Tarea Numérica

Péndulo de Kapitza con roce viscoso lineal

FI2001-5

Profesora Patricia Sotomayor

Mario Novoa Díaz

Junio 2012

Solución mediante método numérico:

Dadas las ecuaciones (*) y (**) obtenidas en las partes 1 y 2 respectivamente, queremos ser

capaces de estudiar la evolución del ángulo Fi en función del tiempo. Para esto, dado que no

conocemos solución analítica para las expresiones encontradas, realizaremos el estudio

mediante un método numérico.

Nos enfrentamos entonces a la decisión de que método escoger, teniendo en mente el método

de Euler, el de Verlet y el de Runge Kutta.

Un primer aspecto a notar, es que nuestras ecuaciones tienen presentes tanto la primera como

la segunda derivada de Fi, además de funciones de Fi sin derivar, luego el método que

escojamos debe ser capaz de aproximar de buena manera hasta las segundas derivadas, a lo

menos, es por esta razón que descartamos el método de Euler, ya que es el menos preciso de

los tres y Verlet y Runge Kutta tienen precisiones similares.

Ahora bien, no debemos olvidar que el método que escojamos lo debemos programar, por lo

que considerando que ambas ecuaciones incluyen segundas derivadas (doble iteración del

método) querremos tambien cumplir con un segundo factor: la simplicidad en la programación,

lo que nos lleva a la elección definitiva: el metodo de Verlet, lo que se justifica pues tiene una

precisión similar al método de Runge Kutta (de orden 3) pero con una menor cantidad de

llamadas a las funciones, lo que facilita su programación y acelera los cómputos.

Es en este punto en que se enfrenta la primera dificultad: debemos encontrar una expresión

para el ángulo Fi en un instante, en función de ángulos de instantes anteriores. El desarrollo

que lleva a la expresion utilizada se adjunta en el Anexo 1 y es el despeje del ángulo buscado

despues de haber aplicado las aproximaciones del método para la primera y segunda derivada

de Fi.

Es en base a lo anterior, se programó de la siguiente manera (los programas para las dos

ecuaciones son análogos, por lo que explicaremos la concepcion del programa para la ecuación

(*), ambos los podemos revisar en el Anexo 2): Se definieron las constantes del problema: g, L,

A, y, Fio, Wo, v; además de O y wo2 (en función de las anteriores) para su aplicación directa en

las formulas obtenidas y además para permitir su directa modificaciones para el análisis

posterior. Luego, se procede a definir los parámetros propios del método numérico: una

discretización temporal t, uniespaciada , un vector Fi de ceros que permite inicializar los valores

para los ángulos, un delta tiempo dt (generado como la simple diferencia entre dos instantes

consecutivos en la discretización, pues es uniespaciada), y se incorporaron las condiciones

iniciales al vector Fi. Cabe destacar, que la expresión encontrada en el Anexo 1 es de orden dos,

por lo que necesitamos los primeros dos valores de Fi para poder comenzar con la iteración: el

primero se obtiene de la condición inicial de orden cero, y el segundo se obtiene de imponer el

itenerario de Fi: Fi(2)=Fi(1)+Fi°(1)* dt (con Fi°(1) la condicion inicial de primer orden, Fi punto) .

Una vez encontrandos los valores de Fi en los instantes iniciales, podemos comenzar a iterar:

queremos aplicar el método y obtener pares (t,Fi) para poder estudiar la evolución de Fi en el

tiempo. Para esto vamos definiendo punto a punto cada Fi de acuerdo a la fórmula obtenida,

en funcion de los valores anteriores y el instante en que estamos evaluando. Finalmente,

graficamos los pares encontrados y logramos así estudiar de buena manera la evolución de Fi

en el tiempo: El programa permite generar gráficos variando los parametros y las constantes

del problema , por lo que podremos estudiar a nuestro criterio cómo se ve afectado el

movimiento de acuedo a las condiciones del problema.

Presentacion Resultados

En lo que sigue se presentarán distintos resultados, enumerados y enunciados de acuerdo a lo

que se fue modificando en cada inciso, para ser posteriormente analizados en la sección

siguiente. Los valores de referencia para las constantes son: g=9.8[m/s^2], L=1[m], A=0,1[m],

y=0.1 [1/s], Fio=pi/6 [rad], Wo=0[rad/s], v=3 [1/s] y las variaciones son generedas sobre estos

valores, para ambas ecuaciones.

1. Variacion de condiciones iniciales sobre Fi y Fi° (Fi punto), modificamos los parámetros

de la siguiente forma: Fi en {0, pi/6, pi/2} y Fi° en {0, pi/2 y pi} para poder estudiar

como las diferencias en el ángulo y velocidad de partida afectan el movimiento en el

péndulo. Se adjuntan los gráficos en el Anexo 3.

2. Variación de la Amplitud A en {0.1, 1, 10}. Nos interesa ver cómo este parámetro del

péndulo afecta el movimiento del mismo, para valores pequeños, medios y grandes. Es

determinate en la caracterizacion de este tipo de pendulos, pues afecta directamente la

magnitud de la oscilacion del soporte. Se adjuntan los gráficos en el Anexo 4.

3. Variación del coeficiente de roce n, asociado al parámetro y en {0, 0.1, 1}. Se apreciará

de manera directa cómo afecta la atenuacion al movimiento. Se adjuntan gráficos en el

anexo 5.

4. Variación de la frecuencia v en {0.9, 1, 1.1}. Se estudiará directamente el sistema, como

lo que lo identifica: la oscilación del soporte. Se adjuntan gráficos en el anexo 6.

Análisis e interpretación de los resultados numéricos obtenidos

1. En primer lugar, estudiemos los comportamientos de Fi en el tiempo variando las

condiciones iniciales (Gráficos Anexo 3):

Se observa que para el péndulo con oscilación vertical, las condiciones Fi(0)=0 y Fi°(0)=0

generan un ángulo Fi constante en el tiempo, lo que físicamente era predecible, pues la

oscilación del soporte esta en la misma dirección del ángulo inicial (0[rad]), y no hay

velocidad angular que perturbe este punto, estamos en un equilibrio, si no existiera la

oscilación del soporte, en estas misma condiciones diríamos que el péndulo esta en

reposo, en este caso, el ángulo Fi no varía en el tiempo, pues no existen velocidades, ni

aceleraciones aplicadas sobre un eje diferente al vertical, luego el ángulo se mantiene

constante en Fi=0[rad].

Diferente es el caso del péndulo con oscilación horizontal para las mismas condiciones

iniciales, donde apreciamos un decaimiento inicial en la amplitud del movimiento, para

luego llegar a una oscilación estable para el ángulo Fi, que se corresponde con el

movimiento que genera sobre el ángulo Fi la oscilación horizontal del soporte que lo

contiene. Se observa una pequeña oscilación cuando t tiende a infinito, perpetuada por

la oscilación horizontal del soporte.

Se aprecia de acuerdo a lo esperable las variaciones en las condiciones iniciales para

puntos intermedios, con Fi tendiendo a cero cuando t tiende a infinito, lo que se

entiende pues el roce viscoso ejerce un trabajo negativo sobre el sistema que terminará

agotando la energía inicial ligada a la velocidad y posición inicial. Se aprecia una

amortiguación que proviene del mismo roce viscoso lineal, disminuyendo su amplitud

desde la máxima alcanzada al comienzo hasta cero cuando Fi tiende a 0.

Se aprecia además que para valores límites el programa no predice el comportamiento

de Fi, lo que se entiende pues el péndulo deja de tener sentido cuando Fi>pi/2, pues la

cuerda se destensará y dejara de transmitir los efectos de la oscilación del soporte y de

la tensión dada por la gravedad. Se comentará posteriormente en lo referido a la

modelación y el método.

2. Estudiemos el cambio en el comportamiento de Fi dado por las variaciones en la

amplitud A (Anexo 4):

Se aprecian resultados esperados para péndulos de amplitud media alta (1 metro),

donde el comportamiento de Fi es similar al de las condiciones iniciales referenciales,

con un pico de amplitud en el movimiento de la partícula (liderada por el ángulo Fi) al

comienzo, y luego una atenuación hasta Fi=0[rad] en el caso de oscilación vertical del

soporte y nuevamente, se aprecia que el oscilador horizontal genera oscilaciones para Fi

cuando t tiende a infinito, luego la masa no tiende a un Fi limite como para el caso

vertical.

Se aprecian además variaciones similares para FI en el modelo con oscilación horizontal

y el modo con oscilación vertical del soporte, entendible pues al comiendo las

condiciones iniciales son las que determinan el movimiento, para luego, una vez

decaídas producto del roce, sea el oscilador del soporte quien lidere el movimiento.

Es interesante el resultado obtenido para un péndulo de gran amplitud de oscilación el

soporte: con oscilación vertical, se minimiza el decaimiento en el movimiento generado

con el roce, y a lo largo del tiempo el sistema tiene a mantener una oscilación estable,

no afectada por el roce, de gran amplitud de movimiento, entendible por el gran

esfuerzo del oscilador en el soporte al oscilar con tal amplitud (10 metros)

Para el caso del péndulo de oscilación horizontal, una gran amplitud genera problemas

en el estudio, se comentará mas adelante.

3. Estudio del comportamiento del ángulo Fi para variaciones del coeficiente de

roce viscoso, asociado al parámetro y del problema (Anexo 5):

En primer lugar, es interesante estudiar la evolución del sistema en ausencia de roce

viscoso, que da lugar a una oscilación de la masa sin decaimiento, y continua en el

tiempo, tanto para el oscilador vertical como para el horizontal, como se esperaría, pues

es la acción del roce la que genera tendencias al reposo en el péndulo y en ausencia de

este, la oscilación no se ve afectada por agentes externos.

Se aprecia el comportamiento adecuado para y=0,1, correspondiente al valor

referencial, con un decaimiento casi total cercano a los 3 minutos de iniciado el

movimiento, y una tendencia al Fi nulo cuando el tiempo avanza, para ambos

osciladores.

Se aprecian errores en el programa para coeficientes equivalente en magnitud con la

masa de la partícula, que se comentarán mas adelante.

Otro aspecto importante a destacar, es que el coeficiente de roce afecta al sistema en la

rapidez con que decae hacia su ángulo limite en el paso del tiempo, se esperan

decaimientos en corto tiempo para grandes coeficientes y decaimientos paulatinos en el

tiempo para pequeños coeficientes.

4. Estudio del comportamiento de Fi sujeto a la variación de la frecuencia de

oscilación ligada al soporte

Se aprecia en el los valores de v en {0.9, 1, 1.1} diferencias notables, pese a lo cercano

de los valores, siendo la menor frecuencia irregular en su decaimiento, el roce no genera

el decaimiento típico en el movimiento de la partícula, lo que se refleja en un pequeño

incremento en el amplitud del movimiento de Fi una vez avanzado el mismo (1 minuto

después del comienzo) para luego de todas maneras tender a cero cuando el tiempo se

prolonga. Con v=1 se aprecian aun mas irregularidades, en un patrón mas estable en

todo el movimiento, no solo a partir de un punto, al igual que el caso anterior, cuando el

tiempo se extiende, el ángulo tiende a ser nulo. Finalmente se aprecia un movimiento

más tradicional con v=1.1, con un decaimiento similar al de los casos de referencia y la

misma tendencia para Fi a lo largo del tiempo. Es notable la importancia de la frecuencia

del oscilador del soporte en el movimiento y como pequeñas diferencias, generan

notables diferencias en el movimiento del sistema.

5. Finalmente, no podemos dejar de comentar que el programa escogido no

funcionó a la perfección, pese a ser de bastante utilidad en el estudio del

sistema, para casos extremos el programa entrega gráficos que se entienden

como un traspié en la iteración, que una vez propagada, deja todo estudio fuera

del caso. De todas maneras, estos errores si pueden reflejar conflictos físicos del

modelo en algunos casos, como cuando se trata de impulsar la partícula sobre un

ángulo de pi/2, situación para la cual sabemos se deja de representar la realidad

con el modelo físico del problema que seguimos. De esta manera, errores de

programación se aprecian solo para los caso extremos del sistema, reflejando

loops en la iteración o contradicciones físicas del modelo, como el caso de

Fi(0)=0 y Fi°(0)=pi. La modelación del problema en un ámbito meramente físico,

parece correcta por cuando fue capaz de reflejar los comportamientos

esperados para un péndulo sometido a un roce viscoso y dado que todos análisis

se realizaron para constantes iguales, descartaría errores de medida, puesto que

su influencia real en el problema (por ejemplo, una mayor exactitud en la

constante g) no es notable, por lo que dejaría de lado análisis de errores de

medida. Dentro del modelo físico, también destaca la utilidad del uso de SRNI

para describir el problema a partir de un SRI que modelaba de buena manera la

oscilación del soporte, que era lo más característico del sistema.

Anexo 2: Programas Matlab, Solución numérica y Método de Verlet

%Programa para estudiar ecuación (*) Usando el Método de Verlet, dados

los

%parámetros g, L, A, y, Fio, Wo (con W=d/dt(Fi)), v (frecuencia).

Queremos

%que el programa, dada las condiciones iniciales, devuelva pares

(t,fi)

%para poder graficar la evolución de fi en el tiempo.

%definimos los parámetros del problema:

g=9.8 %[m/s*s]

L=1 %[m]

A=0.1 %[m]

y=0.1 %[1/s]

Fio=pi/6 %[rad]

Wo=0 %[rad/s]

v=3 %[1/s]

%otras definiciones que facilitarán la notación:

O=2*pi*v

wo2=g/L

%Definición parámetros programa:

t=linspace(0,300,10000); %discretización temporal

Fi=zeros(1,10000); %vector de ángulos fi.

dt=t(2)-t(1); %delta t, como la discretización es uniforme, basta

tomar dos valores sucesivos.

Fi(1)=Fio;

Fi(2)=Fio+Wo*dt;

for i=2:9999; %algoritmo deducido de Verlet para encontrar los pares

(t,Fi)

Fi(i+1)=(4*Fi(i)-2*Fi(i-1)+y*dt*Fi(i-1)-

2*dt^2*wo2*sin(Fi(i))+(sin(O*t(i))-

y*cos(O*t(i)))*(sin(Fi(i))*O*A*2*dt^2)/L)/(2+y*dt^2);

end

plot(t,Fi) %graficar

title('Gráfico Ángulo vs Tiempo','FontSize',14)

xlabel('Tiempo [s]','FontSize',14)

ylabel('Ángulo Fi [rad]','FontSize',14)

%Programa para estudiar ecuación (**) Usando el Método de Verlet,

dados los

%parámetros g, L, A, y, Fio, Wo (con W=d/dt(Fi)), v (frecuencia).

Queremos

%que el programa, dada las condiciones iniciales, devuelva pares

(t,fi)

%para poder graficar la evolución de fi en el tiempo.

%definimos los parámetros del problema:

g=9.8 %[m/s*s]

L=1 %[m]

A=0.1 %[m]

y=0.1 %[1/s]

Fio=pi/6 %[rad]

Wo=0 %[rad/s]

v=3 %[1/s]

%otras definiciones que facilitarán la notación:

O=2*pi*v

wo2=g/L

%Definición parámetros programa:

t=linspace(0,300,10000); %discretización temporal

Fi=zeros(1,10000); %vector de ángulos fi.

dt=t(2)-t(1); %delta t, como la discretización es uniforme, basta

tomar dos valores sucesivos.

Fi(1)=Fio;

Fi(2)=Fio+Wo*dt;

for i=2:9999; %algoritmo deducido de Verlet para encontrar los pares

(t,Fi)

Fi(i+1)=(4*Fi(i)-2*Fi(i-1)+y*dt*Fi(i-1)-

2*dt^2*wo2*sin(Fi(i))+(sin(O*t(i))-

y*cos(O*t(i)))*(cos(Fi(i))*O*A*2*dt^2)/L)/(2+y*dt^2);

end

plot(t,Fi) %graficar

title('Gráfico Ángulo vs Tiempo','FontSize',14)

xlabel('Tiempo [s]','FontSize',14)

ylabel('Ángulo Fi [rad]','FontSize',14)

Anexo 3: Gráficos Variacion de condiciones iniciales sobre Fi y Fi° (Fi

punto), Fi en {0, pi/6, pi/2} y Fi° en {0, pi/2 y pi}

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuacion (**)

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Anexo 4: Variación de la Amplitud A en {0.1, 1, 10}.

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Anexo 5: Variación del coeficiente de roce n, asociado al parámetro y en

{0, 0.1, 1}.

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Para la Ecuación (*)

Para la Ecuación (**)

Anexo 6: Variación de la frecuencia v en {0.9, 1, 1.1}

Para la Ecuación (*)