Cargas perdidas en tuberíasUtilización de la ecuación de Darcy-Weisbach y Colebrook-White

para el caculo de cargas perdidas

Josefina BarrosJohn Munro

Ricardo RedelCristóbal SotoIngeniería Civil

Métodos NuméricosMódulo 2

ÍndiceIntroducción……………………………………………………………………………………………………………...3

Cálculo de cargas perdidas en tuberías………………………………………………………………………4

Darcy- Weisbach………………………………………………………………………………………………………..4

Formulación Ecuación de Darcy- Weisbach………………………………………………………………..4

Coeficiente de fricción f……………………………………………………………………………………………..5

Pérdidas de carga en singularidades…………………………………………………………………………..8

Programa en MATLAB………………………………………………………………………………………………..9

Problema propuesto y Análisis de este……………………………………………………………………..10

Referencias……………………………………………………………………………………………………………….13

Introducción

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Nosotros, como futuros ingenieros civiles, debemos conocer diferentes tipos de construcción para lograr ser profesionales íntegros y completos, entre ellos, destacamos el control sobre la presión dentro de una tubería, enfocándonos en la vitalidad que tienen los líquidos, principalmente el agua, para el desarrollo de las personas.

Es por esto que abordamos el estudio de la pérdida de carga o energía, que tiene un fluido dentro de las tuberías, esta energía hará la diferencia al momento de llegar el fluido a su destino, por muy lejos que este, o simplemente quedar a la mitad del camino.

Dada la investigación para un buen diseño de tuberías, logramos determinar los siguientes factores y parámetros que afectan el desarrollo del caudal dentro de una tubería.

El tipo de material del cual está hecha la tubería, o el sistema completo, esto porque cada material posee distinta rugosidad.

Los puntos desde los cuales se transportara el fluido, y la diferencia de cotas que existe en el sistema.

El diámetro de la tubería, además del largo de esta misma. El caudal que tiene el líquido al ser transportado.

En el presente trabajo nos especificamos en el método establecido por Darcy-Weisbach, el cual requiere de un coeficiente de fricción para poder calcular la energía perdida.

Por la complejidad para obtener este parámetro, es que nosotros hemos decidido utilizar otra ecuación, la ecuación impuesta por Colebrook y White, la cual veremos a lo largo del informe. Se considera un método iterativo y lo que busca es acercarse lo mayor posible a un valor f (coeficiente de fricción) real, usando el método de Newton-Raphson estudiado en clases, para ecuaciones no lineales.

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Cálculo de cargas perdidas en tuberías

La pérdida de carga que tiene lugar en una conducción representa la pérdida de energía de un flujo hidráulico a lo largo de la misma por efecto del rozamiento.

Darcy- Weisbach

Una de las fórmulas más exactas para cálculos hidráulicos es la de Darcy-Weisbach. Sin embargo por su complejidad en el cálculo del coeficiente "f" de fricción es menos utilizada. Aun así, se puede utilizar para el cálculo de la pérdida de carga en tuberías. La fórmula original es:

h=f ∙ LD∙ v

2

2g

En función del caudal la expresión queda de la siguiente forma:

h=0,0826 ∙ f ∙(Q5D5 )∙ LDonde:

h: Pérdida de carga o de energía (m) f: Coeficiente de fricción (adimensional) L: Longitud de la tubería (m) D: Diámetro interno de la tubería (m) v: Velocidad media (m/s) g: Aceleración de la gravedad (m/s2) Q: Caudal (m3/s)

Formulación Ecuación de Darcy- Weisbach

Como muestra la figura, la pérdida de carga que se produce en el trayecto de una tubería, se define como:

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h= τ ∙ c ∙ LS ∙ ρ∙ g

Donde:

S: Área de sección de la tubería. L: Largo del elemento de tubería. c: Perímetro de sección de la tubería. g: Aceleración de gravedad. ρ: Densidad del fluido.

τ : Coeficiente de roce del líquido con la tubería, que se define como τ=ρ λ v2

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Siendo λ un factor de proporcionalidad adimensional conocido como coeficiente de Fanning.

Al remplazar los valores correspondientes se obtiene que la pérdida de carga queda expresada como:

h= λ∙ v2 ∙ L

2 ∙R ∙g

Definiendo una tubería cilíndrica con radio r=D2 , se establece que el radio

hidráulico adquiere el valor de R=D4 , por lo tanto:

h=4 λ v2 ∙ L

2 ∙D ∙g

Donde 4λ es el coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach el cual es equivalente a f , obteniendo como ecuación final de Darcy- Weisbach:

h=f v2 ∙ L

2∙ D ∙g

C oeficiente de fricción f

El coeficiente de fricción f es una función que depende del número de Reynolds (Re) y del coeficiente de rugosidad o rugosidad relativa de las paredes de la tubería (εr).

f= f (ℜ , εr)

ℜ=D ∙v ∙ ρμ

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ε r=εD

Donde:

ρ: Densidad del agua (kg/m3) μ: Viscosidad del agua (N*s/m2) ε: Rugosidad absoluta de la tubería (m)

Propiedades físicas del agua:

Temperatura

(Cº)

Peso Específic

o(kN/m3)

Densidad

(kg/m3)

Módulo de

Elasticidad

(kN/m2)

Viscosidad

Dinámica(N·s/m2)

Velocidad Cinemátic

a(m2/s)

Tensión Superficia

l(N/m)

Presión de

Vapor(kN/m2)

0 9,805 999,8 1,98·106 1,781·10-3 1,785 · 10-6 0,0765 0,615 9,807 1000,0 2,05·106 1,518·10-3 1,519 · 10-6 0,0749 0,87

10 9,804 999,7 2,10·106 1,307·10-3 1,306 · 10-6 0,0742 1,2315 9,798 999,1 2,15·106 1,139·10-3 1,139·10-6 0,0735 1,7020 9,789 998,2 2,17·106 1,102·10-3 1,003·10-6 0,0728 2,3425 9,777 997,0 2,22·106 0,890·10-3 0,893·10-6 0,0720 3,1730 9,764 995,7 2,25·106 0,708·10-3 0,800·10-6 0,0712 4,2440 9,730 992,2 2,28·106 0,653·10-3 0,658·10-6 0,0696 7,3850 9,689 988,0 2,29·106 0,547·10-3 0,553·10-6 0,0679 12,3360 9,642 983,2 2,28·106 0,466·10-3 0,474·10-6 0,0662 19,9270 9,589 977,8 2,25·106 0,404·10-3 0,413·10-6 0,0644 31,1680 9,530 971,8 2,20·106 0,354·10-3 0,364·10-6 0,0626 47,3490 9,466 965,3 2,14·106 0,315·10-3 0,326·10-6 0,0608 70,10

100 9,399 958,4 2,07·106 0,282·10-3 0,294·10-6 0,0589 101,33

Rugosidad absoluta de materiales:

Material ε (mm)Plástico (PE, PVC) 0,0015

Poliéster reforzado con fibra de vidrio 0,01Tubos estirados de acero 0,0024Tubos de latón o cobre 0,0015

Fundición revestida de cemento 0,0024Fundición con revestimiento bituminoso 0,0024

Fundición asfaltada 0,06-0,18Fundición 0,12-0,60

Acero comercial y soldado 0,03-0,09Hierro forjado 0,03-0,09

Hierro galvanizado 0,06-0,24Madera 0,18-0,90

Hormigón 0,3-3,0Fundición asfaltada 0,06-0,18

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Para el cálculo del coeficiente de fricción existen múltiples ecuaciones, en presente informe ocuparemos la ecuación de Colebrook-White (1939) que es válida para todo tipo de flujos y rugosidades, es la más exacta y universal, pero el problema radica en su complejidad y en que requiere de iteraciones:

1√ f

=−2 log( ε3,71D

+ 2,51ℜ√ f )

Para desarrollar esta expresión haremos uso del método iterativo de Newton Rapshon definido por la siguiente expresión:

xn+1=xn−f (xn)f ' (xn)

Para ocupar este método con la ecuación de Colebrook-White haremos uso siguiente escritura que nos permitirá manejar de una forma más clara y simple el método. Partiendo de la ecuación:

1√ f

=−2 log( ε3,71D

+ 2,51ℜ√ f )

x= 1√ f

a= ε3.7D

b=2.51ℜ

Obtenemos:f ( x )=−2 log10(a+b∗x)

f ' ( x )= −2bln (10 )∗(a+b∗x )

De esta forma la ecuación de Newton Rapshon quedara como:

xn+1=xn−f ( xn )−xf ' (xn )−1

Antes de iterar supondremos un f=0.001 que será evaluado en x=1√ f ,

obteniendo de estaba forma el x0 con el cual iniciaremos Newton-Rapshon.

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Pérdidas de carga en singularidades

Cuando hablamos de puntos singulares de las tuberías nos referimos a cambios de dirección, codos o ambas, estas se deben a fenómenos de turbulencias.

La suma de estas pérdidas de cargas en singularidades más las de razonamiento dan como resultado las pérdidas de cargas totales.

Existen casos excepcionales, donde las pérdidas de cargas en singularidades solo se pueden determinar de forma experimental, ya que se deben a una disipación de energía motivada por las turbulencias, estas pueden expresarse en función de la altura cinética corregida utilizando un coeficiente empírico (K), el cual depende del tipo de singularidad y de la velocidad media en el interior de la tubería.

VALORES DEL COEFICIENTE K EN PÉRDIDAS SINGULARESACCIDENTE K L/D

Válvula esférica totalmente abierta 10 350Válvula en ángulo recto totalmente abierta 5 175Válvula de compuerta totalmente abierta 0,2 13Válvula de compuerta abierta ½ 5,6 160T por salida lateral 1,8 67Codo a 90º de radio normal con bridas 0,75 27Codo a 45º de radio normal con bridas 0,4 -

h=K ∙ v2

2∙ g

Donde:

h: Pérdida de carga o energía. K: Coeficiente empírico. v: Velocidad media de flujo. g: Aceleración de gravedad.

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Programa en MATLAB

Este programa consiste en la programación del método iterativo de Newton-Raphson aplicado a nuestro problema, la fórmula de Darcy-Weisbach, donde con un comando “WHILE” establecemos las condiciones para que el programa deje de iterar y nos entregue una respuesta, donde sus parámetros de entrada consisten en:

k: Rugosidad de la tubería, las cuales están establecidas mundialmente. d: Diámetro de la tubería que se quiere utilizar. P: Densidad del agua o líquido que pasara por la tubería. u: Viscosidad del líquido que trasporta la cañería. L: Largo de la tubería. n max: Máximo de iteraciones que aceptamos. tol: Tolerancia aceptada, respecto al error.

También, dentro de la función requerimos llamar a otra función, que llamamos ‘’ColeW’’, es necesario llamar a esta función porque nos entrega el valor de “y” y de “dy” que es la función evaluada en un punto y su derivada evaluada en el mismo punto, dicho valor se usa posteriormente en Darcy-Weisbach. La fórmula de Colebrook es la siguiente:

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Problema propuesto y Análisis de este

Para la aplicación de un problema real planteamos la siguiente situación:

Se nos pide que extendamos una llave con buena presión de agua. La distancia de la cañería con agua más cercana está a 65.4 metro del punto que nos piden. Además, por las condiciones del camino que hay que recorrer necesitamos usar tres codos, un codo de 90 ° y dos codos de 45° y poner la llave que se encuentra al final del sistema. El diámetro de la cañería que usaremos será de ½” y será de un PVC. Sabemos que la densidad del agua a 10° Celsius es de 999.7 (kg/m3) y una viscosidad dinámica de 1,307*10-3. Agregamos que la velocidad media del agua en la cañería debería ser de 6 m/s.

En primer lugar pasaremos a determinar el número de Reynolds con la formula vista anteriormente, posteriormente pasaremos a determinar el coeficiente de fricción f, mediante el mencionado método de Colebrook-White, en donde el principal problema se presenta puesto que esta ecuación es no lineal y por ende obtener f tiene un gran complejidad, para esto tendremos en cuenta los siguientes parámetros propuestos por nosotros

Para el número de Reynolds tendremos:

v: Velocidad media de 6 (m/s) ρ = 999.7 (kg/m3 ¿, la cual es la densidad del agua a 10° Celsius. μ = 1,307 · 10-3 (Ns/m2), viscosidad dinámica del agua, a la temperatura

indicada anteriormente. D= 0.0127 (m) lo que representa un diámetro de 1,27 centímetros.

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Además para el coeficiente de fricción f, necesitaremos:

Comenzaremos con un f = 0.001 como punto inicial, usado en casos generales.

x=1√ f x=31.62277

a=ε

3.7D a=0.02027

b=2.51ℜ b=91785.7689

Finalmente para aplicar nuestro principal método, debemos tener en consideración otros parámetros:

L= 65.4 (m), quiere decir que nuestra tubería es de 59.3 metros. Como es un método iterativo, hemos definido un máximo de iteraciones igual a

100, y aceptar un error de 10-5. Una aceleración de gravedad g=9.8.

Definiendo A como una matriz previamente. Debemos aclarar que “cargast” es la perdida de carga cuando se encuentran perdidas de cargas singulares dentro del sistema, y el valor de “h” significa la pérdida de carga generada solo por las tuberías.

Analizando dichos resultados se puede establecer una relación entre la perdida de carga que se genera dentro de la tubería y la fuerza que entrega la fuente, ya sea, una motobomba, fuerza de Bernoulli, etc.

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Como podemos verificar, si es que nuestro valor “cargast” es muy grande, necesitaremos más fuerza de parte de la fuente, para poder llegar a destino (donde necesitamos agua) con una buena presión, sino claramente no se llegara a destino, o bien la presión de entrega será deficiente.

A modo de solución de una presión deficiente, podemos disminuir el diámetro de las tuberías, o bien, aumentar la fuerza de la fuente.

Como vimos anteriormente, “cargast” incluye codos u otro tipo de artefactos dentro de los cálculos, verificamos que a mayor número de accesorios necesitaremos más energía de la fuente para poder llegar a destino.

Así también dentro de las ecuaciones que hemos ocupado las características que tendrá la tubería, como el material, la longitud y diámetro o las propiedades del fluido que iremos a transportar son aspectos que tendremos que tener en cuenta al momento de elaborar un sistema de tubería. Puesto tienen una incidencia fundamental en las pérdidas que cargas.

En consecuencia los resultados que obtendremos pueden no ajustarse a lo esperado o a lo que solicite el proyecto, ante esto la variación de algunos parámetros componentes del sistema de tuberías sería una alternativa, que a la vez conllevaría el volver realizar los cálculos pertinentes y por ende hacer uso de la ecuación Darcy-Weisbach y Colebrook-White. Es aquí donde radica la importancia programas como Matlab, puesto que nos permite realizar los cálculos de una forma rápida y con el menor error posible, lo que en la primera mitad del siglo XX, resultaba casi imposible puesto que no tenían herramientas que les permitirá calcular el coeficiente de fricción “f” de manera rápida, y tener que hacer para más de un caso resultaba utópico y era el principal problema al momento de querer hacer uso de Darcy-Weistbach, sin embargo como ya hemos dicho con las actuales herramientas no hay obstáculo que impidan ocuparlos.

En el transcurso de nuestra carrera la aplicación de estos problemas son amplios e importante, por ejemplo, saber qué cantidad se pierde para llevar agua a una piscina, o más importante, cuanta presión es perdida en un sistema de regadío, lo que influye directamente en la producción. También se aplica para la distribución de agua potable en una población, donde se utiliza una infinidad de tees, llaves de paso, codos, entre otros elementos, entonces la diferencia de pérdida de carga usando distintos materiales para las cañerías prima mucho a la hora de una buena calidad de vida, dado que la baja presión del agua afecta la gran mayoría de los artefactos de un hogar.

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Referencias

Saldarriaga, J. 2000. Hidráulica de tuberías. Bogotá, Col., McGraw – Hill.

Sotelo, G. 1987. Hidráulica General, vol. I, fundamentos. México, Limusa.

Mataix, C. 1982. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas. 2ª de. México, HARLA.

Pérez, R. 1993. Dimensionado óptimo de redes de distribución de agua ramificadas. Universidad Politécnica de Valencia. Tesis doctoral.

Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real.

Terreros, J. Silva, D. Calculo de diámetros de tubería mediante la ecuación de Darcy-Weisbach aplicando el método de Newton-Raphson.

Martínez, C. Cálculos Hidráulicos, Proyecto fin de carrera.

Ingeniería Sanitaria, Escuela de Ingeniería Civil. Universidad César Vallejo.

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