presente por lo general se conoce, entonces para obtener el valor de la Anualidad se despeja la ecuacin 5, para quedar:

Demetrio Castillo Montao. Ingeniera Econmica

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A = P(((1+i)n * i)/ ((1+i)n 1)) ------------------------------------------- ecuacin (7) De esta manera, con esta frmula podr obtenerse la Anualidad de una cantidad de la que se haya dispuesto en el presente, de cualquier forma en que se haya obtenido dicha cantidad de unidades monetarias, aunque la ms comn sea casi siempre la de un prstamo. Tomando en cuenta para l

Ing. Económica Demetrio Castillo Montaño

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