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PRCTICA 3:

CARGA Y DESCARGA DEL CONDENSADOR

Fernando Palacios Prez Juan Antonio Pacheco Hans

1 Ing. Mecnica G2 L9 Fsica II

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PRCTICA: CARGA Y DESCARGA DEL CONDENSADOR

HOJA DE DATOS

Resistencia: R = 38.9 0.1 (K) = 38900 100 () Capacidad del condensador: C = 4700 470 (F) = 0.00470 0.00047 (F)

Tensin de la fuente: V = 10.00 0.01 (V)

Descarga del Condensador

t (min) VC (V) I (mA) 0 9.802 0.247

1 7.159 0.183

2 5.241 0.133

3 3.846 0.098

4 2.830 0.072

5 2.085 0.053

6 1.545 0.039

7 1.148 0.029

8 0.806 0.022

9 0.646 0.016

10 0.487 0.012

11 0.375 0.009

12 0.289 0.007

13 0.226 0.006

Carga del Condensador t (min) VC (V) I (mA)

0 0.678 0.254

1 2.733 0.185

2 4.681 0.135

3 6.097 0.099

4 7.114 0.073

5 7.868 0.054

6 8.387 0.041

7 8.770 0.031

8 9.037 0.024

9 9.238 0.019

10 9.389 0.015

11 9.507 0.012

12 9.600 0.010

13 9.672 0.008

14 9.730 0.006

15 9.775 0.005

16 9.810 0.004

17 9.838 0.004

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I. Anlisis del proceso de carga del condensador.

1) Demostrar que el producto RC tiene dimensiones de tiempo. A partir de los valores de R y C, calcular el valor terico del tiempo caracterstico, , del circuito.

Para demostrar que el producto RC tiene dimensiones de tiempo debemos saber las magnitudes de R y C. R (V/I) C (q/V) El razonamiento sera el siguiente: RC seria (V/I)*(q/V) = (V*q)/(I*V) = q/I Las unidades de RC sera q/I Por otro lado, teniendo en cuenta que I = q/t: RC = q/(q*t) = t Definitivamente, las unidades de RC es el tiempo (t)

Para calcular el valor terico del tiempo caracterstico , solo debemos utilizar la frmula que relaciona la resistencia (R), la carga (q) y el tiempo (). = = 38900 () 0.0047 () = 182.83 () A continuacin calculamos el valor de la incertidumbre.

= (

())

2

+ (

())

2

= ( ())2

+ ( ())2

=

= (0.0047 100)2 + (38900 0.00047)2 = 18.289 () SOLUCIN: - La unidad de RC es el tiempo (demostrado arriba) - El valor terico del tiempo es: = 182 18 (s)

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2) Comprobar que se cumple que I0 = V/R, donde I0 es la intensidad que se mide justo despus de conectar el interruptor y V es la tensin de la fuente, es decir son las datos en el instante inicial.

Utilizando los datos de la hoja de datos de la prctica, comprobamos con la frmula dada los resultados: R = 38.9 0.1 (K) = 38900 100 () V = 10.00 0.01 (V) Io = 0.254 0.001 (mA) = 0.000254 0.000001 (A)

0 =

=0

=10

0.000254= 39370.07

A continuacin calculamos el valor de la incertidumbre.

= (

())

2

+ (

0 (0))

2

= (1

0 ())

2

+ (1

02 (0))

2

=

= (1

0.000254 0.01)

2

+ (1

0.0002542 0.000001)

2

= 42.311

R = 39370 42 () 38900 100 () 39370 42 () SOLUCIN: Podemos apreciar la similitud de la resistencia terica y la experimental, por lo tanto podemos afirmar que I0 = V/R se cumple.

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3) Representar, para la carga, VC e I frente a t. Qu indican ambas grficas?

0

2

4

6

8

10

12

0 200 400 600 800 1000 1200

VC

(v)

t (s)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 200 400 600 800 1000 1200

I (m

A)

t (s)

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Las grficas representan los valores del voltaje y de la intensidad en el circuito respecto del tiempo. A medida que avanza el tiempo, el voltaje aumenta exponencialmente, ya que se est cargando el condensador. Por otra parte, la intensidad disminuye exponencialmente, debido a que la resistencia del condensador es constante y a la subida de voltaje, cumpliendo la Ley de Ohm.

4) Representar, para los valores medidos durante la carga del condensador, ln((V VC)/V) frente a t.

5) Realizar el ajuste por mnimos cuadrados de ln((V VC)/V) en funcin de t y representar grficamente la recta de regresin en el diagrama anterior.

Calculo de la recta de regresin por el mtodo de los mnimos cuadrados: La recta es de la forma y=mx + b, por lo que habra que calcular m y n.

=

2 [ ]2

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 200 400 600 800 1000 1200

ln (

(V-

VC)/

V)

t (s)

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= 2

2 [ ]2

Utilizando las frmulas anteriores, obtenemos los valores de m y b. b = -0.305 0.064 (U) Por lo que la recta de regresin sera la siguiente: SOLUCIN: y=(-0.003940.00010)x+(-0.3050.064)

6) Calcular, a partir del valor de la pendiente, el valor experimental del tiempo caracterstico del circuito ( ).

m = -0.00394 0.00010 (s-1) En la grfica anterior en la que se representaba la diferencia de potencial frente al tiempo, la curvatura obtenida se rige por la ecuacin:

() = 0

A la cual, si le aplicamos el logaritmo natural (ln), la curvatura de la grfica anterior se convierte en prcticamente una recta, quedando la ecuacin de la siguiente forma:

ln () = ln (0)

Si vamos despejando para obtener el tiempo caracterstico del circuito (): ln ()

ln (0)=

;

ln( /0)

=

1

; =

1ln( /0)

Nos damos cuenta de que ln( /0)

= por tanto, utilizamos el valor de la pendiente de la

recta de regresin (m) de la ltima grfica dada, que es (-0.003940.00010) s-1 y lo sustituiremos a continuacin para ayudarnos a conocer el valor del :

=1

=

1

0.00394= 253.226

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Ahora debemos de calcular la incertidumbre combinada del tiempo caracterstico del circuito correspondiente con la siguiente frmula:

() = (

)

2

() = (1

)

2

() = 1

2 () =

= 1

0.003942 0.00010 = 2.53807

SOLUCIN: Tiempo caracterstico () = 253.2 2.5 (s) II. Anlisis del proceso de descarga del condensador.

7) Para los valores medidos durante la descarga, representar VC e I frente a t. Qu indican ambas grficas?

A continuacin se muestran representadas las magnitudes intensidad frente a tiempo y diferencia de potencial frente a tiempo. Utilizando para ello los datos anteriormente tomados en la realizacin de la prctica.

0

2

4

6

8

10

12

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

VC

(V

)

t (s)

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Lo que se obtiene al observar las grficas anteriores es que la intensidad y la diferencia de potencial estn en fase durante la descarga, puesto que ambas sufren una bajada pronunciada al principio, y con forme el tiempo pasa, la descarga del condensador tanto respecto a tensin como a intensidad, disminuye. Dando as a la grfica una forma de funcin exponencial con una asntota horizontal en el 0. Lo que ocurre es que como al principio el condensador est prcticamente cargado al completo, el material dielctrico situado dentro, deja pasar ms cantidad de corriente elctrica, y por eso se produce esa bajada citada anteriormente. Mientras que cuando la carga del condensador llega a niveles ms bajos, dicho material, va poco a poco impidiendo que circule fluidamente la corriente elctrica a travs de l, retenindola y dando as una fuente de tensin constante de menor intensidad con forme pasa el tiempo.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

I (A

)

t (s)

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8) Representar, para los valores medidos durante la descarga del condensador, ln(VC /V0) frente a t.

9) Realizar el ajuste por mnimos cuadrados de ln(VC /V0) en funcin de t y representar grficamente la recta de regresin en el diagrama anterior.

Tras esta conclusin pasamos a la representacin de ln( 0 ) frente a t. Mediante la cual obtendremos una recta de regresin cuya ecuacin ser necesaria para realizar una serie de clculos posteriormente:

Calculo de la recta de regresin por el mtodo de los mnimos cuadrados: La recta es de la forma y=mx+b, por lo que habra que calcular m y n.

=

2 [ ]2

= 2

2 [ ]2

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

ln(V

C

V0

)

t (s)

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Utilizando las frmulas anteriores, obtenemos los valores de m y b. m = (-0.0049 0.0001) s-1

b = (-0.0567 0.0264) U Por lo que la recta de regresin sera la siguiente: SOLUCIN: y=(-0.00490.0001)x+(- 0.05670.0264)

10) Calcular, a partir del valor de la pendiente, el valor experimental del tiempo caracterstico del circuito ( ).

En la grfica anterior en la que se representaba la diferencia de potencial frente al tiempo, la curvatura obtenida se rige por la ecuacin:

() = 0

A la cual, si le aplicamos el logaritmo natural (ln), la curvatura de la grfica anterior se convierte en prcticamente una recta, quedando la ecuacin de la siguiente forma:

ln () = ln (0)

Si vamos despejando para obtener el tiempo caracterstico del circuito (): ln ()

ln (0)=

;

ln( /0)

=

1

; =

1ln( /0)

Nos damos cuenta de que ln( /0)

= por tanto, utilizamos el valor de la pendiente de la

recta de regresin (m) de la ltima grfica dada, que es (-0,0049 0.0001)Hz y lo sustituiremos a continuacin para ayudarnos a conocer el valor del :

= 1

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Una vez cogido el valor de la pendiente y haber resuelto la ecuacin anterior la solucin obtenida ha sido:

= 1

0,0049= 204,082

Como toda medida y todo resultado, esta posee una incertidumbre (), que va a ser calculada mediante la expresin de las derivadas parciales. Quedando la ecuacin de la siguiente manera:

= (

)

2

Si sustituimos los datos obtenidos en las operaciones anteriores, conseguimos la solucin de la incertidumbre del :

= (1

2 )

2

= (1

0.00492 0.0001)

2

= 4.165

SOLUCIN: El tiempo especfico es (204.14.1) s

11) Coincide el valor calculado en el apartado 10 con los calculados en los apartados 1 y 6? Justificar el resultado.

Los valores obtenidos de los apartados han sido los siguientes: Apartado 1: 182.8 2.3 (s) Apartado 6: 253.2 2.5 (s) Apartado 11: 204.1 4.1 (s) Por diferentes vas hemos tratado de llegar al valor del tiempo caracterstico del condensador (), y en todos los casos obtuvimos resultados similares. Es decir, no hay diferencia significativa entre los tres valores de a los que arribamos, si bien la mayor diferencia se encuentra entre el valor de en el apartado 1 con respecto a los del apartado 6 y 11. Para hallar el valor de del apartado 1 se utiliza el valor de la capacitancia que figura en el condensador y el valor de la resistencia. El modelo terico con el que hemos conseguido los resultados en funcin del tiempo es coherente con los resultados experimentales obtenidos. Estas variaciones en los valores de pueden ser debidas a la imprecisin de los instrumentos utilizados durante la prctica. Tambin es posible un error de los que realizan la prctica al visualizar los instrumentos de medida. Debido a las maniobras de ensamblaje realizadas entre los cables para cambiar el circuito, se produce una prdida que no es contemplada en el resultado final.