Informe N°3

Determinación de la separación de las fuentes virtualesdel biprisma de Fresnel

Rosmeri Huamán GarcíaInforme de Laboratorio N°03

Facultad de CienciasUniversidad Nacional de Ingeniería

Resumen:

Se busco medir el ancho de una rendija mediante bandas de interferencia que obtuvimos al irradiar con una fuente de luz monocromática a un biprisma de Fresnel, obteniéndose la medida de 0.43 +/- 0.05 mm. Además se observó con esta rendija que las distancias entre franjas luminosas del patrón de interferencia no dependen de la distancia que hay entre la rendija y la pantalla en la que la observamos. Comparando datos obtenidos con otro ancho de rendija, obtuvimos que mientras mayor sea el ancho de esta menor será la distancia entre las franjas y viceversa. Con lo cual demostramos experimentalmente la relación que guardan estas magnitudes cuando se produce interferencia con 2 fuentes coherentes separadas una distancia cualquiera.

Introducción

El biprisma de Fresnel es un instrumento óptico que permite observar las bandas de interferencia. Consta de 2 prismas delgados ,que forman un ángulo muy pequeño, y sirve para generar 2 imágenes de una fuente llamadas fuentes virtuales, estas 2 por ser ambas alimentadas por una fuente en común se encuentran en fase , ya que aunque la constante de fase de cada fuente varíe de manera no controlada a través de un intervalo 2π en el tiempo (Δy)-1, donde Δy es el ancho de banda de la fuente común que los alimenta, la fase relativa entre ellas permanece contaste, entonces tenemos que las fuentes virtuales son coherentes aunque no sean monocromáticas.

Por lo tanto, tenemos que los siguientes diagramas son equivalentes:

Figura 1: Diagramas de interferencia

Las bandas de interferencia únicamentese observan cuando las fuentes son coherentes, de tal forma que en cada punto del espacio donde la diferencia de camino óptico de las ondas provenientes de cada fuente sea igual a un número entero de longitudes de onda habráinterferencia constructiva y se verá una franja brillante.

La distancia entre las fuentes que generan estas bandas de interferencia es lo que medimos en el presente informe con el fin de observar si existe alguna relación con el ancho de las bandas, para ello tomamos como referencia el caso de las 2 fuentes coherentes estudiado por Young, en su experimento de la doble rendija .

Figura 2: Experimento de Young de la doble rendija

Del cual se obtuvieron las siguientes relaciones:

yk= kdλ/a ........(1)K= 0,1,2,3.....

Δy= dλ/a .........(2)

a= dλ/Δy ….. (3)

Método experimental

Del diagrama de rayos del biprisma de Fresnel:

S1 y S2 : fuentes virtuales

S: fuente real

Figura 3 : Diagrama de rayos del biprisma de Fresnel

Figura 4 : Diagrama simplificado de rayos del biprisma

Notamos en la Figura 4 que el diagrama de rayos es similar al de la Figura 2 , y por lo visto anteriormente , Figura 1, tenemos que las relaciones halladas en el experimento de Young también se aplican para el biprisma de Fresnel.

De la ec. (2) :

Δy= dλ/a = (R+r)λ/a ..... (4)

Donde :

Δy= distancia entre dos puntos brillantes consecutivos (interfranja)d = distancia entre el plano de la pared y las fuentes virtualesa = Separación de las fuentes virtualesλ= Longitud de onda de la luz proveniente de la fuente SR= distancia entre la fuente y el biprismar= distancia entre el biprisma y el plano de la pared Para la toma de datos usamos un biprisma de Fresnel , una rendija y una fuente monocromática, equipo láser; y observamos sobre la pared, pantalla, un patrón de interferencia. Elegimos una interfranja cerca del centro del patrón y medimos Δy de las bandas más cercanas y la distancia d. Hacemos esto para 4 valores de d distintos. Con los datos obtenidos hallaremos a usando la ec. (2). Tomamos una quinta medida, pero variamos el ancho de la rendija, procesamos igual que los demás datos tomados y comparamos.

Resultados y discusión

Datos recolectados:

Trabajando con una fuente con λ = 633 nm y con un ancho de rendija a1 obtenemos las siguientes mediciones:

TABLA Nº 01 Δy(cm.) Error de Δy (cm.)

0.3 0.050.4 0.05

0.3 0.05

0.3 0.05

TABLA Nº 02d(cm.) Error de d (cm.)412.4 0.05

Trabajando con una fuente con λ = 633 nm y con un ancho de rendija a2 obtenemos las siguientes mediciones:

1ra medición :

TABLA Nº 03Δy(cm.) Error de Δy (cm.)

0.6 0.050.6 0.05

0.5 0.05

0.6 0.05


2da medición :


0.5 0.050.6 0.05

0.5 0.05

0.5 0.05


3ra medición :


0.5 0.050.6 0.05

0.5 0.05

0.6 0.05


4ta medición :


0.5 0.050.4 0.05

0.4 0.05

0.4 0.05


Datos obtenidos:

Usando la ec. (3) para las los datos obtenidos en cada medición obtenemos:

Para un ancho de rendija a1 :

d= 412.4 +/- 0.05 cm , λ = 633 nm , Tablas N° 1 y 2.

TABLA Nº 11Δy(cm.) Error de Δy (cm.) a(mm.) Error de a (mm.)

0.3 0.05 0.87 0.150.4 0.05 0.65 0.08

0.3 0.05 0.87 0.15

0.3 0.05 0.87 0.15

El valor promedio de la distancia entre las fuentes más su desviación estándar es <a>= 0.82 +/- 0.15 mm.

Para un ancho de rendija a2 :

1ra medición: d= 372.3 +/- 0.05 cm , λ = 633 nm, Tablas N° 3 y 4.


0.6 0.05 0.39 0.030.6 0.05 0.39 0.03

0.5 0.05 0.47 0.05

0.6 0.05 0.39 0.03

El valor promedio de la distancia entre las fuentes más su desviación estándar es <a> = 0.41 +/- 0.04 mm.

2da medición: d= 354.6 +/- 0.05 cm , λ = 633 nm, Tablas N° 5 y 6.


0.5 0.05 0.45 0.040.6 0.05 0.37 0.03

0.5 0.05 0.45 0.04

0.5 0.05 0.45 0.04


3ra medición: d= 334.4 +/- 0.05 cm , λ = 633 nm, Tablas N° 7 y 8.


0.5 0.05 0.42 0.040.6 0.05 0.35 0.03

0.5 0.05 0.42 0.04

0.6 0.05 0.35 0.03

El valor promedio de la distancia entre las fuentes más su desviación estándar es <a> =0.39 +/- 0.04mm.

4ta medición: d= 314.5 +/- 0.05 cm , λ = 633 nm, Tablas N° 9 y 10.


0.5 0.05 0.40 0.040.4 0.05 0.50 0.06

0.4 0.05 0.50 0.06

0.4 0.05 0.50 0.06


Trabajando en conjunto los datos obtenidos en cada medición con el ancho de rendija a2:


0.6 0.05 3.93 0.330.6 0.05 3.93 0.33

0.5 0.05 4.71 0.47

0.6 0.05 3.93 0.33

0.5 0.05 4.49 0.450.6 0.05 3.74 0.31

0.5 0.05 4.49 0.45

0.5 0.05 4.49 0.45

0.5 0.05 4.23 0.420.6 0.05 3.53 0.29

0.5 0.05 4.23 0.42

0.6 0.05 3.53 0.29

0.5 0.05 3.98 0.400.4 0.05 4.98 0.62

0.4 0.05 4.98 0.62

0.4 0.05 4.98 0.62

Luego de hacer el análisis de los datos, obtenemos que el valor promedio de la distancia entre las fuentes más su desviación estándar es: <a> = 0.43 +/- 0.05 mm.

Del trabajo realizado en laboratorio observamos que las herramientas usadas para tomar las medidas no fueron los más adecuados, ha de tenerse en cuenta que para distancias grandes mayores a 1m. es recomendable usar una cinta métrica en lugar de una regla , ya que esto nos genera menos propagación de errores al momento de efectuar cálculos. Se espera que en una próxima experiencia contar con el equipo adecuado.

Conclusiones

Obtenemos que para un Δy que está entre [0.3; 0.4] , el ancho de la rendija es :<a1>= 0.82 +/- 0.15 mm. y para un Δy que está entre [0.4; 0.6] el ancho de la rendija es: <a2> = 0.43 +/- 0.05 mm. De lo cual se observa que mientras mayor el ancho de rendija menor el Δy y viceversa.

Se obtiene que para las distancias d de la pantalla a una rendija de ancho a2, el Δy se mantiene en un mismo intervalo, no varía. De lo cual se observa que aun si la distancia de la pantalla a la rendija varia, el Δy se mantendrá constante.

Tenemos que con los Δy que se tomaron con diferentes d usando una fuente monocromática de una longitud de onda λ= 633nm. obtenemos que el ancho de la rendija es: <a> = 0.43 +/- 0.05 mm.

Referencias

Libros:

- Bruno Rossi , Fundamentos de Optica ,Editorial Reverté ,España , p.117-120

- Frank S. Crawford, Ondas, Editorial Reverté ,España, 2003, p. 482

Páginas Web :

- http://universulfaralumina.wikidot.com/biprisma-fresnel

Figuras:

- Figura 1 : http://www.ucm.es/info/optica/lt4/data/apuntes/Interferencia.pdf

- Figura 2 : http://www.fisicanet.com.ar/fisica/ondas/ap11_luz.php#.URN5YaU3iFc

- Figura 3 : http://sahaquiel02.livejournal.com/869.html

- Figura 4 : http://efisica.if.usp.br/otica/universitario/interferencia/young/

Apéndices

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/ondas/ap11_luz.php#.URN5YaU3iFc

http://universulfaralumina.wikidot.com/biprisma-fresnel

Apéndice 01

Calculando la fórmula general del error de a :

De la ec (2) : Δy= d x λ/a

a = d x λ/Δy d , λ : ctes

δa = -d x λ x δ(Δy)/(Δy )2

Error a = -d x λ x error (Δy ) / (Δy )2 …….. (A1.1)

Apéndice 02

Cálculo de a y su error usando los datos de las tablas n°1 al n°10

NOTA: Para los valores de a sólo consideraremos su valor con cifras significativas, el cual será escrito al final de cada operación.

Datos: λ=663nm

De la Tabla n° 1 y 2 :

Δy1= 0.3 +/- 0.05 cm.Δy2= 0.4 +/- 0.05 cm.Δy3= 0.3 +/- 0.05 cm.Δy4= 0.3 +/- 0.05 cm.

d= 412.4 +/- 0.05 cm.

Usando la ec. (3): a= dλ/ΔyTenemos que:

a1=a3=a4= d λΔy 1

=412.4×663×10−11m0.3×10−2 =0.870164mm.≈0.87mm.

a2= d λΔy 2

= 412.4×663×10−11m0.4×10−2 =0.652623mm.≈0.65mm.

Usando la ec. (A1.1):error (a )=−d× λ×error (∆ y )¿¿

Tenemos que:

error (a1 )=error (a3 )=error (a4 )

error (a1 )=−412.4×663×0.05×10−13

¿¿

error (a2 )=−412.4×663×0.05×10−13

¿¿ De la Tabla n° 3 y 4 :


d= 372.3 +/- 0.05 cm.


a1=a2=a 4= d λΔy 1

=372.3×663×10−11m0.6×10−2 =0.3927765mm ..≈ 0.39mm.

a3= d λΔy 3

=372.3×663×10−11m0.5×10−2 =0.4713318mm ..≈0.47mm.

Usando la ec. (A1.1): error (a )=−d× λ×error (∆ y )¿¿

Tenemos que:


error (a1 )=−372.3×663×0.05×10−13

¿¿

error (a3 )=−372.3×663×0.05×10−13

¿¿



d= 354.6+/- 0.05 cm.


a1=a3=a4= d λΔy 1

=354.6×663×10−11m0.5×10−2 =0.4489236mm.≈0.45mm.

a2= d λΔy 2

=354.6×663×10−11m0.6×10−2 =0.374103mm.≈0.37mm.


Tenemos que:


error (a1 )=−354.6×663×0.05×10−13

¿¿

error (a2 )=−354.6×663×0.05×10−13

¿¿



d= 334.4 +/- 0.05 cm.


a1=a3= d λΔy 1

=334.4×663×10−11m0.5×10−2 =0.4233504mm.≈0.42mm.

a2 =a4 = d λΔy 2

=334.4×663×10−11m0.6×10−2 =0.352792mm.≈0.35mm.


Tenemos que:

error (a1 )=error (a3 ) ; error (a2 )=error (a4 )

error (a1 )=−334.4×663×0.05×10−13

¿¿

error (a2 )=−334.4×663×0.05×10−13

¿¿



d= 314.5 +/- 0.05 cm.


a2=a3=a4= d λΔy 2

=314.5×663×10−11m0.4×10−2 =0.49769625mm.≈0.50mm.

a1= d λΔy 1

=314.5×663×10−11m0.5×10−2 =0.398157mm.≈0.40mm.


Tenemos que:


error (a2 )=−314.5×663×0.05×10−13

¿¿

error (a1 )=−314.5×663×0.05×10−13

¿¿

Apéndice 03

Cálculo del valor medio de a y la desviación estándar para cada valor de d, usando los resultados de los cálculos realizados en el Apéndice 02.

<x> = ∑i=1

n

xi

n

…… (A3.1)

σ=√∑i=1

n

¿¿¿¿¿ ….. (A3.2)

Usando los resultados obtenidos de los cálculos usando los datos de las tablas n° 1 y 2

De la ec. (A3.1):

<a> = [3×(0.870164)+0.652623]mm.

4=0. 81577875mm.≈0.82mm.

De la ec (A3.2):

σ=√∑i=1

4

¿¿¿¿¿mm.

σ=¿0.152483586 mm. ≈0.15 mm.


De la ec. (A3.1):

<x> : valor medio de x σ : desviación estándar

<a> = [3×(0.3927765)+0.4713318]mm.

4=0.412415325mm.≈0.41mm.

De la ec (A3.2):

σ=√∑i=1

4

¿¿¿¿¿mm.

σ=¿0.0425658916 mm. ≈0.04 mm.


De la ec. (A3.1):

<a> = [3×(0.4489236)+0.374103]mm.

4=0.430218mm.≈0.43mm.

De la ec (A3.2):

σ=√∑i=1

4

¿¿¿¿¿mm.

σ=¿0.0483662009mm. ≈0.05 mm.


De la ec. (A3.1):

<a> = [2×(0.4233504)+2×(0.352792)]mm.

4=0.3880712mm.≈0.39mm.

De la ec (A3.2):

σ=√∑i=1

4

¿¿¿¿¿mm.

σ=¿0.0420838561mm. ≈0.04 mm.


De la ec. (A3.1):

<a> = [3×(0.49769625)+0.398157]mm.

4=0.472811438mm.≈0.47mm.

De la ec (A3.2):

σ=√∑i=1

4

¿¿¿¿¿mm.

σ=¿0.0663231997mm. ≈0.07 mm.

Apéndice 04

Cálculo del valor medio de a2 y su desviación estándar usando los resultados de los cálculos realizados en el Apéndice 02 de las tablas n° 3 al 10.

De la ec. (A3.1):

<a2> = ∑i=1

16

ai

16<a2>

¿ 3×0.3927765+0.4713318+3×0.4489236+0.374103+2×0.4233504+2×0.352792+3×0.49769625+0.39815716

<a2> = 0.425879103 mm.

De la ec. (A3.2) :

σ=√∑i=1

16

¿¿¿¿¿ ........ (1)

¿3×(0.3927765−0.425879103)2+(0.4713318−0.425879103)2+3×(0.4489236−0.425879103)2+(0.374103−0.425879103)2+2×(0.4233504−0.425879103)2+2×(0.352792−0.425879103)2+3×(0.49769625−0.425879103)2+(0.398157−0.425879103)2

∑i=1

16

¿¿¿¿

∑i=1

16

¿¿¿¿ = 36.565066741 mm. .......... (2)

(2) en (1):

σ=√ 36.56506674115

=¿0.0493727771 mm. ≈ 0.05 mm.

Datos recolectados

Informe N°3

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