Informe pendulo de Kapitza

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Informe analitico pendulo de kapitza

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Tarea Numrica Pndulo de Kapitza con roce viscoso lineal

FI2001-5 Profesora Patricia Sotomayor Mario Novoa Daz Junio 2012

Solucin mediante mtodo numrico:Dadas las ecuaciones (*) y (**) obtenidas en las partes 1 y 2 respectivamente, queremos ser capaces de estudiar la evolucin del ngulo Fi en funcin del tiempo. Para esto, dado que no conocemos solucin analtica para las expresiones encontradas, realizaremos el estudio mediante un mtodo numrico. Nos enfrentamos entonces a la decisin de que mtodo escoger, teniendo en mente el mtodo de Euler, el de Verlet y el de Runge Kutta. Un primer aspecto a notar, es que nuestras ecuaciones tienen presentes tanto la primera como la segunda derivada de Fi, adems de funciones de Fi sin derivar, luego el mtodo que escojamos debe ser capaz de aproximar de buena manera hasta las segundas derivadas, a lo menos, es por esta razn que descartamos el mtodo de Euler, ya que es el menos preciso de los tres y Verlet y Runge Kutta tienen precisiones similares. Ahora bien, no debemos olvidar que el mtodo que escojamos lo debemos programar, por lo que considerando que ambas ecuaciones incluyen segundas derivadas (doble iteracin del mtodo) querremos tambien cumplir con un segundo factor: la simplicidad en la programacin, lo que nos lleva a la eleccin definitiva: el metodo de Verlet, lo que se justifica pues tiene una precisin similar al mtodo de Runge Kutta (de orden 3) pero con una menor cantidad de llamadas a las funciones, lo que facilita su programacin y acelera los cmputos. Es en este punto en que se enfrenta la primera dificultad: debemos encontrar una expresin para el ngulo Fi en un instante, en funcin de ngulos de instantes anteriores. El desarrollo que lleva a la expresion utilizada se adjunta en el Anexo 1 y es el despeje del ngulo buscado despues de haber aplicado las aproximaciones del mtodo para la primera y segunda derivada de Fi. Es en base a lo anterior, se program de la siguiente manera (los programas para las dos ecuaciones son anlogos, por lo que explicaremos la concepcion del programa para la ecuacin (*), ambos los podemos revisar en el Anexo 2): Se definieron las constantes del problema: g, L, A, y, Fio, Wo, v; adems de O y wo2 (en funcin de las anteriores) para su aplicacin directa en las formulas obtenidas y adems para permitir su directa modificaciones para el anlisis posterior. Luego, se procede a definir los parmetros propios del mtodo numrico: una discretizacin temporal t, uniespaciada , un vector Fi de ceros que permite inicializar los valores para los ngulos, un delta tiempo dt (generado como la simple diferencia entre dos instantes consecutivos en la discretizacin, pues es uniespaciada), y se incorporaron las condiciones iniciales al vector Fi. Cabe destacar, que la expresin encontrada en el Anexo 1 es de orden dos,

por lo que necesitamos los primeros dos valores de Fi para poder comenzar con la iteracin: el primero se obtiene de la condicin inicial de orden cero, y el segundo se obtiene de imponer el itenerario de Fi: Fi(2)=Fi(1)+Fi(1)* dt (con Fi(1) la condicion inicial de primer orden, Fi punto) . Una vez encontrandos los valores de Fi en los instantes iniciales, podemos comenzar a iterar: queremos aplicar el mtodo y obtener pares (t,Fi) para poder estudiar la evolucin de Fi en el tiempo. Para esto vamos definiendo punto a punto cada Fi de acuerdo a la frmula obtenida, en funcion de los valores anteriores y el instante en que estamos evaluando. Finalmente, graficamos los pares encontrados y logramos as estudiar de buena manera la evolucin de Fi en el tiempo: El programa permite generar grficos variando los parametros y las constantes del problema , por lo que podremos estudiar a nuestro criterio cmo se ve afectado el movimiento de acuedo a las condiciones del problema.

Presentacion ResultadosEn lo que sigue se presentarn distintos resultados, enumerados y enunciados de acuerdo a lo que se fue modificando en cada inciso, para ser posteriormente analizados en la seccin siguiente. Los valores de referencia para las constantes son: g=9.8[m/s^2], L=1[m], A=0,1[m], y=0.1 [1/s], Fio=pi/6 [rad], Wo=0[rad/s], v=3 [1/s] y las variaciones son generedas sobre estos valores, para ambas ecuaciones. 1. Variacion de condiciones iniciales sobre Fi y Fi (Fi punto), modificamos los parmetros de la siguiente forma: Fi en {0, pi/6, pi/2} y Fi en {0, pi/2 y pi} para poder estudiar como las diferencias en el ngulo y velocidad de partida afectan el movimiento en el pndulo. Se adjuntan los grficos en el Anexo 3. 2. Variacin de la Amplitud A en {0.1, 1, 10}. Nos interesa ver cmo este parmetro del pndulo afecta el movimiento del mismo, para valores pequeos, medios y grandes. Es determinate en la caracterizacion de este tipo de pendulos, pues afecta directamente la magnitud de la oscilacion del soporte. Se adjuntan los grficos en el Anexo 4. 3. Variacin del coeficiente de roce n, asociado al parmetro y en {0, 0.1, 1}. Se apreciar de manera directa cmo afecta la atenuacion al movimiento. Se adjuntan grficos en el anexo 5. 4. Variacin de la frecuencia v en {0.9, 1, 1.1}. Se estudiar directamente el sistema, como lo que lo identifica: la oscilacin del soporte. Se adjuntan grficos en el anexo 6.

Anlisis e interpretacin de los resultados numricos obtenidos1. En primer lugar, estudiemos los comportamientos de Fi en el tiempo variando las condiciones iniciales (Grficos Anexo 3): Se observa que para el pndulo con oscilacin vertical, las condiciones Fi(0)=0 y Fi(0)=0 generan un ngulo Fi constante en el tiempo, lo que fsicamente era predecible, pues la oscilacin del soporte esta en la misma direccin del ngulo inicial (0[rad]), y no hay velocidad angular que perturbe este punto, estamos en un equilibrio, si no existiera la oscilacin del soporte, en estas misma condiciones diramos que el pndulo esta en reposo, en este caso, el ngulo Fi no vara en el tiempo, pues no existen velocidades, ni aceleraciones aplicadas sobre un eje diferente al vertical, luego el ngulo se mantiene constante en Fi=0[rad]. Diferente es el caso del pndulo con oscilacin horizontal para las mismas condiciones iniciales, donde apreciamos un decaimiento inicial en la amplitud del movimiento, para luego llegar a una oscilacin estable para el ngulo Fi, que se corresponde con el movimiento que genera sobre el ngulo Fi la oscilacin horizontal del soporte que lo contiene. Se observa una pequea oscilacin cuando t tiende a infinito, perpetuada por la oscilacin horizontal del soporte. Se aprecia de acuerdo a lo esperable las variaciones en las condiciones iniciales para puntos intermedios, con Fi tendiendo a cero cuando t tiende a infinito, lo que se entiende pues el roce viscoso ejerce un trabajo negativo sobre el sistema que terminar agotando la energa inicial ligada a la velocidad y posicin inicial. Se aprecia una amortiguacin que proviene del mismo roce viscoso lineal, disminuyendo su amplitud desde la mxima alcanzada al comienzo hasta cero cuando Fi tiende a 0. Se aprecia adems que para valores lmites el programa no predice el comportamiento de Fi, lo que se entiende pues el pndulo deja de tener sentido cuando Fi>pi/2, pues la cuerda se destensar y dejara de transmitir los efectos de la oscilacin del soporte y de la tensin dada por la gravedad. Se comentar posteriormente en lo referido a la modelacin y el mtodo.

2. Estudiemos el cambio en el comportamiento de Fi dado por las variaciones en la amplitud A (Anexo 4):

Se aprecian resultados esperados para pndulos de amplitud media alta (1 metro), donde el comportamiento de Fi es similar al de las condiciones iniciales referenciales, con un pico de amplitud en el movimiento de la partcula (liderada por el ngulo Fi) al comienzo, y luego una atenuacin hasta Fi=0[rad] en el caso de oscilacin vertical del soporte y nuevamente, se aprecia que el oscilador horizontal genera oscilaciones para Fi cuando t tiende a infinito, luego la masa no tiende a un Fi limite como para el caso vertical. Se aprecian adems variaciones similares para FI en el modelo con oscilacin horizontal y el modo con oscilacin vertical del soporte, entendible pues al comiendo las condiciones iniciales son las que determinan el movimiento, para luego, una vez decadas producto del roce, sea el oscilador del soporte quien lidere el movimiento. Es interesante el resultado obtenido para un pndulo de gran amplitud de oscilacin el soporte: con oscilacin vertical, se minimiza el decaimiento en el movimiento generado con el roce, y a lo largo del tiempo el sistema tiene a mantener una oscilacin estable, no afectada por el roce, de gran amplitud de movimiento, entendible por el gran esfuerzo del oscilador en el soporte al oscilar con tal amplitud (10 metros) Para el caso del pndulo de oscilacin horizontal, una gran amplitud genera problemas en el estudio, se comentar mas adelante. 3. Estudio del comportamiento del ngulo Fi para variaciones del coeficiente de roce viscoso, asociado al parmetro y del problema (Anexo 5): En primer lugar, es interesante estudiar la evolucin del sistema en ausencia de roce viscoso, que da lugar a una oscilacin de la masa sin decaimiento, y continua en el tiempo, tanto para el oscilador vertical como para el horizontal, como se esperara, pues es la accin del roce la que genera tendencias al reposo en el pndulo y en ausencia de este, la oscilacin no se ve afectada por agentes externos. Se aprecia el comportamiento adecuado para y=0,1, correspondiente al valor referencial, con un decaimiento casi total cercano a los 3 minutos de iniciado el movimiento, y una tendencia al Fi nulo cuando el tiempo avanza, para ambos osciladores.

Se aprecian errores en el programa para coeficientes equivalente en magnitud con la masa de la partcula, que se comentarn mas adelante. Otro aspecto importante a destacar, es que el coeficiente de roce afecta al sistema en la rapidez con que decae hacia su ngulo limite en el paso del tiempo, se esperan deca